Phép chia có dư trong dạy học Toán ở trường Phổ thông

ôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Chí Thành, TS. Vũ Như Thu Hương đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: - Tất cả các bạn học viên cao học khóa 18, những người đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu về didactic toán. - Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Cần Đước đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong khóa học. - Gia đình và những người thân đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học. Hoàng Thị Oanh DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Pccd : Phép chia có dư Pch : Phép chia hết UCLN : Ước chung lớn nhất TCTH : Tổ chức toán học THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học cơ sở SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách bài tập SGK3 : Sách giáo khoa toán 3 SGK4 : Sách giáo khoa toán 4 SGK5 : Sách giáo khoa toán 5 SGK6 : Sách giáo khoa toán 6 SGK7 : Sách giáo khoa toán 7 MTBT : Máy tính bỏ túi Tr : Trang MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát: Sau khi tham khảo luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bảo (2002) về đề tài “Nghiên cứu Didactic về bước chuyển từ phân số như là “những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số như là “ thương” ở lớp 3 và lớp 4 và việc đào tạo giáo viên tiểu học về phân số”. Chúng tôi chú ý những nhận xét về phép chia hết và phép chia có dư xuất hiện ở tiểu học trong những tình huống và nghĩa của phép chia trong những tình huống đó. Phép chia có những nghĩa như sau: - Phép chia là sự phân phối lần lượt, mỗi lần một đối tượng cho đến hết. - Phép chia là sự phân phối bằng nhau các nhóm, mỗi nhóm có hơn một đối tượng. - Phép chia là phép toán ngược của phép nhân: muốn tìm kết quả của phép chia cần dựa vào phép nhân tương ứng. Nghĩa của phép chia hết và phép chia có dư : - Phép chia hết là sự phân phối lần lượt các đối tượng bằng nhau cho đến hết. - Phép chia có dư là sự phân phối lần lượt các đối tượng cho đến khi còn một số đối tượng không thể phân phối đều được nữa. Tuy nhiên khi làm tính trên số, phép chia hết và phép chia có dư lại có nghĩa: - Phép chia hết là phép chia mà không có dư - Phép chia có dư là phép chia có thương là số nguyên và số dư bé hơn số chia. Nhìn chung phép chia cho nghĩa chia đều n đối tượng cho p phần bằng nhau. Luận văn chỉ đề cập đến nghĩa của phép chia ở bậc tiểu học. Như vậy, các câu hỏi sau đây được đặt ra : Phép chia có dư được tiếp tục trình bày ở THCS và THPT như thế nào ? Đối tượng này có còn mang những nghĩa như đã nhắc tới ở SGK tiểu học nữa hay không? Phép chia có dư xuất hiện trong chương trình nhằm giải quyết những vấn đề gì toán học gì ? 2. Khung lý thuyết tham chiếu Chúng tôi sẽ vận dụng lý thuyết nhân học của Chevallard để phân tích các thể chế dạy học nhằm xác định mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chia có dư trong các thể chế dạy học đại học và THCS. Tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với phép chia có dư, hiểu về pccd và thao tác về pccd. Để nghiên cứu mối quan hệ cá nhân này, chúng tôi cần đặt trong mối quan hệ thể chế dạy học pccd ở bậc phổ thông. Bên cạnh đó chúng tôi xây dựng các tổ chức toán học xung quanh khái niệm phép chia có dư ở để làm rõ mối quan hệ ở hai thể chế trên. Kế tiếp chúng tôi vận dụng khái niệm hợp đồng didactic để xem xét yếu tố chi phối ứng xử của giáo viên và học sinh, yếu tố nào cho phép hợp thức hóa các thao tác của học sinh trên đối tượng phép chia có dư. Ở đây, chúng tôi làm rõ những qui tắc ngầm ẩn phân chia trách nhiệm và quyền hạn của giáo viên và học sinh đối với đối tượng pccd. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu: Q1. Khái niệm phép chia có dư đối với tri thức khoa học được trình bày như thế nào? Nó có những đặc trưng cơ bản nào? Phép chia có đóng vai trò công cụ cho những tri thức nào ? Q2. Trong thể chế dạy học toán ở phổ thông Việt Nam phép chia có dư được giảng dạy như thế nào? Phép chia có dư xuất hiện trong thể chế dưới những hình thức biểu diễn nào? Mối quan hệ thể chế đối với số dư trong các hình thức biểu diễn đó như thế nào? Q3. Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy – học phép chia có dư ? 3. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi thực hiện trong luận văn này là: Tiến hành nghiên cứu so sánh việc đưa vào phép chia có dư trong hai thể chế:  Thể chế dạy học phép chia có dư ở bậc đại học: Cụ thể là nghiên cứu các giáo trình đại học về việc trình bày phép chia có dư như thế nào và các ứng dụng của phép chia có dư để giải quyết những vấn đề nào.  Thể chế dạy học phép chia có dư ở trường phổ thông: phân tích chương trình và SGK Việt Nam, phép chia có dư được giảng dạy như thế nào, kiến thức này được đưa vào để giải quyết những bài toán nào trong chương trình. Dựa trên việc tổng kết các kết quả phân tích đưa ra những giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm.  Xây dựng tình huống thực nghiệm đối với học sinh để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu đã được đặt ra ở trên. Phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau: 4. Tổ chức luận văn: Luận văn gồm những phần chính sau đây:  Phần mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát dẫn đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và tổ chức của luận văn.  Chương 1: Trình bày khái niệm phép chia có dư ở cấp độ tri thức khoa học trong hai giáo trình đại học để làm rõ đặc trưng cơ bản của khái niệm phép chia có dư và cơ chế công cụ của khái niệm này.  Chương 2: Chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế dạy học phép chia có dư trong SGK Việt Nam. Từ đó chúng tôi đưa ra những câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu.  Chương 3: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 2.  Phần kết luận Tóm tắt các kết quả đạt được trong các chương 1, 2, 3 và đề xuất một số hướng nghiên cứu có thể mở ra của luận văn. NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY (Thể chế dạy học Việt Nam) THỰC NGHIỆM CHƯƠNG I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP CHIA CÓ DƯ Mục tiêu của chương Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của phép chia có dư và cơ chế công cụ của phép chia có dư trong một số giáo trình ở bậc đại học. Cụ thể hơn, qua việc phân tích các giáo trình này chúng tôi cố gắng tìm hiểu cách trình bày khái niệm phép chia có dư được trong các giáo trình đại học và các ứng dụng của phép chia có dư cũng như vai trò công cụ của phép chia có dư trong việc nghiên cứu những khái niệm có liên quan. Phân tích một số giáo trình đại học liên quan đến phép chia có dư. Ở đây chúng tôi chọn phân tích ba giáo trình thuộc các lĩnh vực số học, toán rời rạc và đại số đại cương được sử dụng phổ biến trong các trường đại học phía Nam : [a] Đậu Thế Cấp (2008) - Số học, NXB Giáo dục [b] Kenneth H. Rosen (2001) - Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, NXB Lao động – Người dịch: Bùi Xuân Toại [c] Hoàng Xuân Sính (1998) – Đại số đại cương, NXB Giáo dục Mục đích của việc lựa chọn các giáo trình này là do phép chia có dư và các vấn đề có liên quan đến phép chia có dư được trình bày trong các giáo trình này khá phong phú. Việc phân tích so sánh các giáo trình trên sẽ cho phép làm rõ sự khác nhau trong việc trình bày phép chia có dư ở cấp độ giáo trình đại học. Điều này làm cơ sở tham chiếu cho chúng tôi thực hiện phân tích phép chia có dư được giảng dạy ở phổ thông. 1. Phép chia có dư ở giáo trình [a] – Số học 1.1 Phép chia có dư xét trên phương diện đối tượng Trong giáo trình này phép chia được đề cập lần đầu tiên ở chương 1 trong tập hợp số tự nhiên. Định nghĩa phép chia được trình bày ở trang 11 như sau: “Cho hai số tự nhiên a và b, b 0. Nếu có số tự nhiên c sao cho cb = a thì c được gọi là thương trong phép chia a cho b.” Phép chia được trình bày ở đây theo quan điểm phép chia là phép toán ngược của phép toán nhân. Định nghĩa này ngầm ẩn việc tìm một số chưa biết c khi ta đã có a và b tức là một dạng giải phương trình. Qua phần trình bày của định nghĩa, phương trình này không phải lúc nào cũng có nghiệm hay thương của phép chia hai số tự nhiên không phải lúc nào cũng tồn tại. Trong phần nhận xét, giáo trình nêu : “ Nếu thương a : b tồn tại thì a = b. (a:b). Suy ra a = 0 hoặc a b” [trang 11] với điều kiện này thì phép chia này được gọi là phép chia hết. Định nghĩa này được trình bày trong bài “Phép trừ và phép chia” tuy nhiên qua cách trình bày không thể hiện mối quan hệ nào giữa phép trừ và phép chia. Trong bài “Phép chia có dư”, trước khi định nghĩa phép chia có dư [a] đưa vào định lý 5 ở trang 11 như sau: “Cho hai số tự nhiên a và b, b 0. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên q,r thỏa mãn a = bq + r ; 0  r < b” Sau phần chứng minh của định lý, trên cơ sở của định lý mà phép chia có dư trong tập hợp số tự nhiên đã được định nghĩa như sau: “Chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b (b  0) là tìm hai số tự nhiên q và r thỏa mãn: a = bq + r ; 0 r < b a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư. Nếu r = 0 thì ta nói a chia hết cho b.” Định nghĩa này nêu đặc trưng của phép chia có dư với mọi số tự nhiên a, b (b 0 ) thì luôn tìm được q và r thỏa mãn biểu thức a = bq + r. Vậy phép chia có dư luôn thực hiện được trong tập hợp số tự nhiên. Phép chia có dư được định nghĩa theo quy ước. Như vậy trong [a] phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư. Cho đến chương 3, định lý về phép chia có dư còn gọi là định lý cơ bản được phát biểu trong tập hợp Z: “Cho hai số nguyên a và b, b 0, khi đó tồn tại duy nhất cặp số nguyên q, r sao cho: a = bq + r ; 0 r< |b|” Định lý này là mở rộng của định lý 5 được nêu ở chương 1. Chứng minh của định lý này cơ bản kế thừa chứng minh định lý 5. Ta chú ý phần chứng minh của định lý này trong trường hợp b > 0, a < 0. Khi a 0 khi đó tồn tại q, r để a = bq + r hay a = - bq – r ; 0  r < b o khi r = 0 thì a = - bq tức cặp số cần tìm là ( - q , 0) o khi 0 < r < b thì a = - bq – r = b ( - q - 1) + b – r ; 0 < b – r < b. Cặp số cần tìm là (- q -1, b - r). Trong trường hợp a < 0 với yêu cầu số dư là số dương ta thực hiện thêm bớt cho số chia để tìm cặp số (q, r), phần chứng minh này thể hiện sự ngầm ẩn phép chia có dư có nghĩa phép trừ liên tiếp số bị chia cho số chia tới khi được một số nhỏ hơn số chia Ta lấy ví dụ phép chia có dư – 14 chia cho 3. Ta có - 14 = - 3.4 – 2 = 3( - 4 - 1) + 3 – 2 = 3. (- 5) +1. Ví dụ minh họa đã ứng dụng kỹ thuật trong phần chứng minh trên để giải thích việc tìm cặp (q, r) cho trường hợp a < 0. Tương tự, định nghĩa phép chia có dư và phép chia hết trong tập hợp số nguyên được đưa vào ngay sau chứng minh ở trang 41 như sau: “Cho hai số nguyên a và b, b  0, thực hiện phép chia có dư số a cho số b là tìm cặp số nguyên q, r sao cho a = bq + r ; 0  r < |b|. Số a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư. Nếu số dư r = 0 thì a = bq. Trong trường hợp này ta nói phép chia là chia hết và cũng gọi là : a chia hết cho b, a là bội số của b; kí hiệu a b; hoặc : b chia hết a, b là ước của a; kí hiệu b/a” Như vậy, phép chia có dư đã được định nghĩa trên tập số Z. Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư. Trong phép chia có dư thì số dư luôn là số nguyên không âm và bé hơn số chia. Bên cạnh đó, giáo trình [a] đã đưa ra các ngôn ngữ tương đương của đặc trưng chia hết là “bội” và “ước”. Trong giáo trình này ngôn ngữ “bội” và “ước” được sử dụng thay thế cho cụm từ “chia hết”. Sau phần định nghĩa [a] không đưa ra một ví dụ nào để minh họa cho phép chia có dư. Điều này gây không ít khó khăn cho người học khi biểu diễn số nguyên âm dưới dạng phép chia có dư. Phần tiếp theo của [a] giới thiệu tính chất cơ bản của chia hết và các kiểu nhiệm vụ liên quan tới tính chia hết. 1.2 Phép chia có dư xét trên phương diện công cụ. a. Ước chung lớn nhất (UCLN) Định nghĩa UCLN ở trang 44 như sau: “Nếu số d là ước số của tất cả các số a1, a2,..,an thì d được gọi là ước chung của các số a1, a2,..,an. Một ước chung của các số a1, a2,..,an được gọi là ước chung lớn nhất (ƯCLN) nếu nó chia hết cho mọi ước chung của các số đó. ƯCLN của a1, a2,..,an được kí hiệu là ƯCLN(a1, a2,..,an ). ƯCLN dương của a1, a2,..,an được kí hiệu là (a1, a2,..,an ).” Trong tập hợp các ước chung, theo hình thức thì ước chung lớn nhất là số lớn nhất trong tập ước chung, định nghĩa đã nêu rõ bản chất của UCLN là ước chung chia hết cho mọi ước chung còn lại. Thông qua định nghĩa ta có thể nhận thấy kỹ thuật tìm UCLN đã chỉ rõ nhưng kỹ thuật này có thể mất nhiều thời gian khi các số đó là những số rất lớn. Từ định nghĩa UCLN thì [a] cũng đưa và định nghĩa số nguyên tố cùng nhau và số nguyên tố sánh đôi. Một số tính chất sử dụng đến phép chia có dư để tìm UCLN chẳng hạn như tính chất 5, 6 ở trang 45 như sau: “5. Nếu có số aj sao cho aj \ ai với mọi i = 1, 2,..., n thì ƯCLN (a1, a2, ..., an) =  aj 6. Cho a = bq + c; a, b, c, q Z. Khi đó mỗi ước chung của a, b cũng là ước chung của b, c và ngược lại.” Tính chất này được nêu ra mà không trình bày chứng minh, ghi cụ thể như sau: a = bq + r thì (a, b) = (b, r) Đây cũng là cơ sở để giải thích cho cách tìm UCLN bằng thuật toán Euclide. Thuật toán Euclide được đưa vào ở trang 46 như sau: “Cho hai số nguyên a  0 và b  0. Khi đó theo định lý 1, ta tìm được các cặp số (q0, r0),(q1, r1),...,(qn, rn) sao cho a = bq0 + r0 ; 0 < r0 < |b| b = r0q1 + r1 ; 0 < r1 < r0 r0 = r1q2 + r2 ; 0 < r2 < r1. ………… rn – 3 = rn – 2qn – 1 + rn – 1 ; 0 < rn – 1 < rn – 2 rn – 2 = rn – 1qn + rn ; rn = 0. Vì |b| > r0 > r1 > ….. là dãy số tự nhiên giảm dần nên phải có rn = 0, khi đó thuật toán kết thúc. Dãy các số a, b, r0, r1,….rn – 1 được gọi là dãy số Euclide của hai số a, b.” Dựa vào thuật toán Euclide và các tính chất của UCLN ta có thể tìm được UCLN của hai số a, b: (a, b) = (b, r0) = ... = (rn-2, rn-2 ) = rn-1. Có thể nói nó là số dư cuối cùng khác không trong thuật toán Euclide. Thuật toán Euclide đã thực hiện một chuỗi phép chia có dư liên tiếp, mà trong các phép chia có dư này chúng ta chỉ chú ý đến số dư. Thuật toán này, số dư đóng vai trò quan trọng, thuật toán sẽ dừng lại khi r = 0. Bên cạnh đó [a] cũng đưa ra lược đồ tìm UCLN của nhiều số nguyên a1, a2, ... , an. (a1, a2) = D1 (D1, a3) = D2 .............. (Dn-2, an) = D vậy ta có (a1, a2, ... , an) = D. Ta có nhận xét: “Vì d / a  d / (-a) nên khi tìm ƯCLN ta có thể thay các số âm bởi số đối của chúng.” trang 48. Với nhận xét này bài toán tìm UCLN của số nguyên ta chỉ quan tâm tới việc tìm UCLN của những số nguyên dương. Bài toán tìm UCLN thường gắn liền với bài toán tìm bội chung nhỏ nhất, nhưng trong luận văn này chúng tôi chỉ tìm hiểu về UCLN. b. Quan hệ đồng dư Định nghĩa đồng dư được nêu ở trang 57: “Cho m N*. Các số nguyên a và b được gọi là đồng dư theo môdun m nếu các phép chia a cho m và b cho m có cùng số dư. Kí hiệu : a b (mod m).” Nếu a và b đồng dư theo môdun m thì a – b là bội của m. Tính chất đặc trưng của quan hệ đồng dư theo môdun m là quan hệ tương đương. Với định nghĩa trên, tập hợp số nguyên được phân hoạch thành các lớp tương đương và được gọi là lớp thặng dư. Quan hệ đồng dư theo môdun m có m lớp thặng dư: 1,.....,2,1,0 m . Trong phần lý thuyết của quan hệ đồng dư có định lý quan trọng về dấu hiệu chia hết ở trang 60 như sau: “Điều kiện cần và đủ để một số A= g aaaa nn 011... viết trong hệ cơ số g chia hết cho số d là tổng a0r0 + a1r1 +... + anrn chia hết cho d, trong đó ri là các số nguyên sao cho i i rg  mod(d), i = 0, 1, ..., n.” Từ định lý này [a] đưa ra các ví dụ về dấu hiệu chia hết cho 2, 5 và 3, 9 và 11. Đây là những dấu hiệu chia hết thường gặp. Định lý này phát biểu dấu hiệu chia hết với cơ số bất kì, Những ví dụ minh họa đều trong hệ thập phân. Ứng dụng của phép chia có dư trong thuật toán Euclide còn là công cụ để giải phương trình vô định. Định nghĩa số nguyên tố cũng dựa vào tính chất của phép chia hết: “Số tự nhiên lớn hơn 1 được gọi là số nguyên tố nếu chỉ có hai ước số (tự nhiên) là 1 và chính nó.” Các tính chất của số nguyên tố hay phân tích một số ra thừa số nguyên tố cũng dựa vào các dấu hiệu chia hết và không chia hết của các số tự nhiên.  Tổ chức toán học gắn liền với phép chia có dư. Kiểu nhiệm vụ TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g. Ví dụ trang 17: Viết số 115 sang hệ ghi cơ số 3. vậy 311021115  Kỹ thuật DCS : 1 1 3 3 3 0 4 2 12 1 38 3 115 + Thực hiện liên tiếp các phép chia có dư số tự nhiên x và các thương của các phép chia đó cho cơ số g. x = g.x0 + a0, 0 ga  0 x0 = g.x1 + a1 , 0 ga  1 .... xn = g.0 + an, 1 gan  + Phép chia dừng lại khi thương số bằng 0 + Dãy các số dư viết theo thứ tự đảo ngược chính là kết quả cần tìm. Kỹ thuật này được [a] nêu rõ: “Để đổi một số x từ hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g ta thực hiện chia liên tiếp x cho g. Số dư lần chia đầu là a0, số dư lần tiếp theo là a1,.. số dư lần cuối cùng là an.. Ta được x g aaaa nn 011... ” Trong cách trình bày chúng tôi nhận thấy có một vấn đề là số thương cuối cùng cũng chính là số dư cuối cùng của phép chia tức phép chia dừng lại khi xn < g. Trong cách giải mong đợi được nêu ra bởi [a] không giải thích cho kết quả này. Trong kỹ thuật này khi thực hiện liên tiếp các phép chia có dư thì kết quả của bài toán là dãy những số dư. Số dư đóng vai trò quan trọng trong kiểu nhiệm vụ này. Điều kiện dừng của thuật toán này không được nêu rõ trong [a]. Quá trình thực hiện phép chia phải dừng lại sau hữu hạn bước do g > 1 nên x > x0 > x1 > x2....dãy xi giảm dần, do đó tồn tại n để xn = 0. Công nghệ DCS : Định nghĩa phép chia có dư. Kiểu nhiệm vụ TCH: Chứng minh rằng: P(n)a, *, NaZn  . Ví dụ trang 43: Chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. Giải Giả sử tích của ba số đó là A = n(n + 1)(n + 2). Viết n dưới dạng n = 6k + r; với r = 1, 2, 3, 4, 5. Nếu r = 0 thì n 6 thì A6. Nếu r = 1 thì n + 1  2; n+2  3 thì A 6 ... Vậy với mọi n Z ta có n(n + 1)(n + 2)6 Kỹ thuật CH : + Phân hoạch Z thành các lớp thặng dư: n = ak + r; với 0 ar  + Chứng minh mệnh đề chứa biến đúng trong từng lớp thặng dư. Công nghệ CH : Các tính chất chia hết. Định nghĩa phép chia có dư. Lý thuyết CH : Quan hệ tương đương, quan hệ đồng dư. Đây kiểu nhiệm vụ cơ bản của chương này có nhiều kỹ thuật giải như dùng phương pháp chứng minh quy nạp, chứng minh phản chứng, dùng kỹ thuật phân tích nhân tử. Trong một bài toán các kỹ thuật này kết hợp với nhau để giải quyết nhiệm vụ này. Kỹ thuật phân hoạch Z thành những lớp thặng dư có nhiều cách ghi khác nhau nhưng chúng tôi nhận thấy thường theo hai cách:  Không âm, nhỏ nhất: {0,1,2,...m – 1}  Có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất:{0, 1, 2,..., 2 1m } nếu m lẻ và {0, 1, 2,..., 2 , 2 2 mm  } nếu m chẵn. Trong [a] dùng cách ghi thứ nhất. Để giảm bớt độ lớn của các số trong các phép tính, người ta có thể chọn những đại diện phân bố quanh 0 như cách ghi thứ hai. Kiểu nhiệm vụ TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên. Kỹ thuật DNUCLN . : + Liệt kê tất cả các ước của các số nguyên. + Tìm ước chung của tập hợp số này. + Số lớn nhất của ước chung chính là UCLN. Dựa vào định nghĩa ta có được kỹ thuật này. Ta nhận thấy kỹ thuật này tốn thời gian và công sức nên thực tế ít được áp dụng để tìm UCLN. Công nghệ DNUCLN . :Phép chia hết và các tính chất cơ bản của phép chia hết. Ví dụ trang 47: Tìm UCLN của 119 và 84 Ta có 119 = 84.1 + 35 84 = 35.3 + 14 35 = 14.2 + 7 14 = 7.2 vậy (119, 84) = 7 Kỹ thuật TTEUCLN . : Dùng thuật toán chia Euclide để tìm UCLN. Công nghệ TTEUCLN. : + Các tính chất UCLN. + Định lý cơ bản về phép chia có dư. Lý thuyết TTEUCLN . + Sắp thứ tự tốt của tập N. + Nguyên lý chuồng bồ câu. Ví dụ trang 73: Tìm UCLN của 96, 240, 168, 360 Ta có 96 = 25.3 240 = 24.3.5 168 = 23.3.7 360 = 23.32.7 vậy (96, 240, 168, 360) = 23.3 = 24. Kỹ thuật NTUCLN . : + Phân tích các số nguyên a thành dạng phân tích tiêu chuẩn: a1 = kkppp  .... 21 21 a2 = kkppp  .... 21 21 ........ an = kkppp  .... 21 21 , UCLN(a1,a2, ... ,an) = ),,min(),,min( 2 ),,min( 1 .... 222111 kkk kppp  , với kiiii ...1,0,0,0   Công nghệ NTUCLN . : + Số nguyên tố, dấu hiệu chia hết. + Quy tắc nhân lũy thừa. Lý thuyết NTUCLN . : định lý “Mỗi hợp số đều phân tích được thành tích của các thừa số nguyên tố và nếu không kể đến thứ tự của các thừa số thì sự phân tích là duy nhất.” Trong ba kỹ thuật tìm UCLN, ta thấy rằng kỹ thuật NTUCLN. là có nhiều ưu điểm hơn cả. Nhờ vào MTBT để phân tích ra thừa số nguyên tố, và tìm UCLN của nhiều số nguyên nhanh hơn. Kỹ thuật này khắc phục điểm yếu của những kỹ thuật khác. Bài toán tìm bội chung nhỏ nhất là bài toán luôn đi với bài toán tìm UCLN, tuy nhiên trong luận văn này chúng tôi chỉ xem xét về UCLN. Kiểu nhiệm vụ TSD: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z. Các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ TSD của giáo trình này có số bị chia rất lớn được biểu diễn dưới dạy lũy thừa. Vì thế kỹ thuật giải phải huy động các định lý đồng dư. Ví dụ trang 60 Tìm số dư phép chia (530 + 50)30 cho 24 Giải 52  1(mod 24) 530  1(mod 24) 50  2(mod 24), do đó 530 + 50 3(mod 24) và (530 + 50)30 330(mod 24) [...] Vì (530 + 50)30 9 (mod 24) nên số dư phép chia (530 + 50)30 cho 24 là 9. Kỹ thuật SD : Dùng quan hệ đồng dư cho từng số hạng, sử dụng các tính chất của đồng dư thức tìm số dư của phép chia. Cộng nghệ SD : Định nghĩa quan hệ đồng dư, tính chất quan hệ đồng dư. Số dư có vai trò quan trọng trong một số bài toán của số học hay tin học vì vậy trong kiểu nhiệm vụ này giáo trình thường huy động các đinh lý sau. 1. Sử dụng định lý Fermat dạng: Nếu p là nguyên tố và (a, p) = 1 thì: ap – 1  1 (mod p) 2. Theo định lý Euler, (a, m) = 1 thì 1)( ma (mod m)  1)( mka  (mod m) rmkr aa  )( (mod m) (rN*) nói theo cách khác, nếu n, r N và n r (mod )(m ) thì an ar (mod m) Kiểu nhiệm vụ TNNPT: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c. Ví dụ trang 103: Giải phương trình: 53x + 32y = 14 Vì (53, 32)= 1 nên phương trình có nghiệm Theo thuật toán Euclide, ta tìm được các số u = - 3 và v = 5: 53.