Một số vấn đề về đa tạo con của một đa tạp Riemann

ĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. KHU QUỐC ANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 2 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và hỗ trợ. Tôi xin chân thành cảm ơn TS Khu Quốc Anh đã tận tình hướng dẫn và giúp đở rất nhiều để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Nhân đây tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn đến các Thầy Cô trong tổ Hình học thuộc khoa Toán - Tin, Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ và góp ý cho luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quan tâm và góp ý để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng Kế hoạch tài chính, Phòng Khoa học công nghệ và Sau đại học của trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh cũng như Ban giám hiệu trường THPT Lương Thế Vinh đã tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn tất chương trình cao học và hoàn thành luận văn. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn thạc sĩ này. 3 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa ....................................................................................... 1 Lời cảm ơn ........................................................................................... 2 Mục lục ................................................................................................ 3 Mở đầu ................................................................................................. 6 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................... 8 1.1.Đa tạp khả vi .................................................................................. 8 1.1.1.Đa tạp khả vi ............................................................................ 8 1.1.1.1.Đa tạp khả vi n chiều .......................................................... 8 1.1.1.2. Ánh xạ khả vi..................................................................... 9 1.1.2. Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc ................................ 9 1.1.2.1. Định nghĩa về không gian vectơ tiếp xúc pT M .................. 10 1.1.2.2. Phân thớ tiếp xúc ............................................................... 11 1.1.2.3. Trường vectơ ..................................................................... 12 1.1.2.4. Trường mục tiêu ................................................................ 12 1.1.2.5. Tích Lie của hai trường vectơ ............................................ 12 1.1.2.6. Ánh xạ tiếp xúc .................................................................. 13 1.1.3. Đa tạp con ............................................................................... 14 1.1.4. Trường tenxơ ........................................................................... 14 1.1.4.1. Tích tenxơ ......................................................................... 14 1.1.4.2. Các tenxơ phản biến và hiệp biến ..................................... 15 1.1.4.3. Trường tenxơ .................................................................... 16 1.2. Lý thuyết liên thông ...................................................................... 18 1.2.1. Định nghĩa liên thông tuyến tính trên đa tạp ............................ 18 1.2.2. Đạo hàm thuận biến của trường tenxơ ..................................... 20 1.2.3. Tenxơ xoắn và tenxơ cong ....................................................... 20 4 1.2.4. Đường trắc địa ......................................................................... 21 1.3. Đa tạp Riemann ............................................................................. 23 1.3.1. Khái niệm đa tạp Riemann ....................................................... 23 1.3.2. Liên thông Riemann ................................................................ 23 1.3.2.1. Định nghĩa liên thông Riemann ......................................... 23 1.3.2.2. Định lý ............................................................................... 23 1.3.3. Liên thông Levi – Cita ............................................................. 25 1.3.3.1. Định nghĩa ......................................................................... 25 1.3.3.2. Định lý ............................................................................... 25 1.3.4. Độ cong trên đa tạp Riemann ................................................... 26 1.3.4.1. Những khảo sát đại số có liên quan .................................... 26 1.3.4.2. Độ cong thiết diện .............................................................. 27 1.3.4.3. Độ cong Ricci .................................................................... 27 1.3.5. Ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Riemann ................................ 28 1.3.6. Tính đầy của đa tạp Riemann ................................................... 28 1.3.6.1. Định lý ............................................................................... 28 1.3.6.2. Bổ đề ................................................................................. 29 Chương 2: ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN..... 30 2.1. Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của một đa tạp con của một đa tạp Riemann. ...................................................................... 30 2.1.1. Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của một đa tạp con của một đa tạp Riemann. Công thức Gauss .......................................... 30 2.1.1.1. Mệnh đề ............................................................................. 31 2.1.1.2. Mệnh đề ............................................................................. 