Phân tích động học cơ cấu gạt phôi sử dụng phương pháp đại số phức

ã được xác định bao gồm: chuyển vị, vận tốc góc v gia tốc góc. Từ đó, hoàn toàn có thể xác định được quỹ đạo, vận tốc dài và gia tốc dài của các điểm trên khâu. Các kết quả đạt được rất nhanh chóng và chính xác bằng việc lập trình Matlab. Từ khóa: Cơ cấu gạt phôi, động học, số phức 1. Giới thiệu về phân tích động học cơ cấu Phân tích động học cơ cấu là nghiên cứu quy luật chuyển động của cơ cấu khi đã biết lược đồ động học của cơ cấu và quy luật chuyển động của khâu dẫn. Phân tích động học cơ cấu bao gồm ba bài toán: chuyển vị, vận tốc và gia tốc [1]. Giải các bài toán này sẽ biết được quy luật chuyển vị, quy luật biến đổi vận tốc của các điểm hay các khâu cần xét trên cơ cấu. Các kết quả phân tích động học rất cần thiết cho việc thiết kế máy bởi ba lý do. Thứ nhất, để phối hợp chuyển động giữa các cơ cấu khác nhau trong cùng một bộ máy phải biết quy luật chuyển vị của từng cơ cấu (bài toán chuyển vị). Thứ hai, để nghiên cứu và cải thiện chuyển động thực của máy dưới tác dụng của các lực phải biết vận tốc hay tỷ số vận tốc của các khâu (bài toán vận tốc). Thứ ba, để tính toán thiết kế hoặc kiểm tra bền cho chi tiết máy cần phải xác định được lực tác dụng lên chi tiết máy, trong đó việc xác định lực quán tính là rất quan trọng; muốn vậy phải biết quy luật biến đổi gia tốc các khâu (bài toán gia tốc). Cơ cấu gạt phôi là một cơ cấu biến chuyển động quay của khâu dẫn 1 thành chuyển động tịnh tiến khứ hồi của khâu đầu ra 7 (hình 1). Cơ cấu này có rất nhiều ứng dụng trong thức tế, điển hình là trong lĩnh vực gạt phôi trong hệ dẫn động băng tải, gạt phôi trong lò luyện thép. Bằng việc kết hợp chuyển động của cơ cấu bốn khâu bản lề và cơ cấu hình bình hành với các kích thước động phù hợp để tạo ra chuyển động khứ hồi của cơ cấu. Việc phân tích động học cho cơ cấu này là rất cần thiết bởi vì từ việc phân tích này người ta có thể xác định được quy luật chuyển động của các khâu trong cơ cấu. Đồng thời, dựa vào việc phân tích này để có thể thiết kế các khâu của cơ cấu với mỗi ứng dụng cụ thể. Vì vậy tác giả đã chọn đề tài này để tính toán động học cho cơ cấu gạt phôi là một vấn đề cần thiết. Hình 1. Lược đồ cơ cấu gạt phôi Có nhiều phương pháp phân tích động học cơ cấu như: phương pháp vẽ hay phương pháp đồ thị [1], phương pháp giải tích [1,2,4,5], phương pháp số [3]. Phương pháp đồ thị rất thuận tiện, giải bài toán một cách nhanh gọn mà vẫn đạt được độ chính xác cần thiết trong bài toán kỹ thuật. Còn phương pháp giải tích có ưu điểm là cho độ chính xác cao và mối quan hệ giữa các đại lượng được biểu diễn bằng biểu thức giải tích. Vì vậy, có thể dễ dàng nghiên cứu ảnh hưởng của các O1 O2 B A C D E O3 1 2 0 3 4 6 7 5 2 Hình 2. Cách biểu diễn số phức (a) Hệ tọa độ cực; (b) Hệ tọa độ đề các thông số này đối với nhau. Trong bài báo này trình bày phương pháp đại số phức để giải bài toán động học cho cơ cấu gạt phôi. Phương pháp đại số phức không những hể hiện được mối quan hệ giữa các đại lượng tính toán bằng biểu thức đại số, mà nó còn thể hiện được dưới dạng véc tơ. 2. Phương pháp nghiên cứu Đối với bài toán phân tích động học của cơ cấu phẳng, chiều dài của các khâu cho trước; vị trí, vận tốc góc, gia tốc góc của khâu dẫn cũng được xác định trước 2.1. Cách biểu diễn số phức Ta có thể biểu diễn số phức trong hệ tọa độ độc cực hoặc hệ tọa độ đề các [2]. Hình 3. Sơ đồ tính toán Trong hệ độc cực: jRe  , trong hệ tọa độ đề các: 2.2. Xác