Nhập môn hình học Symplectic

nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học Cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Bình Thạnh, Trảng Bàng, Tây Ninh cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2009 Tác giả Dư Thị Phượng Hảo DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU  Đại số Lie của nhóm Lie G.  Không gian đối ngẫu của đại số Lie  .  Aut  Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên  . TeG Không gian tiếp xúc của nhóm Lie G tại phần tử đơn vị e.  2 *V Tập các 2-dạng ngoài trên không gian véctơ V.  2 V Tập các dạng song tuyến tính phản đối xứng trên V.  C M Không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp M.  MF Tập các hàm nhẵn trên đa tạp M.  0xF Tập các hàm nhẵn trên lân cận của điểm 0x thuộc đa tạp M.  s M Tập các s-dạng vi phân trên đa tạp M.  sdRH M Nhóm đối đồng điều de Rham thứ s trên đa tạp M.  Diff M Nhóm các phép vi phôi trên đa tạp M.  ,Sympl M  Nhóm các đồng cấu symplectic trên đa tạp M. ( )M Tập các trường véctơ khả vi trên đa tạp M.  sympl M Tập các trường véctơ symplectic trên đa tạp M.  ham M Tập các trường véctơ hamilton trên đa tạp M. F K-quỹ đạo chứa F của nhóm Lie G trong .  MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong suốt hai thế kỷ qua, các nhà khoa học đặc biệt quan tâm đến “cơ học giải tích”, trong toán học có thể kể đến các nhà khoa học như: Euler, Lagrange, Laplace, Hamilton, Jacobi, Poisson, Liouville, Poincaré, Birkhoff, Carathéodory, Lie, E. Cartan,… Từ đó, họ đã phát triển thành vài nhánh quan trọng của toán học đó là: hình học vi phân, tính toán các bất biến của lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie, lý thuyết về các phương trình đạo hàm riêng và phương trình vi phân thường,… Trong suốt nửa thế kỷ qua, việc nghiên cứu các cấu trúc hình học trên các đa tạp vi phân, chẳng hạn như cấu trúc Symplectic, Poisson, Contact,…lấy cơ học giải tích và cơ học cổ điển làm nền tảng, đã giới thiệu được nhiều phương pháp hiện đại của hình học vi phân, tạo một sức sống mới trong lĩnh vực nghiên cứu hình học. Cấu trúc Symplectic trên đa tạp vi phân là một 2-dạng đóng và không suy biến. Việc xây dựng cấu trúc Symplectic trên đa tạp vi phân hình thành khái niệm đa tạp Symplectic. Việc nghiên cứu các đa tạp Symplectic gọi là hình học Symplectic. Hình học Symplectic là một nhánh của hình học vi phân, có nguồn gốc từ cơ học cổ điển Hamilton và còn được gọi là tôpô Symplectic, song sau này tôpô Symplectic chỉ là một lĩnh vực liên quan đến những vấn đề quan trọng mang tính chất toàn cục trong hình học Symplectic. So với hình học Riemann, hình học Symplectic có một số điểm giống nhưng cũng có nhiều điểm khác. Hình học Riemann nghiên cứu các đa tạp vi phân được trang bị một 2-trường tenxơ đối xứng và không suy biến, trong khi đó hình học Symplectic nghiên cứu các đa tạp vi phân được trang bị một 2-dạng đóng và không suy biến. Khác đa tạp Riemann, đa tạp Symplectic phải có số chiều chẵn, định hướng được và không có tính chất bất biến địa phương về độ cong. Một điểm khác nữa là, không phải mọi đa tạp vi phân tùy ý nào cũng chấp nhận một cấu trúc Symplectic,... Hình học Symplectic cũng là một trong những chuyên đề tự chọn trong chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành toán Hình học – Tôpô của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tuy nhiên cho đến nay chuyên đề này vẫn chưa được trình bày. Do đó chúng tôi quyết định nghiên cứu những tính chất cơ bản nhất của hình học Symplectic với mục đích xây dựng được cấu trúc Symplectic trên các đa tạp vi phân thông thường. Vì vậy đề tài nghiên cứu của chúng tôi mang tên: “NHẬP MÔN HÌNH HỌC SYMPLECTIC”. 2. Mục đích Giới thiệu tổng quan các kiến thức cơ bản nhất về đa tạp Symplectic. Vấn đề này có nhiều ứng dụng trong toán học, cũng như trong vật lý cơ học nhưng lại ít được biết đến và không có một tài liệu tham khảo nào bằng tiếng việt. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đa tạp Symplectic và tác động của nhóm Lie trên đa tạp Symplectic. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Hy vọng luận văn sẽ góp một tài liệu tham khảo cho sinh viên đại học ngành toán các năm cuối và học viên cao học ngành Hình học và Tôpô. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể: Phần mở đầu: Giới thiệu về đề tài nghiên cứu. Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trình bày các kiến thức về đa tạp vi phân, đại số Lie và nhóm Lie. Chương 2: Đa tạp Symplectic. Trình bày các nội dung chính: không gian véctơ Symplectic, đa tạp Symplectic, đồng cấu symplectic, đa tạp con của đa tạp Symplectic, trường véctơ symplectic, trường véctơ hamilton và các định lí quan trọng là Darboux, Moser. Chương 3: Tác động của nhóm Lie trên đa tạp Symplectic. Trình bày tác động symplectic, tác động hamilton và xây dựng cấu trúc symplectic trên K-quỹ đạo. Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu tiếp sau đề tài. Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các kí hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các kí hiệu). Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày lại các kiến thức làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài. Các định lí, hệ quả và các kết quả chỉ phát biểu không chứng minh. Độc giả nào quan tâm đến chứng minh hoặc muốn tìm hiểu sâu hơn về đa tạp vi phân, nhóm Lie, đại số Lie xin xem thêm các tài liệu [1], [2], [3], [7] và [8]. 1.1. Đa tạp vi phân 1.1.1. Đa tạp tôpô Giả sử M là một không gian tôpô Hausdorff có cơ sở đếm được. Ta gọi M là đa tạp tôpô n-chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian n-chiều ,n nghĩa là với mọi ,x M tồn tại lân cận mở U của x và đồng phôi :U V  từ U lên tập mở .nV   1.1.2. Atlat khả vi - Cấu trúc khả vi Cặp  ,U  xác định như thế được gọi là một bản đồ địa phương quanh x trên M, hay gọi tắt là bản đồ. Mỗi bản đồ  ,U  quanh x U xác định duy nhất một hệ hàm 1,..., nx x trên U nhận giá trị thực sao cho  1( ) ( ),..., ( ) ,ny x y x y  .y U  Ta nói  1; ,..., nU x x là hệ tọa độ địa phương quanh x. Một atlat (tập bản đồ) khả vi lớp kC  1 { }k    là một họ   , :i iU i I  các bản đồ thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) Họ  iU là một phủ mở của M; (ii) Với hai bản đồ  ,i iU  và  , , ,j j i jU U U   ánh xạ 1j i   xác định trên  i i jU U  là ánh xạ khả vi lớp kC từ  i i jU U  lên  .j i jU U  Hai tập bản đồ   1 , :i iU i I C và   2 , :j jV j J C khả vi lớp kC được gọi là tương thích với nhau nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ khả vi lớp kC . Quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đương trên họ các tập bản đồ khả vi lớp .kC Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp kC trên M. 1.1.3. Đa tạp vi phân Đa tạp tôpô n-chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp kC cho trên nó được gọi là một đa tạp vi phân n-chiều lớp .kC Nếu k = , cấu trúc khả vi tương ứng được gọi là cấu trúc nhẵn trên M. Khi đó ta gọi M là đa tạp nhẵn. 1.1.4. Đa tạp con Cho P là tập con của đa tạp khả vi n-chiều M. Ta nói P là đa tạp con k-chiều của M nếu với mọi ,x P tồn tại bản đồ  ,U  của M, : nU U    sao cho ( ) 0x  và    {0} .kU P U     1.1.5. Tích các đa tạp vi phân Cho các đa tạp khả vi M với atlat  ,i i i IU  A= và N với atlat  , .j j j JV  B = Trên không gian tôpô Hausdorff M N xét atlat khả vi   , . ,i j i j i I j J U V       A B = thì M N là đa tạp khả vi và gọi là đa tạp tích của hai đa tạp M và N. Chú ý: dim ( )M N  dim M + dim N. 1.2. Ánh xạ khả vi giữa các đa tạp vi phân 1.2.1. Định nghĩa Giả sử M, N là hai đa tạp vi phân lớp kC với số chiều m, n tương ứng. Ánh xạ liên tục :f M N được gọi là khả vi lớp kC tại p M nếu với mọi bản đồ  ,U  quanh p và  ,V  quanh f(p) = q mà  f U V thì ánh xạ    1 :f U V      khả vi tại điểm ( ) .mp  Ánh xạ f gọi là khả vi lớp kC nếu nó khả vi lớp kC tại mọi điểm .p M 1.2.2. Nhận xét Nếu :f M N và g : N P là hai ánh xạ khả vi lớp kC thì g f : M P là ánh xạ khả vi lớp .kC Ánh xạ :f M N được gọi là vi phôi lớp kC nếu f là song ánh và cả f, 1f  đều khả vi lớp .kC Hợp thành của hai vi phôi lại là một vi phôi. Từ đây về sau, để cho ngắn gọn, thuật ngữ “khả vi” có ý nghĩa là “khả vi lớp kC ” với một k nào đó  1 { }k    đủ cần thiết, khi ,k   từ “khả vi” được thay bởi từ “nhẵn”. Với mỗi 0x thuộc đa tạp nhẵn M, mỗi { },k    ta kí hiệu:    :M f fF là hàm nhẵn trên M   0 :x f fF là hàm nhẵn trong lân cận của 0x    :k M f fF là hàm khả vi lớp kC trên M   0 : k x f fF là hàm khả vi lớp kC trong lân cận của 0x . 1f   M N U f V   m(U )   n(V )   1.3. Không gian tiếp xúc – Phân thớ tiếp xúc – Ánh xạ tiếp xúc 1.3.1. Véctơ tiếp xúc Cho M là một đa tạp vi phân n-chiều, ta kí hiệu I a,b – là một trong các tập sau:         a,b , a,b , a,b , a,b . Xét ánh xạ liên tục   c : I M , t c t .  Khi I là một trong các tập         a,b , a,b , a,b , a,b , ta bảo c là đường cong khả vi trên M nếu tồn tại 0  đủ nhỏ và ánh xạ khả vi : ( , )c a b M    sao cho . I c c Một véctơ tiếp xúc với c tại  0 0x c t là một ánh xạ     0 0: t t X x d f c f Xf dt       F Ta gọi Xf là đạo hàm của f theo hướng của véctơ X hay đạo hàm của f theo hướng của c tại  0 0x c t . Tính chất Với mọi  0, ,f g xF ta có  X(f  g) = Xf  Xg;  X( f) = X(f);         00 0. . ( ) ( ). ; , .X f g Xf g x f x Xg f g x   F (Quy tắc Newton – Leibniz) 1.3.2. Không gian tiếp xúc Cho M là đa tạp vi phân n-chiều và 0x M là một điểm tùy ý. Véctơ tiếp xúc của M tại 0x là một véctơ tiếp xúc X của một đường cong khả vi c nào đó tại 0x sao cho    0 0 0 c t x t I .  Không gian tiếp xúc của M tại 0x là tập hợp các véctơ tiếp xúc của M tại 0x , kí hiệu là 0x T M và là không gian véctơ trên  với các phép toán ( , ) ; ( , )X Y X Y X X    xác định như sau   X Y f Xf Yf ;       X f Xf ;  0 0 , , ( ).x X,Y T M f x      F Không gian tiếp xúc 0x T M là không gian véctơ thực n-chiều với cơ sở là n , ,..., . x x xx x x          0 0 01 2 1.3.3. Phân thớ tiếp xúc Đặt x x M TM T M ,    TM cùng với phép chiếu : ,TM M  ( ) :xX T M X x  được gọi là phân thớ tiếp xúc trên M. 1.3.4. Trường véctơ Cho M là đa tạp vi phân n-chiều, TM là phân thớ tiếp xúc trên M. Cho U là tập mở trong M và xét ánh xạ : x x X U TM x X T M   X như thế được gọi là trường véctơ trên U. Khi U = M ta nhận được khái niệm trường véctơ trên M. Xét  ,U  là bản đồ địa phương với các tọa độ cho bởi    1. (.),..., (.) .nx x  Khi đó mỗi trường véctơ X trên U đều được viết dưới dạng 1 , n i i i X x       ở đó :i U  là các hàm trên U, 1,2,..., .i n Ta bảo X là trường véctơ khả vi trên U nếu i là hàm khả vi trên U, với mọi i =1,2,…,n. Tập các trường véctơ khả vi trên U được kí hiệu là ( ).U Trường véctơ X trên M gọi là khả vi nếu U X khả vi trên U với mọi bản đồ  ,U  của M. Tập các trường véctơ khả vi trên M được kí hiệu là ( )M . 1.3.5. Tích Lie của hai trường véctơ Với , ( ),X Y M tích Lie của X và Y, kí hiệu [X,Y], xác định như sau:      , :X Y f X Yf Y Xf  ,  .f MF Tương tự có thể xác định [X,Y] đối với , ( ).X Y U 1.3.6. Ánh xạ tiếp xúc Giả sử M, N là hai đa tạp vi phân và :M N  là ánh xạ khả vi. Với mỗi ,x M xét ánh xạ  ( ): ,x x x xT T M T N X T X   xác định như sau:      : , ( ) .xT X f X f f x         F Khi đó xT  là một ánh xạ tuyến tính. Từ đó, ta xác định được ánh xạ: :TM TN X X       với      : , .X f X f f N     F Ta gọi  là ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi . 1.3.7. Phân bố Cho đa tạp vi phân n-chiều M và đa tạp con mở U của M. Một phân bố r- chiều (0 )r n  trên U là một tương ứng : xE x E liên kết mỗi điểm x U với không gian con r-chiều xE của .xT M Trường véctơ khả vi X trên U gọi là thuộc phân bố E nếu , .xxX E x U   Phân bố r-chiều E gọi là khả vi nếu tồn tại r trường véctơ khả vi 1,..., rX X trên U sao cho 1 ,..., , .x xrxE X X x U   Lúc đó, ta cũng nói E được sinh bởi 1,..., .rX X Phân bố r-chiều E gọi là khả tích nếu với mọi x U đều tồn tại một đa tạp con r-chiều N của U chứa x sao cho , .y yE T N y N   Khi U = M ta có các khái niệm phân bố, phân bố khả vi, phân bố khả tích trên M. 1.3.8. Định lí 1.3.8.1. Định lí Flow-Box Nếu 1,..., rX X là các trường véctơ nhẵn trên đa tạp nhẵn n-chiều M thỏa mãn [ , ] 0, ,i jX X i j  và nếu với p M mà r trường véctơ    1 ,..., rX p X p là độc lập tuyến tính trong pT M thì tồn tại một hệ tọa độ địa phương  1 2; , ,..., nU x x x trên lân cận mở U của p sao cho 1 1 . U U r rX ,X x x       Hệ quả (định lí Flow-Box) Cho M là đa tạp nhẵn và E là phân bố nhẵn của M. Khi đó E là khả tích nếu E đóng đối với tích Lie các trường véctơ, tức là với hai trường véctơ tùy ý X, Y thuộc E đều có [ , ]X Y cũng thuộc E. 1.3.8.2. Định lí Frobenius địa phương Cho M là đa tạp nhẵn n-chiều, E là phân bố r-chiều nhẵn và khả tích của M. Khi đó với mọi p M có một lân cận U của p và tồn tại hệ tọa độ địa phương  1 2 1; , ,..., , ,...,r n rU x x x y y  sao cho UE được sinh bởi các trường véctơ 1 2 , ,..., . rx x x       1.4. Nhóm một tham số – Đạo hàm Lie – Hợp luân và trường véctơ 1.4.1. Nhóm 1-tham số 1.4.1.1. Đường cong tích phân Giả sử X là một trường véctơ khả vi trên đa tạp M. Đường cong khả vi c(t) trên M được gọi là đường cong tích phân của trường X nếu đối với mỗi giá trị của tham số 0t , véctơ   0( ) 0 .c tX c t Ta gọi   0( ) 0c t X c t là véctơ tiếp xúc c tại 0( ).x c t Hơn nữa, với mỗi 0 ,p M tồn tại duy nhất một đường cong tích phân c(t) của trường X, xác định đối với ,t  với 0  nào đó sao cho   00 .c p 1.4.1.2. Nhóm 1- tham số toàn cục Ta gọi nhóm 1 - tham số các phép vi phôi trên M (hay nhóm 1- tham số toàn cục) là một ánh xạ : M M   , ( , ) ( , )t x t x (còn viết là ( )t x ) thoả mãn hai tính chất sau: (i) Với mọi t ,     t . t ,. : M M  ,  tx x là vi phôi; (ii) Với t ,s , p M ,  ta luôn có    t s t sp p .     