Nghiên cứu Didatic việc dẫn nhập khái niệm phép biến hình ở trường phổ thông trong môi trường tích hợp phần mềm Cabri

h chỉ dẫn, động viên tôi, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, PGS. TS. Claude Comiti, PGS. TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc giúp chúng tôi có thể tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên ngành nghiên cứu rất thú vị - Didactic Toán. Tôi xin chân thành cảm ơn: - Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP TPHCM đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học. - Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt thời gian theo học cao học ở trường ĐHSP, đồng thời đã nhiệt tình hỗ trợ tôi tiến hành thực nghiệm 2. - Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Chí Thanh (TP.HCM) đã hỗ trợ giúp tôi tiến hành thực nghiệm 1. - Ths Trần Túy An, là đồng nghiệp và cũng là học viên khóa trước, đã động viên và chia sẻ cho tôi rất nhiều kinh nghiệm quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những buồn vui và khó khăn trong quá trình học tập. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình, những người luôn là chỗ dựa vững chắc nhất cho tôi về mọi mặt. VŨ KHÁNH LY DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT PBH : Phép biến hình SGK : Sách giáo khoa SBT : Sách bài tập SGV : Sách giáo viên GV : Giáo viên HS : Học sinh CT : Chương trình THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học cơ sở CNTT : Công nghệ thông tin HĐ : Hoạt động MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát “Hàm” là một khái niệm cực kì quan trọng trong toán học hiện đại và trong nội dung dạy học Toán ở trường THPT. Theo nhà toán học Khin-Sin: “Không có khái niệm nào khác có thể phản ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không một khái niệm nào có thể thực hiện được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm”. Hơn nữa “trong hình học, quan điểm hàm thể hiện tường minh qua chủ đề PBH” [6, tr.167]. Với các PBH, HS được biết một quan hệ hàm không phải là hàm số. Đối với chủ đề PBH, chúng tôi có những ghi nhận sau: - Thứ nhất, PBH trong CT cải cách giáo dục năm được tiến hành từ năm 1990 và CT chỉnh lí hợp nhất năm 2000 được trình bày theo quan điểm hàm. Chúng tôi sẽ làm rõ thêm nhận xét này trong các phân tích ở chương sau. Trong hai CT trên, PBH được phân bố ở cuối CT lớp 10. CT phân ban năm 2006 đặt PBH ở đầu lớp 11. Câu hỏi đặt ra: ngoài sự thay đổi trật tự CT, có hay không sự thay đổi quan điểm trình bày PBH? - Thứ hai, PBH nghiên cứu hình học trong trạng thái vận động. Do đó việc sử dụng các phần mềm hình học động để mô phỏng sự vận động là cần thiết. Trong các phần mềm hình học, Cabri lôi cuốn chúng tôi nhiều nhất bởi nó có một giao diện thân thiện với các biểu tượng, câu lệnh dễ nhớ. Cabri có thể tạo ra hình ảnh trực quan, và những hình ảnh này dễ dàng thay đổi hình dạng, vị trí bằng các thao tác “kéo-rê” chuột. - Thứ ba, một trong những yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy của Bộ giáo dục hiện nay là tích hợp CNTT trong giảng dạy. Tuy nhiên, SGK chưa có các hoạt động với phần mềm dạy học. Trong thực tế giảng dạy ở nhiều trường phổ thông, các phần mềm dạy học bước đầu được nhiều GV quan tâm sử dụng như Cabri, Geospace, Geometer’s Sketchpad, Maple. Song “việc sử dụng của họ chỉ dừng ở mức độ minh họa tính chất và mô phỏng các chuyển động của hình trong các bài giảng điện tử” [30]. Vấn đề tương tác giữa học sinh với các phần mềm hầu như không được tính đến. “Multimedia là một loại phương tiện tích hợp nhiều phương tiện như: chữ, hình ảnh, âm thanh, video, hoạt hình/mô phỏng. Tuy nhiên, tính năng quan trọng nhất của multimedia là tương tác. Thiếu tương tác thì đó chỉ là một giờ học với phương tiện đắt tiền1”. Tại sao chúng ta phải quan tâm đến sự tương tác trong quá trình dạy và học? “Nói chưa phải là dạy và nghe chưa phải là học” (ngạn ngữ). HS chăm chú lắng nghe bài giảng của thầy giáo, nghe một bài trình bày toán mạch lạc, không đảm bảo là việc học sẽ xảy ra như mong đợi. Nếu không có phản hồi mà chỉ có tác động một chiều thì chưa chắc việc học tập đã diễn ra. Không có phản hồi sẽ không có sự điều chỉnh về nội dung và phương thức hoạt động của người học. Theo Bessot và Grenier (trích dẫn trong Lê Văn Tiến [25]): “Tác động phản hồi là một thông tin đặc biệt có từ môi trường, nghĩa là một thông 1 Đỗ Mạnh Cường-Viện Nghiên Cứu Phát Triển Giáo Dục Chuyên Nghiệp, tham luận hội thảo “Các vấn đề dạy và học toán ở phổ tin đến với HS như một xác nhận tích cực hay tiêu cực trên hành động của họ và cho phép họ điều chỉnh hành động này, cho phép họ chấp nhận hay loại bỏ giả thuyết, hay tiến hành một lực chọn giữa nhiều cách giải quyết” Vậy, “môi trường” trong lí thuyết tình huống được hiểu như thế nào? Theo G.Brousseau, [25]: “Trong tình huống didactic, môi trường là hệ thống đối kháng với HS, tức là cái làm thay đổi tình trạng của kiến thức theo cách mà HS không kiểm soát được”. Các yếu tố hình thành nên môi trường có thể là vật chất hoặc phi vật chất [25]. Một trong những môi trường tạo sự tương tác hiệu quả đó là môi trường máy tính tích hợp các phần mềm dạy học tương tác. Theo Nguyễn Chí Thành [24], ý tưởng chủ đạo khi xây dựng các HĐ trong các tình huống là tạo ra một môi trường cho sự tương tác giữa Cabri và HS. Sự tương tác đó có thể mô tả trong sơ đồ sau (theo C. Laborde 1985): Hình 1. Sự tương tác giữa HS và phần mềm Theo sơ đồ trên, trong môi trường của Cabri, HS sẽ dịch chuyển hình vẽ hoặc các đối tượng, quan sát các phản hồi của môi trường, sử dụng kiến thức đã có để giải thích cho các thông tin phản hồi của môi trường, mặt khác qua các phản hồi HS có thể thay đổi các hành động của mình để tiến gần đến kết quả cần tìm (kiến thức cần lĩnh hội) theo dụng ý của GV. Chính điều này gây nên sự hình thành kiến thức mới, trong đó HS đóng vai trò chủ động. Các phản hồi cũng giúp GV điều khiển, hướng dẫn quá trình học tập của HS. Có thể nói, Cabri là phần mềm hình học động có tính năng tương tác cao. Chính vì điều này mà các tác giả viết phần mềm này đã đặt tên cho nó là “Vở nháp tương tác” (Cahier de Brouillon Interactif). Những ghi nhận trên đưa chúng tôi đến với những câu hỏi xuất phát: Q’1: Quan điểm hàm của PBH được trình bày như thế nào trong CT hình học ở Việt Nam? Có sự thay đổi gì về nội dung PBH qua các lần cải cách gần đây nhất của chương trình phổ thông được thực hiện từ những năm 1990, 2000 và 2006? Q’2: Cách trình bày của các thể chế đã ảnh hưởng thế nào đến quan niệm của HS về khái niệm PBH? Q’3: Vai trò của phần mềm Cabri đối với việc dạy và học PBH? Có thể vận dụng chức năng tương tác của Cabri để xây dựng nội dung dạy học giúp HS tiếp cận với khái niệm PBH theo đặc trưng hàm hay không? 2. Trình bày vấn đề nghiên cứu 2.1 Khung lý thuyết tham chiếu Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi vận dụng lí thuyết didactic toán, cụ thông”, 09/2008 Kiến thức cần lĩnh hội Các phản hồi của môi trường Dịch chuyển hình HS Cabri II Plus thể là lí thuyết nhân chủng học và đồ án didactic (hay còn gọi là công nghệ didactic). Tại sao lại là “Lí thuyết nhân chủng học”? Bởi vì hai trong số ba câu hỏi của chúng tôi đều liên quan đến khái niệm cơ bản của lý thuyết này: quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học. Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình. 2.1.1 Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại, ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá nhân của một cá nhân X đối với một đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X,O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có đối với O. R(X,O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao. Đối tượng O trong nghiên cứu của chúng tôi là “khái niệm PBH”. 2.1.2 Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn phải ở trong ít nhất một thể chế. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong thể chế I nào đó mà có sự tồn tại của X. Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, kí hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R(I,O). Với những định nghĩa trên thì trả lời cho câu hỏi Q’1 và Q’2 chính là làm rõ quan hệ của các thể chế mà chúng tôi quan tâm và mối quan hệ cá nhân của HS với đối tượng O. Thể chế dạy học mà chúng tôi quan tâm là: - Thể chế dạy học theo CT cải cách giáo dục được tiến hành vào năm 1990 [I1]. - Thể chế dạy học theo CT chỉnh lý hợp nhất năm 2000 [I2]. - Thể chế dạy học theo CT phân ban được tiến hành đại trà năm học 2006-2007 [I3]. Vậy làm thế nào để làm rõ mối quan hệ R(I,O) và R(X,O)? Theo Bosch và Chevallard.Y (1999), nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với tri thức O sẽ làm sáng tỏ mối quan hệ R(I,O). Ngoài ra, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của chủ thể X tồn tại trong O. Trong luận văn này, việc xác định các tổ chức toán học gắn liền với đối tượng O, liên quan đến các PBH, sẽ cho phép chúng tôi: - Vạch rõ các quan hệ của thể chế R(I1,O), R(I2,O), R(I3,O). - Xác định mối quan hệ các nhân HS duy trì với O trong từng thể chế I1, I2, I3. Vậy, “ một tổ chức toán học” là gì? 2.1.3 Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie. Theo Chevallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, , ], trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, là kĩ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kĩ thuật ,  là lí thuyết giải thích cho  còn gọi là công nghệ của công nghệ  Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học. 2.1.4 Đồ án didactic Theo Artigue M. (1988) và Chevallard Y. (1982), đồ án didactic là một tình huống dạy học được xây dựng bởi nhà nghiên cứu, là một hình thức công việc didactic tựa như công việc của người kỹ sư: nó dựa trên kiến thức khoa học thuộc lĩnh vực của mình để làm việc trên các đối tượng phức tạp hơn nhiều so với các đối tượng được sàng lọc của khoa học. Đồ án didactic cho phép thực hiện: - Một hoạt động trên hệ thống giảng dạy, dựa trên các nghiên cứu didactic trước đó. - Một kiểm chứng về những xây dựng lí thuyết được thực hiện bằng việc nghiên cứu, bằng việc thực hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy. Trong nghiên cứu của mình, để trả lời cho câu hỏi Q’3, chúng tôi xây dựng một đồ án nhằm giúp HS tiếp cận với tri thức O. 2.2 Trình bày lại câu hỏi trong khung lí thuyết tham chiếu Trong khuôn khổ lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này: Q1: Quan điểm hàm của PBH được trình bày như thế nào trong các thể chế I1(thể chế dạy học theo CT 1990), I2 (thể chế dạy học theo CT 2000), I3 (thể chế dạy học theo CT 2006)? Các tổ chức toán học nào liên quan đến khái niệm PBH được triển khai trong các thể chế này? Có sự thay đổi nào về mối quan hệ của các thể chế I1, I2, I3 với khái niệm PBH? Q2:Sự lựa chọn của thể chế ảnh hưởng ra sao đến mối quan hệ cá nhân của HS trong mỗi thể chế đối với khái niệm PBH? Q3: Chức năng của Cabri đối với việc dạy-học PBH? Có những kiểu nhiệm vụ nào với Cabri trong việc dạy-học PBH? Các kĩ thuật nào và công nghệ toán học nào sẽ được đưa vào khi đưa ra các kiểu nhiệm vụ đó? Trong các kĩ thuật thực hiện, kĩ thuật nào thể hiện đặc trưng hàm của PBH? Q4: Có thể xây dựng một tình huống sử dụng chức năng tương tác của Cabri giúp học sinh tiếp cận với khái niệm PBH với đặc trưng hàm của nó hay không? 