Một vài cách tính bậc tôpô ứng dụng vào bài toán phân nhánh toàn cục của bất đẳng thức biến phân

TRAÀN THÒ THU NGUYEÄT MOÄT VAØI CAÙCH TÍNH BAÄC TOÂPOÂ VAØ ÖÙNG DUÏNG VAØO BAØI TOAÙN PHAÂN NHAÙNH TOAØN CUÏC CUÛA BAÁT ÑAÚNG THÖÙC BIEÁN PHAÂN. Chuyeân Ngaønh : Toaùn Giaûi Tích Maõ Soá : 60 46 01 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC : PGS.TS. LEÂ HOAØN HOÙA BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP.HOÀ CHÍ MINH ---------------------- Thaønh phoá Hoà Chí Minh – 2007 LÔØI CAÛM ÔN Toâi xin baøy toû loøng bieát ôn saâu saéc ñeán PGS.TS Leâ Hoaøn Hoùa, ngöôøi thaày ñaõ daïy doã, dìu daét toâi töø nhöõng naêm ñaàu ñaïi hoïc. Xin chaân thaønh caûm ôn caùc Thaày-Coâ, khoa Toaùn-Tin tröôøng Ñaïi hoïc sö phaïm TPHCM, ñaõ quan taâm vaø truyeàn ñaït nhöõng kieán thöùc neàn taûng cho toâi trong thôøi gian hoïc ñaïi hoïc vaø cao hoïc. Xin caûm ôn caùc Thaày-Coâ trong hoäi ñoàng chaám luaän vaên ñaõ cho toâi nhöõng nhaän xeùt, ñoùng goùp quyù baùu. Xin chaân thaønh caûm ôn caùc Thaày-Coâ ñaõ giaûng daïy nhöõng hoïc phaàn trong thôøi gian toâi hoïc cao hoïc, ñaõ giuùp ñôõ truyeàn ñaït nhöõng kieán thöùc boå ích cho toâi. Caûm ôn Ban giaùm hieäu tröôøng THPT Maïc Ñónh Chi TPHCM , toå Toaùn vaø caùc ñoàng nghieäp ñaõ taïo ñieàu kieän, ñoäng vieân ñeå toâi hoaøn thaønh khoùa hoïc. Caûm ôn ba meï, hai em, vaø nhöõng ngöôøi thaân, baïn beø thaân thieát ñaõ ñoäng vieân hoã trôï, giuùp ñôõ toâi. Xin caûm ôn anh Thaønh ñaõ giuùp ñôõ, ñoäng vieân toâi raát nhieàu. Xin caûm ôn baïn Tuù Anh, University of Southern California, ñaõ ñoäng vieân vaø cung caáp nhieàu taøi lieäu boå ích trong quaù trình laøm luaän vaên. MUÏC LUÏC Lôøi caûm ôn trang Lôøi môû ñaàu Chöông 1 : MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ 1.1. Giôùi thieäu veà baát ñaúng thöùc bieán phaân. 1 1.2. Caùc ñònh nghóa vaø nhaäân xeùt. 5 1.3. Ñònh lí 2. 6 Chöông 2 : BAÄC TOÂPOÂ ÔÛ BEÂN TRAÙI GIAÙ TRÒ RIEÂNG. 14 Chöông 3 :TÍNH BAÄC TOÂPOÂ TAÏI GIAÙ TRÒ RIEÂNG TREÂN KHOÂNG CON ÑOÙNG. 3.1 Baäc toâpoâ ôû beân traùi giaù trò rieâng. 24 3.2 Baäc toâpoâ ôû beân phaûi giaù trò rieâng. 29 Chöông 4 : MOÄT VÍ DUÏ AÙP DUÏNG. 37 KEÁT LUAÄN. TAØI LIEÄU THAM KHAÛO. LÔØI MÔÛ ÑAÀU Lyù thuyeát phaân nhaùnh coù nguoàn goác töø caùc baøi toaùn cô vaø lyù thuyeát phaân nhaùnh ñaõ vaø ñang ñöôïc nhieàu nhaø toaùn hoïc quan taâm vaø nghieân cöùu cho baát ñaúng thöùc bieán phaân. Caùc nghieân cöùu veà söï phaân nhaùnh cuûa baát ñaúng thöùc bieán phaân khoâng chæ ñöa ra caùc lyù thuyeát theo nhieàu phöông phaùp nghieân cöùu khaùc nhau maø caùc nhaø toaùn hoïc coøn quan taâm ñeán nhöõng öùng duïng trong cô hoïc, toaùn öùng duïng, phöông trình vi phaân, … Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi quan taâm ñeán caùch tính baäc toâpoâ cuûa baát ñaúng thöùc bieán phaân vaø aùp duïng cuûa noù trong khaûo saùt söï phaân nhaùnh toaøn cuïc baát ñaúng thöùc bieán phaân. Luaän vaên ñöôïc chia laøm 4 chöông nhö sau : Chöông 1 : Moät soá kieán thöùc chuaån bò. Chöông 2 : Chöùng minh keát quaû veà tính baäc toâpoâ ôû beân traùi giaù trò rieâng. Chöông 3 : Tính baäc toâpoâ trong caùc tröôøng hôïp maø giaù trò rieâng cuûa baøi toaùn thuaàn nhaát cuõng laø giaù trò rieâng cuûa moät phöông trình ñöôïc xaùc ñònh treân khoâng con ñoùng. Chöông 4 : Moät ví duï aùp duïng caùc keát quaû treân. 