Mỗi nhóm 1- tham số các phép vi phôi  t t  trên M sinh ra trường véctơ X bằng cách sau: lấy mỗi ,p M xét đường cong    tx t p mà được gọi là quỹ đạo của điểm p. Ta xác định  : 0 .pX x Quỹ đạo  t p là đường cong tích phân đi qua p của trường véctơ X. 1.4.1.3. Nhóm 1- tham số địa phương Kí hiệu  , , 0I      và U là tập con mở của M. Nhóm 1 - tham số địa phương các vi phôi địa phương trên M xác định trên I U  là một ánh xạ : ,I M M   ( , ) ( , )t x t x (còn viết là ( )t x ) thoả mãn hai tính chất sau: (i) Với mọi t I , t :U M ,   tx x là một vi phôi từ U lên tập mở  t U M  ; (ii) Với t , s, t s I  và nếu  sp U , p U  thì    t s t sp p .     Để đơn giản ta thường dùng kí hiệu ( )t để chỉ nhóm 1-tham số địa phương mà không chỉ rõ tập U. Rõ ràng, tương tự như nhóm 1-tham số toàn cục ( )t cũng sinh ra trường véctơ X xác định trên U bởi (0),pX x ở đó ( ) ( ).tx t p 1.4.1.4. Định lí Nếu X là trường véctơ khả vi trên đa tạp M thì với mỗi 0 ,p M tồn tại một lân cận U của 0,p một số 0  và nhóm 1- tham số địa phương các phép vi phôi địa phương : , t U M t I   sao cho ( )t sinh ra trường véctơ X đã cho. Khi đó ta cũng nói X sinh ra nhóm 1-tham số địa phương các vi phôi địa phương t trong lân cận của điểm 0.p Nếu X sinh ra nhóm toàn cục thì X được gọi là trường véctơ đầy. 1.4.2. Hợp luân và trường véctơ Giả sử M là một đa tạp và :M M   là một ánh xạ. Với mỗi ,t ta đặt ( ) : ( , ), .t x x t x M    1.4.2.1. Định nghĩa hợp luân Ánh xạ  được gọi là một hợp luân nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau: :t M M  là một vi phôi, ;t  0 .Mid  Khi cho một hợp luân ta được một trường véctơ phụ thuộc thời gian, tức là một họ các trường véctơ  , tX t xác định như sau: ( ) ( ) ;t s t s d X x y ds    1, ( ),tx M y x    nghĩa là .t t t d X dt    Ngược lại khi cho một trường véctơ phụ thuộc thời gian và M compăc thì tồn tại một hợp luân  thỏa mãn phương trình trên. Giả sử M là compăc, ta có sự tương ứng 1 1 sau: {Hợp luân trên M} 1 1{Trường véctơ phụ thuộc thời gian trên M} , , t tt X t     1.4.2.2. Phép nổi (flow) của trường véctơ Nếu tX X không phụ thuộc vào t thì hợp luân tương ứng với nó gọi là phép nổi (flow) của X, kí hiệu là exptX, nghĩa là {exp : , }tX M M t  là một họ các phép vi phôi nhẵn duy nhất thỏa mãn:     0 exp ; exp ( ) exp ( ) , . Mt tX id d tX p X tX p p M dt        1.5. Dạng vi phân trên đa tạp 1.5.1. Không gian đối tiếp xúc – Phân thớ đối tiếp xúc Cho M là đa tạp vi phân n-chiều, 0x M là một điểm tùy ý và 0xT M là không gian tiếp của M xúc tại 0x có cơ sở là n , ,..., . x x xx x x          0 0 01 2 Khi đó không gian đối ngẫu của 0 T Mx là 0 0 * { : /T M T Mx x   là ánh xạ tuyến tính} được gọi là không gian đối tiếp xúc của M tại 0.x Mỗi phần tử của 0T Mx  gọi là véctơ đối tiếp xúc tại 0.x Đương nhiên, cơ sở của 0xT M  là   0 0 0 1 2, ,..., ndx dx dxx x x đối ngẫu của cơ sở n , ,..., . x x xx x x          0 0 01 2 Đặt *x x M T M T M    , T M cùng với phép chiếu : ,T M M    * ( ) :xT M x     được gọi là phân thớ đối tiếp xúc trên M. 1.5.2. Vi phân toàn phần của hàm khả vi Cho U là tập mở trong n và ánh xạ khả vi : .f U  Vi phân toàn phần của f tại  1,..., nx x x U  được xác định bởi 1 ( ) ( ) . n i i i f df x x dx x     Cho f là một hàm nhẵn trên đa tạp nhẵn M. Vi phân của f tại x M là ánh xạ tuyến tính    : , .x x x x x xdf T M X df X X f   1.5.3. Dạng vi phân Cho M là đa tạp vi phân n-chiều lớp , 1.kC k  Một dạng vi phân  bậc s (còn gọi là s-dạng  ) trên M là quy tắc tương ứng mỗi p M với s-dạng tuyến tính phản đối xứng ( )p trên , (0 ).pT M s n  Mỗi hàm :f M  được gọi là dạng vi phân bậc 0. 1.5.4. Biểu diễn địa phương của dạng vi phân Giả sử  1; ,..., nU x x là một bản đồ địa phương trên đa tạp khả vi M, ix       (i 1,2,...,n) là các trường véctơ cơ sở và  idx (i 1,2,...,n) là các dạng vi phân bậc nhất trên U, đối ngẫu với . ix       Khi đó mỗi dạng vi phân  bậc s trên U được biểu diễn dạng: 1 1 1 ... 1 ... ( ) ( ) ... s s s i i i i i i m p p dx dx         ở đó 1... si i  là các hàm xác định trên U. Dạng vi phân  được gọi là khả vi lớp ( )lC l k nếu với mỗi p M và mỗi hệ tọa độ địa phương  1; ,..., nU x x tùy ý quanh p, các hàm 1... ( ). s l i i C U  Mỗi dạng vi phân  bậc   0s s n  trên M còn có thể xem là ánh xạ (mà ta vẫn kí hiệu bởi  ) từ ( ) ... ( )M M   (s lần) đến tập các hàm trên M. Cụ thể    1 1: ,..., ,...,s sX X X X  xác định như sau     1 1 1,..., ( ) ( ) ,..., , ,..., ( ).p ps s sX X p p X X X X M     Rõ ràng,  khả vi lớp lC khi và chỉ khi    1,..., ,sX X M F với mọi 1,..., ( ).sX X M Tập các dạng vi phân bậc s lớp lC trên M được kí hiệu là ( ).sl M Tập này có cấu trúc không gian véctơ thực với các phép toán tuyến tính định nghĩa theo từng điểm. Đặt     0 .sl l s M M     Khi đó  l M trở thành một  đại số với phép nhân ngoài được xác định theo từng điểm, tức là với , ,k sl l   tích ngoài k s l    của  và  được cho như sau  ( ) ( ) ( ),p p p      .p M  Từ đây về sau, để đơn giản ta kí hiệu ( )s M là tập các s-dạng trên M khả vi đến một lớp nào đó đủ để thực hiện các phép toán. 1.5.5. Tính chất Cho các dạng vi phân k-dạng , s-dạng , r-dạng  trên đa tạp vi phân M  0 , , .k s r n  Khi đó:       . ; 1 ; k s                                     nếu .s r 1.6. Vi phân ngoài của dạng vi phân 1.6.1. Định nghĩa Giả sử  là s-dạng trên đa tạp vi phân M  0 dim .s n M   Vi phân ngoài của  là (s+1)-dạng d thỏa mãn các tính chất sau:   d d d       (với  là k-dạng) nếu ;k s   ( 1) ;sd d d             Nếu f là hàm khả vi trên M thì df chính là vi phân của hàm f xác định bởi ( ) ,df X Xf với  ;X M   0,d df  f là hàm khả vi trên M. Chú ý:   0d d  với  là r-dạng bất kì  0 dim .r n M   1.6.2. Kéo lùi dạng vi phân 1.6.2.1. Định nghĩa Cho M, N là hai đa tạp vi phân và :M N  là khả vi. Giả sử  là s-dạng vi phân trên N. Khi đó   là s-dạng vi phân trên M được xác định như sau    1 1 1,..., : ,..., ; ,..., ( ).s s sX X X X X X M           1.6.2.2. Tính chất Nếu :f M  là hàm khả vi thì .f f    Nếu còn có ánh xạ khả vi :g N P thì   .g g      Cho ,  là các dạng vi phân trên N. Khi đó:   ;                          nếu ,  là các s-dạng. Vi phân ngoài d giao hoán với , tức là    .d d     1.6.3. Tích trong và đạo hàm Lie 1.6.3.1. Tích trong Cho trường véctơ X và s-dạng vi phân  trên đa tạp khả vi M. Khi đó tích trong của X với  là (s-1)-dạng vi phân, kí hiệu là Xi  hoặc X  xác định bởi    1 1 1 1,..., , ,..., .s sX X X X X X   Tính chất      ( 1) ,sX X X             với s-dạng  . 