Nghiên cứu việc đưa vào dạy học toán ở trường phổ thông thuật toán chia đôi trong môi trường máy tính bỏ túi

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP. HOÀ CHÍ MINH ---------------------------- ÑOÃ PHẠM ANH TÚ NGHIEÂN CÖÙU VIEÄC ÑÖA VAØO DAÏY HOÏC TOAÙN ÔÛ TRÖÔØNG PHOÅ THOÂNG THUAÄT TOAÙN CHIA ÑOÂI TRONG MOÂI TRÖÔØNG MAÙY TÍNH BOÛ TUÙI LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ GIAÙO DUÏC HOÏC Chuyeân ngaønh: Lyù luaän vaø phöông phaùp daïy hoïc moân toaùn Maõ soá: 60 14 10 Ngöôøi höôùng daãn khoa hoïc: TS. Leâ Vaên Tieán Thaønh phoá Hoà Chí Minh – 2006 MUÏC LUÏC LÔØI CAÛM ÔN MÔÛ ÑAÀU…….………………………………………………………………………………………………………………………………….1 1. Lyù do choïn ñeà taøi vaø caâu hoûi xuaát phaùt………………………………………………………………………1 2. Muïc ñích nghieân cöùu vaø phaïm vi lyù thuyeát tham chieáu………………………………………2 3. Phöông phaùp nghieân cöùu vaø toå chöùc nghieân cöùu…………………………………………………….3 4. Toå chöùc cuûa luaän vaên…………………………………………………………………………………………………………3 Chöông 1: TOÅ CHÖÙC TOAÙN HOÏC (TCTH) THAM CHIEÁU GAÉN LIEÀN VÔÙI THUAÄT TOAÙN CHIA ÑOÂI (TTCÑ)……………………………………………………………5 1.1. Sô löôïc lòch söû cuûa khaùi nieäm thuaät toaùn….……………………………………………………………5 1.2. TCTH tham chieáu gaén lieàn vôùi TTCÑ…………………………………………………………………….6 1.2.1. TTCÑ trong quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá” cuûa B. Deùmidovitch vaø I. Maron………………………………………………………….……………………………………………….6 1.2.2. TTCÑ trong quyeån saùch “Toaùn hoïc vaø tin hoïc” cuûa Arthur Engel……………………………………………………………………………………………………….10 1.2.3. TCTH tham chieáu gaén lieàn vôùi TTCÑ…………………………………………………….13 1.3. Keát luaän veà chöông 1………………………………………………………………………………………………….14 Chöông 2: MOÁI QUAN HEÄ THEÅ CHEÁ VÔÙI TTCÑ VAØ MAÙY TÍNH BOÛ TUÙI (MTBT)…………………………………………..…………………………………………………………………….15 2.1. Moái quan heä theå cheá vôùi TTCÑ……………………….…………………………………………………….15 2.1.1. Tình huoáng ñöa vaøo TTCÑ……………………….…………………….……………………………15 2.1.2. Veát cuûa TCTH tham chieáu………………………………………………….……………………….21 2.1.3. Keát luaän…………….…………………………………………………………………………………………………23 2.2. Moái quan heä theå cheá vôùi MTBT…………………………………………………………………………….24 2.2.1. Toång quan veà MTBT…………………………………………………….……………………………….24 2.2.2. Moät soá tình huoáng ñöa vaøo MTBT……………………………………………….……………26 2.2.3. Keát luaän……………………………………………………………………………………………………………….29 2.3. Keát luaän veà chöông 2………………………………………………………………………………………………….30 Chöông 3: THÖÏC NGHIEÄM……………………………………………………………………………………………….31 3.1. Muïc ñích thöïc nghieäm…………………………………………………………………………………………………31 3.2. Phaân tích tieân nghieäm…………………………………………………………………………………………………31 3.2.1. Tình huoáng toång quaùt………………………………………………………………………………………31 3.2.2. Löïa choïn haøm soá f(x)……………………………………………………………………….…………….31 3.2.3. Noäi dung thöïc nghieäm……………………………………………………….……………………………33 3.2.4. Tieán trình thöïc nghieäm……………………………………………………………………………………35 3.2.5. Caùc bieán tình huoáng……………………………………………………………………….…….………. 36 3.2.6. Phaân tích chi tieát………………………….…………………………………………………………………..37 3.3. Phaân tích haäu nghieäm………………………………………………………………………………………………….45 3.3.1. Caùc chieán löôïc coù duøng phím nhôù cuûa MTBT ñaõ ñöôïc söû duïng……45 3.3.2. Söï hôïp thöùc hoùa tình huoáng tính gaàn ñuùng nghieäm…………………………….46 3.3.3. Tính thoûa ñaùng cuûa giaû thuyeát nghieân cöùu…………………………………………….48 3.3.4. TTCÑ ñaõ ñöôïc ñöa vaøo daïy hoïc ……………………………………..……………………….52 3.3.5. Söï xuaát hieän ngaàm aån cuûa yeáu toá tin hoïc………………………………………….……54 3.3.6. Keát luaän veà thöïc nghieäm……………………………………………………………………………….55 KEÁT LUAÄN…………………………………………………………………………………………………………………………………56 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO PHUÏC LUÏC Caùc phieáu thöïc nghieäm Moät soá lôøi giaûi tieâu bieåu cuûa caùc nhoùm Protocole TAØI LIEÄU THAM KHAÛO Tieáng Vieät 1. Hoaøng Kieám (2001), Giaûi moät baøi toaùn treân maùy tính nhö theá naøo?, Taäp 1, Nxb Giaùo duïc, Haø Noäi. 2. Hoaøng Xuaân Sính (1977), Ñaïi soá ñaïi cöông, Nxb Giaùo duïc, Haø Noäi. 3. Leâ Thaùi Baûo Thieân Trung (2004), Nghieân cöùu veà khaùi nieäm giôùi haïn haøm soá trong daïy hoïc toaùn: Moät coâng ngheä didactique trong moâi tröôøng maùy tính boû tuùi, Luaän vaên Thaïc só, Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp. Hoà Chí Minh. 4. Leâ Thò Hoaøi Chaâu, Leâ Vaên Tieán, Nguyeãn Vaên Vónh (1999), Hoïc taäp trong hoaït ñoäng vaø baèng hoaït ñoäng, Taøi lieäu boài döôõng thöôøng xuyeân, Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp. Hoà Chí Minh. 5. Taï Duy Phöôïng (2003), Giaûi toaùn treân maùy tính ñieän töû, Nxb Giaùo duïc, Haø Noäi. 6. Traàn Anh Duõng (2005), Khaùi nieäm lieân tuïc – Moät nghieân cöùu khoa hoïc luaän vaø didactic, Luaän vaên Thaïc só, Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp. Hoà Chí Minh. 7. Trònh Coâng Dieäu (1996), Phöông phaùp tính, Ñeà cöông baøi giaûng, Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp. Hoà Chí Minh. 8. Vuï Giaùo duïc trung hoïc (2005), Maùy tính Casio fx 500 MS – Höôùng daãn söû duïng vaø giaûi toaùn, Haø Noäi. 9. Vuï Trung hoïc phoå thoâng (2001), Moät soá vaán ñeà veà naâng cao thöïc haønh treân maùy tính Casio, Tp. Hoà Chí Minh. Dòch sang tieáng Vieät 10. Fichtengoân G. M. (1977), Cô sôû giaûi tích toaùn hoïc, Taäp 1, Nxb Ñaïi hoïc vaø Trung hoïc chuyeân nghieäp, Haø Noäi. 11. Nyhoff L., Leedstma S. (1998), Laäp trình naâng cao baèng Pascal vôùi caùc caáu truùc döõ lieäu, Nxb Ñaø Naüng. Tieáng Anh 12. Knuth D. E. (1997), The art of computer programming, Addison Wesley Longman, California. 13. Rotman J. (1998), Galois Theory, Springer-Verlag, NewYork. 14. Roman S. (1995), Field Theory, Springer-Verlag, NewYork. 15. Thomas H. C., Charles E. L., Ronald L. R. (1990), Introduction to Algoritthms, McGraw-Hill Book Company, NewYork. Tieáng Phaùp 16. Chabert J. L., Barbin E., Guilletmot M., Pajus A. M., Borowczyk J., Djebbar A. et Martzloff J. C. (1994), Histoire d’algorithmes, EÙditions Berlin. 17. Deùmidovitch B. et Maron I. (1979), EÙleùments de culcul numeùrique, Traduction français, EÙditions Mir. Moscou, (traduit du russe par V. Polonski). 18. Engel A. (1985), Matheùmatique et informatique, EÙditions Cedic, Paris. 19. Leâ Vaên Tieán (2001), EÙtude didactique de liens entre fonctions et eùquations dans l’enseignement des matheùmatiques au lyceùe en France et au Vieât-nam, Theøse, Universiteù Joseph Fourier – Grenoble I. PHUÏ LUÏC Caùc phieáu thöïc nghieäm Moät soá lôøi giaûi tieâu bieåu cuûa caùc nhoùm Protocole LÔØI CAÛM ÔN
 Tröôùc heát, toâi xin baøy toû loøng bieát ôn saâu saéc ñeán TS. Leâ Vaên Tieán. Maëc duø ù á â ø û ø á â é á â ê á ë øù á â ø û ø á â é á â ê á ë øù á â ø û ø á â é á â ê á ë ø raát baän roän vôùi coâng taùc quaûn lyù vaø coâng taùc chuyeân moân, thaày vaãn daønh nhiá ä ä ù â ù û ù ø â ù â â à ã øá ä ä ù â ù û ù ø â ù â â à ã øá ä ä ù â ù û ù ø â ù â â à ã ø eàu coâng à âà âà â söùc vaø taän tình höôùng daãn toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy.ù ø ä ù ã â ø ø ä ê øù ø ä ù ã â ø ø ä ê øù ø ä ù ã â ø ø ä ê ø Toâi xin traân troïng caûm ôn TS. Traàn Vaên Taán, PGS.TS. Leâ Thò Hoaøi Chaâu, â â ï û à ê á â ø ââ â ï û à ê á â ø ââ â ï û à ê á â ø â TS. Leâ Vaên Tieán, TS. Ñoaøn Höõu Haûi, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. â ê á ø õ ûâ ê á ø õ ûâ ê á ø õ û Annie Bessot, TS. Alain Birebent ñaõ nhieät tình giaûng daïy, truyeàn thuï cho chuùng õ ä û ï à ï ùõ ä û ï à ï ùõ ä û ï à ï ù toâi nhöõng kieán thöùc veà Didactique toaùn vaø taïo cho toâi nieàm yeâu thích vôùi chuyeân â õ á ù à ù ø ï â à â ù ââ õ á ù à ù ø ï â à â ù ââ õ á ù à ù ø ï â à â ù â ngaønh naøy; xin traân troïng caûm ôn quyù thaày coâ ñaõ tham gia giaûng daïy lôùp ø ø â ï û ù à â õ û ï ùø ø â ï û ù à â õ û ï ùø ø â ï û ù à â õ û ï ù Didactique toaùnùùù khoùa 14.ùùù Toâi xin chaân thaønh caûm ôn ban laõnh ñaïo vaø chuyeân vieân phoøng Khoa hoïc coâng â â ø û õ ï ø â â ø ï ââ â ø û õ ï ø â â ø ï ââ â ø û õ ï ø â â ø ï â ngheä äää – Sau ñaïi hoïc, Ban chuû nhieäm khoa Toaùn ï ï û ä ùï ï û ä ùï ï û ä ù – Tin tröôøng ÑHSP tp. HCM ñaõ ø õø õø õ taïo thuaän lôïi giuùp toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy.ï ä ï ù â ø ø ä ê øï ä ï ù â ø ø ä ê øï ä ï ù â ø ø ä ê ø Toâi xinâââ göûi lôøi caûm ôn ñeán TS. Nguyeãn Xuaân Tuù Huyeân ñaõ giuùp ñôõ toâi ñeå luaän û ø û á ã â ù â õ ù õ â å äû ø û á ã â ù â õ ù õ â å äû ø û á ã â ù â õ ù õ â å ä vaên naøy ñöôïc dòch sang tieáng Phaùp.ê ø ï á ùê ø ï á ùê ø ï á ù Cuoái cuøng, toâi xin caûm ôn caùc baïn ñoàng nghieäp vaø ngöôøi thaân ñaõ ñoäng vieân vaø á ø â û ù ï à ä ø ø â õ ä â øá ø â û ù ï à ä ø ø â õ ä â øá ø â û ù ï à ä ø ø â õ ä â ø giuùp ñôõ toâi veà moïi maët.ù õ â à ï ëù õ â à ï ëù õ â à ï ë Ñoã Phaïm Thanh Tuù 1 MÔÛ ÑAÀU 1. Lyù do choïn ñeà taøi vaø caâu hoûi xuaát phaùt Lòch söû giaûng daïy toaùn ôû tröôøng phoå thoâng Vieät Nam ñaõ ghi nhaän söï tieán trieån ñaùng löu yù cuûa caùc yeáu toá thuoäc veà Phöông phaùp soá, Tin hoïc vaø thuaät toaùn. Cuï theå: • Chöông trình lôùp 10 nhöõng naêm 1990 yeâu caàu ñöa vaøo moät chöông nhan ñeà “Moät soá yeáu toá veà phöông phaùp vaø kyõ thuaät tính toaùn”. Muïc ñích chuû yeáu laø cung caáp cho hoïc sinh nhöõng hieåu bieát böôùc ñaàu veà phöông phaùp soá, veà thuaät toaùn vaø tin hoïc. Phuø hôïp vôùi chöông trình, caû ba boä saùch giaùo khoa (SGK) cuûa thôøi kyø naøy ñeàu daønh moät chöông ñeå ñeà caäp noäi dung treân, nhöng döôùi caùc teân goïi khaùc nhau nhö: “Khaùi nieäm sô ñaúng veà tin hoïc vaø thuaät toaùn”, “Moät soá khaùi nieäm veà phöông phaùp vaø kyõ thuaät tính toaùn”, “Khoa hoïc vaø kyõ thuaät tính toaùn”. Ñaëc bieät, môû ñaàu chöông “Khoa hoïc vaø kyõ thuaät tính toaùn”, SGK cuûa chuû bieân Ngoâ Thuùc Lanh vieát: “Phöông phaùp soá laø moät boä moân toaùn hoïc coù nhieäm vuï tìm ra keát quaû baèng soá cuûa baøi toaùn. Phöông phaùp soá xuaát hieän raát sôùm trong lòch söû. Ngaøy nay caùc keát quaû baèng soá cuûa caùc baøi toaùn thöïc tieãn vaãn luoân luoân laø moái quan taâm cuûa caùc nhaø toaùn hoïc. Nhöõng baøi toaùn lôùn nhö: tính toaùn caùc chæ tieâu cuûa neàn kinh teá quoác daân, caùc soá lieäu veà döï baùo thôøi tieát, hay veà quyõ ñaïo cuûa caùc con taøu vuõ truï v.v… ñoøi hoûi phaûi coù nhöõng phöông phaùp vaø kyõ thuaät tính toaùn raát coù hieäu löïc. Yeâu caàu caáp baùch ñoù ñaõ laø nguyeân nhaân tröïc tieáp cuûa söï ra ñôøi cuûa maùy tính ñieän töû (vieát taét MTÑT). Nhôø coù MTÑT nhieàu phöông phaùp soá tröôùc ñaây chæ coù yù nghóa lyù thuyeát ngaøy nay ñaõ coù theå thöïc hieän ñöôïc.” Noùi caùch khaùc, vieäc giaûi quyeát caùc baøi toaùn thuoäc phaïm vi Phöông phaùp soá laø moät trong nhöõng yeáu toá thuùc ñaåy söï ra ñôøi vaø phaùt trieån cuûa MTÑT noùi rieâng vaø tin hoïc noùi chung. Nhö vaäy, duø möùc ñoä vaø caáu truùc khaùc nhau, nhöng noäi dung “Phöông phaùp vaø kyõ thuaät tính toaùn” trong caû ba SGK lôùp 10 ñeàu xoay quanh ba ñoái töôïng cô baûn, ñoù laø: Thuaät toaùn, Phöông phaùp tính vaø Maùy tính ñieän töû (maùy vi tính). Ñieàu naøy laøm chuùng toâi töï hoûi: Phaûi chaêng aån ñaèng sau 3 ñoái töôïng naøy laø yù ñoà noái khôùp toaùn hoïc vaø tin hoïc thoâng qua thuaät toaùn? • Tuy nhieân, chöông trình chænh lyù hôïp nhaát naêm 2000 vaø chöông trình thí ñieåm phaân ban naêm 20031 laïi loaïi boû hoaøn toaøn noäi dung neâu treân. 1 Thí ñieåm lôùp 10 töø naêm hoïc 2003-2004. 