Một vài hướng phát triển của các định lý giao hoán

ử thuộc D. F (G ) : là đại số nhóm G trên trường F ( )J R hoặc J : Căn Jacobson. ( )J R = (0). : R là vành nửa đơn M hoặc G : Nhóm cộng hoặc nhân N : Tập các phần tử lũy linh. o(G ) : Cấp của nhóm G R : Vành. iR : Tổng trực tiếp (con) của các vành iR . aT : Tự đồng cấu trên nhóm M : ( )aT m ma [ ; ]x y : Giao hoán tử cộng. 1 2[ ; ;....; ]nx x x : Giao hoán tử cộng cấp n. 1 1x y xy  : Giao hoán tử nhân. [ ; ]x y : Giao hoán tử cộng. 1 2[ ; ;....; ]nx x x : Giao hoán tử cộng cấp n. 1 1x y xy  : Giao hoán tử nhân. , ( )Z R Z : Tâm của vành R . 2 : Trường gồm hai phần tử là 0, 1 THUẬT NGỮ TRANG ( )A M là tập linh hóa của M trong R 8 ( )C M là vành giao hoán tử của R trên M 8 Giao hoán tử cộng hoặc nhân 33-52 M là R - mođun trung thành 8 M là R - mođun Bất khả quy 8 Phần tử lũy linh a của R 11 Phần tử tựa chính quy a của R 10 Phần tử lũy đẳng 14 Phần tử potent 68 R vành Artin 13 R vành đơn 16 R vành nửa nguyên thũy (đơn) 12 R vành nguyên thũy 16 R vành nguyên tố, nửa nguyên tố 19-22 R là tích trực tiếp ( tích trực tiếp con) 21 R là vành trực tiếp con 22 R vành tuần hoàn yếu 68 Trường K là mở rộng đại sô trên trường F 38 Trường K là mở rộng tách được trên trường F 38 LỜI MỞ ĐẦU Trong thời gian học tập và nghiên cứu của lớp cao học khóa 17 tại trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh ngành toán chuyên ngành đại số và lý thuyết số, các học viên chúng tôi có học tập và nghiên cứu một số chuyên ngành trong đó có chuyên ngành về vành giao hoán và vành không giao hoán. Trong hai chương đầu của chuyên đề vành không giao hoán đã nói lên cấu trúc của vành , radican của vành, phần tử lũy đẳng, lũy linh trong vành ..vv. Trên cơ sở của các khái niệm, tính chất với một số định lý của hai chương đầu cùng với việc thầy hướng dẫn làm luận văn tốt nghiệp PGS-TS Bùi Tường Trí đã hướng dẫn cho tôi tham khảo và tìm hiểu các vấn đề về các định lý giao hoán của vành. Trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi thấy tính chất giao hoán của một rất quan trọng, nếu như chúng ta khảo sát một vành mà không có tính chất giao hoán thì trong quá trình làm việc chúng ta sẽ gặp nhiều trở ngại, khi tìm hiểu về các chương của các định lý giao hoán tôi đã biết có một vành nào đó chưa biết giao hoán nhưng với một điều kiện thích hợp thì chúng trở thành giao hoán. Mặt khác khi nghiên cứu chương ba tôi thấy các định lý về giao hoán của Herstein. Herstein đã từng bước phát triển điều kiện để vành giao hoán và như vậy sẽ có nhiều vành giao hoán nói cách khác lớp vành giao hoán mỗi lúc được mở rộng sau mỗi điều kiện giao hoán của vành được tìm thấy. Việc nghiên cứu tìm điều kiện cho vành giao hoán là con đường mở rất rộng. Chính vì lẽ đó mà đề tài luận văn chúng tôi chọn là “ Một vài hướng phát triển của các định lý giao hoán “ Luận văn gồm có 3 chương: Chương I: Chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản gồm các khái niệm, các định nghĩa, các tính chất về mođun, vành, căn Jacobson, cấu trúc vành..vv Chương II: Chúng tôi trình bày các định lý giao hoán bao gồm các định lý, trong đó có định lý quan trọng đó là định lý WEDDERBURN về một vành chia hữu hạn, các định lý giao hoán của JACOBSON, của HERSTEIN. Mỗi định lý của các nhà toán học là sự mở rộng của các lớp vành với điều kiện nào đó vành trở nên giao hoán. Chương III: Chương này chúng tôi cố gắng đưa ra một vài ví dụ cụ thể và trình bày thêm một hướng phát triển của các định lý về giao hoán trên vành subboolean. Tôi xin chân thành gởi lời cám ơn đến các thầy cô khoa Toán, phòng Khoa Học Công Nghệ & Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, các thầy cô đã tham gia giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập, xin chân thành cám ơn PGS-TS Bùi Tường Trí đã nhiệt tình dành nhiều thời gian quý báu để hướng dẫn và giúp đở tôi chọn đề tài luận văn và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Các vành được xét trong luận văn này là không giao hoán và có thể không có đơn vị. Chương này chúng tôi trình bày các định nghĩa, tính chất của vành và mođun, Radican cùng với các tính chất của radican và đặc biệt là sự phân tích của vành thành tích trực tiếp các vành con, bởi các ứng dụng của nó trong các định lý về giao hoán trong chương 2, chương 3 1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành và mođun. Định nghĩa 1.1.1: R là vành nếu R cùng với phép cộng là một nhóm Aben, với phép nhân có tính chất kết hợp, phân phối hai phía đối với phép cộng. Các idean được xét trong luận văn là idean phải, còn idean hai phía được viết gọn idean. Các khái niệm vành con, vành thương, vành các thương, đồng cấu, đẳng cấu, các định lý đẳng cấu được xem như thông thường. Định nghĩa 1.1.2: Cho M là nhóm Aben với phép cộng, M được cho là R - mođun nếu có ánh xạ từM R đến M sao cho mỗi cặp ( ; )m r M R  cho tương ứng mr M thỏa điều kiện. a. ( )m a b ma mb   . b. ( )m n a ma na   . c. ( ) ( )m ab ma b . Định nghĩa 1.1.3: M là R - mođun thì tập  ( ) / 0A M r R Mr   được gọi là tập linh hóa của M trong R . Định nghĩa 1.1.4: M được gọi là R - mođun trung thành nếu (0)Mr  kéo theo r = 0 Như vậyM là R - mođun trung thành khi và chỉ khi ( )A M = {0}. Mệnh đề 1.1.5: ( )A M là idean hai phía của R , hơn nửa M là R / ( )A M – mođun trung thành. Mệnh đề 1.1.6: R / ( )A M đẳng cấu với một vành con của vành ( )E M . Đặc biệt nếu M là R -mođun trung thành thì ( )A M ={0} khi đó R được xem là vành con của vành ( )E M . Bây giờ ta xét xem những phần tử nào trong ( )E M mà giao hoán được với tất cả aT . Định nghĩa 1.1.7: Vành giao hoán tử của R trên M là ( ) { ( ) / , }a aC M E M T T a R       * Khi đó ( )C M là vành con của vành ( )E M , hơn nửa nó cũng là vành các tự đồng cấu mođun của M . Định nghĩa 1.1.8: M được cho là R -mođun bất khả quy nếu 0MR  và M chỉ có các mođun con là (0) và M . Mệnh đề 1.1.9: (Bổ đề Schur) Nếu M là R - modun bất khả quy thì ( )C M là vành chia. Ngoài ra nếu M là R -mođun bất khả quy thì M cũng có tính chất đặc biệt sau Mệnh đề 1.1.10: Nếu M là R - mođun bất khả quy thì M và R /  đẳng cấu với nhau như là R - mođun, trong đó  là idean phải tối đại nào đó của R . Hơn nửa có phần tử a R để mà ,x ax x R    , ngược lại bất kỳ idean phải tối đại  nào của R thì R /  là R -mođun bất khả quy. Và  như thế gọi là idean phải tối đại chính quy của R . 