Nghiên cứu Didactic về phép kéo theo và phép tương đương trong dạy học toán ở trung học cơ sở

inh-2009 Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Lương Công Khanh, người đã tận tình chỉ bảo tôi về mặt nghiên cứu khoa học và đã cho tôi những ý kiến đóng góp quý giá giúp tôi hoàn thành luận văn này. Xin trân trọng cám ơn: GS. Claude Comiti, GS. Annie Bessot, GS. Alain Birebent, PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PSG.TS. Lê Văn Tiến, TS. Nguyễn Chí Thành, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung và các quý Thầy Cô đã nhiệt tình và tận tâm khi tham gia giảng dạy lớp cao học chuyên nghành Didacdtic Toán khóa 17. Xin chân thành cám ơn : Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ toán trường trung học chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (thành phố Vĩnh long) đã giúp đỡ và tạo mọi điểu kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cám ơn các bạn cùng lớp Didactic Toán khóa 17 đã luôn chia sẻ với tôi những buồn vui và khó khăn trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng, tôi cũng xin chân thành cám ơn gia đình và những người thân thiết của tôi đã luôn động viên và ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua. Lâm Thị Ngọc Dung MỞ ĐẦU II. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Chúng tôi xin được bắt đầu bằng một bài toán hình học trong sách giáo khoa Toán lớp 8 như sau: “Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. Tìm điều kiện của ABCD để tứ giác MNPQ là: a/ hình chữ nhật b/ hình thoi c/ hình vuông Chúng tôi ghi nhận được lời giải của một số học sinh lớp 8 sau đây: “Nếu tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (sau khi đã chứng minh được MNPQ là hình bình hành) thì MN MQ  Mà MN// AC Mà MQ// BD Nên AC BD  Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.” Lí luận tương tự, các em cũng kết luận rằng: “Vậy tứ giác MNPQ là hình thoi thì hai đường chéo AC và BD bằng nhau”. “ Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông thì hai đường chéo AC và BD vừa bằng nhau vừa vuông góc với nhau”. Như vậy, trong lời giải thật ra các em mới tìm được một điều kiện cần trong khi yêu cầu của bài toán là phải tìm điều kiện cần và đủ. Nói cách khác, học sinh chỉ mới đưa ra được một điều kiện để MNPQ là hình chữ nhật (tương ứng hình thoi, hình vuông) mà chưa chứng minh được rằng ngoài điều kiện đã nêu, bài toán không còn điều kiện nào khác. Vì vậy, học sinh đã nêu ra một lời giải đúng về mặt kết quả nhưng sai lầm về mặt lập luận. Từ những ghi nhận ban đầu đó, chúng tôi thấy cần thiết phải đặt ra các câu hỏi sau đây: - Phép kéo theo và phép tương đương được sách giáo khoa đưa vào ở thời điểm nào, bằng cách nào, và nhằm mục đích gì? - Quan hệ giữa phép kéo theo và phép tương đương được thể hiện như thế nào trong sách giáo khoa? - Cách trình bày của sách giáo khoa đã ảnh hưởng thế nào đến việc tiếp thu của học sinh? Tri thức này được học sinh vận dụng như thế nào? - Có những qui tắc nào của hợp đồng didactic về phép kéo theo và phép tương đương đã ảnh hưởng sâu sắc đến việc dạy và học khái niệm này? Nó có tạo những khó khăn cho học sinh khi vận dụng chúng để giải các bài tập cụ thể hay không? Ứng xử của giáo viên trước những “sai lầm” về mặt lôgic như đã nêu trong phần trên? III. Phạm vi lí thuyết tham chiếu Để tìm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong lí thuyết didactic toán, cụ thể là :  Lí thuyết nhân chủng học didactic  mối quan hệ thể chế , cách tiếp cận sinh thái  mối quan hệ cá nhân  các tổ chức toán học  Khái niệm hợp đồng didactic IV.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Trong khuôn khổ của phạm vi lí thuyết tham chiếu vừa lựa chọn, chúng tôi trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu như sau: Q1: Những đặc trưng khoa học luận nào của khái niệm phép kéo theo, phép tương đương có thể được phân tích và tổng hợp từ các công trình nghiên cứu đã có? Những kiểu tình huống, những kiểu bài toán nào làm cho phép kéo theo, phép tương đương được xuất hiện? Những đối tượng toán học nào có ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển khái niệm này? Q2: Khái niệm phép kéo theo, phép tương đương được trình bày như thế nào trong chương trình và sách giáo khoa Toán lớp 7 nói riêng và các lớp ở trung học cơ sở nói chung? Những dạng bài tập nào được sách giáo khoa, sách bài tập ưu tiên đưa ra trong hệ thống bài tập mà ở đó phép kéo theo, phép tương đương có khả năng vận hành tốt nhất? Q3: Cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm này của học sinh? Đâu là những chướng ngại của học sinh khi học khái niệm này? Q4: Những qui tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy- học khái niệm này? V. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài này là đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã nêu ra ở trên. Để làm được điều đó, chúng tôi tiến hành các nghiên cứu sau đây: - Phân tích, tổng hợp các tài liệu hoặc các công trình đã được công bố về lịch sử toán học hay về khoa học luận để làm rõ nghĩa của phép kéo theo, phép tương đương. Kết quả này sẽ là câu trả lời cho câu hỏi Q1 và là cơ sở tham chiếu cho mối quan hệ thể chế nghiên cứu ở phần sau. - Phân tích chương trình và sách giáo khoa Việt Nam có so sánh, đối chiếu với sách giáo khoa của Pháp. Đồng thời tiến hành phân tích các tổ chức toán học có liên quan đến khái niệm phép kéo theo, phép tương đương để làm rõ các câu hỏi Q2, Q3, Q4. Từ đó, có thể đưa ra các giả thuyết nghiên cứu. - Triển khai một thực nghiệm để kiểm chứng về tính thỏa đáng của các giả thuyết nghiên cứu nêu ra ở trên và làm rõ ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế của khái niệm này lên mối quan hệ cá nhân của học sinh. VI. Tổ chức của luận văn Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm có bốn chương: - Mở đầu: những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát - Chương 1: Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm phép kéo theo, phép tương đương. - Chương 2: Nghiên cứu khoa học luận về các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương. - Chương 3: Nghiên cứu sự vận hành của phép kéo theo, phép tương đương trong việc giải một số bài toán hình học tiêu biểu và trong việc giải các phương trình có chứa căn, các phương trình có chứa ẩn ở mẫu và các bài toán có tham số. - Chương 4: Thực nghiệm để kiểm tra rính thỏa đáng của các giả thuyết nghiên cứu đã nêu ở trên. - Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3, 4 và nêu một số hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn . Chương 1. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương Chương này phân tích chương trình hiện hành, sách giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập Toán các lớp 7, 8, 9 để làm rõ mối quan hệ thể chế với các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương và những điều kiện, ràng buộc của thể chế đối với các khái niệm này. Trong khi phân tích, chúng tôi xem sách giáo viên không những là văn bản chính thức giải thích cho chương trình và sách giáo khoa mà còn là tài liệu cơ bản có ảnh hưởng lớn đến việc thực hành giảng dạy của giáo viên trong lớp học. 1.1 Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán trung học cơ sở Chương trình Toán trung học cơ sở không đưa vào các khái niệm Phép kéo theo, phép tương đương như là hai đối tượng tri thức với đầy đủ tên gọi và định nghĩa của chúng. Việc này được thực hiện trễ hơn ở trung học phổ thông. Tuy nhiên, một số yếu tố liên quan đến phép kéo theo, phép tương đương được đưa dần vào chương trình trung học cơ sở, bắt đầu từ phân môn Hình học lớp 7. Tại sao chương trình lại chọn Hình học thay vì Đại số, chọn lớp 7 thay vì một lớp khác để đưa vào phép kéo theo, phép tương đương? Chúng tôi sẽ phân tích sự lựa chọn này trong phần sau. 1.1.1.Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán 7 Tiến độ thực hiện chương trình Toán 7 được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định như sau: Học kỳ 1 (72 tiết) 4 tiết x 19 tuần = 76 tiết Đại số (42 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết Hình học (34 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 1tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết Học kỳ 2 (68 tiết) 4 tiết x 18 tuần = 72 tiết Đại số (32 tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28 Hình học (40tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28tiết tiết 1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết Cả năm (148 tiết) 4 tiết x 37 tuần = 148 tiết Đại số (74 tiết) Hình học (74 tiết) Định lí - bài đầu tiên liên quan đến phép kéo theo - được xếp cuối chương I (Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song) của phân môn Hình học, rơi vào tiết 12, tuần thứ 6 của học kỳ 1. Mục tiêu về kiến thức, kỹ năng cơ bản, tư duy của bài học là “biết cấu trúc của một định lí (giả thiết, kết luận), biết thế nào là chứng minh một định lí, biết đưa một định lí về dạng ‘Nếu... thì...’, làm quen với mệnh đề lôgic p  q” [2, tr. 102] Trong chương II (Tam giác), thông qua việc giới thiệu định lí Py-ta-go và định lí Py-ta-go đảo, chương trình đưa vào các thuật ngữ định lí thuận, định lí đảo nhằm “giúp học sinh biết quan hệ thuận, đảo của hai mệnh đề và hiểu rằng có những định lí không có định lí đảo” [2, tr.133]. Đa số định lí trong chương II được thừa nhận trong khi hầu hết các định lí trong chương III (Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác. Các đường đồng quy trong tam giác) được chứng minh để học sinh quen dần với phép chứng minh toán học. Tuy nhiên, chứng minh phản chứng và một số chứng minh phức tạp không được đưa vào chương trình. Như vậy, chương trình Toán 7 chưa sử dụng phép chứng minh phản chứng như là một kỹ thuật để giải quyết cho kiểu nhiệm vu “Chứng minh một mệnh đề toán học” Có sự thiếu vắng yếu tố công nghệ nào khiến kỹ thuật này không thể vận hành?. Điều này ảnh hưởng thế nào đến các bài toán chứng minh trong phần bài tập? Chúng tôi sẽ cố gắng trả lời câu hỏi này khi phân tích sách giáo khoa. Tóm lại, thông qua các khái niệm định lí, định lí thuận, định lí đảo, chương trình Toán 7 tìm cách đưa vào một số yếu tố ban đầu của phép kéo theo, phép tương đương trong điều kiện không đề cập đến các thuật ngữ liên quan. Sự xuất hiện của các khái niệm này tạo ra một yếu tố công nghệ mới giúp nosphere tạo ra sự nối khớp giữa hình học trực quan của hình học lớp 6 và hình học suy diễn của hình học lớp 7, giúp học sinh rèn luyện năng lực tư duy. Còn tại sao nosphere lại lựa chọn cách tiếp cận thông qua chương trình hình học mà không phải là đại số? