Nhập môn lý thuyết Knot

.......................................................................................... 3 LỜI NĨI ĐẦU ....................................................................................................... 4 CHƯƠNG I : NHĨM CƠ BẢN............................................................................. 6 I. ĐỒNG LUÂN ................................................................................................. 6 1.Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục................................................. 6 1.1. Kiến thức chuẩn bị ............................................................................ 6 1.2. Định nghĩa......................................................................................... 6 1.3. Minh họa khái niệm đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục: ................. 7 1.4. Định lý............................................................................................... 7 2. Quan hệ đồng luân giữa hai khơng gian tơpơ............................................. 8 II.NHĨM CƠ BẢN ........................................................................................... 9 1. Khái niệm đường ........................................................................................ 9 1.1. Định nghĩa.......................................................................................... 9 1.2. Định nghĩa........................................................................................ 10 1.3. Định nghĩa........................................................................................ 10 2. Đường đĩng............................................................................................... 11 2.1.Định nghĩa......................................................................................... 11 2.2.Tích các đường đĩng......................................................................... 11 2.3. Tính chất........................................................................................... 12 3. Khơng gian liên thơng đường ................................................................... 13 3.1. Định nghĩa 1..................................................................................... 13 3.2. Định nghĩa 2..................................................................................... 13 3.3. Tính chất........................................................................................... 13 4. Nhĩm cơ bản ............................................................................................. 13 4.1. Định nghĩa....................................................................................... 13 4.2. Định lý.............................................................................................. 14 5. Tính chất hàm tử của 1π ............................................................................. 15 5.1 Định lý 1............................................................................................ 15 5.2 Định lý 2............................................................................................ 17 5.3. Định lý 3........................................................................................... 19 CHƯƠNG II: KNOT........................................................................................... 21 I. KNOT ........................................................................................................... 21 II. PHÉP DỊCH CHUYỂN................................................................................ 27 III. MỘT SỐ KNOT ĐẶC BIỆT ...................................................................... 