1.6.3.2. Đạo hàm Lie  Giả sử X là trường véctơ trên đa tạp vi phân M. Ta định nghĩa:  Đạo hàm Lie của hàm :f M  dọc theo X là : ;XL f Xf  Đạo hàm Lie của trường véctơ Y dọc theo X là  : , ;XL Y X Y  Đạo hàm Lie của s-dạng  dọc theo X là  :XL X d d X     (công thức Cartan).  Giả sử t là phép nổi của X. Ta có:  0 0 1 lim ;X t t t t d L t dt                .t t X d L dt       Giả sử : , ( ) ( , )tM M p p t     là hợp luân của trường véctơ phụ thuộc thời gian , .tX t Khi đó:  tt t X d L dt      ;  Nếu , tt   là một họ nhẵn các s-dạng thì . t t t t t X t dd L dt dt              1.6.4. Liên hệ giữa tích trong, vi phân ngoài và đạo hàm Lie Cho X là trường véctơ,  là s-dạng vi phân, f là hàm trên đa tạp vi phân M. Khi đó:       ; , ( ) ( ). X X X Y Y L f X df X Y L Y Y L X L L X                  1.6.5. Nhóm đối đồng điều de Rham 1.6.5.1. Định nghĩa Cho  là dạng vi phân bậc s trên đa tạp vi phân M  0 dim .s n M   Ta định nghĩa:  là dạng đóng nếu s n và 0,d  tức là 1( ) : ker : ( ) ( ) .s s sZ M d M M        là dạng khớp nếu 0s  và ,d   là (s-1)-dạng, tức là 1( ) : Im : ( ) ( ) .s s sB M d M M        Nhóm đối đồng điều de-Rham thứ s của M là ( )( ) . ( ) s s sdR Z MH M B M  Cho s-dạng đóng  thì   1( ) ( ).s sdRd M H M      1.6.5.2. Đồng cấu nhóm cảm sinh Cho ánh xạ khả vi :f M N trên các đa tạp vi phân. Khi đó f cảm sinh ra đồng cấu nhóm : ( ) ( )s sdR dRf H N H M   xác định bởi   , ( ).sf f Z N        1.6.5.3. Toán tử đồng luân  Ánh xạ đồng luân Cho M, N là hai không gian tôpô và , :f g M N là các ánh xạ liên tục. Ta nói ,f g đồng luân với nhau, kí hiệu f g nếu tồn tại ánh xạ liên tục  : 0;1F M N  sao cho    ,0 ( ), ,1 ( ), .F x f x F x g x x M     Toán tử đồng luân Giả sử , :f g M N là các ánh xạ đồng luân với nhau. Tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính    1: s sh N M   0 s n  sao cho    d h h d g f       thỏa mãn với mọi s-dạng  được gọi là toán tử đồng luân giữa f  và .g 1.7. Đại số Lie và nhóm Lie 1.7.1. Đại số Lie 1.7.1.1. Định nghĩa Cho  là không gian véctơ trên trường K. Ta bảo  là một đại số Lie trên K hay K – đại số Lie nếu trên  đã cho một phép nhân mà gọi là móc Lie:  .,. :        , ,x y x y (tích Lie hay móc Lie của X và Y) thỏa mãn các tiên đề sau đây: (L1) Móc Lie là toán tử song tuyến tính. Tức là:             , , , ; , , , ; x y z x z y z x y z x y x z x, y, z , K.                     , (L2) Móc Lie phản xứng. Tức là: [ , ] 0, .x x x   (L3) Móc Lie thoả mãn đồng nhất thức Jacôbi. Tức là:        [ , ], [ , ], [ , ], 0 .x y z y z x z x y x, y, z     Nhận xét Nếu K là trường có đặc số khác 2 thì (L2) tương đương với  2 :[ , ] [ , ],L x y y x x, y     . Nếu [x,y] = 0, x, y  thì ta bảo móc Lie tầm thường và  là đại số Lie giao hoán. Số chiều của đại số Lie  chính là số chiều của không gian véctơ  . 1.7.1.2. Đại số Lie con và Ideal Cho  là một đại số Lie và  là không gian con của . Ta bảo   là đại số Lie con của  nếu [ , ] .     là ideal của  nếu [ , ] .   Ở đó [ , ]  (tương ứng [ , ]  ) là không gian con sinh bởi các phần tử có dạng [x,y], với mọi ,x y (tương ứng ,x y  ). 1.7.1.3. Đồng cấu và đẳng cấu đại số Lie Cho 1 và 2 là hai K– đại số Lie và 1 2:f   là một ánh xạ. Ta bảo f là một đồng cấu đại số Lie nếu thỏa mãn các điều kiện sau:  f là ánh xạ K– tuyến tính;  f bảo toàn móc Lie, tức là       1[ , ] , , .f x y f x f y x, y      Nếu f còn là một song ánh thì f được gọi là đẳng cấu đại số Lie. Khi 1 2:f   là đồng cấu đại số Lie thì Kerf là một ideal của 1 và Imf là đại số Lie con của .2 1.7.2. Nhóm Lie Tập hợp G được gọi là một nhóm Lie nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) G là một nhóm; (ii) G là đa tạp khả vi; (iii) Phép toán nhóm   1,G G G x,y xy   khả vi. Nhóm Lie G được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán. Số chiều của nhóm Lie G chính là số chiều của đa tạp khả vi G. Các ví dụ a) Đường tròn đơn vị S1 với phép toán (.) (có thể xem S1 là tập hợp các số phức có môđun bằng 1) là một nhóm Lie giao hoán. b) Nếu 1 2 mG ,G ,...,G là những nhóm Lie thì 1 2    mG G G ... G là một nhóm Lie nếu ta cho nó cấu trúc nhóm tích và cấu trúc đa tạp vi phân tích của các cấu trúc G và ta nói rằng G là nhóm Lie tích của các , 1,2,..., .iG i m 1.7. 3. Đại số Lie tương ứng của nhóm Lie đã cho Cho G là một nhóm Lie. Ta kí hiệu eT G là không gian tiếp xúc của G tại điểm đơn vị e G. Không gian này thường được kí hiệu là  . Khi đó  trở thành một đại số Lie với móc Lie được xác định bởi toán tử như sau: [ , ] ,X Y XY YX X, Y    . Tức là:        X ,Y f X Yf Y Xf , X, Y f G .     F , Như vậy, mỗi nhóm G xác định duy nhất một đại số Lie  và  được gọi là đại số Lie của G hay đại số Lie tương ứng với G. Ngoài cách định nghĩa trên, ta còn có thể xem  như là đại số Lie con của ( )G gồm các trường véctơ bất biến trái trên G. Cách xây dựng  như sau: Với mọi g G. Đặt : ,gL G G x gx  và : ,gR G G x xg  lần lượt là phép tịnh tiến trái và phép tịnh tiến phải theo g thì gL và gR là các vi phôi trên G. Trường véctơ X được gọi là bất biến trái nếu  * , g L X X g G.   Điều này đồng nghĩa với biểu thức  *g gxxL X X , x G, g G.     Tương tự, trường véctơ X được gọi là bất biến phải nếu  * g R X X , g G.  Tức là:  *g xgxR X X , x G, g G.     Tập các trường véctơ khả vi ( )G trên G là một đại số Lie thực với các phép toán xác định như sau               , , ; , . g gg gg X Y X Y g G; X X g G, X Y f X Yf Y Xf ; X, Y G f G                        , F Khi đó X (G )  X là trường véctơ bất biến trái} là đại số Lie con của ( )G và gọi là đại số Lie của nhóm Lie G. Đôi khi ta kí hiệu là =Lie(G). 1.7.4. Ánh xạ mũ Cho G là nhóm Lie,  = Lie(G) là đại số Lie của G. Khi đó với mỗi X  sẽ sinh ra nhóm con 1-tham số (toàn cục) các phép biến đổi trên G. Tức là tồn tại duy nhất nhóm con   x t / t G  thỏa mãn các tính chất sau:  ( ) 0 Gi x = e (đơn vị của G);           ( ) ( ) ; ( ) 0 ; ( ) . e x t ii x t + s x t x s , t, s iii x X iv x t X         và còn được gọi là nhóm con 1 – tham số xác định trên G. Ánh xạ exp : , exp( ) : (1)G X X x  được gọi là ánh xạ mũ. Chú ý: exp( ) ( ).tX x t Chương 2 ĐA TẠP SYMPLECTIC Xuyên suốt trong phần này, nếu không giải thích thêm thì tất cả các không gian véctơ là thực, hữu hạn chiều, tất cả các ánh xạ là nhẵn và tất cả các đa tạp là nhẵn, Hausdorff, thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai. Các khái niệm, định lí, mệnh đề, hệ quả,…được trích dẫn từ các tài liệu [6], [8] và [10]. Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về không gian véctơ Symplectic, đa tạp Symplectic với một vài ví dụ cụ thể, xây dựng dạng symplectic trên phân thớ đối tiếp xúc của một đa tạp nhẵn cho trước. Ở địa phương, mọi đa tạp Symplectic 2n- chiều đều như nhau, điều này được khẳng định trong định lí Darboux. Trên đa tạp Symplectic, chúng tôi còn nghiên cứu một vài tính chất cơ bản của trường véctơ symplectic và hamil._.ton. Sự tương đương giữa các cấu trúc symplectic được thể hiện thông qua các định lí Moser. 2.1. Không gian véctơ Symplectic 2.1.1. Cấu trúc symplectic tuyến tính 2.1.1.1. Ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng Cho V là một không gian véctơ m-chiều trên  và :B V V  là một ánh xạ song tuyến tính, nghĩa là ( , ) ( , ) ( , );B x y z B x z B y z      ( , ) ( , ) ( , );B x y z B x y B x z      với mọi ,  ; , , .x y z V Ánh xạ B được gọi là phản đối xứng nếu ( , ) ( , ); , .B x y B y x x y V    Kí hiệu   2 : : |V B V V B   là song tuyến tính phản đối xứng} Trên  2 V ta định nghĩa các phép toán: 1 2 1 2 ( )( , ) ( , ) ( , ); ( )( , ) ( , ); B B x y B x y B x y B x y B x y        với mọi , ; .x y V   Lúc đó  2 V lập thành một không gian véctơ. 2.1.1.2. Cấu trúc symplectic tuyến tính Mỗi dạng song tuyến tính phản đối xứng  2B V được gọi là cấu trúc symplectic tuyến tính (hay dạng không suy biến) nếu với mọi 0 ,x V  tồn tại y V sao cho ( , ) 0.B x y  Ta còn gọi B là dạng symplectic trên V. Chú ý: điều kiện trong định nghĩa x V 0 thì : ( , )y V B x y   0 tương đương với điều kiện ( , ) ,B x y y V  0 thì x . 0 2.1.1.3. Định lí (dạng chuẩn của ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng) Giả sử B là ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng trên không gian véctơ V (dimV = m). Khi đó tồn tại một cơ sở  1 1 1,..., , ,..., , ,...,k n nu u e e f f trên V sao cho:  ( , ) 0iB u v  , ,1 ;v V i k     ( , ) 0 ( , )i j i jB e e B f f  , 1 ,i j n  ;  ( , ) ,1 , .i j ijB e f i j n   Chú ý  Cơ sở trong định lí trên không duy nhất, thường được gọi là cơ sở chính tắc đối với B.  Ma trận của B trong cơ sở đó có dạng 0 0 0 0 0 , 0 0 n n I I          tức là   0 0 0 | ( , ) 0 0 ; , . 0 0 | n n B x y x I y x y V I                        ở đó nI là ma trận đơn vị cấp n, | | [ ],x y         tương ứng là dòng và cột tọa độ của các véctơ x, y trong cơ sở đang xét. Chứng minh Đặt  : | ( , ) 0, .BN x V B x y y V     Chọn một cơ sở  1 2, ,..., ku u u của NB và chọn một không gian bù W của NB trên V, nghĩa là .BV N W  Lấy 10 ,e W  tồn tại 1 f W sao cho 1 1( , ) 0B e f  ta giả sử 1 1( , ) 1.B e f  Đặt: 1 1 1,W e f và  1 1| ( , ) 0, . BW w W B w v v W     Khi đó:  1 1 0 . BW W  Thật vậy, lấy 1 1 1 1 , Bv ae bf W W    ta có 10 ( , )B v e b   và 10 ( , )B v f a  suy ra 0.v  Hơn nữa: 1 1 . BW W W  Thật vậy, lấy v W mà 1( , )B v e c và 1( , ) .B v f d Khi đó:     1 1 1 1 1 1 . BW W v cf de v cf de           Tiếp tục, lấy 2 10 , Be W  tồn tại 2 1 Bf W sao cho 2 2( , ) 0,B e f  giả sử 2 2( , ) 1.B e f  Tương tự, đặt 2 2 2,W e f và cũng chứng minh được 1 2 2 , B BW W W  ở đó  2 1 2| ( , ) 0, .B BW W B v v W      Tiếp tục quá trình trên ta nhận được 1 2 ...B nV N W W W     (do dimV   ) là tổng trực giao tương thích với B, iW có cơ sở là { , }i ie f với ( , ) 1.i iB e f  Do đó theo cách xây dựng trên ta có  1 1 1,..., , ,..., , ,...,k n nu u e e f f là cơ sở cần tìm trên V. Chú ý  dim Bk N không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở. Do đó dim Bk N là bất biến của  , .V B  2 dimk n m V   nên n cũng là bất biến của  ,V B và 2n được gọi là hạng của B. 2.1.2. Không gian véctơ Symplectic 2.1.2.1. Định nghĩa Không gian véctơ Symplectic là một cặp  , ,V B ở đó V là không gian véctơ và B là cấu trúc symplectic tuyến tính trên V. Từ định nghĩa trên ta xây dựng ánh xạ tuyến tính  *:B V V được xác định bởi: ( )( ) ( , ), , .B x y B x y x y V   Khi đó:   ker | ( )( ) ( , ) 0, .BB x V B x y B x y y V N       2.1.2.2. Nhận xét  dim 0BN  suy ra dim 2V n là số chẵn.  Ánh xạ  *:B V V là song ánh.  Theo định lí 2.1.1.3 không gian véctơ Symplectic  ,V B có cơ sở là  1 1,..., , ,...,n ne e f f thỏa mãn  ,i j ijB e f  và    , 0 , ,1 , .i j i jB e e B f f i j n     Cơ sở  1 1,..., , ,...,n ne e f f được gọi là cơ sở symplectic của  , .V B Tương ứng với cơ sở này ta có   | | ( , ) . 0 n n n O I B x y x y I               2.1.2.3. Ví dụ Cho 2nV   (không gian các véctơ cột 2n chiều thực) và nJ là ma trận 2 2n n như sau: n nn n n O I J I O       với 2, ,nx y ta xác định: 1 1 2 1 1 2 0 ( , ) ... ... . n n n n n n n tB x y xJ y x y x y x y x y        Rõ ràng 0B là ánh xạ song tuyến tính, phản đối xứng và nếu 0( , ) 0, B x y y  thì 0x  hay 0B không suy biến. Vậy  2 0,n B là không gian véctơ Symplectic. Chú ý  ( , ) tB x y xAy là dạng song tuyến tính phản đối xứng trên 2n nếu A là ma trận phản đối xứng cấp 2 2 .n n  Ánh xạ B không suy biến  A khả nghịch. 2.1.2.4. Mệnh đề (hệ quả của định lí 2.1.1.3) Nếu ( , )V B là không gian véctơ Symplectic hữu hạn chiều thì tồn tại một cơ sở  1 1,..., , ,...,n ne e f f trên V sao cho với mọi 1 ,i j n  ,    , 0, ,i j i j ijB e e B e f   và ( , ) 0i jB f f  . 2.1.3. Phép rút gọn symplectic của không gian véctơ Nếu :B V V  là dạng song tuyến tính phản đối xứng (B có thể suy biến) ta xác định không gian con của V là  | ( , ) 0, .BN v V B v w w V     Xây dựng không gian con thương B VV N  và trên đó ta xác định một dạng song tuyến tính phản đối xứng :B V V  cảm sinh từ B theo công thức    , , ,B x y B x y ở đó , x y lần lượt là các lớp trong V của x và y trong V. Khi đó  ,V B là không gian symplectic. 2.1.3.1. Định nghĩa Nếu B là dạng song tuyến tính phản đối xứng trên không gian véctơ V thì không gian symplectic  ,V B được gọi là phép thu gọn symplectic của  , .V B Dùng phép thu gọn symplectic, đồng nhất  2 V với không gian  2 V  các 2-dạng ngoài trên V và áp dụng mệnh đề 2.1.2.4 cho phép ta viết được dạng chuẩn tắc của 2-dạng ngoài tùy ý trên không gian véctơ hữu hạn chiều, đó là mệnh đề sau. 2.1.3.2. Mệnh đề Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều, lấy tùy ý 2-dạng ngoài  2 * , 0V   thì tồn tại một số nguyên 1 dim 2 n V và một hệ gồm các 1-dạng độc lập tuyến tính 1 2 2 *, ,..., n V    sao cho 1 2 3 4 2 1 2... .n n             Hơn nữa n là số nguyên lớn nhất sao cho 0.n  Chứng minh Xem B  (như 2 – dạng song tuyến tính phản đối xứng trên V). Đặt  ,V B là phép thu gọn symplectic của  , .V B Bởi vì 0 B  nên  0 ,V  do đó  Đặt dim 2 2V n  và gọi 1 1,..., , ,...,n ne e f f là các phần tử của V sao cho  1 1,..., , ,...,n ne e f f là cơ sở symplectic của V tương thích với ,B nghĩa là    , 0 ,i j i jB e e B f f  và  , , 1 , .i j ijB e f i j n    Đặt dim 2p V n  và  1,..., pb b là cơ sở của .BN Khi đó hệ  1 1 2 2 1, , , ,..., , , ,...,n n pe f e f e f b b là một cơ sở của V. Cơ sở đối ngẫu của  1 1 1, ,..., , , ,...,n n pe f e f b b là cơ sở  1 2,..., n p   và chính là cơ sở của V*. Đặt 1 2 2 1 2... n n         ta kiểm tra được   ( do      , 0 , , , ,1 ,i j i j i j ije e f f e f i j n        ). Hơn nữa, tính toán ta được 1 2 2! ...n nn       và hiển nhiên 1 0.n   Nhận xét  Nếu ta xem  là phần tử của  2 V thì 1 dim . 