Nguyên lý cực tiểu đối với Hàm đa điều hòa dưới

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ HỒNG NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ HỒNG Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS-TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN, Trường THPT Bắc Kạn cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009 Tác giả Lê Thị Hồng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1. Hàm đa điều hoà dưới 4 1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại 10 1.3. Hàm cực trị tương đối. 15 1.4. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu 19 1.5. Toán tử Monge-Ampe 21 1.6. Khối lượng xạ ảnh và các số Lelong 21 Chương 2. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI CÁC HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI 24 2.1. Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit 24 2.2. Cận dưới đối với hàm đa điều hoà dưới 33 2.3. Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới 40 2.4. Nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới 45 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong giải tích phức một biến số, ngoài nguyên lý cực đại cổ điển, còn có nguyên lý khác, ít được biết đến nhưng khá là quan trọng. Đó là việc tìm cận dưới đúng của môđun các hàm chỉnh hình trên một đĩa mở đã cho tại mọi điểm của một đĩa nhỏ hơn, trừ ra những điểm thuộc về một tập con đặc biệt chứa 0, theo nghĩa cực đại của nó trên đĩa đã cho. Kích thước của những tập đặc biệt được ước lượng một cách chính xác theo nghĩa của dung lượng hoặc dung lượng Hausdorff một chiều. Đó là nguyên lý môđun cực tiểu đối với hàm chỉnh hình. Nguyên lý này đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài toán bao gồm các hàm hữu tỷ hoặc các hàm phân hình, có thể có nhiều cực trong một miền đã cho và từ đó cần tìm cận trên của những hàm như thế. Đã có nhiều người quan tâm nghiên cứu đến nguyên lý này như B.Ya.Levin, A.Yger, A.Zeriahi,... Ở đây chúng tôi chọn đề tài “Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hoà dưới” , trình bày các kết quả của A. Zeriahi về tổng quát hóa nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển đối với các hàm chỉnh hình một biến phức cho các lớp khác nhau của hàm đa điều hòa dưới, dựa vào bổ đề nổi tiếng của Cartan-Boutroux. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của Luận văn là trình bày việc tổng quát hoá các lớp khác nhau các hàm đa điều hoà dưới đối với nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển các hàm chỉnh hình một biến phức, dựa vào bổ đề Cartan – Boutroux: - Tổng quát hóa bổ đề Cartan-Boutroux về thế vị lôgarit trong n£ cũng như trình bày nguyên lý cực tiểu các hàm đa điều hòa dưới trên hình cầu Euclid trong n£ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 - Từ nguyên lý cực tiểu về thế vị lôgarit trong n£ suy ra bất đẳng thức so sánh giữa dung lượng Hausdorff thích hợp với dung lượng lôgarit cổ điển trong n£ . - Đồng thời áp dụng các kết quả trên để tìm các ước lượng chính xác về cỡ của “Lemniscates đa điều hoà dưới” theo nghĩa xấp xỉ dung lưa Hausdorff. (Ước lượng đều trên cỡ của tập mức con của lớp của các hàm đa điều hòa dưới, được gọi là các lemniscat đa điều hòa dưới.) 