Nghiên cứu sinh thái của phép tính Tích phân

tính tích phân bắt nguồn từ bản chất khoa học luận của khái niệm tích phân hay từ việc xây dựng những khái niệm cĩ liên quan? Câu hỏi này khiến chúng tơi chọn đề tài Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng dạy Tốn ở trung học phổ thơng. 2. Khung lý thuyết tham chiếu Mục đích của luận văn là đi tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi nĩi trên. Để làm việc này, chúng tơi đặt mình trong lý thuyết nhân chủng học didactic và sử dụng cách tiếp cận sinh thái. Với khung lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tơi phát biểu lại câu hỏi ban đầu như sau: Những điều kiện sinh thái của phép tính tích phân được xây dựng như thế nào trong chương trình trung học phổ thơng? Trong thực hành giải tốn, những điều kiện trên vận hành như thế nào? Điều này đem đến những hệ quả gì? 2.1. Lý thuyết nhân chủng học Lý thuyết nhân chủng học với tư tưởng chủ đạo là xem một đối tượng tri thức tốn học như là một sinh vật sống nghĩa là cĩ nảy sinh, tồn tại, tiến triển, mất đi, cĩ những mối quan hệ ràng buộc với các đối tượng khác. Quá trình lý thuyết hố nhân chủng học tốn học gắn liền với việc “đặt vấn đề sinh thái học” (Problématique écologique). Theo Chevallard (1989), trong một thể chế đã cho, một tri thức O khơng tồn tại một cách tách rời mà trong tác động qua lại với các đối tượng thể chế khác. Những đối tượng này đặt điều kiện và ràng buộc cho sự tồn tại và hoạt động của tri thức O trong thể chế. Nĩi cách khác chúng hình thành nên mơi trường sinh thái của O. Theo Boch và Chevallard (1999) thì “cách đặt vấn đề sinh thái học cho phép mở rộng phạm vi phân tích và đề cập đến những địi hỏi được tạo ra giữa các đối tượng tri thức khác nhau cần dạy. Sự mơ tả tri thức tốn học do đĩ khơng phải bao giờ cũng địi hỏi một cấu trúc làm sẵn mà luơn được diễn đạt nhờ những đối tượng hình thành nên nĩ. Nhưng những đối tượng này, bây giờ duy trì những mối quan hệ qua lại theo thứ bậc cho phép nhận ra những cấu trúc sinh thái khách thể. 2.2. Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân Theo Chevallard (1989), “một tri thức khơng thể tồn tại trong một xã hội trống rỗng, bất kỳ một tri thức nào cũng xuất hiện ở một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định và được gắn với ít nhất một thể chế nhất định nào đĩ”. Nĩi một cách khác, mỗi tri thức là một tri thức của một thể chế. Ngồi ra, cùng một đối tượng tri thức cĩ thể sống trong những thể chế khác nhau, và để một tri thức cĩ thể tồn tại trong một thể chế thì nĩ cần phải tuân thủ một số địi hỏi nhất định của thể chế. Điều này kéo theo rằng nĩ phải tự thay đổi, nếu khơng nĩ khơng thể duy trì trong thể chế bởi vì thể chế là một cộng đồng, thực hiện một cơng việc nào đĩ. Lý thuyết nhân chủng học về các tri thức, chủ yếu dựa vào 3 thuật ngữ : đối tượng, cá thể và thể chế trong đĩ khái niệm cơ bản là thể chế vì nĩ chỉ rõ hệ thống thực tiển xã hội. Trong phạm vi của sự lý thuyết hố này, một đối tượng tri thức O được coi là tồn tại ngay khi mà một cá nhân hay một thể chế nhận biết nĩ như đã tồn tại. Chính xác hơn, người ta nĩi rằng đối tượng O tồn tại đối với một thể chế I nếu như cĩ một mối quan hệ thể chế R(I,O) từ I đến O là tập hợp tất cả các tác động qua lại mà I cĩ với O nghĩa là : nĩi về O, mơ về O, thao tác O, mơ tả O, sử dụng O … Quan hệ thể chế R(I,O) từ I đến O, nĩi chung phản ảnh những gì diễn ra trong I liên quan đến số phận của O, cho biết O xuất hiện ở đâu trong I, O hoạt động như thế nào và giữ vai trị gì trong I. Cũng như thế, đối tượng O tồn tại với một cá nhân X nếu như cĩ một quan hệ cá nhân từ X đến O mà ta gọi là quan hệ R(X,O), như vậy quan hệ cá nhân R(X,O) là tồn bộ những tác động qua lại mà X cĩ thể thực hiện với O, thể hiện cách mà X biết O, như vậy cĩ thể nĩi rằng việc học của cá nhân X đối với tri thức O nếu như quan hệ R(X,O) thay đổi : hoặc là nĩ bắt đầu được thiết lập (nếu chưa tồn tại) hoặc là nĩ được thay đổi (nếu đã tồn tại). Trong một thể chế nhất định, quan hệ thể chế đối với một tri thức gắn liền với vị trí của các thành tố trong thể chế. Nếu là thể chế dạy học, người ta phải xét đến ít nhất là : quan hệ thể chế đối với thầy giáo và quan hệ thể chế đối với học sinh. Quan hệ thể chế đối với thầy giáo xác định cái mà thể chế địi hỏi người thầy phải thực hiện và quan hệ thể chế đối với học sinh xác định cái mà thể chế địi hỏi người học sinh phải thực hiện. Số phận của một đối tượng tri thức được đặt dưới sự vận động nhất thời của thể chế. Khi một đối tượng tri thức cần dạy O được đưa vào thì mối quan hệ thể chế với đối tượng này sẽ được thiết lập. Quan hệ đĩ sẽ tồn tại suốt thời gian mà đối tượng O cịn là mục đích được thua của việc dạy học. Quan hệ thể chế này được gọi là quan hệ thể chế chính thức với đối tượng O. Như vậy, việc nghiên cứu mối quan hệ của một thể chế I đối với đối tượng tri thức O cho phép hiểu O xuất hiện ở đâu và bằng cách nào trong thể chế I, O tồn tại ra sao và được sử dụng như thế nào trong I. Nĩ cũng cho phép chúng ta nắm bắt tốt hơn những quan hệ thể chế của thầy giáo và của học sinh đối với O, bởi vì quan hệ cá nhân của thầy giáo và của học sinh với tri thức O khơng hồn tồn độc lập với quan hệ thể chế. Trong một thể chế dạy học, cái được thua của việc dạy học là một tri thức được tiếp nhận như thế nào với cá nhân X. Ý định của thể chế là làm thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh với tri thức này để nĩ trở nên phù hợp với quan hệ thể chế. Điều này dẫn đến chỗ phải thiết lập một sự phân định, trong bất kỳ một thể chế dạy học nào, ở một thời điểm nhất định, giữa những đối tượng thực sự là cái được thua của việc dạy học với những đối tượng khác (đã từng cĩ ích và bây giờ khơng cịn ích lợi nữa, hay những đối tượng khơng hề là cái được thua của việc dạy học nhưng vẫn cĩ sự hiện diện của nĩ ở đĩ). Theo quan niệm này, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế giữ một vai trị rất quan trọng trong các thể chế dạy học.Về mặt này,Chevallard cũng đã chỉ rõ : “vấn đề trung tâm của việc dạy học là nghiên cứu quan hệ thể chế, những điều kiện và những hệ quả của nĩ. Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân là vấn đề cơ bản về mặt thực tiễn, và là thứ yếu về mặt khoa học luận của việc dạy học” (1989). Với lý thuyết nhân chủng học, chúng ta cĩ những cơng cụ làm việc để nghiên cứu các ràng buộc thể chế cĩ ảnh hưởng đồng thời đến cuộc sống của tri thức cũng như đến quan hệ của các chủ thể của thể chế đối với tri thức này. 2.3. Hợp đồng Didactic Hợp đồng didactic : quy tắc địa phương và nghĩa của tri thức. Theo quan điểm didactic, sự được thua chung của giáo viên và học sinh trong lớp là tri thức, nhưng kế hoạch của mỗi bên đối với tri thức này là rất khác nhau Điều đĩ trước hết là vị trí khơng đối xứng của họ trong quan hệ didactic : giáo viên khác với học sinh ở chỗ giáo viên được “giả định là biết”, và cũng cịn ở chỗ được “giả định là cĩ khả năng” đốn trước những gì học sinh sắp phải học. Trách nhiệm của mỗi bên đối tác của tình huống giảng dạy khơng giống nhau : giáo viên phải giảng dạy cái gì đĩ, bằng cách nào đĩ; học sinh phải học để biết cái gì đĩ và biết như thế nào. Những gì mỗi bên cĩ quyền làm hay khơng làm đối với một tri thức được chi phối bởi một tập hợp các qui tắc cĩ khi tường minh nhưng chủ yếu là ngầm ẩn. Ta đã thấy một thí