Phân hoạch đơn vị trên không chuẩn tắc

trình thực hiện luận văn này. Tơi cũng xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thái Sơn, PGS.TS. Lê Anh Vũ và quí thầy cơ đã giảng dạy chúng tơi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn quí thầy cơ phịng Khoa học Cơng Nghệ và Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi thực hiện luận văn. Trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tơi đã vài lần liên hệ với các nhà tốn học nước ngồi, đặc biệt là giáo sư Dydak, thầy đã tận tình giải đáp thắc mắc về các vấn đề liên quan. Xin chân thành cảm ơn tác giả Dydak. Xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình luơn động viên và tạo mọi điều kiện cho tơi hồn thành luận văn này. Sau cùng, tơi xin gởi lời cảm ơn đến các bạn cùng lớp đã cùng học, trao đổi kiến thức, giúp đỡ và động viên tơi trong suốt quá trình học tập. Tp. Hồ Chí Minh tháng 6 năm 2008 Tác giả Huỳnh Thị Như Ý 3 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa………………………………………………………………...1 Lời cảm ơn ...................................................................................................... 2 Mục lục............................................................................................................ 3 MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 5 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. Một số kiến thức về lý thuyết tập hợp...................................................... 8 1.1. Tập hợp được sắp ............................................................................... 8 1.2. Lực lượng của tập hợp ....................................................................... 9 1.3. Tập đếm được..................................................................................... 9 2. Khơng gian mêtric.................................................................................... 9 2.1. Khơng gian mêtric.............................................................................. 9 2.2. Ví dụ ................................................................................................... 10 2.3. Khoảng cách....................................................................................... 11 2.4. Khơng gian mêtric tích....................................................................... 12 3. Khơng gian tơpơ....................................................................................... 12 3.1. Tơpơ. Khơng gian tơpơ ...................................................................... 12 3.2. Cở sở .................................................................................................. 13 3.3. Lân cận, cơ sở lân cận ........................................................................ 14 3.4. Phủ, phần trong và bao đĩng.............................................................. 15 3.5. Ánh xạ liên tục ................................................................................... 16 3.6. Tiên đề tách ........................................................................................ 16 4. Sự mêtric hĩa ........................................................................................... 20 4.1. Tơpơ sinh bởi mêtric .......................................................................... 20 4.2. Khơng gian mêtric hĩa ....................................................................... 21 4 4.3. Khái niệm hữu hạn địa phương, rời rạc ............................................ 21 4.4. Cái mịn ............................................................................................... 