3. Phương pháp nghiên cứu  Phân tích CT và SGK toán các CT: + CT cải cách giáo dục năm 1990; + CT chỉnh lí hợp nhất năm 2000; + CT phân ban năm 2006; Mục đích: + Biết được cách trình bày các vấn đề về PBH của các CT? + Thấy được sự giống và khác nhau về tổ chức toán học của các CT.  Từ kết quả phân tích trên, chúng tôi đưa ra mối quan hệ thể chế đối với khái niệm PBH, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu.  Tiến hành thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra.  Xây dựng thực nghiệm có sử dụng Cabri để tiếp cận với khái niệm PBH với các đặc trưng của nó. 4. Cấu trúc của luận văn Nghiên cứu Chương 1 nhằm trả lời cho câu hỏi Q1. Muốn thế, chúng tôi tiến hành phân tích CT, SGV, tài liệu hướng dẫn giảng dạy, SGK, SBT toán qua các thời kì. Chúng tôi sẽ cố gắng chỉ rõ các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm PBH. Từ những nghiên cứu trên chúng tôi xác định được mối quan hệ của từng thể chế với khái niệm PBH, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu liên quan đến câu hỏi Q3 về mối quan hệ cá nhân của HS với khái niệm PBH dưới ràng buộc của thể chế. Chương 2 dành để kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết trên bằng một thực nghiệm (được tiến hành trong môi trường giấy-bút truyền thống) với HS, chúng tôi gọi đây là thực nghiệm thứ nhất. Trong Chương 3, chúng tôi trình bày thực nghiệm thứ hai dưới dạng một đồ án. Thực nghiệm này được tiến hành trong môi trường tương tác của phần mềm hình học động Cabri II plus nhằm mục đích điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của HS với khái niệm PBH đã được phân tích trong chương 1 và chương 2. CHƯƠNG 1. QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH Nghiên cứu chương này với mục đích tìm kiếm những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1 và Q2. Muốn thế, nghiên cứu đó phải làm rõ mối quan hệ mà các thể chế I1, I2, I3 đối với khái niệm PBH. Việc này sẽ được tiến hành thông qua phân tích CT và SGK của từng thể chế.  Đối với thể chế I1: Trong thời kì này, ba bộ SGK được sử dụng trong các trường phổ thông. Các trường PT ở miền Nam đã lựa chọn sử dụng bộ sách do tác giả Trần Văn Hạo chủ biên. Do đó chúng tôi cũng sử dụng bộ sách giáo khoa này để phân tích. Tài liệu phân tích: + Hình học 10, Trần Văn Hạo, Vũ Thiện Căn, Cam Duy Lễ,1992, NXBGD [M1]; + Sách giáo viên Toán 10, Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, 1990, NXBGD [P1]; + Bài tập hình học 10, Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ,Vũ Thiện Căn,1993, NXBGD [E1];  Đối với thể chế I2: Năm 2000, cùng với sự chỉnh lý chương trình, các trường PT của cả nước sử dụng chung một bộ sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất do tác giả Văn Như Cương chủ biên. Tài liệu phân tích: + Hình học 10, Văn như Cương, Phan Văn Viện, 2000, NXBGD [M2]; + Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 10, Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, 2001 [P2]; + Bài tập hình học 10, Văn như Cương, Phan Văn Viện, 2000, NXBGD [E2];  Đối với thể chế I3: Năm học 2006-2007, toàn bộ khối 10 trong cả nước thực hiện chương trình mới: chương trình phân ban. Chương trình toán khối 10 phân thành hai chương trình: chương trình nâng cao và chương trình cơ bản. Đến năm học 2007-2008, toàn bộ khối 11 tiếp tục thực hiện chương trình phân ban với sự phân chia ban giống như khối 10. Nội dung PBH được trình bày trong SGK lớp 11. Chúng tôi chọn phân tích bộ SGK lớp 11 theo CT cơ bản. Chúng tôi chọn CT này vì đối với chủ đề PBH, hệ thống bài tập của các trường triển khai giảng dạy giống với hệ thống bài tập ban cơ bản, cho dù đa số các trường chọn học toán theo ban nâng cao. Tài liệu phân tích: + Hình học 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2007, NXBGD [M3]; + Sách giáo viên Toán 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2007, NXBGD [P3]; + Bài tập hình học 11, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2007, NXBGD [E3]; Do tính kế thừa giữa các bậc học của hệ thống dạy học, trong một số trường hợp, để làm sáng tỏ vấn đề đang nghiên cứu, chúng tôi sẽ tham khảo các CT liên quan ở bậc THCS. CT 1990 và 2000 ở bậc THPT kế thừa cùng CT bậc THCS được tiến hành cải cách “cuốn chiếu” bắt đầu từ năm 1986, chúng tôi quy ước gọi là CT THCS 1986. CT 2006 ở bậc THPT kế thừa CT bậc THCS được tiến hành đại trà bắt đầu từ năm 2002, chúng tôi quy ước gọi là CT THCS 2002. Các tài liệu tham khảo ở bậc THCS là: - Đối với CT THCS 1986: +SGK hình học 8, Nguyễn Văn Bàng, 1999, NXBGD; +SGV hình học 8, Nguyễn Văn Bàng, 1999, NXBGD; - Đối với CT THCS 2002: +SGK Toán 8, tập 1, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), 2004, NXBGD; +SGV Toán 8, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), 2004, NXBGD; 1.1. KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH QUA CÁC CHƯƠNG TRÌNH 1.1.1. Khái niệm PBH trong chương trình THPT năm 1990 Đây là lần đầu tiên nội dung PBH được trình bày tập trung ở CT PT Việt nam trong chương 3 của lớp 10 với tên gọi Phép dời hình và phép đồng dạng. Đối với CT trước đó2, theo Lê Thị Hoài Châu (2004), PBH được nghiên cứu rải rác từ cấp II đến cấp III với tư cách là một bộ phận của hình học tổng hợp. Ví dụ: CT cấp II nghiên cứu phép đối xứng qua đường thẳng và phép đối xứng tâm; Đối với CT cấp III, lớp 9 nghiên cứu phép tịnh tiến trong bài Đường thẳng và mặt phẳng song song, lớp 10 nghiên cứu phép vị tự và và phép đồng dạng. Theo Dự thảo chương trình của Viện khoa học giáo dục (1989), chương III chỉ có 11 tiết với các nội dung: Khái niệm về phép dời hình, tính chất phép dời hìn,; khái niệm về hai hình bằng nhau (5 tiết). Phép vị tự. Khái niệm về phép đồng dạng, tính chất phép đồng dạng, khái niệm về hai hình đồng dạng (6 tiết)[P1, tr.54]. Các Noospherien cho rằng: “Ở các lớp 8, 9 trường PTCS, học sinh đã học phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, quay và đã được chứng minh rằng trong các phép biến hình đó X’Y’=XY. Ở lớp 10, những phép biến hình ấy được tổng kết lại và được xem như là những thí dụ của phép dời hình” [P1, tr.56]. Bài “Đối xứng trục”, “Đối xứng tâm” được đưa vào giảng dạy ở lớp 8. Bài “Tịnh tiến theo vectơ” chỉ là bài đọc thêm. “Phép quay” được dạy ở lớp 9. “Đối xứng trục” được nói đến sau khi nghiên cứu hình thang. Những nội dung được xem xét là khái niệm điểm đối xứng qua một đường thẳng, hình đối xứng qua một đường thẳng, vài tính chất của hình đối xứng, cách dựng hình đối xứng của một hình, hình có trục đối xứng. Hình thang cân được xem là một ví dụ về hình có trục đối xứng. Như vậy, “tư tưởng về sự tương ứng giữa các điểm chưa được xây dựng ở đây” [5, tr.164]. Thật vậy, SGV hình học 8 viết: “Sách giáo khoa không xây dựng vấn đề đối xứng trục theo tư tưởng phép biến hình mà hạn chế trong việc tìm hiểu khái niệm hai hình đối xứng nhau với nhau qua một đường thẳng”. Có thể thấy đối với bậc THCS, PBH chỉ xuất hiện ngầm ẩn gắn liền với tính chất của một số hình cụ thể như hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình hành. Chính vì thế mà các tác giả của sách M1 đã đề nghị: “dành vài tiết để: -giới thiệu về ánh xạ và phép biến hình; -ôn lại các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến và quay” [P1, tr.57]. Chương Phép dời hình và phép đồng dạng được dạy trong 12 tiết với 4 bài, bao gồm: 1. Đại cương về phép biến hình: 3 tiết 3. Phép vị tự: 3 tiết 2. Phép dời hình: 3 tiết 4. Phép đồng dạng: 3 tiết. Trong bài Đại cương về phép biến hình , các nội dung chính là: khái niệm ánh xạ trong mặt phẳng; khái niệm PBH; phép biến hình đồng nhất; ảnh của một hình qua một PBH; tích của hai PBH. Các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, phép quay được nhắc đến như các ví dụ về PBH (không nhắc lại định nghĩa). Giải thích cho việc đưa nội dung ánh xạ vào CT, [P1, tr.66] viết:“PBH là một song ánh trong mặt phẳng. Ta cần phải giới thiệu khái niệm ánh xạ trong mặt phẳng, vì đây là thực chất của PBH”. Vì thế sách M1 đưa vào khái niệm ánh xạ trước khi xây dựng khái niệm PBH: Ánh xạ f từ tập hợp P vào tập hợp P được gọi là phép biến hình của mặt phẳng nếu hai điểm khác nhau thì có hai ảnh khác nhau và mỗi điểm thuộc P đều có tạo ảnh thuộc P. Theo cách tiếp cận này, thực chất của PBH trong mặt phẳng chính là ánh xạ biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành một điểm trong mặt phẳng đó. Chúng tôi sử dụng thuật ngữ “quan niệm điểm” để diễn tả việc hiểu khái niệm PBH theo quan điểm này. Bài Phép dời hình gồm các nội dung: định nghĩa phép dời hình; ảnh của đoạn thẳng, đường thẳng, ảnh của đường tròn; tích của hai phép dời hình; định nghĩa hai hình bằng nhau. Các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, phép quay cũng chỉ được nhắc đến như các ví dụ về phép dời hình. Ở đây xuất hiện một mâu thuẫn. Các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay chưa thực sự được nghiên cứu ở bậc THCS. Ở đó, PBH chỉ xuất hiện ngầm ẩn gắn liền với tính chất của một số hình cụ thể như: hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình hành. Trong khi đó ở bậc THPT, PBH lại được hiểu theo “quan niệm điểm”. Vậy câu hỏi đặt ra là, liệu HS có hiểu được các phép phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay dưới góc độ ánh xạ điểm hay không? Lê Thị Hoài Châu nhận xét: "Như thế, một định nghĩa khá trừu tượng về phép biến hình, phép dời hình được đưa ra trong khi bước chuẩn bị những biểu tượng về nó chưa được làm kĩ càng từ trước. Thành ra cái tổng quát thì nắm lơ mơ, cái cụ thể thì hiểu không đến nơi đến chốn, vận dụng nó vào giải toán không thể có hiệu quả" [5 tr.165]. Thật ra nhóm tác giả biên soạn SGK cũng đã ý thức được điều này nên đã đề nghị: “các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến và quay nên được giới thiệu lại (phần định nghĩa) như là thí dụ về ánh xạ trong mặt phẳng...và chúng được sử dụng để minh hoạ các tính chất của phép biến hình” [P1, tr.66]. Do đó các tác giả này đã đề nghị 5 ví dụ (bao gồm phần nhắc lại định nghĩa các phép: phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, phép quay và phép chiếu vuông góc) ngay sau phần định nghĩa ánh xạ. Tuy nhiên các ví dụ này lại không có mặt trong SGK. Phép vị tự là PBH duy nhất trong CT được trình bày chi tiết từ: định nghĩa, định lý, cách xác định ảnh của đường thẳng, đường tròn, bởi lẽ đây là PBH mới đối với HS. Nội dung bài Phép vị tự nhằm chuẩn bị cho HS kiến thực về một phép đồng dạng. Kết thúc của chương là bài Phép đồng dạng với các nội dung: định nghĩa phép đồng dạng; tính chất phép đồng dạng (tính chất bảo toàn hình dạng của các hình); liên hệ giữa phép dời hình, phép vị tự và phép đồng dạng; định nghĩa hình đồng dạng. Tiểu kết 2 CT trước cải cách giáo dục (theo hệ thống giáo dục 10 năm) - Để định nghĩa PBH tổng quát, CT đưa vào khái niệm ánh xạ. Do đó khái niệm PBH ở bậc THPT được trình bày theo “quan niệm điểm”. - Trong các PBH: phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự, chỉ duy nhất phép vị tự được trình bày định nghĩa cũng như các tính chất. Các phép biến hình còn lại chỉ được nhắc qua như các ví dụ về phép biến hình, phép dời hình. Như vậy, HS chưa nắm rõ được từng PBH cụ thể mà đã nghiên cứu các PBH khái quát như phép dời hình. 1.1.2. Khái niệm PBH trong chương trình THPT năm 2000 Dường như nhận thấy được sự mâu thuẫn trong CT 1990, các Noospherien của thể chế I2 đã thay đổi về nội dung cũng như bố cục trình bày chủ đề PBH. Cụ thể, chủ đề PBH được dạy ở chương 3 của lớp 10 với tên gọi “Các phép dời hình và đồng dạng”, bao gồm 6 bài, được dạy trong 19 tiết: 1. Phép đối xứng trục (4 tiết). 