34 2.1.2. Công thức Weingarten ............................................................. 37 2.1.2.1. Mệnh đề ............................................................................. 38 2.1.2.2. Mệnh đề ............................................................................. 40 5 2.1.3. Một số ví dụ minh họa ............................................................. 41 2.2. Phương trình của Gauss và Codazzi .............................................. 44 2.2.1. Phương trình Gauss ................................................................. 44 2.2.1.1. Mệnh đề ............................................................................. 45 2.2.1.2. Hệ quả ............................................................................... 46 2.2.1.2.1. Ví dụ ............................................................................ 46 2.2.1.2.2. Ví dụ ............................................................................ 47 2.2.2. Phương trình của Codazzi ........................................................ 48 2.2.2.1. Mệnh đề ............................................................................. 49 2.2.2.2. Hệ quả ............................................................................... 49 2.2.2.3. Mệnh đề ............................................................................. 51 2.2.2.4. Mệnh đề ............................................................................. 52 2.2.2.5. Định lý ............................................................................... 53 2.2.2.6. Bổ đề ................................................................................. 53 2.3. Các siêu mặt trong một không gian Euclide ................................... 55 2.3.1. Tính chất cơ bản ...................................................................... 55 2.3.2. Định nghĩa ............................................................................... 58 2.3.3. Biểu thức Tenxơ Ricci của siêu mặt ........................................ 62 2.3.4. Tính chất của đa tạp Anhstanh ................................................. 62 2.3.4.1. Định lý .............................................................................. 62 2.4. Định lý cơ bản cho các siêu mặt .................................................... 68 2.4.1. Định lý..................................................................................... 68 2.4.2. Bổ đề ....................................................................................... 69 2.4.3. Bổ đề ...................................................................................... 70 2.4.4. Bổ đề ....................................................................................... 72 Kết luận ................................................................................................ 75 Tài liệu tham khảo ................................................................................ 77 6 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hình học Riemann là nột trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của hình học vi phân. Ra đời từ thế kỷ XVIII nhưng do những ứng dụng sâu sắc của nó trong thực tế, hình học Riemann vẫn được phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay. Nhà toán học Đức Georg Friedrich bernhard Riemann ( 17 tháng 9, 1826 – 20 tháng 7, 1866), một học trò xuất sắc của nhà tóan học thiên tài K.F.Gauss, là người đầu tiên mở rộng các kết quả nghiên cứu về hình học vi phân từ không gian ba chiều thông thường ( cụ thể là lý thuyết về các mặt trong không gian Euclide ba chiều) sang các không gian nhiều chiều. Những công trình của ông được nhiều nhà toán học nổi tiếng thời bấy giờ và sau này nghiên cứu và phát triển trở thành một lý thuyết quan trọng của hình học vi phân mang tên ông gọi là hình học Riemann. Hình học Riemann có những đóng góp to lớn chẳng những trong sự phát triển của toán học mà cả trong đời sống thực tế. Lý thuyết tương đối của nhà bác học Einstein đã dựa trên cơ sở toán học là hình học Riemann. Từ việc nghiên cứu hình học Riemann bằng những công cụ toán học hiện đại, nhiều môn hình học khác như hình học Finsler, hình học phức, hình học Symplectic,… đã ra đời và phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay. Khi chọn đề tài “ Một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann”, chúng tôi muốn tìm hiểu một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của hình học vi phân. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài này, chúng tôi muốn mở rộng các kết quả đã biết của lý thuyết mặt trong không gian Euclide ba chiều đã học ở đại học. Luận văn này được thực hiện nhằm chứng minh một cách đầy đủ một số định lý và 7 mệnh đề về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của một đa tạp Riemann, và các siêu mặt trong không gian Euclide. 3. Đối tượng nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann, cụ thể là nghiên cứu về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của một đa tạp Riemann, và các siêu mặt trong không gian Euclide. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Kết quả của luận văn này tạo ra những cơ sở mở đầu để nghiên cứu về đa tạp con của một đa tạp Riemann. 5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương: Chương 1: hệ thống lại các kiến thức chuẩn bị về tôpô vi phân và hình học vi phân, gồm các khái niệm cơ bản và các định lý cơ sở, làm nền tảng xây dựng chương 2. Chương 2: nghiên cứu về đa tạp con của đa tạp Riemann, bao gồm các vấn đề về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai, các phương trình của Gauss và Codazzi, các siêu mặt trong không gian Euclide và định lý cơ bản cho các siêu mặt. 8 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp khả vi 1.1.1.Đa tạp khả vi 1.1.1.1. Đa tạp khả vi n chiều Cho M là một không gian tôpô Hausdoff có cơ sở đếm được . M được gọi là đa tạp tôpô n - chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian Euclide n