22 5. Tập sao, hình sao...................................................................................... 22 Chương 2. PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ 1. Phân hoạch đơn vị và sự liên tục đồng bậc.............................................. 24 1.1. Phân hoạch đơn vị .............................................................................. 24 1.2. Liên tục đồng bậc ............................................................................... 29 2. Tích phân và đạo hàm của phân hoạch đơn vị ......................................... 37 2.1. Định nghĩa.......................................................................................... 37 2.2. Định lý 2.8 (sự tồn tại đạo hàm của phân hoạch đơn vị) ................... 38 2.3. Mệnh đề 2.9 (cái mịn sao của các phủ mở) ....................................... 42 2.4. Bậc của phân hoạch đơn vị ................................................................ 43 2.5. Mệnh đề 2.10 (tính tốn bậc của phân hoạch đơn vị) ........................ 43 Chương 3. MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ CHO TƠPƠ ĐẠI CƯƠNG 1. Phân hoạch đơn vị trên khơng gian chuẩn tắc ......................................... 45 1.1. Định nghĩa khơng gian chuẩn tắc....................................................... 45 1.2. Định lý thác triển Tietze đối với khơng gian chuẩn tắc..................... 45 1.3. Thác triển của phân hoạch đơn vị trên khơng gian chuẩn tắc............ 47 1.4. Định lý về sự tồn tại phân hoạch đơn vị trên khơng gian chuẩn tắc.. 51 2. Phân hoạch đơn vị và sự mêtric hĩa ........................................................ 53 2.1. Định lý 3.8 (tiêu chuẩn mêtric hĩa một khơng gian) ......................... 53 2.2. Định lý 3.11 ( Định lý mêtric hĩa) .................................................... 56 KẾT LUẬN .................................................................................................... 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 63 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Gần đây, khi nghiên cứu các vấn đề về tơpơ và hình học, nhiều nhà tốn học như Jerzy Dydak, N.Feldman, J.Segal, R. Engelking,… đã mạnh dạn dùng phân hoạch đơn vị để nghiên cứu lại các tính chất của khơng gian tơpơ. Theo nhiều nhà tốn học, tính chất tơpơ quan trọng là tính chuẩn tắc, tính compact, tính paracompact và các vấn đề liên quan đến định lý thác triển Tietze. Như chúng ta đã biết, cĩ hai cách tiếp cận đĩ là nghiên cứu khơng gian thơng qua các phủ mở hoặc bằng các hàm liên tục. Bằng cách sử dụng phân hoạch đơn vị khi xây dựng các định nghĩa và chứng minh các định lý, tác giả J.Dydak, N.Feldman, J.Segal, R. Engelking,…đã thống nhất cả hai cách tiếp cận này. Khi nghiên cứu về phân hoạch đơn vị, chúng tơi tìm thấy nhiều áp dụng đối với tơpơ, hình học. Ngồi ra, nĩ cũng đĩng vai trị quan trọng trong việc xây dựng lý thuyết đồng luân. Ban đầu, khi nghiên cứu, các nhà tốn học chỉ chứng minh sự tồn tại của phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ cũng như chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương hoặc phân hoạch đơn vị hữu hạn điểm. Khi đĩ, chúng ta gặp nhiều khĩ khăn khi tìm hiểu những áp dụng của nĩ vì rất khĩ để xây dựng phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương bằng phương pháp đại số, thậm chí khi xây dựng những phân hoạch đơn vị tùy ý cũng khơng tránh khỏi những trở ngại. Vì vậy, việc xây dựng phân hoạch liên tục đồng bậc đã giải quyết được những khĩ khăn này, nĩ đem lại nhiều thuận lợi khi nghiên cứu trên các khơng gian tơpơ, đặc biệt là khơng gian chuẩn tắc. 6 Vì những lí do đĩ, đề tài nghiên cứu của chúng tơi là “phân hoạch đơn vị trên khơng gian chuẩn tắc”. 2. Mục đích nghiên cứu Sử dụng phân hoạch đơn vị để chứng minh các kết quả trên khơng gian chuẩn tắc một cách ngắn gọn và đơn giản hơn. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Khơng gian chuẩn tắc 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Phân hoạch đơn vị giúp cho việc giải quyết các bài tốn tơpơ và hình học một cách đơn giản hơn. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của luận văn chúng tơi gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu lí do chọn đề tài. Phần nội dung: Chương 1: Nêu một số kiến thức chuẩn bị về tơpơ đại cương. Gồm các phần về lý thuyết tập hợp, khơng gian mêtric và khơng gian tơpơ. Chương 2: Phần cơ sở của nội dung luận văn. Ở đây, các khái niệm về phân hoạch đơn vị, sự liên tục đồng bậc, tích phân và đạo hàm của phân hoạch đơn vị được định nghĩa, cùng với các định lý kèm chứng minh được nêu lên làm cơ sở cho việc trình bày chương tiếp theo. Chương 3: Trình bày một số áp dụng của phân hoạch đơn vị cho tơpơ, hình học. Nội dung chương này gồm ba phần. Thứ nhất, sử dụng phân 7 hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ để chứng minh định lý thác triển Tietze. Thứ hai, trình bày một số áp dụng của phân hoạch đơn vị trên khơng gian chuẩn tắc. Thứ ba, tìm hiểu về vấn đề mêtric hĩa một khơng gian và chứng minh định lý mêtric hĩa. Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét khi nghiên cứu về phân hoạch đơn vị. 8 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương này là những kiến thức tơpơ đại cương làm cơ sở lý thuyết cho việc nghiên cứu ở các chương sau. Cụ thể như sau: 1. Một số kiến thức về lý thuyết tập hợp 1.1. Tập hợp được sắp 1.1.1. Thứ tự bộ phận Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là một thứ tự bộ phận nếu thỏa các tính chất sau: (i) Phản xạ: ,xRx x X∀ ∈ , (ii) Phản đối xứng: Nếu ∀ ∈và y x thì x=y, x,y XxRy R , (iii) Bắc cầu: Nếu ∀ ∈và y z thì x z, x,y,z XxRy R R . Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận R được gọi là một tập hợp được sắp bộ phận và được ký hiệu (X, R). Thứ tự bộ phận thường được ký hiệu là ≤ và tập hợp được sắp bộ phận được ký hiệu là( )≤,X . 1.1.2. Phần tử bé nhất, lớn nhất Cho ( )≤,X là một tập hợp được sắp bộ phận và ⊆A X . Phần tử a ( )∈a A được gọi là phần tử bé nhất (phần tử đầu tiên) của A nếu ∈a A và ≤ ∀ ∈,a x x A . Phần tử b ( )∈b A được gọi là phần tử lớn nhất (phần tử cuối cùng) của A nếu ∈b A và ≤ ∀ ∈,x b x A . 9 1.1.3. Tập được sắp tốt: Tập được sắp bộ phận ( )≤,X được gọi là được sắp tốt nếu mọi tập hợp con khơng rỗng của X đều cĩ phần tử bé nhất. 1.2. Lực lượng của tập hợp Cho các tập X và Y. Nếu tồn tại một đơn ánh :f X Y→ thì ta viết ( ) ( )card X card Y≤ ; nếu tồn tại một song ánh :f X Y→ thì ta viết ( ) ( )card X card Y= ; nếu tồn tại một đơn ánh :f X Y→ nhưng khơng tồn tại một song ánh từ X lên Y thì ta viết ( ) ( )card X card Y< . Ta gọi card(X) là lực lượng của tập X. Hiển nhiên X Y⊂ thì ( ) ( )card X card Y≤ . 1.3. Tập đếm được Một tập X là tập đếm được nếu ( ) ( )card X card Y≤ . Như vậy, X là tập đếm được nếu cĩ một đơn ánh :f X Y→ hoặc cĩ một tồn ánh :g X Y→ Mọi tập hữu hạn là đếm được. Ta kí hiệu ( )card X n= nếu { }( ) ( 1,2,..., )card X card n= ( ) 0card ∅ = Trong trường hợp này ta cĩ thể hiểu ( )card X là số phần tử của X. 2. Khơng gian mêtric 2.1. Khơng gian mêtric Cho X là một tập. Một hàm 2:d X \→ là một mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 10 (i) ( ) ( ), 0; , 0 ;d x y d x y x y≥ = ⇔ = (ii) ( ) ( ), ,d x y d y x= ; (iii) ( ) ( ) ( ), , , , , ,d x z d x y d y z x y z X≤ + ∀ ∈ . Khơng gian mêtric ( ),X d là một tập X cùng với một mêtric d trên X. Nếu ( ),X d là một khơng gian mêtric thì mỗi x X∈ gọi là một điểm và với mọi ,x y X∈ ta gọi ( ),d x y là khoảng cách từ x đến y. 2.2. Ví dụ 1. Với mọi ( ) ( )1 2 1 2, ,..., , , ,...,k kx x x x y y y y= = ∈ kR , đặt ( ) 1 22 