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ trình bày: - Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối. - Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các số Lelong. - Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới. 3. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, chúng tôi đã đọc tham khảo các tài liệu trong và ngoài nước. Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. Đồng thời kế thừa các kết quả và phương pháp của các tác giả đã nêu ở trên để giải quyết các bài toán đã nêu ra. Sử dụng phương pháp đã biết giống như phương pháp của “hình cầu loại trừ” trong lý thuyết thế vị thực khi ước lượng thế vị tích phân, phương pháp cho phép chúng ta đạt được ước lượng dưới tổng quát đối với các hàm đa điều hoà dưới trên hình cầu đơn vị, mà nó kéo theo “nguyên lý cực tiểu 3– vòng tròn” đối với các hàm đa điều hoà dưới, và có thể thấy nó giống như đối ngẫu của bất đẳng thức 3- vòng tròn Hadamard. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chư- ơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại và hàm cực trị tương đối. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các số Lelong. Chương 2: Trình bày nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dưới 1.1.1. Định nghĩa. Cho W là một tập con mở của n£ và [ ): ,u W® - ¥ ¥ là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W . Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và nb Î £ , hàm ( )u a bl l+a là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥ trên mỗi thành phần của tập hợp { }: a bl lÎ + Î W£ . Trong trường hợp này, ta viết ( )u Î WPSH . ( ở đây ( )WPSH là lớp hàm đa điều hoà dưới trong W ). 1.1.2. Định lý. Cho [ ): ,u W® - ¥ ¥ là một hàm nửa liên tục trên và không trùng - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông của nWÐ £ . Khi đó ( )u Î WPSH khi và chỉ khi với mỗi a Î W và nb Î £ sao cho { }: , 1a bl l l+ Î £ Ð W£ , ta có ( ) ( ; , )u a l u a b£ , trong đó 2 0 1 ( ; , ) ( ) 2 itl u a b u a e b dt p p = +ò . Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Một số tính chất quan trọng của những hàm đa điều hoà dưới có thể được suy ra từ kết quả tiếp theo. Tương tự như trường hợp của những hàm điều hoà dưới, ta gọi nó là định lý xấp xỉ chính cho những hàm đa điều hoà dưới. 1.1.3. Định lý. Cho W là một tập con mở của n£ và ( )u Î WPSH . Nếu 0e > sao cho eW ¹ Æ , thì ( )u Ce el ¥* Ð Ç WPSH  Hơn nữa, u el* đơn điệu giảm khi e giảm, và 0 lim ( ) ( )u z u ze e l ® * = với mỗi z Î W . Phép chứng minh giống như chứng minh của định lý xấp xỉ chính cho các hàm điều hoà dưới. Trước tiên ta cần bổ đề sau: 1.1.4. Bổ đề. Cho nWÐ £ là một tập mở và 1 ( )locu LÎ W . Giả thiết rằng a Î W , nb Î £ , và { }: , 1a bl l l+ Î £ Ð W£ . Khi đó ( ( ;., ) )( ) ( ; , )l u b a l u a be ec l* = * . Chứng minh. Vế trái của đẳng thức bằng 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 2n itu a e b dt d p ew c w l w p æ ö ÷ç + -ç ÷è ø ò ò £ . Do định lý Fubini, nó bằng vế phải của đẳng thức trên. Bây giờ chúng ta có thể chứng minh định lý. Chứng minh. Do [7], Mệnh đề 2.5.2 tr44 ( )i , ( )u Ce el ¥* Î W . Định lý 1.2.2 kết hợp với bổ đề trên, suy ra ( )u e el* Î WPSH . Sử dụng lập luận đó như trong [7], bổ đề 2.5.3 tr 