1 CHÖÔNG 1 : MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ 1.4. Giôùi thieäu veà baát ñaúng thöùc bieán phaân Cho V laø khoâng gian Banach (thöïc) phaûn xaï vôùi chuaån . vaø khoâng gian ñoái ngaãu *V vôùi tích voâ höôùng .,. . Cho A : *V V laø moät toaùn töû thoûa caùc tính chaát sau : (A1) A lieân tuïc, bò chaën , vaø A(0) = 0. (A2) A laø ñôn ñieäu nghieâm ngaët treân V ( vôùi nghóa laø toàn taïi moät haèng soá C > 0 :     2A u A v ,u v C u v    , u,v V  ). Ñaët B : *V x V  laø moät aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc maø B 0, 0  , , vaø j :  V 0,  laø moät haøm loài, nöûa lieân tuïc döôùi vôùi  j 0 0 . Ta xeùt baát ñaúng thöùc bieán phaân daïng sau :        A u B u, ,v u j v j u 0, v V u V            (1.1) Vôùi caùc giaû thieát treân ta thaáy  , 0 laø moät nghieäm taàm thöôøng cuûa (1.1), nhöng ôû ñaây chuùng ta chæ quan taâm ñeán nghieäm khoâng taàm thöôøng cuûa (1.1). Cho *f V , ta xeùt baát ñaúng thöùc bieán phaân sau :      A u f ,v u j v j u 0, v V u V           2 Chuùng ta bieát raèng, vôùi moãi *f V , thì baát ñaúng thöùc treân coù nghieäm duy nhaát fu u V  .   * A,j A, j f P P :V V P f u Pf Cho f     Töø (1.1) ta suy ra  u P B u,    Laáy :  nA , n=1,2,... laø caùc toaùn töû lieân tuïc, bò chaën, ñôn ñieäu nghieâm ngaët töø *V V vaø  nA 0 = A(0) = 0, n .  nj , n = 1, 2, … laø caùc haøm loài töø  V 0,  vaø  nj 0 = j(0) = 0, n .  *nf V , n = 1, 2, … vaø giaû söû raèng nA A , j , fn n j f   khi n  vôùi : (A3) fnf  trong *V . (A4) (a) v V  , moïi daõy  kn  , thì toàn taïi moät daõy con  knv  maø : kn v v trong V vaø    k kn nj v j v trong  0, khi k  (b) Neáu  kn  vaø knv v trong V thì :    k kn nkj v liminf j v (A5) (a) Neáu  kn  vaø knv v trong V thì :    k kn nA v A v trong *V . (b) Neáu  kn  vaø knv v , knw v trong V maø : kn v v trong V. 3  Ta coù caùc keát quaû sau : Meänh ñeà : Neáu (A3), (A4), (A5) ñöôïc thoûa thì :    n n nA , j A, jP f P f trong V . Heä quaû : AÙnh xaï P ñöôïc ñònh nghóa nhö treân laø lieân tuïc töø *V V . Ñònh lí 1 : Cho a, b  ( a < b ) , vaø u = 0 laø moät nghieäm ñôn cuûa (1.1) vôùi  = a vaø  = b maø (0, a), (0, b) khoâng laø ñieåm phaân nhaùnh cuûa (1.1) Giaû söû raèng vôùi r > 0, ta coù :          r rd I P B .,a ,B 0 ,0 d I P B .,b ,B 0 ,0         Ñaët : S =          u, : u, u 0 0 a,blaø moät nghieäm cuûa (1.1), vôùi      vaø C laø thaønh phaàn lieân thoâng cuûa S chöùa    0 a,b . thì : (i) C khoâng bò chaën trong V hoaëc (ii) C      0 a,b     Baát ñaúng thöùc bieán phaân thuaàn nhaát : Giaû söû raèng A vaø B laø haøm khaû vi ñoái vôùi u taïi u = 0 vôùi nhöõng ñieàu kieän sau : Toàn taïi * *: V V f :V V ,     maø : 4 (A6)  thoûa (A1), (A2) vaø moïi daõy  nv V ,  n   thoûa : nv v treân V. n 0  . ta coù :    n n n 1 A v v   treân *V (A7) f laø haøm lieân tuïc vaø moïi daõy  nv V , n   ,  n  thoûa : nv v treân V. n  , n 0  . ta coù :    n n n n 1 B v , f v,     treân *V  Vôùi 0  ta kí hieäu j laø haøm töø V vaøo  0, ñònh nghóa bôûi :  2 1j j v    , v V Chuùng ta giaû söû raèng toàn taïi haøm J:  V 0,  loài, nöûa lieân tuïc döôùi maø j tieán veà J ( khi 0  ) theo