, tức là : • ∀ x M∈ , ∃ lân cận U của x và một đồng phôi • :U Vϕ → mở n⊂
Giả sử M là đa tạp tôpô n - chiều , cặp ( ,U ϕ ) xác định trên được gọi là một bản đồ trên M . Một atlas (tập bản đồ) khả vi lớp kC ( 1k ≥ ) là một họ C = { }( , ) :i iU i Iϕ ∈ các bản đồ thỏa mãn hai điều kiện a) Họ { }iU là một phủ mở của M. b) Với hai bản đồ ( , )i iU ϕ và ( , )j jU ϕ , i jU U∩ ≠ ∅ , ánh xạ 1j i−ϕ ϕ xác định trên ( )i i jU Uϕ ∩ là ánh xạ khả vi lớp kC từ ( )i i jU Uϕ ∩ lên ( )j i jU Uϕ ∩ . Hai tập bản đồ C1 = { }( , ) :i iU i Iϕ ∈ và C2 = { }( , ) :j jV j Jψ ∈ khả vi lớp kC được gọi là tương thích với nhau , nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ khả vi lớp kC . Quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đương trên họ các tập bản đồ khả vi lớp kC . Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp kC trên M. Đa tạp tôpô n - chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp kC cho trên nó 9 được gọi là một đa tạp khả vi n - chiều lớp kC .Nếu k = ∞ , cấu trúc khả vi tương ứng được gọi là cấu trúc nhẵn trên M. Khi đó M được gọi là đa tạp nhẵn. 1.1.1.2.Ánh xạ khả vi Giả sử M , N là hai đa tạp khả vi với số chiều m , n tương ứng . Ánh xạ liên tục f : M→N được gọi là khả vi tại p M∈ nếu với mọi bản đồ ( , )U ϕ quanh p và ( , )V ψ quanh f(p) = q sao cho ( )f U V⊂ thì ánh xạ 1f −ψ ϕ  : ( ) ( )U Vϕ → ψ là khả vi tại điểm ( ) mpϕ ∈
Ánh xạ f là khả vi , nếu nó khả vi tại mọi điểm p M∈ . Cho ánh xạ khả vi f : M→N , p M∈ , ( , )V ψ là bản đồ địa phương quanh ( )pϕ , các tọa độ được cho bởi n hàm jy trên V . Giả sử ( , )U ϕ là bản đồ quanh p M∈ , các tọa độ cho bởi 1(.) ( ,..., )mx xϕ = với ( )f U V⊂ Ánh xạ 1f −ψ ϕ  được cho bởi biểu thức 1 2( , ,..., ), 1,2,...,j j my h x x x j n= = ( jh là những hàm khả vi). Hạng của ma trận j i h x  ∂  ∂  (m ×n) tại 1( ) ( ( ),..., ( ))mp x p x pϕ = không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương , được gọi là hạng của ánh xạ f tại điểm p. Khi đó f được gọi là một dìm nếu hạng của f tại mọi điểm p đều bằng m = dim M . Ánh xạ f được gọi là một nhúng nếu f là một dìm và f là một đồng phôi từ M lên f(M). 1.1.2.Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc 10 1.1.2.1. Định nghĩa về không gian vectơ tiếp xúc pT M Cho M là đa tạp khả vi số chiều m lớp kC . Một đường cong khả vi lớp rC trên M là một ánh xạ c: J M→ (0 J∈ mở ⊂
) khả vi lớp kC . Ánh xạ f: M→
lớp rC được gọi là một hàm khả vi lớp rC trên M . Kí hiệu F r(M) là tập hợp hàm khả vi ( lớp rC ) trên M , F r(p) là tập hợp các hàm khả vi lớp rC trong lân cận của p , 1pC (M) là tập các đường cong c khả vi lớp 1C trên M sao cho c(0) = p. Ta xét một quan hệ “∼ ” trên 1pC (M) như sau: 1 2: , :c J M c J M→ → sao cho 1 2(0) (0)c c p= = Ta nói 1 2c c ⇔∼ có bản đồ (U ,x) quanh x sao cho với I = 1,2,…,m. Khi đó quan hệ “∼ ” là một quan hệ tương đương trên tập hợp các đường cong khả vi lớp 1C qua p M∈ . Mỗi lớp tương đương đối với quan hệ tương đương trên được gọi là một vectơ tiếp xúc tại p của M . Tập các vectơ tiếp xúc tại p của M được kí hiệu là pT M . Ta mô tả cấu trúc của pT M . Tập F k(p) với các phép toán cộng và nhân tự nhiên và nhân vô hướng với một số thực làm thành một
– đại số. Ta gọi một đạo hàm tại p là một hàm v: F k(p)→
thỏa mãn hai điều kiện • v là ánh xạ tuyến tính giữa các
– không gian vectơ. • v(f.g) = v(f) . g(p) + f(p) . v(g) , ∀ f ,g ∈ F k(p). Giả sử [c] pT M∈ , ta có thể coi [c] là một đạo hàm tại p bằng cách sau : ( ) ( )1 20 0i it td dx c x cdt dt= ==  11 Với f ∈ F k(p) , đặt [c](f) = 0( ) d f c t dt  (1) Khi đó quy tắc trên không phụ thuộc vào việc chọn đường cong đại diện của [c] , nó thỏa mãn hai tính chất trên . Bằng đồng nhất này , ta có một đơn ánh từ pT M vào không gian các đạo hàm tại p . Xét bản đồ địa phương (U , x) quanh p sao cho 1( ,..., )mx x x= . Với mỗi j , xét đường cong 1( ) ( ( ) )j jc t x x p te−= + , 1{0, ,..., }me e là mục tiêu trong m
, thì jc là đường cong trên M qua p , nó xác định vectơ tiếp xúc , kí hiệu j px ∂   ∂  . Ta có 1 ( ) ( ) ( )jj x p p f D f x x − ∂  = ∂   , với jD là kí hiệu đạo hàm riêng thứ j . Ta viết ( )j j p p ff x x ∂ ∂    =   ∂ ∂    . Khi đó pT M chính là không gian con m chiều của không gian vectơ các đạo hàm tại p , và hệ , 1,...,j p j m x  ∂   =  ∂    là cơ sở của không gian vectơ tiếp xúc pT M của đa tạp M tại p. 1.1.2.2. Phân thớ tiếp xúc Giả sử M là đa tạp khả vi m chiều lớp kC . Xét p p M TM T M ∈ = ∪ . Đối với mỗi bản đồ (U, x) trên M , đặt p p U TU T M ∈ = ∪ . Xét ánh xạ  : ( ) mx TU x U→ ×
được xác định ( 1 , ( ) m j p j j p v T M v v x x= ∂  ∈ =  ∂ ∑ , x là một song ánh)  1( ) ( ( ), ( ),..., ( ))mx v x p v x v x= 12 Ta gọi ( , )TU x là bản đồ trên TM , kết hợp với (U , x) . Ta có thể trang bị cho TM một tôpô xác định duy nhất sao cho các bản đồ ( , )TU x trên TM có x là đồng phôi . Cụ thể , xét { }( , ),i iU V x i I= ∈ là một tập bản đồ trên M , : mi i ix U V→ ⊆
. Khi đó A mở trong TM khi và chỉ khi ( )iA TU∩ là tạo ảnh của tập mở trong miV ×