dụ về kết quả các phép tính căn số học, cĩ lời giải chấp nhận được hay khơng chấp nhận được tuỳ từng trường hợp và tuỳ từng nước. Hợp đồng didactic là một sự mơ hình hố các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với các đối tượng tri thức tốn học đem giảng dạy. Sự mơ hình hố này do nhà nghiên cứu lập ra. G. Brousseau (1980) đã trình bày khái niệm này như sau : “Trong một buổi học cĩ mục đích là dạy cho học sinh một kiến thức nhất định, học sinh hiểu tình huống được giới thiệu, những câu được hỏi đặt ra, những thơng tin được cung cấp, những ràng buộc áp đặt, tuỳ theo những gì giáo viên thực hiện, cĩ ý thức hay khơng, một cách lặp đi lặp lại trong thực tiễn giảng dạy của mình. Trong các thĩi quen này, ta quan tâm đặc biệt hơn đến những gì là đặc thù cho kiến thức giảng dạy : ta gọi hợp đồng didactic là tập hợp những cách ứng xử (chuyên biệt) của thầy được học sinh trơng đợi và tập hợp những ứng xử của học sinh mà thầy trơng đợi” Ta nĩi hợp đồng didactic là tập hợp những quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức tốn được giảng dạy. Những điều khoản của hợp đồng – khơng bao giờ được cơng bố hoặc nếu cĩ thì cũng khơng phải dưới dạng tồn văn, vì thực tế chúng khơng thuộc loại cơng bố được – tổ chức nên các mối quan hệ mà Thầy và trị nuơi dưỡng đối mặt với tri thức. Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trị về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hồn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích. Nĩ là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua. Phải làm gì đây? Nhìn vào đâu để biết mình đã thành cơng? Phải làm gì nếu ta khơng thành cơng? Đã cần phải biết cái gì để thành cơng ? Phải nĩi cái gì đây? Vừa qua đáng ra phải làm gì khác? ... Cĩ biết bao nhiêu câu hỏi mà câu trả lời phụ thuộc vào hợp đồng didactic. Ta chỉ cĩ thể nắm được ý nghĩa của những lối chỉ đạo cách ứng xử của giáo viên và học sinh, rất cần cho phân tích didactic, nếu biết gắn những sự kiện được quan sát vào trong khuơn khổ hợp đồng didactic để giải thích. Chẳng hạn, ta cĩ thể gắn sự kiện “học sinh khơng mấy khi kiểm tra lại mình phát biểu những gì” với sự tồn tại của một hợp đồng didactic, theo đĩ “giáo viên luơn luơn cĩ nhiệm vụ kiểm tra và hợp thức hố những câu trả lời của học sinh”. Như vậy, học sinh cĩ thể đưa ra một câu trả lời sai, một phép chứng minh sai, dĩ nhiên là cĩ nguy cơ bị thầy cho điểm kém. Hợp đồng didactic ngầm ẩn nĩi trên cho phép học sinh khơng quan tâm kiểm tra mình đã trả lời thế nào cho các câu hỏi đặt ra mà khốn việc đĩ cho giáo viên. (Theo Comiti – 2000 – Hợp đồng Didactic – bài giảng cho lớp Thạc sỹ - ĐHSP Tp HCM và Đại học Joseph Foutier) Vấn đề là làm sao để thấy được hiệu ứng của hợp đồng didactic? trong một tình huống nhất định? tại một thời điểm nhất định? Người ta cĩ thể làm theo một trong những cách tiến hành như sau : D1: tạo một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho cĩ thể đặt những thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ (ta sẽ gọi tình huống đĩ là tình huống phá vỡ hợp đồng). D2: phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy trong thực tế. Làm sao để đặt những thành viên chủ chốt vào một tình huống khơng quen thuộc? Người ta cĩ thể tiến hành theo nhiều cách: 1. Thay đổi những điều kiện sử dụng tri thức. Việc sử dụng tri thức tốn nổi bật nhất khi giải các bài tốn, do đĩ người ta cĩ thể biến đổi các đặc trưng của bài tốn. 2. Lợi dụng khi học sinh chưa biết cách vận dụng một số tri thức nào đĩ. Cĩ nhiều trường hợp: i) trong quá trình học, nhằm lúc học sinh chưa nắm được một số cách vận dụng tri thức. ii) lợi dụng những thay đổi về thể chế (như chương trình học, trình độ học sinh), làm thay đổi cách vận dụng tri thức. 3. Đặt mình ra ngồi phạm vi của tri thức đang bàn đến hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức đĩ khơng giải quyết được. Đĩ là trường hợp những vấn đề địi hỏi một sự mơ hình hố bằng từ ngữ tốn học (những vấn đề được gọi là cụ thể). Các tiêu chí cho phép chọn một cách mơ hình hố và phán xét giá trị của cách mơ hình hố đã chọn nằm ngồi phạm vi tốn học và do đĩ đã khơng được phát biểu trong việc dạy tri thức. 4. Đặt giáo viên trước những ứng xử của học sinh khơng phù hợp với những điều giáo viên mong đợi. Chẳng hạn đĩ là những câu trả lời khác lạ cho một bài tốn. Thơng qua việc phân tích những thành phần của hệ giáo dục thực tế, chúng ta sẽ xác định những quy tắc của hợo đồng didactic. Cĩ nhiều cách để xác định các qui tắc của hợp đồng didactic và ta cĩ thể phối hợp chúng với nhau. Sau đây là một vài ví dụ :  Nghiên cứu các câu trả lời của học sinh trong một lớp học.  Phân tích những ước định. Nhờ vậy ta sẽ thấy rõ hơn trách nhiệm của học sinh trong việc sử dụng tri thức. Phân tích những bài tập được giải hoặc được giảng dạy ưu tiên trong sách giáo khoa và sách bài tập qua đĩ ta sẽ thấy rõ hơn những quy tắc ngầm ẩn mà học sinh sử dụng. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong phạm vi luận văn này, chúng tơi chọn ra 3 điều kiện sinh thái của phép tính tích phân là phép tính diện tích, khái niệm hàm số hợp và phép tính đạo hàm. Với mỗi điều kiện sinh thái, chúng tơi thực hiện các điều tra khoa học luận và đối chiếu với việc phân tích chương trình, sách giáo khoa Việt Nam để rút ra đặc trưng của mỗi điều kiện trong thể chế Việt Nam. Từ đĩ, chúng tơi hình thành giả thuyết nghiên cứu và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết. 4. Tổ chức luận văn Ngoại trừ phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương nghiên cứu lần lượt về phép tính diện tích, khái niệm hàm số hợp và phép tính nguyên hàm. Cấu trúc của các chương giống nhau: điều tra khoa học luận, phân tích chương trình và sách giáo khoa, đặc điểm của khái niệm, thực nghiệm. Sau đây là một số tổ chức tốn học mà chúng tơi sẽ đề cập đến trong luận văn 4.1. Tổ chức tốn học Hoạt động tốn học là trường hợp đặc biệt của hoạt động xã hội. Vấn đề đặt ra là làm sao mơ tả, giải thích được thực tế của xã hội này ? Cái gì cho phép mơ hình hố các thực tế này. Một trong những cách mơ tả, giải thích là dựa vào khái niệm “tổ chức tốn học” (Organismes mathématiques hay praxéologies mathematiques) mà chúng ta sẽ xem xét đưới đây 4.1.1. Praxéologie Theo Chevallard, quá trình lý thuyết hố bao gồm các định đề về nhân chủng học được phát biểu như sau : Định đề 1 : Tồn bộ thực tiễn của chủ thể được đưa vào phân tích, theo những quan điểm khác nhau và theo những phương pháp khác nhau, bằng một hệ thống những nhiệm vụ tương đối giới hạn được tách ra từ những dịng chảy của thực tiễn. Định đề 2 : Việc thực hiện một nhiệm vụ nào đĩ là do vận dụng một kỹ thuật. Định đề 3 : Để cĩ thể tồn tại trong một thể chế, một kỹ thuật phải xuất hiện sao cho cĩ thể hiểu được, cĩ thể thấy được và phải lý giải được. Tương ứng với các định đề này, Chevallard đưa vào khái niệm praxéologie. Đĩ là một bộ gồm 4 thành phần như sau : 1- T : kiểu nhiệm vụ, gồm ít nhất một nhiệm vụ t 2- τ: kỹ thuật để hồn thành nhiệm vụ t 3-  : Cơng nghệ để lý giải cho kỹ thuật τ 4-  : lý thuyết để giải thích  cịn gọi là cơng nghệ của cơng nghệ  Khi T là một kiểu nhiệm vụ tốn học thì tổ chức [ T, τ, ,] được gọi là một tổ chức tốn học. Sự xuất hiện của một praxéologies sẽ cho phép thiết lập mối liên hệ với khái niệm quan hệ thể chế. Cách tiếp cận chương trình và sách giáo khoa theo quan điểm các praxéologies tốn học sẽ cho phép ta thấy được và cĩ thể giải thích được mối liên hệ giữa phần lý thuyết và phần bài tập, đồng thời sẽ giúp chúng ta làm rõ quan hệ của thể chế I đối với tri thức O mà ta đang xem xét, cụ thể O xuất hiện như thế nào, giữ vai trị gì trong I. Thực vậy, khi phân tích, chúng ta sẽ phải trả lời những câu hỏi sau : * Về kiểu nhiệm vụ T : cĩ được nêu lên một cách rõ ràng khơng ? ở đâu ? các lý do đưa T vào cĩ được làm rõ khơng ? Hay là T chỉ xuất hiện một cách ngẫu nhiên, thiếu gợi động cơ ? T cĩ mối liên hệ nào với các phần tốn học khác Giả sử T là một kiểu nhiệm vụ nào đĩ, ta được đặt trước câu hỏi Q : làm thế nào để thực hiện nhiệm vụ t thuộc kiểu nhiệm vụ T ? Vấn đề là tìm một câu trả lời R cho câu hỏi Q này. Như vậy để tìm câu trả lời cho Q trước hết là tìm một cách làm, nghĩa là tìm cái mà ta gọi là một kỹ thuật  (technique) * Về kỹ thuật τ : cĩ được nêu lên một cách rõ ràng khơng ? hay chỉ mới được phát thảo ?  