30 IV. MỘT VÀI BẤT BIẾN CỦA KNOT .......................................................... 37 V. TÍNH CHẤT BA MÀU CỦA KNOT.......................................................... 46 CHƯƠNG III : NHĨM CƠ BẢN CỦA KNOT .................................................. 50 I. ĐỊNH LÝ VAN-KAMPEN ........................................................................... 50 1. Định lý ........................................................................................................ 50 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 2 2. Nhận xét...................................................................................................... 56 3.Hệ quả.......................................................................................................... 57 II. NHĨM CƠ BẢN CỦA KNOT .................................................................... 58 1. Định nghĩa ................................................................................................ 58 2. Đại diện Wirtinger của knot ..................................................................... 59 2.1.Định lý Wirtinger............................................................................... 59 2.2.Chú ý.................................................................................................. 65 3.Ví dụ .......................................................................................................... 66 3.1. Knot tầm thường............................................................................... 66 3.2. Knot ba lá......................................................................................... 66 3.3.Knot hình số 8.................................................................................... 67 Kết Luận............................................................................................................... 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………69 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 3 MỘT SỐ KÝ HIỆU FÂG Ký hiệu Giải thích quan hệ đồng luân hay tương đương ≅ đẳng cấu Z tập hợp số nguyên tập hợp số thực [ ]0;1I = ⊂ đoạn đơn vị *f g đường nối đường f và đường g f đường đảo ngược của đường f [ ]f lớp các đường đồng luân (cố định) với f [ ]g fo phép lấy tích hai lớp đường [ ]f ,[ ]g [ ]f *[ ]g phép nối hai lớp đường [ ]f ,[ ]g XId ánh xạ đồng nhất trên X 0 ( )Xπ tập các thành phần liên thơng đường của X 1 0( , )X xπ nhĩm cơ bản của 0( , )X x kết thúc một phép chứng minh GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 4 LỜI NĨI ĐẦU FÏG Tơpơ theo quan điểm hình học là một ngành khoa học nghiên cứu các bất biến Tơpơ, tức là các tính chất khơng thay đổi qua các phép biến đổi liên tục. Tơ pơ đại số là một nhánh lớn của Tơpơ mà trong đĩ người ta dùng cơng cụ đại số để khảo sát các bất biến Tơpơ. Nĩi một cách nơm na, Tơpơ đại số là “bức tranh” đại số của “vật thể” Tơpơ. Lý thuyết knot là một bộ phận quan trọng của Tơpơ học nĩi chung, Tơpơ đại số nĩi riêng. Lý thuyết knot được khởi xướng bởi C.F.Gauss vào khoảng 1835- 1840. Sau đĩ được một học trị xuất sắc của Gauss là J. B. Listing phát triển và nghiên cứu như là một đối tượng của Tơ pơ học. Trong vài ba thập niên gần đây, lý thuyết knot phát triển rất mạnh và tìm được nhiều ứng dụng trong cả nội tại Tốn học cũng như trong vật lý, cơ học. Lý thuyết knot là một bộ phận của Tơ pơ đại số vì các cơng cụ đại số rất hữu dụng trong nghiên cứu lý thuyết knot. Bất biến đầu tiên của một knot (với tư cách một khơng gian tơpơ) chính là nhĩm cơ bản của nĩ. Các bất biến cơ bản khác của một knot liên quan đến các đa thức (đa thức Alexander, đa thức Jones, đa thức Kauffman). Hệ các bất biến của knot sẽ giúp chúng ta phân loại tơ pơ các knot. Chính vì sự hấp dẫn và tầm quan trọng của lý thuyết knot nên em quyết định chọn nĩ làm đề tài nghiên cứu của mình, hy vọng sẽ tìm hiểu và nắm được những kiến thức cơ bản về knot, làm cơ sở cho những nghiên cứu sâu hơn về sau ở lĩnh vực này. Trong luận văn này ta sẽ trình bày về một số định nghĩa cơ bản của knot dựa trên sự mơ tả hình học. Cuối cùng, ta sẽ tiến hành xem xét một bất biến của knot đĩ là nhĩm cơ bản. Ngồi lời nĩi đầu và kết luận, nội dung của luận văn bao gồm ba chương : 1. Chương I : Nhĩm cơ bản Trong chương này ta trình bày lại một số định nghĩa cơ bản của tơpơ đại số như đồng luân, nhĩm cơ bản,…Đồng thời khảo sát một số tính chất của hàm tử ( )π1 X . 2. Chương II : Knot Phần này dành để định nghĩa thế nào là một knot và mơ tả hình ảnh cụ thể của nĩ trong thực tế bằng ngơn ngữ hình học thơng thường. Đồng thời đưa ra GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 5 một số bất biến đơn giản của knot như số crossing của một knot, số link của một link,… 3. Chương III : Nhĩm cơ bản của knot Mở đầu chương này ta sẽ chứng minh một định lý cơ bản của tơpơ đại số- định lý Van-Kampen. Từ đĩ chứng minh định lý Wirtinger làm cơng cụ để tính nhĩm cơ bản của một vài knot đơn giản. Lý thuyết knot là một lý thuyết khĩ. Cho đến nay vẫn cịn nhiều vấn đề, nhiều chỗ chưa thể chứng minh được. Chính vì đặc điểm này, nĩ đang là một đề tài nĩng bỏng được rất nhiều nhà tốn học quan tâm. Với một kiến thức hạn chế khi nghiên cứu về một lý thuyết mới, bản thân em khĩ trách khỏi những thiếu xĩt, rất mong được sự đĩng gĩp ý kiến của quý thầy cơ và bạn bè đồng mơn. Trước tiên, em xin chân thành cảm ơn các quý thầy cơ trong tổ bộ mơn Tốn những người đã trực tiếp giảng dạy em trong những năm qua để hơm nay em cĩ cơ hội được thực hiện đề tài này . Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Phĩ Giáo Sư - Tiến sĩ Lê Anh Vũ đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt cho em những ý kiến quý báo. Trong quá trình thực hiện đề tài, em đã tham khảo một số tài liệu sách của một số tác giả nhưng khơng cĩ điều kiện liên hệ, thơng qua đây em xin gửi lời cảm ơn đến các tác giả. Nhân dịp này, em cũng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện cũng như giúp đỡ em để đề tài nghiên cứu được hồn thành. Long Xuyên, tháng 5 năm 2008 Tác giả GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 6 CHƯƠNG I : NHĨM CƠ BẢN Trong chương này ta sẽ tìm hiểu về quan hệ đồng luân trên khơng gian các ánh xạ liên tục [ ],C X Y . Để từ đĩ đi đến việc giới thiệu sơ lược về một vấn đề cơ bản của tơpơ đại số - nhĩm cơ bản. Kết thúc chương bằng việc tìm hiểu các tính chất của nhĩm cơ bản. I. ĐỒNG LUÂN 1.Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục 1.1. Kiến thức chuẩn bị Bổ đề dán : Giả sử khơng gian tơpơ X là hợp hữu hạn các tập đĩng của nĩ ( X =U n i iF 1= ) và : ii F Yf → là một họ các ánh xạ liên tục ( ni ,1= ) mà ( ) ( )FFfFFf jijjii ∩=∩ nji ,1, =∀ . Khi đĩ ánh xạ f : X→ Y xác định bởi : ( )if F = ,( 1, )if i n= là ánh xạ liên tục. 1.2. Định nghĩa Cho X và Y là hai khơng gian tơpơ. Xét hai ánh xạ liên tục: : →f X Y : →g X Y Ta nĩi f đồng luân với g bởi phép đồng luân F ( kí hiệu: ( )F f g ) nếu tồn tại ánh xạ liên tục: : × →F X I Y (với [ ]0,1=I ) sao cho ( ) ( )( ) ( ) ,0 ,1 =⎧⎪⎨ =⎪⎩ F x f x F x g x Ví dụ: Xét X là khơng gian tơpơ, Y là tập con lồi của nR ( tức nếu y, z thuộc Y thì tồn bộ đoạn thẳng nối y và z nằm hồn tồn trong Y ). Xét các ánh xạ liên tục sau: : →f X Y ; : oy c X Y→ ox ya GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 7 Khi đĩ ta cĩ: ( ) o F yf c . Thật vậy: Xét ánh xạ: : × →F X I Y xác định như sau: ( ) ( ) ( ), 1 . . , ,= − + ∀ ∈ ∀ ∈oF x t t f x t y x X t I hiển nhiên ta cĩ: • F liên tục. • ( ) ( ),0 =F x f x . • ( ) ( ),1 oy F x c x= . 