Nhóm Qp - Tài liệu, ebook, giáo trình

Tài liệu Nhóm Qp: ... Ebook Nhóm Qp

54 trang | Chia sẻ: huyen82 | Lượt xem: 1713 | Lượt tải: 2

Tóm tắt tài liệu Nhóm Qp, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ PHẠM MỸ HẠNH NHÓM QP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI THÀNH PHỐ CẦN THƠ 11/2009 1LÍI NÂI ﬃU Theo Wikipedia khi giîi thi»u v· nguçn gèc cõa lþ thuy¸t nhâm, trong kho£ng mët th¸ kﬀ, r§t nhi·u nh to¡n håc ¢ g°p khâ kh«n khi nghi¶n cùu c¡c b i to¡n trong ¤i sè tr÷îc khi lþ thuy¸t nhâm ra íi. Bt ¦u l Joseph Louis Lagrange sû döng nhâm ho¡n và º t¼m nghi»m a thùc. Sau â trong c¡c b i b¡o, nghi¶n cùu v· ph÷ìng tr¼nh ¤i sè cõa Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Niels Hendrik Abel v Evariste Galois, nhúng thuªt ngú trong lþ thuy¸t nhâm ¢ xu§t hi»n. Ngo i ra, lþ thuy¸t nhâm công ÷ñc h¼nh th nh tø h¼nh håc v o kho£ng giúa th¸ kﬀ 19 v tø lþ thuy¸t sè. V o kho£ng cuèi th¸ k¿ 19, lþ thuy¸t nhâm ÷ñc h¼nh th nh nh÷ mët nh¡nh ëc lªp cõa ¤i sè (nhúng ng÷íi câ cæng trong l¾nh vüc n y ph£i kº ¸n l Ferdinand Georg Frobenius, Leopold Kronecker, Emile Mathieu v/v. . . ). Nhi·u kh¡i ni»m cõa ¤i sè ¢ ÷ñc x¥y düng l¤i tø kh¡i ni»m nhâm v ¢ câ nhi·u k¸t qu£ mîi âng gâp cho sü ph¡t triºn cõa mët ng nh quan trång trong to¡n håc. Hi»n nay lþ thuy¸t nhâm l mët ph¦n ph¡t triºn trong ¤i sè v câ nhi·u ùng döng trong topo håc, lþ thuy¸t h m, mªt m¢ håc, cì håc l÷ñng tû v nhi·u ng nh khoa håc cì b£n kh¡c. B i to¡n cì b£n cõa lþ thuy¸t nhâm l mi¶u t£ t§t c£ h» thèng nhâm vîi sü ch½nh x¡c ¸n mët ¯ng c§u v nghi¶n cùu c¡c ph²p bi¸n êi tr¶n c¡c nhâm. Tr¶n thüc t¸, vi»c li»t k¶ h¸t c¡c h» thèng nhâm l khæng thº, ch½nh v¼ th¸ m lþ thuy¸t nhâm v¨n ti¸p töc ÷ñc nghi¶n cùu v ph¡t triºn. ﬃ°c bi»t èi vîi lîp nhâm aben væ h¤n v¨n ang l chõ · ang ÷ñc c¡c nh to¡n håc tr¶n th¸ giîi nghi¶n cùu. V¼ th¸ chóng tæi ¢ chån · t i nhâm Qp, mët v½ dö v· nhâm aben væ h¤n º hiºu th¶m mët sè t½nh ch§t quan trång cõa lîp nhâm n y. Trong luªn v«n n y, chóng tæi tr¼nh b y hai ch÷ìng sau: Ch÷ìng 1: Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v t½nh ch§t cõa mët sè nhâm quen thuëc nh÷ nhâm xyclic v xyclic àa ph÷ìng, nhâm xon v nhâm khæng xon, nhâm chia ÷ñc, nhâm thu¦n tuþ v ìn thu¦n tuþ v/v. . . nh¬m l m cì sð cho ch÷ìng 2. Ch÷ìng 2: ﬃèi vîi ch÷ìng n y chóng tæi °t trång t¥m v o vi»c nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cõa nhâm Qp mët v½ dö v· nhâm aben væ h¤n, çng thíi giîi thi»u sì l÷ñc v½ dö mð rëng cõa nhâm n y, â l nhâm A ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: A = B + C + D vîi B = Qp × {0}, C = {0} ×Qq v D = 〈1/r, 1/r〉. Do thíi gian câ h¤n n¶n chóng tæi khæng i s¥u hìn v· c¡c t½nh ch§t cõa c¡c mð rëng cõa nhâm Qp công nh÷ ch÷a tr¼nh b y ÷ñc c¡c ùng döng cõa nhâm n y trong mët sè l¾nh vüc khoa håc kß thuªt hi»n nay. M°c dò b£n th¥n ¢ câ nhi·u cè gng, nh÷ng vîi sü hiºu bi¸t v ki¸n thùc câ h¤n n¶n luªn v«n v¨n cán nhi·u sai sât. Em mong nhªn ÷ñc sü thæng c£m v nhúng þ ki¸n quþ b¡u cõa quþ th¦y cæ v c¡c b¤n º luªn v«n n y ÷ñc ho n ch¿nh hìn. Xin ch¥n th nh c¡m ìn! C¦n Thì, th¡ng 11 n«m 2009 Ph¤m Mß H¤nh 2LÍI CM ÌN Líi ¦u ti¶n xin tr¥n trång c£m ìn Th¦y Bòi Xu¥n H£i ¢ tªn t¥m ch¿ d¨n tæi trong suèt thíi gian qua, °c bi»t trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n luªn v«n n y. Xin tr¥n trång gûi líi c£m ìn ¸n quþ Th¦y, Cæ thuëc Khoa To¡n - Tin håc Tr÷íng ﬃ¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n, TP. Hç Ch½ Minh, còng vîi quþ Th¦y, Cæ ð Bë mæn To¡n, Khoa Khoa håc, Tr÷íng ﬃ¤i håc C¦n Thì ¢ tªn t¼nh truy·n d¤y nhúng ki¸n thùc v kinh nghi»m quþ b¡u cho tæi trong suèt thíi gian håc tªp. Xin tr¥n trång c£m ìn quþ Th¦y, Cæ ¢ åc v âng gâp nhi·u þ ki¸n bê ½ch cho luªn v«n. Xin tr¥n trång c£m ìn Pháng ﬃ o t¤o v Khoa Khoa håc, Tr÷íng ﬃ¤i håc C¦n Thì ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi º tæi ho n t§t ch÷ìng tr¼nh håc tªp. Sau còng xin tr¥n trång c£m ìn c¡c çng nghi»p v b¤n b± ¢ ëng vi¶n v hé trñ tæi trong suèt thíi gian tæi theo håc ch÷ìng tr¼nh cao håc ð Tr÷íng ﬃ¤i håc C¦n Thì. Ph¤m Mß H¤nh Möc löc 1 Ki¸n thùc chu©n bà 5 1.1 Nhâm aben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Nhâm aben tü do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Nhâm tü do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Biºu di¹n nhâm d÷îi d¤ng tªp sinh v c¡c çng nh§t thùc: . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Nhâm xon - Nhâm khæng xon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 D n c¡c nhâm con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Nhâm xyclic - Nhâm xyclic àa ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8 Nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.9 Nhâm chia ÷ñc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.10 Nhâm con thu¦n tóy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.11 Nhâm ìn thu¦n tóy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.12 T½ch trüc ti¸p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.13 Nhâm th°ng d÷ húu h¤n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.14 Nhâm hopf - Nhâm cohopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 Nhâm Qp v mð rëng cõa nhâm n y 35 2.1 Nhâm Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Mð rëng cõa nhâm Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 4 MÖC LÖC BNG KÞ HIU N, Z, Q, R: Tªp hñp sè tü nhi¶n, sè nguy¶n, sè húu t¿, sè thüc. H A: H l nhâm con chu©n tc cõa nhâm A. Kerf : Nh¥n cõa çng c§u f. Imf : nh cõa çng c§u f. G ∼= H: Nhâm G ¯ng c§u vîi nhâm H. 〈S〉: Nhâm sinh bði tªp S. |G|: C§p cõa nhâm G. H ≤ G: H l nhâm con cõa G. P: Tªp c¡c sè nguy¶n tè. a|b: Ph¦n tû a l ÷îc cõa b. tG: Nhâm con xon cõa G. A×B : T½ch trüc ti¸p cõa nhâm A v B. A⊕B: Têng trüc ti¸p cõa nhâm A v B. G[p]: {x ∈ G|pmx = 0,m ∈ N}. Z(p∞): Nhâm p-Pruffer. Qp: { a pn | a pn ∈ Q, n ∈ Z} vîi p l mët sè nguy¶n tè cho tr÷îc. Qp: {a b |a b ∈ Q, (b, p) = 1, p ∈ P}. Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Nhâm aben Nhâm aben l lîp nhâm câ nhi·u ùng döng trong c¡c ng nh khoa håc v kß thuªt. Mët sè nhâm aben th÷íng g°p nh÷ nhâm c¡c sè nguy¶n vîi ph²p to¡n cëng (Z, +), nhâm c¡c sè húu tﬀ vîi ph²p to¡n cëng (Q, +), hay nhâm c¡c sè húu tﬀ kh¡c khæng vîi ph²p to¡n nh¥n (Q∗, . ), nhâm c¡c sè thüc vîi ph²p to¡n cëng (R, +) ho°c nhâm cëng c¡c ma trªn c§p n h» sè thüc (Mn(R),+) v/v... C¡c nhâm aben câ thº ÷ñc li»t k¶ th nh ba lîp. Lîp thù nh§t l lîp c¡c nhâm xon (torsion group), tùc l måi ph¦n tû cõa nhâm n y ·u câ c§p húu h¤n. V½ dö: (Z(2),+) ho°c p-nhâm. Lîp thù hai l lîp c¡c nhâm khæng xon (torsion - free groups), â l nhâm m khæng câ ph¦n tû n o cõa nâ (ngo¤i trø ph¦n tû ìn và) câ c§p húu h¤n. V½ dö: Nhâm cëng c¡c sè nguy¶n (Z, + ); Nhâm cëng c¡c sè húu tﬀ (Q, + ). Cuèi còng l lîp gçm c¡c nhâm câ c£ nhúng ph¦n tû khæng t¦m th÷íng câ c§p húu h¤n v nhúng ph¦n tû câ c§p væ h¤n. Nhúng nhâm n y gåi l nhâm aben hén hñp (mixed group). V½ dö: Nhâm Z2 ⊕ Z, ho°c nhâm nh¥n c¡c sè thüc kh¡c khæng do måi ph¦n tû kh¡c ph¦n tû 1 v -1 cõa nhâm n y ·u câ c§p væ h¤n. ﬃèi vîi nhâm thuëc lîp thù nh§t v lîp thù hai câ c¡c t½nh ch§t chung nh÷ sau: Nhâm con xon cõa G l h¤ng tû trüc ti¸p cõa nhâm n y. ﬃi·u n y d¨n ¸n vi»c ph¥n t½ch lîp c¡c nhâm hén hñp th nh hai lîp nhâm con nh÷ sau: Mët nhâm aben hén hñp G câ thº ch¿ câ thº chia th nh nhâm t¡ch ÷ñc (splitting) hay nhâm khæng t¡ch ÷ñc (nonsplitting group) tuý thuëc v o nhâm con xon cõa G câ l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G hay khæng. ﬃèi