2 Ñaëc bieät, trong chöông trình thí ñieåm phaân ban, tin hoïc baét ñaàu laáy vò trí cuûa moät moân hoïc ñoäc laäp. Nhöng vieäc söû duïng maùy tính boû tuùi (MTBT) laïi ñöôïc nhaán maïnh trong nhieàu moân hoïc, nhaát laø ôû moân toaùn. Veà phöông dieän thuaät toaùn vaø phöông phaùp soá, caû hai SGK toaùn thí ñieåm lôùp 11 (saùch Ñaïi soá vaø Giaûi tích, boä 1 vaø boä 2, ban Khoa hoïc töï nhieân) ñeàu ñeà caäp Phöông phaùp chia ñoâi trong vieäc tính gaàn ñuùng nghieäm cuûa phöông trình. Nhöõng söï kieän neâu treân theå hieän yù ñònh vaø caû söï löôõng löï cuûa nhöõng ngöôøi soaïn thaûo chöông trình vaø SGK Vieät Nam trong vieäc tính ñeán caùc yeáu toá cuûa phöông phaùp soá vaø tin hoïc trong daïy hoïc toaùn ôû tröôøng phoå thoâng. Nhöng, ñieàu ñaëc bieät laø ñaèng sau Phöông phaùp soá vaø Tin hoïc luoân coù daáu veát cuûa Thuaät toaùn. Noùi caùch khaùc, caâu hoûi veà vieäc söû duïng thuaät toaùn nhö ñoái töôïng öu tieân trong vieäc noái khôùp toaùn hoïc vaø tin hoïc trong chöông trình vaø SGK toaùn cuûa caùc thôøi kyø vaãn laø moät vaán ñeà caàn thieát ñöôïc laøm saùng toû. Caâu hoûi naøy loâi cuoán söï chuù yù ñaëc bieät cuûa chuùng toâi. Tuy nhieân, trong phaïm vi cuûa moät luaän vaên thaïc só, ñeå ñaûm baûo tính khaû thi cuûa chuû ñeà nghieân cöùu, chuùng toâi giôùi haïn vaøo moät ñoái töôïng cuï theå, ñoù laø thuaät toaùn chia ñoâi (TTCÑ). Vieäc löïa choïn thuaät toaùn naøy xuaát phaùt töø hai lyù do sau ñaây: - TTCÑ luoân ñöôïc öu tieân ñeà caäp trong nhieàu quyeån saùch veà Phöông phaùp soá (hay Giaûi tích soá), - Noù xuaát hieän töôøng minh trong baøi ñoïc theâm cuûa caû hai SGK toaùn lôùp 11 thí ñieåm phaân ban. 2. Muïc ñích nghieân cöùu vaø phaïm vi lyù thuyeát tham chieáu Muïc ñích toång quaùt cuûa luaän vaên naøy laø nghieân cöùu veà vò trí, vai troø cuûa TTCÑ trong moái quan heä Toaùn hoïc – Tin hoïc. Ñeå laøm ñöôïc ñieàu ñoù, chuùng toâi ñaët nghieân cöùu cuûa mình trong phaïm vi cuûa didactique toaùn. Cuï theå, chuùng toâi seõ vaän duïng moät soá khaùi nieäm coâng cuï cuûa lyù thuyeát nhaân chuûng hoïc (lyù thuyeát chuyeån ñoåi didactique, toå chöùc toaùn hoïc, moái quan heä theå cheá, moái quan heä caù nhaân, caùch ñaët vaán ñeà sinh thaùi hoïc) vaø cuûa lyù thuyeát tình huoáng (ñoà aùn didactique). Trong phaïm vi didactique vôùi caùc khaùi nieäm coâng cuï lyù thuyeát ñaõ choïn, muïc ñích nghieân cöùu cuï theå cuûa chuùng toâi laø tìm caâu traû lôøi cho caùc caâu hoûi sau ñaây: 1) TTCÑ xuaát hieän nhö theá naøo trong caùc quyeån saùch ñeà caäp ñeán phaïm vi phöông phaùp soá? Noù gaén lieàn vôùi toå chöùc toaùn hoïc (TCTH) naøo? Vôùi nhöõng ñaëc tröng gì? Noù coù moái quan heä nhö theá naøo vôùi caùc coâng cuï tin hoïc nhö maùy vi tính (MVT), MTBT? Noù coù phaûi laø moät trong caùc yeáu toá cho pheùp noái khôùp toaùn hoïc vaø tin hoïc? 3 2) TTCÑ hieän dieän nhö theá naøo trong chöông trình vaø SGK? Ñaëc tröng cuûa TCTH gaén lieàn vôùi noù? Noù coù quan heä gì vôùi caùc ñoái töôïng MTBT vaø MVT noùi rieâng vaø caùc yeáu toá tin hoïc noùi chung? TTCÑ vaø caùc ñoái töôïng lieân quan phaûi chòu nhöõng ñieàu kieän vaø raøng buoäc naøo cuûa theå cheá? 3) Laøm theá naøo xaây döïng moät tieåu ñoà aùn didactique ñeå ñöa TTCÑ vaøo daïy hoïc toaùn ôû tröôøng phoå thoâng vôùi söï hoã trôï cuûa MTBT? 3. Phöông phaùp nghieân cöùu vaø toå chöùc nghieân cöùu Phöông phaùp luaän nghieân cöùu maø chuùng toâi aùp duïng trong luaän vaên naøy laø thöïc hieän ñoàng thôøi vieäc nghieân cöùu ôû hai caáp ñoä: caáp ñoä tri thöùc khoa hoïc vaø caáp ñoä tri thöùc caàn giaûng daïy. Nghieân cöùu ôû caáp ñoä thöù nhaát seõ laø yeáu toá tham chieáu cho nghieân cöùu moái quan heä theå cheá ôû caáp ñoä thöù hai. Toång hôïp keát quaû hai nghieân cöùu naøy seõ laø cô sôû ñeå ñeà xuaát caùc caâu hoûi vaø ñaëc bieät laø giaû thuyeát nghieân cöùu maø chuùng toâi seõ tìm caùch traû lôøi hay hôïp thöùc hoùa baèng thöïc nghieäm. Döïa vaøo phöông phaùp luaän nghieân cöùu neâu treân, coù theå trình baøy toå chöùc nghieân cöùu cuûa chuùng toâi nhö sau: • Laøm roõ TCTH gaén lieàn vôùi TTCÑ trong moät soá quyeån saùch baøn veà phöông phaùp soá ñeå chæ ra TCTH tham chieáu. • Phaân tích chöông trình vaø SGK toaùn phoå thoâng thí ñieåm ñeå laøm roõ moái quan heä theå cheá ñoái vôùi TTCÑ vaø caùc ñoái töôïng coù lieân quan; tìm veát cuûa TCTH tham chieáu. • Toång hôïp keát quaû cuûa hai phaân tích treân ñeå ñeà xuaát caùc caâu hoûi môùi hay giaû thuyeát nghieân cöùu. • Xaây döïng ñoà aùn didactique cho pheùp tìm caâu traû lôøi cho moät soá trong caùc caâu hoûi môùi hay ñöa vaøo thöû nghieäm giaû thuyeát nghieân cöùu ñaõ ñaët ra ôû treân. 4. Toå chöùc cuûa luaän vaên Luaän vaên goàm 5 phaàn: môû ñaàu, chöông 1, chöông 2, chöông 3 vaø keát luaän. • Phaàn môû ñaàu trình baøy lyù do choïn ñeà taøi, caâu hoûi xuaát phaùt, muïc ñích cuûa ñeà taøi, phaïm vi lyù thuyeát tham chieáu, phöông phaùp vaø toå chöùc nghieân cöùu cuõng nhö toå chöùc cuûa luaän vaên. • Trong chöông 1, chuùng toâi nghieân cöùu TTCÑ ôû caáp ñoä tri thöùc khoa hoïc. Cuï theå, chuùng toâi nghieân cöùu TTCÑ trong hai quyeån saùch baøn veà phöông phaùp soá ñeå chæ ra TCTH tham chieáu gaén lieàn vôùi TTCÑ. • Trong chöông 2, chuùng toâi thöïc hieän phaân tích chöông trình vaø SGK thí ñieåm ñeå laøm roõ moái quan heä theå cheá vôùi TTCÑ vaø MTBT, ñeà xuaát caâu hoûi môùi vaø giaû 4 thuyeát nghieân cöùu. Chuùng toâi chæ roõ veát maø TCTH tham chieáu ñeå laïi trong baøi ñoïc theâm vaø giaûi thích söï cheânh leäch giöõa TCTH tham chieáu vaø baøi ñoïc theâm. • Trong chöông 3, chuùng toâi xaây döïng vaø ñöa vaøo thöïc nghieäm moät tieåu ñoà aùn didactique nhaèm kieåm tra tính thoûa ñaùng cuûa giaû thuyeát nghieân cöùu, tìm caâu traû lôøi cho caâu hoûi môùi vaø ñöa vaøo daïy hoïc ôû tröôøng phoå thoâng TTCÑ. • Phaàn keát luaän toùm taét nhöõng keát quaû ñaït ñöôïc ôû caùc chöông 1, 2, 3 vaø neâu moät soá höôùng nghieân cöùu môùi môû ra töø luaän vaên. 5 Chöông 1 TCTH THAM CHIEÁU GAÉN LIEÀN VÔÙI TTCÑ Chuùng toâi nhaéc laïi raèng, muïc tieâu cuûa chöông naøy laø nghieân cöùu TTCÑ ôû caáp ñoä tri thöùc khoa hoïc vaø qua ñoù tìm caâu traû lôøi cho caùc caâu hoûi ñaët ra trong phaàn môû ñaàu: TTCÑ xuaát hieän nhö theá naøo trong caùc quyeån saùch ñeà caäp ñeán phaïm vi phöông phaùp soá? Noù gaén lieàn vôùi TCTH naøo? Vôùi nhöõng ñaëc tröng gì? Noù coù moái quan heä nhö theá naøo vôùi caùc coâng cuï tin hoïc nhö MVT, MTBT? Noù coù phaûi laø moät trong caùc yeáu toá cho pheùp noái khôùp toaùn hoïc vaø tin hoïc? Hai quyeån saùch maø chuùng toâi choïn phaân tích laø: - “Cô sôû giaûi tích soá” cuûa B. Deùmidovitch vaø I. Maron, - “Toaùn hoïc vaø tin hoïc” cuûa Arthur Engel. Tuy nhieân, tröôùc khi thöïc hieän vieäc phaân tích hai quyeån saùch neâu treân, chuùng toâi seõ trình baøy sô löôïc lòch söû cuûa khaùi nieäm thuaät toaùn, nhaèm laøm roõ caùch söû duïng thuaät ngöõ “thuaät toaùn” trong luaän vaên naøy. 1.1. Sô löôïc lòch söû cuûa khaùi nieäm thuaät toaùn Keát quaû trong muïc naøy ñöôïc ruùt ra töø coâng trình cuûa Leâ Vaên Tieán [19] vaø töø vieäc phaân tích phaàn môû ñaàu cuûa taøi lieäu “Histoire d’algorithmes” [16]. Tröôùc khi xuaát hieän thuaät ngöõ ñaëc bieät ñeå chæ thuaät toaùn thì thuaät toaùn ñaõ toàn taïi ôû ngöôøi Babilon vaø ngöôøi Hy Laïp. Noù xuaát hieän ôû caùc lónh vöïc phaùp lyù, toaùn hoïc… Khi ñoù, ngöôøi ta noùi ñeán trình töï, quy taéc, kyõ thuaät, quy trình, phöông phaùp. Caùch duøng töø “thuaät toaùn” ôû phöông Taây gaén vôùi teân " "al Khwarizmi− , teân cuûa nhaø toaùn hoïc nöûa ñaàu theá kyû thöù IX Muhammad ibn M usa al K hw arizm i− . Trong nhöõng cuoán saùch La tinh thôøi Trung ñaïi, ngöôøi ta duøng nhöõng töø algorisme, algorismus hoaëc algorithmus ñeå chæ nhöõng phöông phaùp tính. D’Alembert ñaõ moâ taû töø thuaät toaùn nhö sau: “[…] Noùi chung, duøng cuøng moät töø ñeå chæ phöông phaùp vaø kyù hieäu cuûa taát caû caùc kieåu tính. Khi ñoù, ngöôøi ta noùi ñeán thuaät toaùn tính tích phaân, thuaät toaùn tính luyõ thöøa, thuaät toaùn sin, v.v…” (Baùch khoa toaøn thö, 1992). Cuoái cuøng, töø thuaät toaùn duøng ñeå chæ taát caû nhöõng phöông phaùp tính coù tính heä thoáng, thaäm chí laø töï ñoäng. Ñaëc bieät, vôùi söï aûnh höôûng cuûa coâng ngheä thoâng tin, thuaät ngöõ naøy ñaõ coù moät ñònh nghóa roõ raøng hôn nhôø vaøo ñaëc tröng “höõu haïn” vaø noù cho pheùp phaân bieät töø thuaät toaùn vôùi nhöõng töø coù nghóa roäng hôn nhö phöông phaùp, quy trình, kyõ thuaät: 6 “Thuaät toaùn laø moät daõy höõu haïn caùc quy taéc caàn thöïc hieän theo moät thöù töï treân moät soá höõu haïn caùc döõ lieäu ñaõ cho ñeå sau moät soá höõu haïn böôùc seõ ñaït tôùi keát quaû, vaø ñieàu ñoù ñoäc laäp vôùi caùc döõ lieäu.” (Encyclopaedia Universalis). Söï xuaát hieän cuûa khaùi nieäm thuaät toaùn laø moät böôùc chuyeån trong lòch söû thuaät toaùn: “Vôùi vieäc ñöa vaøo khaùi nieäm thuaät toaùn, lòch söû cuûa caùc thuaät toaùn ñaõ chuyeån ñoåi thaønh lòch söû cuûa moät lónh vöïc khoa hoïc môùi: ñoù laø thuaät toaùn. Lónh vöïc khoa hoïc naøy khoâng phaûi tìm moät thuaät toaùn ñeå giaûi moät vaán ñeà ñaëc bieät, maø tìm caùch giaûi caùc vaán ñeà ñöôïc ñaët ra baèng vieäc nghieân cöùu moät caùch toång quaùt caùc thuaät toaùn. Nghieân cöùu naøy ñöôïc ñaëc bieät phaùt trieån vôùi söï trôï giuùp cuûa caùc maùy vi tính vaø vieäc khaùm phaù ra caùc ngoân ngöõ laäp trình.” [16, tr.534]. Trong tin hoïc, ñeå moâ taû moät soá thuaät toaùn, ngöôøi ta thöôøng duøng pheùp gaùn vaø voøng laëp. Toùm laïi, thuaät toaùn xuaát hieän ôû nhieàu lónh vöïc, trong ñoù coù toaùn hoïc vaø tin hoïc. Trong lòch söû, thuaät toaùn laø moät ñaëc tröng cuûa toaùn hoïc vaø noù thöôøng laáy nghóa laø phöông phaùp, quy taéc, quy trình, kyõ thuaät. Tin hoïc ra ñôøi, thuaät toaùn coù ñònh nghóa roõ raøng vaø noù laø moät yeáu toá cuûa tin hoïc. Ñaëc tröng noåi baät cuûa thuaät toaùn trong tin hoïc laø tính höõu haïn. Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi duøng thuaät ngöõ “thuaät toaùn” theo nghóa chung nhaát. Theo nghóa naøy, chuùng toâi goïi caùc phöông phaùp tính (phöông phaùp chia ñoâi, phöông phaùp Newton,…) laø caùc “thuaät toaùn”. Chính vì vaäy, trong teân ñeà taøi vaø phaàn môû ñaàu cuûa luaän vaên, chuùng toâi ñaõ duøng thuaät ngöõ “thuaät toaùn chia ñoâi” (TTCÑ). 1.2. TCTH tham chieáu gaén lieàn vôùi TTCÑ 1.2.1. TTCÑ trong quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá” cuûa B. Deùmidovitch vaø I. Maron Quyeån saùch goàm 17 chöông. Chöông 4 “Giaûi gaàn ñuùng phöông trình ñaïi soá vaø sieâu vieät” coù 11 baøi: 1) Taùch nghieäm 2) Giaûi phöông trình baèng ñoà thò 3) Phöông phaùp chia ñoâi 4) Phöông phaùp caùc phaàn tyû leä 7 5) Phöông phaùp Newton 6) Phöông phaùp Newton coù söûa ñoåi 7) Phöông phaùp phoái hôïp 8) Phöông phaùp xaáp xæ lieân tieáp 9) Phöông phaùp xaáp xæ lieân tieáp cho heä 2 phöông trình 10) Phöông phaùp Newton cho heä 2 phöông trình 11) AÙp duïng phöông phaùp Newton cho tröôøng hôïp nghieäm phöùc. Sau ñaây chuùng toâi phaân tích baøi “Phöông phaùp chia ñoâi”. Baøi naøy ñöôïc vieát ôû trang 114 vaø 115: "Cho phöông trình f(x) = 0, (1) vôùi f(x) laø haøm soá lieân tuïc treân [a;b] vaø f(a)f(b) < 0. Ta tìm nghieäm cuûa phöông trình (1) baèng caùch chia ñoâi ñoaïn [a;b]. Neáu f( 2 a b+ ) = 0 thì ξ = 2 a b+ laø moät nghieäm cuûa phöông trình. Neáu f( 2 a b+ ) ≠ 0 thì taïi caùc muùt cuûa moät trong caùc ñoaïn [a; 2 a b+ ], [ 2 a b+ ; b] haøm soá seõ laáy giaù trò khaùc daáu nhau. Goïi ñoaïn ñoù laø [a1;b1] vaø tieáp tuïc chia ñoâi roài laøm nhö treân. Laëp laïi vieäc laøm naøy, ta seõ tìm ñöôïc moät nghieäm ñuùng cuûa phöông trình (1), hoaëc tìm ñöôïc moät daõy caùc ñoaïn chöùa nhau [a1;b1], [a2;b2],…, [an;bn],… vôùi f(an)f(bn) < 0 (n = 1, 2,…) (2) vaø 1 ( ) 2n n n b a b a− = − . (3) Daõy soá a1, a2,…, an,… taêng vaø bò chaën treân, daõy soá b1, b2,…, bn,… giaûm vaø bò chaën döôùi; keát hôïp vôùi (3) chuùng coù giôùi haïn chung laø ξ = lim limn n n n a b →∞ →∞ = . Cho n → ∞ , do (2) vaø tính lieân tuïc cuûa haøm soá f(x) ta coù [f(ξ )]2 ≤ 0. Do ñoù f(ξ) = 0, nghóa laø ξ laø nghieäm cuûa phöông trình (1) vaø ta coù 0 ≤ ξ - an ≤ 1 ( )2n b a− . (4) Neáu ñoaïn [a;b] khoâng phaûi laø ñoaïn taùch nghieäm2 cuûa phöông trình (1) thì phöông phaùp treân cho pheùp tìm moät nghieäm naøo ñoù cuûa phöông trình (1). Phöông phaùp chia ñoâi giuùp ñaït ñöôïc moät öôùc löôïng cuûa moät nghieäm cuûa phöông trình, soá pheùp tính ñöôïc thöïc hieän taêng leân thì söï öôùc löôïng chính xaùc hôn. 2 Ñoaïn chöùa moät vaø chæ moät nghieäm cuûa phöông trình. 8 Phöông phaùp chia ñoâi thöïc hieän khoâng vaát vaû baèng maùy tính ñieän töû. Söï tính toaùn maø maùy thöïc hieän seõ cung caáp giaù trò haøm soá taïi trung ñieåm cuûa moãi ñoaïn [an;bn] (n = 1, 2,…) vaø giuùp choïn löïa moät nöûa ñoaïn töông öùng. Ví duï. Duøng phöông phaùp chia ñoâi, caûi tieán nghieäm cuûa phöông trình f(x) ≡ x4 + 2x3 – x – 1 = 0 treân [0;1] Giaûi. Ta laàn löôït coù: f(0) = -1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 – 0,5 – 1 = -1,19; f(0,75) = 0,32 + 0,84 – 0,75 – 1 = - 0,59; f(0,875) = 0,59 + 1,34 – 0,88 – 1 = + 0,05; f(0,8125) = 0,436 + 1,072 – 0,812 – 1 = - 0,034; f(0,8438) = 0,507 + 1,202 – 0,844 – 1 = - 0,135; f(0,8594) = 0,546 + 1,270 – 0,859 – 1 = - 0,043;… Ta coù theå ñaët ξ = 1 2 (0,859 + 0,875) = 0,867.”
