Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong từ trường theo phương pháp toán tử

của quí thầy cơ trong khoa Vật Lý trường ĐH Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. Em xin được bày tỏ lịng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn luận văn này – thầy đã tận tình hướng dẫn, truyền thụ cho em những kiến thức bổ ích, đĩng gĩp những kinh nghiệm quí báu để em thực hiện khĩa luận này đồng thời thầy đã truyền cho em lịng nhiệt tình trong nghiên cứu khoa học. Em khơng thể nào quên cơng lao của TSKH. Lê Văn Hồng đã đưa ra những ý kiến, gĩp ý vơ cùng cĩ ý nghĩa giúp em hồn chỉnh phương pháp trong khĩa luận này. Xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã hỗ trợ về mặt tinh thần cho Trúc hồn thành khĩa luận này. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn. Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 2 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc MỞ ĐẦU 1. Tình hình nghiên cứu Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã cĩ những bước phát triển mạnh mẽ, địi hỏi phải cĩ những tính tốn lý thuyết chính xác. Trong khi đĩ, phương pháp gần đúng chủ yếu sử dụng cho hệ vi mơ là phương pháp nhiễu loạn khơng sử dụng được cho bài tốn khơng cĩ nhiễu loạn. Trước tình hình đĩ, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, cĩ phạm vi áp dụng rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây. Và phương pháp tốn tử với những tính tốn thuần đại số, được xây dựng cho nhĩm các bài tốn nguyên tử là một phương pháp đang được các nhà Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu. Ý tưởng về phương pháp tốn tử xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên phương pháp tốn tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 do nhĩm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L. I. thuộc trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành cơng cho một nhĩm các bài tốn trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết trường,… Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài tốn cụ thể, phương pháp tốn tử đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp truyền thống như:  Đơn giản hĩa việc tính tốn các yếu tố ma trận phức tạp mà thơng thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Trong suốt quá trình tính tốn, ta sử dụng các phép biến đổi đại số và những chương trình tính tốn như Maple, Mathematica,…để tự động hĩa quá trình tính tốn.  Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với trường ngồi cĩ cường độ bất kỳ. Với phương pháp tốn tử, bước đầu đã giải quyết một phần những khĩ khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết, gĩp phần vào sự phát triển khơng ngừng của nền khoa học kỹ thuật tồn cầu. 2. Lý do chọn đề tài Qua học phần cơ học lượng tử, em được tiếp cận bài tốn nguyên tử hydro với cách giải chính xác thơng qua việc xây dựng dạng và tìm trị riêng, hàm riêng của tốn tử moment xung lượng, tốn tử Legendre; tìm ra hàm cầu và hàm bán kính để xác định Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 3 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc hàm sĩng của nguyên tử hydro, cùng với bài tốn nguyên tử hydro trong từ trường (hiệu ứng Zeeman) đã được giải quyết khá hồn chỉnh thơng qua lý thuyết nhiễu loạn: Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường ngồi thật yếu thì tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là tương tác chính và tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn. Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường thật mạnh thì tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là tương tác chính và tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là thế nhiễu loạn. Bài tốn này đã được Landau giải quyết. Tuy nhiên với bài tốn nguyên tử hydro trong từ trường trung bình thì đã vượt quá phạm vi áp dụng của lý thuyết nhiễu loạn vì khơng thể coi tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử với electron trong nguyên tử hydro hay tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn. Phương pháp tốn tử cĩ ưu điểm vượt trội so với phương pháp truyền thống là cĩ thể áp dụng cho trường ngồi cĩ cường độ bất kỳ. Do đĩ, luận văn tốt nghiệp với đề tài: “MỨC NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG THEO PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ” là bước đầu thử nghiệm của phương pháp tốn tử, tìm ra một hướng giải quyết cho bài tốn nguyên tử hydro trong từ trường trung bình. 3. Mục tiêu của đề tài  Bước đầu xây dựng phương pháp tốn tử: cơ sở hình thành, ưu điểm,…  Giải quyết bài tốn nguyên tử hydro trong từ trường cĩ cường độ bất kỳ, bước đầu là bài tốn nguyên tử hydro. 4. Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được Từ những khĩ khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài tốn nguyên tử hydro trong từ trường trung bình và những ưu điểm vượt trội của phương pháp tốn tử so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương pháp tốn tử là phương pháp chính được sử dụng trong quá trình thực hiện luận văn này. Trong suốt quá trình tính tốn thực hiện luận văn, để đơn giản em đã chọn hệ đơn vị khơng thứ nguyên, tức 0 1em e c a     , trong đĩ 0a là bán kính Born. Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 4 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Qua phương pháp tốn tử, khi giải quyết bài tốn nguyên tử hydro trong từ trường trunh bình, kết quả dự kiến sẽ đạt được:  Tìm ra mối quan hệ giữa mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro với cường độ của từ trường, vẽ đồ thị mơ tả sự phụ thuộc này và so sánh kết quả thu được với kết quả thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn trong trường hợp từ trường yếu.  Tìm ra giá trị của từ trường ion hĩa nguyên tử hydro. 5. Cấu trúc của luận văn Từ mục tiêu và dự kiến kết quả đạt được, em xây dựng cấu trúc luận văn gồm 3 phần chính:  Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý do chọn đề tài, phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được.  Phần nội dung: gồm 3 chương  Chương 1: NHỮNG CƠ SỞ LƯỢNG TỬ CỦA BÀI TỐN NGUYÊN TỬ HYDRO. Chương này trình bày những kết quả mà cơ học lượng tử đã đạt được về bài tốn nguyên tử hydro, mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường qua lý thuyết nhiễu loạn.  Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ CHO BÀI TỐN NGUYÊN TỬ HYDRO Giới thiệu phương pháp tốn tử thơng qua ví dụ về bài tốn dao động tử phi điều hịa, bài tốn về mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.  Chương 3: MỨC NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG. Sử dụng phương pháp tốn tử để giải quyết bài tốn nguyên tử hydro trong từ trường, thiết lập đồ thị mơ tả sự phụ thuộc của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro với cường độ từ trường, từ đĩ so sánh với đồ thị thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn, tìm ra được giá trị từ trường ion hĩa nguyên tử hydro.  Phần kết luận: Tĩm tắt lại kết quả đã đạt được của luận văn, hướng phát triển sắp tới của đề tài. Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 5 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ NGUYÊN TỬ HYDRO 1. Lý thuyết lượng tử về nguyên tử hydro 1.1. Trị riêng của phương trình Schrodinger trong bài tốn nguyên tử hydro Nguyên tử hydro gồm một electron chuyển động trong trường thế của hạt nhân cĩ điện tích Ze . Ta đưa bài tốn hai hạt: electron và hạt nhân trong nguyên tử hydro về bài tốn một hạt cĩ khối lượng rút gọn  , với: e hn e hn m m m m    (1.1) Trong đĩ: em là khối lượng của electron hnm là khối lượng của hạt nhân. Thế năng của electron chuyển động trong trường hạt nhân cĩ điện tích Ze cĩ dạng: 2 ( ) ZeV r k r   (1.2) Với: Z là số proton trong hạt nhân, trong nguyên tử hydro 1Z e là điện tích nguyên tố. r là khoảng cách từ electron đến hạt nhân. Cĩ thể coi nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài tốn thế xuyên tâm, do đĩ cĩ thể áp dụng các kết quả nhận được trong bài tốn về trường thế xuyên tâm. Nghiệm tổng quát của phương trình Schrodinger khơng phụ thuộc thời gian đối với thế xuyên tâm cĩ dạng: ( , , ) ( ) ( , )mnlm nl l nlm r C R r Y      (1.3) Trong đĩ: ( )R r là hàm bán kính được xác định khi giải phương trình bán kính. mlY là hàm cầu theo hai biến  và  . Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 6 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Tốn tử Hamilton trong bài tốn nguyên tử hydro cĩ dạng: ˆ ˆ ˆH T U  (1.4) Trong đĩ: + Tˆ là tốn tử động năng, với 2 2 2 2 2 2 2 ˆ 2 T x y z             (1.5) + Uˆ là tốn tử thế năng, với 2 2 2 2 2 ˆ Ze ZeU k k r x y z       (1.6) Phương trình Schrodinger trong bài tốn nguyên tử hydro là: ˆ n n nH E  (1.7) Bài tốn nguyên tử hydro là một trong ba bài tốn giải được nghiệm chính xác (bài tốn nguyên tử hydro, dao động tử điều hịa, hạt trong hố thế vuơng gĩc), kết quả của cơ học lượng tử cho ta trị riêng chính xác của phương trình Schrodinger (1.7) trong bài tốn nguyên tử hydro là: 2 4 1 2 22n Z eE n      (1.8) Trong hệ khơng thứ nguyên, ta cĩ: 1 2 1 2n E n   Với: 1, 2, 3, ...n  1.2. Nhận xét về các trị riêng của phương trình Schrodinger trong bài tốn nguyên tử hydro 1/ Biểu thức (1.8) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử hydro. Theo biểu thức (1.8) thì năng lượng của electron là gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên. Tính gián đoạn này chính là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sĩng ở vơ cực: ( ) 0nlrR r r khi (1.9) Như vậy, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức cơ bản ( 1)n  là: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 7 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 2 4 0 2 13,62 Z eE eV    (1.10) Nếu xét trong hệ khơng thứ nguyên 0 1em e c a     thì: 0 12E   . 