Nghiên cứu về sự hội tụ & sự khai triển Riesz của Amart & sự mở rộng trên các lớp tổng quát hơn

ừ những thập niên đầu của thế kỷ XX, lý thuyết xác suất đã được phát triển mạnh mẽ. Một trong những hướng nghiên cứu mới của nó là lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên. Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên nói chung và lý thuyết Martingale nói riêng trở thành những bộ phận không thể thiếu được của lý thuyết xác suất. Theo Doob và Never, đó là những công cụ hữu hiệu được áp dụng rộng rãi trong nhiều ngành toán học hiện đại và trong thực tế. Việc nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các đại lượng ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất được thực hiện bằng nhiều phương pháp khác nhau. Chẳng hạn, trong quá trình dừng (theo nghĩa rộng) sự phụ thuộc của dãy các đại lượng ngẫu nhiên được nghiên cứu thông qua hàm tương quan. Đối với quá trình Markov, đặc trưng cơ bản của sự phụ thuộc là hàm xác suất chuyển. Đối với quá trình Martingale, sự phụ thuộc được nghiên cứu dựa trên tính chất của kỳ vọng điều kiện. Một trong những hướng nghiên cứu cơ bản của lý thuyết Martingale là các định lý giới hạn của các quá trình ngẫu nhiên. Trong luận văn này chúng ta nghiên cứu về sự hội tụ và sự khai triển Riesz của Amart và sự mở rộng trên các lớp tổng quát hơn: Dv - Amart và Amart điều kiện: Luận văn gồm bốn chương: Chương I: Những kiến thức chuẩn bị: I. Các khái niệm cơ bản II. Một số kết quả Chương II: Amart : I. Sự hội tụ của Amart II. Tính ổn định của Amart III. Khai triển Riesz của Amart Chương III: Dv - Amart: I. Xây dựng không gian Dv II. Sự hội tụ của Dv - Amart Chương IV: Amart điều kiện: I. Một số khái niệm và kết quả liên quan II. Các định lý đặc trưng cho sự hội tụ hầu chắc chắn Do có những khó khăn nhất định về tài liệu tham khảo và khả năng còn hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót, tác giả mong thầy cô và bạn đọc thông cảm góp ý thêm. Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi nhận được sự giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Hắc Hải và các thầy trong tổ Toán ứng dụng - Khoa toán tin - Trường đại học Sư phạm Hà Nội để hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hắc Hải và các thầy cô giáo ./. Chương I. Những kiến thức chuẩn bị I. Các kháI niệm cơ bản Định nghĩa I.1.1: Phần tử ngẫu nhiên. Giả sử không gian xác suất (W, ℱ, P); (E, ℬ) là không gian Mêtric đầy đủ, khả ly. Một ánh xạ đo được từ W đ E được gọi là phần tử ngẫu nhiên, ký hiệu là X. Khi đó : X: W đ E sao cho X-1 (B) ẻ ℱ, với mọi B ẻ ℬ. Khi E = R (E = Rn) ta có X là biến ngẫu nhiên hay vectơ ngẫu nhiên. Giả sử {Xn} n ẻ N là dãy các đại lượng ngẫu nhiên tương thích với họ {ℱn}, nghĩa là Xn đo được đối với ℱn với mọi n. Khi đó ta nói rằng: {(Xn, ℱn)}n ẻ N tạo thành dãy ngẫu nhiên. Định nghĩa I.1.2: Thời điểm dừng bị chặn. ánh xạ t: W đ N w đ t(w) thoả mãn 2 điều kiện: P[t(w) < Ơ] = 1 [w:t(w) = n ] = [t=n] ẻ ℱn được gọi là điểm dừng bị chặn. Trong đó: ℱn là họ tăng các s - đại số con của ℱ. Ký hiệu: T = tập các thời điểm dừng bị chặn. Với t ẻ T, ta xác định: Xt: W đ E w đ Xt(w) = Xt(w) (w) ℱt = {Bẻ ℱ : B ầ [t=n] ẻ ℱn} là s - đại số trên W ị ℱt là s - đại số con của ℱ Xt là biến ngẫu nhiên ị Xt là ℱt - đo được. Chứng minh: + Ft là s - đại số: Với mỗi t ẻ T: ℱt = {B ẻ ℱ: B ầ [t = n] ẻ ℱn} W ầ [t = n] = [t = n] ẻ ℱn ị W ẻ ℱt f ẻ ℱ (vì ℱ là s - đại số) f ầ [t = n] = f ẻ ℱn ị f ẻ ℱt A ẻ ℱt Ac = W\A Xét Ac ầ [t = n] = (W\A) ầ [t = n] = (W ầ [t = n]) \ (A ầ [t = n]) ẻ ℱn ị Ac ẻ ℱt {Ai} i ẻ I mà Ai ẻ ℱt, Ai ầ Aj = f, với mọi i ≠ j ℱn ị ẻ ℱt Vậy ℱt là s - đại số trên W. + Xt là biến ngẫu nhiên: Với a ẻ R1, ta phải chứng minh: [ Xt < a] ẻ ℱn. Ta có: [Xt < a] ầ [t = n] = [Xn < a] ầ [t = n] ẻ ℱn Xn là biến ngẫu nhiên ị [Xn < a] ẻ ℱn t là thời điểm dừng nên [t = n] ẻ ℱn ị [Xt < a] ẻ ℱn ị Xt là biến ngẫu nhiên. Định nghĩa I.1.3: Dãy dự báo. Dãy ngẫu nhiên (Xn, ℱn)nẻN được gọi là dãy dự báo nếu với mỗi n ẻ N thì các biến ngẫu nhiên Xn là ℱn -1 - đo được, ở đó ℱ0 = ℱ1. Định nghĩa I.1.4: Martingale (Sub Martingale). Dãy ngẫu nhiên (Xn, ℱn)nẻN gọi là Martingale (Sub Mart) nếu với mọi n ≥ 1 các điều kiện sau thoả mãn: E(|Xn|) < + Ơ E(|Xn+1| ℱn) = Xn (E(Xn+1/ ℱn) ≥ Xn) (a.s) Định nghĩa I.1.5: Khả tích đều. Dãy ngẫu nhiên (Xn)nẻN tương thích với họ {ℱn}nẻN được gọi là khả tích đều nếu: hay: Định nghĩa I.1.6: T - Khả tích đều. Dãy ngẫu nhiên (Xn)nẻN tương thích với họ {ℱn}nẻN được gọi là T - khả tích đều nếu: {EXt}t ẻ T là khả tích đều. Nghĩa là: với mọi e > 0, l0 sao cho: sup E(|Xt|.I[|Xn|>l]) l0. Định nghĩa I.1.7: Hội tụ theo xác suất. nếu e > 0: lim P[|Xn-X| ≤ e] = 1 n đ Ơ n đ Ơ Định nghĩa I.1.8: Hội tụ hầu chắc chắn. nếu P[w : lim Xn(w)=X(w)] = 1 n đ Ơ n đ Ơ Định nghĩa I.1.9: Hội tụ theo luật. nếu PXnđ PX n đ Ơ Định nghĩa I.1.10: Hội tụ căn bản theo luật. nếu với mọi tập X - liên tục A ta có: n đ Ơ P(lim sup [Xn ẻ A]) = P(lim inf [Xn ẻ A]) = P(X ẻ A) n đ Ơ n đ Ơ (tập A được gọi là X - liên tục nếu P[X ẻ ảA] = 0. ảA là biên của tập A, Aẻ ℬ) Mêtric – Levy – Prokhorop xác định trên tập PE gồm tất cả các độ đo xác suất trên (E, ℬ) như sau: L(PX, PY) = inf {e : PX (A) < PY (Ae) + e; PY (A) < PX (A) + e, A ẻ ℬ} Trong đó: PX là phân phối xác suất của phần tử ngẫu nhiên X PX(B) = P[Xẻ B], B ẻ ℬ Ae = {x ẻ E; r(x,A) < e } Người ta có thể viết: L(X,Y) = L(PX, PY) Định nghĩa I.1.11: Hội tụ ngẫu nhiên theo luật. nếu e > 0, t0 ẻ T, " ẻ T, t > t0: L(Xt, X) < e (a.s) t đ Ơ Định nghĩa I.1.12: Hội tụ vô hướng. Dãy được gọi là hội tụ vô hướng (a.s) đến X nếu mọi toán tử tuyến tính liên tục f, f ẻ E* thì : f(Xn) đ f(X). Trong đó : E* là không gian Banach đối ngẫu của E. II. Một số kết quả Bổ đề I.2.1. Nếu dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn}n ẻ N hội tụ theo xác suất tới phần tử ngẫu nhiên X thì tồn tại một dãy con (nk) sao cho dãy hội tụ a.s tới X khi k đ Ơ Bổ đề I.2.2. Dãy các phần tử ngẫu nhiên hội tụ a.s tới phần tử ngẫu nhiên X nếu với mọi dãy {tn} è T, tn ư Ơ (a.s) ta có: {Xtn}hội tụ a.s tới X khi n đ Ơ Bổ đề I.2.3. Giả sử {Xn}nẻN là một Amart L1 - bị chặn Khi đó: (i) (ii) (iii) (a.s) Bổ đề I.2.4. Giả sử {Xn}là dãy các phần tử ngẫu nhiên, X là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) (ii) (ii) Trong đó: X’ là phần tử ngẫu nhiên nào đó, sao cho PX = PX’ Bổ đề I.2.5. Giả sử {Xn}là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach E. Khi đó: (a.s), nđ Ơ Và tập {Xn (w)} là compact tương đối (a.s) Bổ đề I.2.6. Giả sử {Xn}nẻN là dãy các phần tử ngẫu nhiên và X là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) (ii) Với mọi dãy (tn), tn ẻ T, tn ≥ n, n ẻ N, ta có: Bổ đề I.2.7. Giả sử {Xn, ℱn}nẻN và {Yn, ℱn}nẻN là Amart L1 - bị chặn. Khi đó: {Xn Ú Yn ,ℱn}nẻN và {Xn Ù Yn, ℱn}nẻN cũng là Amart L1 - bị chặn. Chương II. Amart Martingale tiệm cận (Amart) được mở rộng trực tiếp từ khái niệm martingale: Dãy ngẫu nhiên {Xn, ℱn}nẻN gọi là Amart nếu lưới (EXt) t ẻ T hội tụ. I. Sự hội tụ của Amart: Bổ đề II.1.1. Giả sử Y là biến ngẫu nhiên ℱƠ - đo được sao cho với mọi w ẻ W: Y(w) là điểm dính của dãy {Xn(w)} nẻN. Khi đó tồn tại dãy thời điểm dừng (tn) n ẻ N, tn ẻ TN, với t n+1 ≥ tn và tn ≥ n sao cho: Chứng minh: Lấy n0 và e > 0, tồn tại n’ ≥ n0 và biến ngẫu nhiên Y’ sao cho Y’ là ℱn’-đođược và: Vì Y(w) là điểm dính của dãy {Xn(w)}n ẻ N nên: và tồn tại n’’ ≥ n’ sao cho Trong đó: Ta xác định thời điểm dừng t : t = nếu w ẻ A n’’ nếu w ẽ A Do Y là ℱƠ - đo được và ℱƠ = s (ℱn) ị Y là ℱn - đo được với mọi n ẻ N ị [t = n] ẻ ℱn , với mọi n ẻ N ị t ẻ TN Theo bổ đề I.2.1. tồn tại dãy (tn) ẻ TN sao cho ị bổ đề được chứng minh. Định lý II.1.2. {Xn, ℱn}nẻN là dãy ngẫu nhiên và Khi đó các điều kiện sau là tương đương: Xn hội tụ a.s với n đ Ơ (Xn) n ẻ N là Amart. Chứng minh: (i) ị (ii) Giả sử Chọn (tn)n ẻ N là dãy thời điểm dừng bị chặn tăng tới vô hạn khi n đ Ơ Khi đó: và là hội tụ Vì dãy {tn} chọn bất kỳ ị (EXt) hội tụ ị (Xn)n ẻ N là Amart (ii) ị (i): Đặt ị X* và X* là điểm dính. Theo bổ đề II.1.1. ị tồn tại 2 dãy thời điểm dừng bị chặn {t}n ẻ N và {sn}n ẻ N sao cho: Xtn đ X* và Xsn đ X* a.s, n đ Ơ Mặt khác: Qua giới hạn dưới dấu tích phân (vì ): (do {Xn} là Amart) ị E (X* - X*) = 0 ị X* = X* (a.s) Theo bổ đề Fatou: Định lí được chứng minh. Định lí II.1.3. Giả sử {Xn, ℱn}nẻN là Amart và Xn là L1 - bị chặn, khi đó Xn hội tụ (a.s) khi n đ Ơ Chứng minh: Lấy l > 0 và đặt Yn = -l Ú Xn Ù l, n ẻ N. Theo bổ đề I.2.7 ị {Yn , ℱn}n ẻ N là Amart bị chặn đều. Theo định lý II.1.2. ị Yn hội tụ (a.s) khi n đ Ơ Mặt khác: Theo bổ đề I.2.3: có thể chọn l đủ lớn sao cho: ị Xn hội tụ a.s khi n đ Ơ Định lí được chứng minh. Định lí II.1.4. Giả sử {Xn, ℱn}nẻN là T - khả tích đều. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) Xn hội tụ a.s khi n đ Ơ (ii) {Xn, ℱn}nẻN là một Amart Chứng minh: (i) ị (ii). Giả sử Chọn (tn)n ẻ N là dãy tăng các thời điểm dừng bị chặn là khả tích đều. Vì là khả tích đều và chọn (tn) bất kỳ nên (EXt) hội tụ ị {Xn, ℱn}nẻN là một Amart. (ii) ị (i): Giả sử {Xn, ℱn}nẻN là một Amart {Xn}nẻN là T – khả tích đều. ị {Xn}nẻN là L1 - bị chặn. Theo định lý II.1.3. ị Định lí được chứng minh. II. tính ổn định của amart. Trong phần này vấn đề cơ bản cần phải giải quyết là: Cho {Xn, ℱn}nẻN là một Amart và một hàm j: Rđ R. Với điều kiện nào của hàm j thì {j(Xn), ℱn}nẻN là một Amart ? Câu trả lời khẳng định cho những trường hợp: j(x) = |x|, x+, x- với điều kiện {Xn}nẻN là L1 - bị chặn đã được nêu trong bổ đề sau: Bổ đề II.2.1. Giả sử {Xn}nẻN là L1 - bị chặn. Nếu{Xn, ℱn}nẻN là một Amart thì {, ℱn}nẻN, {, ℱn}nẻN, {, ℱn}nẻN cũng là Amart. Bây giờ chúng ta nghiên cứu các điều kiện đủ của hàm j để kết luận trên vẫn đúng. Định lý II.2.2. Giả sử {Xn, ℱn}nẻN là một Amart và {Xn}nẻN là L1 - bị chặn. Hàm j: Rđ R sao cho: j liên tục và tồn tại hữu hạn Khi đó {j(Xn), ℱn}nẻN là Amart L1 - bị chặn Chứng minh: a. Trước hết ta giả sử rằng Xn ³ 0, j(0) = 0, = 0. Giả sử {Xn, ℱn}nẻN là một Amart và {Xn}nẻN là L1 - bị chặn. Theo định lý II.1.3. ị Xn hội tụ a.s khi n đ Ơ ị j (Xn) hội tụ a.s khi n đ Ơ j liên tục Ta phải chứng minh {j(Xt)}t ẻ T là khả tích đều. Thật vậy: từ = 0 ị với x > M j liên tục ị j bị chặn ị |j(x)| Ê j0 với 0 Ê x Ê M. có thể chọn e nhỏ tuỳ ý ị {j(Xt)}t ẻ T là khả tích đều. Theo định lý II.1.4 ị {j(Xn), ℱn}nẻN là Amart. b. Giả sử rằng Xn ³ 0, j(0) = 0, = a ạ 0 Đặt y(x) = j(x) - a(x) ị và y(0) = 0. Theo chứng minh (a) ị {y (Xn), ℱn}nẻN là Amart. Do tính chất tuyến tính ị {j(Xn), ℱn}nẻN là Amart. c. Bây giờ giả sử rằng chỉ có j(0) = 0 Từ {Xn, ℱn}nẻN là một Amart ị {, ℱn}nẻN, {, ℱn}nẻN là những Amart không âm. Theo chứng minh (b) ị {j (), ℱn}nẻN, {j (), ℱn}nẻN là Amart. ị {j1(Xn), ℱn}nẻN cũng là Amart. Trong đó: j1(x) = j(-x), x ẻ R j(Xn) = j () + j () (j(0) = 0) {j(Xn), ℱn}nẻN là Amart. Cuối cùng nếu j(0) ạ 0 Đặt y(x) = j(x) - j(0) ị y(0) = 0 Theo chứng minh (c) ị {y (Xn), ℱn}nẻN là Amart ị {j (Xn), ℱn}nẻN là Amart Định lí được chứng minh. Nếu bỏ điều kiện (ii) trong định lý II.2.2 ta có kết quả sau: Định lý II.2.3 Giả sử {Xn, ℱn}nẻN là một Amart. j: R đ R là hàm liên tục sao cho và không tồn tại hữu hạn. Nếu {Xn}nẻN là L1 - bị chặn và {j(Xt)}t ẻ T là khả tích đều thì {j(Xn), ℱn}nẻN là Amart L1 - bị