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi bắt buộc phải quan tâm đến đặc trưng khoa học luận của các khái niệm này. 1.1.2.1 Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán 8 Tiến độ thực hiện chương trình Toán 8 được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định như sau: Học kỳ 1 (72 tiết) 4 tiết x 19 tuần = 76 tiết Đại số (42 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết Hình học (34 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 1 tiết x 4 tuần cuối = 4tiết Học kỳ 2 (68 tiết) 4 tiết x 18 tuần = 72 tiết Đại số (32 tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết 1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết Hình học (40tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết Cả năm (148 tiết) 4 tiết x 37 tuần = 148 tiết Đại số (74 tiết) Hình học (74 tiết) Phần hình học, trong chương I: Tứ giác, mục tiêu của chương là “ rèn luyện kỹ năng lậpluận và chứng minh hình học do đó, hầu hết các định lí trong chương được chứng minh hoặc gợi ý chứng minh” [4, tr.93]. Trong chương này, chúng tôi còn thấy xuất hiện một kiểu nhiệm vụ mới” dựng hình” thông qua cấu trúc logic của bài toán dựng hình:” Dựng hình H có tính chất  ”như sau: - Phân tích: Chứng tỏ rằng nếu hình H có tính chất  thì hình H có tính chất  - Cách dựng: Dựng hình K có tính chất  (theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản). - Chứng minh: Chứng tỏ rằng hình K có tính chất  ( K ≡ H ) - Biện luận: Xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra của bài toán. Trong đó, sách giáo viên có nêu rõ “phân tích là điều kiện cần (đảm bảo không dựng thiếu hình), chứng minh là điều kiện đủ (đảm bảo không dựng thừa hình) của hình phải dựng”. Như vậy, thông qua bài toán dựng hình , sách giáo viên có giới thiệu các thuật ngữ điều kiện cần và điều kiện đủ. Chúng tôi đặt câu hỏi có phải đây là hai phần thuận và đảo của một vấn đề mà giáo viên cần phải làm rõ khi dạy học khái niệm này?.Việc “giảm tải” cho học sinh trình bày phần phân tích và biện luận trong bài làm nói lên mối ràng buộc nào của thể chế khi dạy học khái niệm này? (có phài là hình luôn dựng được và khi đó, chỉ có một nghiệm hình…). Những câu hỏi này là những định hướng cho chúng tôi khi đi vào phân tích sách giáo khoa hình học lớp 8. Sự xuất hiện của định lí Thales thuận , định lí Thales đảo trong chương II :Tam giác đồng dạng, cùng với ghi nhận trong sách giáo viên “Chỉ cần cho học sinh tiếp cận với định lí bằng cách nhận xét trên hình vẽ rồi rút ra các cặp tỉ số bằng nhau, rồi cho học sinh thừa nhận định lí vì cách chứng minh dài dòng và phức tạp… Đây không phải là chứng minh định lí mà chỉ cho học sinh tiếp cận dần với định lí.” [4, tr.67-69] cho phép chúng tôi kết luận kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng vẫn chưa được sử dụng ở năm lớp 8. Như vậy, phải chăng trong chương trình lớp 8, nosphere vẫn chưa giới thiệu yếu tố công nghệ cho phép kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng xuất hiện và vận hành cùng với kỹ thuật chứng minh trực tiếp đã giới thiệu ở năm lớp 7? Chuyển sang phần đại số, “Trong chương trình, có nêu định nghĩa hai phương trình, bất phương trình tương đương nhưng không đưa vào các định lí về các phép biến đổi tương đương mà chỉ giới thiệu các phép biến đổi tương đương một số dạng phương trình cụ thể. “Lần đầu tiên, kí hiệu “ ” được sử dụng để chỉ sự tương đương của hai phương trình, bất phương trình. Giáo viên cần lưu ý cho học sinh không dùng kí hiệu này một cách tùy tiện: “Biết dùng đúng chỗ, đúng lúc kí hiệu “ ” [4, tr.3, tr.53]. Như vậy, cùng với khái niệm phương trình, bất phương trình tương đương, học sinh còn được tiếp cận với phép biến đổi tương đương và kí hiệu” ” được xem là hai công cụ chủ yếu của kỹ thuật giải các phương trình trong đại số. Đến đây, chúng tôi đặt ra câu hỏi: có những ràng buộc nào của thể chế được đặt ra ở đây, khi sách giáo viên không đưa vào đầy đủ yếu tố công nghệ để biện minh cho kỹ thuật giải phương trình, bất phương trình? mà vẫn đảm bảo kỹ thuật này vận hành tốt nhất? Việc đề nghị giáo viên lưu ý học sinh sử dụng kí hiệu ” ” này một cách hết sức cẩn trọng phải chăng là lưu ý có một quy tắc hợp đồng ngầm ẩn nào đó, giữa giáo viên và học sinh khi dạy học khái niệm này? Đây là những câu hỏi giúp chúng tôi định hướng khi phân tích chương trình lớp 8 1.1.3.Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán 9 Tiến độ thực hiện chương trình Toán 9 được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định như sau: Học kỳ 1 (72 tiết) 4 tiết x 19 tuần = 76 tiết Đại số (42 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết Hình học (34 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết Học kỳ 2 (68 tiết) 4 tiết x 18 tuần = 72 tiết Đại số (32 tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết 1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết Hình học (40tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết Cả năm (148 tiết) 4 tiết x 37 tuần = 148 tiết Đại số (74 tiết) Hình học (74 tiết) Về kỹ năng, “ yêu cầu về chứng minh định lí được nâng cao hơn so với các lớp dưới, nhiều định lí được chứng minh đầy đủ” [6, tr.121]. Giải thích cho nhận định trên, chúng tôi ghi nhận so với chương trình lớp 8, chương trình lớp 9 có mật độ xuất hiện các định lí thuận và định lí đảo dày đặc hơn. Một vài chứng minh, sách giáo khoa có trình bày bằng phương pháp phản chứng (ở chương II: Đường tròn , bài vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, cách xác định đường tròn…) mà không thừa nhận như ở lớp 7 và lớp 8.Như vậy, sách giáo khoa đã bổ sung yếu tố công nghệ nào để kỹ thuật nảy có thể vận hành? Nó được trình bày ra sao? câu hỏi này sẽ được chúng tôi trả lời khi phân tích sách giáo khoa . Chương III: Góc với đường tròn, ở bài cung chứa góc , học sinh tiếp cận với bài toán quỹ tích thông qua bài toán quỹ tích “ cung chứa góc”.Sách giáo viên có đề nghị lời giải một bài toán quỹ tích bao gồm phần thuận, phần đảo và kết luận Thuật ngữ “điều kiện ắt có và điều kiện đủ” được giới thiệu trong Sách giáo viên ở bài tứ giác nội tiếp nhằm giới thiệu cho học sinh điều kiện để tứ giác nội tiếp (điều kiện ắt có và điều kiện đủ). Tuy nhiên,” sách giáo khoa chưa sử dụng cụm từ “điều kiện ắt có và đủ” [6, tr.106]. Như vậy, trong chương trình lớp 9 - Có xuất hiện thêm các thuật ngữ mới điều kiện ắt có và điều kiện đủ. - Kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng được đưa vào giảng dạy cho học sinh. Qua phân tích chương trình các lớp 7, 8, 9, chúng tôi nhận thấy so với chương trình trung học phổ thông, khái niệm phép kéo theo và phép tương đương được đưa vào một cách không đầy đủ , nhiều tính chất, đặc trưng quan trọng của phép kéo theo và phép tương đương cũng không được nêu rõ ràng trong cả sách giáo viên và sách giáo khoa. Chính sự thiếu vắng các yếu tố công nghệ- lí thuyết này đã làm hạn chế nhiều việc giảng dạy khái niệm này ở trung học cơ sở. Nhằm có thể tìm kiếm câu trả lời cho một loạt các câu hỏi đã nêu ra và minh chứng cho những điều ghi nhận ở trên chúng tôi xin được đi vào phân tích sách giáo khoa 1.2. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa 1.2.1. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Toán 7 . Ở chương I: Đường thẳng vuông góc- Đường thẳng song song, bài Định lí, sách giáo khoa Toán 7, tập 1, tr99-100, có ghi: Định lí - Tính chất “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” được khẳng định là đúng không phải bằng đo trực tiếp mà bằng suy luận. Một tính chất như thế là một định lí. Ta có thể hiểu: Định lí là một khẳng định suy ra từ những khẳng định được coi là đúng. - Khi định lí được phát biểu dưới dạng “Nếu … thì …”, phần nằm giữa từ “Nếu” và từ “thì” là phần giả thiết (GT), phần sau từ “thì” là phần kết luận (KL). Chứng minh định lí Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận. Sau đó, , sách giáo khoa giới thiệu chứng minh một định lí Ví dụ: Chứng minh định lí: Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông. Giải (h.35) GT xÔz và zÔy kề bù Om là tia phân giác của xOz On là tia phân giác của zOy KL mÔn = 900 chứng minh mÔz = 2 1 xÔz (1) (vì Om là tia phân giác của xÔz) zÔn = 2 1 zÔy (2) (vì On là tia phân giác của zÔy) Từ (1) và (2) ta có : mÔz+ zÔn= 2 1 . (xÔz+ zÔy). (3) Vì tia OZ nằm giữa tia Om, On và vì xÔz và zÔy kề bù (theo giả thiết). nên từ (3) ta có mÔn = 2 1 ×1800 Vậy mÔn = 900 n z m y x O (h.35) Qua trình bày của sách giáo khoa , ta nhận thấy thể hiện ngầm ẩn quy tắc hợp đồng sau: “ chứng minh một mệnh đề là : -nêu các bước, mỗi bước gồm một khẳng định và căn cứ của khẳng định đó, - nối chúng lại bằng các liên từ :…ta có, vì… nên, suy ra…” Qua phần trình bày của sách giáo khoa, phép kéo theo được giới thiệu thông qua định lí được viết dưới dạng “ Nếu … thì…” và học sinh ghi nhận thông qua các ví dụ cụ thể. Một chú ý là sách giáo khoa không giới thiệu kí hiệu “” khi nói về phép kéo theo nhưng trong các phần chứng minh về sau thì kí hiệu này được sử dụng rất phổ biến, nhằm tạo ra sự nối khớp giữa các suy luận trong chứng minh. Phải chăng sách giáo khoa ngầm quy ước việc giới thiệu kí hiệu này thuộc về trách nhiệm của giáo viên? Chương II: Tam giác, trước bài Định lí Py- ta- go, trong phần bài đọc thêm, tr 128, sách giáo khoa có ghi: GT và KL của định lí 1 và dịnh lí 2 ở tr 126 có thể viết như sau: ĐỊNH LÍ 1 ĐỊNH LÍ 2 GT ABC AB=AC ABC CB ˆˆ  KL CB ˆˆ  AB=AC Ta thấy, là GT của định lí 2 nhưng là KL của định lí 1.AB=AC là KL của định lí 2 nhưng là GT của định lí 1. Nếu gọi định lí 1 là định lí thuận thì định lí 2 là định lí đảo. CB ˆˆ  Ta có thể viết gộp hai định lí 1 và 2 như sau: Với mọi ABC: AB=AC CB ˆˆ  Kí hiệu “ ” đọc là khi và chỉ khi.  Nếu có X Y và có Y X thì ta có thể viết X   Y Sau đó, sách giáo khoa có đưa một số ví dụ về định lí thuận và định lí đảo Ví dụ: xét hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ ba. Định lí thuận: Nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song. Định lí đảo: Nếu hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau. Chú ý rằng không phải định lí nào cũng có định lí đảo. Chẳng hạn với định lí : Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, câu phát biểu đảo : Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh không đúng, nó không phải là một định lí. Vậy làm thế nào để giải thích cho nhận định « Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh » là không đúng, sách giáo viên có ghi rõ : « Để chứng tỏ một mệnh đề toán học là sai, ta bác bỏ nó. Cách bác bỏ thông dụng là dùng phản ví dụ, là một tình huống thỏa mãn giả thiết nhưng không thỏa mãn kết luận ».[1, tr. 103]. Qua phần trình bày trên, sách giáo khoa đã cho HS tiếp cận với một tính chất quan trọng của phép kéo theo, là không có tính giao hoán đồng thời giới thiệu cho học sinh một kỹ thuật giải quyết cho kiểu nhiệm vụ « Giải thích một mệnh đề toán học là sai » bằng bác bỏ thông qua phản ví dụ. Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu Bài Định lí Py- ta- go cho HS bao gồm định lí Py- ta- go và định lí Py- ta- go đảo. Định lí Py- ta- go được giới thiệu thông qua hai hoạt động : - HĐ 1 : Vẽ một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 3cm và 4cm. Đo độ dài cạnh huyền. - HĐ 2 : Gấp hình để rút ra nhận xét về quan hệ giữa c2, a2 + b2 Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu định lí Py- ta- go : Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông. C 2 2 2BC AB AC ABC vuông tại A  A B Định lí Py- ta- go đảo được giới thiệu thông qua hoạt động HĐ : Vẽ tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. Hãy dùng thước đo góc để xác định số đo của góc BAC. Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu định lí Py- ta- go đảo : Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông. ∆ABC ,BC 2 = AB 2 + BC 2 ∆ABC vuông tại A  Như vậy, phép tương đương được tiếp cận trong sach1 giáo khoa lớp 7 thông qua định lí thuận và định lí đảo, được giới thiệu cho học sinh bằng các ví dụ cụ thể và được kí hiệu bằng dấu « ” . Ở chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy trong tam giác, ở bài Tính chất tia phân giác của một góc có giới thiệu hai định lí sau: Định lí 1 (định lí thuận) Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Chứng minh: (h. 29) hình 29 Hai tam giác vuông MOA và MOB có: - Cạnh huyền OM chung, - MÔA = MÔB (theo giả thiết). Do đó, ∆MOA = ∆MOB (cạnh huyền, góc nhọn), suy ra MA = MB. Định lí 2 (định lí đảo) Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. Hướng dẫn chứng minh: (h.30) O B M A y x x z y A M B O hình 30 - Kẻ tia OM. - Chứng minh hai tam giác MOA và MOB bằng nhau. Từ đó suy ra MÔA = MÔB hay OM là tia phân giác của góc xOy Nhận xét: Từ định lí 1 và định lí 2, ta có: Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó. Sau đó, sách bài tập lớp 7 có đưa vào bài toán “ Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng AB và CD”. [10, tr.29] Như vậy, ở lớp 7, chúng tôi ghi nhận có một kiểu nhiệm vụ mới xuất hiện có liên quan đến định lí thuận và định lí đảo. Đó là kiểu nhiệm vụ”Tìm tập hợp các điểm có tính chất nào đó” mà kỹ thuật để giải quyết là chứng minh hai phần thuận và đảo, như minh họa của sách giáo khoa . Chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy trong tam giác, các định lí đảo xuất hiện nhiều hơn so với chương II, và các định lí này được chứng minh hoặc gợi ý chứng minh.Tuy nhiên, chúng tôi ghi nhận có vài định lí được thừa nhận mà không chứng minh, ví dụ: định lí:”Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn” mà ta có thể chứng minh bằng phản chứng dựa vào định lí 1 và tính chất của tam giác cân. Chính việc không đưa vào khái niệm mệnh đề phản đảo của một mệnh đề và chỉ ra sự tương đương của mệnh đề và mệnh đề phản đảo của nó, trong chương trình sách giáo khoa lớp 7, mà phép chứng minh phản chứng đã không thể vận hành. 1.2.1 a. Bảng thống kê các định lí và định lí đảo được chứng minh hoặc thừa nhận trong chương II và III, sách giáo khoa hình học 7 Chương Số dịnh lí Số địnhlí đảo Chứng minh Thừa nhận II 11 02 08 (61,54) 05(38,46) III 09 04 10 (76,92) 03 (23,07) Các kiểu nhiệm vụ trong chương II và III trong sách giáo khoa và sách bài tập Toán lớp 7 1T : Chứng minh định lí τ1a: Chứng minh trực tiếp τ1b: Chứng minh bằng phản chứng τ1c: Chứng minh bằng quy nạp θ1: Định nghĩa phép kéo theo Ví dụ: Bài tập 43 , SBT ớp 7, t.1, tr. 80 Hãy chứng minh định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau. 11T : Sắp xếp các câu hợp lí để giải bài toán Ví dụ : Bài tập 18,SGK lớp 7, t.1, tr. 114 Xét bài toán : « ∆AMB và ∆ANB có MA = MB, NA = NB. Chứng minh rằng góc AMN = góc BMN. » Hãy sắp bốn câu sau đây một cách hợp lí để giải bài toán trên : a) Do đó, ∆AMN = ∆BMN (c.c.c) b) MN: cạnh chung. MA = MB (giả thiết) NA = NB (giả thiết) c) Suy ra, A Mˆ N = B Mˆ N (hai góc tương ứng) d) ∆AMN và ∆BMN có: M N A B hình 71 Mục đích của bài tập này là “ giúp học sinh biết cách trình bày một bài toán chứng minh hình học, ở một số bài tập trong sách giáo khoa có trình bày lời giải chi tiết (nhưng chưa sắp xếp đúng trình tự, yêu cầu học sinh sắp xếp lại cho đúng). Giáo viên và học sinh có thể tham khảo cách trình bày đó để trình bày lời giải bài toán chứng minh được gọn gàng và đầy đủ” [2, tr. 113]. Phần trình bày này, càng làm rõ quy tắc hợp đồng sau: “ chứng minh một mệnh đề là : -nêu các bước, mỗi bước gồm một khẳng định và căn cứ của khẳng định đó, - nối chúng lại bằng các liên từ (từ…ta có, vì… nên, suy ra…)” 2T : Giải thích một mệnh đề toán học là đúng hay sai τ2a: Chứng minh trực tiếp τ2b: Bác bỏ bằng phản ví dụ θ1: Định nghĩa phép kéo theo Ví dụ: Bài tập 6 SGK lớp 7, t.2, tr 87 Có thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác. Đúng hay sai? Tại sao? T31 : Vẽ hình ( nêu cách vẽ hình H) là kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T3 « Dựng hình H có tính chất α » mà chúng tôi sẽ phân tích ở chương trình lớp 8. τ31 : Cách dựng : Nêu tuần tự các bước dựng hình và thể hiện các nét dựng trên hình vẽ. Ví dụ : Bài tập 24 SGK lớp 7, t.1, tr. 118 Vẽ tam giác ABC biết Aˆ = 900, AB = AC = 3cm. Sau đó, đo các góc B và C T4: Tìm tập hợp điểm có tính chất α τ4 : Chứng minh phần thuận Ví dụ : Bài tập 43 SBT lớp 7, t. 2, tr.29 Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng AB và CD. 1.2.1.b. Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ của chương II và III trong sách giáo khoa và Sách bài tập lớp 7 T1 T11 T2 T31 T4 SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT II 20/33 60.61 51/58 87.93 2/33 6.06 0 0 4/33 12.12 1/58 1.73 6/33 18.18 6/58 10.34 0 0 0 0 III 33/43 76.74 46/53 86.79 0 0 0 0 7/43 16.28 2/53 3.77 3/43 6.98 3/53 5.67 0 0 2/53 3.77 Như vậy, trong chương trình lớp 7: - Học sinh tiếp cận với khái niệm phép kéo theo và phép tương đương thông qua các thuật ngữ định lí, định lí thuận, định lí đảo, hệ quả.. - Sách giáo khoa có nói đến một đặc trưng của phép kéo theo là không có tính giao hoán nhưng ngầm ẩn thông qua các định lí không có định lí đảo. - Sách giáo khoa có nói đến hai kỹ thuật chứng minh: chứng minh trực tiếp( hoặc bác bỏ) và chứng minh bằng phản chứng, nhưng chỉ vận hành kỹ thuật chứng minh trực tiếp. 1.2.2. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Toán 8 Trong phần hình học, chương I: Tứ giác, có giới thiệu định nghĩa, tính chất và các dấu hiệu nhận biết các loại tứ giác đặc biệt như: hình thang cân (sau khi giới thiệu hình thang), hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông. Vì cách trình bày của SGK khi dạy học các khái niệm này là tương tự nhau nên chúng tôi chỉ lược trích một bài làm ví dụ để phân tích, chẳng hạn, bài hình vuông.[3, tr.107- 109] Bài này được giới thiệu ngay sau khi học sinh học xong bài hình chữ nhật và hình thoi. 1. Định nghĩa: Tứ giác ABCD trên hình 104 có và AB = BC = CD = DA là một hình vuông. DCBA ˆˆˆˆ  Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.      DACDBCAB DCBA ˆˆˆˆTứ giác ABCD là hình vuông Từ định nghĩa hình vuông, ta suy ra: - Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau. - Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông. Như vậy, hình vuông vừa là hình chữ nhật , vừa là hình thoi. A B D C Xuất phát từ nhận xét trên, SGK suy ra tính chất của hình vuông. 2.Tính chất Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi. Như vậy, các dấu hiệu nhận biết một hình vuông cũng chính là dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật và hình thoi mà học sinh đã được giới thiệu trong các bài học trước. Cụ thể: 3.Dấu hiệu nhận biết 1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông. 2. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông. 3. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông. 4. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông. 5. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. Đến đây thì giáo viên có thể đề n._.ghị học sinh tự chứng minh các dấu hiệu nhận biết trên. Cuối cúng, sách giáo khoa có nêu nhận xét sau: Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông. Tuy nhiên, trong phần bài tập, sách giáo khoa có đưa ra một số bài tập có liên quan đến việc tìm điều kiện để một tứ giác trở thành tứ giác đặc biệt, ví dụ bài 88, SGK toán 8, t.1, tr.111 Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Các đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD có điều kiện gì thì EFGH là : a) Hình chữ nhật? b) Hình thoi? c) Hình vuông? Chúng tôi ghi nhận lời giải sau đây trong SGV toán 8, t.1, tr. 153 Học sinh đã được giao về nhà làm bài này. Trước hết cho học sinh chứng minh: EFGH là hình bình hành, các cạnh của hình bình hành EFGH song song và bằng nửa các đường chéo của tứ giác ABCD. Sau đó, gọi HS trả lời các câu hỏi a), b), c) của bài 88. a) Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật  EHEF  ACBD (vì EH // BD, EF //AC). Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. b) Hình bình hành EFGH là hình thoi  EF = EH  AC = BD (vì EF = 2 1 AC, EH = 2 1 BD). Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC và BD bằng nhau. c) Hình bình hành EFGH là hình vuông      BDAC BDAC Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC và BD bằng nhau và vuông góc với nhau.. Qua phần trình bày của sách giáo viên, chúng tôi ghi nhận lời giải mong đợi là học sinh tìm được điều kiện cần và đủ (sách giáo viên sử dụng kí hiệu “ ”) để hình bình hành EFGH trở thành các tứ giác đặc biệt như hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. Tuy nhiên, trong phần bài học, chúng tôi không tìm thấy thuật ngữ này được đưa vào và sử dụng trong sách giáo khoa. Phải chăng có một sự quy ước ngầm ẩn của sách giáo khoa khi nói về thuật ngữ này “ ”được hiểu là điều kiện cần và đủ (hay khi và chỉ khi)? Tiếp theo, nhằm hệ thống lại các bài toán dựng hình được giới thiệu rải rác trong phần lí thuyết và bài tập ở lớp 6, lớp 7, sách giáo khoa lớp 8 giới thiệu bài Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang, SGV Toán 8, t.1, tr.116 có nêu: “Ở toán dựng hình, những hình cho trước coi là dựng được, việc dựng hình dựa trên các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản.” Giải bài toán dựng hình là chỉ ra một số hữu hạn các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, rồi chứng tỏ rằng hình dựng được có đủ các tính chất mà bài toán đòi hỏi.” Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu bài toán dựng hình thang sau: 3. Dựng hình thang Ví dụ: Dựng hình thang ABCD biết đáy AB = 3cm, đáy CD = 4cm, cạnh bên AD = 2cm, = 700 Dˆ a) Phân tích: Giả sử đã dựng được hình thang ABCD thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Tam giác ACD dựng được vì biết hai cạnh và góc xen giữa. Điểm B phải thỏa mãn hai điều kiện: - B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD. - B cách A một khoảng 3cm nên nằm trên đường tròn tâm A bán kính 3cm. b) Cách dựng - Dựng ∆ACD có = 700, DC = 4cm, DA = 2cm. Dˆ - Dựng tia Ax song song với DC (tia Ax và điểm C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AD). - Dựng điểm B trên tia Ax sao cho AB = 3cm. Kẻ đoạn thẳng BC. c) Chứng minh Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD Hình thang ABCD có CD = 4cm, D = 700, AD = 2cm, AB = 3cm nên thỏa mãn yêu cầu của bài toán. d) Biện luận Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện của đề bài. Thông qua cấu trúc logic của bài toán dựng hình:” Dựng hình H có tính chất  ”như sau: - Phân tích: Chứng tỏ rằng nếu hình H có tính chất  thì hình H có tính chất  - Cách dựng: Dựng hình K có tính chất  (theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản). - Chứng minh: Chứng tỏ rằng hình K có tính chất  ( K ≡ H ) - Biện luận: Xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra của bài toán. Trong đó, sách giáo viên có nêu rõ “phân tích là điều kiện cần (đảm bảo không dựng thiếu hình), chứng minh là điều kiện đủ (đảm bảo không dựng thừa hình) của hình phải dựng”.Tuy nhiên, “theo chương trình quy định, không yêu cầu học sinh viết các phần phân tích và biện luận trong bài làm” [4, tr.113-117]. Như vậy, sách giáo khoa lớp 8 có trình bày một kỹ thuật để giải quyết cho kiểu nhiệm vụ: T3“Dựng hình thỏa tính chất cho trước” mà kỹ thuật τ3 bao gồm hai bước : - Cách dựng: Nêu tuần tự các bước dựng hình và thể hiện các nét dựng trên hình vẽ. - Chứng minh: Bằng lập luận chứng tỏ rằng với cách dựng như trên, hình đã dựng thỏa các điều kiện của đề bài. Chúng tôi ghi nhận: “các bài tập trong sách giáo khoa đều cho độ dài đoạn thẳng và số đo góc bằng số cụ thể để không phải xét nhiều trường hợp. sách giáo khoa chỉ giới thiệu một bài (bài tập 34) có hai hình thỏa mãn đề bài để học sinh làm quen với trường hợp hình thỏa mãn đề bài không phải là duy nhất” [4, tr.117 ] Đây chính là ràng buộc của thể chế để đảm bảo cho kỹ thuật này vận hành tốt nhất. Sau đó, Trong bài Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước , sau khi giới thiệu định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia. SGK nêu tính chất: Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h. [3, tr.101] Sau đó, sách giáo khoa xét bài toán: “ Xét các tam giác ABC có cạnh BC cố định, đường cao ứng với cạnh BC luôn bằng 2cm (h.95). Đỉnh A của các tam giác đó nằm trên đường nào?”, [3, tr.101] h.95 Từ đó, sách giáo khoa nêu nhận xét : Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h. Ở đây chúng tôi ghi nhận có một kiểu nhiệm vụ con T41: ““ Cho một điểm chuyển động trên một đường. Tìm xem một điểm khác (phụ thuộc vào điểm đó) di chuyển trên đường nào”, của kiểu nhiệm vụ T4 “chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất τ là một hình H nào đó” mà chúng tôi sẽ phân tích trong sách giáo khoa lớp 9. 1.2.2 a. Bảng thống kê các định lí và định lí đảo được chứng minh hoặc thừa nhận trong chương II và III, sách giáo khoa hình học 8 Chương Số dịnh lí Số địnhlí đảo Chứng minh Thừa nhận II 15 23 34/38 (89.47) 4/38 (10.53) III 10 01 9/11 (81.82) 2/11 (18.18) 2cm A’ A H’CH B 1.2.2 b. Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ của chương II và III trong sách giáo khoa và sách bài tập lớp 8 T1 T12 T2 T3 T41 SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT II 39/55 70.91 97/131 73.48 2/55 3.64 5/131 0 5/55 9.09 2/131 1.52 6/55 10.91 22/131 16.67 3/55 5.05 5/131 3.79 III 15/24 62.5 32/36 88.89 0 0 0 0 4/24 16.67 0 0 2/24 8.33 4/36 11.11 0 0 0 0 Vậy trong sách giáo khoa lớp 8, - HS tiếp cận một cách ngầm ẩn với khái niệm phép kéo theo và phép tương đương thông qua thuật ngữ điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ (SGV có nói đến nhưng SGK không sử dụng) - sách giáo khoa có xây dựng các kiểu nhiệm vụ mà kỹ thuật giải quyết là chứng minh hai phần thuận và đảo. - sách giáo khoa chỉ giới thiệu kỹ thuật chứng minh trực tiếp mà chưa đưa vào kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng. Chuyển sang phần Đại số, sách giáo khoa lớp 8 có giới thiệu thuật ngữ tương đương thông qua khái niệm phương trình tương đương, bất phương trình tương đương và các phép biến đổi tương đương trong chương III: Phương trình bậc nhất một ẩn và chương IV: Bất phương trình bậc nhất một ẩn. Mục tiêu của chương là ”Học sinh có kỹ năng giải và trình bày lời giải các phương trình, bất phương trình có dạng quy định trong chương trình. Biết dùng đúng lúc, đúng chỗ kí hiệu “ ””.[4, tr.3] Phương trình tương đương- Bất phương trình tương đương Ta gọi hai phương trình có cùng tập nghiệm là hai phương trình tương đương với nhau. [3, tr.6] Để chỉ hai phương trình tương đương với nhau, ta dùng kí hiệu “ ” chẳng hạn: x+1= 0 x= -1 Ta gọi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương với nhau. [3, tr. 42] Để chỉ hai bất phương trình tương đương với nhau, ta dùng kí hiệu “ ” chẳng hạn:3 3   Như vậy, khái niệm phương trình , bất phương trình tương đương được xây dựng dựa trên tập nghiệm của hai phương trình , bất phương trình đó. Kí hiệu “ ” để chỉ hai phương trình, bất phương trình tương đương lần đầu tiên xuất hiện trong sách giáo khoa. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn- Bất phương trình bậc nhất một ẩn Phương trình dạng ax+b= 0, với a và b là hai số đã cho và a 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn[3, tr.7]  Bất phương trình dạng ax+b 0, ax+b 0, ax+b 0) trong đó, a và b là hai số đã cho, a   0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. [3, tr.43] Để giải phương trình , bất phương trình này ta thường dùng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân. Hai quy tắc biến đổi phương trình- bất phương trình a. Quy tắc chuyển vế Trong một phương trình , bất phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. b. Quy tắc nhân với một số Trong một phương trình , bất phương trình ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số khác không - giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương. - đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm. [3, tr.8, tr.44] Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn- Bất phương trình bậc nhất một ẩn Ta thừa nhận rằng: Từ một phương trình , bất phương trình dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được phương trình , bất phương trình mới tương đương với phương trình , bất phương trình đã cho. Ví dụ 1: giải phương trình: 3x-9= 0 Phương pháp giải: 3x-9= 0 3x= 9 (chuyển -9 sang vế phải và đổi dấu) x= 3 (chia cả hai vế cho 3)  - Kết luận: phương trình có nghiệm duy nhất x= 3 [3, tr. 9] Ví dụ 2: Giải bất phương trình 4 1 x < 3 Giải:Ta có 4 1 x < 3  4 1 x.(-4) > 3.(-4) (nhân hai vế với -4 và đổi chiều) x > -12  - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x / x > -12} [3, tr. 45] Sách giáo khoa giới thiệu hai quy tắc biến đổi phương trình , bất phương trình chứ không nêu các “định lí “ về các phép biến đổi tương đương. Qua ví dụ cụ thể, sách giáo khoa đều ngầm thể hiện ý: biến đổi phương trình , bất phương trình theo các quy tắc này đều giữ nguyên tập nghiệm. [3 ,tr. 53] Các tác giả chỉ nêu ra hai phép biến đổi hay dùng và gọi chúng là quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số, đồng thời thừa nhận chúng là các phép biến đổi tương đương. Hai quy tắc này được sử dụng trong suốt chương như một công cụ chủ yếu để giải phương trình , bất phương trình [4 , tr.8] Ở đây sách giáo khoa có ghi :”chỉ xét các phương trình , bất phương trình mà hai vế là hai biểu thức hữu tỉ của ẩn và không chứa ẩn ở mẫu. Điều đó loại trừ mọi hạn chế khi thực hiện các phép tính đại số đã học để thu gọn các biểu thức có trong phương trình ”.[4, tr.8 ]. Đây chính là ràng buộc của thể chế, yêu cầu GV có trách nhiệm lựa chọn các phương trình, bất phương trình có dạng quy định trong chương trình và HS có trách nhiệm giải bằng các sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương đã học. Như vậy,ở đây tồn tại một kiểu nhiệm vụ T: “Giải phương trình hoặc bất phương trình “ mà kỹ thuật τ để giải phương trình , bất phương trình bậc nhất một ẩn là phối hợp hai quy tắc biến đổi tương đương: quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân. Như vậy, trong sách giáo khoa lớp 8, học sinh được tiếp cận một cách ngầm ẩn với phép tương đương theo hai quan điểm : - trong hình học : thông qua điều kiện cần và đủ - trong đại số : thông qua định nghĩa hai phương trình (bất phương trình) tương đương và phép biến đổi tương đương phương trình và bất phương trình. và cùng được biểu đạt thông qua kí hiệu “  ”. Vì cách tiếp cận là ngầm ẩn, nên sách giáo khoa không tập trung làm rõ nghĩa của phép kéo theo và phép tương đương mà chủ yếu là giới thiệu cho học sinh một đặc trưng quan trọng của phép tương đương là trong lí luận (lập luận suy diễn) hoàn toàn có thể thay thế một mệnh đề bằng mệnh đề tương đương với nó. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc chứng minh , trong việc giải các phương trình và bất phương trình. 1.3. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Toán 9 Mục tiêu chung của chương trình vẫn là giúp học sinh phát triển khả năng tư duy logic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình. Đến lớp 9, học sinh đã được chuẩn bị kiến thức một cách căn bản từ các lớp 6, 7, 8. Vì vậy cần chú trọng: - Tăng cường rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng thực hiện các phép biến đổi… - Tăng cường rèn luyện suy luận, chứng minh. - Mở rộng, đi sâu và hệ thống những kiến thức đã học ở các lớp 6, 7, 8. [6 ,tr.9] Như vậy, khái niệm phép kéo theo và phép tương đương đã được mở rộng, đi sâu và hệ thống như thế nào để giúp học sinh tăng cường rèn luyện suy luận, chứng minh? Những đặc trưng nào của phép kéo theo và phép tương đương được tiếp tục làm rõ trong sách giáo khoa Toán 9? Những đặc trưng này có tạo nên yếu tố công nghệ- lí thuyết mới để hình thành nên các kỹ thuật chứng minh mà sách giáo khoa muốn rèn luyện cho học sinh ? Trong chương III: Góc với đường tròn, bài Cung chứa góc có giới thiệu bài toán quỹ tích “cung chứa góc”[5, tr.83-85] 1. Bài toán quỹ tích “cung chứa góc” Bài toán: Cho đoạn thẳng AB và góc α (00 < α < 1800). Tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn BMA ˆ = α. (Ta cũng nói quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới góc α). Sách giáo khoa có nêu các hoạt động thực hành giúp học sinh dự đoán quỹ đạo chuyển động của điểm M. Theo dự đoán, ta sẽ chứng minh quỹ tích cần tìm là hai cung tròn. Chứng minh: a) Phần thuận (h. 40). A B x y M m O d α α O d α α y B M A x h. 40 Giả sử M là điểm thỏa mãn BMA ˆ = α và nằm trong nửa mặt phẳng đang xét. Xét cung AmB đi qua ba điểm A, M, B. Sau khi chứng minh tâm O của đường tròn chứa cung đó là một điểm cố định (không phụ thuộc vào M). Vậy M thuộc cung tròn AmB cố định. b) Phần đảo: Lấy điểm M’ thuộc cung tròn AmB (h. 41), ta chứng minh được BMA 'ˆ = α Tương tự, trên nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng đang xét, ta còn có cung AmB đối xứng với cung AmB qua AB cũng có tính chất như cung AmB (h. 42). Mỗi cung trên được gọi là cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng AB, tức là cung mà với mọi điểm M thuộc cung đó, ta đều có BMA ˆ = α. A B O M’ m α c) Kết luận: Với đoạn thẳng AB và góc α (00 < α < 1800) cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn BMA ˆ =  là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB. 2. Cách giải bài toán quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất τ là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần: Phần thuận: Mọi điểm có tính chất τ đều thuộc hình H. Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất τ. Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất τ là hình H. Như vậy, đến lớp 9, học sinh được làm quen với một kiểu nhiệm vụ mới T4: “chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất τ là một hình H nào đó” mà kỹ thuật τ4 là chứng minh : - phần thuận: chứng minh điều kiện cần của bài toán. - phần đảo: chứng minh điều kiện đủ của bài toán. công nghệ là θ2: Đặc trưng của phép tương đương Như vậy, học sinh tiếp cận với phép tương đương một cách ngầm ẩn thông qua kiểu nhiệm vụ “giải bài toán quỹ tích”.Yếu tố công nghệ được sử dụng để kỹ thuật này được vận hành chính là đặc trưng của phép tương đương. Trong chương II: Đường tròn, ở bài Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn, khi nêu cách xác định đường tròn: Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. Sách giáo khoa lớp 9 có trình bày một chứng minh bằng phản chứng như sau: Thật vậy, giả sử có đường tròn (O) đi qua ba điểm thẳng hàng A, B, C (h. 54) d1 d2 C B A hình 54 thì tâm O là giao điểm của đường trung trực d1 của AB (vì OA = OB) và đường trung trực d2 của BC (vì OB = OC). Do d1 // d2 nên không tồn tại giao điểm của d1 và d2 , mâu thuẫn.[5, tr. 98] Ngoài ra, chúng tôi ghi nhận sách giáo khoa còn sử dụng chứng minh phản chứng trong một vài chứng minh khác, ví dụ: đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau. Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng a, khi đó OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a. Khi đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung C, ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) tiêp xúc nhau. Ta còn nói đường thằng a là tiếp tuyến của đường tròn (O). Điểm C gọi là tiếp điểm. Khi đó, H trùng với C, OC a và OH = R  Thật vậy, giả sử H không trùng với C, lấy điểm D thuộc đường thẳng a sao cho H là trung điểm của CD. Khi đó, C không trùng với D. Vì OH là đường trung trực của CD nên OC = OD. Ta lại có OC = R nên OD = R. Như vậy, ngoài điểm C ta còn có điểm D cũng là điểm chung của đường thẳng a với đường tròn (O), điều này mâu thuẫn với giả thiết là đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung. Vậy H phải trùng với C. Điều đó chứng tỏ OC a và OH = R. [5, tr. 108] 1.2.3 a. Bảng thống kê các định lí và định lí đảo được chứng minh hoặc thừa nhận trong chương II và III, sách giáo khoa Toán 9 Chương Số dịnh lí Số địnhlí đảo Chứng minh Thừa nhận II 18 09 20/27 (74.07) 7/27 (25.93) III 09 03 9/12 (75) 3/12 (25) 1.2.3.b. Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ của chương II và III trong sách giáo khoa và sách bài tậpToán 9 T1 T12 T2 T3 T31 T4 O D HCa O C=Ha SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT II 17/20 85 47/57 82.46 0 0 0 0 0 0 1/57 1.75 3/20 15 9/57 15.79 0 0 0 0 0 0 0 0 III 32/44 72.73 27/40 67.5 1/44 2.27 0 0 2/44 4.55 0 0 4/44 9.09 4/40 10 0 0 5/40 12.5 5/44 11.36 4/40 10 Như vậy, trong chương trình lớp 9 - Có xuất hiện thêm các thuật ngữ mới điều kiện ắt có và điều kiện đủ. - Kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng được đưa vào giảng dạy cho học sinh. 1.3. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Pháp Để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức trong mỗi hệ thống dạy- học, chúng tôi xin được tiến hành so sánh đối chiếu với sách giáo khoa của Pháp Sách giáo khoa được chọn phân tích là: 1. Mathématiques 5e, COLLECTION TRIANGLE, 1998, Hatier [a] 2. Mathématiques 4e, COLLECTION TRIANGLE, 1998, Hatier [b] 3. Mathématiques 3e, COLLECTION TRIANGLE, 1998, Hatier [c] Lí do lựa chọn: Đây là sách giáo khoa làm căn cứ cho việc soạn thảo sách giáo khoa Toán lớp 7, lớp 8, lớp 9 dùng cho các lớp song ngữ ở Việt Nam. 3.1 Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Pháp lớp 7 (5e) Bài Lập luận suy diễn 1. Những quy tắc chứng minh toán học [[a], tr.127] Trong toán học, để nhận biết một phát biểu là đúng hay sai, người ta sử dụng một vài quy tắc: (1) Một phát biểu toán học thì hoặc là đúng hoặc là sai. (2) Những ví dụ để kiểm chứng cho một phát biểu chưa đủ để chứng minh rằng phát biểu đó là đúng. (3) Một ví dụ mà không kiểm chứng được phát biểu đủ để chứng minh rằng phát biểu đó là sai. Ví dụ đó được gọi là phản ví dụ. (4) Sự cảm nhận hoặc đo đạc trên một hình vẽ không đủ để chứng minh rằng một phát biểu hình học là đúng. 2. Mệnh đề và mệnh đề đảo [[a], tr.127] Trong toán học, người ta rất thường sử dụng những phát biểu dưới dạng “nếu … thì …”. Ví dụ: Nếu hai đường thẳng vuông góc thì chúng cắt nhau Điều kiện của phát biểu trên đây là “ hai đường thẳng vuông góc” còn kết luận của nó là “ chúng cắt nhau” Mệnh đề đảo của phát biểu trên là: Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì chúng vuông góc Phát biểu này là sai Người ta nhận được mệnh đề đảo của một mệnh đề bằng cách hoán vị điều kiện và kết luận của phát biểu đó Chú ý: mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không phải luôn luôn đúng. Ví dụ, phát biểu trên đây là đúng nhưng mệnh đảo của nó lại sai Như vậy, sách giáo khoa có nói đến một đặc trưng của phép kéo theo là không có tính giao hoán, nhưng tiếp cận một cách ngầm ẩn, thông qua các ví dụ. 3. Phản ví dụ [[a], tr.128] Đối với một phát biểu dưới dạng “nếu …thì…” một phản ví dụ là một trường hợp thỏa điều kiện nhưng không thỏa kết luận Ví dụ, đối với phát biểu: Nếu một số là chia hết cho 5 thì nó tận cùng bởi 5”, 10 là một phản ví dụ Như vậy, phát biểu là sai Như vậy, sách giáo khoa trình bày một kỹ thuật bác bỏ một mệnh đề toán học là sai là tìm một phản ví dụ. Đó là một trường hợp thỏa điều kiện nhưng không thỏa kết luận. Như vậy, sách giáo khoa tiếp tục cho học sinh tiếp cận với nghĩa của phép kéo theo là chỉ sai khi mệnh đề kéo theo sai. Nhưng cũng hoàn toàn ngầm ẩn thông qua các ví dụ. Ví dụ: ABC là một tam giác, kẻ đường cao xuất phát từ A, cắt BC tại H. Kẻ đường thẳng (d) vuông góc với BC đi qua C. Chứng minh rằng AH và (d) song song . - Ta biết rằng AH vuông góc với BC, theo định nghĩa của đường cao trong tam giác. Ta cũng biết rằng, (d) vuông góc với BC (đề bài cho) - Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song (tính chất ) - Vậy, AH và (d) song song ( kết luận ) Như vậy trong một luận chứng luôn sử dụng các tính chất.[ [a], tr. 92] 3. Chứng minh một phát biểu đại số là đúng Những ví dụ không cho phép chứng minh những phát biểu đại số là đúng . Để chứng minh một phát biểu đại số là đúng, ta thường sử dụng các phép biến đổi đại số Ví dụ: chứng minh rằng: Cho một số, thêm 6 vào số đó, nhân kết quả với 3, trừ đi 3 lần số ban đầu . Chứng minh rằng với mọi số đã cho ban đầu, ta luôn nhận được số 18. Gọi x là số ban đầu. Thêm 6 vào số đó x+6 Nhân kết quả với 3 (x+6) x 3 Trừ đi ba lần số ban đầu (x+6) x 3 -3x Đơn giản biểu thức này nhờ vào các tính chất của luật phân phối: ( x+6 ) x 3-3x = 18 Như vậy, ta luôn nhận được số 18, với mọi số đã chọn ban đầu Ngoài ra trong chương 10 : Tam giác, sách giáo khoa có giới thiệu bất đẳng thức tam giác và các đường đặc biệt trong tam giác như :các đường cao, các đường phân giác, các đường trung trực, nhưng chỉ giới thiệu các định nghĩa mà không đưa vào các tính chất. Chỉ đưa vào tính chất của đường trung trực trong tam giác để xây dựng khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác.Sau đó, sách giáo khoa có giới thiệu cách vẽ tam giác nếu biết : - hai cạnh và một góc xen giữa ; - hai góc và một cạnh kề với hai góc đó ; - ba cạnh Ở chương 13 : Tứ giác, sách giáo khoa giới thiệu tâm đối xứng của hình bình hành là giao điểm của hai đường chéo. Sau đó, suy ra các tính chất của hình bình hành và thiết lập các mệnh đề đảo của các tính chất cho phép : - kiểm tra hình tính của một tứ giác ; - nhận biết một hình bình hành ; - kẻ một hình bình hành. Các tổ chức toán học được xây dựng T1: Chứng minh một mệnh đề toán học là đúng τ11:Thực hiện chuỗi mắt xích suy luận sau : - Ta biết rằng ... (giả thiết hoặc kết luận ở trên) - Nếu ... thì ... (tính chất) - Như vậy ... (kết luận) T11: Hoàn thành chuỗi suy luận diễn dịch bằng cách điền vào chỗ trống.. Ví dụ : Bài tập 23 [[a], tr.133] Hoàn thành chuỗi suy luận diễn dịch sau: a) Ta biết rằng (d) // (d’) và (d) // (d’’) Nếu … thì … Như vậy,(d’) //(d’’). T2: Kiểm tra tính đúng sai của một mệnh đề τ21 : Dùng lập luận để chứng minh mệnh đề đúng τ22 : Dùng một phản ví dụ để bác bỏ mệnh đề sai Ví dụ : Bài tập 6 [[a], tr.131] Đây là một phát biểu:” nếu một số là bội số của 4 thì nó là bội số của 8” Phát biểu này là đúng hay sai ?. T31 : « Vẽ hình H có tính chất α » τ31 : - Nêu tuần tự các bước dựng hình và thể hiện các nét dựng trên hình vẽ. - Kiểm tra lại tính chính xác của hình vẽ bằng cách kiểm tra rằng tất cả các số đo là thỏa mãn đề bài. 1.3.1.a Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa Pháp lớp 7 Chương T1 T11 T2 T31 Suy luận diển dịch 06 (23.08) 06 (23.08) 14 (53.84) 0 Tam giác 0 0 0 35 (100) Tứ giác 12 (25.53) 03 (6.38) 0 32 (68.09) 1.3.1.b. Phân tích sự chuyển đổi didactic của phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa Pháp & Việt Nam sách giáo khoa Pháp sách giáo khoa Việt Nam Cách tiếp cận phép kéo theo 1. Mệnh đề và mệnh đề đảo 2. mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không phải luôn luôn đúng 3. Phản ví dụ 4. Chứng minh định lí là dùng những luận chứng được trình bày dưới dạng: - Ta biết rằng … 1. Định lí 2. Không phải định lí nào cũng có định lí đảo. 3. Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận. - Nếu … thì … - vậy … Các kiểu nhiệm vụ 1. Chứng minh một mệnh đề toán học. 2. Giải thích mệnh đề toán học là đúng hay sai. 3. Vẽ hình 1. Chứng minh một mệnh đề toán học. 2. Giải thích mệnh đề toán học là đúng hay sai. 3. Vẽ hình Như vậy, qua phần trình bày của sách giáo khoa Pháp, học sinh nhận ra vai trò của phép kéo theo là tạo sự nối khớp giữa giả thiết và kết luận trong một chứng minh. 3.2. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Pháp lớp 8 (4e) Khác với sách giáo khoa Việt Nam, sách giáo khoa Pháp trình bày định lí Pythagore ở lớp 8. Hoạt động 2: Tìm cách chứng minh định lí Pythagore Hình này bao gồm hai tam giác EFK và KLM bằng với tam giác vuông ABC vuông tại C sao cho ba điểm F, K, M thẳng hàng. c b a b a b c A C B F K M E L Những câu hỏi dưới đây cho phép chứng minh các điều dự đoán trong hoạt động 1, ở đây có nghĩa là a2 + b2 = c2 a. Chứng minh rằng góc EKL là góc vuông b. Viết công thức tính diện tích các tam giác EFK, KLM, EKL theo a,b, c c. Tính diện tích của EFLM theo hai cách khác nhau d. Kết luận gì? Lời giải dự kiến a. LKE ˆ = 1800- ( MKLFKE ˆˆ  ) = 1800 ( BCA ) = 1800 – 900 = 900 BAC ˆˆ  b. diện tích EFK : A1= 2 1 ab, diện tích KLM : A2= 2 1 ab, diện tích EKL A3= 2 1 c2 c. hai cạnh EF và LM cùng vuông góc với FM nên song song với nhau d. diện tích của hình thang EFML : A0= 2 1 (a + b)2 = 2 1 ( 2ab +c2) Suy ra, (a + b)2 = 2ab + c2 kết luận: a2 + b2 = c2 1. Phát biểu định lý Pythagore Nếu một tam giác là vuông thì bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng các bình phương độ dài của hai cạnh còn lại Nếu ABC là tam giác vuông tại A thì BC2 = AB2 + AC2 Trong một tam giác vuông, định lí Pythagore cho phép tính độ dài của một cạnh nếu biết độ dài của hai cạnh kia. 2. Định lí đảo của định lí Pythagore Người ta thừa nhận mệnh đề đảo của định lí Pythagore là đúng Nếu trong một tam giác, bình phương độ dài của cạnh lớn nhất thì bằng tổng bình phương các độ dài của hai cạnh còn lại thì tam giác này là vuông và góc vuông là góc đối diện với cạnh lớn nhất Nếu trong tam giác ABC, BC2 = AB2 + AC2thì tam giác này vuông tại A Định lí đảo của định lí Pythagore cho phép chứng minh rằng một tam giác là vuông Ví dụ: Chứng minh rằng tam giác MNP sao cho MN = 3.3cm, NP = 6.5cm, PM = 5.6cm là một tam giác vuông. Vì NP2 = MN2+ MP2 nên tam giác MNP vuông tại M Ngoài các kiểu nhiệm vụ của SGK lớp 7, sách giáo khoa lớp 8 có giới thiệu một kiểu nhiệm vụ mới T3: “ Dựng hình H có tính chất α”: Mục đích của bài toán này là tìm một phương pháp để dựng một điểm, một đường thẳng hoặc một đường tròn khác với việc dựng một cách mò mẫm. Trong bài tập này người ta yêu cầu: -Phân tích. - Cách dựng - Chứng minh - Biện luận” Ví dụ: Bài tập 64, tr. 104 Kẻ một đường tròn không sử dụng compas (với một đồng tiền chẳng hạn). Dựng tâm của đường tròn này. 1.3.2.a.Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa Pháp lớp 8 Chương T1 T11 T3 T31 T3 Tam giác vuông và đường tròn 28 (71.79) 01 (2.56) 05 (12.83) 02 (5.13) 03 (7.69) Tam giác và các đường thẳng song song 23 (92) 02 (8) 0 0 0 Các đường đặc biệt trong tam giác 18 (46.15) 01 (2.56) 01 (2.56) 19 (48.73) 0 Chương 8: Phương trình Giải phương trình ẩn x là tìm những giá trị mà khi thay vào x ta nhận được đẳng thức Những giá trị đó được gọi là những nghiệm của phương trình Ví dụ: Cho phương trình 2x + 3 = x + 8 5 là nghiệm của phương trình vì 2  5 + 3 = 5 + 8 Chú ý: Có những phương trình không có nghiệm Ví dụ: 0x = 7 không có nghiệm Để giải một phương trình, người ta phải biến đổi nó, qua nhiều bước, để đưa về một phương trình có dạng x = a hoặc 0x = a (ở đây a là một con số). Nhưng phải chắc chắn rằng, ở mỗi bước, những phương trình nhận được luôn có cùng tập nghiệm Ba quy tắc cho phép biến đổi một phương trình về phương trình mới mà luôn có cùng tập nghiệm: - Đơn giản mỗi vế của phương trình. - Cộng thêm (hoặc trừ bớt) với cùng một số vào hai vế của một phương trình. - Nhân (hoặc chia) với cùng một số khác không vào hai vế của mỗt phương trình. Giải một phương trình - Nghiệm là 6 1 Đơn giản tối đa mỗi vế bằng cách sử dụng những tính chất đã học của đẳng thức. - Chuyển số hạng chứa ẩn số về một trong hai vế bằng cách thêm số hạng đối của nó vào mỗi vế. Chuyển số hạng không chứa ẩn số về vế còn lại. - Chia mỗi vế cho hệ số của ẩn (nếu nó khác không). - Kết luận. Ví dụ: Giải phương trình 9(x + 1) – 4x = 5 – (x – 3) Những phương trình sau có cùng tập nghiệm 9x + 9 – 4x = 5 – x + 3 5x + 9 = 8 – x 6x = -1 x = -1/6 1.3.2.b. Phân tích sự chuyển đổi Didactic của khái niệm phép kép theo và phép tương đương trong sách giáo khoa Pháp (5e) và SGK Việt Nam (lớp 9) sách giáo khoa Pháp sách giáo khoa Việt Nam Cách tiếp * Trong hình học: * Trong hình học: cận Phép tương đương 1. Định lí Pythagore thuận có chứng minh 2. Định lí Pythagore đảo được thừa nhận. * Trong đại số: 1. Hai phương trình, hai bất phương trình có cùng tập nghiệm. 2. Ba quy tắc chuyển đổi phương trình, bất phương trình thành phương trình, bất phương trình mới có cùng tập nghiệm với phương trình, bất phương trình ban đầu. 1. Định lí Pythagore thuận được thừa nhận. 2. Định l._.ệnh đề đảo của một mệnh đề và 20,4% học sinh không có câu trả lời cho thấy việc hiểu được nghĩa của phép kéo theo là chưa thật sự được giáo viên lưu ý khi dạy học khái niệm này. Câu 2c: Thống kê kết quả thực nghiệm Các câu trả lời nhận được S2c1 S2c2 S2c3 S2c4 Số lượng 20 (17,7%) 58 (51,3%) 01 (0,9%) 34 (30%) Phân tích kết quả thực nghiệm Chỉ có 17.7% học sinh nhận xét mệnh đề đảo là đúng . Có đến 51.3% học sinh cho nhận xét mệnh đề đảo là sai, khi chỉ ra một phản ví dụ , điểm M nằm ngoài đoạn thẳng AB. Như vậy, học sinh có nhận ra một tính chất quan trọng của phép kéo theo là không có tính giao hoán: tức là mệnh đề đảo của mệnh đề không phải luôn đúng. Một phản ví dụ được hiểu là một trường hợp thỏa mãn giả thiết nhưng lại không thỏa mãn kết luận . Tuy nhiên, có đến 30% học sinh tham gia thực nghiệm không có câu trả lời trong câu hỏi này, cho thấy phần lớn học sinh chưa nắm được khái niệm mệnh đề đảo của một mệnh đề và không biết cách bác bỏ một mệnh đề thông qua các phản ví dụ. Kết quả này giúp chúng tôi khẳng định được tính đúng đắn của các giả thuyết H1 và H2 là SGK chỉ quan tâm đến việc giới thiệu giá trị biểu đạt của phép kéo theo và phép tương đương mà không quan tậm đến việc giới thiệu đầy đủ nghĩa của các khái niệm này trong quá trình dạy học ở THCS nói chung và ở lớp 8 nói riêng. 4.4.3. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 3 Thống kê kết quả thực nghiệm Các câu trả lời nhận được S31 S32 S33 S34 Lời giải của bạn Thanh 00 (0%) 02 (1.8%) 103 ( 91.2%) 08 (7%) Lời giải của bạn Hoa 94 (83.2%) 09 (8%) 02 (1.8%) 08 (7%) Lời giải của bạn Tâm 31 (27.4%) 32 (28.3%) 42 (37.3%) 08 (7%) Phân tích kết quả thực nghiệm Số học sinh không chấp nhận lời giải của em Thanh là tuyệt đối 91.2% Số học sinh chấp nhận lời giải của em Hoa và cho điểm tuyệt đối (điểm 10) là 83.2% mặc dù đây là lời giải sai về suy luận logic Số học sinh chấp nhận lời giải của em Tâm và cho điểm tuyệt đối (điểm 10) là 27.4%, chấp nhận nhưng cho điểm không tuyệt đối 28.3%, tuy nhiên có đến 37.3% không chấp nhận lời giải này, mặc dù đây là lời giải đúng về suy luận logic. Các câu trả lời liên quan đến lời giải của em Thanh Tất cả đều đánh giá lời giải của Thanh là sai vì – không đặt ĐKXĐ của phương trình – nhận nghiệm ngoại lai là nghiệm của phương trình Các câu trả lời liên quan đến lời giải của em Hoa Đa số 83.2% đánh giá lời giải của Hoa là đúng vì – đặt ĐKXĐ của phương trình – có sử dụng kí hiệu “ ” – kết luận đúng về tập nghiệm của phương trình. Điều này cho thấy tính thỏa đáng của giả thuyết H3 về sự tồn tại ngầm ẩn quy tắc hợp đồng 2RE Các câu trả lời liên quan đến lời giải của Tâm 28.3% chấp nhận nhưng cho điểm không tuyệt đối vì – Có đặt ĐKXĐ của phương trình – Không sử dụng ký hiệu “ ” Kết quả thực nghiệm cho phép kiểm tra tính thỏa đáng của giả thuyết H1 và hợp đồng RE 1. Đó là khi tham gia giải các phương trình, cụ thể là các phương trình có chứa ẩn số ở mẫu thức, HS chỉ quan tâm đến giá trị biểu đạt của phép tương đương là tạo ra sự nối khớp giữa các phương trình trong quá trình biến đổi mà không quan tâm đến giá trị công cụ của phép tương đương là tạo ra phương trình mới nhưng không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình. Chính điều này đã làm hạn chế việc sử dụng phép tương đương như là một công cụ giải toán khi mà việc vận dụng chúng đã đưa đến những lời giải đúng về kết quả nhưng sai lầm hoàn toàn về mặt lí luận. 4.4.4. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 4 Câu 4b: Thống kê kết quả thực nghiệm Các câu trả lời nhận được S4b1 S4b2 S4b3 S4b4 S4b5 Số lượng 08 (7,1%) 10 (8,8%) 03 (2,7%) 20 (17,7%) 72 (63,7%) Phân tích kết quả thực nghiệm 7.1% học sinh tham gia thực nghiệm tìm được điều kiện cần và đủ để tứ giác MNPQ là hình vuông. Có 8.8% học sinh tìm ra điều kiện cần và 2.7% tìm ra điều kiện đủ nhưng lại kết luận điều kiện cần. Tuy nhiên lại có đến 63.7% học sinh không có câu trả lời cho thấy học sinh không nắm được nghĩa của phép kéo theo và phép tương đương thông qua khái niệm “điều kiện cần, điều kiện đủ và điều kiện cần và đủ” Kết luận 1: Kết quả này giúp chúng tôi khẳng định được tính đúng đắn của các giả thuyết H1, H2 và H3 là:  Sách giáo khoa chỉ quan tâm đến việc giới thiệu giá trị biểu đạt của phép kéo theo và phép tương đương mà không quan tâm đến việc giới thiệu đầy đủ nghĩa của các khái niệm này trong quá trình dạy học ở trung học cơ sở nói chung và ở lớp 8 nói riêng.  Khi giải các phương trình, cụ thể là các phương trình có chứa ẩn số ở mẫu thức, học sinh chỉ quan tâm đến giá trị biểu đạt của phép tương đương là tạo ra sự nối khớp giữa các phương trình trong quá trình biến đổi mà không quan tâm đến giá trị công cụ của nó là tạo ra phương trình mới nhưng không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình. Chính điều này đã đưa đến những lời giải đúng về kết quả nhưng sai lầm hoàn toàn về mặt lí luận  Học sinh không nắm được nghĩa của phép kéo theo và phép tương đương thông qua khái niệm “điều kiện cần, điều kiện đủ và điều kiện cần và đủ”. Chính điều này đã đưa đến những lời giải đúng về kết quả nhưng sai lầm hoàn toàn về mặt lí luận THỰC NGHIỆM 2 4.5. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm 4.5. 1. Giới thiệu các bài toán thực nghiệm Câu 1a) Nêu một định lí được phát biểu dưới dạng “ nếu … thì… “ . Ghi rõ giả thiết và kết luận của định lí. 1b) Nêu một định lí có định lí đảo. Sau đó, phát biểu định lí đảo của định lí. Ghi rõ giả thiết và kết luận của mỗi dịnh lí Câu 2: Bạn Nam phát biểu: “Với mọi điểm A, B và M, nếu M là trung điểm của đoạn AB thì AM = MB”. d) Phát biểu của bạn Nam là đúng hay sai? Giải thích cho câu trả lời của em. e) Viết mệnh đề đảo của mệnh đề trên. f) Mệnh đề đảo là đúng hay sai? Nếu sai thì cho một phản ví dụ. Nếu đúng thì chứng minh. Câu 3: Giải phương trình : )3)(1()13)(1(  xxxx Sau đây là lời giải của các bạn học sinh lớp 9: Câu 3: Giải phương trình : )3)(1()13)(1(  xxxx Sau đây là lời giải của các bạn học sinh lớp 9: Bạn Mai: Ta có : )3)(1()13)(1(  xxxx  13.1  xx = 3.1  xx  13 x = 3x  3x- 1 = x + 3  3x – x = 3 +1 2x = 4 vậy x = 2  Bạn Tâm: Ta có : )3)(1()13)(1(  xxxx nên 13.1  xx = 3.1  xx suy ra 1x ( 313  xx ) = 0 do đó, 1x = 0 hoặc 313  xx = 0 * 1x = 0 x + 1 = 0 x = -1   * 313  xx = 0  313  xx  3x – 1 = x +3 3x – x = 3 + 1  x = 2 Thử lại: Thay x = -1 vào phương trình )3)(1()13)(1(  xxxx ta có 0 = 0 đúng. Vậy ta nhận giá trị x = -1 Thay x = 2 vào phương trình )3)(1()13)(1(  xxxx ta có 1515  đúng. Vậy ta nhận giá trị x = 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = 2 Bạn Thanh: ĐKXĐ: (x + 1)(3x – 1) 0 và (x + 1)(x + 3) 0 (1)  Ta có : )3)(1()13)(1(  xxxx  13.1  xx = 3.1  xx  1x ( 313  xx ) = 0  1x ( 313  xx ) = 0  1x = 0 hoặc 313  xx = 0 * 1x = 0 x + 1 = 0 x = -1 thỏa điều kiện (1). Vậy x = -1 là một nghiệm của PT.   * 313  xx = 0  313  xx  3x – 1 = x +3 3x – x = 3 + 1  x = 2 thỏa điều kiện (1). Vậy x = 2 là một nghiệm của PT. Tập nghiệm của PT là {-1 ; 2} Bạn Nga ĐKXĐ: (x + 1)(3x – 1) 0 (1)  Ta có : )3)(1()13)(1(  xxxx Suy ra (x +1)(3x -1) = (x + 1)( x + 3) = 0 Do đó, (x + 1)(3x – 1 – x – 3) = 0 Hay (x + 1)(2x – 4) = 0 Vậy x = -1 hoặc x = 2 Cả hai nghiệm này đều thỏa điều kiện (1). Vậy tập nghiệm của PT là {-1 ; 2} Hãy cho điểm lời giải của ba bạn học sinh trên (thang điểm 10) và giải thích vì sao em đánh giá như vậy. Lời giải Điểm Giải thich Lời giải của bạn Mai Lời giải của bạn Tâm Lời giải của bạn Thanh Lời giải của bạn Nga Câu 4: Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là: Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn. Em hãy giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau. 4.5.2. Phân tích các câu hỏi thực nghiệm Câu 1 và câu 2: Nhận xét sự tiến triển nhận thức của HS trong mối quan hệ cá nhân với khái niệm phép kéo theo và phép tương đương thông qua định lý và định lý đảo. Câu 3:  Kiểm chứng quy tắc hợp đồng RE 2  Kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết H1,H2 Câu 4:  Kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết H3  Kiểm chứng sự tồn tại của các quy tắc hợp đồng RE 1, RE 3 O B A x 4.5. 3. Phân tích các chiến lược và cái có thể quan sát Câu 3: A.Các chiến lược & những cái có thể quan sát Trong bài toán này, chúng tôi đưa ra yêu cầu “ cho điểm và giải thích cho đánh giá của em”. Học sinh không phải giải phương trình mà phải dùng lập luận để giải thích cho sự lựa chọn của mình. Việc học sinh tham gia làm thực nghiệm chấp nhận và cho điểm cao lời giải của bạn Thanh đồng thời không chấp nhận và cho điểm thấp lời giải bạn Tâm sẽ giúp chúng tôi khẳng định tính thỏa đáng của giả thuyết H1, H2 và kiểm chứng sự tồn tại của quy tắc hợp đồng RE2 C.Các biến Ngoài ra, chúng tôi chọn giá trị của các biến didactic như sau: V1:  V1a: phương trình có dạng mẫu mực được học trong chương trình,  V1b: phương trình có chứa căn bậc hai,  V1c: phương trình có chứa ẩn số ở mẫu thức, V2:  V2a: không cần đặt điều kiện xác định cho phương trình,  V2b:cần đặt điều kiện xác định cho phương trình , V3:  V3a: không sử dụng ký hiệu tương đương “ ”  V3b: có sử dụng ký hiệu tương đương “ ”  V3c: không sử dụng ký hiệu kéo theo “”  V3d: có sử dụng ký hiệu ký hiệu kéo theo “” Phân tích các lời giải giả định Biến V1 Biến V2 Biến V3 Đánh giá Lời giải của bạn Mai Phương trình chứa căn bậc hai Không đặt ĐKXĐ cho phương trình Có sử dụng kí hiệu “ ” Quá trình biến đổi làm mất nghiệm của PT. Lời giải sai Lời giải của bạn Tâm Phương trình chứa căn bậc hai Không đặt ĐKXĐ cho phương trình Có sử dụng kí hiệu “ ” Kết quả đúng nhưng sai lầm về mặt lí luận Lời giải của bạn Thanh Phương trình chứa căn bậc hai Có đặt ĐKXĐ cho phương trình Có sử dụng kí hiệu “ ” Kết quả đúng nhưng sai lầm về mặt lí luận Lời giải của bạn Nga Phương trình chứa căn bậc hai Có đặt ĐKXĐ cho phương trình Không sử dụng kí hiệu “ ” Lời giải đúng Câu 4: A.Các chiến lược và những cái có thể quan sát Các chiến lược Những các có thể quan sát S41“ Kẻ đường kính AC rồi nối BC”  BABCAxAB  2 1ˆˆ   ABC nội tiếp nửa đường tròn đường kính AC nên vCA BBCA 1ˆˆ   Vậy vxA hay OAAx nên Ax là tiếp tuyến của (O) BCAB 1ˆˆ  S42:’ Kẻ đường kính AC”  vACABBCxABBACxAO 1 22 ˆˆˆ    Vậy OAAx nên Ax là tiếp tuyến của (O) S43:”Kẻ đường cao OH của ” OAB  BABOHHOA  2 1ˆˆ   BAxAB ˆ 2 1ˆ   suy ra xABB nên vxA OA AO ˆˆ  BBAO 1ˆˆ   Vậy OAAx nên Ax là tiếp tuyến của (O) S44:” Kẻ hai đường kính AC và BD”  ABCD là hình chữ nhật nên      BAxABBCA BACACD  2 1ˆˆ ˆˆ  suy ra vBC DBCAACDxABBAC 1ˆˆˆˆˆ   Vậy vxA hay OAC 1ˆ  Ax nên Ax là tiếp tuyến của (O) S45:” Phản chứng”  Giả sử cạnh Ax không phải là tiếp tuyến tại A mà là cát tuyến đi qua A  Giả sử cát tuyến này cắt (O) tại C  Suy ra BACAB  2 1ˆ (trái giả thiết)  Vậy Ax không phải là cát tuyến mà là tiếp tuyến tại A. S46:” Nối O với B”  OAB cân tại O, BAxAB  2 1ˆ  nên BOAxBA ˆ  ˆ 2 1  0180 (tổng các góc trong tam giác) Suy ra 0 ˆˆˆ  ABOBAOBOA 2ˆ BOA 180ˆBAO  090ˆˆ 2 1  BAOBOA hay 090 ˆˆ  BAOxAB  hay OAAx nên Ax là tiếp tuyến của (O) S47 Chiến lược khác  kẻ các đướng kính AC và BD, rồi áp dụng điều kiện của tứ giác nội tiếp suy ra vxA BBAO 1ˆˆ   vậy OAAx nên Ax là tiếp tuyến của (O) S48: không có ý kiến HS không có câu trả lời 4.6. Phân tích hậu nghiệm các câu hỏi thực nghiệm 4.6.1. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 1 Câu 1a: Thống kê kết quả thực nghiệm Các câu trả lời nhận được Sa 1 Sa 2 Sa 3 Sa 4 Số lượng 76 (69.7%) 17 (15.6%) 13 (11.9%) 03 (2.8%) Phân tích kết quả nhận được Có 69.7% học sinh tham gia thực nghiệm trả lời đúng câu hỏi này, so với 46% học sinh lớp 8 , thì có một sự tiến triển trong nhận thức của học sinh khi học khái niệm này: học sinh có nhận ra được nghĩa của các khái niệm này thông qua khái niệm định lý “ Từ giả thiết đúng suy ra kết luận cũng đúng” .Điều này giúp chúng tôi khẳng định được giả thuyết H1 đã nêu ra ở trên. Câu 1b. Thống kê kết quả thực nghiệm Các câu trả lời nhận được Sb1 Sb2 Sb3 Sb4 Sb5 Số lượng 69 (63.4%) 19 (17.4%) 08 (7.3%) 05 (4.6%) 08 (7.3%) Phân tích kết quả thực nghiệm Có 63.4% học sinh tham gia thực nghiệm phát biểu đúng cả nội dung của định lý và định lý đảo ( đa số học sinh chọn phát biểu là định lý Pythagore và định lý Pythagore đảo). Có 17.4% học sinh phát biểu đúng nội dung định lý nhưng thiết lập sai định lý đảo ( hoặc không biết đổi chỗ hai mệnh đề giả thiết và kết luận hoặc thay thế bằng mệnh đề mới không tương đương với mệnh đề đã cho) Có 7.3% học sinh không có câu trả lời, nếu so sánh với 40.7% câu trả lời đúng của học sinh lớp 8 và 31.8% không có câu trả lời ở lớp 8, thì chúng tôi ghi nhận có một bước tiến triển trong nhận thức của học sinh về khái niệm này khi chuyển từ lớp 8 sang lớp 9 4.6.2. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 2 Câu 2b: Thống kê kết quả thực nghiệm Các câu trả lời nhận được S2b1 S2b2 S2b3 Số lượng 77 (70.6%) 11 (10.1%) 21 (19.3%) Phân tích kết quả thực nghiệm Có 70.6% học sinh cho câu trả lời đúng, tức là phát biểu đúng mệnh đề đảo của mệnh đề đã cho. Chỉ có 10.1% thiết lập sai mệnh đề đảo và 19.3% không có câu trả lời. So với 15% câu trả lời sai và 20.4% không có câu trả lời của học sinh lớp 8, chúng tôi ghi nhận có một sự tiến triển đối với học sinh lớp 9 khi học về khái niệm này. Câu 2c: Thống kê kết quả thực nghiệm Các câu trả lời nhận được S2c1 S2c2 S2c3 S2c4 Số lượng 04 (3.7%) 89 (81.7%) 00 (0%) 16 (14.6%) Phân tích kết quả thực nghiệm Có 81.7% câu trả lời nhận xét mệnh đề đảo là sai và chứng minh bằng một phản ví dụ, chẳng hạn điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn AB. Có 14.6% không có câu trả lời. So với 51.3% câu trả lời nhận xét mệnh đề đảo là sai và 30% không có câu trả lời của lớp 8, cho phép chúng tôi kết luận có sự tiến triển trong nhận thức của học sinh lớp 9 về khái niệm này. Đó là -một mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng (định lý) thì chưa chắc đúng. -kỹ thuật chứng minh một mệnh đề sai là chỉ ra một phản ví dụ là trường hợp thỏa giả thiết nhưng không thỏa kết luận. Qua kết quả thực nghiệm này chúng tôi kiểm chứng được giả thuyết H1, H2 đã nêu ra ở trên. 4.6.3. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 3 Thống kê kết quả thực nghiệm Các câu trả lời nhận được S31 S32 S33 S34 Lời giải của bạn Mai 00 (00%) 29 (26.6%) 75 (68.9%) 05 (4.5%) Lời giải của bạn Tâm 08 (7.3%) 95 (87.2%) 01 (0.9%) 05 (4.6%) Lời giải của bạn Thanh 85 (78.0%) 19 (17.4%) 00 (00%) 05 (4.6%) Lời giải của bạn Nga 04 (3.7%) 100 (91.7%) 00 (00%) 05 (4.6%) Phân tích kết quả thực nghiệm Số học sinh chấp nhận lời giải của em Thanh và cho điểm tuyệt đối (điểm 10) chiếm tỉ lệ khá cao(78.0% )chỉ có 17.4% cho điểm không tuyệt đối . Số học sinh chấp nhận lời giải của em Tâm và cho điểm tuyệt đối (điểm 10) chiếm tỉ lệ khá thấp (7.3%), có 87.2% chấp nhận nhưng cho điểm không tuyệt đối . Số học sinh chấp nhận lời giải của em Nga và cho điểm tuyệt đối (điểm 10) chiếm tỉ lệ thấp (3.7% ), 91.7% chấp nhận nhưng cho điểm không tuyệt đối Các câu trả lời liên quan đến lời giải của em Mai Tất cả đều đánh giá lời giải của Mai là sai vì – Không đặt ĐKXĐ của phương trình – Làm mất nghiệm của phương trình Ví dụ H24:-Đánh giá lời giải của bạn Mai điểm 3 và nhận xét: – Thiếu ĐKXĐ của phương trình. – Thiếu một nghiệm của phương trình và chỉ ra chỗ sai 31 0313 31131    xx xx xxxx Các câu trả lời liên quan đến lời giải của em Tâm Đa số đánh giá lời giải của Tâm là đúng vì – Có sử dụng kí hiệu “ ” – Kết luận đúng tập nghiệm của phương trình nhưng cho điểm không tuyệt đối – Không đặt ĐKXĐ của phương trình Ví dụ H47:đánh giá bài của bạn Tâm là đúng nhưng cho điểm không tuyệt đối ( điểm 8) vì: - Không đặt ĐKXĐ cho phương trình là 0)3)(1(,0)13)(1(  xxxx - Không giải các bất phương trình trên tìm ĐKXĐ của phương trình Điều này cho thấy HS rất tuân theo hợp đồng RE 2 khi giải các phương trình không mẫu mực Các câu trả lời liên quan đến lời giải của em Thanh Đa số đánh giá lời giải của Thanh là đúng và cho điểm tuyệt đối (điểm 10) vì – Có đặt ĐKXĐ của phương trình – Có sử dụng kí hiệu “ ” – Kết luận đúng tập nghiệm của phương trình Điều này cho thấy HS rất tuân theo hợp đồng RE 2 khi giải các phương trình không mẫu mực Các câu trả lời liên quan đến lời giải của em Nga Đa số đánh giá lời giải của Nga là đúng vì – Có đặt ĐKXĐ của phương trình – Kết luận đúng về tập nghiệm của phương trình nhưng không cho điểm tuyệt đối vì – Không sử dụng kí hiệu “ ” – Thiếu một điều kiện 0)3)(1(  xx Ví dụH33: đánh giá bài của bạn Nga là đúng nhưng cho điểm không tuyệt đối ( điểm 8) vì: “làm đúng nhưng thiếu ĐKXĐ và giải vắn tắt”(không có sử dụng ký hiệu )  Ví dụ H47: đánh giá bài của bạn Nga là đúng nhưng cho điểm không tuyệt đối ( điểm 8) vì: “ thiếu ĐKXĐ và không giải điều kiện” Điều này cho thấy HS rất tuân theo hợp đồng RE 2 khi giải các phương trình không mẫu mực 4.6.4. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 4 Thống kê kết quả thực nghiệm Các chiến lược S41 S42 S43 S44 S45 S46 S47 S48 Số lượng 35/109 32.11% 26/109 23.85% 34/109 31.19% 05/109 4.59% 0/109 0% 06/109 5.5% 09/109 8.26% 21/109 19.27% Phân tích kết quả thực nghiệm So với các chiến lược khác, chiến lược “phản chứng “ tỏ ra khá thuận lợi ở các điểm:  Không phải kẻ thêm các đường phụ  Lời giải lại khá ngắn gọn hơn so với các chiến lược khác  Bài toán hướng dẫn là “ có thể giải bằng phương pháp phản chứng”(SGK, Toán 9, tập 2, tr.79) Tuy nhiên, qua thực nghiệm không có học sinh nào sử dụng phương pháp này để chứng minh. Đa số các em sử dụng phương pháp phân tích –tổng hợp (chứng minh trực tiếp), mặc dù các phương pháp này đòi hỏi một số kỹ năng:  Kẻ thêm một số đường phụ,  Lời giải khá dài vì phải sử dụng nhiều tính chất hình học đã biết trước đó,  Đề toán không có gợi ý phương pháp chứng minh trực tiếp Như vậy, kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng không được học sinh ưu tiên lựa chọn ở đây, mặc dù được đặt trong môi trường” khá thuận lợi” hơn các chiến lược khác. Qua kết quả thống kê cho thấy:  kỹ thuật chứng minh phản chứng không được ưu tiên trong thể chế dạy học  kỹ thuật này cũng không được ưu tiên lựa chọn trong lời giải của HS . Kết luận 2 Qua phân tích các kết quả của thực nghiệm 2 trên đối tượng HS lớp 9, chúng tôi kiểm tra tính thỏa đáng của các giả thuyết nêu ra ở trên:  H1 : Khái niệm phép kéo theo và phép tương đương tồn tại trong nhận thức của học sinh theo nghĩa : - Phép kéo theo : Cái này xảy ra thì suy ra (kéo theo) cái kia xảy ra. Với học sinh, đây là một quan hệ “nhân quả” mà việc kiểm chứng không phải bao giờ cũng được học sinh thực hiện theo nghĩa toán học mà đôi khi theo kinh nghiệm và trực giác. - Phép tương đương : Cái này xảy ra thì cái kia chắc chắn xảy ra và ngược lại. Với học sinh, đây là một quan hệ “bình đẳng” mà việc kiểm chứng cũng được thực hiện giống như phép kéo theo nói trên.  