Nửa nhóm tiến hóa Fredholm

và phần chứng minh điều kiện cần của định lý I trong chương 4 được lấy trong [7], phần chứng minh điều kiện đủ của định lý I được lấy trong [8]. Kết quả chính, định lý lưỡng phân I, mô tả đặc trưng tính Fredholm của (closure of the) toán tử G trên L p ,X( ) và xác định chỉ số Fredholm của nó dựa theo các thành phần của phép lưỡng phân mũ trên các nửa đường thẳng của họ tiến hóa là nghiệm của (*). Các toán tử tuyến tính A t( ), t ∈ là không bị chặn trên X , và ta chỉ yêu cầu bài toán gốc (***) tương ứng được đặt tốt (theo nghĩa yếu). Ta chuyển bài toán về việc khảo sát một toán tử dịch chuyển trên không gian các dãy có giá trị trong X và đưa ra một chứng minh thuần lý thuyết toán tử cho định lý I dựa trên dạng rời rạc của phương pháp “input-output” từ lý thuyết phương trình vi phân. Với trường hợp hữu hạn chiều X = d , các dạng của định lý lưỡng phân đã được thiết lập trong nhiều bài báo. Ở đó A t( ) là các ma trận và G = − ddt + A .( ) được định nghĩa trên không gian Sobolev W 1,p ,d( ) . Trong trường hợp này G là Fredholm khi và chỉ khi họ tiến hóa U t,τ( ){ }t≥τ nghiệm của bài toán (*) có các phép lưỡng phân mũ trên  − và  + . Tuy nhiên những áp dụng vào các phương trình đạo hàm riêng đòi hỏi một dạng vô hạn chiều của định lý lưỡng phân với các toán tử A t( ) không bị chặn. Các nghiên cứu theo hướng này đã được thực hiện trong [2], [8], [9], …. Ta nhấn mạnh rằng các chứng minh cho các dạng hữu hạn 4 và vô hạn chiều của định lý lưỡng phân là rất khác nhau bởi nhiều khó khăn nảy sinh trong trường hợp vô hạn chiều như đã được trình bày trong phần 1 và 7 của [8]. Vài tác giả đã nghiên cứu tính Fredholm của toán tử G và các vấn đề liên quan trong những trường hợp vô hạn chiều đặc biệt. Trong [12] một dạng phương trình vi phân của (*) trên khôn gian Banach X có tính chất UMD đã được nghiên cứu, ở đó miền xác định chung của các toán tử A t( ) được nhúng compact vào X và A t( )→ A± khi t → ±∞ . Giả sử rằng phổ của A± không giao i , ta chứng minh được G là Fredholm trên L p ,X( ) với p∈ 1,∞( ) , và chỉ số của nó được tính theo các thành phần của the spectral flow của A .( ) . Trong [7] những định lý dạng này đã được thiết lập cho bài toán parabolic đặt tốt tổng quát. Hướng tiếp cận sau này xuất phát từ việc nghiên cứu chi tiết tính chính quy cực đại của nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất. Trường hợp toán tử A t( ) bị chặn được xem xét ở [1] trong mối liên kết với những áp dụng cho lý thuyết Morse vô hạn chiều. Trong [11] và [13], điều kiện cần và đủ cho tính Fredholm của toán tử G được thiết lập cho một lớp các phương trình vi phân vô hạn chiều có tính chất backward uniqueness (được giới thiệu dưới đây). Công việc này có liên hệ với những nghiên cứu chi tiết về sóng lan truyền với bài toán elliptic trên hình trụ. Trong một hướng nghiên cứu khác, ta bắt đầu với họ tiến hóa tổng quát U t,τ( ) , t ≥ τ và xây dựng một toán tử G trên L p ,X( ) như được mô tả dưới đây. Không có bất kỳ điều kiện thu hẹp nào trên tính chính quy hay dáng tiệm cận của A .( ) Nếu (***) được đặt tốt theo nghĩa cổ điển thì G là bao của G = − ddt + A .