chặn. Chứng minh: Theo định lý hội tụ của Amart: Xn hội tụ a.s khi n đ Ơ j liên tục ị j(Xn) hội tụ a.s khi n đ Ơ ị {j(Xn), ℱn}nẻN là Amart. Định lí được chứng minh. III. Khai triển Riesz của Amart : Năm 1953 Doob đã thành công trong việc chứng minh định lý khai triển đối với Sub Martingale. Từ đó, nhiều nhà toán học đã tìm cách mở rộng định lý đó theo nhiều hướng khác nhau. Một trong những hướng đó là sự khai triển của Amart. Bổ đề II.3.1. Giả sử {Xn, ℱn}nẻN là một Amart và số e > 0. Khi đó t0 ẻ T sao cho: E|Xt - E(Xs|ℱt)| Ê e, t0 Ê t Ê s và lưới E(Xt |ℱr)tẻT là hội tụ trong L1, r ẻ T. Chứng minh: + {Xn, ℱn}nẻN là một Amart ị lưới E(Xt)tẻT là hội tụ Chọn t0 ẻ T sao cho , Với t ẻ T, t0 Ê t Ê s và A ẻ ℱt ta xác định thời điểm dừng: t trên A r = s trên Ac ℱt = = Chọn A = Xt - EXsℱt ³ 0. ℱt ℱt ℱt ị E|Xt - E(Xs| ℱt )| Ê e, s ³ t ³ t0 . + Lưới E(Xt |ℱr)tẻT là hội tụ trong L1, r ẻ T. Ta phải chứng minh: ℱrℱr Thật vậy: Với s ³ t ³ t0 , r ị ℱr è ℱt ị E(Xs |ℱr) = E(E(Xs| ℱt )|ℱr) ị E|E(Xt |ℱr) - E(Xs |ℱr)| = E|E[E(Xt - Xs |ℱt)|ℱr]| = E|E[Xt - E(Xs |ℱt)ℱr]| Ê E|Xt - E(Xs |ℱt)| Ê e ị E(Xt |ℱr)tẻT là hội tụ trong L1, r ẻ T. Định lí được chứng minh. Định lý II.3.2. (định lý khai triển Riesz) Giả sử {Xn, ℱn}nẻN là một Amart. Khi đó Xn có thể khai triển một cách duy nhất dưới dạng: Xn = Yn + Zn. Trong đó {Yn, ℱn}nẻN là martingale. {Zn, ℱn}nẻN là Amart T - khả tích đều. Hơn nữa: trong L1. Chứng minh: + Với r ẻ T tuỳ ý, theo bổ đề II.3.1 ị lưới (E(Xt |ℱr))tẻT là hội tụ trong L1 tới Yr . nghĩa là: e > 0, t0 ẻ T sao cho: E|(Yr -E(Xt|ℱr))| < e , t ³ t0 Cố định r ẻ T, ta xác định: Ys = E(Yr | ℱs ) với s ẻ T. Giả sử s Ê r Ê t và t > t0 Khi đó: E|Ys - E(Yr | ℱs )| = E|Ys - E(Xt | ℱs )+ E(Xt | ℱs )- E(Yr | ℱs)| Ê E|Ys - E(Xt | ℱs )|+ E|E(Xt -Yr |ℱs)| Ê e + E|E(Xt -Yr )|ℱr|ℱs| Ê e + E|E(Xt |ℱr)-Yr|Ê 2e  ị Ys = E(Yr |ℱs ), s Ê r ị {Yn, ℱn}nẻN là martingale Đặt Zn = Xn - Yn ị {Zn, ℱn}nẻN là Amart. + Zn là T -khả tích đều: Thật vậy với e > 0, chon t0 và s ³ t ³ t0 sao cho bổ đề II.3.1 thoả mãn đối với (Zt) t ẻ T và (Yt) t ẻ T ị E|Yt - E(Xs | ℱt)|Ê e E(Zs | ℱt) = E((Xs - Ys)|ℱt) = E(Xs | ℱt) – Yt = E|Zt - E(Zs |ℱt) + E(Zs | ℱt)| Ê E|Zt - E(Zs |ℱt)| + E|E(Xs |ℱt)-Yt| Ê e + e = 2e , với l ị (Zt ) t ẻ T là T - khả tích đều + Khai triển là duy nhất: Giả sử: Khi đó: , ℱnnẻN là sub martingale ị là dãy tăng, n . ị ị a.s , n ị a.s , n Định lí được chứng minh. Chương III: Dv - amart I. Xây dựng không gian Dv: - Ký hiệu I = tập hợp các hàm v liên tục, đơn điệu giản, xác định trên [0, +Ơ) sao cho: (i) ; (ii) Tồn tại a ẻ [0, 1] sao cho: - Đối với biến ngẫu nhiên X trên không gian xác suất (W, ℱ, P), cố định v ẻ I ta định nghĩa hàm : Dễ thấy: a.s trên W Định nghĩa III.1.1: Không gian Dv. - Biến ngẫu nhiên X thuộc không gian Dv nếu: Hiển nhiên nếu X ẻ Dv thì: - Nếu S (W,ℱ) = Tập hợp các biến ngẫu nhiên bị chặn hầu khắp nơi trên W thì ta sẽ có: S (W,ℱ) = Ta nhận thấy Dv là một không gian Metric đầy đủ khả ly và sự hội tụ trong không gian này mạnh hơn sự hội tụ theo xác suất. Định nghĩa III.1.2: Dv - Amart. Dãy biến ngẫu nhiên (Xn)n ẻ N tương thích với họ (ℱ n)n ẻ N được gọi là Dv - Amart nếu với Xn ẻ Dv , v ẻ I, n ³ 1 và với bất kỳ e > 0, tồn tại một thời điểm dừng t0 ẻ T sao cho Với t, s > t0 , t, s ẻ T ta có: Nhận xét: Amart è Dv - Amart. Ví dụ: Dãy biến ngẫu nhiên là Dv - Amart nhưng không phải là Amart: Lấy W = [0, 1] X2n = 0 X2n + 1 = 2n với w ẻ [0, 2-n] 0 với w ẽ [0, 2-n] P: độ đo Lebegue. Ta thấy rằng: Xn ³ 0; , (a.s) trên W. (EXt)t ẻ T không hội tụ ị {Xn}nẻN không phải Amart. Với bất kỳ hàm v ẻ I luôn có: ị {Xn}nẻN ẻ Dv , n = 1, Ơ Từ định nghĩa {Xn}nẻN suy ra: Chọn hàm v ẻ I sao cho: (3.1) Điều này đúng với Lấy t ẻ T ị M, K ẻ N sao cho M Ê t Ê K Vậy