1.3. Minh họa khái niệm đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục Hình (a) là trường hợp f, g đồng luân. Hình (b)là trường hợp f, g khơng đồng luân. Hay một cách hình dung khác, hai ánh xạ liên tục f, g gọi là đồng luân nếu f cĩ thể biến đổi một cách liên tục thành g. 1.4. Định lý Quan hệ đồng luân là một quan hệ tương đương trên khơng gian [ ],C X Y các ánh xạ liên tục từ X đến Y ( với X , Y là các khơng gian tơpơ bất kì ). Y X f g (a) Y X f g (b) GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 8 Chứng minh • Ta dễ dàng chứng minh tính phản xạ và tính đối xứng của quan hệ đồng luân. Thật vậy : ta cĩ ( )F f f với ( ) ( ), ,= ∀ ∈F x t f x x X ; It ∈∀ ( ) ( )F G f g g f⇒ với ( ) ( ), ,1G x t F x t= − ,x X t I∀ ∈ ∀ ∈ Vì G(x,0) = g(x) = F(x,1) G(x,1) = f(x) = F(x,0). • Tính bắc cầu : Giả sử ta cĩ : ( ) F f g và ( ) H g h ta sẽ chứng minh: ( )H f h Xét ánh xạ : × →H X I Y ( ) ( ), ,x t H x ta xác định như sau: ( ) ( ) ( ) 1,2 , 0 2, 1,2 1 , 1 2 F x t t H x t G x t t ⎧ ≤ ≤⎪⎪= ⎨⎪ − ≤ ≤⎪⎩ Dễ thấy H liên tục vì ( ) ( ) ( )1 1, ,1 ,0 , 2 2 H x F x g x G x H x⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Đồng thời : ( ) ( ) ( ),0 ,0 ,H x F x f x x X= = ∀ ∈ ; ( ) ( ) ( ),1 ,1 ,H x G x h x x X= = ∀ ∈ ; Nên ta cĩ : ( )H f h Vậy ta cĩ điều phải chứng minh. 2. Quan hệ đồng luân giữa hai khơng gian tơpơ Cho X ,Y là hai khơng gian tơpơ. Ta nĩi X đồng luân với Y (kí hiệu: X Y ) nếu tồn tại các ánh xạ f và g : : f X Y g Y X → → GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 9 sao cho : • f , g liên tục. • Yf g Ido . • Xg f Ido . Từ định nghĩa trên ta thấy rằng : Nếu X và Y là hai khơng gian đồng phơi thì chúng cũng sẽ là hai khơng gian đồng luân. Thật vậy, gọi :f X Y→ là một song ánh liên tục thì ta cĩ: 1 Y Yf f Id Id − =o 1 X Xf f Id Id − =o Do đĩ : X Y . Điều ngược lại thì nĩi chung là khơng đúng. Chẳng hạn : Rn và { }0 là đồng luân vì tồn tại các ánh xạ { }0: →nRf và { } nRg →0: thỏa mãn : nRg f Id=o 0ax xa0 và { }0f g Id=o nhưng nR và { }0 khơng đồng phơi vì tập hợp của chúng khơng cùng lực lượng. Vì vậy, phân loại ( cùng kiểu ) đồng luân là phân loại thơ hơn phân loại đồng phơi ( đồng luân “yếu” hơn đồng phơi ) nên mọi bất biến đồng luân càng là bất biến đồng phơi. Chính vì thế, ta hy vọng sẽ dễ dàng xét các bất biến đồng phơi thơng qua bất biến đồng luân bằng cơng cụ đại số. II.NHĨM CƠ BẢN 1. Khái niệm đường 1.1. Định nghĩa Cho khơng gian tơpơ X, x,y ∈X, [ ]0,1I = ∈ với tơpơ cảm sinh từ tơpơ tự nhiên của . Ánh xạ liên tục XIf →: sao cho (0)x f= , (1)y f= được gọi là một đường trong X nối x và y ( hình vẽ ). Điểm x gọi là điểm đầu, y gọi là điểm cuối. GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 10 Ví dụ : x,y n∈ . Ánh xạ liên tục : sao cho ( ) (2 ) (1 )f t t t y t x= − + − là một đường trong n nối x và y vì (0)f x= và (1)f y= . 1.2. Định nghĩa Cho ánh xạ XIf →: là một đường trong X nối x và y. Đường XIf →: xác định bởi : )1( tff −= được gọi là đường đảo ngược của đường f nối y và x . 1.3. Định nghĩa Cho hai đường XIgf →:, thỏa mãn ( ) ( )01 gf = . Ánh xạ XIh →: xác định bởi : ⎩⎨ ⎧ ≤≤− ≤≤= 12/1),12( 2/10),2( )( ttg ttf th thì h là ánh xạ liên tục và được gọi là đường nối hai đường f với g . Kí hiệu : *h f g= . : nf I → X x y I f 0 1 I f X x y 0 1 X z x y I g f 0 1 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 11 2. Đường đĩng 2.1.