Nghiên cứu Didatic về phép kéo theo và phép tương đương trong dạy và học Toán ở Trung học phổ thông (THPT)

ghiên cứu khoa học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt để tôi hoàn tất luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN, PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU, TS. ĐOÀN HỮU HẢI, TS. LÊ VĂN PHÚC, TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG, TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH, TS. NGUYỄN ÁI QUỐC và các quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Didactic Toán. Xin trân trọng cảm ơn Ban gíam hiệu và các thầy cô Tổ toán Trường THPT Ngô Quyền đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi tham gia khóa học này. Cảm ơn các bạn lớp Didactic Toán khóa 17 đã cùng tôi kề vai sát cánh trong suốt thời gian học tập. Và cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và những người thân đã động viên, khuyến khích, tạo điều kiện cho tôi hoàn tất khóa học này. CHƯƠNG 0: MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Kiến thức về logic và lý thuyết tập hợp là hai nền tảng cơ bản của lâu đài toán học. Nhắc đến lôgic Toán, không thể không nói tới phép kéo theo và phép tương đương. Cung cấp kiến thức ban đầu về logic hình thức, phép kéo theo và phép tương đương tạo cơ sở để học sinh hình thành các khả năng suy luận có lí, khả năng tiếp nhận, biểu đạt vấn đề một cách chính xác cũng như việc áp dụng đại số mệnh đề vào suy luận toán học (phát biểu định lí, điều kiện cần, điều kiện đủ, xác định mệnh đề đúng sai...). Như thế, hai khái niệm này không những đóng vai trò nền tảng trong việc dạy và học Toán mà còn là một kiến thức không thể thiếu trong các ngành khoa học khác. Chương trình giảng dạy ở Việt Nam còn thể hiện sự lưỡng lự trong việc lựa chọn giảng dạy khái niệm mệnh đề. Giai đoạn 1975-1990, mệnh đề và các phép suy luận toán học là một chương trong chương trình Toán lớp 10. Tuy nhiên, giai đoạn 1990-2000, chương này bị lọai bỏ hoàn toàn. Sau đó, nội dung này xuất hiện lại và chiếm vị trí quan trọng cho tới nay. Vì vậy, việc nghiên cứu thực tế dạy và học phép kéo theo và phép tương đương ở trung học phổ thông là rất cần thiết. Từ những ghi nhận trên, chúng tôi tự đặt ra những câu hỏi ban đầu dưới đây: 1. Trong lịch sử toán học, các khái niệm phép kéo theo và phép tương đương đã nảy sinh và tiến triển như thế nào? 2. Phép kéo theo và phép tương đương đã được sách giáo khoa đưa vào ở thời điểm nào, bằng cách nào, và nhằm mục đích gì? 3. Những ràng buộc của hệ thống dạy học có ảnh hưởng như thế nào đối với hiểu biết của giáo viên và học sinh về các khái niệm này? Cách trình bày của sách giáo khoa đã ảnh hưởng thế nào đến việc tiếp thu của học sinh? Tri thức này được học sinh vận dụng vào các bài toán cụ thể ra sao? 2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu 2.1 Lí thuyết nhân chủng học didactic 2.1.1 Quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá nhân X đối với một đối tượng tri thức O, kí hiệu R(X, O), là tập hợp tất cả những tác động qua lại mà X có thể có với O. R( X, O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu như thế nào về O, X có thể thao tác O ra sao. Theo quan điểm này thì việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O là sự điều chỉnh mối quan hệ của X đối với O. Cụ thể, việc học tập xảy ra nếu quan hệ R(X, O) được thiết lập hoặc bị biến đổi. Trên cơ sở lí luận này, khi phân tích mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với đối tượng tri thức là phép kéo theo, phép tương đương ta có thể tìm được những yếu tố trả lời cho câu hỏi thứ ba. 2.1.2 Mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức. Cách tiếp cận sinh thái Một cá nhân không thể tồn tại độc lập mà luôn luôn phải ở trong ít nhất một thể chế. Do đó, mối quan hệ R( X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Một đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào. Nói cách khác, O sống trong một mối quan hệ chằng chịt với các đối tượng khác. O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Theo cách tiếp cận sinh thái thì O chỉ có thể phát triển nếu có một lí do tồn tại, nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan hệ và ràng buộc ấy. Theo Chevallard, quan hệ thể chế I với tri thức O, R(I, O) là tập hợp các mối quan hệ, ràng buộc mà thể chế I có với O, nó cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì trong I… Như vậy, phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O là phép kéo theo, phép tương đương giúp ta tìm được những yếu tố trả lời cho các câu hỏi thứ hai. 2.1.3 Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Xây dựng mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế của hoạt động đó là cần thiết. Xuất phát từ lí luận này, Chevallard đưa ra khái niệm praxéologie là một bộ phận gồm 4 thành phần (T, , , ) trong đó, T là kiểu nhiệm vụ,  là kĩ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích và biện minh cho  ,  là lí thuyết giải thích cho công nghệ  đó. Một praxéologie mà các thành phần mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique). Theo Bosch và Chevallard (1999): “ Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện nhờ vào những kĩ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau ở đó nó là một chủ thể, dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó đối với đối tượng nói trên”. Theo quan điểm này thì việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế và mối quan hệ cá nhân đối với cùng một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua việc phân tích các tổ chức toán học. Nói cách khác, cách tiếp cận theo các tổ chức toán học là công cụ tiếp cận mối quan hệ thể chế và công cụ phân tích thực tế dạy học. 2.2 Khái niệm chuyển đổi didactic Dưới đây, chúng tôi trình bày vắn tắt khái niệm chuyển đổi didactique, một khái niệm phổ biến trong ngành didactique. “Mọi tri thức S đều gắn với ít nhất một thể chế I mà trong đó tri thức được vận dụng vào một lĩnh vực thực tiễn D nào đó. Điều chủ yếu là một tri thức không tồn tại một cách riêng lẻ bên lề xã hội: mọi tri thức đều xuất hiện vào một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định như đã ăn sâu vào một hoặc nhiều thể chế.” (Chevallard 1989)1 Để có thể tồn tại trong một thể chế, mọi tri thức đều phải chịu một số điều kiện ràng buộc nhất định mà chúng tôi cho rằng không đồng nhất giữa các thể chế khác nhau. Chevallard chấp nhận tiên đề về sự tồn tại của các thể chế chuyển đổi cho phép một tri thức chuyển từ thể chế này sang thể chế khác: thể chế chuyển đổi là một thể chế vô hình mà Chevallard gọi là noosphère (1985). Khi thể chế đích là thể chế dạy học, sự chuyển đổi tri thức sẽ được gọi là chuyển đổi didactique. Đối với tri thức toán học, chúng tôi sẽ sử dụng thuật ngữ tri thức bác học để chỉ tri thức tham chiếu (savoir de référence) được huy động để hợp thức hoá một tri thức nào đó trong thể chế dạy học. Sự chuyển đổi didactique có thể tóm tắt theo sơ đồ dưới đây: Tri thức bác học (Thể chế sản sinh) ↓ Đối tượng cần dạy (Thể chế chuyển đổi) ↓ Đối tượng được dạy (Thể chế dạy học) 2.3 Khái niệm hợp đồng didactic Theo Brousseau, “hợp đồng didactic là tập hợp các cách ứng xử (chuyên biệt) của thầy được học sinh mong đợi và tập hợp những ứng xử của học sinh mà thầy mong đợi… Đó là tập hợp các qui tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán học được giảng dạy. Nói cách khác, hợp đống chi phối mối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm”. Như vậy, việc xác định các qui tắc của hợp đồng didactic sẽ cho phép chúng tôi lý giải được một phần những ứng xử của giáo viên và học sinh trong thực tế dạy và học liên quan đến phép kéo theo và phép tương đương. 3. Mục đích nghiên cứu Mục đích tổng quát của luận văn này là tìm những yếu tố trả lời cho các câu hỏi trên. Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu Chúng tôi trình bày lại các câu hỏi như sau: Q1. Những đặc trưng khoa học luận của phép kéo theo, phép tương đương? Q2. Sự tiến triển của chuyển đổi didactic các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương qua các thời kỳ? Những yếu tố không thay đổi? Những yếu tố mất đi? Những yếu tố mới xuất hiện? Những yếu tố được biến đổi? Q3. Trong hệ thống dạy học toán ở THPT, mối quan hệ thể chế với đối tượng phép kéo theo và tương đương đã được xây dựng và tiến triển ra sao? Nó phải chịu những điều kiện và ràng buộc nào? Q4. Những qui tắc nào của hợp đồng didactic có thể được hình hành giữa giáo viên và học sinh trong sự vận hành tri thức PKT và PBĐTĐ với các kiểu nhiệm vụ cụ thể? 4. Phương pháp nghiên cứu Để hoàn thành luận văn trên, chúng tôi tiến hành nghiên cứu gồm các bước như sau: - Phân tích tổng hợp các nghiên cứu khoa học luận về lịch sử hình thành khái niệm phép kéo theo và phép tương đương để từ đó nắm rõ đặc trưng khoa học luận. - Phân tích các chương trình sách giáo khoa qua các giai đọan, sách tham khảo để làm sáng tỏ mối quan hệ thể chế với đối tượng phép kéo theo và phép tương đương, đặc biệt là các ràng buộc thể chế của các khái niệm này. - Nghiên cứu sự vận hành của phép kéo theo và phép tương đương trong thực hành giải toán (2 kiểu nhiệm vụ T11,T12 và đặc biệt tìm m để hai phương trình tương đương. . .). - Xây dựng phiếu thực nghiệm để kiểm định giả thuyết đặt ra và bổ sung thêm những giả thuyết mới. 5. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 4 chương sau: Mở đầu Chương 1: Nghiên cứu khoa học luận - Nghiên cứu sự ra đời và phát triển của phép kéo theo, phép tương đương các kí hiệu , . - Rút ra đặc điểm khoa học luận của PKT, PTĐ. Chương 2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm phép kéo theo và phép tương đương. - Phân tích PKT, PTĐ trong chương trình SGK Việt Nam o Giai đoạn 1975 - 1990 (M1) o Giai đoạn 2006 - 2008 Nâng cao (M3) - Rút ra mối quan hệ thể chế với khái niệm PKT,PTĐ. Chương 3: Sự vận hành của phép kéo theo, phép tương đương trong 2 kiểu nhiệm vụ T11, T12 và T13 - Nghiên cứu sự vận hành của PKT,PBĐTĐ trong kiểu nhiệm vụ T11, T12, T13. - Kết luận, đưa ra giả thuyết nghiên cứu Chương 4: Thực nghiệm - Bài tập dành cho HS. CHƯƠNG I: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM PHÉP KÉO THEO, PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG LỊCH SỬ. 1. Mục đích phân tích Như đã làm rõ trong phần mở đầu, mục đích của chương này là tiến hành phân tích, tổng hợp một số công trình lịch sử hay khoa học luận về các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương để làm rõ đặc trưng cơ bản của đối tượng này trong quá trình phát sinh và phát triển của nó. Cụ thể, nó nhắm tới trả lời các câu hỏi sau: Khái niệm PKT, PTĐ đã hình thành và phát triển qua những giai đoạn lịch sử nào, trong những phạm vi nào, dùng để giải quyết các bài toán nào? Những quan niệm về khái niệm PKT, PTĐ đã xuất hiện? Những quan niệm này có những đặc trưng cơ bản nào? 2. Phép kéo theo Lịch sử phát triển của phép kéo theo có thể chia làm 3 giai đoạn với các quan niệm khác nhau. 2.1 Giai đoạn 1: Từ thời Hy Lạp cổ đại đến đầu thế kỷ 17 2.1.1 Quan niệm của Aristotle (QNA) về suy luận lôgic Theo Michal Walicki [10, tr.2], thông qua các cuộc thảo luận về chính trị và triết học, các nhà tư tưởng dần dần nâng cao các con đường lý luận khác nhau. Các nhà triết học nghiêm túc không tin tưởng vào các nhà ngụy biện . Lo lắng về nguy cơ trái đạo đức từ các cuộc tranh cãi của các nhà ngụy biện, Plato đã cố gắng chống lại chúng bằng cách lao vào các cuộc thảo luận về đạo đức và tuyên bố rằng đã có một logic mạnh mẽ là phép biện chứng. Tuy nhiên, gần như không có gì có thể học hỏi từ đó. Sự phát triển của "lý luận chính xác" lên đến đỉnh điểm tại Hy Lạp cổ đại với Aristotle (384-322 trước Thiên Chúa), người đưa vào giảng dạy các categorical forms (hình thức rõ ràng) và Syllogisms (tam đoạn luận) một cách hệ thống và khá đầy đủ trong bộ Organon. Theo ông, một mệnh đề là đúng khi nó là một phát biểu đúng. Trong toàn bộ học thuyết của mình, hầu hết ông đều sử dụng mệnh đề đúng và các mệnh đề này có kiểu là mệnh đề triết học hoặc đời sống. Aristotle đã định nghĩa “Tam đoạn luận là ngôn ngữ mà trong đó, nếu một cái gì đó được giả định, thì tất yếu rút ra một cái gì đó khác hẳn với cái đã cho....” Được Aristotle hình thức hóa đầu tiên, tam đoạn luận là một phương thức lập luận lôgic đi từ hai mệnh đề (còn gọi là tiền đề) đến một kết luận. Ví dụ: Mọi người đều phải chết, Socrates là người, vậy Socrates phải chết là một tam đoạn luận. Trong tam đoạn luận, hai tiền đề (còn gọi là đại tiền đề và tiểu tiền đề) là những mệnh đề cho trước và được giả định là đúng. Tam đoạn luận cho phép hợp thức hóa tính xác thực hình thức của kết luận. Tam đoạn luận học không chỉ thu hút sự quan tâm của các nhà triết học kinh viện trung cổ mà còn cả Antoine Arnauld, Gottfried Leibniz và Emmanuel Kant. Nó được xem là tiền thân của lôgic toán hiện đại và được giảng dạy đến tận cuối thế kỷ 19. Có thể sơ đồ hóa tam đoạn luận của Aristotle bằng ngôn ngữ của phép kéo theo hiện đại như sau: (P  Q) = 1 (A  P) = 1 (A  Q) = 1 Dù chưa thể hiện một cách toàn diện và chính xác các ý tưởng của phép kéo theo, tam đoạn luận của Aristotle là cố gắng đầu tiên trong việc xây dựng một cơ sở của lôgic hình thức cho phép suy diễn một mệnh đề thứ ba từ hai tiền đề ban đầu. Phép kéo theo được sử dụng như một công cụ, phương pháp của các nhà triết học. 2.1.2 Quan niệm của Euclide (QNE) (330 275 TCN) về phép kéo theo Trong lịch sử toán học, người đầu tiên đưa ra phương pháp tiên đề là nhà toán học Hy Lạp Euclide. Ông đưa ra một hệ tiên đề dựa trên cơ sở công nhận, không cần chứng minh sau: 1. Hai điểm bất kỳ không trùng nhau xác định một đường thẳng và chỉ duy nhất một đường thẳng đó. 2. Ba điểm bất kỳ không thẳng hàng xác định một và chỉ duy nhất một mặt phẳng. 3. Nếu có ít nhất hai điểm khác nhau của một đường thẳng mà cùng thuộc về một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc về mặt phẳng đó. 4. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một giao tuyến chung. 5. Từ một điểm ngoài một đường thẳng, có thể kẻ được một và duy nhất chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. (Tiên đề song song) Từ hệ tiên đề trên, Euclide chỉ dùng suy diễn toán học để xây dựng bộ môn hình học mang tên ông. Tác phẩm Nguyên lý (hoặc Cơ bản, tiếng anh là Elements) là minh chứng rõ ràng nhất. Ngày nay người ta vẫn khẳng định rằng: Tác phẩm Nguyên lý của Euclide, chứng tỏ ông đã thành công ở mức độ cao trong việc cố gắng tìm cách xây dựng hình học theo một lý luận chặt chẽ. Tác phẩm Nguyên lý gồm 13 quyển. Quyển I nói về các trường hợp bằng nhau của tam giác, sự so sánh về cạnh và góc trong một tam giác, sự vuông góc và sự song song của các đường thẳng. Trong quyển này cũng đề cập tới các tính chất của hình bình hành, diện tích một số hình phẳng và định lí Pitago. Quyển II nói về sự đẳng hợp của các hình phẳng. Quyển III nói về đường tròn và một số vấn đề có liên quan trực tiếp tới đường tròn, chẳng hạn như các tính chất của tiếp tuyến, dây cung của đường tròn. Ðặc biệt, ở đây có định lí về phương tích của một điểm đối với một đường tròn. Quyển IV nói về phép dựng các đa giác đều nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn với số cạnh bằng 3, 4, 5, 10, 15. Quyển V nói về lí thuyết tỉ lệ thức thông qua nội dung hình học, với lí luận khá chặt chẽ và chính xác. Quyển VI nói về lí thuyết đồng dạng của các hình phẳng. Các quyển VII, VIII, IX có nội dung số học, nhưng được trình bày dưới dạng hình học. Quyển X nói về các phép dựng hình để tìm căn bậc hai của các số tự nhiên. Quyển XI nói về vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng, về góc đa diện và các hình chóp có cùng chiều cao và cùng diện tích đáy. Quyển XII nói về diện tích hình tròn, thể tích các hình khối đồng dạng, thể tích các hình lăng trụ, chóp, trụ, nón. Quyển XIII nói về hình cầu, diện tích mặt cầu, tính thể tích hình cầu. Quyển này cũng nói về khối đa diện đều và đã khẳng định được rằng chỉ có năm loại khối đa diện đều mà thôi. Tác phẩm Nguyên lý là một thành công nổi bật để sắp xếp lại toàn bộ các kiến thức toán học vào trong một hệ thống diễn dịch logic trên nền tảng tiên đề đơn giản. Hầu hết các tiên đề, hay định đề đều được Euclide phát biểu dưới dạng “Nếu P thì Q”. Trong đó P, Q cùng kiểu mệnh đề (Số học, đại số và hình học) và có mối quan hệ nhân quả với nhau. Nói cách khác khi xét giá trị chân lí của mệnh đề Nếu P thì Q, Euclide quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề P, Q. Xem P là nguyên nhân (giả thuyết) để suy luận ra Q. Như vậy, Euclide đã dùng phép kéo theo như một công cụ để giải toán. Quan niệm về phép kéo theo của Euclide gồm những đặc trưng cơ bản sau:  Hình thức thể hiện “Nếu P thì Q”.  Chân trị của P luôn đúng.  Chân trị của P và Q đều là đúng.  P và Q cùng kiểu mệnh đề hình học, số học (được thể hiện dưới dạng hình học).  P và Q có mối quan hệ nhân quả. 2.1.3 Quan niệm của Philo (QNP) về phép kéo theo Theo Wiliam Kneale-Martha Kneale [11, tr.129-131], Philo là người đầu tiên đưa ra bảng chân trị của mệnh đề “Nếu P thì Q” trong cả 4 trường hợp. Tuy nhiên, ông chỉ dùng phương pháp qui nạp thử một số trường hợp rồi suy luận bằng trực giác để thu được kết quả mà chưa chứng minh được chúng. P Q Nếu P thì Q Đúng Đúng Đúng Đúng Sai Sai Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Trước đó trong mệnh đề “Nếu P thì Q” theo quan niệm Euclide thì P và Q phải cùng kiểu mệnh đề và có mối quan hệ nhân quả. Từ bảng chân trị trên ta thấy rõ ràng, đối với Philo 2 mệnh đề P và Q có thể không cùng kiểu mệnh đề, không có mối quan hệ nhân quả. Nói cách khác khi xét giá trị chân lí của mệnh đề Nếu P thì Q người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề P, Q. Không phân biệt trường hợp P có phải là nguyên nhân để có Q hay không, mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng. Như vậy, bảng chân trị của mệnh đề “Nếu P thì Q”của Philo đánh dấu một bước ngoặt về quan niệm của phép kéo theo. Quan niệm về phép kéo theo của Philo gồm những đặc trưng cơ bản sau:  Hình thức thể hiện “Nếu P thì Q”.  Chân trị của P có thể là đúng hoặc sai.  Chân trị của P và Q có thể đúng hoặc sai.  P và Q có thể có hoặc không cùng kiểu mệnh đề .  P và Q có thể có hoặc không cùng mối quan hệ nhân quả. 2.2 Giai đoạn 2: Thế kỷ 17-18 Theo Michal Walicki [10, tr.8]  “Lingua universalis characteristica” là ý tưởng của Gottfried Leibniz (1646-1716), Leibniz nghiên cứu và đã rất ấn tượng theo phương pháp của người Ai Cập và Trung Quốc trong việc sử dụng hình ảnh, kí hiệu để diễn tả cho khái niệm. Ông là người đầu tiên có ý tưởng đưa ra hệ thống các kí hiệu các phép toán logic trong toán học. Chẳng hạn, Leibniz đã dùng kí hiệu phép kéo theo để diễn đạt tam đoạn luận của Aristotle . Tam đoạn luận của Aristotle Kí hiệu của Leibniz Tất cả A là B Tất cả B là C --------------- Thì Tất cả A là C A = AB; B = BC; ---------- A = AC Leibniz là người tiên phong trong việc sử dụng kí hiệu cho phép kéo theo vào toán học. Hệ thống kí hiệu của Leibniz đánh dấu sự xuất hiện của ngôn ngữ hình thức hoá.  Trong tác phẩm Formal Logic và The Calculus of Inferrence xuất bản năm 1847 của De Morgan(1806-1871). Khi phát biểu công thức De Morgan Kí hiệu của De Morgan Kí hiệu ngày nay A B A B  A B A B   ( )( )A B A B  A B A B   Để chứng minh chúng, De Morgan phải liên tục dùng tới bảng chân trị Phép kéo theo, phép tương đương để chứng minh các công thức của mình. Phép kéo theo đã được thể hiện bằng kí hiệu. Thực tế nó là sự kết hợp giữa quan niệm của Euclide và Philo. Nó được dùng như một công cụ để giải toán và đã có tên. 2.3 Giai đoạn 3: Từ thế kỷ thứ 19 2.3.1 Quan niệm Gottlob Frege cho tới Whitehead và Russell (QNFR) về phép kéo theo  Theo Michal Walicki [10, tr. 12-14 ]. Năm 1879 các nhà toán học Đức trẻ Gottlob Frege (1848 – 1925) đã xuất bản cuốn sách tốt nhất , duy nhất trên logic biểu tượng trong thế kỷ 19, Begriffsschrift ( "Ý tưởng Ký hiệu"). Tiêu đề này được lấy từ bản dịch Trendelenburg của Leibniz. Hệ thống kí hiệu của Frege rất chính xác và đầy đủ . Ông là người đầu tiên bao hàm toàn diện lý thuyết hệ thống hoá logic hình thức. Có công lớn trong việc hệ thống hóa toàn bộ logic về mặt lý thuyết. Tuy nhiên, nó chỉ ở mức độ lý thuyết và vẫn còn khó hiểu nên còn ít người biết tới.  