( - 3) + 32.5 = 1 53.( - 42) + 32. 70 = 14 Vậy ( - 42, 70) là một nghiệm của phương trình và họ tất cả các nghiệm của phương trình là: Zt ty tx       5370 3242 Kỹ thuật NNPT : + Sử dụng thuật toán Euclide tìm UCLN(a, b) = D. + Tìm số u, v thỏa đẳng thức: au + bv = D. + Một nghiệm của phương trình là: x0 = D cu ; y0 = D cv họ nghiệm của phương trình là: Zt t D a yy t D b xx          0 0 Công nghệ NNPT : + Định lý về phép chia có dư + Các tính chất về UCLN. Định lý: “ Nếu D là ƯCLN của hai số a, b thì tồn tại các số nguyên u, v sao cho D = au + bv” + Phương trình đồng dư Ngoài ra phương trình vô định còn một số kỹ thuật giải khác như kỹ thuật áp dụng định lý Euler: “Cho số tự nhiên m > 1 và số nguyên a sao cho (a, m) = 1 khi đó 1)( ma (mod m)”. Giáo trình [a] còn đưa vào kỹ thuật dùng phép biến đổi đưa về một ẩn có hệ số bằng 1 để giải phương trình này. Kết luận Phép chia có dư được định nghĩa đối với tập hợp số tự nhiên sau đó định nghĩa trong tập hợp số nguyên. Tuy nhiên trước khi nêu định nghĩa phép chia có dư thì [a] đưa vào định lý về phép chia có dư để làm cơ sở. Trong chương I, phép chia hết và phép chia có dư được định nghĩa tách rời nhau nhưng định nghĩa phép chia có dư vẫn bao hàm phép chia hết. Đặc trưng của số dư là một số nguyên không âm bé hơn số chia. Nghĩa của phép chia trong phần trình bày của [a] là phép toán ngược của phép nhân. Nghĩa của phép chia có dư là phép trừ liên tiếp chúng tôi nhận thấy nó không được trình bày tường minh trong [a], qua phân tích trên ta thấy tư tưởng này ngầm ẩn trong phần chứng minh định lý cơ bản với trường hợp a là số nguyên âm. Phép chia có dư là phần lý thuyết cơ sở của giáo trình số học này. Nên khái niệm phép chia có dư xuất hiện trong vai trò công cụ nghiên cứu một số khái niệm khác như UCLN, quan hệ đồng dư, giải phương trình vô định ...Một trong những ứng dụng nổi bậc của phép chia có dư là thuật toán Euclide, và chính thuật toán này cho ta công cụ giải quyết nhiều bài toán của số học. Phép chia có dư được sử dụng như một yếu tố công nghệ để giải quyết các nhiệm vụ sau: TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g. TCH: Chứng minh rằng: P(n)a, *, NaZn  . TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên. TSD: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z. TNNPT: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c. Ta có thể xem TCH là một trường hợp riêng của TSD. Như vậy, giáo trình [a] chỉ đề cập đến vành số nguyên, và thực hiện phép chia có dư trong tập hợp số nguyên. 2. Phép chia có dư trong giáo trình [b] – Toán rời rạc 2.1 Phép chia có dư với vai trò là đối tượng Trong giáo trình này, các phép toán được xét trong tập hợp số nguyên. Phép chia được định nghĩa trên tập số nguyên và hình thức tương tự như trong [a]. Để diễn đạt cho mối quan hệ chia hết thì [b] cũng đưa vào ngôn ngữ “bội” và “ước”. Cùng với các tính chất chia hết [b] đã đưa ra định nghĩa về số nguyên tố, hợp số và nêu định lý về sự phân tích số nguyên dương ra thừa số nguyên tố. Phép chia có dư trong [b] được gọi là thuật toán chia, trước hết định lý về phép chia có dư ở trang 155 như sau: “Cho a là một số nguyên và d là một số nguyên dương. Khi đó tồn tại các số q và r duy nhất, với 0 r < d, sao cho a = dq + r”. Qua định lý này chúng tôi nhận thấy có sự khác biệt với định lý trong [a] là số chia thuộc tập số nguyên dương. Trong biểu thức 0 r < d không còn giá trị tuyệt đối. Cách trình bày định lý này đã loại trường hợp d < 0, nhưng điều này không làm mất tính tổng quát của định lý vì dựa vào qui tắc dấu ta có thể chuyển dấu âm từ số chia d lên số bị chia a. Dựa vào định lý này bằng cách qui ước gọi tên các kí hiệu mà [b] có thuật toán chia như sau: “Trong đẳng thức được cho trong thuật toán chia, d được gọi là số chia, a được gọi là số bị chia, q được gọi là thương số và r được gọi là số dư”[ trang 156] Giáo trình đã nêu hai ví dụ minh họa trang 156: 1. Xác định thương số và số dư khi chia 101 cho 11. 101 = 11.9 + 2. vậy thương số của phép chia 101 cho 11 là 9 và số dư là 2. 2. Xác định thương số và số dư của phép chia ( - 11) cho 3. - 11 = 3(-4) + 1 do đó, thương số và số dư của phép chia ( - 11) cho 3 là -4 và số dư là 1. Chú ý rằng số dư không thể âm, do đó số dư trong ví dụ trên không thể là (-2), mặc dù: 11 = 3( - 3) – 2 vì r = - 2 không thỏa mãn 0 < r < 3. Thông qua hai ví trên [b] đã nêu hai trường hợp phép chia có dư, với cách giải thích ví dụ thứ hai ta có thể thấy đây cũng ngầm ẩn xem phép chia có dư là phép trừ liên tiếp. Phép chia có dư cũng thực hiện trong tập hợp số nguyên và đặc trưng của số dư vẫn là một số nguyên không âm và bé hơn số chia. 2.2 Phép chia có dư với vai trò là công cụ. Có thể thấy trong [b] phép chia có dư cũng được đề cập trong bài tìm ước chung lớn nhất, số học đồng dư, số nguyên và thuật toán. Trong [b] vai trò của số dư được quan tâm nhiều hơn vì những ứng dụng của nó trong các lĩnh vực như: dùng các đồng dư để gán các vị trí của bộ nhớ cho các hồ sơ, hệ thông mật mã dựa trên số học đồng dư. Trong bài “Ước số chung lớn nhất” các kỹ thuật tìm UCLN không có gì thay đổi so với [a]. Với bài số học đồng dư thì [b] có đưa vào định nghĩa ở trang 159: “Cho a là một số nguyên và m là một số nguyên dương. Khi đó kí hiệu a mod m là số dư khi chia a cho m”. Đây có thể coi là một cách gọi tên khác của số dư trong phép chia có dư. Và sau đó [b] cũng định nghĩa quan hệ đồng dư và nêu các tính chất của nó. Thuật toán Euclide được giới thiệu trong bài “Số nguyên và thuật toán” trước khi giới thiệu toán [b] đưa ra bổ đề “Cho a = bq + r, trong đó a, b, q và r là các số nguyên khi đó : ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r)”. Ta có chứng minh: Giả sử d là ước số chung của a và b. Từ đó suy ra a – bq = r chia hết cho d. Do đó mọi ước chung của a và b cũng là ước chung của b và r. Tương tự, giả sử b là ước số chung của b và r. khi đó bq + r = a cũng chia hết cho d. Do đó mọi ước chung của b và r cũng là ước chung của a và b. Do đó ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r). Từ chứng minh trên chúng tôi nhận thấy pccd được ghi dưới dạng “a – bq = r” nêu nghĩa của pccd là phép trừ liên tiếp cho tới khi còn một số nhỏ hơn số chia. Chứng minh bổ đề trên dựa vào tính chất chia hết của một tổng và tính chất của ước số chung. Thuật toán Euclide được nêu ra và [b] cũng chỉ rõ điều kiện dừng của thuật toán khi r = 0. Trong [b] nêu một chương trình sử dụng máy tính điển tử tìm UCLN bằng thuật toán Euclide ở trang 172 như sau: Procedure ƯCLN(a,b: positive integers) x := a y := b while y 0 begin r := x mod y x := y y := r end {ƯCLN(a,b) là x} Trong phần “Biểu diễn các số nguyên” ta gặp dạng bài toán chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g mà trong [b] có tên gọi khai triển cơ số b của của một số nguyên dư._.ơng n. Một chương trình máy tính điển tử giải bài toán này là: Procedure khai triển cơ số b(n: positive integers) q := n k := 0 while q 0 begin ak := q mod b q :=     b q k := k+1 end {khai triễn cơ số b của n là (ak-1.....a1a0)b} [trang 175] Trong giáo trình [b] đã bổ sung vào các kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ bằng MTĐT. Tổ chức toán học gắn liền với phép chia có dư TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g. TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên. TSD : Tìm số dư trong phép chia có dư trong vành Z. Trong kiểu nhiệm vụ TSD các số nguyên được đưa ra khá đơn giản không có dạng lũy thừa như trong [a] vì vậy kỹ thuật của TSD chỉ sử dụng công thức r = a – bq. Các kiểu nhiệm vụ TDCS, TUCLN các kỹ thuật như trong [a], ngoài ra còn có kỹ thuật sử dụng ngôn ngữ lập trình của MTĐT để giải quyết bài toán. Cũng như giáo trình [a], giáo trình [b] chỉ trình bày phép chia có dư trong vành Z. Mối liên hệ giữa phép chia có dư với phép trừ được giáo trình [b] giới thiệu rõ hơn giáo trình [a]. 3. Phép chia có dư trong giáo trình [c] – Đại số đại cương Đối với giáo trình [c], chúng tôi không phân tích phép chia có dư trong vành Z. Vì điểm khác biệt lớn so với hai giáo Số học và Toán rời rạc đã phân tích là sự khái quát phép chia có dư trong một vành Euclide bất kì. Phân tích vành Euclide sẽ làm cơ sở toán học cho phép chúng tôi giới thiệu phép chia có dư trong vành Dn, tập hợp các số thập phân có n chữ số thập phân sau dấu phẩy, xuất hiện trong chương trình và SGK phổ thông. 3.1. Phép chia có dư trong vành Euclide Trang 141 bài “Vành Ơclit (Euclide)” mô tả cấu trúc đại số trong đó có phép chia có dư được nêu trong một vành tổng quát hơn vành Z đã xét trong các giáo trình [a] và [b]. “Định nghĩa: Giả sử A là một miền nguyên, A* là tập hợp các phần tử khác 0 của A. Miền nguyên A cùng với ánh xạ (gọi là ánh xạ Ơclit) NA *: từ A* đến tập hợp số tự nhiên N thoả mãn các tính chất: i. Nếu b\ a và a  0 thì  (b )  (a); ii. Với hai phần tử a và b tuỳ ý của A, b  0, có q và r thuộc A sao cho a = bq + r và  (r) < (b) nếu r  0; gọi là một vành Ơclit” Ví dụ: 1) Vành số nguyên Z cùng với ánh xạ:  : Z*  N n  |n| là một vành euclide. 2) Vành đa thức K[X], với K là một trường là một vành euclide với :  : K[X]* N f(x)  (f) = degf. Vành euclide là một vành chính và do đó vành này thoả mãn điều kiện có UCLN, phép chia euclide cho phép tìm ra UCLN đó. Điều này dựa trên bổ đề: “Giả sử A là một vành chính, a, b, q, r là những phần tử của A thoả mãn quan hệ a = bq + r Thế thì ước chung lớn nhất của a và b là ước chung lớn nhất của b và r” Vậy cách tìm ước chung lớn nhất bằng thuật toán euclide có cơ sở là bổ đề này. 3.2. Vành Dn Vành Dn, tập hợp các số thập phân có n chữ số thập phân sau dấu phẩy, là một vành Euclide. Như vậy ta có tính chất sau : Trong vành Dn (n  N), cho trước hai số thập phân a, b với b  0, tồn tại duy nhất cặp (q,r) sao cho a = bq + r. Vành Z chính là một trường hợp của vành Dn, vành D0. Từ đó, chúng tôi mô hình hóa kiểu nhiệm vụ TDn như sau : Trong vành Dn (n  N), cho trước hai số thập phân a, b với b 0, tìm thương q và số dư r trong phép chia có dư a cho b. Như vậy chúng ta có thể xem các kiểu nhiệm vụ TSD, TCH trong vành Z là những kiểu nhiệm vụ con của TDn. Về mặt toán học, nếu a, b  N, a/b là số thập phân thì sẽ tồn tại một q  Dn sao cho a = bq (phép chia hết hay là dư 0). Vành Z chính là D0. Vì vậy ta có thể có một phép chia có dư trong Z nhưng là phép chia hết trong Dn nào đó, chẳng hạn: a =12 và b = 5 ta có phép chia có dư trong Z với số dư là 2; tuy nhiên trong vành D1 thì đây là phép chia hết 12 = 5 x 2,4. 