Nhaän xeùt 1) Taùc giaû khoâng duøng thuaät ngöõ “thuaät toaùn” maø duøng thuaät ngöõ “phöông phaùp”. TTCÑ laø kyõ thuaät giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï “Giaûi gaàn ñuùng phöông trình”. Kieåu nhieäm vuï naøy ñöôïc xaùc ñònh roõ raøng. Noù xuaát hieän ñoàng thôøi vôùi teân cuûa chöông 4. 2) Tröôùc baøi “Phöông phaùp chia ñoâi”, taùc giaû trình baøy moät ñònh lyù coù noäi dung nhö sau: “Ñònh lyù 1. Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] vaø nhaän giaù trò traùi daáu nhau taïi hai ñaàu muùt cuûa ñoaïn naøy, nghóa laø f(a).f(b) < 0, thì ñoaïn naøy chöùa ít nhaát moät nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0, nghóa laø toàn taïi ít nhaát moät soá ξ ∈ (a;b) sao cho f(ξ) = 0.” (tr.109). Nhö vaäy, vôùi ñieàu kieän f(x) laø haøm soá lieân tuïc treân [a;b] vaø f(a)f(b) < 0, söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình (1) ñöôïc ngaàm hieåu. Ñònh lyù neâu treân laø moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa ñònh lyù giaù trò trung gian. Neáu ta thöøa nhaän lôùp caùc haøm soá lieân tuïc laø nhieàu thì coù theå noùi raèng taàm aûnh höôûng cuûa TTCÑ laø khaù roäng. 3) Söï toàn taïi caùc giôùi haïn lim n n a →∞ vaø lim n n b →∞ ñöôïc giaûi thích bôûi daõy hoäi tuï: “Ñònh lyù. Giaû thöû cho bieán ñôn ñieäu ñieäu taêng xn. Neáu noù bò chaën treân: xn ≤ M (M = const; n = 1, 2, 3,…) thì noù phaûi coù giôùi haïn höõu haïn, trong tröôøng hôïp ngöôïc laïi noù daàn ñeán +∞ . Cuõng gioáng nhö vaäy moät bieán xn ñôn ñieäu giaûm luoân luoân coù giôùi haïn. Giôùi haïn cuûa noù höõu haïn neáu noù bò chaën döôùi vaø trong trong tröôøng hôïp ngöôïc laïi, giôùi haïn cuûa noù baèng -∞ .” [10, tr.71]. 9 Vieäc chöùng minh ñònh lyù naøy döïa treân caùc tính chaát ñaëc tröng cuûa sup vaø inf 3. 4) Khaúng ñònh 2[ ( )] 0f ξ ≤ ñöôïc giaûi thích moät phaàn bôûi tính chaát cuûa haøm soá lieân tuïc4: Giaû söû haøm soá f(x) xaùc ñònh trong khoaûng I vaø x0 ∈ I. Khi ñoù, haøm soá f(x) lieân tuïc taïi ñieåm x0 neáu vôùi moïi daõy x1, x2,…, xn,… thuoäc I maø 0lim n n x x →∞ = thì lim n→∞ f(xn) = f(x0). Tính chaát naøy ñöôïc suy ra töø ñònh nghóa giôùi haïn cuûa haøm soá vaø ñònh nghóa haøm soá lieân tuïc taïi moät ñieåm5. 5) Ñaët 1 2 a b c + = , 1 12 2 a b c + = ,…, 21 nn n ba c + =+ ,… Duøng tieâu chuaån Cauchy 6, chuùng toâi chöùng minh ñöôïc daõy soá naøy cuõng hoäi tuï veà ξ. Chuùng toâi goïi daõy soá naøy laø daõy soá “trung ñieåm”. 6) Trong coâng thöùc (4), ξ laø “nghieäm ñuùng” cuûa phöông trình (1) treân ñoaïn [a;b]. Taùc giaû khoâng neâu roõ soá nghieäm cuûa phöông trình (1) ñoaïn [a;b]. Nhö vaäy, treân ñoaïn [a;b], phöông trình (1) coù theå coù nhöõng nghieäm khaùc ngoaøi ξ. Coâng thöùc (4) ñaùnh giaù sai soá tuyeät ñoái khi laáy an laøm giaù trò gaàn ñuùng cuûa ξ. 7) Haøm soá cho trong ví duï laø haøm soá ña thöùc. Ña thöùc ñaõ cho coù baäc 4, heä soá nguyeân. Baèng caùch tìm nghieäm höõu tyû cuûa ña thöùc7, chuùng toâi chöùng minh ñöôïc ña thöùc ñaõ cho khoâng coù nghieäm höõu tyû. Ví duï cho saün ñoaïn chöùa nghieäm [0;1]. 8) Duøng ñaïo haøm khaûo saùt haøm soá f(x) = x4 + 2x3 – x – 1 gaëp khoù khaên vì f’(x) laø ña thöùc baäc ba khoâng coù nghieäm höõu tyû. Duøng Maple8 9 ñeå tìm giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm, chaúng haïn duøng leänh > solve ( ^ 4 2* ^ 3 1, )x x x x+ − − ; vaø > evalf (%,19) ;, chuùng toâi tìm ñöôïc nghieäm 1 1,866760399173862093x ≈ − vaø nghieäm x2 ≈ 0,8667603991738620930. Nhö vaäy, phöông trình trong ví duï coù moät vaø chæ moät nghieäm treân ñoaïn [0;1]. 9) Vì ña thöùc ñaõ cho chæ coù nghieäm voâ tyû maø trung ñieåm caùc ñoaïn chöùa nghieäm luoân laø soá höõu tyû9 neân TTCÑ chæ cho pheùp xaùc ñònh giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm. Trong ví duï, taùc giaû yeâu caàu “caûi tieán nghieäm cuûa phöông trình” vaø ξ laø “nghieäm gaàn ñuùng”10. Nhö vaäy, taùc giaû ñaõ duøng thuaät ngöõ “nghieäm” ñeå chæ “nghieäm gaàn ñuùng”. Tröôùc ñoù, thuaät ngöõ “nghieäm” ñaõ ñöôïc duøng ñeå chæ “nghieäm ñuùng”: “Neáu f( 2 a b+ ) = 0 thì ξ = 2 a b+ laø moät nghieäm cuûa phöông trình”. 3 Xem [10, tr.71-72]. 4 Xem [10, tr.92-93]. 5 Xem [10, tr.50, 92-93]. 6 Xem [10, tr.83]. 7 Xem [2, tr.164]. 8 Duøng Maple ta coù theå tìm giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm ñeán ñoä chính xaùc baát kyø, trong khi ñoù duøng MTBT ta chæ tìm ñöôïc giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm chính xaùc ñeán chöõ soá coá ñònh. 9 Do hai ñaàu muùt cuûa ñoaïn chöùa nghieäm [0;1] laø caùc soá höõu tyû. 10 Laø giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm. 10 10) Trong ví duï, ñeå tính giaù trò cuûa haøm soá f(x) taïi caùc giaù trò khaùc nhau cuûa bieán soá coù theå taùc giaû ñaõ söû duïng maùy tính. Thaät vaäy, taùc giaû ñaõ vieát: “Phöông phaùp chia ñoâi thöïc hieän khoâng vaát vaû baèng maùy tính ñieän töû. Söï tính toaùn maø maùy thöïc hieän seõ cung caáp giaù trò haøm soá taïi trung ñieåm cuûa moãi ñoaïn [an;bn] (n = 1, 2,…)”. (tr.115). Nhö vaäy, maùy tính ñöôïc khai thaùc ôû chöùc naêng tính toaùn. 11) Taùc giaû khoâng noùi ñeán sai soá. Trong ví duï, vieäc chia ñoâi ñöôïc thöïc hieän ñeán laàn thöù 7 neân sai soá tuyeät ñoái beù hôn 7 1 0 2 − . Ta coù 27 1 10 2 −< neân sai soá tuyeät ñoái beù hôn 10-2. 12) Trong baøi “Phöông phaùp chia ñoâi”, vieäc laáy trung ñieåm cuûa ñoaïn chöùa nghieäm vaø vieäc caûi tieán “nghieäm” cuûa phöông trình khoâng coù ñieàu kieän döøng (taùc giaû khoâng neâu tröôùc sai soá khi caûi tieán “nghieäm”). Chính vì khoâng thoûa maõn ñaëc tröng höõu haïn neân TTCÑ trong quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá” laáy nghóa laø phöông phaùp. * Quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá” chæ trình baøy lyù thuyeát vaø ví duï maø khoâng ñöa ra baøi taäp.
ÔÛ caùc nhaän xeùt 2)._.-4), chuùng toâi ñaõ chæ ra yeáu toá coâng ngheä-lyù thuyeát giaûi thích cho kyõ thuaät TTCÑ. Ñoù laø ñònh lyù giaù trò trung gian, daõy hoäi tuï vaø tính chaát cuûa haøm soá lieân tuïc. 1.2.2. TTCÑ trong quyeån saùch “Toaùn hoïc vaø tin hoïc” cuûa Arthur Engel Quyeån saùch goàm 9 chöông. Chöông 4 coù teân “Giaûi tích soá”. Chöông 4 goàm 6 muïc. Muïc ñaàu tieân coù teân “Giaûi phöông trình” goàm 5 baøi: 1. Phöông phaùp chia ñoâi 2. Phöông phaùp caùc phaàn tyû leä 3. Phöông phaùp caùt tuyeán 4. Phöông phaùp Newton-Raphson 5. Pheùp laëp. Sau ñaây chuùng toâi phaân tích baøi “Phöông phaùp chia ñoâi” (tr.139-141).
Phaàn ñaàu cuûa baøi “Phöông phaùp chia ñoâi” ñöôïc vieát nhö sau: “Phöông phaùp chia ñoâi laø moät phöông phaùp ñôn giaûn, thöôøng gaëp vaø vieäc söû duïng moät maùy vi tính laø ñaëc bieät coù lôïi. Giaû söû treân ñoaïn [a;b] haøm soá f lieân tuïc vaø f(a).f(b) < 0, nghóa laø f nhaän giaù trò traùi daáu nhau taïi hai ñaàu muùt cuûa ñoaïn naøy. Theo ñònh lyù giaù trò trung gian thì f nhaän giaù trò 0 taïi ít nhaát moät ñieåm giöõa a vaø b. 11 Baét ñaàu töø ñoaïn chöùa nghieäm xaùc ñònh tröôùc, ta moâ taû moät thuaät toaùn cho pheùp thu heïp ñoaïn chöùa nghieäm ñi moät nöûa, cho ñeán luùc nhoû hôn moät sai soá tuyeät ñoái ε . 1) x ← 2 a b+ 2) Neáu f(x) = 0 thì döøng vaø x laø nghieäm 3) Neáu f(x).f(a) > 0 thì a ← x ngöôïc laïi b ← x 4) Neáu a b− >ε , quay laïi 1) 5) Ngöôïc laïi thì döøng vaø x = 2 a b+ laø nghieäm. Sau n laàn laëp cuûa thuaät toaùn, nghieäm ñöôïc xaùc ñònh vôùi sai soá tuyeät ñoái beù hôn 12n b a + − .” Nhaän xeùt 1) Taùc giaû duøng thuaät ngöõ “thuaät toaùn” ñeå chæ TTCÑ. Trong caâu “Ngöôïc laïi thì döøng vaø x = 2 a b+ laø nghieäm”, thuaät ngöõ “nghieäm” ñöôïc duøng ñeå chæ “nghieäm ñuùng” hoaëc “nghieäm gaàn ñuùng” vôùi sai soá ε . Ta ñaõ gaëp caùch duøng thuaät ngöõ “nghieäm” töông töï nhö vöøa neâu khi phaân tích quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá” cuûa B. Deùmidovitch vaø I. Maron. 2) TTCÑ neâu treân ñöôïc bieåu dieãn11 baèng ngoân ngöõ phoûng trình. Noù laø kyõ thuaät giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï “Giaûi phöông trình”. Kieåu nhieäm vuï naøy ñöôïc xaùc ñònh roõ raøng. Noù xuaát hieän ñoàng thôøi vôùi teân cuûa muïc ñaàu tieân ôû chöông 4. Theo nhaän xeùt 1), kieåu nhieäm vuï “Giaûi phöông trình” laø tìm “nghieäm ñuùng” hoaëc “nghieäm gaàn ñuùng” vôùi sai soá cho tröôùc. Nhö vaäy, kieåu nhieäm vuï naøy cuõng laø kieåu nhieäm vuï “Giaûi gaàn ñuùng phöông trình” maø ta ñaõ ñeà caäp khi phaân tích quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá”. 3) TTCÑ maø taùc giaû moâ taû treân ñaây thoûa maõn ñaëc tröng höõu haïn. Thaät vaäy, vôùi sai soá tuyeät ñoái ε cho tröôùc, soá laàn laëp n trong thuaät toaùn ñöôïc xaùc ñònh töø vieäc giaûi baát phöông trình 12n b a + − ≤ ε (n laø soá nguyeân döông). Chính ñaëc tröng höõu haïn cho pheùp phaân bieät thuaät ngöõ “thuaät toaùn” vôùi thuaät ngöõ “phöông phaùp”. Tuy nhieân, trong baøi “Phöông phaùp chia ñoâi” maø ta ñang phaân tích, hai thuaät ngöõ naøy khoâng coù söï khaùc bieät. 4) Chieáu theo caùc ñaëc tröng cuûa moät thuaät toaùn12, TTCÑ neâu treân ñaûm baûo tính höõu haïn, tính xaùc ñònh, tính ñuùng ñaén, tính khaû thi vaø tính toång quaùt. Noù cuõng cho pheùp nhaän thoâng tin vaøo vaø xuaát thoâng tin ra. Neáu ngöôøi ñoïc bieát pheùp gaùn trong tin hoïc (←) thì coù theå hieåu thuaät toaùn naøy moät caùch deã daøng. 11 Xem caùc phöông phaùp bieåu dieãn thuaät toaùn ôû [1, tr.59-64]. 12 Xem [1, tr.51-56], [12, tr. 4-9]. 12 5) Yeáu toá coâng ngheä giaûi thích cho TTCÑ laø ñònh lyù giaù trò trung gian. Taùc giaû taøi lieäu noùi ñeán ñònh lyù giaù trò trung gian tröôùc khi trình baøy TTCÑ. Nhö vaäy, yeáu toá coâng ngheä ñònh lyù giaù trò trung gian coù chöùc naêng taïo ra kyõ thuaät TTCÑ. Noùi caùch khaùc, vôùi TCTH lieân quan ñeán TTCÑ maø ta ñang xeùt, khoái kyõ naêng ñöôïc trình baøy nhö moät öùng duïng ñôn giaûn cuûa khoái tri thöùc. 6) Khi trình baøy TTCÑ, taùc giaû khoâng neâu roõ soá nghieäm cuûa phöông trình treân ñoaïn [a;b]. Nhö vaäy, treân ñoaïn [a;b], phöông trình coù theå coù nhieàu hôn moät nghieäm vaø TTCÑ cho pheùp tìm moät trong caùc “nghieäm” (“nghieäm ñuùng” hoaëc “nghieäm gaàn ñuùng”). Ta ñaõ gaëp ñieàu naøy khi phaân tích quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá”. * Caùc nhaän xeùt 3) vaø 4) treân ñaây cho thaáy TTCÑ trong quyeån saùch “Toaùn hoïc vaø tin hoïc” laø “moät daõy höõu haïn caùc quy taéc caàn thöïc hieän theo moät thöù töï treân moät soá höõu haïn caùc döõ lieäu ñaõ cho ñeå sau moät soá höõu haïn böôùc seõ ñaït tôùi keát quaû, vaø ñieàu ñoù ñoäc laäp vôùi caùc döõ lieäu”. Noùi caùch khaùc, thuaät toaùn trong quyeån saùch “Toaùn hoïc vaø tin hoïc” laø moät yeáu toá cuûa tin hoïc.