Định nghĩa - Ánh xạ liên tục :f I X→ sao cho : ( ) ( ) 00 1f f x= = được gọi là một đường đĩng tại 0x . - Với hai đường đĩng f và g tại 0x , ta nĩi f tương đương với g khi f đồng luân với g , kí hiệu : f g . Lớp tương đương đồng luân của đường đĩng f được kí hiệu là [ ]f . - Ta đặt ( )1 0,X xπ là lớp tương đương đồng luân các đường đĩng tại 0x ( )1 0, ( , )X x C I Xπ = = [ ]{ f / f là đường đĩng tại }0x . 2.2. Tích các đường đĩng Cho f và g là hai đường đĩng tại 0x trong X . Ta định nghĩa tích f g∗ như sau: :f g I X∗ → ( ) ( ) ( ) 12 ;0 2 12 1 ; 1 2 f t t f g t g t t ⎧ ≤ ≤⎪⎪∗ = ⎨⎪ − ≤ ≤⎪⎩ f 0 1 0x X X 0 1 f 0x f g∗ g I GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 12 f*g là đường đĩng trong X nối hai đường f và g . 2.3. Tính chất Nếu 1 1, , ,f g f g là các đường đĩng tại 0x và 1 1 f f g g ⎧⎨⎩ thì 1 1f g f g∗ ∗ . Chứng minh : Giả sử ( ) 1 ( ) 1 F G f f g g ⎧⎪⎨⎪⎩ ( do 1 1 f f g g ⎧⎨⎩ ) Khi đĩ, dễ thấy, tại 0t I∈ thì ( ) ( )0 0, , ,F x t G x t là các đường đĩng tại 0x . Thật vậy : ta xét ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ →× → → YIXF YXf YXf : : :1 thì ta cĩ : 10 (0) , 0 ( , ) (1) , 1 f t F x t f t =⎧= ⎨ =⎩ mà 1,f f là các đường đĩng tại 0x nên suy ra ),( 0txF là đường đĩng tại 0x . Tương tự 10 (0) , 0 ( , ) (1) , 1 g t G x t g t =⎧= ⎨ =⎩ mà 1,g g là các đường đĩng tại 0x , nghĩa là: 1 1 0 0 (0) (1) (0) (1) g g x g g x = = = = ⇒ 1 0 0 ( ,0) (0) ( ,1) (1) G x g x G x g x = = = = nên suy ra 0( , )G x t là đường đĩng tại 0x . Ta xây dựng ánh xạ :H I I X× → thỏa mãn ( ) ( ) ( ), , , , ,H x t F x t G x t x I t I= ∗ ∀ ∈ ∀ ∈ Dễ thấy : • ∀ ∈t I , ( ),H x t là một đường đĩng tại 0x • H liên tục trên ×I I ( theo bổ đề Dán ) • 1 1( ,0) ( ,0)* ( ,0) * ( )H x F x G x f g x x I= = ∀ ∈ • ( ,1) ( ,1)* ( ,1) * ( )H x F x G x f g x x I= = ∀ ∈ Vậy ( ) 1 1 H f g f g∗ ∗ . GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 13 Từ tính chất trên ta xây dựng phép tốn trên ( )1 0,X xπ như sau: ( ) ( ) ( )1 0 1 0 1 0( ) : , , ,X x X x X xπ π π∗ × → [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ], f g f g f g∗ = ∗a gọi là phép nối tiếp hai đường đĩng trên ( )1 0,X xπ . 3. Khơng gian liên thơng đường 3.1. Định nghĩa 1 Khơng gian tơpơ X được gọi là khơng gian liên thơng đường (hay cịn gọi là khơng gian liên thơng tuyến tính) nếu mọi cặp điểm Xxx ∈10 , đều được nối với nhau bằng một đường nào đĩ trong X. 3.2. Định nghĩa 2 Tập con Y của khơng gian tơpơ X được gọi là tập liên thơng đường nếu Y là liên thơng đường với tơpơ cảm sinh từ X . 3.3. Tính chất Khơng gian liên thơng đường cĩ các tính chất sau : - Cho X,Y là hai khơng gian tơpơ đồng phơi. Khi đĩ X liên thơng đường khi và chỉ khi Y liên thơng đường. - Giả sử { }jX Jj∈ là một họ các tập con liên thơng đường của khơng gian tơpơ X. Nếu j j J X φ ∈ ≠I thì U Jj jX ∈ cũng liên thơng đường. - X,Y liên thơng đường YX ×⇔ liên thơng đường. - Mọi khơng gian liên thơng đường đều liên thơng. 4. Nhĩm cơ bản 4.1. Định nghĩa ( )1 0,X xπ cùng với phép tốn (*) trên nĩ tạo thành một nhĩm và nhĩm đĩ được gọi là nhĩm cơ bản của X tại 0x ( 0x được gọi là điểm cơ sở). Chứng minh : Ta dễ dàng kiểm tra những tính chất sau đây: GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 14 • [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )f g h f g h∗ ∗ = ∗ ∗ • ( ) 01 0, xX xe cπ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ • [ ] ( ) [ ] 11 0,f X x f fπ − ⎡ ⎤∀ ∈ ⇒ ∃ = ⎣ ⎦ sao cho [ ] [ ] [ ] [ ] 0 1 1 xf f f f c − − ⎡ ⎤∗ = ∗ = ⎣ ⎦ với :f I X→ ( ) ( )1x f x f x= −a Do vậy nên ta cĩ ( )1 0,X xπ là một nhĩm với 0[ ]xc là phần tử đơn vị, phần tử nghịch đảo của một đường đĩng chính là đường đĩng đĩ nhưng lấy theo chiều ngược lại. 4.2. Định lý Cho 0 1,x x X∈ . Giả sử tồn tại đường liên tục :u I X→ sao cho ( ) ( )0 10 ; 1u x u x= = Khi đĩ ta cĩ: ( ) ( )1 0 1 1, ,X x X xπ π≅ . Chứng minh : Xét ánh xạ ( ) ( )1 0 