vîi lîp c¡c nhâm t¡ch ÷ñc (hay ch´ ra), n¸u ta bi¸t t½nh ch§t cõa t(A) v t½nh ch§t cõa A/t(A) th¼ s³ bi¸t ÷ñc t½nh ch§t cõa A v¼ A ∼= t(A)× (A/t(A)) vîi t(A) l nhâm chùa t§t c£ ph¦n tû xon cõa A. Nâi c¡ch kh¡c, A khæng câ nhi·u t½nh ch§t kh¡c hìn so vîi c¡c t½nh ch§t cõa t(A) v A/t(A). Tuy nhi¶n, n¸u nhâm A khæng t¡ch ÷ñc (hay t(A) khæng l h¤ng tû trüc ti¸p cõa A), khi â nhâm A s³ câ nhi·u t½nh ch§t kh¡c hìn so vîi c¡c t½nh ch§t cõa t(A) v A/t(A). V¼ vªy, èi vîi ba lîp cõa c¡c nhâm aben n¶u tr¶n khi nghi¶n cùu ng÷íi ta ch¿ chó þ ¸n nhâm xon, nhâm khæng xon v nhâm khæng t¡ch ÷ñc. 5 6 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ M°t kh¡c, méi nhâm t¡ch ÷ñc (hay ph¥n t½ch ÷ñc) A câ thº ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng A = t(A)⊕F , khi â t(A) l £nh çng c§u cõa A v A/t(A) ∼= F . V¼ th¸, A/t(A) câ thº nhóng v o trong A. M°c kh¡c do A/t(A) ∼= F d¨n ¸n F l nhâm khæng xon v¼ A/t(A) l nhâm khæng xon. Vªy A câ mët h¤ng tû trüc ti¸p khæng xon khæng t¦m th÷íng. ﬃành ngh¾a 1.1.1. N¸u G l mët p-nhâm aben th¼ G công ÷ñc gåi l mët nhâm p-nguy¶n sì. Cho G l mët nhâm aben húu h¤n. Vîi méi ÷îc nguy¶n tè p cõa |G|, °t: Gp = {x ∈ G|pmx = 0,m ∈ N}. Khi â, Gp l mët p-nhâm con Sylow cõa G. Hìn núa, nhâm con Gp x¡c ành nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l th nh ph¦n p - nguy¶n sì cõa G. Ngo i ra, måi p- nhâm aben G húu h¤n ÷ñc gåi l p-nhâm aben sì c§p V½ dö: Nhâm cëng Z9 c¡c sè nguy¶n modulo 9 l nhâm p- nguy¶n sì v¼ c§p cõa c¡c ph¦n tû cõa Z9 l luß thøa cõa sè nguy¶n tè 3. Måi nhâm aben húu h¤n ·u l têng trüc ti¸p cõa c¡c th nh ph¦n p-nguy¶n sì, tùc l G = ∑ pGp. ﬃành lþ 1.1.2. Mët nhâm aben xon b§t ký câ thº ph¥n t½ch mët c¡ch duy nh§t th nh têng trüc ti¸p cõa c¡c p - nhâm con nguy¶n sì theo c¡c sè nguy¶n tè kh¡c nhau. Chùng minh Gi£ sû A l mët nhâm aben xon b§t ký. Ta kþ hi»u tªp t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa A câ c§p l luß thøa mët sè nguy¶n tè p qua Ap. Khi â t§t c£ c¡c nhâm con Ap cõa A theo c¡c sè nguy¶n tè kh¡c nhau t¤o th nh mët têng trüc ti¸p trong nhâm A. M°t kh¡c, mët ph¦n tû x tuý þ cõa A câ c§p n = pα11 p α2 2 ....p αk k , th¼ x = x1x2....xr, xi ∈ Ap. Do â, méi ph¦n tû cõa A ÷ñc chùa trong têng trüc ti¸p cõa t§t c£ c¡c nhâm nguy¶n sì trong A n¶n A = ⊕pAp. Bê · 1.1.3. N¸u G l nhâm aben v A ≤ G khi â c¡c i·u kh¯ng ành sau t÷ìng ÷ìng: a) A l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G. (Tçn t¤i nhâm con B ≤ G m A ∩ B = 0 v A+B = G). b) Tçn t¤i nhâm con B ≤ G m méi ph¦n tû g ∈ G câ biºu di¹n duy nh§t d÷îi d¤ng g = a + b vîi a ∈ A, b ∈ B. c) Tçn t¤i çng c§u s : G/A → G tho£ ν ◦ s = 1G/A vîi ν : G → G/A l çng c§u tü nhi¶n. d) Tçn t¤i ph²p chi¸u pi : G→ A thäa pi(a) = a,∀a ∈ A. 1.2. NHÂM ABEN TÜ DO 7 Chùng minh a) suy ra d) hiºn nhi¶n. b) suy ra a) hiºn nhi¶n. Ng÷ñc l¤i, ta s³ chùng minh (a) suy ra (b). N¸u A l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G th¼ theo (a) tçn t¤i nhâm con B cõa nhâm G m A ∩ B = 0, A + B = G suy ra vîi måi méi ph¦n tû g ∈ G câ biºu di¹n d÷îi d¤ng g = a + b vîi a ∈ A v b ∈ B. Ta s³ chùng minh sü biºu di¹n n y l duy nh§t, v¼ n¸u g = a' + b' vîi a′ ∈ A, b′ ∈ B. Khi â, a − a′ = b − b′ ∈ A ∩ B = 0. Suy ra, a = a' v b = b'. Hay sü biºu di¹n cõa g l duy nh§t. b) suy ra d). Thªt vªy, n¸u méi ph¦n tû g ∈ G câ biºu di¹n duy nh§t d÷îi d¤ng g = a + b vîi a ∈ A v b ∈ B. X²t ¡nh x¤ pi : G→ A tho£ pi(a) = a, ∀a ∈ A. Kiºm tra ÷ñc ¡nh x¤ pi l mët çng c§u b) suy ra c). N¸u tçn t¤i nhâm con B ≤ G m méi ph¦n tû g ∈ G câ biºu di¹n duy nh§t d÷îi d¤ng g = a + b vîi a ∈ A, b ∈ B. X²t çng c§u ν : G → G/A l çng c§u tü nhi¶n, th¼ ∀g ∈ G, ν(g) = g +A = a+ b+A = b+A vîi a ∈ A, b ∈ B. Suy ra, tçn t¤i çng c§u s : G/A→ G tho£ s(g + A) = g. Khi â, ν ◦ s = 1G/A. c) suy ra a). Thªt vªy, n¸u tçn t¤i çng c§u s : G/A→ G tho£ ν ◦ s = 1G/A vîi ν : G→ G/A l çng c§u tü nhi¶n, th¼ A l nhâm con chu©n tc cõa G, hìn th¸ A cán l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G. d) suy ra a). X²t çng c§u pi′ : G→ G thäa pi′(a) = a,∀a ∈ A v pi′(x) = 0 n¸u x khæng thuëc A. Ta câ, G = A ⊕ kerpi′ v pi′|A = pi, çng thíi pi′ l to n c§u v kerpi′ = kerpi. Vªy A l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G. 1.2 Nhâm aben tü do ﬃành ngh¾a 1.2.1. Mët nhâm aben F ÷ñc gåi l nhâm aben tü do (free abelian group) n¸u nâ l têng trüc ti¸p cõa c¡c nhâm xyclic væ h¤n. N¸u tçn t¤i tªp con X ⊂ F c¡c ph¦n tû câ c§p væ h¤n, ÷ñc gåi l cì sð cõa F vîi F = ∑ x∈X〈x〉, F ∼= ∑ Z. N¸u X l mët cì sð cõa mët nhâm aben tü do F th¼ vîi méi u ∈ F , tçn t¤i duy nh§t mët d¤ng biºu di¹n u = ∑ hhmxx vîi x ∈ X,mx ∈ Z. N¸u X = ∅ th¼ F = {0}, hay nhâm {0} công ÷ñc gåi l nhâm aben tü do vîi cì sð l tªp réng. Ngo i ra, cì sð cõa mët nhâm aben tü do X l mët tªp ëc lªp tuy¸n t½nh. V½ dö: Nhâm cëng c¡c sè nguy¶n (Z, + ) l nhâm aben tü do. Nhâm G = Z⊕ Z l nhâm aben tü do. G = {(a, b)|a, b ∈ Z}. 8 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ Nhªn x²t:Måi nhâm aben tü do l nhâm khæng xon v måi nhâm aben khæng xon húu h¤n sinh l nhâm aben tü do. Nhâm (Q, +) khæng l nhâm aben tü do v¼ Q khæng ¯ng c§u vîi nhâm ∑ Z. ﬃành lþ 1.2.2. Gåi F l mët nhâm aben tü do vîi cì sð X v G l mët nhâm b§t ký. Gi£ sû f : X → G l mët h m tòy þ. Khi â, tçn t¤i duy nh§t mët çng c§u ϕ : F → G l mð rëng cõa f tho£ ϕ(x) = f(x),∀x ∈ X. Chùng minh N¸u u ∈ F v¼ X l mët cì sð cõa nhâm aben tü do F n¶n vîi méi u ∈ F câ biºu di¹n duy nh§t d÷îi d¤ng u = ∑ mxx tø â ϕ : u → ∑ mxf(u) l mët h m ÷ñc ành ngh¾a tèt. Kiºm tra ÷ñc ϕ l mët çng c§u mð rëng cõa f, n¸u u = x th¼ ϕ = f . T½nh duy nh§t cõa ϕ ÷ñc x¡c ành bði do c¡c çng c§u tr¶n còng mët tªp c¡c ph¦n tû sinh ph£i gièng nhau. Do â, tçn t¤i duy nh§t çng c§u ϕ : F → G l mð rëng cõa h m f : X → G thäa ϕ(x) = f(x),∀x ∈ X. Bê · 1.2.3. Méi nhâm aben G l nhâm th÷ìng cõa mët nhâm aben tü do, hay mët nhâm aben G b§t ký luæn ¯ng c§u vîi nhâm th÷ìng cõa mët nhâm aben tü do. Chùng minh Gåi F l têng trüc ti¸p cõa |G| l¦n th nh ph¦n Z, F ∼= ∑|G| Z v gåi xg l ph¦n tû sinh cõa th nh ph¦n thù g cõa Z trong têng trüc ti¸p, vîi g ∈ G. Ta câ F l nhâm aben tü do vîi cì sð l X = {xg|g ∈ G}. ﬃành ngh¾a h m f : X → G bði f(xg) = g vîi måi g ∈ G. Theo ﬃành lþ 1.2.2 tçn t¤i çng c§u ϕ : F → G l mð rëng cõa f. Theo ành ngh¾a cõa f th¼ f l mët to n c§u n¶n ϕ l to n c§u do â, G ∼= F/kerϕ (theo ành lþ ¯ng c§u thù nh§t). Nhªn x²t: Vîi X l mët tªp hñp b§t ký cho tr÷îc, luæn x¥y düng ÷ñc mët nhâm aben tü do F nhªn X l m cì sð. Gi£ sû F v F' l hai nhâm aben tü do vîi c¡c cì sð t÷ìng ùng l X v X'. Khi â, F ∼= F ′ ⇔ |X| = |X ′|. 1.3 Nhâm tü do Cho X l mët tªp hñp kh¡c réng, chån Y l tªp thäa |X| = |Y| v X ∩ Y = ∅. Khi â, tçn t¤i song ¡nh ϕ : X −→ Y, ∀x ∈ X, °t x−1 = ϕ(x). Ta câ Y = ϕ(X) = {x−1|x ∈ X} : X−1. ﬃành ngh¾a 1.3.1. Méi ph¦n tû cõa X ∪X−1 ÷ñc gåi l mët chú c¡i trong b£ng chú c¡i X. Mët tø trong b£ng chú c¡i X l mët d¢y húu h¤n câ d¤ng w = xε11 .x ε2 2 ...x εn n , xi ∈ X, εi ∈ {1,−1}. 