Phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc K

ô tổ đại số trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã trực tiếp giảng dạy và trang bị cho tôi đầy đủ kiến thức làm nền tản cho quá trình viết luận văn này. Đặc biệt tôi xin chân thành tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS Mỵ Vinh Quang người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong phòng Khoa học Công nghệ và Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Trung học phổ thông Trung An, huyện Cờ Đỏ, Thành phố Cần Thơ đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập. Tôi tỏ lòng biết ơn đến gia đình, anh em và bạn bè đã hỗ trợ và giúp đỡ tôi về tinh thân cũng như vật chất để tôi hoàn thành luận văn này. 3 1BMỤC LỤC 0TLỜI CẢM ƠN0T ............................................................................................... 2 0TMỤC LỤC0T .................................................................................................... 3 0TBẢNG KÍ HIỆU0T ........................................................................................... 5 0TLỜI MỞ ĐẦU0T ............................................................................................... 6 0TChương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN0T .................................................... 7 0T1.1.Các khái niệm cơ bản về mở rộng trường0T ................................................................ 7 0T1.1.1.Định nghĩa:0T ...................................................................................................... 7 0T1.1.2 Khái niệm mở rộng bởi 1 tập, mở rộng đơn và mở rộng lặp0T ............................. 7 0T1.1.3 Phần tử đại số0T .................................................................................................. 8 0T1.1.4 Mở rộng đại số 0T ................................................................................................ 8 0T1.2.Phần tử nguyên0T ....................................................................................................... 9 0T1.2.1.Định nghĩa0T ....................................................................................................... 9 0T1.2.2 Định lý:0T ........................................................................................................... 9 0T1.3.Bao đóng nguyên của một vành0T ............................................................................. 10 0T1.3.1 Các khái niệm cơ bản0T..................................................................................... 10 0T1.3.2 Các tính chất 0T .................................................................................................. 10 0T1.4.Các phần tử liên hợp đầy đủ0T .................................................................................. 12 0T1.5.Các ideal trong ORKR0T ................................................................................................ 13 0T1.5.1 Định thức của một hệ phần tử0T ........................................................................ 13 0T1.5.2 Định thức của một phần tử0T ............................................................................. 13 0T1.5.3 Tính chất 0T ....................................................................................................... 14 0T1.6.Miền Dedekind0T ..................................................................................................... 17 0T1.7.Hàm chuẩn và hàm Euler0T ...................................................................................... 22 4 0TChương 2: PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC K0T ......................................................................... 27 0T2.1 Chuẩn của ideal nguyên tố0T .................................................................................... 27 0T2.2 Phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc k0T ................................ 30 0T2.3 Phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc 30T................................ 36 0T2.4 Phân tích thành nhân tử trên trường vòng0T .............................................................. 41 0TKẾT LUẬN0T ................................................................................................. 50 0T ÀI LIỆU THAM KHẢO0T .......................................................................... 52 5 2B ẢNG KÍ HIỆU £ - tập số phức ¤ - tập số hữu tỉ ¢ - tập số nguyên [ ]:E F - bậc của mở rộng APBP - bao đóng nguyên của A trong B Ω - vành đóng nguyên của ¢ trong £ KO - vành các số nguyên đại số của trường K ( ),irr Fα - đa thức tối tiểu của α trên F ( ),lF α ¤ - đa thức trường của α trên ¤ ( )D α - định thức của phần tử α ( )D I - định thức của ideal I ( )N I - chuẩn của ideal I ∅ - tập rỗng ( )Pord A - số mũ của P trong sự phân tích của A ( )N α - chuẩn của phần tử α ( )Tr α - vết của phần tử α I - số phần tử của tập I indθ - chỉ số của θ p a - 2| , |p a p a/ mζ - căn nguyên thuỷ bậc m của 1 ( )nM ¢ - vành các ma trận vuông cấp n trên ¢ ■ - kết thúc phép chứng minh 6 3BLỜI MỞ ĐẦU Cho K là một trường mở rộng hữu hạn ¤ và ORKR là vành các số nguyên đại số trong K. Ta biết rằng O RKR nói chung không phải là miền nhân tử hoá. Cụ thể trong ORKR định lý cơ bản của số học có thể sẽ không còn đúng nữa, một số có thể phân tích thành tích các số nguyên tố theo nhiều cách khác nhau. Bởi vậy số học trong O RKR là khó nghiên cứu. Tuy nhiên, dựa theo ý tưởng của Dedekind “mỗi iđean của O RKR đều phân tích được thành tích duy nhất của các iđean nguyên tố”, chúng ta vẫn có thể xây dựng được số học trên vành các số nguyên đại số. Bởi vậy chúng tôi quyết định chọn đề tài “Phân tích thành nhân tử trên vành số nguyên đại số bậc k” và áp dụng của nó trên một số trường mở rộng bậc cao và số học trên các vành này. Bố cục của luận văn được chia thành 2 chường : • Chương 1: Các kiến thức cơ bản Trong chương này chúng tôi tình bài các kiến thức cơ bản liên quan đến đề tài: Các khái niệm cơ bản về mở rộng trường, phần tử nguyên, bao đóng nguyên của một vành, các phần tử liên hợp đầy đủ, các ideal trong O RKR, miền Dedekind, hàm chuẩn và hàm Euler. • Chương 2 : phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc k Trong chương này chúng tôi phân tích ideal thành tích nhân tử nguyên tố trên vành các số nguyên đại số bậc k và áp dụng sự phân tích dó trên vành các số nguyên đại số bậc 3 và trên trường vòng. Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong qúy Thầy Cô và các bạn đóng góp ý kiến bổ sung để luận văn được hoàn chỉnh hơn. 7 4BChương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về mở rộng trường, vành số nguyên đại số, miền Dedekind, và các tính chất của chúng. Chúng ta đi chứng minh mỗi ideal trong vành các số nguyên đại số đều được phân tích thành tích các ideal nguyên tố từ đó xây dựng số học trên vành các số nguyên đại số. 8B1.1.Các khái niệm cơ bản về mở rộng trường 19B .1.1.