( ) . Trong [3] các tác giả giả sử thêm trước rằng U t,τ( ) có các phép lưỡng phân mũ trên các nữa đường thẳng. Khi đó một 5 “toán tử nút” được giới thiệu và chứng minh được rằng G và toán tử nút là Fredholm đồng thời với cùng các chỉ số. Mặt khác, các tác giả trong [8] yêu cầu X là phản xạ và đòi hỏi tính chất backward uniqueness cho họ tiến hóa, với các giả thiết này, họ mô tả đặc trưng tính Fredholm của G như ta làm dưới đây. Trong luận văn này ta loại bỏ bất kỳ giả thiết thêm nào và thiết lập định lý sau. Định lý I. Giả sử rằng A = U t,τ( ) : t ≥ τ;t,τ ∈{ } là một họ tiến hóa bị chặn mũ, liên tục mạnh trên một không gian Banach X và G là toán tử sinh của nửa nhóm tiến hóa liên kết định nghĩa trên ε ( ) = L p ,X( ) , p∈ 1,∞[ ) hoặc trên ε ( ) = C0 ,X( ) . Khi đó toán tử G là Fredholm khi và chỉ khi tồn tại các số thực a ≤ b sao cho hai điều kiện sau thỏa: (i). Họ tiến hóa A có các phép lưỡng phân mũ với họ các phép chiếu Pt−{ }t≤a và Pt+{ }t≥b trên −∞,a( ] và b,∞[ ) tương ứng. (ii). Toán tử nút N b,a( ) đi từ kerPa− vào kerPb+ được định nghĩa bởi công thức N b,a( ) = I − Pb+( )U b,a( ) kerPa− là Fredholm. Thêm nửa, nếu G là Fredholm thì ta có các đẳng thức dimkerG = dimkerN b,a( ) , codim imG = codim imN b,a( ) và indG = indN b,a( ) . Đặc biệt các tính chất Fredholm của G không phụ thuộc vào cách chọn không gian hàm ε ( ) . Nửa nhóm tiến hóa T = T t( ){ }t≥0 đề cập trong định lý I được định nghĩa trên L p ,X( ) , p∈ 1,∞[ ) hoặc C0 ,X( ) bởi công thức T t( ) f( ) τ( ) =U τ ,τ − t( ) f τ − t( ) , τ ∈, t ≥ 0 ; xem [4]. Đó là nữa nhóm liên tục mạnh và ta ký hiệu toán tử sinh của nó bởi G . Toán tử G có thể được mô tả bởi các thành phần của nghiệm yếu của phương trình tiến hóa 6 không thuần nhất như được chỉ ra trong bổ đề sau, xem [4, proposition 4.32]. Bổ đề II. Một hàm u thuộc miền xác định domG của toán tử G trên L p ,X( ) , p∈ 1,∞[ ) tương ứng trên C0 ,X( ) , khi và chỉ khi u ∈L p ,X( )∩C0 ,X( ) tương ứng u ∈C0 ,X( ) , và tồn tại một hàm số f ∈L p , X( ) tương ứng f ∈C0 ,X( ) , sao cho thỏa: u t( ) =U t,τ( )u τ( )− U t,σ( ) f σ( )dσ τ t ∫ với mọi t ≥ τ trong  (**) Nếu (**) thỏa thì Gu = f . Bây giờ ta xem xét thử trường hợp phương trình vi phân u ' t( ) = A t( )u t( ) , t ≥ τ , u τ( ) = x ∈dom A τ( )( ) , (***) là đặt tốt theo nghĩa cổ điển , nghĩa là các toán tử A t( ) được định nghĩa trù mật và có một họ tiến hóa A sao cho U t,τ( )dom A τ( )( )⊆ dom A t( )( ) với t ≥ τ và u t( ) =U t,τ( )x là nghiệm C1 duy nhất của (***). Thì G là bao của toán tử G = − ddt + A .( ) trên L p ,X( ), p∈ 1,∞[ ) tương ứng trên C0 ,X( ) với miền xác định: domG = u ∈W 1,p ,X( ) :u t( )∈domA t( ), a.e., A .( )u .( )∈Lp ,X( ){ } tương ứng u ∈C0 ,X( ) :u t( )∈domA t( ), for t ∈; u ' .( ), A .( )u .( )∈C0 ,X( ){ } , ở đây W 1,p ,X( ), p∈ 1,∞[ ) là không gian Sobolev thông thường, xem [4,theorem3.12]. Tuy nhiên ta biết rằng các giả định đối với các toán tử A t( ) chỉ nhằm vào tính đặt tốt theo ý nghĩa như trên chứ không phải là các điều kiện cần thiết, xem khảo sát trong [14]. Cho nên ta chỉ giả sử rằng tồn tại họ tiến hóa A mà không cần điều kiện gì đối với các toán tử A t( ) . 7 Định lý I đã được chỉ ra trong [8, thoerem1.1] với giả thiết thêm rằng X là phản xạ và A có tính chất backward uniqueness (BU). (BU.1): nếu u ∈C0 ,X( ), u t( ) =U t,τ( )u τ( ) với mọi t ≥ τ trong  , và u τ( ) = 0 với τ ∈ nào đó thì u = 0 . (BU.2): nếu v∈Cb w,* ,X*( ) , v τ( ) =U t,τ( )* v t( ) với mọi t ≥ τ trong  , và v τ( ) = 0 với τ ∈ nào đó thì v = 0 . Ta làm rõ rằng những tính chất này không đúng cho những họ tiến hóa bất kỳ là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng parabolic. Vài điều kiện đủ cho (BU) được biết đến cho các lớp phương trình đạo hàm riêng đặc biệt. Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát thì rất khó để kiểm tra được (BU). Trong phần 4 ta sẽ chỉ ra hai ví dụ mà G là fredholm mà (BU) là sai. Chứng minh của ta cũng chỉ ra rằng nếu A thỏa tính chất backward uniqueness (BU) thì có thể chọn a = b = 0 trong định lý I, xem mệnh đề 4.7 Sử dụng phương pháp sai phân, kết quả này đã được chứng minh trong [8, theorem 1.2] cho trường hợp X phản xạ. Như chỉ ra trong ví dụ 4.9, ở định lý I, trường hợp a = b = 0 là sai nếu bỏ qua điều kiện (BU). Chứng minh phần “nếu” của định lý I đã được đưa ra trong [8] mà không cần giả thiết về tính phản xạ và tính chất backward uniqueness. Phần chính của luận văn này là loại bỏ các giả thiết trên trong chứng minh phần “chỉ nếu”. Không có các giả thiết này bài toán trở nên rộng lớn và phức tạp, cho nên các phương pháp sử dụng trong luận văn này các rất khác so với trong [8] . Ta sử dụng cách tiếp cận như của Daletskii và Krein trong [5], và Levitan và Zhikov trong [10], mà đôi khi gọi là “input-output method” . Trong [5] kỹ thuật này được dùng để mô tả đặc trưng tính ổn định mũ của một họ tiến hóa A . Ý tưởng cơ bản là để giải phương trình Gu = f trên  + cho các hàm dạng f t( ) =ϕ ' t( )U t, s( )x (ở đây ϕ là hàm vô hướng thích hợp). Với các hàm f này, sử dụng một dạng của bổ đề I, 8 có thể thấy rằng u t( ) = −ϕ t( )U t, s( )x . Nếu G là khả nghịch trên  + có thể suy ra các ước lượng mũ cần thiết từ tính bị chặn của G−1 . Một biến thể của của khảo sát này chỉ ra rằng các không gian con ổn định và không ổn định của A yield a time tùy thuộc vào phép phân hoạch của X nếu G là khả nghịch trên  , dẫn đến một mô tả đặc trưng của phép lưỡng phân mũ trên  cho trong [10]. Ta làm rõ phương pháp “input-output” rất khác cách tiếp cận sử dụng trong [2] và [4], ở đó công cụ chính cho việc xây dựng phép lưỡng phân mũ trên  là phép chiếu Riesz của nữa nhóm sinh bởi G. Trong luận văn này ta tập trung xử lý tính Fredholm của toán tử G . Và cũng chỉ đạt được các phép lưỡng phân mũ của A (có thể rời nhau) trên các nữa dòng −∞,a( ] , b,∞[ ) , xem ví dụ 4.9. Cho nên ta phải nắm được hình dáng của U t, s( ) tại a, b và đoạn giữa. Để đạt được điều này trước tiên ta chia nhỏ bài toán (xem chương 1). Trong chương 2 ta xử lý các không gian con ổn định trên + và không ổn định trên − . Những không gian này thì tương đối dễ giải quyết do chúng đã được tìm hiểu chi tiết trong các thành phần của A , xem (2.1) và (2.2). Khó khăn chính là cấu trúc của phần bù của các không gian này. Ở đây ta cần vài phép phân hoạch của X được cho trong bổ đề 2.6. Trong chương 3 ta xây dựng các phép lưỡng phân trên b,∞[ ) và −∞,a( ] bằng cách di truyền các “vết” của ker và co-ker của G tại các điểm a và b (bổ đề 3.2 và bổ đề 3.7). Trong chương 4 ta làm việc với toán tử “nút” để chỉ ra điều kiện (ii) trong định lý I, và các công thức cho các số khuyết. Cũng trong chương này ta mô tả backward uniqueness property theo các thành phần của các vết của kerG và cokerG và chỉ ra ta có được a = b = 0 trong định lý I nếu tính chất backward uniqueness là đúng, xem mệnh đề 4.7. 9 Chương1: KÝ HIỆU, ĐỊNH NGHĨA, KẾT QUẢ SƠ LƯỢC. Ta đặt  + = t ∈ : t ≥ 0{ } ,  − = t ∈ : t ≤ 0{ } , + = n∈ :n ≥ 0{ } , − = n∈ :n ≤ 0{ } , ta dùng a để ký hiệu các số thực và n, m, j, k để ký hiệu các số nguyên. Ta viết c chung cho các hằng số (dương), A* , domA, kerA, imA là liên hợp, miền xác định, hạt nhân, ảnh của toán tử A trên không gian Banach X với không gian đối ngẫu là X* và AY là hạn chế của A trên không gian con Y của X . Tập hợp các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Banach X vào không gian Banach Y ký hiệu là B X,Y( ) ; B X,X( ) =:B X( ) . Với không gian con Y* ⊂ X* ta đặt Y*⊥ = x ∈X : x,ξ = 0 :∀ξ ∈Y*{ } . Nếu P,Q là 2 phép chiếu liên tục trên X thì X = imP⊕ kerP = imQ⊕ kerQ , trong đó ⊕ là phép phân hoạch không gian Banach thành các không gian con đóng với phần giao rỗng. Với phép phân hoạch này, mỗi A∈B X( ) có thể biển diễn qua ma trận cấp 2: A = PAQ PA(I −Q)(I − P)AQ (I − P)A(I −Q) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ . C0 ,X( ) là không gian các hàm liên tục f :→ X triệt tiêu tại ±∞ ; Cb w,* ,X*( ) là không gian các hàm liên tục yếu sao bị chặn f :→ X* , L p ,X( ) là không gian ( các lớp tương đương) các hàm p-khả tích Bochner f :→ X với p∈ 1;∞[ ) . Ta ký hiệu χM là hàm đặc trưng của tập M . Nếu ϕk( )k∈ là một dãy số và x ∈X thì ϕ ⊗ x là ký hiệu dãy các phần tử lấy giá trị trong X : ϕk x( )k∈ . 