H2 : Nghĩa này tạo thuận lợi cho học sinh : - Phép kéo theo : Tạo ra chuỗi suy luận logic trong chứng minh hình học. - Phép tương đương : Biến đổi phương trình phức tạp thành phương trình đơn giản hơn nhưng luôn có cùng tập nghiệm.  H3 : Về sự tồn tại ngầm ẩn của các quy tắc hợp đồng sau : RE 1 : Chứng minh mệnh đề là thực hiện chuỗi suy luận logic A suy ra B1, B1 suy ra B2, ..., suy ra điều phải chứng minh. Trong đó, phép kéo theo có vai trò nối khớp trong chuỗi suy luận này. RE 2 : Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình ... là thực hiện tuần tự các phép biến đổi tương đương và sử dụng dấu «  » tạo ra sự nối khớp giữa các phương trình trong quá trình biến đổi . KẾT LUẬN KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC  Ở chương 1, chúng tôi đã phân tích mối quan hệ thể chế của khái niệm phép kéo theo và phép tương đương trong dạy học toán ở trung học cơ sở ở Việt Nam cũng như ở Pháp thông qua việc phân tích chương trình và sách giáo khoa. Quá trình phân tích này đã làm rõ nghĩa, các đặc trưng cũng như các giá trị biểu đạt, giá trị công cụ của phép kéo theo và phép tương đương..  Ở chương 2, chúng tôi phân tích và tổng hợp một số tài liệu và các giáo trình đang được giảng dạy ở bậc đại học để làm rõ đặc trưng khoa học luận của khái niệm phép kéo theo và phép tương đương.  Ở chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự vận hành của phép kéo theo và phép tương đương trong việc giải một số bài toán tiêu biểu ở trung học cơ sở Quá trình phân tích và tổng hợp trên đã giúp chúng tôi rút ra các kết quả sau: 1. SGK đã không giới thiệu đầy đủ các nghĩa của phép kéo theo và phép tương đương 2. SGK chỉ ưu tiên giới thiệu giá trị biểu đạt của phép kéo theo và phép tương đương là : tạo sự nối khớp giữa các chuỗi suy luận logic (Phép kéo theo ) hoặc tạo sự nối khớp giữa các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình,( Phép tương đương ) ... trong quá trình biến đổi Từ đó, chúng tôi đưa ra các giả thuyết nghiên cứu sau: Trước khi khái niệm phép kéo theo và phép tương đương được đưa vào định nghĩa tường minh ở lớp 10, khái niệm này tồn tại trong nhận thức của học sinh theo nghĩa :  Phép kéo theo : Cái này xảy ra thì suy ra (kéo theo) cái kia xảy ra. Với học sinh, đây là một quan hệ “nhân quả” mà việc kiểm chứng không phải bao giờ cũng được học sinh thực hiện theo nghĩa toán học mà đôi khi theo kinh nghiệm và trực giác.  Phép tương đương : Cái này xảy ra thì cái kia chắc chắn xảy ra và ngược lại. Với học sinh, đây là một quan hệ “bình đẳng” mà việc kiểm chứng cũng được thực hiện giống như phép kéo theo nói trên. Để làm rõ các giả thuyết nghiên cứu này, chúng tôi đã tiến hành một thực nghiệm và kết quả thu được từ phân tích thực nghiệm trong chương 4 đã giúp chúng tôi kiểm tra tính thỏa đáng của các giả thuyết nghiên cứu đã nêu trên. HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI: Giả thuyết sẽ được kiểm chứng chặt chẽ hơn nếu chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên cả hai chủ thể của hệ thống dạy học: giáo viên và học sinh. Tuy nhiên vì lí do thời gian,nên chúng tôi không thể tiến hành trên đối tượng giáo viên. HƯỚNG MỞ RA CỦA LUẬN VĂN Từ các kết quả nghiên cứu và kết quả nhận được khi tiến hành thực nghiệm, chúng tội nhận thấy:  Tiến trình đưa vào khái niệm phép kéo theo và phép tương đương trong các giáo trình ở trung học cơ sở đã làm hạn chế nghĩa của chúng  Điều này làm cho học sinh chỉ quan tâm đến giá trị biểu đạt của khái niệm này mà không nắm được giá trị công cụ của chúng, dẫn đến hàng loạt sai lầm của học sinh trong giải toán. Từ đó, chúng tôi thấy có thể mở ra một số hướng nghiên cứu mới như sau:  Xây dựng một tiểu đồ án didactic để giới thiệu đầy đủ nghĩa của phép kéo theo và phép tương đương  Xây dựng một tiểu đồ án didactic để để điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm phép kéo theo và phép tương đương MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Danh mục các bảng Mở đầu……………………………………………………………………1 Chương 1: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI CÁC KHÁI NIỆM PHÉP KÉO THEO VÀ PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG 1.1. Phép kéo theo và phép tương đương trong chương trình toán trung học cơ sở …………………………………………………………………5 1.1.1: Phép kéo theo và phép tương đương trong chương trình toán lớp 7 ………………………………………………………………5 1.1.2: Phép kéo theo và phép tương đương trong chương trình toán lớp 8 ………………………………………………………………7 1.1.3: Phép kéo theo và phép tương đương trong chương trình toán lớp 9 ………………………………………………………………9 1.2. Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa Toán Việt Nam …………………………………………………………………….10 1.2.1: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán lớp 7 ……………………………………………………………….10 1.2.2: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán lớp 8 ………………………………………………………………19 1.2.3: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán lớp 9 ………………………………………………………………..28 1.3 Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa Toán Pháp …………………………………………………………………......32 1.3.1: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán Pháp lớp 7 …………………………………………………………33 1.3.2: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán Pháp lớp 8 …………………………………………………………37 1.3.3: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán Pháp lớp 9 ………………………………………………………….42 1.4 Kết luận ……………………………………………………………44 Chương 2: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP KÉO THEO VÀ PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG 2.1: Vài nét lịch sử về phép kéo theo và phép tương đương ………………47 2.1.1: Giai đoạn 1: Trước thế kỷ XIX ……………………………...47 2.1.2: Giai đoạn 2: Sau thế kỷ XIX…………………………………50 2.2: Đặc trưng của khái niệm phép kéo theo và phép tương đương trong phạm vi toán ở bậc đại học …………………………………………………………55 2.2.1: Mệnh đề với Phép kéo theo và Phép tương đương ………….55 2.2.2.: Suy luận diển dịch …………………………………………..57 2.2.2.a: Phép suy diễn từ một tiền đề …………………..…...57 2.2.2.b: Phép suy diễn từ nhiều tiền đề và quy tắc suy diễn…57 2.2.2.c: Những suy luận không hợp logich thường gặp……..58 2.2.2.d: Suy luận hợp logich va chứng minh………………...59 2.3: kết luận ………………………………………………………………...60 Chương 3: NGHIÊN CỨU SỰ VẬN HÀNH CỦA PHÉP KÉO THEO VÀ PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN TIÊU BIỂU Ở THCS 3.1: Các bài toán hình học tiêu biểu ………………………………………..63 3.2: Các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới mẫu thức , phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai….67 3.2.1: Các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới mẫu thức ...........67 3.2.2.:Các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối .............................................................................................................69 3.2.3: Các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai....71 3.3: Kết luận …………………………………………………………………73 Chương 4: THỰC NGHIỆM 4.1. Mục đích thực nghiệm ………………………………………………….76 4.2. Đối tượng, hình thức thực nghiệm ……………………………………...76 Thực nghiệm 1 4.3. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ………………………..76 4.3.1. Giới thiệu các câu hỏi thực nghiệm …………………………...76 4.3.2. Phân tích các câu hỏi thực nghiệm …………………………....78 4.3.3. Phân tích các chiến lược và cái có thể quan sát ……………….79 4.4. Phân tích hậu nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ………………………...83 4.4.1. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 1 ……………………83 4.4.2. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 2 ……………………84 4.4.3. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 3 ……………………86 4.4.4. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 4 …………………. ..87 Thực nghiệm 2 4.5. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm …………………………88 4.5.1. Giới thiệu các câu hỏi thực nghiệm …………………………….88 4.5.2. Phân tích các câu hỏi thực nghiệm …………………………......91 4.5.3. Phân tích các chiến lược và cái có thể quan sát ………………...92 4.6. Phân tích hậu nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ………………………….95 4.6.1. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 1 …………………….95 4.6.2. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 2 …………………….96 4.6.3. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 3 ……………………..97 4.6.4. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 4 …………………. …99 4.7. Kết luận về thực nghiệm …………………………………………….......100 KẾT LUẬN…………………………………………………………………..102 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT 1. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2003), Toán 7, tập 1 và 2, sách giáo khoa , NXB giáo dục 2. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2003), Sách giáo viên Toán 7, tập 1 và 2, NXB giáo dục 3. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2004), Toán 8, tập 1 và 2, sách giáo khoa , NXB giáo dục 4. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2004), Sách giáo viên Toán 8, tập 1 và 2, NXB giáo dục 5. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2005), Toán 9, tập 1 và 2, sách giáo khoa , NXB giáo dục 6. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2005), Sách giáo viên Toán 9, tập 1 và 2, NXB giáo dục 7. Hoàng Chúng (1994), Logic học phổ thông, NXB Giáo dục 8. Hoàng Chúng (1978), Những yếu tố logic trong môn Toán trường phổ thông cấp II, NXB Giáo dục 9. Đỗ Ngọc Đạt (1996), Logic Toán và ứng dụng trong dạy- học, NXB giáo dục 10. Tôn Thân chủ biên (2003), Bài tập Toán 7, tập 1 và 2, NXB giáo dục 11. Tôn Thân chủ biên (2004), Bài tập Toán 8, tập 1 và 2, NXB giáo dục 12. Tôn Thân chủ biên (2005), Bài tập Toán 9 , tập 1 và 2, NXB giáo dục 13. Nguyễn Đình Trí chủ biên (1995), Toán học cao cấp, tập 1, NXB giáo dục 14. Nguyễn Đình Trí chủ biên (1996), Bài tập Toán học cao cấp, tập 1, NXB giáo dục TIẾNG PHÁP 15. Annie Bessot- Claude Comiti, Apport des etudes comparatives aux recherches en didactique des mathématiques: Les cas Việt- Nam/ France, DIAM, LIG, Grenoble 16. Alain Bouvier, Michel George Francois le Lionnais (1979), Dictionnaire des Mathématiques, Presses Universitaires de France 17. Michèle Artaut, Crehsto, Orléans, L écologie des organizations mathématiques et didactiques 18. www.momes.net/education/problemes/problemes.html 19. www.homeomath.imingo.net/logique.htm 20. www.chronomath.com ._.