nghóa sau : (A8) (a) Neáu nv v trong V vaø n 0  ( n 0 , n   ) thì :    n nJ v liminf j v . (b) Vôùi moãi v V , moãi daõy  n   maø n 0  (khi n  ) thì ta coù theå choïn ñöôïc moät daõy  nv V :     n n n v v J vj v trong V       Vôùi nhöõng ñieàu kieän treân, töø (1.1) ta coù ñöôïc baát ñaúng thöùc bieán phaân thuaàn nhaát sau : 5        u f u, ,v u J v J u 0, v V u V              (1.2) Söû duïng keát quaû veà söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cuûa baát ñaúng thöùc bieán phaân, ta thaáy raèng vôùi moïi f *V thì baát ñaúng thöùc:      u f ,v u J v J u 0, v V u V             coù moät nghieäm duy nhaát  ,Jfu u P f  . Ñeå ñôn giaûn ta kí hieäu o ,JP P . Do ñoù, (1.2) laø töông ñöông vôùi :  ou P f u,    1.5. Caùc ñònh nghóa vaø nhaäân xeùt  Töø caùc tính chaát cuûa  , f vaø J, ta coù (1.2) laø thuaàn nhaát theo nghóa: neáu u laø nghieäm cuûa (1.2) thì tu cuõng laø nghieäm, vôùi moïi t 0 .   ñöôïc goïi laø giaù trò rieâng cuûa (1.2) neáu (1.2) coù moät nghieäm  u, vôùi u 0 , vaø u ñöôïc goïi laø vectô rieâng cuûa (1.2) phuï thuoäc vaøo  .  Giaù trò rieâng  ñöôïc goïi laø ñôn neáu vôùi moïi vectô rieâng u vaø v phuï thuoäc vaøo  thì ta coù : u = tv vôùi t > 0.  Neáu u laø vectô rieâng ( phuï thuoäc vaøo  ) cuûa (1.2) thì tu cuõng vaäy, vôùi moïi t > 0 .   vaø  f ., laø thuaàn nhaát baäc 1 vaø J laø thuaàn nhaát baäc 2 theo nghóa :            2 tu t u , f tu, tf u, , t 0 J tu t J u          6  Ta goïi  0, laø ñieåm phaân nhaùnh cuûa (1.1) neáu toàn taïi moät daõy   n nu , laø nghieäm cuûa (1.1) sao cho :   n n n u 0 , n u 0 , 0 n khi         Ñieàu kieän ñeå moät toaùn töû thuoäc vaøo lôùp (S) : Giaû söû V laø khoâng gian loài ñeàu ñòa phöông vaø thoûa :      A u A v , u v g u , v   , u,v V  vôùi g :      sao cho moïi daõy   n nx , y     :  n ng x , y 0 vaø nx a   , ta coù : ny a thì ta coù A thuoäc vaøo lôùp (S).  u laø ñieåm nöûa trong cuûa taäp K neáu toàn taïi taäp D truø maät trong V sao cho : w D, 0 : u w K       . Taäp goàm taát caû caùc ñieåm nöûa trong cuûa K ñöôïc kí hieäu laø IK . 1.6. Ñònh lí 2 Giaû söû (A1), (A2), (A6), (A7), (A8) ñöôïc thoûa. (I). Neáu  0, laø ñieåm phaân nhaùnh cuûa (1.1) thì  laø moät giaù trò rieâng cuûa (1.2). (II). Neáu a vaø b khoâng laø giaù trò rieâng cuûa (1.2) ( vôùi a < b) vaø :          o r o rd I P f .,a ,B 0 ,0 d I P f ., b ,B 0 ,0         (1.3) vôùi r > 0, thì : 7 (i) C khoâng bò chaën trong V hoaëc (ii)  10,  C vôùi 1 laø giaù trò rieâng cuûa (1.2),  1 a,b  ( vôùi S , C ñaõ giôùi thieäu trong ñònh lí 1) Chöùng minh Vôùi  0,1 , uV,  , ta ñònh nghóa :         1 A u 0,1 A u u 0 neáu neáu                  1 B u, 0,1 B u f u, 0 neáu neáu                    2 1 j u 0,1 j u J u 0 neáu neáu          Laáy  n laø moät daõy trong  0,1 sao cho : n  khi n  . Ta coù : n A A  vaø nj j  . ▲ Xeùt tröôøng hôïp  > 0 : Khi ñoù ta coù : n > 0 vôùi moïi n ñuû lôùn.  Neáu nv v trong V thì :        n n n n n A v A v A v A v          ( do tính lieân tuïc cuûa A ) vaø ta coù (A5)(a). 