4. Phép dời hình (2 tiết). 2. Phép đối xứng tâm (4 tiết). 5. Phép vị tự (4 tiết). 3. Phép tịnh tiến (2 tiết). 6. Phép đồng dạng (1 tiết). Ôn tập-kiểm tra(2 tiết) Theo tinh thần “giảm tải” của Bộ giáo dục và Đào tạo, chương này được viết “nhẹ nhàng” hơn. Cụ thể:“không trình bày những vấn đề có tính chất nặng về lí thuyết. Chúng ta không nêu ra các khái niệm như: ánh xạ, biến hình, tích các phép biến hình, phép biến hình đảo ngược, sự xác định một phép dời hình hoặc đồng dạng” [P2, tr.12] Chính vì thế CT 2000 không đưa vào khái niệm cũng như thuật ngữ Phép biến hình như CT 1990 mà trình bày từng PBH cụ thể. Khi định nghĩa từng PBH cụ thể, “chúng ta không dùng từ “biến hình”, thay vào đó ta dùng từ “phép đặt tương ứng”. Chẳng hạn ta nói: Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ đối xứng với M qua a” [P2, tr.74]. Như vậy, tuy không đưa vào thuật ngữ Phép biến hình nhưng khái niệm các PBH cụ thể vẫn thể hiện “quan niệm điểm” qua cụm từ “phép đặt tương ứng”. Bài Phép đối xứng trục bao gồm các nội dung: định nghĩa phép đối xứng trục; các tính chất của phép đối xứng trục (bảo toàn khoảng cách; ảnh của đoạn thẳng, đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng trục); hình có trục đối xứng. Các bài phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép vị tự cũng viết theo tinh thần trên. Bài Phép dời hình bao gồm các nội dung: định nghĩa phép dời hình; tính chất phép dời hình (bảo toàn khoảng cách, bảo toàn tính thẳng hàng; ảnh của đoạn thẳng, đường thẳng, đường tròn); phép quay; phép đối xứng trượt; dạng chính tắc của phép dời hình; khái niệm hình bằng nhau. So với CT 1990, bài Phép dời hình của CT 2000 giới thiệu thêm một phép dời hình nữa là phép đối xứng trượt. Việc đưa thêm phép dời hình trên nhằm trả lời cho câu hỏi “ngoài ba phép dời hình trên còn có phép dời hình nào khác không?” [P2, tr.77]. Bố cục bài Phép đồng dạng cũng không thay đổi nhiều so với CT 1990. Tiểu kết - CT 2000 không đưa vào thuật ngữ và khái niệm PBH mà định nghĩa từng PBH cụ thể. Tuy nhiên, việc định nghĩa từng PBH cụ thể vẫn thể hiện “quan niệm điểm” qua cách dùng từ “phép đặt tương ứng”. - Các PBH cụ thể: đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến được nghiên cứu một cách có hệ thống trước khi đưa vào khái niệm phép dời hình. Việc này làm điểm tựa để HS nghiên cứu định nghĩa cũng như các bất biến của phép dời hình. Như thế, HS được làm quen với từng phép dời hình cụ thể trước khi đến với khái niệm phép dời hình tổng quát. 1.1.3. Khái niệm PBH trong chương trình THPT năm 2006 Khác với các CT trước, PBH được dạy ngay chương đầu tiên của lớp 11. Điều này làm chúng tôi tự hỏi: do đâu có sự thay đổi trên? SGV không đề cập đến vấn đề này, tài liệu bồi dưỡng giáo viên, trang 83, năm 2007 thì viết: “Trước đây nội dung của phần này được đưa vào cuối chương lớp 10 (theo sách cải cách và sách chỉnh lí) nhưng xét chưa thật hợp nên đã được đưa lên phần đầu của chương chương trình lớp 11. Nhìn chung phần biến hình trong mặt phẳng này vẫn còn khá khó đối với trình độ chung của học sinh lớp 11”. Chưa thật hợp như thế nào thì sách không nói rõ. Trong diễn đàn Dạy học toán của báo Tuổi trẻ (2006), Nguyễn Mộng Hy- một trong những nhà biên soạn SGK 2006 -nói: “Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng là phần tương đối khó đối với trình độ chung của học sinh lớp 10. Thực tế trong những năm gần đây nhiều trường phổ thông trung học đã bỏ qua không dạy phần này và trong các đề thi vào các trường đại học cũng không có nội dung này. Theo chương trình mới thì nội dung các phép biến hình phẳng được đưa vào nội dung chương trình Hình học 11.” Để tìm thêm lí do của việc chuyển đổi vị trí đặt chủ đề PBH trong CT THPT, chúng tôi xem xét mối liên hệ của nội dung dạy học chủ đề này và các nội dung khác trong CT lớp 11. Nội dung hình học 11 được trình bày gồm hai phần. Phần thứ nhất là nội dung PBH trong mặt phẳng, phần thứ hai là nội dung hình học không gian. Trong phần thứ hai, vấn đề PBH trong không gian hầu như không được đề cập đến, chỉ duy nhất phép chiếu song song được nói đến ở cuối chương “Quan hệ song song”. Theo cùng cách trình bày khái niệm PBH trong mặt phẳng, phép chiếu song song cũng được định nghĩa như một ánh xạ: Với mỗi điểm M trong không gian, vẽ đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với  sẽ cắt mặt phẳng ( ) tại một điểm M’ xác định. [...]Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’của nó trên mặt phẳng ( ) được gọi là phép chiếu song song lên ( ) theo phương . [M3, tr.72]. Tuy nhiên, phép chiếu song song được đưa vào với mục đích tạo cơ sở để biểu diễn hình không gian lên mặt phẳng hơn là mở rộng kiến thức về các PBH trong không gian. Như vây, có thể nói, nội dung PBH nằm “đơn độc” với các nội dung hình học khác của CT lớp 11. Từ những nhận xét trên, chúng tôi đoán lí do của sự thay đổi trên chỉ đơn thuần là do: HS lớp 10 phải tiếp cận khá nhiều nội dung mới như: vectơ, góc lượng giác, hình học giải tích. Việc tiếp thu thêm PBH- một nội dung mới và “tương đối khó” (theo nhận định của Noospherien) dường như quá tải, và do đó nó được chuyển vào CT lớp 11. Chương PBH gồm 8 bài, được dạy trong 11 tiết: 1. Phép biến hình 6.Khái niệm về phép dời hình 2. Phép tịnh tiến (2 tiết) và hai hình bằng nhau (1 tiết) 3. Phép đối xứng trục (1 tiết) 7.Phép vị tự (2 tiết) 4. Phép đối xứng tâm (1 tiết) 8.Phép đồng dạng (1 tiết). Ôn chương (2 tiết) 5. Phép quay (1 tiết) Bố cục của chương không thay đổi nhiều so với CT 2000. Chúng ta xem xét một số thay đổi đáng chú ý sau: - Thứ nhất, CT dành riêng một bài để giới thiệu phép quay thay vì ghép vào bài phép dời hình như trước. Vì thế, HS được tiếp cận với tất cả các phép dời hình cụ thể trước khi đến với khái niệm phép dời hình tổng quát. Đây là bước trang bị cho HS những biểu tượng về những cái cụ thể trước khi học về cái tổng quát. Mặt khác, thời gian dành cho mỗi PBH cụ thể rút ngắn nhiều so với CT 2000, thay vì hai tiết một bài, giờ thì mỗi bài chỉ dạy trong một tiết. Điều này cho thấy CT 2006 cũng không muốn đầu tư nhiều thời gian cho nội dung PBH. - Thứ hai, CT 2006 đưa vào thuật ngữ và khái niệm PBH. Đây lại là điểm._. tương đồng so với CT 1990. Tuy nhiên CT 2006 không sử dụng thuật ngữ “ánh xạ” để định nghĩa PBH mà thay bằng “phép đặt tương ứng”. Ví dụ: “PBH (trong mặt phẳng) là một qui tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy”[M3, tr.4]. Như vậy, PBH trong CT 2006 vẫn thể hiện “quan niệm điểm”. - Thứ ba, điểm thay đổi đáng chú ý nhất và cũng chưa từng được áp dụng trong thể chế dạy học ở Việt Nam từ trước đến nay, đó là sự xuất hiện của các biểu thức tọa độ trong PBH. CT 2006 giới thiệu biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm với tâm là gốc tọa độ, phép đối xứng qua trục Ox, Oy. Giải thích cho việc đưa nội dung trên vào PBH, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên lớp 11, trang 87 năm 2007 viết: “việc làm này bổ sung thêm cho học sinh về các khái niệm biến hình đã học, tiếp cận với các khái niệm này bằng các công cụ và bằng các phương pháp khác nhau”. Tuy nhiên, CT chỉ đưa biểu thức tọa độ của một số PBH vì “các phép khác thì vì biểu thức tọa độ khá phức tạp nên không trình bày” [5, tr.162]. 1.1.4. KẾT LUẬN CT 1990 CT 2000 CT 2006 §1. Đại cương về phép biến hình: 3 tiết §2. Phép dời hình: 3 tiết §3. Phép vị tự: 3 tiết §4. Phép đồng dạng: 3 tiết. §1. Phép đối xứng trục:4 tiết §2. Phép đối xứng tâm:4 tiết §3. Phép tịnh tiến:2 tiết §4. Phép dời hình:2 tiết §5. Phép vị tự:4 tiết §6. Phép đồng dạng:1 tiết Ôn tập-kiểm tra (2 tiết) §1. Phép biến hình §2. Phép tịnh tiến:2 tiết §3. Phép đối xứng trục:1 tiết §4. Phép đối xứng tâm:1 tiết §5. Phép quay:1 tiết §6. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau: 1 tiết §7. Phép vị tự:2 tiết §8. Phép đồng dạng:1 tiết Ôn chương:2 tiết Tổng cộng: 12 tiết Tổng cộng: 19 tiết Tổng cộng: 11 tiết Bảng 1.1 So sánh các CT qua từng thời kì - CT 1990 giới thiệu khá nhiều nội dung như : khái niệm ánh xạ, khái niệm PBH, tích hai PBH. Trong khi đó các PBH cụ thể như phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay lại không được chú ý khai thác nhằm trang bị cho học sinh những biểu tượng ban đầu về phép dời hình trước khi tiếp cận với khái niệm phép dời hình một cách tổng quát. - PBH trong cả ba CT đều được hiểu theo quan “quan niệm điểm”. - CT 2000 thay đổi về bố cục cũng như nội dung giảng dạy. Khái niệm PBH tổng quát không được giới thiệu. CT dành nhiều thời gian (10 tiết) cho các PBH cụ thể như đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến. Sau đó phép dời hình tổng quát được trình bày. - CT 2006 không có thay đổi nhiều so với CT 2000. Điểm khác nhau là thời gian dành cho chương này bị cắt giảm rất nhiều so với CT 2000, từ 19 tiết nay chỉ còn 11 tiết, gần như mỗi bài chỉ học trong một tiết. Số tiết như thế cũng phù hợp với yêu cầu của CT đặt ra đối với chương này, chỉ yêu cầu HS nắm được các khái niệm cũng như các tính chất của các PBH khác nhau. Một nét mới đáng chú ý là với CT 2006, lần đầu tiên biểu thức tọa độ được đưa vào nội dung PBH. Sự xuất hiện này có làm thay đổi mối quan hệ thể chế I3 đối với khái niệm PBH hay không? Việc tìm kiếm các yếu tố để có thể trả lời cho câu hỏi này, cũng là một phần của câu hỏi Q1, sẽ được tiến hành trong phần phân tích SGK. 1.2. KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH TRONG SÁCH GIÁO KHOA Việc nghiên cứu các PBH ở THPT chỉ dừng ở phép dời hình và phép đồng dạng. Mặt khác, các tính chất của các phép dời hình cụ thể tương đối giống nhau. Chúng tôi chọn phân tích SGK bài phép đối xứng trục vì ở cấp THCS, HS đã được học khái niệm đối xứng trục. Do đó chúng tôi muốn xem xét những điều kiện và ràng buộc của các thể chế I1, I2, I3 đã làm thay đổi mối quan hệ của HS với khái niệm PBH, cụ thể đối với phép đối xứng trục như thế nào. 1.2.1. Khái niệm PBH trong SGK 1990: Do CT 1990 không trình bày cụ thể từng PBH cụ thể nên chúng tôi chọn phân tích bài Đại cương về phép biến hình. Mở đầu, SGK đưa định nghĩa ánh xạ trong mặt phẳng. Sau đó, khái niệm PBH theo quan điểm ánh xạ được trình bày: Ánh xạ f từ tập hợp P vào tập hợp P được gọi là phép biến hình của mặt