Sau khi moâ taû TTCÑ, taùc giaû xeùt tröôøng hôïp f(a) 0 vaø vieát moät chöông trình ôû trang 140 nhö sau: “10 DEF FNF (X) = X*X – X – 1 20 READ A, B, E 30 X = (A + B)/2 40 IF FNF (X) < 0 THEN A = X ELSE B = X 50 IF ABS (A – B) > E THEN 30 60 PRINT (A + B)/2 70 DATA 1, 3, 1 E – 10 80 END 1,618033989 10 DEF FNF (X) = X*X*X – 2*X – 5 2,094551482 10 DEF FNF (X) = X*X – 4*COS(X) 1,201538299”. Sau khi vieát chöông trình naøy, taùc giaû chæ roõ: chöông trình ñaõ xeùt ba phöông trình laø x2 – x – 1 = 0, 3 2 5 0x x− − = vaø x2 – 4cosx = 0 vôùi cuøng moät ñoaïn chöùa nghieäm laø [1;3]. 13 Nhaän xeùt 1) Coù theå ngoân ngöõ phoûng trình laø caùch bieåu dieãn thuaät toaùn thích hôïp nhaát cho pheùp laäp trình baèng ngoân ngöõ Basic. Vieäc laøm naøy theå hieän roõ yù ñònh noái keát toaùn hoïc vaø tin hoïc cuûa taùc giaû. 2) Caùc haøm soá ñöôïc xeùt ñeàu lieân tuïc treân ℜ. Hai phöông trình x2 – x – 1 = 0 vaø 3 2 5 0x x− − = khoâng coù nghieäm höõu tyû. Baèng nhöõng pheùp bieán ñoåi ñaïi soá thoâng thöôøng, chuùng toâi khoâng tìm ñöôïc “nghieäm ñuùng” cuûa phöông trình 2 4cos 0x x− = . Caùc phöông trình ñang xeùt coù moät vaø chæ moät nghieäm treân ñoaïn [1;3]. Ñieàu naøy khoâng ñöôïc taùc giaû neâu töôøng minh. 3) Quan saùt döõ lieäu nhaäp vaøo vaø döõ lieäu xuaát ra trong chöông trình treân, chuùng toâi thaáy sai soá nhaäp vaøo laø 10-10 (doøng leänh 70) vaø in ra “nghieäm gaàn ñuùng” coù chín chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân.
Xem xeùt caùc baøi taäp, chuùng toâi thaáy chæ coù baøi taäp 3 yeâu caàu töôøng minh vieäc duøng TTCÑ ñeå tìm nghieäm cuûa phöông trình x3 - 3x - 4 = 0 (tr.145). Nhaän xeùt ñaàu tieân cuûa chuùng toâi laø phöông trình − − =3 3 4 0x x khoâng coù nghieäm höõu tyû. Ngoaøi ra, phöông trình naøy coù moät vaø chæ moät nghieäm treân ℜ.
Thöïc hieän caùc phaân tích töông töï nhö vôùi TTCÑ, chuùng toâi nhaän thaáy caùc thuaät toaùn: caùc phaàn tyû leä, caùt tuyeán, Newton-Raphson vaø laëp cuõng laø caùc kyõ thuaät giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï “Giaûi gaàn ñuùng phöông trình”. Ngoaøi ra ôû baøi taäp 5 trang 145, taùc giaû coù ñöa theâm vaøo moät kyõ thuaät giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy maø chuùng toâi goïi laø thuaät toaùn chia 10. Môû ñaàu baøi “Phöông phaùp chia ñoâi”, taùc giaû ñaõ vieát: “Phöông phaùp chia ñoâi laø moät phöông phaùp ñôn giaûn, thöôøng gaëp vaø vieäc söû duïng moät maùy vi tính laø ñaëc bieät coù lôïi.” (tr.139). Nhö vaäy, coù theå ñaëc tröng “ñôn giaûn” laø moät trong nhöõng lyù do cuûa vieäc ñeà caäp TTCÑ ôû vò trí ñaàu tieân so vôùi caùc thuaät toaùn khaùc. 1.2.3. TCTH tham chieáu gaén lieàn vôùi TTCÑ Phaân tích TTCÑ trong quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá” vaø quyeån saùch “Toaùn hoïc vaø tin hoïc” treân ñaây cho thaáy söï toàn taïi cuûa TCTH tham chieáu gaén lieàn vôùi TTCÑ. Chuùng toâi kyù hieäu TCTH naøy laø OM = [T, τ, θ, Θ] vôùi T laø kieåu nhieäm vuï “Giaûi gaàn ñuùng phöông trình”, τ laø TTCÑ. Yeáu toá coâng ngheä-lyù thuyeát trong OM laø ñònh lyù giaù trò trung gian, daõy hoäi tuï vaø tính chaát cuûa haøm soá lieân tuïc. Trong caû hai quyeån saùch, caùc taùc giaû ñeàu duøng thuaät ngöõ “nghieäm” ñeå chæ “nghieäm ñuùng” hoaëc “nghieäm gaàn ñuùng”. Sau ñaây, chuùng toâi chæ roõ nhöõng ñaëc tröng cuûa kieåu nhieäm vuï vaø kyõ thuaät trong hai quyeån saùch. 14 Quyeån saùch Ñaëc tröng “Cô sôû giaûi tích soá” “Toaùn hoïc vaø tin hoïc” • “Giaûi gaàn ñuùng phöông trình” laø tìm “nghieäm ñuùng” hoaëc “nghieäm gaàn ñuùng” • Ngaàm aån trong ví duï vaø baøi taäp: phöông trình ña thöùc khoâng coù nghieäm höõu tyû, caùc phöông trình coù moät vaø chæ moät nghieäm treân ñoaïn chöùa nghieäm cho tröôùc, duøng TTCÑ chæ tìm ñöôïc “nghieäm gaàn ñuùng” Kieåu nhieäm vuï • Chæ xeùt moät phöông trình ña thöùc • Vieäc tìm “nghieäm gaàn ñuùng” ñöôïc thöïc hieän bôûi söï hoã trôï cuûa maùy tính • Xeùt 3 phöông trình ña thöùc vaø 1 phöông trình löôïng giaùc; khoâng tìm ñöôïc “nghieäm ñuùng” cuûa phöông trình löôïng giaùc baèng nhöõng pheùp bieán ñoåi ñaïi soá thoâng thöôøng • Vieäc tìm “nghieäm gaàn ñuùng” ñöôïc thöïc hieän bôûi chöông trình maùy tính Trong TTCÑ, soá nghieäm cuûa phöông trình treân ñoaïn chöùa nghieäm khoâng ñöôïc noùi roõ Kyõ thuaät • TTCÑ laáy nghóa laø phöông phaùp • Thuaät toaùn laø moät ñaëc tröng cuûa toaùn hoïc • TTCÑ ñöôïc bieåu dieãn baèng ngoân ngöõ phoûng trình vaø ñöôïc vieát thaønh chöông trình maùy tính • Thuaät toaùn laø moät yeáu toá cuûa tin hoïc, thuaät toaùn gaén vôùi laäp trình 1.3. Keát luaän veà chöông 1 Phaân tích sô löôïc lòch söû cuûa khaùi nieäm thuaät toaùn cho thaáy thuaät toaùn xuaát hieän ôû nhieàu lónh vöïc, trong ñoù coù toaùn hoïc vaø tin hoïc. Trong lòch söû, thuaät toaùn laø moät ñaëc tröng cuûa toaùn hoïc vaø noù thöôøng laáy nghóa laø phöông phaùp, quy taéc, quy trình, kyõ thuaät. Tin hoïc ra ñôøi, thuaät toaùn coù ñònh nghóa roõ raøng vaø noù laø moät yeáu toá cuûa tin hoïc. Ñaëc tröng noåi baät cuûa thuaät toaùn trong tin hoïc laø tính höõu haïn. Phaân tích TTCÑ trong quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá” vaø quyeån saùch “Toaùn hoïc vaø tin hoïc” ñaõ cho thaáy söï toàn taïi cuûa TCTH tham chieáu gaén lieàn vôùi TTCÑ. Chuùng toâi ñaõ chæ roõ nhöõng ñaëc tröng cuûa moãi thaønh phaàn trong TCTH naøy (xem muïc 1.2.3). Vôùi nhöõng ñaëc tröng cuûa mình, TTCÑ ñaõ khaúng ñònh vai troø quan troïng trong vieäc noái khôùp giöõa toaùn hoïc vaø tin hoïc. Niklaus Wirth, ngöôøi saùng laäp ra ngoân ngöõ Pascal, ñaõ toång keát: Thuaät toaùn + Caáu truùc döõ lieäu = Chöông trình. 15 Chöông 2 MOÁI QUAN HEÄ THEÅ CHEÁ VÔÙI TTCÑ VAØ MTBT 2.1. Moái quan heä theå cheá vôùi TTCÑ Muïc ñích phaân tích Muïc naøy coù muïc ñích thöïc hieän moät nghieân cöùu veà moái quan heä theå cheá vôùi TTCÑ. Cuï theå hôn, noù nhaém tôùi tìm caâu traû lôøi cho caùc caâu hoûi sau ñaây: • TTCÑ ñaõ ñöôïc ñöa vaøo chöông trình vaø SGK nhö theá naøo? TCTH naøo gaén vôùi thuaät toaùn naøy? Nhöõng ñaëc tröng cuûa TCTH naøy laø gì? • Nhöõng daáu veát naøo cuûa TCTH tham chieáu OM hieän dieän trong baøi ñoïc theâm? Giöõa TCTH tham chieáu vaø baøi ñoïc theâm coù söï cheânh leäch gì? • Nhöõng ñieàu kieän vaø raøng buoäc naøo cuûa theå cheá treân vieäc daïy hoïc TTCÑ? TTCÑ coù quan heä dinh döôõng vôùi ñoái töôïng naøo hay khoâng? Lieân quan ñeán caâu hoûi cuoái cuøng, trong moät soá tröôøng hôïp cuï theå, chuùng toâi seõ thöû tìm caùch giaûi thích yù ñònh cuûa noospheøre aån ñaèng sau nhöõng ñieàu kieän vaø raøng buoäc naøy. Ñeå nghieân cöùu, chuùng toâi choïn phaân tích chöông trình, saùch giaùo vieân (SGV), SGK vaø saùch baøi taäp Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 2 (chöông trình thí ñieåm Ban khoa hoïc töï nhieân). Ngoaøi ra, ñeå laøm roõ hôn moät vaøi noäi dung ñöôïc phaân tích, chuùng toâi tham khaûo SGK Ñaïi soá 10, boä 2; SGK Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 1; SGK Giaûi tích 12, boä 1 (ñeàu thuoäc chöông trình thí ñieåm Ban khoa hoïc töï nhieân). 2.1.1. Tình huoáng ñöa vaøo TTCÑ
Xeùt chöông trình, SGV, SGK, saùch baøi taäp Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 2 SGK Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11 (boä 2) goàm 5 chöông. Chöông 4 coù teân “Giôùi haïn” goàm 3 baøi: §1. Giôùi haïn cuûa daõy soá §2. Giôùi haïn cuûa haøm soá §3. Haøm soá lieân tuïc. Phaàn III cuûa baøi “Haøm soá lieân tuïc” coù teân laø “Moät soá ñònh lyù cô baûn”. ÔÛ phaàn naøy, SGK trình baøy Ñònh lyù 3 ôû trang 162 nhö sau: “Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] vaø f(a).f(b) < 0 thì toàn taïi ít nhaát moät ñieåm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0”. Sau khi minh hoïa baèng ñoà thò ñònh lyù naøy, SGK neâu AÙp duïng ôû trang 162-163 nhö sau: “AÙp duïng: Chöùng minh phöông trình coù nghieäm trong moät khoaûng. Coù theå phaùt bieåu Ñònh lyù 3 ôû treân döôùi daïng khaùc nhö sau: 16 Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] vaø f(a).f(b) < 0 thì phöông trình f(x) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm treân khoaûng (a;b). Ví duï 3. Chöùng minh raèng phöông trình x3 + 2x – 5 = 0 coù ít nhaát moät nghieäm. Giaûi. Xeùt haøm soá f(x) = x3 + 2x – 5. Ta coù f(0) = -5 vaø f(2) = 7. Do ñoù, f(0).f(2) < 0 (1) Maët khaùc, vì f(x) laø haøm soá ña thöùc neân lieân tuïc treân ℜ, do ñoù noù lieân tuïc treân ñoaïn [0;2]. (2) Töø (1) vaø (2) suy ra, phöông trình f(x) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm x0∈ (0;2). Chuù yù. Neáu nhaän xeùt theâm raèng f(1).f(2) = -14 < 0 thì coù theå keát luaän raèng phöông trình coù ít nhaát moät nghieäm trong khoaûng (1;2) ⊂ (0;2).” Nhaän xeùt Chuùng toâi thaáy xuaát hieän trong ñoaïn trích treân kieåu nhieäm vuï T1 “Chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình”. Kyõ thuaät giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy ñöôïc saùch baøi taäp neâu ôû trang 184: “Ñeå chöùng minh phöông trình f(x) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm, caàn tìm hai soá a vaø b thoûa maõn f(a).f(b) < 0 vaø haøm soá f(x) lieân tuïc treân [a;b]” (τ1). Kyõ thuaät τ1 ñöôïc giaûi thích bôûi yeáu toá coâng ngheä laø ñònh lyù 3. Baøi taäp 13 ôû trang 167 cuûa SGK yeâu caàu: “Chöùng minh phöông trình 5 43 5 2 0x x x− + − = coù ít nhaát 3 nghieäm naèm trong khoaûng (-2;5)”. Nhö vaäy, vôùi kieåu nhieäm vuï T1 “Chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình”, SGK ñeà caäp hai tröôøng hôïp: chöùng minh phöông trình coù nghieäm vaø chöùng minh phöông trình coù nghieäm trong khoaûng (a;b). Ngay sau muïc AÙp duïng, SGK neâu Hoaït ñoäng 3 nhö sau: “Haõy tìm hai soá a, b thoûa maõn 1 < a < b < 2, sao cho phöông trình trong ví duï 3 ôû treân coù ít nhaát moät nghieäm thuoäc khoaûng (a;b).” (tr.163). Chuùng toâi thaáy xuaát hieän ngaàm aån trong hoaït ñoäng 3 kieåu nhieäm vuï T2 “Tìm khoaûng môùi chöùa nghieäm cuûa phöông trình vaø naèm trong khoaûng chöùa nghieäm tröôùc ñoù”. Trong nhöõng phaân tích veà sau, chuùng toâi quan taâm ñeán vieäc tìm kyõ thuaät giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy. Ngay sau Hoaït ñoäng 3, SGK trình baøy baøi ñoïc theâm ôû trang 163-164 nhö sau: “TÍNH GAÀN ÑUÙNG NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH - PHÖÔNG PHAÙP CHIA ÑOÂI Trong ví duï 3 ôû phaàn III, §3, ta ñaõ chöùng minh ñöôïc raèng phöông trình 3 2 5 0x x+ − = coù ít nhaát moät nghieäm x0 thuoäc khoaûng (0;2). Giaû söû nghieäm ñoù laø duy nhaát. 