8 Ta seõ chöùng minh n A thuoäc vaøo lôùp (S) : Giaû söû n nv v, w w  trong V vaø :   n n n n A v ,v w 0limsup    Ta coù :    n n n n n n n n A v 10 limsup , v w        n n n n n n2 1 limsup A v , v w     (1.4) Maët khaùc ta laïi coù : n n n nv v, w w    trong V Do A bò chaën neân :    n n n n n n n nA v , v w sup A v v w        Vì vaäy ta coù :  n n n nA v , v w 0    Töø (1.4) cho ta :  n n n n n n0 limsup A v , v w       n n n n n n n nlimsup A v , v v A v , v w           n n n nlimsup A v , v v    Vì A thuoäc vaøo lôùp (S) neân : n nv v  hay laø nv v Suy ra n A thuoäc vaøo lôùp (S) vôùi daõy  n .  Neáu nv v thì n nv v  vaø do j laø nöûa lieân tuïc döôùi yeáu neân ta coù : 9    2 1j v j v     n n2 1 liminf j v    n nliminf j v  Vì vaäy ta coù ñöôïc (A4)(b).  Laáy v V , choïn n n v v  , ta coù : nv v vaø        n n 2 2 n j v j v lim j v lim j v         Vì vaäy ta coù ñöôïc (A4)(a). ▲ Xeùt tröôøng hôïp  = 0 : Ta coù : (A4) ñöôïc suy ra töø (A8) (A5)(b) ñöôïc suy ra töø (A6)ø Theo meänh ñeà ta thaáy raèng :     n n nA , j A , jP f P f    trong V khi n  trong  0,1 vaø nf f trong *V ▲ Ta chöùng minh : aùnh xaï    A , j, v, B v,P       (1.5) laø hoaøn toaøn lieân tuïc treân  0,1 V  . Thaät vaäy, cho n nv v, , n     thì ta coù :    n n nB v , B v,    trong *V . 10 vì : vôùi  > 0 ta suy ra ñöôc töø tính hoaøn toaøn lieân tuïc cuûa B vôùi  = 0 ta suy ra ñöôïc töø (A7). AÙp duïng meänh ñeà vôùi :    nn n nf B v , , f B v,      ta coù :    nn n n nA , j A , j B v , B v,P P          trong V  Chöùng minh (I) : Giaû söû  0, laø ñieåm phaân nhaùnh cuûa (1.1) vaø  nu ,  n thoûa : n nu 0 , u 0 , n.     n n    . vaø        n n n n nA u B u , , v u j v j u 0, v V         . Ñaët 1n n nv u u  vaø chia caû hai veá baát ñaúng thöùc treân cho 2nu ta ñöôïc :        n n n nn 2 2 n n n n n n A u B u , j v j uv u, 0 u u u u u u       (1.6) hay ta coù :         n n n nn n n n nu u u u A v B v , ,w v j w j v 0      (1.7) ( do ñònh nghóa A , B , j    ) vôùi n vw u  Vì (1.6) ñuùng vôùi moïi vV, neân (1.7) cuõng ñuùng vôùi moïi wV. 11 Ta laïi coù : (1.7) töông ñöông vôùi :   u u nn nn A , j n nu v P B v , .    (1.8) Töø tính hoaøn toaøn lieân tuïc cuûa aùnh xaï (1.5) ta coù :    ou u n on nA , j n n A , j ouP B v , P B v,         oP f v,    Theo (1.8), ta suy ra ñöôïc raèng nv v trong V, vaø  ov P f v,    Hôn nöõa ta laïi coù : v 1 ( do nv 1 , n   ) Töø ñoù suy ra  laø giaù trò rieâng cuûa (1.2). Vaäy (I) ñöôïc chöùng minh.  Chöùng minh (II) : Giaû söû laø a, b khoâng laø giaù trò rieâng cuûa (1.2), ta seõ chöùng minh raèng 0 laø moät nghieäm cuûa (1.1) vôùi  = a, b vaø vôùi r > 0 ñuû nhoû ta coù :          r o rd I P B .,a ,B 0 ,0 d I P f .,a ,B 0 ,0         (1.9) vaø          r o rd I P B .,b ,B 0 ,0 d I P f .,b ,B 0 ,0         (1.10) Ñeå chöùng minh (1.9), ta caàn chæ ra raèng toàn taïi r > 0 ñuû nhoû ñeå vôùi moïi  0,1 thì phöông trình :  A , ju P B u,a 0      (1.11) khoâng coù nghieäm taàm thöôøng trong  rB 0 . Giaû söû ñieàu naøy khoâng xaûy ra, vaø toàn taïi daõy  nu V ,    n 0,1  maø :   n n u 0 , n u 0 n      12 vaø  nn nn nA , ju P B u ,a , n       . hay ñöôïc vieát laïi döôùi daïng baát ñaúng thöùc bieán phaân sau:        n n n nn n n nA u B u ,a ,v u j v j u 0, v V           . Do ñoù ta coù :        n n n n n n n n2 2 n n n 1 1 1A u B u ,a , v u j v j u 0            v V  Ñaët nn n uv u  vaø chia baát ñaúng thöùc treân cho 2nu ta ñöôïc :    n n n n n n n n n n n n A u v B u v ,a v, v u u u            n n n n n2 2 nn n n n 1 v 1j u j u v 0 uu u            v V  Ñaët n vw u  ta coù :         n n n n n n n nn n n nu u u u A v B v ,a , w v j w j v 0        , w V  . Ñieàu naøy töông ñöông vôùi :   n nu un nn nun nA , j v P B v ,a .      (1.12) Vì ta ñaõ giaû söû nv v vaø söû duïng tính hoaøn toaøn lieân tuïc cuûa aùnh xaï (1.5), vôùi n nu 0  , ta coù : 13     n nu un n n oun nA , j P B v ,a P f v,a         trong V. Do ñoù (1.12) cho ta nv v vaø :  v f v,aoP    . Do v 1 , neân a laø giaù trò rieâng cuûa (1.2), traùi vôùi ñieàu giaû söû laø a khoâng laø giaù trò rieâng cuûa (1.2). Söï maâu thuaãn naøy chöùng minh raèng toàn taïi r > 0 maø (1.11) khoâng coù nghieäm trong    rB 0 0 . Chuùng ta coù nhaän xeùt laø     A , jI P B .,a : 0,1      laø moät hoï nhieãu hoaøn toaøn lieân tuïc cuûa aùnh xaï ñoàng nhaát treân  rB 0 . Hôn nöõa, töø chöùng minh treân ta coù :  A , ju P B u,a 0      vôùi moïi  ru B 0 , moïi  0,1 . Töø tính chaát baát bieán cuûa hoï caùc ñoàng luaân cuûa lyù thuyeát baäc Leray- Schauder ta coù :          o oo r A , j o rd I P f .,a ,B 0 ,0 d I P B .,a ,B 0 ,0             1 1A , j 1 rd I P B .,a ,B 0 ,0         rd I P B .,a ,B 0 ,0     . Vaäy (1.9) ñöôïc chöùng minh. Chöùng minh töông töï ta cuõng coù ñöôïc (1.10) Töø (1.9) vaø (1.10) ta thaáy raèng (1.3) laø heä quaû cuûa giaû thieát ôû ñònh lí 1 hay ñònh lí 2 laø heä quaû cuûa ñònh lí 1. 14 CHÖÔNG 2 BAÄC TOÂPOÂ ÔÛ BEÂN TRAÙI GIAÙ TRÒ RIEÂNG.  Giaû söû raèng  vaø  f ., laø toaùn töû tuyeán tính vaø  *f ., laø lieân hôïp cuûa  f ., . Ta coù :      *f u, g u, h u , u V,        vôùi g laø haøm thuaàn nhaát baäc 0  phuï thuoäcvaøo  . Ta xeùt phöông trình tuyeán tính sau :    u f u, , v 0, v V u V           (2.1) Vì  laø tuyeán tính cöôõng böùc neân vôùi moãi *g V thì toàn taïi duy nhaát gu u V  thoûa phöông trình :   g u g, v 0, v V u V          Xeùt aùnh xaï Q : *V V   gg Q g u thì Q ñöôïc ñònh nghóa toát, tuyeán tính, lieân tuïc. (2.1) trôû thaønh :  u Q f u, 0, u V      . Vì  I Q f .,    laø nhieãu tuyeán tính com paéc cuûa aùnh xaï ñoàng nhaát treân V neân ta tính ñöôïc baäc     Rd I Q f ., ,B 0 ,0    baèng lyù thuyeát baäc Leray-Schauder. 15 Ñònh lí 3 Giaû söû raèng o 0 laø moät giaù trò rieâng cuûa (2.1) maø :    I* * oker f . , ker J       (2.2) Giaû thieát laø moãi w trong    ooker f . , ker J     \ , toàn taïi  * * o ker Ju ker f . ,       sao cho :    * u h u , w 0   (2.3) thì toàn taïi 1 o   maø r 0  ,  1 o,   khoâng laø giaù trò rieâng cuûa (1.2) vaø (2.1) sao cho :            o r rd I P f ., , B 0 , 0 d I Q f ., , B 0 , 0 1             (2.4) Chöùng minh Tröôùc khi chöùng minh ñònh lí 3 ta coù boå ñeà sau veà tính chaát cuûa KerJ Boå ñeà 1 :    u KerJ J v u J v , v V      Thaät vaäy, vôùi 0 < t < 1 ta coù :      11J u v J t.t v 1 t 1 t u                   1 21 2tJ t v 1 t J 1 t u t.t J v 1 t 1 t J u                 11t J v 1 t J u    1t J v Ñieàu naøy ñuùng vôùi moïi  t 0,1 , neân boå ñeà ñöôïc chöùng minh. 16 Chuùng ta chöùng minh raèng toàn taïi 1 : 1 o0     vaø moïi  1 o,   khoâng laø giaù trò rieâng cuûa caû (1.2) vaø (2.1) thì hoï :            oH x,t, : x t P f x, 1 t Q f x, , x V,t 0,1               thoûa :      H x,t, 0 , x V 0 , t 0,1      \ . (2.5) Giaû söû traùi laïi laø : toàn taïi daõy  n ,  nu ,  nt sao cho : n o   , n khoâng laø giaù trò rieâng cuûa caû (1.2) vaø (2.1)  nu V 0 \ ,  nt 0,1 vaø  n n nH u ,t , 0  ( nghóa laø      n n n n n o n nu 1 t Q f u , t P f u , , n            ). (2.6) Vì Q, oP vaø  nf ., laø caùc aùnh xaï thuaàn nhaát neân ta coù theå thay theá nu baèng n n u u trong ñaúng thöùc treân vôùi giaû thieát laø nu 1 n  . Baèng caùch laáy caùc daõy con, chuùng ta cuõng coù theå giaû thieát theâm laø :  n ot t 0,1  vaø nu w trong V . (2.7) Ñaët    n n n n nw 1 t Q f ,u u     . Do ñoù ta coù :  n o n n nw P t f u ,    . Vaø do caùch ñònh nghóa cuûa oP :        n n n n n nw t f u , ,v w J v J w 0, v V         . (2.8) Vaø do caùch ñònh nghóa cuûa Q : 17   *Q g g,v 0, v V, g V        . (2.9) Töø ñoù ta coù :                  n n n n n n n n n n n n n n n n n w t f u , ,v w u 1 t Q f u , t f u , ,v w w f u , ,v w                       (2.10) Ñaët n nv t u thì töø ñaúng thöùc treân ta ñöôïc :                           n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 2 w t f u , , t u w u f u , , t 1 u Q f u , t 1 u Q f u , ,u Q f u , t 1 C u Q f u , C 0                                      , ( do tính cöôõng böùc cuûa  vôùi chuù yù laø nt 1 0  ). Baèng caùch ñaët n nv t u trong (2.6), töø (2.10) ta coù :                 n n n n n n n n n n 2 n n n n n n n 0 w t f u , , t u w J t u J w C t 1 u Q f u , J t u J w                Neáu nu KerJ thì n nt u KerJ vaø :       2 n n n n n0 C t 1 u Q f u , J w       (2.11) Vì nt 1 0  vaø J 0 neân töø baát ñaúng thöùc treân ta ñöôïc :       2 n n n n nt 1 u Q f u , J w 0       . Neáu nt 1 thì töø (2.6) cho ta :    n nn o nu P f u , , u 0     18 Töø ñoù suy ra n laø giaù trò rieâng cuûa baát ñaúng thöùc bieán phaân(1.2). Ñieàu naøy traùi vôùi ñieàu chuùng ta giaû söû cho n . Vì vaäy nt 1 vaø    n nn nu Q f u , , u 0     . Do ñoù n laø giaù trò rieâng cuûa (1.2) vaø ta laïi coù ñieàu traùi vôùi giaû thieát veà n . Töø ñoù suy ra chuùng ta khoâng theå coù (2.11) vaø vì vaäy ta coù ñöôïc : nu KerJ, n  . (2.12) Töø (2.7) vaø tính hoaøn toaøn lieân tuïc cuûa f ta coù :        n n n o o1 t Q f u , 1 t Q f w,          vaø    n o n n o o ot P f u , t P f w,        trong V. Cho n  trong (1) thì ta thaáy laø nu w trong V ( vôùi w 1 ) vaø :      o o o o ow 1 t Q f w, t P f w,           . (2.13) Töø (2.12) thì  ow KerJ . (2.14) Baây giôø ta chöùng minh laø  of .,w Ker      . Thaät vaäy, ta ñaët    I* *o ou Ker f ., KerJ       vaø ñaët D thoûa :  nD, 0: u KerJ D V         toàn taïi AÙp duïng boå ñeà 1 ta coù :    o , VJ u J       . (2.15) Töø (2.13) ta coù ñöôïc : 19                  o o o o o o o o w 1 t Q f w, ,t f w, v w 1 t Q f w, J v J w 1 t Q f w, 0, v V.                                   (2.16) Vaø töø (2.10) ta laïi coù :                   o o o o o o o o o w 1 t Q f w, t f w, ,v w 1 t Q f w, w f w, ,v w 1 t Q f w,                                    Ñaët      o o ov u w 1 t Q f w,         trong (2.16) vaø söû duïng ñaúng thöùc treân ta ñöôïc :           o o o ow f w, ,u J v J w 1 t Q f w, 0             (2.17) Söû duïng (2.15) vôùi    o ow 1 t Q f w,       , ta coù ñöôïc :    J v J 0  Thay baát ñaúng thöùc naøy vaøo (2.17) ta coù :                    o o * * o o o * * o o o 0 w f w, ,u w f u , ,w w f w, , w f w, , u Ker f .,                             vì Do ñoù :    ow f w, , 0, D      ( do tính truø maät cuûa D vaø ñieàu naøy ñuùng vôùi moïi V ). Ta thay  bôûi  ta ñöôïc :    ow f w, , 0, V     . nghóa laø    o 0w f w,    trong *V . 20 Töø (2.14) ta coù :    oow Ker f ., KerJ     \ . (2.18) Baây giôø ta giaû söû raèng    * *o ou K : Ker f ., KerJ         . Ñaët nv u w  vaø thay vaøo trong (2.8) vaø chuù yù ñeán (2.10) ta ñöôïc :        n n n nnu f u , ,u J u w J w 0       Bôûi vì u KerJ vaø töø boå ñeà 1 neân :    n nJ u w J w 0   . Do ñoù laïi töø      *f u, g u, h u , u V,       ta ñöôïc :                   n n n * * n n n * * o n n o n n n o n o 0 u f u , ,u u f u, ,u f u, f u, ,u g u, g u, ,u 1 g u, ,u                                Do n o 1  neân ñieàu ñoù cho ta :      *o n ng u, ,u u h u ,u 0     Vì n wu  neân cho ta :      * ou h u ,w 0, u K      . Nhöng ñieàu naøy laïi traùi vôùi (2.18) vaø (2.3). Ta coù (2.5) thoûa vôùi moät vaøi 1 o   , vaø vôùi tính chaát baát bieán cuûa baäc toâpoâ Leray-Schauder, cho ta : 21                     o r r r r d I P f ., , B 0 , 0 d H .,1, , B 0 , 0 d H .,0, , B 0 , 0 d I Q f ., , B 0 , 0                Vaäy ñònh lí ñaõ ñöôïc chöùng minh. Heä quaû 1 Giaû söû raèng  vaø  f ., laø töï lieân hôïp vaø h = 0. Cho o laø moät giaù trò rieâng ñôn töông öùng vôùi vectô rieâng  oou KerJ cuûa phöông trình tuyeán tính sau :    ou f u, 0    (2.19) thì ta coù :            o r rd I P f ., , B 0 , 0 d I Q f ., , B 0 , 0 1             vôùi o   , gaàn o . Chöùng minh Ta coù :    oo ou Ker f ., KerJ      vaø do    o IKerJ KerJ neân (2.2) :    I* * oker f . , ker J       ñöôïc thoûa. Vì KerJ moät noùn neân  oo , t 0tu KerJ   . Laáy      oow Ker f ., KerJ 0          . 22 Do w laø moät vectô rieâng cuûa (2.19) phuï thuoäc vaøo giaù trò rieâng ñôn o neân ta coù : ow tu vôùi t 0 . Ta laïi coù  ow KerJ cho neân t < 0, vaø suy ra ñöôïc :    * o o 0u ,w t u ,u    . Vì  * *o ou Ker f ., KerJ       neân (2.3) ñöôïc thoûa Nhö vaäy theo ñònh lyù 3 ta coù ñöôïc heä quaû 1. Heä quaû 2 Cho V laø khoâng gian Hilbert vaø  = I,  f ., laø töï lieân hôïp vaø h = 0. Giaû thieát raèng o laø moät giaù trò rieâng cuûa phöông trình :    ou f u, 0    vaø    o 1 2K er I f ., span u ,u     vôùi  o1u KerJ , 2u KerJ . Neáu 1 2u ,u 0 (2.20) thì ta coù (2.4):            o r rd I P f ., , B 0 , 0 d I Q f ., , B 0 , 0 1             vôùi o   , gaàn o . Chöùng minh Vì    o1 ou Ker I f ., KerJ      neân (2.2) :    I* * oker f . , ker J       ñöôïc thoûa. 23 Ñaët  oX Ker I f .,     . X ñaúng caáu vôùi 2 ( vôùi chuaån Euclide thoâng thöôøng). Ñaët  1 2Z u u : , 0       laø noùn loài sinh bôûi 1u vaø 2u . Do 1 2u ,u KerJ vaø KerJ laø noùn loài ñoùng neân Z KerJ . Töø ñoù suy ra  oZ Ker I f ., KerJ      . Laïi coù X laø ñaúng caáu vôùi 2 vaø töø (2.20) thì vôùi moãi w X thì toàn taïi uZ sao cho u,w 0 , vaø do ñoù (2.3) trong ñònh lí 3 ñöôïc thoûa. Theo ñònh lí 3 thì heä quaû 2 ñöôïc chöùng minh xong. 24 CHÖÔNG 3 TÍNH BAÄC TOÂPOÂ TAÏI GIAÙ TRÒ RIEÂNG TREÂN KHOÂNG CON ÑOÙNG 3.1. Baäc toâpoâ ôû beân traùi giaù trò rieâng Ñònh lí 4 Cho o laø moät