Phần tử ngẫu nhiên và sự hội tụ yếu của độ đo xác suất

ăn đều được trích dẫn rõ ràng tên tác giả, tên cơng trình, thời gian, địa điểm cơng bố. 3. Mọi sao chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm. Học viên Võ Sơn Phịng MỞ ĐẦU Lý thuyết về độ đo trong khơng gian mêtric giữ vai trị quan trọng trong nhiều vấn đề về giải tích và xác suất. Đã cĩ rất nhiều kết quả đặc sắc về lĩnh vực này như định lý Prohorov, định lý Varadarajans, định lý Fernigue …. Mục đích của luận văn này là nghiên cứu về phần tử ngẫu nhiên và sự hội tụ yếu của độ đo xác suất trong khơng gian mêtric và các vấn đề cĩ liên quan. Luận văn này được hồn thành tại trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS Đậu Thế Cấp. Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới Thầy về sự hướng dẫn tận tâm và nhiệt tình của Thầy đối với tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn. CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 GIẢI TÍCH HÀM VÀ LÍ THUYẾT ĐỘ ĐO 1.1.1 Khơng gian tơpơ Cho X là một tập. Một họ  các tập con của X gọi là một tơpơ trên X nếu cĩ các tính chất sau: (i) , X   ; (ii) ,iU i I  thì i I iU   ; (iii) ,U V  thì U V   . Nếu  là một tơpơ trên X thì cặp ( , )X X  được gọi là khơng gian tơpơ. Cho ( , )X  là khơng gian tơpơ. Khi đĩ các tập U  gọi là tập mở. Phần bù của tập mở gọi là tập đĩng. Cho A là một tập con của khơng gian tơpơ X . Tập con đĩng bé nhất của X chứa A gọi là bao đĩng của A , được kí hiệu là A . Tập A X gọi là tập trù mật trong X nếu A X . Khơng gian tơpơ ( , )X  gọi là khơng gian khả li (hay tách được), nếu nĩ cĩ tập con đếm được trù mật. Tập con mở lớn nhất được chứa trong A gọi là phần trong của A , kí hiệu là int A. Một họ   I G  các tập mở của X gọi là một phủ mở của X nếu I G X   . Khơng gian tơ pơ X gọi là khơng gian compăc nếu từ mọi phủ mở   I G  của X đều cĩ thể trích ra được một phủ con hữu hạn. Tập con A X gọi là compăc nếu nĩ compăc đối với tơpơ cảm sinh, tức là tơpơ  :A U A U    trên A . 1.1.2 Khơng gian mê tric Cho X  . Một ánh xạ :d X X  được gọi là mêtric (hay khoảng cách) trên X nếu với mọi , ,x y z X đều cĩ (i)  ( , ) 0, , 0d x y d x y x y    ; (ii)    , , ;d x y d y x (iii)      , , , .d x y d x z d z y  Nếu d là một mêtric thì cặp ( , )X X d gọi là khơng gian mêtric. Giả sử X là khơng gian mêtric. Với mọi , 0x X   đặt     , : ,B x y X d x y    và gọi là hình cầu tâm x bán kính  . Tập con G của X gọi là mở nếu mọi x G tồn tại 0  sao cho  ,B x G  . Họ các tập mở của X là một tơpơ trên X , gọi là tơpơ sinh bởi mê tric. Khơng gian mêtric là khơng gian tơpơ với tơ pơ sinh bởi mêtric. Ta nĩi dãy  nx X hội tụ về x X nếu  , 0nd x x  khi n . Kí hiệu là nx x (khi n ) hay lim n n x x   . 