Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

à bạn bè. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: - Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý đã tạo điều kiện cho em được học tập và giờ đây được hoàn thành khóa học này. - Tất cả quý thầy cô giáo, những người đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt 4 năm học, đó là nền tảng để em có thể hoàn thành tốt luận văn. - TS. Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn luận văn này – người đã hết lòng hướng dẫn, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn tất luận văn. - TSKH. Lê Văn Hoàng đã đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn. - Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho em được đọc và mượn về nhà các tài liệu liệu quan đến đề tài. - Các bạn sinh viên lớp lý IV – khóa 31 (2005 - 2009) đã nhiệt tình giúp đỡ và đóng góp ý kiến cho đề tài. Do đề tài được thực hiện trong thời gian tương đối ngắn và với vốn kiến thức của bản thân còn hạn hẹp nên không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý, phê bình, xây dựng của quý thầy cô và các bạn. Cuối cùng em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý cùng tất cả quý thầy cô giáo lời chúc sức khỏe và thành công! SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa MỞ ĐẦU 1. Tình hình chung về nghiên cứu đề tài Phương pháp toán tử (Operator Method) với các tính toán thuần đại số xây dựng cho nhóm các bài toán vật lý nguyên tử đang trở thành một hướng nghiên cứu sôi động trong những năm gần đây. Phương pháp toán tử do nhóm nghiên cứu của giáo sư Komarov L.I. ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng và đã ứng dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường. Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro, Geryva Silverman, Wistchel và rất nhiều tác giả khác. Nhóm nghiên cứu của TSKH. Lê Văn Hoàng cũng đã có nhiều đề tài trình bày về phương pháp này: Luận văn tốt nghiệp của anh Nguyễn Hoàng Quốc “Phương pháp đại số sử dụng hàm Coulomb-Green cho bài toán hệ nhiều hạt.” (5 - 2004), Luận văn Thạc sĩ của chị Hoàng Đỗ Ngọc Trầm: “Phương pháp toán tử giải phương trình Schrodinger cho Exciton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất kì ” (2008). Ngoài ra phương pháp toán tử cũng đang đựợc giáo viên hướng dẫn luận văn này đi vào nghiên cứu và phát triển cho các bài toán: hiệu ứng Stark, hiệu ứng Zeeman, bài toán hệ nhiều hạt… 2. Lí do chọn đề tài Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của hệ thực tương ứng. Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán về nguyên tử hydro là một SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này, ban đầu phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu… Đặc biệt khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, ta chỉ thu được lời giải chính xác khi điện trường yếu (cường độ điện trường Ee có giá trị không lớn lắm ( 510 V Ee cm     ), hoặc điện trường rất lớn (bài toán này có thể giải bằng phương pháp nhiễu loạn), còn đối với điện trường trung bình thì bài toán vẫn chưa có lời giải. Ngoài cách giải phương trình Schrodinger để xác định hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa, bài toán này còn có thể được giải rất gọn bằng cách đưa vào các toán tử và liên hợp với nhau (hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy). Như vậy, dựa trên hệ cơ sở trực giao đã biết của dao động tử điều hòa, có thể mở ra phương pháp giải bài toán cho nguyên tử hydro bằng cách biểu diễn thông qua các toán tử sinh hủy. Theo cách này, các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý đều có thể biểu diễn qua các toán tử sinh hủy trên, nhờ đó mà các tính toán yếu tố ma trận giữa các trạng thái của nguyên tử hydro có thể dễ dàng chuyển về các phép biến đổi đại số dựa vào các giao hoán tử của các toán tử sinh hủy. aˆ aˆ Khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, với phương pháp toán tử và áp dụng thêm phương pháp nhiễu loạn, ta có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị nào của điện trường: từ điện trường yếu cho đến điện trường mạnh kể cả trong điện trường trung bình mà các phương pháp trước chưa giải quyết được. Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau:  Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân của các hàm đặc biệt.  Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kì. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa  Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài. Phương pháp này có thể được phát triển để giải quyết nhiều bài toán khác trong cơ học lượng tử. Tuy vậy trong khuôn khổ cho phép của một luận văn tốt nghiệp và giới hạn về mặt thời gian nên chúng tôi chỉ xin được trình bày phương pháp toán tử ở mức độ bắt đầu tìm hiểu và chỉ xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp này. 3. Tóm tắt đề tài luận văn a. Mục tiêu của đề tài Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:  Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm…Ứng dụng của phương pháp này trong phương trình Schrodinger.  Kiểm tra độ tin cậy của phương pháp bằng cách giải lại bài toán nguyên tử hydro để xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro và so sánh với lời giải chính xác đã có. Việc tính toán lại bài toán này ngoài tác dụng minh họa cho phương pháp còn có thể cho thấy khả năng ứng dụng và phát triển mạnh mẽ của phương pháp.  Xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử. b. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp toán tử hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy. Các toán tử aˆ và aˆ tác động lên các số lấp đầy (số phônôn). Toán tử aˆ giảm số phônôn 1 đơn vị hay toán tử hủy phônôn. Toán tử aˆ tăng số phônôn 1 đơn vị hay toán tử sinh phônôn. Ngoài ra, ta còn định nghĩa toán tử ˆ ˆ ˆn a a gọi là toán tử trung hòa. Toán tử nˆ tác dụng lên hàm  qui về việc nhân hàm này với n. Nói một cách khác, toán tử số SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa phônôn nˆ trong biểu diễn các số lấp đầy là chéo và các trị riêng của nó bằng số phônôn có trong trạng thái đã cho. c. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu – kết luận, luận văn “Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử”gồm có ba chương: Chương 1: Đại cương về bài toán nguyên tử hydro. Trình bày các kết quả thu được của bài toán nguyên tử hydro cổ điển, chủ yếu là xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Giới thiệu về bài toán nguyên tử hydro dưới tác dụng của điện trường. Chương này sẽ đóng vai trò cơ sở cho việc so sánh kết quả của các chương tiếp theo và kiểm tra độ tin cậy của phương pháp toán tử. Chương 2: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro. Trong chương này sẽ bày cơ sở của phương pháp toán tử, giới thiệu sơ lược về phương pháp. Giải lại bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử, tức là biểu diễn Hamiltonian của nguyên tử hydro theo các toán tử, xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro có tính đến bổ chính bậc hai, bậc ba theo kiểu nhiễu loạn. Chương 2 tập trung vào việc kiểm tra lại mức độ chính xác của phương pháp toán tử dựa trên kết quả đã có theo cách tính toán cổ điển trong chương 1. Chương 3: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong điện trường. Chương 3 là các kết quả chính của luận văn. Trong chương này sẽ xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi có tác dụng của điện trường. Khi cường độ điện trường nhỏ, có thể coi tương tác giữa điện trường và nguyên tử hydro là nhiễu loạn, bổ sung thêm phần nhiễu loạn này vào trong Hamiltonian của nguyên tử hydro và tìm lại các kết quả của chương 2 với Hamiltonian mới trong điện trường. So sánh kết quả tính toán được theo phương pháp toán tử với kết quả tính toán cổ điển. Vẽ được đồ thị so sánh kết quả tính toán của hai phương pháp. SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa Để đơn giản trong việc tính toán nên các công thức trong luận văn sẽ được viết trong hệ đơn vị không thứ nguyên hay còn gọi là hệ đơn vị nguyên tử với . 1m e   SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Trong chương này sẽ trình bày lại các kết quả tính toán được của bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp cổ điển để làm cơ sở cho việc so sánh kết quả của các tính toán sau này (mức năng lượng cơ bản). Ngoài ra, còn trình bày về sự thay đổi của mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi được đặt trong điện trường và nguyên nhân gây ra sự thay đổi đó. 1.1 Bài toán hạt trong trường xuyên tâm Chuyển động của electron trong trường lực Coulomb của hạt nhân nguyên tử là một bài toán quan trọng trong cơ học lượng tử. Chúng ta chủ yếu nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm của hạt nhân. Thế năng của một hạt có khối lượng m0 chuyển động trong một trường lực đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ hạt đến tâm lực:  U U r (1.1.1) Do đó Hamlitonian của hạt có dạng:  2 2 0 ˆ 2 H m    U r (1.1.2) Trong nguyên tử hydro, thế năng tương tác của electron và hạt nhân chỉ phụ thuộc vào khoảng cách 1 2r r giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học giải tích, bài toán chuyển động của hai hạt với định luật tương tác  1 2U r r rút về bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn  trong trường lực . Trong trường hợp nguyên tử hydro, ta có:  U r .e p e p m m m m    Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Vì nên pm m e em  . Nếu bỏ qua kích thước của proton, nguyên tử hydrro sẽ được coi như gồm hạt e chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên. Một trường như vậy là trường hợp riêng đối xứng xuyên tâm, trong đó thế năng chỉ phụ thuộc vào khoảng cách đến tâm lực. Chúng ta khảo sát chuyển động của e trong trường lực đối xứng xuyên tâm dưới dạng tổng quát nhất, sau đó chuyển sang trường hợp trường Coulomb. Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu. Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp này có dạng:  22 0em E U r        (1.1.3) Thay toán tử Laplace trong tọa độ cầu vào (1.1.3), ta được:  2 ,2 2 221 1 0emr Er rr r                    U r  (1.1.4) Trong tọa độ cầu , ,r   các toán tử hình chiếu và bình phương momen xung lượng có dang: zˆl i    (1.1.5) ˆ sin cot osxl i g c           (1.1.6) ˆ os cot sinyl i c g            (1.1.7) 2 2 2 ,Lˆ     (1.1.8) Dựa vào (1.1.8) ta có:  222 2 2 2ˆ 21 0emLr Er rr r                 U r   (1.1.9) Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Chúng ta biết rằng, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn có hai định luật bảo toàn nữa, đó là định luật bảo toàn momen xung lượng toàn phần và định luật bảo toàn hình chiếu của momen lên trục z định hướng tùy ý trong không gian. Do đó chúng ta sẽ khảo sát các trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này. Một cách tương ứng, ta viết nghiệm của phương trình (1.1.9) dưới dạng:      , , ,n l m n l mr R r Y     (1.1.10) Ta nhớ lại rằng, năng lượng hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị riêng của các toán tử và 2Lˆ zˆl được đặc trưng bằng các số lượng tử quỹ đạo l và số lượng tử từ m. Thay (1.1.10) vào (1.1.9) và chú ý rằng:  2 2ˆ 1lm lmL Y l l Y  Ta đi tới phương trình sau cho phần xuyên tâm  nlR r của hàm sóng  , ,n l m r   :      222 2 2 121 02e e l lmd dRr E U r R dr dr mr r            r  (1.1.11) 1.2 Chuyển động trong trường Coulomb. Năng lượng của nguyên tử hydro Chuyển động của một hạt electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử là một ví dụ quan trọng nhất của chuyển động trong trường xuyên tâm. Có thể coi nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài toán thế xuyên tâm, gồm hạt nhân và một eletron, hoặc iôn của một nguyên tử bất kì trong đó chỉ còn một electron, hoặc cũng có thể là nguyên tử hydro mêzô gồm có một prôtôn và mêzôn tích điện âm. Thế năng của electron chuyển động trong trường hạt nhân có điện tích Ze ( Z: số prôtôn trong hạt nhân, e là điện tích nguyên tố) có dạng: 2Z eU r  (1.2.1) Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Với Z = 1, biểu thức (1.2.1) là thế năng (hệ đơn vị Gau ) của electron trong nguyên tử hydro, với Z > 1, biểu thức đó là thế năng của electron trong iôn đồng dạng hydro. Dễ dàng thấy rằng hàm (1.2.1) thỏa mãn các điều kiện :  2 0 lim 0 r r U r  (1.2.2)  lim 0 r U r  (1.2.3) Trong phương trình Schrodinger (1.1.9) cho   0U r  , ta có: 2 2 2 2 ˆ1 2 2 Lr m r rr m r  2 E           (1.2.4) Thay (1.2.4) vào (1.1.11), ta được:  22 22 2 222 1em rd R dR Z er r E R l l Rdr rdr         0 (1.2.5) ( : khối lượng electron). Để đơn giản cách viết các hệ số, chúng ta dùng các đơn vị nguyên tử cho các đại lượng vật lý. Trong các đơn vị nguyên tử, người ta đặt em 1, 1, 1em e   Trong phương trình (1.2.5) , ta thực hiện phép tính thay thế sau: 2 2 4 2. o e e o r r m e m e E E           (1.2.6) Từ (1.2.6) ta có : 2 2 2 2 2 r r r r  2             (1.2.7) Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Thực hiện các phép biến đổi như trong [2- trang 241] ta có công thức truy toán cho các hệ số ka        1 2 1 2 1 1k k k l Z a a k l k l l l              (1.2.8) Với các giá trị k lớn, có thể bỏ qua Z ở tử số và  1l l  ở mẫu số trong công thức (1.2.8). Khi đó hệ thức truy toán có dạng: 1 2 2k a k l k a    (1.2.9) Từ hệ thức truy toán trên, kết hợp với các phép tính toán và ngắt chuỗi, ta thu được các giá trị năng lượng để các hàm  thỏa mãn các điều kiện chuẩn: 2 22n Z n    (1.2.10) Trong đó n là một số nguyên, xác định bởi hệ thức: 1rn n l   (1.2.11) và được gọi là số lượng tử chính. Số được gọi là số lượng tử xuyên tâm. Vì không thể âm, nên điều kiện sau phải được thực hiện: rn rn 1n l  Từ đó suy ra rằng, với n đã cho số lượng tử quỹ đạo có thể có giá trị khả dĩ cực đại bằng nghĩa là: l 1n  1l n  (1.2.12) Công thức (1.2.10) xác định năng lượng trong hệ đơn vị nguyên tử. Để biểu diễn năng lượng trong hệ CGS, ta cần nhân n với: 4 0 2 em eE   (1.2.13) Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa và thu được: 4 2 2 22 e n m e ZE n    (1.2.14) hoặc viết trong hệ SI: 2 4 2 2 2 2 1. 32 e n o m Z eE n    (1.2.15) trong hệ đơn vị SI này, thế năng của electron trong trường hạt nhân nguyên tử có dạng: 2 4 o ZeU r  (1.2.16) trong đó: 2 9 2 1 9.10 4 o Nm C  (1.2.17) Xét đối với nguyên tử hydro (Z = 1), ta có năng lượng của trạng thái cơ bản xác định thế năng iôn hóa nguyên tử hydro: Trong hệ đơn vị CGS, dựa vào biểu thức (1.2.14) ta có: 4 2 13,62 e o m eE eV    (1.2.18) Trong hệ đơn vị nguyên tử, dựa vào biểu thức (1.2.10) ta có: 1 0,5 2o E     (1.2.19)  Nhận xét về các trị riêng Công thức (1.2.14) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử hydro. Theo (1.2.14) thì năng lượng gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên. Tính gián đoạn này chính là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực. 1. Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên kết, bắt đầu ứng với năng lượng 2 4 22 em Z e  và kết thúc ứng với năng lượng không. SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 2. Ứng với một giá trị đã cho của n thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2, …, n-1. Như vậy có tất cả n giá trị của l và l xác định độ lớn của momen xung lượng.  1L l l   3. Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng      , , ,nlm nl lmr R r Y     , 1, ..., 1, 0, 1, ..., 1m l l l      gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ. Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị . Tất cả có , l  2 1l  giá trị của m. Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu momen xung lượng trên trục z: zL m  Như vậy, ứng với một mức năng lượng nE có nhiều trạng thái khác nhau nlm , ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng giá trị năng lượng nE là:  1 2 0 2 1 n l l   n  (1.2.20) Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng 22n Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa Như vậy, ở trạng thái cơ bản, năng lượng không bị suy biến, còn ở mức kích thích đầu tiên, năng lượng suy biến bậc 4. 4. Phổ năng lượng của nguyên tử hydro (Z = 1, me là khối lượng electron) xác định bởi phương trình (1.2.14) được chỉ ra trên hình vẽ. Khi so sánh các tính toán năng lượng từ (1.2.14) với các số liệu thực nghiệm, ta thấy có một vài điểm khác nhau vì ta đã bỏ qua các tương tác khác trong nguyên tử hydro. Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất: 13,6oE eV  , n càng tăng thì các mức nE liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi n thì .  0nE  Giá trị tuyệt đối của oE cho biết năng lượng ion hóa nguyên tử hydro. Năng lượng này là công cần thiết để đưa electron từ trạng thái liên kết có năng lượng thấp nhất ra ngoài nguyên tử trở thành electron tự do. 1.3 Nguyên tử Hidro trong điện trường Khi không có điện trường ngoài tác dụng lên nguyên tử, các trạng thái dừng njm tương ứng với một năng lượng njE (sự suy biến theo số lượng tử m). SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Khi có điện trường đều tác dụng, nếu kí hiệu cường độ điện trường là e E  và chiều của cường độ điện trường được chọn là dọc theo chiều dương của trục . Tương tác của điện trường Oz eE với điện tử tương đương với tương tác của một lưỡng cực điện với điện trường. Điều này dẫn đến trong toán tử Hamiltonian xuất hiện số hạng nhiễu loạn: ˆ ˆ ˆe e eV p E  E    e r- (1.3.1) Trong đó là toán tử mômen lưỡng cực điện của electron. e p e r Khi đó toán tử Hamiltonian cho nguyên tử hydro có dạng: 2 2 0 2ˆˆ ˆ ˆ ˆ e pH H V Ze ezEr    2 = 2m (1.3.2) Như vậy khi có điện trường ngoài tác dụng: - Trước hết sự đối xứng của hệ thay đổi: Sự đối xứng xuyên tâm được thay thế bằng sự đối xứng trục. - Thứ hai là, tính chất của thế năng thay đổi khi . Do thế năng giảm khi (e<0), nên sẽ xuất hiện xác suất của electron truyền qua hàng rào thế, nghĩa là sự ion hóa tự phát của nguyên tử dưới ảnh hưởng của điện trường ngoài có thể được thực hiện. Khả năng của electron truyền qua hàng rào thế xuất hiện trong sự mở rộng của các mức. Sự mở rộng