với g > 0 cố định thì: / v(l) Ê = Giả thiết rằng: Khi đó từ định nghĩa và từ điều kiện (3.1) ta nhận được: , M đ +Ơ Điều này không thể xảy ra. Như vậy giả thiết là không đúng. Vậy , t đ +Ơ ị (Xn, ℱ n)n ẻ N là Dv - Amart với v ẻ I thoả mãn điều kiện (3.1). II. Sự hội tụ của Dv - Amart. Định lý III.2.1: (Tính hội tụ làm trội trong Dv). Cho {Xn}nẻN là dãy biến ngẫu nhiên hội tụ tới X (a.s) trên W và Yẻ Dv: |Xn| Ê Y (a.s) trên W Khi đó: X, Xn ẻ Dv, n ³ 1 và: Các mệnh đề dưới đây chỉ ra tập hội tụ của Dv - Amart là sự mở rộng thực sự các kết quả đã có đối với lớp các Martingale. Để thuận tiện ta đưa vào một số ký hiệu sau: Dễ thấy: MN(l) ư M(l) AN(l) ư A(l) khi n đ Ơ Bổ đề III.2.2. Giả sử {Xn}nẻN là dãy biến ngẫu nhiên tương thích với họ (ℱ n)n ẻ N sao cho , v ẻ I Khi đó M(l) Ê C1 v(l). (3.2) C1 là hằng số dương không phụ thuộc vào l Chứng minh: Với l > 0 cố định và e > 0 tuỳ ý, tồn tại N sao cho: M(l) Ê MN(l) + e Từ định nghĩa MN(l) trên ị tồn tại k0 sao cho: Từ định nghĩa hàm: , ta có: v ẻ I ị Với C(.) là đại lượng có trong định nghĩa hàm số v ị C(.) giảm trên [0, +Ơ) Mặt khác: và Vì e > 0 tuỳ ý nên: Bổ đề được chứng minh. Bổ đề III.2.3. Giả sử {Xn}nẻN là dãy biến ngẫu nhiên tương thích với họ (ℱn)n ẻ N sao cho Xn ẻ Dv và , v ẻ I Khi đó A(l) Ê C2 v(l). (3.3) C2 là hằng số dương không phụ thuộc vào l Chứng minh: Với e > 0, N>0 sao cho: A(l) Ê AN(l) + e (3.4) Ta xác định thời điểm dừng: s(w) = min{n:1 Ê n Ê N: |Xn(w)| > l}, w ẻ (sup|Xn| > l) N w ẽ (sup|Xn| > l) Vì ℱn nên s ẻ T và: (3.5) ị A(l) Ê C2 v(l). Bổ đề được chứng minh. Bổ đề III.2.4: Nếu {Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart, v ẻ I, thì Chứng minh: {Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart, v ẻ I ị tồn tại N sao cho với t ³ N thì: (3.6) và ị Như vậy: ị Bổ đề được chứng minh. Nhận xét: Nếu {Xn, ℱn}n ẻ N và {Yn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart thì {Xn ± Yn,ℱn}n ẻ N cũng là Dv - Amart Dưới đây chúng ta sẽ nghiên cứu và chứng minh một số định lý về sự hội tụ của Dv - Amart mà các định lý này đã được chứng minh với Amart. Định lý sau đây tương đương với định lý II.1.2 của Amart: Định lý III.2.5. Giả sử {Xn}nẻN là dãy biến ngẫu nhiên tương thích với họ (ℱ n)n ẻ N sao cho , v ẻ I. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) (Xn)nẻN hội tụ (a.s) trên W (ii) {Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart Chứng minh: (i) ị (ii) Giả sử , n đ Ơ trên W Nếu tn ẻ T và tn ư Ơ thì trên W Theo định lý về tính hội tụ làm trội ta có: ị {Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart (ii) ị (i) Giả sử {Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart Đặt ; ị tn , sn ẻ T: tn ư Ơ, snư Ơ sao cho: và (a.s) trên W Theo định lý về tính hội tụ làm trội ta có: ị (a.s) trên W Định lí được chứng minh. Sau đây là một số điều kiện đủ về sự hồi tụ theo xác suất, hội tụ hầu khắp nơi đối với dãy Dv - Amart. Định lý III.2.6. Cho {Xn, ℱn}n ³ 1 và {Yn, ℱn}n ³ 1 là các dãy biến ngẫu nhiên, Xn, Yn ẻ Dv, v ẻ I Khi đó: Nếu và bị chặn thì và cũng bị chặn Nếu {Xn, ℱn}n ³ 1 và {Yn, ℱn}n ³ 1 là các Dv - Amart đồng thời thì {XnÙYn, ℱn}n ³ 1 và {XnÚYn, ℱn}n ³ 1 cũng là Dv - Amart. Chứng minh: (i) Dễ dàng suy ra từ bất đẳng thức: (ii) Ta sẽ chứng minh {XnÚYn, ℱn}n ³ 1 là Dv - Amart ({XnÙYn, ℱn}n ³ 1 tương tự). Theo bổ đề III.2.4, các họ và là bị chặn Từ (i) ta suy ra: sup Đặt Zn = Xn Ú Yn ị Tồn tại những đại lượng ngẫu nhiên X và Y sao cho đối với mọi dãy tn ẻ T, tn ư Ơ , ta có: khi n đ Ơ và X,Y ẻ Dv , Dv là không gian đầy đủ. Đặt A = {X < Y}, An = {Xn < Yn} Z = X Ú Y Khi đó: (3.7) . Theo bổ đề III.2.3 ta có: lim sup P(ADAn) Ê P(lim sup(ADAn))=0 (3.8) với Từ (i), định nghĩa và (3.7), (3.8) ta suy ra: (3.9) Giả sử: (3.10) Tức là tồn tại dãy sao cho: Do định nghĩa của hàm sẽ tồn tại dãy, lk > 0, k = 1, Ơ sao cho: (3.11) Ta xét các trường hợp: lk đ 0 khi k đ +Ơ: Từ (3.11) ị ị vô lý b. 0 < a < lk <b < +Ơ, k = 1, +Ơ Từ (3.9) và (3.11) ị ị vô lý c. lk đ +Ơ, k đ Ơ: (3.12) Vì nên và Z ẻ Dv. ị (3.13) Như vậy điều giả sử ở (3.10) là không đúng. ị {Zn, ℱn}n ẻ N là Dv – Amart, v ẻ I. Định lí được chứng minh. Hệ quả III.2.7. Giả sử {Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart, v ẻ I. Nếu thì: (i) là Dv - Amart bị chặn trong Dv tương thích với { ℱn}n ẻ N. (ii) và Chứng minh: (i) + Ta có {Xn, ℱn}n ẻ N và {-Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart. là Dv - Amart. + Nếu c = Yn , n = 1, Ơ thì Yn là Dv - Amart và là những Dv - Amart bị chặn trong Dv tương thích với{ℱn}n ẻ N (ii) Do Theo bổ đề III.2.2: M(l) Ê C1 v(l). Tương tự, theo bổ đề III.2.3: A(l) Ê C2 v(l). Hệ quả được chứng minh. Định lý III.2.8. Giả sử {Xn, ℱn}n ẻ N là Amart và Khi đó: {Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart, v ẻ I và Chứng minh: Theo bổ đề I.2.3 Theo bất đẳng thức Trebưsep với t, s ẻ T. Nếu v ẻ I sao cho: khi l đ +Ơ thì Xt ẻ Dv với t ẻ T bất kỳ. ị Xn đ X (a.s) trên W ị với bất kỳ dãy và thì dãy Thật vậy: Giả sử tồn tại dãyvà , w ẻ W sao cho: (3.14) Chứng minh như định lý III.2.6 ta thấy giả sử (3.14) là không đúng thì với bất kỳ dãy và , w ẻ W ta có: Tức là:{Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart. Theo tính chất đầy đủ của không gian Dv ị X ẻ Dv Định lí được chứng minh. Định lý III.2.9. Giả sử:{Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart, v ẻ I. là một dãy không giảm những thời điểm dừng bị chặn tương thích với{ℱn}n ẻ N Đặt Ǥk = ℱt Khi đó {Yk, Ǥk}k ẻ N là Dv - Amart. Chứng minh: s - đại số Ǥk được xác định sao cho Yk là Ǥ - đo được. Nếu h là thời điểm dừng đối với {Ǥk}k ẻ N thì tn là thời điểm dừng đối với {ℱn}n ẻ N Vì {Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart nên với e > 0 bất kỳ n0 ẻ N sao cho với bất kỳ t, t’ ẻ T; t, t’ > n0 thì: (3.15) Đặt là thời điểm dừng (có thể là vô tận) đối với {ℱn}n ẻ N Ta thấy khi k đ +Ơ và Bởi vì Theo định lý III.2.5 ị {, Ǥk}k ẻ N là Dv - Amart. ị "e > 0, k ẻ N sao cho với bất kỳ thời điểm dừng bị chặn s, s’ đối với {Ǥn}n ẻ N s, s’ ³ k thì ta có: (3.16) Khi đó ts và ts’ là những thời điểm dừng đối với {ℱn}n ẻ N Tương tự ta cũng có: (3.17) Từ (3.15) (3.16) (3.17) ta suy ra: ị {Yk, Ǥk}k ẻ N là Dv - Amart Định lí được chứng minh. Định lý III.2.10. Giả sử :{Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart, v ẻ I. Khi đó: (i) {Xn}n ẻ N là dãy hội tụ theo xác suất (ii) Nếu thì {Xn}n ẻ N hội tụ (a.s) trên W Chứng minh: (i) Vì {Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart ị Theo định nghĩa hàm : Vậy{Xn}n ẻ N là dãy hội tụ theo xác suất. (ii) Theo bổ đề III.2.3: Ê C v(l). < +Ơ Theo định lý III.2.5 ị {Xn}n ẻ N hội tụ (a.s) trên W. Định lí được chứng minh. Bổ đề III.2.11. Giả sử {Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart, v ẻ I. s là thời điểm dừng (có thể là vô tận) Khi đó {XnÙs , ℱn}n ẻ N là Dv - Amart, v ẻ I. Chứng minh: Đặt tn = n Ù s Khi đó ℱtn è ℱn, n ẻ N Theo định lý III.2.9 suy ra {XnÙs , ℱn}n ẻ N là Dv - Amart, v ẻ I. Bổ đề được chứng minh. Định lý III.2.12. Giả sử {Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart dự báo, v ẻ I. Khi đó {Xn}n ẻ N hội tụ (a.s) trên Chứng minh: Lấy m là một số cố định, m > 0, Ta xác định thời điểm dừng: +Ơ với w ẻ Gm = min{kẻN: |Xi(w)| Ê m; i = 1, k; Xk+1(w) > m} với w ẽ Gm Vì {Xn}n ẻ N là dãy dự báo nên s là thời điểm dừng đối với {ℱn}n ẻ N Theo bổ đề III.2.11 suy ra {XnÙs, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart. Vì nên Theo định lý III.2.5 ta có: {XnÙs }n ẻ N hội