46, đối với mỗi biến riêng, chúng ta có thể chứng minh (bằng qui nạp theo j ) ước lượng sau : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 1 1 1 1 1 1 1 1( , ...., , , ..., ) ( , ..., , , ...., ) n j j n j j n C u I del w w w w l w w w w - - + - +* ³ ò , trongđó 1 1 1( , ...., , , ..., )j j nI w w w w- + = 1 2 1 2 1 1 1 1( , ....., , , ..., ) ( ) ( )j j j j n n j C u z z z z de w e w e w e w c w l w+ ++ + + +ò , 2 10 e e£ < và 11 ( ,..., )nz z z e= Î W . Từ đó 1 2 ( )( ) ( )( ) ( )u z u z u ze el l* ³ * ³ . Phần còn lại của chứng minh cũng như trong [7], Định lý 2.5.5 tr47. Bây giờ chúng ta sẽ trình bày vài hệ quả của định lý xấp xỉ chính. 1.1.5. Hệ quả. Cho W và ¢W là những tập mở trong n£ và k£ , tương ứng. Nếu ( )u Î WPSH và :f ¢W ® W là một ánh xạ chỉnh hình, thì u fo là đa điều hoà dưới trong ¢W . Chứng minh. Nếu u và u- là đa điều hoà dưới, thì do Hệ quả 1.2.6 và (3), 2( )u CÎ W . Bởi vậy ( ) , 0Lu a b b = với mọi ,a b thích hợp, và như vậy ( )u Î WPH . Điều ngược lại là tầm thường. Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới nên ta có thể phát biểu vài tính chất khác: 1.1.6. Hệ quả. Nếu , ( )u v Î WPSH và u v= hầu khắp nơi trong W , thì u vº . 1.1.7. Hệ quả. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của n£ và ( )u Î WPSH , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z Î W . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 ( ) sup lim sup ( ) y y u z u y w wÎ ¶W ® Î W < . 1.1.8. Định nghĩa. Tập hợp nE Ð £ được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm a EÎ đều có một lân cận V của a và một hàm ( )u VÎ PSH sao cho { }: ( )E V z V u zÇ Ð Î = - ¥ . Cho W là một tập con mở trong .n£ Ta nói rằng một ánh xạ chỉnh hình : mf W® £ là không suy biến trong W nếu trong mỗi thành phần liên thông của W có thể tìm được một điểm z sao cho hạng của z f¶ là m . 1.1.9. Mệnh đề. Cho : mf W® £ là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến trên một tập mở mWÐ £ và ¢W là một lân cận mở của ( )f W trong m£ . Cho { } ( ) A ua a Î ¢Ð WPSH sao cho bao trên của nó sup A u ua a Î = là bị chặn trên địa phương. Khi đó * *( ) ( ).u f u f=o o Chứng minh. Đặt { }: det 0zA z f= Î W ¶ = . Vì det zz f¶a là một hàm chỉnh hình, A là đa cực nên A có độ đo Lebesgue bằng không. Hạn chế của ánh xạ f trên \ AW là mở (do định lý ánh xạ ngược) và liên tục nên ta có { }* 0 ( ) lim sup ( ( )) : ( , )u f u f z z B a e e ® = Îo = { } 0 lim sup ( ) : ( ( , ))u f B a e w w e ® Î ( )( ),u f a*= o với bất kỳ \a AÎ W . Bởi vậy ( ) ( )u f u f* *=o o hầu khắp nơi trong W . Cũng vậy ( ) ,( ) ( )u f u f* * Î Wo o PSH . Do đó ( ) )u f u f* *=o o trong W . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 1.1.10. Mệnh đề. Cho dãy { } ( )j ju Î Ð W¥ PSH bị chặn đều địa phương. Đặt ( ) lim sup ( )j j z u z u z ® ¥ Î W = . Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa điều hoà dưới trong W . 1.1.11. Định lý. Cho dãy { } ( )j ju Î Ð W¥ PSH bị chặn đều địa phương trong nWÐ £ . Giả sử lim sup ( )j j u z M ® ¥ £ với mỗi z Î W và một hằng số M nào đó. Khi đó với mỗi 0e > và mỗi tập compact K Ð W  tồn tại một số tự nhiên 0j sao cho, với 0j j³ , sup ( )j z K u z M e Î £ + . 