17 Baèng caùch aùp duïng lieân tieáp Ñònh lyù 3, ta coù theå tìm ñöôïc caùc giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm x0. Ta laøm nhö sau: - Böôùc 1: Laáy ñieåm giöõa cuûa ñoaïn [0;2], ñoù laø 1. Ta coù f(1) = -2. So saùnh daáu cuûa f(1) vaø daáu cuûa giaù trò haøm soá taïi hai ñaàu muùt laø f(0) vaø f(2), ta thaáy: f(1).f(2) = -2.7 < 0. Do ñoù phöông trình f(x) = 0 coù nghieäm thuoäc (1;2). Nhö vaäy, x0∈ (1;2). - Böôùc 2: Laáy ñieåm giöõa cuûa ñoaïn [1;2], ñoù laø 1 2 2 + = 1,5. Ta coù (1,5) 1,375f = vaø f(1).f(1,5) = -2.1,375 < 0. Do ñoù f(x) = 0 coù nghieäm thuoäc (1;1,5). Nhö vaäy, x0∈ (1;1,5). - Böôùc 3: Laáy ñieåm giöõa cuûa ñoaïn [1;1,5], ñoù laø 1 1,5 2 + = 1,25. Ta coù (1, 25) 0,546875f = − vaø f(1,25).f(1,5) < 0. Do ñoù f(x) = 0 coù nghieäm thuoäc (1,25;1,5). Nhö vaäy, x0∈ (1,25;1,5). Baûng sau ñaây trình baøy keát quaû tính laàn löôït cuûa caùc böôùc 4, 5, 6, 7. a b 2 a b+ f(a) f(b) f( 2 a b+ ) Nghieäm x0 1,25 1,5 1,375 -0,546875 1,375 0,349609375 1,25 < x0 < 1,375 1,25 1,375 1,3125 -0,546875 0,349609375 -0,114013671875 1,3125 < x0 < 1,375 1,3125 1,375 1,34375 -0,114013671875 0,349609375 0,113861083984375 1,3125 < x0 < 1,34375 1,3125 1,34375 1,328125 -0,114013671875 0,113861083984375 -0,001049041748046875 1,328125< x0 < 1,34375 Neáu döøng laïi ôû böôùc 4, ta coù 1,25 < x0 < 1,375. Nhö vaäy, coù theå coù ñöôïc caùc giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm x0. Chaúng haïn 1, 25 1,375 2 + laø moät giaù trò gaàn ñuùng cuûa x0 vôùi sai soá tuyeät ñoái ∆ < |1,375 – 1,25| = 0,125. Khi döøng ôû böôùc 7, ta coù 1,328125 < x0 < 1,34375. Coù theå laáy 0 1,3359375x ≈ vôùi sai soá tuyeät ñoái ∆ < |1,34375 – 1,328125| = 0,015625. Neáu tieáp tuïc quy trình treân, ta tìm ñöôïc nhöõng giaù trò gaàn ñuùng cuûa x0 vôùi sai soá ngaøy caøng beù. CHYÙ YÙ Trong quaù trình tính toaùn, neáu coù soá 2 a b+ naøo ñoù maø f( 2 a b+ ) = 0 thì keát luaän nghieäm laø x0 = 2 a b+ . Vieäc tìm giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm nhö treân seõ deã daøng hôn neáu söû duïng MTBT. Ñaëc bieät, MTBT coù chöùc naêng laäp trình hay maùy vi tính coù theå cho pheùp tính moät caùch töï ñoäng vaø nhanh choùng giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm vôùi sai soá ∆ raát beù.” 18 Nhaän xeùt 1) Trong baøi ñoïc theâm, taùc giaû khoâng duøng thuaät ngöõ “thuaät toaùn” maø duøng thuaät ngöõ “phöông phaùp”, “quy trình”. Soá böôùc trong baøi ñoïc theâm khoâng coù ñieàu kieän döøng (taùc giaû khoâng neâu tröôùc sai soá). Chính vì khoâng thoûa maõn ñaëc tröng höõu haïn neân TTCÑ trong baøi ñoïc theâm laáy nghóa laø phöông phaùp, quy trình. 2) Moãi böôùc trong baøi ñoïc theâm laø moät maãu ngaàm aån cuûa kieåu nhieäm vuï T2 “Tìm khoaûng môùi chöùa nghieäm cuûa phöông trình vaø naèm trong khoaûng chöùa nghieäm tröôùc ñoù” (T2 xuaát hieän ngaàm aån trong hoaït ñoäng 3). Xeùt phöông trình coù daïng f(x) = 0, kyù hieäu khoaûng chöùa nghieäm cuûa phöông trình laø (a;b). Theo caùch trình baøy cuûa SGK, ta coù theå moâ taû kyõ thuaät giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï T2 nhö sau: τ2: Choïn c = 2 a b+ , tính f(c); so saùnh daáu cuûa f(c) vôùi daáu cuûa f(a) vaø f(b) roài keát luaän. Yeáu toá coâng ngheä giaûi thích cho kyõ thuaät τ2 laø ñònh lyù 3. 3) Chuùng toâi thaáy xuaát hieän ôû baøi ñoïc theâm kieåu nhieäm vuï T3 “Tính gaàn ñuùng nghieäm cuûa phöông trình”. Kyõ thuaät giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø TTCÑ (τ3). Caùc kieåu nhieäm vuï con cuûa T3 laø T2. Yeáu toá coâng ngheä giaûi thích cho TTCÑ laø ñònh lyù 3. 4) Kieåu nhieäm vuï T3 ñöôïc xaùc ñònh roõ raøng trong baøi ñoïc theâm. Lyù do xuaát hieän T3 coù theå laø muïc tieâu cuûa chöông trình moân toaùn: “Taïo cô sôû ñeå hoïc sinh tieáp tuïc hoïc ñaïi hoïc, cao ñaúng, […].” (Chöông trình (thí ñieåm) trung hoïc phoå thoâng moân toaùn, tr.2). Chuùng toâi khoâng tìm thaáy baøi taäp yeâu caàu tính gaàn ñuùng nghieäm cuûa phöông trình baèng TTCÑ. Coù theå do TTCÑ ñöôïc ñöa vaøo baøi ñoïc theâm neân khoâng coù baøi taäp aùp duïng. 5) Trong ví duï 3 vaø baøi ñoïc theâm, SGK xeùt cuøng moät phöông trình ña thöùc laø 3 2 5 0x x+ − = . Ña thöùc ñaõ cho coù baäc 3, heä soá nguyeân, coù nghieäm treân khoaûng (0;2) vaø khoâng coù nghieäm höõu tyû. Nhö vaäy, TTCÑ chæ tìm ñöôïc giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm. Duøng MTBT Casio fx-570 MS ñeå tìm giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm, chuùng toâi tìm ñöôïc nghieäm x0 ≈ 1,328268856. Phöông trình 3 2 5 0x x+ − = coù moät vaø chæ moät nghieäm treân ℜ. 6) Trong baøi theâm, taùc giaû neâu töôøng minh soá nghieäm cuûa phöông trình treân khoaûng (0;2): “Giaû söû nghieäm ñoù laø duy nhaát”. Ngoaøi ra, thuaät ngöõ “nghieäm” luoân ñöôïc duøng ñeå chæ “nghieäm ñuùng”. Taùc giaû duøng thuaät ngöõ “giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm” ñeå chæ “nghieäm gaàn ñuùng”. 7) Ñeå tính giaù trò haøm soá taïi caùc giaù trò khaùc nhau cuûa bieán soá trong baøi ñoïc theâm, coù theå taùc giaû ñaõ söû duïng MTBT hoaëc MVT. Thaät vaäy, trong baûng keát quaû ôû trang 164, öùng vôùi giaù trò 2 a b+ = 1,328125 (coù 6 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân), SGK cho giaù trò f( 2 a b+ ) töông öùng laø -0,001049041748046875 (coù 18 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân). Neáu khoâng duøng MTBT hoaëc MVT thì laøm sao taùc giaû tính 19 ñöôïc keát quaû laø soá coù 18 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân? Nhö vaäy, TTCÑ coù quan heä dinh döôõng vôùi maùy tính. Cuoái baøi ñoïc theâm, taùc giaû noùi ñeán MTBT coù chöùc naêng laäp trình vaø MVT. 8) Taùc giaû laáy giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm laø trung ñieåm cuûa khoaûng chöùa nghieäm cuoái cuøng. Taùc giaû khoâng neâu tröôùc sai soá. SGK choïn 0 1,3359375x ≈ vaø khaúng ñònh sai soá tuyeät ñoái 0,015626∆ < . Thöïc ra, ta coù theå khaúng ñònh sai soá tuyeät ñoái ∆ < 10-2. Thaät vaäy, khi döøng ôû böôùc 7, ta coù 01,328125 1,34375x< < vaø 1,328125 1,343751,3359375 2 + = . Duøng phieám Ans treân MTBT Casio fx-570 MS chuùng toâi coù f(1,3359375) ≈ 0,056161403. Nhö vaäy f(1,3359375) ≠ 0. Do ñoù, neáu laáy 1,3359375 laøm giaù trò gaàn ñuùng cuûa x0 nhö SGK thì sai soá tuyeät ñoái 1,328125 1,34375 2 − ∆ < hay ∆ < 0,0078125 < 10-2 . Xem xeùt caùc noäi dung coù lieân quan ñeán sai soá tuyeät ñoái ôû SGK Ñaïi soá 10 (boä 2), chuùng toâi thaáy SGK naøy chæ trình baøy caùc keát quaû döôùi daïng soá thaäp phaân. Coù theå ñaây laø lyù do maø taùc giaû baøi ñoïc theâm khoâng vieát sai soá tuyeät ñoái ∆ < 10-2. 9) Taùc giaû neâu chuù yù: “Trong quaù trình tính toaùn, neáu coù soá 2 a b+ naøo ñoù maø f( 2 a b+ ) = 0 thì keát luaän nghieäm laø x0 = 2 a b+ ”. Nhö vaäy, “Tính gaàn ñuùng nghieäm cuûa phöông trình” laø tìm “nghieäm ñuùng” hoaëc giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm. 10) Trong baûng keát quaû ôû trang 164, taùc giaû ñaõ ngaàm aån söû duïng pheùp gaùn trong tin hoïc. Thaät vaäy, taùc giaû ñaõ duøng a vaø b nhö caùc bieán ñeå gaùn nhöõng giaù trò khaùc nhau. Chuù yù cuoái baøi ñoïc theâm (“Vieäc tìm giaù trò gaàn ñuùng…”) theå hieän yù töôûng noái khôùp giöõa toaùn hoïc vaø tin hoïc thoâng qua TTCÑ. • Caùc nhaän xeùt 2) vaø 3) treân ñaây cho pheùp khaúng ñònh vai troø “caàu noái” giöõa phaàn baét buoäc vaø baøi ñoïc theâm cuûa hoaït ñoäng 3. • Phaân tích phaàn III cuûa baøi “Haøm soá lieân tuïc” vaø baøi ñoïc theâm treân ñaây cho thaáy söï toàn taïi cuûa moät TCTH ñòa phöông xoay quanh vaán ñeà nghieäm cuûa phöông trình. Noù goàm 3 kieåu nhieäm vuï: T1 “Chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình”, T2 “Tìm khoaûng môùi chöùa nghieäm cuûa phöông trình vaø naèm trong khoaûng chöùa nghieäm tröôùc ñoù” vaø T3 “Tính gaàn ñuùng nghieäm cuûa phöông trình”. TCTH ñòa phöông naøy coù yeáu toá coâng ngheä-lyù thuyeát laø ñònh lyù 3. Ta seõ gaëp laïi TCTH naøy ôû muïc 2.1.2.
Trong baøi ñoïc theâm, vieäc tính gaàn ñuùng nghieäm baét ñaàu töø khoaûng chöùa nghieäm (0;2). Phaûi chaêng vieäc choïn khoaûng chöùa nghieäm ñaàu tieân naøy taïo thuaän lôïi cho vieäc “laáy trung ñieåm” - chieán löôïc “chia ñoâi”? Ñieàu naøy daãn chuùng toâi ñeán giaû thuyeát nghieân cöùu sau ñaây veà TTCÑ: 20 Trong tình huoáng tính gaàn ñuùng nghieäm cuûa phöông trình, vieäc löïa choïn caùc giaù trò cuûa bieán didactique laøm taêng khaû naêng xuaát hieän TTCÑ.