tụ (a.s) trên W Mà Xn = XnÙs với n ³ 1 trên tập Gm ị {Xn}n ẻ N hội tụ (a.s) trên Gm với m > 0 ị {Xn}n ẻ N hội tụ (a.s) trên G = Định lí được chứng minh. Định lý III.2.13. Giả sử {Xn, ℱn}n ẻ N là Dv - Amart, v ẻ I. là một dãy không giảm những thời điểm dừng bị chặn tương thích với {ℱn}n ẻ N , tk ³ k, k ẻ N và , v ẻ I Khi đó{Xn}n ẻ N hội tụ (a.s) trên tập hợp G = Chứng minh: Cho m > 0 tuỳ ý, xác định thời điểm dừng s và s’ đối với {ℱn}n ẻ N như sau: s = tk; s’ = k nếu k ẻ Z sao cho |Xk| > m và s = s’ = +Ơ nếu Xn| Ê m Ta xác định thời điểm dừng t’n đối với {ℱn}n ẻ N như sau: n nếu w ẻ {s’ > n} t’n(w) = s(w) nếu w ẻ {s’ Ê n} Nếu s’ Ê n ị k Ê n ị t’n = s = tk Ê tn ị t’n bị chặn Theo bổ đề III.2.11 suy ra {XnÙs , ℱn}n ẻ N là Dv - Amart. Nếu s’ > n thì s’ < n thì trong đó k = s’ và mà Theo định lý III.2.5 suy ra {XnÙs }n ẻ N hội tụ (a,s) trên W Vì XnÙs = Xn với "n ẻ nên {Xn}n ẻ N hội tụ (a.s) trên G = Định lí được chứng minh. Bây giờ ta xét Dv - Amart trên tập hợp sắp thứ tự của các chỉ số J. Nếu { ℱt}t ẻ J là họ không giảm các s - đại số con, nghĩa là s, t ẻ J; s Ê t thì ℱs Í ℱt. Tập hợp những thời điểm dừng đối với { ℱt}t ẻ J là hàm số t: W đ J gồm một số hữu hạn giá trị và {t = t} ẻ ℱt với "t ẻ J. Giả sử T = TJ là tập hợp tất cả những thời điểm dừng đơn giản. Quá trình ngẫu nhiên {Xt, ℱt}t ẻ J gọi là Dv - Amart, v ẻ I nếu Xt ẻ Dv, "t ẻ J và với e > 0 tuỳ ý, t0 ẻ T sao cho với t, s ẻ T, t, s > t0 thì Định lý III.2.14. Giả sử {Xt, ℱt}t ẻ J là Dv - Amart, v ẻ I và Khi đó: (i) {Xt }t ẻ J hội tụ theo xác suất (ii) Nếu J là tập hợp sắp thứ tự bộ phận đếm được thì {Xt }t ẻ J hội tụ (a.s) trên W Chứng minh: (i) Giả thiết phản chứng rằng {Xt }t ẻ J không hội tụ theo xác suất trên W. ị e > 0 sao cho với mỗi t ẻ J, t’ ³ t: Ta xác định dãy (tn)n ẻ N theo qui nạp: Chọn t, tuỳ ý ẻ J Nếu n chẵn, chọn tn sao cho tn > tn-1 và Nếu n lẻ, chọn tn sao cho " t > tn’ , t ẻ T thì (Điều này luôn thực hiện được vì {Xt, ℱt}t ẻ J là Dv - Amart.) Hiển nhiên là ℱ - đo được và nếu s ẻ TN thì ts ẻ TJ , với ts(w )=s(w) Nếu s ³ n và n lẻ thì ts ³ tn và ị (, ℱ) n ẻ N là Dv - Amart. Nhưng với mỗi n chẵn, ta lại có : Nghĩa là ()n ẻ N không hội tụ theo xác xuất. Điều này mâu thuẫn với định lý III.2.10 ị giả thiết phản chứng là sai Định lý được chứng minh. (ii) Ta cần cần chỉ ra là tồn tại 1 dãy ()n ẻ N ẻ J sao cho: (a.s) (a.s) Với e > 0, t0 ẻ J, tồn tại một tập hợp hữu hạn t0 ... tn ³ t0 sao cho: (3.18) Vì sup, inf được lấy theo tập hợp đếm được ị (3.18) được suy ra từ s - P cộng tính. Định lí được chứng minh. Chương IV - martingale tiệm cận điều kiện I. Một số khái niệm và kết quả liên quan. Năm 1986, Szynal và Zieba đã đưa ra khái niệm Martingale tiệm cận điều kiện (Amart điều kiện). Định nghĩa IV.1.1. - Dãy (Xn)n ẻ N tương thích với họ (ℱn)n ẻ N các s - đại số con của ℱ được gọi là Martingale tiệm cận đối với điều kiện A (A là s - đại số con của ℱ ) nếu kỳ vọng điều kiện E(Xn| A ) được xác định, n ẻ N và tồn tại một đại lượng ngẫu nhiên X sao cho lưới (E(Xt| A ))t ẻ T hội tụ theo luật tới X. - Mở rộng định nghĩa Martingale tiệm cận điều kiện trên không gian Banach: Dãy (Xn)n ẻ N là Martingale tiệm cận điều kiện đối với s - đại số A nếu E(||Xn||| A ) < Ơ (a.s) và tồn tại biến ngẫu nhiên X sao cho: | A hội tụ theo luật tới X khi n đ Ơ; tn ẻ T , khi n đ Ơ . Nhờ có khái niệm Martingale tiệm cận điều kiện chúng ta sẽ thu được các đặc trưng khác nhau về sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy các quá trình ngẫu nhiên tổng quát dưới dạng Martingale tiệm cận điều kiện. Nhận xét IV.1.2. E là không gian Metric, khái niệm kỳ vọng điều kiện cho A è ℱ chưa được định nghĩa nhưng với A = ℱ ta có thể coi E(X|ℱ) = X (a.s) với mọi X ẻ L0(E , ℱ ). Như