Định nghĩa: Cho F, E là các trường, nếu F là trường con của E thì E được gọi là mở rộng của F. Khi đó E là không gian vectơ trên F, [ ]dim :F E E F= bậc của mở rộng E trên F. • Nếu [ ]:E F = ∞ thì E là mở rộng vô hạn của F. • Nếu [ ]:E F n= thì E là mở rộng hữu hạn (bậc n) của F. Cho tháp mở rộng trường F E G⊂ ⊂ . Ta có [ ] [ ] [ ]: : . :G F G E E F= Hơn nữa nếu { } 1,i i nx = là cơ sở của E trên F và { } 1,j j ny = là cơ sở của G trên E thì { } 1, 1, i ni j j m x y = = là cơ sở của G trên F. 20B1.1.2 Khái niệm mở rộng bởi 1 tập, mở rộng đơn và mở rộng lặp Cho E là mở rộng của F, X là tập con của E. ( )F X là giao tất cả trường con của E vừa chứa F và X, ( )F X được gọi là mở rộng của F bởi X. ( )F X là trường con nhỏ nhất trong các trường con của E chứa F và X. Đặc biệt 8 • { }X a= khi đó [ ]( )( ) ( ) , , 0 ( ) f aF X F a f g F x g g a   = = ∈ ≠    và được gọi là mở rộng đơn. • { }1 2, ,..., , 2nX a a a n= ≥ khi đó • [ ]1 21 2 1 2 1 2 ( , ,..., )( ) ( , ,..., ) , , ,..., , 0 ( , ,..., ) n n n n f a a aF X F a a a f g F x x x g g a a a   = = ∈ ≠     và được gọi là mở rộng lặp. 21B .1.3 Phần tử đại số Định nghĩa Cho E là mở rộng của trường F. Lấy Eα ∈ , α được gọi là đại số trên F nếu tồn tại [ ]( ) , deg 1f x F x f∈ ≥ sao cho ( ) 0f α = . • Số phức đại số trên ¤ được gọi là số đại số. • Cho α là phần tử đại số trên F, khi đó tồn tại duy nhất [ ]( )f x F x∈ , ( )f x đơn khởi, bất khả quy trong [ ]F x và nhận α làm nghiệm. Đa thức ( )f x được gọi là đa thức tối tiểu của α trên F và được kí hiệu là ( ), .irr Fα • Nếu α đại số bậc n trên F thì ( ) :F F nα  =  và 2 11, , ,..., nα α α − là cơ sở của ( )F α trên F và ( ) { }10 1 1... nn iF a a a a Fα α α −−= + + + ∈ 2B1.1.4 Mở rộng đại số a Các định nghĩa • Cho E là mở rộng của F, E là mở rộng đại số của F nếu mọi phần tử Eα ∈ đều đại số trên F. Mở rộng không đại số gọi là mở rộng siêu việt. • Mở rộng chuẩn tắc Cho E là mở rộng của F, E là mở rộng chuẩn tắc của F nếu đa thức [ ]( )p x F x∈ bất khả quy trong [ ]F x , có nghiệm Eα ∈ thì ( )p x được phân tích thành tích các đa thức bậc nhất trong [ ]E x (E chứa tất cả các nghiệm của ( )p x ). Từ khái niệm trên ta được kết quả sau ( ), ,E irr Fα α∀ ∈ phân rã được trên E. 9 • Mở rộng tách được.  [ ]( )p x F x∈ tách được trên F nếu nó không có nghiệm bội trên F.  ,F E Eα⊂ ∈ gọi là tách được trên F nếu ( ),irr Fα tách được.  F E⊂ , E là mở rộng tách được nếu ,Eα α∀ ∈ đều tách được trên F.  Nếu 0charF = thì mọi đa thức bất khả quy trong [ ]F x đều tách được. Suy ra mọi mở rộng E của F đều tách được. b Định lý về phần tử nguyên thuỷ Định lý F E⊂ , E là mở rộng hữu hạn và tách được của F thì E là mở rộng đơn. Nghĩa là tồn tại Eα ∈ sao cho ( )F Eα = . Phần chứng minh của định lý trên độc giả sẻ tìm thấy ở Saban Alaca and Kenneth S. Williams [2, định lý 5.6.1, định lý 5.6.2, pp. 102 – 104]. 9B1.2.Phần tử nguyên 23B1.2.1.Định nghĩa  Cho A và B là các miền nguyên và A B⊂ . Phần tử b B∈ gọi là nguyên trên A nếu b là nghiệm của đa thức đơn khởi, hệ số thuộc A.  Một số phức nguyên trên ¢ được gọi là nguyên đại số.  ,b B∀ ∈ b nguyên trên A thì B được gọi là nguyên trên A . 24B1.2.2 Định lý: Cho A, B là các miền nguyên, A B⊂ . Nếu B là A_môđun hữu hạn sinh thì B nguyên trên A. 1.2.3 Định lý Cho A, B là các miền nguyên, ,A B b B⊂ ∈ , b nguyên trên A khi và chỉ khi [ ]A b là A_môđun hữu hạn sinh. 1.2.4 Định lý Cho A, B là các miền nguyên, 1, , ..., nA B b b B⊂ ∈ . 1, ..., nb b nguyên trên A khi và chỉ khi [ ]1, ..., nA b b là A_môđun hữu hạn sinh. Chứng minh của các định lý 1.2.4, 1.2.5, 1.2.6 độc giả tìm thấy ở Saban Alaca and Kenneth S. Williams [3, định lý 4.1.3, định lý 4.1.9, pp. 77 – 80]. 10 1.2.5 Định lý Cho A, B, C là các miền nguyên và A B C⊂ ⊂ . Nếu B nguyên trên A và C nguyên trên B thì C nguyên trên A. Chứng minh Lấy c C∈ suy ra c nguyên trên B, do đó tồn tại 0 1,..., nb b B− ∈ sao cho 1 1 0... 