Russell (1872 -1970 là nhà toán học có bổ sung và hoàn thiện thêm hệ thống hoá logic hình thức của Frege trong giải toán . Thì Begriffsschrift của Frege mới được nhiều người biết tới. Theo Wiliam Kneale-Martha Kneale [11, tr.530-531] Whitehead và Russell đã định nghĩa Phép kéo theo như sau: P kéo theo Q là một mệnh đề, kí hiệu là P  Q, chỉ sai khi P đúng và Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại. Bảng chân trị của phép kéo theo P Q P Q Đúng Đúng Đúng Đúng Sai Sai Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Trải qua hơn 2000 năm phát triển, cuối cùng phép kéo theo đã được định nghĩa tường minh, được xem như là đối tượng và công cụ để giải toán. Do đó, phép kéo theo đã xuất hiện tường minh, có tên, được định nghĩa, là đối tượng và công cụ để giải toán. Quan niệm về phép kéo theo của Frege và Russell gồm những đặc trưng cơ bản sau:  Hình thức thể hiện “P Q”.  Chân trị của P có thể là đúng hoặc sai.  Chân trị của P và Q có thể là đúng hoặc sai.  P và Q có thể có hoặc không cùng kiểu mệnh đề .  P và Q có thể có hoặc không cùng mối quan hệ nhân quả. 2.3.2 Quan niệm của Alfred David Hilbert (QNH) về phép kéo theo Theo Wiliam Kneale-Martha Kneale [11, tr.699-700] Hilbert (1862-1943) định nghĩa Phép kéo theo như sau: P kéo theo Q là một mệnh đề, kí hiệu là P Q, chỉ sai khi P đúng và Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại. Bảng chân trị của phép kéo theo P Q P Q Đúng Đúng Đúng Đúng Sai Sai Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Định nghĩa về phép kéo theo của Hilbert là định nghĩa hoàn chỉnh nhất tính đến thời điểm hiện tại. Là sự kết hợp các quan niệm của Euclide, Philo, Frege và Russell và ý tưởng hình thức hóa của riêng ông. Phép kéo theo đã xuất hiện tường minh, có tên, được định nghĩa, là đối tượng và công cụ để giải toán. Nó có cơ chế toán học.  Hình thức thể hiện “P Q”.  Chân trị của P có thể là đúng hoặc sai.  P và Q có thể có hoặc không cùng kiểu mệnh đề .  P và Q có thể có hoặc không cùng mối quan hệ nhân quả. 2.4 Kết luận về Phép kéo theo Các phân tích và tổng hợp trên về lịch sử tiến triển của khái niệm phép kéo theo đã cho những câu trả lời đặt ra ban đầu. Sau đây là tóm tắt một số đặc trưng khoa học luận cơ bản của phép kéo theo. Cũng như các khái niệm toán học khác, khái niệm phép kéo theo đã trải qua 3 giai đoạn phát triển.  Ở giai đoạn đầu tiên từ Hy lạp cổ đại đến giữa thế kỷ 17, khái niệm phép kéo theo có những đặc trưng sau:  QNE:  Hình thức thể hiện “Nếu P thì Q”.  Chân trị của P là đúng.  P và Q có cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học).  P và Q có mối quan hệ nhân quả.  QNP:  Hình thức thể hiện “Nếu P thì Q”.  Chân trị của P có thể là đúng hoặc sai.  P và Q có thể có hoặc không cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học).  P và Q có thể có hoặc không cùng mối quan hệ nhân quả.  Giai đoạn thứ hai, từ thế kỷ thứ 17 đến thế kỷ 18, khái niệm phép kéo theo có những đặc trưng cơ bản sau:  QNL :  Hình thức thể hiện “P=PQ”.  Chân trị của P có thể là đúng hoặc sai.  P và Q có thể có hoặc không cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học, giải tích).  P và Q có thể có hoặc không cùng mối quan hệ nhân quả.  Giai đoạn thứ ba, từ thế kỷ 19 đến thế kỷ 20, khái niệm phép kéo theo với các quan niệm sau:  QNFR  Hình thức thể hiện “PQ”.  Chân trị của P có thể là đúng hoặc sai.  P và Q có thể có hoặc không cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học, giải tích, đại số).  P và Q có thể có hoặc không cùng mối quan hệ nhân quả.  QNH  Hình thức thể hiện “PQ”.  Chân trị của P có thể là đúng hoặc sai.  P và Q có thể có hoặc không cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học, giải tích, đại số).  P và Q có thể có hoặc không cùng mối quan hệ nhân quả. 2.5 Bảng tóm tắt sự phát triển của phép kéo theo trong lịch sử toán học Giai đoạn Thời kỳ Hy lạp cổ đại TK 17-18 TK 19-20 Quan niệm QNE QNP QNL QNFR QNH Đại diện Euclide Philo Leibniz Frege Russell Hilbert Kiểu mệnh đề P,Q Hình học, Số học Hình học, Số học Gỉai tích Đại số Đại số, Gỉai tích, Hình học và Số học P và Q có cùng kiểu mệnh đề? Có Có thể có hoặc không P và Q có mqh nhân qủa ? Có Có thể có hoặc không Chân trị của P Đúng Có thể Đúng hoặc Sai Kí hiệu P kéo theo Q Nếu P thì Q P=PQ PQ PQ 3. Phép tương đương 3.1 Giai đoạn 1:Thời Hy Lạp cổ đại đến đầu thế kỷ 19. 3.1.1 Quan niệm của Aristotle (QNA1 Theo Michal Walicki [10, tr.03]. Aristotle tự đặt câu hỏi làm thế nào để thay thế một phát biểu dưới hình thức khác mà không ảnh hưởng đến việc đề xuất? Chẳng hạn, Aristotle cho rằng: Phát biểu “Mọi β là α “ tương đương với phát biểu “α thuộc về mọi β” . Từ đó ông đi đến thừa nhận rằng: Hai phát biểu tương đương với nhau nếu chúng có cùng chân trị đúng. Những phát biểu của ông ở đây chỉ là trong lĩnh học triêt học và cuộc sống chứ không phải toán học. Như vậy, phép tương đương được dùng như một công cụ, phương pháp của các nhà triết học, nó đã có tên. Các đặc trưng cơ bản của phép tương đương:  Hình thức thể hiện “P is equivalent to Q”.  Chân trị của P và Q đều đúng.  P và Q cùng kiểu mệnh đề (cuộc sống, triết học) .  P và Q có mối quan hệ nhân quả. 3.1.2 Quan niệm của De Morgan (QNM1) về phép tương đương Trong tác phẩm Formal Logic và The Calculus of Inferrence xuất bản năm 1847 của De Morgan(1806-1871). Khi phát biểu công thức De Morgan Kí hiệu của De Morgan Kí hiệu ngày nay A B A B  A B A B   ( )( )A B A B  A B A B   Để chứng minh chúng, De Morgan phải liên tục dùng tới bảng chân trị Phép kéo theo, phép tương đương để chứng minh các công thức của mình. Phép tương đương đã được dùng như một công cụ để giải toán và đã có tên. Các đặc trưng cơ bản của phép tương đương:  Hình thức thể hiện “P is equivalent to Q”.  Chân trị của P và Q đều đúng.  P và Q cùng kiểu mệnh đề (cuộc sống, triết học) .  P và Q có mối quan hệ nhân quả. 3.1 Giai đoạn 2:Từ thế kỷ 19.  Theo Michal Walicki [10, tr. 12-14 ]. Năm 1879 các nhà toán học Đức trẻ Gottlob Frege (1848 – 1925) đã xuất bản cuốn sách tốt nhất , duy nhất trên logic biểu tượng trong thế kỷ 19, Begriffsschrift ( "Ý tưởng Ký hiệu"). Hệ thống kí hiệu của Frege rất chính xác và đầy đủ . Ông là người đầu tiên bao hàm toàn diện lý thuyết hệ thống hoá logic hình thức. Có công lớn trong việc hệ thống hóa toàn bộ logic về mặt lý thuyết. Tuy nhiên, nó chỉ ở mức độ lý thuyết và vẫn còn khó hiểu nên còn ít người biết tới.  Quan niệm của Russell (QNR1) về phép tương đương Theo Wiliam Kneale-Martha Kneale [11, tr.530-531] Russell (1872 -1970) có đưa ra định nghĩa về phép tương đương như sau. Cho P, Q là 2 mệnh đề cho trước. mệnh đề P tương đương Q kí hiệu là P  Q, Chân trị của mệnh đề P  Q được xác định bởi Bảng chân trị P Q P  Q Đúng Đúng Đúng Đúng Sai Sai Sai Đúng Sai Sai Sai Đúng Phép tương đương đã được thể hiện bằng kí hiệu, nó được dùng như một công cụ để giải toán, đã có tên và được định nghĩa. Các đặc trưng cơ bản của phép tương đương:  Hình thức thể hiện “P  Q”.  Chân trị của P và Q có thể đúng hoặc sai.  P và Q có thể có hoặc không cùng kiểu mệnh đề (cuộc sống, triết học) .  P và Q có thể có hoặc không có mối quan hệ nhân quả.  Năm 1920 Hilbert đề nghị một dự án nghiên cứu rõ ràng (về metamathematics, như là nó được gọi) mà sau đó được biết đến như là chương trình Hilbert. Ông muốn toán học phải được hệ thống hóa trên một nền tảng logic vững chắc và đầy đủ. Chương trình này vẫn được công nhận là nổi tiếng nhất về triết học của toán học, nơi mà nó thường được gọi là hình thức hóa. Toàn bộ Logic học được viết và xây dựng lại trên cơ sở tiên đề. 3.2 Kết luận về Phép tương đương Các phân tích và tổng hợp trên về lịch sử tiến triển của khái niệm phép tương đương đã cho những câu trả lời đặt ra ban đầu. Sau đây là tóm tắt một số đặc trưng khoa học luận cơ bản của phép tương đương. Khái niệm phép tương đương đã trải qua 2 giai đoạn phát triển.  Ở giai đoạn đầu tiên Hy lạp cổ đại, khái niệm phép tương đương với quan niệm QNA1 với các đặc trưng cơ bản sau:  Hình thức thể hiện “P tương đương với Q”.  Chân trị của P, Q đều đúng.  P và Q có cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học).  P và Q có mối quan hệ nhân quả.  Giai đoạn thứ ba, từ thế kỷ 19 đến thế kỷ 20, khái niệm phép kéo theo có những đặc trưng sau:  QNM  Hình thức thể hiện “P tương đương với Q”.  Chân trị của P, Q là đúng hoặc sai.  P và Q có thể có hoặc không cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học, giải tích, đại số).  P và Q có thể có hoặc không cùng mối quan hệ nhân quả.  QNFR1  Hình thức thể hiện “PQ”.  Chân trị của P, Q là đúng hoặc sai.  P và Q có thể có hoặc không cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học, giải tích, đại số).  P và Q có thể có hoặc không cùng mối quan hệ nhân quả. 3.3 Bảng tóm tắt sự phát triển của phép tương đương trong lịch sử toán học Giai đoạn Thời kỳ Hy lạp cổ TK 19-20 Quan niệm QNA1 QNM QNR1 Đại diện Aristotle De Morgan Frege Russell Kiểu mệnh đề Triết học, Cuộc sống Đại số Đại số, Gỉai tích, Hình học và Số học P và Q có mqh nhân qủa Có Có thể có hoặc không Chân trị của P Đúng Đúng, Sai Chân trị của Q khi P đúng Đúng Đúng, Sai Kí hiệu P tương đương Q equipvelent equipvelent  4._.. Các kí hiệu phép kéo theo, phép tương đương từ thế kỉ 20 Các kí hiệu phép kéo theo, phép tương đương đã được các nhà toán học sử dụng trong lịch sử. Sau đây là một số ký hiệu thông dụng. Kí hiệu Năm Bởi nhà toán học Tài liệu, trang, tác giả → (Implication) 1922 David Hilbert The symbol is found on p. 166. [Wilfried Neumaier]  (Implication) 1954 Nicholas Bourbaki The symbol appears on p. 14. [Wilfried Neumaier] ↔ (Equivalence) 1936 Wilhelm Ackermann. The symbol appears on p. 306. [Wilfried Neumaier]  (Equivalence) 1954 Nicholas Bourbaki The symbol appears on p. 32. [Wilfried Neumaier] CHƯƠNG II: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI CÁC KHÁI NIỆM PHÉP KÉO THEO, PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Mục tiêu của chương Chương này có mục đích thực hiện một nghiên cứu về quan hệ thể chế với các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương. Cụ thể hơn, chương này nhằm trả lời các câu hỏi sau: - Các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương đã được đưa vào chương trình, sách giáo khoa THPT như thế nào? Những tổ chức toán học nào được xây dựng xung quanh các khái niệm này? Những đặc trưng của chúng? - Những đặc trưng khoa học luận nào của các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương được hiện diện trong chương trình THPT? - Những điều kiện và ràng buộc của thể chế lên việc dạy học các khái niệm này? Để nghiên cứu, chúng tôi chọn chương trình và sách giáo khoa ban nâng cao hiện hành vì chúng tôi cho rằng các yêu cầu thể chế trong ban nâng cao sẽ được thể hiện rõ hơn so với ban cơ bản. Một cách cụ thể, chúng tôi đã phân tích chương trình, sách giáo viên, sách giáo khoa và sách bài tập Đại số lớp 10 ban nâng cao. 2. Mối quan hệ thể chế với khái niệm phép kéo theo, phép tương đương 2.1 Tình huống định nghĩa phép kéo theo, phép tương đương Ngay bài đầu tiên của SGK Đại số 10, Bài 1 Mệnh đề và mệnh đề chứa biến, chương 1 sách giáo khoa có đưa vào định nghĩa mệnh đề kéo theo ở trang 5. Tiến trình này vẫn theo cách định nghĩa truyền thống, nghĩa là theo tuần tự có thể sơ đồ hoá như sau: Trong đó, từ liên hệ với ví dụ của thực tế cuộc sống, noosphèere dẫn dắt vào định nghĩa mệnh đề. Mệnh đề kéo theo được định nghĩa thông qua định nghĩa mệnh đề. Sau đó, mệnh đề và mệnh đề kéo theo là cơ sở để định nghĩa mệnh đề tương đương.  