2 n V Khi đó n được gọi là một nửa hạng của .  Nếu V là không gian véctơ hữu hạn chiều,  2 V  thì  ,V B là không gian symplectic khi và chỉ khi dim 2V n và 0.n  2.1.4. Không gian con của không gian véctơ Symplectic 2.1.4.1. Không gian  phần bù Cho  là dạng symplectic trên không gian véctơ V. Với bất kì không gian con ,W V ta xác định  - phần bù của W là không gian con  | ( , ) 0, .W v V v w w W       Ta gọi W  là không gian  - phần bù ( hay phần bù lệch) của W. 2.1.4.2. Nhận xét   không suy biến nên ( ) .W W    V hữu hạn chiều nên dim dim dim .W W V  Thật vậy xét ánh xạ : ( , )V W Hom W    ( ,.) W v v Nghĩa là: ( )( ) ( , ), .v w v w w W     Ta có:  Im ( ) ( ,.) :Wv v v V     nên  dim Im dim ;W        ker : ( ) 0 : ( ,.) 0 : ( , ) 0, . W v V v v V v v V v w w W W                  Do đó: dim dim(Im ) dim(ker ) dim dim .V W W      2.1.4.3. Các định nghĩa Cho  ,V  là không gian véctơ Symplectic hữu hạn chiều, một không gian con W V được gọi là:  Không gian con symplectic nếu {0},W W   tức là |W không suy biến.  Không gian con Lagrang nếu ,W W  nghĩa là | 0W  và 1 dim dim . 2 W M 2.1.4.4. Ví dụ Cho  ,V B là không gian véctơ Symplectic với cơ sở symplectic  1 1,..., , ,..., .n ne e f f Khi đó: 1 1,W e f là không gian con symplectic. 1 2, ,...., nW e e e là không gian con Lagrang. 2.1.5. Đồng cấu symplectic giữa các không gian véctơ Symplectic 2.1.5.1. Định nghĩa Một đồng cấu symplectic  giữa các không gian véctơ Symplectic  ,V  và  ,V   là một đẳng cấu tuyến tính : 'V V  sao cho * ' ,   ở đó     * , ( ), ( ) .u v u v       ,V  và  ,V   được gọi là đồng cấu symplectic nếu tồn tại một đồng cấu symplectic giữa chúng. 2.1.5.2. Nhận xét  Quan hệ đồng cấu symplectic là quan hệ tương đương trên tập hợp tất cả các không gian véctơ có số chiều chẵn.  Mọi không gian véctơ Symplectic 2n-chiều  ,V  đều đồng cấu symplectic với  2 0, .n B 2.2. Đa tạp Symplectic Cho  là 2-dạng (nhẵn) trên đa tạp M, tức là với mỗi p M được đặt tương ứng với ánh xạ :p p pT M T M   sao cho p là dạng song tuyến tính, phản đối xứng trên không gian tiếp xúc pT M của M tại điểm p và p phụ thuộc nhẵn theo p. 2.2.1. Cấu trúc symplectic Một 2-dạng  trên đa tạp nhẵn M được gọi là một cấu trúc symplectic (hoặc dạng symplectic) nếu  thỏa mãn hai tính chất sau: (i)  là dạng đóng nghĩa là 0;d  (ii)  không suy biến. Từ điều kiện không suy biến ta có  p là cấu trúc symplectic tuyến tính trên , .pT M p M   dim dimpT M M là số chẵn.  n là dạng thể tích nên đa tạp Symplectic định hướng được. Chú ý  không suy biến ... 0n     (tích ngoài n-lần). 2.2.2. Đa tạp Symplectic 2.2.2.1. Định nghĩa Một đa tạp Symplectic là một cặp  , ,M  ở đó M là đa tạp nhẵn và  là cấu trúc symplectic trên M. 2.2.2.2. Các ví dụ a) Cho 2nM  với hệ tọa độ tuyến tính  1 1,..., , ,...,n nx x y y và 2-dạng 0 1 . n i i i dx dy     Hiển nhiên 2nM  là đa tạp nhẵn. Vì 0 0d  nên 0 là dạng đóng. Lấy tùy ý 1 2 2( , ,..., )np p p p M  thì pT M có cơ sở là 1 1 ,..., , ,..., . n np pp p x x y y                                 Lấy    1 1 1 1,..., , ,..., , ,..., , ,..., ,n n n n pu u u u u v v v v v T M      ta có  0 1 1 1 ( )( , ) ( , ) ( ). n n n i i i i i i i ip i i ii i u v p u v dx dy u v v u v u u v              Do đó: nếu 0( )( , ) 0,p u v v   thì 0u  hay 0 ( )p không suy biến. Vậy  2 0,n  là đa tạp Symplectic. b) Cho nM  với hệ tọa độ tuyến tính  1 2, ,..., nz z z và 2-dạng 0 2 k k i dz d z   là cấu trúc symplectic trên ,n kiểm tra tương tự như ví dụ trên ta được  0,n  là đa tạp Symplectic. Chú ý  2 n n   vì .k k kz x iy  Do đó: 0 1 . n k k k dx dy      Trên nhân tử  thứ  k k , ,...,n 1 2 của n ta xét hệ tọa độ cực  ,k kr  như sau: cos ; sin . k k k k k k x r y r      Khi đó ta có: 0 1 . n k k k k r dr d     c) Đặt 2M S xem như tập hợp các véctơ đơn vị trong 3. Khi đó với mỗi 2p S thì 2 pT S là tập hợp các véctơ trực giao với 2S tại p. Dạng symplectic chuẩn tắc s tandard trên 2S được cảm sinh bởi tích hỗn tạp thông thường trong 3, tức là với mỗi 2p S ta xác định: ( , ) : , ,p u v p u v   với   2, .pu v T S p    Khi đó:  0pd  bởi vì 2 pT S là không gian 2- chiều.  p không suy biến vì nếu 0u  thì chọn v u p  ta được ( , ) , 0.p u v p u v    Vậy  2 s tandardS , là đa tạp Symplectic. Trong hệ tọa độ trụ xây dựng từ hệ tọa độ cực .cos .sin x r y r z h        với 0 2 , 1 1.h      thì s tandard là dạng diện tích và s tandard d dh.   Ở địa phương, mọi đa tạp Symplectic 2n-chiều đều giống như đa tạp Symplectic  2 0, .n  Điều này được xét trong định lí Darboux ở phần sau. 2.2.3. Đồng cấu symplectic 2.2.3.1. Định nghĩa Cho  ,M  và  ,N  là các đa tạp Symplectic, ánh xạ nhẵn :M N  được gọi là ánh xạ symplectic nếu  * .   Ánh xạ symplectic :M N  được gọi là đồng cấu symplectic nếu  là vi phôi. 2.2.3.2. Nhận xét Nếu còn có đa tạp Symplectic  ,P và đồng cấu symplectic :N P  thì phép hợp thành :M P   cũng là đồng cấu symplectic. Bởi vì:      .              Tập hợp tất cả các đồng cấu symplectic trên đa tạp Symplectic  ,M  với phép hợp thành lập thành một nhóm con của  Diff M , kí hiệu là  , .Sympl M  2.2.4. Tích symplectic Nếu  ,M  và  ,N  là các đa tạp Symplectic 2n-chiều thì trên M N có một cấu trúc symplectic tự nhiên   được xác định như sau * * 1 2      ở đó 1 :M N M   và 2 :M N N   là các phép chiếu tự nhiên. Thật vậy,    * * * *1 2 1 2 0;d d d d                 2 * * 2 1 2 0. n nn n nC                2.3. Dạng symplectic trên phân thớ đối tiếp xúc 2.3.1. Phân thớ đối tiếp xúc Cho M là đa tạp nhẵn tùy ý và *T M là phân thớ đối tiếp xúc của nó. Nếu cấu trúc đa tạp trên M được mô tả bởi bản đồ tọa độ  1; ,..., nU x x với : , 1,2,...,ix U i n  là các hàm trên U thì với mọi ,x U các vi phân     1 ,..., nx xdx dx là cơ sở của * ,xT M tức là nếu * xT M  thì   1 n i i x i dx    với i là các hàm duy nhất trên * .T U Do đó cảm sinh ra một ánh xạ * 2nT U     1 1, ,..., , ,...,n nx x x   Khi đó:  * 1 1; ,..., , ,...,n nT U x x   là bản đồ tọa độ của * .T M Hệ tọa độ địa phương  * 1 1; ,..., , ,...,n nT U x x   là hệ tọa độ đối tiếp xúc kết hợp với hệ tọa