10 Định nghĩa Fredholm operator. Cho X và Y là các không gian Banach. Một toán tử tuyến tính bị chặn T : X→Y gọi là toán tử Fredholm nếu (i). dimkerT < ∞ (ii). imT là đóng (iii). dimcokerT < ∞ (nhắc lại rằng cokerT ≡ Y imT ) Nếu T là toán tử Fredholm thì chỉ số của T là số nguyên indT = dimkerT − dimcokerT Một họ tiến hóa A =U t,τ( )t≥τ trên một tập J ⊂  là một họ các toán tử U t,τ( )∈B X( ); t ≥ τ ; t,τ ∈J , thỏa: U t,τ( )U τ ,σ( ) =U t,σ( ) với mọi t ≥ τ ≥ σ và t,τ ,σ ∈J . Nó được gọi là liên tục mạnh nếu ánh xạ t,τ( )U t,τ( )x là liên tục với mọi x ∈X và t ≥ τ trong J . Nếu U t,τ( ) ≤ Mew t−τ( ) với hằng số M ≥1, w∈ nào đó và mọi t ≥ τ trong J, thì A là bị chặn mũ. Định nghĩa ED. Một họ tiến hóa A có một phép lưỡng phân mũ trên J ⊂  nếu tồn tại các họ không gian con đóng Xs t( ){ }t∈J và Xu t( ){ }t∈J của X sao cho: i j( ) . X = Xs t( )⊕ Xu t( ) với mọi t ∈J và U t,τ( )Xs τ( )⊆ Xs t( ) , U t,τ( )Xu τ( )⊆ Xu t( ) với mọi t ≥ τ trong J; ii j( ) .U t,τ( ) Xu τ( ) khả nghịch từ Xu τ( ) vào Xu t( ) với t ≥ τ trong J; iii j( ) .Có các hằng số N ,v > 0 sao cho U t,τ( ) Xs τ( ) ≤ Ne −v t−τ( ) , U t,τ( ) Xu τ( )( ) −1 ≤ Ne−v t−τ( ) với mọi t ≥ τ trong J. 11 Ta ký hiệu Pt là phép chiếu vào Xs t( ) song song với Xu t( ) . Nếu J = b;∞[ ) hoặc J = ∩ b;∞[ ) ta viết Xs, u + t( ) và Pt+ tương ứng cho không gian con lưỡng phân và phép chiếu lưỡng phân; và nếu J = −∞;a( ] hoặc J = Z ∩ −∞;a( ] ta viết Xs, u− t( ) và Pt− tương ứng cho không gian con lưỡng phân và phép chiếu lưỡng phân. Nếu A là liên tục mạnh và bị chặn mũ trên một khoảng không bị chặn J và i j( )− iii j( ) thỏa thì hàm t Pt liên tục mạnh và bị chặn đều trên J . Để chứng minh định lý I, ta thay toán tử G trong phát biểu định lý I bằng toán tử sai phân D định nghĩa bởi biểu thức D xn( )n∈ = xn −U n,n −1( )xn−1( )n∈ . (1.1) Toán tử D tác động trên không gian dãy ε ( ) , ở đây ε ( ) = l p , X( )nếu ε ( ) = L p ,X( ) , p∈ 1;∞[ ) và ε ( ) = co , X( ) nếu ε ( ) = Co ,X( ) .Với c0 (,X) là không gian các hàm f :→ X thỏa f z( )→ 0 khi z→ ±∞ . Sự thay thế là thỏa mãn theo định lý 4.2 và bổ đề 4.3 sau đây. Những kết quả này nói rằng A có một phép lưỡng phân mũ trên  ± nếu nó có phép lưỡng phân mũ trên ± và imG là đóng nếu và chỉ nếu imD là đóng, dimkerG = dimkerD , codim imG = codim imD . Đặc biệt toán tử G là Fredholm nếu và chỉ nếu D là Fredholm, và indG = indD . Ta tập trung chú ý vào chứng minh điều kiện cần của định lý I, nên suốt các chương 1-3 ta giả sử rằng D là toán tử Fredholm. Sau đây ta xét vài tính chất cơ bản của các không gian sau: Xn = x ∈X :∃ xk( )k∈ ∈ker D : sao cho x = xn{ } (1.2) Xn,* = ξ ∈X* :∃ ξk( )k∈ ∈ker D* : sao cho ξ = ξn{ } (1.3) với n∈ . Bằng tính toán đơn giản ta có D* ξn( )n∈ = ξn −U n +1,n( ) *ξn+1( )n∈ , 12 ker D = xn( )n∈ ∈ε ( ) : xn =U n,m( )xm for all n ≥ m{ } (1.4) kerD* = ξn( )n∈ ∈ε ( ) * :ξm =U n,m( )*ξn for all n ≥ m{ } (1.5) Những công thức này chứng tỏ U n,m( )Xm = Xn và U n,m( )* Xn,* = Xm,* với mọi n ≥ m . Do những đồng nhất trên và tính Fredholm của D ta có 0 ≤ dim Xn+1 ≤ dim Xn ≤ dimkerD < ∞ và 0 ≤ dim Xn,* ≤ dim Xn+1,* ≤ dimkerD* < ∞với mọi n∈ . Vậy có a, b∈ : a ≤ b để dim Xn và dim Xn,* là hằng với n ≤ a và n ≥ b . Không mất tổng quát ta có thể