qua  ix , i I∀ ∈ . Khi đó , tập các bản đồ { },iTU x tạo thành một atlas khả vi lớp 1kC − , cho cấu trúc khả vi lớp 1kC − trên TM. TM cùng với cấu trúc khả vi xác định như trên là đa tạp khả vi 2m chiều , được gọi là phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M. Ánh xạ :TM Mpi → với ( )v ppi = ( pv T M∈ ) là khả vi và có hạng cực đại. 1.1.2.3. Trường vectơ Cho M là đa tạp khả vi m chiều , TM là phân thớ tiếp xúc của đa tạp M , U mở M⊂ . Trường vectơ khả vi trên M là ánh xạ khả vi X: M→TM sao cho . ( )X p ppi = ( p M∈ ) .Ta còn gọi X là nhát cắt khả vi xác định trên M. Tập các trường vectơ khả vi trên M được kí hiệu là V(M). Đa tạp M được gọi là khả song nếu tồn tại m trường vectơ tiếp xúc độc lập tuyến tính trên M , nghĩa là có m trường vectơ khả vi 1,..., mX X sao cho với mỗi p ∈M, 1( ),..., ( )mX p X p tạo thành cơ sở của pT M . 1.1.2.4. Trường mục tiêu Trường mục tiêu trên U mở M⊂ là hệ gồm n trường vectơ { }1,..., nX X trên U sao cho với mỗi p U∈ thì hệ { }1 ,...,p npX X là một cơ sở của ( )pT M . 13 Nếu với p U∀ ∈ , .ip jp ijX X = δ thì { }iX được gọi là trường mục tiêu trực chuẩn. 1.1.2.5. Tích Lie của hai trường vectơ Với mỗi trường vectơ khả vi ( )X V M∈ , hàm khả vi f∈ F r(M), ta xác định hàm Xf∈ F r–1(M), với : 0,( )( ) ( ) ( ( ))p t dp M Xf p X f f c t dt = ∈ = =  . với X , Y là hai trường vectơ khả vi trên M , tích Lie của X và Y , kí hiệu [X , Y] được xác định như sau [ ], ( ) ( )X Y f X Yf Y Xf= − , f ∈ F r(M) 1.1.2.6. Ánh xạ tiếp xúc Giả sử ,M N là hai đa tạp khả vi với số chiều ,m n tương ứng và :f M N→ là ánh xạ khả vi. Với mỗi p M∈ , xét ( ):p p f pT f T M T N→ xác định như sau: Với , [ ], :pv T M v c c J M∈ = → mà (0)c p= , đặt: Ta thấy định nghĩa trên không phụ thuộc vào đường cong đại diện cho vectơ v. Ta xét biểu diễn địa phương của pT f . Giả sử ( , )U x là bản đồ địa phương quanh p, ( , )V y là bản đồ địa phương quanh ( )f p , sao cho ( )f U V⊂ . Khi đó , nếu 1 ( ) m i i i p v v x x = ∂ = ∂∑ thì Do đó pT f là một ánh xạ tuyến tính. Như vậy ta xác định được ánh xạ :Tf TM TN→ , với ( )( ) ( )( )p pv T M Tf v T f v∈ ⇒ = . Ta có biểu đồ sau giao hoán: ( )( ) [ ]p f pT f v f c T N= ∈ 1 ( ) ( )( ) ( ) n j p j j f p T f v v y f y = ∂ = ∂∑  14 Tf f TM TN M N pi pi → ↓ ↓ → Ta thường kí hiệu pT f là *f p và Tf là *f và gọi là ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi f . 1.1.3. Đa tạp con Một ánh xạ : 'f M M→ được gọi là một phép dìm nếu * ( ) pf là đơn cấu với mọi p ∈M. Nếu : 'f M M→ là một dìm, đồng phôi lên ảnh thì f được gọi là một phép nhúng. Khi đó (M hay ( )f M ) gọi là đa tạp con của đa tạp 'M . Một phân bố S có số chiều r trên một đa tạp M là một phép gán mỗi điểm p M∈ với một không gian con r – chiều pS của ( )pT M . Nó được gọi là khả vi nếu mọi điểm p có một lân cận U và r trường vectơ khả vi trên U, chẳng hạn , 1,..., rX X , tạo thành một cơ sở của qS tại mọi q∈U. Tập hợp 1,..., rX X được gọi là cơ sở địa phương của phân bố S trong U.Một trường vectơ X được gọi là phụ thuộc vào S nếu p pX S∈ với mọi p ∈M. S được gọi là đối hợp nếu [X, Y] phụ thuộc vào S với bất kì hai trường vectơ X và Y phụ thuộc vào S. Bằng một phân bố ta sẽ luôn xác định được một phân bố khả vi. Một đa tạp con liên thông N của M được gọi là một đa tạp tích phân của phân bố S nếu * ( ( ))p pf T N S= với mọi p ∈N, với f là phép nhúng N vào M. Nếu không có một đa tạp tích phân nào khác của S chứa N , N được gọi là đa tạp tích phân cực đại của S. 1.1.4. Trường tenxơ 1.1.4.1. Tích tenxơ 15 Xét K là trường số thực
hay trường số phức  Tích tenxơ U V⊗ của hai không gian vectơ hữu hạn chiều U và V trên K được xác định như sau: Kí hiệu M(U,V) là không gian vectơ trên trường K có cơ sở là tập U×V , tức M(U,V) gồm những tổng hình thức hữu hạn dạng ( , ), ,( , )i i i i i ik u v k u v U V∈ ∈ ×∑
Giả sử N là không gian con của M(U,V) , sinh bởi các phần tử dạng • (u + u’,v) – (u,v) – (u’,v) ; (u, v + v’) – (u,v) –(u, v’) • (ku , v) – k(u,v) ; (u , kv) – k(u,v) ; (u ,v) ∈ U×V , k ∈
Đặt ( , ) /U V M U V N⊗ = . Xét ánh xạ chiếu : ( , )M U V U Vpi → ⊗ . Với (u ,v) ∈U × V , kí hiệu ( , )u v u vpi = ⊗ . Khi đó U V⊗ là một không gian vectơ , được gọi là tích tenxơ của hai không gian vectơ U và V. 1.1.4.2. Các tenxơ phản biến và hiệp biến Giả sử V là không gian vectơ trên trường K Đặt ( ) ...rT V V V V= ⊗ ⊗ ⊗ ( r tích tenxơ) , ( )rT V được gọi là không gian các tenxơ r lần phản biến, mỗi phần tử của ( )rT V là một tenxơ phản biến bậc r. 0T =K Đặt ( ) * * ... *sT V V V V= ⊗ ⊗ ⊗ ( s lần tích tenxơ) , *V là không gian vectơ đối ngẫu của V . ( )sT V được gọi là không gian các tenxơ hiệp biến bậc s , mỗi phần tử của ( )sT V là một tenxơ hiệp biến bậc s. 0T =K . 1 *T V= . 16 Kí hiệu ( )rT V = rT , ( )sT V = sT . Giả sử 1,..., ne e là một cơ sở trong V và cơ sở đối ngẫu 1 ,..., ne e trong V*. Khi đó { }1 1... ,1 ,...,i ir re e i i n⊗ ⊗ ≤ ≤ là cơ sở trong rT . Tensơ F rT∈ , khi đó F = 1 1 1 ... ,..., ... r r r i i i i i i k e e⊗ ⊗∑ ( với 1... ri ik là các thành phần của tenxơ F). Tương tự , mỗi tenxơ thuận biến bậc s , L sT∈ , được biểu diễn L = 1 ...1 1,..., ... s j js s jj j j l e e⊗ ⊗∑ ( với 1,..., sj jl là các thành phần của tenxơ L) Không gian tenxơ kiểu (r ,s) ( r lần phản biến , s lần hiệp biến) là tích tenxơ ... * ... * r r s sT V V V V T T= ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ = ⊗ Tenxơ T rsT∈ được biểu diễn 1 111... ... ... ... sr rjs ji i j i ijT T e e e e −− = ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗∑ với 1 1... ... r js i i jT là các thành phần của tenxơ T đối với các cơ sở đã cho. 1.1.4.3. Trường tenxơ Giả sử M là đa tạp khả vi , ( )xT M là không gian tiếp xúc với đa tạp M tại điểm x , ( ) , 0 ( )rx s r s T T x ∞ = = ∑ . ( )rsT x là không gian các tenxơ kiểu (r, s) trên ( )xT M Trường tenxơ K kiểu (r,s) trên tập con N của M là tương ứng mỗi điểm x∈N với ( ) ( )rsK x T x∈ . Trong lân cận tọa độ địa phương ( , )U ϕ với hệ tọa độ địa phương 1 ,..., n x x , lấy ( 1,2,..., )i iX i n x ∂ = = ∂ là cơ sở của ( )xT M , x U∈ , đặt i idxω = là cơ sở đối ngẫu trong *( )xT M . Trường tenxơ K kiểu (r, s) xác định trên U được cho bởi 17 1 1 11 ... ... ( ) ... ... sr rs ji i j i ij jK x K X X= ⊗ ⊗ ⊗ ω ⊗ ⊗ ω∑ Trong đó 1 1 ... ... r s i i j jK là những hàm trên U , gọi là các thành phần của K đối với hệ tọa độ địa phương 1,..., nx x . Ví dụ: Cho M là đa tạp khả vi, một metric Riemann trên M là một trường tenxơ kiểu (0, 2) trên M sao cho với mọi X ,Y ∈V(M), ta có g(X,Y) = g(Y ,X) g(X, X) ≥ 0 , g(X ,X) = 0 khi và chỉ khi X = 0. Nói cách khác, g là một metric Riemann trên M nếu trên mỗi không gian tiếp xúc ( ),xT M x∈M, g xác định một tích vô hướng . Trong lân cận U với tọa độ địa phương 1,..., nx x , đặt ,ij i jg g x x ∂ ∂  =  ∂ ∂  , ta có , 1 . n i j ij i j g g dx dx = = ⊗∑ . 