độ  1; ,..., nU x x trên U. Cho hai bản đồ  1; ,..., nU x x và  1; ,..., nU x x   lấy .x U U   Nếu * xT M  thì:       1 , 1 1 n n n i i i i j j jx x x i i j jj x dx dx dx x                     ở đó 1 n i j i i j x x             là nhẵn. Do đó: *T M là đa tạp nhẵn 2n-chiều. Bây giờ, chúng ta xây dựng dạng symplectic chính tắc trên phân thớ đối tiếp xúc. 2.3.2. Dạng symplectic trên phân thớ đối tiếp xúc Cho đa tạp nhẵn M với hệ tọa độ  1; ,..., ,nU x x tương ứng trên *T M có hệ tọa độ  * 1 1; ,..., , ,..., .n nT U x x   Trên *T U ta xác định 2-dạng 1 . n i i i dx d     Để chứng tỏ định nghĩa trên không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ, ta xét 1-dạng trên *T U là 1 . n i i i dx    Rõ ràng .d   Gọi  * 1 1; ,..., , ,...,n nT U x x   và  * 1 1; ,..., , ,...,n nT U x x       là hai bản đồ tọa độ đối tiếp xúc. Trên U U  ta có 1 n i i i i j x x             và 1 . n i i j j j x dx dx x     Do đó: 1 1 . n n i i j j i j dx dx            Hay  không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ. Suy ra: d   cũng không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ. Ta gọi  1-dạng  là dạng chính tắc;  2-dạng  là dạng symplectic chính tắc. Ngoài ra ta cũng có thể xây dựng 1-dạng  và 2-dạng  bằng cách khác như sau Xét phép chiếu *: N T M M    , ,p x x  trong đó * .xT M  Từ đó cảm sinh ra các ánh xạ :p p xd T N T M  và * * *( ) : .p x pd T M T N  Ta xây dựng 1-dạng  theo công thức:   * * p p pd T N    hay .p pd    Tức là:     , .p p pv d v v T N     Gọi  1; ,..., nU x x là hệ tọa độ địa phương trên M tương ứng ta được hệ tọa độ đối tiếp xúc  * 1 1; ,..., , ,..., .n nT U x x   Khi đó trên *T U ta có 1 ; n i i i dx     ,d    ở địa phương 1 . n i i i dx d     2.3.3. Tính chất tự nhiên của 1-dạng chính tắc  và 2-dạng symplectic chính tắc  Cho 1M và 2M là các đa tạp n-chiều nhẵn cùng với phân thớ đối tiếp xúc tương ứng là * 1T M và * 2T M và các dạng chính tắc 1 và 2. Giả sử 1 2:f M M là vi phôi. Khi đó có một phép vi phôi tự nhiên * *# 1 2:f T M T M gọi là phép nâng của f được xác định như sau: Nếu   *1 1 1 1,p x T M  với 1 * 1 1 1, xx M T M  thì ta xác định    # 1 2 2 2,f p p x   với     1 2 1 * 1 2x x f x df      ở đó   1 2 1 * * * 2 1: .x x xdf T M T M  Vì thế 1 # T Mx f  là ánh xạ ngược của   * 1 .xdf 2.3.3.1. Định lí Phép nâng #f của vi phôi 1 2:f M M kéo 1-dạng chính tắc trên * 2T M thành một dạng chính tắc trên * 1,T M nghĩa là   * # 2 1.f   Chứng minh Tại  , ,p x T M  1 1 1 1 giả sử   * # 2 1,f   khi đó:             11 1 * * # 2 1 # 2 1 1, pp p f f u u u T T M                   # 1 1 1 2 # 1( )f p p p df u u   (do định nghĩa f )         21 1 * # 2 1 ( ) pp pdf u u       (vì 2 # 1( )p f p )         2 11 * # 2 1 * p p p df    Ta chứng minh đẳng thức cuối cùng (*) như sau:  Theo định nghĩa #f ta có    2 # 1 2 2 2, ,p f p p x    với  2 1x f x và  1 * 2 1.xdf    Theo định nghĩa của 1-dạng chính tắc     1 1 * 1 1 1p p d   và     2 2 * 2 2 2.p pd    Ta có biểu đồ sau giao hoán: # 1 2 * * 1 2 1 2 f f T M T M M M       Thật vậy,   *1 1 1 1,p x T M   ta có                 2 # 1 2 # 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 , ; , . f p f p p x x f p f x f x x                  ▶ ▶ Vậy 2 # 1.f f    Do đó:           1 2 1 2 1 * * * * # 2 # 2 2 2 2p p p p p df df d d df                     1 1 1 1 1 1 * * 2 2 1 2 * * * 1 2 1 1 1 . p p p x p p d f d f d df d                 2.3.3.2. Hệ quả Phép nâng * *# 1 2:f T M T M của vi phôi 1 2:f M M là đồng cấu symplectic nghĩa là   * # 2 1.f   Thật vậy, theo định lí 2.3.3.1 ta có   * # 2 1f                * * # 2 1 # 2 1 * * # 2 1 # 2 1 . d f d f d f f               Tóm lại, mỗi vi phôi giữa các đa tạp cảm sinh ra một đồng cấu symplectic trên các phân thớ đối tiếp xúc của chúng, nghĩa là vi phôi 1 2:f M M cảm sinh đồng cấu symplectic * *# 1 2: .f T M T M Nhận xét. Nếu 1 2:f M M và 2 3:g M M là các phép vi phôi trên các đa tạp nhẵn có cùng số chiều thì   # ## .g f g f  Do đó, ta có đồng cấu nhóm     #, , .Diff M Sympl T M f f   2.4. Định lí Darboux 2.4.1. Định lí Darboux Nếu  là 2-dạng đóng trên đa tạp 2n-chiều M và 0n  thì với mọi p M có một lân cận U của p và hệ tọa độ  1 1,..., , ,...,n nx x y y trên U sao cho: 1 1 2 2| ... .U n ndx dy dx dy dx dy        Chứng minh (Sử dụng phương pháp quy nạp theo n) Giả sử định lí đúng với 1 0.n   Ta sẽ chứng minh định lí đúng với n. Cố định p, gọi 1y là hàm nhẵn trên M sao cho vi phân  1 0.dy p  Gọi X là trường véctơ nhẵn duy nhất thỏa mãn 1.X dy  Khi đó 0pX  nên có hàm 1x trên lân cận U của p sao cho:  1 1.X x  Gọi Y là trường véctơ trên U thỏa mãn: 1.Y dx   Bởi vì 0d  nên theo công thức Cartan ta có    10 0.XL X d d X d dy         Tương tự: 0.YL   Và ta còn có:              0 1 1 1 0 , ( ) 0. X X XX Y L Y L Y Y L X d dx d X dx d dx X                      Bởi vì 0n  hay  không suy biến nên ta có  , 0.X Y  Theo định lí Box-Flow, tồn tại hệ tọa độ địa phương  1 1 1 2 2 2; , , , ,..., nU x y z z z  trên lân cận U U  của p sao cho: 1 X x    và 1 .Y y    Bây giờ, xét 2-dạng 1 1,dx dy     ta có  1 1 0;d d d dx dy                  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 [ ( ) ( )] 0. X X X dx dy dy X dx dy dx X dy dy dx X dy dx dy X dy X x dy dx X y dy dy                                 Do đó:  0 0 ( ) 0.XL X d d X         Tương tự: 0 .YY L     Bởi vì 0X YX L Y L            suy ra ' là 2-dạng có biểu diễn theo các biến 1 2 2,..., .nz z  Nói riêng,   0 n   trong hệ tọa độ trên. Tính toán ta được:   1 1 1 nn ndx dy       mà 0.n  Do đó ' là 2-dạng đóng, nửa hạng cực đại là (n-1) trên một tập mở U  trong 2 2.n Áp dụng giả thiết quy nạp cho ' ta có 1 2 3 4 2 3 2 2... .n ndz dz dz dz dz dz         Do đó: 1 1 1 2 2 3 2 2... .n ndx dy dz dz dz dz         Đổi kí hiệu ta được: 1 1 2 2 ... .n ndx dy dx dy dx dy        2.4.2. Định lí Darboux thu gọn Giả sử  là 2-dạng đóng có nửa hạng là n trên đa tạp (2n+k)-chiều M. Khi đó phân thớ null   ( )| , 0, vN v TM v w w T M       là tích phân và có hạng k, ở đó :TM M  là phép chiếu tự nhiên. Hơn nữa, mỗi điểm của M có một lân cận U và trên U tồn tại hệ tọa độ địa phương  1 1 1,..., , ,..., , ,...,n n kx x y y z z sao cho 1 1 2 2 ... .n nU dx dy dx dy dx dy        Chứng minh Gọi X là trường véctơ tiếp xúc trên đa tạp khả vi M. Ta có sơ đồ giao hoán sau. Ta kiểm tra được: X thuộc phân bố 0N X    . Khi đó vì 0d  nên   00 ( ) 0.XL d X X d       Lấy tùy ý X và Y thuộc phân bố N ta có   0 0 [ , ] ( ) ( ) ( ) 0.X X XX Y L Y L Y Y L          Suy ra: [ , ]X Y cũng thuộc phân bố .N Do đó N là khả tích (theo hệ quả của định lí Flow-box). Áp dụng định lí Frobenius địa phương, với mọi điểm ,p M có một lân cận U của p và tồn tại hệ tọa độ địa phương  1 2; ,..., n kU z z  sao cho UN được sinh bởi các trường véctơ ,i i Z z    với 1 .i k  Bởi vì: 0, ii Z Z L    với 1 .i k  TM  M X id M Suy ra:  biểu diễn theo các biến 1 2,...,k n kz z  trong hệ tọa độ trên. Ta xem |U như là 2-dạng đóng, không suy biến trên một tập mở của 2 .n Do đó, theo định lí Darboux ta có kết quả cần chứng minh. 2.5. Đồng cấu symplectic Sự tương đương giữa các đa tạp Symplectic được mô tả bởi một đồng cấu symplectic. Chúng ta sẽ nghiên cứu đồng cấu symplectic trên các đa tạp Lagrang. 