1 , n i j i d x y x y = ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ d là một mêtric trên kR . Thật vậy, (i), (ii) là hiển nhiên. Với mọi ( )1 2, ,..., kx x x x= , ( )1 2, ,..., ky y y y= , ( )1 2, ,..., kz z z z= ∈ kR sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta cĩ: ( )2 ,d x y = ( )22 1 1 k k i i i i i i i ix z x y y z= =≤− − + −∑ ∑ 2 2 1 1 1 2 . k k k i i i i i i i x y y zi i i ix y y z= = =≤ + − − +− −∑ ∑ ∑ 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 k k i i k k i i i i i i i i i i x y x y y z y z = = ≤ + + = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −∑ ∑ ∑ ∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 11 21 1 2 22 2 1 1 k k i i i i i i x y y z≤ = = ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− + −∑ ∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ( ) ( )( )2, ,d x y d y z≤ + Từ đĩ suy ra ( ) ( ) ( ), , ,d x z d x y d y z≤ + và ta cĩ (iii) Mêtric d gọi là mêtric Euclide trên kR . 2. Kí hiệu [ ],C a b là tập các hàm liên tục trên [ ],a b . Với mọi [ ], ,x y C a b∈ đặt ( ) [ ] ( ) ( )max, , x t y td x y t a b −= ∈ Ta thấy d thỏa (i) và (ii). Ta kiểm tra (iii) Với mọi [ ], , ,x y z C a b∈ ta cĩ : ( ),d x z = [ ] ( ) ( )max, x t z tt a b −∈ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ),max( )t a b x t y t y t z t∈≤ − + − [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ), ,max maxt a b t a bx t y t y t z t∈ ∈≤ − + − ( ) ( ) ( ), , ,d x z d x y d z y≤ + Do đĩ d là một mêtric trên [ ],C a b 2. 3. Khoảng cách Cho A, B là hai tập con khác rỗng của khơng gian mêtric X. Đặt , ( , ) inf ( , ) x A y B d A B d x y∈ ∈= Ta gọi số thực d(A, B) này là khoảng cách giữa hai tập hợp A và B. 12 Nếu A = {a} thì ta viết d(A, B) = d(a, B) và gọi là khoảng cách từ điểm a đến tập B. Nếu A ∩ B ≠ ∅ thì d(A, B) = 0, nhưng điều ngược lại nĩi chung khơng đúng. 2.4. Khơng gian mêtric tích Cho ( ), XX d và ( ), YY d là hai khơng gian mêtric tùy ý. ( ){ }, ,X Y x y x X y Y× = ⏐ ∈ ∈ là tích Descartes của X và Y. Đặt ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , , , ,X Yd x y x y d x x d y y x x y y X Y= + ∀ ∈ × Khi đĩ d là một mêtric trên X Y× . Khơng gian mêtric ( ),X Y d× được gọi là khơng gian mêtric tích của hai khơng gian mêtric X và Y. 3. Khơng gian tơpơ 3.1. Tơpơ. Khơng gian tơpơ 3.1.1. Cho một tập X. Một họ τ các tập con của X gọi là một tơpơ trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) X và ∅ thuộc τ ; (ii) Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ ; (iii) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ . 3.1.2. Ví dụ 1. Với mọi tập X, (X)P là một tơpơ trên X, gọi là tơpơ rời rạc. Tập X cùng với tơpơ rời rạc gọi là khơng gian rời rạc. 13 2. Với mỗi tập X, họ { }, X∅ là một tơpơ trên X, gọi là tơpơ tầm thường. Tập X với tơpơ tầm thường gọi là khơng gian tầm thường. 3. Với mọi khơng gian mêtric (X,d), họ các tập mở theo mêtric d là một tơpơ trên X. Tơpơ này gọi là tơpơ sinh bởi mêtric d. Khơng gian mêtric X luơn được coi là khơng gian tơpơ với tơpơ sinh bởi mêtric. Tơpơ sinh bởi mêtric thơng thường trên \ gọi là tơpơ thơng thường. 4. Với mọi tập vơ hạn X, họ bao gồm tập ∅ và tất cả các tập con G của X cĩ X \ G đếm được, là một tơpơ trên X. Tơpơ này gọi là tơpơ Zariski. 