Định nghĩa Mệnh đề kéo theo (SGK, trang 5) Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P  Q. Mệnh đề P  Q sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại. ĐN mệnh đề ĐN mệnh đề kéo theo ĐN mệnh đề tương đương Tuỳ theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề P  Q là “P kéo theo Q” hay “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”. . . Ta thường gặp các tình huống sau: -Cả hai mệnh đề P và Q đều đúng. Khi đó P  Q là mệnh đề đúng. - Mệnh đề P đúng và Q sai. Khi đó P  Q là mệnh đề sai.  Định nghĩa Mệnh đề tương đương (SGK, trang 6) Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P Q. Mệnh đề PQ đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo PQ và QP đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại. Đôi khi, người ta phát biểu mệnh đề P Q là “P khi và chỉ khi Q”. Mệnh đề P  Q đúng nếu cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai. Khi đó ta nói rằng hai mệnh đề P và Q tương đương với nhau. Từ trên ta thấy rằng các tên gọi phép kéo theo, phép tương đương không được đưa vào sách giáo khoa. Các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương không được định nghĩa như là các phép toán (hai ngôi) trên tập hợp các mệnh đề, biến hai mệnh đề cho trước thành một mệnh đề thứ ba có chân trị thỏa mãn những điều kiện nào đó. Thay vào đó, sách giáo khoa định nghĩa các khái niệm mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương mà bản chất toán học của chúng tương ứng là kết quả của phép kéo theo, phép tương đương. Bảng chân trị của hai loại mệnh đề này không được thể hiện rõ ràng trong định nghĩa. Chẳng hạn, trường hợp mệnh đề kéo theo P  Q, sách giáo khoa chỉ ghi “Mệnh đề P  Q sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại”. Sau đó, sách giáo khoa tiếp tục nhấn mạnh chân trị của P  Q trong hai trường hợp đặc biệt: P, Q đều đúng, P đúng và Q sai. Điều này cho phép chúng tôi giả định rằng sách giáo khoa quan tâm đến kết quả của phép kéo theo, phép tương đương nhiều hơn là bản chất của hai phép toán lôgic hai ngôi này. Do đó, sách giáo khoa đã đưa vào mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương thay vì phép kéo theo, phép tương đương. Cụ thể hơn, trong phần nội dung chi tiết, mục tiêu của Tiết 1 Mệnh đề và mệnh đề chứa biến SGV trang 36,37  Về kiến thức - Nắm được khái niệm MĐ, nhận biết được một số câu có phải là MĐ hay không? - Nắm được các khái niệm MĐ phủ định, kéo theo, tương đương. - Biết được MĐ chứa biến.  Về kỹ năng - Biết lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, MĐKT và MĐTĐ từ hai mệnh đề đã cho và xác định được tính đúng sai của mệnh đề này.. Như vậy, trong tiết 1, chương 1 Đại số lớp 10, thay vì đưa vào phép kéo theo, phép tương đương, sách giáo khoa đưa vào mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương bằng cách định nghĩa chân trị với mục tiêu “giúp học sinh biết lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương từ hai mệnh đề đã cho và xác định được tính đúng sai của mệnh đề này”. 2.2 Các tổ chức toán học có liên quan đến mệnh đề kéo theo và đến mệnh đề tương đương của chương trình SGK 10 (Ban Nâng cao) Trong mục này, chúng tôi mô tả các tổ chức toán học có liên quan đến phép kéo theo, phép tương đương trong sách giáo khoa Toán 10 (nâng cao) dựa vào việc xem xét các kiểu nhiệm vụ sau đây của sách giáo khoa: T1. Xét P, Q là hai mệnh đề toán học cho trước được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường. Phát biểu mệnh đề P  Q bằng ngôn ngữ thông thường Dưới đây, chúng tôi chọn ra từ sách giáo viên và sách giáo khoa một số ví dụ về nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T1 kèm theo lời giải mong đợi của thể chế.  Bài tập H 3 trang 6 SGK: Xét các mệnh đề P: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3”; Q:”36 chia hết cho 12”. Phát biểu mệnh đề P  Q, Q  P [...].  Lời giải (Trích từ SGV, trang 39) P  Q: “Vì 36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 nên 36 chia hết cho 12”2 Q  P: “Vì 36 chia hết cho 12 nên 36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3”3  Bài 14 trang 13 SGK Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề P: “Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối là 180o”; Q: “Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp”. 2 Chúng tôi nhấn mạnh. 3 Chúng tôi nhấn mạnh. Hãy phát biểu mệnh đề P  Q [...].  Lời giải (Trích từ SGV, trang 49) Mệnh đề P  Q: “Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối là 1800 thì tứ giác đó nội tiếp trong một đường tròn”.4  Bài 15 trang 14 SGK. Xét hai mệnh đề P: “4686 chia hết cho 6”; Q: “4686 chia hết cho 4”. Hãy phát biểu mệnh đề P  Q .  Lời giải (Trích từ SGV, trang 49) Mệnh đề P  Q: “Nếu 4686 chia hết cho 6 thì 4686 chia cho 4”. 5 Các lời giải nói trên cho phép chúng tôi rút ra kỹ thuật giải 11, 12, 13 công nghệ MĐKT và lý thuyết  của kiểu nhiệm vụ T1.  Kĩ thuật giải 11 :Đặt từ nếu ngay trước mệnh đề P, từ thì ngay sau mệnh đề P và ngay trước mệnh đề Q. 12 : Đặt từ suy ra (kéo theo) ngay sau mệnh đề P và ngay trước mệnh đề Q. 13 :Đặt từ vì ngay trước mệnh đề P, từ nên ngay sau mệnh đề P và ngay trước mệnh đề Q.  Công nghệ MĐKT. Định nghĩa mệnh đề kéo theo của sách giáo khoa.  Lý thuyết . Logic học hình thức.  Nhận xét:  Kĩ thuật giải 12 được đề cập một lần duy nhất trong định nghĩa mệnh đề kéo theo, nhưng lại không xuất hiện trong bài tập nào trong sách giáo khoa. Điều này cho thấy thể chế không mong muốn dùng 12 để giải quyết kiểu nhiệm vụ T1.  Kĩ thuật giải 11, 13 xuất hiện trong định nghĩa và đều được sử dụng để giải toán. Cụ thể , kĩ thuật giải 11 được dùng để giải trong bài 14 và bài 15 trên (mỗi bài 1 lần), kĩ thuật giải 13 được dùng để giải hoạt động H3 (2 lần). Do đó thể chế ưu tiên dùng 11, 13 để giải quyết kiểu nhiệm vụ T1. Chúng tôi có thể giải thích ý đồ của thể chế như sau: 4 Chúng tôi nhấn mạnh. 5 Chúng tôi nhấn mạnh. Khi phát biểu mệnh đề P  Q thành ngôn ngữ thông thường sẽ được phát biểu dưới dạng “Nếu P thì Q” , “Vì P nên Q” hoặc “P suy ra (kéo theo) Q”. Cặp liên từ “Nếu. . .thì”, “Vì . . .nên” cho chúng ta thấy giữa P và Q có mối quan hệ nhân quả. Còn “suy ra”, “kéo theo” thể hiện tính logic chặt chẽ giữa P và Q. Thể chế mong muốn nhấn mạnh phát biểu mệnh đề P  Q thành ngôn ngữ thông thường sẽ được phát biểu dưới dạng “Nếu P thì Q” , “Vì P nên Q”, nhằm khắc sâu mối quan hệ nhân quả giữa P và Q. Thể chế không nhấn mạnh đến tính logic của P và Q. Điều này hoàn toàn phù hợp với giả định ban đầu chúng tôi “sách giáo khoa quan tâm đến kết quả của phép kéo theo, phép tương đương nhiều hơn là bản chất của hai phép toán lôgic hai ngôi này.”  Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T1  Kí hiệu “  ” có nghĩa tương đương với một trong các cặp liên từ “Nếu . . .thì ”, “. . . suy ra . . .” hoặc “Vì . . . nên ”.  Không có kiểu bài tập chuyển từ mệnh đề diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường “Nếu P thì Q” thành mệnh đề được diễn đạt bằng kí hiệu P  Q. Để tiện cho việc trình bày chúng tôi gọi kiểu nhiệm vụ T1’: Phát biểu mệnh đề được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường P  Q thành mệnh đề được diễn đạt bằng kí hiệu P  Q với P, Q là hai mệnh đề toán học cho trước được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường. SGK không hề có bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1’ nhưng lại có tới 4 bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1. Điều đó chứng tỏ thể chế mong muốn học sinh khắc sâu kĩ năng chuyển từ kí hiệu logic sang ngôn ngữ thông thường . Để làm sáng tỏ nhận định trên chúng tôi xét hoạt động  H2 trang 6 SGK: Cho tứ giác ABCD. Xét MĐ P“Tứ giác ABCD là hình chữ nhật” và MĐ Q”Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau”. Hãy phát biểu MĐ P  Q theo nhiều cách khác nhau  Lời ghi chú trong phần lời giải H2 trích SGV trang 39 Mục đích của H2 là luyện tập cho học sinh biết chuyển từ kí hiệu logic sang ngôn ngữ thông thường.  Các mệnh đề hầu hết đều là mệnh đề dạng hình học hoặc số học. Như chúng ta đã biết các mệnh đề dạng số học, hình học thì học sinh đã được học từ cấp 2 nên hoàn toàn dễ hiểu khi 2 dạng mệnh đề trên được đưa vào chương trình mục đích cho học sinh dễ hiểu.  Mệnh đề P, Q trong mệnh đề toán học P  Q có các đặc trưng sau: + Mệnh đề P có chân trị luôn Đúng. + Mệnh đề Q có chân trị là Đúng hoặc sai (đối với kiểu mệnh đề hình học thì Q có chân trị luôn Đúng) + Mệnh đề P,Q có mối quan hệ nhân quả. + Mệnh đề P, Q có cùng kiểu mệnh đề( số học, hình học, đại số. . .). Các đặc trưng của mệnh đề P và Q như trên chúng tôi rút ra từ việc thống kê số liệu cụ thể của các bài tập thuộc kiểu T1. T2:Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu P thì Q” . Trong kiểu nhiệm vụ 2 chỉ có đúng 2 bài tập đó là  VD5 trang 6 SGK Cho tam giác ABC. Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì nó là tam giác cân” là mệnh đề “Nếu tam giác ABC là tam giác cân thì nó là tam giác đều”6.  Bài 6 trang 12 SGK Phát biểu mệnh đề đảo của định lí “Trong một tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau” [...].  Lời giải mong đợi của thể chế trang 49 SGV Mệnh đề đảo: “Nếu tam giác có hai đường cao bằng nhau thì tam giác đó cân”. 7 Mệnh đề đảo đó đúng. Từ lời giải mong đợi của VD5 và bài 6 thuộc kiểu nhiệm vụ T2 trong SGV cho phép nêu lên kĩ thuật giải 21 , 22 , 23 và công nghệ MĐKT tương ứng sau : o Kĩ thuật giải 21 : - Xác định mệnh đề P (nằm giữa hai từ “nếu”…”thì”), Q (nằm sau từ “thì”). - Phát biểu MĐ “Nếu Q thì P”. 