phẳng nếu hai điểm khác nhau thì có hai ảnh khác nhau và mỗi điểm thuộc P đều có tạo ảnh thuộc P. SGK đưa ví dụ: “Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay là một phép biến hình” mà không có sự giải thích nào. d M A N d' M' A N' Khái niệm ảnh của một hình qua phép biến hình cũng được định nghĩa, đó là Tập hợp tất cả các ảnh của các điểm của hình H tạo thành hình H'. Như vậy để hiểu được khái niệm PBH, HS phải quan niệm các hình hình học là tập hợp điểm. Chúng tôi xin nhắc lại một số quan điểm về một hình hình học đã được hình thành trong lịch sử. “Trong hình học của Euclide, một hình được xác định bởi ba yếu tố: vị trí, hình dạng và số đo. Sự thay đổi vị trí không ảnh hưởng gì đến hai yếu tố kia. Các hình là những đối tượng cứng, được xem xét trong tổng thể hình dạng và kích thước.” [6, tr.134] Như vậy, từ thời Euclide, một hình được quan niệm là một khối tổng thể không phân rã. Tác phẩm Phương pháp giải tích của Descartes và Fermat ra đời đã đem lại một sự thay đổi rất lớn trong quan niệm về hình, nó giúp chuyển từ quan niệm “hình là một khối tổng thể” sang quan niệm “hình là một tập hợp điểm”. Đồng thời theo Đào Tam, "giáo trình hình học phẳng biên soạn theo quan điểm coi hình hình học là một tập hợp điểm. Mặt phẳng là tập hợp điểm cho trước. Các hình hình học phẳng khác là những tập hợp con của mặt phẳng” [22, tr.36]. Vậy, việc học khái niệm PBH theo “quan niệm điểm” gắn liền với quan niệm hình là một tập hợp điểm. Khái niệm PBH đồng nhất và tích hai PBH cũng được trình bày. Những nội dung này không được chú trọng trong CT. Các tác giả chú thích “có thể bỏ qua phần này” [P1, tr.69] khi nói đến phép đồng nhất và “không nghiên cứu chủ đề tích của hai phép biến hình. Chỉ cần giới thiệu sơ lược cho học sinh có khái niệm về tích của hai phép biến hình” [P1, tr.69]. Trong mục Cách giải các dạng toán thường gặp của SGK, hai tổ chức toán học liên quan đến khái niệm PBH được xây dựng.  Kiểu nhiệm vụ T1: Xác định ảnh của hình H qua PBH. Ví dụ [M1, tr.75]: Tìm ảnh của đường thẳng d (cho trước) trong phép tịnh tiến theo vectơ v  (d không cùng phương với v  ) Giải Gọi M là điểm tùy ý trên d, M’ là ảnh của M qua Tv  , tức là: 'MM v   Ta tìm tập hợp các điểm M’ khi M chạy trên d. Gọi A là điểm cố định trên d, A’ là ảnh của A qua T v  . A’ cũng là điểm cố định. Vì ' AA 'MM v     nên ' 'A M AM   (AMM’A’ là hình bình hành). Suy ra: A’M’//AM. Do đó, điểm M’ thuộc đường thẳng d’ qua A’ và song song với d. Đường thẳng d’ này cố định. Đảo lại, xét điểm N’ tùy ý thuộc d’. Gọi N là điểm trên d sao cho N’N//AA’. Suy ra ANN’A’ là hình bình hành. Do đó: ' AA 'NN v     , tức là N’ là ảnh của N qua Tv  . Vậy: phép tịnh tiến theo vectơ v  biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ song song với d. Kĩ thuật : Giả sử điểm M’ là ảnh của điểm M qua PBH. - Nếu M H thì ' 'M H , H’ là một hình nào đó. - Ngược lại, mọi điểm ' 'M H phải có tạo ảnh M H . Công nghệ : định nghĩa PBH, định nghĩa ảnh của hình qua một PBH. Có thể thấy, kiểu nhiệm vụ T1 bao gồm kiểu nhiệm vụ con “Tìm quĩ tích của một điểm” được đưa vào lớp 9. Phân tích các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T1 trong M1 và E1 cho thấy ràng buộc ngầm ẩn của thể chế đối với kiểu nhiệm vụ này là các PBH gặp trong các bài toán đều là các PBH quen thuộc như: phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay, đồng thời hình muốn tìm ảnh là đường thẳng, đường tròn. Lí giải cho điều này, bởi vì CT lớp 9 chỉ nghiên cứu quĩ tích là đường thẳng, đường tròn và cũng chỉ có nhóm các phép dời hình, đồng dạng mới giữ nguyên hình dạng của hình.  Kiểu nhiêm vụ T’1: Chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua PBH. T’1 là kiểu nhiệm vụ suy biến từ T1. Theo Noospherien, mục đích thực hiện hai kiểu nhiệm vụ trên là: “biết phương pháp tìm ảnh của một hình; hiểu kĩ hơn về phép tịnh tiến, phép đối xứng trục”. Theo chúng tôi, ưu điểm lớn mà kiểu nhiệm vụ trên đem lại là nó thể hiện rõ tư tưởng “ánh xạ điểm” của PBH. Để ý thấy, các PBH mà SGK đưa ra đều là các phép dời hình. Do đó chúng luôn bảo toàn hình dạng của các hình (nghĩa là các PBH này biến một hình thành một hình bằng hoặc cùng dạng với nó, chúng tôi quy ước gọi đó là tính chất bảo toàn hình dạng), tuy nhiên SGK không thể chế hoá tính chất đó. Dường như tác giả xem kiểu nhiệm vụ T1, T’1 chỉ mang tính chất lý thuyết, do đó trước bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này (trong sách E1), tác giả mở ngoặc viết: “bài tập bổ sung lý thuyết SGK”. Hơn nữa, sau bài giải của nhiệm vụ “Tìm ảnh của đường thẳng  , đường tròn (C) qua phép đối xứng trục (đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay OR  )” có phần khẳng định: “Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng. […]Phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho”[E1, tr.109]  Kiểu nhiệm vụ T2: Vẽ ảnh của một hình qua PBH Hình ở đây chỉ gồm đường tròn, đường thẳng  T2.1: Vẽ ảnh của đường tròn (I; R) qua PBH. Kĩ thuật : + Dựng I’ là ảnh của I qua PBH. + Dựng (I’; R)  T2.2: Vẽ ảnh của đường thẳng  qua PBH. Kĩ thuật : + Dựng ảnh M’ của điểm M bất kì trên  qua PBH. +Xác định phương của đường thẳng ảnh. Dựng đường thẳng đi qua M’ và có phương đã được xác định. Đối với một vài PBH, điểm M có thể được chọn đặc biệt hơn một chút. Ví dụ: đối với phép quay thì M là hình chiếu vuông góc của tâm quay xuống đường thẳng  ; hoặc đối với phép đối xứng trục thì M là giao điểm của  và trục đối xứng. Việc xác định phương của đường thẳng ảnh sẽ tùy thuộc vào từng PBH cụ thể. Về vấn đề này, các tác giả cũng nói đến: “Phép tịnh tiến theo vectơ v  biến đường thẳng d thành d’ song song với d” [M1, tr.76]. “Vậy, khi d  thì ảnh của qua Sđ chính là  . […] Nếu  cắt d tại I thì ' cũng qua I […]Nếu // d thì '// d và d cách đều  và ' ” [E1, tr.108-109]. Ngoài ra, chúng tôi còn tìm thấy lời đề nghị một kĩ thuật khác thực hiện kiểu nhiệm vụ T2.2 : “Sau đây chúng ta xét những kĩ năng cơ bản cần rèn luyện cho học sinh : Rèn luyện cho học sinh kĩ năng dựng ảnh của đường thẳng, tia, đoạn thẳng, góc, đường tròn – các hình đơn giản thường gặp khi giải các bài toán. […] Cách tổng quát dựa vào bất biến thẳng hàng suy ra dựng ảnh của đường thẳng quy về dựng ảnh của hai điểm M, N thuộc đường thẳng đó ; đường thẳng ảnh sẽ đi qua hai điểm M’, N’ ” [23, tr.145]. Kĩ thuật của hai kiểu nhiệm vụ T2.1 và T2.2 đều có chung công nghệ, đó là tính chất bảo toàn hình dạng của phép dời hình và định nghĩa ảnh của hình qua PBH. Qua kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T2 “vẽ ảnh của một hình qua PBH”, chúng tôi nhận thấy để vẽ (dựng) ảnh của một hình qua một PBH, HS chỉ lấy ảnh của một vài điểm thuộc hình đó, sau đó nối các điểm ảnh vừa tìm theo hình dạng giống với hình ban đầu. Điều này khác với “quan niệm điểm” của PBH, quan niệm mà muốn dựng ảnh của một hình qua một PBH, HS phải lấy ảnh theo từng điểm. Với quy tắc vẽ hình trên, PBH được hiểu là một phép biến đổi hình thành hình, trong đó hình với tư cách là một khối tổng thể không phân rã. Trong phép biến đổi hình ở đây, ta thấy các tác giả có nói đến việc biến đổi một vài điểm thuộc hình (cụ thể: một điểm bất kì trên đường thẳng; tâm đường tròn...). Tuy thế hình vẫn không được quan niệm như một tập hợp điểm bởi vì:“Người ta có thể nói về “điểm trên một đường” hay “điểm trên một hình”, nhưng không quan niệm rằng hình được tạo thành từ một tập hợp điểm, mà chỉ xem nó như cái giá và có thể đặt các điểm lên trên đó”. [6, tr.134]. Chúng tôi sử dụng thuật ngữ “quan niệm hình” để nói về việc hiểu PBH theo nghĩa trên. Như vậy, tổ chức toán học thuộc kiểu nhiệm vụ T2 giúp hình thành nên “quan niệm hình” của PBH. So sánh kiểu nhiệm vụ T1 (T’1) và T2 Cả hai kiểu nhiệm vụ đều liên quan đến việc xác định ảnh của một hình qua một PBH. Song T1 được yêu cầu trong tình huống chưa biết trước hình dạng ảnh của một hình qua PBH đó. Do đó, để thực hiện kiểu nhiệm vụ này, HS phải lấy ảnh của từng điểm trên hình, điều này thể hiện qua việc tìm ảnh của một điểm bất kì trên hình, sau đó tìm quĩ tích điểm ảnh đó. Chính vì thế kiểu nhiệm vụ T1 (T’1) thể hiện “quan niệm điểm”. Trong khi đó kiểu nhiệm vụ T2 được đặt trong ràng buộc phải biết trước hình dạng của ảnh. Khi đó, để thực hiện kiểu nhiệm vụ này, HS không cần thiết phải tư duy theo từng điểm. Việc trong kĩ thuật thực hiện có sử dụng thao tác lấy ảnh của một vài điểm trên hình chỉ nhằm xác định vị trí điểm đặt của hình- ảnh cần vẽ hơn là việc xem hình là một tập hợp điểm và lấy ảnh của mọi điểm thuộc tập đó. Với kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T2, một hình vẫn chỉ là một khối thống nhất. Chính vì thể kiểu nhiệm vụ T2 thể hiện “quan niệm hình”. Trong sách M1 và E1, không có bài tập nào dành riêng cho kiểu nhiệm vụ T2. Kiểu nhiệm vụ này chỉ được nhắc đến ngay sau lời giải của các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 và T’1. Như vậy, sách E1 xây dựng tổ chức toán học của kiểu nhiệm vụ này để làm gì? Để trả lời cho câu hỏi này, chúng ta xét tiếp hai tổ chức toán liên quan đến khái niệm PBH có mặt trong thể chế.  Kiểu nhiệm vụ T3: Tìm tập hợp điểm bằng PBH Kĩ thuật : Để tìm tập hợp điểm M: +Xác định M=f(N)(f là PBH nào đó), trong đó tập hợp điểm N là một hình (H) (giả thiết đã cho hoặc ta dễ dàng xác định được). + Suy ra tập hợp điểm M là hình (H’) là ảnh của hình (H) qua PBH f. + Vẽ hình (H’). Công nghệ : Định nghĩa ảnh của một hình qua PBH. Tính chất bảo toàn hình dạng của phép dời hình.  