5. Với mọi tập khơng đếm được X, họ bao gồm tập ∅ và tất cả các tập con G của X cĩ X \ G đếm được, là một tơpơ trên X. 3.2. Cơ sở 3.2.1. Cơ sở Cho τ là một tơpơ trên X. Một họ β của τ gọi là một cơ sở của τ nếu mọi tập thuộc τ đều bằng hợp của một họ các tập thuộc β . Nĩi cách khác, họ con β của τ là cơ sở của τ nếu mọi G τ∈ mọi x G∈ tồn tại V β∈ sao cho x V G∈ ⊂ . Khơng gian tơpơ gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tơpơ của nĩ cĩ một cơ sở đếm được. 3.2.2. Ví dụ 1. Tơpơ thơng thường trên \ cĩ cơ sở là họ tất cả các khoảng ( ),a b với a, b là số hữu tỉ, a < b. Như vậy \ với tơpơ thơng thường thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai. 14 2. Trong khơng gian mêtric, họ tất cả các hình cầu mở 1,B x n ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , ,x X n∈ ∈` là một cơ sở. 3.3. Lân cận, cơ sở lân cận 3.3.1. Lân cận Cho X là một khơng gian tơpơ và x X∈ . Tập con V của X được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x G V∈ ⊂ . Nếu lân cận V của x là tập mở thì V là lân cận mở của x. 3.3.2. Cở sở lân cận Một họ Ux các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận U∈Ux sao cho U ⊂ V. Khơng gian tơpơ X gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi điểm x X∈ đều cĩ một cơ sở lân cận đếm được 3.3.3. Ví dụ 1. ( ),a b a b⎡ ⎤ <⎣ ⎦ là lân cận của một điểm tùy ý của ( ),a b trên đường thẳng thực. 2. Họ tất cả các tập mở chứa x là một cơ sở lân cận của x. 3. Trong khơng gian mêtric, tại mỗi điểm x, họ các hình cầu mở tâm x, bán kính 1 ,n N n ∈ là cơ sở lân cận của x. Như vậy mọi khơng gian mêtric đều thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. 4. Trong khơng gian rời rạc, tập một điểm { }x là cơ sở lân cận của điểm x. 15 3.4. Phủ, phần trong và bao đĩng 3.4.1. Các định nghĩa về phủ Cho X là khơng gian tơpơ, tập A X⊂ . Một họ { } IVα α∈ các tập con của X được gọi là một phủ của A nếu I A Vαα∈ ⊂ ∪ . Ta cũng cĩ thể nĩi A được phủ bởi họ {Vα}α∈I . Nếu Vα là tập mở với ∀α∈I thì {Vα}α∈I được gọi là một phủ mở của A. Nếu I là tập hữu hạn thì {Vα}α∈I được gọi là một phủ hữu hạn của A. Cho X là khơng gian tơpơ, tập A X⊂ và { } IVα α∈ là một phủ của A. Nếu J I⊂ và {Vα}α∈J cũng là một phủ của A thì {Vα}α∈J được gọi là một phủ con của phủ {Vα}α∈I . Nếu tập J hữu hạn thì {Vα}α∈J được gọi là phủ con hữu hạn của {Vα}α∈I . 3.4.2. Phần trong và bao đĩng Cho X là một khơng gian tơpơ và A là tập con của X. Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong A, kí hiệu là 0A . Từ định nghĩa ta cĩ: 0A là tập mở lớn nhất chứa trong A; A B⊂ thì 0 0A B⊂ và A mở nếu và chỉ nếu 0A A= . Ta gọi bao đĩng của A là giao của tất cả các tập đĩng chứa A, kí hiệu là A . Từ định nghĩa ta cĩ A là tập đĩng nhỏ nhất chứa A; A B⊂ thì A B⊂ và A đĩng nếu và chỉ nếu A A= . Tập con D gọi là trù mật trong X nếu D X= . Khơng gian X gọi là khả li nếu nĩ cĩ một tập con đếm được trù mật. Tập con A của X gọi là khơng đâu trù mật nếu ( )0A =∅ . 16 3.5. Ánh xạ liên tục Cho X và Y là các khơng gian tơpơ và ánh xạ :f X Y→ . Ánh xạ f gọi là liên tục tại x X∈ nếu mọi lân cận V của f(x) trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong X sao cho ( )f U V⊂ , một cách tương đương ( )1f V− là lân cận của x. Ánh xạ f gọi là liên tục trên X nếu nĩ liên tục tại mọi x X∈ . 3.6. Tiên đề tách 3.6.1. Các tiên đề tách Khơng gian tơpơ X gọi là T0 - khơng gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X đều cĩ một lân cận của x khơng chứa y hoặc một lân cận của y khơng chứa x. Khơng gian tơpơ X gọi là T1 - khơng gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X đều cĩ một lân cận của x khơng chứa y và một lân cận của y khơng chứa x. Khơng gian tơpơ X gọi là T2 - khơng gian (hay khơng gian Hausdorff ) nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X, tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U V∩ =∅ . Khơng gian tơpơ X gọi là T3 - khơng gian (hay khơng gian chính qui) nếu X là T1- khơng gian và với mọi tập con đĩng F của X khơng chứa x, tồn tại các tập con mở U và V sao cho ,x U F V∈ ⊂ và U V∩ =∅ . Khơng gian tơpơ X gọi là 13 2 T - khơng gian (hay khơng gian hồn tồn chính qui) nếu X là T1 - khơng gian và với mọi x X∈ , mọi tập con đĩng F của X khơng chứa x, tồn tại một hàm liên tục [ ]: 0,1f X → sao cho f(x)=0 và f(y)=1 với mọi y F∈ . Khơng gian hồn tồn chính qui gọi là khơng gian Tikhonov. 