22 : - Xác định mệnh đề P (nằm giữa hai từ “nếu”…”thì”), Q (nằm sau từ “thì”). - Phát biểu MĐ “Q suy ra(kéo theo) P”, 23 : - Xác định mệnh đề P (nằm giữa hai từ “nếu”…”thì”), Q (nằm sau từ “thì”). - Phát biểu MĐ “Vì Q nên P”. 6 Chúng tôi nhấn mạnh. 7 Chúng tôi nhấn mạnh. o Công nghệ MĐKT:Định nghĩa mệnh đề kéo theo và MĐĐ Định nghĩa mệnh đề đảo. o Lý thuyết  : Logic hình thức.  Nhận xét:  Kiểu kĩ thuật 21 được ưu tiên tuyệt đối với 2 lần xuất hiện trong 2 bài tập, còn kĩ thuật 22 , 23 không hề được sử dụng. Điều này chứng tỏ thể chế muốn nhấn mạnh kĩ thuật 21 . Vì sao có điều này, theo chúng tôi có thể do thể chế mong muốn trong mệnh đề toán học “Nếu P thì Q”. Mệnh đề P, Q có mối quan hệ nhân quả và cùng kiểu mệnh đề với nhau.  Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T2  Mệnh đề P, Q trong mệnh đề toán học “Nếu P thì Q” có các đặc trưng sau: + Mệnh đề P và Q có chân trị luôn Đúng. + Mệnh đề P,Q có mối quan hệ nhân quả. + Mệnh đề P, Q có cùng kiểu mệnh đề hình học. T3: Xét P, Q là hai mệnh đề toán học cho trước được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường. Xác định tính đúng, sai của MĐ P  Q Các bài tập thuộc kiểu T3 có thể chia làm 2 nhóm, ứng với hai kĩ thuật giải khác nhau: Nhóm bài tập thứ nhất:  VD4 trang 5 SGK Mệnh đề “Vì 50 chia hết 10 nên 50 chia hết cho 5” là Mệnh đề đúng. Mệnh đề “Vì 2002 là số chẵn nên 2002 chia hết cho 4” là Mệnh đề sai.  Bài 15 trang 14 SGK Xét hai mệnh đề. P: “4686 chia hết cho 6”; Q:”4686 chia hết cho 4” Hãy phát biểu mệnh đề dạng P  Q và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.  Lời giải mong đợi của thể chế trang 49 SGV Mệnh đề P  Q: ““Nếu 4686 chia hết cho 6 thì 4686 chia hết cho 4”. Mệnh đề Sai vì P đúng, Q sai. Các lời giải nói trên cho phép chúng tôi rút ra kỹ thuật giải 31 công nghệ 31 và lý thuyết  của kiểu nhiệm vụ T3. o Kĩ thuật giải 31: - Xác định chân trị của mệnh đề P và mệnh đề Q bằng định nghĩa mệnh đề. - Dùng định nghĩa của Mệnh đề kéo theo để xác định chân trị của mệnh đề P  Q. o Công nghệ : MĐKT Định nghĩa mệnh đề kéo theo và MĐ Định nghĩa mệnh đề . o Lý thuyết  : Logic hình thức. Nhóm bài tập thứ hai  Bài 6 trang 12 SGK Phát biểu mệnh đề đảo của định lí “Trong một tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau” Mệnh đề đảo đó đúng hay sai.  Lời giải mong đợi của thể chế trang 46 SGV mệnh đề đảo: “Nếu tam giác có hai đường cao bằng nhau thì tam giác đó cân”. mệnh đề đảo đó đúng.  Bài 14 trang 13 SGK Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối là 1800”; Q:”Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp”. Hãy phát biểu mệnh đề P  Q và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.  Lời giải mong đợi của thể chế trang 49 SGV Mệnh đề P  Q: “Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối là 1800 thì tứ giác đó nội tiếp trong một đường tròn”. Mệnh đề này đúng. Các lời giải nói trên cho phép chúng tôi rút ra kỹ thuật giải 32 công nghệ 32 và lý thuyết  của kiểu nhiệm vụ T3. o Kĩ thuật giải 32 - Từ P đúng nếu ta chứng minh được Q đúng thì mệnh đề P  Q đúng , ngược lại Q sai thì P  Q là sai. o Công nghệ MĐKT Định nghĩa mệnh đề kéo theo. o Lý thuyết  : Logic hình thức. Để thấy rõ hơn các đặc trưng cơ bản của kiểu nhiệm vụ T3 chúng tôi liệt kê tất cả các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T3 thông qua bảng sau: STT Mệnh đề P Mệnh đề Q Chân trị của P P và Q cùng kiểu mệnh đề P và Q có mối quan hệ nhân quả Kiểu mệnh đề 1 50 chia hết 10 50 chia hết cho 5 Đúng Cùng kiểu Có Số học 2 2002 là số chẵn 2002 chia hết cho 4 Đúng Cùng kiểu Có Số học 3 4686 chia hết cho 6 4686 chia hết cho 4 Đúng Cùng kiểu Có Số học 4 Trong một tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên bằng nhau Đúng Cùng kiểu Có Hình học 5 Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối là 1800 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp Đúng Cùng kiểu Có Hình học  Nhận xét: Phân tích bảng trên và các lời giải trình bày trong Sách giáo viên cho phép rút ra các nhận xét lưu ý sau đây. Chúng đặc trưng cho những ràng buộc của thể chế lên kiểu nhiệm vụ T3 và kĩ thuật giải tương ứng. a) Mệnh đề P có chân trị luôn đúng còn Q có thể đúng hoặc sai. + Đối với kiểu mệnh đề số học thì mệnh đề P có chân trị đúng, mệnh đề Q có thể đúng hoặc sai. Kiểm tra chân trị của mệnh đề P rất đơn giản có thể tính nhẩm hoặc dùng MTBT. + Đối với các mệnh đề kiểu hình học thì mệnh đề P có chân trị đúng, Q luôn là các mệnh đề đúng. b) Mệnh đề P,Q có có cùng kiểu mệnh đề hình học, số học và có mối quan hệ nhân quả. Chúng tôi ghi nhận việc giải thích đặc trưng b của thể chế như sau, SGV trang 35,36 Trong đời sống thực tiễn, câu “Nếu P thì Q” được sử dụng khi giữa P và Q có mối quan hệ nhân quả. Tuy nhiên, MĐKT (theo nghĩa toán học, logic hình thức)có ý rộng hơn . Nó không nhất thiết bao hàm quan hệ nhân quả. Gỉa thiết P và kết luận P có thể độc lập với nhau. Nó có thể không mang lại một thông tin có ích nào, thậm chí là một khẳng định “ngô nghê”.. . Tuy nhiên nó vẫn là một MĐ có tính đúng sai rõ ràng. Chẳng hạn ta có thể lập MĐ “Hôm nay là thứ 6 thì 2+3=5” MĐ là đúng vì kết luận là MĐ đúng. mệnh đề “nếu hôm nay là thứ 6 thì 2+3=6” là mệnh đề sai vì nếu ta phát biểu mệnh đề trên vào thứ 6 (P đúng, Q sai);và đúng nếu vào ngày khác vì (P sai, Q sai). Tuy nhiên trong đời sống thực tiễn mệnh đề trên vô nghĩa và rất “ngô nghê”. . Như vậy, để xác định chân trị của P  Q , đặc biệt đối với các mệnh đề kiểu hình học thì học sinh chỉ cần cho P đúng rồi đi chứng minh Q. Nếu Q đúng thì mệnh đề P  Q đúng, ngược lại mệnh đề P  Q là sai. Như vậy ở đây xuất hiện kĩ thuật giải 32 , kĩ thuật này không xuất hiện tường minh trong sách giáo khoa, và như vậy nó ngầm thỏa thuận giữa giáo viên và học sinh. Thỏa thuận ngầm ẩn này còn làm nảy sinh câu hỏi: Khi gặp mệnh đề P  Q thì học sinh luôn cho P là giả thuyết bài toán (nghĩa là P luôn đúng mà không cần kiểm tra hoặc kiểm tra không được thì cho là đúng) và sử dụng P để chứng minh Q, nếu Q đúng thì mệnh đề P  Q đúng ngược lại thì mệnh đề P  Q sai. Những phân tích trên dẫn chúng tôi tới đặt ra những câu hỏi về ảnh hưởng của ràng buộc thể chế trên mối quan hệ của học sinh và giáo viên đối với khái niệm mệnh đề kéo theo  Gíao viên sẽ ngầm tuân thủ các ràng buộc thể chế này? Nghĩa là họ cũng chỉ đề nghị học sinh xác định chân trị của mệnh đề P  Q với các đặc trưng trên.  Học sinh sẽ ứng xử như thế nào trước tình huống giải quyết kiểu nhiệm vụ T3, nhưng trong đó mệnh đề P có chân trị Sai, P và Q có mối quan hệ nhân quả (sẽ khá khó khăn khi xác định tính đúng sai của nó chẳng hạn P=” 20022 1 là số nguyên tố” và Q=” 20022 1 là số chia hết cho 4.”). Phải chăng học sinh sẽ dùng máy tính để kiểm tra và nếu thất bại thì đi đến kết luận là P đúng rồi dùng P như giả thuyết bài toán rồi suy ra chân trị của Q và cả mệnh đề P  Q. Từ các phân tích trên chúng tôi rút ra qui tắc hợp đồng liên quan đến kiểu nhiệm vụ T3:  RP1: Đối với các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T3, giáo viên có trách nhiệm ra mệnh đề toán học P Q có các đặc trưng sau:  Mệnh đề P luôn đúng còn Q có thể đúng hoặc sai (đối với kiểu mệnh đề hình học thì P và Q luôn đúng).  Mệnh đề P và Q cùng kiểu mệnh đề (hình học hoặc số học) và có mối quan hệ nhân quả với nhau,.  RE1: Học sinh thường xem P luôn đúng rồi dùng P như giả thuyết để suy luận ra chân trị của Q. Nếu Q có chân trị đúng thì kết luận mệnh đề PQ là đúng, ngược lại là sai. T4:Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí toán học , ( ) ( )x X P x Q x   ; , ( ) ( )x X P x Q x    Bài 8 trang 12 SGK Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu định lí “Nếu a và b là 2 số hữu tỉ thì tổng a+b cũng là số hữu tỉ”.  Lời giải mong đợi của thể chế trang 46 SGV ĐK đủ để tổng a+b là số hữu tỉ là cả hai số a và b đều là số hữu tỉ.  Bài 9 trang 12 SGK Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần “ để phát biểu để phát biểu định lí “Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5”.  Lời giải mong đợi của thể chế trang 46 SGV ĐK cần để một số tự nhiên chia hết cho 15 là nó chia hết cho 5. (Chú ý: ĐK này không là ĐK đủ; chẳng hạn, 10 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 15)  Bài 51 trang 31 SGK Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu các định lí sau đây. a) Nếu tứ giác MNPQ là một hình vuông thì hai đường chéo MP và NQ bằng nhau. b)Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau. c)Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.  Lời giải mong đợi của thể chế trang 61 SGV a)ĐK đủ để tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và NQ bằng nhau là tứ giác đó là hình vuông. b)Trong mặt phẳng, ĐK đủ để hai đường thẳng song song với nhau là hai đường thẳng đó cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba. c)ĐK đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau là hai tam giác bằng nhau.  Bài 52 trang 32 SGK Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu các định lí sau đây. a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau. b)Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có ít nhất hai đường chéo vuông góc với nhau.  Lời giải mong đợi của thể chế trang 61 SGV a)ĐK cần để hai tam giác bằng nhau bằng nhau là hai tam giác đó có các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau. b)ĐK cần để hai tam giác một tứ giác là hình thoi là tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc. Các lời giải nói trên cho phép chúng tôi rút ra kỹ thuật giải 4 công nghệ 4 và lý thuyết  của kiểu nhiệm vụ T4. o Kĩ thuật giải 4: - Xác định P(x) nằm giữa hai từ “nếu”…”thì”, Q(x) nằm sau từ “thì” trong MĐ , ( ) ( )x X P x Q x   ; , ( ) ( )x X P x Q x   . - ĐK Đủ để có Q(x) là P(x). - ĐK Đủ để có P(x) là Q(x). o Công nghệ ĐKC ĐL ĐK cần và ĐKĐ ĐL ĐK Đủ. o Lý thuyết  : Logic hình thức.  Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T4  10 MĐ dạng hình học, 2 MĐ dạng số học và 2 MĐ dạng đại số.  Trong các MĐ toán học , ( ) ( )x X P x Q x   ; , ( ) ( )x X P x Q x   + P(x),Q(x) có cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học hoặc đại số ) + P(x),Q(x) có mối quan hệ nhân quả. + P(x),Q(x) là các MĐ cùng chân trị (cùng đúng hoặc cùng sai). T5: Xét P, Q là hai mệnh đề toán học cho trước được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường. Phát biểu mệnh đề P Q dưới dạng ngôn ngữ thông thường. Dưới đây, chúng tôi chọn ra từ sách giáo viên và sách giáo khoa một số ví dụ về nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T5 kèm theo lời giải mong đợi của thể chế.  