0 n n nc b c b − −+ + + = . Suy ra c nguyên trên [ ]0 1,..., nA b b − , do đó [ ]0 1,..., ,nA b b c− là [ ]0 1,..., nA b b − _môđun hữu hạn sinh. Mặt khác 0 1,..., nb b B− ∈ nên [ ]0 1,..., nA b b − là A_môđun hữu hạn sinh. Suy ra [ ]0 1,..., ,nA b b c− là A_môđun hữu hạn sinh. Vậy C nguyên trên A. ■ 10B .3.Bao đóng nguyên của một vành 25B1.3.1 Các khái niệm cơ bản • Cho A, B là các miền nguyên, A B⊂ . APBPR R= {b ∈B| b nguyên trên A} là vành con của B chứa A và được gọi là bao đóng nguyên của A trong B. • Cho A là miền nguyên, K là trường các thương của A. Bao đóng nguyên của A trong K gọi là bao đóng nguyên của A. Kí hiệu là APKP. • Miền nguyên A được gọi là vành đóng nguyên nếu APKP = A. Cho tháp mở rộng trường K⊂ ⊂¤ £ , [ ]:K n=¤ • Ω = =£¢ {α α∈£ nguyên trên ¢ } được gọi là bao đóng nguyên của ¢ trong £ . • α ∈Ω gọi là số nguyên đại số. • a∈¢ gọi là số nguyên hữu tỉ. • KKO = =¢ { Kα ∈ | α nguyên trên ¢ } gọi là vành các số nguyên đại số của trường K. Chú ý: = Ω∩¢ ¤ và KO K= Ω∩ 26B1.3.2 Các tính chất i) Mỗi số đại số đều được viếc dưới dạng u a α = trong đó u là số nguyên đại số và a là số nguyên hữu tỉ. 11 Chứng minh Giả sử 11 1 0... 0, n n n n ia a a a aα α α − −+ + + + = ∈¤ . Gọi a là mẫu số chung của các ia ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0... 0 n n n n na a a a a a a a aα α α − − −+ + + + = suy ra aα nguyên trên ¢ và do đó , ,a u u a a a αα = = ∈Ω ∈¢ . ■ ii) K là trường các thương của ORKR. Giả sử K’ là trường các thương của ORKR. ta chứng minh K = K’. Thật vậy với mọi 'Kα ∈ thì ( , )K u u v O v α = ∈ suy ra Kα ∈ . Ngược lại với Kα ∈ thì α đại số trên ¤ theo tính chất (i) tồn tại a∈¢ sao cho a a αα = trong đó aα ∈Ω mà a Kα ∈ suy ra Ka K Oα ∈Ω∩ = . Do đó ' a K a αα = ∈ . ■ iii) KO là vành đóng nguyên ( K K KO O= ) Chứng minh Với KKOα ∈ ta có Kα ∈ và α nguyên trên KO nên [ ]KO α nguyên trên KO , mà KO nguyên trên ¢ nên [ ]KO α nguyên trên ¢ . Do đó α nguyên trên ¢ hay KOα ∈ . ■ iv) Nếu α ∈Ω thì mọi liên hợp với α trên ¤ cũng thuộc Ω . Do đó, Kα∀ ∈ , KOα ∈ khi và chỉ khi [ ]( , )irr xα ∈¤ ¢ . Chứng minh Lấy α ∈Ω ta có α là nghiệm của ( ) [ ]11 1 0...n nnf x x a x a x a x−−= + + + ∈¢ . Giả sử ( , , ) ( )irr x p xα =¤ khi đó ( ) ( )|p x f x . Do đó mọi nghiệm của p(x) đều là nghiệm của f(x) nên chúng đều là số nguyên đại số. Vậy mọi liên hợp với α trên ¤ đều thuộc Ω . Tiếp theo ta chứng minh Kα∀ ∈ , KOα ∈ khi và chỉ khi [ ]( , )irr xα ∈¤ ¢ . Thật vậy do [ ]( , )irr xα ∈¤ ¢ nên KOα ∈ . Ngược lại với KOα ∈ ta có ( ) [ ]11 1 0, ...n nnirr x a x a x a xα −−= + + + ∈¤ ¤ 1 2( )( )...( )nx x xα α α= − − − 12 trong đó 1 2, ,..., nα α α là các liên hợp của α trên ¤ . Theo định lý Vi-ét ta có ( ) 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 0 ... ... ... ... ... 1 n n n n n n n n a a a α α α α α α α α α α α α − − − + + + = − + + + + = = − vì iα ∈Ω nên 0 1 1, ,..., na a a − ∈Ω do đó ia ∈Ω =I ¤ ¢ suy ra ( ) [ ],irr xα ∈¤ ¢ .■ 1B .4.Các phần tử liên hợp đầy đủ 1.4.1 Định lý Cho K⊂ ⊂¤ £ , K là mở rộng hữu hạn bậc n của ¤ . Khi đó có đúng n đơn cấu trường từ K vào £ , kí hiệu là 1 2, ,..., nσ σ σ . Chứng minh: K là mở rộng hữu hạn bậc n của ¤ , K tách được trên ¤ (do char ¤ = 0). Suy ra tồn tại Kθ ∈ sao cho ( )K θ= ¤ . Do ( , )irr θ ¤ bậc n nên ( , )irr θ ¤ có n nghiệm trong £ là 1 2, , ..., nθ θ θ θ= . Nếu : Kσ → £ là đơn cấu trường thì ( ) ,r r rσ = ∀ ∈¤ . Ta có 1 0... 0 n a aθ θ+ + + = nên ( )( ) ( )1 0... 