định vị trí của các khâu Phương trình chuỗi động kín (hình 3): 2 3 4 1 0r r r r    32 4 1( )( ) ( ) ( ) 0 jj j j ae be ce de       (1) Với: 2 3 4 1; ; ; ;r a r b r c r d AC p      Xác định góc quay  Ta có: 3 = f(a,b,c,d, 2); 4 = g(a,b,c,d, 2) Từ (1) ta có: 2 2 3 3 4 4 1 1 (cos sin ) (cos sin ) (cos sin ) (cos sin ) 0 a j b j c j d j                  2 3 4 1 2 3 4 1 . θ . θ . θ . θ    0 . θ . θ . θ   . θ  0 a cos b cos c cos d cos a sin b sin c sin d sin             Hay: 4 2 3 1 4 2 3 1 c.cos a.cos b.cos d.cos c.sin a.sin b.sin d.sin                  Bình phương 2 vế của hệ phương trình (4) và cộng vế với vế của hai phương trình ta được:     22 2 3 1 2 2 3 1 . os . os . os .sin .sin .sin c a c b c d c a b d              Hay: 2 2 2 2 2 3 2 1 3 1 2 3 2 1 3 1 2 .cos . os 2 .cos . os 2 .cos . os 2 .sin .sin 2 .sin .sin 2 .sin .sin c a b d ab c ad c bd c ab ad bd                       Đặt: 2 2 2 2 2 1 2 1 2 .cos . os 2 .sin .sin K a b d c ad c ad           O3 E D C A B O2 O1 y x imaginary real R r*cos j j*r*sin R  imaginary real RD=j 3R= -jR j  A B C D RA RD=jR RD=j 2R= -R (b) (5) (6) 1 3 4 2 (3) (2) (4) Trục ảo Trục ảo Trục thực Trục thực 3 Và áp dụng hệ thức lượng giác: 3 3 2 3 2tg 2 sin 1 tg 2                  2 3 2 3 3 1 tg 2 1 g s 2 c t o                   Thay (7), (8) vào (6) và biến đổi ta được: 2 3 2 1 3 2 1 2 1 ( 2 . os 2 . os ). 2 (4 .sin 4 .sin ). 2 2 . os 2 . os 0 ab c bd c K tg ab bd tg ab c bd c K                              Đặt: 2 12 . os 2 . osA abc bd c K     2 14 .sin 4 .sinB ab bd   2 12 . os 2 . osC abc bd c K    Phương trình (9) trở thành: 2 3 3. . 0 2 2 Atg B tg C                (10) Giải phương trình (10) ta được: 2 3 4 2 2 B B AC tg A          Suy ra: 2 3 4 2.ar 2 B B AC ctg A             Bằng cách biến đổi tương tự như tính 3, ta xác định được 4: 2 4 4 2.ar 2 E E DF ctg D             Với: 2 2 2 2 2 1 2 1 2 .cos . os 2 .sin .sin H a b c d ad c ad           2 12 . os 2 . osD ac c cd c H    ; 2 14 .sin 4 .sinE ac cd    2 12 . os 2 . osF ac c cd c H     2.3. Xác định vận tốc góc của các khâu Sau khi xác định được vị trí của các khâu tại mỗi thời điểm 3, 4 thì việc xác định vận tốc góc 3, 4 theo phương pháp giải tích số phức được thực hiện như sau: Thực chất: 3 = f (a, b, c, d, 2, 3, 4, 2); 4 = g (a, b, c, d, 2, 3, 4, 2). Đạo hàm hai vế phương trình (1), với 1 = const, ta được: 32 4 2 3 4 0 jj j ja e jb e jc e       (11) Hay:       2 2 2 3 3 3 4 4 4 os sin os sin os sin 0 ja c j jb c j jc c j                 Mặt khác: 2 1j   (chỉ trên hình 1) và biến đổi phần thực và phần ảo, ta được: 32 4 32 4 2 3 4 2 3 4 0 0 jj j jj j ja e jb e jc e ja e jb e jc e                Giải hệ phương trình (13), ta được: 2 32 4 2 2 3 4 3 4 4 3 sin( )sin( ) ; sin( ) sin( ) a a b c                          2.4. Xác định gia tốc góc 3, 4 Tương tự bài toán xác định vận tốc góc. Việc xác định gia tốc góc chính là: Ta có: 3 = f (a,b,c,d,2,3, 4, 2, 3, 4, 2); Và 4 = g (a,b,c, d, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 2). Lấy đạo hàm cấp hai theo t của phương trình (1), ta được:       3 32 2 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 4 4 j a ja j b jb j c jc 0 j jj j j j e e e e e e             Biến đổi (cos sin )jre r j    và đưa về phần thực và phần ảo, ta được : Phần thực : 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 3 4 4 4 4 sin os sin os sin os 0 a a c b b c c c c                    Phần ảo: 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 3 4 4 4 4 os