1.1.3 Định lí. Tập F X là tập đĩng khi và chỉ khi với mọi dãy   ,n nx F x x X   thì x F . Giả sử X là khơng gian mêtric. Dãy  nx X được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu  0, , , : , .m nN m n N d x x       Khơng gian mêtric X gọi là khơng gian đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ. Trong khơng gian mê tric X , một tập A X là tập compăc nếu với mọi dãy  nx A , đều tồn tại dãy con     kn n x x sao cho kn x x A  . Nếu X là khơng gian mêtric compăc thì mọi tập con đĩng của nĩ đều là tập compăc. Tập F của một khơng gian tơpơ gọi là tập cĩ tính chất G nếu F là giao của đếm được các tập mở. 1.1.4 Định lí. Trong khơng gian mê tric, mọi tập con đĩng đều cĩ tính chất G Chứng minh. Giả sử F đĩng trong khơng gian mêtric ( , )X d . Đặt   1 : ,nG x X d x F n         . Khi đĩ mọi nx G , ta cĩ   1 ,d x F a n   . Đặt 1 r a n   thì 0r  và         1 , , , , ,d y F d x y d x F r a y B x r n        nên  , nB x r G . Vậy nG mở. Ta sẽ chứng minh 1 n n F G    . Thật vậy, với x F ta cĩ   1 , 0d x F n   với mọi n , nên nx G với mọi n hay 1 n n x G    . Do đĩ 1 n n F G    Ngược lại, với 1 n n x G    ta cĩ ,nx G n  , nên   1 , ,d x F n n   . Từ đĩ, với mỗi n đều cĩ ny F sao cho   1 , nd x y n  nên  lim , 0n n d x y   , chứng tỏ ny x . Mà F đĩng nên x F , do đĩ 1 n n G F    . Vậy 1 n n F G    . Từ đĩ suy ra F cĩ tính chất G .  1.1.5 Khơng gian Banach thực Khơng gian vectơ thực E gọi là khơng gian định chuẩn (thực) nếu tồn tại ánh xạ :E  thỏa mãn (i) 0, 0 0x x x    ; (ii) x x  ; (iii) x y x y   với mọi , ,x y E   . Nếu đặt  ,d x y x y  , với ,x y E thì d mêtric trên E , gọi là mêtric sinh bởi chuẩn. Khơng gian định chuẩn là khơng gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn. Khơng gian định chuẩn đầy đủ được gọi là khơng gian Banach. Cho E là khơng gian định chuẩn. Kí hiệu E là khơng gian các phiếm hàm tuyến tính trên E , E là khơng gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E . Với mọi f E ta gọi chuẩn của f là      1 sup inf 0 : , x f f x k f x k x x E        . Khơng gian E gọi là khơng gian liên hợp (tơpơ) của E . 1.1.6 Định lí (Định lí Hahn- Banach). Cho E là khơng gian định chuẩn, F là khơng gian con của E . Khi đĩ với mỗi f F  , tồn tại f E sao cho F f f và f f . 1.1.7 Hệ quả. Cho E là khơng gian định chuẩn. Khi đĩ với mỗi , 0x E x  , tồn tại f E sao cho  f x x và 1f  . 1.1.8 Hệ quả. Giả sử E là khơng gian định chuẩn. Khi đĩ với mọi ,x y E , nếu    f x f y với mọi f E thì x y .. 1.1.9 Hệ quả. Giả sử E là khơng gian khả li. Khi đĩ tồn tại dãy  nf E sao cho  sup ,n n x f x x E   . Chứng minh. Vì E khả li nên tồn tại dãy  nx E sao cho  :nx n trù mật trong E . Vậy tồn tại dãy  nf E sao cho 1nf  và  n n nf x x . Giả sử x E . Vì   1 ,nf x x n   , nên  sup n n x f x . Mặt khác, với mọi 0  , vì  :nx n trù mật trong E nên tồn tại : 2 nn x x    . Khi đĩ 2 n nx x x x      hay 2 nx x    . Từ đĩ ta cĩ     n n n nf x x x f x      n n n nf x x f x      n n n nx f x f x    n n nx f x x   n n n n nx f x x x x x       2 2 x x              . Do đĩ với mọi 0  , tồn tại n sao cho  nf x x   . Vậy  sup n n x f x .  1.1.10 Độ đo Cho   . Họ các tập con 2F được gọi là một đại số nếu thỏa mãn các điều kiện (i) , F ; (ii) Nếu ,A BF thì \A BF ; (iii) Nếu ,A BF thì A B F . Nếu thay điều kiện (iii) bởi điều kiện (iii’) Nếu ,nA n  F thì 1 n n A    F thì F gọi là  - đại số. 1.1.11 Định lí. 1.F là đại số khi và chỉ khi thỏa mãn (i) và (iv) Nếu AF thì \cA X A F ; (v) Nếu ,A BF thì A B F . 