giả sử a = 0 và b ≥1 theo lý luận sau: với a∈ xét họ tiến hóa liên tục mạnh Aa định nghĩa bởi Ua t,τ( ) =U t + a,τ + a( ) với t ≥ τ trong  , và toán tử dịch chuyển Sa trên ε ( ) định bởi Sa xn( )n∈ = xn+a( )n∈ . Nếu Da là toán tử sai phân liên kết với Aa như ở (1.1) thì Da = SaDSa −1 và vì thế Da và D có cùng tính Fredholm. Cho nên chọn a thích hợp ta có: dim Xn Aa( ) và dim Xn,* Aa( ) là hằng với n ≤ 0 . Không mất tính tổng quát, để kết hợp các điều trên, ta thiết lập giả thiết sau. Giả thiết 1. A là một họ tiến hóa bị chặn mũ, rời rạc trên  , D là một toán tử Fredholm, dim Xn và dim Xn,* là hằng với n ≥ b , n ≤ 0 trong đó 1≤ b∈ . Bổ đề 1.1. Cho giả thiết 1 thỏa, khi đó dim Xn ≤ dimkerD < ∞ và dim Xn,* ≤ dimkerD* < ∞ với mọi n∈ và các khẳng định sau đúng: (i). U n,m( )Xm = Xn với mọi n ≥ m . (ii). U n,m( )* Xn,* = Xm,* với mọi n ≥ m . 13 (iii). U n,m( ) Xm :Xm → Xn là khả nghịch nếu m ≤ n ≤ 0 hoặc n ≥ m ≥ b . (iv). U n,m( )*Xn :Xn,* → Xm,* là khả nghịch nếu m ≤ n ≤ 0 hoặc n ≥ m ≥ b . (v). Xn ⊆ Xn,*⊥ với mọi n∈ . (vi). x ∈Xm,*⊥ nếu và chỉ nếu U n,m( )x ∈Xn,*⊥ , với n ≥ m trong  . Chứng minh. Như ta đã xem xét, từ (1.4), (1.5) khẳng định đầu tiên và phát biểu (i), (ii) là đúng. Khẳng định (iii), (iv) là đúng do giả thiết 1 và các khẳng định trước. Để chứng minh (v), lấy x = xk( )k∈ ∈kerD , ξ = ξk( )k∈ ∈kerD * , và n∈ . Theo như (1.5) và (1.4) ta có được xn , ξn = xn ,U k,n( )*ξk = U k,n( )xn , ξk = xk , ξk với mọi k ≥ n . Cho k→∞ ta được xn , ξn = 0 do xk → 0 khi k→∞ và A bị chặn mũ. Vậy (v) đúng. Khẳng định cuối cùng đúng do đẳng thức sau: x, ξm = x,U n,m( )*ξn = U n,m( )x, ξn với mọi n ≥ m ; với mọi ξ = ξn( )n∈ ∈kerD * .  Do X0 ⊆ X0,*⊥ và dim X0 < ∞ ta có thể chọn một không gian con đóng X0' của X sao cho: X0,*⊥ = X0 ⊕ X0' . (1.6) Tiếp nữa ta định nghĩa các không gian con đóng của ε ( ) và ε ( ) * F = x = xn( )n∈ ∈ε ( ) : xn ∈Xn,*⊥ for all n∈{ } (1.7) F0 = x = xn( )n∈ ∈F : x0 ∈X0'{ } (1.8) Fb,* = ξ = ξn( )n∈ ∈ε ( ) * :ξn ∈Xn,* for all n ∈, ξb = 0{ } . (1.9) 14 trên các không gian này các ánh xạ D0 := DF0 và Db,* := DFb ,* * có những tính chất tốt hơn các ánh xạ D và D* ,tương ứng, như phát biểu trong bổ đề sau Bổ đề 1.2. Cho giả thiết 1 thỏa, khi đó các khẳng định sau đúng: (i).F là D -bất biến và DF :F→ F là toàn ánh. (ii).Toán tử D0 = DF0 :F0 → F là khả nghịch. (iii).Db,* = DFb ,* * là nội xạ đều, nghĩa là, Db,*ξ ε ( )( )* ≥ c ξ ε ( )( )* với mọi ξ ∈Fb,* và hằng số c > 0 nào đó. Chứng minh. (i). Với xn ∈Xn,*⊥ và xn−1 ∈Xn−1,*⊥ thì rõ ràng xn −U n,n −1( )xn−1 ∈Xn,*⊥ nên suy ra DF ⊆ F . Để chứng minh DF :F→ F là toàn ánh, trước tiên ta cần chỉ ra rằng F ⊆ imD . Do D là Fredholm nên miền giá trị của nó là đóng. Vì thế imD là tập các x ∈ε ( ) sao cho x,ξ = 0 với mọi ξ ∈kerD* . Để chứng minh F ⊆ imD cần chứng minh x ⊥ ξ với mọi x = xn( )n∈ ∈F và ξ = ξn( )n∈ ∈kerD * .Điều này có do định nghĩa của Xn,* và F . Tiếp theo, cố định y = yn( )n∈ ∈F ⊆ imD , ta lấy x = xn( )n∈ ∈ε , X( ) sao cho Dx = y , tức là sao cho với mọi n∈ , k ∈ đẳng thức sau là đúng: xn =U n,n −1( )xn−1 + yn =U n,n −1( ) U n −1,n − 2( )xn−2 + yn−1⎡⎣ ⎤⎦ + yn = ...