Kiểu nhiệm vụ T4: Dựng hình bằng PBH Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này: hình cần dựng là đường thẳng, đường tròn, tam giác (cân, vuông cân, đều), tứ giác (hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuông), hoặc có thể là những điểm thỏa điều kiện nào đó. Kĩ thuật : Việc dựng hình (H) đưa về dựng điểm M H thoả những tính chất nào đó. + Xác định M=f(N) với điểm N thuộc một đường l1 nào đó đã cho trong giả thiết. Suy ra M thuộc đường l’1=f(l1). + Vẽ đường l1. + Mặt khác M thuộc đường l2 (giả thiết). Từ đó suy ra M=l1 l2 Công nghệ : Định nghĩa ảnh của một hình qua PBH. Tính chất bảo toàn hình dạng của phép dời hình. Trong kĩ thuật thực hiện hai kiểu nhiệm vụ T3, T4 đều có bước “vẽ hình”, với những hình cần vẽ là đường thẳng, đường tròn. Do đó, kiểu nhiệm vụ T2 xuất hiện trong vai trò một kiểu nhiệm vụ con của T3 và T4. Tại sao SGK và SBT lại không ưu tiên cho kiểu nhiệm vụ T2 mà nó chỉ “ẩn mình” trong các kiểu nhiệm vụ khác? Theo chúng tôi, có lẽ tác giả cho rằng kiểu nhiệm này đã được HS thực hiện ở bậc THCS. SGK hình học 8 trang 16 (theo CT 1986) trình bày: “-Muốn dựng đoạn thẳng A’B’ đối xứng của đoạn thẳng AB qua trục d, ta chỉ cần dựng hai điểm đầu mút A’, B’ là đối xứng qua trục d (hoặc qua tâm O) của hai điểm A, B. -Nếu các đỉnh của tam giác ABC lần lượt đối xứng qua trục d, với các đỉnh của tam giác A’B’C’ thì hai tam giác đó đối xứng với nhau. -Nếu hai điểm của đường thẳng này đối xứng qua trục d, với hai điểm của đường thẳng khác, thì hai đường thẳng đó đối xứng với nhau.” Với kĩ thuật vẽ hình như trên, có thể nói “quan niệm hình” của PBH đã xuất hiện ở bậc THCS. Đến bậc THPT, cụ thể là trong thể chế I1, PBH được yêu cầu giảng dạy theo “quan niệm điểm”. Theo quan điểm này, vẽ ảnh của một hình phải là vẽ theo từng điểm. Tuy nhiên, việc “vẽ ảnh theo từng điểm” trong môi trường giấy bút là chuyện “không tưởng”. Chính vì thế mà các Noospherien né tránh quan niệm điểm bằng cách giới thiệu các tính chất bảo toàn của phép dời hình (chỉ ngầm ẩn qua kết quả các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 và T’1) . Như vậy, mặc dù ý thức được “quan niệm điểm” của PBH, điều này thể hiện qua định nghĩa PBH, qua hai kiểu nhiệm vụ T1 và T’1. Song, do việc dạy và học PBH chỉ hạn chế trong môi trường “giấy bút”, cũng như yêu cầu đặt ra của chương chỉ dạy phép dời hình và đồng dạng, nên các PBH mà HS được học đều có tính chất bảo toàn hình dạng của hình. Tính chất này đem đến một cái nhìn tổng quát cho nhóm các phép dời hình và đơn giản hóa kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T2 “Vẽ ảnh của một hình qua PBH”. Nhưng cũng chính tính chất này mà “quan niệm hình” xuất hiện, bên cạnh “quan niệm điểm” của PBH. Quan niệm Kiểu nhiệm vụ Số lượng Tổng cộng Tỷ lệ T1 6 “quan niệm điểm” T’1 3 9 42,86% T3 6 “quan niệm hình” T4 6 12 57,14% Bảng 1.2 Phân loại các kiểu nhiệm vụ theo quan niệm Tiểu kết: - Về định nghĩa PBH, sách M1 trình bày theo “quan niệm điểm”. - Sách M1 không nhắc lại chi tiết về phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay vì thể chế cho rằng các phép này đã được học ở cấp THCS. Do đó các PBH trên chỉ được nhắc đến như một ví dụ về một PBH cụ thể. Đây chính là điểm bất cập của CT 1990. Ở THCS, “SGK không xây dựng vấn đề đối xứng trục theo tư tưởng phép biến hình mà chỉ hạn chế trong việc tìm hiểu khái niệm hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng” [2, tr.39], trong khi đó PBH ở thể chế I1 được xây dựng theo “quan niệm điểm”. Như vậy, từ THCS lên THPT diễn ra bước chuyển về quan niệm PBH, đó là bước chuyển từ “quan niệm hình” sang “quan niệm điểm”. Vậy, HS có hiểu được các phép phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay dưới góc độ ánh xạ điểm hay không? - Trong I1 xuất hiện hai nhóm kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm PBH. Nhóm thứ nhất thể hiện “quan niệm điểm” của PBH, bao gồm các kiểu nhiệm vụ T1 và T’1. Nhóm thứ hai thể hiện “quan niệm hình” của PBH, bao gồm các kiểu nhiệm vụ T3 và T4. Chúng tôi xếp các kiểu nhiệm vụ T3, T4 vào nhóm hai vì chúng chứa kiểu nhiệm vụ con T2, mà chính kiểu nhiệm vụ này làm nảy sinh “quan niệm hình” của PBH. Dựa vào bảng phân loại các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm PBH theo quan niệm, chúng tôi nhận thấy tỷ lệ các nhiệm vụ giữa hai nhóm quan niệm không chênh lệch nhau nhiều lắm. Từ đó cho thấy trong I1, tồn tại song song hai quan niệm của PBH, đó là “quan niệm điểm” và “quan niệm hình”. 1.2.2.Khái niệm PBH trong SGK 2000 Không như CT 1990, CT 2000 không đưa vào thuật ngữ PBH mà định nghĩa trực tiếp từng PBH cụ thể. CT dành riêng từng bài để giới thiệu từng PBH. Như đã giải thích ở trên, chúng tôi chọn phân tích bài Phép đối xứng trục để xem xét việc trình bày khái niệm PBH. Sách M2 định nghĩa phép đối xứng trục: Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M' đối xứng với M qua đường thẳng d gọi là phép đối xứng trục. Mặc dù M2 không sử dụng thuật ngữ “ánh xạ”, nhưng khái niệm phép đối xứng trục vẫn thể hiện “quan niệm điểm”, điều đó thể hiện qua cụm từ “phép đặt tương ứng”. Khái niệm ảnh của một hình qua phép đối xứng trục cũng được trình bày. Tương tự như thể chế I1, một hình ở đây được hiểu là một tập hợp điểm. Tiếp theo, sách M2 phát biểu và chứng minh một số tính chất của phép đối xứng trục. Trong đó, đáng chú ý là nội dung hệ quả 2 Hệ quả 2. Phép đối xứng trục: a. Biến một đường thẳng thành đường thẳng, b. Biến một tia thành một tia, c. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó, d. Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó, e. Biến một tam giác thành tam giác bằng nó, một đường tròn thành đường tròn bằng nó. Trong I1, nội dung trên chỉ được xem như kết quả của một bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1. Trong I2, nó đã được thể chế hóa trong hệ quả 2. Tiếp theo, khái niệm trục đối xứng của một hình cùng với một số ví dụ về hình có trục đối xứng như tam giác cân, hình vuông, hình tròn cũng được trình bày. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng trục Đd biến H thành chính nó. Sau đó, M2 còn giải thích thêm: Điều đó có nghĩa là với bất kì điểm M nào của ảnh H, ảnh M’ của nó (qua phép Đd ) cũng nằm trên H. Như vậy, khái niệm trục đối xứng của một hình dựa trên “quan niệm điểm” của PBH. Các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm phép đối xứng trục trong I2 Sự xuất hiện của hệ quả 2 trong sách M2 cung cấp cho HS kiến thức về ảnh của một hình (đường thẳng, tam giác, đường tròn) qua phép đối xứng trục. Chính vì thế mà kiểu nhiệm vụ T1 “Xác định ảnh của hình H qua PBH” hoàn toàn biến mất trong I2. Kiểu nhiệm vụ T3 “Tìm tập hợp điểm bằng PBH” và T4 “Dựng hình bằng PBH” vẫn tiếp tục xuất hiện trong M2. Tương tự như thể chế I1, thể chế I2 cũng không có bài tập nào dành riêng cho kiểu nhiệm vụ T2.T2 cũng chỉ xuất hiện trong vai trò kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T3 và T4. Điều này hoàn toàn dễ hiểu vì CT THPT 1990 và 2000 đều kế thừa cùng CT THCS năm 1986. Ngoài ra trong sách M2 và E2 xuất hiện thêm một số tổ chức toán học liên quan đến khái niệm phép đối xứng trục.  Kiểu nhiệm vụ T5: Tìm trục đối xứng của một hình Các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ trên là: Tìm trục đối xứng của các hình sau: Hình chữ nhật ABCD; Ngũ giác đều ABCDE; Lục giác đều ABCDEF; Hình thang cân ABCD; Hình gồm hai đường tròn không đồng tâm; Hình gồm một đường thẳng và một đường tròn; Các hình là các chữ cái in hoa từ A đến Z. Chúng tôi không tìm thấy lời đề nghị kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T5 trong I2. Lời giải trong E2 cho bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này chỉ đưa ra kết quả trục đối xứng của các hình tương ứng mà không kèm theo theo bất kì lời giải thích nào. Dường như thể chế cho rằng nội dung đối xứng trục đã được dạy ở THCS, nên HS đã được trang bị các biểu tượng về các hình đối xứng qua trục. Quay trở lại SGK và SBT hình học 8, chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ T5 đã tồn tại ở đó. Tương tự như trong thể chế I2, kĩ thuật của kiểu nhiệm vụ này cũng không được đề nghị. Như vậy, kĩ thuật tìm trục đối xứng của hình là gì? Theo chúng tôi, đó chính là trực giác. Bằng trực giác của mình, HS dự đoán một đường thẳng là trục đối xứng của hình. Vấn đề đặt ra là: cơ sở nào hình thành nên trực giác về trục đối xứng ở HS. Theo Đoàn Hữu Hải (2007):“trẻ em có những kiến thức không gian trước cả khi người ta định dạy những kiến thức hình học cho nó.” Ngay từ khi biết nhận thức, con người đã tiếp xúc với rất nhiều hình có trục đối xứng trong cuộc sống, chỉ có tên gọi theo nghĩa toán học của các hình đó là chưa được biết đến (trong cuộc sống ta thường gọi những hình có trục đối xứng là “hình có tính cân đối”). Chính vì thế khi được tiếp cận với thuật ngữ toán học “hình có trục đối xứng” hay “trục đối xứng của một hình” cùng với định nghĩa của chúng, HS nhanh chóng áp dụng các kiến thức đã hình thành trong cuộc sống để thực hiện kiểu nhiệm vụ T5 “Tìm trục đối xứng của một hình”. Kiến thức hình học lúc bấy giờ chỉ đóng vai trò kiểm tra một đường thẳng được chọn ra có thoả đáng là trục đối xứng của hình hay không. Tiểu kết Khác với thể chế I1, thể chế I2 không đưa khái niệm PBH tổng quát mà định nghĩa trực tiếp từng PBH cụ thể, trong đó có phép đối xứng trục. Định nghĩa phép đối xứng trục vẫn thể hiện rõ “quan niệm điểm” thông qua cách phát biểu “phép đặt tương ứng”. Tính chất bảo toàn khoảng cách của phép đối xứng trục được trình bày. Từ đó kéo theo tính chất chất bảo toàn hình dạng của hình qua phép đối xứng trục (nội dung hệ quả 2). Sự xuất hiện của hệ quả 2 dẫn đến sự biến mất của kiểu nhiệm vụ T1“Tìm ảnh của hình H qua PBH” và T’1“Chứng minh H’ là ảnh của hình H qua PBH”. Kiểu nhiệm vụ T2 vẫn tồn tại trong vai trò kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T3 và T4, là hai kiểu nhiệm vụ tiếp tục xuất hiện trong thể chế I2. Như vậy trong I2, khái niệm PBH vẫn thể hiện rõ “quan niệm điểm”. Tuy nhiên, đến khi triển khai các kiểu nhiệm vụ thì chúng tôi nhận thấy các kiểu nhiệm vụ liên quan đến quan niệm này hoàn toàn vắng bóng. Thay vào đấy là sự vượt trội của các kiểu nhiệm vụ liên quan đến “quan niệm hình”. Có thể thấy, trong I2, “quan niệm hình” lấn lướt “quan niệm điểm” của PBH. 1.2.3. Khái niệm PBH trong SGK 2006 Trong phần này, chúng tôi phân tích bộ sách M3 trong đó có liên hệ với hai bộ sách M1 và M2. Khác với M2 nhưng lại tương đồng với M1, sách M3 đưa vào thuật ngữ và định nghĩa PBH tổng quát. Bảng 1.3 So sánh giữa M1 và M3 về khái niệm PBH Về quan điểm trình bày khái niệm PBH, cả hai bộ sách đều theo “quan niệm điểm”. Bên cạnh phần trình bày định nghĩa, cả hai bộ sách đều nêu ví dụ về các PBH cụ thể. Trong đó: - Sách M1 đưa ví dụ về các PBH cụ thể: phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay. Tuy nhiên phần ví dụ chỉ nêu tên các PBH trên chứ không nhắc lại định nghĩa từng phép theo quan điểm biến hình. - Trong khi đó trong phần mở bài, sách M3 đưa ra Hoạt động 1 nhằm giới thiệu một phép chiếu vuông góc (cả phần định nghĩa) theo quan điểm biến hình. Phần cuối bài, sách M3 còn đưa ra Hoạt động 2: Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M’ là điểm sao cho MM’=a. Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ nêu trên có phải là một phép biến hình không? Với hoạt động trên, một lần nữa, SGK muốn học sinh ôn lại định nghĩa của PBH. Ngay trong việc cho ví dụ, chúng tôi thấy rằng sách M3 quan tâm hơn đến việc trình bày định nghĩa PBH. Thật vậy, cách xác định điểm M’ trong hoạt động 2 không phải là một PBH, điều này chỉ có thể nhận ra nếu HS nắm vững định nghĩa PBH. So sánh bài Phép đối xứng trục trong M2 và M3 Phần lí thuyết  Điểm giống nhau: - Về định nghĩa phép đối xứng trục, M3 cũng trình bày theo “quan niệm điểm”: “Cho đường thẳng d. PBH biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d” [M3, tr.8]. - Về tính chất, sách M3 cũng trình bày tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì của phép đối xứng trục. Do đó tính chất bảo toàn hình dạng của hình của phép đối xứng trục (nghĩa là phép đối xứng trục biến một hình thành một hình giống hình ban đầu) cũng được trình bày giống sách M2. - Khái niệm trục đối xứng của hình cũng được trình bày tương tự M2. Cả hai bộ sách đều đưa nhiều ví dụ về các hình có trục đối xứng.  