này càng lớn nếu n càng lớn. Với các n đủ lớn (các sự kích thích mạnh của nguyên tử), xác suất iôn hóa gần bằng 1. Đối với các mức kích thích đầu tiên trong các trường không mạnh lắm, hiệu ứng này rất nhỏ và trong phép gần đúng bậc nhất, hiệu ứng đó có thể bỏ qua. Z   Z   Toán tử (1.3.2) bất biến đối với phép quay một góc tùy ý quanh phương của trường và phép phản chiếu trong một mặt phẳng bất kì đi qua trục đó. Trong một phép phản chiếu như thế, dấu của hình chiếu momen xung lượng thay đổi: . Do đó trong hệ có toán tử Hamiltonian (1.3.2) các mức năng lượng của các trạng thái có m và –m sẽ trùng nhau, nghĩa là có suy biến bậc hai. Chúng ta chú ý rằng, toán tử Hamiltonian của nguyên tử ở trong từ trường bất biến đối với các phép quay quanh phương của trường và m  m Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền không bất biến đối với các phép phản chiếu trong các mặt phẳng đi qua phương của trường. Do đó, đối với nguyên tử ở trong từ trường, không có sự suy biến tương tự (m và -m). Chính những thay đổi này dẫn đến mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi đặt trong điện trường sẽ có sự thay đổi. Các toán tử định lượng về độ biến thiên của các mức năng lượng nguyên tử khi có điện trường tác dụng có thể được tiến hành bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, nếu cường độ của trường đủ nhỏ, nghĩa là trong trường hợp độ biến thiên của các mức nhỏ so với khoảng cách giữa các mức lân cận nhau của nguyên tử khi không có trường. Trong phép gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn, số hiệu chính cho năng lượng của hệ không nhiễu loạn được xác định bởi giá trị trung bình của toán tử nhiễu loạn trong trạng thái đó. Độ biến thiên năng lượng trong trạng thái njm dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn (1.3.1) bằng: e eE E njm njm  (1.3.3) trong đó enjm njm là giá trị trung bình của toán tử momen lưỡng cực điện trong trạng thái njm . Do toán tử momen lưỡng cực đổi dấu trong phép nghịch đảo các tọa độ không gian, nên giá trị trung bình của nó bằng không trong tất cả các trạng thái có tính chẵn lẻ xác định. Thực vậy, nếu a có tính chẵn lẻ xác định thì 2a không thay đổi trong phép nghịch đảo, do đó 2 z d 0a   , vì hàm dưới dấu tích phân đổi dấu trong phép nghịch đảo. Các trạng thái không suy biến của các hệ lượng tử có tính chẵn lẻ xác định, do đó giá trị trung bình của momen điện trong các trạng thái này bao giờ cũng bằng không. Các hệ lượng tử ở trong trạng thái suy biến, nói chung, có thể có momen lưỡng cực trung bình khác không, nếu trạng thái này không có tính chẵn lẻ xác định. Một thí dụ của trạng thái như thế là trạng thái kích thích đầu tiên của nguyên tử hydro, tương ứng với trạng thái này có hàm sóng dưới dạng tổ hợp tuyến tính như sau: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa 1 2 1 22 2s p   Trong trạng thái này, giá trị trung bình của toán tử momen lưỡng cực bằng * 1 2 1 22 2e es p    + liên hợp phức. Momen lưỡng cực trung bình khác không có thể có trong cả các hệ lượng tử có nhóm các trạng thái hầu như suy biến, nếu như một hệ như thế không có năng lượng hoàn toàn xác định, do đó độ bất định của năng lượng lớn hơn khoảng cách giữa các mức có tính chẵn lẻ khác nhau. Trường hợp riêng của các hệ như thế là một số phân tử, chẳng hạn phân tử dị cực NaCl và một số phân tử khác…, các phân tử này có các mức quay sắp xếp rất gần nhau với tính chẵn lẻ khác nhau. Do đó, các giá trị trung bình của các momen lưỡng cực của những phân tử như thế khác không cả trong những điện trường yếu, vì khoảng cách giữa các mức quay tương ứng nhỏ so với năng lượng của các phân tử ở trong điện trường và năng lượng nhiệt. Vì giới hạn của đề tài nên ta chỉ lưu ý xác định sự thay đổi của mức năng lượng cơ bản khi nguyên tử hydro được đặt trong điện trường.  Kết luận cuối chương Như vậy trong chương này ta sẽ quan tâm đến hai vấn đề quan trọng: - Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong hệ đơn vị nguyên tử là 0,5 . Trong chương 2, khi dùng phương pháp toán tử để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro, ta sẽ dựa vào kết quả này làm cơ sở để so sánh. - Khi nguyên tử hydro được đặt trong điện trường ngoài thì trong Hamiltonian xuất hiện thêm số hạng nhiễu, sự đối xứng xuyên tâm được thay thế bằng sự đối xứng trục, dẫn đến mức năng lượng cơ bản sẽ có sự thay đổi. SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa Chương 2 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Chương 2 giới thiệu cơ sở của phương pháp toán tử, cách tính toán, ưu điểm của phương pháp. Biểu diễn lại phương trình Schrodinger cho nguyên tử hydro thông qua các toán tử sinh aˆ , hủy và trung hòa . Kiểm tra lại tính chính xác của phương pháp toán tử bằng cách xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo phương pháp này và so sánh với kết quả đã có trong chương 1. aˆ nˆ 2.1 Cơ sở của phương pháp toán tử 2.1.1 Bài toán dao động tử điều hòa một chiều Để khảo sát bài toán dao động tử điều hòa một chiều trong cơ học lượng tử ta cần giải phương trình Schrodinger:      22 222 2 d x m x x E x m dx       (2.1.1.1) Trong đó: là khối lượng của electron m  là tần số dao động E là năng lượng của nguyên tử. Trong đó hàm sóng  x phải thỏa những điều kiện cần thiết. Tuy đây là phương trình vi phân bậc hai đối với hệ số là hàm của biến x, nhưng lại có thể giải một cách chính xác. Trước hết, ta viết lại phương trình Schrodinger dưới dạng:      221 ˆ 2 x p m x x E x m       (2.1.1.2) SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Trong đó: 2 2 2ˆ 1ˆ 2 2 x o pH m m   x (2.1.1.3) Bài toán về dao động tử điều hòa có thể được giải rất gọn gàng bằng cách sử dụng phương pháp toán tử. Phương pháp toán tử dựa trên ý tưởng sau: Ta thấy năng lượng của các hệ lượng tử bao gồm những mức rời rạc, gián đoạn và có thể đánh số được. Nếu tìm ra một cơ chế nào đó cho phép thực hiện việc chuyển từ mức năng lượng thấp hơn lên mức năng lượng cao hơn hoặc ngược lại thì từ một mức nào đó, ta hoàn toàn có thể xây dựng tất cả những mức còn lại. Để tìm cơ chế trên, ta đưa ra hai toán tử ˆ ˆ,a a liên hợp với nhau (xem phụ lục A2.4-iii), được xây dựng bằng các hệ thức: 1ˆ ˆ 2 1ˆ ˆ 2 x x m ia x m m ia x m                           ˆ ˆ p p (2.1.1.4) Ta đưa vào biến không thứ nguyên mx    , các biểu thức ở (2.1.1.4) được viết lại đơn giản hơn:     1 1 ˆˆ ˆ 2 2 1 1 ˆˆ ˆ 2 2 a i a i p p                           (2.1.1.5) Chú ý rằng: ˆ x mp i i x x         Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền ˆ  và pˆ i     Dễ dàng nghiệm thấy rằng các toán tử và aˆ aˆ đều là không ecmitic. Chúng thỏa mãn các hệ thức giao hoán ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,a a aa a a    1    (2.1.1.6) Thật vậy: 2 2 2 2 2 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 1 2 a a aa a a                                                                   1        (2.1.1.7) Trong (2.1.1.7) thay dấu “-” bằng dấu “+” ta thu được: 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆaa a a         (2.1.1.8) Dễ dàng thấy rằng, toán tử thu được tỉ lệ với Hamiltonian của dao động tử biểu diễn qua  : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ 1 1ˆ 2 2 2 2 2 xpH m x m x m m x                   Từ đó suy ra rằng  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2H aa a a    (2.1.1.9) Dựa vào (2.1.1.6), ta dễ dàng thu được: 1ˆ ˆ ˆ 2 H a a     (2.1.1.10) Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 1ˆ ˆ ˆ 2 H aa      (2.1.1.11) Ta nhận thấy nhờ đưa vào các toán tử ˆ ˆ,a a , biểu thức của toán tử trở nên rất đơ._.n giản. Đây là một trong những ưu điểm của phương pháp toán tử. Hˆ Khi tác động lên hàm  của dao động tử điều hòa, toán tử biến hàm aˆ 1n n   1ˆ na n n   (2.1.1.12) nghĩa là như thể giảm năng lượng của dao động tử một lượng  . Do đó được gọi là toán tử hủy hay toán tử hấp thụ. (xem phụ lục A2.2 - ii) aˆ Toán tử biến hàm aˆ 1n n   1ˆ 1 na n n    (2.1.1.13) nghĩa là như thể năng lượng của dao động tử tăng lên  . Do đó được gọi là toán tử sinh. (xem phụ lục A2.3 - iii) aˆ Lần lượt tác động toán tử lên hàm Hˆ ˆ na  và ˆ na , ta có      ˆ ˆ n nH a E aˆ n     (2.1.1.14)      ˆ ˆ n nH a E a     ˆ n (2.1.1.15) Hai phương trình (2.1.1.14), (2.1.1.15) cho thấy: Nếu n là nghiệm của phương trình Schrodinger ứng với năng lượng nE thì  ˆ na và  naˆ  sẽ là nghiệm của phương trình này ứng với năng lượng nE   và nE   . Nói khác đi, khi tác dụng lên trạng thái  , toán tử tăng năng lượng E của trạng thái này lên một lượng là aˆ  , còn toán tử làm giảm năng lượng của trạng thái này một lượng là aˆ  . Bởi vì lí do đó, được gọi là toán tử sinh, còn là toán tử hủy. Nếu hình dung phổ năng lượng như một chiếc thang, thì ta cũng có thể gọi aˆ aˆ aˆ toán tử lên thang, còn là toán tử xuống thang, vì aˆ Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền nhờ những toán tử này ta có thể chuyển lên (hoặc xuống) những nấc thang cao hơn (hoặc thấp hơn) trong phổ năng lượng của dao động tử điều