1.3. NHÂM TÜ DO 9 Trong tªp hñp c¡c tø ta ành ngh¾a quan h» hai ngæi w ∼ u n¸u u câ thº nhªn ÷ñc tø w qua mët sè húu h¤n c¡c b÷îc thüc hi»n vi»c th¶m v bît c¡c tø con d¤ng xεx−ε vîi x ∈ X, ε ∈ {−1, 1}. Quan h» tr¶n l quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n tªp t§t c£ c¡c tø. Gåi [w] l lîp t÷ìng ÷ìng chùa tø w. Mët tø ÷ñc gåi l rót gån ÷ñc n¸u nâ chùa tø con d¤ng xεx−ε vîi x ∈ X, ε ∈ {−1, 1}. Tø khæng rót gån ÷ñc gåi l tø rót gån. Måi tø ·u t÷ìng ÷ìng vîi tø rót gån. K½ hi»u: [w]r l d¤ng rót gån cõa w. Gåi F(X) l tªp hñp t§t c£ c¡c tø rót gån v ∅ l tø khæng chùa chú c¡i n o, e = [∅]r (ph¦n tû ìn và cõa F(X)). N¸u w = xε11 .x ε2 2 ...x εn n , xi ∈ X, εi ∈ {1,−1} th¼ w−1 = x−ε11 .x−ε22 ...x−εnn , xi ∈ X, εi ∈ {1,−1}. Vªy [w]−1r = [w−1]r. Khi â F(X) l mët nhâm vîi ph²p to¡n ÷ñc ành ngh¾a [w]r[u]r = [wu]r. ﬃành ngh¾a 1.3.2. Cho X l tªp hñp kh¡c réng, khi â nhâm F(X) ÷ñc gåi l nhâm tü do(free group) vîi cì sð X. V½ dö: Nhâm c¡c sè nguy¶n vîi ph²p to¡n cëng l nhâm tü do. Nhªn x²t: Nhâm aben tü do khæng h¯n l nhâm tü do ngo¤i trø 2 tr÷íng hñp l nhâm t¦m th÷íng ho°c l nhâm xyclic væ h¤n. C¡c nhâm aben kh¡c khæng ph£i nhâm tü do v¼ nhâm tü do ab kh¡c vîi nhâm tü do ba vîi a, b l c¡c ph¦n tû kh¡c nhau cõa cì sð. ﬃành ngh¾a 1.3.3. Gi£ sû w = xε11 .x ε2 2 ...x εn n , xi ∈ X, εi ∈ {1,−1} l tø rót gån. Ta nâi w l tø rót gån tu¦n ho n n¸u xn 6= x1 ho°c n¸u xn = x1 = a th¼ εn = −ε1. Bê · 1.3.4. Måi tø rót gån w ·u câ thº vi¸t d÷îi d¤ng w = uvu−1 trong â v l tø rót gån tu¦n ho n. H» qu£ 1.3.5. Cho w, u l c¡c tø rót gån khi â, a) N¸u w 6= e th¼ wn 6= e, ∀n ≥ 1. b) N¸u w 6= u th¼ wm 6= um,∀m ≥ 1. Chùng minh a) Theo Bê · 1.3.4 th¼ måi tø rót gån w ¸u câ thº vi¸t d÷îi d¤ng w = uvu−1 trong â v l tø rót gån tu¦n ho n v v 6= e. Khi â, ∀n ≥ 1 th¼ wn = (uvu−1)n = uvnu−1. M°t kh¡c, do v 6= e n¶n wn 6= e. b) Ta gi£ thuy¸t r¬ng w 6= e v u 6= e th¼ w = rvr−1 v u = sts−1 vîi v v t l c¡c tø rót gån tu¦n ho n, wm = rvmr−1 v um = stms−1. N¸u r 6= s th¼ wm 6= um. N¸u r = s th¼ v 6= t (do w 6= u), suy ra, vm 6= tm. Do â, wm 6= um,∀m ≥ 1. 10 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ ﬃành lþ 1.3.6. Cho X l mët tªp hñp v G l mët nhâm b§t ký. N¸u f : X −→ G l mët ¡nh x¤ b§t ký th¼ tçn t¤i duy nh§t çng c§u ϕ : F (X) −→ G sao cho ϕ|X = f v ϕγ = f vîi γ : X −→ F (X) vîi F(X) l nhâm tü do tr¶n tªp X. Chùng minh Gi£ sû w = xε11 .x ε2 2 ...x εn n , xi ∈ X, εi ∈ {1,−1} l tø rót gån, ta ành ngh¾a ¡nh x¤ ϕ : F (X) −→ G tho£ ϕ(w) = f(x1)ε1 .f(x2)ε2 ..f(xn)εn . Ta s³ chùng minh ϕ l mët çng c§u. Thªt vªy, vîi w = xε11 .x ε2 2 ...x εn n v u = x εn+1 n+1 .x εn+2 n+2 ...x εn+m n+m ;xi ∈ X, εi ∈ {1,−1};xn 6= xn+1 trong F(X) ta câ, ϕ(w.u) = ϕ(xε11 .x ε2 2 ...x εn n .x εn+1 n+1 .x εn+2 n+2 ...x εn+m n+m ). Suy ra, ϕ(w.u) = f(x1) ε1 .f(x2) ε2 ..f(xn) εn .f(xn+1) εn+1 .f(xn+2) εn+2 ..f(xn+m) εn+m , hay ϕ(w.u) = ϕ(w).ϕ(u). Do â ϕ l çng c§u. M°t kh¡c, vîi x ∈ X th¼ ϕγ(x) = ϕ(w) = f(x1)ε1 .f(x2)ε2 ..f(xn)εn = f(x). ﬃº chùng minh t½nh duy nh§t cõa ϕ ta gi£ sû tçn t¤i ψ sao cho ϕγ = ψγ, khi â ψ(w) = ψ(γ(x)) = ϕγ(x) = ϕ(w). Vªy ϕ l duy nh§t. H» qu£ 1.3.7. Måi nhâm ·u l £nh çng c§u cõa mët nhâm tü do. Chùng minh Gi£ sû G l mët nhâm b§t ký ∅ ⊆ G ⊆ X, x²t 〈X〉 = {xε11 .xε22 ...xεnn |xi ∈ X, εi ∈ {−1, 1}}. Vîi G = 〈X〉 ta x²t ph²p nhóng γ : X −→ G theo ﬃành lþ 1.3.6 tçn t¤i duy nh§t çng c§u ϕ : F (X) −→ G sao cho ϕ|X = γ. V¼ G = 〈X〉, X l tªp sinh cõa G n¶n ϕ l to n c§u vªy theo ành lþ ¯ng c§u th¼ F (X) kerϕ ' G. Vªy måi nhâm ·u l £nh çng c§u cõa mët nhâm tü do. Nhªn x²t: Gi£ sû F v G l hai nhâm con tü do vîi c¡c cì sð t÷ìng ùng l X v Y. Khi â, F ∼= G⇔ |X| = |Y |. Sè ph¦n tû trong mët cì sð cõa nhâm tü do F ÷ñc gåi l h¤ng cõa F. Kþ hi»u: rank(F). 1.4. BIU DIN NHÂM D×ÎI DNG TŁP SINH V CC ﬃÇNG NHT THÙC: 11 1.4 Biºu di¹n nhâm d÷îi d¤ng tªp sinh v c¡c çng nh§t thùc: ﬃành ngh¾a 1.4.1. Cho G l mët nhâm khi â tªp hñp M = {ai|i ∈ I} ⊆ G ÷ñc gåi l mët tªp sinh cõa G n¸u måi ph¦n tû g ∈ G ·u ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng: g = aε1i1 a ε2 i2 ...aεnin trong â εk = ±1,∀ik ∈ I. N¸u G câ mët tªp sinh {ai|i ∈ I} th¼ G ÷ñc kþ hi»u bði G = 〈ai|i ∈ I〉. Cho S l tªp kh¡c réng, gåi G = 〈X〉 v X = {xa|a ∈ S}, khi â |X| = |S| v ¡nh x¤ g : S → X x¡c ành bði a 7→ xa l song ¡nh. M°t kh¡c, tçn t¤i nhâm tü do F(X) v ¡nh x¤ f : X −→ G thäa f(xa) = a ∈ S. Ta câ ành lþ: Cho X l mët tªp hñp v G l mët nhâm b§t ký. N¸u f : X −→ G l mët ¡nh x¤ b§t ký th¼ tçn t¤i duy nh§t çng c§u ϕ : F (X) −→ G sao cho ϕ|X = f v ϕγ = f trong â γ : X −→ F (X), vîi F(X) l nhâm tü do tr¶n tªp X. Theo ành lþ tr¶n, tçn t¤i duy nh§t çng c§u ϕ : F (X) −→ G sao cho ϕ|X = f . Hìn núa, do ϕ l to n c§u n¶n theo ành lþ ¯ng c§u câ F (X)/kerϕ ∼= G, tùc l måi nhâm G ·u ¯ng c§u vîi nhâm th÷ìng cõa mët nhâm tü do. Gi£ sû w ∈ F (X) th¼ w = xε11 .xε22 ...xεnn , xi ∈ X, εi ∈ {1,−1}. Khi â, w ∈ kerϕ⇔ f(x1)ε1 .f(x2)ε2 ..f(xn)εn = 1. Ta gåi xε11 .x ε2 2 ...x εn n l mët çng nh§t thùc v kþ hi»u l x ε1 1 .x ε2 2 ...x εn n = 1. Vîi måi g ∈ G do ϕ l to n c§u n¶n tçn t¤i w = xε11 .xε22 ...xεnn ∈ F (X) sao cho g = ϕ(w). Khi â, ta °t F (X)/kerϕ = 〈X|kerϕ〉 (X còng vîi kerϕ). Gåi ∆ l tªp sinh cõa kerϕ, th¸ th¼ 〈X|kerϕ〉 = 〈X|∆〉. Nh÷ vªy, 〈X|∆〉 = F (X)/N vîi N = ∩{H|H/F (X),∆ ⊆ H}, vîi F(X) l nhâm tü do tr¶n tªp X. Ta gåi G ∼= 〈X|∆〉 l sü biºu di¹n nhâm G b¬ng tªp sinh v c¡c çng nh§t thùc. N¸u X <∞ v ∆ <∞ th¼ ta nâi sü biºu di¹n l húu h¤n. Nhªn x²t: Méi nhâm câ thº câ nhi·u sü biºu di¹n. V½ dö: G = Z6 th¼ G = 〈x|x6 = 1〉 v nhâm tü do F = 〈x〉 l nhâm xyclic câ c§p væ h¤n vîi 〈x〉/〈x6〉 ∼= Z6 ho°c mët biºu di¹n kh¡c cõa G l Z6 = {〈x, y〉|x3 = 1, y2 = 1, xyx−1y−1 = 1}. Nhâm Z× Z ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng Z× Z = 〈x, y|xy = yx〉. Nhâm Zm × Zn ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng Zm × Zn = 〈x, y|xm = 1, yn = 1, xy = yx〉. 12 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ Nhâm Quaternions câ c¡c biºu di¹n Q = 〈a, b|a4 = 1, a2 = b2, aba = b〉 ho°c Q = 〈a, b|aba = b, a2 = b2〉. Mët nhâm G b§t ký luæn ¯ng c§u vîi nhâm th÷ìng cõa mët nhâm tü do, hay måi nhâm ·u l £nh çng c§u cõa mët nhâm tü do. Do â, nhâm G b§t ký ·u câ thº ÷ñc biºu di¹n bði tªp sinh v c¡c çng nh§t thùc. Mët nhâm G ¯ng c§u vîi mët nhâm tü do F(X) công ÷ñc gåi l mët nhâm tü do. N¸u G l mët nhâm aben tü do câ cì sð X th¼ G câ biºu di¹n l G = 〈X|xy = yx,∀x, y ∈ X〉. N¸u F l nhâm tü do câ cì sð X th¼ F câ biºu di¹n l F = 〈X|∅〉. Bê · 1.4.2. Gi£ sû A, B l hai nhâm, H . A, K .B v g : A −→ B l mët çng c§u tho£ g(H) ⊆ K. ﬃành ngh¾a g∗ : A/H −→ B/K thäa, Hx 7→ g∗(Hx) = Kg(x). Khi â, g∗ l mët çng c§u, hìn núa n¸u g l to n c§u th¼ g∗ công l to n c§u. ﬃành lþ 1.4.3 (ﬃành lþ Von Dyck). Cho 〈X|∆〉 l mët biºu di¹n v G = 〈X|∆〉. Gi£ sû H l mët nhâm n o â, H = 〈S〉 v f : X −→ S l mët to n ¡nh. Hìn núa, b§t ký quan h» xk11 x k2 2 ...x km m = 1, (ki ∈ Z\{0}) trong G luæn suy ra ÷ñc f(xk11 )f(x k2 2 )...f(x km m ) = 1 l quan h» trong H. Khi â tçn t¤i mët to n c§u d : G −→ H tho£ m¢n d(a) = f(x),∀x ∈ X. Chùng minh V¼ f : X → H l mët to n ¡nh n¶n theo ﬃành lþ 1.3.6 tçn t¤i duy nh§t çng c§u ϕ : F (X) → H thäa ϕ ◦ γ = f , vîi γ : X → F (X). Ta chùng minh ϕ l to n c§u. Vîi méi y ∈ H = 〈S〉, ta câ y = se11 se22 ...semm , si ∈ S, ei ∈ {−1, 1}, vîi i :∈ 1 : m. Do f l to n c§u n¶n tçn t¤i xi ∈ X sao cho f(xi) = si,∀i. Khi â, γ(x1) e1γ(x2) e2 ...γ(xm) em ∈ F (X). Suy ra, ϕ(γ(x1) e1γ(x2) e2 ...γ(xm) em) = f(x1) e1f(x2) e2 ...f(xm) em = se11 s e2 2 ...s em m = y. Vªy ϕ l to n c§u. M°t kh¡c, theo ành ngh¾a cõa G ta câ G = F(X)/N vîiN = ∩{K|K/F (X),∆ ⊆ K}. Ta chùng minh N ⊆ kerϕ. Theo ành ngh¾a cõa N, ta c¦n chùng minh ∆ ⊆ kerϕ. V¼ vªy, gi£ sû T ∈ ∆. N¸u T = ∅ th¼ T ∈ kerϕ, v¼ ∅ l ph¦n tû ìn và cõa F(X). Do â ta câ thº gi£ sû T 6= ∅. Khi â, T = xe11 .x e1 1 ...x e1 1 .x e2 2 x e2 2 ...x e2 2 ...x em m .x em m ...x em m , ei = ±1,∀i : 1,m. Suy ra, méi sè h¤ng xi ÷ñc l°p l¤i ti l¦n, n¶n T = (x1) (t1e1)(x2) (t2e2)...(xm) (tmem) = γ(x1) (t1e1)γ(x2) (t2e2)...γ(xm) (tmem) . Do â, ϕ(T ) = ϕγ(x1) (t1e1)ϕγ(x2) (t2e2)...ϕγ(xm) (tmem) = f(x1) t1e1f(x2) t2e2 ...f(xm) tmem . 