1 1: , ,u X x X xπ π∗ → [ ] [ ]( ) [ ] [ ] * *f u f u f u∗ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦a với :u I X→ ( ) ( ) 1x u x u x= −a Ta chứng minh *u là một đẳng cấu. Thật vậy: (i) Với mọi [ ] ),( 11 xXg π∈ ta cĩ : [ ] [ ] [ ] [ ]( )* * * *g u u g u u⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = [ ] [ ]( ) [ ]* * * *u u g u u⎡ ⎤⎣ ⎦ = [ ] [ ]( )* * *u u g u⎡ ⎤⎣ ⎦ ( [ ] [ ]( ) 1 0* * ( , )u g u X xπ⎡ ⎤ ∈⎣ ⎦ vì nếu H là phép đồng luân của những đường đĩng tại 1x trong ),( 1xX thì uHu ** là phép đồng luân của những đường đĩng tại 0x trong ),( 0xX ). Suy ra *u là tồn ánh (1). GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 15 (ii) Với mọi [ ] [ ] 1 0, ( , )f g X xπ∈ sao cho *u [ ]( ) [ ]( )*f u g= thì [ ] [ ] [ ] [ ]* * * *u f u u g u⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ] * * * * * * * * * * * * * * * * u u f u u u u g u u u u f u u u u g u u f g ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⇒ = Suy ra *u là đơn ánh (2). (iii) Với mọi [ ] [ ] 1 1, ( , )f g X xπ∈ thì : [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ] * ** * * * * * * * * * * u f u g u f u u g u u f u u g u ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )** * * *u f g u u f g⎡ ⎤ =⎣ ⎦ . Vậy *u là đồng cấu (3). Từ (1), (2), (3) suy ra *u là đẳng cấu hay ( ) ( )1 0 1 1, ,X x X xπ π≅ .  Từ định lý trên ta cĩ: Nếu X liên thơng đường thì ( ) ( )1 0 1 1, ,X x X xπ π≅ . Do đĩ ta đi đến khái niệm nhĩm cơ bản của một khơng gian X liên thơng đường. Ta kí hiệu : ( )1 Xπ . 5. Tính chất hàm tử của 1π 5.1 Định lý 1 Cho X và Y là hai khơng gian tơpơ. (i) Xét ánh xạ liên tục: :f X Y→ ( )0 0 0x y f x=a X 0x 1x u u f GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 16 Khi đĩ, f cảm sinh một đồng cấu nhĩm ( ) ( )1 0 1 0: , ,f X x Y yπ π∗ → (ii) ( ) ( )1 0,X X xId Idπ∗ = (iii) Với : ; :f X Y g Y Z→ → là các ánh xạ liên tục; 0x X∈ , ( )0 0y f x Y= ∈ , ( ) ( )0 0 0z g f x g y Z= = ∈o ta cĩ [ ] *** fgfg oo = . Tức là tam giác sau giao hốn: Chứng minh (i) Ta xây dựng f∗ như sau: ( ) ( )1 0 1 0: , ,f X x Y yπ π∗ → [ ] [ ]( ) [ ] l f l f l∗ =a o Ta cĩ: [ ] [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 f l l f l l f l l f l f l f l f l f l f l ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ = ∗ = ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ∗ = ∗ o o o o o Vậy f∗ là đồng cấu nhĩm. (ii) Theo cách xây dựng f∗ thì ta cĩ: f∗ ( )1 0,X xπ ( )1 0,Y yπ g∗ ( )g f ∗o fX Y 0x 0y 0 1 f lo l ( )1 0,Z zπ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 17 ( ) ( ) [ ] [ ]X XId l Id l l∗ = =o Do đĩ nên ta cĩ : ( ) ( )1 0,X X xId Idπ∗ = (iii) Trước hết ta xét bổ đề sau: Cho , :f g X Y→ , :h Y Z→ là các ánh xạ liên tục và ( ) F f g Khi đĩ ta cĩ h f h go o . Thật vậy với mỗi [ ]0,1t∈ ta xét ánh xạ :G X I Z× → thoả ( ) ( )( ), ,G x t h F x t= Hiển nhiên ta thấy : • G liên tục ( do h liên tục ). • ( ) ( )( ) ( )( ) ( ),0 ,0G x h F x h f x h f x= = = o . • ( ) ( )( ) ( )( ) ( ),1 ,1G x h F x h g x h g x= = = o . Do đĩ ( )G h f h go o . Vậy bổ đề được chứng minh. Trở lại phép chứng minh (iii) [ ] ( )1 0,l X xπ∀ ∈ , ta cĩ: ( ) [ ]( ) ( ) ( )g f l g f l g f l∗ = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦o o o o o ( ) [ ]( ) [ ]( )( )g f l g f l g f l∗⎡ ⎤⎡ ⎤= = =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦o o [ ]( ) [ ]( )( ) ( ) [ ]( )g f l g f l g f l∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤= = =⎣ ⎦o o Do vậy nên ( )g f g f∗ ∗∗ =o o . 