Nguyên lí ánh xạ KKM và bài toán cân bằng vectơ trong không gian vectơ tôpô

TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Lê Văn Chóng THÁI NGUYÊN-2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 MỤC LỤC Mở đầu ...................................................................................................1 Chương 1. NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM 1.1. Bổ đề KKM ………………………………………………………..3 1.2. Nguyên lí ánh xạ KKM ……………………………………………7 1.3. Bất đẳng thức Ky Fan ……………………………………………10 Chương 2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐƠN TRỊ 2.1. Nón và quan hệ thứ tự theo nón ………………………………… 13 2.2. Bài toán cân bằng vô hướng …………………………………… 16 2.3. Bài toán cân bằng vectơ không có giả thiết đơn điệu ………….. 23 2.4. Bài toán cân bằng vectơ giả đơn điệu ………………………… 28 2.5. Bài toán cân bằng vectơ tựa đơn điệu …………………………… 34 2.6. Một số mở rộng ………………………………………………… 39 Chương 3. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐA TRỊ 3.1.Bài toán cân bằng vectơ đa trị không có giả thiết đơn điệu …… 51 3.2. Bài toán cân bằng vectơ đa trị đơn điệu ………………………… 56 Kết luận …………………………………………………………… 63 Tài liệu tham khảo ……………………….......................................... 64 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 MỞ ĐẦU Để đưa ra một chứng minh đơn giản hơn chứng minh ban đầu rất phức tạp của Định lí điểm bất động Brouwer (1912), ba nhà toán học Balan là Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả quan trọng về giao khác rỗng của hữu hạn các tập đóng trong không gian hữu hạn chiều (1929), kết quả này sau gọi là Bổ đề KKM. Năm 1961, Ky Fan mở rộng bổ đề này ra không gian vô hạn chiều, kết quả này sau gọi là Nguyên lí ánh xạ KKM. Năm 1972, dùng Nguyên lí ánh xạ KKM Ky Fan chứng minh một bất đẳng thức quan trọng, sau gọi là Bất đẳng thức Ky Fan. Sau khi được công bố, Bất đẳng thức Ky Fan nhanh chóng thu hút sự quan tâm của nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích hàm phi tuyến. Phương pháp tiếp cận xây dựng bất đẳng thức này từ Nguyên lí ánh xạ KKM là ý tưởng khởi nguồn của nhiều nghiên cứu tiếp theo về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng trong các không gian khác nhau (như không gian vectơ tôpô, không gian G -lồi, không gian siêu lồi…). Trong không gian vectơ tôpô , cách tiếp cận trên được nghiên cứu mở rộng ra bài toán cân bằng vô hướng với các kết quả cơ bản như Brezis- Nirenberg- Stampacchia [4](1972), Mosco [13](1976), Blum- Oettli [3](1993)…và mở rộng ra bài toán cân bằng vectơ (đơn trị, đa trị) với các kết quả quan trọng như Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2](1997), Oettli [3](1997), Tấn-Tĩnh [16](1998), Fu [10](2000), Ansari- Konnov- Yao [1](2001), Tấn- Minh [17](2006)… Bài toán cân bằng vectơ đơn trị được xét trong luận văn là bài toán sau: Tìm x K sao cho ( , ) 0f x y  với mọi y K , trong đó K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian vectơ tôpô X , :f K K Y  , Y là một không gian vectơ tôpô với nón thứ tự C Y nhọn, lồi, đóng, intC  . Bài toán cân bằng vectơ đa trị được xét là các bài toán sau: Tìm x K sao cho ( , ) intF x y C  với mọi y C , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Tìm x K sao cho ( , )F x y C với mọi y C , trong đó hàm đa trị : 2YF K K  (các tập ,K C và không gian Y như trên). Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ trong không gian vectơ tôpô với cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương. Chương 1 trình bày một số điểm cơ bản về xuất xứ của Nguyên lí ánh xạ KKM trong sự liên quan với một số thành tựu quan trọng của giải tích hàm phi tuyến (Định lí điểm bất động Brouwer, Bổ đề KKM, Bất đẳng thức Ky Fan). Chương 2 trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đơn trị ở hai hướng nghiên cứu: sử dụng và không sử dụng giả thiết đơn điệu. Trước khi trình bày các kết quả này, chúng tôi đưa ra một số kết quả đặc thù ở bài toán cân bằng vô hướng để dễ thấy phần chính là kết quả và phương pháp ở bài toán cân bằng vectơ được mở rộng thế nào từ bài toán vô hướng. Một số kiến thức chuẩn bị về nón và quan hệ thứ tự theo nón cần cho nghiên cứu bài toán vectơ cũng được đưa vào chương này. Chương 3 đề cập đến một số kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đa trị có giả thiết đơn điệu và không có giả thiết đơn điệu. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Văn Chóng- Viện toán học Việt Nam, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoa học. Xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo thuộc Viện toán học và các thầy, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu . Xin được cảm ơn cơ quan, gia đình và bạn bè đã động viên rất nhiều giúp tôi hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008 Nguyễn Thị Hòa Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 Chương 1 NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM Như ta biết, Bổ đề KKM (1929) trong không gian hữu hạn chiều của ba nhà toán học Balan thiết lập được một chứng minh đơn giản hơn chứng minh ban đầu rất phức tạp của Định lí điểm bất động Brouwer (1912) và sau đó bổ đề này được mở rộng ra không gian vô hạn chiều thành Nguyên lí ánh xạ KKM (1961). Bất đẳng thức Ky Fan (1972) được chứng minh bằng cách sử dụng nguyên lí này. Ở chương này chúng tôi đề cập tới một số điểm cơ bản của Nguyên lí ánh xạ KKM trong liên quan với các thành tựu trên của giải tích hàm phi tuyến (Định lí Brouwer, Bổ đề KKM, Bất đẳng thức Ky Fan). 1.1. BỔ ĐỀ KKM Trước hết ta nhắc đến một số khái niệm sau: Cho X là một không gian vectơ, tập hợp S trong X được gọi là một n- đơn hình nếu  0 1, ,..., nS co u u u với 0 1, ,..., nu u u X và các vectơ 1 0 0,..., nu u u u  là độc lập tuyến tính (ở đây ( )co A kí hiệu bao lồi của tập A ). Các điểm iu được gọi là các đỉnh. Bao lồi của ( 1)k  đỉnh được gọi là k -diện của S . Mỗi x S được biểu diễn duy nhất dưới dạng: 0 , n i i i x x u   với 0 0, 1 n i i i x x    . Ta viết 0 1( , ,..., )nx x x x và gọi các , ( 0,1,..., )ix i n là các tọa độ trọng tâm của x , chúng cũng biến đổi liên tục theo x . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 Dùng Bổ đề Sperner về phép gán số trong phép tam giác phân một đơn hình do Sperner đưa ra từ 1928, Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh bổ đề quan trọng sau trong không gian nR . Bổ đề KKM (Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz[11], 1929) Cho một n-đơn hình  0 1, ,..., nS co u u u trong nR và các tập hợp đóng 0 1, ,..., nF F F trong S thỏa mãn điều kiện: với mọi tập hợp con  0,1,...,I n ta có  :i i i I co u i I F    . (KKM) Khi đó 0 n i i F    . Chứng minh đầy đủ của Bổ đề KKM bằng cách dùng Bổ đề Sperner được giới thiệu trong Tân-Hà [18], do khuôn khổ của luận văn chúng tôi không nêu ra ở đây. Định lí điểm bất động Brouwer (Brouwer [5], 1912) Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng trong nR vào chính nó đều có điểm bất động. Để chứng minh định lí này bằng cách dùng Bổ đề KKM ta sử dụng kết quả sau. Mệnh đề 1.1 Giả sử M là một tập hợp trong không gian tôpô có tính chất: mọi ánh xạ liên tục :T M M đều có điểm bất động. Khi ấy nếu M  đồng phôi với M thì M  cũng có tính chất đó. Chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 Cho  là phép đồng phôi từ M lên M  và :T M M   là ánh xạ liên tục. Ta cần chứng minh T  cũng có điểm bất động. Thật vậy, đặt 1 T T   ta được :T M M là ánh xạ liên tục, nên theo giả thiết tồn tại 0x M với 0 0Tx x . Khi đó 0( )x là điểm bất động của T  .  Chứng minh Định lí điểm bất động Brouwer Cho đơn hình S , vì hình cầu đơn vị đóng trong nR đồng phôi với một n- đơn hình S nên ta chỉ cần chứng minh ánh xạ liên tục :T S S có điểm bất động trong S . Với mỗi x S ta có 0 1( , ,..., ),nx x x x các ix với 0,1,...,i n là các tọa độ trọng tâm của x và 0 1( , ,..., )ny Tx y y y  . Ta đặt  : , 1,...,i i iF x S x y i n    . Do T liên tục nên các iF đều đóng. Ta sẽ chứng minh các iF thỏa mãn điều kiện (KKM) sau  :i i i I co u i I F    , trong đó I là một tập con bất kỳ của tập  0,1,...,n . Lấy  :ix co u i I  ta có 0 1( , ,..., )nx x x x với 0ix  nếu i I , 0ix  nếu i I và 0 1( , ,..., )ny y y y với 0 0, 1 n i i i y y    . Để chỉ ra i i I x F   ta cần chỉ ra tồn tại 0i I để 0i x F , tức là 0 0i i x y . Giả sử ngược lại rằng i ix y với mọi i I . Khi đó ta gặp mâu thuẫn: 0 0 1 1 n n i i i i i i I i I i x x y y             . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 Vậy điều kiện KKM được thỏa mãn. Do đó theo bổ đề KKM tồn tại 0 n i i x F   . Khi đó ta có i ix y với 0,1,...,i n , trong đó iy là tọa độ trọng tâm của y Tx . Vì 0 0 1 n n i i i i x y      nên các bất đẳng thức trên phải là đẳng thức. Vậy ta có , 0,...,i ix y i n   hay x y Tx  và định lí được chứng minh.  Định lí điểm bất động Brouwer vẫn đúng nếu ta thay hình cầu đơn vị đóng trong nR bởi một tập lồi đóng bị chặn trong không gian tuyến tính hữu hạn chiều (điều kiện hữu hạn chiều là bắt buộc). Dùng định lí này ta cũng nhận được Bổ đề KKM như chứng minh dưới đây. Chứng minh Bổ đề KKM Giả sử  0 1, ,..., nS u u u là một đơn hình và 0 1, ,..., nF F F là các tập đóng trong S thỏa mãn điều kiện (KKM) nhưng 0 n i i F   . Khi đó với mỗi x S và mỗi 0,...,i n ta đặt ( ) ( , )i ix d x F  là khoảng cách từ x đến iF . Vì 0 n i i F   nên với mỗi x S tồn tại i sao cho ix F , tức là ( ) 0i x  do iF đóng . Vậy ta có thể định nghĩa hàm 0 ( ) ( ) , , 0,1,..., . ( ) i i n j j x x x S i n x        Các hàm i có tính chất: liên tục, 0 0 ( ) 1, ( ) 1 n i i i x x      với mọi x S . Với mỗi x S ta đặt 0 ( ) n i i i Tx x u   . Do S lồi nên ta có Tx S , ngoài ra T liên tục vì i liên tục. Theo Định lí điểm bất động Brouwer, tồn tại x S mà x Tx . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Đặt  : ( ) 0iI i x  . Khi đó ta có 0 ( ) ( ) n i i i i i i I Tx x u x u       . Nhưng vì ( ) 0i x  khi và chỉ khi ix F với mọi i I , nên i i I x F    . Điều này mâu thuẫn với x Tx  ( ) :i i i i i I i I x u co u i I F        , (do điều kiện KKM). Vậy Bổ đề KKM được chứng minh.  