17 Khơng gian tơpơ X gọi là T4 - khơng gian ( hay khơng gian chuẩn tắc) nếu X là T1- khơng gian và hai tập con đĩng A, B bất kì khơng giao nhau trong X, tồn tại các tập mở U và V sao cho ,A U B V⊂ ⊂ và U V∩ =∅ . Ta gọi T0 , T1 , T2, T3 , 13 2 T , T4 là các tiên đề tách. 3.6.2. Tính chất của khơng gian chuẩn tắc 3.6.2-1. Bổ đề Urysohn Cho X là một khơng gian chuẩn tắc, A và B là hai tập con đĩng rời nhau của X. Khi đĩ tồn tại hàm liên tục [ ]f : X 0,1→ sao cho ( )f x 0= với mọi x A∈ và ( )f x 1= với mọi x B∈ . Chứng minh. Trước hết ta chứng minh mọi số hữu tỉ dạng ( ].2 0,1nr k −= ∈ , tồn tại một tập mở rU sao cho \ , ,r r sA U X B U U r s⊂ ⊂ ⊂ < Thật vậy, đặt 1 \U X B= . Gọi V và W là các tập mở rời nhau sao cho A V⊂ và B W⊂ . Đặt 1/ 2U V= . Vì X\W đĩng nên ta cĩ: 1/ 2 1/ 2 1\ \A U U X W X B U⊂ ⊂ ⊂ ⊂ = Bây giờ ta xây dựng rU với .2 nr k −= bằng qui nạp theo n. Giả sử đã chọn được rU với .2 nr k −= , 0 2 , 1 1nk n N< ≤ ≤ ≤ − Ta sẽ xây dựng rU với ( ) 12 1 2 ,0 2N Nr j j− −= + ≤ < (với 1 ( 1)0 2 , 2 2 2N N Nj r j j− − − −< ≤ = = , rU đã cĩ theo giả thiết qui nạp). Ta cĩ 12 NjU − và ( ) 11 2\ NjX U −+ là hai tập đĩng rời nhau (ở đây đặt 0U A= ), nên tương tự như trên, chọn được rU sao cho ( )1 12 1 2N Nj jr rU U U U− −+⊂ ⊂ ⊂ 18 Vậy ta cĩ họ các rU cĩ tính chất đặt ra. Đặt rU X= với mọi 1r > và xác định hàm ( ) { }/ rf x inf r x U= ∈ Vì \rA U X B⊂ ⊂ với 0 1r< < nên ( ) 0f x = với mọi x A∈ , ( ) 1f x = với mọi x B∈ và ( )0 1f x≤ ≤ với mọi x X∈ . Với mọi [ ]0,1α ∈ , do các giá trị .2 , 0 2n nr k k−= < < trù mật trong [ ]0,1 nên ( ) rf x x Uα< ⇔ ∈ với r nào đĩ, r α< r r x U α< ⇔ ∈∪ ( ) rf x x Uα> ⇔ ∉ với r nào đĩ, r α> sx U⇔ ∉ với s nào đĩ, s α> ( )\ s s x X U α> ⇔ ∈ ∪ Vì vậy ( )( )1 , r r f U α α− < −∞ = ∪ và ( )( ) ( )1 , \ s s f X U α α− > +∞ = ∪ là mở. Từ đĩ f liên tục. 3.6.2-2. Định lý 1.1(Định lý Tietze-Urysohn) Cho X là khơng gian chuẩn tắc, A là tập con đĩng của X. Khi đĩ mọi hàm liên tục [ ]: ,f A a b→ đều tồn tại một hàm liên tục [ ]: ,F X a b→ sao cho F A f⎢ = Chứng minh 19 Bằng cách thay f bởi f a b a − − ta cĩ thể giả thiết [ ] [ ], 0,1a b = . Ta sẽ xây dựng dãy { }ng các hàm liên tục trên X sao cho 120 3 n n ng − ≤ ≤ trên X và 1 20 3 nn j j f g = ⎛ ⎞≤ − ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ trên A. Xét các tập 1 10, 3 B f − ⎛ ⎞⎡ ⎤= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ và 1 2 ,1 3 C f − ⎛ ⎞⎡ ⎤= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ . Vì B, C đĩng trong A và A đĩng trong X nên B,C đĩng trong X. Theo bổ đề Urysohn, tồn tại 1 1: 0, 3 g X ⎡ ⎤→ ⎢ ⎥⎣ ⎦ sao cho 1 0g = trên B và 1 1 3 g = trên C. Từ đĩ 1 20 3 f g≤ − ≤ trên A. Giả sử đã xây dựng được 1 1,..., ng g − cĩ tính chất 2 1 1 20 3 n n ng − − −≤ ≤ trên X và 1 1 1 20 3 nn j j f g −− = ⎛ ⎞≤ − ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ trên A Bằng phương pháp trên, ta cĩ 12: 0, 3 n n ng X −⎡ ⎤→ ⎢ ⎥⎣ ⎦ sao cho 0ng = trên tập cĩ 1 1 2 3 nn j n j f g − = − ≥∑ và 123 n n ng − = trên tập cĩ 1 2 3 nn j j f g = ⎛ ⎞− ≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ . Dễ thấy ng cĩ tính chất mong muốn của dãy { }ng . Đặt 1 n n F g ∞ = = ∑ , ta cĩ 20 3 n f F ⎛ ⎞≤ − ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ trên A với mọi n, do đĩ F f≡ trên A và hiển nhiên 0 1F≤ ≤ . 20 Ta cịn phải chứng minh F liên tục. Với mỗi 0x X∈ và 0ε > , chọn ` sao cho 1 1 2 3 3 n n n N ε−∞ = + <∑ . Do 1,..., Ng g liên tục tại x0 nên tồn tại lân cận V của x0 sao cho ( ) ( )0 3n ng x g x N ε− < với mọi x V∈ , n=1,…,N. Từ đĩ với mọi x V∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 1 1 1 N n n n n n n N n N F x F x g x g x g x g x ∞ ∞ = = + = + − ≤ − + +∑ ∑ ∑ 3 3 3 ε ε ε ε< + + = (vì 12 3 n n ng − ≤ mà 1 1 2 3 3 n n n N ε−∞ = + <∑ ) Vậy F liên tục tại x0. 