Xeùt SGK boä 1 • Trong baøi “Haøm soá lieân tuïc”, SGK Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 1 trình baøy Ñònh lyù veà giaù trò trung gian cuûa haøm soá lieân tuïc nhö sau: “Giaû söû haøm soá f lieân tuïc treân ñoaïn [a;b]. Neáu f(a) ≠ f(b) thì vôùi moãi soá thöïc M naèm giöõa f(a) vaø f(b), toàn taïi ít nhaát moät ñieåm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = M.” (tr.190). SGK Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 2 khoâng trình baøy ñònh lyù naøy. Sau khi trình baøy ñònh lyù veà giaù trò trung gian cuûa haøm soá lieân tuïc, SGK Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 1 trình baøy Heä quaû nhö sau: “Neáu haøm soá f lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] vaø f(a).f(b) < 0 thì toàn taïi ít nhaát moät ñieåm ( ; )c a b∈ sao cho f(c) = 0.” (tr.190). Heä quaû naøy chính laø ñònh lyù 3 trong baøi “Haøm soá lieân tuïc” cuûa SGK Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 2. Sau khi minh hoïa yù nghóa hình hoïc cuûa heä quaû, SGK Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 1 ñöa ra ví duï: “Cho haøm soá P(x) = x3 + x –1. AÙp duïng heä quaû, chöùng minh raèng phöông trình P(x) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm döông nhoû hôn 1.” (tr.191). Ví duï naøy laø moät maãu cuûa kieåu nhieäm vuï “Chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình”. • Sau phaàn “Caâu hoûi vaø baøi taäp” cuûa baøi “Haøm soá lieân tuïc”, SGK Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 1 trình baøy baøi ñoïc theâm “Tìm giaù trò gaàn ñuùng nghieäm cuûa phöông trình” ôû trang 192-195. Sau ñaây, chuùng toâi seõ phaân tích baøi ñoïc theâm naøy trong söï so saùnh vôùi baøi ñoïc theâm cuûa SGK Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 2. Phaàn ñaàu cuûa baøi ñoïc theâm ñöôïc vieát nhö sau: “Ta seõ ñöa ra moät kyõ thuaät tìm giaù trò gaàn ñuùng nghieäm cuûa moät phöông trình nhôø aùp duïng Heä quaû cuûa Ñònh lyù veà giaù trò trung gian cuûa haøm soá lieân tuïc. Giaû söû haøm soá f lieân tuïc ñoaïn [a;b] vaø f(a), f(b) traùi daáu. Khi ñoù, khoaûng (a;b) chöùa ít nhaát moät nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0. Goïi m laø trung ñieåm cuûa ñoaïn [a;b], töùc laø 2 a b m + = . 1. Neáu f(m) = 0 thì m laø moät nghieäm cuûa phöông trình. 2. Neáu f(m) ≠ 0 thì f(m) traùi daáu vôùi f(a) hoaëc traùi daáu vôùi f(b). a) Neáu f(m) traùi daáu vôùi f(a) thì nghieäm naèm trong khoaûng (a;m). b) Neáu f(m) traùi daáu vôùi f(b) thì nghieäm naèm trong khoaûng (m;b). Giaû söû xaûy ra tröôøng hôïp a). Goïi m1 laø trung ñieåm cuûa ñoaïn [a;m], töùc laø 1 2 + = a m m . Ta laïi xeùt giaù trò f(m1) nhö ban ñaàu. Tieáp tuïc quaù trình ñoù, sau moät soá höõu haïn böôùc, hoaëc tìm ñöôïc nghieäm cuûa phöông trình hoaëc giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm vôùi ñoä chính xaùc mong muoán vì ñoaïn chöùa nghieäm ngaøy caøng thaét laïi.” 21 Nhaän xeùt 1) Trong baøi ñoïc theâm, SGK Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 1 khoâng duøng thuaät ngöõ “thuaät toaùn” maø duøng thuaät ngöõ “kyõ thuaät”: “Ta seõ ñöa ra moät kyõ thuaät…”. TTCÑ trong quyeån saùch naøy laáy nghóa laø kyõ thuaät. 2) Trong hai baøi ñoïc theâm, thuaät ngöõ “nghieäm” luoân ñöôïc duøng ñeå chæ “nghieäm ñuùng”; thuaät ngöõ “giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm” ñöôïc duøng ñeå chæ “nghieäm gaàn ñuùng”. 3) SGK Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 1 khoâng ñöa ra hoaït ñoäng ñeå laøm “caàu noái” ñeán baøi ñoïc theâm nhö SGK Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 2. ÔÛ phaàn sau cuûa baøi ñoïc theâm, SGK Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 1 trình baøy hai ví duï. Hai ví duï naøy ñeàu xeùt ñeán phöông trình ña thöùc. Tuy nhieân, khaùc vôùi SGK Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 2, hai khoaûng chöùa nghieäm ban ñaàu trong hai ví duï naøy ñeàu coù ñoä daøi baèng 1 (khoaûng (-2;-1) vaø khoaûng (1;2)). • Trong baøi ñoïc theâm “Tìm giaù trò gaàn ñuùng nghieäm cuûa phöông trình baèng phöông phaùp keïp daàn” ôû trang 61-62, SGK Giaûi tích 12, boä 1 giôùi thieäu thuaät toaùn chia 10 ñeå tìm giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm lôùn nhaát cuûa phöông trình f(x) = 0 vôùi f(x) = x3 –3x – 1. Sau khi chæ ra nghieäm lôùn nhaát cuûa phöông trình f(x) = 0 laø x c= vôùi c ∈ (1;2) vaø moâ taû thuaät toaùn chia 10 ñeå tìm giaù trò gaàn ñuùng cuûa c, taùc giaû vieát: “Tuy nhieân, trong thöïc haønh ñeå nhaän ñöôïc moät khoaûng coù ñoä daøi 1 10 chöùa c, ngöôøi ta thöôøng khoâng tính chín giaù trò lieân tieáp f(1,1), f(1,2),…, f(1,9), maø tính f(1,5) ñeå xem c ∈ (1;1,5) hay (1,5;2)c ∈ .” (tr.62). Nhö vaäy, theo caùch trình baøy cuûa SGK, TTCÑ laø coù lieân quan ñeán thuaät toaùn chia 10. Chuùng toâi khoâng tìm thaáy thuaät toaùn chia 10 ôû SGK boä 2. 2.1.2. Veát cuûa TCTH tham chieáu Trong muïc naøy, ñeå cho goïn, chuùng toâi goïi taét SGK Ñaïi soá vaø Giaûi tích 11, boä 2 laø SGK 2; goïi taét baøi ñoïc theâm “Tính gaàn ñuùng nghieäm cuûa phöông trình - Phöông phaùp chia ñoâi” trong SGK 2 laø baøi ñoïc theâm. Xoay quanh vaán ñeà nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0, caùc phaân tích ôû muïc 2.1.1 cho thaáy söï toàn taïi cuûa moät TCTH ñòa phöông trong SGK 2. Chuùng toâi kyù hieäu TCTH naøy laø OM’ = [Ti, τi, θ’, Θ’] (i = 1, 2, 3). Ba kieåu nhieäm vuï trong OM’ laø T1 “Chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình”, T2 “Tìm khoaûng môùi chöùa nghieäm cuûa phöông trình vaø naèm trong khoaûng chöùa nghieäm tröôùc ñoù” vaø T3 “Tính gaàn ñuùng nghieäm cuûa phöông trình”. Caùc kieåu nhieäm vuï con cuûa T3 laø T2. Kieåu nhieäm vuï T1 xuaát hieän töôøng minh trong phaàn baét buoäc. Kieåu nhieäm vuï T2 xuaát hieän ngaàm aån trong hoaït ñoäng cuûa SGK. Kieåu nhieäm vuï T3 xuaát hieän 22 töôøng minh trong baøi ñoïc theâm. Kyõ thuaät giaûi quyeát T1 xuaát hieän töôøng minh: “Ñeå chöùng minh phöông trình f(x) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm, caàn tìm hai soá a vaø b thoûa maõn f(a).f(b) < 0 vaø haøm soá f(x) lieân tuïc treân [a;b]” (τ1). Kyõ thuaät giaûi quyeát T2 xuaát hieän ngaàm aån: Choïn c = 2 a b+ , tính f(c); so saùnh daáu cuûa f(c) vôùi daáu cuûa f(a) vaø f(b) roài keát luaän (τ2). TTCÑ (τ3) laø kyõ thuaät giaûi quyeát T3. Vieäc tính gaàn ñuùng nghieäm ñöôïc thöïc hieän bôûi söï hoã trôï cuûa maùy tính. Yeáu toá coâng ngheä-lyù thuyeát trong OM’ laø ñònh lyù 3. Ñònh lyù 3 laø moät tröôøng hôïp ñaët bieät cuûa ñònh lyù giaù trò trung gian. • Nhöõng ñaëc tröng cuûa kieåu nhieäm vuï T3: phöông trình ña thöùc khoâng coù nghieäm höõu tyû, phöông trình coù moät vaø chæ moät nghieäm treân khoaûng chöùa nghieäm cho tröôùc, duøng TTCÑ chæ tìm ñöôïc giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm, vieäc tìm giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm ñöôïc thöïc hieän bôûi söï hoã trô._.caàu tìm khoaûng môùi töø vieäc tính f(xi) (i =1, 2). 2) Haïn cheá veà thôøi gian.
Toùm laïi, coâng thöùc 1 1 2 n n n a b x − − + = xuaát hieän nhieàu nhaát vaø ñöôïc caû lôùp ñoàng yù (phaùt bieåu 61-63 cuûa pro.). Noùi caùch khaùc, tính thoûa ñaùng cuûa giaû thuyeát nghieân cöùu ñaõ ñöôïc khaúng ñònh. Beân caïnh ñoù, moät soá nhoùm döôøng nhö chöa hieåu ñeà. 52 3.3.4. TTCÑ ñaõ ñöôïc ñöa vaøo daïy hoïc Chuùng toâi phaân tích saûn phaåm cuûa hoïc sinh khi giaûi quyeát caâu 6a) ñeå xem coâng thöùc xaùc ñònh xn ôû caâu 5 ñöôïc caùc nhoùm aùp duïng nhö theá naøo. Keá ñeán, chuùng toâi phaân tích caùc keát luaän cuûa hoïc sinh ôû caâu 6b) ñeå xem caùc nhoùm khaùm phaù ñöôïc nhöõng gì veà TTCÑ.
Xeùt baûng cuûa caùc nhoùm (caâu 6a) • Ghi nhaän toång quaùt Chuùng toâi quan saùt thaáy caû 7 nhoùm ñeàu ñaõ nhôø söï hoã trôï cuûa MTBT ñeå hoaøn thaønh baûng maø chuùng toâi yeâu caàu. Caû lôùp ñoàng yù vôùi baûng cuûa caùc nhoùm 5, 6, 3, 1, 7 vaø 4 (phaùt bieåu 64-65, 98- 99, 104-105, 130-131, 142-143, vaø 165-166 cuûa pro.). Hoïc sinh D cho raèng “Coät choïn soá gaàn ñuùng cuûa nhoùm 2 sai so vôùi caùc baûng khaùc” (phaùt bieåu 121 cuûa pro.). Trong coät choïn soá gaàn ñuùng, nhoùm 2 ghi 0 3 4 x ≈ , 0 7 8 x ≈ vaø 0 15 16 x ≈ . Sau khi hoïc sinh D phaùt bieåu, caû lôùp ñaõ thoáng nhaát baûng cuûa nhoùm 2 vaãn ñuùng (phaùt bieåu 122 vaø 123 cuûa pro.). Nhö vaäy, taát caû 7 baûng cuûa 7 nhoùm ñeàu ñöôïc caû lôùp ñoàng yù. • Phaân tích chi tieát * Soá ñeà nghò: nhö chuùng toâi ñaõ döï kieán ôû baûng keát quaû (moät soá nhoùm vieát döôùi daïng phaân soá). * Keát quaû tính: ngoaøi nhoùm 2 laáy boán chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân vaø coù laøm troøn, keát quaû tính cuûa caùc nhoùm coøn laïi nhö chuùng toâi döï kieán ôû baûng keát quaû. * Khoaûng chöùa nhieäm cuûa 7 nhoùm: nhö chuùng toâi döï kieán ôû baûng keát quaû (moät soá nhoùm vieát hai ñaàu muùt döôùi daïng phaân soá). * Xeùt vieäc choïn soá gaàn ñuùng Nhoùm 2 choïn 0 nx a≈ (n = 3, 4 vaø 5); caùc nhoùm 1, 3, 4, 5 vaø 6 choïn 0 2 n na bx +≈ (n = 3, 4 vaø 5). Nhoùm 7 ghi 0 0,8x ≈ , 0 0,9x ≈ vaø 0 0,95x ≈ . Nhö vaäy, nhoùm 7 choïn soá gaàn ñuùng cuûa x0 laø moät soá “goïn” thuoäc khoaûng (an;bn) (n = 3, 4 vaø 5). * Xeùt vieäc ñaùnh giaù sai soá tuyeät ñoái Taát caû 7 nhoùm ñeàu ghi ∆ < bn – an (n = 3, 4 vaø 5). Theo chuùng toâi, söï thoáng nhaát naøy coù theå do hoïc sinh suy ra töø yù nghóa hình hoïc cuûa sai soá. 53 Nhaän xeùt Caùc nhoùm ñaõ aùp duïng TTCÑ vaø nhôø söï hoã trôï cuûa MTBT ñeå hoaøn thaønh baûng maø chuùng toâi yeâu caàu.
Baûng thoáng keâ soá keát luaän cuûa caùc nhoùm (caâu 6b) Keát luaän veà Nhoùm Soá ñeà nghò Daõy soá (f(xn)) Khoaûng chöùa nghieäm Soá gaàn ñuùng Sai soá tuyeät ñoái Keát luaän khaùc Toång soá Nhoùm 1 2 1 0 1 1 1 6 Nhoùm 2 1 0 0 0 1 1 3 Nhoùm 3 1 2 0 1 2 1 7 Nhoùm 4 0 0 2 0 2 0 4 Nhoùm 5 0 2 0 2 2 2 8 Nhoùm 6 1 0 0 0 1 0 2 Nhoùm 7 1 1 1 1 1 0 5 Toång soá 6 6 3 5 10 5 35 Nhaän xeùt 1) Caùc keát luaän veà sai soá tuyeät ñoái xuaát hieän nhieàu nhaát (10 keát luaän). Chuùng toâi trích daãn moät soá keát luaän tieâu bieåu cuûa hoïc sinh: “Sai soá tuyeät ñoái < hieäu hai ñaàu muùt” (nhoùm 1), “∆ < bn – an” (nhoùm 2), “∆ ngaøy caøng nhoû” (nhoùm 3 vaø nhoùm 5), “∆n < ∆n-1 <… < ∆3” (nhoùm 4), “xn caøng lôùn ⇒ ∆ caøng nhoû” (nhoùm 7). Caùc keát luaän naøy ñöôïc caû lôùp ñoàng yù (phaùt bieåu 85-86, 110-111, 138-139, 155- 156, 167-168 vaø 171-172 cuûa pro.). Vôùi keát luaän “∆ ngaøy caøng nhoû”, nhoùm 5 giaûi thích “Vì caùc khoaûng ngaøy caøng nhoû neân ∆ ngaøy caøng nhoû” (phaùt bieåu 88 cuûa pro.). 2) Caùc keát luaän veà soá ñeà nghò, veà daõy soá (f(xn)), veà khoaûng chöùa nghieäm vaø veà soá gaàn ñuùng ñeàu coù xuaát hieän (moãi “lónh vöïc” coù töø 3 ñeán 6 keát luaän). Chuùng toâi trích daãn moät soá keát luaän tieâu bieåu cuûa hoïc sinh: * Caùc keát luaän ñöôïc caû lôùp ñoàng yù: “x0 ≈ an, x0 ≈ bn” (nhoùm 3 vaø nhoùm 5), “b3 – a3 > b4 – a4 >… > bn – an” (nhoùm 4), “Khoaûng caùch giöõa x0 vaø hai ñaàu muùt ngaøy caøng heïp” (nhoùm 4) (phaùt bieåu 72-73, 118-119, 167-168 vaø 173-174 cuûa pro.). * Caùc keát luaän khoâng ñöôïc caû lôùp ñoàng yù: “Soá ñeà nghò tieán ñeán 1” (nhoùm 1), “f(xn) taêng daàn” (nhoùm 2), “ 2 )()( 1−≈ nn xf xf ” (nhoùm 7) (phaùt bieåu 128-129, 136- 137 vaø 144-148 cuûa pro.). 54 Nhö vaäy, moät soá keát luaän gaén vôùi haøm soá f(x) cuï theå khoâng ñöôïc caû lôùp ñoàng yù. 3) Keát luaän “f(xn) caøng gaàn 0” khoâng xuaát hieän trong phieáu cuûa 7 nhoùm. Tuy nhieân, keát luaän naøy xuaát hieän ôû phaùt bieåu 94 cuûa protocole döôùi moät daïng khaùc: “f(xn+1) → 0” (nhoùm 5). Nhoùm 5 khoâng ñuû söùc thuyeát phuïc caùc nhoùm khaùc ñoàng yù vôùi keát luaän cuûa mình (phaùt bieåu 94-97 cuûa pro.). 