4. Kết luận của chương I Trong chương I, chúng tôi đã làm rõ một số cách trình bày về pccd và các khái niệm có liên quan trong các giáo trình toán ở bậc đại học. Sau đây là các kết quả chính của phân tích trong chương I.  Pccd với vai trò là một đối tượng: Pccd được định nghĩa trong tập hợp số nguyên, trước khi định nghĩa về pccd thì cả hai giáo trình đều nêu định lý về pccd. Tuy nhiên định lý trong giáo trình [b] phát biểu với số bị chia là số nguyên, số chia là số nguyên dương, khác với [a] cả số chia và số bị chia đều thuộc tập hợp số nguyên và b  0. Điều này dẫn đến biểu thức số dư có sự khác biệt [a] chứa dấu giá trị tuyệt đối (0  r < |b|) và [b] không có giá trị tuyệt đối (0  r < b). Theo chúng tôi định nghĩa trong [b] thuận tiện hơn và không mất tính tổng quát cho việc phát biểu pccd trong tập hợp số nguyên. Cả hai giáo trình đều không nêu tường minh ý nghĩa của pccd là phép trừ liên tiếp. Nhưng nghĩa của pccd là phép trừ liên tiếp ngầm ẩn trong cách trình bày chứng minh định lý trong [a] và trong ví dụ trong [b]. Yếu tố đặc trưng của pccd là số dư không được nhấn mạnh. Giáo trình [c] khái quát về pccd trong một vành euclide bất kì bao gồm phép chia có dư trong vành Z. Giáo trình [a] và [b] đã trình bày pccd trong Z. Hình thức biểu diễn của pccd trong các giáo trình đại học là: a = bq + r với 0 br  , trong đó a, b, q, r thuộc vành A (Z hoặc vành euclide bất kì ) và b  0. Số dư xuất hiện tường minh trong biểu thức. Đặt trưng của số dư trong pccd đã được nêu rõ: r = 0 thì đây là phép chia hết, khi 0< r < b thì là phép chia có dư. Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư. Trong vành số nguyên phép chia hết không khép kín, khi phép chia có dư được đưa vào thì phép chia được thực hiện với mọi số nguyên.  Pccd với vai trò công cụ: Pccd xuất hiện trong vai trò công cụ liên quan đến những khái niệm sau đây. - Ước chung lớn nhất - Quan hệ đồng dư Đây là hai khái niệm nổi bật nhất ứng dụng pccd. Và thuật toán Euclide là ứng dụng tiện ích nhất và lâu đời nhất của pccd. Thuật toán này có mặt trong kỹ thuật để giải quyết một số kiểu nhiệm vụ của những bài toán liên quan đến pccd. Vành Dn là vành euclide, vành Z là D0 dựa vào sự khái quát này mà chúng tôi mô hình hóa kiểu nhiệm vụ TDn. Các kiểu nhiệm vụ xoay quanh đối tượng pccd trong các giáo trình đại học đã nghiên cứu có thể chia thành hai nhóm như sau. - Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trò đối tượng nghiên cứu: TSD: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z TCH: Chứng minh rằng: P(n)a, *, NaZn  . Như chúng tôi đã mô hình ở trên, các kiểu nhiệm vụ này là những trường hợp đặc biệt của TDn (Tìm thương và số dư của phép chia có dư trong vành Dn). - Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trò công cụ nghiên cứu : TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g. TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên. TNNPT: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c. Những kết quả đã đạt được ở chương I sẽ là cơ sở cho việc phân tích SGK mà chúng tôi sẽ thực hiện trong chương 2 tiếp theo của luận văn. Chương II PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY Mục đích của chương này là làm rõ mối quan hệ thể chế với phép chia có dư. Cụ thể hơn chúng tôi nhắm tới việc trả lời các câu hỏi sau:  Những tổ chức toán học nào được xây dựng xung quanh khái niệm này? Đặc biệt, phép chia có dư xuất hiện trong thể chế dưới những hình thức biểu diễn nào? Đâu là những ràng buộc thể chế đối với số dư trong các hình thức biểu diễn ấy?  Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy – học phép chia có dư ? Để trả lời những câu hỏi trên chúng tôi phân tích chương trình và SGK, cụ thể là SGK lớp 3, 4, 5 và SGK lớp 6, 7 hiện hành vì phép chia có dư được giảng dạy ở những lớp này. Những kết quả trong chương I là cơ sở tham chiếu đầu tiên để chúng tôi phân tích trong chương này 1. Thể chế tiểu học : 1.1.Phần bài học Phép chia có dư xuất hiện trong chương trình toán bậc tiểu học. Như vậy chúng tôi sẽ bắt đầu với chương trình và SGK tiểu học với sơ đồ sau: Trong chương trình này phép chia được học ở lớp 2 với bảng nhân và bảng chia 2, 3, 4, 5. Và ở lớp 3 giới thiệu các bảng nhân, bảng chia còn lại. Phép chia có dư học sinh được giới thiệu bắt đầu từ lớp 3 và tiếp tục nghiên cứu trong ở lớp 4. Khái niệm phép chia học sinh gặp lần đầu tiên ở lớp 2. Để rõ ràng hơn chúng tôi giới thiệu định nghĩa và những yêu cầu của chương trình đối với phép chia ở lớp 2. Phép chia đưa vào ở lớp 2, trong SGV lớp 2 trang 173 đã nêu mục tiêu của bài học là: “ Giúp học sinh: Bước đầu nhận biết phép chia trong mối quan hệ với phép nhân. Biết viết, đọc và tính kết quả của phép chia.” Và yêu cầu về trình độ chuẩn của toán lớp 2: học sinh phải thuộc bảng chia 2, 3, 4, 5 và biết chia nhẩm trong phạm vi các số đã học, chia số tròn chục cho số có một chữ số và nhận biết phép chia là phép toán ngược của phép toán nhân. Phép chia đưa vào sau khi học sinh đã học các bảng nhân. Phép chia (lớp 2) Phép chia hết và phép chia có dư (lớp 3, lớp 4) Phép chia có dư ( lớp 5) Bài “Phép chia” trong SGK lớp 2 trang 107 được trình bày như sau:  Ta có phép chia để tìm số phần, mỗi phần có 3 ô: 6 : 3 = 2. Đọc là sáu chia ba bằng hai. Viết là 6 : 3 = 2  Nhận xét: Như phần trình bày trên, nghĩa của phép chia được nêu trong bài học này là “phép chia là sự phân phối bằng nhau các nhóm, mỗi nhóm có hơn một đối tượng” luận văn của thạc sĩ Phạm Ngọc Bảo - 2002. Phép chia là tìm số đối tượng trong mỗi nhóm hay tìm số nhóm chứa các đối tượng. Phần nhận xét của SGK, phép chia còn mang nghĩa là phép toán ngược của phép nhân: muốn tìm kết quả của phép chia cần dựa vào phép nhân tương ứng. Mối liên hệ giữa phép nhân và phép chia đã thể hiện tường minh qua ví dụ giới thiệu trong bài. Như vậy ở lớp 2 phép chia giới thiệu với nghĩa phân chia thành các phần bằng nhau và nghĩa nổi bật vẫn là phép chia là phép toán ngược của phép toán nhân. Tương tự như trong [a] phép chia được đưa vào chương trình đầu tiên sau đó mới phân chia phép chia có dư với phép chia hết.  Phân tích chương trình và SGK lớp 3 Tiếp theo ở lớp 3, phép chia hết và phép chia có dư đưa vào giảng dạy với mục tiêu được SGV3 trang 7 nêu: “Thực hiện phép chia trong phạm vi 100.000, biết thực hiện phép chia số có đến năm chữ số cho số có một chữ số (phép chia hết và phép chia có dư).” 3  2 = 6 6 : 3 = 2” 6 : 2 = 3 “6 ô chia làm hai phần bằng nhau mỗi phần có 3 ô.  Ta có phép chia để tìm số ô trong mỗi phần: 6 : 2 = 3. Đọc là sáu chia hai bằng ba. Dấu : gọi là dấu chia. Viết là 6 : 2 = 3 3  2 = 6 Trong phần phân tích thể chế, ngoài việc phân tích nghĩa của phép chia hết và phép chia có dư, chúng tôi quan tâm đến các hình thức xuất hiện của phép chia có dư. Thuật toán bằng sơ đồ của phép chia được SGK3 trang 27 giới thiệu qua bài: “Chia số có 2 chữ số cho số có một chữ số” như sau: “96 : 3 = ? Đặt tính rồi tính như sau 96 : 3 = .....” Bài này đưa thuật toán chia bằng cách gọi tên “đặt tính” là dùng sơ đồ chia và thực hiện liên tiếp các phép chia để tìm kết quả. Thuật toán chia thực hiện phép chia liên tiếp cho đến khi r = 0 thì phép chia dừng lại. SGK đưa thuật toán chia này vào để chuẩn bị giới thiệu về phép chia hết và phép chia có dư. Ta có thể gọi thuật toán chia được miêu tả bằng sơ đồ: Trong đó thành phần của phép chia và các bước thực hiện phép chia đã thể hiện rõ ràng. Khi thuật toán chia xuất hiện phép chia đã vượt khỏi phạm vi bảng chia. Phép chia có dư chính thức được đưa vào trong bài “Chia hết và phép chia có dư”. Khái niệm này được trình bày trong SGK3 trang 29 như sau: a r b q 2 9 1 8 4 3 96 06 9 32 6 0 2 8 0 8 4  8 chia 2 được 4.  4 nhân 2 bằng 8; 8 trừ 8 bằng 0. Ta nói: 8 : 2 là phép chia hết. Ta viết: 8 : 2 = 4. Đọc là tám chia hai bằng bốn.  9 chia 2 được 4, viết 4.  4 nhân 2 bằng 8; 9 trừ 8 bằng 1. Ta nói: 9 : 2 là phép chia có dư, 1 là số dư Ta viết: 9 : 2 = 4 (dư 1) Đọc là: chín chia hai bằng bốn dư 1. Chú ý: Số dư bé hơn số chia”  9 chia 3 được 3, viết 3. 3 nhân 3 bằng 9; 9 trừ 9 bằng 0  Hạ 6; 6 chia 3 được 2, viết 2 2 nhân 3 bằng 6; 6 trừ 6 bằng 0. Phép chia có dư giới thiệu ở tiểu học chia làm hai trường hợp riêng biệt (tức là phân biệt trường hợp r = 0 và r 0 và bé hơn số chia). Phép chia hết khi r = 0 và phép chia có dư khi r 0 và số dư bé hơn số chia. Phép chia hết và phép chia có dư thực hiện bằng sơ đồ chia và ghi kết quả dưới dạng a : b = q hoặc a : b = q (dư r). Thuật toán chia là công cụ giới thiệu phép chia hết và phép chia có dư. Cách viết chính thức của phép chia có dư là a : b = q (dư r). Phép chia hết được thể hiện bởi một đẳng thức, trong biểu thức phép chia có dư “ = ” ở đây không mang nghĩa là một đẳng thức. Phép chia hết và phép chia có dư được đưa vào lớp 3 với hình thức mô tả các bước thực hành tìm thương và số dư. Các thành phần của phép chia đều thuộc số tự nhiên. Số dư là đặc trưng cho phép phân biệt phép chia hết r = 0 và phép chia có dư r 0 và r bé hơn số chia.  Phân tích chương trình và SGK lớp 4 Phép chia hết và phép chia có dư tiếp tục được hoàn thiện trong chương trình lớp 4. Học sinh sử dụng sơ đồ chia thực hiện phép chia số có 6 chữ số cho số có 3 chữ số (chia hết và phép chia có dư). Phép chia được thực hiện liên tiếp cho đến khi số dư bằng 0 hoặc số dư bé hơn số chia. Phép chia hết và phép chia có dư được giới thiệu trong tập hợp số tự nhiên vì vậy các thành phần a, b, c, r đều thuộc tập hợp số tự nhiên. Đặc trưng của phép chia hết và phép chia có dư được nhấn mạnh ở bậc tiểu học là phép chia hết khi r = 0 và phép chia có dư khi r 0 và r bé hơn số chia. Phép chia hết và phép chia có dư tách làm hai trường hợp khác nhau, điều này không giống như trong [a], [b] xem phép chia hết là trường hợp riêng của phép chia có dư. Khi đưa phép chia có dư vào chương trình thì phép chia mở rộng trên tập hợp số tự nhiên. Một trong những ứng dụng của phép chia có dư giới thiệu ở lớp 4 là dấu hiệu chia hết cho 2, 5 và 9, 3. Tiếp theo, phép chia có dư trong mối liên hệ với khái niệm phân số b a . Trong bài: “Phân số và phép chia số tự nhiên”SGK4 trang 108 có nhận xét: “Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử số là số bị chia và mẫu số là số chia. chẳng hạn 8:4 = 4 8 ; 3: 4 = 4 3 ; 5:5 = 5 5 ”. Phân số b a xuất hiện với nghĩa là thương của một phép chia. Trong đó phép chia hết thì phân số rút gọn thành một số tự nhiên, phép chia có dư là một phân số b a . Đây là hình thức diễn đạt khác của thương số a chia cho b. Tuy nhiên phân số b a được sử dụng trong trường hợp a không chia hết cho b. Khai triển phân số b a không được nhắc đến ở lớp 4.  