cĩ dễ sử dụng khơng ? phạm vi sử dụng của  như thế nào, tương lai của  ra sao ? T và  tạo thành “khối” [T , ] mà ta gọi là khối thực hành kỹ thuật (pratico-technique), và thường đồng nhất nĩ với cách làm, kỹ năng (savoir – faire). Ở đây cần lưu ý ba điểm : Thứ nhất : một kỹ thuật  - một cách làm chỉ cho phép thành cơng trên một phần của T. Ta ký hiệu phần đĩ là P() và gọi đây là tầm ảnh hưởng của kỹ thuật, nĩ dẫn đến thất bại trên phần T \ P(), như thế, sẽ cĩ một kỹ thuật vượt lên một kỹ thuật khác. Thứ hai : một kỹ thuật  khơng nhất thiết là một algorit hay gần như một algorit, thậm chí rất hiếm khi như vậy. Nhưng đúng là dường như tồn tại khuynh hướng algorit hố các kỹ thuật, và quá trình hồn thiện các kỹ thuật này đơi khi khĩ mà dừng lại trong một thể chế nào đĩ, về một kiểu nhiệm vụ nào đĩ. Thứ ba : trong cùng một thể chế I, đối với một kiểu nhiệm vụ T xác định, nĩi chung chỉ tồn tại một kỹ thuật duy nhất, hay cùng lắm là một số ít kỹ thuật, được thể chế thừa nhận, dù thực ra cĩ thể tồn tại những kỹ thuật khác, nhưng ở trong những thể chế khác. Cần phải phân biệt rõ thuật tốn chỉ là trường hợp đặc biệt của kỹ thuật. * Về yếu tố cơng nghệ - lý thuyết : Việc mơ tả, giải thích cho kỹ thuật  cĩ được đặt ra khơng ? hay kỹ thuật  tự nĩ đã rõ ràng, tự nhiên ? Hình thức giải thích cĩ gần với hình thức chuẩn của tốn học khơng ? Khi quan sát hoạt động của con người trong những thể chế khác nhau, ta thấy thường xuất hiện một “bài giảng” về kỹ thuật cho phép thực hiện T. “bài giảng” đĩ cĩ mục đích hợp thức hố, giải thích, biện minh cho cách làm . Đĩ là thành phần thứ ba của praxéologie, mà ta gọi là cơng nghệ .Cơng nghệ cũng cĩ thể khác nhau tùy theo thể chế và cũng cĩ thể chẳng quan hệ với một yếu tố lý thuyết nào cả. Cơng nghệ cĩ 3 chức năng : biện minh, giải thích, và tạo ra kỹ thuật.  biện minh : nhằm mục đích bảo đảm rằng kỹ thuật sẽ đưa lại kết quả chắc chắn đúng  giải thích : làm cho người ta hiểu được vì sao lại làm như vậy.  tạo ra kỹ thuật. Đến lượt mình, trong cơng nghệ chứa đựng những khẳng định mà người ta cĩ thể yêu cầu giải thích. đĩ là lý thuyết  để giải thích cho cơng nghệ  mà ta gọi là cơng nghệ của cơng nghệ, thành phần thứ tư của một praxéologie. Như vậy  và  tạo thành khối cơng nghệ- lý thuyết [,]. Khối này thường được xác định như một tri thức (savoir), cịn khối [T , ] tạo thành một kỹ năng (savoir – faire). Với cách hiểu khái niệm praxéologie đã trình bày ở trên thì : - Kiểu nhiệm vụ T là cĩ trước khối cơng nghệ- lý thuyết [,]. Như vậy một tổ chức tốn học là một câu trả lời cho một câu hỏi Q, đĩ là : làm thế nào để thực hiện một nhiệm vụ t  T ? 4.1.2. – Tổ chức tốn học tham chiếu Trong luận văn, chúng tơi khảo sát 3 vấn đề liên quan đến điều kiện sinh thái của tích phân, đĩ là : Phép tính diện tích - đạo hàm, hàm số hợp – phép tính nguyên hàm. Để làm sáng tỏ các vấn đề này, chúng tơi đưa ra các tổ chức tốn học cần phân tích và được trình bày dưới đây : cụ thể là làm rõ và đánh giá các thành phần của nĩ. OM1 : Đạo hàm Trong Chương Đạo hàm, của sách giáo khoa lớp 11–Đại số và Giải tích Nâng Cao (NXBGD – tháng 06 năm 2007) chúng tơi thấy cĩ những kiểu nhiệm vụ sau đây : T1: Đạo hàm của hàm số tại một điểm (định nghĩa và đưa ra quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa, ý nghĩa hình học của đạo hàm là bài tốn tiếp tuyến, ý nghĩa cơ học của đạo hàm là bài tốn vận tốc tức thời) T2 : Đạo hàm của hàm số trên một khoảng J (định nghĩa và ví dụ) T3 : Tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp. Các hàm số thường gặp là : y = C (hằng số) ; y = x ; y = xn ; y = x kỹ thuật 1 : Dùng định nghĩa đạo hàm tại một điểm để chứng minh định nghĩa được phát biểu như sau : Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x0 thuộc khoảng đĩ. Giới hạn hữu hạn (nếu cĩ) của tỉ số : 00 f(x) - f(x ) x x khi x dần tới x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0, kí hiệu là f’(x0) hoặc y’(x0), nghĩa là f’(x0) = 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x   cơng nghệ 1 : định nghĩa đạo hàm trên một khoảng. Nghĩa là hàm số f gọi là cĩ đạo hàm trên khoảng J nếu nĩ cĩ đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc J T4 : Các quy tắc tính đạo hàm (tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số cĩ đạo hàm trên khoảng J). T5 : Đạo hàm của hàm số hàm hợp (khái niệm về hàm số hợp và định lý tính đạo hàm của hàm số hợp) Trong kiểu nhiệm vụ này gồm hai kiểu nhiệm vụ sau : T51 : khái niệm về hàm số hợp  51 : nhận biết và tìm được hàm số hợp là hợp của hai hay ba hàm số khác đã cho cơng nghệ 51: Định lý về hàm số hợp được trình bày như sau : Giả sử u = g(x) là hàm số của x, xác định trên khoảng (a;b) và lấy giá trị trên khoảng (c;d) ; y = f(u) là hàm số của u, xác định trên (c;d) và lấy giá trị trên . khi đĩ, ta lập một hàm số xác định trên (a;b) và lấy giá trị trên  theo quy tắc sau : x → f(g(x)). Ta gọi y = f(g(x)) là hàm hợp của hàm y = f(u) với u = g(x) T52 : Đạo hàm của hàm số hợp  52 : tính được đạo hàm của hàm số hợp  cơng nghệ 52: Định lý về đạo hàm của hàm số hợp “Nếu hàm số u=u(x) cĩ đạo hàm là u’(x) và hàm số y = f(u) cĩ đạo hàm theo biến x là y’x thì hàm số hợp y = f(g(x)) cĩ đạo hàm tại x là y’x = y’u. u’x ” T6 : Đạo hàm của các hàm số lượng giác (y = sinx , y = cosx ; y = tanx ; y = cotx) T7 : khái niệm vi phân tại một điểm T8 : Đạo hàm cấp cao (đạo hàm cấp 2 và đạo hàm cấp n) Chương đạo hàm ở lớp 11 nâng cao được dạy đến kiểu nhiệm vụ T8 thì tạm ngưng. Lên lớp 12, học sinh được học tiếp. Sách Giải tích 12 ban khoa học tự nhiên trình bày thêm các kiểu nhiệm vụ sau : T9 : Đạo hàm của hàm số lũy thừa được nêu ra trong bài hàm số lũy thừa (số mũ hữu tỷ y = n x , n   , n 2 và hàm số vơ tỷ y = x ,   ) T10 : Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lơgarít được nêu ra trong bài hàm số mũ. hàm số lơgarít. Trong vấn đề nghiên cứu, chúng tơi chỉ quan tâm đến điều kiện sinh thái của phép tính tích phân do đĩ chỉ quan tâm đến kiểu nhiệm vụ T3 và T5 OM2 : Điều kiện khả tích. Kiểu nhiệm vụ T : khảo sát sự khả tích của một hàm số f(x) trên đoạn [a;b] kỹ thuật  : xét tính liên tục của một hàm số đã cho trên đoạn [a;b] cơng nghệ  : thừa nhận định lý : “ Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] đều cĩ nguyên hàm trên đoạn đĩ” (Sgk do Ngơ Thúc Lanh – Ngơ Xuân Sơn – Vũ Tuấn. Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000). Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao cũng phát biểu tương tự, chỉ cĩ khác là thay đoạn [a;b] bằng khoảng K. OM3 : Tính nguyên hàm ( )f x dx Kiểu nhiệm vụ T : Tính nguyên hàm của một số hàm số Để tính nguyên hàm của một hàm số, người ta đưa ra các kỹ thuật sau 1-kỹ thuật 1 : Dùng bảng các nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm cơng nghệ 1 : Áp dụng định nghĩa nguyên hàm (Sgk 2000) “Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x  (a;b), ta cĩ F’(x) = f(x). Nếu thay cho khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải cĩ thêm F’(a+ ) = f(a) và F’(b-) = f(b)”. Với sách gk 2007 thì định nghĩa ngắn gọn như sau : “Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K” Tuy nhiên cĩ kèm theo chú ý là khi K = [a;b] thì các tác giả ghi là các đẳng thức F’(a) = f(a) , F’(b) = f(b) được hiểu là : ( ) ( )lim ( ) x a F x F a f a x a   và ( ) ( )lim ( ) x b F x F b f b x b   Sách gk 2007 cũng dùng ký hiệu ( )f x dx để chỉ một nguyên hàm bất kì của hàm f, vậy ( ( ) ) ' ( )f x dx f x  Ví dụ : Hàm số F(x) = 3 3 x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 trên đoạn [a;b] tùy ý vì F’(x) = x2 , x  (a;b) 2-kỹ thuật 2 : Dùng đạo hàm của hàm số hợp cơng nghệ 2 : Bảng các nguyên hàm Ví dụ 3- trg 139  a/ 4 544 5 x dx x C   b/ 1 11 2 32 2 1 31 2 xxdx x dx C x C          c/ sin 2cos 2sin12 2 2 x x xdx C   Phần nguyên hàm, các tác giả trình bày đơn giản, dễ tiếp thu. 3-kỹ thuật 3 : Dùng phương pháp đổi biến số - chỉ cĩ trong sgk 2007 cơng nghệ 3 : Dùng định lý sau đây : Cho hàm số u = u(x) cĩ đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đĩ nếu F là một nguyên hàm của f, tức là ( )f u du = F(u) + C thì [ ( )] '( ) [ ( )]f u x u x dx F u x C  Cơng thức đổi biến số này là cách giải tổng quát của kỹ thuật 2 Ví dụ 1 – trg 142 : tính 4(2 1)x dx Giải : Ta cĩ (2x + 1)4 dx = 1 2 (2x + 1)4(2x + 1)’dx = 1 2 (2x + 1)4d(2x+1) Đặt u = u(x) = 2x+1. áp dụng cơng thức, ta cĩ : 4(2 1)x dx = 4 41 1(2 1) (2 1)2 2 412x d x u du u du      = 5 51 1 1. (2 1 2 5 10 u C x C   ) Chúng tơi nhận thấy hàm số hợp xuất hiện trong ví dụ như là một biến, do cách gọi tên là đổi biến số. Các ví dụ kế tiếp bám sát với định lý, cùng cĩ dạng ( ) 'f u u dx , học sinh dễ dàng nhận ra. Khơng yêu cầu cao 4-kỹ thuật 4 : Dùng phương pháp tính nguyên hàm từng phần cơng nghệ 4 : Dùng định lý sau đây (Sgk 2000) Nếu hai hàm số u(x) và v(x) cĩ đạo hàm liên tục trên một khoảng hay đoạn nào đĩ, thì trên khoảng hay đoạn đĩ ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx   hay udv uv vdu   Với Sgk 2007 thì viết gọn hơn là : “Nếu u, v là hai hàm số cĩ đạo hàm liên tục trên K thì ….” Ví dụ : tính xxe dx Đặt u(x) = x và v’(x) = ex , ta được u’(x) = 1 và v(x) = ex. Do đĩ ( )x x x x xxe dx xe e dx xe e C      OM4 : Tính tích phân ( ) b a f x dx Kiểu nhiệm vụ T1 : Dùng phương pháp đổi biến số kỹ thuật 1 : Đặt biến số phù hợp với đề bài, kỹ năng tính đạo hàm 1-cơng nghệ 11 : Định lý (về đổi biến số dạng 1) Sgk-ncao – trg 158 Nếu hàm số u = u(x) và cĩ đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục và sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K; a,b là hai số thuộc K thì ( ) ( ) ( ) ( ) u bb a u a f x dx g u du  Ví dụ 1 – trg 158 : Tính 2 2 1 xxe bằng cách đặt u =x2 Chỉ cĩ 1 ví dụ, khá dễ hiểu. 2-cơng nghệ 12 : Định lý (về đổi biến số dạng 2) Giả sử cần tính ( )f x dx    . Đặt x =x(t) (t  K) và a,b  K thoả  = x(a),  = x(b) thì ( ) [ ( )] '( ) b a f x dx f x t x t dt     Ví dụ 2 – trg 159 : Tính 2 2 0 1 x dx   , sau đây là lời giải của sgk Đặt x = sint. ta cĩ dx = d(sint) = costdt , 0 = sin0 và 1 = sin 2  Vậy 2 2 0 1 x dx   = 2 2 0 1 sin tdt   costdt, vì t [0; 2 ] nên 2 t1 sin cost  , do đĩ : 2 2 0 1 x dx   = 2 2 0 cos tdt   = 2 0 1 1 s in2(1 cos 2 ) ( ) 2 2 2 2 0 tt dt t   4     Cách đặt này cĩ thể dẫn đến câu hỏi, đĩ là tại sao lại đặt như vậy, cĩ cách đặt nào khác khơng?. Ở đây hàm hợp khơng cịn xuất hiện như dạng đổi biến số 1. Tuy nhiên nĩ vẫn được hiểu là một biến. Như vậy, hàm số hợp cĩ ảnh hưởng đến kỹ thuật tính tích phân của học sinh. Vai trị đạo hàm xuất hiện ngầm ẩn nhưng vơ cùng quan trọng. Kiểu nhiệm vụ T2 : Dùng phương pháp tích phân từng phần kỹ thuật 2 : Kỹ năng về đạo hàm và nguyên hàm cơng nghệ 2: Định lý về tích phân từng phần Nếu hai hàm số u(x) và v(x) cĩ đạo hàm liên tục trên K và a,b  K thì : ( ) '( ) ( ( ) ( )) '( ) ( ) b b b a a a u x v x dx u x v x u x v x dx   hay b b b a a a udv uv vdu   Ví dụ 3 – trg 160 : tính 1 0 xxe dx Chọn u(x) = x và v’(x) = ex. Khi đĩ u’(x) = 1, v(x) = ex. Do đĩ 1 0 xxe dx = 1 0 1 ( ) 0 x xxe e dx = e – (e – 1) = 1 OM5 : Tính diện tích Kiểu nhiệm vụ T1 : Tính diện tích hình phẳng 1-kỹ thuật 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh. cơng nghệ 1 : Dùng cơng thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hồnh và hai đường thẳng x = a, x = b là : S = ( ) b a f x dx Với cơng thức này, học sinh cần dựa vào đồ thị của hàm số f(x) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối hoặc tìm giao điểm của đồ thị với trục hồnh sau đĩ xét dấu biểu thức f(x) trên đoạn tính tích phân. 2-kỹ thuật 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong cơng nghệ 2 : Dùng cơng thức ( ) ( ) b a S f x g x d  x Trong đĩ f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b] Với kỹ thuật này, học sinh cần tìm giao điểm của hai đường cong trên đoạn [a;b] hoặc để xác định hai cận tích phân nếu đề bài chưa cho hai cận này sau đĩ hoặc là xét dấu biểu thức hoặc dựa vào vị trí đồ thị của hai hàm f(x), g(x) để gở bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Nhận xét : Việc tính đạo hàm của một hàm số thơng thường là dễ thực hiện hơn tính tích phân, bởi vì trong định nghĩa đạo hàm ta dùng phép lấy giới hạn từ đĩ thiết lập nhiều cơng thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp, hàm lượng giác, mũ và lơgarít, với hệ thống cơng thức này, giúp học sinh tính đạo hàm của hàm số được dễ dàng. Trái lại định nghĩa nguyên hàm của một hàm số khơng cho ta một cơng cụ như vậy vì theo định nghĩa, phải tìm hàm F sao cho F’(x) = f(x). Cơng cụ chủ yếu là dựa vào hai phương pháp đổi biến số và từng phần, mà đổi biến số thì liên quan đến hàm hợp, kiến thức này được học hết sức đơn giản, vì vậy đối với học sinh, việc tính tích phân thì khĩ hơn tính đạo hàm. OM6 : Tính thể tích Kiểu nhiệm vụ T1 : Tính thể tích vật thể kỹ thuật 1 : Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng song song. Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng song song (P) và (Q) vuơng gĩc với trục Ox lần lượt tại x = a và x = b (a < b). Một mặt phẳng tuỳ ý vuơng gĩc với Ox tại điểm x (a  x  b) cắt theo thiết diện cĩ diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a;b]. cơng nghệ 1 : Dùng cơng thức V = ( ) b a S x dx nhờ cơng thức này, học sinh chứng minh được thể thích của lăng trụ, khối chĩp và khối chĩp cụt đã dùng ở mơn hình học lớp 12 mà chưa được chứng minh. Kiểu nhiệm vụ T2 : Tính thể tích vật thể trịn xoay : kỹ thuật 2 : Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b (a < b) quay quanh trục Ox. cơng nghệ 1 : Dùng cơng thức V = 2 ( ) b a f x dx  nhờ cơng thức này, học sinh chứng mi._.nh được thể tích hình cầu, hình nĩn, hình nĩn cụt đã dùng ở mơn hình học lớp 12 mà chưa được chứng minh. Dưới đây là phần phân tích các tổ chức tốn học trong sách bài tập OM Sách bài tập CT hợp nhất năm 2000 Sách bài tập CT Phân ban 2007 OM1 T5 xuất hiện ở các bài tập 1.12 a,c,e – trg 7,8 ; 1.14 e,h,i,k,l,m,n – trg 8. hợp của 3 hàm. Ví dụ y = sin2(cos3x) T5 xuất hiện ở các bài tập 2.68 b,c,d – trg 81; 2.75 a,d – trg 82 ; 2.83 c,d –trg 83. Các hàm số hợp cho theo dạng hợp của ba hàm số. ví dụ y = 3 2ln 2x OM2 Khơng cĩ bài tập về điều kiện khả tích. OM3 a- Xuất hiện dạng tìm nguyên hàm của hàm f mà khơng trình bày bằng kí hiệu - kĩ thuật 1 , 2 , thường xuất hiện b- Các bài tập tính f(x)dx , kĩ thuật 3, 4 Tìm hàm f(x) biết f’(x) - Tương tự như chương trình hợp nhất OM4 Các kỹ thuật về đổi biến số và từng phần xuất hiện OM Sách bài tập CT hợp nhất năm 2000 Sách bài tập CT Phân ban 2007 OM5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi - đường cong và trục hồnh - đường cong, trục hồnh và đường thẳng - đường cong, trục hồng, trục tung và đường thẳng - đường cong, trục hồnh và 2 đường thẳng - đường cong, và 2 đường thẳng - hai đường cong cắt nhau Tương tự Ngồi ra cịn tính thể tích vật giới hạn bởi đường cong, trục hồnh. đường cong, trục hồnh và hai đường thẳng Tương tự Chương 1. Phép tính diện tích hình phẳng với tư cách là một điều kiện sinh thái của phép tính tích phân Chương này gồm bốn phần chính. Trong phần đầu, chúng tơi thực hiện một nghiên cứu khoa học luận về phép tính diện tích hình phẳng bằng cách đặc biệt quan tâm đến mối liên hệ của nĩ với phép tính tích phân trong lịch sử tốn học. Trong phần hai, sau khi lướt qua quá trình đưa phép tính diện tích vào chương trình từ tiểu học đến trung học phổ thơng, chúng tơi tập trung vào mối quan hệ thể chế đối với phép tính diện tích trong chương trình hiện hành (áp dụng chính thức cho lớp 12 từ năm học 2008- 2009). Hai phần đầu này cho phép chúng tơi hình thành trong phần ba đặc trưng về kênh dinh dưỡng “diện tích – tích phân” mà chúng tơi sẽ kiểm chứng trong phần bốn. 1.1. Nghiên cứu khoa học luận về phép tính diện tích hình phẳng Các ý tưởng giúp hình thành mơn vi tích phân phát triển qua một thời gian dài. Các nhà tốn học Hi Lạp là những người đã đi những bước tiên phong. Leucippe (thế kỷ V trước cơng nguyên), Démocrite (460-370 trước cơng nguyên) và Antiphon (480-411 trước cơng nguyên) đã cĩ những đĩng gĩp vào phương pháp "vét cạn" của Hi Lạp, và sau này được Euxode (408-355 trước cơng nguyên) nâng lên thành lí luận khoa học. Ý tưởng của phương pháp “vét cạn” là dựng hai hình phẳng U, V chặn dưới và chặn trên cả hình phẳng cĩ diện tích A cần tính lẫn hình phẳng S cho trước sao cho hiệu V – U bé tùy ý. Sau đĩ, ta chứng minh A = S bằng phản chứng. Đặc biệt, Archimède (287-212 trước cơng nguyên) đã áp dụng phương pháp vét cạn để giải các bài tốn về độ dài, diện tích, thể tích. Trong tác phẩm Về phép cầu phương parabole, ơng chứng minh chặt chẽ rằng “một hình viên phân giới hạn bởi một đường thẳng và một parabole cĩ diện tích bằng 4/3 diện tích của tam giác cĩ cùng đáy và chiều cao với viên phân”. b G B E M F C K H A c Giả sử BAC là viên phân parabole đã cho, A là điểm mà tiếp tuyến tại đĩ song song với cát tuyến BC ; Bb, Cc là hai đường thẳng song song với AM (M là trung điểm BC). Archimède chứng minh rằng diện tích tam giác ABC bằng một nửa diện tích hình bình hành bBCc và lớn hơn một nửa diện tích viên phân. Ơng tiếp tục dựng một tam giác nằm trong viên phân giới hạn bởi cát tuyến AC và parabole. Dễ dàng chứng minh rằng diện tích tam giác AHC bằng 1/8 diện tích tam giác ABC. Hơn nữa, mỗi một tam giác trong hai tam giác này phủ kín hơn một nửa diện tích viên phân ngoại tiếp nĩ. Archimède cĩ thể lập lại tiến trình này và dựng một đa giác cĩ diện tích xấp xỉ viên phân parabole với sai số bé tùy ý. Tuy nhiên, phương pháp vét cạn khơng giúp ta phát hiện kết quả mới. Nĩ chỉ cho phép chứng minh một cách chặt chẽ bằng một cách khác những kết quả cảm nhận được. Bức thư của Archimède gửi Eratosthène (chỉ mới được phát hiện vào đầu thế kỷ 20) cho phép hiểu được tốt hơn phương pháp khám phá của Archimède. Dựa trên ý tưởng hình phẳng được tạo từ các “đường”, phương pháp của Archimède cho phép so sánh diện tích của viên phân với diện tích của tam giác nhờ các xem xét cơ học, chẳng hạn “cân” các đoạn thẳng tạo thành viên phân và tam giác. Phương pháp này sử dụng nguyên lý địn bẩy: khối lượng tỷ lệ nghịch với cánh tay địn. Các cánh tay địn này cho phép thiết lập tỷ số của các diện tích mà người ta chứng minh một cách hình học bằng phương pháp vét cạn. Johannes Kepler (1571 – 1630) đồng nhất đường trịn với một đa giác đều vơ hạn cạnh nội tiếp đường trịn và tính diện tích hình trịn bằng cách lấy tổng vơ hạn diện tích các tam giác vơ cùng bé cĩ đáy là cạnh đa giác đều và đỉnh là tâm hình trịn. Theo cách viết hiện đại, ơng thu được kết quả sau: S(hình trịn) = = R2  1 giac) tam( Năm 1635, Cavalieri (1598 – 1647) đề xuất phương pháp những cái khơng thể phân chia được. Theo ơng, bề mặt được tạo thành bởi việc sắp xếp sát nhau những “đường” song song. “Đường” ở đây được hiểu là đoạn thẳng hoặc cung trịn đồng tâm. Mỗi “đường” được gọi là một cái khơng thể phân chia được của bề mặt cần tính diện tích. Hai hình phẳng cùng tạo thành bởi những “đường” cùng độ dài thì cĩ diện tích bằng nhau. Nguyên lý tương tự cho thể tích phát biểu rằng thể tích của hai vật thể bằng nhau nếu các thiết diện thẳng tương đương của chúng luơn bằng nhau (Hai thiết diện thẳng gọi là tương đương nếu chúng cùng là giao của vật thể với một mặt phẳng cách đều mặt phẳng đáy cho trước). Tính diện tích hình trịn bán kính R theo Cavalieri Hình trịn được phủ kín bởi những đường trịn đồng tâm cĩ độ dài 2r với r biến thiên từ 0 đến R. Các đường trịn này là những cái khơng thể phân chia được của hình trịn. Tam giác cĩ đáy 2πR và chiều cao R được phủ kín bởi các đoạn thẳng cĩ độ dài 2πr với r biến thiên từ 0 đến R. Các đoạn thẳng này là những cái khơng thể phân chia được của tam giác. Hai hình phẳng đang xét được tạo thành từ những cái khơng thể phân chia được cĩ cùng độ dài nên cĩ cùng diện tích. Diện tích của chúng là 2πR.R/2 = πR². Độc lập với Cavalieri, trong khi xác định diện tích giới hạn bởi một cung cyclọde, Roberval (1602-1775) phát triển một phương pháp những cái khơng thể phân chia được, dựa trên quan điểm gần như số học với các cấp số cộng vơ hạn thay cho cách tiếp cận hình học của Cavalieri. Trái với Cavalieri xem hình phẳng được tạo từ các đường, Roberval cho rằng nĩ được tạo từ các mặt. Khi thiết lập một phương thức chung để tính diện tích giới hạn bởi các parabol và hyperbol nhờ cấp số nhân, Fermat (1601-1665) tìm cách phát biểu bài tốn diện tích dưới dạng đại số. Điều này khiến các lời giải của Fermat mang tính tổng quát và cho phép phát triển khía cạnh thuật tốn của giải tích các vơ cùng bé. Pascal (1623-1662) thay thế các lập luận trực giác của Cavalieri bằng những lập luận số học về chuỗi. Khi tính diện tích hình phẳng nằm dưới parabol y = x2, tại các điểm trên trục hồnh cĩ hồnh độ lập thành cấp số cộng cơng sai d, ơng dựng các hình chữ nhật cĩ hai kích thước là d và (id)2 (i = 1, 2, ..., n), tính diện tích và xác định tổng S của chúng: S = d.d2 + d.(2d)2 + ... + d.