sin os sin os sin 0 a c a b c b c c c                    Đặt: 4 3;G csin H bsin   (33) (12) (15) (16) (8) (7) (9) (13) (14) 4 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 4I a sin b ccos a cos cos           4 3K .cos ; cos ;c L b   2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 4M a cos b csin a sin sin            Thay các đại lượng ở biểu thức G, I, K, M vào hệ phương trình (15), (16) và giải hệ để tìm gia tốc góc của khâu 3 và khâu 4, ta được: 3 4 IK IL HM và GL HK GL HK        GM 2.5. Xác định quỹ đạo, vận tốc và gia tốc các điểm trên cơ cấu 2.5.1. Quỹ đạo của các điểm Từ hình 3 xác định được quy đạo các điểm A,B,C có phương trình như sau: Vị trí điểm A: 2 2 . os .sin A A x a c y a       Vị trí điểm B: 3 2 3 3 2 3 . os . os . os .sin .sin .sin B A B A x x b c a c b c y y b a b                  Vị trí điểm C: 3 2 3 3 2 3 . os( ) . os . os( ) .sin( ) .sin .sin( ) C A C A x x p c a c p c y y p a p                         2.5.2. Vận tốc các điểm Vận tốc điểm A: 2 2 2 2 . .sin . . os Ax A Ay A v x a v y a c            Vận tốc của điểm B: 2 2 3 3 2 2 3 3 . .sin . .sin . . os . . os Bx B By B v x a b v y a c b c                  Vận tốc của điểm C: 2 2 3 3 2 2 3 3 . .sin . .sin( ) . . os . . os( ) Cx C Cy C v x a p v y a c p c                      2.5.3. Gia tốc các điểm Gia tốc điểm A: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . .sin . . os . . os . .sin Ax A Ay A a x a a c a y a c a                   Gia tốc điểm B: 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 . .sin . . os . .sin . . os . . os . .sin . . os . .sin Bx B By B a x a a c b b c a y a c a b c b                               Gia tốc điểm C: 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 . .sin . . os . .sin( ) . . os( ) . . os . .sin . . os( ) . .sin( ) Cx C Cy C a x a a c p p c a y a c a p c p                                       2.6. Thuật toán Hình 4. Sơ đồ thuật toán 3. Kết quả và thảo luận Bằng phương pháp đại số phức cùng với sự trợ giúp của phần mềm Matlab kết quả đạt được một cách nhanh chóng và chính xác. Sau khi chương trình Matlab được thiết lập. Kết quả quỹ đạo của các điểm A, B, C, D, E được biểu diễn như trên hình 5. Với hệ trục tọa độ đề các Oxy đã chọn, thấy rằng, quỹ đạo của điểm A là đường tròn tâm. Như vậy khâu 1 quay toàn vòng (quỹ đạo là vòng tròn tâm O1, với bán kính O1A). Còn quỹ đạo của điểm B là cung tròn tâm O2 bán kính O2B. Tuy nhiên, với hệ trục tọa độ đã chọn thì quỹ đạo của điểm B, E là cung elip như trên hình 5b. Điều này hoàn toàn đúng với quy luật toán học. Còn với quỹ đạo của điểm C, D nằm trên khâu đầu ra với chuyển động tịnh Nhập: a,b,c,d, 1,2, 2,2 Bắt đầu 3,4 3,4 Kết thúc Vẽ quỹ đạo các điểm Đồ thị vận tốc các điểm Đồ thị gia tốc các điểm Không hiển thị họa đồ 3, 4 a,b,c,d 0 Đ Đ S S 5 tiến khứ hồi. Quỹ đạo của chúng là một đường cong được biểu diễn trên hình 5c. Hình 5. Quỹ đạo của các điểm trên cơ cấu (a), Quỹ đạo của điểm A; (b), Quỹ đạo của điểm B, E; (c), Quỹ đạo của điểm C,D Sau khi xác định được quỹ đạo của các điểm trên các khâu của cơ cấu. Cho thông số đầu vào 1 = 10 (rads) và khâu 1 quay đều. Vận tốc của điểm A là hằng số (hình 6a). Còn vận tốc của điểm B, E biến thiên theo chu kỳ với quy luật như hình 6b, 6c. Vận tốc của các điểm C, D cũng biến thiên theo chu kỳ như trên hình 6c. Hình 6. Vận tốc của các điểm (a), Vận tốc của điểm A; (b), Vận tốc của điểm B, E; (c), Vận tốc của điểm C,D Tương tự bài toán vận tốc, bài toán gia tốc cũng được