=U n,n − k( )xn−k + U n,n − j( )yn− j j=0 k−1 ∑ . Ta cần chứng minh xn ∈Xn,*⊥ với mọi n∈ . Cố định ξ ∈Xn,* và lấy dãy ξn( )n∈ ∈kerD * sao cho ξ = ξn . Do (1.5) ta có U n,n − k( )*ξn = ξn−k . Do 15 y = yn( )n∈ ∈F , ta có U n,n − j( )yn− j ∈Xn,* ⊥ và U n,n − j( )yn− j ,ξn = 0 . Khi đó: xn ,ξn = xn−k ,U n,n − k( )*ξn + U n,n − j( )yn− j ,ξn j=0 k−1 ∑ = xn−k ,ξn−k → 0 khi k→∞ do xn−k → 0 khi k→∞ và A bị chặn mũ. Suy ra (i). (ii). Từ (i), mỗi z = zn( )n∈ ∈F tồn tại y = yn( )n∈ ∈F sao cho Dy = z . Do định nghĩa của F ta có yn ∈Xn,*⊥ . Sử dụng phân hoạch X0,*⊥ = X0 + X0' được y0 = y + y' với y∈X0 và y' ∈X0' . Theo định nghĩa của X0 , tồn tại wn( )n∈ ∈kerD sao cho w0 = y . Lấy xn = yn − wn với mọi n∈ . Do yn ∈Xn,*⊥ và wn ∈Xn ⊂ Xn,*⊥ ta suy ra x = xn( )n∈ ∈F . Và x0 = y0 − w0 = y0 − y∈X0' nên x ∈F0 . Do wn( )n∈ ∈kerD , ta cũng có Dx = Dy = z . Lấy x ∈F0 và x ∈kerD . Do định nghĩa của Xn ta có xn ∈Xn với mọi n∈ và đặc biệt x0 ∈X0 . Nhưng do x ∈F0 nên x0 ∈X0' . Suy ra x0 = 0 . Do x ∈kerD , theo (1.4) ta có xn =U n,0( )x0 = 0 với mọi n ≥ 0 . Cũng từ (1.4) thì 0 = x0 =U 0,n( )xn với n < 0 . Theo bổ đề 1.1(iii) thì U 0,n( ) Xn :Xn → X0 với n < 0 là khả nghịch. Suy ra xn = 0 với n < 0 . Suy ra (ii). (iii). Để chứng minh (iii) ta phải kiểm tra rằng Db,* :Fb,* →ε ( ) * là đơn ánh và có miền giá trị đóng. Nếu ξ = ξn( )n∈ ∈kerDb,* thì ξn =U b,n( )*ξb = 0 với n ≤ b và U n,b( )*ξn = ξb = 0 với n ≥ b bởi (1.5). Từ bổ đề 1.1(iv) có ξn = 0 với n ≥ b , suy ra Db,* là đơn ánh. Tiếp theo lấy η = limn→∞ Db,*ξn với ξn ∈Fb,* . Do D* là Fredholm, imD* là đóng nên ta có ζ ∈ε ( ) * để η = D*ζ . Hơn nữa tồn tại một toán tử D† ∈B ε ( )*( ) và một 16 toán tử R có hạng hữu hạn sao cho D†D* = I + R và imR⊆ kerD* . Chú ý rằng D* ζ − ξn( )→ 0 khi n→∞ , ta có được ζ − ξn +wn → 0 khi n→∞ với wn = R ζ − ξn( )∈kerD* . Chuyển qua thành phần của dãy ta có ζ k = limn→∞ ξk ,n − wk ,n( )∈Xk ,* với mỗi k ∈ , ở đây ζ = ζ k( )k∈ , ξn = ξk ,n( )k∈ , wn = wk ,n( )k∈ . Do (1.3) có vectơ θ = θk( )k∈ ∈kerD * với ζb = θb . Từ đó ζ −θ ∈Fb,* do (1.9) và η = D* ζ −θ( ) = Db,* ζ −θ( ) . Cho nên miền giá trị của Db,* là đóng.  Bổ đề 1.3. Cho V là không gian con của X , ξ1,...,ξd{ } là tập các vectơ độc lập tuyến tính trong X* , và Y* = Span ξ1,...,ξd{ } , khi đó các khẳng định sau đúng: (i). Có x1, x2 ,..., xd ∈X sao cho xi ,ξ j = δ ij với mọi i, j ∈ 1,...,d{ } (ii). Cho v1,v2 ,...,vd ∈V thỏa vi ,ξ j = δ ij với mọi i, j ∈ 1,...,d{ } và lập W = span v1,v2 ,...,vd{ } . Khi đó: V = V ∩Y*⊥( )⊕W . (iii). codimY*⊥ = d < ∞ . Chứng minh. (i). Rõ ràng (i) là đúng nếu d = 1. Giả sử (i) đúng với d ∈ nào đó và lấy ξ1,...,ξd ,ξd+1{ } là hệ các vectơ độc lập tuyến tính. Ta chứng minh bằng phản chứng rằng  i=1 d kerξi ⊄ kerξd+1 (1.10) Lấy x ∈X và lấy x1, x2 ,..., xd{ } thỏa giả thiết qui nạp. Nếu (1.10) sai thì ta có x − x,ξ j j=1 d ∑ x j ∈i=1 d kerξi ⊆ kerξd+1 nghĩa là: ξd+1 = x j ,ξd+1 j=1 d ∑ ξ j . 17 Điều này vô lý nên (1.10) đúng. Do đó tồn tại xd+1 ∈ i=1 d kerξi với xd+1, ξd+1 = 1, nghĩa là (i) được chứng minh. (ii). Lấy x ∈V và đặt y = x − x,ξ jj=1 d∑ vj ∈V thì y,ξi = x,ξi − x,ξ jj=1 d∑ δ ji = 0 với mọi i ∈ 1,2,...,d{ } . Như vậy, y∈V ∩Y*⊥ và x ∈ V ∩Y*⊥( ) +W . Ta đã chỉ ra rằng V ⊆ V ∩Y*⊥( ) +W , bao hàm thức ngược lại suy ra trực tiếp từ W ⊆V . Nếu x ∈ V ∩Y*⊥( )∩W thì có λ1,..., λd ∈ sao cho x = λ jj=1 d∑ vj , vì thế ta có λi = λ j j=1 d ∑ δ ji = λ jv j ,ξi j=1 d ∑ = x,ξi = 0 với mọi i ∈ 1,...,d{ } và do đó: V ∩Y*⊥( )∩W = 0{ } . Nên (ii) đúng. (iii). Khẳng định (iii) có được do (i) và (ii).  Bổ đề 1.4. Cho an( )n∈+ là một dãy các số dương và bn( )n∈+ ∈c0 + , +( ) sao cho an+m ≤ bnam với mọi n, m∈+ thì có N ,v > 0 chỉ phụ thuộc vào bn( )n∈+ sao cho an+m ≤ Ne −vnam với mọi n, m∈+ . Chứng minh. Lấy n0 ∈+ sao cho bno < e −1 , đặt N = e max b0 ,...,bno{ }+1( ) , v = 1 n0 và p = n n0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ với n, m∈+ . Ta có: an+m ≤ bn− pn0apn0+m ≤ N e apn0+m ≤ N e bn0( ) p am ≤ Ne− p−1am ≤ Ne − nn0 am = Ne−vnam .  