1.2. Radican của vành Một trong những điều tuyệt đẹp trong lý thuyết cấu trúc vành là những vành mà có radican của nó bằng 0, bởi những vành như thế thì nó có cấu trúc là tích trực tiếp con của các vành nguyên thũy mà có những ảnh hưởng lớn trong quá trình chứng minh tính giao hoán trong luận văn này, hơn nửa nếu nó giao hoán thì vành đó là tích trực tiếp con của các trường. Định nghĩa 1.2.1: Radican của R , ký hiệu ( )J R , là tập tất cả các phần tử của R mà linh hóa mọi R -modun bất khả quy. Nếu R không có modun bất khả quy thì ta đặt ( )J R R . Có thể có nhiều radican, nhưng radican chúng ta đang xét là căn Jacobson Theo định nghĩa thì ( ) ( )J R A M  , M chạy khắp các R -modun bất khả quy, chúng ta cũng biết ( )A M là idean hai phía nên ( )J R cũng là idean hai phía. Định nghĩa 1.2.2: Cho  là idean phải của R ta có:  ( : ) /R x R Rx    . Khi  là idean phải tối đại chính quy của R thì ( : ) ( )R A M  Mệnh đề 1.2.3: ( ) ( : )J R R  với  chạy khắp các idean phải tối đại chính quy của R . Ngoài kết quả này chúng ta còn có kết quả đẹp hơn đó là Mệnh đề 1.2.4: ( )J R   với  chạy khắp các idean phải tối đại chính quy của R . Chúng ta thấy với định nghĩa và các mệnh đề trên thì radican có những đặc tính đẹp, vậy thì các phần tử nằm trong rađican thì thế nào. Chúng ta sẽ quan sát các phần tử nằm trong rađican qua các định nghĩa và các mệnh đề sau: Định nghĩa 1.2.5: * a R được gọi là tựa chính quy phải nếu tồn tại phần tử 'a R sao cho ' . ' 0a a aa   thì a ’ được gọi là tựa khả nghịch phải của a . (tương tự chúng ta cũng định nghĩa đối với tựa khả nghịch trái). * Hơn nửa nếu R có đơn vị thì a là tựa chính quy phải khi và chỉ khi 1+a là tựa khả nghịch phải. (vì ' . ' 0a a aa   thì 1 ' . ' 1a a aa    kéo theo (a +1)( a ’+1)=1 ). * Từ mệnh đề 1.2.4 trong phần chứng minh ta có thể chỉ ra thêm các nhân tố khác của radican: ( )J R là tựa chính quy phải, nếu  là idean phải tựa chính quy phải thì  chứa trong ( )J R . Mệnh đề 1.2.6: ( )J R là idean phải tựa chính quy phải của R và chứa tất cả các idean phải tựa chính quy phải của R hơn nửa nó là idean phải tựa chính quy phải lớn nhất của R . Định nghĩa 1.2.7: . Phần tử a R gọi là lũy linh nếu a m = 0, với m là số tự nhiên nào đó .  là idean nil phải (trái, hai phía) nếu mỗi phần trong  là lũy linh. .  là idean lũy linh phải (trái, hai phía) nếu có một số m sao cho 0.......21 maaa , với mọi 1 2, ,......., ma a a  . Cho ,I J là idean phải (trái, hai phía) của R thì I J là nhóm con đối với phép cộng của R sinh bởi tất cả các tích ab, ,a I b J  khi đó I J là idean phải (trái, hai phía) của R . Định nghĩa theo quy nạp chúng ta cũng có nI . Từ đó  là idean lũy linh phải (trái, hai phía) nếu 0n  , với n nào đó. . Giả sử ta có 0na  , ta có 2 3 1 1... ( 1)n nb a a a a        , khi đó ta có 0a b ab   , vậy mọi phần tử lũy linh trong R đều có tính chất là tựa chính quy phải. Vì lẻ đó ta có mọi idean nil phải trong R đều tựa chính quy phải. Mệnh đề 1.2.8: Mọi idean nil phải hoặc trái trong R đều chứa trong ( )J R . Bây giờ chúng ta xem xét Rađican của A được xem như là vành và Rađican của A được xem như là một đại số có khác không, điều này được khẳng định là như nhau. Chứng minh: Đặt  là idean phải tối đại chính quy của A , A được xem như là một vành. Khi đó  cũng tự nhiên là không gian vectơ con của A trên F , vì nếu không thì F   , tuy nhiên từ các tính chất của định nghĩa đại số thì F là idean phải của A ,  là tối đại nên ta có A F   , ta có 2 ( ) ( )A F A F A A       ( )FA     , vì  chính quy nên có phần tử a A để mà x ax   với mọi phần tử x A nhưng mà 2ax A   , vì vậy ta có x  hay A  . Như vậy idean phải tối đại chính quy của A như là vành cũng là idean phải tối đại chính quy của A như là một đại số và radican của chúng là trùng nhau. Bây giờ chúng ta có thể xây dựng được một vành mà radican của nó bằng không từ một vành có radican khác không. Mệnh đề 1.2.9: ( / ( )) (0)J R J R  . Định nghĩa 1.2.10: R là vành nửa nguyên thũy (nửa đơn) nếu ( )J R = (0). Như vậy theo mệnh đề trên ta có R / ( )J R là vành nửa nguyên thũy. Mệnh đề 1.2.11: Nếu A là idean của R thì ( )J A = A  ( )J R . Vì vậy nếu R là vành nửa nguyên thũy thì mọi idean của R cũng là vành nửa nguyên thũy. Mệnh đề 1.2.12: ( ) ( ( ))n nJ R J R . 1.3: Vành Artin nửa nguyên thũy: Chúng ta xem xét lớp vành Artin nửa nguyên thũy là lớp vành có những tính chất rất đặc biệt, bởi mỗi vành như thế được biểu diển dưới dạng tổng hữu hạn các vành Artin đơn, hơn nửa (1) (2) ( ) ( ) 1 2 ..... ,k in n n nk iR        là vành các ma trận n i  n i trên ( )i , ( )i là vành chia, như vậy với vành Artin nửa nguyên thũy chúng ta có thể nhìn thấy cấu trúc phân tích của vành theo vành các ma trận, mà vành các ma trận thì chúng ta đã quen và biết khá nhiều các tính chất về nó. Định nghĩa 1.3.1: Vành R được gọi là Artin phải nếu mọi tập không rổng các idean của R phải có phần tử tối tiểu. Chúng ta có thể nói một cách ngắn gọn vành Artin phải là vành Artin. Chúng ta có thể chứng minh được R là vành Artin khi và chỉ khi bất kỳ dãy các idean phải giảm của R là 1 2 .... ....n     sẽ dừng tại n nào đó, nói cách khác tồn tại một n nào đó để cho 1 2 .... ...n n n       . Nếu R là vành Artin thì radican của R như thế nào, nó có đặc tính gì không? Mệnh đề 1.3.2: Nếu R là vành Artin thì ( )J R là idean lũy linh. * Ta có nếu R là vành Artin thì mọi idean nil phải (trái, hai phia) của R đều lũy linh. Hệ quả 1.3.3: Nếu R là Artin thì bất kỳ idean nil phải ( trái, hai phía ) của R đều lũy linh. * Hơn nửa nếu R là vành chứa idean phải lũy linh thì R chứa idean hai phía lũy linh. Bây giờ chúng ta xem xét các vành có mối quan hệ với các phần tử lũy đẳng. Định nghĩa 1.3.4: Phần tử e R gọi là lũy đẳng nếu 0e  , 2e e . Mệnh đề 1.3.5: Cho R là vành không có idean lũy linh khác không, giả sử 0 là idean phải tối tiểu của R thì  eR , với e là phần tử lũy đẳng của R . Mệnh đề 1.3.6: Cho R là vành, a là phần tử của R sao cho 2a a là lũy linh thì a là phần tử lũy linh hoặc có đa thức ( )g x với các hệ số nguyên thì ( )e a g a là phần tử lũy đẳng khác không. Mệnh đề 1.3.7: Nếu R là vành Artin và 0 là idean phải không lũy linh của R thì  chứa phần tử lũy đẳng khác không. Trong trường hợp đặc biệt chúng ta có mối quan hệ radical và vành eRe Mệnh đề 1.3.8: Cho R là vành bất kỳ thì ( ) ( )J eRe eJ R e , với e là lũy đẳng trong R . Tiếp tục chúng ta xem xét mối quan hệ của R và eRe cùng với sự đặc biệt của e là gì? Mệnh đề 1.3.9: R là vành không có idean lũy linh khác (0), e là phần tử lũy đẳng của R . Khi đó eRe là idean phải tối tiểu khi và chỉ khi eRe là vành chia. Hệ quả 1.3.10: R là vành không có idean lũy linh khác không, khi đó eR là idean phải tối tiểu của R khi và chỉ khi Re là idean trái tối tiểu của R , với e là phần tử lũy đẳng nào đó của R . Sau đây chúng ta quan sát một vành mà radical của nó là bằng (0). Định nghĩa 1.3.11: Cho trường F và nhóm G hữu hạn có cấp o(G ). Ta gọi F (G ) là đại số nhómG trên trường F là  / ,i i i ia g a F g G  các phần tử của nhóm được xem là độc lập tuyến tính trên F , phép cộng theo cách tự nhiên, phép nhân được dùng theo luật phân phối và i jg g được tính theo phép nhân trong G . Mệnh đề 1.3.12: (Định lý Maschke’s) Cho G là nhóm hữu hạn có cấp o(G ), F là trường có đặc số 0 hoặc đặc số p không là ước của o(G ) thì F (G ) là nửa nguyên thũy.. Chú ý trong mệnh đề 1.3.5 đã chỉ ra rằng một idean phải tối tiểu trong vành không có idean nil khác không thì tồn tại một lũy đẳng, thật ra trong vành Artin nửa nguyên thũy không cần thiết với điều kiện tối tiểu, sau đây ta có mệnh đề sau. Mệnh đề 1.3.13: Cho R là vành Artin nửa nguyên thũy 0 là idean phải của R thì eR  vớie là phần tử lũy đẳng của R . Hệ quả 1.3.14: Cho R là vành Artin nửa nguyên thũy và A khác không là idean của R thì A = eR = Re , e là lũy đẳng nằm trong tâm của R . Hệ quả 1.3.15: R là vành Artin nửa nguyên thũy thì R có phần tử đơn vị hai phía. Mệnh đề 1.3.16: Mọi idean của vành Artin nửa nguyên thũy là vành Artin nửa nguyên thũy. Định nghĩa 1.3.17: Vành R được gọi là vành đơn nếu 2 0R  và R không có idean nào khác ngoài (0) và R . Từ Mệnh đề 1.3.16 chúng ta khai thác sâu hơn ta được định lý Wedderburn như sau Mệnh đề 1.3.18: ( Định lý Wedderburn ) R là vành Artin nửa nguyên thũy thì R là tổng trực tiếp của một số hữu hạn của vành Artin đơn và R = 1 2 .... nA A A   , trong đó iA là các vành đơn và iA quét hết các idean tối tiểu của R . Định nghĩa 1.3.19: Vành R được gọi vành nguyên thũy nếu nó có một mođun bất khả quy trung thành. Mệnh đề 1.3.20: R là vành nguyên thũy khi và chỉ khi trong R tồn tại  là idean phải chính quy tối đại của R sao cho ( : R ) = (0). R vì vậy là nửa nguyên thũy, hơn nửa nếu R giao hoán thì nó chắc chắn là trường. Chúng ta xét vành R là vành nguyên thũy, M là R - mođun bất khả quy trung thành, ta đặt ( )C M   là vành giao hoán của R trên M thì theo bổ đề Schur thì  là một vành chia. Khi đó chúng ta xem xét M như là không gian vectơ phải trên  và m được xác định như là một tác động của  , như là một phần của ( )E M trên M , với ,m M   . Định nghĩa 1.3.21: R được cho là tác động dày đặc trên M (hoặc R được cho là dày đặc trên M ) nếu với n và 1 2, ,.., nv v v M và chúng độc lập tuyến tính trên  và bất kỳ n phần tử 1 2, ,.., nw w w M thì tồn tại phần tử r R sao cho i iw r v , với mọi i = 1,2,…, n . Chú ý rằng trong trường hợp M có số chiều hữu hạn trên  và nếu R tác động cả trung thành và dày đặc trên M thì R đẳng cấu với ( , ) nHom M M   là vành các ma trận n n trên  , với dimn M . vì vậy tính chất dày đặc là sự tổng quát của vành các phép biến đổi tuyến tính. Với định lý dày đặc sau đây được đề xuất bởi Jacobson và Chevalley sẽ bật ra toàn bộ lý thuyết cấu trúc vành. Mệnh đề 1.3.22: ( Định lý dày đặc) Cho R là vành nguyên thũy, M là R-mođun bất khả quy, nếu ( )C M  thì R là dày đặc các phép biến đổi tuyến tính trên M trên  . Định nghĩa 1.3.23: R là vành các phép biến đổi tuyến tính trên không gian vectơ V trên vành chia D có: a) Tính bắt cầu đơn nếu v V , 0v  , w V thì có r R : w vr . b) Tính bắt cầu đôi nếu 1 2,v v V độc lập tuyến tính trên D và 1 2,w w V thì có 1 1 2 2: ,r R w v r w v r   . * Hơn nửa điều ngược lại của định lý dày đặc cũng đúng vì thật chất nếu V là không gian vectơ trên vành chia, R là vành các phép biến đổi tuyến tính có tính bắt cầu đơn thì vành nguyên thũy. Thật vậy, vì R là vành các phép biến đổi tuyến tình trên V , thì R có V như là mođun trung thành. Ta cần chứng minh là V là R - mođun bất khả quy, xét 0 N V  n N  , v V  do tính bắt cầu cór trong R sao cho v nr N   N V Và nếu R là vành các phép biến đổi tuyến tính có tính bắt cầu đôi thì ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3.24: Nếu R là vành các phép biến đổi tuyến tính có tính bắt cầu đôi trên không gian vectơ V trên vành chia D thì R là dày đặc trên V và vành giao hoán với R trên V trùng với D . Mệnh đề 1.3.25: R là vành nguyên thũy. D là vành chia thế thì hơặc R đẳng cấu với D , hoặc có số m nguyên dương nào đó tồn tại tập con mS của R sao cho đồng cấu với mD , với mD là vành các ma trận m m với các hệ số trong D . Định nghĩa 1.3.26: P là idean của R gọi là idean nguyên tố nếu ,B C R là các idean và .B C P thì C P hoặc B P . R gọi là vành nguyên tố nếu 0 là idean nguyên tố. Hoặc R gọi là vành nguyên tố nếu ,a b R  sao cho aRb = (0) thì ta có a = 0 hoặc b = 0. Hoặc R có mọi linh hóa phải các idean phải đều bằng 0 Mệnh đề 1.3.27: Mọi vành nguyên thũy đều nguyên tố. Từ mệnh đề 1.3.27 ta có thể suy ra tâm của vành nguyên tố là miền nguyên Mệnh đề 1.3.28: ( định lý Wedderburn-Artin) Cho R là vành Artin đơn. khi đó R đẳng cấu với nD , nD là vành các ma trận n n với các hệ số trong D , hơn nửa n là duy nhất và D cũng duy nhất sai khác một đẳng cấu và ngược lại mọi vành chia D thì D n là vành Artin đơn. Định lý Wedderburn-Artin có nhiều ứng dụng rất quan trọng trong nhiều trường hợp đặc biệt của vành Artin, với mệnh đề 1.3.18 thì bất kỳ vành Artin nửa nguyên thũy nào cũng là tổng trực tiếp hữu hạn của các vành Artin đơn kết hợp với mệnh đề 1.3.28 thì ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.3.29: Nếu R là vành Artin nửa nguyên thũy thì: 1 2 (1) (2) ( )..... k k n n nR        với ( ) i i n là vành các ma trận i in n trên vành chia ( )i . Trong trường hợp đặc biệt đối với các R đại số đơn hữu hạn chiều trên trường đóng đại số F thì R được phân tích rỏ ràng hơn Định nghĩa 1.3.30: Cho đại số A trên trường F , a A được gọi là đại số trên trường F nếu có đa thức khác không ( ) ( )p x F x sao cho ( ) 0p a  . Đại số A được gọi là đại số trên trường F nếu mọi phần tử a của A đều đại số trên trường F . Chú ý: Nếu A hữu hạn trên trường F thì A đại số trên trường F Mệnh đề 1.3.31: Cho F là trường đóng đại số. Nếu D đại số chia có tính chất đại số trên F thì D trùng với F . Với mệnh đề 1.3.31 cùng với các mệnh đề 1.3.28, 1.3.29 ta có Mệnh đề 1.3.32: Cho F là trường đóng đại số, A là đại số nửa nguyên thũy hữu hạn trên F thì A  1 2 ... nF F F   Ta có tâm của tổng trực tiếp là tổng trực tiếp các tâm, ngoài ra ta cũng có tâm của inF là một chiều trên F ( vì tâm là inFI với inI là ma trận đơn vị in  in ) vì thế k = dim F AZ nói cách khác ta có Hệ quả 1.3.33: Nếu A được cho như mệnh đề 1.3.32 thì số các thành phần tổng trực tiếp của A bằng số chiều các tâm của A trên F . G là nhóm hữu hạn có cấp là o(G ), F là trường đóng đại số có đặc số 0 hoặc p không là ước của o(G ) thì F (G ) = 1 2 ..... kn n nF F F   . 1.4: Sự phân tích của vành: Chúng ta thấy vành nguyên thũy đã được mô tả khá rỏ, thế còn vành nửa nguyên thũy thì sao?. Sau đây chúng ta sẽ mô tả vành nửa nguyên thũy qua tích trực tiếp các vành nguyên thũy và đó cũng là cấu trúc của các vành nửa nguyên thũy. Ngoài ra ta còn có một lớp vành khác cũng khá quan trọng đó là lớp các vành, mà mỗi vành đều không có các idean lũy linh ( hoặc idean nil) khác không, khi đó nó phân tích thành tích trực tiếp con các vành nguyên tố, mà mỗi vành nguyên tố thì chúng ta khá là quen thuộc cùng với các thuộc tính của chúng Định nghĩa 1.4.1: . Tích trực tiếp của các vành R , ( là nằm trong tập chi số I nào đó) là tập { : / ( ) , } I I R f I R f R I              chúng ta cho cấu trúc vành đối vớ I R  bởi các phép toán như sau: ( )( ) ( ) ( )f g f g     và ( . )( ) ( ) ( )f g f g   Ta đặt  là phép chiếu chính tắc của I R  lên R . . Một vành R được gọi là một tích trực tiếp con của các vành { },R I   nếu tồn tại một đơn cấu: : IR R  sao cho ,R R I     Kết quả sau được suy ngay từ định nghĩa: Mệnh đề 1.4.2: cho R là một vành tùy ý và : R R   là các toàn cấu của R lên các vành R .