xác định một cách dễ dàng. Với khâu 1 quay đều, nên gia tốc góc của khâu 1 1 = 0. Do đó, gia tốc của điểm A là hằng số. Còn gia tốc của điểm B, E, biến thiên theo chu kỳ với quy luật như hình 7b. Tương tự, gia tốc của các điểm C, D cũng biến thiên theo chu kỳ (hình 7c). -100 -50 0 50 100 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 200 250 300 350 400 450 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 5 10 15 20 25 30 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 (a) 0 5 10 15 20 25 30 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 5 10 15 20 25 30 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 v (mms) y  (rad) (c) (b) (a) x v (mms) v (mms) (c)  (rad)  (rad) y y x x 6 Hình 7. Gia tốc của các điểm (a), Gia tốc của điểm A (b), Gia tốc của điểm B, E; (c), Gia tốc của điểm 4. Kết luận Việc giải bài toán phân tích động học của cơ cấu, máy là rất quan trọng cho việc thiết kế máy. Bởi lẽ, muốn phối hợp động tác giữa các cơ cấu khác nhau trong cùng một bộ máy phải biết quy luật chuyển vị của từng cơ cấu. Để nghiên cứu và cải thiện chuyển động thực của máy dưới tác dụng của các lực phải biết vận tốc hay tỷ số vân tốc của các khâu; muốn tính được lực quán tính trên các khâu để tính sức bền cho các khâu hay chạy thử dao động trong máy phải biết quy luật biến đổi gia tốc các khâu. Việc phân tích động học cơ cấu đã được nghiên cứu trong đề tài này bằng phương pháp đại số phức, kết quả đạt là các bài toán chuyển vị, vận tốc và gia tốc tính được một cách chính xác, dễ dàng nhờ vào việc lập trình Matlab. Kết quả này dễ dàng áp dụng cho việc thiết kế các chi tiết trong cơ cấu. Tài liệu tham khảo [1]. Đinh Gia Tường, Nguyễn Xuân Lạc, Trần Doãn Tiến, Nguyên lý máy, Nhà xuất bản Đại học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1970. [2]. Robert L. Norton, Design of Machinery, The center for library resources and education media Suranaree University of Technology, Mc Graw- Hill, Inc, 3rd, 2003 [3]. Joseph Edward Shigley, John Joseph Uicker, Jr., Theory of Machines and Mechanisms, Mc Graw - Hill Book Company, 4th, 2010. [4]. Vũ Công Hàm, Nguyên lý máy, Nhà xuất bản quân đội nhân dân, Hà nội 2011. [5]. Oleg Vinogradov, Fundamentals of Kinematics and Dynamics of Mechanisms, London New York Washington, D.C. Summary KINEMATIC ANALYSIS OF WALKING BEAM EIGHT BAR TRANSPORT MECHANISM USING COMPLEX-ALGEBRA METHOD Nguyen Thi Thanh Nga Mechanical Engineering Faculty of Thai Nguyen Univerity of Technology This paper presents the application of method complex-algebra to solve the kinematic analysis of walking beam eight bar transport mechanism. By constructing the loop-closure equation and basing on description of complex-algebra have established the relationship of the kinematic parameters needed to calculate. From the loop-closure equation, we have determined displacement, angular velocity and angular acceleration of mechanism. Thence, the orbit, velocity and acceleration of all points on the links are determined. All results are achieved efficiently and quickly by using Matlab software. Keywords: Walking beam eight bar, kinematic mechanism, complex-algebr 0 5 10 15 20 25 30 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x 10 6 (5-b) (c)  (rad) a (mms2) a (mms2)  (rad)  (rad) v (mms)  (rad) v (mms) (5-a) 0 5 10 15 20 25 30 1 1 1 1 1 1 1 x 10 4 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10 6  (rad) (b) a (mms2) (a) (5-a) (5-b) (5-c)  (rad)  (rad) a (mms2)