2/ Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta cĩ một số vơ hạn các trạng thái liên kết 0E  , bắt đầu ứng với năng lượng 2 4 0 2 13,62 Z eE eV     và kết thúc ứng với năng lượng khơng, lúc này electron thốt khỏi trường thế Coulomb của hạt nhân và trở thành electron tự do. 3/ Ứng với một giá trị đã cho của n thì l cĩ thể cĩ những giá trị l = 0, 1, 2,..., n - 1. Như vậy cĩ tất cả n giá trị của l . l gọi là lượng tử số quĩ đạo và nĩ xác định độ lớn của moment xung lượng ( 1)L l l   4/ Ba số nguyên n, l , m xác định một hàm riêng ( , , ) ( ) ( , )mnlm n lr R r Y     gọi là ba số lượng tử, n là số lượng tử chính, m gọi là số lượng tử từ ứng với một giá trị đã cho của l thì m cĩ thể nhận các giá trị , 1,..., 1, 0, 1,..., 1, m l l l l      . Tất cả cĩ (2l+1) giá trị của m. Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z zL m Như vậy, ứng với một mức năng lượng En cĩ nhiều trạng thái nlm khác nhau ta nĩi cĩ sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến cĩ cùng giá trị năng lượng En-1 là: 1 2 0 (2 1) n l l n     Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức cơ bản 1n khơng bị suy biến. 5/ Giá trị tuyệt đối của mức năng lượng cơ bản E0 cho biết năng lượng ion hĩa nguyên tử hydro. Năng lượng này là cơng cần thiết để đưa electron từ trạng thái liên kết cĩ năng lượng thấp nhất ra ngồi nguyên tử trở thành electron tự do. Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 8 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Như vậy, năng lượng ion hĩa nguyên tử hydro trong hệ khơng thứ nguyên là 1 2i E  . 2. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường 2.1. Tốn tử Hamilton của bài tốn nguyên tử hydro trong từ trường Tốn tử Hamilton của bài tốn nguyên tử hydro trong từ trường cĩ dạng:  2 22 221 1 . .2 2e e eH p A U p p A A p A Uc c c                        (1.11) Trong đĩ: p là vector động lượng A  là thế vector. Thế vector A ứng với từ trường đồng nhất B const  cĩ dạng: 1 , 2 A B r       Với: r xi yj zk     Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho từ trường hướng theo trục Oz , vậy : B Bk  Ta thu được biểu thức của thế vector A :  1 1 10 02 2 2 i j k i jA B B B yi xj x yx y z              (1.12) Suy ra:  22 2 24BA x y   . . 2 x y x y z Bp A A p p y p x yp xp BL             Vậy tốn tử Hamilton của bài tốn nguyên tử hydro trong từ trường cĩ dạng:  2 22 2 221ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2 8zeB e BH p L x y Uc c       Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 9 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 2.2. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường theo lý thuyết nhiễu loạn Ở mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro 0ZL  , nên tốn tử Hamilton trở thành:  2 22 2 221ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 8e BH p x y Uc     Hay:  2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2ˆ ˆˆ ˆ2 8B eH x y Ux y z c                Khi nguyên tử hydro được đặt trong từ trường nhỏ thì năng lượng tương tác của electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn. Tốn tử Hamilton của electron trong nguyên tử cĩ dạng: 0ˆ ˆ ˆH H V  (1.13) Trong đĩ: + Tốn tử: 2 2 2 2 0 2 2 2 ˆ ˆ 2 H U x y z              (1.14) là tốn tử Hamilton cho bài tốn nguyên tử hydro khi khơng cĩ trường ngồi; Với  khối lượng rút gọn trong bài tốn hệ hai hạt electron và hạt nhân trong nguyên tử hydro và: e hn e hn m m m m    , vì e hnm m nên em  . Nên tốn tử Hamilton cho bài tốn nguyên tử hydro khi khơng cĩ trường ngồi cĩ dạng: 2 0 ˆˆ 2 e pH U m   + Tốn tử  2 2 2 22ˆ ˆ ˆ8 e B eV x y m c   là thế nhiễu loạn. Trong hệ tọa độ cầu, thế nhiễu loạn Vˆ được viết lại thành: 2 2 2 2 2 ˆ sin 8 e B eV r m c  Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 10 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 2.2.1. Năng lượng bậc khơng Theo lý thuyết nhiễu loạn, năng lượng bậc khơng của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro trong từ trường yếu chính là năng lượng ở mức cơ bản 1n  của electron trong nguyên tử hydro khi khơng cĩ từ trường. Vậy, năng lượng bậc khơng của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro trong từ trường yếu là: 2 4 (0) 0 2 13,62 em Z eE eV    2.2.2. Bổ chính năng lượng bậc một Theo lý thuyết nhiễu loạn, bổ chính bậc một của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro trong từ trường yếu cĩ dạng:  (1) (0) (0) (0) (0)0 0 0 0 0ˆ ˆ V E V V dV      (0) 0 là hàm sĩng của nguyên tử hydro ở mức cơ bản khi khơng nhiễu loạn 1, 0, 0n l m   cĩ dạng: 0 (0) 00 0 0 3 2 0 1 2( ) ( , ) . . 4 r aR r Y e a       Suy ra: 0 0 2 2 22 (1) 2 2 0 32 2 0 2 22 2 2 2 22 4 3 0 32 2 0 0 02 0 1 2. sin 8 4 1 2 . sin 8 44 r a e V r a e e B eE e r dV m c a a B eB e e r dr d d m c m ca                            Biểu thức bổ chính bậc một của mức năng lượng cơ bản là: 22 2 (1) 0 0 24 e a B eE m c  Vậy, mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro trong từ trường theo lý thuyết nhiễu loạn xét đến bổ chính bậc một là: 22 4 2 2 (0) (1) 0 0 0 0 2 22 4 e e m Z e a B eE E E m c      Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 11 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Trong hệ đơn vị khơng thứ nguyên 0 1em e c a     , mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường theo lý thuyết nhiễu loạn xét đến bổ chính bậc một cĩ dạng: 2 0 1 2 4 BE    (1.15) Nhận xét: Theo biểu thức về sự phụ thuộc mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn thì mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro cĩ dạng là hàm bậc hai của từ trường B . 2.2.3. Điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn cho bài tốn nguyên tử hydro trong từ trường Năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro ở biểu thức (1.15) thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn, do đĩ nĩ chỉ đúng với những từ trường yếu sao cho độ dịch chuyển mức năng lượng cơ bản nhỏ hơn rất nhiều so với trị số hiệu mức năng lượng cơ bản và mức kích thích thứ nhất, nghĩa là: 22 2 0 0 124 c e a B e E E m c  Một cách gần đúng ta xem từ trường yếu là từ trường cĩ giá trị cB b , sao cho năng lượng tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường vào khoảng mười phần trăm trị số hiệu mức năng lượng cơ bản và mức kích thích thứ nhất. 22 2 2 4 2 4 0 0 12 2 210% 10%4 2 8 e e e a b e m Z e m Z eE E m c       Trong hệ khơng thứ nguyên 0 1em e c a     , ta cĩ: 2 1 10.1 4 2 8 b      Suy ra 0.3872cB b  được xem là giá trị từ trường yếu ứng với mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro. 2.3. Nhận xét kết quả thu được về mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường cho bởi lý thuyết nhiễu loạn Bằng phương pháp nhiễu loạn, ta thu được kết quả của bài tốn nguyên tử hydro trong từ trường: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 12 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc  Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường thật yếu thì tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là tương tác chính và tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn.  Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường thật mạnh thì tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là tương tác chính và tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là thế nhiễu loạn. Bài tốn này đã được Landau giải quyết hồn chỉnh. Như vậy, dựa vào lý thuyết nhiễu loạn ta hồn tồn cĩ thể giải quyết bài tốn nguyên tử hydro trong từ trường thật mạnh hoặc thật yếu. Tuy nhiên, phương pháp nhiễu loạn truyền thống gặp phải khĩ khăn khi giải quyết bài tốn nguyên tử hydro đặt trong từ trường trung bình vì khơng thể coi tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử với electron trong nguyên tử hydro hay tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn. Bằng phương pháp tốn tử với ưu điểm là cĩ thể áp dụng cho bài tốn trường ngồi cĩ cường độ bất kỳ, ta cĩ thể giải quyết được khĩ khăn trên của phương pháp nhiễu loạn truyền thống về bài tốn nguyên tử hydro trong từ trường trung bình. Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 13 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ CHO BÀI TỐN NGUYÊN TỬ HYDRO 1. Hình thức luận tốn tử sinh hủy 1.1. Bài tốn dao động tử phi điều hịa một chiều 1.1.1. Tốn tử Hamilton trong bài tốn dao động tử phi điều hịa Tốn tử Hamilton của bài tốn dao động tử điều hịa một chiều khơng cĩ nhiễu loạn cĩ dạng: 2 2 2 2 0 2 1ˆ 2 2 H m x m x     , phương trình Schrodinger tương ứng: 2 2 2 2 (0) (0) (0) 2 1 ( ) ( ) 2 2 n n n m x x E x m x          Kết quả của cơ học lượng tử cho ta năng lượng của dao động điều hịa ứng với mỗi hàm riêng (0) ( )n x bị lượng tử hĩa cĩ dạng: (0) 12nE n       với 0, 1, 2, ...n  và các mức năng lượng này khơng suy biến. Khi truyền cho dao động tử thêm một năng lượng 2( )V x x , tốn tử Hamilton trở thành: 2 2 2 2 2 2 1ˆ 2 2 H m x x m x       (2.1) 1.1.2. Giải bài tốn dao động tử phi điều hịa bằng lý thuyết nhiễu loạn truyền thống Trong phương pháp nhiễu loạn truyền thống, để giải bài tốn dao động tử cĩ thêm phần năng lượng bé 2( )V x x ( bé), ta đặt biến số mới: x   . Kết quả tính tốn trong cơ học lượng tử cho ta năng lượng của dao động tử điều hịa khi cĩ thêm phần năng lượng bé 2( )V x x ( bé) là: 2 2 2 1 11 ... 