1.5. NHÂM XON - NHÂM KHÆNG XON 13 V¼ T ∈ ∆ n¶n (x1)t1e1(x2)t2e2 ...(xm)tmem = 1. Suy ra, f(x1) t1e1f(x2) t2e2 ...f(xm) tmem = 1. Do â, ϕ(T ) = 1, n¶n N ⊆ kerϕ, hay ϕ(N) = {1}. Theo Bê · 1.4.2 th¼ tçn t¤i çng c§u ϕ∗ : G = F (X)/N → H,NT 7→ ϕ∗(NT ) = ϕ(T ). Hìn núa ϕ l to n c§u n¶n ϕ∗ công l to n c§u. Ngo i ra, ∀x ∈ X,ϕ∗(N) = ϕ∗(Nx) = ϕ(x) = ϕ ◦ γ(x) = f(x). Chån d = ϕ∗ th¼ ta câ i·u ph£i chùng minh. ﬃành lþ 1.4.4. Cho 〈X|∆〉 l mët biºu di¹n v G = 〈X|∆〉. Gi£ sû H = 〈S〉 l mët nhâm tho£ m¢n |G| ≤ n ≤ |H| vîi n l mët sè tü nhi¶n n o â v f : X −→ S l mët to n ¡nh. Hìn núa, b§t ký quan h» xk11 x k2 2 ...x km m = 1, (ki ∈ Z\{0}) trong G luæn suy ra ÷ñc f(xk11 )f(x k2 2 )...f(x km m ) = 1 l quan h» trong H. Khi â: a) Tçn t¤i mët ¯ng c§u d : G −→ H sao cho d(a) = f(x),∀x ∈ X. b) |G| = |H| = n. c) G = {d−1(h)|h ∈ H}. Chùng minh Theo ﬃành lþ Von Dyck, tçn t¤i to n c§u d : G −→ H sao cho d(a) = f(x),∀x ∈ X. Theo ành lþ ¯ng c§u, G/kerd ∼= H. Do |G/kerd| ≤ |G| n¶n |H| ≤ |G|. Theo gi£ thuy¸t th¼ |G| ≤ n ≤ |H| suy ra |G|= |H| v G l nhâm húu h¤n n¶n |kerd| = 1, do â kerd = 1. Vªy d l ¯ng c§u, G = {d−1(h)|h ∈ H}. 1.5 Nhâm xon - Nhâm khæng xon ﬃành ngh¾a 1.5.1. Nhâm xon (torsion group) l nhâm gçm c¡c ph¦n tû câ bªc húu h¤n. V½ dö: Q/Z l nhâm xon èi vîi ph²p cëng. V¼ vîi x+ bZ ∈ Q/Z th¼ x = a b vîi b 6= 0. Khi â, tçn t¤i n = |b| 6= 0, sao cho n(x + Z) ∈ Z. Vªy Q/Z l nhâm xon èi vîi ph²p cëng. Nhâm gçm c¡c c«n bªc n èi vîi ph¦n tû ìn và l nhâm xon èi vîi ph²p nh¥n. Kþ hi»u: tG = {x ∈ G : nx = 0, n 6= 0} l nhâm con xon cõa G. N¸u A l nhâm aben, th¼ t(A) l nhâm con xon cõa A n¸u v ch¿ n¸u t(A) l tªp hñp t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa A câ bªc húu h¤n. C¡c nhâm aben húu h¤n l nhâm xon, nh÷ng khæng ph£i méi nhâm xon ·u húu h¤n. V½ dö nh÷ têng trüc ti¸p cõa ¸m ÷ñc c¡c th nh ph¦n cõa nhâm xyclic Z2. Nhªn x²t: N¸u G khæng l nhâm aben th¼ tG khæng l nhâm con cõa G. Thªt vªy, n¸u G khæng l nhâm aben th¼ vîi x, y ∈ G thäa nx = 0, ny =0 th¼ n(x− y) 6= (nx−ny) = 0. Tuy nhi¶n, n¸u G l mët nhâm aben th¼ tG l mët nhâm con cõa G. 14 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ N¸u A l mët nhâm aben (A câ thº l nhâm xon ho°c nhâm khæng xon) v H l tªp t§t c£ c¡c ph¦n tû húu h¤n cõa A th¼ H l mët nhâm con x¡c ành cõa A v H ÷ñc gåi l nhâm con xon cüc ¤i (hay bë phªn tu¦n ho n) cõa nhâm A. ﬃành ngh¾a 1.5.2. Nhâm khæng xon (torsion - free group) l nhâm m måi ph¦n tû kh¡c ph¦n tû ìn và ·u câ c§p væ h¤n. V½ dö: Nhâm (Z, + ) l mët nhâm khæng xon; Nhâm (Q, + ) l mët nhâm khæng xon C¡c nhâm aben tü do l nhâm khæng xon, nh÷ng i·u ng÷ñc l¤i th¼ khæng óng. V½ dö: (Q, +) l nhâm khæng xon nh÷ng (Q, +) khæng l nhâm aben tü do v¼ nhâm F l aben tü do n¸u F ∼= ∑Z, nh÷ng Q khæng ¯ng c§u vîi ∑Z. ﬃành lþ 1.5.3. N¸u A l nhâm aben, khi â: a) t(A) l nhâm con cõa A. b) t(A) l nhâm xon. c) A/t(A) l nhâm khæng xon. Chùng minh Gåi x, y ∈ t(A), gi£ sû c§p cõa x, y l¦n l÷ñt l m, n. Khi â, do A l nhâm aben n¶n mn(x - y) = mnx - mny =0. V¼ th¸ x - y câ c§p húu h¤n, d¨n ¸n t(A) l mët nhâm con cõa A v t(A) l nhâm xon. ﬃi·u n y chùng tä t½nh ch§t (a) v (b). Cuèi còng gi£ sû t(A) + x l mët ph¦n tû cõa A/t(A) câ c§p húu h¤n l m. Khi â m(t(A) + x) = 0 d¨n ¸n t(A) + mx = 0 suy ra mx ∈ t(A). Gåi k l c§p cõa mx. Khi â kmx = 0 d¨n ¸n x câ c§p húu h¤n. Vªy x ∈ t(A) do â t(A) + x = 0, suy ra A/t(A) l nhâm khæng xon. ﬃành lþ 1.5.4. Nhâm th÷ìng G/tG l nhâm khæng xon v méi nhâm G ·u l mð rëng cõa mët nhâm xon bði mët nhâm khæng xon. Chùng minh N¸u gi£ sû ng÷ñc l¤i G/tG l nhâm xon, khi â n(g + tG) = 0 trong nhâm G/tG vîi mët sè n 6= 0 khi â ng ∈ tG vªy câ m 6= 0 tho£ m(ng) = 0. Do mn 6= 0, g ∈ tG, g + tG = 0 trong G/tG. Vªy G/tG l nhâm khæng xon v G = tG⊕G/tG. Bê · 1.5.5. N¸u A l nhâm aben v B l mët nhâm con cõa A m t(A) ⊆ B th¼ t(A) = t(B). Chùng minh 1.6. DN CC NHÂM CON 15 Cho x ∈ t(A). Khi â, x câ c§p húu h¤n v x ∈ B (v¼ t(A) ⊆ B). Suy ra x ∈ t(B), hay t(A) ⊆ t(B). Ng÷ñc l¤i, n¸u x ∈ t(B) th¼ x ∈ A v x câ c§p húu h¤n n¶n x ∈ t(A) (do B l mët nhâm con cõa A) suy ra t(B) ⊆ t(A). Vªy t(A) = t(B). ﬃành ngh¾a 1.5.6. Nhâm con H ÷ñc gåi l nhâm con b§t bi¸n ho n to n (fully invariant subgroup) cõa nhâm G n¸u vîi måi çng c§u f : G→ G th¼ f(H) ⊆ H. ﬃành lþ 1.5.7. N¸u A l nhâm aben th¼ t(A) l nhâm con b§t bi¸n ho n to n cõa A. Chùng minh N¸u x ∈ t(A), gi£ sû f : A→ A l mët çng c§u, ta s³ chùng minh f(x) ∈ t(A). Do x ∈ t(A) n¶n x câ c§p húu h¤n, gi£ sû â l n. Khi â, nf(x) = f(nx) = f(0) = 0 n¶n f(x) câ c§p húu h¤n. Vªy f(x) ∈ t(A), do â t(A) l nhâm con b§t bi¸n cõa A. ﬃành lþ 1.5.8. N¸u A v B l c¡c nhâm aben, khi â t(A×B) = t(A)× t(B). Chùng minh Gi£ sû (x, y) ∈ t(A × B). Suy ra n(x, y) = (0, 0) vîi mët sè nguy¶n n n o â. Khi â, nx = 0 v ny = 0. Do â, x ∈ t(A) v y ∈ t(B), n¶n (x, y) ∈ t(A) × t(B). Ng÷ñc l¤i, gi£ sû (x, y) ∈ t(A) × t(B). Khi â, nx = 0 v my = 0 vîi mët sè m, n n o â, suy ra nm(x, y) = (0,0) i·u n y d¨n ¸n (x, y) câ c§p húu h¤n, hay (x, y) ∈ t(A×B). Vªy t(A×B) = t(A)× t(B). Theo t¡c gi£ Joseph J. Rotman (1995) (tr.325) th¼ tªp hñp c¡c nhâm xon câ thº r§t phùc t¤p. Tuy nhi¶n, ng÷íi ta ch¿ chó þ ¸n hai lîp °c bi»t cõa nhâm xon l : Nhâm chia ÷ñc v têng trüc ti¸p c¡c nhâm xyclic. Ngo i ra, måi nhâm xon ·u l mð rëng cõa têng trüc ti¸p c¡c nhâm xyclic bði mët nhâm chia ÷ñc. 1.6 D n c¡c nhâm con ﬃành ngh¾a 1.6.1. Cho (S,≤) l tªp sp thù tü bë phªn v A ⊆ S th¼ x l ch°n d÷îi cõa A n¸u v ch¿ n¸u: • x ∈ S. • x ≤ a,∀a ∈ A. x l ch°n tr¶n cõa tªp sp thù tü bë phªn A ⊆ S n¸u v ch¿ n¸u: • x ∈ S. • x ≥ a,∀a ∈ A. Cho (S,≤) l tªp sp thù tü bë phªn v A ⊆ S th¼ x l ch°n tr¶n b² nh§t cõa A n¸u v ch¿ n¸u: • x l mët ch°n tr¶n cõa A. 16 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ • x ≤ y vîi måi y l mët ch°n tr¶n cõa A. x l ch°n d÷îi lîn nh§t cõa A n¸u v ch¿ n¸u: • x l mët ch°n d÷îi cõa A. • x ≥ y vîi måi y l mët ch°n d÷îi cõa A. Trong tªp sp thù tü bë phªn, ch°n tr¶n b² nh§t hay ch°n d÷îi lîn nh§t khæng nh§t thi¸t tçn t¤i, nh÷ng n¸u câ th¼ chóng l duy nh§t. ﬃi·u n y ÷ñc thº hi»n trong ành lþ sau. ﬃành lþ 1.6.2. Cho (S,≤) l tªp sp thù tü bë phªn v A ⊆ S. Gi£ sû x v x* l hai ch°n tr¶n b² nh§t cõa A v w v w* l hai ch°n d÷îi lîn nh§t cõa A. Khi â: a) x = x*. b)w = w*. Chùng minh Do x l ch°n tr¶n b² nh§t cõa A v x* l mët ch°n tr¶n cõa A, n¶n x ≤ x∗, theo ành ngh¾a cõa ch°n tr¶n b² nh§t. T÷ìng tü, x∗ ≤ x. Vªy x = x*, i·u n y óng cho tªp ÷ñc sp thù tü bë phªn. Chùng minh t÷ìng tü cho (b). ﬃành ngh¾a 1.6.3. (S,≤) l mët d n (lattice) n¸u v ch¿ n¸u (S,≤) l tªp sp thù tü bë phªn v méi c°p ph¦n tû (x, y) ∈ S th¼ {x, y} câ mët ch°n tr¶n b² nh§t v mët ch°n d÷îi lîn nh§t. Kþ hi»u: x ∨ y l ch°n tr¶n b² nh§t cõa {x, y} v x ∧ y l ch°n d÷îi lîn nh§t cõa {x, y}. Quy ÷îc: • x ∨ y = x n¸u y ≤ x v x ∨ y = y n¸u x ≤ y. • x ∧ y = x n¸u x ≤ y v x ∧ y = y n¸u y ≤ x. Cho G l mët nhâm, gåi L(G) = {H |H l nhâm con cõa G} gåi l d n c¡c nhâm con (subgroup lattice) cõa G. ﬃèi vîi d n húu h¤n, c¡c nhâm con cõa G câ thº ÷ñc biºu di¹n bði biºu ç, gåi l biºu ç Hasse, trong â méi nhâm con ÷ñc biºu di¹n trong váng trán, mèi quan h» x ≤ y ÷ñc thº hi»n ð váng trán chùa x ð ph½a d÷îi váng trán chùa y v hai váng trán n y ÷ñc nèi vîi nhau bði mët ÷íng th¯ng. V½ dö: D n c¡c nhâm con cõa Z(2) × Z(2) ÷ñc mæ t£ nh÷ sau: ﬃ°t G l Z(2) × Z(2), w = (1, 0) v x = (0, 1) trong G. Khi â, c¡c nhâm con cõa G l {0}, 〈w〉, 〈x〉, 〈w + x〉. D n c¡c nhâm con cõa Z(2) × Z(2) ÷ñc biºu di¹n b¬ng biºu ç Hasse bao gçm tr¶n còng l nhâm G, sau â ¸n c¡c nhâm con sinh bði 〈w〉, 〈x〉, 〈w + x〉 v cuèi còng l nhâm {0}._.. 