18 1.2. Lý thuyết liên thông Ta xét M là một đa tạp khả vi lớp C∞ , X(M) là đại số Lie các trường vectơ nhẵn trên M , F(M) là vành các hàm khả vi lớp C∞ trên M 1.2.1. Định nghĩa liên thông tuyến tính trên đa tạp Ánh xạ ∇ : X(M)×X(M)→ X(M) (X,Y)  XY∇ thỏa mãn các tính chất với ,X Y∀ ∈ X (M), f∀ ∈F(M) 1. ( )X X XY Z Y Z∇ + = ∇ + ∇ 2. ( )X Y X YZ Z Z+∇ = ∇ + ∇ 3. .fX XY f Y∇ = ∇ 4. ( ) ( ). .X XfY Xf Y f Y∇ = + ∇ được gọi là một liên thông tuyến tính trên M. XY∇ được gọi là đạo hàm thuận biến (hiệp biến ) của trường vectơ Y dọc trường vectơ X. Toán tử :X XY Y∇ ∇ được gọi là đạo hàm thuận biến dọc trường vectơ X. Với mỗi v aT M∈ , gọi X là trường vectơ thuộc X(M) sao cho X(a) = v , đặt ( )( )v XY Y a∇ = ∇ . vY∇ không phụ thuộc vào việc chọn X. Khi đó vY∇ được gọi là đạo hàm thuận biến của trường vectơ Y theo vectơ tiếp xúc v. 1.2.1.1. Ví dụ Giả sử M = n
. Gọi , 1,...,i i mx ∂  = ∂  là trường mục tiêu chính tắc trên m
. 19 Nếu 1 1 , m m i j i j i j X Y x x= = ∂ ∂ = ϕ = ψ ∂ ∂∑ ∑ với ,i jϕ ψ ∈F( m
), ta đặt: , 1 jm i X i j i j Y x x= ∂ψ ∂∇ = ϕ ∂ ∂∑ Khi đó ∇ thỏa mãn các tính chất (1), (2), (3),(4) trong định nghĩa. Ta kiểm tra lại, chẳng hạn tính chất 4 Với f ∈ F( n
), ta có: ( )( ) . . . j i X i j j i j i i j i j ffY x x f f x x x x ∂ ψ ∂∇ = ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ψ ∂ = ϕ ψ + ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ ∑ Đặc biệt 0, , 1,..., i j x i j m x ∂ ∂ ∂∇ = ∀ = ∂ Liên thông này được gọi là liên thông tuyến tính chính tắc trên m
. 1.2.1.2. Ví dụ Giả sử M là một đa tạp khả song. Gọi { }iX ,i = 1,…,m là trường mục tiêu trên M. Kí hiệu i k X j ij k k X X∇ = Γ∑ Nếu 0, , ,kij i j kΓ = ∀ thì liên thông ∇ xác định như trên được gọi là liên thông tuyến tính chính tắc ứng với trường mục tiêu { }iX . Giả sử M = G là một nhóm Lie. Chọn trường mục tiêu bất biến trái { }iX . Gọi ∇ là liên thông tuyến tính trên M xác định bởi iX jX∇ = 0,∀ i,j. [ ]. j i j i i j i j X f f x x x x X f Y f Y ∂ ∂ ∂ψ ∂   = ϕ ψ + ϕ  ∂ ∂ ∂ ∂   = + ∇ ∑ ∑ ∑ 20 Khi đó liên thông này không phụ thuộc vào việc chọn trường mục tiêu bất biến trái { }iX . Thật vậy , giả sử { }jX là trường mục tiêu bất biến trái của G. Ta có:  i j j iX X= ϕ∑ Do đó ,i jX X bất biến trái nên i jϕ là hằng số . Do đó, nếu gọi ∇ là liên thông tuyến tính ứng với { }jX thì  0Xi jX∇ = ,∀ i, j . Mặt khác ,∀ i, j   0k k kX ii h k h j j h i j X hXX X Xϕ∑∇ = ∇ ϕ = ϕ ϕ ∇ =∑ ∑ . Từ đó suy ra ∇ = ∇ . Các hàm kijΓ được gọi là các thành phần ( hay các kí hiệu Christoffel) của liên thông tuyến tính ∇ đối với trường mục tiêu { }iX . 1.2.2. Đạo hàm thuận biến của trường tenxơ Cho đa tạp nhẵn với liên thông tuyến tính (M , ∇ ) . Kí hiệu ( )Mℑ là tập các trường tenxơ nhẵn trên M. Khi đó có một và chỉ một ánh xạ ∇ : X(M) × ℑ (M) ( )M→ ℑ , (X ,A) X A∇ thỏa các tính chất sau: 1. ∇ là
- song tuyến tính bảo toàn chỉ số của A. 2. ∇ là F(M) - tuyến tính đối với X. 3. f ∈ F(M) thì X f Xf∇ = 4. Y ∈ X(M) thì XY∇ là đạo hàm thuận biến của Y dọc X. 5. ( )X X XA B A B A B∇ ⊗ = ∇ ⊗ + ⊗ ∇ . 6. X∇ giao hoán với toán tử chập chỉ số. Khi đó toán tử X∇ : A X A∇ được gọi là đạo hàm thuận biến dọc X của trường tenxơ A. 1.2.3. Tenxơ xoắn và tenxơ cong 21 Trong đa tạp khả vi M với liên thông tuyến tính ∇ xét các ánh xạ sau: T : X(M) ×X(M) →X(M) (X, Y) T(X,Y) = [ , ]X YY X X Y∇ − ∇ − R : X(M) ×X(M) ×X(M) → X(M) (X,Y,Z) R(X,Y)Z = [ , ]X Y Y X X YZ Z Z∇ ∇ − ∇ ∇ − ∇ T được gọi là trường tenxơ độ xoắn (tenxơ xoắn ) trên M. R là trường tenxơ độ cong ( tenxơ cong ) trên M. 1.2.4. Đường trắc địa Cho ( ,M ∇ ) và J là một khoảng trong
, ( )cV M là tập các trường vectơ dọc c, :c J M→ , ( )t c t là đường nhẵn, khi đó có một và chỉ một ánh xạ thỏa mãn các tính chất sau: 1) ( )X Y X Y t t t ∇ ∇ ∇ + = + ∂ ∂ ∂ , , ( )cX Y V M∀ ∈ 2) ( ) dffX X f X t dt t ∇ ∇ = + ∂ ∂ , ( ),cX V M f∀ ∈ ∈F(J) 3) Nếu , ( )X X c X V M= ∈ thì '( )( ) c tX t Xt ∇  = ∇ ∂  Khi đó ( )cX V M∈ gọi là song song dọc c nếu: 0X t ∇ = ∂ c được gọi là một trắc địa của ( ,M ∇ ) nếu: ( )' : , '( ) c tc J TM t c t T M→ ∈ là một trường vectơ song song dọc c . Nghĩa là ' 0c t ∇ = ∂ : ( ) ( )c cV M V Mt ∇ → ∂ 22 Nếu có phép đổi tham số : , ( )J J t s tλ → = λ ( ϕ là vi phôi) để 1 c −λ cũng là trắc địa thì khi c khác hằng, áp dụng quy tắc lấy đạo hàm của hàm hợp, ta suy ra 2 2 0 d dt λ = . Từ đó suy ra nếu ( )t at bλ = + ( 0a ≠ ) thì 1c −λ cũng là trắc địa. Ta có: Đường trắc địa trong ( ,M ∇ ) là trắc địa sai khác một phép đổi tham số như trên. 23 1.3. Đa tạp Riemann 1.3.1. Khái niệm đa tạp Riemann Giả sử M là đa tạp khả vi lớp , 1kC k ≥ . Một trường tenxơ g hai lần hiệp biến trên M được gọi là tenxơ metric ( hay metric Riemann trên M ) nếu thỏa hai điều kiện sau: a. g(X, Y) = g(Y , X) , ∀ X, Y ∈X(M). b. ( , ) 0pg X X > , ∀X ∈ X(M) , X(p)≠ 0. Thay cho g(X , Y) , ta thường kí hiệu ,X Y〈 〉 . Đa tạp khả vi M cùng với một tenxơ metric g cho trên nó được gọi là đa tạp Riemann, kí hiệu (M, g) hay M. 1.3.2. Liên thông Riemann 1.3.2.1. Định nghĩa Giả sử (M , g) là một đa tạp Riemann . Liên thông tuyến tính ∇ trên M được gọi là liên thông Riemann nếu đối với mỗi đường khả vi c: J→M (J ⊂