5.2 Định lý 2 (i) Cho X và Y là hai khơng gian đồng phơi. Khi đĩ ta cĩ: ( ) ( )1 0 1 0, ,X x Y yπ π≅ . (ii) Cho X và Y là hai khơng gian bất kì thì ta cĩ : ( )( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 1 0, , , ,X Y x y X x Y yπ π π× ≅ ⊕ Chứng minh (i) Do X Y≈ nên tồn tại song ánh liên tục :f X Y→ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 18 Xét ánh xạ cảm sinh ( ) ( )1 0 1 0: , ,f X x Y yπ π∗ → [ ] [ ] X Xl f la o ( ) ( )1 0 1 0: , ,f Y y X xπ π∗ → [ ] 1 Y Yl f l−⎡ ⎤⎣ ⎦a o Dễ thấy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π π − − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ⇒ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎨ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ⇒ =⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎩ o o o o o o o o o o 1 0 1 0 1 1 , 1 , Y Y Y Y Y y X X X X X x f f l f f l f f l l f f Id f f l f f l f f l l f f Id Ta chứng minh đồng cấu cảm sinh *f là một đẳng cấu. Thật vậy : ⊕Với [ ] *KerflX ∈ ta cĩ [ ]( ) [ ]ε=Xlf* (với [ ]ε là phần tử đơn vị của ),( 01 yYπ ). [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ] [ ]ε εεε=⇒ =⇒=⇒=⇒ X XXXl flffflfflf *** oooo Suy ra *f là đơn cấu. (1) ⊕ Với mọi [ ] ),( 01 yYlY π∈ ta cĩ : [ ] [ ] [ ] ( )* **Y Y Yl f f l f f l⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦o ( 1 0[ ] ( , )Yf l X xπ∈o vì nếu Yl là phép đồng luân của các đường đĩng tại 0y trong ),( 0yY thì [ ]Yf lo là phép đồng luân của các đường đĩng tại 0x trong ),( 0xX ). Do đĩ *f là tồn cấu. (2) Từ (1), (2) suy ra f∗ là đẳng cấu hay ( ) ( )1 0 1 0, ,X x Y yπ π≅ . (ii) Xét ánh xạ: ( )( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 1 0: , , , ,X Y x y X x Y yθ π π π× → ⊕ [ ] [ ] [ ]( )1 2 ,l l lρ ρa o o trong đĩ : ( ) ( ) 1 2 : , : , X Y X x y x X Y Y x y y ρ ρ × → × → a a GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 19 Dễ thấy θ là một song ánh và đồng thời là một đồng cấu. Do vậy nên ta cĩ: ( )( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 1 0, , , ,X Y x y X x Y yπ π π× ≅ ⊕ . 5.3. Định lý 3 (i) Nếu , :f g X Y→ là các ánh xạ liên tục và ( )Ff g thì ta cĩ f g∗ ∗= . (ii) Nếu X và Y là hai khơng gian liên thơng đường và X Y thì ta cĩ ( ) ( )1 1X Yπ π≅ . Chứng minh (i) Với mỗi [ ]0,1t∈ xét ánh xạ :F X I Y∗ × → thoả ( ) ( )( ), ,F x t F l x t∗ = . Hiển nhiên ta thấy: • F∗ liên tục. • ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ),0 ,0F x F l x f l x f l x∗ = = = o . • ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ),1 ,1F x F l x g l x g l x∗ = = = o . Do đĩ ( )F f l g l ∗o o hay nĩi cách khác f g∗ ∗= . (ii) Do X Y nên tồn tại các ánh xạ liên tục : : : f X Y g X Y → → thỏa mãn tính chất: Y X f g Id g f Id ⎧⎨⎩ o o Khi đĩ ta cĩ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 Y Y Y X X X f g Id f g f g Id Id g f Id g f g f Id Id π π ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⇒ = = = ⇒ = = = o o o o o o Vậy ta cĩ ( ) ( )1 1:f X Yπ π∗ → là đẳng cấu (theo phần chứng minh định lý 2i). Do đĩ nên ( ) ( )1 1X Yπ π≅ . GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 20 Tĩm lại, chương này chúng ta đã xây dựng thế nào là hai khơng gian đồng luân. Từ đĩ nêu lên mối liên hệ giữa quan hệ đồng luân và đồng phơi: mọi khơng gian đồng phơi thì cùng kiểu đồng luân. Mặc khác chúng ta cũng đã xây dựng định nghĩa nhĩm cơ bản của khơng gian tơpơ X tại điểm 0x bằng phép tốn nối các đường đĩng trên ( )1 0,X xπ . Qua đĩ cho ta thấy được rằng nhĩm cơ bản là một bất biến tơpơ thơng qua việc chứng minh nĩ là bất biến đồng luân, tức là hai khơng gian cùng kiểu đồng luân thì cĩ các nhĩm cơ bản đẳng cấu (điều này cho phép chứng minh tính khơng đồng phơi của hai khơng gian tơpơ bằng cách chỉ ra nhĩm cơ bản của chúng là khơng đẳng cấu). GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 21 CHƯƠNG II: KNOT Trong phần này ta sẽ nghiên cứu knot (nút) – hình ảnh của một knot dây