4) Keát luaän “Neáu coù soá xn maø f(xn) = 0 thì xn laø nghieäm” khoâng xuaát hieän trong phieáu cuûa caùc nhoùm. Tuy nhieân, nhoùm 6 coù keát luaän: “Trong quaù trình thöïc hieän neáu coù soá 2 a b+ naøo ñoù maø ( ) 0 2 a bf + = ⇒ 2 a b+ laø nghieäm”. Nhö vaäy, nhoùm 6 ñöa ra keát luaän töông töï nhö chuù yù trong baøi ñoïc theâm cuûa SGK boä 2. Theo chuùng toâi, moät soá hoïc sinh cuûa nhoùm 6 coù xem baøi ñoïc theâm. Keát luaän cuûa nhoùm 6 ñöôïc caû lôùp ñoàng yù (phaùt bieåu 102-103 cuûa pro.). 5) Caùc keát luaän khaùc (5 keát luaän): “Caùc soá ngaøy caøng giaûm daàn” (nhoùm 2), “x’0 < 1 vaø caøng gaàn veà 1” (nhoùm 3),…: ñeàu khoâng ñöôïc caû lôùp ñoàng yù (phaùt bieåu 81-84, 89-92, 116-117 vaø 126-127 cuûa pro.). Toùm laïi, caùc phaân tích treân ñaây cho thaáy TTCÑ ñaõ ñöôïc ñöa vaøo daïy hoïc trong moâi tröôøng MTBT vaø moät soá keát luaän chính xaùc veà thuaät toaùn naøy ñaõ ñöôïc caùc nhoùm ñöa ra. * Haïn cheá: thôøi gian tranh luaän khoâng ñuû ñeå caùc nhoùm giaûi thích chi tieát caùc keát luaän ñaõ ñöa ra. 3.3.5. Söï xuaát hieän ngaàm aån cuûa yeáu toá tin hoïc Trong caùc pha tranh luaän, chuùng toâi chuù yù ñeán hai phaùt bieåu sau ñaây cuûa hoïc sinh A: • “Khaúng ñònh b = 1 laø khoâng ñuùng. Ñeán moät luùc naøo ñoù a tieán gaàn veà 1 vaø khoaûng (a; b) khoâng chöùa x0 do f(a) > 0, f(b) > 0. Mình tính laø 1b ≠ , neáu noùi b = 1 laø sai.” (phaùt bieåu 78 cuûa pro.) • “Ñeán moät luùc naøo ñoù, ta theá ñieåm giöõa vaøo b vì khoaûng (a; 1) khoâng coøn nghieäm maø phaûi laø khoaûng (b; a).” (phaùt bieåu 152 cuûa pro.). Theo chuùng toâi, hoïc sinh A ñaõ ngaàm aån söû duïng pheùp gaùn trong tin hoïc. Thaät vaäy, trong hai phaùt bieåu treân, hoïc sinh A ñaõ duøng a vaø b nhö hai bieán ñeå bieåu dieãn ñaàu muùt traùi vaø ñaàu muùt phaûi cuûa caùc khoaûng (a vaø b ñöôïc gaùn nhöõng giaù trò khaùc nhau). Theo baûng keát quaû, caùc soá x1, x2,…, x9 luoân laø ñaàu muùt traùi cuûa khoaûng chöùa nghieäm. Tuy nhieân, x10 = 0,998046875 laïi trôû thaønh ñaàu muùt phaûi cuûa khoaûng chöùa nghieäm. Ñieàu naøy ñuùng nhö hoïc sinh A phaùt bieåu: “Ñeán moät luùc naøo ñoù, ta theá ñieåm giöõa vaøo b”. 55 3.4. Keát luaän veà thöïc nghieäm Thöïc nghieäm ñaõ cho pheùp khaúng ñònh tính thoûa ñaùng cuûa giaû thuyeát nghieân cöùu. Cuï theå, vieäc löïa choïn caùc giaù trò cuûa bieán didactique trong tình huoáng tính gaàn ñuùng nghieäm ñaõ laøm taêng khaû naêng xuaát hieän TTCÑ. Vôùi söï thoûa ñaùng cuûa giaû thuyeát nghieân cöùu, TTCÑ ñaõ ñöôïc ñöa vaøo daïy hoïc trong moâi tröôøng MTBT vaø moät soá keát luaän chính xaùc veà thuaät toaùn naøy ñaõ ñöôïc hoïc sinh khaùm phaù. Ñaëc bieät, thöïc nghieäm cho thaáy söï xuaát hieän ngaàm aån cuûa pheùp gaùn trong tin hoïc. Ngoaøi ra, thöïc nghieäm cuõng cho pheùp khaúng ñònh: trong tình huoáng tính gaàn ñuùng nghieäm maø chuùng toâi xaây döïng, chieán löôïc “phím nhôù Ans” giuùp vieäc tính giaù trò haøm soá taïi caùc giaù trò khaùc nhau cuûa bieán soá nhanh hôn caùc chieán löôïc khaùc. 56 KEÁT LUAÄN Keát quaû nghieân cöùu cuûa chuùng toâi ñöôïc trình baøy trong ba chöông cuûa luaän vaên. Nghieân cöùu TTCÑ ôû caáp ñoä tri thöùc khoa hoïc trong chöông 1 vaø nghieân cöùu moái quan heä theå cheá vôùi TTCÑ vaø MTBT trong chöông 2 laø cô sôû ñeà xuaát caâu hoûi môùi vaø giaû thuyeát nghieân cöùu maø vieäc tìm caâu traû lôøi laø ñoái töôïng cuûa chöông 3. Sau ñaây laø moät soá ñieåm chính trong nhöõng keát quaû ñaõ ñaït ñöôïc. • Trong chöông 1, vieäc phaân tích TTCÑ trong hai quyeån saùch coù vieát veà giaûi tích soá ñaõ cho pheùp chuùng toâi chæ ra TCTH tham chieáu OM gaén lieàn vôùi TTCÑ. Chuùng toâi ñaõ chæ roõ nhöõng ñaëc tröng cuûa moãi thaønh phaàn trong TCTH naøy (xem chi tieát ôû muïc 1.2.3). • Nghieân cöùu moái quan heä theå cheá vôùi TTCÑ trong chöông 2 ñaõ cho pheùp chæ ra TCTH OM’ toàn taïi trong SGK xoay quanh vaán ñeà nghieäm cuûa phöông trình. TTCÑ trong OM’ coù quan heä dinh döôõng vôùi maùy tính. Chuùng toâi ñaõ chæ roõ veát maø TCTH tham chieáu ñeå laïi trong baøi ñoïc theâm vaø giaûi thích söï cheânh leäch nhö laø söï raøng buoäc cuûa theå cheá. Phaân tích moái quan heä theå cheá vôùi TTCÑ vaø MTBT ñaõ daãn chuùng toâi tôùi giaû thuyeát nghieân cöùu veà söï xuaát hieän cuûa TTCÑ vaø caâu hoûi veà chieán löôïc tính nhanh treân MTBT trong tình huoáng tính gaàn ñuùng nghieäm cuûa phöông trình. • Nghieân cöùu thöïc nghieäm ñöôïc trình baøy trong chöông 3 ñaõ cho pheùp khaúng ñònh tính thoûa ñaùng cuûa giaû thuyeát nghieân cöùu vaø xaùc ñònh caâu traû lôøi cho caâu hoûi maø chuùng toâi ñaõ ñaët ra. Vôùi söï thoûa ñaùng cuûa giaû thuyeát nghieân cöùu, TTCÑ ñaõ ñöôïc ñöa vaøo daïy hoïc trong moâi tröôøng MTBT vaø moät soá keát luaän chính xaùc veà thuaät toaùn naøy ñaõ ñöôïc hoïc sinh khaùm phaù. Tính thoûa ñaùng cuûa giaû thuyeát nghieân cöùu vaø caùc keát quaû töø thöïc nghieäm seõ coù ñoä tin caäy cao hôn neáu ñoà aùn ñöôïc thöïc nghieäm treân nhieàu ñoái töôïng hoïc sinh (nhieàu lôùp). Tuy nhieân, vì caùc lyù do khaùc nhau (chuû yeáu laø lyù do thôøi gian), chuùng toâi chæ thöïc nghieäm ñoà aùn treân moät lôùp hoïc. Ñoù laø moät khieám khuyeát cuûa nghieân cöùu trong chöông 3. Höôùng nghieân cöùu môùi môû ra töø luaän vaên Luaän vaên môû ra hai höôùng nghieân cöùu môùi sau ñaây: 1) Boå sung hoaëc thay ñoåi caùc bieán tình huoáng vaø caùc bieán didactique ñeå laøm tieán trieån ñoà aùn theo höôùng nhaán maïnh treân caùc yeáu toá cuûa tin hoïc (pheùp gaùn, voøng laëp…). 2) Nghieân cöùu vieäc ñöa vaøo daïy hoïc toaùn ôû tröôøng phoå thoâng caùc thuaät toaùn khaùc ñeå tính gaàn ñuùng nghieäm cuûa phöông trình, trong ñoù coù thuaät toaùn chia 10, nhaèm thöïc hieän söï noái khôùp giöõa toaùn hoïc vaø tin hoïc. Protocole 1 PROTOCOLE 1 GV: Em naøo coù maùy tính Casio fx 500 MS, haõy ñöa tay leân! Moät… hai… ba… (ñeám) hai möôi moát. Em naøo coù maùy tính loaïi khaùc, haõy ñöa tay leân! (khoâng coù hoïc sinh naøo ñöa tay) 2 GV: Nhö vaäy, caû lôùp coù 21 maùy tính Casio fx 500MS, khoâng coù maùy tính loaïi khaùc. Ñeå coâng baèng cho caû lôùp, caùc em chæ söû duïng maùy tính Casio fx 500 MS. 3 GV: Caùc em söû duïng giaáy nhaùp cuûa thaày phaùt, khoâng söû duïng giaáy nhaùp khaùc. Caùc em khoâng ñöôïc duøng buùt chì, buùt xoùa; ngay caû trong giaáy nhaùp cuõng khoâng ñöôïc duøng. Neáu laøm sai, caùc em duøng thöôùc gaïch boû vaø vieát laïi. Hoaït ñoäng 1 Pha 2 4 GV: Chuùng ta xeùt caâu 1. Nhoùm naøo coù soá laàn baám ít hôn hoaëc baèng 15 laàn? (khoâng coù nhoùm naøo ñöa tay) 5 GV: Nhoùm naøo coù soá laàn baám laø 16? (nhoùm 6, nhoùm 2 vaø nhoùm 7 ñöa tay) 6 GV: Nhoùm 6 ñöa tay tröôùc caùc nhoùm khaùc neân thaày môøi nhoùm 6 leân baûng lieät keâ caùc phím. Caû lôùp duøng maùy tính baám theo caùch laøm cuûa nhoùm 6 vaø ñeám soá laàn. “moät hoïc sinh cuûa nhoùm 6 leân baûng lieät keâ caùc phím” (xem phuï luïc) 7 HS: Hay quaù! 8 GV: Caùc em coù ñoàng yù vôùi caùch laøm cuûa nhoùm 6 khoâng? 9 HS: Ñoàng yù! 10 GV: Coøn nhoùm 2 vaø nhoùm 7 cuõng coù soá laàn baám phím laø 16. Nhoùm 2 laøm nhö theá naøo? 11 Nhoùm 2: Tuïi em laøm nhö nhoùm 6. 12 GV: Coøn nhoùm 7, caùc em laøm nhö theá naøo? 13 Nhoùm 7: Tuïi em bieán ñoåi f(x). 14 GV: Caû lôùp nghe thaày hoûi: Cuøng soá laàn baám phím laø 16, caùch laøm cuûa nhoùm 6 vaø caùch bieán ñoåi cuûa nhoùm 7, caùc em thaáy caùch naøo toát hôn? 15 HS: Nhoùm 6. 16 GV: Nhö vaäy caû lôùp ñaõ thoáng nhaát caùch laøm cuûa nhoùm 6 laø toát nhaát. Baây giôø chuùng ta xeùt caâu 2a. Nhoùm naøo xung phong leân baûng ghi lôøi giaûi cuûa caâu 2a? (nhoùm 4 ñöa tay) 17 GV: Thaày môøi nhoùm 4. Caû lôùp theo doõi ñeå nhaän xeùt. Protocole 2 “moät hoïc sinh cuûa nhoùm 4 leân baûng ghi lôøi giaûi” (xem phuï luïc) 18 GV: Lôøi giaûi cuûa nhoùm 4 laø ñuùng hay sai? 19 HS: Ñuùng! 20 GV: Nhö vaäy caû lôùp ñaõ thoáng nhaát lôøi giaûi cuûa nhoùm 4 laø ñuùng. Baây giôø chuùng ta xeùt ñeán caâu 2b. Nhoùm naøo traû lôøi coù theå giaûi ñöôïc phöông trình f(x) = 0 ñeå tìm nghieäm x0? (khoâng coù nhoùm naøo ñöa tay) 21 GV: Nhö vaäy taát caû caùc nhoùm ñeàu traû lôøi laø “Khoâng”? 22 HS: Daï! 23 GV: Chuùng ta taïm döøng phaàn ñaàu cuûa thöïc nghieäm ôû ñaây. Phöông trình ( ) 0f x = seõ ñöôïc xeùt tieáp ôû phaàn sau cuûa thöïc nghieäm. Hoaït ñoäng 2 Pha 4 24 GV: Chuùng ta xeùt caâu 5 vaø baét ñaàu töø nhoùm 4. Nhoùm 4 ghi coâng thöùc 1 1 2 n n n a b x − − + = . Nhoùm 4 haõy giaûi thích vì sao caùc em ñeà nghò coâng thöùc naøy! Caû lôùp theo doõi ñeå nhaän xeùt. 25 Nhoùm 4: Töø 0 vaø 2 ta laáy x1 = 1. Vì f(0).f(1) < 0 neân coù (0; 1). Töø 0 vaø 1 ta coù 0 1 2 + = 0,5; suy ra (0,5; 1) chöùa x0 do f(0,5).f(1) < 0. Ta laáy 3 0,5 1 0,75 2 x + = = ; suy ra (0,75; 1) do f(0,75).f(1) < 0. Suy ra 1 1 2 n n n a b x − − + = . 26 GV: Caû lôùp coù ñoàng vôùi caùch giaûi thích cuûa nhoùm 4 khoâng? 27 HS: Ñoàng yù! 28 GV: Baây giôø ñeán nhoùm 6. Nhoùm 6 cuõng ghi xn = 1 12 n na b− −+ . Nhoùm 6 haõy giaûi thích vì sao caùc em ñeà nghò coâng thöùc naøy! Caû lôùp theo doõi ñeå nhaän xeùt. 29 Nhoùm 6: Töø khoaûng cho tröôùc (0; 2), ta laáy trung ñieåm laø x1 = 0 2 1 2 + = . Ta coù f(1) = 1, f(1) > 0, f(0).f(1) < 0 neân suy ra x0 thuoäc (0; 1), 1 1( ; ) (0;1)a b = . Vì x2 = 1 12 a b+ = 0 1 2 + = 1 2 , f( 1 2 ) = -128,46875; f( 1 2 ) < 0 neân coù ( 1 2 ;1). Luùc naøo ta cuõng coù khoaûng (a; b) vôùi f(a), f(b) goàm moät soá aâm vaø moät soá döông. Sau khi ñeà nghò, ta tính. Neáu ñöôïc soá döông ta laáy ñaàu aâm, neáu ñöôïc soá aâm ta laáy ñaàu döông. 30 GV: Taïi sao nhoùm em coù ñöôïc xn = 1 12 n na b− −+ ? Protocole 3 31 Nhoùm 6: Daï, nhoùm em ñoaùn. 32 GV: Caû lôùp coù ñoàng vôùi caùch giaûi thích cuûa nhoùm 6 khoâng? 33 HS: Ñoàng yù! 34 GV: Baây giôø ñeán nhoùm 3. Nhoùm 3 ghi coâng thöùc xn = 1n n − . Nhoùm 3 haõy giaûi thích vì sao caùc em ñeà nghò coâng thöùc naøy! Caû lôùp theo doõi ñeå nhaän xeùt. 35 Nhoùm 3: Trong (0; 2), ta choïn x1 = 1, f(1) = 1; suy ra khoaûng môùi laø (0;1) do f(0) = -257, f(0).f(1) < 0. Ta choïn x2 = 12 , f( 1 2 ) = 4111 32 − , suy ra ( 1 2 ; 1) nhö hoài naõy. (nhoùm 3 döøng laïi khoâng noùi nöõa) 36 GV: Laøm sao coù ñöôïc xn? 37 Nhoùm 3: Ta tieáp tuïc tính x3 = 2 3 . Ñeå coù khoaûng con, töùc laø khoaûng nhoû hôn, höôùng cuûa nhoùm em laø caøng gaàn veà 1 (ñeà nghò xn caøng gaàn veà 1). Ta coù x < 1 thì f(x) < 0. 38 GV: Caû lôùp coù ñoàng vôùi caùch giaûi thích cuûa nhoùm 3 khoâng? 39 HS A: Em khoâng ñoàng yù! Em tìm ñöôïc f(0,998046875) > 0. 40 GV: Nhoùm 3 coù yù kieán phaûn baùc laïi khoâng? (nhoùm 3 yeân laëng moät luùc laâu) 41 GV: Toùm laïi, caû lôùp coù ñoàng yù vôùi caùch giaûi thích cuûa nhoùm 3 khoâng? 42 HS: Khoâng! 43 GV: Tieáp theo, ta xeùt nhoùm 7. Nhoùm 7 ghi coâng thöùc xn = 1 12 n na b− −+ . Nhoùm 7 haõy giaûi thích vì sao caùc em ñeà nghò coâng thöùc naøy! Caû lôùp theo doõi ñeå nhaän xeùt. 44 Nhoùm 7: Tuïi em ñoaùn nhö nhoùm 4 vaø nhoùm 6. 45 GV: Baây giôø ñeán nhoùm 2. Nhoùm 2 ghi coâng thöùc xn = 1 n . Nhoùm 2 haõy giaûi thích vì sao caùc em ñeà nghò coâng thöùc naøy! Caû lôùp theo doõi ñeå nhaän xeùt. 46 Nhoùm 2: Nhoùm em ñeà nghò x1 = 1, suy ra khoaûng (0; 1); x2 = 1 2 , suy ra khoaûng ( 1 2 ; 1). Töông töï x3 = 1 3 , suy ra khoaûng ( 1 3 ; 1); coù x4,…, tôùi 1 nx n = , suy ra khoaûng ( 1 n ; 1). 47 GV: Caû lôùp coù ñoàng vôùi caùch giaûi thích cuûa nhoùm 2 khoâng? Protocole 4 48 HS B: Em khoâng ñoàng yù! Baét buoäc taäp hôïp veà sau phaûi laø taäp con cuûa taäp hôïp ban ñaàu. Caùch laøm cuûa nhoùm 2 khoâng thoûa luaät ñoù. Chaúng haïn nhö vôùi x3 = 1 3 , ta coù khoaûng ( 1 3 ; 1) khoâng chöùa trong khoaûng ( 1 2 ; 1). 49 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi yù kieán cuûa baïn B khoâng? 50 HS: Ñoàng yù! 51 GV: Ta xeùt ñeán nhoùm 5. Nhoùm 5 ñeå troáng oâ xn. Nhoùm 5 coù giaûi thích gì khoâng? Caû lôùp theo doõi ñeå nhaän xeùt. 52 Nhoùm 5: Nhoùm em tìm quy luaät cuûa f(x). 53 HS: Ñeà baøi khoâng yeâu caàu! 54 Nhoùm 5: Nhoùm em ñaõ hieåu sai ñeà! 55 GV: Ta xeùt ñeán nhoùm cuoái cuøng. Nhoùm 1 ghi coâng thöùc 1 1( )n n nx a b− −= ± − . Nhoùm 1 haõy giaûi thích vì sao caùc em ñeà nghò coâng thöùc naøy! Caû lôùp theo doõi ñeå nhaän xeùt. 56 Nhoùm 1: Ñeà cho khoaûng (0; 2); ví duï nghieäm naèm gaàn 2, an-1 – bn-1 caøng gaàn 2. 