Đặt kerU   khi đó R là một tích trực tiếp con của các vành R khi và chỉ khi (0),U I    . Ngược lại có họ U các idean của R sao cho (0)U   thì R là một tích trực tiếp con của các vành /R R U  Định nghĩa 1.4.3: R được gọi là vành trực tiếp con bất khả quy, nếu giao của tất cả các idean khác không của nó khác không. Với định nghĩa này ta luôn có R không có sự biểu diển không tầm thường như là tích trực tiếp con của các vành R . R là vành nửa nguyên tố nếu R không chứa idean lũy linh. Như vậy R là vành nguyên tố thì R là vành nửa nguyên tố Mệnh đề 1.4.4: Mọi vành đều có thể biểu diển như là tích trực tiếp con của các vành trực tiếp con bất khả quy. Chứng minh: Cho 0 a R  , ta đặt aU là idean tối đại của R sao cho không chứa a điều này tồn tại bởi bổ đề zorn. Rỏ ràng là (0), 0aU a R   vì vậy R là tích trực tiếp con của các vành /a aR R U . Bây giờ ta có a + aU khác không là nằm trong mọi idean khác không của /a aR R U , (bởi mọi idean ' aK K U  trong /a aR R U mà không chứa a + aU vì vậy K không chứa a , ta suy ra K nằm trong aU do aU là idean tối đại không chứa a , do đó K’=(0). Do đó /a aR R U là vành trực tiép con bất khả quy). Mệnh đề 1.4.5: R là vành nửa nguyên tố khi và chỉ khi R là tích trực tiếp con các vành nguyên tố. Như vậy nếu R là vành không có idean nil khác không thì R không chứa idean lũy linh vì vậy R là tích trực tiếp con của các vành nguyên tố aR .(tâm của vành nguyên tố là miền nguyên). Đặc biệt khi R là vành có không có phần tử lũy linh thì R phân tích được thành tích trực tiếp con các vành nguyên tố. Chúng ta có nhận xét rằng aR có tính chất mạnh hơn nửa, đó là nếu a là ảnh của a trong aR và nếu U là idean khác không của aR thì    n Ua U ( đó là các lũy thừa của a đều nằm trong idean khác không của aR ). Nếu R là vành nửa nguyên thũy thì ( )J R = (0), mặt khác ta có: ( ) ( : ) (0)J R R   , với  là idean tối đại chính quy phải của R . Ta có R là tích trực tiếp con các vành / ( : )R R R  nguyên thũy. Mệnh đề 1.4.6: R là vành nửa nguyên thũy khi và chỉ khi R là đẳng cấu với vành tích trực tiếp con các vành nguyên thũy. Hơn nửa nếu R là giao hoán thì R là tích trực tiếp con các trường. Mệnh đề 1.4.7: Mọi phần tử lũy đẳng tâm e trong vành bất khả quy trực tiếp con R có đơn vị thì e = 0, e =1, Chứng minh: Giả sử 0, 1,e e e    , là lũy đẳng tâm khi đó A e R  là idean và (0)A  vì 1e  nên có : 0r r e r  , đặt { / }B r e r r R    khi đó ta có {0}B  và B là idean, ta lại có (0)A B  vì x A B  thì ' 'x e r r e r    suy ra ' ' 0e r e e r e r e e r         điều này mâu thuẫn với R là trực tiếp con bất khả quy Chương 2 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIAO HOÁN Sau khi đã có các cơ sở về căn Jacobson, các định nghĩa và tính chất về vành nửa nguyên thũy, nguyên thũy, nửa nguyên tố, nguyên tố …vv cùng với sự phân tích cấu trúc của một vành. Chúng ta chuyển sang chương 2 với các định lý về giao hoán, các bước chứng minh của các định lý này trên cơ sở cấu trúc của vành đi từ vành chia đến vành nguyên thũy (hoặc nguyên tố), vành nửa nguyên thũy (vành nửa nguyên tố) rồi chuyển sang vành bất kỳ. Với phương pháp này Jacobson, Herstein đã mở rộng định lý về giao hoán trên vành chia hữu hạn của Wedderburn tới các lớp vành rộng hơn cùng với các điều kiện khác nhau. Ở chương này chúng ta xét các điều kiện để cho một vành là giao hoán, với Định lý Wedderburn trên vành chia hữu hạn, Định lý Jacobson, Định lý Herstein, từng bước Jacobson, Herstein đã xây dựng thêm các lớp vành và điều kiện mới để có lớp vành giao hoán. 2.1: Định lý Wedderburn trên vành chia hữu hạn và các định lý về giao hoán Định lý Wedderburn đã mô tả được tính giao hoán của lớp vành chia hữu hạn, định lý ngoài vẽ đẹp của nó mà nó còn đóng vai trò quan trọng trong nhiều phần khởi đầu của đại số trong lý thuyết vành cũng như lý thuyết cấu trúc vành. Và cũng từ định lý này Jacobson, Herstein đã tổng quát hóa cho điều kiện giao hoán của một vành. Bổ đề 2.1.1: Cho D là vành chia có đặc số 0p  và Z là tâm. Giả sử có một phần tử ,a D a Z  , sao cho npa a vớin  1 thì tồn tại phần tử x D sao cho 1 ixax a a   với i là số nguyên nào đó. Chứng minh: Ta định nghĩa ánh xạ : D D  bởi [ , ]x a x xa ax    , với mọi x D , vì D có đặc số 0p  nên ta có p p px xa a x   , tiếp tục như thế ta có , 0 k k kp p px xa a x k    . Đặt P là trường nguyên tố của Z do giả thuyết ta có a là đại số trên P , vì vậy ( )P a là trường có mp phần tử vì vậy mpa a và mpx = mpxa – mpa x xa ax x   khi đó ta nói mp  . Nếu ( )P a thì ( x )  = ( ) ( ) ( ) ( )x a a x xa ax x        vì  giao hoán với a , nếu ta định nghĩa :I D D  chuyển x thành  x Khi đó I giao hoán với  ( . .I I    ) vì  ( )P a , ta xét đa thức mpt t phân tích trong ( )P a là ( ) ( )P a t   , vì  giao hoán với  nên chúng ta có: ( )0 ( ) mp P a I       vì a Z , 0  ta đặt )).....()(( 21 III k  là tích ngắn nhất với ( )i P a  tích đó bằng 0 theo phân tích trên thì tích trên tồn tại, và vì ta có 0  , k 1vì vậy có 0r  trong D sao cho   wIIr k ))........((( 11  0 và  )( Iw k 0 đó là kwa aw w  với 0k  trong ( )P a vì w o chúng ta thu được 1 kwaw a a    trong ( )P a Bởi vì ( )P a là trường hữu hạn vì thế các phần tử trong ( )P a có cấp hữu hạn là các lũy thừa của a , nhưng 1 ( )waw P a  vì vậy 1 iwaw a a   với i nào đó. ĐPCM. Định lý 2.1.2: (Wedderburn) Nếu D là vành chia hữu hạn thì D là trường. Chứng minh: D là vành chia và Z là tâm của D , do D hữu hạn nên D có đặc trưng p (số nguyên tố) nên trường con nguyên tố trong Z có p phần tử, vì thế ta có thể xem D là không gian tuyến tính trên Z vì vậy D có nq p phần tử. Bây giờ chúng ta chứng minh theo n và giả định là mọi vành chia có cấp kp ( k n ) là giao hoán do đó nó là trường. Nếu ,a b D sao cho ab ba nhưng i iab b a thì ib Z vì xét tập ( ) { / }i i iN b x D xb b x   khi đó ( )iN b là vành chia trong D chứa ,a b vì vậy nó không giao hoán, vì vậy ( )iN b trùng với D do đó ib Z . Nếu u D ta đặt ( )m u số nguyên dương bé nhất để mà ( )m uu Z , ta chọn phần tử a D , a Z mà ( )m a là số nguyên dương bé nhất trong các số ( )m u , đặt ( )r m a như vậy r là số nguyên tố ( thật vậy, nếu r pq thì ,p q thuộc (tập các số tự nhiên) khác 1 và ngưyên tố cùng nhau. Vì ( )r pq p qa a a Z   , xét phần pb a thì ( )q p qb a Z  với q r trái với giả thiết r là bé nhất, vậy r là nguyên tố) theo bổ đề 2.1.1 thì tồn tại phần tử x D sao cho 1 ixax a a   vì vậy: 1 1 1 1 1 1 1 1 .. 1 ( ) ...... .... ......k k k k k i ph tu a k x ax x xax x x x ax xax xa x x            (do 1 ixax a  ) =  1 1 2 2 .... .... ......i i k i k x x a a x x     (do 1 ixax a  ) 22 ( 2) 2 ( 2)( ) ... kk i i k k i k ix a x x a x a         . do đó kk k ix ax a  đặc biệt là 1k r  ta có: 1 ( 1)r rx ax a    với Z  vì rằng 1 1 (mod )ri r  . Để ý rằng xa ax và 1rx Z  (đó là do tính bé nhất của r và định nghĩa của tập ( )iN b ) từ đó suy ra rằng 1 1r rx a ax  nghĩa là 1 . Đặt 1rx b  ta nhận được 1bab a  , do đó 1( )r r ra bab  1r rba b a  và 1r  , cùng với đẳng thức r r rb ab a a   ; r rb a ab rb Z  . Ký hiệu ra Z  và rb Z  . Ta khẳng định rằng, nếu 10 1 1.... 0rru u b u b    trong đó ( )iu Z a thì tất cả các phần tử iu phải bằng 0. Thật vậy, giả sử ta có hệ thức 1 0 1 .... 0k mm ku u b u b   ( 10 .... km m r    ) có số các số hạng bé nhất bằng cách kết hợp với a và chú ý rằng: 1 1, k k ka ba b a b a b    ta nhận được: 1 10 1 .... 