trong thực tế. Qua đĩ ta đi đến các khái niệm liên quan như cung, crossing, ảnh đối xứng, tích liên thơng, mã số,…. I. KNOT 1. Định nghĩa 1.1. Sự hiểu biết trực quan về knot Ta lấy một sợi dây rồi thắt một cái gút lỏng trên nĩ, sau đĩ nối hai đầu sợi dây lại ta sẽ được một knot. Ta hiểu một cách trực quan ban đầu: knot là một đường cong đĩng cĩ thắt gút trong khơng gian mà nĩ khơng cắt nhau tại bất cứ chỗ nào trên nĩ . Cùng một knot cĩ rất nhiều hình ảnh khác nhau biểu diễn nĩ (chẳng hạn như các hình bên dưới biểu diễn cho cùng knot hình số 8). Sau đây là cách định nghĩa knot thơng qua cơng cụ tơpơ ( phép đồng phơi ). 1.2. Định nghĩa Một khơng gian con K của 3R được gọi là một knot nếu nĩ là ảnh đồng phơi của đường trịn 1S . Tức là : (K là knot)⇔ ( 1:f S K∃ → là một phép đồng phơi). GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 22 1.3. Ví dụ Xét 1 1:Id S S→ Hiển nhiên Id là một phép đồng phơi từ 1S lên 1S . Do đĩ ta cĩ 1S là một knot. Ta gọi 1S là knot tầm thường ( unknot ). 1.4. Nhận xét • Một knot là một đường đĩng trong 3R . • Mọi knot trong 3R đều đồng phơi với nhau. Một vài knot thường gặp: Vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào chúng ta cĩ thể biết được những knot cĩ hình biểu diễn khác nhau cĩ phải là những knot khác nhau hay khơng? Để làm rõ điều này ta sẽ đi tìm hiểu về đồ thị của knot. 2. Đồ thị của knot Những hình vẽ dùng để biểu diễn cho knot được gọi là đồ thị của knot, nĩ là đại diện trong 2R của một vật thể ba chiều. 2.1. Định nghĩa Knot ba lá Knot hình số 8 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 23 Một đồ thị của knot trong 2R được tạo thành từ một số hữu hạn các cung và các crossing (nơi giao nhau giữa cung dưới và cung trên). Tại mỗi crossing, ta thu được thơng tin về sự chênh lệch độ cao giữa hai cung tương ứng trên knot. 2.2. Chú ý 2.2.1. Trong đồ thị của một knot khơng tồn tại những hình ảnh sau: 2.2.2. Trong một đồ thị nếu ta bỏ qua ý nghĩa của crossing thì khi đĩ đồ thị trở thành một vết trong 2R . 2.3. Nhận xét 2.3.1. Một knot cĩ thể được biểu diễn bởi nhiều đồ thị khác nhau. Chẳng hạn như ta cĩ ba đồ thị biểu diễn của knot hình số 8. đồ thị vết Cung trên Cung dưới Cung dưới crossing GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 24 2.3.2. Số crossing nhỏ nhất trong tất cả các đồ thị cùng biểu diễn một knot được gọi là số crossing của knot đĩ và được kí hiệu là c(K). 2.3.3. Dễ thấy rằng khơng cĩ knot nào cĩ số crossing là 1 và 2. Vì nếu một knot cĩ một crossing thì nĩ sẽ cĩ dạng giống như một trong các hình sau. Khi đĩ ta cĩ thể dễ dàng tháo crossing đơn này để thu được knot tầm thường. 2.3.4. Một đồ thị của knot K với số crossing bằng c(K) được gọi là đồ thị tối tiểu của nĩ. Ta thấy 1D và 2D đều là những đồ thị biểu diễn knot 3 lá nhưng số crossing của 1D lớn hơn số crossing của 2D . Đồng thời do (3) nên 2D được gọi là đồ thị tối tiểu của knot ba lá. 2.4. Ví dụ 1D 2 D c(K) =8 c(K) =5 c(K) =8 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khĩa Luận Tốt Nghiệp 25 3. Bài tốn chưa giải quyết Chứng minh rằng một đồ thị đã cho là đồ thị của knot tầm thường. Nhiều lý thuyết về knot cĩ cách nhìn nhận và giải quyết vấn đề khác nhau. Nội dung bài tốn được hiểu một cách đơn giản là : nếu như ta cho trước đồ thị của một knot thì ta cĩ thể kết luận đĩ là knot tầm thường khơng? Đương nhiên nếu lấy một knot từ một mẫu dây và cố gắng sắp xếp để tháo các gút trên knot đĩ ra. Nếu tất cả các gút trên sợi dây đều được tháo gỡ thì đĩ là knot tầm thường. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu như trong hai tuần mà ta vẫn khơng thể nào tháo gỡ hết được tất cả các gút trên sợi dây. Ta cũng khơng thể kết luận ._.