Điểm khác nhau - Sau phần định nghĩa phép đối xứng trục, sách M3 đưa ra nhiều ví dụ và hoạt động (có kèm theo hình ảnh minh họa) giúp HS củng cố định nghĩa phép đối xứng trục, biết cách xác định ảnh của một điểm qua phép đối xứng trục mặc dù ở THCS, HS đã được làm quen với phép đối xứng trục. Tuy nhiên, ở THCS, “SGK không xây dựng đối xứng trục như một phép biến hình mà chỉ xét hai hình đối xứng với M1 M3 -Định nghĩa ánh xạ -Định PBH theo ánh xạ -Định nghĩa ảnh của một hình qua PBH -PBH đồng nhất -Định nghĩa tích các PBH -Không có -Định nghĩa PBH thông qua cách trình bày “phép đặt tương ứng” -Định nghĩa ảnh của một hình qua PBH - PBH đồng nhất -Không có nhau qua một đường thẳng và hình có trục đối xứng” [2, tr.118]. Như vậy, phép đối xứng trục ở THCS không được trình bày theo quan điểm biến hình mà chỉ là một bộ phận của hình học tổng hợp, gắn liền với tính chất của một số hình. Do đó các tác giả của bộ sách M3 đề nghị: “khái niệm biến hình là một khái niệm mới đối với HS lớp 11. Do đó khi thấy GV dạy một phép biến hình cụ thể nào đó thì việc quan trọng đầu tiên là cần làm cho HS nắm thật chắc định các nghĩa của từng phép biến hình đó” [6, tr.86]. Chính vì yêu cầu này mà nhiều ví dụ xuất hiện trong M3 liên quan đến khái niệm phép đối xứng trục. Ví dụ 1. Trên hình 1.11 ta có các điểm A’, B’, C’ tương ứng là ảnh của các điểm A, B, C qua phép đối xứng trục d và ngược lại. [...] Hoạt động 1. Cho hình thoi ABCD. Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC [M3, tr.9]. - Sách M3 đưa vào định nghĩa khác của phép đối xứng trục, định nghĩa thông qua biểu thức vectơ dưới dạng nhận xét: 1) Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d. Khi đó: M’= Đd(M) 0 0'M M M M     . [M3, tr.9]. Sau khi được giới thiệu, biểu thức vectơ chỉ xuất hiện một lần trong CT để chứng minh cho tính chất: M’= Đd(M) M=Đd(M) với mục đích“giúp học sinh hiểu rõ hơn về phép đối xứng trục qua biểu thức vectơ của nó” [P3, tr.32]. Sau đó chúng tôi không tìm thấy dấu vết của nội dung này trong các nội dung tiếp theo của phép đối xứng trục. - Sách M3 đưa vào biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục. Đây là điểm khác biệt đáng chú ý nhất của bộ sách M3 so với tất cả các bộ SGK trước đây ở Việt Nam. Cùng với sự xuất hiện của biểu thức tọa độ, nhiều tổ chức toán học mới xoay quanh kiến thức này xuất hiện trong bộ sách M3. Tuy nhiên, SGK chỉ giới thiệu biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox và Oy chứ không đưa ra trục đối xứng bất kì. SGV 2006 theo chương trình cơ bản không nói về vấn đề này nhưng trong Tài liệu bồi dưỡng giáo viên lớp 11 năm 2006 dành cho chương trình nâng cao có viết: "Phép tịnh tiến hoặc phép đối xứng tâm có biểu thức tọa độ khá đơn giản nên có đưa vào sách giáo khoa, các phép khác thì vì biểu thức tọa độ khá phức tạp nên không trình bày, hoặc chỉ trình bày trong các trường hợp đặc biệt (đối xứng qua trục tọa độ)”. Theo chúng tôi, ngoài việc“bổ sung thêm cho học sinh về các khái niệm biến hình đã học” [6, tr 87] và việc kéo theo rất nhiều bài tập liên quan đến phương pháp tọa độ (chiếm 50% tổng số bài tập của bài Phép đối xứng trục), việc đưa biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục (với trục Ox và Oy) vào CT hoặc chỉ đưa biểu thức tọa độ của một vài trong số các PBH được học là việc làm không triệt để. Thật vậy, như chúng ta đã biết, trong nghiên cứu hình học, lợi thế của phương pháp tọa độ là lời giải mang tính khái quát cao vì nó không phụ thuộc vào hình vẽ. Trong khi đó ngay việc chỉ giới thiệu biểu thức tọa độ đối xứng qua trục Ox, Oy cũng thiếu tính khái quát, nó để lại câu hỏi: trong tình huống phải đối mặt với trục đối xứng bất kì, ta phải làm thế nào? Hơn nữa, các bài tập liên quan đến biểu thức tọa độ trong CT chủ yếu đổi vỏ ngôn ngữ từ tổng hợp sang tọa độ. Th._.âu có ai thấy mình làm đâu. (Cả hai cùng cười. Sau đó dùng thước đo bán kính đường tròn tâm I để vẽ đường tròn tâm I’). Phần thảo luận của nhóm 14 cho thấy các HS này chưa phá vỡ được quan niệm sai lầm của mình. Mặt khác cũng nói lên sự ảnh hưởng mạnh mẽ của tính chất bảo toàn của PBH. Sự ảnh hưởng này mạnh mẽ đến mức tuy HS nhận thấy sự khó khăn trong việc thể hiện nó trên máy tính, đồng thời các em cũng cảm thấy không thỏa đáng với chiến lược thực hiện của mình (các em cười sợ người khác thấy việc mình làm), thế nhưng những việc đó cũng không đủ mạnh để có thể thôi thúc các em tìm đến chiến lược khác. Quan sát phần làm việc và tranh luận của nhóm số 12, là một trong ba nhóm sử dụng chiến lược Stừngđiểm , chúng tôi nhận thấy nhóm này đã sớm phát hiện ra quan niệm sai lầm về tính chất bảo toàn của PBH T từ những HĐ đầu tiên của pha 2. Có thể do nhóm này có HS -đã lưỡng lự không vẽ ảnh của đường tròn tâm I trong pha 1. Do đó ngay khi được yêu cầu vẽ ảnh của đường tròn tâm I trên máy tính, các em đã nhanh chóng tìm đến chiến lược Stừngđiểm . Tuy nhiên, nhóm này đã nhận ra khiếm khuyết của chiến lược này khi ảnh tìm được chỉ là các chấm rời nhau, nó chưa đạt được độ hoàn chỉnh. Chính vì thế tuy phát hiện ra hình dạng của ảnh trước tiên trong lớp (theo người quan sát) nhưng nhóm này không báo cáo sản phẩm của mình cho GV ( pha này GV thông báo có sự thi đua giữa các nhóm). Qua quan sát chúng tôi nhận thấy nhóm này tiếp tục mày mò các chức năng khác của Cabri để có thể vẽ được hình như mong muốn của các em. Cụ thể: nhóm cố gắng tìm công cụ đường cong để nối các điểm rời nhau tạo thành một hình liên tục: thất bại. Sau đó nhóm lại chọn toàn bộ đường tròn (I), dùng công cụ “Phep bien hinh T” với mong muốn cho kết quả là ảnh của đường tròn (I) (Giống như chức năng của một số PBH quen thuộc trong Cabri): thất bại. Chúng tôi nhận thấy nhóm này cũng tìm đến công cụ “Vết”, song sau khi đọc phần chức năng của công cụ, nhóm kết luận “nhảm” rồi bỏ qua. Theo chúng tôi, phần trình bày chức năng của công cụ “Vết” tỏ ra khó hiểu đối với HS, nhất là với những HS chưa từng biết đến phần mềm này. Sau một loạt các thất bại khi tìm cách vẽ ảnh, chính HS -người đã thoát khỏi sự ảnh hưởng của tính chất bảo toàn hình dạng của PBH quay lại với quan niệm này: “Lấy một điểm trên đường tròn I rồi lấy ảnh. Vẽ đường tròn tâm I’ và ảnh đó” [protcole,14]. Điều này cũng nói lên sự ảnh hưởng sâu sắc của tính chất bảo toàn hình dạng của PBH đối với HS. Tuy nhiên, cuối cùng nhóm này cũng quay lại với chiến lược Stừngđiểm: Nhóm 12 Tú: Suy nghĩ, suy nghĩ. Vẽ ảnh của đường tròn tâm I, vẽ sao ta? Đạt: Lấy một điểm trên đường tròn I rồi lấy ảnh. Vẽ đường tròn tâm I’ và ảnh đó. Tú: Sai đó ba, sai rồi. Nó đâu phải là đường tròn đâu. Mày cho nó di chuyển mày sẽ thấy nó di chuyển trên theo quỹ đạo Obital lai hóa. Bây giờ tao sẽ chấm. Tao làm tới nỗi nó dính thành cái hình là mày biết rồi đó. Như vậy, đã có sự tiến triển trong nhận thức của học sinh về “quan niệm điểm” của PBH. Do đó HS mới tìm cách lấy ảnh của mọi điểm trên đường tròn I để được một hình hoàn chỉnh: “Tao làm tới nỗi nó dính thành cái hình là mày biết rồi đó”, hay “Hay bây giờ mình chấm từ từ đi. Mình chọn mấy điểm trên này rồi lấy đối xứng qua” [protocole, 49]  Pha 4 Nhóm 35 trình bày sản phẩm vẽ hình của mình. Ảnh vẽ được của nhóm là đường tròn có tâm I’ là ảnh của I qua PBH T, bán kính bằng bán kính đường tròn tâm I. Sau khi nhóm trình, rất nhiều HS trong lớp phản đối: “không ạ” [protocole, 60] Một HS tên Trung đưa ra ý kiến: “Tìm ảnh của đường tròn tâm I, vì ảnh là tập hợp của những điểm ảnh của tập hợp các điểm trên đường tròn. Sao bạn không lấy điểm khác trên đường tròn I thử xem có nằm trên đường tròn bạn dựng không?” [Protocole, 61]. HS Thư bảo vệ quan điểm của nhóm 35: “Để tớ chứng minh giùm cho. Tại muốn tìm ảnh thì ta chỉ tìm ảnh của tâm và lấy bán kính nó bằng nhau.” [Protocole, 64]. HS Tú phản biện ý kiến của Thư: “Bạn Trung nói đúng rồi đó. Bạn thử di chuyển cái điểm đó trên đường tròn tâm I đó so với cái điểm I’. Bạn di chuyển đi, nó đâu có nằm trên đường tròn mà bạn vẽ đâu. Nó di chuyển trên cái đường mà mình thấy nó giống như cái Obital vậy” [Protocole, 66] Như vậy, cho đến thời điểm diễn ra pha 4, trong lớp vẫn tồn tại hai lời giải. Lời giải thứ nhất là ảnh của đường tròn tâm I là một đường tròn. Lời giải thứ hai cho ảnh của đường tròn tâm I không phải là một đường tròn. Cùng với sự hỗ trợ của Cabri, nhóm HS trong lớp theo quan điểm thứ hai có vẻ đã thuyết phục cả lớp khi chứng minh rằng ảnh của đường tròn tâm I không phải là một đường tròn. Sự càng thuyết phục mạnh hơn khi nhóm số 8 trình bày sản phẩm của mình: “Tại em chưa biết chương trình vẽ quĩ đạo của nó. Do đó em chấm nhiều điểm trên đường tròn I. Sau đó dùng PBH T để tìm ảnh của nó. Vì tập hợp các ảnh lại ta được ảnh của đường tròn I qua PBH T.” [Protocole, 69] Nhóm này đã có sự thay đổi trong nhận thức về “quan niệm điểm” của PBH. Các HS cũng ý thức được sự không hoàn chỉnh của sản phẩm. Tuy nhiên, do chưa biết hết tính năng của các công cụ trong Cabri, cũng như do hạn chế về mặt thời gian nên các em đành chấp nhận ảnh vẽ được là tập hợp các điểm ảnh rời rạc. Phần thuyết trình của nhóm số 8 đã thuyết phục được cả lớp khi GV hỏi “các em có đồng ý với bạn không?” [Protocole, 70] thì cả lớp đồng thanh trả lời “Đồng ý ạ”[Protocole, 71]. Tuy nhiên sự đồng ý dường như cũng chỉ mang tính “thông cảm”, có lẽ bản thân mỗi HS cũng chưa tìm ra chiến lược tối ưu. Do đó có HS nói: “Em, đồng ý mà em chưa biết vẽ” [Protocole, 73] Chỉ đến khi GV nhấn mạnh: “Nhưng mục đích là tìm công cụ của Cabri giúp vẽ ảnh của đường tròn tâm I” [Protocole, 74] thì mới có HS lên tiếng:“Cô ơi, công cụ vết đó cô”. ”[Protocole, 75] Sau đó HS này trình bày cách sử dụng công cụ vết. Đến lúc này, HS cả lớp hoàn toàn được thuyết phục. Qua pha 4, HS đã thoát ra khỏi sự ảnh hưởng mạnh mẽ của tính chất bảo toàn của PBH. Điều này đồng nghĩa với việc HS vượt qua được “quan niệm hình” để tiếp cận với “quan niệm điểm” của PBH. Bên cạnh đó, HS cũng đã tìm được công cụ “Vết” hỗ trợ việc vẽ ảnh của Phép biến hình T theo “quan niệm điểm”. Qua đó HS nhận thấy được rằng với sự hỗ trợ của Cabri, HS có thể làm được việc mà giấy bút không thể làm được.  Pha tổng kết Trong pha này, GV đặt một số câu hỏi nhằm giúp HS ôn lại khái niệm PBH và những khái niệm liên quan. Đồng thời thể chế hóa việc vẽ ảnh của một hình trong môi trường Cabri. Ngoài ra, GV còn giới thiệu thêm về hình dạng ảnh của đường thẳng, tam giác qua Phép biến hình T; cho HS thấy được sự biến dạng của ảnh khi thay đổi khoảng cách giữa hình và đường tròn (O), thay đổi bán kính của (O). Hệ thống câu hỏi được đặt ra là: - Thế nào là PBH? - Thế nào là ảnh của một hình H qua PBH? - Bằng giấy bút, từ trước đến giờ, em có thể vẽ ảnh của 1 hình H qua PBH T hay không? - Từ trước tới giờ các em cũng vẽ ảnh của một hình qua 1 PBH, nhưng tại sao bằng giấy bút các em lại vẽ được? HS dễ dàng trả lời hệ thống câu hỏi trên (tham khảo protocole 92-116). Điều này cho thấy HS đã thoát khỏi sự ảnh hưởng của tính chất bảo toàn của phép dời hình, tiếp cận PBH với “quan niệm điểm”. 