4. Sự mêtric hĩa 4.1. Tơpơ sinh bởi mêtric 4.1.1. Hình cầu, mặt cầu Cho khơng gian mêtric ( ),X d , điểm 0x X∈ và số thực 0r > . Hình cầu mở tâm x0 bán kính r là tập ( ) { }0 0, ( , )B x r x X d x x r= ∈ ⏐ < Hình cầu đĩng tâm x0 bán kính r là tập ( ) { }0 0, ( , )B x r x X d x x r∗ = ∈ ⏐ ≤ Mặt cầu tâm x0 bán kính r là tập hợp ( ) { }0 0, ( , )B x r x X d x x r= ∈ ⏐ = Hình cầu mở B(x0, r) được gọi là r- lân cận của điểm x0 trong khơng gian mêtric ( ),X d . 4.1.2. Tơpơ sinh bởi mêtric Cho khơng gian mêtric (X, d). Ta xác định trong ( ),X d một tập hợp τ các tập con của X như sau: 21 τ = {U ⊂ X | ∀x∈U, ∃r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ U}. Thì τ là một tơpơ trên X. Tơpơ τ xác định như trên gọi là tơpơ sinh ra bởi mêtric d trên X, các phần tử thuộc τ được gọi là các tập mở trong ( ),X d . 4.2. Khơng gian mêtric hĩa 4.2.1. Định nghĩa Khơng gian tơpơ X gọi là khơng gian mêtric hĩa nếu trên X cĩ một mêtric d sao cho tơpơ sinh bởi mêtric d trùng với tơpơ xuất phát trên X. 4.2.2. Ví dụ Mọi khơng gian rời rạc đều là khơng gian mêtric hĩa (bởi mêtric rời rạc) 4.3. Khái niệm hữu hạn địa phương, rời rạc 4.3.1. Họ U các tập con của khơng gian tơpơ được gọi là hữu hạn địa phương khi và chỉ khi mỗi điểm của khơng gian cĩ một lân cận chỉ cắt một số hữu hạn các phần tử của họ U . Họ U là σ -hữu hạn địa phương khi và chỉ khi nĩ là hợp của một số hữu hạn các họ con hữu hạn địa phương 4.3.2. Họ U các tập con của khơng gian tơpơ được gọi là rời rạc nếu mỗi điểm của khơng gian cĩ một lân cận cắt nhiều nhất một phần tử của họ U. Như vậy, một họ rời rạc là hữu hạn địa phương. 22 Họ U là σ -rời rạc khi và chỉ khi nĩ là hợp của một số hữu hạn các họ con rời rạc. 4.4. Cái mịn 4.4.1. Định nghĩa Phủ B của tập hợp X được gọi là cái mịn của phủ U khi và chỉ khi mỗi phần tử của phủ B được chứa trong phần tử nào đĩ của phủ U. 4.4.2. Ví dụ Trong khơng gian mêtric họ tất cả các hình cầu mở bán kính một nửa là cái mịn của họ tất cả hình cầu mở bán kính một đơn vị. 5. Tập sao, hình sao 23 Cho nA⊂ R , nếu x A∈ thì tồn bộ đoạn thẳng nối 0 với x cũng bị chứa trong A, một tập mở cĩ tính chất như vậy được gọi là tập sao đối với 0. Cho U là họ nào đĩ các tập con của tập X và x X∈ . Ta gọi hình sao của điểm x đối với U là tập hợp tất cả các phần tử của họ U chứa điểm x. 24 Chương 2. PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày các khái niệm về phân hoạch đơn vị, sự liên tục đồng bậc cùng với tích phân và đạo hàm của phân hoạch đơn vị. 1. Phân hoạch đơn vị và sự liên tục đồng bậc 1.1. Phân hoạch đơn vị 1.1.1. Định nghĩa 1 Cho { }s s Sf ∈ là một họ các hàm từ khơng gian X vào [ )0,∞ . Ta định nghĩa hàm số f như sau: s s S f f ∈ =∑ . s s S f f ∈ =∑ cĩ nghĩa là: với mỗi x X∈ ( )( ) /f x x Ts s T sup f là tập con hữu hạn của S ∈ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭∑ Hàm f cĩ thể nhận giá trị ở ∞ . Nếu ta thêm điều kiện: Với mỗi s S∈ , sf là hàm số liên tục thì họ { }s s Sf ∈ được gọi là phân hoạch của hàm f. Ta cĩ định nghĩa phân hoạch của hàm [ ]: 0;f X → ∞ như sau: 1.1.2. Định nghĩa 2 Một họ các hàm { }: [0, )s s Sf X ∈= → ∞F được gọi là một phân hoạch của hàm : [0, ]f X → ∞ nếu sf liên tục với mỗi s S∈ và s s S f f ∈ =∑ . Đặc biệt: Nếu 1s s S f ∈ =∑ thì F được gọi là một phân hoạch đơn vị. 25 F được gọi là một phân hoạch đơn vị hữu hạn nếu 0sf ≡ khắp nơi trừ hữu hạn s S∈ . F được gọi là một phân hoạch hữu hạn điểm nếu { }x|F là một phân hoạch hữu hạn của { }f x| với x X∀ ∈ . F được gọi là một phân hoạch hữu hạn địa phương nếu với mỗi x X∈ cĩ một lân