0 n a aσ θ σ θ+ + + = điếu đó cho ta biết ( )σ θ là nghiệm của ( ),irr θ ¤ , từ đó suy ra ( ) { }1 2, , , ...,k k nσ θ θ θ θ θ θ= ∈ . Với Kα ∈ thì ta có 10 1 1... , n n ib b b bα θ θ − −= + + + ∈¤ khi đó ( ) 10 1 1... (*)nk n kb b bσ α θ θ −−= + + + . Suy ra có tối đa n đơn cấu trường từ K vào £ . Ngược lại, với 1,k n= , công thức (*) là 1 đơn cấu trường từ K vào £ . Vậy có đúng n đơn cấu trường từ K vào £ xác định bởi công thức (*). ■ 1.4.2 Định nghĩa Cho Kα ∈ , ta định nghĩa dãy ( ) ( ) ( )1 2, ,..., nσ α σ α σ α là dãy các phần tử liên hợp đầy đủ của α . Kí hiệu ( ) ( )( ) 1 , n l i i F xα σ α = = −∏¤ là đa thức trường của α trên ¤ . 1.4.3 Định lý 1) Nếu Kα ∈ thì ( ) [ ],lF xα ∈¤ ¤ 2) ( ) ( )( )* : , , sls F irrα α∃ ∈ =¥ ¤ ¤ 13 3) Nếu KOα ∈ thì ( ) [ ],lF xα ∈¤ ¢ 1.4.4 Hệ quả α là phần tử sinh của K khi và chỉ khi ( ) ( )1 ,..., nσ α σ α đôi một khác nhau. Chứng minh của các định lý và hệ quả trên độc giả tìm thấy ở Saban Alaca and Kenneth S. Williams [3, pp. 118 – 122]. 12B .5.Các ideal trong ORK 27B1.5.1 Định thức của một hệ phần tử Cho K là trường con của £ , [ ]:K n=¤ và ORKR vành các số nguyên đại số của K. Xét n số 1, ..., n Kα α ∈ . Ta định nghĩa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 , ..., ... n n n n n n n D α α α σ α σ α σ α α α σ α σ α σ α = L L M M L M ( )1, ..., nD α α gọi là định thức của hệ phần tử 1, ..., nα α . 28B1.5.2 Định thức của một phần tử Cho Kα ∈ , ( ) ( )1 11, , ..., nD Dα α α −= là định thức của phần tử α . ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 21 1 22 2 1 1 1 1 1 ... n n j i i j n n n n D α α σ α σ α α σ α σ α σ α σ α − − ≤ < ≤ − = = −∏ L L M M L M Nếu α là phần tử sinh của K thì ta có ( ) ( ) ( )1 2, ,..., nσ α σ α σ α đôi một khác nhau, do đó ( ) 0D α ≠ . Nhận xét Cho 1 2, , ..., n Kβ β β ∈ và 14 1 11 1 1 2 21 1 2 1 1 ... ... ... n n n n n n nn n c c c c c c β α α β α α β α α = + + = + + = + + L , ijc ∈¤ Khi đó ( ) ( ) ( )21 1, ..., det , ...,n nD C Dβ β α α= trong đó ( ) xn n ijC c= 29B1.5.3 Tính chất i) Nếu 1 2, , ..., n Kα α α ∈ thì ( )1, ..., nD α α ∈¤ ii) Nếu 1 2, , ..., n KOα α α ∈ thì ( )1, ..., nD α α ∈¢ iii) 1 2, , ..., nα α α độc lập tuyến tính trên ¤ khi và chỉ khi ( )1, ..., 0nD α α ≠ . Độc giả sẻ tìm thấy chứng minh của tính chất trên ở Saban Alaca and Kenneth S. Williams [3, pp. 127 – 128] 1.5.4 Bổ đề Cho , 0kI O I ≠< khi đó tồn tại c ≠ 0 thuộc vào I ∩¢ . Chứng minh Do 0I ≠ nên tồn tại Iα ∈ sao cho 0α ≠ và do KOα ∈ nên ( ) [ ]1 0, ...kirr x c x c xα = + + + ∈¤ ¢ . Vì 0α ≠ và ( ),irr α ¤ bất khả qui trong nên 0 0c ≠ mà 1 0... 0 k c cα α+ + + = suy ra 0 1... kc c Iα α= − − − ∈ ∩¢ . ■ 1.5.5 Bổ đề Cho , 0kI O I ≠< khi đó tồn tại 1,..., n Iα α ∈ để ( )1,..., 0nD α α ≠ . Chứng minh Ta có ( )K θ= ¤ và ( ) 0D θ ≠ . Theo tính chất 1.3.2 ta có *, ,a a βθ = ∈¢ β ∈Ω và theo bổ đề 1.5.4 tồn tại 0b ≠ và b I∈ ∩¢ . Đặt b Iα β= ∈ khi đó ( ) ( ) ( )abα θ θ= =¤ ¤ ¤ . Từ đó suy ra ( ) 0D α ≠ nên ( ) ( )1 2 1, ,..., 1, ,..., 0n n nD b b b b Dα α α α− −= ≠ Đặt 1, 1,ii b i nα α −= = thì ta có ( )1,..., 0nD α α ≠ . ■ 15 1.5.6 Định lý Cho , 0kI O I ≠< , khi đó tồn tại 1,..., n Iα α ∈ sao cho x I∈ thì x được viết duy nhất dươi dạng 1 1 2 2 ... ,n n ix c c c cα α α= + + + ∈¢ . Chứng minh Kí hiệu ( ) ( ){ }1 1,..., , ,..., 0n i nS x x x I D x x= ∈ > . Theo bổ đề 1.5.5 thì S ≠ ∅ nên tồn tại ( )1,..., n Sα α ∈ sao cho ( )1,..., nD α α bé nhất. Vì ( )1,..., 0nD α α ≠ nên 1,..., nα α độc lập tuyến tính trên ¤ , do đó 1,..., nα α là cơ sở của K. Vì vậy với x I∈ ta có 1 1 2... ,n ix c c cα α= + + ∈¤ . Ta chứng minh , 1,ic i n∈ ∀ =¢ . Thật vậy giả sử tồn tại ic ∉¢ , chẳng hạn là 1c ∉¢ . Do 1c ∉¢ nên 1: 1k k c k∃ ∈ < < +¢ . Xét ( )1 1 1 2 2 ... n ny x k c k c cα α α α= − = − + + + và ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ... , 1,i i i n i ny c k c c i nσ σ α σ α σ α= − + + + = Xét hệ phương trình sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ... n n n n n n n n n n x x x y x x x y x x x y α α α σ α σ α σ α σ σ α σ α σ α σ + + + =  + + + =    + + + = L Vì ( )1,..., 0nD α α ≠ nên hệ có nghiệm duy nhất là ( )1 2, ..., nc k c c− . Từ đó ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 , ,..., , ,..., n n D y c k D α α α α α − = suy ra ( ) ( ) ( )22 1 1 2, ,..., , ,...,n nD y c k Dα α α α α= − . Vì ( )210 1c k< − < nên ( ) ( )2 1 2, ,..., , ,...,n nD y Dα α α α α< (!). ■ 1.5.7 Hệ quả Mọi ideal khác 0 của KO đều hữu hạn sinh nên KO là vành Noether. 1.5.8 Định nghĩa Cho I là ideal khác 0 của KO khi đó tồn tại 1,..., n Iα α ∈ sao cho x I∈ thì x được viết duy nhất dươi dạng 1 1 2 2 ... , .n n ix c c c cα α α= + + + ∈¢ Hệ 1,..., nα α được gọi là cơ sở của I. Một cơ sở của KO gọi là cơ sở nguyên của K. Vậy theo định lý 1.56 thì mọi ideal khác 0 của ORKR đều có cơ sở. 16 1.5.9 Định lý Cho I là ideal khác 0 của KO . i) Nếu 1,..., nα α và 1,..., nβ β là 2 cơ sở của I thì ( ) ( )1 1,..., ,...,n nD Dα α β β= ii) Nếu 1,..., nα α là cơ sở của I và 1,..., n Iβ β ∈ sao cho ( ) ( )1 1,..., ,...,n nD Dα α β β= thì 1,..., nβ β cũng là cơ sở của I. Chứng minh i) 1,..., nβ β là cơ sở nên 1 , n i ij j ij j b bα β = = ∈∑ ¢ do đó ( ) ( ) ( )21 1,..., det ,...,n nD B Dα α β β= . Mặt khác vì 1,..., nα α là cơ sở của I nên ta có 1 , n j ij i ij i c cβ α = = ∈∑ ¢ , ijc ∈¢ do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1,..., det ,..., det det ,...,n n nD C D B C Dβ β α α β β= = . Từ đó suy ra ( ) ( )2 2det det 1B C = cho nên ( ) ( )2 2det det 1 (det , det )B C B C= = ∈¢ . Vậy ( ) ( )1 1,..., ,...,n nD Dα α β β= . ii) 1,..., nα α là cơ sở nên 1 , n j ij i ij i c cβ α = = ∈∑ ¢ do đó ( ) ( ) ( )21 1,..., det ,...,n nD C Dβ β α α= mà ( ) ( )1 1,..., ,...,n nD Dα α β β= nên det 1C = ± hay C khả nghịch và ( )1 nC M− ∈ ¢ . Ta lại có ta có [ ] [ ]1 1 1 1, , , ,Cβ β α α=K K nên [ ] [ ]11 1 1 1, , , ,Cα α β β−=K K hay 1,..., nα α biểu thị tuyến tích được qua 1,..., nβ β với hệ số thuộc ¢ . Vậy 1,..., nβ β là cơ sở của I. ■ 1.5.10 Định nghĩa Cho , 0kI O I ≠< , ta định nghĩa ( ) ( )1,..., nD I D α α= với 1,..., nα α là một cở sở bất kỳ của I. Đặt biệt khi kI O= thì ( )K KD O d= . Nhận xét ( ) *N I ∈¥ 1.5.11 Định lý Trong vành KO mọi ideal nguyên tố khác 0 đều tối đại. Chứng minh Giả sử tồn tại ideal nguyên tố khác 0 nhưng không tối đại. Gọi S là tập tất cả các ideal nguyên tố khác 0, không tối đại, S ≠ ∅ . Vì KO là vành Noether nên S có 17 phần tử tối đại. Gọi PR1R là phần tử tối đại của S. Vì PR1 R∈ S nên PR1R không là ideal tối đại trong KO , do đó tồn tại PR2R là ideal tối đại của KO sao cho 1 2 KP P O⊂ ⊂ . Suy ra tồn tại 2 1\P Pα ∈ mà KOα ∈ nên 1 0,...,kb b−∃ ∈¢ để 1 1 0 1... 0 k k kb b Pα α − −+ + + = ∈ . Gọi l là số tự nhiên bé nhất có tính chất : 1 0,...,lc c−∃ ∈¢ để 1 1 0 1... l l lc c Pα α − −+ + + ∈ Vì 2Pα ∈ nên 0 2c P∈ suy ra 0 2c P∈ ∩¢ . Ta lại có ( ) ( )1 20 P P≠ ∩ ⊂ ∩ ⊂¢ ¢ ¢ và 1P ∩¢ , 2P ∩¢ là các ideal nguyên tố của ¢ nên cũng là ideal tối đại của ¢ , do đó 1 2P P∩ = ∩¢ ¢ . Từ đó ta có 0 1c P∈ ∩¢ cho nên 0 1c P∈ hay 1 1 1 1... l l lc c Pα α α − −+ + + ∈ . Suy ra ( )1 21 1 1...l llc c Pα α α− −−+ + + ∈ mà 1Pα ∉ nên 1 2 1 1 1... l l lc c Pα α − − −+ + + ∈ (mâu thuẫn với cách chọn l). ■ 13B .6.Miền Dedekind 1.6.1 Định nghĩa Một miền nguyên D được gọi là miền Dedekind nếu i) D đóng nguyên. ii) D là miền Noether. iii) Mọi ideal nguyên tố khác 0 của D đều là ideal tối đại. Ví dụ • Miền các ideal chính là miền Dedekind. • KD O= là miền Dedekind. 