3.3 Kết luận Qua thực nghiệm 2, chúng tôi đã đạt được mục đích đặt ra. Cụ thể: - HS nhận ra được quan niệm sai lầm về tính chất bảo toàn hình dạng của PBH bất kì. - Trong môi trường tương tác của phần mềm Cabri, HS đã tiếp cận với khái niệm PBH theo “quan niệm điểm”. Qua đó, HS thấy được phạm vi hợp thức của “quan niệm hình”- quan niệm dẫn đến tính chất bảo toàn hình dạng hình của PBH, đó là các PBH thuộc nhóm các phép dời hình và đồng dạng. KẾT LUẬN Qua luận văn này, chúng tôi đạt được những kết quả nghiên cứu sau: 1. Trong chương 1, trên quan điểm so sánh, chúng tôi làm rõ quan điểm trình bày khái niệm PBH trong mặt phẳng của ba thể chế I1, I2, I3, đồng thời chỉ ra những ràng buộc của các thể chế này lên mối quan hệ cá nhân của HS với khái niệm PBH. Cụ thể: - Thể chế I1 và I3 xây dựng khái niệm PBH tổng quát, thể chế I2 thì không. Thể chế I1 trình bày khái niệm PBH theo “quan niệm điểm” thông qua ngôn ngữ ánh xạ. Chính vì thế I1 đưa vào khái niệm “ánh xạ”. Trong khi đó, thể chế I3 vì muốn tránh sử dụng thuật ngữ hàn lâm của ánh xạ nhưng vẫn muốn thể hiện “quan niệm điểm” nên đã định khái niệm PBH thông qua cụm từ “phép đặt tương ứng”. Thể chế I2 vì muốn tránh sử dụng thuật ngữ “Phép biến hình” nên không đưa vào thuật ngữ này mà chỉ định nghĩa từng PBH cụ thể theo cụm từ “phép đặt tương ứng”. Như thế, cả ba thể chế đều định nghĩa PBH (cụ thể hay tổng quát) theo “quan niệm điểm”, điều này thể hiện đặc trưng hàm của PBH. - Tuy nhiên, trong quá trình đưa vào các tính chất bất biến của phép dời hình và phép đồng dạng cũng như triển khai các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm PBH, một quan niệm khác của PBH được hình thành, chúng tôi gọi đó là “quan niệm hình”. Phần phân tích của chúng tôi cũng chỉ ra rằng trong I1 “quan niệm hình” và “quan niệm điểm” của PBH tồn tại song song nhau, số lượng các nhiệm vụ theo hai quan niệm trên là ngang nhau. Trong I2, các kiểu nhiệm vụ theo “quan niệm điểm” hoàn toàn vắng mặt, thay vào đấy là sự vượt trội của các kiểu nhiệm vụ theo “quan niệm hình”. Thể chế I3 không thay đổi nhiều cách trình bày chủ đề PBH so với I2. Điểm khác biệt đáng chú ý là I3 đưa vào nội dung biểu thức tọa độ của một số PBH, gồm phép đối xứng trục (với trục đối xứng là Ox hoặc Oy), phép đối xứng tâm (với tâm là gốc tọa độ), phép tịnh tiến. Cùng với sự xuất hiện của biểu thức tọa độ, nhiều tổ chức toán học mới xoay quanh kiến thức này xuất hiện trong bộ sách M3. Phân tích của chúng tôi cũng cho thấy, trong số các tổ chức toán học nói trên, tồn tại một vài tổ chức toán học thể hiện “quan niệm điểm” của PBH. Song thể chế I3 không khai thác nhiều các tổ chức này mà vẫn lựa chọn các tổ chức toán học thể hiện “quan niệm hình”. Từ đó chúng tôi rút ra kết luận: thể chế I2 và I3 điều kiện thuận lợi cho “quan niệm hình” của PBH. “Quan niệm điểm” chỉ xuất hiện trong phần định nghĩa PBH tổng quát và PBH cụ thể. Nhiều PBH thuộc nhóm phép dời hình và đồng dạng cũng được nghiên cứu chi tiết trong I2 và I3. Như thế, HS liên tục tiếp cận với “quan niệm hình” trong khi nghiên cứu các PBH đó (bởi vì các PBH này đều có chung tính chất bảo toàn hình dạng). Sự tiếp cận trên cứ được lặp đi lặp lại nhiều lần sẽ tác động đến việc hình thành quan niệm của HS về khái niệm PBH. Mối quan hệ thể chế với khái niệm PBH đã ràng buộc lên mối quan hệ các nhân với khái niệm này, nó dẫn chúng tôi đến giả thuyết H: Mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm PBH chỉ đặt trên “quan niệm hình”. 2. Chương 2 dành cho nghiên cứu thức nghiệm thứ nhất. Thực nghiệm này nhằm kiểm chứng tính hợp thức của giả thuyết H. Kết quả thực nghiệm cho thấy, sự tồn tại “quan niệm hình” ở HS dẫn đến một sai lầm đáng tiếc, đó là HS quan niệm mọi PBH đều biến một hình thành một hình tương tự nó. Chính điều này dẫn chúng tôi đến với thực nghiệm thứ hai được nghiên cứu ở chương 3. 3. Chương 3 nghiên cứu thực nghiệm thứ hai với mục đích điều chỉnh quan niệm về tính bảo toàn hình dạng các hình của PBH ở HS, đồng thời giúp hình thành ở HS “quan niệm điểm” PBH trong môi trường Cabri. Kết quả thực nghiệm cho thấy HS đã nhận ra sai lầm trong quan niệm của mình về tính chất bảo toàn của PBH và tiếp cận với khái niệm PBH theo “quan niệm điểm”. Thực nghiệm cũng cho thấy sự lựa chọn phần mềm Cabri của chúng tôi hoàn toàn đúng vì tính năng “động” và “tương tác” của nó đóng vai trò rất lớn cho sự thành công của thực nghiệm của chúng tôi. Theo kết quả nghiên cứu luận văn của chúng tôi, rõ ràng các thể chế đều mong muốn trình bày khái niệm PBH theo “quan niệm điểm” để thể hiện đặc trưng hàm của khái niệm này. Song do các PBH được giới thiệu trong CT đều có tính chất bất biến về hình dạng, do đó “quan niệm hình” xuất hiện và tỏ ra lấn lướt “quan niệm điểm” của PBH. Thực nghiệm thứ hai của chúng tôi tiến hành sau khi HS học xong chủ đề PBH. Vì thế nó có mục đích điều chỉnh quan niệm của HS. Có thể xây dựng tình huống để HS tiếp cận với khái niệm PBH khái quát cũng như cụ thể theo “quan niệm điểm” ngay khi HS bắt đầu học chủ đề này hay không? Nếu được như thế thì có thể hạn chế việc HS quan niệm sai lầm về tính chất bất biến của PBH bất kì. Đây chính là hướng nghiên cứu tiếp theo được mở ra cho các luận văn sau này. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Nguyễn Văn Bàng(1999), Hình học 8, NXBGD. 2. Nguyễn Văn Bàng(1999), SGV hình học 8, NXBGD. 3. Bộ giáo dục và đào tạo(2007), Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học phổ thông môn Toán, NXBGD. 4. Bộ giáo dục và đào tạo(2008), Hướng dẫn thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 12 môn Toán, NXBGD. 5. Bộ giáo dục và đào tạo(2008), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, SGK lớp 11 môn Toán, NXBGD. 6. Lê Thị Hoài Châu(2004), Phương pháp dạy-học hình học ở trường trung học phổ thông, NXB ĐHQG TPHCM. 7. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên)(2004), Toán 8, tập 1, NXBGD. 8. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên)(2004), Sách giáo viên Toán 8, NXBGD. 9. Văn như Cương, Phan Văn Viện(2000), Hình học 10, NXBGD. 10. Văn Như Cương, Trần Văn Hạo(2001), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 10, NXBGD. 11. Văn như Cương, Phan Văn Viện(2000), Bài tập hình học 10, NXBGD. 12. Trần Văn Hạo, Vũ Thiện Căn, Cam Duy Lễ(1992), Hình học 10, NXBGD. 13. Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ(1990), Sách giáo viên Toán 10, NXBGD. 14. Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Vũ Thiện Căn(1993), Bài tập hình học 10, NXBGD. 15. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)(2007), Hình học 11, NXBGD. 16. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)(2007), Sách giáo viên Toán 11, NXBGD. 17. Nguyễn Mộng Hy(2000), Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXBGD. 18. Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)(2007), Bài tập hình học 11, NXBGD. 19. Phạm Đức Quang (1999), Hình thành kĩ năng giải toán hình học phẳng bằng các phép biến hình cho học sinh lớp 10 phổ thông trung học, luận án tiến sĩ giáo dục học. 20. Nguyễn Ái Quốc (2002), Nghiên cứu Didactic của việc dạy và học các phép biến hình ở lớp 10: trường hợp phép quay, luận văn thạc sĩ giáo dục học. 21. Đỗ Thanh Sơn(2005), “phép biến hình trong mặt phẳng”, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông, NXBGD. 22. Đào Tam(2005), Cơ sở hình học, NXB ĐH Sư phạm HN. 23. Đào Tam(2007), Phương pháp dạy học ở trường THPT, NXB ĐHSP. 24. Nguyễn Chí Thành(2007), “Ứng dụng phần mềm Cabri trong dạy và học môn Toán ở trường phổ thông”, Tạp chí Giáo dục , (166). 25. Lê Văn Tiến(2006), “Môi trường trong sư phạm tương tác và trong lí thuyết tình huống”, Tạp chí Khoa học giáo dục, (8), tr5-7. Tiếng Anh 26. Jahn, A.P.(2002), ““Locus” anh “Trace” in Cabri-geometry: relationships between geometric and functional aspects in a study of transformations”, ZDM, Vol.34. 27. Laborde, C. (2001), “Integration of technology in the design of geometry tasks with Cabri- geometry”, International Journal of Computers for Mathematical Learning, 283-317. 28. Laborde, C. , “Factors of integration of dynamic geometriy software in the teaching of mathematics”, Laboratoire Leibniz-IMAGE, University of Grenoble, France. Tiếng Pháp 29. Jahn, A.P.(1998), Des transformations des figures aux transformations ponctuelles: étude d’une séquence d’enseignement avec Cabri-géomètre. Relations entre aspects géométriques et fonctionnels en classe de Seconde, Thèse de Doctorat de l’Université Joseph Fourier, Grenoble. 30. Langrang, J.B and Hoyles, C. (2006), “Digital technologies and mathematics teaching and learning: Rethinking the terrain”, Proceding of 17th ICMI Study, Hanoi. PHỤ LỤC Phụ lục 1: Bài toán thực nghiệm 1 Phụ lục 2: Một số bài làm của học sinh trong thực nghiệm 1 Phụ lục 3: Bài toán thực nghiệm 2 Phụ lục 4: Một số bài làm của học sinh trong thực nghiệm 2 Phụ lục 5: Protocole pha 2, 3, 4 và pha tổng kết của thực nghiệm 2 Trường: Lớp: Họ và tên PHỤ LỤC 1 BÀI TOÁN THỰC NGHIỆM 1 Cho trước một đường tròn (O). Với mỗi điểm M nằm ngoài hoặc nằm trên đường tròn (O), nối điểm O với điểm M và dựng điểm M’ sao cho giao điểm của đoạn thẳng OM với đường tròn (O) là trung điểm của đoạn MM’. Ví dụ minh họa cách dựng điểm M’ theo điểm M: Ta gọi phép biến hình biến M thành M’ như trên là Phép biến hình T A. Câu hỏi trắc nghiệm 1. Cho đường tròn (O) và điểm M như hình vẽ. Trong các hình sau, ảnh M’ của điểm M qua phép biến hình T có vị trí nào? a) (K là trung điểm đoạn MM’) b) (K là trung điểm đoạn MM’) O M K Hình 1 M' OM K Hình 2 M' hay O K M M' K M' O M c) d) Không tồn tại ảnh của điểm M qua phép biến hình T. 2. Cho đường tròn (O) và điểm N như hình vẽ. Trong các hình sau, ảnh N’ của điểm N qua phép biến hình T có vị trí nào? a) b) (I là trung điểm đoạn NN’) c) (I là trung điểm đoạn NN’) O M M' O N=N' O N O N N' O N I N' d) Không tồn tại ảnh của điểm N qua phép biến hình T. 3. Cho đường tròn (O) và điểm E như hình vẽ. Trong các hình sau, ảnh E’ của điểm E qua phép biến hình T có vị trí nào? a) (I là trung điểm đoạn EE’) b) c) (I là trung điểm đoạn EE’) d) Không tồn tại ảnh của điểm E qua phép biến hình T. B. Tìm ảnh của một hình qua phép biến hình T 1) Vẽ ảnh của tam giác ABC qua phép biến hình T. O E E' O I E' E O E O I E' E  Em hãy nêu các bước dựng ảnh của em. 2) Vẽ ảnh của đường tròn tâm I qua phép biến hình T.  Em hãy nêu các bước dựng ảnh của em. O I O A B C 3) Vẽ ảnh của hình (H) qua phép biến hình T.  