1.6. DN CC NHÂM CON 17 ﬃành lþ 1.6.4. Cho G l nhâm. Khi â, (L(G),⊆) l d n c¡c nhâm con cõa G. Cªn d÷îi (ch°n d÷îi) lîn nh§t v cªn tr¶n (ch°n tr¶n) b² nh§t trong d n n y ÷ñc ành ngh¾a bði H ∧K = H ∩K,H ∨K = 〈H ∪K〉. Hìn núa, n¸u G l nhâm aben th¼ H ∨K = H +K. Chùng minh Nhªn th§y (L(G),⊆) l tªp sp thü tü bë phªn. N¸u ch°n d÷îi lîn nh§t tçn t¤i v câ d¤ng nh÷ sau: Cho H,K ∈ L(G), khi â H ∩K l nhâm con cõa G v thuëc v o L(G). Ta câ H ∩ K ⊆ H v H ∩ K ⊆ K. Gi£ sû Y l ch°n d÷îi b§t ký cõa {H,K}. Khi â Y ⊆ H v Y ⊆ K, do â Y ⊆ H ∩K. Vªy H ∩K l ch°n d÷îi lîn nh§t cõa {H,K}. T÷ìng tü, n¸u H,K ∈ L(G), khi â 〈H ∪K〉 l nhâm con cõa G công thuëc v o L(G). Do H ⊆ 〈H ∪K〉 v K ⊆ 〈H ∪K〉, suy ra 〈H ∪K〉 l ch°n tr¶n cõa {H,K}. Gi£ sû Y l ch°n tr¶n cõa {H,K}, khi â, H ⊆ Y,K ⊆ Y . Vîi x ∈ 〈H ∪ K〉, th¼ x = c1c2...cn vîi méi i th¼ ci ∈ H ho°c ci ∈ K. Do H ⊆ Y v K ⊆ Y , n¶n ci ∈ Y, ∀i. Suy ra, x ∈ Y , v¼ Y l nhâm con. ﬃi·u n y d¨n ¸n 〈H ∪K〉 ⊆ Y suy ra 〈H ∪K〉 l ch°n tr¶n nhä nh§t cõa {H,K}. N¸u G l nhâm aben th¼ H G, khi â H + K l nhâm con cõa G v H +K = 〈H ∪K〉. N¸u G l nhâm, kþ hi»u N(G) l nhâm tho£, N(G) = {H|H G}. ﬃành lþ 1.6.5. Cho G l nhâm. Khi â (N(G),⊆) l mët d n. Cªn d÷îi lîn nh§t v cªn tr¶n b² nh§t cõa d n n y ÷ñc ành ngh¾a bði H∧K = H∩K v H∨K = HK. Chùng minh Nhªn x²t (N(G),⊆) l tªp sp thù tü bë phªn. N¸u H,K ∈ N(G) th¼ H ∩K l nhâm con chu©n tc trong G v thuëc N(G). Ta c¦n chùng minh H ∩K l ch°n d÷îi lîn nh§t cõa {H,K}. Ta câ H ∩ K l nhâm chu©n tc trong G n¶n H ∩ K thuëc N(G). M°t kh¡c, H ∩ K l mët ch°n d÷îi cõa {H,K}. Gåi Y l mët ch°n d÷îi cõa {H,K} th¼ Y ⊆ H, Y ⊆ K, do â Y ⊆ H ∩K. Do â, H ∩K l ch°n d÷îi lîn nh§t cõa {H,K}. Vªy H ∩K l ch°n d÷îi lîn nh§t cõa N(G). N¸u H,K ∈ N(G) th¼ HK l nhâm chu©n tc cõa G v thuëc v o N(G). Do H ⊆ HK,K ⊆ HK n¶n HK l mët ch°n tr¶n cõa {H,K}. Gi£ sû Y l mët ch°n tr¶n cõa {H,K} ta s³ chùng minh HK ⊆ Y . Gi£ sû x ∈ HK th¼ x = hk vîi h ∈ H, k ∈ K. Khi â, h ∈ Y , t÷ìng tü k ∈ Y bði v¼ K ⊆ Y v H ⊆ Y . Vªy x = hk ∈ Y . Do â, HK l ch°n tr¶n b² nh§t cõa N(G). ﬃành ngh¾a 1.6.6. D n L l d n ph¥n phèi (distributive) n¸u v ch¿ n¸u x∨(y∧z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z), vîi måi x, y, z ∈ L. Nhªn x²t: N(G) l d n ph¥n phèi n¸u v ch¿ n¸u A(B ∩ C) = AB ∩ AC vîi måi nhâm con chu©n tc A, B v C cõa G. 18 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ N¸u G l nhâm aben, d n L(G) l d n ph¥n phèi n¸u v ch¿ n¸u A+ (B ∩C) = (A+B) ∩ (A+ C) vîi måi nhâm con A, B, C cõa G. ﬃành ngh¾a 1.6.7. Gi£ sû L1 v L2 l hai d n. Khi â, L1 v L2 l ¯ng c§u vîi nhau n¸u tçn t¤i mët ¡nh x¤ f : L1 → L2 tho£ • f l song ¡nh. • ∀x, y ∈ L, x ≤ y ⇔ f(x) ≤ f(y). Nhªn x²t: ﬃèi vîi d n húu h¤n th¼ hai d n ¯ng c§u vîi nhau n¸u chóng câ biºu di¹n d÷îi d¤ng biºu ç Hasse gièng nhau. D n L ÷ñc gåi l tü èi ng¨u (self-dual) n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i mët h m f : L→ L thäa • f l song ¡nh. • ∀x, y ∈ L, x ≤ y ⇔ f(y) ≤ f(x). 1.7 Nhâm xyclic - Nhâm xyclic àa ph÷ìng ﬃành ngh¾a 1.7.1. Cho S l mët tªp con cõa nhâm G, giao cõa t§t c£ c¡c nhâm con cõa G chùa S l nhâm con nhä nh§t cõa G chùa S. N¸u G = 〈S〉 th¼ G ÷ñc gåi l nhâm sinh ra bði tªp con S v S ÷ñc gåi l tªp sinh cõa G. Nhâm húu h¤n sinh l nhâm m tªp sinh câ húu h¤n ph¦n tû. V½ dö: Nhâm cëng c¡c sè nguy¶n l nhâm húu h¤n sinh. Hìn núa, c¡c nhâm xyclic ·u l nhâm húu h¤n sinh. Nhâm Quaternion l nhâm húu h¤n sinh vîi biºu di¹nG = G{x, y|x4 = 1, x2y−2 = 1, y−1xyx = 1}. T½nh ch§t: • Nhâm th÷ìng cõa mët nhâm húu h¤n sinh l húu h¤n sinh (do vi»c l§y £nh cõa c¡c ph¦n tû sinh trong nhâm th÷ìng). • Nhâm con cõa mët nhâm húu h¤n sinh khæng nh§t thi¸t l nhâm húu h¤n sinh. V½ dö: Gi£ sû G l nhâm tü do câ 2 ph¦n tû sinh x, y. Gåi S l tªp con chùa måi ph¦n tû cõa G câ d¤ng ynxy−n, vîi n l sè tü nhi¶n. V¼ 〈S〉 ¯ng c§u vîi nhâm tü do câ tªp hñp c¡c ph¦n tû sinh l tªp ¸m ÷ñc, n¶n 〈S〉 khæng húu h¤n sinh. Tuy nhi¶n, méi nhâm con aben húu h¤n h¤n sinh th¼ húu h¤n sinh. ﬃành ngh¾a 1.7.2. Nhâm G ÷ñc gåi l nhâm xyclic (cyclic group) n¸u v ch¿ n¸u G l nhâm ÷ñc sinh bði mët ph¦n tû a ∈ G. Ph¦n tû a ÷ñc gåi l ph¦n tû sinh cõa nhâm G. 1.7. NHÂM XYCLIC - NHÂM XYCLIC ﬃÀA PH×ÌNG 19 Nhªn x²t: Cho a l mët ph¦n tû cõa nhâm G, bë phªn H = {an|n ∈ Z} gçm t§t c£ c¡c luß thøa nguy¶n cõa a l nhâm con xyclic cõa G sinh bði ph¦n tû a. V½ dö: (Z, +) l nhâm con xyclic sinh bði ph¦n tû 1. (Zn, .) l nhâm xyclic sinh bði ph¦n tû 1. Nhâm xyclic l nhâm aben. N¸u ph¦n tû a cõa nhâm G câ c§p n th¼ nhâm con xyclic c§p n cõa G sinh ra bði a l [a] = {1, a, a2, ..., an−1}. Sè ph¦n tû sinh cõa nhâm xyclic G c§p n l ϕ(n) vîi ϕ l h m Euler. ﬃành lþ 1.7.3. N¸u G = 〈x〉 v H l nhâm con cõa G, khi â: a) N¸u G l nhâm câ c§p væ h¤n, th¼ H s³ l nhâm xyclic câ c§p væ h¤n ho°c l nhâm t¦m th÷íng. b) N¸u G l nhâm câ c§p húu h¤n n, th¼ H l nhâm xyclic câ c§p chia h¸t n. Ng÷ñc l¤i, vîi méi ÷îc nguy¶n d÷ìng d cõa n th¼ câ t÷ìng ùng duy nh§t mët nhâm con câ c§p d, kþ hi»u 〈xn/d〉. Chùng minh a) Tr÷îc h¸t, ta chùng minh H l nhâm xyclic. N¸u H = {1} th¼ hiºn nhi¶n. Gi£ sû H 6= {1}, th¼ H chùa mët ph¦n tû xs 6= 1. Gåi s l sè nguy¶n d÷ìng nhä nh§t tho£ t½nh ch§t tr¶n. Khi â, 〈xs〉 ⊆ H. N¸u xt ∈ H th¼ t = sq + r, vîi q, r ∈ Z v 0 ≤ r < s. Suy ra, xr = (xs)−qxt ∈ H. Do s l gi¡ trà d÷ìng nhä nh§t tho£ t½nh ch§t xs ∈ H, n¶n r = 0 hay s | t. Do â, xt ∈ 〈xs〉 v H = 〈xs〉. N¸u G câ c§p væ h¤n, th¼ x câ c§p væ h¤n, t÷ìng tü xs câ c§p væ h¤n. Vªy H l nhâm xyclic câ c§p væ h¤n. Gi£ sû |x| = n < ∞, suy ra c§p cõa H chia h¸t n (theo ﬃành lþ Lagrange). Ng÷ñc l¤i, gi£ sû câ d | n th¼ |xn/d| = d v |〈xn/d〉| = d. ﬃº chùng minh t½nh duy nh§t cõa 〈xn/d〉, ta gi£ sû tçn t¤i nhâm 〈xk〉 câ c§p l d. Khi â, xkd = 1 v n | kd. Suy ra, n/d chia h¸t k v 〈xk〉 ≤ 〈xn/d〉. M°t kh¡c, c£ hai nhâm n y ·u câ c§p l d, n¶n chóng ph£i tròng nhau, hay nhâm 〈xn/d〉 l duy nh§t. Nhªn x²t: Nhâm G ch¿ câ duy nh§t hai nhâm con l 1 v G khi v ch¿ khi G l nhâm xyclic v câ c§p l sè nguy¶n tè. ﬃành ngh¾a 1.7.4. Nhâm G ÷ñc gåi l nhâm xyclic àa ph÷ìng (locally cyclic group) n¸u méi nhâm con húu h¤n sinh cõa nâ l nhâm xyclic. T½nh ch§t: Méi nhâm xyclic l mët nhâm xyclic àa ph÷ìng v méi nhâm con xyclic àa ph÷ìng l nhâm aben. Méi nhâm xyclic àa ph÷ìng húu h¤n sinh l nhâm xyclic nh÷ng mët nhâm xyclic àa ph÷ìng b§t ký ch÷a h¯n l nhâm xyclic 20 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ V½ dö: Nhâm (Q, +) l nhâm xyclic àa ph÷ìng v¼ vîi méi c°p sè a/b v c/d th¼ t¤o ra mët nhâm xyclic sinh bði ph¦n tû 1/bd, nh÷ng (Q, +) khæng l nhâm xyclic. Nhâm cëng c¡c sè thüc R, (R, +) khæng ph£i l nhâm xyclic àa ph÷ìng, v¼ nhâm con sinh bði ph¦n tû 1 v pi l nhâm m c¡c ph¦n tû câ d¤ng a + bpi nh÷ng nhâm n y ¯ng c§u vîi nhâm Z× Z v Z× Z khæng l nhâm xyclic. Méi nhâm con v nhâm th÷ìng cõa mët nhâm xyclic àa ph÷ìng l nhâm xyclic àa ph÷ìng. V½ dö: (Q/Z, +) l nhâm xyclic àa ph÷ìng, v¼ nhâm (Q, + ) l nhâm xyclic àa ph÷ìng. Mët nhâm gåi l xyclic àa ph÷ìng n¸u v ch¿ n¸u méi c°p ph¦n tû trong nhâm t¤o th nh nhâm con xyclic. Mët nhâm gåi l xyclic àa ph÷ìng n¸u v ch¿ n¸u d n c¡c nhâm con cõa nâ l d n ph¥n phèi. 1.8 Nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc ﬃành ngh¾a 1.8.1. Nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc (indecomposable group) l nhâm khæng t¦m th÷íng m khæng thº biºu di¹n d÷îi d¤ng t½ch trüc ti¸p cõa hai nhâm con chu©n tc kh¡c nhau. Mët nhâm khæng l nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc th¼ gåi l nhâm ph¥n t½ch ÷ñc. Nhªn x²t: Nhâm ìn l nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc. ﬃi·u ng÷ñc l¤i khæng óng, tùc l khæng ph£i b§t cù nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc n o công l nhâm ìn. V½ dö: (Q, + ) l nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc nh÷ng (Q, +) khæng l nhâm ìn. Vîi p l sè nguy¶n tè, th¼ nhâm cëng Z(p) = Z/pZ l nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc, v¼ Z(p) l nhâm ìn. Nhâm cëng c¡c sè nguy¶n Z v nhâm cëng c¡c sè húu tﬀ Q l c¡c nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc, nh÷ng nhâm cëng c¡c sè thüc R l¤i l nhâm ph¥n t½ch ÷ñc, v¼ R = Q× I, vîi I l tªp c¡c sè væ tﬀ vîi ph²p to¡n cëng. Vîi m, n l c¡c sè nguy¶n tè còng nhau (v lîn hìn 1) th¼ nhâm cëng Z mnZ l nhâm ph¥n t½ch ÷ñc v¼ Z/mnZ ∼= Z(m)× Z(n). ﬃành ngh¾a 1.8.2. Nhâm G ÷ñc gåi l tho£ i·u ki»n ACC (Ascending chain condition) n¸u méi chuéi t«ng c¡c nhâm con chu©n tc ·u câ giîi h¤n tr¶n, tùc l n¸u K1 ≤ K2 ≤ K3 ≤ ... l mët chuéi c¡c nhâm con chu©n tc cõa G th¼ tçn t¤i sè nguy¶n t m Kt = Kt+1 = Kt+2 = .... 