Một số vấn đề về lý thuyết chiều

. . . . . 7 3 Vành Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 Vành phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT 14 1 Môđun Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Phân tích nguyên sơ trong môđun Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Tập các iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 Giá của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 HÀM VÀ CHUỖI HILBERT 27 1 Môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Môđun có độ dài hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Hàm Hilbert và đa thức Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 LÝ THUYẾT CHIỀU KRULL 41 1 Chiều Krull và định lý cơ bản của lý thuyết chiều . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Độ sâu của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 Vành Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4 Vành địa phương chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Ths. Lê Văn Chua i Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 Ths. Lê Văn Chua ii Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường MỘT SỐ KÍ HIỆU Kí hiệu Nghĩa của kí hiệu Trang  Kết thúc chứng minh 5√ q Căn của iđêan q 6 S−1(R) Vành các thương của vành R theo S 7 Rp Địa phương hóa của vành R theo p 8 J(R) Căn Jacobson của vành R 10 N(R) Linh căn của vành R 10 {Rn | n ∈ N} Lọc của vành 12 gr(R) Vành phân bậc liên kết 12 λa Đồng cấu nhân bởi a 16 S−1(M) Địa phương hóa của môđun M theo S 16 AssR(M) Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun M 19 z(M) Tập các ước của không trong môđun M 20 Mp Địa phương hóa của môđun M theo p 23 Supp(M) Giá của môđun M 23 V (I) Tập các iđêan nguyên tố chứa I 24 Ann(M) Cái triệt của môđun M 24 lR(M) Độ dài của R−môđun M 31 {Mn | n ∈ N} Lọc của môđun 34 gr(M) Môđun phân bậc liên kết 34 H(M,n) Hàm Hilbert của môđun M 37 F (M, t) Chuỗi Hilbert của môđun M 37 PI(M,n) Hàm Hilbert-Samuel của môđun M 38 d(M) Bậc của đa thức Hilbert-Samuel của môđun M 39 dim M Chiều Krull của môđun M 41 dim R Chiều Krull của vành R 41 ht(I) Độ cao của iđêan I 41 Coht(I) Đối độ cao của iđêan I 41 δ(M) Chiều Chevalley của môđun M 42 Ext Hàm tử Ext 48 depth(M) Độ sâu của môđun M 49 Ths. Lê Văn Chua 1 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường MỞ ĐẦU 1. Mục tiêu nghiên cứu. Đề tài nghiên cứu những đặc trưng cơ bản về chiều của vành và môđun. Từ đó đi đến việc nghiên cứu hai lớp vành quan trọng trong Đại số giao hoán hiện đại là vành Cohen-Macaulay và vành địa phương chính quy, cũng như mối quan hệ giữa chúng. 2. Nội dung nghiên cứu. Lý thuyết chiều là một trong những lý thuyết trọng tâm và cơ bản nhất của Đại số giao hoán hiện đại. Mọi bài toán khảo sát cấu trúc vành hay môđun trong Đại số giao hoán đều được bắt đầu từ việc xem xét chiều của chúng. Khái niệm chiều mà tôi đang nhắc đến có nguồn gốc từ Hình học và là dạng đại số của khái niệm chiều của một đa tạp đại số. Đề tài gồm 4 chương. Chương 1. Vành Noether và vành Artin, Chương này nghiên cứu hai lớp vành quan trọng là vành Noether và vành Artin. Chúng là nền tảng cơ bản để xây dựng cơ sở lý thuyết chiều. Nội dung chương gồm các vấn đề sau: Iđêan nguyên tố, Iđêan cực đại và iđêan nguyên sơ; Vành Noether; Vành Artin; Vành phân bậc. Chương 2. Phân tích nguyên sơ và iđêan nguyên tố liên kết, Chương này nghiên cứu lớp môđun Noether và sự phân tích nguyên sơ trong nó, bên cạnh đó còn nghiên cứu lớp các iđêan nguyên tố liên kết và giá của môđun. Nội dung chương gồm các vấn đề sau: Môđun Noether; Phân tích nguyên sơ trong môđun Noether; Tập các iđêan nguyên tố liên kết; Giá của môđun. Chương 3. Hàm và chuỗi Hilbert, Chương này nghiên cứu lớp môđun Artin, đặc biệt là mối quan hệ giữa vành Noether và vành Artin thông qua khái niệm độ dài hữu hạn của môđun. Cùng với cấu trúc môđun phân bậc, tôi tiếp tục nghiên cứu hai đối tượng quan trọng khác trong đại số giao hoán là hàm Hilbert và Đa thức Hilbert-Samuel của một môđun. Nôi dung chương gồm các vấn đề sau: Môđun Artin; Môđun có độ dài hữu hạn; Môđun phân bậc; Hàm Hilbert và đa thức Hilbert-Samuel. Chương 4. Lý thuyết chiều Krull, Đây là nội dung trọng tâm của đề tài. Với khái niệm chiều Krull của vành và môđun dẫn đến sự thống nhất ba đối tượng bất biến của một môđun. Đó là bậc đa thức Hilbert-Samuel, chiều Krull và chiều Chevalley thông qua Định lý cơ bản của lý thuyết chiều. Trong chương này còn nghiên cứu những đặc trưng khác như: Hệ tham số; Dãy chính quy; Độ sâu của môđun và đặc biệt là vành Cohen- Macaulay và vành địa phương chính quy. Nội dung chương gồm các vấn đề sau: Chiều Krull và định lý cơ bản của lý thuyết chiều; Độ sâu của môđun; Vành Cohen-Macaulay; Vành địa phương chính quy. Trong toàn bộ đề tài nghiên cứu khoa học này, các vành được nhắc đến là các vành giao hoán có đơn vị 1 khác 0. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Đề tài nghiên cứu một số đối tượng cơ bản sau: Môđun Noether, Môđun Artin, Môđun phân bậc, Độ dài hữu hạn của môđun, Hàm Hilbert và đa thức Hilbert-Samuel, Chiều Krull của vành và môđun, Độ sâu của môđun. Đặc biệt là sự nghiên cứu hai cấu trúc Ths. Lê Văn Chua 2 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường vành Cohen-Macaulay và vành địa phương chính quy, cũng như mối quan hệ giữa chúng. 4. Cơ sở lý luận và phương pháp nghiên cứu. Đề tài "Một số vấn đề về lý thuyết chiều" chủ yếu dựa trên cơ sở của lý thuyết vành và lý thuyết môđun. Đề tài sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp các nguồn tài liệu liên quan, để thu nhận những nội dung cần thiết nhằm phục vụ tốt cho việc nghiên cứu đề tài. Ths. Lê Văn Chua 3 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chương 1 VÀNH NOETHER VÀ VÀNH ARTIN 1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan nguyên sơ Định nghĩa 1.1. Một iđêan p của một vành R được gọi là nguyên tố của R nếu p khác R và với mọi a, b ∈ R sao cho ab ∈ p thì a ∈ p hoặc b ∈ p. Một iđêan m của một vành R được gọi là cực đại của R nếu m khác R và với mọi J là một iđêan tùy ý của R sao cho m ⊂ J ⊂ R thì m = J hoặc J = R. Định lý 1.2. 1. Một iđêan p của một vành R là nguyên tố khi và chỉ khi R/p là một miền nguyên. 2. Một iđêan m của một vành R là cực đại khi và chỉ khi R/m là một trường. Chứng minh. 1. Giả sử p là một iđêan nguyên tố của R. Để chứng minh R/p là một miền nguyên ta cần chứng minh R/p không có ước của không. Thật vậy, nếu (a+p)(b+p) = 0+p thì ab+p = 0+p kéo theo ab ∈ p. Do p là một iđêan nguyên tố nên a ∈ p hoặc b ∈ p hay a+ p = 0 + p hoặc b+ p = 0 + p. Vậy R/p là một miền nguyên. Đảo lại, nếu R/p là một miền nguyên thì R/p là một vành giao hoán có đơn vị 1+p 6= 0+p suy ra 1 /∈ p và do đó p 6= R. Giả sử ab ∈ p. Khi đó ab+p = 0 +p kéo theo (a+p)(b+p) = 0 +p. Do R/p là một miền nguyên nên a + p = 0 + p hoặc b + p = 0 + p hay a ∈ p hoặc b ∈ p. Vậy p là một iđêan nguyên tố của R. 2. Giả sử R/m là một trường. Khi đó ta có R/m là một vành giao hoán có đơn vị 1 + m 6= 0 + m kéo theo 1 /∈ m. Vậy m 6= R. Để chứng minh m là một iđêan cực đại, ta giả sử J là một iđêan của R sao cho m ⊂ J ⊂ R và cần phải chứng minh m = J hoặc J = R. Nếu m 6= J thì tồn tại a ∈ J −m và do đó phần tử a+ m khác không trong vành R/m. Vì R/m là một trường nên a+m khả nghịch, nghĩa là tồn tại phần tử b + m để (a + m)(b + m) = 1 + m. Điều này tương đương với ab − 1 = m ∈ m Ths. Lê Văn Chua 4 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường suy ra 1 = ab−m ∈ J . Vậy J = R và do đó m là một iđêan cực đại của R. Đảo lại, giả sử m là một iđêan cực đại của R. Khi đó ta có R/m là một vành giao hoán có đơn vị 1 + m 6= 0 + m. Để chứng minh R/m là một trường, ta phải chứng minh mọi phần tử khác không của R/m đều khả nghịch. Nếu a + m ∈ R/m khác không thì a /∈ m. Xét J = m + Ra = {m + ra | m ∈ m; r ∈ R}. Dễ dàng kiểm tra được J là một iđêan của R chứa m. Vì a = 0 + 1a ∈ J nên J là iđêan thực sự chứa m. Do m là một iđêan cực đại nên J = R. Khi đó tồn tại m ∈ m và b ∈ R sao cho 1 = m+ ab suy ra ab − 1 = −m ∈ m kéo theo (a + m)(b + m) = 1 + m. Vậy a + m khả nghịch và do đó R/m là một trường.  Hệ quả 1.3. Mọi iđêan cực đại của một vành R đều là iđêan nguyên tố. Định lý 1.4. Mỗi vành R luôn tồn tại ít nhất một iđêan cực đại. Chứng minh. Gọi < là tập tất cả các iđêan khác với R. Vì 0 ∈ < nên < khác rỗng. Bây giờ, giả sử {Ji | i ∈ I} là một họ tùy ý các iđêan của R sao cho J0 ⊂ J1 ⊂ · · · ⊂ Jn ⊂ · · · . Đặt J = ∪i∈IJi. Ta sẽ chứng minh J là một iđêan của R. Nếu a, b ∈ J thì tồn tại các chỉ số i, j ∈ I sao cho a ∈ Ji và b ∈ Jj. Ta giả sử Jj ⊂ Ji. Khi đó a, b ∈ Ji. Vì Ji là một iđêan của R nên a − b ∈ Ji và ra ∈ Ji với mọi r ∈ R, mà Ji ⊂ J nên a − b ∈ J và ra ∈ J với mọi r ∈ R. Vậy J là một iđêan của R. Hơn nữa J ∈ <. Bởi vì, nếu 1 ∈ J thì sẽ có một chỉ số i để 1 ∈ Ji kéo theo Ji = R. Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Rõ ràng J là một chặn trên của họ {Ji | i ∈ I}. Theo Bổ đề Zorn thì trong < với quan hệ bao hàm phải có phần tử cực đại m. Hiển nhiên khi đó m là một iđêan cực đại của R.  Hệ quả 1.5. Mọi iđêan thực sự của một vành R luôn nằm trong một iđêan cực đại. Chứng minh. Giả sử I là một iđêan thực sự của R. Theo Định lý 1.4 vành thương R/I có một iđêan cực đại T . Khi đó T là một iđêan có dạng m/I với m là một iđêan chứa I. Ta có (R/I)/T = (R/I)/(m/I) ∼= R/m. Do T là iđêan cực đại nên (R/I)/(m/I) là một trường. Điều này dẫn đến R/m là một trường và do đó m là một iđêan cực đại của R chứa iđêan I.  Định lý 1.6. Giả sử I1, I2, . . . , In là các iđêan của vành R và p là một iđêan nguyên tố. Khi đó 1. Nếu I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ In ⊂ p thì tồn tại một chỉ số i sao cho Ii ⊂ p. 2. Nếu I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ In = p thì tồn tại một chỉ số i sao cho Ii = p. Chứng minh. 1. Giả sử mệnh đề sai, nghĩa là Ii không chứa trong p với mọi i. Khi đó tồn tại các phần tử ai ∈ Ii − p với i = 1, 2, . . . , n. Ta có a = a1a2 · · · an ∈ I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ In ⊂ p. Do p là iđêan nguyên tố nên tồn tại một chỉ số i sao cho ai ∈ p. Điều này mâu thuẫn với cách chọn ai. Vậy Ii ⊂ p với một chỉ số i nào đó. 2. Nếu I1∩ I2∩· · ·∩ In = p thì tồn tại một chỉ số i sao cho p ⊂ Ii ⊂ p. Điều này chứng tỏ rằng p = Ii và định lý được chứng minh.  Ths. Lê Văn Chua 5 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Định lý 1.7. Giả sử p1, p2, . . . , pn là các deal nguyên tố của vành R. Khi đó nếu I là một iđêan sao cho I ⊂ ∪ni=1pi thì tồn tại chỉ số i sao cho I ⊂ pi. Chứng minh. Giả sử I không chứa pi với mọi i. Khi đó ta có thể giả sử rằng I không chứa trong p1 ∪ p2 ∪ · · · ∪ pi−1 ∪ pi+1 ∪ · · · ∪ pn. Với mọi i, ta có phần tử ai ∈ I nhưng ai /∈ p1 ∪ p2 ∪ · · · ∪ pi−1 ∪ pi+1 ∪ · · · ∪ pn. Theo giả thiết I ⊂ ∪ni=1pi nên ai ∈ pi. Nếu n = 2 thì I không chứa trong p1 và p2. Khi đó a1 ∈ p1 và a2 /∈ p1 suy ra a1 + a2 /∈ p1. Tương tự, a1 /∈ p2 và a2 ∈ p2 suy ra a1 + a2 /∈ p2. Do đó a1 + a2 /∈ I ⊂ p1 ∪ p2. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với a1, a2 ∈ I. Nếu n > 2 thì ta thấy rằng a1a2 · · · an−1 ∈ p1 ∩ · · · ∩ pn−1 và an /∈ p1 ∪ · · · ∪ pn−1. Đặt a = (a1a2 · · · an−1) + an không thuộc p1 ∪ · · · ∪ pn−1. Vì a1, a2, . . . , an−1 không thuộc pn nên a1a2 · · · an−1 /∈ pn. Do an ∈ pn nên a /∈ pn. Vậy a ∈ I và a /∈ ∪ni=1pi. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết.  Định nghĩa. Một iđêan q của vành R được gọi là iđêan nguyên sơ nếu q khác R và với mọi a, b ∈ R sao cho ab ∈ q thì a ∈ q hoặc tồn tại số nguyên dương n sao cho bn ∈ q. Nhận xét. Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan nguyên sơ. Định lý 1.8. Nếu q là một iđêan nguyên sơ của R thì căn của q, kí hiệu √ q = {a ∈ R | tồn tại số nguyên dương n sao cho an ∈ q} là iđêan nguyên tố. Chứng minh. Giả sử ab ∈ √q và a /∈ √q. Khi đó tồn tại một số nguyên dương n để anbn = (ab)n ∈ q. Vì a /∈ √q nên an /∈ q. Do q là iđêan nguyên sơ nên tồn tại số nguyên dương m sao cho bnm = (bn)m ∈ q và do đó b ∈ √q. Vậy √q là iđêan nguyên tố.  Nếu q là một iđêan nguyên sơ của R và p = √ q là iđêan nguyên tố thì ta gọi q là iđêan p−nguyên sơ. Định lý 1.9. Cho I là một iđêan của vành R. Khi đó nếu √ I = m là iđêan cực đại thì I là iđêan m−nguyên sơ. Chứng minh. Nếu ab ∈ I và a /∈ I thì m + Ra là iđêan thực sự chứa iđêan cực đại m. Vậy m + Ra = R và do đó tồn tại x ∈ m và r ∈ R sao cho x + ra = 1. Vì x ∈ m nên tồn tại số nguyên dương n sao cho xn ∈ I. Ta có b = b1 = b(x+ ra)n = b(xn + sa) = bxn + abs ∈ I ⊂ √ I = m với s ∈ R. Vậy I là iđêan m−nguyên sơ.  Ths. Lê Văn Chua 6 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường 2 Vành Noether Định nghĩa 2.1. Một vành R được gọi là Noether nếu mọi dãy tăng các iđêan của R có dạng I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ Im ⊂ · · · đều bị dừng, nghĩa là tồn tại số nguyên dương n sao cho Ik = In với mọi k ≥ n. Định lý 2.2. Một vành R là Noether nếu và chỉ nếu mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có một phần tử cực đại. Chứng minh. Giả sử < là tập khác rỗng các iđêan của R. Ta chọn I1 ∈ <. Nếu I1 không cực đại thì chọn I2 ∈ < sao cho I1 ⊂ I2. Nếu I2 không cực đại thì chọn I3 ∈ < sao cho I1 ⊂ I2 ⊂ I3. Tiếp tục quá trình này sau hữu hạn bước ta sẽ có phần tử cực đại In ∈ <. Vậy < có phần tử cực đại. Đảo lại, giả sử I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ Im ⊂ · · · là dãy tăng các iđêan của R. Theo giả thiết tập < = {Ii | i ≥ 1} có phần tử cực đại In. Với mọi k ≥ n, ta có In ⊂ Ik và In ⊂ Ik bởi tính cực đại và do đó Ik = In với mọi k ≥ n. Vậy R là vành Noether.  Định lý 2.3. Một vành R là Noether nếu và chỉ nếu mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh. Chứng minh. Giả sử I là một iđêan tùy ý của R. Gọi < là tập tất cả các iđêan hữu hạn sinh của R chứa trong I. Ta có 0 ∈ < nên tồn tại một phần tử cực đại J ∈ <. Gọi a1, a2, . . . , am là các phần tử sinh của J . Với mọi b ∈ I, ta gọi Kb là iđêan sinh bởi b, a1, a2, . . . , am. Khi đó Kb ∈ < và J ⊂ Kb. Từ tính cực đại của J , ta có J = Kb với mọi b ∈ I suy ra I ⊂ J . Do cách xây dựng tập < nên J ⊂ I. Vậy I = J = Kb là iđêan hữu hạn sinh của R. Đảo lại, giả sử I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ Im ⊂ · · · là dãy tăng các iđêan của R. Dễ dàng kiểm tra được ⋃ k≥1 Ii là một iđêan của R. Theo giả thiết, ⋃ k≥1 Ii là một iđêan hữu hạn sinh. Gọi a1, a2, . . . , am là các phần tử sinh của iđêan này. Vì ak ∈ Ij nào đó nên tồn tại số nguyên dương n sao cho ak ∈ In với mọi k và do đó ⋃ k≥1 Ik ⊂ In. Từ đó suy ra Ik = In với mọi k ≥ n. Vậy R là vành Noether.  Định lý 2.4. Ảnh đồng cấu của một vành Noether là một vành Noether. Chứng minh. Giả sử R là một vành Noether và σ : R −→ T là toàn cấu vành. Ta sẽ chứng minh T là một vành Noether. Thật vậy, giả sử J là một iđêan của T . Khi đó ta có σ−1(J) là một iđêan của R. Do R là một vành Noether nên σ−1(J) là một iđêan hữu hạn sinh. Gọi a1, a2, . . . , am là các phần tử sinh của σ −1(J). Với mọi b ∈ J đều tồn tại a ∈ R sao cho b = σ(a) kéo theo a ∈ σ−1(J). Do đó tồn tại ri ∈ R để a = ∑m i=1 riai và suy ra b = σ(a) = ∑m i=1 σ(ri)σ(ai). Vậy J là một iđêan sinh bởi các phần tử σ(a1), σ(a2), . . . , σ(am) và do đó T là một vành Noether.  Hệ quả 2.5. Vành thương của một vành Noether là một vành Noether. Chứng minh. Giả sử I là một iđêan của vành Noether R. Xét toàn cấu chính tắc pi : R −→ R/I. Theo Định lý 2.4, R/I là một vành Noether. Định lý 2.6. Giả sử R là một vành Noether và S là một tập đóng nhân của R. Khi đó vành các thương S−1R là một vành Noether. Chứng minh. Gọi J là một iđêan của S−1R. Khi đó tồn tại một iđêan I của R sao Ths. Lê Văn Chua 7 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường cho J = S−1I. Do R là một vành Noether nên I là một iđêan hữu hạn sinh. Giả sử a1, a2, . . . , am là các phần tử sinh của I. Ta sẽ chứng minh a1/1, a2/1, . . . , am/1 là các phần tử sinh của J . Thật vậy, với mọi b ∈ J đều có một phần tử a ∈ I sao cho b = a/s. Ta có a = ∑m i=1 riai với ri ∈ R và do đó b = a/s = ( m∑ i=1 riai)/s = m∑ i=1 (ri/s)(ai/1). Vậy J là một iđêan hữu hạn sinh và do đó S−1R là một vành Noether.  Hệ quả 2.7. Nếu p là một iđêan nguyên tố của vành Noether R thì vành địa phương hóa Rp là một vành Noether. Định lý 2.8. (Định lý cơ sở Hilbert) Nếu R là một vành Noether thì vành đa thức R[x] là một vành Noether. Chứng minh. Giả sử I là một iđêan khác iđêan 0 của vành R[x]. Với n ≥ 0 ta xét tập In = {a ∈ R | tồn tại f(x) = a0 + · · ·+ axn ∈ J}. Dễ dàng kiểm tra được In là một iđêan của R. Vì x(a0 + · · ·+axn) = a0x+ · · ·+axn+1 nên ta có I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ · · · , do R là một vành Noether nên tồn tại n ∈ N sao cho In = Im với mọi m ≥ n. Hơn nữa Im là một iđêan hữu hạn sinh. Gọi c(m)1 , c(m)2 , . . . , c(m)km là các phần tử sinh của iđêan Im. Giả sử f (m) j (x) = · · ·+ c(m)j xm ∈ I với 0 ≤ m ≤ n và 1 ≤ j ≤ km. Ta sẽ chứng minh I là một iđêan sinh bởi tập hữu hạn S = {f (m)j (x) | 0 ≤ m ≤ n; 1 ≤ j ≤ km}. Rõ ràng (S) ⊂ I. Giả sử f(x) = a0 + · · · + axm ∈ I là đa thức bậc m. Ta sẽ chứng minh f(x) ∈ (S) bằng phương pháp quy nạp theo m. Nếu m = 0 thì f(x) = a0 là một đa thức hằng và do đó I ⊂ (S). Giả sử (S) chứa tất cả các đa thức có bậc nhỏ hơn m của I. Nếu m ≤ n thì a ∈ Im và do đó tồn tại các aj ∈ R sao cho a = ∑ ajc (m) j . Chú ý rằng đa thức ∑ ajf (m) j (x) có hệ số cao nhất là a và bậc m, do đó đa thức f(x)− ∑ ajf (m) j (x) có bậc không vượt quá m − 1. Theo giả thiết quy nạp, ta có f(x) −∑ ajf (m)j (x) ∈ (S) kéo theo f(x) ∈ (S). Nếu m > n thì a ∈ Im = In và do đó a = ∑ ajc (n) j . Đa thức ∑ ajx m−nf (n)j (x) ∈ (S) có hệ số cao nhất là a và bậc m, do đó đa thức f(x) −∑ ajxm−nf (n)j (x) có bậc không vượt quá m − 1. Theo giả thiết quy nạp, ta có f(x) −∑ ajxm−nf (n)j (x) ∈ (S) và do đó f(x) ∈ (S). Như vậy I ⊂ (S) suy ra I = (S) là một iđêan hữu hạn sinh. Do đó vành đa thức R[x] là một vành Noether.  Hệ quả 2.9. Nếu R là một vành Noether thì vành đa thức R[x1, x2, . . . , xn] là một vành Noether. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh quy nạp theo n. Rõ ràng hệ quả đúng với n = 1 bởi Định lý cơ sở Hilbert. Giả sử hệ quả đúng với n − 1, nghĩa là ta có vành đa thức R′ = R[x1, x2, . . . , xn−1] là vành Noether. Ta có R[x1, x2, . . . , xn] = R[x1, x2, . . . , xn−1][xn] = R′[xn]. Vì R′ là một vành Noether nên R′[xn] là một vành Noether và do đó R[x1, x2, . . . , xn] là một vành Noether.  Ths. Lê Văn Chua 8 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường 3 Vành Artin Định nghĩa 3.1. Một vành R được gọi là Artin nếu mọi dãy giảm các iđêan của R có dạng I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · đều bị dừng, nghĩa là tồn tại số nguyên dương m sao cho Ik = Im với mọi k ≥ m. Định lý 3.2. Một vành R là Artin nếu và chỉ nếu mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực tiểu. Chứng minh. Giả sử < là tập khác rỗng các iđêan của R. Ta chọn I1 ∈ <. Nếu I1 không cực tiểu thì tồn tại I2 ∈ < sao cho I1 ⊃ I2. Nếu I2 không cực tiểu thì tồn tại I3 ∈ < sao cho I1 ⊃ I2 ⊃ I3. Tiếp tục quá trình này sau hữu hạn bước ta sẽ có phần tử cực tiểu Im ∈ <. Đảo lại, giả sử I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · là một dãy giảm các iđêan của R. Khi đó tập < = {Ik | k ≥ 1} có phần tử cực tiểu Im. Với mọi k ≥ m, ta có Im ⊃ Ik bởi giả thiết và Im ⊂ Ik bởi tính cực tiểu của Im. Do đó Ik = Im với mọi k ≥ m. Vậy R là vành Artin.  Định lý 3.3. Ảnh đồng cấu của một vành Artin là một vành Artin. Chứng minh. Giả sử R là một vành Artin và σ : R −→ T là một toàn cấu. Ta sẽ chứng minh T là một vành Artin. Thật vậy, giả sử J1 ⊃ J2 ⊃ · · · ⊃ Jn ⊃ · · · là một dãy giảm các iđêan của T . Khi đó ta có σ−1(J1 ⊃ σ−1(J2) ⊃ · · · ⊃ σ−1(Jn) ⊃ · · · là một dãy giảm các iđêan của R. Do R là một vành Artin nên tồn tại một số nguyên dương m sao cho σ−1(Jk) = σ−1(Jm) với mọi k ≥ m. Do σ là toàn cấu nên Jk = Jm với mọi k ≥ m. Vậy T là một vành Artin.  Hệ quả 3.4. Vành thương của một vành Artin là một vành Artin. Chứng minh. Giả sử I là một iđêan của vành Artin R. Xét toàn cấu chính tắc pi : R −→ R/I. Theo Định lý 3.3, R/I là một vành Artin.  Định lý 3.5. Mỗi iđêan nguyên tố trong một vành Artin R là iđêan cực đại. Chứng minh. Giả sử p là một iđêan nguyên tố của vành Artin R. Khi đó vành thương T = R/p là một miền nguyên Artin. Với a ∈ T và a khác 0, ta có một dãy giảm các iđêan (a) ⊃ (a2) ⊃ · · · ⊃ (an) ⊃ · · · bị dừng và do đó tồn tại m ∈ N sao cho (am) = (am+1). Điều này dẫn đến tồn tại b ∈ T để am = am+1b. Vì T là một miền nguyên và a khác 0 nên ab = 1. Điều này chứng tỏ rằng a khả nghịch. Vậy T là một trường và do đó p là một iđêan cực đại của R.  Nhận xét. Từ chứng minh của Định lý 3.5 ta thấy rằng: Mọi miền nguyên Artin đều là trường. Nhớ lại rằng, căn lũy linh là giao của tất cả các iđêan nguyên tố, còn căn Jacobson là giao của tất cả các iđêan cực đại. Do đó từ Định lý 3.5, ta nhận được hệ quả sau. Hệ quả 3.6. Trong một vành Artin thì căn lũy linh cũng là căn Jacobson. Định lý 3.7. Mỗi vành Artin chỉ có một số hữu hạn các iđêan cực đại. Ths. Lê Văn Chua 9 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chứng minh. Gọi < là tập tất cả các giao của một số hữu hạn các iđêan cực đại trong vành Artin R. Vì R là một vành giao hoán có đơn vị nên tồn tại một iđêan cực đại trong R và do đó tập < khác rỗng. Giả sử I = m1 ∩ m2 ∩ · · · ∩ mn là phần tử cực tiểu trong <. Ta sẽ chứng minh {m1,m2, . . . ,mn} chính là tập các iđêan cực đại của R. Thật vậy, nếu m là một iđêan cực đại của R thì I ⊃ m ∩ I ∈ <. Từ tính cực tiểu của I ta có I = m ∩ I hay I ⊂ m. Do đó tồn tại một i nào đó để mi ⊂ m suy ra mi = m. Vậy chỉ có một số hữu hạn các iđêan cực đại trong vành Artin R.  Định lý 3.8. Nếu R là một vành Artin thì căn lũy linh N(R) là một iđêan lũy linh, nghĩa là tồn tại một số nguyên dương k sao cho N(R)k = 0. Chứng minh. Đặt I = N(R) và ta có một dãy các iđêan I ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · , do R là một vành Artin nên tồn tại k ∈ N sao cho Ik = Ik+1 = · · · = J . Nếu J = 0 thì I là một iđêan lũy linh. Nếu J khác 0 thì ta nhận được một mâu thuẫn như sau: Gọi < là tập tất cả các iđêan K của R sao cho KJ khác 0. Vì J = J2 = JJ khác 0 nên J ∈ < và do đó < khác rỗng. Gọi K0 là phần tử cực tiểu trong <. Khi đó tồn tại một phần tử a ∈ K0 sao cho aJ khác 0 và Ra ⊂ K0 kéo theo Ra = K0. Ta có (aJ)J = aJ2 = aJ khác 0 nên aJ ∈ < và aJ ⊂ K0 suy ra aJ = K0 = Ra. Do đó tồn tại b ∈ J sao cho a = ab. Vì b ∈ J ⊂ I nên tồn tại m ∈ N sao cho bm = 0. Ta có a = ab = ab2 = ab3 = · · · = abm = a0 = 0 kéo theo K0J = aJ = 0. Điều này mâu thuẫn với việc chọn K0. Vậy J phải là iđêan 0.  