giaù trò rieâng ñôn cuûa baát ñaúng thöùc bieán phaân thuaàn nhaát (1.2), vôùi vectô rieâng 1u . Giaû söû toàn taïi    ou D J KerJ   sao cho thoûa baát ñaúng thöùc bieán phaân lieân hôïp cuûa (1.2) sau :      * *o o o ou f u , , v u 0, v D J       (3.1) vaø :  o o 1g u , , u 0  (3.2) Thì luùc naøy toàn taïi 1 o   sao cho vôùi moïi  1 o,   ,  khoâng laø giaù trò rieâng cuûa (1.2) vaø :     o rd I P f ., , B 0 , 0 0     (3.3) Chöùng minh Vì V laø phaûn xaï, ta coù theå tìm moät chuaån o. treân V töông ñöông vôùi . sao cho  oV, . vaø  ** oV , . laø loài ñeàu ñòa phöông. Laáy  laø moät aùnh xaï ñoái ngaãu trong  oV, . töông öùng vôùi haøm ñoä ño  r r , r 0   . Ta coù :  laø moät haøm ñôn ñieäu nghieâm ngaët neân 25   * oo x x vaø   2ox ,x x  Ta xeùt hoï :              o o oH t,u, : u P 1 t f u, t f u, t u , t 0,1 , u V,                Ta seõ chöùng minh raèng toàn taïi oR 0 vaø 1 o   sao cho :    1 o oH t,u, 0, , , u V, u R        (3.4)      1 o 0H 0,u, 0, , , u V       \ (3.5)  oH 1,u, 0, u V    (3.6) Laáy  n n nu V, t 0,1 ,     sao cho :  n n nH t ,u , 0.  nghóa laø :        n o n n n n n o n ou P 1 t f u , t f u , t u         (3.7) Ta coù :  nu D J vaø :              n n n n n n n o n o n J v J u 0, v V u 1 t f u , t f u , t u , v u                Ñaët n ov u u  vaø thay vaøo baát ñaúng thöùc treân ta ñöôïc :              n o n n n n n n n o n o o J u u J u 0 u 1 t f u , t f u , t u , u              Vì ou KerJ  neân töø boå ñeà 1 ta coù :    o nJ u u J u 0   hay laø :    n o nJ u u J u 0   Do ñoù ta suy ra ñöôïc : 26          n n n n n n o n o o0 u 1 t f u , t f u , t u , u                    * * * * o o o n n o o o n n n o o u f u , ,u 1 t f u , f u , ,u t u , u                     * *o o o n n o o o n n 2 n o o u f u , ,u 1 t g u , g u , ,u t u                  n o * * o o o n n o o n 2 n o o 1u f u , ,u 1 t g u , ,u t u                   (3.8) Maët khaùc : J laø haøm loài, thuaàn nhaát vaø nöûa lieân tuïc döôùi yeáu D(J) laø noùn loài ñoùng. neân (3.1) töông ñöông vôùi :           * * o o o * * o o o o u f u , ,v 0, v D J u f u , ,u 0               hay :    * *o o o nu f u , ,u 0, n     Suy ra :    n o n o o n1 01 t g u , ,u             (do (3.8) ) *Baây giôø ta chöùng minh (3.4)-(3.6).  Neáu (3.6) khoâng ñuùng thì  oH 1,u, 0 vôùi u V,   Laáy nt 1 vaø nu u thì töø (3.8) ta ñöôïc : 27    * *o o o 2 o 0 u f u , ,u u      Ñieàu naøy traùi vôùi giaû thieát laø ou 0 ( suy töø (3.2) ).  Neáu (3.5) khoâng ñuùng nghóa laø toàn taïi daõy    nu V 0 \ vaø  n  sao cho n o  vaø  n nH 0,u , 0, n   Laáy nt 0 ta ñöôïc :  n o o n o 1 g u , ,u 0 , n                 vì n o 1          neân  o o ng u , ,u 0 , n   (3.9) Vôùi nt 0 thì töø (3.7) ta laïi coù :  n o n nu P f u ,    Ñaët nn n uv u  , chia hai veá treân cho nu ta ñöôïc :  n o n nv P f v ,    Ta coù theå giaû söû laø nv v trong V, do ñoù :    n n of v , f v,   vaø töø  n o n nv P f v ,    , nv v , v 1 ta suy ra :  o ov P f v,    hay v laø vectô tieâng cuûa (1.2) taïi o   . Suy ra : 1v Cu vôùi C > 0. Maët khaùc, chia hai veá cuûa (3.9) cho nu ta ñöôïc :  o o ng u , ,v 0 , n   vaø cho n  thì  o og u , ,v 0  28 Do ñoù :   1o og u , ,u 0  Ñieàu naøy traùi vôùi (3.2).  Neáu (3.4) khoâng ñuùn._.