1.1.12. Định lý. Cho W là một tập con mở của n£ và { }: ( )F z v z= Î W = - ¥ là một tập con đóng của W  ở đây ( )v Î WPSH . Nếu ( \ )u FÎ WPSH là bị chặn trên, thì hàm u xác định bởi ( ) ( \ ) ( ) lim sup ( ) ( ) y z y F u z z F u z u y z F ® Ï í Î Wïïïï= Îì ïïïïî là đa điều hoà dưới trong W . Nếu u là đa điều hoà và bị chặn trong \ FW , thì u là đa điều hoà trong W . Nếu W là liên thông, thì \ FW cũng liên thông. 1.1.13. Mệnh đề. Nếu ( )nu Î £PSH và u là bị chặn trên, thì u là hằng số. Cho , ¢WW là những tập mở liên thông trong n£ và :f ¢W® W là một ánh xạ riêng. Dễ kiểm tra rằng f là ánh xạ đóng. Ngoài ra, nếu f là chỉnh hình thì : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 ( )i f là mở và đặc biệt là ( )f ¢W = W (vì f cũng đóng); ( )ii nếu { }: 0zA z f= Î W ¶ = , thì với mỗi a ¢Î W có một hình cầu mở B , tâm tại a và chứa trong ¢W , và một hàm ( )g BÎ O sao cho 0g º/ và 1( ) (0)f A B g-Ç = ; ( )iii các thớ của f , đó là các tập hợp 1( )f w- trong đó w ¢Î W , là hữu hạn. Chú ý rằng ( )ii là trường hợp đặc biệt của định lý ánh xạ riêng của Remmert . 1.1.14. Mệnh đề. Cho :f ¢W® W là một toàn ánh chỉnh hình riêng giữa hai tập mở trong n£ . Nếu ( )u Î WPSH , thì công thức { }1( ) max ( ) : ( ) ( )v z u f z zw w - ¢= Î Î W xác định một hàm đa điều hoà dưới. Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng ¢W là liên thông. Nếu G là một tập con mở compact tương đối trong ¢W , thì tập mở f –1 (G) là compact tương đối trong W , vì f là ánh xạ riêng. Bởi vậy, theo định lý xấp xỉ chính, chỉ cần chứng minh mệnh đề là đúng đối với các hàm đa điều hoà dưới liên tục. Giả sử rằng ( ) ( )u Î W Ç W£ PSH . Nếu a và b là các số thực sao cho a b< , thì [ )1 1 1(( , )) ( (( , ))) \ ( ( , )).v a b f u a f u b- - -= ¥ ¥ Do đó v là liên tục trong ¢W . Do đó 1 1 ( \ ( )) : ( \ ( )) \ ( ) f f A f f f A f A- - ¢W ¢ ¢W ® W là song chỉnh hình địa phương. Bởi vậy tồn tại duy nhất một số k Î ¥ sao cho với mỗi \ ( )z f A¢Î W tồn tại một lân cận \ ( )V f A¢Ð W của z và những lân cận rời nhau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 1, ..., kU U của 1, ..., kw w , trong đó { } 11,..., ( )k f zw w -= , sao cho ( )i : j jU f U V® là ánh xạ song chỉnh hình, ( )ii 1 1( ) ... kf V U U - = È È . Do đó ( \ ( ))v f A¢Î WPSH . Vì v là liên tục và ( )f A là đa cực nên suy ra tính đa điều hoà dưới của v . 1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại 1.2.1.Định nghĩa. Cho W là một tập con mở của n£ và :u W® ¡ là hàm đa điều hoà dưới. Ta nói rằng u là cực đại (hoặc cực trị) nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của W , và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho ( )v GÎ PSH và v u£ trên G¶ , đều có v u£ trong G. Ký hiệu ( )WM PSH là họ tất cả các hàm đa điều hoà dưới cực đại trên W . Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại. 1.2.2. Mệnh đề. Cho nWÐ £ là mở và :u W® ¡ là hàm đa điều hoà dưới. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: ( )i Với mỗi tập con mở compact tương đối G của W và với mỗi hàm ( )v Î WPSH , nếu lim inf( ( ) ( )) 0, z u z v z x® - ³ với mọi Gx Î ¶ , thì u v³ trong G ; ( )ii Nếu ( )v Î WPSH và với mỗi 0e > tồn tại một tập compact K Ð W sao cho u v e- ³ - trong \ KW , thì u v³ trong W . ( )iii Nếu ( )v Î WPSH , G là một tập con mở compact tương đối của W , và u v³ trên G¶ thì u v³ trong G ; ( )iv Nếu ( )v Î WPSH , G là một tập con mở compact tương đối của W , và lim inf( ( ) ( )) 0, z u z v z x® - ³ với mỗi Gx Î ¶ , thì u v³ trong G ; ( )v u là hàm cực đại. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 Chứng minh. ( ) ( )i iiÞ : Cho v là một hàm đa điều hoà dưới có tính chất: với mỗi 0e > tồn tại một tập compact K Ð W sao cho u v e- ³ - trong \ KW . Giả sử rằng ( ) ( ) 0u a v a h- = < tại một điểm a Î W . Bao đóng của tập hợp { }: ( ) ( ) 2 E z u z v z h = Î W < + là tập con compact của W . Bởi vậy có thể tìm được tập mở G chứa E và compact tương đối trong G . Theo ( )i ta có 2 u v h ³ + trong G , điều đó mâu thuẫn với .a EÎ Phần còn lại được suy ra từ khẳng định: hàm { }max ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( \ ) u z v z z G z u z z G w í Îïï = ì ï Î Wïî là đa điều hoà dưới trong W (xem Hệ quả 1.2.16) theo các giả thiết ( )iii , ( )iv , ( )v , và ( )i . Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một lớp quan trọng các hàm cực đại liên tục. Trước hết, chúng ta cần một số định nghĩa. Cho W là một miền bị chặn trong n£ và ( )f CÎ ¶W . Bài toán Dirichlet suy rộng là tìm một hàm nửa liên tục trên :u W® ¡ sao cho ( )u W Î WM PSH và u f¶W º . Cho W là miền bị chặn trong n£ và ( )f CÎ ¶W . Ta sẽ ký hiệu ( , )U fW là họ của tất cả các hàm ( )u Î WPSH sao cho u f* £ trên ¶W , trong đó * ( ) lim sup ( ) z u z u w w w ® Î W = Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 với mọi z Î W . Đặt { }, ( ) sup ( ) : ( , ) , .f z u z u U f zyW = Î W Î W Hàm , ( )f zyW được gọi là hàm Perron – Bremermann đối với W và f ; hàm này được Bremermann (1959) nghiên cứu và nó là một hàm Perron cổ điển được sử dụng trong lý thuyết thế vị (thực) ( Hayman và Kennedy 1976). Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng , ( )f zyW nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng khi W là một hình cầu Euclid. 1.2.3. Định lý. Cho ( )f C BÎ ¶ , trong đó ( , )B B a r= là một hình cầu mở trong n£ . Khi đó hàm y xác định bởi , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B f z z B z f z z B y y í Îïï = ì ï Î ¶ïî là một nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng đối với tập B và hàm f . Hơn nữa, y là liên tục. Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng 0a = . Giả sử h là nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển đối với B và f . Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới, nên suy ra ,B f hy £ trong B theo nguyên lý cực đại đối với những hàm điều hoà dưới. Do h liên tục trong B , nên ta có ,( )B f hy * £ trong B . Đặc biệt, điều đó có nghĩa là ,( ) ( , )B f U B fy * Î và như vậy ,( )B fy y * º trong B Þ ( )By Î PSH . Để hoàn thành chứng minh kết luận thứ nhất của định lý, ta chỉ cần chứng minh ,( )B f fy * ³ trên B¶ . Ta sẽ chứng minh một tính chất mạnh hơn: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 với 0z BÎ ¶ bất kỳ, thì 0 , 0lim inf ( ) ( )B f z z z B z f zy ® Î ³ . Thật vậy, lấy 0z BÎ ¶ và 0e > . Chứng minh sẽ được hoàn thành nếu ta có thể tìm được một hàm liên tục :v B ® ¡ sao cho ( , )Bv U B fÎ và 0 0( ) ( )v z f z e= - . Điều đó có thể đạt được bằng cách