2. F là  - đại số khi và chỉ khi (i), (ii) và (v’) Nếu ,nA n  F thì 1 n n A    F . Cặp  , F , trong đĩ F là  - đại số các tập con của  , gọi là một khơng gian đo. Cho hai khơng gian đo  , F và  , G . Ánh xạ :  gọi là F / G-đo được nếu  1 B F với mọi B G. Cho   và F là - đại số các tập con của  . Ánh xạ : F được gọi là độ đo trên F nếu thỏa mãn: (i)   0,A A   F ; (ii)   0   ; (iii) Nếu nA n F , và ,i jA A i j   thì   11 n n nn A A            . Nếu      thì  được gọi là độ đo hữu hạn. Đặc biệt, nếu   1   thì  được gọi là độ đo xác suất. Bộ ba  , , F , trong đĩ F là  - đại số các tập con của  ,  là độ đo trên F , được gọi là một khơng gian độ đo. Khơng gian độ đo gọi là đầy đủ nếu AF ,   0A  thì mọi tập con B A đều thuộc F . Khi đĩ ta cũng cĩ   0B  . Nếu p là độ đo xác suất thì ( , , F p) gọi là một khơng gian xác suất. 1.2 TẬP BOREL TRONG KHƠNG GIAN TƠPƠ 1.2.1 Tập Borel Cho X là khơng gian tơ pơ. Khi đĩ  - đại số bé nhất chứa các tập mở của X được gọi là  - đại số Borel của X , kí hiệu là  XB . Tập  A XB được gọi là tập Borel. Kí hiệu       , , , , , : ,K a b b a a b    . Mỗi tập dạng 1 , , 1, ,n jD D D D K j n      gọi là một khoảng trong n . Kí hiệu nM là tập hợp các hợp của hữu hạn các khoảng rời nhau trong n . 1.2.2 Định lí. (i) nM là đại số; (ii)    nnM  B . Chứng minh. (i) Vì [ , ) ... [ , )a a a a    nên nM . Ta chứng minh n nM bằng qui nạp. Với   11, , [ , )n a a M      . Giả sử với 1, k kk n M   . Khi đĩ    1 1 1[ , [ , )] , [ , )n n n n na a a a M                  vì 1n là hợp của hữu hạn khoảng rời nhau trong 1n . Ta sẽ chứng minh rằng, nếu , nA B M thì nA B M  . Nếu ,A B K thì A B K  . Giả sử ,A B là khoảng trong n . Khi đĩ 1 .... ,nA D D   với jD K ; 1 .... ,nB     với j K  . Ta cĩ    1 1 ... n nA B D D      nên A B là khoảng trong n . Bây giờ giả sử , nA B M . Khi đĩ 1 n i i A A   với iA là khoảng trong n , 1 n j j B B   , với jB là khoảng trong n . Ta cĩ   1 1 p p i i i i A B A B A B                 1 1 1 1 p q p q i j i j i j i j A B A B                     nên nA B M  . Cuối cùng ta chứng minh rằng nếu , nA B M thì \ nA B M . Trước hết giả sử ,A B là khoảng trong n , ta sẽ chứng minh \ nA B M bằng phương pháp qui nạp. Với 1n  , dễ thấy 1\A B M . Giả sử khẳng định đúng đến mọi 1k n  . Ta cĩ 1 2 1 2,A A A B B B    với 1 1,A B là khoảng trong 1n và 2 2,A B là khoảng trong  . Khi đĩ        1 2 1 2 1 2 2 1 1 2\ \ ( \ ) ( \ )A B A A B B A A B A B A                1 1 1 1 2 2 1 1 2\ \ ( \ )A B A B A B A B A         1 1 2 2 1 1 2( ) ( \ ) ( \ )A B A B A B A     . Vì 1 1A B là khoảng trong 1n , 2 2\A B là khoảng trong  , 1 1\A B là hợp hữu hạn các khoảng rời nhau trong 1n và 2A là khoảng trong  nên \A B là hợp hữu hạn các khoảng rời nhau trong n . Vậy \ nA B M . Xét trường hợp , nA B M . Khi đĩ 1 p i i A A   , với iA là khoảng rời nhau trong n ; 1 q j j B B   , với jB là khoảng rời nhau trong n . Ta cĩ     1 1 1 1 1 1 \ \ \ \ \ p p p q i i i j i i i j p q i j i j A B A B A B A B A B                          do đĩ \ nA B M . Vậy nM là  - đại số. (ii) Vì   ,nnM  B  nM là  - đại số nhỏ nhất chứa nM , mà  nB là  -đại số nên    nnM  B . Giả sử U là tập mở trong n . Vì các khoảng mở lập thành hệ cơ sở của tơpơ trong n , nên 1 k k U U    , trong đĩ    1 1, ...k n nU        . Vì   1 1 , [ , )i i i i m m         nên 1 1 1 1 1 [ , ) ... [ , ) ( )k n n n m U M m m              . Từ đĩ  nU M , mà  nB là  - đại số sinh bởi các tập mở của n nên  n B  nM . Vậy  nM   nB . Cho E là khơng gian là khơng gian Banach. Tập A E được gọi là tập trụ nếu tồn tại n ; 1 2, ,..., nf f f E ;  ˆ nA B sao cho      1 ˆ: ,..., nA x E f x f x A   . Kí hiệu tập các tập trụ là  EF . 