Hệ quả 3.9. Căn Jacobson của một vành Artin R là một iđêan lũy linh. Định lý 3.10. (Định lý cấu trúc vành Artin) Mỗi vành Artin đẳng cấu với một tích trực tiếp hữu hạn của các vành địa phương Artin. Chứng minh. Giả sử {m1,m2, . . . ,mn} là tập tất cả các iđêan cực đại của vành Artin R. Khi đó m1,m2, . . . ,mn là đối cực đại từng đôi một và J(R) = n⋂ i=1 mi = n∏ i=1 mi. Do J(R) là iđêan lũy linh nên tồn tại số nguyên dương k sao cho J(R)k = 0. Ta có n∏ i=1 mki ⊂ ( n∏ i=1 mi) k = J(R)k = 0. Vậy ∏n i=1 m k i = 0. Vì mi là iđêan cực đại nên √ mki = mi. Do m1,m2, . . . ,mn đối cực đại từng đôi một nên mk1,m k 2, . . . ,m k n đối cực đại từng đôi một. Do đó n⋂ i=1 mki = n∏ i=1 mki = 0. Theo Định lý thặng dư Trung Hoa, ta có R ∼= ∏ni=1(R/mki ). Ta sẽ chứng minh R/mki là vành địa phương Artin với iđêan cực đại duy nhất là mi/m k i với i = 1, 2, . . . , n. Thật vậy, ta có mki ⊂ mi ⊂ R và do đó (R/mki )/(mi/m k i ) ∼= R/mi. Từ đẳng cấu này ta nhận được mi/m k i là iđêan cực đại của vành Artin R/m k i . Nếu T là một iđêan cực đại của R/mki thì tồn tại một iđêan cực đại m ⊃ mki của R sao cho T = m/mki . Vì m ⊃ mki nên m ⊃ mi và do đó m = mi. Vậy T = mi/mki là iđêan cực đại duy nhất của vành Artin R/mki . Do đó R/m k i là vành địa phương Artin.  Ths. Lê Văn Chua 10 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường 4 Vành phân bậc Định nghĩa 4.1. Một vành R được gọi là N−phân bậc hay vành phân bậc nếu tồn tại một họ các nhóm con cộng giáo hoán {Rn | n ∈ N} của R thỏa mãn các điều kiện sau: 1. R = ⊕n∈NRn. 2. RnRm ⊂ Rn+m với mọi n,m ∈ N. Cho vành phân bậc R = ⊕n∈NRn. Họ {Rn | n ∈ N} được gọi là N−phân bậc của R và Rn được gọi là thành phần phân bậc thứ n của R và kí hiệu là [R]n. Mỗi phần tử c ∈ Rn được gọi là phần tử thuần nhất bậc n và kí hiệu bậc của c là deg (c) = n. Mọi phần tử a ∈ R được viết duy nhất dưới dạng a = ∑n∈N an với an ∈ Rn và an = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn. Thành phần khác không an được gọi là thành phần thuần nhất của a. Một vành con S của vành R được gọi là vành con phân bậc hay vành con thuần nhất nếu S = ⊕n∈N(S ∩Rn). Một iđêan I của vành R được gọi là iđêan phân bậc hay iđêan thuần nhất nếu I = ⊕n∈N(I ∩Rn). Ví dụ. 1. Giả sử R là một vành. Ta đặt R0 = R và Rn = 0 với mọi n ≥ 1. Khi đó R là một vành phân bậc và gọi là vành phân bậc tầm thường. 2. Xét vành đa thức n biến R = K[x1, x2, . . . , xn] với K là trường. Gọi Rd là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc d, tính cả đa thức không. Khi đó ta có R = ⊕d∈NRd và RdRm ⊂ Rd+m với mọi d,m ∈ N. Vậy R = K[x1, x2, . . . , xn] là một vành phân bậc. Định lý 4.2. Nếu R = ⊕n∈NRn là một vành phân bậc thì R0 là một vành con chứa đơn vị 1. Chứng minh. Vì R0R0 ⊂ R0 nên R0 đóng đối với phép toán nhân và do đó R0 là một vành con của R. Ta viết 1 = ∑ n∈N an với an ∈ Rn và an = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn. Khi đó với mọi b ∈ Rd ta có b = ∑ n∈N ban. Do biểu diễn của tổng là duy nhất nên b = ba0. Điều này dẫn đến ca0 = c với mọi c ∈ R. Đặc biệt 1 = 1a0 = a0 ∈ R0.  Cho vành phân bậc R = ⊕n∈NRn. Ta đặt R+ = ⊕n>0Rn. Chú ý rằng R+ là một iđêan thuần nhất của R và R/R+ ∼= R0. Định lý 4.3. Giả sử R = ⊕n∈NRn là một vành phân bậc và a1, a2, . . . , ak ∈ R là các phần tử thuần nhất có bậc dương. Khi đó R+ = (a1, a2, . . . , ak) nếu và chỉ nếu R = R0[a1, a2, . . . , ak]. Chứng minh. Giả sử R+ = (a1, a2, . . . , ak). Ta sẽ chứng minh Rn ⊂ R0[a1, a2, . . . , ak] bằng phương pháp quy nạp theo n. Nếu n = 0 thì rõ ràng R0 ⊂ R0[a1, a2, . . . , ak]. Giả sử n > 0 và a là một phần tử tùy ý trong Rn. Vì a ∈ R+ nên có các phần tử bi ∈ R sao cho a = a1b1 + a2b2 + · · ·+ akbk. Ths. Lê Văn Chua 11 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Do a là phần tử thuần nhất nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng bi là các phần tử thuần nhất. Khi đó deg (bi) = n− deg (ai) < n với i = 1, 2, . . . , k. Theo giả thiết quy nạp, b1, b2, . . . , bk ∈ R0[a1, a2, . . . , ak] và do đó a ∈ R0[a1, a2, . . . , ak]. Vậy Rn ⊂ R0[a1, a2, . . . , ak] với mọi n ∈ N. Điều này dẫn đến R = R0[a1, a2, . . . , ak]. Đảo lại, nếu R = R0[a1, a2, . . . , ak] thì rõ ràng R+ = (a1, a2, . . . , ak).  Hệ quả 4.4. Giả sử R = ⊕n∈NRn là một vành phân bậc. Khi đó R là một vành Noether nếu và chỉ nếu R0 là Noether và R là một R0−đại số hữu hạn sinh. Chứng minh. Nếu R là vành Noether thì R+ là iđêan hữu hạn sinh và R0 ∼= R/R+. Do đó R0 là vành Noether. Gọi a1, a2, . . . , ak là các phần tử sinh của R+. Khi đó ta có R = R0[a1, a2, . . . , ak] bởi Định lý 4.3. Vậy R là một R0−đại số hữu hạn sinh. Đảo lại, nếu R0 là vành Noether và R là một R0−đại số hữu hạn sinh thì tồn tại các phần tử a1, a2, . . . , ak ∈ R sao cho R = R0[a1, a2, . . . , ak]. Dễ thấy rằng R là ảnh đồng cấu của vành đa thức k biến R0[x1, x2, . . . , xk]. Vì R0[x1, x2, . . . , xk] là một vành Noether nên R cũng là vành Noether.  Định nghĩa 4.5. Cho R là một vành. Một họ {Rn | n ∈ N} các nhóm con cộng giao hoán của R được gọi là một lọc của R nếu các điều kiện sau thỏa mãn: 1. R0 = R. 2. Rn+1 ⊂ Rn với mọi n ∈ N. 3. RnRm ⊂ Rm+n với mọi n,m ∈ N. Ví dụ. 1. Cho R là một vành. Ta đặt R0 = R và Rn = 0 với mọi n ≥ 1. Khi đó dễ dàng kiểm tra được họ {Rn | n ∈ N} là một lọc của R và gọi là lọc tầm thường. 2. Giả sử I là một iđêan của một vành R và đặt Rn = I n với n ∈ N. Khi đó họ {Rn | n ∈ N} = {In | n ∈ N} là một lọc của R và gọi là lọc I−adic. 3. Giả sử S là một vành con của một vành R và {Rn | n ∈ N} là một lọc của R. Khi đó ta có {S ∩Rn | n ∈ N} là một lọc của S. Cho {Rn | n ∈ N} là một lọc của vành R. Vành phân bậc liên kết của R được xác định bởi gr(R) = ⊕n∈Ngrn(R) trong đó grn(R) = Rn/Rn+1. Ta xác định phép toán nhân trong gr(R) như sau: Nếu a ∈ Rn, b ∈ Rm thì a+ Rn+1 ∈ Rn/Rn+1 và b+ Rm+1 ∈ Rm/Rm+1. Tích của hai phần tử này được xác định bởi (a+Rn+1)(b+Rm+1) = ab+Rn+m+1. Do đó tích của một phần tử của grn(R) và một phần tử của grm(R) là một phần tử thuộc grn+m(R). Nếu a ∈ Rn+1 và b ∈ Rm+1 thì ab ∈ Rn+m+1. Vậy phép nhân trong gr(R) được xác định tốt và do đó gr(R) là một vành phân bậc. Ths. Lê Văn Chua 12 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Cho I là một iđêan của vành R. Xét lọc I−adic của R. Khi đó ta nhận được vành phân bậc liên kết của R là gr(R) = ⊕n∈Ngrn(R) trong đó grn(R) = I n/In+1. Trong trường hợp này vành phân bậc liên kết của R được kí hiệu là grI(R). Định lý 4.6. Cho I là một iđêan của vành Noether R. Khi đó vành phân bậc liên kết grI(R) cũng là vành Noether. Chứng minh. Giả sử iđêan I sinh bởi các phần tử a1, a2, . . . , ak và gọi a¯1, a¯2, . . . , a¯k là ảnh của ai trong I/I 2. Khi đó ta có grI(R) = (R/I)[a¯1, a¯2, . . . , a¯k]. Vì R là vành Noether nên vành thương R/I cũng là vành Noether. Rõ ràng grI(R) là ảnh đồng cấu của vành Noether (R/I)[x1, x2, . . . , xk] và do đó grI(R) là vành Noether.  Ths. Lê Văn Chua 13 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chương 2 PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT 1 Môđun Noether Mệnh đề 1.1. Cho M là một R−môđun. Khi đó các điều ._.kiện sau đây là tương đương 1. Mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng, nghĩa là nếu M1 ⊂M2 ⊂M3 ⊂ · · · ⊂Mm ⊂ · · · là một dãy giảm các môđun con của M thì tồn tại một số nguyên dương n sao cho Mk = Mn với mọi k ≥ n. 2. Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có một phần tử cực đại. 3. Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh. Chứng minh. 1.⇒ 2. Giả sử mỗi dãy tăng các môđun con của M đều dừng và < là một tập khác rỗng các môđun con của M . Khi đó tồn tại một môđun con M1 ∈ <. Nếu M1 không cực đại thì tồn tại một môđun con M2 ∈ < thực sự chứa M1. Như vậy nếu trong < không có phần tử cực đại thì sẽ tồn tại một dãy tăng M1 ⊂ M2 ⊂ M3 ⊂ · · · ⊂ Mm ⊂ · · · các môđun con của M không dừng. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết. Vậy trong < có một phần tử cực đại. 2. ⇒ 3. Giả sử mỗi tập khác rỗng các môđun con của M đều có một phần tử cực đại và N là một môđun con của M . Gọi < là tập tất cả các môđun con hữu hạn sinh của N . Vì 0 ∈ < nên < khác rỗng. Theo giả thiết < có một phần tử cực đại U . Gọi x1, x2, . . . , xn là các phần tử sinh của U . Với y ∈ N và gọi Uy là môđun con của N sinh bởi y, x1, x2, . . . , xn. Rõ ràng Uy ∈ < và U ⊂ Uy. Do U là phần tử cực đại trong tập < nên U = Uy với mọi y ∈ N . Vậy y ∈ Uy = U với mọi y ∈ N và do đó N ⊂ U . Theo cách xây dựng tập < ta có U ⊂ N . Vậy N = U và do đó N là môđun hữu hạn sinh. 3.⇒ 1. Giả sử mỗi môđun con của M đều hữu hạn sinh và M1 ⊂M2 ⊂M3 ⊂ · · · ⊂Mm ⊂ · · · Ths. Lê Văn Chua 14 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường là một dãy tăng các môđun con của M . Khi đó dễ dàng kiểm tra được ∪i∈IMi là một môđun con củaM . Theo giả thiết ∪i∈IMi là môđun hữu hạn sinh. Gọi x1, x2, . . . , xm là các phần tử sinh của ∪i∈IMi. Khi đó tồn tại một số nguyên dương n sao cho x1, x2, . . . , xm ∈ Mn. Với mọi k ≥ n, ta có Mk ⊂ ∪i∈IMi ⊂ Mn ⊂ Mk và do đó Mk = Mn. Vậy mỗi dãy tăng các môđun con của M đều dừng.  Định nghĩa 1.2. Một R−môđun M được gọi là môđun Noether nếu nó thỏa mãn một trong ba điều kiện đương đương của Mệnh đề 1.1. Nhận xét. Một vành R là Noether nếu và chỉ nếu R là R−môđun Noether. Định lý 1.3. 1. Môđun con của một môđun Noether cũng là một môđun Noether. 2. Ảnh đồng cấu của một môđun Noether cũng là một môđun Noether. Chứng minh. 1. Giả sử N là một môđun con của R−môđun Noether M và U là một môđun con của N . Rõ ràng U cũng là một môđun con của M . Vì M là môđun Noether nên U hữu hạn sinh. Vậy N là môđun Noether. 2. Giả sử M là một R−môđun Noether và σ : M −→ P là một toàn cấu môđun. Ta sẽ chứng minh P là môđun Noether. Thật vậy, nếu Q là một môđun con của P thì σ−1(Q) là một môđun con của M . Do M là môđun Noether nên σ−1(Q) là môđun hữu hạn sinh. Gọi x1, x2, . . . , xm là các phần tử sinh của σ −1(Q). Khi đó ta có σ(x1), σ(x2), . . . , σ(xn) là các phần tử sinh của Q. Vậy Q là môđun hữu hạn sinh và do đó P là môđun Noether.  Định lý 1.4. Giả sử N là một môđun con của R−môđun M . Khi đó M là môđun Noether nếu và chỉ nếu N và M/N là các môđun Noether. Chứng minh. Giả sử M là môđun Noether. Xét toàn cấu chính tắc pi : M −→M/N cho bởi pi(x) = x + N . Theo Định lý 1.3, ta có N và M/N là các môđun Noether. Đảo lại, giả sử N và M/N là các môđun Noether. Nếu Q là môđun con của M thì ta có một đẳng cấu Q/(Q ∩ N) ∼= (Q + N)/N . Vì (Q + N)/N là môđun con của môđun Noether M/N nên (Q + N)/N là môđun hữu hạn sinh. Điều này dẫn đến Q/(Q ∩ N) là môđun hữu hạn sinh. Mặt khác Q∩N là môđun con của môđun Noether N nên Q∩N là môđun hữu hạn sinh. Vậy Q là môđun hữu hạn sinh và do đó M là môđun Noether.  Định lý 1.5. Giả sử 0 −→ N σ−→M τ−→ P −→ 0 là một dãy khớp ngắn các R−môđun. Khi đó M là môđun Noether nếu và chỉ nếu N và P là các môđun Noether. Chứng minh. Do 0 −→ N σ−→M τ−→ P −→ 0 là một dãy khớp nên ta có N ∼= Imσ và M/Kerτ = M/Imσ ∼= P . Khi đó N và P là các môđun Noether nếu và chỉ nếu Imσ và M/Imσ là các môđun Noether. Điều này tương đương M là môđun Noether.  