0k k m mm m ku u b u b    . Bằng cách trừ đi các vế tương ứng ta được 1 1 1 (1 ) ..... (1 ) 0k k m m mm ku b u b      . Vì rằng   1 và 1r  (để ý r là số nguyên tố ) nên 1i  khi 1 i < r , như vậy phát sinh một hệ thức tổng quát hơn, có số các số hạng bé hơn các số hạng như hệ thức ban đầu, là không thể được. Tương tự, nếu 10 1 1.... 0rrv v a v a    , trong._. đó ( )iv Z b thì tất cả các phần tử 0iv  Đặc biệt các đa thức: ,r rt t   là những đa thức cực tiểu trên Z tương ứng với ,a b . Do đó ta có : [ ( ): ] [ ( ): ]Z a Z Z b Z r  . Ánh xạ : ( ) ( )Z a Z a  với 1x bxb là tự đẳng cấu không đồng nhất của trường ( ),Z a  bất biến với các phần tử của Z . vì rằng  là tự đẳng cấu bậc r và [ ( ) : ]Z a Z r , nên các lũy thừa của tự đẳng cấu sẽ quét hết tất cả các tự đẳng cấu của trường ( ),Z a trên Z. Do tính hữu hạn của ( ),Z a mọi phần tử 0 u Z  có thể biểu diển dưới dạng 1( )..... ( ), ( )ru x x x x Z a    , đặc biệt 1 1( )..... ( ), ( )ry y y y Z a     . Ta có 1 10 1 . 1 . ( )..... ( )r rb y y y        = 1 2 2 1 11 . . .......r r rb y byb b yb b yb    =1 ...... .r r r b yb yb ybb  =1 ( ) 1 ( ) ,r r r r rb yb b yb b Z    . Lại có 2 11 ( ) (1 )(1 ( ) .... ( ) ) 0r ryb yb yb yb yb         1 (1 )(1 .... .... ) 0 r yb yb ybyb ybyb yb         1 2 1 2 2 3(1 )(1 .... .... ...) 0yb yb ybyb b ybyb b yb b           2 2 3 2 1(1 )(1 ( ) ( ) ( ) ..... ( )... ( ) ...) 0r ryb yb y y b y y y b y y y b             Vì vậy : 1 0yb  hoặc 2 2 3 2 1(1 ( ) ( ) ( ) ..... ( )... ( ) ...) 0r ryb y y b y y y b y y y b           Như vậy cả hai điều trên không thể xảy ra vì ( )y Z a . Vậy định lý được chứng minh. Như vậy định lý Wedderburn đã khẳng định rằng mọi vành chia hữu hạn đều trường. đều này đã tách lớp vành chia thành hai lớp bao gồm các lớp trường hữu hạn và lớp vành chia không hữu hạn. Như vậy để xét tính giao hoán của vành chia chúng ta chỉ cần quan tâm đến lớp các vành chia không hữu hạn. Từ định lý Wedderburn ta có mệnh đề sau rất đẹp đó là bất kỳ những nhóm con nhân nào trong vành chia D mà hữu hạn đều giao hoán. Bổ đề 2.1.3: Nếu D là vành chia có đặc số 0p  và G D là nhóm con nhân hữu hạn của D thìG là nhóm giao hoán và do đó G xilic. Chứng minh: Đặt P là trường con nguyên tố của D và { / , }i i i iA g P g G    Khi đó A là nhóm con hữu hạn của D với phép cộng, hơn nửa vìG là nhóm con nhân nên A là một vành chia hữu hạn vì vậy theo định lý trên ta có A là giao hoán (trường), bởi G A nên G giao hoán. *Với định lý và bổ đề trên cho phép chúng ta đi xa hơn tình huống trên đó là với điều kiện nào thì một vành không hữu hạn có thể giao hoán được và cuối cùng người ta cũng tìm được các điều kiện đại số của những phần tử trong vành hơn là tính hữu hạn. Để có được một vành không hữu hạn có thể giao hoán được với các điều kiện đại số của những phần tử trong vành, chúng ta đi từ lớp vành chia không hữu hạn, sau đây chúng ta xem xét bổ đề sau. Bổ đề 2.1.4: D là vành chia trong đó mỗi phần tử a trong D đều có số nguyên ( ) 1n a  sao cho ( )n aa a thì D giao hoán. Chứng minh; Vì 2 D và 2 2m  với m >1 điều này chứng tỏ D có đặc số 0p  , với p là nguyên tố. Nếu D không giao hoán thì có phần tử ,a D a Z  với Z là tâm của D , đặt P là trường nguyên tố của Z , vì a là đại số trên P , ( )P a là trường hữu hạn với np phần tử, vì vậy npa a , tất cả các điều kiện này thỏa mãn bổ đề 2.1.1 vì vậy có phần tử b D sao cho 1 ibab a a   , với mối quan hệ này cùng với điều kiện bậc hữu hạn của ,a b đã dẫn đến ,a b là các phần tử sinh của một nhóm con nhân G của D và theo bổ đề 2.1.3 thì G là nhóm giao hoán, như vậy .a b ba với ,a b D mâu thuẫn với 1bab a  . Vậy D là giao hoán. Bây giờ chúng ta xem xét hai ví dụ sau: Ví dụ : Cho R là vành sao cho x R  : 6x x thì R là vành giao hoán. Chứng minh: x R  , ta có 6 6( )x x x x     vì vậy R là vành có đặc số là 2. Ta có: 3 3 6 6 8 10 12 14 16 18( ) 6 15 20 15 6x x x x x x x x x x x          = 10 14 3x x x x   Vì vậy 10 14 10 14 5 40x x x x x x      ta nhân hai vế cho 2x ta có 2 ,x x x R   , thỏa điều kiện của vành Bool vì vậy R là vành giao hoán. Ví dụ : Cho R là vành sao cho x R : 3x x thì R là vành giao hoán. Chứng minh: Với mọi ,x y R chúng ta có: 3 3 30 ( ) ( )x y x y x y x y        khi khai triển ta có: 2 2 2 2 0x y xyx yx y x yxy xy      (1) ta thế x y vào (1) thu được 36 0x  vì vậy ta có 6 0x , x R  . ta thế 2y x vào (1) thu được 4 53 3x x = 0 với 3x x ta có 23 3 0x x  , vì vậy ta có 2 23 3 3 3 , x x x x x R      . ( do 6 0,x x R   ). vì vậy ta có 2 2 20 3( ) 3 3 3( ) 3 3 3 3x y x y x y x y xy yx          hay 0 3 3 3 3 3xy yx xy yx yx      ( do 6 0,x x R   .) mặt khác thế x x  vào (1) có: 2 2 2 2 0x y xyx yx y x yxy xy      (2) ta cộng (1) và (2) ta thu được 2 22( ) 0x y xyx yx   và vì thế ta có 2 2 2 2 3 30 2 ( ) 2( ) 2 2 2 2x x y xyx yx x y xyx yx x x y yx xy yx          từ đó ta có 2 2xy yx và kết hợp 3 3xy yx suy ra xy yx ,  ,x yR vậy R là vành giao hoán. Trong hai ví dụ trên cho chúng ta một vành R với điều kiện nx x thì R giao hoán ứng với n=3, 6. vậy trong trường hợp tổng quát thì điều đó có còn đúng hay không, trong trường hợp này chúng ta xem xét định lý Jacobson sau: Định lý 2.1.5:(Jacobson) Cho R là vành trong đó mọi phần tử a R có số nguyên ( ) 1n a  ( ( )n a phụ thuộc vào a ), để mà ( )n aa a thì R là giao hoán. Chứng minh: Chúng ta bắt đầu với R là vành nửa nguyên thũy vì nếu ( )a J R thì vì ( )n aa a chúng ta có ( ) 1(1 ) 0n aa a   lại có ( )a J R suy ra ( ) 1 ( )n aa J R  từ đó suy ra ( ) 11 n aa  khà nghịch ta có 0a  vì vậy R là vành nửa nguyên thũy (hay ( ) 0J R  ) Bởi mệnh đề 1.4.6 thì R là tích trực tiếp con các vành nguyên thũy R và mỗi R như là ảnh đồng cấu của R nên nó thừa hưởng điều kiện ( )n aa a , hơn nửa các vành con của R và ảnh đồng cấu của nó cũng có các điều kiện trên. Khi R là vành nguyên thũy thì theo mệnh đề 1.3.25 thì: hoặc R đẳng cấu với D ( D là vành chia ) hoặc có số m>1, mD là ảnh đồng cấu với vành con nào đó của R . Cũng vì vậy nếu R không đẳng cấu với D thì chúng ta có kD nào đó k >1 và D k có tính chất ( )n aa a thế nhưng điều này không đúng vì có phần tử: a =         0.00 .... 0.00 0.10 với 2a = 0 không thỏa tính chất ( )n aa a vì vậy R là vành chia nên nó giao hoán theo bổ đề 2.1.4 mà R là tích trực tiếp con các vành R nên R giao hoán. Với Định lý Jacobson đã trình bày lớp vành với điều kiện được nêu trên thì giao hoán, lớp vành không chỉ chứa lớp vành chia hữu hạn mà còn chứa lớp vành chia với điều kiện giao hoán của Jacobson, thật ra thì lớp vành thỏa điều kiện nêu trên là lớp vành nửa nguyên thũy với điều kiện được nêu. Đặc biệt nếu ta có R là vành Artin nữa nguyên thũy thì R là tích trực tiếp con hữu hạn của các trường. Sau đó Herstein đã mở rộng thêm lớp vành khác với các điều kiện khác để có nhiều lớp vành giao hoán hơn. Sau đây là lớp vành mà điều kiện xét trên các giao hoán tử. Giống như định lý Jacobson chúng ta xem xét ví dụ sau đây: Ví dụ : Cho vành R có đơn vị thỏa điều kiện Với mọi x,y R ta có ( xy – yx ) 3 = xy – yx thì R là giao hoán. Chứng minh: Trường hợp R là vành chia, nếu có ,x y R mà 0xy yx  và 3( )xy yx xy yx   thì điều này dẫn tới 2( ) 1xy yx  và vì thế xy – yx Z ,  ,x y R . Ta đặt xy – yx = a, khi đó xa = x ( xy – yx ) = x ( xy ) – ( yx ) x Z , vì a  0 nên x Z , như vậy xy – yx = 0 điều này mâu thuẫn với giả định xy – yx  0. Vậy R là vành chia thì R là giao hoán. Trường hợp R là vành nguyên thũy và nếu R là không phải là vành chia thì có kD là ảnh đồng cấu của vành con của R (k >1), vì 3( )xy yx xy yx   vẫn đúng trong các vành con của R và qua phép đồng cấu, như vậy nó đúng trong kD thế nhưng điều này không đúng khi ta chọn các phần tử sau: 1 0 . 