2 2n E n m m                        (2.2) Với 0, 1, 2, ...n  Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 14 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 1.1.3. Giải bài tốn dao động tử phi điều hịa bằng phương pháp tốn tử Bây giờ, ta xét bài tốn dao động tử phi điều hịa, được truyền thêm phần năng lượng 2ˆ ˆ( )V x x bằng cách đặt tốn tử sinh aˆ và tốn tử hủy aˆ cĩ dạng như sau: 1ˆ ˆ ˆ 2 1ˆ ˆ ˆ 2 m ia x p m m ia x p m                               (2.3) Giao hốn tử của hai tốn tử sinh aˆ và hủy aˆ : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1a a aa a a        (2.4) Trong đĩ  là tham số thực dương cần tìm, hai tốn tử sinh aˆ và hủy aˆ là những tốn tử khơng thứ nguyên. Từ biểu thức của hai tốn tử sinh aˆ và hủy aˆ trên, suy ra: 1 ˆ ˆ ( ) 2 ˆ ˆ( ) 2 x a a m m a a x                         (2.5) Vậy:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 2 2 x a a a a aa a a m m m ma a a a aa a a x                                (2.6) Với: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1a a aa a a        , ta cĩ:     2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 1 2 x a a a a m m a a a a x                   (2.7) Tốn tử Hamilton trong bài tốn dao động tử phi điều hịa cĩ dạng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1ˆ ( 2 ) 2 2 2 2 H m x x m x m x m x                (2.8) Từ (2.7) và (2.8) ta viết lại tốn tử Hamilton của bài tốn dưới dạng: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 15 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc  2 2 2 21ˆ ˆ ˆ ˆ( 2 ) ( ) ( 2 )2 2 2 4 4H N m a a mm m                              Với: ˆ 1a n n n   ˆ 1a n n n  , ˆ 0 0a  ˆ ˆ ˆN n a a n n n  Năng lượng ở mức cơ bản của dao động tử phi điều hịa là: 0 0 0E H (2.9) Vậy, ta cĩ năng lượng cơ bản của dao động tử là:   2 0 2 2 2 1ˆ( 2 ) 0 0 2 2 2 ˆ ˆ ( 2 ) 0 ( ) 0 4 4 E m N m m a a m                                  (2.10) Suy ra: 20 1 ( 2 ) 2 2 2 E m m            (2.11) Trong biểu thức năng lượng ở mức cơ bản của dao động tử phi điều hịa , , m const  nên 0E là một hàm theo tham số  . Vì 0E là mức năng lượng thấp nhất của dao động tử nên: 0 0dE d  (2.12) Thay biểu thức tính 0E ở (2.11) vào (2.12), ta cĩ: 2 2 1( 2 ) 0 2 2 m m             (2.13) Ta tìm được giá trị của tham số thực dương  : 2 2 21 m    (2.14) Do  là số thực dương nên: 221 m    Thay biểu thức của tham số  vào tốn tử Hamilton trong bài tốn dao động tử phi điều hịa cĩ thế nhiễu loạn 2ˆ ˆ( )V x x , ta được: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 16 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 2 1 2ˆ ˆ 1 2 H N m         (2.15) Năng lượng của dao động tử phi điều hịa được truyền thêm phần năng lượng 2( )V x x ở mức n là: ˆnE n H n (2.16) Ta thu được kết quả của bài tốn dao động tử phi điều hịa được truyền thêm phần năng lượng 2( )V x x là: 2 1 21 2n E n m         (2.17) Với 1, 2, 3, ...n  1.1.4. Nhận xét về các cách giải bài tốn dao động tử phi điều hịa So sánh kết quả biểu thức năng lượng của dao động tử khi được truyền thêm phần năng lượng bé 2( )V x x ( bé) khi giải bằng phương pháp nhiễu loạn truyền thống và kết quả thu được bằng phương pháp tốn tử, ta nhận thấy biểu thức giá trị năng lượng ở mức n thu được bằng phương pháp nhiễu loạn chính là sự khai triển của biểu thức năng lượng bằng phương pháp tốn tử theo các lũy thừa của 22m   lấy với độ chính xác đến số hạng cĩ độ bé bậc hai. 2 2 2 2 1 2 1 11 1 ... 2 2 2n E n n m m m                                    (2.18) Ta thấy điều kiện để cĩ thể áp dụng lý thuyết nhiễu loạn truyền thống là 2 0 2 m  . Trong khi đĩ đối với phương pháp giải bài tốn bằng phương pháp tốn tử cho kết quả bài tốn một cách chính xác và hệ số  cĩ thể là bất kỳ. Đĩ chính là lợi thế rất lớn của phương pháp tốn tử. Nhưng điều kiện để chuỗi (2.18) hội tụ là 22 1m    . Vậy  phải bé và thỏa mãn điều kiện 2 0 2 m  . Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 17 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 2. Phương pháp tốn tử trong bài tốn nguyên tử hydro 2.1. Tốn tử Hamilton trong bài tốn nguyên tử hydro Tốn tử Hamilton trong bài tốn nguyên tử hydro trong hệ đơn vị khơng thứ nguyên 1 , 1em  , 1e  , 1k  , 0 1a  : ˆ ˆ ˆH T U  (2.19) Trong đĩ: + Tˆ là tốn tử động năng, với: 2 2 2 2 2 2 1ˆ 2 T x y z            (2.20) + Uˆ là tốn tử thế năng, với: 2 2 2 ˆ Z ZU r x y z       (2.21) Bằng phép biến đổi Laplace, ta thu được tốn tử thế năng cĩ dạng: 2 2 2( ) 0 1ˆ t x y zZU e dt t       (2.22) 2.2. Biễu diễn tốn tử Ta định nghĩa các tốn tử sinh và tốn tử hủy như sau: 1 1ˆ ˆ, 2 2 1 1ˆ ˆ, 2 2 1 1ˆ ˆ, 2 2 x x x x x x y y y y y y z z z z z z a x a x x x a y a y y y a z a z z z                                                                (2.23) Trong đĩ x , y , z là các tham số thực dương cần tìm. Ta viết lại các tốn tử sinh và hủy ở (2.23) như sau: 1 1ˆ ˆ, 2 2 a a                          Với , 1, 2, 3   tương ứng với các thành phần trên các trục , , Ox Oy Oz . Các hệ thức giao hốn: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 18 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc ˆ ˆ ˆ ˆ, 0, , 0 ˆ ˆ ˆ ˆ, 0, , 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1 a a a a a a a a a a a a a a                                          Ta định nghĩa tốn tử số hạt: ˆ ˆ ˆN a a   Với:   ˆ 1 ˆ 1 1 ˆ a n n n a n n n N n n n                     Từ biểu thức của các tốn tử sinh, hủy, tốn tử số hạt, ta cĩ:     2 222 1 1 ˆˆ ˆ 2 12 2a a N             22 21 ˆˆ ˆ 2 12 a a N        Các giao hốn tử trên chính là cơng cụ chính cho việc tính tốn đại số. Biểu diễn các thành phần trong tốn tử Hamilton Hˆ qua các tốn tử sinh và hủy. 2.2.1. Tốn tử động năng Để biểu diễn tốn tử thế năng qua các tốn tử sinh, hủy, tốn tử số hạt, thay     2 222 1 1 ˆˆ ˆ 2 12 2a a N           vào thành phần động năng trong tốn tử Hamilton, ta cĩ:      2 2 2 2 2 2 3 322 1 1 1ˆ 2 1 1 ˆˆ ˆ 2 1 4 4 T x y z a a N                            (2.24) 2.2.2. Tốn tử thế năng Để biểu diễn tốn tử thế năng qua các tốn tử sinh, hủy, tốn tử số hạt, ta đặt thêm các tốn tử mới:  2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 A a A a N N              (2.25) Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 19 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Và: 2 2 2 2 2 2 3( ) 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆt x y z tx ty tx x y zS e e e e S S S S             Biểu thức của tốn tử Sˆ cĩ dạng:  2 ˆ ˆ ˆ 2ˆ t A A NtS e e         (2.26) Đặt: 2 t     , biểu thức của tốn tử Sˆ được viết lại thành:  ˆ ˆ ˆ ˆ A A NS e         (2.27) Để đơn giản cho việc tính tốn ta đưa biểu thức của tốn tử Sˆ về dạng chuẩn, tức là biến đổi sao cho tốn tử hủy luơn về phía phải của biểu thức, tốn tử sinh luơn ở phía trái của biểu thức. Dạng chuẩn1 của biểu thức tốn tử Sˆ cĩ dạng:   1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ln(1 2 )1 2 1 22ˆ A ANA A NS e e e e                       Với: ˆ ˆ2 1N N    , ta viết lại tốn tử Sˆ :   ˆ ˆ ˆ1 2 ln(1 2 ) 1 2ˆ ˆ ˆ 1 2 ˆ (1 2 ) A A N A A N e e eS e                            (2.28) Thay biểu thức của tốn tử Sˆ vào trong tốn tử thế năng ta cĩ: ˆ ˆ3 3 ˆ1 2 ln(1 2 ) 1 2 1 1 13 0 0 2 1 ˆ ˆ (1 2 ) A A NS e e e Z ZU dt dt t t                                       Mà: 2 t     , ta viết lại tốn tử thế năng: ˆ ˆ3 ˆ1 2 ln(1 2 ) 1 2 1 3 0 1 ˆ 1 A A Ne e e ZU dt tt                                 (2.29) 1 Phụ lục A: Dạng chuẩn hĩa của tốn tử Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 20 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Ta tiếp tục đặt: 0ˆ ˆ ˆ ˆS S S S      (2.30) Với: ˆ 1 2ˆ AS e         (2.31) ˆln(1 2 )0ˆ NS e     (2.32) ˆ 1 2ˆ AS e         (2.33) Tiến hành khai triển Taylor các tốn tử Sˆ , 0Sˆ , Sˆ trên, ta thu được:  ˆ 1 2 0 1ˆ ˆ ! 1 2 n A n n S e A n                         ˆln(1 2 )0 0 1ˆ ˆln(1 2 ) ! mmN m S e N m            ˆ 1 2 0 1ˆ ˆ ! 1 2 l A l l S e A l                    Biểu thức của tốn tử Sˆ :         0 0 0 1 1 1ˆ ˆ ˆˆln(1 2 ) ! 1 2 ! ! 1 2 n l n lmm n m l S A N A n m l                                     Để đơn giản trong tính tốn, ta đặt: 1 2 ln(1 2 ) u v                Tốn tử ˆS được viết lại thành:       0 0 0 1 1 1ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ! ! ! n lmn m l n m l S u A v N u A ._. n m l                  (2.34) Thực hiện phép khai triển biểu thức của tốn tử Sˆ thành: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 21 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc         2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 3 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 ( ) ( ) ... 2! 3! 1 1ˆ ˆ ˆ 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... 2! 3! 1 1ˆ ˆ ˆ 1 ( ) ( ) ... 2! 3! S u A u A u A v N v N v N u A u A u A                                              (2.35) Tách Sˆ làm hai thành phần: ˆ ˆ ˆoS S S    Trong đĩ: + ˆ oS là tốn tử chỉ chứa những số hạng trung hịa, tốn tử ˆ oS khi tác dụng lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái khơng đổi, tốn tử ˆ oS cĩ dạng:                     2 2 1 1 2 2 1 1 1 1ˆ ˆ ˆˆ1 ! ! 1 1ˆ ˆˆ ! !                                                n nnn no n n n nmn m n m S v N u A A n n u A v N A n m (2.36) + Sˆ là tốn tử chứa những số hạng khơng trung hịa, khi tác dụng lên vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét, với Sˆ cĩ dạng:               0 1 1 0 1 0 1 1 1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ! ! ! ! 