cận U của x trong X sao cho UF là một phân hoạch hữu hạn của f U⎢ . Sau đây chúng ta xét đến khái niệm phân hoạch { }s s Sf ∈ phụ thuộc vào một phủ cho trước. Trước tiên ta xét khái niệm giá của sf Giá của sf là bao đĩng của tập ( ){ }0x X f x∈ ⏐ ≠ (Giá của sf là ( ){ }0cl x X f x∈ ⏐ ≠ ) 1.1.3. Định nghĩa 3 Cho { }s s S: X [0, )f ∈= → ∞F là một phân hoạch của : [0, ]f X → ∞ và { }s s SU ∈=U là một phủ mở của X. F là một U - small phân hoạch của hàm f (phân hoạch phụ thuộc vào phủ U ) nếu ( ) { }0s sf X U− ⊆ với mỗi s S∈ . Nĩi cách khác, giá của sf được chứa trong sU với mỗi s S∈ . Ví dụ 26 Họ 2, cos 2 2 θ θ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ 2= sinF là một phân hoạch đơn vị đối với đường trịn S1. Đây là phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ ( ) ( ){ }0,2 , ,π π π− Hơn thế nữa, điều mà chúng ta hướng đến là tìm hiểu phân hoạch của một hàm số liên tục. Định lý sau đây chỉ ra những tính chất đặc trưng cho sự liên tục đĩ. 1.1.4. Định lý 2.1 Cho { }s s Sf ∈ là một họ các hàm số liên tục từ khơng gian X vào [0, ∞ ) sao cho s s S f f ∈ =∑ hữu hạn (cĩ nghĩa là ( )f X [0, )⊆ ∞ ). Nĩi cách khác, cho { }s s Sf ∈ là phân hoạch của hàm hữu hạn f . f liên tục nếu và chỉ nếu mỗi x X∈ và mỗi 0ε> cĩ một lân cận U của x trong X và một tập con hữu hạn T của S sao cho giá trị của \ s s S T f ∈ ∑ trên U nhỏ hơn ε . Chứng minh Với bất kì tập con hữu hạn T của S đặt Tf là s s T f ∈ ∑ Chiều thuận f là hàm liên tục. Ta chứng minh mỗi x X∈ và mỗi 0ε> cĩ một lân cận U của x trong X và một tập con hữu hạn T của S sao cho giá trị của \ s s S T f ∈ ∑ trên U nhỏ hơn ε . 27 Với mọi 0ε> và x X∈ , ta lấy một tập hữu hạn T S⊆ sao cho ( ) ( ) 3T f x f x ε− < do đĩ Tf f− liên tục. Với mỗi , 0x X ε∈ > vì Tf f− liên tục cĩ một lân cận U của x trong X sao cho ( )( )Tf f y ε− < với mọi y U∈ Mà \ T s s S T f f f ∈ − = ∑ nên ( ) \ s s S T f y ∈ <∑ ε với mọi y U∈ Vậy: Nếu f liên tục thì mỗi x X∈ và mỗi 0ε> cĩ một lân cận U của x trong X và một tập con hữu hạn T của S sao cho giá trị của \ s s S T f ∈ ∑ trên U nhỏ hơn ε Chiều nghịch Với mỗi , 0x X ε∈ > lấy U là lân cận của x trong X và T là một tập con hữu hạn của S sao cho giá trị của \ T s s S T f f f ∈ − = ∑ trên U nhỏ hơn 3ε . Ta chứng minh f liên tục. Thật vậy, Vì Tf liên tục ( Tf là tổng hữu hạn của các hàm số liên tục) nên ta tìm được một lân cận V của x trong U sao cho ( ) ( ) 3T T f y f x ε− < với mỗi y V∈ Khi đĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,T T T Tf y f x f y f x f y f x f x f x y Uε− ≤ − + − + − < ∀ ∈ Do đĩ f liên tục tại x. Hệ quả 2.2 28 Cho { }s s Sf ∈ và { }s s Sg ∈ là hai họ hàm liên tục từ khơng gian X vào [ )0,∞ sao cho s s S f f ∈ =∑ là liên tục và [ )( ) 0,f X ⊆ ∞ . Nếu ( ) ( ), ,s sg x f x x X s S≤ ∀ ∈ ∈ thì [ ): : 0,s s S g g X ∈ = → ∞∑ là liên tục. Chứng minh Theo định lý 2.1 ta sẽ chứng minh: , 0, ,x X lân T Sε∀ ∈ ∀ > ∃ ⊆hữu hạncận U chứa x sao cho ( ) \ ,s s S T g x x Uε ∈ < ∀ ∈∑ . Thật vậy, Vì f liên tục nên , 0, ,x X lân T Sε∀ ∈ ∀ > ∃ ⊆hữu hạncận U chứa x sao cho ( ) \ ,s s S T f x x Uε ∈ < ∀ ∈∑ suy ra ( ) \ ,s s S T g x x Uε ∈ < ∀ ∈∑ (vì ( ) ( ) ,s sg x f x x X≤ ∀ ∈ ). Áp dụng định lý 2.1 hàm g liên tục. 1.1.5. Mệnh đề 2.3 Cho { } 1n nU ≥=U là một phủ mở đếm được của khơng gian X. Một U - small phân hoạch đơn vị trên X tồn tại nếu và chỉ nếu cĩ một hàm xác định dương ( ]: 0,f X → ∞ mà cĩ một U -small phân hoạch. Chứng minh Chiều thuận (hiển nhiên) Chiều nghịch 29 Giả sử { } 1n nf ≥=F là một U - small phân hoạch của ( ]: 0,f X → ∞ . Ta cần chứng minh tồn tại một U -small phân hoạch đơn vị trên X. Thật vậy, Đặt ( )min ,2 , 1nn ng f n−= ≥ và { }1,..., / 1n iS s s s= ≥ Xét s s S g g ∈ = ∑ thì g hữu hạn (1) Và ,x X U X∀ ∈ ∃ ⊂ , U là l._.