(nd)2 = d3 + 4d3 + ... + n2d3 = d3(1 + 22 + ... + n2) = d3[n(n + 1)(2n + 1)/6] = d3      623 23 nnn Nếu số hình chữ nhật tăng lên vơ hạn, Pascal loại các số hạng n2/2 và n/6, giữ lại số hạng n3/6. Khi đĩ, tổng diện tích các hình chữ nhật bằng S = d3n3/3 = (nd)3/3 = x3/3. Trong tác phẩm Philosophiae naturalis principia mathematica của Newton (1642-1727) xuất bản năm 1687, ta tìm thấy ba quan niệm khác nhau về phép tính vi tích phân: quan niệm về vơ cùng bé chịu ảnh hưởng của Barrow và Wallis, phương pháp dịng chảy, phương pháp tỷ số đầu và tỷ số cuối. Newton cũng thu được kết quả về mối liên hệ giữa diện tích và hàm số được phát biểu bằng ngơn ngữ hiện đại như sau: S’(x) = f(x). Độc lập với Newton, Leibniz (1646-1716) cho rằng việc tìm tiếp tuyến với đường cong phụ thuộc vào tỷ số giữa hiệu tung độ và hiệu hồnh độ khi các hiệu này trở thành vơ cùng bé. Ơng cũng cho rằng việc tính diện tích phụ thuộc vào tổng các hình chữ nhật vơ cùng bé dựng trên các khoảng vơ cùng bé của trục hồnh. Sau năm 1673, Leibniz đồng nhất bài tốn ngược của tiếp tuyến với bài tốn diện tích. Ơng xây dựng phương pháp tính của mình dựa trên khái niệm vi phân (khơng hồn tồn giống khái niệm vi phân hiện đại). Phép tính hiệu là phép tốn cơ bản của Leibniz. Việc lấy tổng là phép tốn ngược. Trái với Newton luơn xét tích phân bất định và tính diện tích, thể tích từ tỷ số biến thiên, Leibniz đưa vào tích phân xác định. Năm 1673, ơng tìm được định lý về biến hình cho phép thực hiện phép cầu phương một đường cong thơng qua một đường cong phụ. Dưới đây là ví dụ minh họa mối liên hệ giữa việc đổi tung độ z = x2 và phép biến hình do Leibniz thực hiện trong một phép cầu phương đặc biệt. z = x2 biến hàm số 21 4 x x  thành z1 2 . Các điểm x và x + Δx được biến thành z = x2 và z + Δz = x2 + 2xΔx + Δx2. Khi Δx tiến đến 0, các hình chữ nhật màu đen cĩ cùng diện tích và do đĩ, hai tích phân   5,1 0 21 4 dxx x ,   25,2 2 1 2 dz z cĩ cùng giá trị. 1.2. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế về phép tính diện tích trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam Trong phần này, chúng tơi tìm hiểu phép tính diện tích hình phẳng được dạy từ tiểu học đến trung học phổ thơng. 1.2.1. Trong chương trình và sách giáo khoa tiểu học Từ lớp 3, diện tích một hình (phẳng) được trình bày nhờ các ví dụ về so sánh diện tích nhưng khơng định nghĩa. Thơng qua các ví dụ này, khái niệm diện tích lấy một cách ngầm ẩn các ý nghĩa khác nhau: - Diện tích là chỗ bị chiếm bởi một bề mặt; - Diện tích là số ơ vuơng cần thiết để lát một bề mặt; - Diện tích là số nhận được khi áp dụng một cơng thức. Ở lớp 3, thơng qua hình vẽ và phép đếm các hình vuơng đơn vị, sách Tốn 3 trình bày các ví dụ sau: - Diện tích của hình này nhỏ hơn diện tích hình kia. - Hai hình khác nhau nhưng cĩ diện tích bằng nhau. - Diện tích của một hình bằng tổng diện tích của hai hình khác. - Cơng thức tính diện tích hình chữ nhật. - Cơng thức tính diện tích hình vuơng. Như vậy, ở lớp 3, học sinh học cơng thức tính diện tích hình chữ nhật, hình vuơng, so sánh diện tích của hai hình và tính chất cộng tính của diện tích. Ở lớp 5, học sinh học cơng thức diện tích hình tam giác, hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình trịn. Trong phần bài tập, xuất hiện các kiểu nhiệm vụ sau: T1. Tính diện tích tam giác, hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuơng. T2. Tính diện tích một đa giác ghép bởi tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuơng cĩ hình vẽ và kích thước cho trước. T3. Tính một kích thước của hình chữ nhật biết diện tích và kích thước kia 1.2.2. Trong chương trình và sách giáo khoa trung học cơ sở : Ở các lớp 6 và 7, việc tính diện tích khơng được nhắc đến. Ở lớp 8, các cơng thức tính diện tích đã học ở tiểu học được phát biểu lại dưới dạng định lý và thừa nhận, khơng chứng minh. 1.2.3. Trong chương trình và sách giáo khoa trung học phổ thơng : Sách Hình học 10 (ban cơ bản) trình bày thêm 4 cơng thức diện tích tam giác: 1 1 1sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ca   B 4 abcS R  S = pr ( )( )(S p p a p b p c    ) với BC = a, CA = b; AB = c; R và r lần lựợt là bán kính đường trịn ngọai tiếp, nội tiếp tam giác; p là nửa chu vi tam giác. Diện tích của hình trịn khơng được nhắc đến trong sách này vì chương trình chỉ quan tâm đến phương trình của đường trịn. Sách Hình học 11 (ban cơ bản) viết về hình học khơng gian, trong đĩ thừa nhận, khơng chứng minh các cơng thức tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần của khối trịn xoay. Sách Giải tích 12 (ban cơ bản) phát biểu bài tĩan diện tích hình thang cong và đưa vào khái niệm tích phân. Trong phần lý thuyết, tích phân được dùng để chứng minh một số cơng thức diện tích như diện tích hình trịn, hình elíp. Như vậy, việc tính diện tích được dạy cho học sinh từ lớp 3 nhưng mãi đến lớp 12 thì cơng cụ tích phân mới cho phép tính diện tích của những “đa giác cong” và do đĩ hồn chỉnh việc tính diện tích một hình phẳng bất kỳ. 1.3. Đặc trưng của phép tính diện tích trong thể chế dạy học Việt Nam Đối chiếu với nghiên cứu khoa học luận, phép tính diện tích trong thể chế Việt Nam cĩ đặc trưng sau đây: - Việc tính diện tích ở Việt nam chủ yếu là vận dụng các cơng thức đã học để tính diện tích một hình cho trước. Ứng dụng của tích phân là để tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi giới hạn một số hữu hạn đường, cụ thể là :  Giới hạn bởi đường cong y = f(x) , y = 0 , x = a , x = b  Giới hạn bởi đường cong y = f(x) và đường thẳng y = ax + b cắt nhau.  Giới hạn bởi 2 đường cong y = f(x) , y = g(x) cắt nhau. Giới hạn bởi đường cong y = f(x) và 2 đường thẳng cắt nhau đơi một. - Khái niệm tích phân được đưa vào sau khi đã xây dựng các khái niệm hàm số và giới hạn. Sách giáo khoa trình bày phép lấy tích phân như sự tổng quát hĩa của bài tốn diện tích hình thang cong. Phép tính diện tích được ưu tiên trong số các ứng dụng của tích phân được giảng dạy trong chương trình. Tuy nhiên, việc biểu diễn hình học tích phân hồn tồn vắng bĩng trong sách giáo khoa. Trong phần lý thuyết, các tính chất của tích phân được phát biểu một cách đại số, khơng được xem là tính chất của diện tích (đại số hoặc số học). Trong phần bài tập, khơng cĩ bài tập nào liên quan đến biểu diễn hình học tích phân. - Phương pháp đổi biến số, một trong hai phương pháp tính tích phân được chính thức giảng dạy, cho phép thực hiện phép tính khơng cần đến phép biến hình. Chúng tơi hình thành giả thuyết sau: Ở lớp 12, việc tính diện tích hình phẳng (giới hạn bởi các đường thẳng hoặc đường cong) được giải về mặt thể chế nhờ việc tính tích phân bằng các phương pháp đã học, ngay cả khi các cơng thức diện tích sơ cấp hoặc việc biểu diễn hình học tích phân là tối ưu trong một số trường hợp. 1.4. Thực nghiệm Thực nghiệm được tiến hành trên 80 học sinh lớp 12 của hai trường trung học phổ thơng tại thành phố Hồ Chí Minh. Vào thời điểm thực nghiệm, các học sinh này đã học xong chương Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng theo quy định của chương trình phân ban hiện hành. Mỗi học sinh được phát một phiếu câu hỏi và phải độc lập soạn thảo lời giải trong thời gian 20 phút dưới sự giám sát của người làm thực nghiệm. Tồn văn phiếu câu hỏi được trình bày ở phần phụ lục. Dưới đây là các bài tập nêu ra trong phiếu câu hỏi: Bài 1. Trên đoạn [0, 2], cho hàm số f xác định bởi: f(x) =     213 102 xkhix xkhi a) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho 1 2 1 2 x y b) Tính tích phân: I = 2 0 )( dxxf Bài 2. a) Tính tích phân: J = 2 2 0 4 x dx . b) Em cĩ thể tính J bằng một cách khác với cách em đã làm khơng? 