Hệ quả 1.6. Nếu M1,M2, . . . ,Mn là các R−môđun Noether thì M1 ⊕M2 ⊕ · · · ⊕Mn là R−môđun Noether. Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo n. Nếu n = 2 thì ta có một dãy khớp ngắn 0 −→M1 ι1−→M1 ⊕M2 pi2−→M2 −→ 0. Ths. Lê Văn Chua 15 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Vì M1 và M2 là môđun Noether nên M1 ⊕M2 là môđun Noether bởi Định lý 1.5. Giả sử n ≥ 2 và kết quả đúng với n− 1. Xét dãy khớp ngắn 0 −→M1 ⊕M2 ⊕ · · · ⊕Mn−1 σ−→M1 ⊕M2 ⊕ · · · ⊕Mn τ−→Mn −→ 0 trong đó σ(x1, x2, . . . , xn−1) = (x1, x2, . . . , xn−1, 0) và τ(x1, x2, . . . , xn) = xn. Theo giả thiết quy nạp, M1 ⊕M2 ⊕ · · · ⊕Mn−1 là môđun Noether. Lại theo Định lý 1.5, ta có M1 ⊕M2 ⊕ · · · ⊕Mn là môđun Noether. Phép chứng minh quy nạp được hoàn thành và do đó định lý được chứng minh.  Hệ quả 1.7. Nếu M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R thì M là môđun Noether. Chứng minh. Gọi x1, x2, · · · , xn là các phần tử sinh của môđun M . Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ σ : Rn −→M cho bởi σ(r1, r2, . . . , rn) = r1x1 + r2x2 + · · ·+ rnxn là một toàn cấu môđun và do đó Rn/Kerσ ∼= M . Theo Hệ quả 1.6, ta có Rn là một R−môđun Noether và kéo theo môđun thương Rn/Kerσ là R−môđun Noether. Vậy M là môđun Noether bởi Định lý 1.3.  Định lý 1.8. Giả sử M là một R−môđun Noether và S là một tập đóng nhân của vành R. Khi đó S−1M là S−1R−môđun Noether. Chứng minh. Giả sử N ′ là một môđun con của S−1M . Khi đó tồn tại một môđun con N của M sao cho N ′ = S−1N . Do M là môđun Noether nên N là môđun hữu hạn sinh. Gọi x1, x2, . . . , xn là các phần tử sinh của N . Khi đó ta dễ dàng kiểm tra được x1/1, x2/1, . . . , xn/1 là các phần tử sinh của N ′. Vậy N ′ là môđun hữu hạn sinh và do đó S−1M là S−1R−môđun Noether.  2 Phân tích nguyên sơ trong môđun Noether Cho R−môđun M và a ∈ R. Khi đó ánh xạ λa : M −→ M cho bởi λa(x) = ax với mọi x ∈M , là một tự đồng cấu của M . Đồng cấu này được gọi là đồng cấu nhân bởi phần tử a cho M . Định nghĩa 2.1. Cho N là một môđun con của R−môđun M . Ta nói rằng N là một môđun con nguyên sơ của M nếu N khác M và với mọi a ∈ R, đồng cấu nhân bởi a cho môđun thương M/N λa : M/N −→M/N hoặc là đơn cấu hoặc là lũy linh. Mệnh đề 2.2. N là một môđun con nguyên sơ của R−môđun M khi và chỉ khi với mỗi a ∈ R, x ∈ M sao cho ax ∈ N thì x ∈ N hoặc tồn tại một số nguyên dương n để anM ⊂ N . Chứng minh. N là một môđun con nguyên sơ của R−môđun M khi và chỉ khi đồng cấu nhân λa : M/N −→ M/N với mọi a ∈ R hoặc đơn cấu hoặc lũy linh. Với mỗi a ∈ R, x ∈ N sao cho ax ∈ N , ta dễ dàng chứng minh được hai mệnh đề tương đương sau: λa là đơn cấu nếu và chỉ nếu x ∈ N và λa là lũy linh nếu và chỉ nếu tồn tại một số nguyên dương n để anM ⊂ N . Do đó mệnh đề được chứng minh.  Cho N là một môđun con của R−môđun M . Khi đó tập tất cả các phần tử a ∈ R sao cho tồn tại một số nguyên dương n để anM ⊂ N là một iđêan của vành R và kí hiệu là rM(N). Từ Mệnh đề 2.2 ta suy ra rằng: Nếu N là một môđun con nguyên sơ Ths. Lê Văn Chua 16 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường của M thì rM(N) cũng chính là tập tất cả các phần tử a ∈ R sao cho đồng cấu nhân λa : M/N −→M/N không là đơn cấu. Định lý 2.3. Nếu N là một môđun con nguyên sơ của R−môđun M thì rM(N) là một iđêan nguyên tố. Chứng minh. Nếu ab ∈ rM(N) thì λab = λaλb không là đơn cấu. Điều này dẫn đến λa hoặc λb không là đơn cấu và do đó a ∈ rM(N) hoặc b ∈ rM(N). Chú ý rằng rM(N) là một iđêan thực sự của R vì λ1 là đơn cấu. Vậy rM(N) là một iđêan nguyên tố của R.  Nếu N là một môđun con nguyên sơ của M và p = rM(N) thì ta nói rằng N là một môđun con p−nguyên sơ của M . Mệnh đề 2.4. Nếu N1, N2, . . . , Nk là các môđun con p−nguyên sơ của M thì N1 ∩N2 ∩ · · · ∩Nk cũng là môđun con p−nguyên sơ của M . Chứng minh. Giả sử N = N1 ∩ N2 và rM(N1) = rM(N2) = p. Trước hết ta chứng minh N là một môđun con nguyên sơ của M . Với a ∈ R, x ∈ N sao cho ax ∈ N thì ax ∈ N1 và ax ∈ N2. Vì N1 và N2 là môđun con nguyên sơ của M nên x ∈ N1 và x ∈ N2 hoặc r ∈ p. Do đó x ∈ N1 ∩ N2 = N hoặc r ∈ p. Vậy N là một môđun con nguyên sơ của M . Tiếp theo ta sẽ chứng minh rM(N) = p. Nếu a ∈ rM(N) thì tồn tại một số nguyên dương n sao cho anM ⊂ N suy ra anM ⊂ N1 và anM ⊂ N2. Vậy a ∈ rM(N1) và a ∈ rM(N2) và do đó a ∈ p. Bây giờ, nếu a ∈ p thì tồn tại các số nguyên dương n và m sao cho anM ⊂ N1 và amM ⊂ N2 suy ra an+mM ⊂ N . Vậy a ∈ rM(N) và do đó rM(N) = p. Sử dụng phép chứng minh quy nạp theo n một cách hình thức, ta nhận được điều phải chứng minh.  Định nghĩa 2.5. Một môđun con thực sự N của R−môđun M được gọi là bất khả quy nếu N không thể biểu diễn dưới dạng N1 ∩ N2 với N1 và N2 là các môđun con của M thực sự chứa N . Định lý 2.6. Nếu N là một môđun con bất khả quy của R−môđun Noether M thì N là một môđun con nguyên sơ. Chứng minh. Giả sử N không là môđun con nguyên sơ của M . Khi đó tồn tại một phần tử a ∈ R sao cho đồng cấu nhân λa : M/N −→ M/N không là đơn cấu và cũng không là lũy linh. Xét dãy tăng các môđun con của M/N Kerλa ⊂ Kerλ2a ⊂ · · · ⊂ Kerλma ⊂ · · · Do M/N là môđun Noether nên tồn tại một số dương n sao cho Kerλka = Kerλ n a với mọi k ≥ n. Đặt ϕ = λna . Khi đó ta có Kerϕ = Kerϕ2. Ta sẽ chứng minh Kerϕ∩ Imϕ = 0. Nếu x ∈ Kerϕ ∩ Imϕ thì tồn tại y để x = ϕ(y). Khi đó 0 = ϕ(x) = ϕ2(y) kéo theo y ∈ Kerϕ2 = Kerϕ. Vậy x = ϕ(y) = 0 và do đó Kerϕ ∩ Imϕ = 0. Vì λa không là đơn cấu và cũng không là lũy linh nên Kerϕ và Imϕ khác môđun không. Xét toàn cấu chính tắc pi : M −→ M/N và đặt N1 = pi−1(Kerϕ), N2 = pi−1(Imϕ). Trước hết ta sẽ chứng minh N = N1 ∩N2. Nếu x ∈ N1 ∩N2 thì pi(x) ∈ Kerϕ ∩ Imϕ = 0 và do đó pi(x) = 0 hay x ∈ N . Bây giờ, nếu x ∈ N thì pi(x) = 0 ∈ Kerϕ ∩ Imϕ kéo theo x ∈ N1 ∩ N2. Tiếp theo ta sẽ chứng minh N thực sự chứa trong N1 và N2. Chọn một Ths. Lê Văn Chua 17 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường phần tử khác không y ∈ Kerϕ. Vì pi là toàn cấu nên tồn tại x ∈ M sao cho y = pi(x) và do đó x ∈ pi−1(Kerϕ) = N1. Tuy nhiên x không thuộc N vì p(x) = y khác không. Vậy N thực sự chứa trong N1. Chứng minh tương tự ta cũng có N thực sự chứa trong N2. Như vậy, ta đã chứng minh được tồn tại hai môđun con N1 và N2 thực sự chứa N = N1 ∩N2. Điều này có nghĩa là môđun con N không bất khả quy và dẫn đến mâu thuẫn. Vậy N là một môđun con nguyên sơ của M .  Định nghĩa 2.7. Cho N là một môđun con của R−môđunM . Ta nói rằng N có một phân tích nguyên sơ nếu N = N1∩N2∩· · ·∩Nr, trong đó Ni là các môđun con pi−nguyên sơ của M . Nếu các pi từng đôi một phân biệt và Ni không chứa N1∩N2∩· · ·∩Ni−1∩Ni+1∩· · ·∩Nr với mọi i thì phân tích nguyên sơ của N được gọi là phân tích nguyên sơ thu gọn. Định lý 2.8. Cho N là một môđun con của R−mudule M . Khi đó nếu N có một phân tích nguyên sơ thì N có một phân tích nguyên sơ thu gọn. Chứng minh. Giả sử N có phân tích nguyên sơ N = N1∩N2∩· · ·∩Nr, trong đó Ni là các môđun con pi−nguyên sơ củaM . Nếu tồn tại Ni ⊃ N1∩N2∩· · ·∩Ni−1∩Ni+1∩· · ·∩Nr thì N = N1 ∩ N2 ∩ · · · ∩ Ni−1 ∩ Ni+1 ∩ · · · ∩ Nr cũng là một phân tích nguyên sơ của N . Bằng lập luận này, ta loại bỏ các thành phần Ni không ảnh hưởng đến giao của các Nj. Sau khi đánh lại chỉ số ta có N = N1 ∩ N2 ∩ · · · ∩ Nk, trong đó Ni không chứa N1 ∩ N2 ∩ · · · ∩ Ni−1 ∩ Ni+1 ∩ · · · ∩ Nk với 1 ≤ i ≤ k. Giả sử p1, p2, . . . , pk là các iđêan nguyên tố đôi một khác nhau trong tập {rM(N1), rM(N2), . . . , rM(Nr)}. Gọi Mi là giao của tất các các môđun con pi−nguyên sơ Ni. Theo Mệnh đề 2.4, Mi cũng là môđun con pi−nguyên sơ của M . Rõ ràng Mi không chứa M1 ∩M2 ∩ · · · ∩Mi−1 ∩Mi+1 ∩ · · · ∩Mk và N = N1 ∩N2 ∩ · · · ∩Nk = M1 ∩M2 ∩ · · · ∩Mk. Vậy N có một phân tích nguyên sơ thu gọn.  Định lý 2.9. Nếu N là một môđun con thực sự của R−môđun Noether M thì N có một phân tích nguyên sơ. Chứng minh. Trước hết ta chứng minh N luôn được biểu diễn dưới dạng một giao hữu hạn của các môđun con bất khả quy của M . Bằng phản chứng, ta giả sử trái lại N không phân tích được dưới dạng một giao hữu hạn của các môđun con bất khả quy của M . Gọi < là tập tất cả các môđun con của M không phân tích được dưới dạng một giao hữu hạn của các môđun con bất khả quy của M . Do N ∈ < nên < khác rỗng. Vì M là môđun Noether nên trong < có một phần tử cực đại U . Theo định nghĩa của tập < ta có U là khả quy, nghĩa là U = U1 ∩ U2 với U1 và U2 là các môđun con của M thực sự chứa U . Vì U ∈ < là phần tử cực đại nên U1 và U2 không thuộc <. Vậy U1 và U2 phân tích được dưới dạng một giao hữu hạn các môđun con bất khả quy của M và do đó U phân tích được dưới dạng một giao hữu hạn của các môđun con bất khả quy của M . Điều này dẫn đến mâu thuẫn với U ∈ <. Vậy N luôn được biểu diễn dưới dạng một giao hữu hạn của các môđun con bất khả quy của M . Theo Định lý 2.6, ta nhận được chứng minh.  Hệ quả 2.10. Mọi môđun con thực sự của một môđun Noether đều có phân tích nguyên sơ thu gọn. Chứng minh. Đây là hệ quả trực tiếp của Định lý 2.8 và Định lý 2.9. Ths. Lê Văn Chua 18 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường 3 Tập các iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 3.1. Cho M là một R−môđun và p là một iđêan nguyên tố của R. Ta nói rằng p là một iđêan nguyên tố liên kết của M hoặc p liên kết với M nếu tồn tại một phần tử khác không x ∈M sao cho p = Ann(x) = {a ∈ R | ax = 0}. Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với M được kí hiệu là AssR(M). Mệnh đề 3.2. Cho M là một R−môđun và p là một iđêan nguyên tố của R. Khi đó p là một iđêan nguyên tố liên kết của M khi và chỉ khi tồn tại một đơn cấu R−môđun từ R/p vào M . Chứng minh. Giả sử p là một iđêan nguyên tố liên kết của M . Khi đó tồn tại một phần tử khác không x ∈M sao cho p = Ann(x). Rõ ràng ánh xạ σ : R/p −→M cho bởi σ(a+p) = ax là một đơn cấu R−môđun. Đảo lại, nếu tồn tại một đơn cấu τ : R/p −→M thì x = τ(1+p) là một phần tử khác không trongM . Ta sẽ chứng minh p = Ann(x). Thật vậy, nếu a ∈ p thì a+ p = 0 và ax = aτ(1 + p) = τ(a+ p) = τ(0) = 0. Vậy a ∈ Ann(x) và do đó p ⊂ Ann(x). Nếu a ∈ Ann(x) thì ax = 0 hay τ(a+ p) = 0 = τ(0). Vì τ là đơn cấu nên a + p = 0 suy ra a ∈ p. Vậy Ann(x) ⊂ p. Do đó p = Ann(x) là một iđêan nguyên tố liên kết của môđun M .  Hệ quả 3.3. Nếu N là một môđun con của R−môđun M thì AssR(N) ⊂ AssR(M). Mệnh đề 3.4. Cho M là một R−môđun. Khi đó 1. Nếu M = 0 thì AssR(M) = ∅. 2. Nếu M khác rỗng và R là vành Noether thì AssR(M) khác rỗng. Chứng minh. 1. Nếu AssR(M) khác rỗng thì tồn tại một iđêan nguyên tố liên kết p của M . Khi đó tồn tại một phần tử khác không x ∈M sao cho p = Ann(x). Do đó M khác môđun không. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiếtM = 0. Vậy AssR(M) là tập rỗng. 2. Gọi < là tập tất cả các iđêan Ann(x) với x khác không trong M . Vì M khác môđun không nên < khác rỗng. Mặt khác, do R là một vành Noether nên trong tập < có một phần tử cực đại I = Ann(y). Ta sẽ chứng minh I là một iđêan nguyên tố. Rõ ràng I là một iđêan thực sự của R vì phần tử đơn vị 1 không thuộc I. Giả sử ab ∈ I nhưng a /∈ I thì aby = 0 nhưng ay khác không. Do đó b ∈ Ann(ay). Dễ dàng nhận thấy I = Ann(y) ⊂ Ann(ay). Do I là phần tử cực đại trong < nên I = Ann(ay). Vậy b ∈ I và do đó I là một iđêan nguyên tố của R. Như vậy ta đã chứng minh tồn tại một iđêan nguyên tố liên kết I của M . Điều này chứng tỏ rằng AssR(M) khác rỗng.  