0 0 0 . 0 ; . . . . 0 0 . 0 x         0 1 . 0 0 0 . 0 . . . . 0 0 . 0 y         . vì 0 = ( xy – yx ) 3 xy – yx y Như vậy R là vành nguyên thũy thì R chắc chắn là vành chia vì vậy R giao hoán. Trường hợp R là vành nửa nguyên thũy, thì R là tích trực tiếp con của các vành nguyên thũy R và mỗi vành R là ảnh đồng cấu của R nên nó cũng thỏa điều kiện: ( xy – yx ) 3 = xy – yx vì vậy R là giao hoán, R là giao hoán. Trường hợp R là vành bất kỳ thỏa điều kiện với mọi ,x y R ta luôn có ( xy – yx ) 3 = xy – yx , khi đó / ( )R J R là vành nửa đơn nên cũng thỏa điều kiện trên vì vậy / ( )R J R là giao hoán, khi đó với mọi ,x y R , ( )xy yx J R  , vì 3( )xy yx xy yx   nên xy – yx = 0 vì vậy R là giao hoán. [ Bởi vì “ Nếu u x = u , với x ( )J R thì u = 0 ”. Thật vậy ta có : xJ(R)  – x ( )J R   x ’: – x + x ’– x . x ’= 0 vì vậy ta có u (– x + x ’– x . x ’) = 0 – u x +u x ’– u x . x ’= – u +u x ’– u x ’= 0  u = 0 ] Trong ví dụ trên cho chúng ta một vành R các giao hoán tử xy yx với điều kiện 3( )xy yx xy yx   thì R giao hoán, ứng với n=3. Vậy trong trường hợp tổng quát thì điều đó có còn đúng hay không, trong trường hợp này thì định lý Herstein -1 giải quyết với ( , ),n x y n linh hoạt hơn ứng với giao hoán tử ,xy yx ,x y R  thỏa điều kiện ( , )( ) ( )n x yxy yx xy yx   . Định lý 2.1.6: (Herstein -1) R là vành bất kỳ sao cho với mỗi ,x y R , có số nguyên ( , ) 1n x y  để mà ( , )( ) ( )n x yxy yx xy yx   thì R là giao hoán. Chứng minh: Để chứng minh định lý ta cần chứng minh một bổ đề sau Bổ đề 2.1.7: D là vành chia thỏa điều kiện với mỗi ,a b D , có số nguyên ( , ) 1n a b  để mà ( , )( ) ( )n a bab ba ab ba   thì D là giao hoán. Chứng minh: Giả sửD không giao hoán vì vậy có ,a b D để 0c ab ba   theo giả thuyết ta có mc c , với m >1, nếu Z 0 , Z là tâm của D thì c  ( ) ( ) ( )ab ba a b b a     vì vậy theo giả thiết ta có số nguyên n> 1 nào đó để mà ( )nc c  ta dặt ( 1)( 1) 1q m n    khi đó do mc c nên 1 1mc   với 1 ( 1)( 1)q m n    suy ra 1 1qc   ta có qc c , ( c) q   c, vì vậy ( ) 0q c   do D là vành chia và 0c  nên q  , vì q  với mọi 0 , 1Z q   vì vậy Z có đặc số 0p  ta đặt P là trường nguyên tố của Z Chúng ta cần chứng minh rằng nếu D không giao hoán thì ta có thể chọn được ,a b để mà không chỉ 0c ab ba   mà thậm chí c Z vì nếu điều trên không xảy ra thì mọi giao hoán tử đều thuộc Z , hay c ab ba Z   và ( ) ( ) ( )Z a ab ab a a ab ba ac     suy ra a Z suy ra 0c  trái với giả thiết 0c  như vậy nếu D không giao hoán thì có 0c ab ba   và c Z do c là phần tử đại số trên trường nguyên tố P nên kpc c với k >0 như vậy tất cả các giả thiết của bổ đề 2.1.1 được thỏa nên có x D sao cho 1 ixcx c c   đó là ixc c x cx  đặt biệt 0d xc cx   nhưng mà 2( )dc xc cx c xc cxc    ( )i ic xc cx c d   , nhưng mà d là giao hoán tử nên ld d , với l >1 và 1 idcd c  vì thế tồn tại nhóm con nhân G hữu hạn sinh bởi ,c d suy ra G là giao hoán điều này trái với giả thiết . .c d d c . Như vậy bổ đề được chứng minh. Bây giờ ta chứng minh định lý, R là vành trong đó với mỗi x,y R , có số nguyên ( , )n x y >1 để mà ( , )( ) ( )n x yxy yx xy yx   . Nếu R là nửa nguyên thũy thì R là tích trực tiếp con các vành nguyên thũy R và mỗi R như là ảnh đồng cấu của R nên nó thừa hưởng điều kiện trên, hơn nửa các vành con của R và ảnh đồng cấu của nó cũng có các điều kiện trên, nên để chứng minh định lý ta chỉ cần chứng minh R và như vậy ta có thể xem R là vành nguyên thũy. Trường hợp R  D với D là vành chia, trong trường hợp này R là giao hoán. Trường hợp có số k >1 có kD là ảnh đồng cấu của vành con nào đó của R . Chúng ta cần chứng minh rằng điều này không thể xảy ra, vì nếu có thì kD cũng có thừa hưởng giả thiết ( , )( ) ( )n x yxy yx xy yx   thế nhưng điều này không đúng khi ta chọn các phần tử sau: 1 0 . 0 0 0 . 0 , . . . . 0 0 . 0 x         0 1 . 0 0 0 . 0 . . . . 0 0 . 0 y         khi đó 0xy yx y   mà 2 0y  . Vì thế nếu R là nửa nguyên thũy (nửa đơn) thì R là giao hoán. Bây giờ giả sửR là vành bất kỳ thỏa mãn ( , )( ) ( )n x yxy yx xy yx   , thế thì R / ( )J R là nửa nguyên thũy cũng có thỏa điều kiện trên, bởi lý luận trên R / ( )J R là giao hoán, vì vậy ,x y R  ta có ( )xy yx J R  trong trường hợp này ta có ( , )( ) ( )n x yxy yx xy yx   như phần đầu của chứng minh ở Định lý 2.1.5 ta có : 0xy yx  . Nói cách khác chúng ta đã chứng minh R là giao hoán. 2.2: Mở rộng các Định lý về giao hoán của Jacolson, Herstein Bây giờ chúng ta sẽ mở rộng các kết quả của các định lý về giao hoán ở mục 2.1 trong một hướng khác, trong đó có định lý về giao hoán của Herstein dưới đây được xét trên lớp vành không có idean nil khác không, (định lý này cũng đúng trên vành nửa nguyên tố) là sự tổng quát hóa của định lý về giao hoán của Jacobson. Sau đây là một vài định nghĩa và các tính chất bổ sung trong lý thưyết mở rộng trường. Định nghĩa 2.2.1: Cho ,K F là các trường, trong đó K là trường mở rộng đại số của trường F , phần tử a K gọi là tách được trên F , nếu có một đa thức tối tiểu của nó trên trường F không có nghiệm bội. Trong lý thuyết trường chúng ta có mệnh đề: “ Một đa thức ( )p x có nghiệm bội khi và chỉ khi ( )p x và dx xdp )( có nhân tử chung”, vì vậy một đa thức bất khả quy có nghiệm bội chỉ khi dx xdp )( = 0. Như vậy ta có: Nếu F có đặc số 0 thì ( )p x là hằng vì vậy mọi phần tử của K là tách được trên F Nếu F có đặc số 0p  , với dx xdp )( = 0 thì ( ) ( )pp x g x khi đó chúng ta tìm được số k sao cho nếu a K thì kpa là tách được trên F , tuy nhiên cũng có thể xảy ra là kpa F Định nghĩa 2.2.2: Cho K là mở rộng đại số trên trường F , :a K k  là số nguyên để mà pka tách được trên F , pka F thì nói a là không tách được hoàn toàn trên F . Một mở rộng đại số K trên F được gọi là mở rộng tách được trên F nếu mọi phần tử của nó tách được trên F Nhận xét: Người ta chứng minh được: Tập hợp các phần tử tách được trên trường F là trường con của K và tập hợp các phần tử không tách được hoàn toàn trên F là trường con của trường K . Bổ đề 2.2.3: Cho K là trường mở rộng của trường F , K F , giả sử a K có số nguyên ( ) 0n a  sao cho ( )n aa F thế thì: 1. Hoặc K là không tách được hoàn toàn trên trường F 2. Hoặc K là trường có đặc số p nguyên tố và đại số trên trường nguyên tố P của nó. Chứng minh: Nếu K là không tách được hoàn toàn trên F thì không có gì để chứng minh. Giả sử rằng K không là không tách được hoàn toàn trên F vì vậy có a K và a F là tách được trên F vì na F nên a là đại số và tách được trên F vì vậy trường ( )F a có thể nhúng được vào trong một trường mở rộng hữu hạn chuẩn tắc L của F . Do tính chuẩn tắc của L cho ta một tự đẳng cấu  của L giữ nguyên F sao cho ( )b a a  . Ta có: ( ( )) ( )n n n nb