1.4.1. Phân tích a priori Hàm số f trong bài 1 được xác định bằng hai cơng thức trên đoạn [0, 2]. Đây là một sự phá vỡ hợp đồng vì các hàm số phải tính tích phân trong sách giáo khoa đều được cho bằng một cơng thức. Biểu thức giải tích của f trên mỗi đoạn [0, 1] và [1, 2] đều là đa thức cĩ bậc khơng vượt quá 1. Do đĩ, cĩ thể dùng các cơng thức tính diện tích đa giác để tính tích phân I. Mục đích của bài 1 khơng phải là đánh giá kỹ năng tính tích phân của học sinh mà là kiểm chứng học sinh cĩ dùng phép tính diện tích để phục vụ cho phép tính tích phân khơng, nhất là khi đề bài cĩ yêu cầu vẽ đồ thị hàm số, nghĩa là cĩ sự xuất hiện của phạm vi hình học và đồ thị trở thành một ngơn ngữ biểu đạt tạo thuận lợi cho sự chuyển đổi tích phân-diện tích. Bài 2 nhằm kiểm chứng sự sống của việc tính diện tích trong việc tính tích phân. Phần b của bài này khuyến khích một cách giải khác với phương pháp đổi biến số. Chúng tơi nêu ra dưới đây các chiến lược cĩ thể quan sát được đối với bài 1: Chiến lược S1. Phân tích thành tổng và áp dụng cơng thức Newton-Leibniz 2 0 )( dxxf = + =  +  = 1 0 )( dxxf 2 1 )( dxxf 1 0 2dx  2 1 )3( dxx 1 0 2 + x 2 1 2 2 3     = 2 +   xx 2 3 = 2 7 Chiến lược S2. Cơng thức diện tích sơ cấp S2a. Tổng hai diện tích I là tổng diện tích (tính bằng đvdt) của hình chữ nhật (2 đvdt) và hình thang (3/2 đvdt). I = 2 + 3/2 = 7/2. S2b. Hiệu hai diện tích I là hiệu diện tích (tính bằng đvdt) của hình vuơng (4 đvdt) và hình tam giác (1/2 đvdt). I = 4 – 1/2 = 7/2. S2 (a hoặc b) là chiến lược tối ưu của bài tập 1. Với bài tập 2, các chiến lược cĩ thể quan sát là: S1. Đổi biến số S1a. Đổi biến số x = 2sint (hoặc x = 2cost) với 0  t  /2 S1b. Đổi biến số u = 24 x (chiến lược sai) S2. Biểu diễn hình học tích phân Đặt y = 24 x , (0  x  2) (*) thì (*)  x2 + y2 = 4, y  0. Như thế, đồ thị của hàm số đang xét là nửa đường trịn tâm O, bán kính 2, nằm phía trên trục hồnh. J là diện tích của nửa hình trịn tương ứng nên J = 2. S2 là chiến lược tối ưu của bài tập 2. 1.4.2. Phân tích a posteriori Đối với bài tập 1b, chỉ cĩ 2 trong số 80 học sinh khơng trả lời. Điều này cho thấy bất chấp việc hàm số f được cho bằng 2 cơng thức trên đoạn [0, 2], việc tính tích phân là quen thuộc đối với học sinh. Tuy nhiên, dù đã vẽ được đồ thị của hàm số đã cho, tồn bộ 78 học sinh tham gia giải bài này đều chọn chiến lược S1 (phân tích thành tổng và áp dụng cơng thức Newton-Leibniz) thay vì chọn chiến lược tối ưu S2a hoặc S2b (cơng thức diện tích sơ cấp). Như vậy, học sinh sử dụng tích phân xác định để tính diện tích nhưng khơng sử dụng diện tích để tính tích phân.  2 0 )( dxxf Đối với bài tập 2a, chỉ cĩ 1 học sinh khơng trả lời. Điều này chứng tỏ một lần nữa tính chất quen thuộc của kiểu bài tập này. Trong số 79 học sinh tham gia giải bài này, khơng học sinh nào chọn chiến lược tối ưu S2 (biểu diễn hình học tích phân) mà đều chọn S1a (x = 2sint) hoặc S1b (u = 24 x ). Hơn nữa, trong phần b của bài tập 2, khơng học sinh nào nêu ra cách giải khác phương pháp đổi biến số. Chúng tơi tổng hợp kết quả thực nghiệm trong bảng sau: Số lượng Khơng trả lời S1 78 S2a 0 Bài 1b S2b 0 2 S1a 78 S1b 1 Bài 2a S2 0 1 1.4.3. Kết luận Kết quả thực nghiệm đã chứng minh giả thuyết mà chúng tơi nêu ra ở phần trên. Quan hệ giữa tích phân và diện tích trong chương trình hiện hành vẫn là quan hệ một chiều như Trần Lương Cơng Khanh (2006) đã chỉ ra khi nghiên cứu các chương trình trước 2006: tích phân phục vụ cho việc tính diện tích nhưng diện tích khơng phục vụ cho việc tính tích phân. Hơn nữa, dù phép tính diện tích được ưu tiên trong số các ứng dụng của tích phân, việc sử dụng biểu diễn hình học để minh họa cho các tính chất tích phân và để giải bài tập hồn tồn vắng bĩng. Nguồn gốc khoa học luận của tích phân trở nên khá mờ nhạt. Chương 2. Khái niệm hàm số hợp với tư cách là một điều kiện sinh thái của cơng thức đổi biến số trong phép tính tích phân 2.1. Nghiên cứu khoa học luận khái niệm hàm số hợp Thời cổ đại: Từ 1000 năm trước cơng nguyên, những nhà tốn học Babilon đã biết lập những bảng tỉ số thực nghiệm trong thiên văn, các bảng bình phương, bảng căn bậc hai, bảng lập phương hay bảng căn bậc ba trong hệ thập lục phân. Cịn người Hylạp thì thiết lập các bảng sin.Các bảng này xuất hiện để giải quyết các vấn đề về hình học đo đạc, nghiên cứu các đường cong, vật lý, thiên văn học…. Thuật ngữ hàm số chưa xuất hiện trong thời kỳ này, tuy nhiên họ đã cĩ khái niệm sơ khai về hàm số. Nĩ cĩ cơ chế của một đối tượng “protomathématique” : khơng cĩ tên và cũng khơng cĩ định nghĩa. Nĩ chỉ xuất hiện ngầm ẩn. yếu tố tính “phụ thuộc” khơng xuất hiện tường minh, cũng như yếu tố “biến” cũng khơng xuất hiện. Khái niệm này đến đầu thế kỷ XVII mới được hình thành rõ ràng và cĩ hệ thống nhờ các cơng trình của Fermat và Descartes. Giữa thế kỷ XVII do bài tốn về sự giao động của sợi dây mà xuất hiện định nghĩa tổng quát của hàm số. Danh từ hàm số (Function) được Leibnitz dùng lần đầu tiên vào năm 1694. Khái niệm hàm số gắn liền với biểu diễn hình học của hàm số bằng một đường. Thế kỷ XVII là giai đoạn chuyển biến việc biểu diễn tương quan hàm số từ trực giác hình học sang biểu thức giải tích. Năm 1718, Johann Bernoulli nhà tốn học người Thụy Điển đã định nghĩa : “Hàm số của một biến lượng là một biểu thức giải tích gồm biến lượng đĩ và các đại lượng khơng đổi.” Năm 1748, D’Alembert cũng định nghĩa “Hàm số là một biểu thức giải tích”. Trong thế kỷ XVIII biểu thức giải tích đĩng vai trị cơ bản trong việc xác định tương quan hàm số. Tuy nhiên cũng cĩ những định nghĩa tổng quát hơn nảy nở trong thế kỷ này, coi hàm số như một đại lượng phụ thuộc. Năm 1755, Eule định nghĩa : “Khi một đại lương phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho sự thay đổi của các đại lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại lượng thứ nhất gọi là hàm số của các đại lượng thứ hai”. Liên quan đến kí hiệu hàm số, J.Bernoulli đề nghị dùng chữ Hylạp  được viết khơng cĩ dấu ngoặc cho biến số x, được viết là : x. Dấu ngoặc và kí hiệu f cũng như từ hàm số (function) về sau được dùng bởi Leonhard Euler trong bài báo của ơng, thơng báo năm 1734 và cơng bố năm 1740, trong suốt giữa thế kỉ thứ XVIII để mơ tả một diễn đạt hay một cơng thức liên quan đến nhiều đối số. Ví dụ : hàm số f(x) = sinx + x3. Trong thế kỷ XIX sự phát triển của giải tích tốn học địi hỏi mở rộng khái niệm hàm số, xây dựng khái niệm này dựa vào sự tương ứng giữa các giá trị của hai đại lượng chứ khơng nhất thiết là biểu thức giải tích cho phép xác định nĩ. Năm 1837 Dirichle định nghĩa : “y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương ứng một giá trị hồn tồn xác định của y cịn sự tương ứng đĩ được thiết lập bằng cách nào thì điều này khơng quan trọng”. Ơng đưa ra một hàm số mà ta thường gọi là hàm Dirichle 1 ( ) 0 y D x    nếu x hữu tỷ nếu x vô tỷ Định nghĩa này được các nhà tốn học thời bấy giờ chấp nhận. Ta thấy rằng định nghĩa này nêu rõ yếu tố “tương ứng”, các yếu tố phụ thuộc và biến thiên hiện diện ngầm ẩn, khơng bị loại bỏ. Vào cuối thế kỷ thứ XIX với sự ra đời của “lý thuyết tập hợp” của George.Kanto, người Đức (1845- 1918), các nhà tốn học đã bắt đầu chính thức hố tất cả các khái niệm tốn học bằng lý thuyết tập hợp và họ cĩ vẻ như định nghĩa mỗi đối tượng tốn học như là một tập hợp. Nhà