định nghĩa 2 0 0( ) Re , ( ) ,v z c z z r f z eé ù= - + -ë û trong đó 0c > là hằng số, được chọn để v f£ trên B¶ . (Chú ý rằng biểu thức trong những dấu móc vuông là âm trên { }0\B z ). Từ đó với mỗi 0z BÎ ¶ , ta có 0 0lim ( ) ( ) z z z B z zy y ® Î = , tức là y liên tục tại mỗi điểm biên. Tính cực đại của y là hiển nhiên. Thực vậy, nếu G là một tập con mở compact tương đối của B , [ ): ,v G ® - ¥ ¥ là nửa liên tục trên, ( )Gv Î WPSH và v y£ trên G¶ , thì hàm { }max , \ v z G V z B G y y í Îïï = ì ï Îïî thuộc ( , )U B f Þ V y£ . Đặc biệt, v y£ trong G . (đpcm) Để chứng minh rằng y là liên tục, chỉ cần chứng tỏ nó nửa liên tục dưới. Thật vậy, lấy 0e > . Khi B¶ là compact, B fy = là liên tục đều. Điều đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 kết hợp với 0 0lim ( ) ( ) z z z B z zy y ® Î = suy ra tồn tại (0, ) 2 r d = sao cho nếu z BÎ , Bw Î ¶ , và 3z w d- < , thì ( ) ( ) 2 z e y y w- < . với bất kỳ (0, )y B dÎ , đặt { }max ( ), ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( \ ( ) y z z y z B y B H z z z B y B y y e y íï + - Î Ç - + ï= ì ï Î - + ïî . Ta sẽ chứng minh rằng ( , )y B H U B fÎ . Thật vậy vì (0, ) ( ) (0, ) ( , )B r B y B B r B y rd- Ð Ç - + = Ç - nên ( ( 0, ) )yH B r dÎ -PSH là lớn nhất trong hai hàm đa điều hoà dưới. Mặt khác, yH y= trong \ (0, 2 )B B r d- . Thực vậy, theo định nghĩa ( )yH z ta có ( ) ( ), \ ( )yH z z z B y By= Î - + . Nếu ( ( )) \ (0, 2 )z B y B B r dÎ Ç - + - , thì ta chọn 0z BÎ ¶ sao cho 0 2z z d- < . Ta có 0 3z y z d+ - < và do đó theo (11), 0( ) ( ) 2 z z e y y- < và 0( ) ( ) 2 z y z e y y+ - < . Như vậy ( ) ( )z z yy y e³ + - Þ ( ) ( )yH z zy= Þ ( )yH BÎ PSH và yH f= trên B¶ Þ ( , )yH U B fÎ Þ .yH y£ Từ đó nếu ,z Bw Î và z w d- < , thì Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 ( ) ( ) ( ) ( )zz H z z zwy y w e y w e-³ ³ + - - = - . Vậy y là nửa liên tục dưới. (đpcm). 1.2.4. Hệ quả. Cho W là một tập con mở của n£ và ( )u Î WM PSH . Nếu B là một hình cầu mở sao cho B  W thì Bu là giới hạn của một dãy giảm những hàm đa điều hoà dưới cực đại liên tục trong B . Chứng minh. Cho G là tập con mở compact tương đối của W chứa B . Do Định lý 1.2.3, có thể tìm được một dãy giảm { } ( ) ( )j ju C G G ¥ Î Ð Ç ¥ PSH hội tụ tới u . Đặt ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( \ ) j BB u j j z z B v z u z z G B y ¶ íï Îïï= ì ï Îïïî . Khi đó ( )j B v BÎ M PSH với mọi j , ( )jv GÎ PSH và dãy jv giảm đến một hàm ( )v GÎ PSH . Hiển nhiên, v u³ trong G. Cũng vậy, v uº trong \G B . Vì u cực đại nên ta có v u£ trong B . Từ đó lim ( ) ( )j j v z u z ® ¥ = với z BÎ . 1.3. Hàm cực trị tương đối. 1.3.1. Định nghĩa. Giả sử W là một tập con mở của n£ và E là tập con của W . Hàm cực trị tương đối đối với E trong W được định nghĩa là : { }, ( ) sup ( ) : ( ), 1, 0EEu z v z v v vW = Î W £ - £PSH ( z Î W ). Hàm ( ) * ,Eu W là đa điều hoà dưới trong W . Xét trường hợp đặc biệt khi E là đóng trong W . Ta sẽ chứng minh ,Eu W trùng với hàm Perron - Bremermann \ , EE c yW - ( ở đây Ec là hàm đặc trưng của E ). Thực vậy, giả sử ( \ )u EÎ WPSH âm sao cho: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 \ lim sup ( ) 1 z z E u z w® Î W £ - với mỗi Ew Î ¶ ÇW . Khi đó hàm { } 1 ( ) max 1, \ z E v z u z E í - Îïï= ì ï - Î Wïî âm và nửa liên tục trên trong W . Hơn nữa, nó là hàm đa điều hoà dưới trong W do Định lý 1.2.2 ([7]). Như vậy ,Eu v u W£ £ trong \ EW . Từ đó \ , ,EE E ucyW - W£ trong \ EW . Bất đẳng thức ngược lại là hiển nhiên. Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối. 1.3.2. Mệnh đề. Nếu 1 2 1 2E EÐ Ð W Ð W thì 1 1 2 1 2 2, , ,E E E u u uW W W³ ³ 1.3.3. Mệnh đề. Nếu W là siêu lồi và E là một tập con compact tương đối của W , thì tại điểm w Î ¶W bất kỳ ta có ,lim ( ) 0E z u z w W ® = . Chứng minh. Nếu  < 0 là một hàm vét cạn đối với W , thì với số 0M > nào đó, 1M r < - trên E . Như vậy ,EM ur W£ trong W . Rõ ràng, lim ( ) 0 z z w r ® = và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm. 1.3.4. Mệnh đề. Nếu nWÐ £ là siêu lồi và K Ð W là một tập compact sao cho * , 1K K u W = - thì ,Ku W là hàm liên tục. Chứng minh. Lấy ,Eu u W= và ký hiệu F  ( )WPSH là họ các hàm u . Giả sử  là hàm xác định của W sao cho  <-1 trên K. Khi đó ur £ trong W . Chỉ cần chứng minh rằng với mỗi (0,1)e Î tồn tại ( )v CÎ W Ç F. Sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 u v ue- £ £ trong W . Thật vậy, lấy (0,1)e Î Þ tồn tại 0h > sao cho u e r- < trong \ hWW và K hÐ W , trong đó { }: ( , )z dist zh hW = Î W ¶W > . Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini (Royden 1963), có thể tìm được 0s > sao cho u dc e r* - < trên ¶W và 1u dc e* - < - trên K . Đặt { } \ max , trong v u trong h e d h r c e r í W Wï ï= ì ï * - W ïî . Khi đó ve  C(  ) ∩ F và như vậy { }max ,u u v uee e r- £ - £ £ tại mỗi điểm trong W . 1.3.5. Mệnh đề. Cho nWÐ £ là tập mở liên thông, và E Ð W . Khi đó các điều kiện sau tương đương : ( )i * , 0Eu W º ; ( )ii Tồn tại hàm ( )v Î WPSH âm sao cho { }: ( )E z v zÐ Î W = - ¥ Chứng minh. ( ) ( )ii iÞ là hiển nhiên. Thật vậy, nếu v như ở trên ( )ii , thì ,Ev ue W£ với mọi 0e > , từ đó , 0Eu W = hầu khắp nơi trong W . Như vậy * , 0Eu W º . Bây giờ giả sử * , 0Eu W º . Do [7] (mệnh đề 2.6.2 tr49), tồn tại một điểm a Î W sao cho , ( ) 0Eu aW = . Bởi vậy, với mỗi j Î ¥ , có thể chọn một ( )jv Î WPSH sao cho 0, 1j j E v v< < - và ( ) 2 jjv a -> - . Đặt 1 ( ) ( ), .j j v z v z z ¥ = = Î Wå Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Chú ý rằng ( ) 1v a > - , v âm trong W , và Ev = - ¥ . Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều hoà dưới. Vì v ¹ - ¥ nên ta kết luận ( )v Î WPSH . 1.3.6. Mệnh đề. Cho W là tập con mở liên thông của n£ . Giả sử j j E E= U , trong đó jE Ð W với 1,2,...j = . Nếu * , 0jEu W º với mỗi j , thì * , 0Eu W º . Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.3.5 chọn ( )jv Î WPSH sao cho 0jv < và j j E v = - ¥ . Lấy điểm { } 1\ ( )j j a v - æ ö ÷çÎ W - ¥ ÷çè ø U . Bằng cách mở rộng mỗi hàm jv bởi một hằng số dương thích hợp, ta có thể giả thiết ( ) 2 jjv a -> - . Khi đó ( )j j v v= Î Wå PSH , 0v < và Ev = - ¥ . Suy ra * , 0Eu W º . 1.3.7. Mệnh đề. Cho W là tập con siêu lồi của n£ và K là một tập con compact của W . Giả thiết rằng { }jW là một dãy tăng những tập con mở của W sao cho 1 j j ¥ = W= WU và 1K Ð W . Khi đó , ,lim ( ) ( ),jK Kj u z u z zW W ® ¥ = Î W . Chứng minh. Lấy điểm 0z Î W . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng { }0 1K zÈ Ð W . Giả sử 0  là một hàm vét cạn đối với W sao cho 1   trên K. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Lấy (0,1)e Î sao cho 0( )zr e< - . Khi đó tồn tại 0j Î ¥ sao cho tập mở 1(( , ))w r e-= - ¥ - là tập compact tương đối trong 0j W . Lấy 0 ( )ju Î WPSH sao cho 0u £ trên 0j W và 1u £ - trên K . Khi đó { }max ( ) , ( ) , ( ) ( ), \ u z z z v z z z e r w r w í - Îï ï= ì ï Î W ïî xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa 1Kv £ - và 0v £ . Như vậy 0 , 0( ) ( )Kv z u zW£ . Vì u là một phần tử tuỳ ý của họ 0 , jK u W , nên ta có 0 , 0 , 0( ) ( )jK Ku z u zeW W- £ . Do đó ta có , 0 , 0 , 0( ) ( ) ( ) j j K K Ku z u z u zeW W W- £ £ với mọi 0j j³ và e nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh. 1.4. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu Đầu tiên chúng ta nhắc lại bổ đề nổi tiếng của Cartan-Boutroux: Cho ( )p z là đa thức của một biến phức có bậc 1d ³ . Với bất kỳ 0e > , xét đa thức e -lemniscate của P được xác định bởi: ( ) ( ){ }, : ; dE P z P ze e= Î ££ . Khi đó tồn tại một phủ hữu hạn của ( ),E P e bởi đĩa mở d với bán kính ( ) 1j j d r £ £ thỏa mãn ước lượng: 1 2 j j d r ee £ £ £å . (1.1) Nói cách khác ( ) ( )log log 1/ ,P z d ze³ - " Î £ ngoài hợp của các đĩa mở d với bán kính ( ) 1j j d r £ £ thỏa mãn ước lượng 1 2 j d j r ee £ £ £å . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Từ ước lượng này ta có thể suy ra nguyên lý cực tiểu đối với hàm chỉnh hình. Nếu f là một hàm chỉnh hình trên đĩa { }; 2z z eRÎ £C sao cho ( )0 1f = . Khi đó, với bất kỳ số thực 0 1h< < ( ) ( ) ( ) ( ) 33 log log 2 , : log , 2f e f z H M eR Hh h h æ ö ÷ç> - = çè ø xảy ra với z R£ ngoài hợp của một số hữu hạn những đĩa có bán kính ( )jr với 2j j r Rh£å . Một cách tổng quát hơn của bổ đề Cartan-Boutroux’ có thể phát biểu như sau: Với 0 2a< £ tuỳ ý tồn tại một phủ hữu hạn của ( , )E P e bởi đĩa mở d với bán kính ( )jr thỏa mãn ước lượng: ( ) 1 2 d j j r e a a e = £å . (1.2) Nói cách khác, điều đó có nghĩa là với bất kỳ (0,1]e Î cận dưới ( ) dP z e£ xảy ra với mọi z ngoài hợp của đĩa d với bán kính ( )jr thỏa mãn ước lượng ( )2 .j jr e a a e£å Điều này tương đương với ước lượng sau theo nghĩa của dung lượng Hausdorff của số chiều a : ( )( ) ( ); 2h E P e a a e e£ , [0,1]e" Î . Chúng ta kết thúc phần này bằng cách nhắc lại định nghĩa của dung lượng Hausdorff trong một tập hợp tổng quát hơn, sẽ được sử dụng về sau. Cho ( , )X d là một không gian Metric và 0p > là một số thực. Khi đó với một số thực đã cho 0d > , theo định nghĩa, dung lượng d - Hausdorff số chiều p của tập E XÐ được định nghĩa như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 ( ) ( ) ( ) ( ): inf ; , , pp j j j j jj h E r B E B B B X dd dÎ ÎÎ í üï ï = Ð Îì ý ï ï î þ å ¥ ¥¥ U , trong đó ( ),B X dd là lớp tất cả các phủ đếm được ( )j jB Î ¥ của tập E bởi các hình cầu của không gian Metric ( , )X d có bán kính tại hầu hết d và ( )jr B là bán kính của hình cầu j B với mỗi j Î ¥ . Giống như trong bổ đề Cartan-Boutroux, ta có thể lấy d = + ¥ . Số tương ứng ký hiệu là ( ) ( )p ph E h E¥= và được gọi là dung lượng Hausdorff số chiều p của tập E . Độ đo Hausdorff số chiều p của tập E được định nghĩa bởi ( ) ( ) ( )0 0: sup lim p p pH E h ._.