a a a    ,vì na F từ điều cho ta b a với 1,v v L  là căn bậc n của đơn vị. Tương tự vì ( 1) 1a b    và ( 1)ma F  nên tồn tại phần tử L  , sao cho 1m  với ( 1) ( 1)b a   vì vậy 1 ( 1)va a   . Khi đó ta có v  vì ngược lại ta có 1 ( 1)b a a b          trái với giả thuyết  khác 1, giải theo a chúng ta thu được (1 ) / ( )a      , vì ,  là các căn của đơn vị nên đại số trên trường nguyên tố P vì vậy a cũng đại số trên trường nguyên tố P . Để kết thúc chứng minh này chúng ta cần chỉ ra rằng P có đặc số p khác 0. Đặt oL trường mở rộng hữu hạn chuẩn tắc của P chứa a , các lý luận trên a cũng có thể áp dụng trên a i , với i là số nguyên nào đó, ( vì nếu a tách được trong K trên F thì a i cũng thế ), vậy ta có: ( ) / ( )i i ia i i v     Với ,i iv là các căn đơn vị nằm trong oL , do đó nếu P có đặc số p = 0 thì các a i là khác nhau và khi đó oL là mở rộng hữu hạn đại số trên trường hữu tỉ lại có vô hạn các căn phân biệt của đơn vị, điều này là vô lý. Vì vậy P phải có đặc số p khác 0. (chỉ có tối đa hai căn bậc n của 1 đó là 1, -1) Nếu f F thì a f cũng tách được trên F nên a f cũng đại số trên P mà a đại số trên P nên f cũng đại số trên P vì thế F đại số trên P , mặt khác K đại số trên F nên K đại số trên P . Vậy bổ đề đã được chứng minh. Định lý 2.2.4:(Noether-Jacobson) Nếu D là đại số chia không giao hoán, D đại số trên tâm Z của nó thì có phần tử trong D , không nằm trong Z sao cho tách được trên Z . Chứng minh: Nếu D có đặc số 0 thì không có gì chứng minh vì mọi phần tử của D đều tách được trên Z . Vì vậy ta có thể cho rằng D có đặc số p  0. Nếu như định lý là sai thì D không tách được hoàn toàn trên Z, do đó nếu x D thì ( )n xpx Z với ( )n x 0 nào đó, vì vậy có phần tử ,a D a Z  sao cho pa Z . Ta đặt  là ánh xạ trên D được xác định bởi x xa ax   , do D có đặc số p khác 0 nên ta có 0,p p p px xa a x do a Z     . Ta lại có a Z nên 0  vì thế nếu 0y  thì có số k >1 sao cho 0ky  nhưng 1 0ky   . Đặt 1kx y  thế thì từ k >1 ta có x w wa aw   , cũng từ 0x  nên ta có 0xa ax  , hơn nửa D là vành chia nên x au , vì x giao hoán với a nênu cũng giao hoán với a .Vì thếau wa aw  cho chúng ta: 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ,a wa aw u wu a a wu ca ac c wu          Suy ra a ac ca  hay 11c aca  theo giả thiết tồn tại số t nào đó sao cho tpc Z nên 1 1 1(1 ) 1 ( ) 1 1t t t t tp p p p pc aca aca ac a c          vì D có đặc số p khác 0, từ đó ta có 1 = 0 vô lý. Vậy định lý đã được chứng minh. Định lý 2.2.5:(định lý Herstein -2) Cho R là vành có tâm Z ,a R , giả sử tồn tại số ( )n a >0 sao cho ( )n aa Z , hơn nửa nếu R không có idean nil khác không thì R là giao hoán. Điều này tương đương với idean các giao hoán tử là nil. Chứng minh: Điều đầu tiên chúng ta chứng minh kết quả đúng cho vành chia. Nếu R là vành chia, theo giả thiết nó đại số trên Z , theo định lý trên ta có hoặc R là giao hoán hoặc R có phần tử aZ sao cho tách được trên Z . Ở điều sau này thì trường ( )Z a không là không tách được hoàn toàn trên Z và thỏa điều kiện của giả thiết của Bổ đề 2.2.3: nên ta suy ra ( )Z a và vì vậy Z là đại số trên trường nguyên tố P , như vậy x R , x đại số trên Z dẫn đến x đại số trên P . Từ điều này cho ta ( )P x là trường hữu hạn vì thế ( )n xx x , với ( )n x >1 nào đó, theo định lý Jacobson ta có R là giao hoán. Trường hợp R là vành nguyên thũy, khi đó R hoặc là vành chia D hoặc có sồ k>1 thì kD là ảnh đồng cấu của vành con của R, thế nhưng trong kD có phần tử 1 0 . 0 0 0 . 0 . . . . 0 0 . 0 a         thỏa điều kiện na a , n và a Z điều này mâu thuẩn với việc kD thỏa điều kiện của giả thiết. Vì vậy R đẳng cấu với D nói cách khác R là giao hoán. Bây giờ thay vì ta tiếp tục chứng minh cho trường hợp R là vành nửa nguyên thũy như là chúng ta từng chứng minh trong các chứng minh trên, thì ta sẽ chứng minh cho trường hợp R là vành không có idean nil khác không. Vì bởi vành nửa nguyên thũy cũng là vành nửa nguyên tố nên nó không chứa idean lũy linh, vì vậy nó không chứa idean nil khác không. Giả sửR là vành không có idean nil khác (0) và R thỏa điều kiện a R  , tồn tại số ( )n a >0 sao cho ( )n aa Z . Theo mệnh đề 1.4.5 và sự chú ý sau đó của chứng minh thì R được biểu diển thành tích trực tiếp con các vành nguyên tố R trong đó mỗi R có tính chất là có phần tử không lũy linh x R  sao cho mọi idean U khác (0), U R  thì ( )n xx U  . vì là ảnh đồng cấu của R nên R cũng có tính chất ( )n aa Z Vì thế để chứng minh định lý ta chỉ cần chứng minh cho R . Vì vậy ta có thể giả định R là vành nguyên tố thỏa điều kiện: ( )n aa Z và hơn nửa có phần tử không lũy linh b R sao cho có idean U khác không của R thì ( )m Ub U , vì ( )n bc b Z  cũng không lũy linh và các lũy thừa của nó quét hết các idean khác (0) của R , nên ta có giả định là bZ . Và vì R là vành nguyên tố nên không có phần tử nào trong Z là ước của 0 trong R . Ta đặt { ( , ) / , 0 }r z r R z Z    , trong  ta định nghĩa quan hệ như sau: 1 1 2 2( , ) ( , )r z r z nếu 1 2 2 1r z r z khi đó quan hệ này là quan hệ tương đương. Ta đặt *R là tập các lớp tương đương và ký hiệu [ , ]r z là lớp tương đương của (r, z ), chúng ta định nghĩa: 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2[ , ] [ , ] [ , ]r z r z r z r z z z   1 1 2 2 1 2 1 2[ , ].[ , ] [ . , . ]r z r z r r z z vì các phần tử của Z không phải là ước của không trong R nên các phép toán trên được định nghĩa là tốt và như vậy *R là vành, hơn nửa ánh xạ : R  *R sao cho r thành [ , ]r z z là phép nhúng, cuối cùng tâm * {[ , ] / }Z r z r Z  của *R là một trường . Nếu *[ , ]r z R thì ( ) ( ) ( ) *[ , ] [ , ]n r n r n rr z r z Z  nên *R cũng có tính chất như R , tuy nhiên *R là vành đơn, bởi vì nếu như *U  (0) là idean của *R , ta đặt U = { */ [ , ]r R r z U  , với z Z }, ngay lập tức ta kiểm tra được U là idean khác (0) của R, vì vậy ( )m Ub U , và vì ( )m Ub U (vì b không lũy linh và b Z ) chúng ta có *U chứa phần tử khác 0 của *Z , mà *Z là trường điều này dẫn đến *U chứa đơn vị hay *U = *R . Như vậy chúng ta đã khẳng định được là *R vành đơn, là vành đơn có đơn vị nên nó là vành nguyên thũy như đã chứng minh ở phần đầu, vì vậy *R là giao hoán và vì R  *R nên R cũng giao hoán. Định lý đã chứng minh. ( Chú ý trong chứng minh chúng ta nhúng R vào * *ZR R Z  , với *Z là vành các thương của Z và rất tự nhiên R cũng là vành đơn) Nhận xét: * Định lý này tổng quát hóa của định lý Jacobson, bởi vì nếu R là vành có tính chất: ( )n xx x , thì R không có phần tử lũy linh khác không nên R cũng không idean nil khác không. Ta lại có nếu e là phần lũy đẳng trong R thì x R  thì 2 2( ) ( ) 0xe exe ex exe    và như vậy cho ta ( )xe exe  ( ) 0ex exe   ex xe như vậy tất cả các phần tử lũy đẳng đều nằm trong tâm của R . Bây giờ nếu ( )n aa a thì ( ) 1n ae a  là phần tử lũy đẳng, vì vậy ( ) 1n aa Z  , mặt khác R không có phần tử lũy linh khác không nên R cũng không có idean nil khác không, nên R thỏa mãn các giả thiết. vì vậy R giao hoán. * Trong phần chứng minh trên cho ta kết quả: R là vành nửa nguyên tố có tâm Z ,a R , giả sử tồn tại số ( )n a >0 sao cho ( )n aa Z R giao hoán. Bây giờ chúng ta xét mở rộng của định