1.2.3 Định lí. (i)  EF là đại số (ii) Nếu E là khơng gian Banach khả li thì    ( )E E F B với  EB là  -đại số Borel của E . Chứng minh. (i) Lấy f E tùy ý, ta cĩ   ˆ:E x E f x B     do đĩ  E EF . Nếu  A EF thì tồn tại n ,  ˆ nA B , 1 2, ,..., nf f f E sao cho      1 ˆ: ,..., nA x E f x f x A   . Ta cĩ        1 ˆ\ : ,..., \c c nnA E A x E f x f x A A E      F . Nếu  1 2,A A EF thì tồn tại ,m n ,  1ˆ mA  B ,  2ˆ nA  B , 1 2, ,..., mf f f E , 1 2, ,..., ng g g E sao cho      1 1 1ˆ: ,..., mA x E f x f x A   ;      2 1 2ˆ: ,..., nA x E g x g x A   . Từ đĩ, vì  1 2ˆ ˆ m nA A   B nên        1 2 1 1 1 2ˆ ˆ: ,..., , ( ),..., ( )m nA A x E f x f x g x g x A A E     F Vậy  EF là đại số. (ii) Giả sử  A EF . Khi đĩ      1 ˆ: ,..., nA x E f x f x A   trong đĩ 1 2, ,..., nf f f E và  ˆ nA B . Đặt  1,..., : n nf f f E    ,       1 ,..., nx f x f x f x   . Vì if liên tục nên f  liên tục. Do dĩ f  là    / nE B B - đo được, tức là    1f G E   B với mọi  nG B . Mặt khác      1ˆ ˆ:A x E f x A f A     , với  ˆ nA B nên  A EB . Từ đĩ suy ra    E EF B và    ( )E E F B . Ngược lại, giả sử U mở trong E . Do E là khơng gian mêtric khả li nên E thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai. Do đĩ   1 ,n n n U B x r    . Mặt khác cũng vì E khả li nên theo Hệ quả 1.1.9 của Định lí Hahn- Banach, tồn tại dãy   , 1n nf E f  sao cho mọi x E ta cĩ  sup nx f x . Khi đĩ    , :B x r y E y x r      : sup n n y E f y x      1 : n n y E f y x r                1 : [ , ( )n n n n y E f y r f x r f x B         F . Hơn nữa ta cĩ    , :B x r y E y x r    0 0 1 : 1 , n n n n y E y x r n B x r n                        nên    , ( )B x r E F . Từ đĩ  ( )U E F và suy ra    ( )E EB F . Vậy    ( )E E F B . CHƯƠNG II PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 2.1 PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN Trong đoạn này ta luơn kí hiệu ( , , F p) là một khơng gian xác suất đầy đủ, e là khơng gian Banach khả li, G là  - đại số con của F , B (e) là  - đại số Borel của e. Ánh xạ :X  e gọi là phần tử ngẫu nhiên G- đo được, nhận giá trị trong e nếu X là G/ B (e)-đo được (tức là BB (e) thì  1X B  G ). Phần tử ngẫu nhiên F -đo được sẽ được gọi đơn giản là phần tử ngẫu nhiên. Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong  cịn gọi là đại lượng ngẫu nhiên. Phần tử ngẫu nhiên :X  e gọi là phần tử ngẫu nhiên rời rạc nếu  X  khơng quá đếm được. Đặc biệt, nếu  X  hữu hạn thì X gọi là phần tử ngẫu nghiên đơn giản, ở đây  X  là kí hiệu lực lượng của tập hợp  X  . Dãy phần tử ngẫu nhiên  nX gọi là hội tụ đến ánh xạ :X  e nếu    nX X  (theo chuẩn) với mọi  , kí hiệu là nX X . Dãy phần tử ngẫu nhiên  nX gọi là hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) đến ánh xạ :X  e nếu tồn tại tập NF , sao cho p     0, nN X X   (theo chuẩn), với mọi \ N . Kí hiệu . .h c c nX X . 