) và X ,Y là các trường vectơ song song dọc c , ta có g( X, Y) là hàm hằng trên J. ( X là trường vectơ song song dọc c , nếu 0D X∇ = ). 1.3.2.2. Định lý Giả sử M là đa tạp Riemann ,∇ là liên thông tuyến tính trên M . Liên thông ∇ là Riemann khi và chỉ khi 0g∇ = , tức với mọi trường vectơ khả vi X, Y ,Z ∈ X(M) , ta có: X . g(Y, Z) = g( XY∇ , Z) +g(Y , X Z∇ ) (1) Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử điều kiện (1) được thực hiện . Xét đường khả vi c: J→M và các trường vectơ X , Y dọc c . Gọi D là trường vectơ đơn vị trên J , coi c(J) nằm 24 trong một lân cận bản đồ (U , x) trong M. Khi đó h(X, Y) = D 〈X,Y〉 – 〈 ,D ._.X Y∇ 〉– 〈X, DY∇ 〉 là ánh xạ song tuyến tính đối với X , Y. Ta cần chứng minh h(X , Y) = 0 . Ta cần kiểm tra điều này với các trường X , Y dạng .iX c , với iX là các trường cơ sở của bản đồ (U ,x) . Ta có * ** ( . , . ) . , . ( . ), . . , . ( ) , , , 0( (1)) i j i j D i j i D j i j c D i j i c D j h X c X c D X c X c X c X c X c X c c D X X X X X X do = 〈 〉 − 〈∇ 〉 − 〈 ∇ 〉 = 〈 〉 − 〈∇ 〉 − 〈 ∇ 〉 = Nếu X ,Y là trường vectơ song song dọc c , thì 0D DX Y∇ = ∇ = . Do vậy D 〈X,Y〉 = 0 , nghĩa ,X Y〈 〉 là hàm hằng trên J. Điều kiện cần: Giả sử ∇ là liên thông Riemann , X , Y , Z là các trường vectơ khả vi trên M . Ta chứng tỏ (1) được thỏa mãn. Ta chỉ cần kiểm tra điều kiện này tại điểm tùy ý cho trước p M∈ . Xét đường c: J→M sao cho 0 ,J∈ c(0) = p , c(0) = pZ . Khi đó: ( ) 0 0 , (0) , , . . ( ), . ( ) , (2)lim p p p t dZ X Y c X Y X Y c dt X c t Y c t X Y t→ 〈 〉 = 〈 〉 = 〈 〉 〈 〉 − 〈 〉 = Với mỗi t J∈ , xét các trường vectơ song song dọc c ( ) ( ),t t cX Y V∈ , thỏa mãn điều kiện ( ) ( ). ( ), . ( )t tt tX X c t Y Y c t= = . Do liên thông ∇ là liên thông Riemann nên ( ) ( ) ( ) ( )0 0, , t t t t t tX Y X Y〈 〉 = 〈 〉 , từ (2) ta có ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 , , , , , , , lim lim t t p p p t t t t t p p p p t X Y X Y Z X Y t X Y X Y X Y X Y t → → 〈 〉 − 〈 〉 〈 〉 = 〈 〉 − 〈 〉 + 〈 〉 − 〈 〉 = 25 Nhưng * 00( . ) ( )D c D Z pX c X X∇ = ∇ = ∇ và 0( . ) ( )D Z pY c Y∇ = ∇ nên Z(X, Y) = , ,Z ZX Y X Y〈∇ 〉 + 〈 ∇ 〉 . Định lý được chứng minh. 1.3.3. Liên thông Levi – Civita 1.3.3.1. Định nghĩa Liên thông Riemann ∇ trên M được gọi là liên thông Levi – Civita , nếu tenxơ xoắn T của ∇ bằng không. Khi đó ta nói ∇ không có độ xoắn. 1.3.3.2. Định lý: Nếu M là đa tạp Riemann , khi đó tồn tại duy nhất một liên thông Levi – Civita trên M. Chứng minh Giả sử ,X Y ∈X(M). Ta xác định XY∇ bởi phương trình sau: 1( , ) [ ( , ) ( , ) ( , ) 2 ([ , ], ) ([ , ], ) ( ,[ , ])] Xg Y Z Xg Y X Yg Z X Zg X Y g X Y Z g Z X Y g X Z Y ∇ = + − + + + + (4) ở đây Z là trường vectơ tùy ý của X(M). Kiểm tra trực tiếp thấy ánh xạ ( , ) XX Y Y∇ thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa liên thông tuyến tính, nghĩa là ' 'X X X XY Y Y+∇ = ∇ + ∇ X XYϕ∇ = ϕ∇ ( ') 'X X XY Y Y Y∇ + = ∇ + ∇ ( )X XY Y X Y∇ ϕ = ϕ∇ + ϕ ( ) ( ) 0 0( ) 0 0 0 0 , , ( . ) , , ( . ) (3) lim t t p pt p t D p p D X X Y Y Y X t t X c Y X Y c →   − − = +     = ∇ + ∇ 26 Với mọi , ', , 'X X Y Y ∈ X(M), ϕ∈F(M) Đặt ( , ) [ , ]X YT X Y Y X X Y= ∇ − ∇ − . Do công thức (4) ta thấy: ( ( , ), ) 0g T X Y X = với mọi Z ∈X(M). Từ đó ( , ) 0T X Y = , nghĩa là liên thông ∇ không có độ xoắn. Để chứng minh XY∇ là liên thông Riemann , ta xét , .X Y Z tùy ý thuộc X(M). Do (4) , ta thu đuợc: X . g(Y, Z) = g( XY∇ , Z) +g(Y , X Z∇ ) Theo định lý 1.3.2.2, ∇ là liên thông Riemann. Để chứng minh tính duy nhất , ta chứng tỏ rằng nếu XY∇ thỏa mãn điều kiện (1) và có tenxơ xoắn ( , ) 0T X Y = thì nó thỏa mãn phương trình (4). Thật vậy, từ (1) ta có: Xg(Y, Z) = g( XY∇ , Z) +g(Y , X Z∇ ) (5) Yg(Z, X) = g( Y Z∇ , X) +g(Z , Y X∇ ) (6) Zg( X, Y) = g( Z X∇ , Y) +g(X , ZY∇ ) (7) Do ( , ) [ , ] 0X YT X Y Y X X Y= ∇ − ∇ − = , nên: Zg( X, Y) = g( X Z∇ , Y) +g([Z, X], Y) + g(X, Y Z∇ ) + g(X, [Z, Y])(8) Yg( Z, X) = g( Y Z∇ , X) + g( Z, XY∇ ) + g(Z , [Y ,X])(9) Cộng vế với vế của (5) và (9) rồi trừ vế với vế cho (8), ta có: 1( , ) [ ( , ) ( , ) ( , ) 2 ([ , ], ) ([ , ], ) ( ,[ , ])] Xg Y Z Xg Y X Yg Z X Zg X Y g X Y Z g Z X Y g X Z Y ∇ = + − + + + + Đây chính là đẳng thức (4). Tính duy nhất được chứng minh. 1.3.4. Độ cong trên đa tạp Riemann 1.3.4.1. Những khảo sát đại số có liên quan Giả sử V là không gian vectơ thực n – chiều và :R V V V V× × × →
27 là ánh xạ đa tuyến tính có các tính chất sau: a) 1 2 3 4 2 1 3 4( , , , ) ( , , , )R v v v v R v v v v= − b) 1 2 3 4 2 1 4 3( , , , ) ( , , , )R v v v v R v v v v= − c) 1 2 3 4 1 3 4 2 1 4 2 3( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 0R v v v v R v v v v R v v v v+ + = . Nếu R có các tính chất kể trên thì nó có tính chất thứ tư sau d) 1 2 3 4 3 4 1 2( , , , ) ( , , , )R v v v v R v v v v= 1.3.4.2. Độ cong thiết diện Giả sử M là một đa tạp Riemann n – chiều với metric g. Giả sử R(X, Y) là phép biến đổi độ cong trong ( )xT M được xác định bởi các vectơ X,Y∈ ( )xT M .Ta chọn liên thông metric Γ sao cho đa tạp Riemann có độ xoắn bằng 0. Tenxơ độ cong Riemann đối với M cũng được kí hiệu là R, là trường tenxơ hiệp biến bậc 4 (kiểu (0 ,4)) của (M, g) được định nghĩa như sau: 1 2 3 4 3 4 2 1( , , , ) ( ( , ) , )R X X X X g R X X X X= Khi đó , tenxơ độ cong Riemann chính là ánh xạ đa tuyến tính ( ) ( ) ( ) ( )x x x xT M T M T M T M× × × →