lý về giao hoán theo một hướng khác nửa là xét những vành có các phần tử có dạng nx x Z  , trong trường hợp đặc biệt 0nx x  thì đây chính là điều kiện giao hoán của Jacobson . Định lý 2.2.6:(định lý Herstein -3) Cho R là vành có tâm là Z sao cho có số nguyên cố định n>1, để nx x Z  ,  x R thì R là giao hoán. Chứng minh: Để chứng minh định lý ta cần chứng minh một loạt các bổ đề sau: Bổ đề 2.2.7: Nếu R là vành nửa nguyên thũy với điều kiện ,nx x Z x R    thì R là giao hoán. .Chứng minh: Chúng ta bắt đầu cho trường hợp vành chia, giả sử ,x R x Z  , nếu  Z thì (( ) ) , ( )n nx x Z x x Z     , chúng ta có ( )n nx x Z   hay ( )n n nx x Z   , vì vậy( ) ,n x Z Z      vì x Z nên ,n Z     , vì vậy Z là trường hữu hạn, vì R đại số trên Z nên chúng ta có ( ) ,n xx x x R  ( theo chứng minh mở đầu của Đlý 2.2.5 ) điều này thỏa điều kiện định lý Jacobson, vì vậy R giao hoán. Nếu R là vành nguyên thũy không phải vành chia thì có kD là ảnh đồng cấu của vành con của R (với k >1 và D là vành chia ) vì vậy kD cũng có tính chất như bổ đề. Thế nhưng điều này không thể vì ta có phần tử: 0 1 . 0 0 0 . 0 . . . . 0 0 . 0 x Z         , mà 2 0x  , nhưng nx x x Z    , điều này mâu thuẩn. Vì vậy R là vành chia thì R là trường. Nếu R là vành nửa nguyên thũy thì R là tích trực tiếp con của các vành nguyên thũy R theo lý luận trên thì R là giao hoán, vì vậy R là giao hoán. Nhận xét R là vành thỏa điều kiện của định lý nên R /J(R) cũng thỏa điều kiện của định lý, lại có R / ( )J R là vành nửa nguyên thũy nên ta có: Hệ quả 2.2.8: Nếu R là vành có điều kiện ,nx x Z x R    thì , , ( )x y R xy yx J R    . Bổ đề 2.2.9: ( )J R  Z . Chứng minh: Như chúng ta thấy nếu ,Z x R   thì ( )n x Z   , vì vậy y R  ta có( ) ( ) ( ) ( )( ) 0n n n nxy y x yx xy yx                , nếu ( )Z J R   thì 1 ( )n J R   và vì thế 1(1 ) 0n t   suy ra 0t  (vì 1(1 )n  là khả nghịch), vì 1(1 ) ( ) 0n xy yx    nên ( ) 0,xy yx   ( )Z J R   và ,x y R  . Bây giờ nếu ( )a J R thì ( )na a Z J R   , vì thế bởi lý luận trên ta có: ( )( ) 0na a xy yx   , tuy nhiên như trước ta có 1( 1) ( ) 0na a xy yx     a ( xy yx ) = 0, tương tự như thế ta có ( xy yx ) a = 0, ( ), ,a J R x y R   . Ta đặt x = a trong các biểu thức trên ta có 2 2 , ( )a y aya ya a J R   , y R . Từ điều này ta suy 2 ( )a Z R . Nếu n là số chẵn thì na Z và vì thế từ na a Z a Z    . Mặt khác nếu n là số lẻ thì 1na  Z và từ na a Z  chúng ta có ,x R  10 ( ) ( ) ( 1)( )n n na a x x a a a xa ax       và vì 1 ( )na J R  nên xa ax = 0 suy ra a Z , vậy trong các trường hợp ta đều có a Z . Nói cách khác ( )J R  Z . Nhận xét: Trong phần chứng minh trên ta thấy ( )( ) 0J R xy yx  và bởi Bổ đề 2.2.7: ta có ( )xy yx J R  . vì thế 2( ) 0xy yx  và ( ) 0nxy yx  n>1 và từ (( ) ( ))nxy yx xy yx Z    nên ( )xy yx Z  . Hệ quả 2.2.10:  ,x y R , ( xy yx ) 2 = 0 và ( xy yx )  Z . Định nghĩa 2.2.11: Một vành được gọi là không phân tích được thành tích các vành trực tiếp con bất khả quy, nếu giao các của các idean khác không của nó là khác (0). Theo kết quả của chương 1 ta có bất kỳ vành R nào cũng phân tích thành tích trực tiếp con của các vành (bất khả quy trực tiếp con ) không phân tích được. vì vậy để chứng minh định lý ta chỉ cần chứng minh trên vành bất khả quy trực tiếp con. Ta giả định rằng R là vành bất khả quy trực tiếp con, có nx x Z  , x R  . Ta đặt (0)S  là giao của các idean khác không của R , như vậy S là tối tiểu và duy nhất, theo Bổ đề 2.2.7 thì ( )J R  (0) vì nếu không thì R là giao hoán và theo Bổ đề 2.2.9 thì ( )J R  Z như vậy ( )S J R Z  . Mặt khác ta có kết quả ( )( ) 0J R xy yx  vì vậy ( ) 0S xy yx  , nếu R không giao hoán thì 2S = (0). (do R không giao hoán nên có khác không vì nếu 2 0S  ta có 2 ( )S S J R  suy ra: 2S  ( ) 0S xy yx J R xy yx      do R không giao hoán suy ra S = (0) vô lý ) Bổ đề 2.2.12: Tồn tại số nguyên tố p sao cho ( ) 0p xy yx  , ,x y R  . Chứng minh: Vì nx x Z  và (2 ) 2nx x Z  ta được (2 2)n x Z  và (2 2)( ) 0,n xy yx   nếu R không giao hoán thì nó có những phần tử có cấp hữu hạn, vì vậy nó có những phần tử có cấp nguyên tố p nào đó. Ta đặt { / 0}pR x R px   , (0)pR  và nó idean của R nên pS R và nếu (0)qR  với q p thì qR S vì (0) p qR R S   mâu thuẫn với (0)S  . Bây giờ ta có: ( )( ) 0np p xy yx   suy ra 1( 1) ( ) 0np p xy yx    , vì 1( 1),np p  là nguyên tố cùng nhau nên ( ) 0p xy yx  , ,x y R  . Với ,x y R theo hệ quả của Bổ đề 2.2.9 ta có xy yx Z  , thế thì 2 2x y yx thì sao? Tính toán ta có: 2 2 ( ) ( ) 2 ( )x y yx x xy yx x xy yx x xy yx       và tiếp tục điều này ta có công thức sau (theo quy nạp) là: 1 ( )k k kx y yx kx xy yx   đặc biệt với k p chúng ta có: 1( ) 0p p px y yx kx xy yx    . Như vậy chúng ta đã chứng minh: Bổ đề 2.2.13: x R  , px Z . Bổ đề 2.2.14: ( )A S Z . với ( ) { / (0)}A S x R xS   . Chứng minh: Ta có ( ) { / (0)}A S x R xS   , khi đó ( )A S là idean của R và vì 2 (0)S  , S ( )A S vì vậy ( ) (0)A S  bởi (0)S  . Ta lấy phần tử ( )x A S bởi Bổ đề 2.2.13 suy ra px Z vì vậy ( )( ) 0, ,np px x yz zy y z R     , khai triển ta có: ( 1) ( ) ( )n p p px x yz zy x yz zy    .Ta đặt ( 1){ / }n pT r R x r r   và bởi ( 1)n px Z  nên T trở thành idean của R . Vì vậy nếu (0)T  thì T S (bởi S là idean tối tiểu), thế nhưng điều này là không đúng vì nếu có 0 r S  thì vì ( 1)( ), 0 .n px A S x r r   Vì thế (0).T  Nhưng ( 1) ( )n p px x yz zy  ( ) (0)px yz zy T    vì thế ta có: ( ) 0,px yz zy  ( ),x A S  , ,y z R  đặt khi x z ta có: ( ) 0px yx xy  , từ đó suy ra 1 1,p p px y x yx yx   vì px Z và tiếp tục quá trình trên ta có: p k p kx y yx  , k 0 và vì thế p kx Z  . Bây giờ từ nx x Z  và( )n n nx x Z  ta có: ( )n n nx x x x Z    suy ra 2 ( )n n nx x Z x x Z     và chúng ta cũng có thể đi đến knx x Z  ,  k >0, ta chọn k sao cho kn p theo phân tích trên vì x ( )A S , knx Z , với kn p . Vì thế từ knx Z và knx x Z x Z    (ĐPCM) Nhận xét từ bổ đề trên cho chúng ta thấy nếu ( )A S R thì R là giao hoán. Vì vậy chúng ta có thể giả định rằng ( )A S  R. Bổ đề 2.2.15: Tất cả các ước của không của R là nằm trong ( )A S . Chứng minh: Ta giả định rằng 0a  là ước của 0 trong R , ta có ax = 0, với 0x  thì ta có 0pax  . Nếu px = 0 th knx x Z  vì, kn p ta thu được x Z . Nếu 0px  nó là phần tử khác không trong Z theo bổ đề 2.2.13. Như vậy trong mọi trường hợp ta luôn có a linh hóa phần tử z trong tâm. Vì 0 z Z  , chúng ta có 0R z  , vì nếu ngược lại ta có tập hợp { / (0)}x R Rx  là idean khác không của R vì thế chứa S vì vậy dẫn đến (0)RS  suy ra ( )R A S mâu thuẫn với giả định. Vậy 0R z  , bởi vì z Z nên Rz là idean của R vì vậy chứa S , vì thế ta có (0) ,azR aRz aS   từ điều này nói lên ( )a A S . Vậy Tất cả các ước của không của R là nằm trong ( )A S . Để chứng minh Định lý 2.2.6:(định lý Herstein -3) ta cần chứng minh thêm một bổ đề nửa. Bổ đề 2.2.16 R / ( )A S là trường hữu hạn. Chứng minh: Ta cần chứng minh / ( )R A S là trường. Nếu có 0 s S  như là phần tử của Z thì chúng ta có Rs là idean của R , chúng ta thấy từ trước nếu Rs =(0) thì dẫn đến / ( )R A S điều này mâu thuẫn với giả định. Vì Rs là idean khác không chứa S và vì s S , R s S suy ra Rs S . Nếu x R , x ( )A S._.