2.1.1 Định lí. Nếu  nX là dãy phần tử ngẫu nhiên và . .h c c nX X thì X là phần tử ngẫu nhiên. Đặc biệt, nếu  nX là dãy phần tử ngẫu nhiên G - đo được và . .h c c nX X thì X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được. Chứng minh. Trước hết ta xét trường hợp  nX là dãy phần tử ngẫu nhiên G- đo được và nX X . Đặt     1:A E X A  L B G . Khi đĩ, dễ dàng kiểm tra trực tiếp được rằng L là  - đại số, hơn nữa  EL B . Để kiểm tra điều đĩ ta giả sử F là tập đĩng trong E . Ta sẽ chứng minh  1 1 1 1 1 ,m k n m n X F X B F k                    . Thật vậy  1X F  thì  X F  . Mặt khác    nX X       0nX X       1 , : ,mk n X X m n k           1, : , ,mk n d X F m n k        1 , : , ,mk n X B F m n k            1 1 , : , ,mk n X B F m n k                1 1 1 1 ,m k n m n X B F k                     Do đĩ  1 1 1 1 1 ,m k n m n X F X B F k                    . Ngược lại, nếu 1 1 1 1 ,m k n m n X B F k                    thì 1,k n  sao cho 1 1 1 : ,mm n X B F k               1,k n  sao cho  1 1 : ,mm n X B F k           1,k n  sao cho   1 1 : ,mm n d X F k    . Mặt khác, vì    nX X  nên     0nX X   . Do đĩ 2,k n  sao cho     2 1 : ,mm n d X X k     . Mặt khác, vì    nX X  nên     0nX X   . Do đĩ 2,k n  sao cho     2 1 : ,mm n d X X k     . Chọn  0 1 2max ,n n m , ta được            2, , ,m md X F d X X d X F k       , 0,k m n   Suy ra   , 0d X F  . Vì F đĩng nên  X F  hay  1X F  . Do đĩ  1 1 1 1 1 ,m k n m n X B F X F k                   Từ đĩ suy ra  1X F F nên F L tức là L chứa tất cả các tập đĩng. Điều đĩ chứng tỏ  E B L . Vậy  EL B . Vì vậy với mọi  B EB thì BL nên  1X B  G. Do đĩ X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được. Bây giờ giả sử  nX là phần tử ngẫu nhiên và . .h c c nX X . Khi đĩ tồn tại n F sao cho p   0N  và với mọi \ N ta cĩ     0nX X   . Đặt     , \ 0 , n n X khi N Y khi N         ;     , \ 0 , n X khi N Y khi N         . Ta cĩ    ,nY Y     . Vì  n nY X N  , mà ,NF p   0N  và p là độ đo đủ nên suy ra  n nY X F . Vì vậy với mọi  B EB ta cĩ          1 1 1n n n n n n nY B Y B Y X Y B Y X                  1 0n n nX B Y X N        F , trong đĩ      10 n n n n nN Y B Y X Y X N         , 0N F . Vậy nY là phần tử ngẫu nhiên. Do đĩ theo trường hợp đã chứng minh thì Y là phần tử ngẫu nhiên. Cuối cùng, vì  X Y N  nên  X Y F . Từ đĩ suy ra  X Y F . Do đĩ với mọi  B EB ta cĩ          1 1 1X B X B X Y X B X Y               F . Vậy X là phần tử ngẫu nhiên.  2.1.2 Định lí. Ánh xạ :X  e là phần tử ngẫu nhiên G- đo được khi và chỉ khi X là giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G - đo được, tức là tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc  nX G - đo được sao cho    lim sup 0n n X X        . Chứng minh. Điều kiện đủ là Định lí 2.1.1. Điều kiện cần: Giả sử :X  e là phần tử ngẫu nhiên G - đo được và  nx là dãy trù mật trong e. Với mỗi 1,2,3,...n  Đặt 1 1 1 ,L B x n        ; 2 2 1 1 , \L B x L n        ; …………………. 