, tại mỗi điểm x thuộc M , có các tính chất a), b) ,c) và d) Đối với mỗi mặt phẳng P trong không gian tiếp xúc ( )xT M độ cong thiết diện K(P) đối với P được xác định như sau 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( , , , ) ( ( , ) , )K P R X X X X g R X X X X= = , trong đó 1 2,X X là cơ sở trực chuẩn đối với P. K(P) không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở trực chuẩn 1 2,X X . Do đó tập hợp các giá trị K(P) đối với mặt phẳng P trong ( )xT M xác định một tenxơ độ cong Riemann tại x. 1.3.4.3. Độ cong Ricci Giả sử M là đa tạp Riemann với liên thông Levi – Civita. Tenxơ Ricci 28 là trường tenxơ hai lần hiệp biến , kí hiệu S(X, Y) , xác định như sau: ( , ) ( ( , , ) )P pS X Y trace Zp R X Y Z=  với ∀X,Y, Z ∈V(M). Xét dạng toàn phương tương ứng với S ( , )v S v v  . Với , 0pv T M v∈ ≠ , số 2 ( , )( ) S v vr v v = được gọi là độ cong Ricci của M theo hướng v . Đa tạp Riemann có độ cong Ricci hằng được gọi là đa tạp Anhstanh. 1.3.5. Ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Riemann Giả sử M và M’ là hai đa tạp Riemann với tenxơ metric g và g’ tương ứng . Ánh xạ khả vi f : M→M’ được gọi là đẳng cự tại điểm p∈M nếu g(X, Y) = g’(f *(X),f *(Y)) với mọi X , Y ∈ pT M . Ánh xạ f được gọi là đẳng cự , nếu nó đẳng cự tại mỗi điểm của M. Nếu f là ánh xạ đẳng cự từ M đến M’ thì ánh xạ tiếp xúc pT f là ánh xạ đơn ánh với mỗi p∈M , nghĩa là f là một dìm. Ánh xạ f đẳng cấu tại mọi điểm thuộc M , là một phép nhúng gọi là phép nhúng đẳng cự. Hai đa tạp Riemannn M và M’ được gọi là đẳng cự , nếu tồn tại một vi phôi đẳng cự f từ M lên M’, tức f là song ánh , đẳng cự và ánh xạ ngược 1f − cũng là ánh xạ đẳng cự. 1.3.6. Tính đầy của đa tạp Riemann Một đa tạp Riemann M hay một metric Riemann g trên M được gọi là đầy nếu liên thông Riemann là đầy, tức nếu mọi đường trắc địa của M có thể được thác triển thành các giá trị lớn tùy ý với các tham số chính tắc của nó. 1.3.6.1. Định lý Lấy M và M* là các đa tạp Riemann liên thông có cùng số chiều. 29 Lấy p : M*→M là một phép nhúng chìm đẳng cự. (1) Nếu M* đầy, khi đó M* là một không gian phủ của M với phép chiếu p và M cũng đầy. (2) Đảo lại, nếu p: M→M là một phép chiếu phủ và nếu M đầy, khi đó M* cũng đầy. Chứng minh định lý trên có thể được tham khảo trong [1] , trang 177. 1.3.6.2. Bổ đề Lấy M và M* là các đa tạp liên thông có cùng số chiều và lấy p : M*→M là một phép nhúng chìm. Nếu M* compact, M cũng compact, và p là một phép chiếu phủ. Chứng minh Cho một metric Riemann bất kì trên M. Khi đó có một metric Riemann duy nhất g* trên M* sao cho p là một phép nhúng chìm đẳng cự. Vì M* compact, nên (M*, g*) là đa tạp Riemann đầy. Do định lý 1.3.6.1, p là phép chiếu phủ và từ đó M là compact. 30 Chương 2 ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN 2.1. Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của một đa tạp Riemann 2.1.1. Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của một đa tạp Riemann. Công thức Gauss Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu về tính liên thông Riemann cảm sinh của một đa tạp con của một đa tạp Riemann. Gọi N là một đa tạp Riemann n p+ chiều với metric Riemann g , Γ là liên thông Levi – Cita ứng với g ( còn gọi là liên thông Riemann trên ( ,N g ). Lấy M là một đa tạp n chiều được nhúng trong một đa tạp Riemann N . Ta kí hiệu '∇ là đạo hàm thuận biến trên N . Vì việc nghiên cứu mang tính địa phương, ta giả định rằng , M được nhúng vào trong N , và ta có thể chọn p nhát cắt 1;...; nξ ξ của phân thớ trực giao ( )T M ⊥ , nghĩa là : chọn p trường các vectơ pháp tuyến khả vi, đó là các vectơ độc lập tuyến tính tại mỗi điểm của M . Chúng có thể được giả định là trực chuẩn tại mỗi điểm của M. Lấy X và Y là các trường vectơ trên M . Vì ( ' )X xY∇ được xác định tại mỗi x M∈ , chúng ta sẽ kí hiệu ( )X xY∇ là thành phần tiếp xúc và ( , ) x X Yα là thành phần pháp tuyến của nó, sao cho: với ( )X xY∇ ( )xT M∈ và ( , )x X Yα ( )xT M ⊥∈ ( ' ) ( ) ( , )X x X x xY Y X Y∇ = ∇ + α 31 ở đây ( )X xY∇ được giới thiệu như một kí hiệu cho thành phần tiếp xúc , vấn đề cần chỉ ra là : Nó thực sự là đạo hàm thuận biến của liên thông Riemann của ( M , Mg ). Ta dễ dàng chỉ ra rằng trường vectơ XY∇ ( tại mỗi điểm x M∈ , ( )X xY∇ là một vectơ) là khả vi . Thật vậy, do 'X Y∇ ∈X(M) nên 'X Y∇ khả vi. Mặt khác , phép chiếu lên thành phần thứ nhất 1 : ( ' ) ( )X x X xpr Y Y∇ ∇ cũng khả vi. Vậy 1 'X XY pr Y∇ = ∇ ⇒ XY∇ cũng khả vi. Tương tự , ( , )X Yα cũng là một trường khả vi của các vectơ pháp tuyến đối với M . Ta chứng minh 2.1.1.1.Mệnh đề XY∇ là đạo hàm thuận biến của liên thông Riemann của ( M , Mg ). Chứng minh Trước tiên chúng ta sẽ chứng minh các tính chất: 1) 1 2 1 2X XX X Y Y Y+∇ = ∇ + ∇ 2) X XY Yϕ∇ = ϕ∇ , với mọi 1 2,, ,X X X Y ∈ X(M), ϕ∈F(M) 3) 1 2 1 2( )X X XY Y Y Y∇ + = ∇ + ∇ 4) ( ) [ ] ,X XY X Y Y∇ ϕ = ϕ + ϕ∇ với mọi 1 2,, , ,X Y Y Y ∈ X(M), ϕ∈F(M) • Chứng minh tính chất (1) Do '∇ là liên thông tuyến tính trên N nên 1 2, , ,X Y X X∀ ∈X(M) ta có ( ta có thể xem X(M)⊂ X(N) vì : nếu X là trường vectơ (tiếp xúc ) trên M, khi đó nó là ánh xạ :X M TM→ 32 ( ) ( ) ( )p pp X p T M T N∈ ⊂ Bởi vì :f M N→ là một nhúng khả vi. Trong nhiều trường hợp, để đơn giản kí hiệu, ta đồng nhất phần tử p M∈ với ( )f p N∈ , khi đó ( ) ( )p pT M T N⊂ . Do đó có thể xem X là trường vectơ (tiếp xúc) trên N). 1 2 1 2 ' ' ' X XX X Y Y Y+∇ = ∇ + ∇ 1 2 1 2 ' ( ) ' ( ) ' ( ), X XX X Y x Y x Y x x M+⇒∇ = ∇ + ∇ ∀ ∈ 1 2 1 2 ( ' ) ( ' ) ( ' ) , X XX X x x x Y Y Y x M+⇒ ∇ = ∇ + ∇ ∀ ∈ 1 2 1 21 2 1 2 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ), X XX X x x x x x x Y X X Y Y Y X Y X Y x M +⇒ ∇ + α + = ∇ + ∇ + α + +α ∀ ∈ 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) , X XX X x x x Y Y Y x M+⇒ ∇ = ∇ + ∇ ∀ ∈ (Do tính chất tuyến tính của phép chiếu ( ) ( )x xT N T M→ ). Tính chất 2) và 3) được chứng minh tương tự dựa vào các tính chất tương ứng của liên thông tuyến tính '∇ trên N , và tính tuyến tính của phép chiếu ( ) ( )x xT N T M→ . • Chứng minh tính chất 4) Lấy ϕ là một hàm khả vi trên M . Khi đó , do tính chất của liên thông tuyến tính '∇ trên N , ta có: ' ( ) [ ] 'X XY X Y Y∇ ϕ = ϕ + ϕ∇ với [ ]X f Y là tiếp tuyến của M . Lấy các thành phần tiếp xúc của cả 2 