hòa. Để tính phần tử chéo của toán tử , ta xuất phát từ dạng (2.1.1.10) Hˆ   2 11ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ nn n n n n n n n n H a a a a a a                               (2.1.1.16) Ta có: ˆ ˆ a a    Suy ra ˆ ˆ 2n nn n n E H a a       (2.1.1.17) Từ đó thấy rằng, năng lượng của dao động tử không thể nhỏ hơn 2  . Trạng thái ứng với năng lượng nhỏ nhất oE ứng với n = 0 và o là hàm sóng tương ứng với trạng thái này. Các trạng thái ứng với năng lượng nhỏ hơn không tồn tại. Do đó đối với tất cả các k < 0, các hàm k  0, đặc biệt 1 0  và (2.1.1.14) viết cho n = 0 1oa C  (2.1.1.18) Từ đó ta tìm được 2o o E H    . Khoảng cách giữa hai mức kế tiếp bằng  . Do đó: 1 2n E n      (2.1.1.19) Dựa vào các biểu thức (2.1.1.12) và (2.1.1.13) ta có thể ứng dụng liên tiếp toán tử để thu được hàm sóng của trạng thái n từ hàm sóng của trạng thái không. aˆ  1 ˆ !n n a n o   (2.1.1.20) Cũng bằng cách ứng dụng liên tiếp (2.1.1.12) và (2.1.1.13), ta có thể chứng minh được các đẳng thức: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền  ˆ ˆ 1 ˆ ˆ n n n a a n a a n n          (2.1.1.21) (Xem cụ thể trong phụ lục A2.1 - ii) Như vậy, các trị riêng của các tích những toán tử ˆ ˆaa và lần lượt bằng (n+1) và n .Do đó các ma trận của những toán tử này trong biểu diễn riêng của chúng là những ma trận chéo: ˆ ˆa a      ˆ ˆ ˆ ˆ1 ; mnmnaa n a a nm n     (2.1.1.22) Số lượng tử n nói trên hoàn toàn đặc trưng cho trạng thái dừng của dao động tử. Chỉ số n xác định năng lượng nên được gọi là số lượng tử năng lượng. Người ta qui ước gọi kích thích một lượng tử là kích thích một phônôn (n = 1), kích thích 2 lượng tử là kích thích 2 phônôn v.v…Nói cách khác, mỗi lượng tử kích thích dao động của dao động tử được gọi là một phônôn. Khi đó số lượng tử n sẽ xác định số các phônôn trong một trạng thái tương ứng. Tất cả các phônôn đều có năng lượng như nhau. Trạng thái dừng hoàn toàn được xác định bằng việc nêu lên số các phônôn, do đó thay cho hàm  n  , người ta có thể đặc trưng cho nó bằng một hàm, trong đó biến độc lập là các số phônôn. Ký hiệu hàm đó bằng n . Tác dụng của các toán tử và aˆ aˆ lên hàm này được xác định bằng các đẳng thức: ˆ1 ; 1 1ˆ n n a n n na n      (2.1.1.23) Một phép biểu diễn như thế cho các hàm và các toán tử được gọi là phép biểu diễn các số lượng tử hay phép biểu diễn các số lấp đầy. Các toán tử và tác động lên các số lấp đầy (số phônôn). Toán tử giảm số phônôn một đơn vị và được gọi là toán tử giảm số phônôn một đơn vị hay toán tử hủy phônôn.Toán tử aˆ aˆ  aˆ aˆ tăng số phônôn một đơn vị và được gọi là toán tử sinh phônôn. Ta định nghĩa toán tử ˆ ˆ ˆn a a Ta có là toán tử Hermite vì: nˆ Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền    ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ a a a a a a nn       ˆ Vì 1ˆ ˆ 2o H n  do đó vectơ riêng của cũng là vectơ riêng của toán tử n . ˆ oH ˆ Do là toán tử Hermite nên nó chỉ có trị riêng thực và luôn chéo hóa được . nˆ Do chuyển động bị hạn chế về cả hai phía, phổ của là gián đoạn và không suy biến. Từ đó suy ra, phổ của cũng gián đoạn và không suy biến. Hˆ nˆ Gọi vectơ riêng chuẩn hóa tương ứng với giá trị riêng  của là Nˆ  , ta có: 2ˆ ˆ ˆ ˆ 0N a a a         (2.1.1.24) Như vây, giá trị riêng của là không âm nˆ Mặt khác, ta có toán tử Hamiltonian và các toán tử sinh hủy thỏa mãn các hệ thức giao hoán: ˆ ˆˆ ˆ ˆ, ; ,H a a H a aˆ            (2.1.1.25) Theo (2.1.1.20), ˆ a sẽ là hàm riêng của tương ứng với giá trị riêng nˆ 1     ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 n a a N a a       (2.1.1.26) Do đó ˆ ˆ ˆ... ka n a a sẽ tương ứng với giá trị riêng k  Bằng cách lần lượt tác dụng lên aˆ  với k đủ lớn, nếu: ˆ ˆ ˆ... 0ka a a   (2.1.1.27) Nó sẽ là vectơ riêng tương ứng với trị riêng k  âm, điều này trái với tính không âm của giá trị riêng của . Để điều này không thể xảy ra, điều kiện (2.1.1.20), sẽ không xảy ra với mọi k. Gọi n là giá trị riêng nhỏ nhất của k, sao cho: nˆ 1ˆ ˆ0 ; 0n na a   (2.1.1.28) Khi đó: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền   1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0n n nNa n a a a        Suy ra: n  (2.1.1.29) Như vậy, giá trị riêng của  phải là số nguyên và bằng n. Từ lí do đó, toán tử được gọi là toán tử số hạt. Hàm riêng của nó có thể diễn tả số dao động có năng lượng nˆ  . Toán tử hủy đi một dao động còn toán tử aˆ aˆ sinh thêm một dao động. Dùng (2.1.1.18) ta có thể chứng minh được rằng toán tử tác động lên hàm nˆ  qui về việc nhân hàm này với . Nói cách khác, toán tử số phônôn trong biểu diễn các số lấp đầy là chéo và các trị riêng của nó nˆ nˆ 1ˆ 2n E n     xác định năng lượng của hệ. Trong biểu diễn các số lấp đầy, nếu hàm riêng của trạng thái cơ bản (trạng thái không có phônôn) được ký hiệu bằng 0 , thì khi ứng dụng liên tiếp n lần toán tử sinh aˆ ta có thể thu được hàm sóng của trạng thái có n phônôn.  1 ˆ 0 ! n n a n  (2.1.1.30) Trong biểu diễn các số lấp đầy, người ta thường giả thiết 0 = 1, khi đó hàm n xác định (2.1.1.24) bởi sẽ cũng được chuẩn hóa về 1. Trạng thái cơ bản của hệ mô tả bởi hàm 0 thường được gọi là trạng thái vacum. Trạng thái vacum có thể được xác định bởi điều kiện : ˆ 0 0a  (2.1.1.31) Nghĩa là toán tử hủy các phônôn khi tác động lên trạng thái vacum cho ta 0. Năng lượng của trạng thái vacum 2o E   Các toán tử của dao động tử điều hòa trong biểu diễn các số lấp đầy có thể được viết cả dưới dạng các ma trận vô hạn. Chẳng hạn: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa 0 0 . . .0 1 0 . . 1 0 . . .0 0 2 0 .ˆ ˆ 0 2 0 . .. . 0 3 0 . . . 0 . 0 0 3 0 . a a  Toán tử phônôn được biểu diễn bằng một ma trận chéo: 0 0 0 . . 0 1 0 . . ˆ ˆ ˆ 0 0 2 . . . . . . . . . . . . n a a            Các hàm sóng của các trạng thái dừng được biểu diễn bằng các ma trận một cột: 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ; 1 ; 2 . ... . . 0 . . . . . . o v v                                                           2.1.2 Bài toán dao động tử điều hòa một chiều với nhiễu loạn V Xét dao động tử điều hòa một chiều với thế năng được truyền thêm một năng lượng phụ nhỏ với 2V x ( là hằng số thực dương). Khi đó Hamiltonian của dao động tử không nhiễu loạn có dạng: 2 2 0 2 1 1ˆ ; 1 2 2 dH x m d x       Suy ra Hamiltonian của dao động tử khi có nhiễu loạn có dạng:  2 20 2 2 2 2 2 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ 1 2 2 2 2 2 d dH H V x x x d xd x          SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền          2 2 2 2 2 2 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 1 2 2 4 4 1 21 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 4 a a a a a a a a a a a a 1                                    Ta chọn hệ số của các số hạng không chéo bằng 0, tức là:   21 2 0    1 2    Khi đó có dạng chéo: Hˆ   1 2 1 2 1ˆ ˆ ˆ 2 22 1 2 1ˆ ˆ1 2 2 H a a a                      a Suy ra 11 2 2n E n       . 2.2 Bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử Bắt đầu từ phần này của luận văn trở đi, ta chỉ xét trong hệ đơn vị nguyên tử 1, 1, 1m e   Trong bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử ta sẽ thực hiện lần lượt 3 bước như sau:  Bước 1: Đưa toán tử Hamiltonian Hˆ về biểu diễn dưới dạng các toán tử sinh-hủy.  Bước 2 : Tách toán tử Hamiltonian Hˆ thành hai thành phần: - Thành phần trung hòa  0ˆ ˆ ˆ, ,H a a  chỉ chứa các thành phần ˆ ˆ ˆn a a , các thành phần này được gọi là các toán tử “trung hòa” nghĩa là các số hạng chứa số toán tử sinh và số toán tử hủy bằng nhau. Trong đó phương trình Schrodinger 00ˆ nH 0 0 n nE  giải chính xác được. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền - Phần còn lại kí hiệu là  ˆ ˆ ˆ, ,V a a  , được xem như là thành phần “nhiễu loạn”, chứa số toán tử sinh và số toán tử hủy khác nhau, sẽ được điều chỉnh “đủ nhỏ” để thỏa điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc chọn tham số  .  