vậy, đặc trưng sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy là dưới dạng hội tụ theo luật của lưới . Nhận xét IV.1.3. E là không gian Banach, khái niệm kỳ vọng điều kiện đã được định nghĩa đối với A là s - đại số con bất kỳ của ℱ và X tuỳ ý thuộc L1 (E, ℱ). Vấn đề đặt ra là đặc trưng sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy (Xn)n ẻ N dưới dạng Martingale tiệm cận điều kiện. Nhận xét IV.1.4. Từ định nghĩa IV.1.1 ta suy ra: “Dãy (Xn)n ẻ N là Martingale tiệm cận khi và chỉ khi dãy (Xn)n ẻ N là Martingale tiệm cận đối với điều kiện A = A0 = {W, f}” Thật vậy: Dãy (Xn)n ẻ N là Amart đối với điều kiện A0 Û lưới A0 hội tự theo luật tới X Û lưới hội tự theo luật tới X Û lưới hội tự yếu tới X Û lưới hội tự mạnh tới X Û dãy (Xn)n ẻ N là Amart. Như vậy Amart chỉ là trường hợp riêng của Amart điều kiện và các khái niệm đó chỉ là sự mở rộng tự nhiên từ Martingale đến Amart đến Amart điều kiện. Từ định nghĩa IV.1.1, các tác giả Szynal và Zieba đã đặc trưng được sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy (Xn)n ẻ N. Bổ đề IV.1.4. Giả sử là dãy các biến ngẫu nhiên sao cho Xn >Xn+1 (dãy giảm) (a.s) và E(X1| A ) < +Ơ (a.s) với A là s - đại số con của ℱ. Khi đó: Nếu , n đ Ơ thì E(Xn|A ) , n đ Ơ Chứng minh: Xét dãy {X1 – Xn}, ta có: khi n đ Ơ Do tính đơn điệu của dãy {Xn} ta có: E(X1| A ) = A = A = A ) - A ) Do giả thiết: E(X1| A ) < Ơ (a.s) nên E(Xn| A ) < Ơ (a.s) ị A ) = 0 (a.s) Bổ đề được chứng minh. Bổ đề IV.1.5. Giả sử (Xn)n ẻ N là dãy các đại lượng ngẫu nhiên sao cho A < Ơ (a.s) với A là s - đại số con của ℱ . Khi đó: Nếu , n đ Ơ thì A ) (X, ℱ ), n đ Ơ Chứng minh: Đặt ị {Yn} là dãy giảm các đại lượng ngẫu nhiên. Ta có: EY1| A )< Ơ (a.s) và Yn ¯ 0 (a.s), n đ Ơ Theo bổ đề IV.1.4 ta có: E(Yn|A ) , n đ Ơ Mặt khác : E(Xn| A ) - E(X| A )|Ê E(|Xn – X|A ) Ê E(Yn |A ) , n đ Ơ Vậy E(Xn| A ) E(X|A ), n đ Ơ Định lí được chứng minh. II. Các định lý đặc trưng cho sự hội tụ hầu chắc chắn. Để giải quyết vấn đề đặt ra trong nhận xét IV.1.2, trước hết ta mở rộng kết quả Austin Edgar - Ionescu Tulcea (năm 1974) - Bổ đề II.1.1 đã nêu - Cho dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Metric E. Định lý IV.2.1. Giả sử (Xn)n ẻ N là dãy các phần tử ngẫu nhiên, X là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó: Tồn tại một dãy (tn) è T, sao cho khi và chỉ khi X là điểm dính của dãy (Xn)n ẻ N . Nghĩa là: , n ẻ N (4.1) Chứng minh (ị) Giả sử: (Xn)n ẻ N là dãy các phần tử ngẫu nhiên, X là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó: Tồn tại một dãy (tn), tn ẻ T, tn ³ n, n ẻ N sao cho , khi n đ Ơ Ta phải chứng minh: X là điểm dính của dãy (Xn)n ẻ N Từ giả thiết: , n đ Ơ Mặt khác: Do đó: Nghĩa là: X là điểm dính của dãy (Xn)n ẻ N Định lí được chứng minh. (ĩ): Giả sử (Xn)n ẻ N là dãy phần tử ngẫu nhiên, X là phần tử ngẫu nhiên và X là điểm dính của (Xn)n ẻ N . Khi đó sẽ tồn tại một dãy (Yn)n ẻ N các phần tử ngẫu nhiên tương thích với họ (ℱn)n ẻ N các s - đại số con của ℱ, sao cho , n đ Ơ. Kết luận này là đúng đắn vì ℱ = ℱn Theo bổ đề I.2.1 ị tồn tại dãy con (nk) sao cho: , k đ Ơ Hay: (4.2) Bây giờ ta giả sử (Xn)n ẻ N là dãy trong L0(E, ℱ) Khi đó, "k ẻ N ta có dãy giảm dần tới (a.s) Từ đó theo (4.1), với mỗi k ẻ N đều tồn tại mk nào đó, mk > nK sao cho: Kết hợp với (4.2) suy ra: (4.3) Ta xây dựng dãy thời điểm dừng bị chặn (tk) thoả mãn tk : W đ N w đ tk(w) ở đó: mk với w ẻ tk(w) = min n với w ẻ Dễ thấy tk ẻ T, tk ³ nk và: Từ (4.3) , k ẻ N Cùng với kết luận ở (4.2) , k đ Ơ Định lí được chứng minh. Định lý IV.2.2. Giả sử (Xn)n ẻ N là dãy các phần tử ngẫu nhiên,X là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) , n đ Ơ (ii) , t ẻ T (iii) , t ẻ T và X là điểm dính của dãy (Xn)n ẻ N Chứng minh: ._.