Phân tích chương trình và SGK lớp 5 Phép chia có dư xuất hiện trong chương trình thông qua việc hình thành khái niệm hỗn số. Bên cạnh đó chúng tôi xem xét một số ứng dụng mà phép chia có dư trong việc giảng dạy phép chia trong tập hợp số thập phân. Hỗn số được định nghĩa trong trong bài “Hỗn số” SGK5 trang 12. Hỗn số được viết dưới dạng r q b trong đó q được gọi là phần nguyên và b r là phần phân số và phân số bao giờ cũng bé hơn đơn vị. Khi chia a cho b tìm thương q và số dư r để ta có kết quả b a = r q b . Hỗn số r q b các thành phần q, r , b, đều thuộc tập hợp số tự nhiên. Dạng viết hỗn số là phép chia có dư chỉ thực hiện trong tập số nguyên. Sau khi kiến thức về hỗn số và phân số thập phân được giới thiệu. Cùng với bài toán về đơn vị đo và phân số thập phân, số thập phân được đưa vào giảng dạy. Chúng tôi chú ý đến phép chia các số thập phân với các đề mục sau: Chia số thập phân cho một số tự nhiên. Chia một số thập phân cho 10, 100, 10000. Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà thương tìm được là một số thập phân. Chia một số thập phân cho một số thập phân. Trong bài “Chia một số thập phân cho một số tự nhiên” SGK5 trang 63 có đoạn: “.....Ta phải thực hiện phép chia: 8,4 : 4 = ? (m) Ta có 8,4 m = 84 dm 21(dm) = 2,1 m Vậy : 8,4 : 4 = 2,1 (m). Thông thường ta đặt tính rồi làm như sau: ............. Muốn chia một số thập phân cho một số tự nhiên ta làm như sau: - Chia phần nguyên của số bị chia cho số chia. 4 8,4 0 0 4 2,1 (m) 4 84 0 04 21(dm)  8 chia 4 được 2, viết 2; 2 nhân 4 bằng 8; 8 trừ 8 bằng 0, viết 0.  Viết dấu phẩy vào bên phải 2.  Hạ 4 ; 4 chia cho 4 được 1, viết 1; 1 nhân 4 bằng 4 ; 4 trừ 4 bằng 0, viết 0. - Viết dấu phẩy vào bên phải thương đã tìm được trước khi lấy chữ số đầu tiên ở phần thập phân của số bị chia để tiếp tục thực hiện phép chia. - Tiếp tục chia với từng chữ số ở phần thập phân của số bị chia.” Dựa trên kỹ thuật chia của phép chia có dư trong tập hợp số tự nhiên, khi chuyển đổi đơn vị, các đại lượng trở thành số thập phân và thực hiện phép chia có dư trong Dn. Kỹ thuật chia số thập phân cho số tự nhiên thực hiện như đối với số tự nhiên. Phép chia các số thập phân được thực hiện bằng sơ đồ chia. Trong bài “Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà thương tìm được làm một số thập phân” trang 67: “...Ví dụ 2: 43: 52 = ? Phép chia này có số bị chia 43 bé hơn số chia 52, ta có thể làm như sau: 43,0 1 40 36 52 0,82 Khi chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà còn dư, ta tiếp tục chia như sau: - Viết dấu phẩy vào bên phải số thương. - Viết thêm vào bên phải số dư một chữ số 0 rồi chia tiếp. - Nếu còn dư nữa, ta lại viết thêm vào bên phải số dư mới một chữ số 0 rồi tiếp tục chia, và cứ làm như thế mãi.” Với câu “Khi chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà còn dư ,ta tiếp tục chia như sau:...” phép chia có kết quả là số thập phân là phép chia có dư (theo nghĩa mà học sinh đã học). Liệu học sinh có chú ý đến điều này hay không? Một điều đáng chú ý là số dư thể hiện trong sơ đồ dư vẫn là số tự nhiên. Điều này có là một chướng ngại cho học sinh khi tìm số dư trong phép chia các số thập phân này? Sơ đồ chia cùng với kỹ thuật thực hiện phép chia có dư được ứng dụng để thực hiện phép chia trong tập hợp số thập phân. Thể chế không làm rõ sự khác biệt giữa phép chia có dư thực hiện trong tập hợp số tự nhiên và phép chia có dư thực hiện trong tập hợp số thập phân. Tuy nhiên trong bài tổng kết cuối chương trình pccd được ôn lại và pccd trên Dn không được đề cập đến. Phép chia có dư được nhắc đến trong phần ôn tập của SGK lớp 5 trang 163: “Phép chia hết a : b = c Phép chia có dư a : b = c (dư r) số dư phải bé hơn số chia  Chuyển 43 thành 43,0.  Đặt tính rồi tính như phép chia 43,0 : 52 (chia số thập phân cho số tự nhiên) Trong phần chú ý: Phép chia hết: a : b = c, ta có a = c b (b khác 0) Trong phép chia có dư: a : b = c (dư r), ta có a = c b + r (0 < r < b)” Trong đó ta thấy xuất hiện biểu thức a = c b + r (0 < r < b) như là phép toán ngược kiểm tra kết quả của phép chia có dư. Ở lớp 5, phép chia có dư không được nhắc đến nhưng kỹ thuật thực hiện phép chia có dư được sử dụng để thực hiện phép chia giữa các số thập phân, các số tự nhiên hay số thập phân và số tự nhiên có kết quả là số thập phân. Và các tên gọi của thành phần trong phép chia không có gì thay đổi. Từ đó chúng tôi đặt ra câu hỏi: Quan niệm của học sinh về phép chia hết và phép chia có dư có gì thay đổi khi các em học chương trình lớp 5? Dựa trên cơ sở phân tích chương trình và SGK chúng tôi xem xét tổ chức toán học liên quan đến phép 1.2. Phần bài tập Tiếp theo chúng tôi có nghiên cứu sơ lược các tổ chức toán học liên quan đến phép chia có dư và dấu hiệu chia hết được trình bày ở bậc tiểu học. Phép chia hết và phép chia có dư được giảng dạy chính thức ở lớp 3 và lớp 4 và kỹ thuật thực hiện phép chia ứng dụng ở lớp 5. Chúng tôi xem xét các tổ chức toán học là vết của kiểu nhiệm vụ “TDn: Trong vành Dn (n  N), cho trước hai số thập phân a, b với b 0, tìm thương q và số dư r trong phép chia a cho b”. Các TCTH trong SGK3 và SGK4 Kiểu nhiệm vụ Ví dụ Kỹ thuật Đánh giá TTPPC: Tìm các thành phần của phép chia (Vết của TDn) Ví dụ: bài 3 SGK2 trang 129: Viết số thích hợp vào ô trống: Bài 3 SGK3 trang 164, . Số ? Số bị chia Số chia thương Số dư 15 725 3 33 272 4 42 737 6 Bài 1 SGK4 trang 89. Đặt tính rồi tính: a) 54322 : 346; 25275 : 108 b)106141:413; 123220:404 Ví dụ: bài 2 SGK4 trang 181 Người ta xếp đều 240 bộ bàn ghế vào 15 phòng học. Hỏi mỗi phòng xếp được bao nhiêu bộ bàn ghế? Số bị chia 10 .. 21 Số chia 2 .. 3 3 Thương .. 3 CNTPPC . : Chia nhẩm dựa vào bảng chia từ 2 đến 9, hoặc chia cho các số tròn chục, tròn trăm.. TTTPPC . : kỹ thuật sắp xếp các số theo mẫu. Thực hiện phép chia liên tiếp khi r =0 hay r < b thì dừng lại. - Một số bài toán lời văn với chủ đề như sau: Giảm đi một số lần So sánh số lớn gấp mấy lần số bé So sánh số bé bằng 1 phần mấy số lớn Bài toán liên quan rút về đơn vị a r b c Kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ này được nêu rõ ràng. Phép chia hết và phép chia có dư các số tự nhiên được thực hiện trong phạm vi số có 6 chữ số cho số có 3 chữ số. Hình thức cho kiểu nhiệm vụ này “cho bảng” hoặc yêu cầu “tính nhẩm” hoặc “đặt tính rồi tính”. Những bài toán dạng lời văn học sinh chủ yếu sắp bài toán tìm thương của phép chia. TTX: Tìm x (Vết của TDn) Ví dụ bài 2 SGK3 trang 39. Tìm x: a) 12 : x = 2; b) 42 : x = 6; ..... g) x 7 = 70. TX : Tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết. Tìm số chia chưa biết trong phép chia hết ta lấy số bị chia chia cho thương. Phép chia trong kiểu nhiệm vụ này đều là phép chia hết. TTGTBT: Tính giá trị biểu Ví dụ bài 2 SGK4 trang 83. Tính giá trị biểu thức: 46857 + 3444 : 28 TGTBT :Thực hiện các tính toán theo qui tắc nhân chia trước cộng Các bài tập trong kiểu nhiệm vụ này đều là phép chia hết. thức (Vết của TDn) 8064 : 64  37 trừ sau khi không có dấu ngoặc. TGTNN.LN: Tìm GTNN,GT LN Ví dụ bài 2 SGK4 trang 28. Người ta đóng gói 3500 bút chì theo từng tá ( mỗi tá gồm 12 cái). Hỏi đóng gói được nhiều nhất bao nhiêu tá bút chì và còn thừa mấy cái? LNGTNN. :Thực hiện phép chia có dư Thương là câu trả lời của bài toán và số dư là phần còn thừa lại. Một ý nghĩa của (q, r) trong N. Các bài tập trong kiểu nhiệm vụ này đều là phép chia có dư. Bảng 2.1 Thống kê về số lượng kiểu nhiệm vụ trong SGK3 và SGK4 Kiểu nhiệm vụ Số lượng Tỉ lệ Vết của TDn trong tập N TTPPC 80 75,5% 94,4% TTX 12 11,3% TTGTBT 8 7.6% Ứng dụng của pccd TGTNN.LN 6 5,6% Tổng cộng 106 100% Dựa vào bảng thống kê chúng tôi có nhận xét như sau: - Gần như tất cả các nhiệm vụ dựa trên việc thực hiện phép chia trong N, và nắm đến kỹ năng tính toán. Chỉ có 6/106 nhiệm vụ (5,6%) đề cập đến ý nghĩa của số dư. - Chúng tôi nhận thấy vai trò của số dư đối với các kiểu nhiệm vụ trong SGK3 và SGK4 rất mờ nhạt. Chúng tôi rút ra hợp đồng: R1: Số dư của phép chia có dư là một số tự nhiên r và r 0 và r < b. R2: Trong phép chia a cho b thì số bị chia a lớn hơn số chia b Tiếp theo chúng tôi sẽ nghiên cứu các kiểu nhiệm vụ trong SGK5, phép chia có dư ở lớp 5 được vận dụng tường minh trong phần bài học chuyển phân số thành hỗn số. Mặt khác, kỹ thuật chia lại được sử dụng trong phép chia các số thập phân với số thập phân, số tự nhiên với số thập phân và số tự nhiên với số tự nhiên có kết quả là số thập phân. Các TCTH trong SGK5 Kiểu nhiệm vụ Ví dụ Kỹ thuật Đánh giá TTT: Tìm thương (Vết của TDn) Ví dụ: bài 1 SGK5 trang 64: Đặt tính rồi tính: a) 5,28:4 b) 95,2:68 c) 0,36:9 d) 75,52:32 Bài 3 SGK5 trang 64. Một người đi xem máy trong 3 giờ đi được 126,54km. Hỏi trung bình mỗi giờ người đó đi được bao nhiêu km? - CNTT . : Chia nhẩm chia cho các số tròn chục, tròn trăm.. - TTTT . : kỹ thuật sắp xếp các số theo sơ đồ chia rồi thực hiện phép chia tìm thương. Các phép chia đều là phép chia hết trong D2. TTX: Tìm x (Vết của TDn) Ví dụ bài 2 SGK5 trang 70. Tìm x: a) x 8,6 = 387 b) 9,5x = 399 TX :Tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết. Tìm số chia chưa biết trong phép chia hết ta lấy số bị chia chia cho thương. Các phép chia đều là phép chia hết trong D2. TTGTBT: Tính giá trị biểu thức (Vết của TDn) Ví dụ bài 1 SGK5 trang 68. Tính a) 5,9 : 2 + 13.06 b) 35,04 : 4 – 6,87 .. TGTBT :Thực hiện các tính toán theo qui tắc nhân chia trước cộng trừ sau khi không có dấu ngoặc. Các phép chia đều là phép chia hết trong D2. TGTNN.LN:Tìm GTLN. GTNN Ví dụ bài 3 SGK5 trang 71. May mỗi bộ quần áo hết 2,8m vải. Hỏi có 429,5m vải thì may được nhiều nhất bao nhiêu bộ như thế và còn thừa mấy mét vải? GTLN :Thực hiện phép chia có dư Thương là câu trả lời của bài toán và số dư là phần còn thừa lại. Thương trong dạng bài tập này là số nguyên dương. TPSTP.HS : Chuyển các phân số thập phân thành hỗn số. (Vết Ví dụ. bài 1 SGK5 trang 38. Chuyển các phân số thập phân sau thành hỗn số: HSPSTP. :Lấy tử số chia cho mẫu số Thương tìm được là phần nguyên của hỗn số. Hỗn số gồm phần nguyên kèm Đối với dạng bài tập này phép chia luôn là phép chia có dư (0 < r< b), a và b thuộc tập của TDn) . 100 605 ; 100 5608 ; 10 734 ; 10 162 theo một phân số có tử số là số dư, mẫu số là số chia. hợp các số nguyên dương. TTSD.PCSTP: Tìm số dư của phép chia các số thập phân. (Vết của TDn) Bài 2 SGK5 trang 64 Tìm số dư của phép chia TSD :Thực hiện phép chia số thập phân cho số tự nhiên + Chia phần nguyên của số bị chia cho số tự nhiên + Viết dấu phẩy vào bên phải thương rồi chia tiếp. + Thương tìm được là số thập phân. Trong thương có bao nhiêu số thập phân thì số dư chứa bấy nhiêu chữ số thập phân. Ta thấy biểu thức “1,24 18 + 0,12 = 22,44” đã xuất hiện dạng viết a = b.q + r, tuy nhiên đó là biểu thức kiểm tra phép chia . Nhưng qua đó chúng ta thấy ngầm ẩn dạng viết đại số của phép chia có dư. Số dư trong kiểu nhiệm vụ này đều không phải là số tự nhiên. TKTTP: Khai triển thập phân (vết của TDn) Ví dụ Bài 3 SGK5 trang 68. 2 3 18 ; ; 5 4 5 KTTP :Tìm thương là số thập phân bằng cách chia a cho b. Phép chia trong kiểu nhiệm vụ này là phép chia hết trong Dn (với n = 1,2) Bảng 2.2: Bảng thống kê về số lượng kiểu nhiệm vụ trong SGK5 Kiểu nhiệm vụ Số lượng Tỉ lệ Vết của TDn trên Z (D0) TPSTP.HS 1 1% 1% Vết của TDn trên Dn (n= 1, 2 ) TTT 57 62% 98% TTX 16 17,5% TTGTBT 8 8,7% TTSD.PCSTP. 