Bước 3 : Tính các bổ chính năng lượng ở mức cơ bản cho nguyên tử hydro. Tính năng lượng oE ở mức cơ bản và so sánh kết quả với bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp cổ điển. 2.2.1 Phương trình Schrodinger cho bài toán nguyên tử hydro Như chúng ta đã biết, tất cả các bài toán chuyển động của hệ trong thế giới vi mô đều dẫn đến việc giải phương trình động học của cơ học lượng tử đó là phương trình Schrodinger. Đây là một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính phức tạp mà nghiệm chính xác của nó chỉ có thể xác định trong một số ít trường hợp đơn giản với thế năng đã được lý tưởng hóa (nguyên tử hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,…). Tuy có thể giải được chính xác nhưng việc giải phương trình Schrodinger cho bài toán nguyên tử hydro theo cách cổ điển khá phức tạp, do đó trong các phần tiếp theo ta sẽ sử dụng phương pháp toán tử ứng dụng vào phương trình Schrodinger để xác định mức năng lượng của nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản. Xét bài toán nguyên tử hydro, ta có phương trình Schrodinger theo hệ đơn vị nguyên tử    ˆ , , , ,H x y z E x y z  (2.2.1.1) Với ˆ ˆ ˆT UH H H  Hay 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1ˆ 2 ZH x y z x y z              (2.2.1.2) Trong đó 2 2 2 2 2 ˆ 1ˆ 2 2 T pH x y z  2 2           (2.2.1.3) là thành phần động năng của Hamiltonian Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 2 2 2 ˆ U ZH x y z    (2.2.1.4) là thành phần thế năng của Hamiltonian 2.2.2 Biểu diễn toán tử cho bài toán nguyên tử hydro Dựa trên cơ sở của phương pháp toán tử ta định nghĩa các toán tử sinh hủy như sau: 1ˆ 2 x x x a x x        ; 1ˆ 2 x x x a x x         (2.2.2.1) 1ˆ 2 y y y a y y         ; 1ˆ 2 y y y a y y          (2.2.2.2) 1ˆ 2 z z z a z z        ; 1ˆ 2 z z z a z z         (2.2.2.3) Trong đó x , y , z là tần số dao động theo các trục . Đây là các tham số thực dương, được đưa thêm vào để tối ưu hóa quá trình tính toán, ta sẽ xác định các tham số này sau. , , Ox Oy Oz Một cách tổng quát ta có thể viết: 1ˆ 2 a            ; 1ˆ 2 a             (2.2.2.4) với  tương ứng với các thành phần x, y, z Suy ra:     1 ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ a a d a a d                  (2.2.2.5) Và       22 2 2 22 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 a a a a d a a a a d                           (2.2.2.6) Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Ta dễ dàng kiểm chứng được các hệ thức giao hoán: ; ˆ ˆ[ , ] 1x xa a   ˆ ˆ[ , ] 1y ya a  ; ˆ ˆ[ , ] 1z za a  ; ˆ ˆ[ , ] 0a a   ˆ ˆ[ , ] 0a a    (2.2.2.7) ˆ ˆ[ , ] 0a a    Các giao hoán tử này sẽ là công cụ chính cho các tính toán đại số. Theo cách này, các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lí đều có thể biểu diễn qua các toán tử sinh hủy trên, nhờ đó mà các tính toán yếu tố ma trận giữa các trạng thái của nguyên tử hydro có thể dễ dàng chuyển về các phép biến đổi đại số dựa vào các giao hoán tử của các toán tử sinh hủy. Chúng ta viết lại các thành phần trong Hamiltonian qua biểu diễn các toán tử sinh - hủy này. Sau đó thực hiện bước 2: tách Hamiltonian thành hai thành phần Hˆ Hˆ Để thực hiện được điều này, ta lần lượt tách từng thành phần động năng và thế năng của Hˆ 2.2.2.1 Thành phần Hamiltonian liên quan đến động năng 2 2 2 2 2 ˆ 1ˆ 2 2 T pH x y z             2 2 Theo (2.2.2.6) ta có:   2 222 ˆ ˆ ˆ ˆ2 12 a a a a           Suy ra:      2 2 2 2 2 21ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 x x x y y y z z zTH a a a a a          a      1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 1 2 14 x x x y y y z z za a a a a a                       2 2 2 2 2 21 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4 1 ˆ ˆ ˆ2 1 2 1 2 1 4 x x x y y y z z z x x y y z z a a a a a a n n n                          Trong đó các toán tử trung hòa đựợc định nghĩa: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền ; ; ˆ ˆ ˆx xn a a  x yˆ ˆ ˆy yn a a ˆ ˆ ˆz z zn a a Hay: ˆ ˆ ˆn a a    (2.2.2.1.1) Một cách tổng quát ta có thể viết :    2 2 , , , , 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ; , , 4 4 ˆ ˆ T x y z x y z T T o H a a n V H                     x y z (2.2.2.1.2) ˆ ToH : Thành phần động năng chứa các số hạng trung hòa : Thành phần động năng chứa các số hạng không trung hòa ˆ TV 2.2.2.2 Thành phần Hamiltonian liên quan đến thế năng Với số hạng liên quan đến tương tác Culoumb (thế năng) thì các toán tử sinh hủy sẽ nằm ở dưới mẫu số và trong dấu căn nên cần tìm cách đưa về dạng chuẩn (normal), để có thể sử dụng trong tính toán. Sử dụng phép biến đổi Laplace ta có thể viết: 2 2 2 0 2 2 21ˆ t x y zU Z ZH e tx y z           dt  (2.2.2.2.1) (Xem chi tiết phần chứng minh trong phụ lục D1 - ix) Đặt : 2ˆ ˆA a  ;  2ˆ ˆA a   ; ˆ ˆ ˆN a a   (2.2.2.2.2) Qua cách đặt trên ta thấy rằng:  Nếu toán tử aˆ làm giảm bậc của vector trạng thái đi n lần thì toán tử Aˆ sẽ làm giảm bậc của vector trạng thái đi 2n lần.  Nếu toán tử aˆ làm tăng bậc của vector trạng thái lên n lần thì toán tử Aˆ sẽ làm tăng bậc của vector trạng thái lên 2n lần.  Toán tử Nˆ vẫn không làm thay đổi bậc của vector trạng thái. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Bây giờ xét riêng thành phần hàm e mũ 2txe 2ˆ x t xS e Theo (2.2.2.6), ta có:  2 1 ˆ ˆ ˆ2 12 x x xxx A A N      ˆ ˆ ˆ2 12ˆ xx xt A A Nx xS e      (2.2.2.2.3) Suy ra:  2 2 2 0 1ˆ t x y zU ZH e t       dt , , 0 ˆ = x y z S Z dt t        Để đơn giản, ta sẽ tạm thời bỏ dấu chỉ số ở các toán tử x ˆ xS . Ta sẽ đưa toán tử trên về dạng chuẩn theo quy trình gồm 4 bước (xem cụ thể trong phụ lục D2 - ix ) Ta có kết quả cuối cùng:           1ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ln 1 2 2 12 1 1 2 1 22 1ˆ ˆ ln 1 2ˆln 1 21 2 1 2 2 ˆ = A ANA A N x A AN S e e e e e e e e                           (2.2.2.2.16) Do tính đối xứng không gian nên ta có x y z    , tuy nhiên khi đặt vào trong trường ngoài thì tính đối xứng này sẽ mất. Một cách tổng quát, ta có:    1ˆ ˆ ln 1 2ˆ ln 1 21 2 1 2 2ˆ A A NS e e e e                  (2.2.2.2.17) Với: 2 t     Đặt :   ˆ ˆ ˆ ln 1 21 2 1 2*ˆ ˆ ˆ ˆ A ANoS S S S e e e                   (2.2.2.2.18) Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Suy ra:  1 ln 1 2* 2ˆ ˆ S S e     (2.2.2.2.19) Trong đó: ˆ exp 1 2 ˆS A            (2.2.2.2.20)  ˆ ˆexp ln 1 2oS  N    (2.2.2.2.21) ˆ exp 1 2 ˆS A           (2.2.2.2.22) Vậy:       2 2 2 , , 0 0 1 ln 1 2* *2 1 ln 1 2, , , , 2 0 0 ˆ 1ˆ = ˆ ˆ = = x y zU x y z x y z t x y z S Z ZH e dt dt t t S e S Z Zdt e dt t t                                             Đặt: * * * , , ˆ ˆ ˆ ˆ x y z x y z *ˆS S S S S     *ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx x z z z* *ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , o ox x y y y y z oS S S S S S  S S S S S S    Ta có:        1 11 2 221 ln 1 2 ln 1 2 ln 1 2ln 1 22 y zxe e e e          1 2 = 1 1 1 x y z t t t                      Suy ra: 1 0 2 ˆˆ 1 1 1 x y z U Z SH d t t tt                           t Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Thực hiện khai triển chuỗi Taylor để xác định ˆ ˆ, oS S  .          22ˆ ˆ ˆ1 1 1 ...1 2 2! 1 2 1 2 n nnS A A                            1 1ˆ ... 1 ! A n             221 1ˆ ˆ ˆ1 1 1 ... 1 ...1 2 2! 1 2 ! 1 2 n nnS A A n                               Aˆ             22 21ˆ ˆ ˆ1 1 ln 1 2 1 ln 1 2 ... 2! 1 ˆ1 ln 1 2 ... ! o nn n S N N N n                          (Xem chi tiết phần khai triển trong phụ lục D3 - xiii) Từ kết quả khai triển Taylor ta có:      * 0 0 0 1 1 1ˆ ˆ ˆln 1 2 ! 1 2 ! ! 1 2 n lm n m l n m l ˆS A N n m l   A                                   Đặt:   1 2 ln 1 2 u v                (2.2.2.2.23)          * 0 0 0 1 1 1ˆ ˆ ˆ ! ! ! n mn m l n m l ˆlS u A v N u A n m l                 (2.2.2.2.24) Tách *Sˆ thành hai thành phần: *ˆ ˆ ˆoS S S    (2.2.2.2.25) Trong đó: ˆ oS chứa các số hạng trung hòa Sˆ chứa các số hạng không trung hòa. Từ (2.2.2.2.24) ta có: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền                         2 32 3* 2 32 3 2 32 3 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 ... 2! 3! 1 1ˆ ˆ ˆ 1 ... 2! 3! 1 1ˆ ˆ ˆ 1 ... 2! 3! S u A u A u A v N v N v N u A u A u A                                            Suy ra:                 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1ˆ ˆˆ ! ! 1 1ˆ ˆˆ + ! ! 1 n nn no n n n n nmn m n m S v N u A n n u A v N A n m                                        Aˆ               2 2 1 2 2 1 1 ˆ 1 1 ˆ ˆ( ) ! 1 1ˆ ˆˆ + ! ! 1 n nn n n nmn m n m Ne u A n u A v N A n m v                                     A               2 2 1 2 2 1 1 ˆ 1 ˆ ˆ ! 1 1ˆ ˆˆ + ! ! n nn n n nmn m n m Ne u A A n u A v N A n m v                                                               0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ! ! ! ! 1 1 1ˆ ˆˆ ! ! ! l m nn n l m n n l m n m lnm n l m n l l m S v N u A u A v N n l m n u A v N u A m n l                                         Toán tử thế năng được viết lại: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền         1 0 2 1 0 2 , , ˆ ˆ ˆ 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 1 o x y z o o o x x y y z z x y z x y zU S S H d t t tt S S S S S SZ dt t t tt Z                                                              t     1 0 2 1 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 1 o o o x y z x y z o o o o o o o x y z y z y z x y z y z y z x y z x y z U S S SH dt t t tt S S S S S S S S S S S S S S S S S dt t t tt Z Z                                                                   Trong đó: 0 1 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 1 o o o x y z x y z U S S SH d t t tt Z                           t là thành phần thế năng chứa các số hạng trung hòa.     1 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 1 o o o o o o o x y z y z y z x y z y z y z x y z x y z U S S S S S S S S S S S S S S S S SV d t t tt Z                                         t là thành phần thế năng chứa các số hạng không trung hòa. Vậy ta đã tách toán tử Hamiltonian thành hai thành phần: Thành phần trung hòa và thành phần nhiễu loạn . Hˆ 0Hˆ Vˆ Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền ˆ ˆ oH H Vˆ  Trong đó:   1 , , 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 ˆ = 2 1 4 1 1 1 T U o o o o o o x y z x y z x y z H H H S S S n d t t tt Z                                   t  2 2 , , ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 4 T U x y z V V V a a                 1 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 1 o o o o o o o x y z y z y z x y z y z y z x y z x y z S S S S S S S S S S S S S S S S S dt t t tt Z                                        2.2.3 Xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử Năng lượng của nguyên tử hydro ở mức cơ bản được xác định theo công thức của lí thuyết nhiễu loạn:        0 1 2 3 0 0 0 0 0 ...E E E E E     (2.2.3.1) Trong đó:  0 0E : Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính.  1 0E : Bổ chính bậc một cho mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.  