Em hãy nêu các bước dựng ảnh của em. O (H) PHỤ LỤC 3 BÀI TOÁN THỰC NGHIỆM 2 Họ và tên: PHIẾU BÀI LÀM 1 Cho trước một đường tròn (O). Với mỗi điểm M nằm ngoài hoặc nằm trên đường tròn (O), nối điểm O với điểm M và dựng điểm M’ sao cho giao điểm của đoạn thẳng OM với đường tròn (O) là trung điểm của đoạn MM’. Ví dụ minh họa cách dựng điểm M’ theo điểm M: Ta gọi phép biến hình biến M thành M’ như trên là Phép biến hình T O M K Hình 1 M' OM K Hình 2 M' hay A. Câu hỏi trắc nghiệm 1. Cho đường tròn (O) và điểm M như hình vẽ. Trong các hình sau, ảnh M’ của điểm M qua phép biến hình T có vị trí nào? a) (K là trung điểm đoạn MM’) b) (K là trung điểm đoạn MM’) c) d) Không tồn tại ảnh của điểm M qua phép biến hình T. 2. Cho đường tròn (O) và điểm N như hình vẽ. O K M M' O M M' O M K M' O M O N Trong các hình sau, ảnh N’ của điểm N qua phép biến hình T có vị trí nào? a) b) (I là trung điểm đoạn NN’) c) (I là trung điểm đoạn NN’) d) Không tồn tại ảnh của điểm N qua phép biến hình T. 3. Cho đường tròn (O) và điểm E như hình vẽ. Trong các hình sau, ảnh E’ của điểm E qua phép biến hình T có vị trí nào? a) (I là trung điểm đoạn EE’) O N=N' O N N' O N I N' O E b) c) (I là trung điểm đoạn EE’) d) Không tồn tại ảnh của điểm E qua phép biến hình T. B. Vẽ ảnh của đường tròn tâm I phép biến hình T O I O E E' O I E' E O I E' E Nhóm: PHIẾU BÀI LÀM 2 Họ và tên học sinh trong nhóm: HOẠT ĐỘNG 1: Trên máy tính, lấy bất kì 5 điểm phân biệt trên đường tròn (I). Tìm ảnh của 5 điểm đó qua phép biến hình T. HOẠT ĐỘNG 2: Vẽ đường tròn đi qua 3 trong 5 điểm ảnh vừa tìm. HOẠT ĐỘNG 3: Trả lời các câu hỏi sau:  Câu 1: Em hãy cho biết vị trí tương đối của 2 điểm ảnh còn lại đối với đường tròn vừa dựng ở hoạt động 2. Phần trả lời :  Câu 2:Ta có dựng được đường tròn đi qua 5 điểm ảnh trên hay không? Tại sao? Nếu câu trả lời là “có” thì em hãy vẽ đường tròn đó trên máy tính. Phần trả lời :  Câu 3: Tự đánh giá lại kết quả dựng ảnh của đường tròn (I) qua phép biến hình T, em hãy cho biết mình đã làm đúng hay sai? Tên học sinh 1: ..................................................... Đúng Sai Tên học sinh 2: ..................................................... Đúng Sai PHIẾU BÀI LÀM 3 Sử dụng các chức năng của phần mềm Cabri, các nhóm hãy vẽ ảnh của đường tròn tâm (I) qua phép biến hình T nhanh nhất và hoàn chỉnh nhất. PHỤ LỤC 5 BIÊN BẢN THỰC NGHIỆM HAI 1. Biên bản thảo luận của các nhóm Nhóm số 12 Pha 2: 1. Đạt: Câu 2 có dựng được đường tròn đi qua 5 điểm ảnh hay không? 2. Tú:Tui nghĩ là không vì...muốn đi qua 5 điểm thì phải đi qua 3 điểm, mà... 3. Đạt: Nếu mà muốn đi qua 5 điểm thì mấy đường tròn kia sẽ phải trùng nhau 4. Tú: Đúng rồi. Suy ra không thể. 5. Tú: Câu 3, tự đánh giá kết quả. Đúng, mình phải tự tin. Pha 3: 6. Đạt: Giờ mình vẽ thiệt nhiều điểm vô, rồi mình lất đối xứng chữ T nối mấy điểm đó lại. Cái này giống như elip vậy. 7. Tú: Suy nghĩ, suy nghĩ. “Chọn hoặc không lựa chọn việc hiển thị...” (HS đọc chức năng của công cụ “Vết”). Nhảm quá. 8. Đạt: Mình chơi trò lấy nhiều điểm vô. 9. Tú: lấy nhiều điểm vô. 10. Đạt: Thử chọn nguyên đường xem. 11. Tú: PBH chữ T. (HS chọ toàn bộ đường tròn tâm I, chọn công cụ PBH T với hi vọng nhận được ảnh của đường tròn tâm I) 12. Đạt: Nó hổng dựng được hả? 13. Tú: Suy nghĩ, suy nghĩ. Vẽ ảnh của đường tròn tâm I, vẽ sao ta? 14. Đạt: Lấy một điểm trên đường tròn I rồi lấy ảnh, vẽ đường tròn tâm I’ và ảnh đó. 15. Tú: Sai đó ba, sai rồi, nó đâu phải là một đường tròn đâu. Mày cho nó di chuyển mãy sẽ thấy nó di chuyển theo quĩ đạo lopital lai hóa. Chờ chút cô, em đang làm công tác trâu bò. Chấm. Tao làm tới nỗi nó dính thành cái hình là mày biết rồi đó. 16. GV: Chấm gì dữ vậy. 17. Tú: Nếu không chấm thì không thể làm được cô ơi. Chờ chút cô ơi, chưa mà. Không được rồi. Không được rồi. Nhóm 14 Pha 2: 18. An: Thấy chưa, nó nằm ngoài hoàn toàn luôn đó. 19. Thư: Ê, có cách nào vẽ ảnh… 20. An: Có dựng được đường tròn đi qua 5 điểm không kìa? 21. Thư: Suy nghĩ đã, hình như không nha. 22. An: Sao không? 23. Thư: Câu 1 đó, câu 1 ghi là 2 điểm còn lại không thuộc đường tròn. (nhóm im lặng) Tìm cách vẽ đường tròn đi qua 5 điểm xem. 24. An: Như vậy 5 điểm ảnh đó phải có trường hợp đặc biệt thì mới có đường tròn đi qua 5 điểm đúng không? (Sau đó HS trong nhóm cố gắng dời 5 điểm ban đầu theo những ví trị các em cho là đặc biệt để tìm các vẽ đường tròn đi qua 5 điểm ảnh. Kết quả vẫn thất bại) ... 25. Thư: Cứ ghi không đi. 26. An: Nhưng mà kêu vẽ trên máy thì phải có chứ. 27. Thư: Nhưng mà mình tìm không ra thì phải ghi không mà. Pha 3: 28. An: Vẽ tâm, vẽ bán kính bằng. 29. Thư: Làm sao đo được 30. An: Được mà, vẽ cái đường thẳng, bán kính qua đây. (Hai HS lần lượt thử nhiều cách trên máy tính để vẽ đường tròn tâm I’, bán kính bằng bán kính đường tròn tâm I. Kết quả các em vẫn thất bại). … 31. An: Ảnh của nó bán kính bắt buộc phải bằng đúng không. 32. Thư: Ừ, PBH T mà. 33. An: Bây giờ vẽ bán kính đi, tớ không biết làm sao vẽ bán kính đây. 34. Thư: Lấy thước đo đi. 35. An: Đừng có la lớn, đâu có ai thấy mình làm đâu. (Cả hai cùng cười. Sau đó dùng thước đo bán kính đường tròn tâm I để vẽ đường tròn tâm I’). Nhóm số 18 Pha 2: 36. Anh: Không có đường tròn đi qua 5 điểm ảnh. 37. Linh:Tại sao? 38. Anh: Nhìn hình ta thấy. 39. Linh: Do độ dài của đường thẳng nối 2 điểm này khác nhau nên nó không phải là phép dời hình, suy ra 5 điểm đó không thuộc đường tròn. 40. Anh: Ừ. Pha 3: 41. Linh: Í, mấy điểm này đâu có cùng bán kính. 42. Anh: Ừ, nếu ảnh là đường tròn thì 5 điểm đã phải thuộc đường tròn rồi. 43. Linh: Chết rồi, cái bài làm trong giấy hồi nãy... 44. Anh: Hồi nãy tao vẽ trong giấy là đường tròn. 45. Linh: Tui cũng vậy. Kì quá à, sao mà vẽ. Lấy ảnh của tâm I thì không phải rồi. 46. Anh: Dị quá trời ơi, thấy hình giống elip quá. 47. Linh: Giống thiệt, ở đây đâu có hình elip đâu. (HS tìm kiếm trên thanh công cụ) 48. Vết là sao? (HS đọc chức năng của công cụ vết) 49. Anh: Hay bây giờ mình chấm từ từ đi. Mình chọn mấy điểm trên này rồi lấy đối xứng qua. Rĩ ràng nó ra elip luôn. Lấy thêm mấy điểm nữa đi, mấy điểm gần gần đó. 50. Linh: Chấm cật lực luôn. (HS vừa nói vừa lấy ảnh từng điểm trên đường tròn I) 51. Anh: Nhiều dữ vậy 52. Linh: Chết cha, sao nó cũng chẳng ra elip nữa. 53. Anh: Còn nhiều nữa, tiếp tục mấy điểm dưới nữa. 54. Linh: Nó ra cái gì vậy? 55. Anh: Tao thấy nó giống con cá. 56. Linh: Giống con cá quá, có cái đuôi nè. 57. Anh: Nó có ra đường tròn gì đâu. 2. Pha tổng kết Nhóm 35 trình bày: 58. Tùng: Trên máy tính dùng PBH T biến tâm I thành I’. Sau đó dùng đường thẳng nối tâm I và O. Lấy giao điểm của đường thẳng IO và đường tròn tâm I. Lấy đối xứng của giao điểm đó qua PBH T. Vẽ đường tròn tâm I’ và đi qua điểm vừa dựng. 59. GV: Lớp có nhất trí không? 60. HSHS: Không ạ. 61. Trung: Tìm ảnh của đường tròn tâm I, vì ảnh là tập hợp của những điểm ảnh của tập hợp các điểm trên đường tròn. Sao bạn không lấy điểm khác trên đường tròn I thử xem có nằm trên đường tròn bạn dựng không? 62. GV: Nhóm 35, em hãy giải thích tại sao em làm như vậy không? 63. Tùng: Em không biết ạ. 64. Thư (nhóm 14): Để tớ chứng minh giùm cho. Tại muốn tìm ảnh thì ta chỉ tìm ảnh của tâm và lấy bán kính nó bằng nhau. 65. HSHS: Sai rồi, đó là phép dời hình, còn đây là phép biến hình. 66. Tú: Bạn Trung nói đúng rồi đó. Bạn thử di chuyển cái điểm đó trên đường tròn tâm I đó so với cái điểm I’. Bạn di chuyển đi, nó đâu có nằm trên đường tròn mà bạn vẽ đâu. Nó di chuyển trên cái đường mà mình thấy nó giống như cái Obital vậy. 67. HSHS: (vỗ tay). 68. GV: Bây giờ chúng ta trình chiếu sản phẩm của nhóm 8. 69. Trung (nhóm 8): Tại em chưa biết chương trình vẽ quỹ đạo của nó. Do đó em chấm nhiều điểm trên đường tròn I. Sau đó dùng PBH T để tìm ảnh của nó. Vì tập hợp các ảnh lại ta được ảnh của đường tròn I qua PBH T. 70. GV: Các em có đồng ý với ý kiến của bạn không? 71. HSHS: Đồng ý ạ. 72. GV: Có ai có ý kiến khác không? Hay có ai có bổ sung gì không? 73. Trung (hay Tú): Em đồng ý mà em chưa biết vẽ. 74. GV: Nhưng mục đích là tìm công cụ của Cabri giúp vẽ ảnh của đường tròn tâm I. 75. Linh: Cô ơi, công cụ vết đó cô. 76. GV: Mời em. 77. Linh: Bọn con chọn điểm A trên đường tròn I và cho ảnh A’. Quay cái điểm A, một lúc sau nó ra. 78. GV: Cả lớp hiểu không nào? 79. HSHS: Sơ sơ. 80. GV: Em làm cho các bạn xem luôn đi. (HS Linh biểu diễn từ từ cho cả lớp xem cách sử dụng công cụ “Vết” ). 81. GV: Cả lớp thấy sao các em, thuyết phục không? 82. HSHS: Thuyết phục, thuyết phục. 83. GV: Giữa việc này với việc lấy từng điểm của cặp số 8 cái nào nhanh hơn? 84. HSHS: Vết. 85. GV: Vậy ảnh của đường tròn tâm I qua PBH T có phải là đường tròn nữa không các em? 86. HSHS: Dạ không. 87. GV: Vậy, ở phiếu bài làm đầu tiên bao nhiêu bạn làm đúng việc vẽ ảnh của đường tròn tâm I qua PBH T? Ai làm đúng nào? 88. HSHS: (im lặng) 89. HS: Hổng có ai hết cô ơi. 90. GV: Bao nhiêu bạn chọn trả lời mình làm đúng? (GV đọc lại câu hỏi số 3 trong pha 2, các HS ồ lên) 91. HSHS: Ủa, vậy mà em tưởng hỏi ở HĐ 1. (cười) 92. GV: Chúng ta tổng kết lại nha. Thế nào là PBH? Ai còn nhớ? Cô mời nhóm 8 nào. 93. Trung (nhóm 8): (Ấp úng) 94. HS: Là một cái biến điểm này thành điểm khác. (Sau đó HS Trung mở sách ra đọc to định nghĩa PBH) 95. GV: Thế nào là ảnh của một hình H qua PBH? 96. HS (nhóm 27): Là tập hợp những điểm những điểm ảnh của hình H qua PBH. 97. GV: Muốn tìm ảnh của một hình H qua PBH ta phải làm thế nào? 98. HS (nhóm 1): Trên máy tính hả cô? 99. GV: Không, cô hỏi lý thuyết thôi. 100. HS (nhóm 1): dạ tìm ảnh của nhiều điểm thuộc hình đó qua PBH T. 101. GV: Nhiều điểm của em là bao nhiêu? 102. HS (nhóm 1): là tập hợp các điểm của hình H. 103. GV: Bằng giấy bút, từ trước đến giờ, em có thể vẽ ảnh của 1 hình H qua PBH T hay không? 104. HS (nhóm 22): Dạ thưa cô khó có thể vẽ được. 105. GV: Khó nhưng có thể vẽ được không? 106. HS (nhóm 22): Được, nhưng mà mấy tiếng. (Cười) 107. GV: Từ trước tới giờ mình cũng vẽ ảnh của một hình qua 1 PBH, nhưng tại sao bằng giấy bút mình lại vẽ được? 108. HSHS: Hình đơn giản. 109. HS (nhóm 1): Vì những PBH trước giờ khá là đơn giản. 110. GV: Thế nào là đơn giản. 111. HS (nhóm 1): Hầu như tụi con chỉ học về phép dời hình, nó không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì, và khoảng cách đó có thể đo được bằng compa, còn 1 phép khác làm thay đổi khoảng cách đó là phép vị tự. Nhưng mà nó cũng khá là đơn giản. 112. GV: Đơn giản ở chỗ nào? 113. HS (nhóm 1): Bình thường tụi con học thì đường tròn nó sẽ thành đường tròn, còn phép ở đây thì không còn là đường tròn nữa mà nó là 1 cái hình khác. 114. GV: Từ trước đến giờ chúng ta học 2 nhóm phép biến hình: đó là Phép dời hình và phép đồng dạng, do đó hình dạng của hình sẽ không thay đổi. Cho nên khi vẽ ảnh, vì mình biết trước dạng rồi nên mình chỉ vẽ ảnh một vài điểm và mình giữ nguyên hình dạng của nó. 115. Về thực chất, theo định nghĩa thì PBH có phải lúc nào cũng là Phép dời hình và phép đồng dạng không? 116. HSHS: Dạ không. 117. GV: PBH chỉ là một quy tắc tương ứng 1 điểm thành 1 điểm. Do đó ta có nhiều PBH khác. Tổng quát lên, muốn vẽ ảnh của một hình bất kì ta phải vẽ ảnh của mọi điểm thuộc hình. Trên máy tính, công cụ nào có thể hỗ trợ chúng ta vẽ ảnh của một hình qua PBH? 118. HSHS: Cabri. 119. GV: Cụ thể công cụ nào của Cabri? 120. HSHS: Vết. 121. GV: Các em đã biết cách sử dụng công cụ này chưa? 122. HSHS: Dạ rồi. 123. GV: Cabri có thể hỗ trợ chúng ta vẽ ảnh của những hình mà ta không thể hình dung trước hình dạng của ảnh. Cô cũng giới thiệu thêm về PBH này. PBH T không giữ nguyên hình dạng của ảnh. Do đó tam giác không biến thành tam giác, đường thẳng không biến thành đường thẳng. 124. Đặc biệt khi ta thay đổi độ lớn của các hình, hay khoảng cách giữa hình và đường tròn tâm O thì ảnh vẽ được sẽ thay đổi. (GV vừa nói vừa biểu diễn trên màn hình cho HS xem sự thay đổi trên). ._.