Nhận xét 1.1 Theo các chứng minh trên thì từ Bổ đề KKM ta nhận được Định lí Brouwer và ngược lại, như vậy Bổ đề KKM tương đương với Định lí Brouwer. 1.2. NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM Nguyên lí ánh xạ KKM là một mở rộng của Bổ đề KKM ra không gian vô hạn chiều và là trung tâm của Lý thuyết KKM, một bộ phận cơ bản và sâu sắc của giải tích phi tuyến. Trước khi phát biểu và chứng minh Nguyên lí ánh xạ KKM, chúng ta định nghĩa ánh xạ KKM. Cho C là một tập hợp trong không gian vectơ tôpô X , ánh xạ (đa trị) F từ C vào 2X được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập hợp hữu hạn  1 2, , ..., nx x x trong C ta có :  1 2 1 , ,..., ( ) n n i i co x x x F x   . Nguyên lí ánh xạ KKM (Ky Fan [8], 1961) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 Cho C là một tập hợp trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X , : 2 X F C  là một ánh xạ KKM với giá trị đóng. Khi đó với mọi tập hữu hạn A nằm trong C ta có: ( ) x A F x   . Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại một tập hợp hữu hạn  1 2, ,..., nx x x trong C thỏa mãn 1 ( ) n i i F x   . Gọi L là không gian con tuyến tính của X sinh bởi  1 2, ,..., nx x x và d là một khoảng cách trên L tương thích với tôpô cảm sinh từ X . Ký hiệu 1{ ,..., }nco x x  . Đặt ( ) ( ) , 1,...,i iG x F x L i n  . Với mỗi x , đặt ( ) ( , ( ))i ix d x G x  . Vì 1 ( ) n i i F x   nên 1 ( ) n i i G x   . Do đó với mỗi x , tồn tại một i sao cho ( )ix G x , suy ra ( ) 0i x  do ( )iG x đóng. Vậy ta có thể đặt 1 ( ) ( ) , ( ) i i n j j x x x x        . Các hàm i đều liên tục và 1 0 ( ) 1, ( ) 1 n i i i x x      với mọi x . Đặt 1 ( ) n i i i Tx x u   , do  lồi ta được ánh xạ liên tục :T L với L hữu hạn chiều. Theo Định lí Brouwer, tồn tại x mà x Tx . Đặt  : ( ) 0iI i x  , ta được ( ) { : }i i i i i I i I x Tx x u co u i I F         , vì F là ánh xạ KKM. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Mặt khác, vì với mọi i I ta có ( ) 0i x  nên ( )ix G x . Vì x L nên ( )ix F x với mọi i I , tức là ( )i i I x F x    , ta gặp mâu thuẫn. Vậy Nguyên lí được chứng minh.  Nhận xét 1.2 Nếu trong Nguyên lí ánh xạ KKM, ánh xạ F có một giá trị compắc, chẳng hạn 0( )F x , khi ấy họ tập đóng  0( ) ( ) :F x F x x C thuộc tập compắc 0( )F x và có tính chất giao hữu hạn. Vì vậy họ này có giao khác rỗng. Kết quả này trong tài liệu gọi là Bổ đề Ky Fan dưới đây. Bổ đề Ky Fan ([8], 1961) Cho C là một tập hợp khác rỗng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X và ánh xạ đa trị : 2XF C  thỏa mãn : 1)Với mỗi x C thì ( )F x là tập đóng, khác rỗng trong X ; 2) F là ánh xạ KKM; 3)Tồn tại 0x C sao cho 0( )F x compắc. Khi ấy ta có: ( ) x C F x   . Ở đây cần lưu ý là, trong ứng dụng, Nguyên lí ánh xạ KKM được dùng chủ yếu ở dạng Bổ đề Ky Fan. Ngoài ra cần lưu ý thêm là không gian X trong Nguyên lí ánh xạ KKM của Ky Fan được giả thiết là Hausdorff và trong các nghiên cứu sử dụng Nguyên lí ánh xạ KKM cho đến gần đây phần lớn đều dùng Nguyên lí này với giả thiết X là Hausdorff. Tuy nhiên điều kiện Hausdorff là không cần thiết và đã được Ding- Tân [7] chỉ ra từ 1992. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Nhận xét 1.3 Chúng ta đã chứng minh Nguyên lí ánh xạ KKM từ Định lí điểm bất động Brouwer. Mặt khác từ Nguyên lí ánh xạ KKM suy ra Bổ đề KKM (với  0, , ..., , ( ) , 0,1,..., n n i iX R C u u F u F i n    ), còn Bổ đề KKM thì suy ra Định lí Brouwer. Vậy từ Nguyên lí ánh xạ KKM ta cũng nhận được Định lí điểm bất động Brouwer, nghĩa là Nguyên lí ánh xạ KKM tương đương với Định lí Brouwer. 1.3. BẤT ĐẲNG THỨC KY FAN Bất đẳng thức Ky Fan được chứng minh từ Nguyên lí ánh xạ KKM. Bất đẳng thức này cùng với cách chứng minh của nó có nhiều ứng dụng, nhất là trong nghiên cứu tồn tại nghiệm bài toán cân bằng. Bất đẳng thức Ky Fan (Ky Fan [9], 1972) Cho C là một tập hợp lồi, compắc trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X và :f C C R  là một hàm số thỏa mãn các điều kiện sau: 1) ( , )f x y tựa lõm theo x với mỗi y cố định; 2) ( , )f x y nửa liên tục dưới theo y với mỗi x cố định; 3) ( , ) 0f x x  với mọi x C . Khi đó tồn tại y C sao cho ( , ) 0f x y  với mọi x C . Chứng minh Kết luận của Bất đẳng thức Ky Fan được suy ra từ Nguyên lí ánh xạ KKM như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Với mỗi x C đặt  ( ) : ( , ) 0F x y C f x y   . Vì hàm f nửa liên tục dưới theo y nên ( )F x là tập đóng. Ta kiểm tra điều kiện KKM bằng phản chứng. Giả sử tồn tại 1,..., nx x C và  1,..., nx co x x mà 1 ( ) n i i x F x    . Khi đó: 1 1 , 0, 1 n n i i i i i i x x         . Vì 1 ( ) n i i x F x    , nên theo định nghĩa của tập hợp ( )iF x ta có: 1 ( , ) ( , ) 0, 1,..., n i i i i i f x x f x x i n     . Do ( , )f x y tựa lõm theo biến thứ nhất nên tập hợp  : ( , ) 0z C f z x  là lồi. Tập hợp này chứa mọi ix nên cũng chứa 1 n i i i x x   , vậy ta có: 1 1 ( , ) ( , ) 0 n n i i i i i i f x x f x x       , điều này trái với điều kiện 3). Vậy nên F là ánh xạ KKM. Vì C compắc nên ta có: ( ) x C F x   (theo Nguyên lí ánh xạ KKM). Lấy ( ) x C y F x   ta được ( , ) 0f x y  với mọi x C . Định lí được chứng minh.  Dùng Bất đẳng thức Ky Fan ta chứng minh được kết quả sau là một mở rộng của Định lí Brouwer . Mệnh đề 1.2 Mọi ánh xạ liên tục từ một tập hợp lồi, compắc trong một không gian Hilbert vào chính nó đều có điểm bất động. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Thật vậy, cho C là một tập lồi, compắc trong không gian Hilbert với tích vô hướng , , :x y T C C   là một ánh xạ liên tục, với mỗi cặp ,x y C ta đặt ( , ) ,f x y Ty y x y    . Với mỗi y cố định, f là hàm affin theo biến x , nên cũng lõm. Với mỗi x cố định , f là hàm liên tục theo biến y (do T liên tục), vậy cũng nửa liên tục dưới. Hiển nhiên ( , ) 0f x x  với mọi x C . Do đó theo Bất đẳng thức Ky Fan tồn tại y C sao cho: ( , ) 0,f x y x C   , tức là , 0,Ty y x y x C       . Đặc biệt nếu x Ty ta có 2 0Ty y  do đó y Ty . Mệnh đề được chứng minh.  Nhận xét 1.4 Theo chứng minh trên và các nhận xét 1.1, 1.3 thì Bổ đề KKM, Định lí điểm bất động Brouwer, Nguyên lí ánh xạ KKM và Bất đẳng thức Ky Fan là tương đương với nhau. Chương 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐƠN TRỊ Sau khi được công bố (1972), Bất đẳng thức Ky Fan nhanh chóng thu hút sự quan tâm của nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích phi tuyến. Brezis- Nirenberg- Stampacchia [4](1972) chứng minh một kết quả quan trọng kết nối Bất đẳng thức Ky Fan và bất đẳng thức biến phân đơn điệu cổ điển. Mosco [13](1976) đưa ra kết quả mở rộng Bất đẳng thức Ky Fan ra tập không compắc và kết quả mở rộng bất đẳng thức biến phân đơn điệu cổ điển…Đây là các kết quả khởi đầu cơ bản về tồn tại nghiệm bài toán cân bằng vô hướng được xây dựng từ Nguyên lí ánh xạ KKM. Cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM để thiết lập điều kiện tồn tại nghiệm cho bài toán cân bằng được nhiều nghiên cứu mở rộng hiệu quả cho trường hợp bài toán cân bằng vectơ cho hàm đơn trị như Ansari- Konnov- Yao [1] (2001), Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2](1997), Tan- Tinh [16](1998)… Chương này trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ cho hàm đơn trị theo cách tiếp cận nêu trên. Trước đó chúng tôi trình bày ngắn gọn một số kết quả tiêu biểu cho cách tiếp cận này ở bài toán vô hướng để dễ thấy sự mở rộng cách tiếp cận này ở bài toán vectơ. Để tiện cho việc trình bày bài toán vectơ, trước hết chúng tôi đưa vào một số kiến thức chuẩn bị. Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong chương này chủ yếu được tập hợp từ các bài báo [1, 2, 13, 16]. 2.1. NÓN VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ THEO NÓN Cho C là một tập con trong không gian vectơ tôpô Y . Tập C được gọi là một nón nếu tc C với mỗi c và 0t  . Như vậy theo định nghĩa, nón luôn có đỉnh tại gốc 0 Y . Nón C được gọi là lồi (đóng) nếu C là tập lồi (đóng, tương ứng). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 Kí hiệu ( )l C là tập C C . Đặc biệt nếu C là lồi thì ( )l C C C  là không gian tuyến tính nhỏ nhất trong C và được gọi là phần trong tuyến tính của nón C . Nón lồi C trong Y được gọi là nhọn nếu  ( ) 0l C  . Rõ ràng tập  0 và cả không gian Y đều là nón, hơn nữa còn lồi, đóng, ta gọi các nón này là nón tầm thường. Trong không gian tuyến tính tôpô ta kí hiệu ( ), int( ), ( )cl C C co C lần lượt là bao đóng, phần trong, bao lồi của nón C . Ví dụ 1) Nón orthant dương: Cho  1( ,..., ) : , 1,...,n n jY R x x x x R j n      . Khi đó  1( ,..., ) : , 0, 1,...,n n j jC R x x x x R x j n       là một nón lồi, đóng, nhọn. 2) Nếu tập  1 1( ,..., ) : 0, , 2,...,n jC x x x x x R j n     thì C là nón lồi, đóng, nhưng không nhọn vì ta dễ dàng thấy:    2( ) (0, ,..., ) 0 .nnl C x x x R    Tập  1 1( ,..., ) : , 0, 2,...,nn ix x R x R x i n    cũng là một nón lồi, đóng, nhưng không nhọn. 3) Tập chứa 0 Y và các vectơ 1( ,..., )nx x x với cùng một tọa độ dương, chẳng hạn 1 0x  là một nón nhọn, lồi, nhưng không đóng. Tập     3 31 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) : 0, 1, 2, 3 , , : 0, 0iC x x x R x i x x x R x x x         cũng là một nón nhọn, lồi, nhưng không đóng. Ta nói nón C được gọi là thỏa mãn điều kiện (  ) nếu tồn tại nón lồi, đóng nhọn C với phần trong khác rỗng sao cho:  \ 0 intC C  . Nón C được gọi là sinh bởi tập B Y , ký hiệu ( )C cone B nếu: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18  : , 0C tb b B t   . Nếu ngoài ra B không chứa điểm gốc 0 và với mỗi , 0c C c  đều tồn tại duy nhất , 0b B t  sao cho c tb khi ấy B được gọi là cơ sở của nón C . Người ta chứng minh được rằng nếu nón C có cơ sở lồi, compắc thì nó thỏa mãn điều kiện (  ) ([16]). Từ kết quả này và theo định nghĩa ta có các ví dụ sau về nón thỏa mãn điều kiện (  ). Ví dụ 1) Cho B là một tập khác rỗng thuộc phần trong của hình cầu ,nB R 0 B  , ( ), ( )C cone B C cone B   . Khi ấy theo định nghĩa C là nón thỏa mãn điều kiện (  ) vì  \ 0 int .C C  2) Cho B là một tập con lồi compắc trong , 0nR B . Khi ấy nón ( )C cone B có cơ sở B lồi compắc nên thỏa mãn điều kiện (  ). Ta nhắc lại khái niệm Quan hệ thứ tự sinh bởi nón: Cho C là một nón nhọn, lồi, đóng trong không gian vectơ tôpô Y . Khi ấy C xác định một quan hệ thứ tự trong Y : với ,x y C ta viết x y khi và chỉ khi y x C  . x  y khi và chỉ khi y x C  . Trong trường hợp intC  , với ,x y C ta viết x y khi và chỉ khi inty x C  . x y khi và chỉ khi inty x C  . Định nghĩa hoàn toàn tương tự cho các quan hệ thứ tự ,  , ,   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Ví dụ 1) Cho Y R , nón thứ tự nC R (nhọn, lồi, đóng). Với  1, ..., nx x x ,  1,..., n ny y y R  ta có , 1,..., .i ix y x y i n    , 1,...,i ix y x y i n    . x i iy x y  với ít nhất một  1,..., .i n i ix y x y  với ít nhất một  1,..., .i n 2)  2 21 2 1 2, ( , ) : .Y R C x x R x x    Với 2 1 2 1 2( , ), ( , )x x x y y y R   ta có 1 1 2 20 .x y y x y x     x 2 \ .y y x R C   1 1 2 2 2 0 . \ int . x y y x y x x y y x R C           Lưu ý là khi  , 0;Y R C   thì với ,x y R : . . x y y x x y y x       2.2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÔ HƯỚNG Hai hướng cơ bản trong các nghiên cứu về tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng là các nghiên cứu có giả thiết đơn điệu và các nghiên cứu không có giả thiết đơn điệu của hàm trong bất đẳng thức. Hướng thứ hai chính là các nghiên cứu mở rộng Bất đẳng thức Ky Fan (xét ở Chương 1) ra tập không compắc mà dưới đây là một kết quả cơ bản. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Định lí 2.1 (Mosco[13], 1976) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X , hàm :g C C R  với ( , ) 0 .g x x x C   Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn: 1) ( ,.)g x là lõm với mỗi x C ; 2) (., )g y là nửa liên tục dưới với mỗi y C ; 3)Điều kiện bức:Tồn tại một tập compắc B X và một vectơ 0y B C  sao cho 0( , ) 0 \ .g x y x C B   Khi đó tập nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng : ( , ) 0x C g x y y C    (2.1) là tập compắc, khác rỗng. Chứng minh: Đặt  ( ) : ( , ) 0 ,G y x C g x y y C    . Ta có ( )G y là đóng với mỗi y C (do Điều kiện 2)), do đó 0( )G y là tập đóng trong tập compắc B nên cũng compắc (Điều kiện 3)). Hơn nữa : 2CG C  là ánh xạ KKM. Thật vậy, giả sử trái lại, nghĩa là có tập hữu hạn  1, ..., ny y C mà  1 1 ,..., ( ) n n i i co y y G y    , khi ấy có một 1 n i i i y y   với 0,i  1 1 n i i    và   1,...,iy G y i n   , nghĩa là ( , ) 0 1,..., .ig y y i n   Do đó 1 ( , ) 0. n i i i g y y   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 Do ( ,.)g y lõm nên: 1 1 ( , ) , ( , ) 0 n n i i i i i i g y y g y y g y y              , điều này mâu thuẫn với giả thiết ( , ) 0g y y y C   . Vậy G là ánh xạ KKM. Theo Bổ đề Ky Fan thì ( ) y C G y    nghĩa là bài toán cân bằng (2.1) có nghiệm. Do tập nghiệm của (2.1) là đóng (do 2)) và thuộc tập compắc B (do 3)) nên compắc. Định lí được chứng minh.  