2 0E : Bổ chính bậc hai cho mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.  3 0E : Bổ chính bậc ba cho mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Để đảm bảo tính chính xác của việc tính toán mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro nên ta sẽ tính đến bổ chính bậc ba. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Khi tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro, trong biểu thức toán vẫn còn chứa tham số  . Như đã nói, đây là tham số được đưa vào để tối ưu hóa quá trình tính toán, ta xác định  từ điều kiện: 0 0E   (2.2.3.2) đây chính là điều kiện cực tiểu hóa năng lượng theo thông số biến phân Từ phương trình (2.2.3.2) xác định được , thế vào biểu thức của 0E , ta sẽ thu được giá trị cần tìm của 0E . Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính: Ta có:  00 ˆ000 000oE H Thực hiện tính toán ta có:  00 3 2 4 ZE    (2.2.3.3) (Xem chi tiết phần tính toán trong phụ lục E - xv) Vì mức  00E là mức năng lượng thấp nhất nên ta tiến hành cực tiểu hóa năng lượng:  0 000 0 3 0 4 3 = 4 E Z Z            16= 0,565884242 ( 1) 9 Z    (2.2.3.4) Thế (2.2.3.4) vào (2.2.3.3) ta có:  00 4 0,4244131814 3 E     (2.2.3.5) Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro tính đến bổ chính bậc nhất theo lí thuyết nhiễu loạn    0 1 0 0 0E E E  Toán tử Hamiltonian đã được tách thành hai thành phần và , các toán tử trung hòa đều chứa trong , do đó khi tính yếu tố ma trận thì thành phần nằm trên đường chéo chính đều bằng 0 nên ˆ oH Vˆ 0Hˆ nnV 0nnV  Suy ra:  10 ˆ000 000 0E V  Do đó:  00 0 0,4244131814E E   (2.2.3.6) Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro tính đến bổ chính bậc hai theo lí thuyết nhiễu loạn    0 20 0 0E E E  Theo công thức của lí thuyết nhiễu loạn, ta có:           2 2 000,2 0 00 0 , , 0 , , 0000 000 000 x y z x y z x y zx y z x y z k k k x y z k k k k k kk k k k k k V V k k k E E E E E      0 (2.2.3.7)             2 2 0 0 0 0 0 0 000 200 000 220 000 400 3 000 200 3 000 220 3 000 400V V V E E E E E E      2                  2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 000 222 000 420 000 600 000 224 000 222 6 000 420 3 000 600 3 000 224V V V V E E E E E E E E        2                 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 000 620 000 800 000 440 000 226 6 000 620 3 000 800 3 000 440 3 000 226V V V V E E E E E E E E        2                 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 000 424 000 406 000 802 000 1000 3 000 424 6 000 406 6 000 802 3 000 1000V V V V E E E E E E E E        2                  2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 000 228 000 246 000 660 000 084 3 000 228 6 000 246 3 000 660 6 000 084V V V V E E E E E E E E        2  Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền                 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 000 444 000 0012 000 2100 000 0014 000 444 3 000 0012 6 000 2100 3 000 0014V V V V E E E E E E E E                         2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 000 0212 000 0410 000 068 000 2210 6 000 0212 6 000 0410 6 000 068 3 000 2210V V V V E E E E E E E E        2            2 2 0 0 0 0(0) 000 248 000 266 000 446 6 000 248 3 000 266 3 000 446V V V E E E E E E      2 0 ) Vì tính đối xứng nên ta có các mức năng lượng và các yếu tố ma trận có chứa cùng bộ ba số ( , ,x y zk k k (thứ tự của , ,x y zk k k có thể khác nhau) thì sẽ có giá trị giống nhau. Do đó ta có thể viết gọn công thức bổ chính bậc hai như trên. Để tính 20E , ta phải tính các mức năng lượng của bổ chính bậc hai theo kiểu nhiễu loạn và các yếu tố ma trận của bổ chính bậc hai theo kiểu nhiễu loạn. Ta giữ đến 14bậc . x yk k  zk  Ta tính các mức năng lượng bổ chính và các yếu tố ma trận theo các công thức sau: 0 , x y z x y zx y z x y z x y zx y z x y z k k k k k k k k k E k k k H k k k V k k k V k    k k   Trong đó: 000, 000, 0 0 x y z x y z k k k k k k V V   Trong phần chính của luận văn chỉ trình bày các kết quả của các mức năng lượng của bổ chính bậc hai theo kiểu nhiễu loạn, các yếu tố ma trận đã tính toán được, còn các phép tính toán cụ thể sẽ được trình bày trong phần phụ lục. Tính các mức năng lượng của bổ chính bậc hai theo kiểu nhiễu loạn 020 002 200 7 19 4 15 E E E Z      nếu k lẻ nếu k chẵn Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa 202 022 220 11 193 4 210 E E E Z      040 004 400 11 1321 4 1260 E E E Z      222 15 14737 4 20020 E Z    402 240 204 024 042 420 15 95353 4 120120 E E E E E E Z         060 006 600 15 22291 4 24024 E E E Z      242 422 224 15 8038847 4 12252240 E E E Z       602 260 206 062 026 620 19 8805289 4 12252240 E E E E E E Z         404 044 440 19 1314641 4 1884960 E E E Z      080 008 800 19 5931721 4 7001280 E E E Z      262 622 226 23 281330527 4 465585120 E E E Z      424 244 442 23 551803019 4 931170._.    Vậy: 000,060 000,006 000,600 514V V V Z     7. Tính , ,000,224 000,242 000,422V V V Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 000,224 ˆ000 224V V  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 2241 ˆ ˆ000 224 4 1 x y z x x S S S a a d tt Z t                   2 2 3 3 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 60 2 0 2 0 4 0 1 1 x x x u uS S S dt dt t tt t Z Z                           4 4 3 11 0 02 2 2 6 2 62 1 21 u dt d tt Z Z                      7 2 11 0 2 2 64 3 4 3 144 361 2 d ZZ Z                  Vậy: 000,242 000,422 000,224 636V V V Z      8. Tính , , , , ,000,620 000,602 000,260 000,206 000,062 000,026V V V V V V 000,620 ˆ000 620V V  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 6201 ˆ ˆ000 620 4 1 o x y z x x S S S a a dt tt Z                  3 3 3 0 02 2 ˆ ˆ 2 5 20 6 0 2 0 1 1 x x u uS S dt d t tt t Z Z t                        Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền   4 4 3 11 0 02 2 2 10 2 102 1 21 u dt d tt Z Z                      7 2 11 0 2 2 104 5 4 5 144 361 2 d ZZ Z                  Vậy: 000,602 000,260 000,206 000,062 000,026 000,620 1036V V V V V V Z        9. Tính , ,000,440 000,404 000,044V V V 000,440 ˆ000 440V V     2 2 3 0 2 22 3 3 0 02 2 ˆ ˆ ˆ000 4401 ˆ ˆ000 440 4 1 ˆ ˆ 60 4 0 4 0 1 1 o x y z x x x y S S S a a dt tt uS S dt dt t tt t Z Z Z                                          4 4 3 11 0 02 2 6 62 1 21 u dt d tt Z Z                      7 2 11 0 2 2 16 2 6 2 144 121 2 d ZZ Z                  Vậy: 000,440 000,404 000,044 112V V V Z      10. Tính , ,000,800 000,080 000,008V V V Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 000,800 ˆ000 800V V  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 8001 ˆ ˆ000 800 4 1 o o x y z x x S S S a a dt tt Z              4 4 2 3 3 0 02 2 1 ˆ0 8ˆ0 81 4!ˆ000 800 0 4 1 1 x x x x u AS a dt t tt t Z Zdt                        4 4 3 3 0 02 2 1 8! 704! 