57 HS: Khoâng hieåu! 58 GV: Nhoùm 1 haõy noùi roõ hôn! (nhoùm 1 im laëng moät luùc laâu) 59 GV: Nhoùm 1 khoâng giaûi thích theâm. Vaäy caû lôùp coù ñoàng vôùi caùch giaûi thích cuûa nhoùm 1 khoâng? 60 HS: Khoâng! 61 GV: Caû lôùp chuù yù: Ta ñaõ xeùt xong 7 nhoùm, caùc em ñoàng yù vôùi coâng thöùc naøo nhaát? 62 HS: Coâng thöùc xn = 1 12 n na b− −+ . 63 GV: Nhö vaäy nhoùm 4, nhoùm 6 vaø nhoùm 7 ñeà nghò cuøng moät coâng thöùc laø 1 1 2 n n n a b x − − + = vaø ñöôïc caû lôùp ñoàng yù. Caùc em seõ duøng coâng thöùc naøy trong phaàn cuoái cuûa thöïc nghieäm. Hoaït ñoäng 3 Pha 6 64 GV: Chuùng ta xeùt caâu 6 vaø baét ñaàu töø nhoùm 5. Caû lôùp xem baûng cuûa nhoùm 5 coù ñuùng khoâng? 65 HS: Ñuùng! 66 GV: Baây giôø ta xeùt töøng keát luaän. Thaày löu yù: Nhoùm ñöa ra keát luaän coù theå giaûi thích ñeå thuyeát phuïc caùc baïn. Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “ 1 1( ) ( ) 2n n f x f x − ≈ ”? 67 Nhoùm 5: Theo baûng soá lieäu, xn caøng lôùn thì f(x) caøng bò chia ñoâi. Protocole 5 68 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù khoâng? 69 HS: Ñoàng yù! 70 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “∆ luoân luoân < bn - an”? 71 HS: Ñoàng yù! 72 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “x0 ≈ bn vaø x0 ≈ an”? 73 HS: Ñoàng yù! 74 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “x’0 = [(2 x Töû soá cuûa x0) +1]/[(Maãu soá cuûa x0) x 2]”? 75 Nhoùm 5: x’0 laø soá gaàn ñuùng cuûa x0. Ví duï ta coù: 7 x 2 + 1 = 15; 8 2 16× = ; 8 x 2 = 16; 15 x 2 + 1 = 31; 16 x 2 = 32. (nhoùm 5 voã tay) 76 HS A: Baïn cho xn = ? 77 Nhoùm 5: Ñaây (chæ coät “Choïn moät soá gaàn ñuùng cuûa x0”) laø chính giöõa cuûa khoaûng toång quaùt. Ta tieáp tuïc nhaân ñoâi coäng moät, nhaân hai… (ngaäp ngöøng). Luùc naõy ta coù xn = 1 12 n na b− −+ . Ta luoân coù b = 1. 78 HS A: Khaúng ñònh b = 1 laø khoâng ñuùng. Ñeán moät luùc naøo ñoù a tieán gaàn veà 1 vaø khoaûng (a; b) khoâng chöùa x0 do f(a) > 0, f(b) > 0. Mình tính laø 1b ≠ , neáu noùi b = 1 laø sai. 79 GV: Toùm laïi, caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän ñang xeùt khoâng? 80 HS: Khoâng! 81 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “x0 = a(n+1) /2”? 82 Nhoùm 5: Laáy soá ôû giöõa… nhìn soá lieäu… laø môû ñaàu cuûa khoaûng chöùa nghieäm tieáp theo. 83 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù khoâng? 84 HS: Khoâng! 85 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “∆ ngaøy caøng nhoû”? 86 HS: Ñoàng yù! 87 GV: Nhoùm 5 haõy giaûi thích! 88 Nhoùm 5: Thöa thaày vì caùc khoaûng ngaøy caøng nhoû neân ∆ ngaøy caøng nhoû. 89 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “x0 → 1”? 90 HS C: Em khoâng ñoàng yù vì x0 laø nghieäm. 91 GV: Toùm laïi, caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän ñang xeùt khoâng? 92 HS: Khoâng! 93 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “f(n + 1) → 0 (caøng lôùn)”? 94 Nhoùm 5: Theo soá lieäu, ta tính f(x4), f(x5), f(x6),… (ngaäp ngöøng). Nhoùm em ghi loän, ñaùng leõ phaûi ghi laø f(xn+1) → 0. 95 HS A: Vôùi n = 9 thì (x9; 1) coù f(x9) vaø f(1) ñeàu döông, mình phaûi choïn 9b x= vaø khoaûng chöùa nghieäm seõ lui laïi. Vì vaäy khoâng theå noùi caøng lôùn. 96 GV: Toùm laïi, caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän ñang xeùt khoâng? 97 HS: Khoâng! Protocole 6 98 GV: Ta ñaõ xeùt xong caùc keát luaän cuûa nhoùm 5. Baây giôø ñeán nhoùm 6. Caû lôùp xem baûng cuûa nhoùm 6 coù ñuùng khoâng? 99 HS: Ñuùng! 100 GV: Thaày nhaéc laïi: Nhoùm ñöa ra keát luaän coù theå giaûi thích ñeå thuyeát phuïc caùc baïn. Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “Neáu tieáp tuïc quy trình treân ⇒ tìm ñöôïc giaù trò gaàn ñuùng cuûa x0 vaø ∆ caøng nhoû”? 101 HS: Ñoàng yù! 102 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “Trong quaù trình thöïc hieän neáu coù soá 2 a b+ naøo ñoù maø ( ) 0 2 a bf + = ⇒ 2 a b+ laø nghieäm”? 103 HS: Ñoàng yù! 104 GV: Ta ñaõ xeùt xong caùc keát luaän cuûa nhoùm 6. Baây giôø ñeán nhoùm 3. Caû lôùp xem baûng cuûa nhoùm 3 coù ñuùng khoâng? 105 HS: Ñuùng! 106 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “ 1 1( ) ( ) 2n n f x f x − ≈ ”? 107 HS: Ñoàng yù! 108 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “∆ luoân < bn - an”? 109 HS: Ñoàng yù! 110 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “∆ caøng ngaøy caøng nhoû”? 111 HS: Ñoàng yù! 112 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “f(xn) caøng lôùn”? 113 HS: Khoâng! 114 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “xn caøng lôùn vaø tieán veà 1”? 115 HS: Khoâng! 116 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “x’0 < 1 vaø caøng tieán gaàn veà 1”? 117 HS: Khoâng! 118 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “x0 ≈ bn vaø x0 ≈ an”? 119 HS: Ñoàng yù! 120 GV: Ta ñaõ xeùt xong caùc keát luaän cuûa nhoùm 3. Baây giôø ñeán nhoùm 2. Caû lôùp xem baûng cuûa nhoùm 2 coù ñuùng khoâng? 121 HS D: Coät choïn soá gaàn ñuùng cuûa nhoùm 2 sai so vôùi caùc baûng khaùc! 122 GV: Caû lôùp coù yù kieán gì khoâng? 123 HS: Vaãn ñuùng! 124 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “∆ luoân < bn - an”? 125 HS: Ñoàng yù! 126 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “Caùc soá ngaøy caøng giaûm daàn”? 127 HS: Khoâng! 128 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “f(xn) taêng daàn”? 129 HS: Khoâng! Protocole 7 130 GV: Ta ñaõ xeùt xong caùc keát luaän cuûa nhoùm 2. Baây giôø ñeán nhoùm 1. Caû lôùp xem baûng cuûa nhoùm 1 coù ñuùng khoâng? 131 HS: Ñuùng! 132 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “Soá ñeà nghò < x0”? 133 HS: Khoâng! 134 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “Keát quaû tính f(x) taêng daàn”? 135 HS: Khoâng! 136 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “Soá ñeà nghò tieán ñeán 1”? 137 HS: Khoâng! 138 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “Sai soá tuyeät ñoái < hieäu hai ñaàu muùt”? 139 HS: Ñoàng yù! 140 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “(a5; b5) ⊂ (a4; b4) ⊂ (a3; b3)…”? 141 HS: Ñoàng yù! 142 GV: Ta ñaõ xeùt xong caùc keát luaän cuûa nhoùm 1. Baây giôø ñeán nhoùm 7. Caû lôùp xem baûng cuûa nhoùm 7 coù ñuùng khoâng? 143 HS: Ñuùng! 144 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “ 1( )( ) 2 n n f xf x −≈ ”? (moät soá hoïc sinh baám maùy tính thöû) 145 Nhoùm 5: Sai! 146 GV: Nhoùm 7 coù giaûi thích gì khoâng? (nhoùm 7 im laëng moät luùc laâu) 147 GV: Nhoùm 5 noùi keát luaän vöøa neâu laø sai. Vaäy caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän naøy khoâng? 148 HS: Khoâng! 149 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “Khoaûng chöùa nghieäm (a; b): a b→ ”? 150 HS A: Em khoâng ñoàng yù! Ñeán moät luùc naøo ñoù b quay ngöôïc laïi. 151 GV: Em haõy noùi roõ hôn! 152 HS A: Ñeán moät luùc naøo ñoù, ta theá ñieåm giöõa vaøo b vì khoaûng (a; 1) khoâng coøn nghieäm maø phaûi laø khoaûng (b; a). 153 GV: Toùm laïi, caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän ñang xeùt khoâng? 154 HS: Khoâng! 155 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “xn caøng lôùn ⇒ ∆ caøng nhoû”? 156 HS: Ñoàng yù! 157 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “Soá ñeà nghò ≃ x0"? 158 HS A: x0 bieát ñaâu maø ñeà nghò! (moät soá hoïc sinh voã tay) 159 GV: Nhoùm 7 coù giaûi thích gì khoâng? 160 Nhoùm 7: (ngaäp ngöøng) Tuïi em queân maát roài! Protocole 8 161 GV: Toùm laïi, caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän ñang xeùt khoâng? 162 HS: Khoâng! 163 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “Soá gaàn ñuùng ≈ b"? 164 HS: Khoâng! 165 GV: Ta ñaõ xeùt xong caùc keát luaän cuûa nhoùm 7. Baây giôø ñeán nhoùm cuoái cuøng. Caû lôùp xem baûng cuûa nhoùm 4 coù ñuùng khoâng? 166 HS: Ñuùng! 167 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “b3 – a3 >b4 – a4 >… >bn - an”? 168 HS: Ñoàng yù! 169 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “∆3 < b3 – a3”? 170 HS: Ñoàng yù! 171 GV: Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “∆n < ∆n-1 <… < ∆3”? 172 HS: Ñoàng yù! 173 GV: Ta xeùt keát luaän cuoái cuøng cuûa nhoùm cuoái cuøng. Caû lôùp coù ñoàng yù vôùi keát luaän: “Khoaûng caùch giöõa x0 vaø hai ñaàu muùt ngaøy caøng heïp”? 174 HS: Ñoàng yù! 175 GV: Thöïc nghieäm ñeán ñaây laø keát thuùc. Thaày caûm ôn caùc em raát nhieàu! PHIEÁU 1 NHOÙM : Cho haøm soá : f(x) = x5 + 257x – 257 (Coù theå duøng maùy tính Casio fx 500 MS ñeå giaûi caùc baøi toaùn sau) Caâu 1 (thôøi gian 12 phuùt) Haõy thaûo luaän vôùi caùc baïn trong nhoùm ñeå tìm caùch tính f(2,7) baèng maùy tính boû tuùi, sao cho toång soá laàn baám phím laø ít nhaát. Lieät keâ caùc phím maø nhoùm em ñaõ baám (theo caùch vöøa choïn) ñeå tính ñöôïc f(2,7). Traû lôøi : a) Lieät keâ theo thöù töï caùc phím ñaõ baám sao cho toång soá laàn baám laø ít nhaát : b) Toång soá laàn baám phím : c) Keát quaû tính f(2,7) hieän treân maøn hình maùy tính laø : Caâu 2 (thôøi gian 10 phuùt) a) Chöùng minh raèng phöông trình f(x) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm x0 thuoäc khoaûng (0; 2). (thôøi gian 5 phuùt) Lôøi giaûi : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… b) Coù theå giaûi phöông trình f(x) = 0 ñeå tìm ñöôïc nghieäm x0 hay khoâng? (thôøi gian 5 phuùt) Traû lôøi : ƒ Coù ƒ Khoâng Giaûi thích vì sao : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… PHIEÁU 2 NHOÙM : Xeùt laïi haøm soá : f(x) = x5 + 257x – 257 (Coù theå duøng maùy tính Casio fx 500 MS ñeå giaûi caùc baøi toaùn sau) Trong phieáu 1, ta ñaõ chöùng minh ñöôïc phöông trình f(x) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm x0 thuoäc khoaûng (0; 2). Hôn nöõa, ngöôøi ta ñaõ chöùng minh ñöôïc x0 laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = 0. Laøm theá naøo tính ñöôïc soá gaàn ñuùng cuûa x0? Caâu 3 (thôøi gian 8 phuùt) Haõy thaûo luaän vôùi caùc baïn trong nhoùm ñeå ñeà nghò moät soá x1, sao cho töø vieäc tính f(x1) caùc em tìm ñöôïc khoaûng môùi (a1; b1) thoûa maõn hai ñieàu kieän sau : • (a1; b1) ⊂ (0; 2) • (a1; b1) chöùa nghieäm x0 . Traû lôøi : • Soá maø nhoùm em ñeà nghò laø : • Keát quaû tính f(x1) laø : • Khoaûng tìm ñöôïc laø : Caâu 4 (thôøi gian 7 phuùt) Töø khoaûng (a1; b1) tìm ñöôïc ôû treân, tieáp tuïc ñeà nghò soá x2, sao cho töø vieäc tính f(x2) tìm ñöôïc khoaûng môùi (a2; b2) thoûa maõn hai ñieàu kieän sau : • (a2; b2) ⊂ (a1; b1) • (a2; b2) chöùa nghieäm x0 . Traû lôøi : • Soá maø nhoùm em ñeà nghò laø : • Keát quaû tính f(x2) laø : • Khoaûng tìm ñöôïc laø : x1 = (a1; b1) = x2 = (a2; b2) = PHIEÁU 2 NHOÙM : Caâu 5 (thôøi gian 15 phuùt) Trong caâu 3 vaø 4, ta ñaõ ñeà nghò soá : x1 ñeå coù ñöôïc (a1; b1), x2 ñeå coù ñöôïc (a2; b2). Giaû söû caàn ñeà nghò tieáp caùc soá : x3 ñeå coù ñöôïc (a3; b3), x4 ñeå coù ñöôïc (a4; b4), ……………………………………….., xn–1 ñeå coù ñöôïc (an–1; bn–1), xn ñeå coù ñöôïc (an; bn), …………………………………………, haõy ñeà nghò moät coâng thöùc xaùc ñònh xn. Traû lôøi : xn = PHIEÁU 3 NHOÙM : Xeùt tieáp haøm soá : f(x) = x5 + 257x – 257 (Coù theå duøng maùy tính Casio fx 500 MS ñeå giaûi baøi toaùn sau) Caâu 6 (thôøi gian 25 phuùt) a) AÙp duïng coâng thöùc xaùc ñònh xn ôû caâu 5, haõy ñieàn ñaày ñuû vaøo baûng döôùi ñaây. (thôøi gian 15 phuùt) Soá ñeà nghò Keát quaû tính Khoaûng chöùa nghieäm xo Choïn moät soá gaàn ñuùng cuûa xo So saùnh sai soá tuyeät ñoái ∆ vaø bn - an  x3 = f(x3) laø : (a3; b3) = xo ≈ ∆ ž b3 – a3  x4 = f(x4) laø : (a4; b4) = xo ≈ ∆ ž b4 – a4  x5 = f(x5) laø : (a5; b5) = xo ≈ ∆ ž b5 – a5  b) Neáu tieáp tuïc ñeà nghò caùc soá x6, x7, x8, x9,…, xn,…, caùc em coù keát luaän gì veà caùc keát quaû ñaït ñöôïc? Haõy neâu caùc keát luaän cuûa nhoùm. Nhoùm naøo neâu ñöôïc nhieàu nhaát keát luaän ñuùng laø nhoùm thaéng cuoäc. (thôøi gian 10 phuùt) Traû lôøi : ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ._.