Mệnh đề 3.5. Nếu p là một iđêan nguyên tố của vành R thì AssR(R/p) = {p}. Chứng minh. Ta có p là một iđêan nguyên tố liên kết của R/p bởi vì bao giờ cũng có một đơn cấu R−môđun từ R/p vào R/p. Nếu Q ∈ AssR(R/p) thì tồn tại một phần tử Ths. Lê Văn Chua 19 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường khác không a+ p trong R/p sao cho Q = Ann(a+ p). Khi đó ta có b ∈ Q nếu và chỉ nếu ba ∈ p. Điều này tương đương với b ∈ p vì p là iđêan nguyên tố và a /∈ p. Vậy Q = p và do đó AssR(R/p) = {p}.  Định nghĩa 3.6. Cho M là một R−môđun. Một phần tử a ∈ R được gọi là ước của không trong M nếu tồn tại một phần tử khác không x ∈ M sao cho ax = 0. Tập tất cả các phần tử ước của không trong M được kí hiệu là z(M). Định lý 3.7. Cho M là một R−môđun. Khi đó 1. ∪{p | p ∈ AssR(M)} ⊂ z(M). 2. Nếu R là một vành Noether thì ∪{p | p ∈ AssR(M)} = z(M). Chứng minh. 1. Nếu a ∈ ∪{p | p ∈ AssR(M)} thì a ∈ p với p là một iđêan nguyên tố liên kết nào đó của M . Khi đó tồn tại một phần tử khác không x ∈ M sao cho p = Ann(x). Vì a ∈ p = Ann(x) nên ax = 0. Vậy a ∈ z(M) và do đó ∪{p | p ∈ AssR(M)} ⊂ z(M). 2. Nếu a ∈ z(M) thì tồn tại một phần tử khác không x ∈M sao cho ax = 0. Ta có Rx là một môđun con khác không của M . Vì R là vành Noether nên tồn tại một iđêan nguyên tố liên kết p = Ann(bx) của Rx bởi Mệnh đề 3.4. Do ax = 0 nên a(bx) = 0 suy ra a ∈ Ann(bx) = p ∈ AssR(Rx) ⊂ AssR(M). Vậy a ∈ ∪{p | p ∈ AssR(M)} và do đó ∪{p | p ∈ AssR(M)} = z(M).  Định lý 3.8. Giả sử N là một môđun con của R−môđun M . Khi đó AssR(M) ⊂ AssR(N) ∪ AssR(M/N). Chứng minh. Nếu p ∈ AssR(M) thì có một đơn cấu R−môđun σ : R/p −→M . Đặt H = Imσ và L = H ∩N . Nếu L = 0 thì ánh xạ τ : H −→M/N cho bởi σ(a+ p) 7−→ σ(a+ p) +N là đơn cấu. Do đó H đẳng cấu với một môđun con củaM/N . Từ đó ta nhận được một đơn cấu từ R/p vào M/N . Vậy p ∈ AssR(M/N). Nếu L khác môđun không thì tồn tại một phần tử khác không x ∈ H và x ∈ N . VìH ∼= R/p và x ∈ N nên Ann(x) = Ann(a+p) = p. Vậy p ∈ AssR(N) và do đó định lý được chứng minh.  Hệ quả 3.9. Nếu M = Mn ⊃Mn−1 ⊃ · · · ⊃M0 = 0 là một dãy giảm các môđun con của R−môđun M thì AssR(M) ⊂ ∪ni=1AssR(Mi/Mi−1). Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo n. Nếu n = 1 thì M = M1 ⊃M0 = 0 và do đó AssR(M) ⊂ AssR(M0) ∪ AssR(M1/M0) = ∅ ∪ AssR(M) = AssR(M). Vậy hệ quả đúng với n = 1. Giả sử n > 1 và hệ quả đúng với n−1. Ta cóMn−1 ⊃ · · · ⊃M0 = 0 và theo giả thiết quy nạp AssR(Mn−1) ⊂ ∪n−1i=1 AssR(Mi/Mi−1). Bây giờ ta xét M = Mn ⊃ Mn−1. Theo Định lý 3.8, ta có AssR(M) ⊂ AssR(Mn−1) ∪ AssR(Mn/Mn−1) ⊂ ∪n−1i=1 AssR(Mi/Mi−1) ∪ AssR(Mn/Mn−1). Ths. Lê Văn Chua 20 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Vậy AssR(M) ⊂ ∪ni=1AssR(Mi/Mi−1). Phép chứng minh quy nạp được hoàn thành và do đó hệ quả được chứng minh.  Định lý 3.10. Giả sử M là một môđun khác không, hữu hạn sinh trên vành Noether R. Khi đó tồn tại một dãy giảm các môđun con M = Mn ⊃ Mn−1 ⊃ · · · ⊃ M0 = 0 sao cho Mi/Mi−1 ∼= R/pi, trong đó pi là các iđêan nguyên tố của R và đồng thời AssR(M) ⊂ {p1, p2, . . . , pn}. Chứng minh. Vì M khác môđun không và R là một vành Noether nên tồn tại một iđêan nguyên tố liên kết p1 = Ann(x1) với x1 là một phần tử khác không trong M bởi Mệnh đề 3.4. Lấy M1 = Rx1 là một môđun con của M và M1 ∼= R/p1. Nếu M1 khác M thì môđun thương M/M1 khác môđun không. Lại theo Mệnh đề 3.4, M/M1 có một iđêan nguyên tố liên kết p2 = Ann(x2 +M1) với x2 không thuộc M1. Đặt M2 = M1 +Rx2. Khi đó ánh xạ σ : R −→ M2/M1 cho bởi σ(a) = ax2 + M1 là một toàn cấu với Kerσ = p2 và do đóM2/M1 ∼= R/p2. Quá trình trên sẽ dừng sau hữu hạn bước vìM là môđun Noether. Như vậy, ta tìm được hữu hạn các môđun con M1,M2, . . . ,Mn = M của M sao cho M = Mn ⊃Mn−1 ⊃ · · · ⊃M0 = 0 trong đó Mi/Mi−1 ∼= R/pi với pi là các iđêan nguyên tố của R. Chú ý rằng AssR(Mi/Mi−1) = AssR(R/pi) = {pi}. Theo Định lý 3.8, ta có AssR(Mi) ⊂ AssR(Mi−1) ∪ AssR(Mi/Mi−1) = AssR(Mi−1) ∪ {pi}. Bằng phép chứng minh quy nạp theo n, ta có AssR(M) ⊂ {p1, p2, . . . , pn}.  Định lý 3.11. Giả sử M là môđun khác không, hữu hạn sinh trên vành Noether R. Khi đó nếu 0 = ∩ri=1Ni là một phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun không, trong đó Ni là các môđun con pi− nguyên sơ thì AssR(M) = {p1, p2, . . . , pr}. Chứng minh. Giả sử p ∈ AssR(M). Khi đó tồn tại phần tử khác không x ∈ M sao cho p = Ann(x). Vì x khác không nên ta tìm được một chỉ số j để x /∈ Ni với 1 ≤ i ≤ j và x ∈ Ni với j + 1 ≤ i ≤ n. Do Ni là các môđun con pi−nguyên sơ nên pi = rM(Ni). Vì pi là các iđêan nguyên tố hữu hạn sinh nên tồn tại các số nguyên dương ni sao cho pnii M ⊂ N . Do đó (∩ji=1pnii )x ⊂ ∩ri=1Ni = 0. Vậy ∩ji=1pnii ⊂ Ann(x) = p. Khi đó tồn tại một chỉ số i ≤ j sao cho pi ⊂ p. Ta sẽ chứng minh pi = p. Nếu a ∈ p thì ax = 0 và x /∈ Ni. Do đó đồng cấu nhân λa : M/Ni −→ M/Ni là lũy linh. Vậy a ∈ rM(Ni) = pi và do đó AssR(M) ⊂ {p1, p2, . . . , pr}. Ta sẽ chứng minh {p1, p2, . . . , pr} ⊂ AssR(M). Muốn vậy ta chỉ cần chứng minh pi là các iđêan nguyên tố liên kết của M . Không mất tính tổng quát ta chỉ chứng minh p1 là iđêan nguyên tố liên kết của M . Do sự phân tích của môđun 0 là thu gọn nên N1 không thể chứa giao của các Ni với i > 1. Do đó tồn tại x ∈ N2 ∩N3 ∩ · · · ∩Nr nhưng x /∈ N1. Vì N1 là môđun con p1−nguyên sơ nên p1 = rM(N1). Khi đó tồn tại số nguyên dương n sao cho pn1x ⊂ N1 và pn−11 x không chứa trong N1. Nếu chọn y ∈ pn−11 x mà y /∈ N1 thì Ths. Lê Văn Chua 21 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường y khác không. Ta sẽ chứng minh p1 = Ann(y). Ta có p1y ⊂ pn1x ⊂ N1 và x ∈ ∩ri=2Ni. Do đó pn1x ⊂ ∩ri=2Ni suy ra p1y ⊂ ∩ri=1Ni = 0. Điều này chứng tỏ rằng p1 ⊂ Ann(y). Nếu a ∈ R và ay = 0 thì đồng cấu nhân λa : M/N1 −→ M/N1 là lũy linh và do đó a ∈ rM(N1) = p1. Vậy p1 = Ann(y) là một iđêan nguyên tố liên kết của M . Do đó AssR(M) = {p1, p2, . . . , pr}.  Định lý 3.12. (Định lý về tính duy nhất thứ nhất). Giả sử M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R. Khi đó nếu môđun con N có một phân tích nguyên sơ thu gọn N = ∩ri=1Ni, với Ni là các môđun con pi− nguyên sơ, thì pi là duy nhất xác định bởi N . Hơn nữa AssR(M/N) = {p1, p2, . . . , pr}. Chứng minh. Rõ ràng 0 = ∩ri=1(Ni/N) là một phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun không trong R−môđun M/N , với Ni/N là các pi−nguyên sơ. Theo Định lý 3.11, ta có AssR(M/N) = {p1, p2, . . . , pr} là duy nhất xác định bởi N .  Hệ quả 3.13. ChoM là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R và N là môđun con của M . Khi đó N là môđun con p− nguyên sơ của M nếu và chỉ nếu AssR(M/N) = {p}. Chứng minh. Nếu AssR(M/N) = {p} thì trong phân tích nguyên sơ thu gọn của N chỉ có duy nhất một thành phần p−nguyên sơ. Do đó N là môđun con p−nguyên sơ của M . Đảo lại, nếu N là môđun con p−nguyên sơ của M thì bản thân N chính là một phân tích nguyên sơ thu gọn của nó và do đó AssR(M/N) = {p} bởi Định lý 3.12.  Định nghĩa 3.14. Cho N là môđun con của môđun hữu hạn sinh M trên vành Noether R. Giả sử N = ∩ri=1Ni là một phân tích nguyên sơ thu gọn của N và AssR(M/N) = {p1, p2, . . . , pr}, với Ni là pi−nguyên sơ. Khi đó AssR(M/N) được gọi là tập các iđêan nguyên tố liên kết với N . Nếu pi cực tiểu trong tập {p1, p2, . . . , pr} thì pi được gọi là iđêan nguyên tố cô lập hay cực tiểu của N , còn Ni tương ứng với pi cực tiểu được gọi là thành phần cô lập hay cực tiểu của N . Ngược lại, nếu pi không cực tiểu thì pi được gọi là iđêan nguyên tố nhúng của N , còn Ni tương ứng với pi nhúng được gọi là thành phần nhúng của N . Mệnh đề 3.15. Cho M là một R−môđun và S là một tập đóng nhân của R. Giả sử p là một iđêan nguyên tố của R sao cho p ∩ S = ∅. Khi đó nếu p ∈ AssR(M) thì S−1p = pS ∈ AssS−1R(S−1M). Chứng minh. Nếu p ∈ AssR(M) thì tồn tại một phần tử khác không x ∈M sao cho p = Ann(x). Ta sẽ chứng minh S−1p = Ann(x/1). Vì p ∩ S = ∅ nên x/1 là một phần tử khác không trong S−1M . Nếu a ∈ p và a/s ∈ S−1p thì (a/s)(x/1) = (ax)/s = 0/s kéo theo a/s ∈ Ann(x/1). Nếu a/s ∈ Ann(x/1) thì (a/s)(x/1) = 0 hay (ax)/s = 0. Khi đó tồn tại t ∈ S sao cho tax = 0 suy ra ta ∈ p. Do đó a/s = (at)/(st) ∈ S−1p. Vậy S−1p = Ann(x/1) ∈ AssS−1R(S−1M).  Mệnh đề 3.16. Cho M là một R−môđun và S là một tập đóng nhân của vành Noether R. Giả sử < là tập tất cả các iđêan nguyên tố p của R sao cho p∩ S = ∅. Khi đó có một song ánh từ tập AssR(M) ∩ < lên tập AssS−1R(S−1M). Chứng minh. Rõ ràng tương ứng ϕ : AssR(M) ∩ < −→ AssS−1R(S−1M) cho bởi p 7−→ S−1p là đơn ánh. Nếu Q ∈ AssS−1R(S−1M) thì tồn tại một iđêan nguyên tố p của R không giao với S sao cho Q = S−1p. Gọi x/t là một phần tử khác không của S−1M sao cho Q = S−1p = Ann(x/t). Ta sẽ chứng minh p ∈ AssR(M) và từ đó suy ra ϕ là toàn ánh. Thật vậy, do R là một vành Noether nên p là một iđêan nguyên tố hữu hạn Ths. Lê Văn Chua 22 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường sinh. Gọi a1, a2, . . . , an là các phần tử sinh của p. Khi đó ta có (ai/1)(x/t) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , n. Điều này dẫn đến tồn tại si ∈ S sao cho siaix = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , n. Nếu đặt s = s1s2 · · · sn thì saix = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , n. Với mọi a ∈ p ta luôn có sax = 0 và do đó a ∈ Ann(sx). Vậy p ⊂ Ann(sx). Nếu b ∈ Ann(sx) thì bsx = 0 suy ra (b/1)(x/t) = 0. Do đó b/1 = c/r ∈ S−1p. Khi đó tồn tại một phần tử u ∈ S sao cho u(br − c) = 0 hay ubr = uc ∈ p. Vì p là iđêan nguyên tố và ur /∈ p nên b ∈ p. Vậy Ann(sx) ⊂ p và do đó p = Ann(sx) ∈ AssR(M).  Mệnh đề 3.17. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R và N là một môđun con p−nguyên sơ của M . Giả sử Q là một iđêan nguyên tố tùy ý của R và σ : M −→MQ là đồng cấu tự nhiên. Khi đó 1. Nếu p không chứa trong Q thì MQ = NQ. 2. Nếu p chứa trong Q thì N = σ−1(NQ). Chứng minh. Ta có một song ánh từ AssR(M/N ∩ <) lên AssRQ((M/N)Q) = AssRQ(MQ/NQ), trong đó < là tập các iđêan nguyên tố của R chứa trong Q. Vì N là một môđun con p−nguyên sơ của M nên AssR(M/N) = {p} bởi Hệ quả 3.16. 1. Nếu p không chứa trong Q thì AssR(M/N ∩ <) = ∅ và do đó AssRQ(MQ/NQ) = ∅. Vậy MQ/NQ = 0 hay MQ = NQ. 2. Nếu p chứa trong Q thì R − p ⊂ R − Q. Vì AssR(M/N) = {p} nên p chính là tập các ước của không trong M/N bởi Định lý 3.7. Do đó R − Q không chứa ước của không trong M/N . Vậy đồng cấu tư nhiên τ : M/N −→ (M/N)Q ∼= MQ/NQ cho bởi x 7−→ x/1 là đơn cấu. Nếu x ∈ N thì σ(x) ∈ NQ và do đó x ∈ σ−1(NQ). Vậy N ⊂ σ−1(NQ). Nếu x ∈ σ−1(NQ) thì σ(x) ∈ NQ suy ra σ(x) + NQ = 0 ∈ MQ/NQ. Vì τ là đơn cấu nên x + N = 0 trong M/N kéo theo x ∈ N . Vậy σ−1(NQ) ⊂ N và do đó N = σ−1(NQ).  Định lý 3.18. (Định lý về tính duy nhất thứ hai) Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R. Giả sử N = ∩ri=1Ni là một phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con N và Ni là môđun con pi− nguyên sơ với i = 1, 2, . . . , r. Khi đó nếu pi cực tiểu thì Ni là duy nhất xác định bởi N . Chứng minh. Giả sử p1 cực tiểu. Khi đó pi không chứa trong p1 với mọi i > 1. Theo Mệnh đề 3.17, ta có Mp1 = (Ni)p1 với mọi i > 1 và N1 = σ −1[(N1)p1 ], trong đó σ là đồng cấu tự nhiên từ M vào Mp1 . Ta có Np1 = (N1)p1 ∩ ∩ri=2(Ni)p1 = (N1)p1 ∩Mp1 = (N1)p1 . Do đó N1 = σ −1[(N1)p1 ] = σ −1(Np1) chỉ phụ thuộc vào N và p1 mà không phụ thuộc vào sự phân tích nguyên sơ của N .  