1.8. NHÂM KHÆNG PHN TCH ﬃ×ÑC 21 Nhâm G ÷ñc gåi l tho£ i·u ki»n DCC (Descending chain condition) n¸u méi chuéi gi£m c¡c nhâm con chu©n tc cõa G ·u câ giîi h¤n d÷îi tùc l n¸u H1 ≥ H2 ≥ H3 ≥ ... th¼ tçn t¤i sè nguy¶n s sao cho Hs = Hs+1 = Hs+2 = .... Nhªn x²t: Måi nhâm húu h¤n ·u thäa c£ i·u ki»n ACC v DCC. Nhâm cëng c¡c sè nguy¶n (Z, +) tho£ i·u ki»n ACC nh÷ng khæng tho£ DCC. Thªt vªy, x²t méi chuéi t«ng c¡c nhâm con chu©n tc K1 ≤ K2 ≤ ... ≤ Kt ≤ ..., do Ki l c¡c nhâm con thªt sü cõa nhâm (Z, +) n¶n Ki = miZ vîi mi ∈ N. M°t kh¡c, Ki ⊇ Kj n¸u mi|mj. Do â, måi chuéi t«ng c¡c nhâm con chu©n tc ·u câ giîi h¤n tr¶n, tùc l tçn t¤i sè nguy¶n t m Kt = Kt+1 = Kt+2 = ... = 〈1〉 = Z. Vªy nhâm (Z, +) thäa i·u ki»n ACC. Tuy nhi¶n nhâm (Z, +) khæng thäa i·u ki»n DCC. Thªt vªy, x²t nhâm con H1 cõa nhâm (Z, +) thäa Z ≥ H1 6= {0}. Khi â, H1 = m1Z, vîi m1 > 1, n¶n tçn t¤i m2 sao cho m1|m2, hay tçn t¤i mët nhâm H2, m H1 ≥ H2 6= {0}. Do â, nhâm (Z, +) khæng thäa i·u ki»n DCC. Nhâm (Q, +) khæng tho£ c£ i·u ki»n ACC v DCC. Thªt vªy, gåi H l mët nhâm con thªt sü b§t ký cõa Q, ta s³ chùng minh luæn tçn t¤i mët nhâm con K cõa Q, K thªt sü chùa H l nhâm con. V¼ H < Q n¶n tçn t¤i x ∈ Q m x khæng thuëc H. Gåi K = H ⊕ 〈x〉 th¼ K l nhâm con thüc sü cõa Q, K chùa H. Vªy (Q, +) khæng thäa i·u ki»n ACC. Chùng minh t÷ìng tü gåi L l nhâm con thªt sü cõa Q, L 6= {0}, n¶n tçn t¤i 0 6= x ∈ L, gåi M = 〈x〉 th¼ M l nhâm con thªt sü cõa L, M 6= 0. Do â, (Q, +) khæng thäa i·u ki»n DCC. Bê · 1.8.3. Ta câ c¡c k¸t qu£ sau: a) N¸u H G v c¡c nhâm H v G/H tho£ i·u ki»n ACC v i·u ki»n DCC n¸u G tho£ c£ hai i·u ki»n tr¶n. Nâi ri¶ng, n¸u H v K l c¡c nhâm thäa c£ hai i·u ki»n ACC v DDC th¼ H ×K công thäa c¡c i·u ki»n n y. b) N¸u G = H ×K v G tho£ i·u ki»n ACC v DCC th¼ H, K công tho£ c¡c i·u ki»n n y. Chùng minh a) N¸u G1 ≥ G2 ≥ G3 ≥ ... l mët chuéi gi£m c¡c nhâm con chu©n tc cõa G th¼ H ∩ G1 ≥ H ∩ G2 ≥ ... l chuéi c¡c nhâm con chu©n tc cõa H v HG1/H ≥ HG2/H ≥ ... l chuéi gi£m c¡c nhâm con chu©n tc cõa G/H. Theo gi£ thuy¸t, tçn t¤i sè nguy¶n t tho£ H ∩ Gt = H ∩ Gt+1 = ... v tçn t¤i sè nguy¶n s tho£ HGs/H = HGs+1/H = .... Suy ra, HGs = HGs+1 = .... Theo luªt Dedekind, n¸u H, K v L l c¡c nhâm con cõa G vîi H ≤ L, khi â HK ∩ L = H(K ∩ L). Ð ¥y ta khæng rót ra k¸t luªn HK hay H(K ∩L) l nhâm con cõa G. Gåi l = max{s, t}, ∀i ≥ l th¼ Gi = GiH ∩Gi = Gi+1H ∩Gi = Gi+1(H ∩Gi) = Gi+1(H ∩Gi+1) ≤ Gi+1. Suy ra, Gt = Gt+1. Vªy G thäa i·u ki»n DCC. Chùng minh t÷ìng tü èi vîi i·u ki»n ACC. 22 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ b) N¸u G = H × K, th¼ méi nhâm con chu©n tc H công l nhâm con chu©n tc cõa G. Do â, méi chuéi t«ng ho°c gi£m c¡c nhâm con chu©n tc cõa H công l chuéi c¡c nhâm con chu©n tc cõa G. V¼ G thäa i·u ki»n ACC v DCC n¶n H công thäa i·u ki»n ACC v DCC. Chùng minh t÷ìng tü K công thäa i·u ki»n ACC v DCC. ﬃành lþ 1.8.4. N¸u G tho£ i·u ki»n ACC ho°c DCC th¼ G l t½ch trüc ti¸p cõa húu h¤n nhâm con khæng ph¥n t½ch ÷ñc. Chùng minh Ng÷íi ta gåi nhâm G tho£ i·u ki»n l t½ch trüc ti¸p cõa mët sè húu h¤n nhâm con khæng ph¥n t½ch ÷ñc l nhâm tèt, ng÷ñc l¤i th¼ G gåi l nhâm x§u. Nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc l nhâm tèt. N¸u c£ A v B l nhâm tèt th¼ A×B s³ l nhâm tèt. Do â, gi£ sû nhâm G l t½ch trüc ti¸p cõa U v V th¼ G l nhâm x§u n¸u c£ U v V l nhâm con thüc sü cõa G, trong â U ho°c V l nhâm x§u. Gi£ sû tçn t¤i nhâm x§u G. ﬃ°t H0 = G, b¬ng quy n¤p theo n, tçn t¤i c¡c nhâm x§u H0, H1, ..., Hn tho£ i·u ki»n Hi l nh¥n tû trüc ti¸p x§u cõa Hi−1. Do â tçn t¤i mët d¢y gi£m nghi¶m ng°t c¡c nhâm con chu©n tc cõa G, G = H0 > H1 > H2 > ... N¸u G tho£ DCC, ta s³ suy ra i·u m¥u thu¨n. Thªt vªy, v¼ n¸u câ gi¡ trà s m Hs = Hs+1 th¼ theo gi£ thuy¸t Hs+1 l nh¥n tû trüc ti¸p x§u cõa Hs n¶n tçn t¤i nhâm K khæng t¦m th÷íng sao cho Hs = Hs+1 ×K, (m¥u thu¨n). Gi£ sû G tho£ i·u ki»n ACC. Do méi nhâm Hi l nh¥n tû trüc ti¸p cõa Hi−1 do â tçn t¤i nhâm con chu©n tc Ki thäa Hi−1 = Hi ×Ki. Vªy tçn t¤i d¢y t«ng c¡c nhâm con chu©n tc K1 < K1 ×K2 < K1 ×K2 ×K3 < ... suy ra m¥u thu¨n. Nhªn x²t: Nhâm G (khæng nh§t thi¸t l nhâm aben) n¸u thäa i·u ki»n DCC th¼ G l nhâm xon. Nhâm H (khæng nh§t thi¸t l nhâm aben) n¸u thäa i·u ki»n ACC th¼ méi nhâm con cõa H kº c£ b£n th¥n nhâm H l nhâm húu h¤n sinh. ﬃi·u ng÷ñc l¤i cõa nhªn x²t n y công óng, tùc l n¸u A l nhâm aben húu h¤n sinh th¼ A s³ thäa i·u ki»n ACC. 1.9 Nhâm chia ÷ñc ﬃành ngh¾a 1.9.1. Trong nhâm G, n¸u x ∈ G v mët sè nguy¶n n kh¡c khæng, khi â x ÷ñc gåi l chia ÷ñc bði n trong G n¸u câ mët g ∈ G tho£ x = ng. N¸u ph²p to¡n trong nhâm G l ph²p nh¥n, th¼ khi â ta câ thº nâi x câ c«n bªc n trong G, tùc l tçn t¤i y ∈ G, m x = yn, vîi mët gi¡ trà nguy¶n n 6= 0. 1.9. NHÂM CHIA ﬃ×ÑC 23 Nhâm G ÷ñc gåi l nhâm chia ÷ñc n¸u méi ph¦n tû x ∈ G ·u chia ÷ñc vîi mët sè nguy¶n n ≥ 2, ngh¾a l tçn t¤i gn ∈ G m ngn = x,∀n ≥ 2. Cho p l mët sè nguy¶n tè, nhâm G ÷ñc gåi l p-chia ÷ñc n¸u måi x ∈ G tçn t¤i y ∈ G m x = yp. N¸u ph²p to¡n tr¶n nhâm G l ph²p cëng th¼ nhâm G ÷ñc gåi l p-chia ÷ñc n¸u måi x ∈ G tçn t¤i y ∈ G m x = p.y. V½ dö: C¡c nhâm sau ¥y l nhâm chia ÷ñc: Nhâm c¡c sè húu tﬀ vîi ph²p to¡n cëng (Q, +); nhâm c¡c sè thüc vîi ph²p to¡n cëng (R, + ). V½ dö: Nhâm Qp = {a/b|a/b ∈ Q, (b, p) = 1} l nhâm q-chia ÷ñc vîi måi sè nguy¶n tè q 6= p. Thªt vªy, ta s³ chùng minh qQp = Qp, tø â suy ra Qp l nhâm q-chia ÷ñc. Gåi a/b ∈ Qp. Suy ra, (b, p) = 1, nh÷ng p v q l hai sè nguy¶n tè còng nhau, n¶n p ph£i nguy¶n tè còng nhau vîi bq. Do â, a/bq ∈ Qp. V¼ q(a/bq) = a/b ⇒ a/b ∈ qQp, n¶n Qp ⊆ qQp. Chi·u ng÷ñc l¤i hiºn nhi¶n. Do â Qp = qQp. Vªy Qp l nhâm q-chia ÷ñc. T½nh ch§t: Nhâm th÷ìng cõa mët nhâm chia ÷ñc l nhâm chia ÷ñc. Nhâm con cõa mët nhâm chia ÷ñc ch÷a h¯n l nhâm chia ÷ñc. V½ dö: Nhâm (Q, +) l nhâm chia ÷ñc nh÷ng nhâm c¡c sè nguy¶n vîi ph²p cëng (Z, +) th¼ khæng l nhâm chia ÷ñc. N¸u H v K l c¡c nhâm con chia ÷ñc cõa mët nhâm aben G th¼ H + K l nhâm chia ÷ñc. Nhâm chia ÷ñc cõa mët nhâm aben l nhâm thu¦n tóy. Bê · 1.9.2. N¸u x ∈ Q, th¼ hai nghi»m b§t ký cõa ph÷ìng tr¼nh ny = x sai kh¡c nhau mët ph¦n tû z thäa nz = 0. Ngo i ra, y l nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n n¸u G l nhâm khæng xon. ﬃành lþ 1.9.3. Nhâm khæng xon chia ÷ñc G l khæng gian vectì tr¶n Q. Chùng minh N¸u x ∈ G v x chia ÷ñc, th¼ vîi n > 0 câ duy nh§t ph¦n tû y ∈ G sao cho ny = x (theo Bê · 1.9.2). Khi â câ h m sè f : Q×G→ G sao cho (m/n, x)→ my (vîi x = ny). H m sè n y còng vîi ph²p nh¥n væ h÷îng tho£ c¡c ti¶n · cõa mët khæng gian vectì. Vªy nhâm khæng xon chia ÷ñc G l khæng