6 6,5% 22,44 84 44 12 18 1,24 43,19 14 119 2,05 21 Trong phép chia này, thương là 1,24, số dư là 0,12 Thử lại: 1,24 18 + 0,12 = 22,44 TKTTP 3 3,3% Ứng dụng pccd TGTNN.LN 1 1% 1% Tổng cộng 92 100% Dựa vào bảng thống kê chúng tôi có những nhận xét sau: - Cũng như trong ở lớp 3 và lớp 4 kiểu bài tập rèn luyện tính toán tìm các thành phần của phép chia trên Dn (n=1,2) chiếm số lượng lớn: TTT, TTX, TTGTBT chiếm 88,2%. Các phép tính này thực hiện trong D2 là chủ yếu. Và các phép tính đều là chia hết trong Dn. Kiểu nhiệm vụ ứng dụng phép chia có dư xuất hiện rất ít (chỉ 1%). So với ở lớp 3 và lớp 4 xuất hiện kiểu nhiệm vụ mới TTSD.PCSTP, TKTTP. - Trong kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ TTSD.PCSTP, ta phải thực hiện liên tiếp các phép chia có dư. Nếu xét trong mọi vành Dn thì đây vẫn là phép chia có dư. Kiểu nhiệm vụ này sẽ được mở rộng trong kiểu nhiệm vụ viết một phân số dưới dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn ở đầu cấp II. Trong ví dụ nêu ra thuộc kiểu nhiệm vụ này trong bảng trên, SGK đã đề cập đến mối liên hệ giữa các thành phần của phép chia có dư a, b, q, r trong vành D2. Ta thấy công nghệ giải thích cho kiểu nhiệm vụ chưa được làm rõ. Số dư của phép chia là r10-n với n là số chữ số thập phân trong thương số. - Chỉ có 6 bài thuộc kiểu nhiệm vụ TTSD.PCSTP, và chiếm 6,5% số bài tập đề cập đến số dư là số thập phân. Tuy nhiên nhiệm vụ “thử lại: 1,24 18 + 0,12 = 22,44” trong bài toán tìm số dư của phép chia số thập phân không bắt buộc đối với học sinh. Qua bài toán này, mối quan hệ thể chế đối với phép chia có dư có thể sẽ thay đổi. Vậy câu hỏi đặt ra là quy tắc hợp đồng: “Số dư của phép chia có dư là một số tự nhiên r và r 0 và r < b”, còn tồn tại trong học sinh hay không? Chúng tôi sẽ tìm câu trả lời trong phần thực nghiệm chương III. - Kiểu nhiệm vụ TKTTP đưa phân số về số thập phân hữu hạn trong D1 hoặc D2. Số lượng kiểu nhiệm vụ này chỉ chiếm 3,3% nên vai trò của phép chia có dư trong khai triển thập phân một số hữu tỉ rất mờ nhạt. Khi phân tích chương trình chúng tôi nhận thấy, tuy trong phần bài học phép chia có dư chỉ giới hạn trong nửa nhóm Z+ nhưng trong thực hành có những kiểu nhiệm vụ mở rộng phép chia trong D+. Câu hỏi đặt ra : Khái niệm phép chia hết và phép chia có dư không được nói đến trong vành Dn. Học sinh có tính tới tập hợp mà pccd đang thực hiện không? Đặc trưng về số dư theo quan điểm của học sinh như thế nào? 1. 3 Kết luận Phép chia hết cũng như phép chia có dư được giới thiệu với kỹ thuật tìm thương và số dư. Xuyên suốt chương trình kỹ năng thực hiện phép chia được hoàn chỉnh qua các lớp. Cách thức thực hiện phép chia đầu tiên thông qua các bảng chia, sau đó thuật toán chia với các cách thực hiện phép chia không có ghi nhớ tới có ghi nhớ, từ phép chia trong phạm vi bảng chia cho đến việc thực hiện phép chia một số có 6 chữ số cho số 3 chữ số. Phép tính tìm các thành phần trong phép chia hết và phép chia có dư trên các số tự nhiên là mục tiêu của chương trình tiểu học. Phép chia hết và phép chia có dư không được định nghĩa chính thức trong chương trình tiểu học mà chỉ giới thiệu bằng._.” không nêu gì thêm và giải thích đó là phép chia có dư bằng cách nêu cách thực hiện phép chia. - Không có một bài nào đưa phép chia có dư dưới dạng đẳng thức a = bq + r. Điều này khẳng định mạnh mẽ định nghĩa phép chia dạng đẳng thức không sống trong học sinh. - Học sinh đưa phép toán chia dưới dạng phát biểu bài toán sau đó thực hiện phép chia và giải thích pccd dựa vào số dư r. Qua bài thực nghiệm, dạng viết hỗn số không xuất hiện. - Có nhiều trường hợp học sinh đưa số chia là 2, 3, 5, 9 để thực hiện giải thích phép chia bằng dấu hiệu chia hết. Đặc biệt tất cả các ví dụ của học sinh nêu ra hầu như có số bị chia lớn hơn số chia. Như vậy qui tắc R2: “Trong phép chia a cho b thì số bị chia a lớn hơn số chia b” tồn tại trong học sinh. + Giải thích của học sinh về phép chia có dư Bảng 3.2. Bảng thống kê lời giải thích cho câu 1 Các giải thích Số lần xuất hiện Tỉ lệ Số dư khác 0 hay số dư không phải là số 0 69 52,7% Kiểm tra kết quả: thế a, b, q, r vào biểu thức a = qb + r 12 9,2% Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5,9 15 11,5% Thương số là số thập phân 6 4,6% Không tìm được số x sao cho a.x = b hay bất đẳng thức 10 7,6% Các giải thích khác hoặc không giải thích 19 14,5% Tổng cộng 131 100% Giải thích của học sinh: - Số dư khác 0 chiếm 52,7% trong đó có giải thích: “Phép chia có dư là: khi ta chia một số cho một số khác thì đến một lúc ta được một số không chia hết cho số chia và số đó là số dư” A75. Đặc biệt có những giải thích: “Phép chia có dư là phép chia không hết” hay “Pccd vì số dư không là 0” A19 và A66. - Có 11,5% học sinh đưa ra số chia là số 2, 5, 3, 9 để dùng dấu hiệu chia hết giải thích cho phép chia có dư. - Có những bài học sinh không gọi số dư như A38: “Phép chia có dư là khi thực hiện xong ta luôn nhận được số bị chia nhỏ hơn số chia”. Điều này khẳng định đối với học sinh phép chia có dư chỉ giới hạn trong N. - Học sinh thực hiện phép chia và kiểm tra kết quả: thế a, b, q, r vào biểu thức a = qb + r. Không sử dụng biểu thức này như định nghĩa phép chia có dư. Như vậy định nghĩa tổng quát của phép chia có dư không sống được trong học sinh. Biểu thức này đối với học sinh như biểu thức kiểm tra kết quả. - Có 4,6% pccd thực hiện trên tập Dn, khi đó lời giải thích pccd dựa vào thương số là số thập phân. Trong các ví dụ đưa ra, hầu như cặp số a và b đều thuộc tập hợp số tự nhiên. Phép chia được thực hiện trong tập hợp số tự nhiên. Không có trường hợp nào đưa phép chia có dư với a hoặc b là số âm.  Phân tích tiên nghiệm Như đã phân tích ở chương 2, chúng tôi nhận thấy phép chia có dư được giảng dạy chính thức trong chương trình lớp 3, 4 và 6. Tuy nhiên các phép tính chia thực hiện trên tập số tự nhiên và tập hợp số thập phân ở lớp 5 và lớp 7 (xuất hiện kỹ thuật thực hiện phép chia hết và phép chia có dư trên D) lại không được so sánh hay phân biệt trong thể chế tiểu học. Điều này ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với phép chia có dư hay là phép chia hết. + Đưa ra câu (a) chúng tôi tìm hiểu xem phép chia với r = 0 đối với học sinh có là phép chia có dư hay không. + Trong câu (c) phép chia thực hiện chưa hết số dư r > b đây là tình huống kiểm tra xem học sinh xử lí như thế nào khi r  0, các em có chú ý đến điều kiện r < b hay không? Những phép chia đưa ra dưới dạng sơ đồ trong SGK thì phép chia hoàn chỉnh không có trường hợp nào số dư trong phép chia lớn hơn b. + Trường hợp câu (b) và (d) chúng tôi đưa ra phép chia trong D1 một trường hợp chia hết và trường hợp không chia hết trong D1. Nếu học sinh chỉ dựa vào số dư r không quan tâm tập hợp phép chia đang thực hiện dẫn đến kết luận là hai trường hợp:phép chia hết và phép chia có dư. Nếu học sinh chú ý tới thương số thì có cùng kết luận. Theo chúng tôi dự đoán đa số học sinh chọn theo quan điểm số dư.  Các chiến lược 1. Chiến lược về số dư khác 0 Câu 2 Hãy khoanh tròn các phép chia thể hiện phép chia có dư trong các phép chia đã cho dưới đây (có thể khoanh tròn nhiều phép chia). (a) 936 156 0 78 12 (b) 93,6 21 6 0 72 1,3 (c) 10578 197 258 86 12 (d) 123 170 11 53 2,3 Em hãy giải thích câu trả lời của mình: .................................................... Dựa vào số dư học sinh đưa ra câu trả lời. Sơ đồ chia thực hiện trên tập hợp Z+, Dn thì số dư vẫn thể hiện là số tự nhiên. Trong chiến lược này học sinh dựa vào số dư đưa ra kết luận là PCH hay PCCD. Đối với phép chia trong tập hợp số Z+ thì chiến lược này đúng. Khi phép chia có dư mở rộng trong tập hợp Dn thì chiến lược này không còn đúng nữa. 2. Chiến lược về thương số. Dựa vào thương số học sinh có câu trả lời là PCH hay PCCD. Thương số là số thập phân hay là số tự nhiên. Phép chia có dư trong tập hợp Z+ và phép chia hết trong tập Dn vẫn là phép chia có dư. Đây là chiến lược đúng, thể hiện học sinh hiểu rõ về phép chia có dư. 3. Chiến lược dấu hiệu chia hết Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9. Học sinh này chỉ đưa các phép chia với số chia là 2, 5, 3 hoặc 9 và giải thích phép chia có dư dựa vào dấu hiệu chia hết. 4. Chiến lược kiểm tra kết quả theo biểu thức a = qb + r: phép chia có dư là khi kiểm tra kết quả đúng như đẳng thức đã nêu. 5. Chiến lược bất đẳng thức: không có số tự nhiên x nào để b.x = a. Thể hiện sự không khép kín của phép chia trong tập hợp số nguyên.  Các biến dạy học. o V1 Dạng viết phép chia có dư Phép chia có dư được giới thiệu bằng hình thức: - Dạng 1 – Dấu “=” phi đẳng thức a : b = q với phép chia hết a : b = q (dư r) Dạng viết chính thức của phép chia có dư trong thể chế tiểu học. Không còn được sử dụng trong chương trình THCS. Trong cách viết trên số dư không xuất hiện chính thức trong biểu thức. Số dư có vai trò giải thích cho tính chất của phép chia. - Dạng 2 – Dấu “=” đẳng thức a = q.b + r với (0 r < b) Dạng viết này xuất hiện trong thể chế THCS. Đối với chương trình tiểu học dạng viết này xuất hiện với vai trò kiểm tra kết quả của phép chia có dư. Đặc trưng về số dư được làm rõ hơn trong biểu thức a = b.q + r, điều kiện 0 < r < b với a, b, q, r N . - Dạng 3 – Sơ đồ chia a r b c Dạng sơ đồ chia quen thuộc đối với học sinh, nó xuất trong thể chế tiểu học và THCS. Trong dạng này phép chia hết và phép chia có dư thể hiện bằng các phép chia liên tiếp, phép chia dừng lại khi số dư bằng 0 hoặc nhỏ hơn số chia. Dù phép chia thực hiện trong tập số thập phân nhưng trong dạng sơ đồ số dư vẫn là số tự nhiên. Điều này sẽ ảnh hưởng đến quan hệ cá nhân của học sinh đối với phép chia có dư. Khi đưa dạng viết sơ đồ chia thì phép chia thể hiện rõ ràng, cụ thể là phép chia thực hiện bao nhiêu lần và thương, số dư xuất hiện tường minh. - Dạng 4 – Dạng hỗn số r q b Cách viết hỗn số b r q xuất hiện ở lớp 5, nhưng có vai trò rất mờ . Dạng hỗn số cũng xuất hiện trong chương trình toán THCS và THPT. Đặc trưng của cách viết này là phép chia có dư được thực hiện trong Z . Trong cách viết này số dư đã được sử dụng chính thức trong biểu thức. Trong câu 2 này chúng tôi chọn dạng 3 – sơ đồ chia với dạng này xuất hiện nhiều trong SGK và đặc trưng của phép chia có dư không được làm rõ trong vành Dn. Với các chọn này tạo thuận lợi cho chiến lược về số dư xuất hiện. o V2 Vành thực hiện phép chia có dư: Z+ hay Dn - Trong vành Z+: các giá trị cho trong tập hợp số nguyên dương, phù hợp với tập hợp định nghĩa phép chia có dư. Các quan niệm của học sinh về phép chia hết và phép chia có dư đều đúng. - Tập hợp Dn: phép chia có dư không định nghĩa trong tập hợp số thập phân, tuy nhiên kỹ thuật thực hiện phép chia có dư lại được sử dụng trong thực hành chia các số thập phân. Vì vậy quan hệ cá nhân của học sinh đối với khái niệm phép chia có dư sẽ bị ảnh hưởng bởi thể chế. Vì vậy trong khai triển thập phân của một số hữu tỉ sẽ gặp khó khăn. Chúng tôi chọn thực hiện trong vành Z và D1, để kiểm tra học sinh có chú ý tới sự khác nhau trong các phép chia này hay không, cách chọn câu hỏi tạo thuận lợi cho chiến lược về số dư khác 0 và chiến lược về thương số. o V3 Giá trị của các cặp số bị chia và số chia: - Độ lớn nhỏ của các số trong các cặp số: số có một chữ số, số có hai chữ số, số có 3 chữ số, hay sự chênh lệch giữa các số trong cặp số với mục đích để phép chia thực hiện hơn một lần hay chia liên tiếp từ hai lần trở lên. - Số bị chia và số chia thuộc tập hợp số: Z, Dn. Với các chọn các giá trị của số chia khác 2, 5, 3, 9 là hạn chế chiến lược dấu hiệu chia hết và các giá trị là số có 2 chữ số hay 3 chữ cũng hạn chế chiến lược kiểm tra bằng biểu thức a = bq + r. Cho các giá trị trong Z và D1 tạo điều kiện cho chiến lược về số dư và chiến lược về thương số. o V4 Tính chất của số dư - r = 0 - 0< r < b - r  0 và r > b. Các giá trị của r xuất hiện đầy đủ trong bài thực nghiệm.  