tốn học Hardy (1904) đã định nghĩa hàm số là một sự liên hệ giữa hai biến x và y như sau : “với một vài giá trị của x trong bất cứ trường nào tương ứng các giá trị của y” ( to some values of x at any rate correspond values of y). Ơng ta cũng khơng địi hỏi hàm số được xác định cho tất cả giá trị của x cũng khơng liên kết mỗi giá trị của x với một giá trị duy nhất của y. Người ta dựa vào lý thuyết này để định nghĩa hàm số. Như vậy trong tốn học cĩ hai khuynh hướng cơ bản : định nghĩa hàm số dựa vào đại lượng biến thiên và định nghĩa hàm dựa vào lý thuyết tập hợp. Theo “lý thuyết tập hợp” coi hàm số như một quy tắc tương ứng hay quan hệ giữa cá phần tử của hai tập hợp thoả mãn một số điều kiện nào đĩ, hay một bộ các tập hợp. Sau đây là một vài trích dẫn định nghĩa theo lý thuyết này. 2.1.1 Định nghĩa trong từ điển tốn học “- bản dịch tiếng Việt của Hồng Hữu Như và Lê Đình Thịnh – NXB Khoa học và kĩ thuật 1993. “Phần tử của một tập hợp Ey (bản chất bất kỳ) được gọi là hàm của phần tử x xác định trên một tập hợp Ex (bản chất bất kỳ), nếu mỗi phần tử x của tập hợp Ex được đặt tương ứng với một phần tử duy nhất y thuộc Ey. Tùy theo bản chất các tập hợp Ex , Ey ta cĩ các loại hàm khác nhau. Nếu Ex và Ey là những tập hợp số thực nào đĩ, nghĩa là x và y nhận các giá trị là những số thực, thì ta cĩ hàm số biến số thực hay đơn giản là hàm số.[…] 2.1.2 Định nghĩa của Schwartz (sinh ở Paris 1915) cho bài giảng giải tích “Giả sử E và F là hai tập hợp, ta gọi là một ánh xạ từ E vào F hay một hàm xác định trên E và lấy giá trị trong F, tất cả các tương ứng f theo đĩ mỗi phần tử x của E được đặt tương ứng với một phần tử, kí hiệu f(x) của F. Kí hiệu fE F cĩ nghĩa : f là ánh xạ từ E vào F. E được gọi là tập nguồn, F là tập đích của ánh xạ. Hai định nghĩa này nhấn mạnh yếu tố : “tương ứng” của khái niệm hàm, các yếu tồ phụ thuộc và biến thiên hiện diện ngầm ẩn. 2.1.3 Định nghĩa của Bourbaki : “Giả sử E và F là hai tập hợp khác rỗng. Quan hệ giữa một biến của x thuộc E và một biến y của F được gọi là quan hệ hàm, nếu với mỗi x thuộc E, tồn tại một và chỉ một phần tử y thuộc F cĩ quan hệ với x. Ta gán từ “hàm” cho thao tác kết hợp mỗi phần tử x thuộc E với phần tử y thuộc F cĩ quan hệ với x. Ta nĩi y là giá trị của hàm số đối với phần tử x và hàm được xác định bởi quan hệ hàm đã cho. Định nghĩa này nhấn mạnh trên quan hệ hàm. Thuật ngữ “tương ứng” khơng cĩ mặt mà thể hiện ngầm ẩn qua “thao tác kết hợp mỗi phần tử”… Ý tưởng về quan hệ giữa các đại lượng hình thành từ buổi đầu của tốn học: thời kỳ Cổ đại. Tuy nhiên, cách xác định và tính các giới hạn đặc biệt, ngay cả ở Archimède, khơng đưa đến việc hình thành tường minh các khái niệm giới hạn, biến số, ... Ta cĩ thể nĩi rằng ý tưởng tổng quát về hàm số khơng tồn tại ở thời Cổ đại. Đầu thế kỷ 17, việc phát biểu 3 định luật Kepler về quỹ đạo ellip của các hành tinh đã hướng các nhà tốn học đến việc nghiên cứu và tính tốn các quỹ đạo. Phần lớn các hàm số xuất hiện ở thế kỷ 17 đều được nghiên cứu như các đường và bản thân các đường lại được xem là quỹ đạo của những chất điểm chuyển động. Để đơn giản hĩa các phép tính lượng giác, Napier (1550-1617) so sánh hai chuyển động thẳng: một điểm M xuất phát từ điểm cố định Z, cĩ vận tốc tỷ lệ với khoảng cách ZM; một điểm M’ chuyển động thẳng đều. Trong trường hợp này, quãng đường đi được của M’ là lơgarit (theo nghĩa của Napier) của đoạn ZM. Trong giai đoạn đầu, lơgarit chỉ nhận giá trị nguyên hoặc phân số vì các phép tính chỉ thực hiện trên các số này. Hàm số Log x khơng xuất hiện như bản thân nĩ vốn cĩ. Phải đợi đến khi Fermat và Descartes (1596-1650) áp dụng các phương pháp đại số vào hình học thì các phương pháp giải tích để khảo sát hàm mới được hình thành và mở ra một kỷ nguyên mới trong tốn học. Việc nghiên cứu hàm số thơng qua phương trình (đường, mặt) là bước phát triển quan trọng của tốn học. Phương pháp này nhanh chĩng thốt khỏi lĩnh vực hình học giải tích và mở rộng sang các ngành tốn học khác, trước tiên là giải tích các vơ cùng bé. Từ đĩ, hàm số thường được định nghĩa bằng biểu thức giải tích, khơng phân biệt rõ ràng hàm số hợp trong số các hàm số đang xét. Trong số thư từ trao đổi giữa Leibniz và Jean Bernoulli (1667-1748), người ta tìm thấy một bức thư trong đĩ Jean Bernoulli viết: “Ta gọi hàm số của một đại lượng biến thiên là một lượng tạo thành bằng phương thức tùy ý từ đại lượng biến thiên này và các hằng số”. Dù Jean Bernoulli đưa ra ký hiệu x để chỉ hàm số của biến số x, x cĩ thể là một biến số phụ thuộc. Trong tác phẩm Introductio in analysin infinitorum (Nhập mơn giải tích vơ hạn) xuất bản 1748, Euler (1707-1783) xem các thao tác đại số trên các biểu thức như là một cơng việc hình thức, tuân theo các quy tắc thơng thường của đại số. Sau Fourier (1772-1837), Cauchy (1789-1857), Dirichlet (1805-1859), Riemann (1826-1866), ta cĩ thể nĩi rằng khái niệm tổng quát nhất của hàm số (đơn trị) y của biến số độc lập x mới được quan niệm như một tương ứng trừu tượng. Từ nghiên cứu khoa học luận, ta rút ra các nhận xét sau: - Quan niệm trực giác về hàm số trước hết gắn với các phép tính và các đường. Khái niệm tường minh về hàm số với tư cách là sự tương ứng giữa hai đại lượng xuất hiện sau quan niệm trực giác và các thao tác trên các hàm số. - Các khái niệm hàm số và hàm số hợp, trước khi được lý thuyết tập hợp hình thức hĩa, khơng được phân biệt một cách tường minh mà được hiểu chung là một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng khác. Nĩi cách khác, người ta khơng quan tâm phân biệt biến độc lập và biến phụ thuộc. 2.2- Nghiên cứu mối quan hệ thể chế về khái niệm hàm số hợp trong chương trình và sách giáo khoa Trong phần này, chúng tơi sẽ nghiên cứu mục đích đưa hàm số hợp vào chương trình, thời điểm xuất hiện và kiểu bài tập đặc trưng. Chúng tơi sẽ phân tích cĩ so sánh chương trình và sách giáo khoa trước 2006, chương trình và sách giáo khoa hiện hành (áp dụng từ 2006), sách hướng dẫn giáo viên của Bộ Giáo dục và Đào tạo. 2.2.1. Khái niệm hàm số hợp Khái niệm hàm là khái niệm chủ đạo trong tồn bộ chương trình tốn học ở trường phổ thơng, với khái niệm này, người ta nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi sinh động của nĩ chứ khơng phải trong trạng thái tĩnh, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ khơng phải tách rời nhau. Khái niệm hàm phản ảnh sâu sắc hiện thực kháchquan và thể hiện rõ nét tư duy biện chứng chính ở chỗ đĩ. Chính vì vậy, khái niệm hàm chiếm vị trí trung tâm của tốn học hiện đại và giữ vai trị chủ đạo. Tồn bộ việc dạy học mơn tốn ở phổ thơng xoay quanh khái niệm này. Đứng trên quan điểm hàm mà xem xét chương trình tốn học ở trường phổ thơng, chúng ta sẽ nhận thấy rõ tính hệ thống cùng sự liên quan các phần đại số và giải tích với nhau, giữa đại số và số học, giữa lượng giác-hình học-giải tích. Thật vậy, việc lập phương trình chẳng qua chỉ là sự thành lập biểu thức của một hàm số và so sánh nĩ với một số cho trước hoặc là so sánh hai biểu thức của hai hàm số với nhau. Giải một phương trình thực chất là đi tìm các giá trị của đối số để tìm cho hàm số nhận một giá trị cho trước. Như vậy việc nghiên cứu phương trình và việc dạy học Đại số xem là một nhiệm vụ quan trọng về thực chất chỉ là việc nghiên cứu hàm số. Việc rèn cho học sinh kỹ năng thực hiện các phép biến đổi đồng nhất là cơ sở tốt._.