1 1 1ˆ ˆˆ ( ) ( ) ( ) ! ! ! l mn nn l m n n l m n m lnm n l m n l m S v N u A u A v N n l m n u A v N u A m n l                                           Tốn tử Hamilton trong bài tốn nguyên tử hydro được chia thành hai thành phần: + Thành phần tốn tử chỉ chứa các tốn tử trung hịa, xem như loại tốn tử Hamilton ˆ oH trong bài tốn khơng nhiễu loạn, với:  3 31 0 1 ˆ ˆ ˆ1ˆ ˆ2 1 4 1 o o o x y z o S S SZH N dt tt                      (2.37) + Thành phần chứa các tốn tử khơng trung hịa, xem như loại tốn tử nhiễu loạn Vˆ , với: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 22 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc   3 22 1 3 0 1 1ˆ ˆ ˆ 4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 o o o o o o o o o x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y V a a S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S SZ dt tt                                          (2.38) 2.3. Năng lượng của nguyên tử hydro ở mức cơ bản 0n  Trong trường hợp khơng cĩ trường ngồi, bài tốn nguyên tử hydro cĩ tính chất đối xứng trên các trục , , Ox Oy Oz nên x y z      . Suy ra:     2 ln 1 2 2 1 21 x y z x y z x y z t v v v v t u u u t                           Tốn tử Hamilton loại khơng nhiễu loạn và tốn tử nhiễu loạn được viết lại thành:     3 3 1 0 2 ˆ ˆ ˆ2ˆ ˆ2 1 4 1 2 o o o x y z o S S SZH N d                    3 22 1 3 0 2 ˆ ˆ ˆ 4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 o o o o o o o o o x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y V a a S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S SZ d                                    2.3.1. Năng lượng bậc khơng Năng lượng bậc khơng trong bài tốn nguyên tử hydro chính là năng lượng ở mức cơ bản trong bài tốn nguyên tử hydro loại khơng nhiễu loạn. 3 ( ) 0 31 0 1 1 1ˆ000 000 4 1 o o ZE H dt tt                     (2.39) Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 23 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Do tính chất đối xứng x y z      nên biểu thức năng lượng bậc khơng trở thành:   ( ) 0 3 0 2 3 2 1ˆ000 000 4 1 2 o o ZE H d         Với: 2 t  Kết quả tính tốn cho ta mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro khi chưa cĩ bổ chính là: ( )0 3 2 4 o ZE    2.3.2. Bổ chính năng lượng bậc một Bổ chính năng lượng bậc một của mức năng lượng cơ bản chính là thành phần nằm trên đường chéo chính trong ma trận của tốn tử nhiễu loạn Vˆ : (1)0 000,000E V (2.40) Do tốn tử nhiễu loạn Vˆ chỉ chứa các phần tử khơng trung hịa, khi tốn tử nhiễu loạn Vˆ tác dụng lên một một vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét, nên thành phần nằm trên đường chéo chính trong ma trận của tốn tử nhiễu loạn bằng khơng. Vậy, bổ chính năng lượng bậc một của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro là: (1)0 000,000 0E V  (2.41) 2.3.3. Bổ chính năng lượng bậc hai Bổ chính năng lượng bậc hai được xác định bởi biểu thức: 2 (2) 0 ( ) ( ) 0 000 000 x y z x y z x y z o o k k k k k k V k k k E E E   (2.42) Từ biểu thức của thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn Vˆ và của tốn tử Sˆ , nhận xét: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 24 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc     nếu lẽ nếu chẵn 000, 000, ˆ 0 ˆ 0 x y z x y z k k k k k k V k V k      Suy ra bổ chính năng lượng bậc hai trong bài tốn nguyên tử hydro là: 2 2 2 2 (2) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 200 000 020 000 002 000 220 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 202 000 022 000 400 ˆ ˆ ˆ ˆ000 200 000 020 000 002 000 220 ˆ ˆ ˆ ˆ000 202 000 022 000 400 000 040 o o o o o o o o o o o o o o V V V V E E E E E E E E E V V V V E E E E E E               ( ) ( )000 040 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 004 000 600 000 060 000 006 ˆ ˆ ˆ ˆ000 004 000 600 000 060 000 006 ..... o o o o o o o o o o E E V V V V E E E E E E E E         Tính các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn cĩ trong biểu thức bổ chính năng lượng bậc hai khi xét trường hợp đối xứng x y z      Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn Vˆ cĩ trong biểu thức bổ chính năng lượng bậc hai  Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 200 ,V ˆ000 020 ,V ˆ000 002V . Do tính chất đối xứng nên: ˆ ˆ ˆ0 2 0 2 0 2 2 2 1 2x y z S S S u        Ta thu được các thành phần ma trận:   1 2 5 0 2 2 2ˆ ˆ ˆ000 200 000 020 000 002 4 1 2 ZV V V d           Vậy: 2 2ˆ ˆ ˆ000 200 000 020 000 002 4 3 ZV V V        Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 220 ,V ˆ000 202 ,V ˆ 000 022V . Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 25 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc   3 2 7 0 2 2 2ˆ ˆ ˆ000 220 000 202 000 202 51 2 Z ZV V V d             Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 400V , ˆ000 040V , ˆ000 004V . Do tính chất đối xứng nên:   2 2 2 ˆ ˆ ˆ0 4 0 4 0 4 6 6 1 2x y z S S S u       Ta thu được các thành phần ma trận:   2 7 0 2 2 3 6ˆ ˆ ˆ000 400 000 040 000 004 101 2 Z ZV V V d              Thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 222V Khi khơng cĩ trường ngồi, thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 222V được viết thành:   5 2 9 0 2 4 2ˆ000 222 141 2 Z ZV d         Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 600V , ˆ000 060V , ˆ000 006V . Do tính chất đối xứng nên:   3 3 3 ˆ ˆ ˆ0 6 0 6 0 6 2 5 2 5 1 2x y z S S S u        Ta thu được các thành phần ma trận:   5 2 9 0 2 2 10 5ˆ ˆ ˆ000 600 000 060 000 006 141 2 Z ZV V V d           Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 420V , ˆ000 402V , ˆ000 024V , ˆ000 042V , ˆ000 204V , ˆ000 240V . Do tính chất đối xứng trên các trục tọa độ nên: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 26 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc   5 2 9 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ000 420 000 402 000 024 000 042 000 204 2 6 3ˆ 000 240 141 2 V V V V V Z ZV d              Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 800V , ˆ000 080V , ˆ000 008V . Do tính chất đối xứng nên:   4 4 4 ˆ ˆ ˆ0 8 0 8 0 8 70 70 1 2x y z S S S u       Ta thu được các thành phần ma trận:   7 2 11 0 2 2 35 70ˆ ˆ ˆ000 800 000 080 000 008 721 2 Z ZV V V d             Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 620V , ˆ000 602V , ˆ000 026V , ˆ000 062V , ˆ000 206V , ˆ000 260V . Do tính chất đối xứng trên các trục tọa độ nên:   7 2 11 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ000 620 000 602 000 026 000 062 000 206 4 5 10ˆ 000 260 361 2 V V V V V Z ZV d                Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 440V , ˆ000 404V , ˆ000 044V . Do tính chất đối xứng trên các trục tọa độ nên:   7 2 11 0 2 6 2ˆ ˆ ˆ000 440 000 404 000 044 121 2 Z ZV V V d             Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 422V , ˆ000 242V , ˆ000 224V . Do tính chất đối xứng trên các trục tọa độ nên: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 27 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc   7 2 11 0 2 4 3 6ˆ ˆ ˆ000 422 000 242 000 224 361 2 Z ZV V V d             Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 1000V ( 10, 0x y zk k k   ), ˆ000 0100V , ˆ000 0010V . Do tính chất đối xứng nên:   5 5 5 ˆ ˆ ˆ0 10 0 10 0 10 6 7 6 7 1 2x y z S S S u        Ta thu được các thành phần ma trận:   9 2 13 0 2 6 14 3 7ˆ ˆ ˆ000 1000 000 0100 000 0010 881 2 Z ZV V V d           Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 820V , ˆ000 802V , ˆ000 280V , ˆ000 208V , ˆ000 082V , ˆ000 028V . Do tính chất đối xứng trên các trục tọa độ nên:   9 2 13 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ000 820 000 802 000 280 000 208 000 082 2 70 35ˆ 000 028 881 2 V V V V V Z ZV d              Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 622V , ˆ000 262V , ˆ000 226V .   9 2 13 0 2 4 10 5ˆ ˆ ˆ000 622 000 262 000 226 441 2 Z ZV V V d          Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 442V , ˆ000 424V , ˆ000 244V . Do tính chất đối xứng trên các trục tọa độ nên:   9 2 13 0 2 12 3 2ˆ ˆ ˆ000 442 000 424 000 244 881 2 Z ZV V V d          Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 28 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc  Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn ˆ000 640V , ˆ000 604V , ˆ000 460V , ˆ000 406V , ˆ000 064V , ˆ000 046V . Do tính chất đối xứng trên các trục tọa độ nên:   9 2 13 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ000 640 000 604 000 460 000 064 000 046 4 15 30 881 2 V V V V V Z Zd            Các thành phần năng lượng của electron trong nguyên tử hydro loại khơng cĩ nhiễu loạn cĩ trong biểu thức bổ chính năng lượng bậc hai  Các thành phần năng lượng loại khơng cĩ nhiễu loạn ( ) ( ) ( )200 020 002, , o o oE E E Do x y z      nên:     ln 1 2 2 1 21 x y z x y z v v v v t u u u t                    Các thành phần ma trận:   2 2 1 2ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 2 2 1 2x y z S S S      Vậy:   2 ( ) ( ) ( ) 200 020 002 7 0 2 7 2 1 2 7 19 4 4 151 2 o o o Z ZE E E d                Các thành phần năng lượng loại khơng cĩ nhiễu loạn ( ) ( ) ( )220 022 202, , o o oE E E Khi khơng cĩ trường ngồi, ta được:     22 ( ) ( ) ( ) 220 022 202 11 0 2 1 211 2 4 1 2 11 193 4 210 o o o ZE E E d Z                 Các thành phần năng lượng loại khơng cĩ nhiễu loạn ( ) ( ) ( )400 040 004, , o o oE E E Khi khơng cĩ trường ngồi, các thành phần ma trận: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 29 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc   2 4 4 1 12 6ˆ ˆ ˆ4 4 4 4 4 4 1 2x y z S S S        Vậy ta thu được kết quả: 2 4 ( ) ( ) ( ) 400 040 004 11 0 2 11 2 1 12 6 11 1321 4 4 1260(1 2 ) o o o Z ZE E E d                   Năng lượng ( )222oE loại khơng nhiễu loạn Khi khơng cĩ nhiễu loạn, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( ) 222 oE trở thành:  32( ) 222 15 0 2 1 215 