18 Chương 2: ƯỚC LƯỢNG LƯỠNG PHÂN TRÊN CÁC KHÔNG GIAN CON ỔN ĐỊNH TRÊN + VÀ CÁC KHÔNG GIAN CON KHÔNG ỔN ĐỊNH TRÊN − . Trong phần này ta sẽ dùng các ký hiệu ε Z±( ) = l p ± , X( ) nếu ε Z( ) = l p , X( ) , p∈ 1,∞[ ) và ε Z±( ) = c0 ± ,X( ) nếu ε Z( ) = c0 ,X( ) . Ta đưa ra các không gian con ổn định và không ổn định trên + và − bởi: Xs+ k( ) = x ∈X : U n + k, k( )x( )n∈+ ∈ε +( ){ } , k ≥ 0 (2.1) Xu− k( ) = x ∈X :∃ xn( )n∈−{ ∈ε −( )with xn =U n, m( )xm for m ≤ n ≤ 0 and xk = x} , k ≤ 0 (2.2) Ta lưu ý rằng: U n, m( )Xs+ m( )⊆ Xs+ n( ) với mọi n ≥ m ≥ 0 (2.3) U n, m( )Xu− m( ) = Xu− n( ) với mọi m ≤ n ≤ 0 (2.4) Đặt Us+ n, m( ) : Xs+ m( )→ Xs+ n( ) và Uu− n, m( ) : Xu− m( )→ Xu− n( ) là toán tử tuyến tính được định nghĩa bởi Us+ n, m( )x =U n, m( )x với n ≥ m ≥ 0 và x ∈Xs+ m( ) ; và Uu− n, m( )x =U n, m( )x với m ≤ n ≤ 0 và x ∈Xu− m( ) . Bổ đề sau chỉ ra rằng trong trường hợp n = 0 , các không gian trên nói chung là không tương thích với nhau Bổ đề 2.1. Cho giả thiết 1 thỏa, khi đó các khẳng định sau đúng: (i). Xs+ 0( ) + Xu− 0( ) = X0,*⊥ (ii). Xs+ 0( )∩ Xu− 0( ) = X0 . 19 Chứng minh. (i). Lấy ξ = ξn( )n∈ ∈kerD * thì ξ bị chặn và U k,0( )*ξk = ξ0 do (1.5). Với x ∈Xs+ 0( ) đẳng thức (2.1) kéo theo: U k,0( )x→ 0 khi k→∞ . Ta có x, ξ0 = x,U k, 0( )*ξk = U k, 0( )x, ξk với mọi k ≥ 0 . Cho k→∞ ta có x, ξ0 = 0 nên x ∈X0,*⊥ . Với x ∈Xu− 0( ) ta có xk( )k∈− ∈ε −( ) sao cho xn =U n,m( )xm với mọi m ≤ n ≤ 0 và x0 = x theo (2.2). Trong trường hợp này ta có xk → 0 khi k→−∞ và x,ξ0 = x0 ,ξ0 = U 0,k( )xk ,ξ0 = xk ,U 0,k( )*ξ0 = xk ,ξk với k ≤ 0 . Cho k→−∞ ta suy ra x ∈X0,*⊥ . Vì vậy: Xs+ + Xu− ⊆ X0,*⊥ . Giả sử x ∈X0,*⊥ thì dãy y = −χ 1{ } ⊗U 1,0( )x thuộc vào F theo (1.7) và bổ đề 1.1(vi). Do bổ đề 1.2(i) có một dãy x = xn( )n∈ ∈F với Dx = y . Đẳng thức này chứng tỏ x1 −U 1,0( )x0 = y1 = −U 1,0( )x và xn −U n,1( )x1 = yn = 0 với n ≥ 2 . Ta suy ra U n,0( ) x − x0( ) = −xn với n ≥1 và do đó x − x0 ∈Xs+ 0( ) bởi (2.1). Sử dụng Dx = y lần nữa ta có xn −U n,m( )xm = yn = 0 với mọi m ≤ n ≤ 0 cho nên x0 ∈Xu− 0( ) bởi (2.2). Vì thế x = x − x0 + x0 ∈Xs+ 0( ) + Xu− 0( ) ; suy ra (i). (ii). Lấy x ∈Xs+ 0( )∩ Xu− 0( ) thì xn =U n,0( )x xác định một dãy xn( )n∈+ ∈ε +( ) theo (2.1); và có một dãy xn( )n∈− ∈ε −( ) sao cho x = x0 và xn =U n,m( )xm với mọi m ≤ n ≤ 0 theo (2.2). Dễ kiểm tra rằng xn =U n,m( )xm với mọi n ≥ m trong  , và như thế x ∈X0 bởi (1.2) và (1.4). Vậy Xs+ 0( )∩ Xu− 0( )⊆ X0 . Bao hàm thức ngược lại có trực tiếp từ định nghĩa của X0 , Xs+ 0( ) , Xu− 0( ) trong (1.2), (2.1), (2.2).  20 Lưu ý 2.2. Sử dụng những ý tương tự trong chứng minh phần (i) của bổ đề 2.1, ta có Xs+ k( )⊆ Xk ,*⊥ với mọi k ≥ 0 và Xu− k( )⊆ Xk ,*⊥ với mọi k ≤ 0  Ta gới thiệu các dãy sau với n∈+ và p∈ 1,∞[ ) αn = n +1( )1− 1 p :ε ( ) = l p ,X( ) n +1( ) :ε ( ) = c0 ,X( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ βn = n +1( ) 1 p :ε ( ) = l p ,X( ) 1 :ε ( ) = c0 ,X( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ Lưu ý 2.3. Ta nêu vài tính chất hiển nhiên của các dãy trên. (i) αnβn = n +1 với mọi n ≥ 0 ; (ii) xk k=m m+n ∑ ≤αn x ε ( ) với mọi m∈, n ≥ 0, x = xk( )k∈ ∈ε ( ) ; (iii) χ m,...,m+n{ } ⊗ x ε ( ) = βn x với mọi x ∈X, m∈, n ≥ 0 .  Bây giờ ta có thể thiết lập ước lượng lưỡng phân của Us+ n,m( ) cho n ≥ m ≥ 0 cũng như tính khả nghịch của Uu− n,m( ) và ước lượng lưỡng phân của Uu− n,m( )−1 với m ≤ n ≤ 0 . Bổ đề 2.4. Cho giả thiết 1 thỏa, khi đó các khẳng định sau đúng: (i). Có các hằng số N ,v > 0 sao cho: Us+ n,m( ) ≤ Ne−v n−m( ) với mọi n ≥ m ≥ 0 . (ii). Xs+ m( ) là không gian con đóng của X với mọi m ≥ 0 . Chứng minh. (i). Cho m ≥ 0 , x ∈Xs+ m( ) và ϕk( )k∈ là dãy số có giá hữu hạn ta định nghĩa dãy x = xk( )k∈ và y = yk( )k∈ bởi 21 xk = 0 : k ≤ m ϕ j j=m+1 k ∑ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ U k,m( )x : k > m ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ yk = 0 : k ≤ m ϕkU k,m( )x : k > m ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ (2.5) lưu ý 2.2 và (2.3) chứng tỏ rằng x ∈F0 , xem (1.8). Có thể kiểm tra trực tiếp rằng y = Dx = D0x . Trước tiên ta lấy ϕk( )k∈ = χ m+1{ } . Bổ đề 1.2(ii) và tính bị chặn mũ của họ tiến hóa A cho ta : U n,m( )x = χ m+1{ } j( )U n,m( )x j=m+1 n ∑ ≤ x ε ( ) ≤ c D0x ε ( ) = c y ε ( ) = c U m +1,m( )x ≤ cMew x với mọi n ≥ m +1. Dẫn đến : Us+ k, j( ) ≤ c với mọi k ≥ j ≥ 0 . (2.6) Tiếp theo ta lấy n > l > m và đặt ϕk( )k∈ = χ l ,...,n{ } . Với x và y định nghĩa trong (2.5), từ ước lượng (2.6), lưu ý 2.3, và bổ đề 1.2(ii) ta có : 1 2 n − l + 2( ) n − l +1( ) Us + n,m( )x = k − l +1( ) Us+ n,k( )Us+ k,m( )x k=l n ∑ ≤ c ϕ j j=m+1 k ∑ k=l n ∑ U k,m( )x = c xk k=l n ∑ ≤ cαn−l x ε ( ) ≤ cαn−l y ε ( ) ≤ cαn−l χ l ,...,n{ } ⊗Us+ l,m( )x ε ( ) = cαn−lβn−l Us+ l,m( )x = c n − l +1( ) Us+ l,m( )x . Nên U n,m( )x ≤ bn−l U l,m( )x với n ≥ l ≥ m ≥ 0 ; x ∈Xs+ m( ) , với b0 = 1 và bj = c j + 2( )−1 ; j ≥1 . Do bổ đề 1.4 , có các hằng số N ,v > 0 sao cho U n,m( )x ≤ Ne−v n−l( ) U l,m( )x với mọi n ≥ l ≥ m ; x ∈Xs+ m( ) , suy ra (i). (ii). Khẳng định (ii) suy ra dễ dàng từ (i) và (2.1).  22 Bổ đề 2.5. Cho giả thiết 1 thỏa, khi đó các khẳng định sau đúng: (i). Uu− n,m( ) : Xu− m( )→ Xu− n( ) là sonh ánh với m ≤ n ≤ 0 . (ii). Có các hằng số N ,v > 0 sao cho Uu− n,m( )( )−1 ≤ Ne−v n−m( ) với mọi m ≤ n ≤ 0 . (iii). Xu− k( ) là không gian con đóng của X với k ≤ 0 . Chứng minh. (i). Cố định m ≤ n ≤ 0 , tính toàn ánh của Uu− n,m( ) đã có ở (2.4). Lấy x ∈Xu− m( ) với 0 =Uu− n,m( )x =U n,m( )x . Bởi (2.2) có một dãy x = xk( )k∈− ∈ε −( ) sao cho xk =U k, j( )x j với mọi j ≤ k ≤ 0 và x = xm . Ta mở rộng x thành dãy trong ε ( ) bằng cách đặt xk = 0 với k > 0 . Từ x0 =U 0,n( )U n,m( )x = 0 ta có dãy x ∈kerD . Cho nên x ∈Xm bởi (1.2). Bổ đề 1.1(iii) cho ta x = 0 ; nên (i) được chứng minh. (ii). Lấy w = wk( )k∈− ∈ε −( ) với wk =U k, j( )wj với mọi j ≤ k ≤ 0 . Cho ϕk( )k∈ ⊆  có giá hữu hạn. Ta định nghĩa x = xk( )k∈ và y = yk( )k∈ bởi xk = 0 khi k ≥ 0 ϕ j j=k+1 0 ∑ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ wk khi k ≤ −1 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ yk = 0 khi k ≥1 −ϕkwk khi k ≤ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ (2.7) Lưu ý rằng x ∈F0 do wk ∈Xu− k( )⊆ Xk ,*⊥ với mọi k ∈− (xem (1.8), (2.2), và lưu ý 2.2) hơn nữa, y = Dx = D0x . Cho m ≤ n −1< 0 và chọn ϕk( )k∈ = χ n{ } . Bổ đề 1.2(ii) cho ta: wm = xm ≤ x ε ( ) ≤ c y ε ( ) = c wn (2.8) Tiếp theo lấy ϕk( )k∈ = χ m+1,...,n{ } . Từ ước lượng (2.8), bổ đề 1.2(ii) và lưu ý 2.3 ta có : 23 12 n − m( ) n − m +1( ) wm = n − k( )k=m n−1 ∑ wm ≤ c ϕ j j=k+1 n ∑ k=m n−1 ∑ wk = c xk k=m n−1 ∑ ≤ cαn−m−1 x ε ( ) ≤ cαn−m−1 y ε ( ) ≤ cαn−m−1 χ m+1,...,n{ } ⊗wn ε ( ) = cαn−m−1βn−m−1 wn = c n − m( ) wn . Suy ra rằng wm ≤ c n − m +1 wn với mọi m ≤ n −1< 0 . Áp dụng bổ đề 1.4 cho dãy an = w−n và bn = c n +1( )−1 ta có các hằng số N ,v > 0 (không phụ thuộc vào cách chọn w = wk( )k∈ ) sao cho wm ≤ Ne −v n−m( ) wn với mọi m ≤ n ≤ 0 . Vậy ta rút ra (ii) từ định nghĩa của w = wk( )k∈ và (i). (iii). Do (i) và (ii) có thể coi k = 0 . Lấy x ∈X và x n( ) ∈Xu− 0( ) , n∈+ , với x n( ) → x khi n→∞ . Cho y n( ) = ykn( )( )k∈− là một dãy trong ε −( ) sao cho yk n( ) =U k, j( )yjn( ) với mọi j ≤ k ≤ 0 và y0n( ) = x n( ) với mọi n ≥ 0 . Khẳng định (ii) cho ta ykn( ) − ykm( ) = Uu− 0,k( )( )−1 x n( ) − x m( )( ) ≤ Nevk x n( ) − x m( ) với mọi n, m ≥ 0 và mọi k ≤ 0 , và do đó y n( ) − y m( ) ε ( ) ≤ c x n( ) − x m( ) với mọi n, m ≥ 0 . Tồn tại dãy y = yk( )k∈− ∈ε −( ) với y n( ) → y trong ε −( ) khi n→∞ . Điều đó kéo ._.