4 Giá của môđun Định nghĩa 4.1. Cho M là một R−môđun. Tập tất cả các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp 6= 0 được gọi là giá của môđun M . Giá của môđun M được kí hiệu là Supp(M). Ths. Lê Văn Chua 23 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Mệnh đề 4.2. Cho M là một R−môđun. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương 1. M = 0. 2. Mp = 0 với mọi iđêan nguyên tố p của R. 3. Mm = 0 với mọi iđêan cực đại m của R. Chứng minh. Các mệnh đề 1. ⇒ 2. ⇒ 3. là hiển nhiên. Bây giờ, ta sẽ chứng minh mệnh đề 3 ⇒ 1. Giả sử M khác môđun không. Khi đó tồn tại một phần tử khác không x ∈M . Đặt I = Ann(x). Rõ ràng I là một iđêan thực sự của R. Do đó I chứa trong một iđêan cực đại m nào đó của R. Theo giả thiết ta có x/1 = 0 trong Mm. Khi đó tồn tại s /∈ m sao cho sx = 0. Theo định nghĩa của tập I, ta có s ∈ I. Vì I ⊂ m nên s ∈ m. Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy M = 0.  Hệ quả 4.3. Supp(M) = ∅ nếu và chỉ nếu M = 0. Mệnh đề 4.4. Nếu 0 −→ N −→M −→ P −→ 0 là một dãy khớp các R−môđun thì Supp(M) = Supp(N) ∪ Supp(P ). Chứng minh. Do 0 −→ N −→ M −→ P −→ 0 là dãy khớp nên ta nhận được dãy khớp 0 −→ Np −→ Mp −→ Pp −→ 0 với mọi iđêan nguyên tố p của R. Giả sử p ∈ Supp(M) − Supp(N). Khi đó Np = 0 và do đó Mp ∼= Pp. Vì Mp 6= 0 nên Pp 6= 0. Vậy p ∈ Supp(P ). Như vậy ta đã chứng minh được Supp(M) ⊂ Supp(N) ∪ Supp(P ). Vì Np đẳng cấu với một môđun con của Mp nên ta suy ra Supp(N) ⊂ Supp(M). Nếu Mp = 0 thì Pp = 0 (bởi vì Mp −→ Pp là toàn cấu). Vậy Supp(P ) ⊂ Supp(M) và do đó Supp(M) = Supp(N) ∪ Supp(P ).  Cho I là một iđêan của vành R. Đặt V (I) là tập các iđêan nguyên tố p chứa I của R. Giả sử M là một R−môđun, tập Ann(M) = {a ∈ R | aM = 0} là một iđêan của R và được gọi là cái triệt của môđun M . Khi đó ta có ba tập AssR(M), Supp(M) và V (Ann(M)). Mối quan hệ của ba tập này được thể hiện ở mệnh đề sau đây. Mệnh đề 4.5. Nếu M là một R−môđun thì AssR(M) ⊂ Supp(M) ⊂ V (Ann(M)). Chứng minh. Nếu p ∈ AssR(M) thì tồn tại một phần tử khác không x ∈ M sao cho p = Ann(x). Ta sẽ chứng minh Mp 6= 0. Thật vậy, nếu Mp = 0 thì M = 0 suy ra x = 0. Điều này dẫn đến mâu thuẫn và do đó Mp 6= 0. Vậy p ∈ Supp(M) và do đó AssR(M) ⊂ Supp(M). Nếu q ∈ Supp(M) thì Mq 6= 0. Giả sử Ann(M) không chứa trong q. Khi đó tồn tại a ∈ Ann(M), nhưng a /∈ q. Với mọi y ∈ M ta có ay = 0. Điều này dẫn đến y/s = 0 với mọi y ∈ M và s /∈ q. Từ đó suy ra Mq = 0 và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy Ann(M) ⊂ q và do đó q ∈ V (Ann(M)). Do đó Supp(M) ⊂ V (Ann(M)).  Mệnh đề 4.6. Nếu M là môđun hữu hạn sinh trên vành R thì Supp(M) = V (Ann(M)). Chứng minh. Theo Mệnh đề 4.5, ta chỉ cần chứng minh V (Ann(M)) ⊂ Supp(M). Giả sử V (Ann(M)) không chứa trong Supp(M). Khi đó tồn tại p ∈ V (Ann(M)), nhưng p /∈ Supp(M). Vì p /∈ Supp(M) nênMp = 0. Gọi x1, x2, . . . , xn là các phần tử sinh củaM . Ta có xi/1 = 0 với i = 1, 2, . . . , n. Khi đó tồn tại si /∈ p sao cho sixi = 0 với i = 1, 2, . . . , n. Nếu s = s1s2 · · · sn thì s /∈ p và sxi = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , n. Từ đó suy ra s ∈ Ann(M). Vì p ⊃ Ann(M) nên s ∈ p và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy V (Ann(M)) ⊂ Supp(M) và do đó Supp(M) = V (Ann(M)).  Ths. Lê Văn Chua 24 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Hệ quả 4.7. Nếu I là một iđêan của vành R thì V (I) = Supp(R/I). Chứng minh. Ta có R/I là môđun hữu hạn sinh trên R và Ann(R/I) = I. Do đó V (I) = V (Ann(R/I)) = Supp(R/I).  Mệnh đề 4.8. Nếu M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R thì⋂ p∈AssR(M) p = √ Ann(._.ác, ta có lR(M/Q n M) = lR(M/Q nM) và do đó PQ(M,n) = PQ(M,n). Vậy d(M) = deg PQ(M,n) = deg PQ(M,n) ≤ r = δ(M). Ths. Lê Văn Chua 43 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường 3. δ(M) ≤ dim M . Nếu dim M = −1 thì M là môđun không và do đó δ(M) = −1. Giả sử M khác môđun không. Nếu dim M = 0 thì lR(M) hữu hạn và do đó δ(M) = 0. Bây giờ, giả sử dim M > 0. Gọi p1, p2, . . . , pt là các iđêan nguyên tố liên kết của M sao cho Coht(pi) = dim M với mọi i = 1, 2, . . . , t. Vì dim M > 0 nên pi ⊂ m với mọi i và do đó m " ∪ti=1pi. Chọn a ∈ m mà a /∈ ∪ti=1pi và đặt N = M/aM . Khi đó ta có Supp(N) ⊂ Supp(M)− {p1, p2, . . . , pt}. Do đó dim N < dim M . Nếu δ(N) = −1 thì M = aM và theo Bổ đề Nakayama ta có M là môđun không. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với điều đang giả sử dim M > 0. Vậy ta phải có δ(N) = r ≥ 0. Khi đó tồn tại a1, a2, . . . , ar ∈ m sao cho lR(N/(a1, a2, . . . , ar)N) hữu hạn. Chú ý rằng M/(a, a1, a2, . . . , ar)M ∼= N/(a1, a2, . . . , ar)N. Vậy lR(M/(a, a1, a2, . . . , ar)M) hữu hạn và do đó δ(M) ≤ r+ 1. Theo giả thiết quy nạp δ(N) ≤ dim N . Vậy δ(M) ≤ r + 1 = δ(N) + 1 ≤ dim N + 1 ≤ dim M.  Hệ quả 1.8. Giả sử M là một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether R. Khi đó dim M hữu hạn. Đặc biệt dim R hữu hạn và dim R = số phần tử sinh cực tiểu của một iđêan xác định nào đó của R. Chứng minh. Ta có dim M = d(M) hữu hạn. Nếu I là iđêan xác định của vành R thì R/I là vành Artin và do đó lR(R/I) hữu hạn. Gọi a1, a2, . . . , ar là số phần tử sinh cực tiểu của I. Khi đó lR(R/I) = lR(R/(a1, a2, . . . , ar)) hữu hạn. Vậy dim R = δ(R) = r.  Hệ quả 1.9. Giả sử R là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại m và trường thặng dư K = R/m. Khi đó dim R ≤ dimK(m/m2). Chứng minh. Giả sử a1, a2, . . . , ar ∈ m sao cho a¯1, a¯2, . . . , a¯r lập thành một cơ sở của không gian véc tơ m/m2 trên trường K. Khi đó m = (a1, a2, . . . , ar) là một iđêan xác định của R. Theo Hệ quả 1.8, dim R ≤ r = dimK(m/m2).  Hệ quả 1.10. Giả sử p là một iđêan nguyên tố của vành Noether R. Khi đó các khẳng định sau là tương đương 1. ht(p) ≤ n. 2. Tồn tại một iđêan I của R sinh bởi n phần tử sao cho p là một iđêan nguyên tố cực tiểu của I. Chứng minh. Giả sử I là một iđêan của R sinh bởi n phần tử sao cho p là một iđêan nguyên tố cực tiểu của I. Khi đó Ip là một iđêan xác định của vành địa phương Noether Rp sinh bởi n phần tử. Do đó ht(p) = dim Rp ≤ n bởi Hệ quả 1.8. Đảo lại, giả sử ht(p) = dim Rp ≤ n. Theo Hệ quả 1.8, có một iđêan xác định J của Rp sinh bởi n phần tử a1/s, a2/s, . . . , an/s với s ∈ R − p. Khi đó các phần tử a1, a2, . . . , an phải thuộc p. Đặt I = (a1, a2, . . . , an) thỏa mãn 2.  Ths. Lê Văn Chua 44 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Hệ quả 1.11. (Định lý iđêan chính Krull). Giả sử a là một phần tử khác không trong vành Noether R. Khi đó nếu a không khả nghịch và không là ước của không thì mọi iđêan nguyên tố cực tiểu của iđêan (a) đều có chiều cao 1. Chứng minh. Giả sử p là một iđêan nguyên tố cực tiểu của (a). Theo Hệ quả 1.10, ta có ht(p) ≤ 1. Nếu ht(p) = dim Rp = 0 thì Rp khác không và do đó p ∈ Supp(R). Theo Định lý 4.12, Chương 2, ta có p ∈ AssR(R) và điều này dẫn đến a là ước của không (mâu thuẫn). Do đó htp = 1.  Hệ quả 1.12. Giả sử R là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại m. Khi đó nếu a ∈ m không là ước của không thì dim R/(a) = dim R− 1. Chứng minh. Nếu dim R = 0 thì m gồm các phần tử ước của không. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với a ∈ m không là ước của không. Vậy ta phải có dim R > 0. Như trong chứng minh phần 3 của định lý cơ bản của lý thuyết chiều, lấy M = R và N = R/(a) ta được dim R/(a) < dim R. Do đó dim R/(a) ≤ dim R − 1. Giả sử dim R/(a) = r và a1, a2, . . . , ar ∈ m sao cho a¯1, a¯2, . . . , a¯r tương ứng là ảnh của a1, a2, . . . , ar trong R/(a) làm cho (a¯1, a¯2, . . . , a¯r) trở thành iđêan m/(a)−nguyên sơ của vành R/(a). Khi đó (a, a1, a2, . . . , ar) là một iđêan m−nguyên sơ của vành R. Theo Hệ quả 1.8, ta có dim R ≤ 1 + r = 1 + dim R/(a). Vậy dim R/(a) = dim R− 1.  Hệ quả 1.13. Nếu p là một iđêan nguyên tố của vành Noether R và a ∈ p không là ước của không thì ht(p/(a)) = ht(p)− 1. Chứng minh. Áp dụng Hệ quả 1.12 cho vành địa phương Noether Rp.  Hệ quả 1.14. Nếu K là một trường thì dim K[x1, x2, . . . , xn] = n. Chứng minh. Vì (x1, x2, . . . , xn) là một iđêan cực đại của vành địa phương Noether K[x1, x2, . . . , xn] nên dimK[x1, x2, . . . , xn] ≤ n. Mặt khác ta có {0} ⊂ (x1) ⊂ (x1, x2) ⊂ · · · ⊂ (x1, x2, . . . , xn) là một xích các iđêan nguyên tố có độ dài n và do đó dim K[x1, x2, . . . , xn] ≥ n. Vậy dim K[x1, x2, . . . , xn] = n.  2 Độ sâu của môđun Cho R là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại m và M là một môđun hữu hạn sinh chiều n trên R. Khi đó tồn tại các phần tử a1, a2, . . . , an ∈ m sao cho R−môđun thương M/(a1, a2, . . . , an)M có độ dài hữu hạn bởi định lý cơ bản của lý thuyết chiều. Định nghĩa 2.1. Cho R là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại m và M là một môđun hữu hạn sinh chiều n trên R. Một tập các phần tử a1, a2, . . . , an ∈ m sao cho R−môđun thương M/(a1, a2, . . . , an)M có độ dài hữu hạn được gọi là một hệ tham số của M . Ví dụ. Ths. Lê Văn Chua 45 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường 1. Cho R là một vành địa phương Noether chiều d và a1, a2, . . . , ad là một tập sinh của một iđêan xác định của R. Khi đó a1, a2, . . . , ad là một hệ tham số của R. 2. Tập các phần tử x1, x2, . . . , xn là một hệ tham số của vành R = K[[x1, x2, . . . , xn]] với K là trường. Định lý 2.2. Cho R là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại m và M là một môđun hữu hạn sinh chiều n trên R. Khi đó nếu a1, a2, . . . , ar là các phần tử tùy ý thuộc m thì dim M/(a1, a2, . . . , ar)M ≥ n− r. Hơn nữa dim M/(a1, a2, . . . , ar)M = n− r nếu và chỉ nếu a1, a2, . . . , ar là một phần của một hệ tham số của M . Chứng minh. Trước hết ta chú ý rằng: Nếu I và J là các iđêan của R và N = M/IM thì hợp thành các ánh xạ M −→ M/IM = N −→ N/JN là một toàn cấu với hạt nhân là (I + J)M và do đó M/(I + J)M ∼= N/JN . Đặc biệt, nếu lấy I = (a1, a2, . . . , ai−1) và J = (ai) thì M/(a1, a2, . . . , ai)M ∼= N/aiN với N = M/(a1, a2, . . . , ai−1)M . Bây giờ, ta chứng minh định lý này bằng phép quy nạp theo r. Với r = 1, đặt N = M/a1M . Chọn b1, b2, . . . , bk ∈ m sao cho N/(b1, b2, . . . , bk)N có độ dài hữu hạn với chỉ số k nhỏ nhất có thể. Vì N/(b1, b2, . . . , bk)N ∼= M/(a1, b1, b2, . . . , bk)M nên M/(a1, b1, b2, . . . , bk) có độ dài hữu hạn. Do đó chiều Chevalley của môđun M không vượt quá k + 1, nghĩa là δ(M) ≤ k + 1 = δ(M/a1M) + 1. Từ đó suy ra δ(M/a1M) ≥ δ(M)− 1 hay dim M/a1M ≥ dim M − 1. Với r > 1 và giả sử bất đẳng thức đúng với mọi giá trị nhỏ hơn r. Ta có dim M/(a1, a2, . . . , ar)M = dim N/arN với N = M/(a1, a2, . . . , ar−1)M. Theo giả thiết quy nạp, dim N ≥ dim M − (r − 1). Do đó dimM/(a1, a2, . . . , ar)M = dim N/arN ≥ dim N−1 ≥ dimM−(r−1)−1 = dimM−r. Nếu dimM/(a1, a2, . . . , ar)M = n − r thì ta có thể chọn ar+1, ar+2, . . . , an là một hệ tham số của môđun N = M/(a1, a2, . . . , ar)M . Vì N/(ar+1, ar+2, . . . , an)N ∼= M/(a1, a2, . . . , an)M nên M/(a1, a2, . . . , an)M có độ dài hữu hạn. Do đó a1, a2, . . . , an là một hệ tham số của M . Đảo lại, nếu a1, a2, . . . , ar là một phần của hệ tham số thì tồn tại các phần tử ar+1, ar+2, . . . , an sao cho a1, a2, . . . , an là một hệ tham số của M . Đặt N = M/(a1, a2, . . . , ar)M. Khi đó N có độ dài hữu hạn và dim N ≤ n− r. Mặt khác, theo khẳng định ở chứng minh trên dim N ≥ n− t. Vậy dim M/(a1, a2, . . . , ar)M = dim N = n− r.  