2 15 14737 4 4 20020(1 2 ) o Z ZE d               Các thành phần năng lượng loại khơng cĩ nhiễu loạn ( ) ( ) ( )600 060 006, , o o oE E E Khi khơng cĩ trường ngồi, các thành phần ma trận:   2 4 6 6 1 30 90 20ˆ ˆ ˆ6 6 6 6 6 6 1 2x y z S S S          Vậy ta thu được kết quả: 2 4 6 ( ) ( ) ( ) 600 060 006 15 0 2 15 2 1 30 90 20 15 22291 4 4 24024(1 2 ) o o o Z ZE E E d                     Các thành phần năng lượng loại khơng cĩ nhiễu loạn ( ) ( ) ( )420 402 240, , ,o o oE E E ( ) ( ) ( ) 204 024 042 , , o o oE E E Khi khơng cĩ nhiễu loạn, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( ) ( ) ( ) 420 402 240, , , o o oE E E ( ) ( ) ( )204 024 042, , o o oE E E trở thành:    2 2 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 420 402 024 042 204 240 15 40 2 1 2 1 12 615 2 4 (1 2 ) (1 2 ) 15 95353 4 120120 o o o o o o z ZE E E E E E d Z                          Các thành phần năng lượng loại khơng cĩ nhiễu loạn ( ) ( ) ( )800 080 008, , o o oE E E Khi khơng cĩ trường ngồi, các thành phần ma trận: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 30 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc   2 4 6 8 8 1 56 420 560 70ˆ ˆ ˆ8 8 8 8 8 8 1 2x y z S S S            Vậy, ta thu được kết quả năng lượng của electron trong nguyên tử hydro loại khơng nhiễu loạn ở mức ( ) ( ) ( )800 080 008, , o o oE E E : 2 4 6 8 ( ) ( ) ( ) 800 080 008 1 11 0 2 2 1 56 420 560 7019 2 4 (1 2 ) 19 5931721 4 7001280 o o o ZE E E d Z                       Các thành phần năng lượng loại khơng cĩ nhiễu loạn ( ) ( ) ( )620 602 260, , ,o o oE E E ( ) ( ) ( ) 206 026 062 , , o o oE E E Khi khơng cĩ nhiễu loạn, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( ) ( ) ( ) 620 602 260, , , o o oE E E ( ) ( ) ( )204 024 042, , o o oE E E trở thành:    2 4 6 2( ) ( ) ( ) 620 602 260 19 0 2 1 30 90 20 1 219 2= 4 (1 2 ) 19 8805289 4 12252240 o o o ZE E E d Z                      Các thành phần năng lượng loại khơng cĩ nhiễu loạn ( ) ( ) ( )440 404 440, , o o oE E E Khi khơng cĩ nhiễu loạn, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( ) ( ) ( ) 440 404 440, , o o oE E E trở thành:  22 4( ) ( ) ( ) 440 404 440 19 0 2 1 12 619 2 4 (1 2 ) 19 1314641 4 1884960 o o o ZE E E d Z                   Các thành phần năng lượng loại khơng cĩ nhiễu loạn ( ) ( ) ( )422 242 224, , o o oE E E Khi khơng cĩ nhiễu loạn, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( ) ( ) ( ) 422 242 224, , o o oE E E trở thành: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 31 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc    22 2 4( ) ( ) ( ) 422 242 224 23 0 2 1 2 1 12 619 2= 4 (1 2 ) 19 8038847 4 12252270 o o o ZE E E d Z                    Các thành phần năng lượng loại khơng cĩ nhiễu loạn ở mức ( ) 1000 ( 10, 0) o x y zE n n n   , ( ) ( )0100 0010, o oE E : Khi khơng cĩ trường ngồi, các thành phần ma trận:   2 4 6 8 10 6 1 90 1260 4200 3150 525ˆ ˆ ˆ10 10 10 10 10 10 1 2x y z S S S              Vậy ta thu được kết quả năng lượng của electron trong nguyên tử hydro loại khơng nhiễu loạn ở mức ( ) ( ) ( )1000 0100 0010, , o o oE E E : 2 4 6 8 10 ( ) ( ) ( ) 1000 0100 0010 23 0 2 1 90 1260 4200 3150 52523 2 4 (1 2 ) 23 978174432 4 124156032 o o o ZE E E d Z                         Các thành phần năng lượng loại khơng cĩ nhiễu loạn ( ) ( ) ( )820 802 280, , ,o o oE E E ( ) ( ) ( ) 208 028 082 , , o o oE E E Khi khơng cĩ nhiễu loạn, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( ) ( ) ( ) 820 802 280, , , o o oE E E ( ) ( ) ( )208 028 082, , o o oE E E trở thành:     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 820 802 280 208 028 082 2 4 6 8 2 23 0 2 1 56 420 560 70 1 223 2 4 (1 2 ) 23 1240173241 4 1862340480 o o o o o oE E E E E E Z d Z                            Các thành phần năng lượng loại khơng cĩ nhiễu loạn ( ) ( ) ( )622 262 226, , o o oE E E Khi khơng cĩ nhiễu loạn, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( ) ( ) ( ) 622 262 226, , o o oE E E trở thành: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 32 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc    22 4 6 2( ) ( ) ( ) 622 262 226 23 0 2 1 30 90 20 1 223 2 4 (1 2 ) 23 281330527 4 465585120 o o o ZE E E d Z                       Các thành phần năng lượng loại khơng cĩ nhiễu loạn ( ) ( ) ( )442 424 244, , o o oE E E Khi khơng cĩ nhiễu loạn, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( ) ( ) ( ) 442 424 244, , o o oE E E trở thành:    22 4 2( ) ( ) ( ) 442 424 244 23 0 2 1 12 6 1 223 2 4 (1 2 ) 23 551803019 4 931170240 o o o ZE E E d Z                     Các thành phần năng lượng loại khơng cĩ nhiễu loạn ( ) ( ) ( )640 604 460, , ,o o oE E E ( ) ( ) ( ) 406 064 046 , , o o oE E E Khi khơng cĩ nhiễu loạn, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( ) ( ) ( ) 640 604 460, , , o o oE E E ( ) ( ) ( )406 064 046, , o o oE E E trở thành:     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 640 604 460 406 064 046 2 4 6 2 4 23 0 2 1 30 90 20 1 12 623 2 4 (1 2 ) 23 65992533 4 103463360 o o o o o oE E E E E E Z d Z                           Suy ra biểu thức của bổ chính năng lượng bậc hai của mức năng lượng cơ bản là: 2 2 2 2 (2) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 200 000 220 000 400 000 222 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 600 000 420 000 800 ˆ ˆ ˆ ˆ3 000 200 3 000 220 3 000 400 000 222 ˆ ˆ ˆ3 000 600 6 000 420 3 000 800 6 000 o o o o o o o o o o o o o o V V V V E E E E E E E E E V V V E E E E E E               2 ( ) ( ) 000 620 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 422 000 440 000 1000 000 820 ˆ 620 ˆ ˆ ˆ ˆ3 000 422 3 000 440 3 000 1000 6 000 820 ..... o o o o o o o o o o V E E V V V V E E E E E E E E         Trong đĩ: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 33 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 2 2 2 2ˆ000 200 4 3 ZV          2 2ˆ000 220 5 ZV        2 2 6ˆ000 400 10 ZV        2 2 2ˆ000 222 14 ZV        2 2 5ˆ000 600 14 ZV        2 2 3ˆ000 420 14 ZV        2 2 70ˆ000 800 72 ZV        2 2 10ˆ000 620 36 ZV        2 2ˆ000 440 12 ZV        2 2 6ˆ000 422 36 ZV        2 2 3 7ˆ000 1000 88 ZV        2 2 35ˆ000 820 88 ZV        2 2 5ˆ000 622 44 ZV        2 2 3 2ˆ000 442 88 ZV        2 2 30ˆ000 640 88 ZV        ( ) ( ) 000 200 11 15 o o ZE E      ( ) ( ) 000 220 2272 210 o o ZE E      ( ) ( ) 000 400 11992 1260 o o ZE E      ( ) ( ) 000 222 253033 20020 o o ZE E      ( ) ( ) 000 600 257573 24024 o o ZE E      ( ) ( ) 000 420 1448873 120120 o o ZE E      ( ) ( ) 000 800 80708394 7001280 o o ZE E      ( ) ( ) 000 620 156991914 12252240 o o ZE E      ( ) ( ) 000 440 24552794 1884960 o o ZE E      ( ) ( ) 000 422 164656334 12252240 o o ZE E      ( ) ( ) 000 1000 1504946215 124156032 o o ZE E      ( ) ( ) 000 820 24845077195 1862340480 o o ZE E      Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 34 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc ( ) ( ) 000 622 6498397135 465585120 o o ZE E      ( ) ( ) 000 442 13105374615 91170240 o o ZE E      ( ) ( ) 000 604 1409341875 103463360 o o ZE E      Vậy bổ chính năng lượng bậc hai của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro là: 2 2 2 (2) 0 2 2 2 2 2 63 3 3 4 3 5 10 11 227 13912 2 126015 210 2 5 33 6 14 14 14 25303 30509 1533 3 3 20020 24024 Z Z Z E Z Z Z Z Z Z Z Z                                                                                       271 120120 Z    2 2 2 2 2 70 103 6 3 72 36 12 8070839 15699191 24552794 4 4 7001280 12252240 1884960 6 3 73 3 36 88 16465633 1504946214 5 12252240 12415 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z                                                                       2 356 88 24845077195 6032 1862340480 Z Z             2 2 2 5 3 2 303 3 6 44 88 88 649839713 1310537461 1409341875 5 5 465585120 91170240 103463360 Z Z Z Z Z Z                                           2.3.4. Bổ chính năng lượng bậc ba Bổ chính năng lượng bậc ba được xác định bởi cơng thức       (3) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 000 000 2 2 ( ) ( ) 000 ˆ ˆ ˆ000 000 ˆ000ˆ 000 000 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z o o o o m k m m m k k k x y z o ok n k k k V m m m m m m V k k k k k k V E E E E E V k k k V E E             Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 35 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Vì tốn tử nhiễu loạn Vˆ chỉ chứa các số hạng khơng trung hịa nên: ˆ000 000 0V  Từ biểu thức của tốn tử Vˆ , nhận xét: ˆ000 0 ˆ 000 0 x y z x y z V m m m k k k V    nếu , m k  lẽ. Vậy biểu thức tính bổ chính năng lượng bậc ba cĩ dạng:             (3) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 200 000 020 000 200 000 002 ( ) ( ) ( ) ( ) 000 020 000 200 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ000 200 200 020 020 000 000 200 200 002 002 000 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ000 020 020 200 200 000 000 020 020 002 002 o o o o o o o o o o o o V V V V V V E E E E E E E E E V V V V V E E E E                      ( ) ( ) ( ) ( ) 000 020 000 002 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 200 000 220 000 000 000 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ000 200 200 220 220 000 000 200 200 400 400 000 ... x y z x y z o o o o o o o o o o o o m m m k k k V E E E E V V V V V V E E E E E E E E         Các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn Vˆ cĩ trong biểu thức bổ chính năng lượng bậc ba Khi khơng cĩ trường ngồi x y z      , nên:   3 2 7 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ200 020 200 