1.6.2 Định lý Trong miền Noether D, mọi ideal khác 0 đều chứa tích của một hoặc nhiều ideal nguyên tố. Chứng minh Giả sử tồn tại ideal khác 0, không chứa tích của một hoặc nhiều ideal nguyên tố. Kí hiệu S là tập tất cả các ideal như vậy, S ≠ ∅ . Suy ra S có phần tử tối đại là A. Do A không là ideal nguyên tố của D nên tồn tại các ideal B, C của D sao cho BC là con của A nhưng B, C không là con của A. Vì A A B⊂ + nên A B S+ ∉ suy ra 1 2... ( 1)kPP P A B k⊂ + ≥ trong đó , ii P∀ là ideal nguyên tố. Tương tự ta có 1 2... ( 1)lQ Q Q A C l⊂ + ≥ trong đó , jj Q∀ là ideal nguyên tố. Từ đó ta suy ra ( )( )1 2 1 2... . ...k lPP P Q Q Q A B A C A⊂ + + ⊂ (!). ■ 18 1.6.3 Định nghĩa Cho D là miền nguyên, K là trường các thương của D. Tập con khác rông I của K được gọi là ideal phân của D nếu: i) , ,I Iα β α β∀ ∈ + ∈ . ii) , ,I D Iα β αβ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ . iii) , 0D saocho I Dθ θ θ∀ ∈ ≠ ⊂ . Cho P là ideal nguyên tố của D. Ta định nghĩa ° { }P K P Dα α= ∈ ⊂ . Ta chứng minh được °P là ideal phân của D. 1.6.4 Bổ đề Cho D là vành Dedekind, P là ideal nguyên tố của D. Khi đó °PP D= . Chứng minh Ta chứng minh °PP P= hoặc °PP D= . Thật vậy ta có °PP là ideal phân của D. Với °,P Pα β∈ ∈ ta có P Dαβ α∈ ⊂ do đó °PP D⊂ , từ đó suy ra °PP là ideal của D. Vì 1.P P D= ⊂ nên °1 P∈ hay °P PP⊂ . Mặt khác do P là ideal nguyên tố nên P là ideal tối đại, do đó °PP P= hoặc °PP D= . Với Dα ∈ , ta có P P Dα ⊂ ⊂ cho nên °Pα ∈ suy ra °D P⊂ . Ta chứng minh ° \P Dθ∃ ∈ . Lấy { }\ 0Pβ ∈ khi đó 0 Pβ≠ ⊂ và theo 1.6.2 ta có 1... ( 1) (*)kP P kβ ⊃ ≥ , trong đó 1, ..., kP P là các ideal nguyên tố. Không mất tính tổng quát, giả sử k là số dương bé nhất có tính chất (*). Vì 1... kP P Pβ⊂ ⊂ nên tồn tại iP P⊂ . Do iP nguyên tố nên iP tối đại suy ra iP P= , giả sử 1P P= . Ta xét 2 trường hợp sau i) k = 1 Khi k = 1 thì 1P P β= = . Với 1θ β = ta có 1 1P P Dθ β β β = = ⊂ nên °Pθ ∈ . Nếu Dθ ⊂ thì 1 D β ⊂ , suy ra β khả nghịch trong D suy ra P Dβ= = (!). Suy ra ° \P Dθ ∈ . ii) k > 1 19 Do k bé nhất có tính chất (*) nên 2... kP P β⊄ suy ra 2... \kP Pδ β∃ ∈ . Chọn Kδθ β = ∈ ta cos 11 1 ... kP PP P P D βδ δθ β β β β = = ⊂ ⊂ ⊂ suy ra °Pθ ∈ . Giả sử Dθ ∈ khi đó Dδ β ∈ suy ra Dδ β β∈ = (trái với cách chọn δ ). Suy ra ° \P Dθ ∈ . Vây từ chứng minh trên ta có °P D≠ . Tiếp theo ta chứng minh °PP D= . Giả sử °PP D≠ suy ra °PP P= . Khi đó ta chứng minh °P là một miền nguyên. Lấy °, Pα β ∈ ta có ( ) °P P P D Pα β α β α β+ ⊂ + ⊂ ⇒ + ∈ ( ) ( ) °P P P P D Pαβ α β α αβ= ⊂ ⊂ ⊂ ⇒ ∈ (vì °P PP Pβ ⊂ = ) suy ra °P là một miền nguyên. Vì D là miền Noether nên °P là D_moodun hữu hạn sinh. Do đó theo định lý 1.2.1 suy ra °P nguyên trên D mà D là miền Dedekind nên D đóng nguyên nên °P D⊂ . (!) Vậy °PP D= . ■ 1.6.5 Định lý Trong miền Dedekind, mọi ideal khác 0 của D đều phân tích được duy nhất thành tích các ideal nguyên tố. Chứng minh Giả sử tồn tại ideal I khác 0 của D, I không phân tích được thành các ideal nguyên tố. Kí hiệu S là tập tất cả các ideal như vậy, suy ra S ≠ ∅ . Do D là miền Dedekind nên S có phần tử tối đại A. Do A không là ideal nguyên tố nên A không là ideal tối đại, suy ra tồn tại ideal tối đại P sao cho A P⊂ . Mặt khác theo định lý 1.6.2 1 1... ... ( 1) (*)k kA P P P P P k⊃ ⇒ ⊃ ≥ . Do P là ideal nguyên tố nên tồn tại iP sao cho iP P⊂ , giả sử 1P P⊂ suy ra 1P P= . Nếu k = 1 thì 1 1P P A P= ⊃ ⊃ do đó 1A P= (trái với cách chọn A). Vậy 2k ≥ . Gọi k là số bé nhất thoả mãn (*). Vì °11 P∈ nên °1A P A⊆ . Nếu °1A P A= thì ° °1 1 1 2... ...k kA P A PP P P P= ⊃ = (trái với cách chọn k) suy ra °1A P A⊂ . Ta lại có 1P P A= ⊃ nên ° °1 1P A PP D⊂ = hay °1P A là ideal 20 của D. Do °1A P A⊂ nên °1P A S∉ suy ra °1P A phân tích được như sau °1 1... ,hP A Q Q= iQ nguyên tố. Do đó 1 1... lA PQ Q= hay (!)A S∉ . Vậy mọi ideal khác 0 và D đều phân tích được thành tích các ideal nguyên tố. • Chứng minh sự duy nhất Giả sử 1 1... ...k lA P P Q Q= = , trong đó ,i jP Q nguyên tố. Ta chứng k = l và bằng cách đánh số lại ta có , 1,i iP Q i k= = . Thật vậy 1 1 1 1 1... ... :k l i i iP P P Q Q Q Q P Q P⊃ = ⇒ ∃ ⊂ ⇒ = Không mất tính tổng quát ta có 1 1Q P= suy ra 2 2... ...k lP P Q Q= . Lập luận tương tự như trên ta suy ra 2 2 3 3, ,...Q P Q P= = . Nếu k < l, sau k lần ta có 1... (!)k lD Q Q+= . Vậy k = l và , 1,i iP Q i k= = . ■ 1.6.6 Hệ quả Cho A là ideal phân của D khác 0 và khác D. Khi đó ta có 1 * 1 ... , ,m kk m m iA P P k P= ∈¢ là các ideal nguyên tố đôi một khác nhau. 1.6.7 Định nghĩa • Cho A là ideal (ideal phân) của D, P là ideal nguyên tố. Chỉ số của P trong A được kí hiệu là ( )Pord A , ( )Pord A là số mũ của P trong sự phân tích của A. • Cho A, B là hai ideal (ideal phân) của D. Ta nói B là ước của A được kí hiệu là B|A nếu tồn tại ideal C sao cho A = BC. Nhận xét Cho A, B là hai ideal (ideal phân) của D. Khi đó B A A B⇔ ⊂ ( ) ( )P Pord A ord B⇔ ≥ , P∀ nguyên tố. 1.6.8 Tính chất 1) ( ) ( ) ( )P P Pord AB ord A ord B= + 2) ( ) ( ) ( ){ }min ,P P Pord A B ord A ord B+ = Chứng minh 1) hiển nhiên. 2) Ta có A A B⊂ + nên ( ) ( )P Pord A ord A B≥ + . Tương tự ta cũng có ( ) ( )P Pord B ord A B≥ + . Suy ra ( ) ( ) ( ){ }min ,P P Pord A B ord A ord B+ ≤ (1). 21 Mặt khác, giả sử 1 11 1... ; ...m m k lk l m mA P P B P P= = . Đặt { } { }1 1 min ,min , 1 ... m m k lk l mC P P= . Khi đó ta có A B C+ ⊆ nên ( ) ( )P Pord C ord A B≤ + suy ra ( ) ( ){ } ( )min , (2)P P Pord B ord B ord A B≤ + Từ (1) và (2) suy ra ( ) ( ) ( ){ }min ,P P Pord A B ord A ord B+ = . ■ 1.6.9 Định nghĩa Cho D là miền Dedekind, K là trường các thương của D. Cho , 0Kα α∈ ≠ , ta định nghĩa ( ) ( )P Pord ordα α= cho mỗi ideal nguyên tố P của D. 1.6.10 Tính chất i) ( ) ( ) ( )P P Pord ord ordαβ α β= + ii) ( ) ( ) ( ){ }min ,P P Pord ord ordα β α β+ ≥ iii) Nếu ( ) ( )P Pord ordα β≠ thì ( ) ( ) ( ){ }min ,P P Pord ord ordα β α β+ = Chứng minh i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P P P P P Pord ord ord ord ord ordαβ αβ α β α β= = + = + ii) Ta có α β α β+ ⊂ + nên ( ) ( ) ( ) ( )P P P Pord ord ord ordα β α β α β+ = + ≥ + Mà ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }min , min ,P P P P Pord ord ord ord ordα β α β α β+ = = nên ( ) ( ) ( ){ }min ,P P Pord ord ordα β α β+ ≥ . iii) Giả sử ( ) ( )P Pord ordα β< khi đó ( ) ( ){ } ( )min ,P P Pord ord ordα β α= theo (ii) ( ) ( )P Pord ordα β α+ ≥ . Ta lại có ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )min ,P P P P Pord ord ord ord ordα α β β α β β α β= + − ≥ + = + Vậy ( ) ( ) ( ) ( ){ }min ,P P P Pord ord ord ordα β α α β+ = = . ■ 1.6.11 Định lý Cho D là miền Dedekind, 1 ,... , mP P là các ideal nguyên tố đôi một khác nhau, , 1,ia i n∈ =¢ . Khi đó tồn tại Kα ∈ để ( ) ( ), 0, iP i P i ord a ord P Pα α= ≥ ∀ ≠ . 22 14B .7.Hàm chuẩn và hàm Euler 1.7.1 Định nghĩa Cho , 0kI O I ≠< . ( ) ( ) K D I N I d = gọi là chuẩn của ideal I. 1.7.2 Định lý Nếu A ideal của D thì ( ) DN A A= Chứng minh Gọi 1 2, ,..., nα α α là cở sở của A và 1 2, ,..., nβ β β là cở sở của D. Ta có 1 11 1 1 1 1 ... , ... n n ij n n nn n c c c c c α β β α β β = + +  ∈  = + + M ¢ hay [ ] [ ]1 1, ..., , ...,n n Cα α β β= (1) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 , ..., det , ..., det , ..., , ..., n n n n D C D N A C D D α α β β β β β β = = = Mặt khác 1 2C T DT= (2) trong đó ( ) ( )1 2, , det 1, 1,2n iT T M t i∈ = ± =¢ và 1 2 0 0 0 0 , 0 0 0 i n d d D d d      = ∈       L L ¢ ._.