Bài 3 trang 9 SGK Cho tứ giác ABCD . Xét 2 mệnh đề P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”, Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc” Phát biểu mệnh đề P Q bằng hai cách […].  Lời giải mong đợi của thể chế trang 40 SGV Mệnh đề P Q: “Tứ giác ABCD là hình vuông nếu và chỉ nếu Tứ giác đó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc” 8 và “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi Tứ giác đó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc” 9. […].  VD6 trang 6 SGK Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề P: ”Tam giác ABC là tam giác cân” và mệnh đề Q:”Tam giác ABC có hai đường trung tuyến bằng nhau”. Mệnh đề R:”Tam giác ABC là tam giác cân nếu tam giác đó có hai đường trung tuyến bằng nhau và ngược lại” còn có thể phát biểu là : “Tam giác ABC là tam giác cân nếu và chỉ nếu tam giác đó có hai đường trung tuyến bằng nhau”10. [...].  Hoạt động H3 trang 6 SGK Xét các MĐ P:”36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3”; Q:”36 chia hết cho 12”. Phát biểu MĐ P Q  Lời giải mong đợi của thể chế trang 40 SGV P Q:”36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 nếu và chỉ nếu 36 chia hết cho 12”11 Các lời giải nói trên cho phép chúng tôi rút ra kỹ thuật giải 51, 52, công nghệ 5 và lý thuyết  của kiểu nhiệm vụ T5. o Kĩ thuật giải :  51: - Chuyển kí hiệu PKT  thành cặp liên từ tương ứng “… nếu và chỉ nếu . . .”. - Phát biểu mệnh đề P Q thành “P nếu và chỉ nếu Q”.  52: - Chuyển kí hiệu PKT  thành cặp liên từ tương ứng “. . . khi và chỉ khi . . .”. - Phát biểu mệnh đề P Q thành “P khi và chỉ khi Q”. o Công nghệ MĐTĐ:Định nghĩa mệnh đề tương đương. 8 Chúng tôi nhấn mạnh. 9 Chúng tôi nhấn mạnh. 10 Chúng tôi nhấn mạnh. 11 Chúng tôi nhấn mạnh. o Lý thuyết  : Logic hình thức.  Nhận xét:  Kiểu kĩ thuật 51 được ưu tiên tuyệt đối với 3 lần xuất hiện trong 3 bài tập, còn kĩ thuật 52 được sử dụng đúng 1 lần. Điều này chứng tỏ thể chế muốn nhấn mạnh kĩ thuật 51 .  Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T5  P và Q là 2 mệnh đề có chân trị luôn đúng.  Mệnh đề P và Q có cùng kiểu mệnh đề (hình học hoặc số học)  Mệnh đề P,Q có mối quan hệ nhân quả. T6: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để Phát biểu định lí , ( ) ( )x X P x Q x   ; , ( ) ( )x X P x Q x   dưới dạng ngôn ngữ thông thường. Dưới đây, chúng tôi chọn ra từ sách giáo viên và sách giáo khoa một số ví dụ về nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T6 kèm theo lời giải mong đợi của thể chế.  Bài 10 trang 12 SGK Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để phát biểu định lí “Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện của nó là 1800 ”.  Lời giải mong đợi của thể chế trang 47 SGV ĐK cần và đủ để tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn là tổng hai góc đối diện của nó bằng 1800. Các lời giải nói trên cho phép chúng tôi rút ra kỹ thuật giải 6, công nghệ 6 và lý thuyết  của kiểu nhiệm vụ T6. o Kĩ thuật giải 6: - Xác định P(x) nằm trước cụm từ “khi và chỉ khi”, Q(x) nằm sau cụm từ “khi và chỉ khi” trong MĐ , ( ) ( )x X P x Q x   ; , ( ) ( )x X P x Q x   . - P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x). o Công nghệ ĐKC+Đ: ĐLĐK cần và đủ. o Lý thuyết  : Logic hình thức.  Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T6  P(x),Q(x) là các mệnh đề có mối quan hệ nhân quả.  P(x),Q(x) là các mệnh đề có cùng kiểu mệnh đề (hình học hoặc số học).  P(x),Q(x) là các mệnh đề cùng chân trị (cùng đúng hoặc cùng sai ). T7: Xét P, Q là hai mệnh đề toán học cho trước được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường . Xác định tính đúng hay sai của mệnh đề P Q Dưới đây, chúng tôi chọn ra từ sách giáo viên và sách giáo khoa một số ví dụ về nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T7 kèm theo lời giải mong đợi của thể chế.  Bài 3 trang 9 SGK Cho tứ giác ABCD . Xét 2 mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”. Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc” Phát biểu mệnh đề P Q và cho biết MĐ đó Đ hay S  Lời giải mong đợi của thể chế trang 40 SGV “Tứ giác ABCD là hình vuông nếu và chỉ nếu Tứ giác đó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”. Đây là mệnh đề đúng.  Hoạt động H3 trang 6 SGK a)Cho tam giác ABC. Mệnh đề “Tam giác ABC là một tam giác có ba góc bằng nhau nếu và chỉ nếu tam giác đó có ba cạnh bằng nhau” là mệnh đề gì? Mệnh đề đó đúng hay sai?[…]  Lời giải mong đợi của thể chế trang 39 SGV Đây là mệnh đề tương đương. Mệnh đề này đúng vì mệnh đề “Nếu tam giác ABC có ba góc bằng nhau thì tam giác có ba cạnh bằng nhau” và mệnh đề “Nếu tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau thì tam giác có ba góc bằng nhau” đều đúng. Các lời giải nói trên cho phép chúng tôi rút ra kỹ thuật giải 71, công nghệ 71 và lý thuyết  của kiểu nhiệm vụ T7 o Kĩ thuật giải 71: - Xác định chân trị của mệnh đề P  Q. - Xác định chân trị của mệnh đề Q  P. - Suy ra chân trị của MĐ P Q . o Công nghệ MĐTĐ:Định nghĩa MĐTĐ; MĐKT ĐN MĐKT và MĐĐ MĐ Đảo o Lý thuyết  : Logic hình thức.  Hoạt động H3bii trang 6 SGK b)Xét các MĐ P:”36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3”;Q:”36 chia hết cho 12”[…] Xét tính đúng sai của MĐ P Q  Lời giải mong đợi của thể chế trang 39 SGV P là mệnh đề đúng, Q là mệnh đề đúng; P Q là mệnh đề đúng Các lời giải nói trên cho phép chúng tôi rút ra kỹ thuật giải 72, công nghệ 72 và lý thuyết  của kiểu nhiệm vụ T7 o Kĩ thuật giải 72: - Xác định chân trị của P. - Xác định chân trị của Q. - Xác định chân trị của MĐ P Q . o Công nghệ MĐTĐ:Định nghĩa MĐTĐ và MĐ ĐN MĐ. o Lý thuyết  : Logic hình thức.  Nhận xét:  Kĩ thuật giải 71 xuất hiện 2/3 lần, trong khi kĩ thuật 72 chỉ xuất hiện 1/3 lần. Điều này chứng tỏ thể chế muốn ưu tiên kĩ thuật 71 nhiều hơn. Theo chúng tôi Hoạt động H3bii trang 6 SGK có thể giải quyết bằng kĩ thuật 71  Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T7  P và Q là các mệnh đề có chân trị luôn đúng.  P và Q có cùng kiểu mệnh đề (hình học hoặc số học)  P,Q có mối quan hệ nhân quả. 2.3 Quan hệ giữa các tổ chức toán học trên Để thấy rõ hơn đặc trưng của mối quan hệ thể chế đối với khái niệm mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương chúng tôi tóm tắt các quan hệ giữa các kiểu nhiệm vụ và yếu tố công nghệ, cũng như vị trí của các kiểu nhiệm vụ này dưới dạng bảng và sơ đồ dưới đây. Kiểu nhiệm vụ iT Bài tập SGK Số lượng T1 (H3; 14;15) 3 T2 (VD5;6) 2 T3 (VD4;6; 14; 15) 4 T4 (8;9;51;52) 4 T5 (VD6;H3; 3) 3 T6 10 1 T7 (3;H3a, H3b) 3 TỔNG 20  Phân tích các tổ chức toán học cho thấy các kiểu nhiệm vụ T1,T2,T3,T4,T7 chiếm ưu thế tuyệt đối 16/20 tổng số bài tập. Các kiểu nhiệm vụ này được giải thích cùng bởi công nghệ MĐKT theo phân tích ban đầu với mục tiêu cho học sinh biết cách lập mệnh đề kéo theo từ hai mệnh đề cho trước và biết {T1, 11 12 13, ,   } MĐKT MĐĐ MĐ ĐKC ĐKĐ MĐTĐ ĐKC+Đ {T2, 2 } {T3, 31 } {T3, 32 } {T4, 4 } {T5, 51 52,  } {T6, 6 } {T7, 71 } {T7, 72 } cách xác định chân trị của mệnh đề này. Điều này cho thấy thể chế muốn nhấn mạnh đến kết quả của phép kéo theo nhiều hơn là bản chất của hai phép toán lôgic hai ngôi này  Các kiểu nhiệm vụ T1, T2, T4, T5,T6 chiếm 13/20 bài tập so với các kiểu nhiệm vụ xác định tính đúng sai của mệnh đề T3,T7 chiếm 7/20 bài tập. Nghĩa là Noosphere muốn nhấn mạnh đến kiểu bài tập phát biểu mệnh đề kéo theo, tương đương, điều kiện cần, đủ, cần và đủ. Nhằm trang bị cho học sinh khả năng phát biểu, suy luận diễn đạt có logic.  Các kiểu nhiệm vụ T1, T2, T3, T5, T7 chứa các mệnh đề là 15/20 vượt trội so với Các kiểu nhiệm vụ T4, T6 có các mệnh đề chứa biến chỉ chiếm 5/20. Điều này chứng tỏ thể chế thể chế muốn ưu tiên đến mệnh đề nhiều hơn là các mệnh đề chứa biến. Cụ thể hơn các kĩ thuật giải, yếu tố công nghệ của mệnh đề sẽ được nhấn ._.g nhiều cho Câu 2 vì các lí do sau đây: o Câu 2 chiến lược nhân quả bị phong tỏa. o Câu 2 tạo điều kiện cho chiến lược định nghĩa mệnh đề Q dễ xác định được là mệnh đề Đúng và mệnh đề PQ là Sai, do đó để tìm được mệnh đề P thỏa mãn là “không có “ Mặc dù, chiến lược nhân quả bị phong tỏa nhưng một số học sinh chẳng hạn A007 vẫn dùng chiến lược nhân quả. Điều này cho thấy sự ảnh hưởng rất mạnh mẽ của H1. Do đó, chiến lược định nghĩa chỉ được học sinh sử dụng khi chiến lược nhân quả bị phong tỏa. Như vậy, kết quả tổng hợp của Bài 1 cho phép chúng tôi khẳng định tính hợp thức hóa của H1 trong một bộ phận học sinh. Bài 2/ * Bài 2.1 và 2.2: Trong 181 học sinh tham gia thực nghiệm trên tổng số 362 ý kiến. Có 16 ý kiến ghi “không biết” và 3 ý kiến “bỏ trống”.  Kết quả thực nghiệm: Chiến lược nhân quả % Chiến lược định nghĩa % Chiến lược khác % Không biết % Bỏ trống % Câu 1 169 93.37% 4 2.21% 4 2.21% 2 1.10% 2 1.10% Câu 2 155 85.64% 4 2.21% 7 3.87% 14 7.73% 1 0.55% TC 324 89.50% 8 2.21% 11 3.04% 16 4.42% 3 0.83%  Nhận xét:  Bảng thống kê cho chúng ta thấy rõ sự tồn tại của RE1. Chiến lược S21a,S22a (chiến lược nhân quả) với 89.50% chiếm ưu thế tuyệt đối được nhiều học sinh sử dụng hơn cả.  Đối với 2 mệnh đề cùng kiểu hình học, thì học sinh càng ưu tiên sử dụng chiến lược nhân quả hơn so với các kiểu mệnh đề khác.  Phân tích chi tiết  Chiến lược nhân quả- Sự tồn tại của RE1 Bảng thực nghiệm cho thấy ưu tiên của học sinh nghiêng hẳn về chiến lược nhân quả S21a,S22a với 89.50% so với chiến lược định nghĩa S21b,S22b chỉ có 2.21%, cụ thể hơn:  Đối với Bài 2.1 mệnh đề P dễ xác định được là mệnh đề đúng, P và cùng kiểu mệnh đề và có mối quan hệ nhân quả. Học sinh xem P là mệnh đề đúng rồi sử dụng P là giả thuyết để suy luận ra Q. Sau đây là một số lời giải điển hình cho chiến lược giải S21a :  A007: Chấp thuận và giải thích : Xét 2 tam giác vuông ABK và ACH Có 1H K v  (CH, BK là đường cao ) AB=AC(Do ABC cân) A chung  ABK ACH   (cạnh huyền-góc nhọn) Do đó CH=BK. Vậy nếu tam giác ABC cân tại A thì hai đường cao ứng với hai cạnh bên CH=BK.  A016: Chấp thuận và giải thích : ABK  ACH ( A chung, 090AHC AKB  )  AB BK AC CH  mà AB=AC(Do ABC cân)  CH=BK.  A018: Chấp thuận và giải thích : . . 2 2ABC CH AB BK ACS   mà AB=AC  CH=BK.  