002 020 200 020 002 002 200 2 2ˆ 002 020 51 2 V V V V V Z ZV d                 5 2 9 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ200 022 022 200 002 220 200 022 202 020 4 2ˆ 022 200 141 2 V V V V V Z ZV d               1 22 9 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ200 220 200 202 020 220 020 022 002 022 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ002 202 220 200 220 020 202 002 202 200 2 2 (1 2 ) 2 31 2ˆ ˆ022 020 022 020 4 4 2101 2 V V V V V V V V V V Z ZV V d                        Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 36 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc   5 2 9 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ200 040 200 004 020 004 020 004 002 400 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ002 040 004 200 040 200 004 020 004 020 2 6 3ˆ ˆ400 002 040 002 141 2 V V V V V V V V V V Z ZV V d                   3 1 11 0 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ200 400 020 040 002 004 400 200 040 020 004 002 3 2 6 3 47 3 2 2 2101 2 V V V V V V Z Zd                        4 1 11 0 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ400 040 400 004 040 400 040 004 004 400 6 2ˆ 004 040 121 2 V V V V V Z ZV d                   2 4 1 11 0 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ220 202 220 022 202 220 202 022 022 220 2 2 2 17ˆ 022 202 2101 2 V V V V V Z ZV d                      2 1 7 0 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ220 400 220 040 202 004 202 400 022 040 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ022 004 400 220 040 220 004 202 400 202 14 3 67 6ˆ ˆ040 022 004 022 12601 2 V V V V V V V V V V Z ZV V d                        9 2 11 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ220 004 004 220 202 040 040 202 022 400 4 3 6ˆ 400 022 361 2 V V V V V Z ZV d               Biểu thức bổ chính năng lượng bậc ba của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro là: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 37 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 2 (3) 0 2 2 2 2 2 2 31 26 12 4 4 43 5 3 210 5 11 22711 2 15 21015 2 2 26 4 3 14 Z Z Z Z Z E Z ZZ Z Z                                                                                           2 2 3 612 45 3 14 10 11 227 11 11992 2 126015 210 15 Z Z Z Z Z Z Z Z                                                                   2 2 3 47 3 66 4 23 210 10 11 11992 126015 67 6 6 612 6 5 1260 10 1 227 11992 2 1260210 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z                                                                               2 2 0 12 11992 1260 Z Z                         2 2 6 6 176 6 5 36 10 5 210 227 1199 2272 2 21260210 210 Z Z Z Z Z Z Z Z                                                                        Năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro khi xét đến bổ chính bậc ba là: (0) (2) (3)0 0 0 0E E E E   (2.43) Từ biểu thức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro, nhận xét:  Biểu thức mức lượng cơ bản 0E của electron trong nguyên tử hydro là một hàm theo tham số thực dương  .  Năng lượng ở mức cơ bản là năng lượng thấp nhất mà electron trong nguyên tử hydro cĩ được. Cực tiểu hĩa năng lượng cơ bản giúp ta tìm được tham số  : 0 0dE d  (2.44) Kết quả tính tốn cho ta giá trị của tham số thực dương: 0.7052485481  . Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 38 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Thay giá trị tham số 0.7052485481  vào biểu thức tính các bổ chính năng lượng của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro, ta cĩ:  Mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro khi khơng cĩ bổ chính: (0)0 0.419014992E   .  Giá trị bổ chính năng lượng bậc hai của mức cơ bản: (2)0 0.0653781600E   .  Giá trị bổ chính năng lượng bậc ba của mức cơ bản: (3)0 0.00922414030E   . Năng lượng ở mức cơ bản của electron trong nguyên tử hydro khi xét đến bổ chính bậc ba là: (0) (2) (3)0 0 0 0 0.493617293E E E E     . 2.3.5. Nhận xét kết quả thu được về mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro bằng phương pháp tốn tử. Bằng phương pháp tốn tử, kết quả thu được của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro khi chưa cĩ bổ chính là (0)0 0.419014992E   khá gần với kết quả thu được của bài tốn chính xác là 0 0.5E  . Khi bài tốn cĩ xét thêm bổ chính năng lượng bậc hai thì giá trị năng lượng của mức cơ bản trong phương pháp tốn tử tiến đến gần giá trị năng lượng ở mức cơ bản trong bài tốn chính xác. Tiếp tục thực hiện việc thêm vào bổ chính năng lượng bậc ba, kết quả thu được bằng phương pháp tốn tử gần như trùng với phương pháp giải bài tốn nguyên tử hydro chính xác về mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro. Và giá trị bổ chính bậc ba nhỏ hơn rất nhiều so với giá trị bổ chính bậc hai. Điều này chứng tỏ tính hội tụ của chuỗi bổ chính. Nếu tiếp tục thêm vào các giá trị bổ chính bậc cao hơn, ta sẽ thu được giá trị năng lượng ở mức cơ bản của nguyên tử hydro theo phương pháp tốn tử chính bằng giá trị thu được trong bài tốn chính xác. Dựa trên kết quả thu được về mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo phương pháp tốn tử, cho phép ta khẳng định tính đúng đắn của phương pháp tốn tử. Điều này chính là cơ sở bước đầu tin tưởng vào phương pháp tốn tử để áp dụng vào bài tốn xét mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường. Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 39 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ CHO BÀI TỐN NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU 1. Tốn tử Hamilton trong bài tốn nguyên tử hydro trong từ trường đều Khi nguyên tử hydro đặt trong từ trường hướng theo trục Oz , tốn tử Hamilton cĩ dạng:  2 22 2 221ˆ ˆ ˆˆ2 2 8ze e e eB e BH p L x y U m m c m c      Trong đĩ: p là vector động lượng A  là thế vector ứng với từ trường đồng nhất B const  cĩ dạng: 1 , 2 A B r       . Ở mức năng lượng cơ bản ˆ 0ZL  , biểu thức tốn tử Hamilton ._.8 1 1 56 420 560 7017 1 1 4 4 4 (1 2 ) 1 o x x x x x y z x ZE dt tt                            Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 080 oE Với 0, 8, 0x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )800oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )080oE : 2 4 6 8 ( ) 080 3 0 8 1 1 56 420 560 701 17 1 4 4 4 (1 2 ) 1 y y y yo x y z y ZE dt tt                            Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 008 oE Với 0, 0, 8x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )800oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )008oE : 2 4 6 8 ( ) 008 3 0 8 1 1 56 420 560 701 1 17 4 4 4 (1 2 ) 1 o z z z z x y z z ZE dt tt                            Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 620 oE Với 6, 2, 0x x y y z zn k n k n k      , ta cĩ: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 109 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc ( )620 3 0 1 ˆ ˆ ˆ6 6 2 2 0 013 5 1 4 4 4 1 o o o x y zo x y z S S SZE dt tt                    Ta cĩ: ˆ0 0 1oS  2 2 1 2ˆ2 2 (1 2 ) oS       2 4 6 6 1 30 90 20ˆ6 6 (1 2 ) oS             Suy ra năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( )620oE khi xét khơng nhiễu loạn là:    2 4 6 2( ) 620 3 0 6 2 1 1 30 90 20 1 213 5 1 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 x x x yo x y z x y ZE dt tt                              Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 602 oE Với 6, 0, 2x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )620oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )602oE :    2 4 6 2( ) 602 3 0 6 2 1 1 30 90 20 1 213 1 5 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 x x x zo x y z x z ZE dt tt                              Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 062 oE Với 0, 6, 2x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )620oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )062oE :    2 4 6 2( ) 062 3 0 6 2 1 1 30 90 20 1 21 13 5 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 y y y zo x y z y z ZE dt tt                              Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 110 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 026 oE Với 0, 2, 6x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )620oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )026oE :    2 2 4 6( ) 026 3 0 2 6 1 1 2 1 30 90 201 5 13 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 y z z zo x y z y z ZE dt tt                              Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 206 oE Với 2, 0, 6x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )620oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )206oE :    2 2 4 6( ) 206 3 0 2 6 1 1 2 1 30 90 205 1 13 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 x z z zo x y z y z ZE dt tt                              Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 260 oE Với 2, 6, 0x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )620oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )260oE :    2 2 4 6( ) 260 3 0 2 6 1 1 2 1 30 90 205 13 1 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 x y y yo x y z x y ZE dt tt                              Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 440 oE Với 4, 4, 0x x y y z zn k n k n k      , ta cĩ: ( )440 3 0 1 ˆ ˆ ˆ4 4 4 4 0 09 9 1 4 4 4 1 o o o x y zo x y z S S SZE dt tt                    Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 111 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Ta cĩ: ˆ0 0 1oS  