gian vectì tr¶n Q. ﬃành lþ 1.9.4. Tçn t¤i nhâm G m nhâm con xon cõa nâ câ thº khæng l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G. Chùng minh Gåi P l tªp hñp t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè v G = ∏ p∈P Zp. 24 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ N¸u q l sè nguy¶n tè v x = (xp) ∈ G l chia ÷ñc bði q th¼ câ y = (yp) m qyp = xp vîi måi p, suy ra xq = 0. Do â, n¸u x chia ÷ñc cho måi sè nguy¶n tè p th¼ x = 0. Gi£ sû G/tG chùa ph¦n tû kh¡c khæng m câ thº chia h¸t cho måi sè nguy¶n tè p. N¸u i·u n y óng, th¼ G 6= tG ⊕ H vîi H l mët nhâm con n o â, bði v¼ H ∼= G/tG. N¸u ap ∈ Zp l ph¦n tû sinh, th¼ a = (ap) câ c§p væ h¤n. N¸u na = 0 th¼ nap = 0 vîi måi sè p, do â p chia h¸t n vîi måi p, suy ra n = 0. Do â, a khæng thuëc tG v lîp a + tG l ph¦n tû kh¡c khæng cõa G/tG. N¸u q l sè nguy¶n tè v ap chia ÷ñc bði q trong Zp, vîi måi p 6= q, th¼ câ yp ∈ Zp m qyp = ap. ﬃ°t yq = 0 v y = (yp). Tø â a − qy ∈ tG v¼ måi to¤ ë cõa nâ ·u b¬ng 0 trø aq ð và tr½ q. Suy ra, q(y+ tG) = qy+ tG = a− (a− qy) + tG = a+ tG. Do â a + tG chia ÷ñc bði måi sè nguy¶n tè q. Vªy G/tG chùa ph¦n tû kh¡c khæng v chia h¸t cho måi sè nguy¶n tè p. Do â, tçn t¤i nhâm G m nhâm con xon cõa nâ câ thº khæng l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G. ﬃành lþ 1.9.5. Cho D l mët nhâm chia ÷ñc v A l mët nhâm con cõa nhâm B. N¸u f : A→ D l mët çng c§u, th¼ f câ thº ÷ñc mð rëng th nh mët çng c§u ϕ : B → D sao cho: f = ϕ ◦ i vîi i : A→ B. Chùng minh Ta sû döng bê · Zorn. X²t tªp ς gçm c¡c c°p (S, h) vîi A ≤ S ≤ B v h : S → D l mët çng c§u tho£ h|A = f. Nhªn x²t ς 6= ∅ v¼ (A, f) ∈ ς. Quan h» thù tü bë phªn trong ς ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: (S, h) ≤ (S ′, h′) n¸u S ≤ S ′ v h' l mð rëng cõa h tùc l h′|S = h. N¸u T = {(Sx, hx)} l tªp sp thù tü cõa ς. ﬃành ngh¾a (S∗, h∗) bði S∗ = ∪αSα v h∗ = ∪αhα. H m sè ÷ñc ành ngh¾a tr¶n l phò hñp. Thªt vªy n¸u s ∈ S∗ th¼ s ∈ Sα vîi mët gi¡ trà α n o â v h∗(s) = hα(s). Ta kiºm tra ÷ñc (S∗, h∗) ∈ ς v nâ l ch°n tr¶n cõa T. Theo bê · Zorn, tçn t¤i ph¦n tû lîn nh§t (M, g) ∈ ς. Ta s³ chùng minh M = B v ho n t§t chùng minh. Gi£ sû câ b ∈ B v b khæng thuëc M. N¸u M ′ = 〈M, b〉 th¼ M<M' v d¨n ¸n ành ngh¾a h′ : M ′ → D l mð rëng cõa g tø â d¨n ¸n m¥u thu¨n vîi t½nh ch§t ph¦n tû lîn nh§t (M, g) ∈ S. Tr÷íng hñp 1: M ∩ 〈b〉 = 0. Trong tr÷íng hñp n y th¼ M ′ = M ⊕ 〈b〉. ﬃành ngh¾a h' thäa m+ kb 7→ g(m). Tr÷íng hñp 2: M ∩〈b〉 6= 0. N¸u k l sè nguy¶n d÷ìng nhä nh§t tho£ kb ∈M , khi â méi ph¦n tû y ∈M ′ ÷ñc vi¸t duy nh§t d÷îi d¤ng y = m + tb vîi 0 ≤ t < k. Do D l nhâm chia ÷ñc n¶n câ ph¦n tû d ∈ D m kd = h(kb) vîi kb ∈ M n¶n h(kb) ÷ñc x¡c ành. Gåi h′ : M ′ → D tho£ m+ tb 7→ g(m) + td. Ta kiºm tra ÷ñc h' l mët çng c§u mð rëng cõa g. Vªy M = B. ﬃành lþ 1.9.6. N¸u A l nhâm aben v D l nhâm con chia ÷ñc, khi â D l h¤ng tû trüc ti¸p cõa A. 1.9. NHÂM CHIA ﬃ×ÑC 25 Chùng minh Gåi S = {H|H ≤ A,H ∩D = 0}. Khi â, (S,⊆) l tªp sp thù tü bë phªn tho£ c¡c gi£ thuy¸t cõa Bê · Zorn. Gåi C l tªp con cõa S. N¸u C l tªp réng, th¼ méi ph¦n tû cõa S s³ âng vai trá nh÷ l mët ch°n tr¶n cõa C, do â câ thº gi£ thi¸t C kh¡c réng. Khi â, (∪C) ∩D = {0} v¼ n¸u câ x ∈ (∪C) ∩D, th¼ x ∈ H ⊆ C vîi H n o â. Do â x ∈ H ∩D d¨n ¸n x = 0. M°t kh¡c, do C l tªp kh¡c réng, n¶n tçn t¤i H0 ⊆ C, n¶n {0} ∈ ∪C d¨n ¸n {0} ⊆ (∪C) ∩D hay {0} = (∪C) ∩D. Vªy ∪C ∈ S v ∪C l ch°n tr¶n cõa S. p döng Bê · Zorn, d¨n ¸n sü tçn t¤i cõa nhâm con K l ph¦n tû tèi ¤i cõa S. Do â, K ∩D = {0}. ﬃº ho n t§t chùng minh c¦n ch¿ ra A = D⊕K v º chùng minh i·u n y c¦n ch¿ ra A = D + K. Gi£ sû D +K 6= A ta s³ t¼m ra sü m¥u thu¨n. Gi£ sû tçn t¤i x ∈ A m x khæng thuëc D + K (*). Khi â, x khæng thuëc K, suy ra K l nhâm con thªt sü cõa K + 〈x〉. V¼ K l nhâm con tèi ¤i cõa S n¶n K + 〈x〉 khæng thuëc S, khi â (K + 〈x〉)∩D ph£i l nhâm khæng t¦m th÷íng, n¶n tçn t¤i t ∈ (K + 〈x〉)∩D, tho£ t 6= 0. Do â, t = k + nx vîi k ∈ K, n l sè nguy¶n, suy ra nx ∈ D+K. Nhªn x²t, n 6= 0 v¼ n¸u n = 0 th¼ d¨n ¸n t = k, do t ∈ K ∩D suy ra t = 0. (M¥u thu¨n). Câ thº gi£ sû n l sè nguy¶n d÷ìng v¼ n¸u n l sè nguy¶n ¥m th¼ -n l sè nguy¶n d÷ìng v nx câ thº ÷ñc thay bði (-n)(-x). Gi¡ trà n khæng thº b¬ng 1 v¼ n¸u nh÷ th¸ th¼ d¨n ¸n t = k + x suy ra x ∈ D + K, (m¥u thu¨n vîi gi£ thuy¸t (*)). Do â 2 ≤ n, gåi n' l sè n nhä nh§t cõa tªp {m|m ∈ N, 2 ≤ m,mx ∈ D + K}. Tªp n y kh¡c réng v¼ chùa ph¦n tû n. Gåi p l sè nguy¶n tè chia h¸t n', th¼ n'= pq vîi q ∈ N (câ thº x£y ra tr÷íng hñp q = 1). Nhªn x²t q < n' º qx khæng thuëc D + K (**), theo ành ngh¾a cõa n'. ﬃ°t y = qx th¼ py = pqx = n′x ∈ D+K. Do â py = d + k' vîi d ∈ D, k′ ∈ K. p döng t½nh ch§t chia ÷ñc cõa D d¨n ¸n sü tçn t¤i cõa d1 ∈ D, m d = pd1. Gåi z = y − d1. Khi â pz = py − pd1 = d + k′ − pd1 = d + k′ − d = k′ ∈ K. N¸u z ∈ K th¼ z + d1 ∈ D +K, d¨n ¸n y ∈ D +K v qx ∈ D +K (M¥u thu¨n (**)). V¼ th¸, z khæng thuëc K, n¶n K l nhâm con thªt sü cõa K + 〈z〉, do â K + 〈z〉 khæng thuëc S v¼ K l nhâm tèi ¤i cõa S. Suy ra, (K + 〈z〉) ∩ D l khæng t¦m th÷íng, n¶n tçn t¤i t2 ∈ (K + 〈z〉) ∩ D, t2 6= 0. Tø â, t2 = k2 + mz vîi k2 ∈ K, m l sè nguy¶n. N¸u p chia h¸t m, th¼ m = pc vîi c l mët sè nguy¶n, d¨n ¸n t2 = k2 + pcz = k2 + ck ′ ∈ K n¶n t2 ∈ D ∩ K = 0 suy ra t2 = 0 (væ lþ). Do â, p khæng chia h¸t m. M°t kh¡c, p l sè nguy¶n tè n¶n p v m ph£i nguy¶n tè còng nhau. Tçn t¤i sè nguy¶n a, b sao cho am + bp = 1. Khi â, z = (am + bp)z = amz + bpz. Tuy nhi¶n, mz = t2 − k2 ∈ D + K v pz = k′ ∈ K, n¶n z ∈ D + K, nh÷ng y = z + d1. Do â y ∈ D +K v y = qx n¶n qx ∈ D +K (m¥u thu¨n vîi **). Vªy A = D ⊕K khi â D l h¤ng tû trüc ti¸p cõa A. H» qu£ 1.9.7. N¸u nhâm chia ÷ñc D l nhâm con cõa nhâm G, th¼ D l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G. 26 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ ﬃành ngh¾a 1.9.8. N¸u G l mët nhâm, th¼ dG l nhâm con t¤o bði t§t c£ c¡c nhâm con chia ÷ñc cõa G. Nhªn x²t: dG l nhâm con b§t bi¸n ho n to n cõa G (fully invariant subgroup) do £nh cõa méi nhâm con chia ÷ñc l chia ÷ñc. Bê · 1.9.9. Vîi b§t ký nhâm G, dG l nhâm con chia ÷ñc duy nh§t v tèi ¤i cõa G. Chùng minh Do ành ngh¾a cõa dG n¶n dG l nhâm con tèi ¤i cõa G, ta ch¿ c¦n chùng minh dG l nhâm chia ÷ñc. Vîi x ∈ dG, gi£ sû n>0, khi â câ x = d1+d2+...+dt, di ∈ Di v c¡c Di l nhâm con chia ÷ñc cõa G. V¼ Di l nhâm con chia ÷ñc, n¶n tçn t¤i yi ∈ Di tho£ n.yi = di,∀i. Suy ra, y1 + ...+ yt ∈ dG v n(y1 + ...+ yt) = x. Vªy dG l nhâm chia ÷ñc, hay dG l nhâm con chia ÷ñc duy nh§t v tèi ¤i cõa G. ﬃành ngh¾a 1.9.10. Nhâm G ÷ñc gåi l nhâm tèi gi£n hay nhâm rót gån (reduced group) n¸u dG = 0. Mët nhâm aben ÷ñc gåi l nhâm rót gån hay tèi gi£n (reduced group) n¸u nâ khæng câ nhâm con chia ÷ñc khæng t¦m th÷íng. V½ dö: Måi nhâm con thüc sü cõa nhâm (Q, + ) l nhâm rót gån. Tuy nhi¶n, b£n th¥n nhâm (Q, + ) khæng l nhâm rót gån v¼ Q l nhâm chia ÷ñc. Nhªn x²t: G l chia ÷ñc khi v ch¿ khi dG = G. ﬃành lþ 1.9.11. Vîi méi nhâm G, th¼ G luæn ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng G = dG⊕R, vîi R l nhâm tèi gi£n. Chùng minh Do dG l nhâm chia ÷ñc, theo H» qu£ 1.9.7 th¼ dG l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G, tø â kh¯ng ành sü tçn t¤i cõa R. N¸u câ D ≤ R v D l nhâm chia ÷ñc, khi â D ≤ R ∩ dG = 0. Suy ra, R l nhâm tèi gi£n. Nhªn x²t: Méi nhâm con aben G ·u l mð rëng cõa mët nhâm xon tG bði mët nhâm khæng xon (nh÷ng tG khæng nh§t thi¸t l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G). Tuy nhi¶n, G công l mð rëng cõa mët nhâm chia ÷ñc dG bði mët nhâm tèi gi£n v dG luæn l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G. Kþ ki»u: Cho G l mët nhâm b§t ký, G[n] = {x ∈ G|nx = 0}. Bê · 1.9.12. N¸u G v H l c¡c p-nhâm con nguy¶n sì (p-primary group) th¼ G ∼= H n¸u v ch¿ n¸u G[p] ∼= H[p]. Chùng minh 1.9. NHÂM CHIA ﬃ×ÑC 27 N¸uG ∼= H, ta s³ chùng minhG[p] ∼= H[p]. Thªt vªy, vîi méi çng c§u ϕ : G −→ H th¼ ϕ(G[p]) ≤ H[p]. M°t kh¡c, v¼ G ∼= H n¶n tçn t¤i çng c§u ϕ∗ : H −→ G v ϕ∗(H[p]) ≤ G[p] thäa ϕ ◦ ϕ∗ = Id, suy ra H[p] ≤ ϕ(G[p]). Vªy G[p] ∼= H[p]. Ng÷ñc l¤i, n¸u G[p] ∼= H[p], tùc l tçn t¤i mët ¯ng c§u ϕ : G[p] −→ H[p]. K¸t hñp vîi ph²p nhóng i : H[p] −→ H, ta câ thº gi£ thi¸t ϕ : G[p] −→ H. Theo ﬃành lþ 1.9.4 th¼ tçn t¤i çng c§u φ : G −→ H l mð rëng cõa ϕ ta s³ chùng minh φ l mët ¯ng c§u. φ l ìn c§u. N¸u n = 1 th¼ x ∈ G[p] n¶n φ(x) = ϕ(x) = 0⇒ x = 0 (do ϕ l ìn c§u). B¬ng c¡ch quy n¤p vîi n ≥ 1 n¸u x ∈ G câ c§p pn+1, th¼ φ(x) = 0. Khi â, φ(px) = 0 v px câ c§p pn suy ra px = 0, n¶n x = 0. Do â, φ l ìn c§u. φ l to n c§u. Thüc hi»n vi»c quy n¤p vîi n ≥ 1, n¸u y ∈ H câ c§p pn th¼ y ∈ Imφ. N¸u n = 1, th¼ y ∈ H[p] = imϕ ≤ imφ. Gi£ sû r¬ng y câ c§p pn+1, do pny ∈ H[p], n¶n câ x ∈ G tho£ φ(x) = pny. Do G l nhâm chia ÷ñc, n¶n tçn t¤i g ∈ G sao cho png = x. Suy ra, pn(y − φ(x)) = 0 theo quy n¤p tçn t¤i z ∈ G, thäa φ(z) = y − φ(g). Tø â, y = φ(z + g). Vªy φ l to n c§u. Do â, φ l ¯ng c§u, hay G ∼= H. Bê · 1.9.13. N¸u V l khæng gian vectì tr¶n tr÷íng K th¼ nhâm V vîi ph²p to¡n cëng s³ l têng trüc ti¸p c¡c th nh ph¦n cõa K. Bê · 1.9.14. Nhâm aben khæng xon chia ÷ñc G l têng trüc ti¸p c¡c th nh ph¦n cõa nhâm c¡c sè húu tﬀ Q. Chùng minh Gi£ sû g ∈ G v m/n ∈ G. V¼ G l nhâm chia ÷ñc n¶n tçn t¤i h ∈ G m nh = g. V¼ G l nhâm khæng xon, n¶n h l duy nh§t (v¼ n¸u câ nh' = g, suy ra n(h - h') = 0). ﬃành ngh¾a (m/n)g = mh. Khi â, G l khæng gian vectì tr¶n Q n¶n nâ l têng trüc ti¸p c¡c th nh ph¦n cõa Q. Bê · 1.9.15. Méi nhâm p-chia ÷ñc l têng trüc ti¸p c¡c th nh ph¦n cõa Z(p∞). Chùng minh Gåi G l mët nhâm p-chia ÷ñc khæng t¦m th÷íng. Ta s³ chùng minh G câ mët nhâm con ¯ng c§u vîi Z(p∞). Gåi x1 ∈ G câ c§p l p. Chån x2 thäa x1 = px2. Ti¸p töc qu¡ tr¼nh n y ta t¼m ÷ñc mët d¢y x1, x2, ... sao cho vîi méi i ≥ 1 th¼ xi = pxi+1. Nhâm con sinh ra bði nhâm n y ¯ng c§u vîi nhâm Z(p∞) qua ¡nh x¤ xr → r/p + Z. Nhâm n y chia ÷ñc v l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G. Ti¸p töc qu¡ tr¼nh n y b¬ng quy n¤p, tuy nhi¶n nâ ph£i døng l¤i ð mët gi¡ trà n o â. 28 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ Gåi S l tªp c¡c nhâm con ¯ng c§u vîi Z(p∞) v gåi T l hå c¡c tªp con X ⊆ S m têng c¡c nhâm con trong X l mët têng trüc ti¸p. T l tªp sp thù tü bë phªn v méi nhâm cõa chuéi trong T câ mët ch°n tr¶n, ch½nh l ph¦n hñp. Theo Bê · Zorn, T câ ph¦n tû cüc ¤i, gi£ sû l H. Khi â, H l têng trüc ti¸p c¡c nhâm con cõa X v H l nhâm chia ÷ñc (H b¬ng têng trüc ti¸p c¡c nhâm p-Pruffer), n¶n G = H ⊕K vîi K l tªp n o â. N¸u K l tªp khæng t¦m th÷íng, th¼ nâ s³ chùa mët nhâm con P ¯ng c§u vîi Z(p∞). Tuy nhi¶n, khi â X ∪ {P} ∈ T , m¥u thu¨n. Vªy K = {1}, hay G = H l têng trüc ti¸p c¡c th nh ph¦n cõa Z(p∞). ﬃành lþ 1.9.16. Méi nhâm chia ÷ñc D l têng trüc ti¸p cõa c¡c th nh ph¦n (copies) cõa Q v th nh ph¦n cõa Z(p∞) vîi mët sè nguy¶n tè p n o â. Chùng minh Do tD l nhâm chia ÷ñc, suy ra D = tD ⊕ V , khi â V ∼= D/tD. B¥y gií V l nhâm khæng xon v chia ÷ñc, suy ra nâ l khæng gian vectì tr¶n tr÷íng Q, V l têng trüc ti¸p cõa c¡c th nh ph¦n cõa Q (theo Bê · 1.9.14). M°t kh¡c, méi nhâm xon ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng têng trüc ti¸p c¡c th nh ph¦n p-nhâm con nguy¶n sì. Do â, tD l têng trüc ti¸p c¡c p-nhâm con chia ÷ñc, n¶n theo Bê · 1.9.15 th¼ méi p-nhâm chia ÷ñc l têng trüc ti¸p c¡c th nh ph¦n cõa Z(p∞). ﬃành lþ 1.9.17. Méi nhâm G câ thº ÷ñc nhóng v o mët nhâm chia ÷ñc. Chùng minh V¼ méi nhâm G b§t ký ·u ¯ng c§u vîi nhâm th÷ìng cõa nhâm aben tü do. ﬃ°t G = F/R, vîi F l nhâm aben tü do. Gi£ sû F = ∑ Z, do â F ≤∑Q (v¼ ch¿ c¦n nhóng c¡c th nh ph¦n Z v o Q). Do â, G = F/R = ( ∑ Z)/R ≤ (∑Q)/R. ﬃ¥y l nhâm chia ÷ñc, v¼ l nhâm th÷ìng cõa mët nhâm chia ÷ñc. Vªy méi nhâm G câ thº ÷ñc nhóng v o mët nhâm chia ÷ñc. ﬃành lþ 1.9.18. Nhâm con thu¦n tuþ cõa nhâm aben chia ÷ñc l nhâm chia ÷ñc. Chùng minh Cho A l nhâm aben chia ÷ñc v B l mët nhâm con thu¦n tuþ. Gi£ sû x ∈ B v n l sè nguy¶n d÷ìng. Khi â, x ∈ A, x = ny, y ∈ A, suy ra x ∈ nA ∩ B do â x ∈ nB (do t½nh thu¦n tuþ cõa B trong A). Vªy B l nhâm chia ÷ñc. ﬃành lþ 1.9.19. Cho B l mët p-nhâm aben. Khi â B l nhâm q-chia ÷ñc vîi måi sè nguy¶n tè q 6= p, hìn núa n¸u câ b ∈ B th¼ tçn t¤i duy nh§t y ∈ B tho£ b = qy. Chùng minh 1.10. NHÂM CON THUN TÓY 29 Gi£ sû c§p cõa b l pn. Do p v q l hai sè nguy¶n tè kh¡c nhau n¶n pn v q công l hai sè nguy¶n tè còng nhau. Do â, tçn t¤i upn + vq = 1 vîi u, v l c¡c sè nguy¶n n o â. Suy ra, b = upnb + vqb = vqb = qy, vîi y = vb, do B l mët p - nhâm v c§p cõa b l pn. ﬃº chùng minh t½nh duy nh§t cõa y, gi£ sû b = qy = qy∗, khi â q(y - y*) = 0 d¨n ¸n c§p cõa (y - y*) l ÷îc cõa q. V¼ B l p-nhâm n¶n c§p cõa (y − y∗) = pm vîi m l sè nguy¶n, do â pm|q d¨n ¸n pm = 1, suy ra y* = y. Vªy tçn t¤i duy nh§t y ∈ B sao cho b = qy. ﬃành lþ 1.9.20. N¸u nhâm aben A l p - chia ÷ñc vîi måi sè nguy¶n tè p, th¼ A l nhâm chia ÷ñc. Chùng minh N¸u n l sè nguy¶n d÷ìng, th¼ n câ thº vi¸t d÷îi d¤ng t½ch li¶n ti¸p cõa c¡c sè nguy¶n tè (khæng nh§t thi¸t kh¡c nhau) n = p1.p2...pk. Gi£ sû x ∈ A, v¼ A l nhâm p-chia ÷ñc n¶n tçn t¤i y1, m x = p1y1, t÷ìng tü do y1 ∈ A n¶n tçn t¤i y1 = p2y2. Têng qu¡t, vîi måi yi, 1 ≤ i ≤ k − 1, tçn t¤i yi+1 m yi = pi+1yi+1, n¶n x = p1y1 = p1p2.y2 = ... = p1p2.....pkyk = nyk. Vªy A l nhâm chia ÷ñc. 1.10 Nhâm con thu¦n tóy ﬃành ngh¾a 1.10.1. Nhâm con S ≤ G l nhâm con thu¦n tuþ (pure subgroup) n¸u vîi méi sè nguy¶n n th¼ S ∩ nG = nS. Nhªn x²t: Cho A l mët nhâm aben, th¼ H l nhâm con thu¦n tuþ cõa A n¸u H l nhâm con cõa A v nA ∩H ⊆ nH vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n. ﬃành lþ 1.10.2. N¸u A l nhâm aben th¼ t(A) l nhâm con thu¦n tuþ cõa A. Chùng minh Gi£ sû x ∈ nA∩ t(A) vîi n l mët sè nguy¶n d÷ìng. Khi â, x = ny vîi y n o â v x ∈ t(A). Gåi m l c§p cõa x, th¼ 0 = mx = mny = (mn)y, suy ra y câ c§p húu h¤n. Vªy y ∈ t(A), i·u n y v x = ny suy ra x ∈ nt(A) d¨n ¸n nA∩ t(A) ⊆ nt(A), hay t(A) l nhâm con thu¦n tóy cõa A. ﬃành lþ 1.10.3. Méi h¤ng tû trüc ti¸p cõa nhâm G l nhâm con thu¦n tuþ cõa nâ. Chùng minh Cho G = A ⊕ B. N¸u a ∈ A v a = ng, th¼ g = a' + b', vîi a′ ∈ A v b′ ∈ B nb'=0 vîi nb′ = a− na′ ∈ A ∩B = 0. Suy ra a = na'. Vªy A l nhâm thu¦n tuþ. ﬃành lþ 1.10.4. N¸u S ≤ G v G/S l nhâm khæng xon th¼ S l nhâm thu¦n tuþ. Chùng minh 30 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ N¸u s = ng, th¼ g+S ∈ G/S câ c§p húu h¤n, do G/S l nhâm khæng xon. Suy ra, g + S = S v g ∈ S. Do â, S l nhâm thu¦n tóy. ﬃành lþ 1.10.5. N¸u tG l nhâm con thu¦n tóy cõa G th¼ nâ câ thº khæng l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G. Chùng minh Ta bi¸t G/tG l nhâm con khæng xon theo ﬃành lþ 1.10.4 th¼ tG l nhâm con thu¦n tuþ cõa G. Theo ﬃành lþ 1.9.4 tçn t¤i nhâm G m nhâm con xon cõa nâ khæng l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G. ﬃành lþ 1.10.6. Gi£ sû T ≤ G l nhâm thu¦n tuþ. N¸u T ≤ S ≤ G th¼ S/T l nhâm thu¦n tuþ trong G/T khi v ch¿ khi S l thu¦n tuþ trong G. Chùng minh Gi£ sû S/T l nhâm thu¦n tuþ trong G/T v s ∈ S, s = ng vîi g ∈ G. Trong G/T, s = ng. Suy ra, câ s′ ∈ S tho£ s = ns′. Do â, tçn t¤i t ∈ T m s = ns' + t, t = n(g − s′) v do t½nh thu._.

Các file đính kèm theo tài liệu này:

LA7649.pdf