Những cái có thể quan sát được Câu trả lời Chiến lược Cái có thể quan sát a Chiến lược dựa vào số dư khác 0 Quan điểm của học sinh này xem tất các phép chia đều là phép chia có dư. b Chiến lược thương số Số thập phân xuất hiện cả trong số bị chia và thương số. Dựa vào thương số để kết luận. c Chiến lược dựa vào số dư khác 0 Tôn trọng thể chế phép chia có dư chỉ được định nghĩa trong tập hợp số tự nhiên: a,b,q,r đều thuộc N và số dư khác 0. Tuy nhiên lại không chú ý điều kiện của r < b d Chiến lược dựa vào số dư khác 0 Học sinh chỉ quan tâm đến số dư trong phép chia. Và số dư 0 < r < b.  Phân tích hậu nghiệm Bảng 3.3: Bảng thống kê các câu trả lời câu 2. Các câu trả lời Số lần xuất hiện Tỉ lệ a 2 1,2% b 26 14,1% c 40 21,7% d 116 63% Dựa vào bảng thống kê ta có: 1. Câu trả lời d chiếm (63%) tỉ lệ lớn nhất. Đa số học sinh giải thích cho trả lời theo chiến lược số dư khác 0. Sau khi học sinh học xong phép chia có dư, quan điểm về số dư là số khác 0. Lời giải thích của học sinh đều nói về số dư. Đặc biệt quan điểm đều xem số dư của phép chia là một số tự nhiên. Các lời giải thích tập trung vào phép chia có số dư là 11. Rất ít bài làm phát hiện số dư là 17 hay 1,1. Một vài lời giải thích của học sinh: “Số dư của nó không là 0, và nhỏ hơn số chia” 2A; “số dư 11 không chia hết cho 53” 56A đa số học sinh có lời giải thích như vậy.“Vì thương là số thập phân dư 11, còn b cũng ra số thập phân mà không dư.” 13A Một số học sinh có lời giải thích dựa vào chiến lược thương số là số thập phân thì đó là phép chia có dư. Khi có được nhận định này thì học sinh có câu trả lời là câu b và d. 2. Câu c chiếm 21,7% là một số lượng đáng kể để chúng tôi biết rằng học sinh chỉ dùng chiến lược số dư khác 0 mà không kiểm tra đặc trưng số dư bé hơn số chia. Qua phân tích thể chế ở chương 2 tất cả hình thức của định nghĩa phép chia có dư đều nhấn mạnh số dư khác 0 và bé hơn số chia. Sai lầm này có thể giải thích đó là chướng ngại sư phạm, các bài tập dạng sơ đồ ra đều có số dư nhỏ hơn số chia. Tuy nhiên có nhiều học sinh chú ý tới điều kiện r bé hơn số chia. 3. Câu trả lời b chỉ chiếm 14,1%, học sinh sử dụng chiến lược về thương số để trả lời cho câu hỏi này. Như vậy có 85,9% học sinh đồng ý đây là phép chia hết. Điều này do học sinh dựa vào số dư của phép chia là 0. Đáng chú ý trong các câu hỏi thực nghiệm số bị chia của câu b là số thập phân trong D1. Nhưng học sinh đã không nhận ra sự khác biệt này. Các lời giải thích đều vì thương là một số thập phân. Lựa chọn này khẳng định rằng học sinh không quan tâm đến phép chia thực hiện trong tập hợp số nào. Các em vẫn áp dụng đặc trưng số dư của phép chia có dư trên tập hợp số tự nhiên. Có những giải thích cho câu trả lời này là: “Ở câu b tuy số dư của nó = 0 nhưng thương là 1,3 là phép chia có dư. ở câu d số dư của nó là 11 và thương là 2,3 không phải là số nguyên là pccd”. A1 “Vì các phép chia này nhận được thương không là số nguyên”.A20 “Vì phép chia có dư thì số chia sau khi chia bằng một số nào đó không phải là 0 hoặc kết quả là số thập phân”. 4. Câu trả lời a chỉ có 2 học sinh lựa chọn, hầu hết học sinh tôn trọng định nghĩa phép chia hết mà thể chế đưa ra, là r =0. Các chiến lược kiểm tra a = bq + r, và chiến lược bất đẳng thức được học sinh ít sử dụng. Trong bài thực nghiệm này nhiều học sinh có lựa chọn đồng thời c, d(84,7%) là phép chia có dư. Tức là bằng trực giác học sinh nhìn vào phép chia và chú ý tới số dư khác 0 là phép chia có dư, và khi r = 0 là phép chia hết. Học sinh không quan tâm tập hợp thực hiện phép chia mà chỉ chú ý đến đặc trưng về số dư của phép chia để đưa ra câu trả lời. Thông qua hai câu thực nghiệm trên chúng tôi tìm hiểu quan điểm của học sinh về phép chia hết và phép chia có dư ở học sinh cuối trung học cơ sở. Đặc trưng của số dư đối với phép chia hết và phép chia có dư trong quan điểm của học sinh. + Với câu hỏi 1 chúng tôi nhận thấy ví dụ về phép chia có dư học sinh đưa ra với dạng sơ đồ và dạng bất đẳng thức là chủ yếu. Hai cách viết này học sinh gặp trong chương trình tiểu học. Dạng viết sơ đồ chia chiếm ưu thế hơn. Các lời giải thích cho phép chia có dư chủ yếu dựa vào số dư khác 0 và nhỏ hơn số chia. + Khi phép toán chia hết được thực hiện trong vành Dn tức là với số dư bằng 0 thì có bộ phận học sinh xem đó là phép chia hết. Điều kiện r < b được nhiều học sinh chú ý để thực hiện phép chia tiếp tuy nhiên còn một số học sinh không quan tâm kiểm tra điều kiện này. Qua câu hỏi này, một số học sinh không quan tâm đến vành đang thực hiện phép chia là D hay Z mà chỉ quan tâm đến r khác hay bằng 0. Chúng tôi đã kiểm nghiệm giả thuyết: Đối với học sinh số dư của một phép chia là một số tự nhiên. Phép chia hết là phép chia có r = 0 và phép chia có dư là phép chia có r 0. Và học sinh không quan tâm đến phép chia có dư đang thực hiện trong tập hợp số nào. Giả thuyết này đúng với một bộ phận học sinh.  Phân tích tiên nghiệm Đứng trước một phép chia có dư trong D2 cho bởi hình thức sơ đồ chia, câu hỏi là chỉ ra các cách viết tương đương của phép toán chia trên (chuyển sang dạng phân số hay dạng a = bq + r). Học sinh sẽ chuyển hình thức viết phép chia có dư thành dạng đẳng thức a = bq + r như thế nào? Họ có cho rằng số dư là số nguyên hay không? Khó khăn khi tính đến phần dư của phép chia trong dạng viết khai triển thập phân của phân số. Câu 3 Cho phép chia sau đây : 415 310 1180 28 192 2,16 Hãy khoanh tròn những đẳng thức đúng dưới đây (có thể có nhiều đẳng thức đúng) : (a) 192 415 = 2,16 (b) 415 = 2,16 x192 + 28 (c) 415 = 2,16 x192 + 100 28 (d) 415 = 2,16 x192 + 1000 28 (e) 415 = 2,16 x192 + 0,28 Cho phép chia dạng sơ đồ thể hiện các bước thực hiện phép chia, số dư và thương được nêu ra rõ ràng, phép chia thực hiện trong tập hợp số thập phân. Đây là phép chia có kết quả là một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Phép chia kết thúc sau 7 lần thực hiện phép chia. Phép chia là một khai triển số hữu tỉ 192 415 thành dạng viết thập phân. So với phép chia có dư thực hiện trong tập hợp số nguyên thì số dư là r.10-n. Học sinh sẽ có phân biệt được sự sai khác này hay không?  Các chiến lược: 1. Chiến lược số dư là số tự nhiên: tôn trọng đặc trưng của phép chia có dư trong tập hợp số tự nhiên. 2. Chiến lược số dư là số thập phân: hiểu đúng về số dư của phép chia có dư thực hiện trong vành D 3. Chiến lược về phân số: xem phân số là thương của phép chia (hay phép chia có dư), biểu diễn phân số bằng thương tìm được ( trong cách ghi này số dư không thể hiện). 4. Chiến lược số chữ ở thương: chữ số thập phân ở số dư dựa vào số chữ số ở thương.  Các biến dạy học o V1: Dạng viết phép chia có dư. Trong câu hỏi này chúng tôi chọn cách đưa phép chia dạng sơ đồ, ưu tiên cho chiến lược số dư là số tự nhiên xuất hiện. o V2: Vành thực hiện phép chia Chúng tôi chọn vành D2 thực hiện phép chia. Tạo điều kiện cho chiến lược số dư là số thập phân. o V3: Số lần phép chia có dư thực hiện liên tiếp Ở đây chúng tôi chọn phép chia có dư thực hiện 3 lần. o V4: Tính chất của cặp số bị chia và số chia Thuộc tập hợp số tự nhiên có 3 chữ số, độ chênh lệch nhỏ. o V5: Mệnh đề được nối với nhau bởi dấu đẳng thức hay dấu bất đẳng thức, hay hình thức học sinh tự điền dấu để có mệnh đề đúng.  Những cái có thể quan sát được Câu trả lời Chiến lược Cái có thể quan sát Sai a Chiến lược phân số Thương số a chia cho b còn được viết phân số a b . Trong cách ghi này không thể hiện số dư. Vì vậy học sinh cho rằng phân số bằng thương của phép chia. b Chiến lược số dư là số tự nhiên Theo dự đoán của chúng tôi đa số học sinh chọn câu hỏi này. Vì ảnh hưởng của phép chia có dư trong tập hợp Z+. Số dư luôn là một số tự nhiên với 0<r<b d Chiến lược số chữ ở thương Học sinh nhìn vào số chữ số của thương mà có sự lựa chọn này. Đúng c Chiến lược số dư là số thập phân Số dư được viết dưới dạng phân số thập phân. e Chiến lược số dư là số thập phân Học sinh hiểu được số dư trong Dn là một số thập phân.  Phân tích hậu nghiệm Bảng 3.4 : Bảng thống kê các câu trả lời câu 3. Các câu trả lời Số lần xuất hiện Tỉ lệ a 30 22,9% b 74 56,5% c 45 34,4% d 2 2% e 49 37,4% Dựa vào bảng thống kê chúng tôi có nhận xét sau: 1. Câu trả lời a chiếm 22,9%. Nếu bằng phép tính kiểm tra bình thường ta có thể nhận ra dễ dàng cách viết này không đúng. Tuy nhiên số lượng học sinh chọn câu này không phải là ít. Đây là dạng câu hỏi không quen thuộc khi học sinh phải sử dụng một hình thức biểu diễn tương đương với phép tính đã cho. Điều này có thể giải thích ảnh hưởng bởi quan điểm: “Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số: tử số là số bị chia, mẫu số là số chia” Như vậy chiến lược phân số được học sinh sử dụng trong câu trả lời này.Quan niệm thương của một phép chia được viết thành phân số vẫn tồn tại trong học sinh. Phạm vi hợp thức của dạng viết này chỉ đúng phép chia hết trong tập hợp Dn. 2. Câu trả lời b chiếm 56,5% số lượng nhiều nhất. Đây là câu trả lời chúng tôi đang quan tâm. Điều này thể hiện ảnh hưởng sâu sắc quan điểm số dư trong phép chia là một số tự nhiên. Học sinh đã sử dụng chiến lược số dư là số tự nhiên để đưa ra lựa chọn của mình. Phạm vi hợp thức của chiến lược này chỉ đúng đối với tập Z. Qua quan sát bài làm của học sinh rất nhiều câu b được chọn sau đó được loại bỏ. Có thể đã có những bước kiểm tra biểu thức để có câu trả lời chính xác hơn. 3. Câu trả lời đúng là c và e có mối tương quan với nhau. Theo giải thích của chúng tôi, học sinh lớp 10 đã có sự trang bị đầy đủ về phân số thập phân và số thập phân hữu hạn. Tuy nhiên câu trả lời về số thập phân vẫn có ưu thế hơn. Học sinh dùng chiến lược số trong Dn để có câu trả lời. Các câu trả lời c và e học sinh ý thức được số dư trong phép chia được cho không phải là số tự nhiên mà là số có dạng r.10-n với n tương ứng Dn. Tuy nhiên số lượng học sinh này không nhiều. 