và 2 4 4 1 12 6ˆ4 4 (1 2 ) oS          Suy ra năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( )440oE khi xét khơng nhiễu loạn là:    2 4 2 4( ) 440 3 0 4 4 1 1 12 6 1 12 69 9 1 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 x x y yo x y z x y ZE dt tt                              Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 404 oE Với 4, 0, 4x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )404oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )404oE :    2 4 2 4( ) 404 3 0 4 4 1 1 12 6 1 12 69 1 9 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 x x z zo x y z x z ZE dt tt                              Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 044 oE Với 0, 4, 4x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )404oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )044oE :    2 4 2 4( ) 044 3 0 4 4 1 1 12 6 1 12 61 9 9 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 y y z zo x y z y z ZE dt tt                              Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 422 oE Với 4, 2, 2x x y y z zn k n k n k      , ta cĩ: ( )422 3 0 1 ˆ ˆ ˆ4 4 2 2 2 29 5 5 4 4 4 1 o o o x y zo x y z S S SZE dt tt                    Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 112 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Ta cĩ: ˆ0 0 1oS  2 2 1 2ˆ2 2 (1 2 ) oS       2 4 4 1 12 6ˆ4 4 (1 2 ) oS          Suy ra năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( )422oE khi xét khơng nhiễu loạn là:      2 4 2 2( ) 422 3 0 4 2 2 1 1 12 6 1 2 1 29 5 5 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 1 x x y zo x y z x y z ZE dt tt                                Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )242oE Với 2, 4, 2x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )422oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )242oE :      2 2 4 2( ) 242 3 0 2 4 2 1 1 2 1 12 6 1 25 9 5 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 1 x y y zo x y z x y z ZE dt tt                                Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 224 oE Với 2, 2, 4x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )422oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )224oE :      2 2 2 4( ) 224 3 0 2 2 4 1 1 2 1 2 1 12 65 5 9 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 1 x y z zo x y z x y z ZE dt tt                                Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức  ( )1000 10, 0, 0o x y zE n n n   . Với 10, 0x x y y z zn k n k n k      , ta cĩ: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 113 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc ( )1000 3 0 1 ˆ ˆ ˆ10 10 0 0 0 021 1 1 4 4 4 1 o o o x y zo x y z S S SZE dt tt                    Thay 0n k   vào thành phần ma trận của tốn tử ˆ oS , ta cĩ: ˆ0 0 1oS  Thay 8k n   vào thành phần ma trận của tốn tử ˆ oS , ta cĩ:                     2 4 1 0 0 6 8 10 0 0 10 8 6 4 22 4 6 8 1 1 1ˆ10 10 1 10 90 8 1260 6 ! ! ! 1 1 4200 4 3150 2 525 ! ! 90 1260 4200 3150 n n no n n n n n n n nn n n n v v v v v S v u v u v n n n u v u v u n n e u e u e u e u e                                                10525u Với: 1 2 ln(1 2 ) u v                , ta cĩ: 2 4 6 8 10 8 1 90 1260 4200 3150 525ˆ10 10 (1 2 ) o x x x x xS              Suy ra năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( )1000oE khi xét khơng nhiễu loạn là: 2 4 6 8 10 ( ) 1000 3 0 10 1 1 90 1260 4200 3150 52521 1 1 4 4 4 (1 2 ) 1 o x x x x x x y z x ZE dt tt                              Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 0100 oE Với 0, 10, 0x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )1000oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )0100oE : 2 4 6 8 10 ( ) 0100 3 0 10 1 1 90 1260 4200 3150 5251 21 1 4 4 4 (1 2 ) 1 y y y y yo x y z y ZE dt tt                              Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 0010 oE Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 114 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Với 0, 0, 10x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )1000oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )0010oE : 2 4 6 8 10 ( ) 0010 3 0 10 1 1 90 1260 4200 3150 5251 1 21 4 4 4 (1 2 ) 1 o z z z z z x y z z ZE dt tt                              Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 820 oE . Với 8, 2, 0x x y y z zn k n k n k      , ta cĩ: ( )820 3 0 1 ˆ ˆ ˆ8 8 2 2 0 017 5 1 4 4 4 1 o o o x y zo x y z S S SZE dt tt                    Thay 0n k   vào thành phần ma trận của tốn tử ˆ oS , ta cĩ: ˆ0 0 1oS  Ta cĩ: 2 4 6 8 8 1 56 420 560 70ˆ8 8 (1 2 ) oS                , 2 2 1 2ˆ2 2 (1 2 ) oS       Suy ra năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( )820oE khi xét khơng nhiễu loạn là:    2 4 6 8 2( ) 820 3 0 8 2 1 1 56 420 560 70 1 217 5 1 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 x x x x yo x y z x y ZE dt tt                                Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 802 oE Với 8, 0, 2x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )820oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )802oE :    2 4 6 8 2( ) 802 3 0 8 2 1 1 56 420 560 70 1 217 1 5 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 x x x x zo x y z x z ZE dt tt                                Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 115 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 280 oE Với 2, 8, 0x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )820oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )280oE :    2 2 4 6 8( ) 280 3 0 2 8 1 1 2 1 56 420 560 705 17 1 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 x y y y yo x y z x y ZE dt tt                                Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 208 oE Với 2, 0, 8x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )820oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )208oE :    2 2 4 6 8( ) 208 3 0 2 8 1 1 2 1 56 420 560 705 1 17 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 x z z z zo x y z x z ZE dt tt                                Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 082 oE Với 0, 8, 2x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )820oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )082oE :    2 4 6 8 2( ) 082 3 0 8 2 1 1 56 420 560 70 1 21 17 5 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 y y y y zo x y z y z ZE dt tt                                Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 028 oE Với 0, 2, 8x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )820oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )028oE : Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 116 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc    2 2 4 6 8( ) 028 3 0 2 8 1 1 2 1 56 420 560 701 5 17 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 y z z z zo x y z y z ZE dt tt                                Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 622 oE . Với 6, 2, 2x x y y z zn k n k n k      , ta cĩ: ( )622 3 0 1 ˆ ˆ ˆ6 6 2 2 2 213 5 5 4 4 4 1 o o o x y zo x y z S S SZE dt tt                    Thay 0n k   vào thành phần ma trận của tốn tử ˆ oS , ta cĩ: ˆ0 0 1oS  Ta cĩ: 2 4 6 6 1 30 90 20ˆ6 6 (1 2 ) oS             2 2 1 2ˆ2 2 (1 2 ) oS       Suy ra năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( )622oE khi xét khơng nhiễu loạn là:      2 4 6 2 2( ) 622 3 0 6 2 2 1 1 30 90 20 1 2 1 213 5 5 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 1 x x x y zo x y z x y z ZE dt tt                                  Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 262 oE Với 2, 6, 2x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )622oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )262oE :      2 2 4 6 2( ) 262 3 0 2 6 2 1 1 2 1 30 90 20 1 25 13 5 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 1 x y y y zo x y z x y z ZE dt tt                                  Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 226 oE Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 117 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Với 2, 2, 6x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )622oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )226oE :      2 2 2 4 6( ) 226 3 0 2 2 6 1 1 2 1 2 1 30 90 205 5 13 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 1 x y z z zo x y z x y z ZE dt tt                                  Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 442 oE . Với 4, 4, 2x x y y z zn k n k n k      , ta cĩ: ( )442 3 0 1 ˆ ˆ ˆ4 4 4 4 2 29 9 5 4 4 4 1 o o o x y zo x y z S S SZE dt tt                    Thay 0n k   vào thành phần ma trận của tốn tử ˆ oS , ta cĩ: ˆ0 0 1oS  Ta cĩ: 2 4 4 1 12 6ˆ4 4 (1 2 ) oS          2 2 1 2ˆ2 2 (1 2 ) oS       Suy ra năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( )442oE khi xét khơng nhiễu loạn là:      2 4 2 4 2( ) 442 3 0 4 4 2 1 1 12 6 1 12 6 1 29 9 5 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 1 x x y y zo x y z x y z ZE dt tt                                  Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 424 oE Với 4, 2, 4x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )442oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )424oE :      2 4 2 2 4( ) 424 3 0 4 2 4 1 1 12 6 1 2 1 12 69 5 9 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 1 x x y z zo x y z x y z ZE dt tt                                  Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 118 