2.5.1. Đa tạp con symplectic và đa tạp con Lagrang Cho  ,M  là đa tạp Symplectic 2n-chiều và X là một đa tạp con của M. Ta định nghĩa:  X là đa tạp con symplectic của  ,M  nếu với mọi ,p X pT X là không gian con symplectic của  , ,p pT M  tức là | pp T X không suy biến.  X là đa tạp con Lagrang của  ,M  nếu với mọi ,p X pT X là không gian con Lagrang của  , ,p pT M  tức là | 0pp T X  và 1 dim dim . 2 p pT X T M Một cách tương đương, giả sử :i X M là ánh xạ bao hàm, khi đó X là đa tạp con Lagrang khi và chỉ khi * 0i   và 1 dim dim . 2 X M 2.5.2. Đa tạp con Lagrang trên phân thớ đối tiếp xúc Cho M là đa tạp con n-chiều và *T M là phân thớ đối tiếp xúc của nó. Nếu  1; ,..., nU x x là hệ tọa độ trên U M và hệ tọa độ đối tiếp xúc tương ứng trên * *T U T M là  * 1 1; ,..., , ,...,n nT U x x   thì 1-dạng chính tắc trên *T M là i idx  và 2-dạng chính tắc symplectic trên *T M là .i id dx d      Nhát cắt không trên *T M là  *0 : ( , ) | 0M x T M    trên *xT M chính là một đa tạp con n-chiều của * .T M Khi đó lấy bất kì   *0,x M T U   ta có 1 2 ... 0.n      Hơn nữa, i idx  suy ra * 0 | 0. M T U    Nói riêng, nếu *0 0:i M T M là ánh xạ bao hàm thì * 0 0.i   Do đó:  * * *0 0 0 0.i i d d i     Vậy 0M là Lagrang. 2.5.3. Ứng dụng của đồng cấu symplectic 2.5.3.1. Bài toán Cho  1 1,M  và  2 2,M  là các đa tạp Symplectic 2n-chiều và một vi phôi 1 2: .M M   Khi nào  là đồng cấu symplectic? (nghĩa là khi nào * 2 1 ?   ) Ta xét biểu đồ các phép chiếu sau: Ta có 2-dạng symplectic trên 1 2M M là 1 2 1 1 2 2.         Hơn nữa, nếu 1 2, \ {0}   thì    1 1 1 2 2 2       cũng là dạng symplectic trên 1 2.M M Áp dụng với 1 1  và 2 1,   ta được  1 1 2 2.        Đồ thị của phép vi phôi 1 2:M M   là đa tạp con 2n-chiều của đa tạp tích 1 2,M M kí hiệu là  và    1 1 2: , .Graph p p p M M M        1 2( , )p p 1 2M M 1 2( , )p p 1p 1M 2M 2p 1  2 Xét phép nhúng:  1 1 2: , , ( ) .M M M p p p    Khi đó:  1 .M    2.5.3.2. Định lí Vi phôi 1 2:M M  là đồng cấu symplectic khi và chỉ khi  là đa tạp con Lagrang của đa tạp Symplectic  1 2 1 1 2 2, .M M         Chứng minh  Ta có:     1 1 2 2 1 1 2 2                         1 1 2 1 2 .Mid              Theo định nghĩa ta có  1 2 2 1 là Lagrang 0 0 .                  Vậy  là đồng cấu symplectic. 2.6. Trường véctơ symplectic – Trường véctơ hamilton Ta sẽ nghiên cứu một vài trường véctơ đặc biệt được xác định trên đa tạp Symplectic. Giả sử  ,M  là đa tạp Symplectic và :H M  là hàm khả vi (nhẵn), vi phân của H là 1-dạng .dH Theo tính chất không suy biến của  tồn tại duy nhất một trường véctơ HX trên M sao cho .HX dH  Giả sử M là compăc hoặc HX là trường véctơ đầy, đặt : , t M M t   là họ 1- tham số các phép vi phôi (hay phép nổi) sinh bởi ,HX tức là 0 Mid  và 1 .t t H d X dt    Khi đó:       0 0, . Ht t X t t d L X d d X d dH t dt                         Vậy mỗi phép vi phôi t đều bảo toàn . Do đó nếu M compăc thì mỗi hàm ( )f C M cho ta một họ các đồng cấu symplectic. Giả sử X là trường véctơ bất kì trên M. Theo trên ta có  bất biến qua phép nổi của X khi và chỉ khi 0.XL   Điều này dẫn đến các định nghĩa sau. 2.6.1. Trường véctơ symplectic 2.6.1.1. Định nghĩa Một trường véctơ X trên đa tạp Symplectic  ,M  được gọi là symplectic nếu 0.XL   Kí hiệu    :sympl M X X  là trường véctơ symplectic trên M . 2.6.1.2. Mệnh đề Cho X là trường véctơ trên đa tạp Symplectic  , .M  Các phát biểu sau là tương đương: (i) X là trường véctơ symplectic; (ii) X  là dạng đóng; (iii) Phép nổi t của X bảo toàn , nghĩa là * , .t t     Chứng minh ( ) ( ).i ii Ta có X là trường véctơ symplectic, tức là 0XL       0 XL X d d X d X          X  là dạng đóng. ( ) ( ).ii iii Ta có: X  là dạng đóng, tức là   0d X      0 * 0 0, , . X t t X t L X d d X d L t dt t                          2.6.2. Trường véctơ hamilton 2.6.2.1. Định nghĩa Với mỗi hàm  ,H C M trường véctơ HX xác định như trên, tức là HX dH  được gọi là trường véctơ hamilton kết hợp với H. Ta gọi H là hàm hamilton. 2.6.2.2. Nhận xét  Nếu HX là trường véctơ hamilton thì  , 0. HX H H H H H L H X dH X X X X       Vậy trường véctơ hamilton bảo toàn hàm hamilton của nó.  X là hamilton  X  là dạng khớp  , .X dH H C M     Mọi trường véctơ hamilton là trường véctơ symplectic.  Nếu  1 0dRH M  thì mọi trường véctơ symplectic là hamilton. 2.6.2.3. Ví dụ a) Trên xuyến hai chiều    2 1 2 1 2 1 2 , , , , M d d X X              là các trường véctơ symplectic nhưng không là hamilton. Bởi vì  ,Y M               1 1 11 1 2 1 2 2 1 2 , , . d X d Y X Y d d X Y d Y d X d Y             Do đó:  1 1 2.X X d    Tương tự: 2 1.X d   b) Trên mặt cầu 2-chiều  2 1, ,S d dh X      là hamilton. Thật vậy, xét hàm  : , ,H M h h  ta có   .X d dh dh dH    2.6.3. Mệnh đề Nếu , ( )symplX Y M thì  , ( )hamX Y M với hàm hamilton là  , ,Y X nghĩa là  ( , ) , .Y XX X Y  Chứng minh Ta có:      , X XX Y L Y Y L                 0 0 0 , . d X Y X d Y Y d X Y X d d Y X                     Vậy: ( , ) [ , ].Y XX X Y  2.6.4. Móc poisson 2.6.4.1. Định nghĩa Trên đa tạp Symplectic  , ,M  móc Poisson của hai hàm  ,f g C M là một hàm    , : , .f gf g X X  Như một hệ quả của mệnh đề 2.6.3 ta có { , } ( , ) , .f gf g X X g fX X X X      2.6.4.2. Nhận xét     , , ;f g g f           , , , , , , 0.f g h g h f h f g   Một đa tạp Symplectic  ,M  trên không gian véctơ  C M là đại số Lie với móc Lie cho bởi    , : ,f gf g X X  và còn được gọi là đại số Poisson. Hơn nữa, ta còn có phản đồng cấu đại số Lie:     ( ) ( ) .,. .,. H C M M H X     2.6.5. Định lí Cho  ,M  là đa tạp Symplectic và  , .f H C M Khi đó  , 0f H  nếu và chỉ nếu f là hằng số trên đường cong tích của trường véctơ hamilton .HX Chứng minh Gọi t là phép nổi của .HX Khi đó:             , , 0. Ht t t X t H t H f t f H t d d f f L dt dt X df X X X X f H                           2.7. Định lí Moser 2.7.1. Sự tương đương giữa các cấu trúc symplectic Giả sử M là đa tạp nhẵn 2n-chiều với hai cấu trúc symplectic 0 và 1, nghĩa là  0,M  và  0,M  là hai đa tạp Symplectic. Nhắc lại, ánh xạ :M M   là một hợp luân nếu 0 Mid  :t M M  là một vi phôi, .t  2.7.1.1. Định nghĩa   0,M._.