1 1 u udt dt t tt t Z Z                          7 2 11 0 2 2 70140 140 144 721 2 d ZZ Z                  Vậy: 000,080 000,008 000,800 7072V V V Z     11. Tính , ,000,226 000,262 000,622V V V 000,226 ˆ000 226V V  2 2 3 0 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 2261 ˆ ˆ000 226 4 1 ˆ ˆ ˆ0 2 0 2 0 6 0 1 x y z x x x y z S S S a a dt tt S S S dt tt Z Z                             Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền    2 3 5 3 3 0 02 2 2 2 5 4 5 1 1 u u udt dt t tt t Z Z                            9 5 2 13 13 0 02 2 4 5 2 4 10 1 2 1 2 d dZ Z                 2 54 10 352 44 ZZ         Vậy: 000,262 000,622 000,226 544V V V Z     12. Tính , ,000,442 000,424 000,244V V V 000,442 ˆ000 442V V       2 2 3 0 2 22 3 3 0 02 2 ˆ ˆ ˆ000 4421 ˆ ˆ000 442 4 1 ˆ ˆ ˆ 6 20 4 0 4 0 2 0 1 1 x y z x x x y z S S S a a dt tt u uS S S dt dt t tt t Z Z Z                                            5 5 3 13 0 02 2 6 2 6 22 1 21 u dt d tt Z Z                     9 2 13 0 2 2 3 212 12 352 881 2 d ZZ Z               Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Vậy: 000,244 000,424 000,442 3 288V V V Z     13. Tính , , , , ,000,460 000,406 000,640 000,604 000,064 000,046V V V V V V 000,460 ˆ000 460V V  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 4601 ˆ ˆ000 460 4 1 o x y z x x S S S a a dt tt Z                  2 3 3 3 0 02 2 ˆ ˆ 6 2 50 4 0 6 0 1 1 x y u uS S dt dt t tt t Z Z                          5 5 3 13 0 02 2 2 30 2 302 1 21 u dt d tt Z Z                     9 2 13 0 2 2 304 15 4 15 352 881 2 d ZZ Z               Vậy: 000,406 000,640 000,604 000,064 000,046 000,460 3088V V V V V V Z       14. Tính , , , , ,000,820 000,802 000,280 000,208 000,082 000,028V V V V V V 000,820 ˆ000 820V V  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 8201 ˆ ˆ000 820 4 1 o x y z x x S S S a a dt tt Z               Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền    4 3 3 0 02 2 ˆ ˆ 70 20 8 0 2 0 1 1 x y u uS S dt dt t tt t Z Z                          5 5 3 13 0 02 2 140 1402 1 21 u dt d tt Z Z                     9 2 13 0 2 2 352 70 2 70 352 881 2 d ZZ Z               Vậy: 000,802 000,280 000,208 000,082 000,028 000,820 3588V V V V V V Z       15. Tính , ,000,1000 000,0100 000,0010V V V 000,1000 ˆ000 1000V V  2 2 3 0 2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 10001 ˆ ˆ000 1000 4 1 ˆ ˆ ˆ000 10001 ˆ000 1000 4 1 o o x y z x x o o x y z x S S S a a dt tt S S S a dt tt Z Z                           5 5 3 3 0 02 2 1 ˆ0 10ˆ0 10 5!0 1 1 x x x u AS dt dt t tt t Z Z                       5 5 3 3 0 02 2 1 10! 2 635! 1 1 u udt dt t tt t Z Z                        Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền     9 5 2 13 13 0 02 2 2 63 2 2 126 1 2 1 2 d dZ Z                 2 3 72 70 352 88 ZZ         Vậy: 000,0100 000,0010 000,1000 3 788V V V Z     16. Tính , ,000,228 000,282 000,822V V V 000,228 ˆ000 228V V  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 2281 ˆ ˆ000 228 4 1 x y z x x S S S a a d tt Z t                   2 4 3 3 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 700 2 0 2 0 8 0 1 1 x y z u uS S S dt dt t tt t Z Z                           6 6 3 15 0 02 2 2 70 2 702 1 21 u dt d tt Z Z                     11 2 15 0 2 2 702 140 2 140 832 2081 2 d ZZ Z                  Vậy: 000,282 000,822 000,228 70208V V V Z     17. Tính , , , , ,000,246 000,264 000,426 000,462 000,642 000,624V V V V V V Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 000,246 ˆ000 246V V  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 2461 ˆ ˆ000 246 4 1 x y z x x S S S a a dt tt Z                     2 3 3 3 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 6 2 50 2 0 4 0 6 0 1 1 x y z u u uS S S dt dt t tt t Z Z                           6 6 3 15 0 02 2 4 15 4 152 1 21 u dt d tt Z Z                     11 2 15 0 2 2 54 30 4 30 832 1041 2 d ZZ Z                  Theo tính chất đối xứng ta có: 000,264 000,462 000,426 000,624 000,642 000,246 5 104 V V V V V V Z       18. Tính , , , , ,000,2100 000,2010 000,1002 000,1020 000,0102 000,0210V V V V V V 000,2100 ˆ000 2100V V  2 2 3 0 2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 21001 ˆ ˆ000 2100 4 1 ˆ ˆ ˆ000 21001 ˆ000 2100 4 1 o x y z x x o x y z x S S S a a dt tt S S S a dt tt Z Z                             Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền    5 3 3 0 02 2 ˆ ˆ 2 6 70 2 0 10 0 1 1 x y u uS S dt dt t tt t Z Z                          6 6 3 15 0 02 2 6 14 6 142 1 21 u dt d tt Z Z                     11 2 15 0 2 2 3 146 28 6 28 832 2081 2 d ZZ Z                  Vậy: 000,2010 000,1002 000,1020 000,0102 000,0210 000,2100 3 14 208 V V V V V V Z       19. Tính , ,000,660 000,606 000,066V V V 000,660 ˆ000 660V V  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 6601 ˆ ˆ000 660 4 1 o x y z x x S S S a a tt dtZ                23 3 3 0 02 2 ˆ ˆ 2 50 6 0 6 0 1 1 x y uS S dt dt t tt t Z Z                          6 6 3 15 0 02 2 20 202 1 21 u dt d tt Z Z                   Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền   11 2 15 0 2 2 520 2 20 2 832 1041 2 d ZZ Z                  Theo tính đối xứng ta có: 000,606 000,066 000,660 5104V V V Z     20. Tính , , , , ,000,084 000,048 000,480 000,408 000,840 000,804V V V V V V 000,084 ˆ000 084V V  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 0841 ˆ ˆ000 084 4 1 o x y z x x S S S a a dt tt Z                  4 2 3 3 0 02 2 ˆ ˆ 70 60 8 0 4 0 1 1 y z u uS S dt dt t tt t Z Z                          6 6 3 15 0 02 2 2 105 2 1052 1 21 u dt d tt Z Z                     11 2 15 0 2 2 1052 140 2 210 832 2081 2 d ZZ Z                  Vậy: 000,048 000,480 000,408 000,840 000,804 000,084 105208V V V V V V Z        21. Tính 000,444V 000,444 ˆ000 444V V Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 4441 ˆ ˆ000 444 4 1 x y z x x S S S a a dt tt Z                 32 3 3 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 60 4 0 4 0 4 0 1 1 x y z uS S S dt dt t tt t Z Z                           6 6 3 15 0 02 2 6 6 6 62 1 21 u dt d tt Z Z                     11 2 15 0 2 2 3 66 12 6 12 832 2081 2 d ZZ Z                  Vậy: 000,444 3 6208V Z   22. Tính , ,000,1200 000,0120 000,0012V V V 000,1200 ˆ000 1200V V  2 2 3 0 2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 12001 ˆ ˆ000 1200 4 1 ˆ ˆ ˆ000 12001 ˆ000 1200 4 1 o o x y z x x o o x y z x S S S a a dt tt S S S a dt tt Z Z                           6 6 3 3 0 02 2 1 ˆ0 12ˆ0 12 6!0 1 1 x x x u AS dt dt t tt t Z Z                       Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 6 6 3 3 0 02 2 1 12! 2 2316! 1 1 u udt dt t tt t Z Z                            11 6 2 13 15 0 02 2 2 231 2 2 462 1 2 1 2 d dZ Z                  2 2312 462 832 208 ZZ           Vậy: 000,0120 000,0012 000,1200 231208V V V Z     23. Tính , ,000,1400 000,0140 000,0014V V V 000,1400 ˆ000 1400V V  2 2 3 0 2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 14001 ˆ ˆ000 1400 4 1 ˆ ˆ ˆ000 14001 ˆ000 1400 4 1 o o x y z x x o o x y z x S S S a a dt tt S S S a dt tt Z Z                           7 7 3 3 0 02 2 1 ˆ0 14ˆ0 14 7!0 1 1 x x x u AS dt dt t tt t Z Z                       7 7 3 3 0 02 2 1 14! 2 8587! 1 1 u udt dt t tt t Z Z                        Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền   7 17 0 2 2 8582 1 2 dZ         858 480 Z  Vậy: 000,0140 000,0014 000,1400 858480V V V Z     Các yếu tố ma trận tiếp theo có thể tính tương tự Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Phụ lục H: Một số tính toán các yếu tố ma trận của bổ chính bậc ba theo kiểu nhiễu loạn 1. Tính 200,220V 200,220 ˆ200 220V V  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ200 2201 ˆ ˆ200 220 4 1 o o x y z y y S S S a a dt tt Z                  2 2 3 0 2 2 2 3 0 2 2 ˆ ˆ2 2 0 21 ˆ ˆ200 220 4 1 ( 2 ) 21 ˆ200 220 4 1 o x y y y y v S S a a dt tt e u u a dt tt Z Z                             2 9 0 2 2 (1 2 )2 1 2 31 312 210 210 2 4 2 2 2 4 4 d Z Z Z                           Vậy: 200,220 31210 2 2 4V Z     2. Tính 002,220V 002,220 ˆ002 220V V Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ002 2201 ˆ ˆ002 220 4 1 x y z y y S S S a a dt tt Z                  3 3 0 02 2 3 ˆ ˆ ˆ 20 2 0 2 2 0 0 1 1 x y z uS S S dt dt t tt t Z Z                           5 2 9 0 2 24 4 56 141 2 2d ZZ Z               Vậy: 002,220 14 2V Z  3. Tính 020,400V 020,400 ˆ020 400V V  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ020 4001 ˆ ˆ020 400 4 1 o x y z y y S S S a a dt tt Z                  2 3 3 0 02 2 ˆ ˆ 6 20 4 2 0 0 1 1 x y u uS S dt dt t tt t Z Z                          5 2 9 0 2 2 32 6 2 6 56 141 2 d ZZ Z               Vậy: 020,400 314V Z   4. Tính 200,400V Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 200,400 ˆ200 400V V  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ200 4001 ˆ ˆ200 400 4 1 o o x y z y y S S S a a dt tt Z               2 2 3 0 2 ˆ2 41 ˆ ˆ200 400 4 1 x x x S a a dt tt Z               2 32 3 0 2 2 31 ˆ200 400 4 1 v x ue u a dt tt Z                3 9 0 2 2 32 3 2 4 1 2 3 47 6 3 47 32 2 420 2 210 d Z Z Z                             Vậy: 200,400 3 47 32 210V Z    5. Tính 220,400V 220,400 ˆ220 400V V  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ220 4001 ˆ ˆ220 400 4 1 o x y z y y S S S a a dt tt Z                   2 3 3 3 0 02 2 ˆ ˆ 2 3 22 4 2 0 0 1 1 v x y ue u uS S dt dt t tt t Z Z                         Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền     2 4 7 0 2 2 6 67 3 67 62 2 1260 12601 2 d ZZ Z                      Vậy: 220,400 67 61260V Z    6. Tính 022,400V 022,400 ˆ022 400V V  2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ022 4001 ˆ ˆ022 400 4 1 x y z y y S S S a a dt tt Z                   2 3 3 0 02 2 ˆ ˆ ˆ 2 3 20 4 2 0 2 0 0 1 1 x y z u uS S S dt dt t tt t Z Z                           7 2 11 0 2 2 62 12 2 12 144 361 2 d ZZ Z                  Vậy: 022,400 636V Z    Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Phụ lục I: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo lý thuyết cổ điển . Khi nguyên tử hydro chịu tác dụng của điện trường trong toán tử Hamiltonian xuất hiện số hạng nhiễu loạn: ˆ ˆe e eV p E e E z     - Năng lượng của electron trong nguyên tử Hidro với:             1 0 2 0 3 0 1 : 13,6 13,6 2 : 3,4 3,4 3 : 1,5111111111 1,5111111111 n E eV e J n E eV e J n E eV e J                Xét trong hệ không thứ nguyên ta có:       1 0 2 0 3 0 0,5 0,125 0,055555555 E J E J E J       Các hàm sóng tương ứng với 1 2 30 0 0, , E E E là (trong hệ tọa độ cầu hàm sóng      , , ,nlm nl lmr R r Y     ): N l m  1 0 0 100 3 2 2 1 4 r ae a              0 0 1 112200 23 42 r re a aa                   2 1 -1 2 21 1 3 1 3 sin 82 6 r iar e e aa                Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 0 2 210 3 1 3 s 42 6 r ar e co aa             1 2 211 3 1 3 sin 82 6 r iar e e aa             0 0 2 3 300 23 2 1 2 2 11 3 3 27 43 r ar r e a aa                  -1 3 31 1 3 8 1 1 31 sin 27 6 86 r iar e e aa                     0 3 310 3 8 1 1 31 s 27 6 46 r ar e co aa                  1 1 3 311 3 8 1 1 31 sin 27 6 86 r iar e e aa                  -2 2 2 23 32 2 3 4 1 15 sin 81 3230 r iar e e aa                     -1 2 3 32 1 3 4 1 15 s sin 81 830 r iar e co e aa                      0  2 23320 34 1 5 3 s 181 1630 r ar e co aa                  3 2 1 2 3 321 3 4 1 15 s sin 81 830 r iar e co e aa                   Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 2 2 2 23 322 3 4 1 15 sin 81 3230 r iar e e aa                  Trong đó a là bán kính quỹ đạo N.Bohr 1. Bổ chính bậc 1 Theo công thức của lí thuyết nhiễu loạn ta có:         2 1 * 3 3 11 100 1000 3 2 2 2 2 3 2 0 0 0 2 3 3 2 0 2 1 4 2 1 s sin 4 2 s sin 4 r a e r a e r e a E V V d x eE z e d x a eE rco e r drd d a eE r e drd co d a                                                                  2 0 0     Mà :   0 s sin 0co d      Suy ra:  10 0E  2. Bổ chính bậc 2 Theo công thức của lí thuyết nhiễu loạn ta có:   22 1 0 1 0 0 1 k k k k V E E E     Tính toán các yếu tố ma trận nhiễu loạn 1. 100,200V Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 32 100,200 3 2 3 3 2 3 2 3 0 0 0 2 1 1 11 24 42 2 s sin d 0 4 r r a a e r e a rV eE e e z d x aa a eE r e dr d co a                                             Vậy: 100,200 0V  2. 100,210V 32 100,210 3 2 3 3 2 4 22 4 0 0 0 3 4 42 4 4 0 0 2 1 1 3 s 44 2 6 s sin d 4 2 4 34 2 3 2 r r a a e r e a r e ea e rV eE e e co z d x aa a eE r e dr d co a eE eEr e dr r a a                                                    3 2 r ae dr   Thực hiện tích phân toàn phần ta có: 5100,210 4 256 256 81 243 23 2 e e eEV a eE a a       3. 100,211V   32 100,211 3 2 3 3 2 4 22 4 0 0 0 2 1 1 3 sin 84 2 6 s sin s sin d d 0 8 r r ia a e r e a rV eE e e e z d x aa a eE r e dr co co i a                                             Vậy: 100,211 = 0V 4. 100,21 1V  Tính tương tự, ta có: 100,21 1 0V   Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 5. 100,300V 2 33 100,300 3 2 23 2 1 2 1 2 2 11 . 3 3 274 43 r r a a e r rV eE e e z d x aa aa                               4 22 3 3 3 2 0 0 0 2 21 d s sin d 0 3 273 3 r e aeE r rr e dr co aa a                   6. 100,310V 33 100,310 3 2 3 2 1 8 1 1 31 s 27 6 44 6 r r a a e rV eE e e co z d x aa a                              4 2 3 23 3 0 0 0 4 3 43 3 3 0 2 2 11 d s sin d 627 2 2 8 24 1 243 3 21 3 6 256 3227 81 r e a r e ea e eE rr e dr co aa eE eErr e dr a eE a aa a                                             Vậy: 100,310 3 232 eV eE a  7. 100,311V 3 100,311 3 2 3 3 4 3 3 3 0 2 1 8 1 11 27 64 6 3 sin 8 2 11 627 r r a a e i r e a rV eE e e aa a e z d x eE rr e dr co aa                                           2 2 0 0 s sin s sin d 0 co i d           Vậy: 100,311 0V  Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 8. 100,31 1V  Tính tương tự, ta có: 100,31 1 0V   9. 100,320V     2 3 100,320 3 2 3 2 3 4 2 5 23 5 0 0 0 2 1 4 1 814 30 5 3 s 1 16 d s sin 3 s 1 d 81 6 r r a a e r e a rV eE e e aa a co z d x eE r e dr co co a                                            0  Vậy: 100,320 0V  10. 100,321V 2 3 100,321 3 2 3 3 4 2 5 2 23 5 0 0 0 2 1 4 1 814 30 15 s sin 8 s sin s si 81 r r a a e i r e a rV eE e e aa a co e z d x eE r e dr co co i a                                              n d 0 d    Vậy: 100,321 0V  11. 100,32 1V  Tính tương tự, ta có: 100,32 1 0V   12. 100,322V Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 2 3 100,322 3 2 3 2 2 3 4 2 5 33 5 0 0 0 2 1 4 1 814 30 15 sin 32 s sin s2 162 r r a a e i r e a rV eE e e aa a e z d x eE r e dr co co a                                             sin 2 d 0i d    Vậy: 100,322 0V  13. 100,32 2V  Tính tương tự, ta có: 100,32 2 0V   Ta có công thức bổ chính bậc hai                                                                     2 2 2 2 2 100,200 100,210 100,211 100,21 1 100,3002 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 100,310 100,311 100,31 1 100,320 100,321 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 100,32 1 100,3 1 3 0 0 V V V V V E E E E E E E E E E E V V V V V E E E E E E E E E E V V E E                                                2 2 2 2 22 100,32 2 100,210 100,310 1 3 1 3 1 2 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 V V V E E E E E E E E       Xét trong hệ đơn vị không thứ nguyên ta có:   22 2 2 1 3 2256 32243 2 1,519361334 ( 0,5 0,125) ( 0,5 0,055555555) ee e EE E E                  Khi đó mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết cổ điển tính đến bổ chính bậc hai là:    0 2 21 1 1 0,5 1,519361334 eE E E E     Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Phụ lục J: Một số tính toán bổ sung các mức năng lượng và yếu tố ma trận của bổ chính bậc hai theo kiểu nhiễu loạn cho nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử 1. 001 ˆ001 001oE H   3 , , 0 2 ˆ ˆ ˆ1 ˆ001 2 1 001 4 1 o o o x y z x y z S S S n dt tt Z                   3 , , 0 2 ˆ ˆ ˆ001 0011 ˆ001 2 1 001 4 1 o o o x y z x y z S S S n dt tt Z                 Ta có:       , , 1 1 1 5ˆ ˆ001 2 1 001 001 2 3 001 2 3 4 4 4 4zx y z n n             Và: 3 3 0 02 2 ˆ ˆ ˆ ˆ001 001 1 1 1 1 o o o o x y z zS S S Sdt dt t tt t Z Z                       (J1.1) Với: ˆ1 1 1 1ˆ oz vN ve eS   Khi đó (J1.1) trở thành:  3 50 02 2 12 1 21 ve dt d tt Z Z                   2 42 2 3 3 ZZ          Suy ra: 001 5 4 4 3 E Z    Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 2. 000,001 ˆ000 001V V    2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ000 0011 ˆ ˆ ˆ ˆ000 001 4 2 1 x o o y ze x x z z z S S SEa a a a dt tt Z                  3 0 2 ˆ0 1ˆ000 001 0 2 2 2 1 ze e e z SE E Ea dt tt Z                    Suy ra: 000,001 2 eEV   Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Phụ lục K: Một số tính toán bổ sung các mức năng lượng và yếu tố ma trận của bổ chính bậc ba theo kiểu nhiễu loạn cho nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử. 1. 001,000 ˆ001 000V V Theo tính chất đối xứng ta có: 001,000 2 eEV   2. 002,001 ˆ002 001V V    2 2 3 0 2 ˆ ˆ ˆ002 0011 ˆ ˆ ˆ ˆ002 001 4 2 1 x o o y ze x x z z z S S SEa a a a dt tt Z                  3 0 2 ˆ2 1 2ˆ002 001 2 0 2 2 1 ze e e z SE E Ea dt tt Z                    Suy ra: 002,001 2 eEV   Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Phụ lục L: Phần tính số với phần mềm Maple 1. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro tính đến bổ chính bậc hai Để thực hiện việc tính toán trong Malpe được dễ dàng ta phải tiến hành các bước sau: Bước 1: Gán tên cho các biểu thức cần tính toán Quy ước :  Eo : Năng lượng ở mức cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính.  2E : Năng lượng bổ chính bậc hai cho mức cơ bản của nguyên tử hydro.  E : Năng lượng ở mức cơ bản tính đến bổ chính bậc hai Bước 2: Cực tiểu hóa năng lượng ở mức cơ bản, tìm giá trị  tương ứng  Để tính đạo hàm của biểu thức  f theo biến số  , ta thực hiện lệnh:  d f d  Thu gọn biểu thức  f về dạng chuẩn hóa, ta thực hiện lệnh:  normal f  Vì các kết quả thu được dưới dạng chữ số thập phân nên ta sẽ làm tròn giữ đến 10 chữ số trong phần thập phân bằng lệnh: [10]evalf (biểu thức) Ta có thể thực hiện gộp ba yêu cầu trên bằng một lệnh như sau:  [10] 2devalf normal Eo E d        , nhấn Enter sẽ cho kết quả.(L1.1)  Giải phương trình   0d f d  , thực hiện lệnh: solve (phương trình,{biến}). Sau khi thực hiện xong (L1.1), ta sẽ lấy phần tử số của biểu thức (bt) tìm đựợc và giải phương trình cho tử số bằng 0.   ,solve bt  , nhấn Enter sẽ cho kết quả nghiệm  .  Để tính mức năng lượng cơ bản ứng với giá trị đã có của  , ta dùng lệnh:   [10] ,evalf subs a bt  Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 2. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro tính đến bổ chính bậc ba Quy ước : 3E : Năng lượng bổ chính bậc ba cho mức cơ bản của nguyên tử hydro. Các bước thực hiện tương tự như trên. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Phụ lục M: Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro vào cường độ điện trường. Để vẽ hai đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ ta thực hiện cú pháp sau: >with(plots): >plot([hàm1,hàm2],x=gt đầu..gt cuối, y=gt đầu..gt cuối, các tùy chọn); Để vẽ được ba đồ thì ta thực hiện các lệnh và thu được kết quả như sau: ._.