1 1 1 , \ m m m k k L B x L n           . Khi đĩ với mọi i j , ,i j mL L L  B (e) và do  nx trù mật trong e nên e 1 m m L    . Kí hiệu  : mJ m L   . Với mỗi m J chọn cố định m my L . Ánh xạ :nT e e xác định bởi . mn m L m J T y     Khi đĩ nT là B (e)/ B (e’) đo được. Thật vậy, với mọi BB (e) ta cĩ     1 : i n i i y B T B L    B (e). Đặt : Xn nX T X  e nT e. Ta cĩ     n nX T X    nT (e) J . Do J khơng quá đếm được nên  nX  cũng khơng quá đếm được. Ta sẽ chứng minh nX là phần tử ngẫu nhiên G - đo được. Thật vậy, với mọi BB (e) ta cĩ           11 1 1 1 'n n nX B T X B X T B X B        G Vì vậy nX là phần tử ngẫu nhiên rời rạc. Mặt khác,          2 ,m nX X T X X n           . Do đĩ     2 sup 0nX X n     khi n . Định lí được chứng minh.  2.1.3 Định lí. Ánh xạ :X  e là phần tử ngẫu nhiên G- đo được khi và chỉ khi X là giới hạn (theo chuẩn) của một dãy  nX các phần tử ngẫu nhiên đơn giản G - đo được và    nX X  , tức là    lim 0n n X X     và    nX X  với mọi n và mọi  . Chứng minh. Điều kiện đủ là Định lí 2.1.1. Điều kiện cần: Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên. Do e khả li nên tồn tại dãy  ny trù mật trong e, 0 0y  . Với mỗi 1,2,...n  xác định ánh xạ    0: ,..., , ,n n n lf E y y x E f x y    ,  0,...,l ny y y thỏa mãn ; 0mx y x y m l     ; ;mx y x y l m n     . Khi đĩ, với mọi n , nf là ánh xạ B (e) /B (e’) đo được. Thật vậy    1 : ;0 , ;n l m l mf y x E x y x y m l x y x y l m n               1 0 : : l n l m n m m l x x y x y x x y x y                  . Vì các ánh xạ 1 :f x x a  và 2 :f x x liên tục, nên ánh xạ :f x x a  liên tục. Tương tự :g x x b  liên tục. Do đĩ    ;a bf x x a x b    liên tục. Từ đĩ           1 1 1 1 ; ; 0 ;0 ;0 l m l m l n n l y y y y m m l f y f f                  B (e) với mọi l . Vậy với mọi BB (e) ta cĩ       1 1 : l n n l l y B f B f y     B (e). Vậy :nf e  e là B (e)/ B (e’) đo được. Mặt khác   0 0 .minn m m n x f x y x y x x        nên   2nf x x . Đặt n nX f X  . Khi đĩ    n n nX f X      | nf (e)|< tức là, nX chỉ nhận hữu hạn giá trị. Với mọi BB (e) thì           11 1 1 1 ' ,n n nX B f X B X f B X B          G BB (e). Do X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được, nên nX là phần tử ngẫu nhiên G- đo được. Vậy nX là phần tử ngẫu nhiên đơn giản G- đo được và  ( ) 2n nX f X x     với mọi n và mọi  . Cuối cùng ta cĩ         n nX X f X X        0 min 0n m m n f x x y x        khi n . Suy ra    lim n n X X    với mọi  . Vây X là giới hạn theo chuẩn của dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc  nX . Định lí được chứng minh.  2.1.4 Định lí. Cho e1, e2 là khơng gian Banach. :T e1 e2 là ánh xạ B (e1)/B (e2) đo được, :X  e là phần tử ngẫu nhiên G - đo được. Khi đĩ ánh xạ T  :X  e2 là phần tử ngẫu nhiên G- đo được. Chứng minh. Với mọi 2B  B (e2) ta cĩ   1 2T B   1B B (e1). Do đĩ        1 1 1 12 2 1( )T X B X T B X B       G.Vậy ánh xạ :T X  e2 là phần tử ngẫu nhiên G- đo được.  2.1.5 Hệ quả. Giả sử ánh xạ 1:X   e là phần tử ngẫu nhiên G - đo được thì ánh xạ 1:X   là đại lượng ngẫu nhiên G - đo được. Chứng minh. Ta cĩ 1: XX X    e  ,  liên tục nên đo được, áp dụng Định lí 2.1.4 ta cĩ điều phải chứng minh. 2.1.6 Định lí. Ánh xạ :X  e là phần tử ngẫu nhiên G-đo được khi và chỉ khi với mọi f  e’ thì  f X f X  là đại lượng ngẫu nhiên G-đo được. Chứng minh. Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được. Khi đĩ với mọi f  e’, f liên tục nên f là B (e)  / B đo được. Theo Định lí 2.1.4 ta cĩ  f X là đại lượng ngẫu nhiên G - đo được. Ngược lại, giả sử  f X là đại lượng ngẫu nhiên G - đo được với mọi f E cần chứng minh  1X B  G với mọi BB (e). Đặt {A L  1: X A  G}. Khi đĩ, L là  - đại số. Ta sẽ chứng minh B (e) L , nhưng B (e) là  - đại số sinh bởi các tập trụ nên ta chỉ cần chứng minh L chứa các tập trụ. Thật vậy, giả sử 1,..., nf f  e’ ˆ, nA  , đặt          1ˆ ˆ: ,..., nC A f X f X A     ,     1 ˆ ˆ,..., :nn n nL L f f A C A    G . Giả sử  1,..., : n nf f f E   là ánh xạ xác định bởi         1 2, ,..., nnx f x f x f x f x   . Do 1,..., nf f liên tục nên f  liên tục. Vậy f  là B (e)  / nB đo được. Từ đĩ              1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆC A f X A f X A g A               F F với   : ng f X  là ánh xạ  nF / B đo được nên suy ra nL là một  - đại số các tập con của n . Thật vậy (i)  1 ng    F suy ra n nL . (ii) ˆ nA L suy ra  1 ˆg A F nên        1 1 1 1ˆ ˆ ˆ\ \ \n ng A g g A g A       F . (iii) Giả sử   1i ni A L    nên    1 11 2ˆ ˆ; ;...g A g A  F suy ra  1 1 1 1 ˆ ˆ n n g A g A                F . Mặt khác nếu        1 1 2 2; ; .... ; nn nD B           thì           1 1 1 1 1 1 1 ; n i i i i g D fX D X f D X f                                11 1 1 ; ; n n i i i i i i i i f X f X                 F nên nD L từ đĩ  n nLB . Vậy với  ˆ nA B thì ˆ nA L , do đĩ  ˆC A  G. Từ chứng minh trên ta suy ra nếu  ˆ nA B thì  ˆC A  G. Bây giờ giả sử A là tập trụ, khi đĩ tồn tại 1; ,..., nn f f E ;  ˆ nA B ,      1 ˆ: ,..., nA x E f x f x A       1 :X A u X A            1 ˆ ˆ: ,..., nf X f X A C A     F do đĩ A L . Do L chứa các tập trụ nên  L E B . Điều này kéo theo  B EB thì B L nên  1X B  G.Từ đĩ X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được. Định lí được chứng minh.  2.1.7 Hệ quả. Cho ,X Y là các phần tử ngẫu nhiên G-đo được, ,a b , :  là đại lượng ngẫu nhiên G- đo được. Khi đĩ ,aX bY X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được. Chứng minh. Ta cĩ       aX bY aX bY      e,      X X      e. Do đĩ, với mọi f  e’, thì      f aX bY af x bf Y   là đại lượng ngẫu nhiên G- đo được và    f X f X  là đại lượng ngẫu nhiên G- đo được. Từ đĩ suy ra ,aX bY X là phần tử ngẫu nhiên G- đo được.  Cho ,tX t là họ các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên khơng gian ( , , F p) nhận giá trị trong (e, B (e)). Khi đĩ, họ ,tX t gọi là độc lập, nếu với mọi bộ hữu hạn jt  và   , 1jA E j n  B , ta cĩ p  1 11 j n n t j jj X A         p   1jt jX A . 2.1.8 Định lí. Giả sử e1, e2 là các khơng gian Banach;  ,tX t là họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong e1. Khi đĩ, nếu với mỗi t , :tT e1 e2 là ánh xạ B (e) /B (e1)-đo được, thì họ   ,t tT X t là phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong e2. Chứng minh. Nếu X là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong e1, AB (e) , :T e1e2 là ánh xạ B (e1) /B (e2) -đo được thì         1 1 1 1T X A X T A X A            với 'A B (e1). Chúng ta bỏ qua chứng minh định lí sau 2.1.9 Định lí. Giả sử 1 2, ,..., nX X X là các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên khơng gian ( , , F p) nhận giá trị trong (e, B (e)). Khi đĩ, điều kiện cần và đủ để 1 2, ,..., nX X X độc lập là với mọi 1 2, ,..., nf f f e’, các đại lượng ngẫu nhiên      1 2, ,..., nf X f X f X độc lập. 2.2 CÁC DẠNG HỘI TỤ Cho ( , , F p) là khơng gian xác suất đầy đủ, E là khơng gian Banach khả li, B (e) là  -đại số Borel của e. Cho X là phần tử ngẫu nhiên xác định trên khơng gian ( , , F p) nhận giá trị trong (e, B (e)). Với mọi 0p  ta kí hiệu e p p X X d    p, pX  (e p X 1 ) p . Giả sử  nX là dãy phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên khơng gian ( , , F p) nhận giá trị trong (e, B (e)). Ta nĩi  nX hội tụ đến X hầu chắc chắn nếu p lim 0 1n n X X     , kí hiệu là . .h c cnX X .  nX hội tụ đến X theo xác suất nếu lim n p   0nX X    với mọi 0  , kí hiệu là p nX X .  nX hội tụ đến X theo trung bình cấp p nếu lim n e 0 p nX X  , kí hiệu là p L nX X . 2.2.1 Định lí. . .h c cnX X khi và chỉ khi với mọi 0  lim n p sup 0m m n X X          . Chứng minh. Với mỗi 0  và mỗi 1,2,...n  . Đặt    supn m m m n m n D X X X X                  . Ta cĩ  nD  giảm khi n tăng và    cn m m n D X X       . Ta cĩ  lim 0n n X X        lim 0n n X X         0, : ,mn X X m n              1 , : ,mk n X X m n k        1 , : cnk n D k           1 1 1c n k n D k               . Do đĩ  lim 0n n X X    = 1 1 1c n k n D k            . Từ đĩ . .h c cnX X  p lim 0 1n n X X      p 1 1 1 1cn k n D k                p 1 1 1, 1,2,...cn n D k k                p 1 1 0, 1,2,...n n D k k               lim n  p 1 0, 1,2,...nD k k            lim n  p    0,nD   vì  nD  giảm khi n . Định lí được chứng minh.  2.2.2 Định lí. Nếu . .h c cnX X hoặc pL nX X thì nX X . Chứng minh. Nếu . .h c cnX X thì p nX X . Thật vậy, ta cĩ với mọi 0  0  p nX X    p sup m m n X X         . Mặt khác . .h c cnX X theo Định lí 2.2.1 với mọi 0  , lim n sup 0m m n X X          . Vậy pnX X . Nếu p L nX X thì p nX X . Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Markov cho đại lượng ngẫu nhiên nX X , ta cĩ với mọi 0  p   1n pX X      e 0 p nX X  do e 0 p nX X  khin . Vậy p nX X . Định lí được chứng minh.  Ta nĩi dãy phần tử ngẫu nhiên  nX là dãy cơ bản hầu chắc chắn (h.c.c) nếu p  ,lim 0 1n mm n X X    ;  nX là dãy cơ bản theo xác suất nếu , lim m n p   0nX X    với mọi 0  ;  nX là dãy cơ bản theo trung bình cấp 0p  nếu , lim m n e 0 p m nX X  . 2.2.3 Định lí. Dãy  nX là dãy cơ bản h.c.c khi và chỉ khi dãy  nX hội tụ h.c.c. Chứng minh. Đặt   1 : ( ) hội tụnX   ,   2 : ( ) cơ bảnnX   . Vì E là khơng gian Banach nên 1 2  . Do đĩ  nX hội tụ h.c.c  p  1 1   p  2 1   nX cơ bản h.c.c. Định lí được chứng minh.  2.2.4 Định lí. Dãy  nX là cơ bản h.c.c khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) lim n p , sup 0, 0k l k l X X            ; (ii) lim n p sup 0, 0k n k n X X             . Chứng minh. Ta cĩ k l k n l nX X X X X X     . Suy ra sup k n k n X X          , sup k l k l n X X           sup 2 k n k n X X          . Do đĩ (i) (ii). Ta sẽ chứng minh  nX là dãy cơ bản h.c.c khi và chỉ khi thỏa mãn (i). Đặt     ,, supn k l k n k nk l n X X X X                  . Khi đĩ   n  là dãy giảm nên tương tự chứng minh Định lí 2.2.3, ta cĩ   , 1 1 1 lim 0 1k l n k l m n X X._.