Ths. Lê Văn Chua 46 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Hệ quả 2.3. Cho R là vành địa phương Noether với iđêan cực đại m và a1, a2, . . . , ar ∈ m là một phần của hệ tham số của R sao cho iđêan I = (a1, a2, . . . , ar) có độ cao r. Khi đó ht(I) + Coht(I) = dim R. Chứng minh. Theo Định lý 2.2, ta có dim R/I = dim R− r.  Định nghĩa 2.4. Cho M là một R−môđun. Một dãy thứ tự các phần tử khác không a1, a2, . . . , an của R được gọi là một dãy chính qui (còn gọi là M−dãy chính qui hay M−dãy) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn 1. (a1, a2, . . . , an)M 6= M . 2. ai không là ước của không trong M/(a1, a2, . . . , ai−1)M . Chú ý. Với i = 1 thì điều kiện 2. có nghĩa là a1 không là ước của không trong M . Ví dụ. 1. x1, x2, . . . , xn là một R−dãy của vành R = K[x1, x2, . . . , xn] với K là trường. 2. x, y(1− x), z(1− x) là một R−dãy của vành R = K[x, y, z] với K là trường. Định lý 2.5. Cho M là một R−môđun và a1, a2, . . . , an là các phần tử khác không trong R. Khi đó a1, a2, . . . , an là một M−dãy khi và chỉ khi a1, a2, . . . , ai là một M−dãy và ai+1, ai+2, . . . , an là một M/(a1, a2, . . . , ai)M−dãy với i = 1, 2, . . . , n. Chứng minh. Nếu a1, a2, . . . , an là một M−dãy thì a1, a2, . . . , ai là M−dãy và ai+1 không là ước của không trong N = M/(a1, a2, . . . , ai)M , ai+2 không là ước của không trong M/(a1, a2, . . . , ai+1)M ∼= N/ai+1N , tiếp tục ai+3 không là ước của không trong M/(a1, a2, . . . , ai+1, ai+2)M ∼= N/(ai+1, ai+2)N . Điều này dẫn đến ai+1, ai+2, ai+3 làN−dãy. Tiếp tục lập luận như vậy ta sẽ được ai+1, ai+2, . . . , an là một N−dãy. Đảo lại là hiển nhiên.  Định lý 2.6. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành địa phương Noether R. Khi đó nếu a1, a2, . . . , ar ∈ R là một M−dãy thì a1, a2, . . . , ar là một phần của một hệ tham số của M . Chứng minh. Chứng minh quy nạp theo r. Nếu r = 1 thì a1 không là ước của không trong M và dim M/a1M = dim M − 1. Theo Định lý 2.2, {a1} là một phần của một hệ tham số của M . Giả sử r > 1 và a1, a2, . . . , ar−1 là một phần của một hệ tham số của M . Khi đó dim M/(a1, a2, . . . , ar−1)M = dim M − (r− 1). Vì ar không là ước của không trong N = M/(a1, a2, . . . , ar−1)M nên dim N/arN = dim N − 1. Nhớ lại rằng N/arN ∼= M/(a1, a2, . . . , ar)M. Do đó dimM/(a1, a2, . . . , ar)M = dimN/arN = dimN−1 = dimM−r. Vậy a1, a2, . . . , ar là một phần của một hệ tham số của M bởi Định lý 2.2.  Hệ quả 2.7. Mọi R−dãy trong một vành địa phương Noether R đều là một phần của một hệ tham số của R. Hoán vị các phần tử của mộtR−dãy nói chung chưa chắc đã là mộtR−dãy. Chẳng hạn, x, y(1−x), z(1−x) là R−dãy trong vành đa thức R = K[x, y, z], nhưng y(1−x), z(1−x), x Ths. Lê Văn Chua 47 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường không là R−dãy. Tuy nhiên, nếu các phần tử của R−dãy thuộc vào căn Jacobson J(R) thì mọi hoán vị của R−dãy lại là R−dãy. Điều này được thể hiện ở định lý sau đây. Định lý 2.8. Cho M là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R và a1, a2, . . . , an thuộc J(R) là M−dãy. Khi đó mọi hoán vị của các phần tử a1, a2, . . . , an cũng là M−dãy. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh mệnh đề sau: Nếu a1, a2 là một M− dãy thì a2, a1 cũng làM−dãy. Trước hết ta chứng minh a1 không là ước của không trongM/a2M . Nếu x¯ ∈M/a2M và a1x¯ = 0 thì a1x ∈ a2M . Chọn y ∈M sao cho a1x = a2y. Vì a2 không là ước của không trong M/a1M nên y ∈ a1M . Vậy tồn tại z ∈ M để y = a1z và do đó a1x = a2y = a2a1z. Vì a1 không là ước của không trong M nên x = a2z suy ra x¯ = 0. Tiếp theo ta chứng minh a2 không là ước của không trong M . Xét môđun con N = {x ∈ M | a2x = 0} của M . Nếu x ∈ N thì a2x = 0. Vì a2 không là ước của không trong M/a1M nên x ∈ a1M . Khi đó tồn tại y ∈ M sao cho x = a1y kéo theo a1a2y = a2x = 0. Do a1 không là ước của không trong M nên a2y = 0 suy ra y ∈ N và do đó x = a1y ∈ a1N . Vậy N ⊂ a1N . Đương nhiên a1N ⊂ N . Do đó N = a1N . Vì a1 ∈ J(R) nên N = 0 bởi Bổ đề Nakayama. Vậy a2 không là ước của không trong M .  Hệ quả 2.9. Nếu M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành địa phương Noether R thì mọi hoán vị của một M-dãy cũng là M−dãy. Chứng minh. Nếu a1, a2, . . . , an là một M−dãy thì mọi ai không khả nghịch và do đó a1, a2, . . . , an thuộc vào một iđêan cực đại m = J(R). Do đó hoán vị của a1, a2, . . . , an cũng là M−dãy bởi Định lý 2.8.  Cuối phần này, ta sẽ nghiên cứu các M−dãy cực đại chứa trong một iđêan I của vành Noether R sao cho IM 6= M . Kết quả thu được là: Hai M−dãy cực đại chứa trong iđêan I có cùng độ dài. Để là rõ kết quả này, trước hết ta cần một số bổ đề sau. Bổ đề 2.10. Cho M và N là các R−môđun. Giả sử a1, a2, . . . , an là M−dãy. Khi đó 1. Nếu an ∈ Ann(N) thì có duy nhất một đồng cấu σ : N −→ M/(a1, a2, . . . , an−1)M là đồng cấu không. 2. Nếu a1, a2, . . . , an ∈ Ann(N) thì ExtnR(N,M) ∼= HomR(N,M/(a1, a2, . . . , an)M). Chứng minh. 1. Nếu x là phần tử tùy ý thuộc N thì anσ(x) = σ(anx) = σ(0) = 0. Vì an không là ước của không trong M/(a1, a2, . . . , an−1)M nên σ(x) = 0 với mọi x ∈ N . Vậy σ là một đồng cấu không. 2. Xét M λa1−→M là đồng cấu nhân a1 cho M . Khi đó ta nhận được dãy khớp ngắn 0 −→M λa1−→M −→M/a1M −→ 0. Từ dãy khớp này ta nhận tiếp một dãy khớp Extn−1R (N,M) −→ Extn−1R (N,M/a1M) σ−→ ExtnR(N,M) σa1−→ ExtnR(N,M). Vì a1 ∈ Ann(N) nên σa1 là một đồng cấu không và do đó σ là toàn cấu. Theo giả thiết quy nạp, Extn−1R (N,M) ∼= HomR(N,M/(a1, a2, . . . , an−1)M) = 0. Vậy σ Ths. Lê Văn Chua 48 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường là một đẳng cấu. Nếu đặt M = M/a1M thì Ext n−1 R (N,M) ∼= ExtnR(N,M). Lại sử dụng giả thiết quy nạp, ta có Extn−1R (N,M) = HomR(N,M/(a2, a3, . . . , an)M) ∼= HomR(N,M/(a1, a2, . . . , an)M). Vậy ExtnR(N,M) ∼= HomR(N,M/(a1, a2, . . . , an)M).  Bổ đề 2.11. Cho M là một R−môđun và I là một iđêan của R. Khi đó HomR(R/I,M) 6= 0 nếu và chỉ nếu I ⊂ ∪{p | p ∈ AssR(M)}. Chứng minh. Nếu HomR(R/I,M) khác không thì tồn tại một đồng cấu khác không τ : R/I −→ M . Khi đó τ(1 + I) = x khác không trong M . Ta có p = Ann(x) là một iđêan liên kết của M . Nếu a ∈ I thì 0 = τ(0) = τ(a+ I) = aτ(1 + I) = ax và do đó a ∈ p. Vậy I ⊂ ⋃{p | p ∈ AssR(M)}. Đảo lại, nếu I ⊂ p với p là một iđêan nguyên tố liên kết của M thì tồn tại một phần tử khác không x ∈ M sao cho I ⊂ p = Ann(x). Xét tương ứng σ : R/I −→M cho bởi σ(a+ I) = ax. Dễ dàng chứng minh được σ là một đồng cấu khác đồng cấu không. Vậy HomR(R/I,M) 6= 0.  Định lý 2.12. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R và I là iđêan của R sao cho IM 6= M . Khi đó hai M−dãy cực đại trong I có cùng độ dài. Chứng minh. Gọi a1, a2, . . . , an là các phần tử sinh của iđêan I và N = R/I. Theo Bổ đề 2.10, ta có ExtnR(R/I,M) ∼= HomR(R/I,M/(a1, a2, . . . , an)M). Khi đó ExtnR(R/I,M) = 0 nếu và chỉ nếu I không chứa trong hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M/(a1, a2, . . . , an)M bởi Bổ đề 2.11. Nếu a1, a2, . . . , an là một M−dãy trong I thì ExtnR(R/I,M) = 0 khi và chỉ khi a1, a2, . . . , an không là một dãy cực đại trong I. Do đó số nguyên n nhỏ nhất sao cho ExtnR(R/I,M) 6= 0 chính là số các phần tử của một M−dãy cực đại bất kỳ trong I.  Định nghĩa 2.13. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R và I là một iđêan của R sao cho IM 6= M . Số phần tử của một M−dãy cực đại chứa trong I được kí hiệu là depthI(M). Nếu R là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại m thì depthm(M) được gọi là độ sâu của môđun M và được kí hiệu là depth(M). Định lý 2.14. Nếu M là một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether R thì depth(M) ≤ dim M. Chứng minh. Nếu depth(M) = n và a1, a2, . . . , an là M−dãy cực đại trong iđêan cực đại m thì a1, a2, . . . , an là một phần của một hệ tham số của M bởi Định lý 2.6. Do đó dim M ≥ n = depth(M).  Ths. Lê Văn Chua 49 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường 3 Vành Cohen-Macaulay Định nghĩa 3.1. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether R. Ta nói rằng M là một môđun Cohen-Macaulay (C.M.) nếu depth(M) = dim M . Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu bản thân nó là R−môđun Cohen-Macaulay. Ví dụ. 1. Mọi vành địa phương Artin đều là vành Cohen-Macaulay. 2. Mọi miền nguyên địa phương Noether chiều 1 đều là vành Cohen-Macaulay. 3. Vành R = K[[x1, x2, . . . , xn]] là vành Cohen-Macaulay. Định lý 3.2. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether R. Khi đó depth(M) ≤ dim R/p với mọi p ∈ AssR(M). Chứng minh. Gọi m là iđêan cực đại duy nhất của R. Trước hết ta chứng minh mệnh đề sau: Nếu a ∈ m và p ∈ AssR(M) thì tồn tại Q ∈ AssR(M/aM) sao cho Q ⊃ p + Ra. Thật vậy, vì p ∈ AssR(M) nên HomR(R/p,M) khác không. Bây giờ, xét dãy khớp ngắn 0 −→M λa−→M −→M/aM −→ 0 trong đó λa là một đồng cấu nhân a cho M . Khi đó ta nhận được dãy khớp 0 −→ HomR(R/p,M) λ ∗ a−→ HomR(R/p,M) −→ HomR(R/p,M/aM). Nếu HomR(R/p,M/aM) = 0 thì HomR(R/p,M) ∼= HomR(R/p,M) và do đó aHomR(R/p,M) = HomR(R/p,M). Theo Bổ đề Nakayama, ta có HomR(R/p,M) = 0. Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy HomR(R/(p +Ra),M/aM) = HomR(R/p,M/aM) 6= 0. Khi đó tồn tại Q ∈ AssR(M/aM) sao cho Q ⊃ p + Ra = I. Bởi vì, nếu I không chứa trong hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M/aM thì tồn tại b ∈ I sao cho {b} là một M/aM−dãy. Từ đây suy ra HomR(R/I,M/aM) = 0 (mâu thuẫn). Ta chứng minh định lý bằng phép quy nạp theo chiều dim R/p. Nếu dim R/p = 0 thì m = p ∈ AssR(M) và do đó depth(M) = 0. Giả sử dim R/p > 0 và chọn a ∈ m sao cho a không là ước của không trong M . Theo chứng minh trên, tồn tại Q ∈ AssR(M/aM) sao cho Q ⊃ p + Ra. Chú ý rằng dim R/Q < dim R/p. Theo giả thiết quy nạp, ta có depth(M/aM) ≤ dim R/Q. Từ đó suy ra depth(M/aM) < dim R/p. Do đó depth(M) = 1 + depth(M/aM) ≤ dim R/p.  Hệ quả 3.3. Nếu M là một R−môđun C.M. thì depth(M) = dim R/p = dim M với mọi p ∈ AssR(M). Ths. Lê Văn Chua 50 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chứng minh. Vì p ⊃ Ann(M) nên dim R/p ≤ dim R/Ann(M). Do M là R−môđun C.M. nên depth(M) ≤ dim R/p ≤ dim R/Ann(M) = dim M = depth(M). Vậy depth(M) = dim R/p = dim M với mọi p ∈ AssR(M).  Hệ quả 3.4. Nếu M là một R−môđun C.M. thì mọi p ∈ AssR(M) đều cực tiểu. Chứng minh. Nếu p ⊃ Q ∈ AssR(M) thì dim R/p = dim M = dim R/Q kéo theo p = Q. Vậy p là cực tiểu trong tập AssR(M).  Mệnh đề 3.5. Cho M là một R−môđun C.M. và a ∈ m. Khi đó {a} là một M−dãy khi và chỉ khi dim M/aM = dim M − 1. Trong trường hợp này, M/aM là một R−môđun C.M. Chứng minh. Nếu {a} là một M−dãy thì {a} là một phần của một hệ tham số của M và do đó dim M/aM = dim M − 1 bởi Định lý 2.2. Đảo lại, nếu {a} không là M−dãy thì tồn tại p ∈ AssR(M) để a ∈ p và dim M = dim R/p bởi Hệ quả 3.3. Nếu p ∈ Supp(M/aM) thì dim M/aM ≥ dim M (mâu thuẫn). Vậy p /∈ Supp(M/aM). Chú ý rằng M/aM ∼= M ⊗R/(a). Do đó Supp(M/aM) = Supp(M)∩ Supp(R/(a)). Vì p ∈ Supp(M) nên p /∈ Supp(R/(a)). Vậy a /∈ p và điều này dẫn đến mâu thuẫn. Do đó {a} là một M−dãy. Nếu M là một R−môđun C.M. và dim M/aM = dim M − 1 thì depth(M/aM) = depth(M)− 1 = dim M − 1 = dim M/aM. Vậy M/aM là một R−môđun C.M.  