4. Câu trả lời d chỉ chiếm 2%, Tức là chiến lược chữ số ở thương số được ít học sinh lựa chọn. Trong mối liên hệ giữa số hữu tỉ và số thập phân có những trường hợp học sinh không tính đến số dư trong phép chia hay có tính đến nhưng không chính xác. Không ít học sinh có lựa chọn a, c và e có thể giải thích như sau học sinh xem phân số là thương của phép chia a cho b và các em cũng không tính đến số dư trong cách viết này bên cạnh đó những học sinh này cũng có quan niệm đúng về số dư trong tập hợp số tự nhiên. Trong khai triển thập phân của số hữu tỉ 192 415 , chúng tôi nhận thấy phần dư của phép chia và việc tính đến vai trò của nó trong đẳng thức a = bq + r là một điều khó khăn đối với học sinh. Đa số học sinh có quan điểm đặc trưng số dư là một số tự nhiên. Câu 4 : Dựa vào phép chia ở câu 3 hãy điền vào chỗ trống đẳng thức sau đây : 415 = .....................192  Phân tích tiên nghiệm Đây là dạng câu hỏi mở, khi điền vào chỗ trống học sinh ưu tiên dạng nào? số thập phân, số thập vô hạn tuần hoàn, phân số hay số tự nhiên. Câu hỏi này cho phép kiểm tra câu trả lời trong câu 3 của học sinh. Học sinh có dựa vào đó điều chỉnh câu trả lời của câu 3. Mối liên hệ giữa a/b với số thập phân, khai triển thập phân của một phân số. Học sinh còn xem số dư của phép chia là số nguyên hay không? Câu 4 cho phép chúng ta nhận xét học sinh ưu tiên sử dụng số thập phân hay phân số hơn. Vì với biểu thức như vậy học sinh sẽ có cơ hội tính toán kiểm tra lại lựa chọn của mình.  Các chiến lược: 1. Chiến lược phân số: dựa vào số dư của phép chia mà học sinh chọn phân số thích hợp. 2. Chiến lược số thập phân: biểu diễn bởi một số thập phân để tìm kết quả đúng. 3. Chiến lược hỗn hợp: điền một tổng gồm số thập phân và phân số.  Các biến dạy học Câu 4 liên quan với câu 3, các biến dạy học của câu 3 ảnh hưởng lên câu 4, ngoài ra theo chúng tôi có biến sau: V:Chọn mệnh đề học sinh cần viết lại dạng tích. Đây là dạng bài tập không quen thuộc làm cho học sinh gặp khó khăn khi đưa ra câu trả lời.  Những cái có thể quan sát được Câu trả lời Chiến lược Cái có thể quan sát Đúng 0,28 +2,16 Chiến lược số thập phân. Theo dựa đoán của chúng tôi đây là lựa chọn của nhiều học sinh. Số thập phân thường được sử dụng trong tính toán. Số thập phân đưa ra cách đánh giá chính xác hơn vì ước lượng gần với số nguyên. 28 100 + 2,16 Chiến lược hỗn hợp Đây cũng là một lựa chọn đúng, tuy nhiên ít được chọn. Vì phân số thập phân luôn được biến đổi thành số thập phân. 192 415 Chiến lược phân số Khi chọn câu trả lời này ta có ngay kết quả đúng. (2,16 + 0, 28 192 ) Chiến lược hỗn hợp. Với hình thức của câu hỏi thì câu trả lời này ít gặp. 2,161458(3) Chiến lược số thập phân (Khai triển thập phân). Phép chia có dư thực hiện trong bài toán đưa ra thực hiện liên tiếp 7 lần, phép chia mới dừng lại. Số lần thực hiện phép chia quá nhiều. Điều này cản trở cho cách ghi này xuất hiện. Sai 28 + 2,16 Chiến lược hỗn hợp. Sự lựa chọn ảnh hưởng của quan điểm phép chia có dư trong tập Z+. Quan điểm này còn tồn tại trong một bộ phận học sinh. Chúng tôi dự đoán đa số học sinh chọn cách viết này. 1000 28 +2,16 Chiến lược hỗn hợp. Học sinh dựa vào số chữ số ở thương để tìm số dư. 2,16 Chiến lược số thập phân. Đây là lựa chọn của học sinh khi chọn câu a trong bài 3.  Phân tích hậu nghiệm Bảng 3.5 Bảng thống kê các câu trả lời câu 4 Các câu trả lời Số lần xuất hiện % Sai 2,16 19 14,5% 28+ 2,16 67 51,1% 1000 28 +2,16 2 1,5% Tổng 67,1% Đúng 0,28 + 2,16 36 27,5% 100 28 +2,16 3 2,3% (2,16 + 28 19200 ) hay (2,16 + 7 480 ) hay (2,16 + 0, 28 192 ) 2 1,5% 192 415 2 1,5% 2,16145(3) 0 0% Tổng 32,9% Dựa vào bảng thống kê chúng tôi có nhận xét sau: 1. Các câu trả lời sai chiếm 67,1% với số lượng khá lớn. Gồm những câu trả lời sau: + Câu trả lời 28 + 2,16 chiếm ưu thế với 51,1%. Trong phép chia có dư, số dư là một số tự nhiên tồn tại rất nhiều trong đại bộ phận học sinh. Qua phân tích thể chế có chú ý đến khó khăn của học sinh đối với số dư của phép chia thực hiện trong trong tập hợp số thập phân thông qua kiểu nhiệm vụ TTSD.PCSTP, tuy nhiên với số lượng bài tập rất ít đã không khắc phục được khó khăn này. + Câu trả lời là 2,16 được 14,5% học sinh lựa chọn, với phép chia đã được cho trước học sinh lựa chọn câu hỏi này không chú ý tới yêu cầu là đẳng thức xảy ra. Theo chúng tôi đối với học sinh có sự lựa chọn theo quan điểm phân số 192 415 = 2,16 trong câu 3 đưa ra câu trả lời này. + Câu trả lời 1000 28 + 2,16 chỉ có 2 học sinh lựa chọn. 2. Các câu trả lời đúng chiếm 32,9% . Gồm những câu trả lời sau: + Câu trả lời 0,28 + 2,16 lại chiếm (27,5%) đa số. Những cách viết khác lại chiếm số lượng rất ít. Tuy trong câu 3 lựa chọn hai cách viết phân số thập phân và số thập phân 100 28 và 0,28 là như nhau. Nhưng với dạng câu hỏi mở này học sinh sử dụng số thập phân chiếm đa số. + Kết quả với dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn 2,16145(3) không xuất hiện trong câu trả lời của học sinh. Mặc dù có bài học sinh thực hiện phép chia tiếp nhưng kết quả sai. Trong khai triển thập phân một số hữu tỉ khi dùng phép chia có dư, số dư trong khai triển gây khó khăn cho học sinh. Tính chất của số dư thuộc tập hợp nào? Đa phần học sinh cho rằng số dư là số tự nhiên. Vì vậy học sinh gặp khó khăn khi sử dụng số dư để thể hiện mối quan hệ giữa số hữu tỉ và số thập phân khai triển. Học sinh thường có xu hướng chuyển một phân số về dạng thập phân Dn, với n = 1,2,3. Các câu trả lời dưới dạng số thập phân được lựa chọn nhiều trong thực nghiệm trên. Qua phân tích câu 3 và 4 của bài thực nghiệm chúng tôi hợp thức hóa giả thuyết H2. 3.4 Kết luận chung. Kết quả thực nghiệm đã chứng minh tính thỏa đáng của 2 giả thuyết mà chúng tôi đã nêu ra. Bên cạnh đó thực nghiệm cũng cho chúng ta ghi nhận định nghĩa phép chia có dư dưới dạng đẳng thức không sống được trong đa số học sinh. Học sinh xem dạng viết này như là một biểu thức kiểm tra kết quả phép chia có dư như đã học ở tiểu học. Qua thực nghiệm chúng tôi nhận thấy một bộ phận học không quan tâm đến tập hợp phép chia đang thực hiện trên tập hợp số nào, điều này dẫn đến học sinh không phân biệt sự khác nhau khi biểu diễn số dư của phép chia có dư thực hiện trên Z và trên D. KẾT LUẬN Đề tài của nghiên cứu của chúng tôi đã khép lại với nội dung chính như sau:  Trong chương I chúng tôi phân tích giáo trình đại học về cách trình bày của phép chia có dư với hai phương diện và đối tượng và công cụ.  Pccd với vai trò là một đối tượng: Pccd ở [a], [b] được định nghĩa trong tập hợp số nguyên, trước khi định nghĩa về pccd thì cả hai giáo trình đều nêu định lý về pccd. Trong giáo trình [c], cấu trúc đại số có phép chia có dư được đưa vào là vành Euclide. Vành số nguyên Z và vành Dn là vành Euclide. Vành Z là trường hợp đặc biệt trên vành Dn. Cả [a], [b] đều không nêu tường minh ý nghĩa của pccd là phép trừ liên tiếp. Nhưng điều này ngầm ẩn trong cách trình bày chứng minh định lý trong [a] và ví dụ trong [b]. Pccd trong vai trò là đối tượng thì yếu tố đặc trưng của pccd là số dư không được nhấn mạnh. Phép chia hết có hạn chế không thực hiện được với mọi cặp số trên tập hợp số nguyên. Phép chia có dư đã giải quyết được vấn đề này phép chia thực hiện với mọi số trong tập hợp số nguyên.  Pccd với vai trò công cụ: Pccd xuất hiện trong vai trò công cụ liên quan đến những khái niệm sau đây. Ước chung lớn nhất Quan hệ đồng dư.  Trong chương II phân tích thể chế và chương trình và SGK về khái niệm phép chia có dư. Phép chia có dư được giới thiệu ở lớp 3 và lớp 4 bằng cách mô tả, định nghĩa chính thức trong tập hợp số tự nhiên ở lớp 6. Và phép chia có dư có 4 thức biểu diễn ở tiểu học. Có hình thức được ưu tiên trong chương trình tiểu học và sau đó lại biến mất trong chương trình phổ thông cơ sở. Cùng với thay đổi hình thức biểu diễn của phép chia có dư mà xuất hiện những kiểu nhiệm vụ mới. Phép chia có dư chỉ được định nghĩa trên tập hợp số tự nhiên. Kỹ thuật thực hiện phép chia có dư đã đưa vào nghiên cứu các số thập phân Dn và khai triển thập phân của một số hữu tỉ. Lúc này phép chia có dư đã thực hiện trên tập Dn, thương và số dư là thường là những số thập phân. Tuy nhiên thể chế đã không làm rõ điều này thông qua phân tích thể chế trên. Từ đó chúng tôi rút ra qui tắc hợp đồng R1, R2 và giả thuyết H1, H2  Nghiên cứu trong chương 3 đã làm sáng tỏ mối quan hệ giữa học sinh với khái niệm phép chia có dư cũng như đặc trưng về số dư và ảnh hưởng thể chế đối với quan hệ cá nhân. Điều này thể hiện rõ ràng qua sự tồn tại của giả thuyết H1 và H2. Hướng nghiên cứu của luận văn: Luận văn của chúng tôi chưa đi sâu vào việc nghiên cứu phép chia có dư có vai trò mờ nhạt đối với khai triển thập phân của một số hữu tỉ, phải chăng sự xuất hiện của MTBT góp phần vào nguyên nhân này? Vậy với sự xuât hiện của MTBT có ảnh hưởng gì đến việc giảng dạy khái niệm phép chia có dư cũng như những ứng dụng của phép chia có dư hay không? TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Annie Bessot- Claude Comiti - Lê Thị Hoài Châu – Lê Văn Tiến (2009) “Những yếu tố cơ bản của Didactic Toán” NXB Đại học quốc gia TP HCM 2. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán 2 – Sách giáo khoa”, NXB giáo dục 3. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán 2 – Sách giáo viên”, NXB giáo dục 4. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán 3 – Sách giáo khoa”, NXB giáo dục 5. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán 3 – Sách giáo viên”, NXB giáo dục 6. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán4 – Sách giáo khoa”, NXB giáo dục 7. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán 4 – Sách giáo viên”, NXB giáo dục 8. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán5 – Sách giáo khoa”, NXB giáo dục 9. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán 5 – Sách giáo viên”, NXB giáo dục 10. Lê Văn Tiến (2005) “Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông (Các tình huống dạy học điển hình)” NXB Đại học quốc gia TP HCM 11. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007), “Một nghiên cứu didactic giữa khái niệm giới hạn liên hệ với sự thập phân hóa số thực trong môi trường “máy tính bỏ túi”” Tóm tắt luận án Tiến sĩ 12. Hoàng Chúng (1997), “ Số học bà chúa của toán học” NXB giáo dục 13. Nguyễn Tiến Tài (1998), “Số học”, NXB giáo dục 14. Phan Đức Chính (2008), “Toán 6 – Sách giáo viên – tập 1”, NXB giáo dục 15. Phan Đức Chính (2008), “Toán 6 – Sách giáo viên – tập 2”, NXB giáo dục 16. Phan Đức Chính (2008), “Toán 6 – tập 1”, NXB giáo dục 17. Phan Đức Chính (2008), “Toán 6 – tập 2”, NXB giáo dục 18. Phan Đức Chính (2008), “Toán 7 – Sách giáo viên – tập 1”, NXB giáo dục 19. Phan Đức Chính (2008), “Toán 7 – tập 1”, NXB giáo dục 20. Phạm Ngọc Bảo (2002) “Nghiên cứu Didactic về bước chuyển từ phân số như là “những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số như là “ thương” ở lớp 3 và lớp 4 và việc đào tạo giáo viên tiểu học về phân số” Luận văn thạc sĩ. ._.