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 244 oE Với 2, 4, 4x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )442oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )244oE :      2 2 4 2 4( ) 244 3 0 2 4 4 1 1 2 1 12 6 1 12 65 9 9 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 1 x y y z zo x y z x y z ZE dt tt                                  Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 640 oE . Với 6, 4, 0x x y y z zn k n k n k      , ta cĩ: ( )640 3 0 1 ˆ ˆ ˆ6 6 4 4 0 013 9 1 4 4 4 1 o o o x y zo x y z S S SZE dt tt                    Thay 0n k   vào thành phần ma trận của tốn tử ˆ oS , ta cĩ: ˆ0 0 1oS  Ta cĩ: 2 4 4 1 12 6ˆ4 4 (1 2 ) oS          2 4 6 6 1 30 90 20ˆ6 6 (1 2 ) oS             Suy ra năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ( )640oE khi xét khơng nhiễu loạn là:    2 4 6 2 4( ) 640 3 0 6 4 1 1 30 90 20 1 12 613 9 1 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 x x x y yo x y z x y ZE dt tt                                Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 604 oE Với 6, 0, 4x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )640oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )604oE : Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 119 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc    2 4 6 2 4( ) 604 3 0 6 4 1 1 30 90 20 1 12 613 1 9 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 x x x z zo x y z x z ZE dt tt                                Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 460 oE Với 4, 6, 0x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )640oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )460oE :    2 4 2 4 6( ) 460 3 0 4 6 1 1 12 6 1 30 90 205 13 1 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 x x y y yo x y z x z ZE dt tt                                Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 406 oE Với 4, 0, 6x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )640oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )406oE :    2 4 2 4 6( ) 406 3 0 4 6 1 1 12 6 1 30 90 205 1 13 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 x x z z zo x y z x z ZE dt tt                                Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 064 oE Với 0, 6, 4x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )640oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )064oE :    2 4 6 2 4( ) 064 3 0 6 4 1 1 30 90 20 1 12 61 13 9 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 y y y z zo x y z y z ZE dt tt                                Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( ) 046 oE Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 120 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Với 0, 4, 6x x y y z zn k n k n k      , lập luận tương tự như cách tính ( )640oE , ta cĩ năng lượng của electron trong nguyên tử hydro khi khơng nhiễu loạn ở mức ( )046oE :    2 4 2 4 6( ) 046 3 0 4 6 1 1 12 6 1 30 90 201 9 13 4 4 4 (1 2 ) (1 2 ) 1 y y z z zo x y z y z ZE dt tt                                iv.4. Bổ chính năng lượng bậc ba Bổ chính năng lượng bậc ba được xác định bởi cơng thức:       (3) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 000 000 2 2 ( ) ( ) 000 ˆ ˆ ˆ000 000 ˆ000ˆ 000 000 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z o o o o m k m m m k k k x y z o ok n k k k V m m m m m m V k k k k k k V E E E E E V k k k V E E           Vì tốn tử nhiễu loạn Vˆ chỉ chứa các số hạng trung hịa nên: ˆ000 000 0V  Từ biểu thức của tốn tử Vˆ , nhận xét: ˆ000 0 ˆ 000 0 x y z x y z V m m m k k k V    nếu , m k  lẽ. Vậy biểu thức tính bổ chính bậc ba cĩ dạng:          (3) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 200 000 020 000 200 000 002 ( ) ( ) ( ) ( ) 000 020 000 200 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ000 200 200 020 020 000 000 200 200 002 002 000 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ000 020 020 200 200 000 000 020 020 002 002 o o o o o o o o o o o o V V V V V V E E E E E E E E E V V V V V E E E E                   ( ) ( ) ( ) ( ) 000 020 000 002 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 200 000 220 000 000 000 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ000 200 200 220 220 000 000 200 200 400 400 000 ... x y z x y z o o o o o o o o o o o o m m m k k k V E E E E V V V V V V E E E E E E E E         Bổ sung thêm các thành phần ma trận của tốn tử nhiễu loạn Vˆ cĩ trong bổ chính bậc ba: 3 0 1 2 22ˆ ˆ200 020 020 200 1 1 1 x y x y t t ZV V dt t t tt                                       Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 121 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 3 0 1 2 22ˆ ˆ200 002 002 200 1 1 1 x z x z t t ZV V dt t t tt                                     3 0 1 2 22ˆ ˆ020 002 002 020 1 1 1 y z y z t t ZV V dt t t tt                                       3 30 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ200 022 022 200 002 220 200 022 022 200 2 2 22 2ˆ ˆ ˆ 202 020 022 200 200 022 1 x y z V V V V V t t t ZV V V dt tt                                     2 3 0 1 3 0 1 21 2ˆ ˆ ˆ220 020 202 002 220 020 4 1 1 22 2 4 1 1 x x x z x x z t ZV V a dt t tt t Z dt t tt                                                     3 0 1 22ˆ ˆ200 220 220 200 1 1 y y t ZV V dt t tt                             Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 122 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 2 2 3 0 1 1 2 2 22 2ˆ ˆ202 200 200 202 4 1 1 1 z x z z x t t ZV V dt t t tt                                            2 2 30 1 1 2 2 22 2ˆ ˆ020 220 220 020 4 1 1 1 x y y x y t t ZV V dt t t tt                                                2 2 3 0 1 1 2 2 22 2ˆ ˆ200 220 220 200 4 1 1 1 y x y y x t t ZV V dt t t tt                                              2 2 30 1 1 2 2 22 2ˆ ˆ020 022 022 020 4 1 1 1 y z z y z t t ZV V dt t t tt                                                 2 2 30 1 2 22 3ˆ ˆ200 040 040 200 1 1 1 x y x y t t ZV V dt t t tt                                   2 2 3 0 1 2 22 3ˆ ˆ400 020 020 400 1 1 1 x y x y t t ZV V dt t t tt                                  2 2 30 1 2 22 3ˆ ˆ040 200 200 040 1 1 1 x y x y t t ZV V dt t t tt                                   Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 123 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 2 2 3 0 1 2 22 3ˆ ˆ400 002 002 400 1 1 1 x z x z t t ZV V dt t t tt                                 2 2 3 0 1 2 22 3ˆ ˆ004 200 200 004 1 1 1 x z x z t t ZV V dt t t tt                                 2 2 30 1 2 22 3ˆ ˆ040 002 002 040 1 1 1 y z y z t t ZV V dt t t tt                                    2 2 3 0 1 2 22 3ˆ ˆ004 020 020 004 1 1 1 y z y z t t ZV V dt t t tt                                  3 0 1 23 2 3ˆ ˆ400 200 200 400 2 1 1 x x x t ZV V dt t tt                          3 0 1 23 2 3ˆ ˆ040 020 020 040 2 1 1 y y y t ZV V dt t tt                           3 0 1 3 2 3 2ˆ ˆ004 002 002 004 2 1 1 z z z t ZV V dt t tt                        Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 124 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 3 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ220 400 400 220 220 040 040 220 2 22 6 1 1 1 x y x y V V V V t t Z dt t t tt                                         3 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ202 400 202 400 004 202 004 202 2 22 6 1 1 1 x z x z V V V V t t Z dt t t tt                                       3 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ022 040 022 040 004 022 004 022 2 22 6 1 1 1 y z y z V V V V t t Z dt t t tt                                         3 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ220 004 004 220 202 040 040 202 022 400 2 2 22 6ˆ 400 022 1 1 1 1 x y z x y z V V V V V t t t ZV dt t t t tt                                                      Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 125 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc PHỤ LỤC C: CÁC PHÉP TÍNH TỐN TRONG BÀI LUẬN VĂN i. Các tích phân tính bằng phương pháp đại số Tính tích phân: 3 0 2 1 1 I dt tt         . Ta viết lại: 3 0 2 1 1 2. 2 I dt tt         Với: 2 2 2 tt dt d         , thay vào trong tích phân I ta được:     3 0 2 3 0 2 2 2 1 2 1 2 1 2 I d d                 Đặt: 2 1 2x   Suy ra:   2 22 1 2 2 2 x xd dx x         Thay vào tích phân trên, ta cĩ:  22 3 2 2 2 2 2 2 2 1 21 2 2 2 2 x x I dx x x dx x                 Tính tích phân bất định: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 126 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 2 22 2 2 1 1 12 I dx x x                Do đĩ:    3 300 2 2 1 12 2 lim 1 2 1 2 b a ab I d d u u              0 0 2 2 22 lim 2 lim 1 2 1 2 1 2 2 2 2 b a a b ba b a b a                   Tương tự như trên, ta tính được các tích phân:   1 2 5 0 2 2 61 2 J d         3 2 7 0 2 2 201 2 K d         5 2 9 0 2 2 561 2 M d         7 2 11 0 2 2 1441 2 N d         9 2 13 0 2 2 3521 2 P d       ii. Các phép tính tốn thực hiện bởi phần mềm Maple ii.1. Phép tính trong bài tốn nguyên tử hydro Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 127 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 128 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 129 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 130 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 131 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 132 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc ii.2. Các phép tính tốn trong phần mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường ._.