Định lý 3.6. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether R. Khi đó M là môđun C.M. khi và chỉ khi mọi hệ tham số của M đều là một M−dãy. Chứng minh. Nếu dim M = n và a1, a2, . . . , an là một hệ tham số của M thì a1, a2, . . . , an là một M−dãy. Do đó depth(M) ≥ n = dim M . Theo Định lý 2.14, ta có depth(M) ≤ dim M . Vậy depth(M) = dim M và do đó M là một môđun C.M. Đảo lại, giả sử a1, a2, . . . , an là một hệ tham số của M . Ta sẽ chứng minh quy nạp theo r rằng a1, a2, . . . , ar là một M−dãy và M/(a1, a2, . . . , ar)M là môđun C.M. Vì M là môđun C.M. nên định lý đúng với k = 0. Giả sử a1, a2, . . . , ar−1 là một M−dãy và M/(a1, a2, . . . , ar−1)M = N là môđun C.M. Chú ý rằng N/arN ∼= M/(a1, a2, . . . , ar)M. Do đó dim N/arN = dim M − r và dim N = dim M − (r − 1). Từ đó suy ra dim N/arN = dim N − 1 và do đó {ar} là mộtN−dãy. Vậy ar không là ước của không trongN và do đó a1, a2, . . . , ar là một M−dãy bởi Mệnh đề 3.5. Lại theo Mệnh đề 3.5, ta có N/arN là môđun C.M. suy ra M/(a1, a2, . . . , ar)M là môđun C.M.  Hệ quả 3.7. Nếu M là một R−môđun C.M. chiều n và a1, a2, . . . , ar là một phần của một hệ tham số của M thì M/(a1, a2, . . . , ar)M là một R−môđun C.M. chiều n− r. Hệ quả 3.8. Nếu M là một R−môđun C.M. thì mọi M−dãy cực đại đều là một hệ tham số của M . Ths. Lê Văn Chua 51 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chứng minh. Nếu a1, a2, . . . , ar là một M−dãy cực đại thì a1, a2, . . . , ar là một phần của một hệ tham số của M . Ta có r = depth(M) = dim M nên a1, a2, . . . , ar là một hệ tham số của M .  Định lý 3.9. Nếu M là một R−môđun C.M. và p là một iđêan nguyên tố của R thì Mp là một Rp−môđun C.M. Chứng minh. Nếu p không chứa Ann(M) thì Mp = 0. Do đó ta có thể giả sử p ⊃ Ann(M). Khi đó dim Mp = ht(p/Ann(M)) và depth(Mp) = depthp(M). Bây giờ, ta chứng minh định lý bằng phép quy nạp theo depthp(M). Nếu depthp(M) = 0 thì tồn tại Q ∈ AssR(M) sao cho p ⊂ Q. Vì M là môđun C.M. nên Q là phần tử cực tiểu trong tập AssR(M) và do đó p = Q. Từ đó dẫn đến dim Mp = ht(p/Ann(M)) = 0. Vậy depth(Mp) = dim Mp và do đó Mp là Rp−môđun C.M. Nếu depthp(M) > 0 thì chọn một phần tử a ∈ p không là ước của không trong M . Đặt N = M/aM . Khi đó ta có dim Np = dim Mp/aMp = dim Mp − 1 và depth(Np) = depth(Mp)− 1 < depth(Mp). Vì N là R−môđun C.M. nên theo giả thiết quy nạp Np là Rp−môđun C.M. và do đó depth(Np) = dim Np. Từ đó suy ra depth(Mp) = dim Mp. Vậy Mp là một Rp−môđun C.M.  Hệ quả 3.10. Nếu R là một vành C.M. và p là một iđêan nguyên tố của R thì Rp là vành C.M. Chứng minh. Lấy M = R trong Định lý 3.8.  Định lý 3.11. Cho R là một vành C.M. và I là một iđêan thực sự của R. Khi đó ht(I) + Coht(I) = dim R. Chứng minh. Nếu p là một iđêan của R có độ cao r thì Rp là một vành M.C. chiều r. Do đó tồn tại một R−dãy a1, a2, . . . , ar ∈ p. Đặt J = (a1, a2, . . . , ar). Vì ht(p/J) = ht(p)− r = 0 nên p là một iđêan nguyên tố cực tiểu của J . Do đó dim R/p = depth(R/J). Vậy Coht(p) = dim R/p = dim R− r = dim R− ht(p) hay ht(p) + Coht(p) = dim R. Bây giờ, nếu I là một iđêan thực sự của R có độ cao r thì bao giờ ta cũng chọn được một iđêan nguyên tố p sao cho ht(p) = r. Khi đó ht(I) + Coht(I) = ht(p) + Coht(I) ≥ ht(p) + Coht(p) = R. Vậy ht(I) + Coht(I) = dim R.  Ths. Lê Văn Chua 52 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường 4 Vành địa phương chính quy Giả sử R là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất m, trường thặng dư K = R/m và dimR = d. Theo định lý cơ bản lý thuyết chiều, m có ít nhất d phần tử sinh. Định nghĩa 4.1. Giả sử R là một vành địa phương Noether chiều d với iđêan cực đại m. Ta nói rằng R là một vành địa phương chính quy nếu m sinh bởi một tập có đúng d phần tử. Nếu R là vành địa phương chính quy chiều d thì tập sinh gồm d phần tử sinh ra m được gọi là hệ tham số chính quy của R. Ví dụ. 1. Nếu dim R = 0 thì R là vành địa phương chính quy nếu và chỉ nếu R là trường. 2. NếuK là trường thì vành R = K[[x1, x2, . . . , xn]] là vành địa phương chính quy chiều n và {x1, x2, . . . , xn} là một hệ tham số chính quy của R vì m = (x1, x2, . . . , xn) là iđêan cực đại của R. Định lý 4.2. Cho R là vành địa phương Noether chiều d với iđêan cực đại m và trường thặng dư K = R/m. Khi đó các điều kiện sau đây là đương đương: 1. R là vành địa phương chính quy. 2. grm(R) ∼= K[x1, x2, . . . , xd]. 3. dimK(m/m 2) = d. Chứng minh. 1. ⇒ 2. Giả sử a1, a2, . . . , ad là một hệ tham số chính quy của R. Khi đó ánh xạ ϕ : K[x1, x2, . . . , xd] −→ grm(R) cho bởi ϕ(xi) = ai + m2 (1 ≤ i ≤ d) là đồng cấu. Theo Định lý 4.11, Chương 3, ϕ là đẳng cấu bởi vì deg Pm(R, n) = dim R = d. 2. ⇒ 3. Giả sử m sinh bởi một hệ cực tiểu gồm n phần tử b1, b2, . . . , bn. Theo Bổ đề NaKayama, ta có b¯1, b¯2, . . . , b¯n là một cơ sở của không gian véc tơ m/m 2 trên trường K và do đó dim R = n. Ta có grm(R) = K[b¯1, b¯2, . . . , b¯n] ∼= K[x1, x2, . . . , xd]. Vậy n = d và do đó dimK(m/m 2) = d. 3.⇒ 1. Giả sử dimK(m/m2) = dim R = d và c1, c2, . . . , cd ∈ m sao cho c¯1, c¯2, . . . , c¯d là một cơ sở của không gian véc tơ m/m2 trên trường K. Khi đó m = (c1, c2, . . . , cd) + m 2 và do đó m = (c1, c2, . . . , cd). Vậy R là vành địa phương chính quy.  Định lý 4.3. Mọi vành địa phương chính quy đều là miền nguyên. Chứng minh. Giả sử R là một vành địa phương chính quy. Theo Định lý 4.2, ta có grm(R) ∼= K[x1, x2, . . . , xd] và do đó grm(R) là miền nguyên. Theo Định lý giao Krull, ∩∞n=0mn = 0. Bây giờ, giả sử a và b là các phần tử khác không của R. Khi đó tồn tại các Ths. Lê Văn Chua 53 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường số nguyên không âm m và n sao cho a ∈ mm − mm+1 và b ∈ mn − mn+1. Gọi a¯ là ảnh của a trong mm/mm+1 và b¯ là ảnh của b trong mn/mn+1. Ta có a¯ và b¯ là các phần tử khác không trong miền nguyên grm(R) và do đó a¯b¯ khác không trong grm(R). Vì a¯b¯ = ab là ảnh của ab trong mm+n/mm+n+1. Từ đây suy ra ab khác không trong R. Vậy R là miền nguyên.  Định lý 4.4. Giả sử R là một vành địa phương chính quy chiều d và a1, a2, . . . , at ∈ m với 1 ≤ t ≤ d. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương 1. a1, a2, . . . , at là một phần của một hệ tham số chính quy của R. 2. a¯1, a¯2, . . . , at độc lập tuyến tính trên K, trong đó a¯i = ai + m 2. 3. Vành thương R/(a1, a2, . . . , at) là một vành địa phương chính quy chiều d− t. Chứng minh. 1. ⇔ 2. Các phần tử a1, a2, . . . , at là một phần của một hệ tham số chính quy a1, a2, . . . , ad nếu và chỉ nếu a¯1, a¯2, . . . , a¯t là một phần của một cơ sở a¯1, a¯2, . . . , a¯d của không gian véc tơ m/m2 trên trường K. Điều này tương đương với a¯1, a¯2, . . . , a¯t độc lập tuyến tính trên K. 1.⇒ 3. Đặt R = R/(a1, a2, . . . , at) và m = m/(a1, a2, . . . , at). Giả sử a1, a2, . . . , at, at+1, . . . , ad là một hệ tham số chính quy của R. Khi đó dim R = d − t và a¯t+1, a¯t+2, . . . , a¯d sinh ra iđêan m. Vậy R là vành địa phương chính quy chiều d− t. 3.⇒ 1. Giả sử at+1, at+2, . . . , ad là các phần tử của m sao cho a¯t+1, a¯t+2, . . . , a¯d ∈ m là một hệ tham số chính quy của R. Nếu x ∈ m thì x¯ ∈ m. Khi đó tồn tại ct+1, ct+2, . . . , cd ∈ R sao cho x− (ct+1at+1 + · · ·+ cdad) ∈ (a1, a2, . . . , at). Do đó tồn tại c1, c2, . . . , ct ∈ R để x = c1a1 + c2a2 + · · ·+ cdad. Vậy a1, a2, . . . , ad sinh ra m. Vì R là vành địa phương chính quy nên a1, a2, . . . , ad là một hệ tham số chính quy. Do đó a1, a2, . . . , at là một phần của một hệ tham số chính quy của R.  Định lý 4.5. Giả sử R là vành địa phương Noether với iđêan cực đại m. Khi đó R là vành địa phương chính quy khi và chỉ khi m sinh bởi một R−dãy. Chứng minh. Giả sử R là một vành địa phương chính quy và a1, a2, . . . , ad là một hệ tham số chính quy. Với mọi t (0 ≤ t ≤ d), ta có R = R/(a1, a2, . . . , at) là vành địa phương chính quy chiều d− t với iđêan cực đại m = m/(a1, a2, . . . , at) và a¯t+1, a¯t+2, . . . , a¯d là một hệ tham số chính quy của R. Vì R là miền nguyên nên a¯t+1 khác không và không là ước của không trong vành R, nghĩa là at+1 không là ước của không trong R/(a1, a2, . . . , at) với mọi t = 0, 1, . . . , d. Do đó a1, a2, . . . , ad là một R−dãy. Đảo lại nếu m sinh bởi một R−dãy a1, a2, . . . , ad thì dim R/m = dim R/(a1, a2, . . . , ad) = dim R− d. Vì R/m là trường nên dim R/m = 0 suy ra dim R = d. Vậy R là vành địa phương chính quy.  Ths. Lê Văn Chua 54 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Định lý 4.6. Mọi vành địa phương chính quy đều là vành Cohen-Macaulay. Chứng minh. Giả sử R là một vành địa phương chính quy chiều d với iđêan cực đại m. Khi đó m sinh bởi một R−dãy a1, a2, . . . , ad. Theo định nghĩa độ sâu, ta có d ≤ depth(R) hay dim R ≤ depth(R). Theo Định lý 2.14, dim R ≥ depth(R). Vậy depth(R) = dim R và do đó R là một vành Cohen-Macaulay.  Ths. Lê Văn Chua 55 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường KẾT LUẬN Đề tài đã đạt được những kết quả nhất định về một số vấn đề về lý thuyết chiều. Trước hết là sự thống nhất các bất biến của môđun: chiều Krull, chiều Chevalley và bậc đa thức Hilbert-Samuel. Sự thống nhất này dẫn đến một số kết quả sau: chiều Krull của vành R nhỏ hơn hoặc bằng chiều của không gian véc tơ m/m2 trên trường thăng dư K = R/m (Hệ quả 1.9, Chương 4); chiều Krull của vành đa thức n biến K[x1, x2, . . . , xn] là n (Hệ quả 1.14, Chương 4). Bện cạnh việc nghiên cứu về chiều Krull của môđun và vành, tôi còn nghiên cứu về độ sâu của chúng. Từ đó nhận được kết quả là: Độ sâu của một môđun bao giờ cũng nhỏ hơn hoặc bằng chiều Krull của nó (Định lý 2.14, Chương 4). Trong trường hợp độ sâu trùng với chiều Krull thì ta được một cấu trúc môđun Cohen-Macaulay (C.M) và đặc biệt là vành Cohen-Macaulay. Môđun và vành Cohen-Macaulay có những đặc trưng cơ bản sau: mọi hệ tham số đều là dãy chính quy (Định lý 3.6, Chương 4); Dãy chính quy cực đại đều là hệ tham số (Hệ quả 3.8, Chương 4); với I là iđêan thực sự của R, ta luôn có ht(I) + Coht(I) = dim R (Định lý 3.11, Chương 4). Một cấu trúc vành quan trọng khác cũng được nghiên cứu, đó là vành địa phương chính quy. Vành này có những đặc trưng cơ bản sau: Vành R là địa phương chính quy nếu và chỉ nếu dim R = dimK(m/m 2) (Định lý 4.2, Chương 4); Mọi vành địa phương chính quy đều là miền nguyên (Định lý 4.3, Chương 4). Về mối quan hệ giữa vành Cohen-Macaulay và vành địa phương chính quy, ta có kết quả sau: Mọi vành địa phương chính quy đều là vành Cohen-Macaulay (Định lý 4.6, Chương 4). Ths. Lê Văn Chua 56 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường TÀI LIỆU THAM KHẢO D. Eisenbud. 1995. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag. D.G. Northcott. 1968. Lessons on rings, module and multiplicities, Cambridge Univer- sity Press. Dương Quốc Việt. 2008. Lí Thuyết Chiều, NXB ĐHSP. H. Matsumura. 1986. Commutative Ring Theory, Cambridge University Press. M. Atiyah and I. G. MacDonal. 1969. Introduction to Commutative Algebra, Addision- Wesley. N.S. Gopalakrishnan. 1984. Commutative Algebra, Oxonian Press. Ths. Lê Văn Chua 57 ._.