Nhận xét 2.1 Nếu C là tập lồi compắc thì Định lí 2.1 chính là Bất đẳng thức Ky Fan. Dùng chứng minh của Định lí 2.1 kết hợp với chứng minh của Bất đẳng thức Ky Fan, ta cũng chứng minh được Định lí 2.1 trong trường hợp tính lõm của hàm g được thay bằng tính tựa lõm. Để đưa ra kết quả trong trường hợp có giả thiết đơn điệu ta cần các khái niệm sau trong [13]. Cho C là một tập lồi trong không gian vectơ tôpô. Hàm :g C C R  gọi là hemi-liên tục nếu với ,x y C , hàm ( ( ), )f x t y x y  là liên tục theo [0,1]t tại 0t  . Hàm g gọi là đơn điệu nếu ( , ) ( , ) 0 ,g x y g y x x y C    . Hàm g gọi là đơn điệu chặt nếu ( , ) ( , ) 0 , ,g x y g y x x y C x y     . Ở một số tài liệu, chẳng hạn Blum-Oettli [3], hàm g được gọi là đơn điệu nếu g là đơn điệu theo nghĩa trên. Ở mục này tính đơn điệu của hàm hai biến g được hiểu theo nghĩa trên. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng, dưới đây là một kết quả cơ bản ở hướng nghiên cứu dùng giả thiết đơn điệu. Định lí 2.2 (Mosco [13], 1976) Cho C là tập lồi, đóng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X và hàm :g C C R  với ( , ) 0g x x x C   sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: 1) g là hàm hemi-liên tục và đơn điệu; 2) Với mỗi x C , hàm ( ,.)g x là lõm và nửa liên tục trên; 3) Điều kiện bức: Tồn tại tập compắc B C và 0y B sao cho 0( , ) 0, \ .g x y x C B   Khi ấy tập nghiệm của bài toán cân bằng : ( , ) 0,x C g x y y C    (2.2) là tập con khác rỗng, lồi và compắc trong B . Định lí trên chính là Định lí 3.1 trong [13] với 0  (Cho 0  để tránh các phức tạp không cần thiết trong trình bày và tiện sử dụng ở các phần sau). Định lí 2.2 được chứng minh bằng cách dùng Bổ đề Ky Fan và Bổ đề dưới đây (mở rộng một kết quả của Minty [12] về toán tử đơn điệu). Với mỗi y C đặt  ( ) : ( , ) 0G y x C g x y   ;  ( ) : ( , ) 0H y x C g y x   và ký hiệu ( )F y là bao đóng của ( ).G y Bổ đề 2.1 Cho tập C , hàm g như ở Định lí 2.2 và thỏa mãn điều kiện 1),2) của định lí này. Cho các tập ( ), ( ), ( )G y F y H y như ở trên. Khi ấy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 ( ) ( ) ( ). y C y C y C G y F y H y        Chứng minh Do ( ) ( )G y F y y C   nên chỉ cần chứng minh ( ) ( ) ( ) y C y C y C F y H y G y        . Thật vậy, lấy ( )x G y ta có: ( , ) 0g x y  . Do g là đơn điệu nên ( , ) 0 ( , ) ( , ).g x y g x y g y x   Suy ra ( , ) 0g y x  , nghĩa là ( )x H y nên ( ) ( ).G y H y Ta có với mỗi , ( )y C H y là lồi và đóng do ( ,.)g y là lõm và nửa liên tục trên. Do ( )F y là bao đóng của ( )G y nên ( ) ( ).F y H y Vậy suy ra ( ) ( ). y C y C F y H y     Ta chứng minh: ( ) ( ) y C y C H y G y     nghĩa là chứng tỏ ( , ) 0g y x y C   , (2.3) kéo theo ( , ) 0g x y y C   . (2.4) Giả sử (2.4) không đúng, tức là tồn tại x C thỏa mãn (2.3) và một y C để cho ( , ) 0g x y  . (2.5) Xét véc tơ (1 ) , [0,1]tx ty t x t    . Theo điều kiện 1) của Định lí 2.2, hàm ( , )tg x y của biến thực  0,1t là liên tục khi 0t  . Do đó với 0t  (đủ nhỏ), từ (2.5) suy ra ( , ) 0, (0, )tg x y t t   . (2.6) Lấy ty x , từ (2.3) suy ra Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24  ( , ) 0, 0,1tg x x t   . (2.7) Do tính lõm của ( ,.)g x nên từ (2.6) và (2.7) suy ra ( , ) 0 (0, )t tg x x t t   , điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy (2.4) đúng. Do đó ( ) ( ) y C y C H y G y     . Bổ đề được chứng minh.  Chứng minh Định lí 2.2 Theo Bổ đề 2.1 và do ( )H y là lồi, đóng với mỗi y C ta có tập nghiệm của bài toán là lồi và đóng. Tập nghiệm này là compắc vì nó là tập con đóng của tập compắc B ( theo điều kiện bức 3)). Ta chứng minh tập nghiệm n._.