A033: Chấp thuận và giải thích : Xét 2 tam giác vuông BHC và CKB Có HBC KCB (2 góc đáy tam giác cân ) BC chung  BHC CKB   (cạnh huyền-góc nhọn)  CH=BK (cạnh tương ứng)  Đặc biệt hơn bài 2.2 Mặc dù, mệnh đề P khó xác định được chân trị đúng hay sai (P là mệnh đề có chân trị sai), P và Q cùng kiểu mệnh đề và có mối quan hệ nhân quả. Nhưng học sinh vẫn xem P là mệnh đề đúng rồi sử dụng P là giả thuyết để suy luận ra Q. Một số lời giải đặc trưng cho chiến lược giải S22a  A001: Đánh giá sai và giải thích : 20022 1 là số nguyên tố  20022 1 chỉ chia hết cho 1 và chính nó nên 20022 1 không chia hết cho 4  A007: Đánh giá sai và giải thích : Vì 20022 1 là số nguyên tố nên 20022 1 chỉ chia hết cho 1 và chính nó do đó 20022 1 không thể chia hết cho 4  mệnh đề sai.  A024: Đánh giá sai và giải thích : Vì nếu 20022 1 là số nguyên tố Thì 20022 1 chỉ chia hết cho chính nó và 1. Kết quả thu nhập được ở Bài 2.1 và Bài 2.2 cho phép chúng tôi khẳng định tính thỏa đáng của RE1 trong một bộ phận học sinh. *Bài 2.3:  Kết quả thực nghiệm: Trong 181 học sinh tham gia thực nghiệm. Có 1 HS ghi “không biết” và 3 HS “bỏ trống”. Chiến lược nhân quả % Chiến lược định nghĩa % Chiến lược khác % Không biết % Bỏ trống % Câu 3 45 24.86% 131 72.38% 1 0.55% 1 0.55% 3 1.66%  Mục đích như đã phân tích phần tiên nghiệm:  Kiểm tra xem HS sẽ ứng xử như thế nào? khi gặp kiểu nhiệm vụ “Xác định tính đúng sai của mệnh đề Nếu P thì Q với P và Q không cùng kiểu mệnh đề, không có mối quan hệ nhân quả và P,Q đều có chân trị sai.” Đây là kiểu nhiệm vụ không có trong thể chế. Cụ thể hơn, Chúng tôi muốn tạo ra tình huống phá vỡ hợp đồng để trả lời các câu hỏi sau: + Học sinh sẽ có chấp thuận kiểu nhiệm vụ trên hay không? + Học sinh sẽ dùng định nghĩa, mối quan hệ nhân quả hay trực giác để xác định tính đúng, sai của mệnh đề?  Nhận xét:  Từ bảng số liệu trên chiến lược định nghĩa S23b với 72.38% chiếm ưu thế.  Học sinh vẫn sử dụng khá nhiều chiến lược nhân quả S23a với 24.86%. Trong suy nghĩ của học sinh vẫn ưu tiên cho chiến lược này. Mặc dù, câu 2.3 ngăn cản chiến lược nhân quả  Phân tích chi tiết  Nếu P và Q không cùng kiểu mệnh đề và mối quan hệ nhân quả thì mệnh đề “Nếu P thì Q” có chân trị là sai. Chiến lược nhân quả S23a chiếm 24.86% đây là tỉ lệ khá lớn. Trước hết chúng tôi ghi nhận một số ý kiến từ bài làm của học sinh:  A073: Đánh giá mệnh đề là sai với giải thích: “Vì 1+1=23 “ và “Xuân Diệu là một nhà toán học” là 2 vấn đề không liên quan đến nhau.  A170: Đánh giá mệnh đề là sai với giải thích: Vì Xuân Diệu và toán học không liên quan đến nhau.  A162: Đánh giá mệnh đề là sai với giải thích: Vì 1+1=3 không liên quan gì đến Xuân Diệu là một nhà toán học.  A153: Đánh giá mệnh đề là sai với giải thích: Do 2 mệnh đề không có liên quan đến nhau MĐ P và MĐ Q quá kì cục.  A071: Đánh giá mệnh đề là sai với giải thích: Theo toán học thì 1+1=2 Theo văn học thì Xuân Diệu là một nhà thơ Không thể nào có chuyện 1+1=3 và Xuân Diệu là một nhà Toán học. Nhưng Xuân Diệu chứng minh được 1+1=3 thì chắc cũng là một nhà toán học tài ba.  A149: Đánh giá mệnh đề là sai với giải thích: Vì 1+1=2, Xuân Diệu đã làm sai nên không thể là nhà toán học. Qua các lời giải trên ta có thể rút ra kết luận trên một số học sinh dùng chiến lược S23a:  Học sinh vẫn dùng chiến lược nhân quả ngay cả khi chiến lược này bị phong tỏa.  Với P và Q không cùng kiểu mệnh đề, không có mối quan hệ nhân quả thì mệnh đề “Nếu P thì Q” có chân trị là sai.  Chiến lược định nghĩa được sử dụng khi chiến lược nhân quả bị phong tỏa:  Từ bảng số liệu trên chiến lược định nghĩa S23b với 72.38% chiếm ưu thế so với Chiến lược S23a chiếm 24.86% . Từ đây ta có thể thấy rằng khi chiến lược nhân quả bị ngăn cản thì chiến lược định nghĩa sẽ chiếm ưu thế. Điều này không hề mâu thuẫn với H1 mà nó còn tăng thêm tính thỏa đáng cho H1, đồng thời nó còn bổ sung thêm cho H1. Nếu gặp kiểu nhiệm vụ T3 tạo điều kiện ngang nhau cho 2 chiến lược nhân quả và định nghĩa thì học sinh sẽ được ưu tiên chiến lược nhân quả, ngược lại nếu chiến lược nhân quả bị ngăn cản thì chiến lược định nghĩa sẽ được sử dụng. Bài 3/ Trong 181 học sinh tham gia thực nghiệm trên tổng số 1086 ý kiến. Có 9 ý kiến ghi “không biết” và 29 ý kiến “bỏ trống”.  Kết quả thực nghiệm: Chiến lược đại số % Chiến lược mệnh đề % Chiến lược khác % Không biết % Bỏ trống % Câu 1 172 95.03% 0 0.00% 5 2.76% 0 0.00% 4 2.21% Câu 2 176 97.24% 1 0.55% 0 0.00% 1 0.55% 3 1.66% Câu 3 173 95.58% 0 0.00% 2 1.10% 2 1.10% 4 2.21% Câu 4 170 93.92% 0 0.00% 4 2.21% 1 0.55% 6 3.31% Câu 5 170 93.92% 0 0.00% 5 2.76% 1 0.55% 5 2.76% Câu 6 162 89.50% 0 0.00% 8 4.42% 4 2.21% 7 3.87% TC 1023 94.20% 1 0.09% 24 2.21% 9 0.83% 29 2.67%  Nhận xét:  Bảng thống kê cho chúng ta thấy rõ sự tồn tại của RE2. Chiến lược S1a (chiến lược đại số) với 94.20% chiếm ưu thế tuyệt đối được nhiều học sinh sử dụng hơn cả trong khi chiến lược mệnh đề là rất nhỏ 0.09%.  Phân tích chi tiết: Chiến lược S3a với 94.20% chiếm ưu thế tuyệt đối so với chiến lược S3b là rất nhỏ 0.09%. Để làm sáng tỏ nhận định trên chúng tôi nghi nhận các lời giải tiêu biểu từ bài làm của học sinh: o Câu 1  A003: Đánh giá mệnh đề là đúng với giải thích: ĐK 2x  . 2 22 1 ( 2) 1 2 1 3 x x x x           o Câu 2  A002: Đánh giá mệnh đề là sai với giải thích: Vì mệnh đề ( 1) 1 1 x x x   và mệnh đề 1 0x   không cùng tập nghiệm nên không được dùng dấu   A003: Đánh giá mệnh đề là sai với giải thích: ( 1) 1 1 0 1 x x x x      (loại) 1 0x   (loại), Điều kiện 1x  . o Câu 3  A005: Đánh giá mệnh đề là sai với giải thích: 1 0 ( 1)( 2) 0 2 0 x x x x        o Câu 4  A008: Đánh giá mệnh đề là đúng với giải thích: 0.( 2)( 3) 0x x   o Câu 5  A020: Đánh giá mệnh đề là sai với giải thích: Vì 1 ( 4)( 1)( 3) 0 3 1 x x x x x x        o Câu 6  A009: Đánh giá mệnh đề là sai với giải thích: 3 2 2 2 0x x x    2( 1)( 2) 0x x    1 2 2 x x x     1 0x   có nghiệm x=1 Với kết quả thu nhập được ở Bài 3 cho phép chúng tôi khẳng định sự hoạt động của RE2 . Bài 4/ Trong 181 học sinh tham gia thực nghiệm. Có 3 học sinh ghi “không biết” và không có học sinh nào bỏ trống.  Kết quả thực nghiệm: Chiến lược đại số % Chiến lược đại số+mệnh đề % Chiến lược khác % Không biết % Bỏ trống % Câu 4 133 73.48% 28 15.47% 17 9.39% 3 1.66% 0 0.00% Khi phân tích Chương 2 : Sự vận hành PKT, PTĐ chúng tôi nhận thấy, thể chế nhấn mạnh đến chiến lược đại số và lãng quên chiến lược mệnh đề. Do đó chúng tôi tự hỏi Liệu HS sẽ ứng xử như thế nào khi giải quyết kiểu nhiệm vụ T13 “Tìm m để 2 phương trình f(x)=0(1)và g(x,m)=0 (2) tương đương”. Cụ thể HS sẽ ưu tiên chiến lược nào hơn?  HS sẽ dùng mình chiến lược đại số tức là chỉ tìm m (điều kiện cần). Rồi đi đến kết luận mà không thử lại m có thỏa điều kiện đủ hay không?  HS sẽ dùng chiến lược đại số và chiến lược mệnh đề, nghĩa là khi tìm được m(điều kiện cần), sau đó kiểm tra lại điều kiện đủ có thỏa hay không? Rồi đi đến kết luận  Nhận xét:  Bảng thống kê cho chúng ta thấy rõ sự tồn tại của H2. Chiến lược đại số S4a được đa số học sinh sử dụng với 73.48% và chỉ có 15.47% học sinh sử dụng chiến lược đại số+mệnh đề.  Phân tích chi tiết:  Chiến lược giải S4a - Sự tồn tại H2 Một số ý kiến đáng nghi nhận từ bài làm của học sinh:  A006: x=1 (1) 2 ( 1)( 2) 1 0x m m x     (2) (1) x=1 để (1)  (2) thì x=1 (2 : 21 ( 1)( 2).1 1 0m m      ( 1)( 2) 0m m    1 2 m m   Vậy 1 2 m m   thì phương trình x=1 và 2 ( 1)( 2) 1 0x m m x     tương đương  A010: Hai phương trình x=1 và 2 ( 1)( 2) 1 0x m m x     tương đương thì x=1 là nghiệm của 2 phương trình Thay vào phương trình 2 ( 1)( 2) 1 0x m m x     (2) ta được (2)  21 ( 1)( 2).1 1 0m m      ( 1)( 2) 0m m    1 2 m m   Đa số học sinh sử dụng chiến lược S4a với 73.48%, nghĩa là học sinh sẽ thế x=1 vào (2) rồi suy ra m (điều kiện cần) rồi kết luận đây là những giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán mà không thử lại m (kiểm tra lại điều kiện đủ). Trong quá trình quan sát thực nghiệm và giấy nháp của học sinh. Chúng tôi nhận thấy những học sinh này đều không kiểm tra lại điểu kiện đủ, dường như sự ảnh hưởng của H2 rất mạnh mẽ làm cho học sinh lãng quên việc kiểm tra lại m có thỏa bài toán hay không? Với kết quả thu nhập được ở Bài 4 cho phép chúng tôi khẳng định tính thỏa đáng của H2 . 4. Kết luận chương 4 Việc phân tích các câu trả lời và những chiến lược giải các bài toán của thực nghiệm đã đem lại cho chúng tôi những câu trả lời các câu hỏi từ đầu chương. Đặc biệt, kết quả thực nghiệm cũng đã chứng minh tính thỏa đáng các giả thuyết của chúng tôi về sự tồn tại qui tắc hợp đồng RE1, RE2, giả thuyết H1 và H2  Những quan niệm về phép kéo theo, phép tương đương từng xuất hiện trong lịch sử đều được tìm thấy ở học sinh. Qua thực nghiệm chúng ta bắt gặp quan niệm “nhân quả”của Aristote và Euclide chiếm ưu thế. Quan niệm về phép kéo theo của Philo khá mờ nhạt, chỉ xuất hiện rõ ràng khi chiến lược nhân quả bị phong tỏa.  Thực nghiệm chứng minh được ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế trên mối quan hệ cá nhân với khái niệm phép kéo theo, phép tương đương mà chúng tôi tóm tắt dưới đây:  Sự tồn tại ngầm ẩn qui tắc hợp đồng RE1 và RE2.  Sự tồn tại giả thuyết H1, H2.  Sự hình thành trong một bộ phận học sinh các qui tắc chuyên biệt về khái niệm phép kéo theo như là hệ quả của mối quan hệ thể chế với khái niệm phép kéo theo. Khi gặp kiểu nhiệm vụ “Xác định tính đúng sai của mệnh đề Nếu P thì Q với P và Q không cùng kiểu mệnh đề, không có mối quan hệ nhân quả và P,Q đều có chân trị sai.” Học sinh sẽ ứng xử: o Nếu P và Q không cùng kiểu mệnh đề và mối quan hệ nhân quả thì mệnh đề “Nếu P thì Q” có chân trị là sai. o Chiến lược định nghĩa chỉ được sử dụng khi chiến lược nhân quả bị phong tỏa: KẾT LUẬN VỀ LUẬN VĂN VÀ HƯỚNG MỞ CỦA ĐỀ TÀI Kết luận của chúng tôi được trình bày cụ thể trong 4 chương của luận văn. Nghiên cứu khoa học luận trong chương I, mối quan hệ thể chế chương II, Sự vận hành phép kéo theo, phép tương đương chương trong các kiểu nhiệm vụ III là cơ sở để đề xuất các qui tắc hợp đồng, giả thuyết nghiên cứu và việc kiểm chứng nó là chương IV. Sau đây, là một số điểm chính trong những kết quả nghiên cứu đã đạt được.  Trong chương I, việc tổng hợp một số công trình nghiên cứu khoa học lịch sử về khái niệm phép kéo theo, phép tương đương đã cho phép làm rõ các giai đoạn phát triển, những quan niệm tương ứng và những đặc trưng cơ bản của khái niệm phép kéo theo, phép tương đương (xem bảng tóm tắt phép kéo theo trang 19, bảng tóm tắt phép tương đương trang 24, chương I).  Nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với khái niệm mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương trong chương II đã làm rõ những đặc trưng cơ bản của mối quan hệ thể chế với khái niệm phép kéo theo, phép tương đương. Đặc biệt chúng tôi xác định được:  Tiến trình xuất hiện của khái niệm mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương trong chương trình và sách giáo khoa.  Những ràng buộc của thể chế đã được ghi nhận từ việc phân tích các tổ chức tóan học trong chương trình và sách giáo khoa. Kết quả các mối quan hệ về thể chế đã hướng chúng tôi tới giả thuyết về sự tồn tại ngầm ẩn các qui tắc RP1, RE1 của hợp đồng didactic và giả thuyết H1 về các kiểu nhiệm vụ gắn liền với khái niệm mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương. Chúng là các ràng buộc của thể chế lên các đối tượng là giáo viên và học sinh.  Nghiên cứu sự vận hành của phép kéo theo, phép tương đương qua 3 kiểu nhiệm vụ T11, T12 trong chương III đã cho chúng ta thấy rõ hơn  Ứng dụng khái niệm mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương trong thực hành giải toán.  Những ràng buộc của thể chế được ghi nhận từ các tổ chức toán học trên. Kết quả các phân tích chương này đã hướng chúng tôi tới giả thuyết về sự tồn tại ngầm ẩn các qui tắc RP2, RE2 của hợp đồng didactic và giả thuyết H2 về các kiểu nhiệm vụ gắn liền với khái niệm mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương. Chúng là các ràng buộc của thể chế lên các đối tượng là giáo viên và học sinh.  Nghiên cứu thực nghiệm chương IV đã là sáng tỏ mối quan hệ giữa học sinh và khái niệm mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương và ảnh hưởng của thể chế lên mối quan hệ cá nhân. Điều này thể hiện rõ ràng qua sự tồn tại của các qui tắc hợp đồng didactic RE1, RE2 , các giả thuyết H1 và H2. Việc hợp thức hóa các qui tắc hợp đồng didactic và giả thuyết sẽ có độ tin cậy cao hơn nếu thực nghiệm được tiến hành đồng thời trên cả hai chủ thể giáo viên và học sinh. Tuy nhiên, vì nhiều lí do khác nhau (chủ yếu là do thời gian) chúng tôi đã không tiến hành được thực nghiệm trên đối tượng giáo viên. Đó là một khiếm khuyết của nghiên cứu trong chương IV.  Hướng mở của Luận văn: Nghiên cứu tiến trình và xây dựng những tình huống đưa vào khái niệm phép kéo theo, phép tương đương trong hệ thống dạy học ở trường phổ thông, sao cho khái niệm này có được tất cả các đặc trưng khoa học luận đã được làm rõ trong chương I. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Trần Anh Dũng (2005), Khái niệm liên tục một nghiên cứu khoa học luận và didactic, Luận văn Thạc sĩ khoa học, ĐHSP TP.HCM 2. Trần Lương Công Khanh (2002), Nghiên cứu didactic về những khó khăn chính của học sinh khi tiếp thu khái niệm tích phân, , Luận văn Thạc sĩ khoa học, ĐHSP TP.HCM 3. Ngô Thúc Lanh (2004), Các danh nhân toán học từ điển tra cứu thân thế và sự nghiệp, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội. 4. Hoàng Qúy , Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng, Trần Văn Hạo, Lê Thiên Hương(2004), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học, NXB Gíao dục 5. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên, 2007), Đại số nâng cao 10, NXB Giáo dục 6. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên, 2007), Đại số nâng cao 10 (Sách giáo viên) , NXB Giáo dục Tiếng Anh 7. Bertrand Russell (1908), Mathematical Logic as based on the Theory of Types. 8. Bertrand Russell(1903), The Principles of Mathematics 9. Judy Pelham (1999), Russell, Frege, and the Nature of Implication. 10. Michal Walicki (2006), Mathematical Logic an Introduction. 11. Wiliam Kneale - Martha Kneale (1962), The development of logic . 12. Euclide’s Elements PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1 Tam đoạn luận của Aristotle Cụ thể hơn, theo Aristotle tam đoạn luận có 3 biểu đồ tương ứng sau:  Tam đoạn luận thứ nhất: L,M,S 1.1 Nếu M là L và mọi S là M thì mọi S là L (Barbara). 1.2 Nếu phủ định của M là L và mọi S là M thì phủ định của S là L (Calarent). 1.3 Nếu mọi M là L và một vài S là M thì một vài S là L (Barbara). 1.4 Nếu phủ định của M là L và một vài S là M thì một vài S có phủ định là L (Ferio).  Tam đoạn luận thứ hai: M, L,S 2.1 Nếu phủ định của L là M và mọi S là M thì phủ định của S là L (Cesare). 2.2 Nếu mọi L là M và phủ định của S là M thì phủ định của S là L(Camestres). 2.3 Nếu phủ định của L là M và một vài S là M thì một vài S là phủ định của L(Festino). 2.4 Nếu mọi L là M và một vài S là phủ định của M thì một vài S là phủ định của L(Baroco).  Tam đoạn luận thứ ba: L,S, M 3.1 Nếu mọi M là L và mọi M là S thì vài S là L (Darapti). 3.2 Nếu phủ định của M là L và mọi M là S thì vài S là phủ định của L (Felapton). 3.3 Nếu vài M là L và mọi M là S thì vài S là L (Disamis). 3.4 Nếu mọi M là L và vài M là S thì vài S là L (Datisi). 3.5 Nếu vài M là phủ định của L và mọi M là S thì vài S là phủ định của L (Bocardo). 3.6 Nếu phủ định của M là L và vài M là S thì S là phủ định của L (Ferison). Một thí dụ nổi tiếng của lý luận này như sau: (1) Mọi người đều sẽ qua đời. (2) Socrates là một con người. (3) Socrates sẽ qua đời. (I) S M M L S L    (II) L M S M L S    (III) M L M S S L    PHỤ LỤC 2 Phiếu thực nghiệm Các em học sinh thân mến. Phiếu này không có mục đích đánh giá kiến thức của các em mà chỉ nhằm tìm hiểu suy nghĩ của các em về một số vấn đề trong chương trình học. Mong các em vui lòng trả lời các câu hỏi dưới đây. Cảm ơn các em vì sự hợp tác. Họ và tên ............................................................................. Lớp ................................ Trường .................................................................................................................... Bài 1/ Cho 10 mệnh đề được ký hiệu từ (a) đến (h) như sau: (a) Hà Nội là thủ đô của Việt Nam. (b) Bắc Kinh là thủ đô của Lào. (c) 2008 chia hết cho 2. (d) Tổng các chữ số của 123604 chia hết cho 3. (e) Tổng các chữ số của 123604 không chia hết cho 3. (f) x = 0 (g) x là số thực bất kỳ (h) Hình bình hành có 2 đường chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đường. (i) Hình chữ nhật có 4 góc vuông. (j) Hình thoi có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau. Mục tiêu của bài này là điền mệnh đề thích hợp đã cho vào bảng phía dưới để được 8 mệnh đề dạng “Nếu P thì Q” có tính đúng, sai thỏa mãn điều kiện ghi ở cột bên phải của bảng.  Nếu tìm được mệnh đề thích hợp, em chỉ cần ghi ký hiệu của mệnh đề ấy vào phần chấm chấm.  Có thể xảy ra trường hợp nhiều mệnh đề cùng thích hợp với một phần chấm chấm. Khi đó, em chỉ cần ghi ký hiệu của các mệnh đề ấy vào phần chấm chấm này.  Nếu không tìm được mệnh đề thích hợp, em ghi vào phần chấm chấm chữ không có.  Nếu em không biết, em ghi vào phần chấm chấm chữ không biết. STT Mệnh đề “Nếu P thì Q” Tính đúng, sai 1 Nếu ………………………… thì 2008 là số chẵn Đúng 2 Nếu ………………………… thì 2008 là số chẵn Sai 3 Nếu ………………………… thì 123604 chia hết cho 3 Đúng 4 Nếu ………………………… thì 123604 chia hết cho 3 Sai 5 Nếu x + 2x = 3x thì ………………………… Đúng 6 Nếu x + 2x = 3x thì ………………………… Sai 7 Nếu hình chữ nhật là hình bình hành thì …………… Đúng 8 Nếu hình bình hành là hình thoi ………………………… Sai Bài 2/ Em hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề trong cột thứ 2 trong bảng dưới đây. Nếu em cho rằng mệnh đề đó:  đúng thì đánh dấu X vào ô Đúng.  sai thì đánh dấu X vào ô Sai.  em không biết, thì ghi vào phần giải thích chấm chấm chữ không biết.  Có vấn đề thì ghi ý kiến của em vào phần giải thích chấm chấm. STT Các mệnh đề Đánh giá của em Gỉai thích tại sao em lại đánh giá như vậy Đúng Sai 1 Nếu tam giác ABC cân tại A thì hai đường cao ứng với hai cạnh bên CH=BK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2 Nếu 20022 1 là số nguyên tố thì 20022 1 là số chia hết cho 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Nếu 1+1=3 thì Xuân Diệu là một nhà toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A B C H K Bài 3/ Cột thứ 2 trong bảng sau đây trình bày các khẳng định của bạn An một học sinh lớp 10. Em hãy đánh giá theo quan điểm của em. Nếu em cho rằng khẳng định đó:  hoàn toàn đúng thì đánh dấu X vào ô Đúng.  hoàn toàn sai thì đánh dấu X vào ô Sai.  em không biết, thì ghi vào phần giải thích chấm chấm chữ không biết.  Có vấn đề thì ghi ý kiến của em vào phần giải thích chấm chấm. STT Khẳng định của bạn An Đánh giá của em Gỉai thích tại sao em lại đánh giá như vậy Đúng Sai 1 2 1 2 1x x     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ( 1) 1 1 0 1 x x x x      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ( 1)( 2) 0 1 0x x x      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 0 ( 1)( 2)( 3) 0x x x x       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ( 4)( 1)( 3) 0 4 0x x x x       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 6 3 2 2 2 0 1 0x x x x       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 4/ Tìm m để 2 phương trình 1 0x  và 2 ( 1)( 2) 1 0x m m x     tương đương. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ---Em có thể nháp từ dòng này trở xuống--- ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. PHỤ LỤC 3 Bài làm của học sinh Trích bài làm của Học sinh A007 Trích bài làm của Học sinh A047 Trích bài làm của Học sinh A049 Trích bài làm của Học sinh A051 Trích bài làm của Học sinh A052 Trích bài làm của Học sinh A055 Trích bài làm của Học sinh A058 Trích bài làm của Học sinh A060 Trích bài làm của Học sinh A001 Trích bài làm của Học sinh A007 Trích bài làm của Học sinh A016 Trích bài làm của Học sinh A018 Trích bài làm của Học sinh A024 Trích bài làm của Học sinh A071 Trích bài làm của Học sinh A073 Trích bài làm của Học sinh A149 Trích bài làm của Học sinh A162 Trích bài làm của Học sinh A170 Trích bài làm của Học sinh A33 Trích bài làm của Học sinh A002 Trích bài làm của Học sinh A003 Trích bài làm của Học sinh A005 Trích bài làm của Học sinh A006 Trích bài làm của Học sinh A008 Trích bài làm của Học sinh A009 Trích bài làm của Học sinh A010 Trích bài làm của Học sinh A020 Trích bài làm của Học sinh A006 Trích bài làm của Học sinh A010 ._.