vế, ta có được ( ) [ ]X XY X f Y Y∇ ϕ = + ϕ∇ Ta biết rằng có một liên thông tuyến tính duy nhất Γ trên M nhận XY∇ làm đạo hàm thuận biến . Để chỉ ra Γ là tính liên thông Riemann cho metric được cảm sinh trên M, cần chỉ ra rằng 33 (a) độ xoắn tensor của Γ bằng 0, tức [ , ]X YY X X Y∇ − ∇ = (b) 0g∇ = Để chứng minh (a) , chúng ta viết ' ( , )X XY Y X Y∇ = ∇ + α và ' ( , )Y YX X Y X∇ = ∇ + α Nếu ta thác triển X và Y thành các trường vectơ 'X và 'Y trên N , khi đó thu hẹp của [ ', ']X Y trên M tiếp xúc với M và trùng với [ , ]X Y . Do đó: , với x M∈ Tất nhiên ta cũng có và ' ' ' 'Y YX X∇ = ∇ trên M Từ các phương trình ở trên ta có: ' ' ' ' ' ' [ ', ']X YY X X Y∇ − ∇ − = ' ' [ ', ']X YY X X Y∇ − ∇ − = [ , ] ( , ) ( , )X YY X X Y X Y Y X∇ − ∇ − + α − α Vế trái bằng 0 ( vì độ xoắn tensor của liên thông Riemann '∇ của N bằng 0) , chúng ta có: [ , ]X YY X X Y∇ − ∇ − = 0( vì vế trái bằng 0 nên thành phần tiếp xúc với M ở vế phải cũng bằng 0, và thành phần trực giao với M ở vế phải cũng phải bằng 0). Suy ra [ , ]X YY X X Y∇ − ∇ = Ta chứng minh được (a). Hơn nữa ta có ( , ) ( , )X Y Y Xα = α . Để chứng minh (b) , ta bắt đầu từ ' 0g∇ = , từ định lý 1.3.2.2 chương 1, kéo theo trên M . với bất kì trường vectơ X , Y , và Z trên M . Tuy nhiên ta có: [ ', '] [ , ]x xX Y X Y= ' ' ' 'X XY Y∇ = ∇ . ( , ) ( ' , ) ( , ' )X XX g Y Z g Y Z g Y Z= ∇ + ∇ 34 ( ' , ) ( ( , ), ) ( , )X X Xg Y Z g Y X Y Z g Y Zα∇ = ∇ + = ∇ , vì ( , )X Yα trực giao với M. Một cách tương tự , ta có: ( , ' ) ( , ( , )) ( , )X X Xg Y Z g Y Z X Z g Y Z∇ = ∇ + α = ∇ . Như vậy , . ( , ) ( , ) ( , )X XX g Y Z g Y Z g Y Z= ∇ + ∇ , điều này có nghĩa 0g∇ = . Mặt khác, liên thông Riemann được xác định trên M là duy nhất do định lý 1.3.3.2 chương 1 .Do đó , liên thông tuyến tính Γ trên M chính là liên thông Riemann đối với metric cảm sinh trên M. Ta chứng minh xong mệnh đề 2.1.1.1. Bây giờ ta chứng minh các tính chất cơ bản liên quan đến thành phần trực giao ( , )X Yα . Ta kí hiệu X ( )M ⊥ là tập hợp tất cả các trường vectơ pháp tuyến của M , nó là một không gian vectơ thực và làm thành một module trên đại số F(M) – tập hợp các hàm khả vi trên M . 2.1.1.2. Mệnh đề Ánh xạ α : X(M)× X(M)→ X(M)⊥ là đối xứng (tức ( , ) ( , )X Y Y Xα = α ) và là F(M) – song tuyến tính. Do đó, ( , ) x X Yα chỉ phụ thuộc vào x X và x Y , và có cảm sinh một ánh xạ song tuyến tính x α từ ( ) ( )x xT M T M× lên ( )xT M ⊥ . Chứng minh Tính đối xứng của α có được trong phần chứng minh của mệnh đề 2.1.1.1. Tính chất cộng tính trong X hoặc Y ( khi thành phần còn lại cố định) là hiển nhiên. Ta sẽ chứng minh 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ), , ,X X Y X Y X Y X X Yα + = α + α ∀ ∈X(M). 35 Do 1 2 1 2 ' ' 'X X X XY Y Y+∇ = ∇ + ∇ 1 2 1 2 ( ' ) ( ' ) ( ' ) ,X X x X x X xY Y Y x M+⇒ ∇ = ∇ + ∇ ∀ ∈ . 1 2 1 21 2 1 2 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ), X X x x X x X x x x Y X X Y Y Y X Y X Y x M +⇒ ∇ + α + = ∇ + ∇ +α + α ∀ ∈ 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ),x x xX X Y X Y X Y x M⇒ α + = α + α ∀ ∈ (Do tính tuyến tính của phép chiếu ( ) ( )x xT N T M ⊥→ ) 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ), , ,X X Y X Y X Y X X Y⇒ α + = α + α ∀ ∈X(M). Từ 1 2 1 2' ( ) ' 'X X XY Y Y Y∇ + = ∇ + ∇ , chứng minh tương tự , ta có 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ), , ,X Y Y X Y X Y X Y Yα + = α + α ∀ ∈ X(M). Với bất kì ϕ∈F(M), chúng ta có ( , ) ' ' ( ( , )X X X XY X Y Y Y Y X Yϕ ϕ∇ + α ϕ = ∇ = ϕ∇ = ϕ ∇ + α Kéo theo ( , ) . ( , )X Y X Yα ϕ = ϕ α . Bằng tính đối xứng của α , ta có ( , ) ( , ) ( , ) ( , )X Y Y X Y X X Yα ϕ = α ϕ = ϕα = ϕα Vậy ta có ( , ) ( , )X Y X Yα ϕ = ϕα . Suy ra α là F(M) – song tuyến tính. Ta chứng minh ( , )X Yα tại mỗi điểm x M∈ chỉ phụ thuộc vào xX và xY . Thật vậy, ( , )X Yα phụ thuộc X tại từng điểm, tức là : nếu ( ) ( )X x X x= thì , hay ( , ) ( , )x xX Y X Yα = α . Để chứng minh điều này,chúng ta chứng minh rằng nếu ( ) 0X x = thì ( ( , ))( ) 0X Y xα = . ( ( , ))( ) ( ( , ))( )X Y X X Y xα = α 36 Thật vậy, tồn tại lân cận của x , trên đó có các trường vectơ iX , và các hàm if nhẵn sao cho i iX f X=∑ và ( ) 0if x = . Từ đó suy ra ( )( ( , ))( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )( ) 0i i i iX Y x f X Y x f x X Y xα = α = α =∑ ∑ (do α là F(M) – song tuyến tính)⇒đpcm. ( , )X Yα phụ thuộc Y tại từng điểm, tức là : nếu ( ) ( )Y x Y x= thì ( ( , ))( ) ( ( , ))( )X Y X X Y xα = α , hay ( , ) ( , )x xX Y X Yα = α . Ta chứng minh tương tự như trên, dựa vào kết quả : α là F(M) – song tuyến tính. Vì ( , )X Yα tại mỗi điểm x M∈ , chỉ phụ thuộc vào ( )X x và ( )Y x (tương ứng kí hiệu là xX và xY ), nên tại mỗi điểm x M∈ , ta xác định được ánh xạ xα : ( ) ( )x xT M T M× → ( )xT M ⊥ ( xX , xY )  ( , ) ( ( , ))( )x x xX Y X Y xα = α Và do đó ánh xạ xα được xác định như trên cũng là một ánh xạ song tuyến tính , đối xứng ( do thừa hưởng từ ánh xạ α ). Ta chứng minh xong mệnh đề 2.1.1.2. Ta định nghĩa α : X(M)× X(M)→ X(M) ⊥ như là dạng cơ bản thứ hai của M ( đối với phép nhúng đã được cho vào trong N ). Với mỗi x M∈ , : ( ) ( ) ( )x x x xT M T M T M ⊥α × → được gọi là dạng cơ bản thứ hai của M tại x . Trong trường hợp M là một siêu mặt được nhúng trong N , chọn một trường các vectơ pháp tuyến đơn vị ξ trong một lân cận U của một điểm 37 0x M∈ . Với bất kì trường vectơ X và Y trên U , ta có thể viết ( , ) ( , )X Y h X Yα = ξ với ( , )h X Y là một ánh xạ đối xứng từ X(U)×X(U) vào F(U), nó cũng là F(U) – song tuyến tính . Tại mỗi x U∈ , xh là một hàm song tuyến tính đối xứng trên ( ) ( )x xT M T M× .Theo thuật ngữ cổ điển , h được gọi là dạng cơ bàn thứ hai của M đối với sự lựa chọn ξ . Nếu có thể chọn một trường các vectơ pháp tuyến đơn vị ξ một cách tổng thể trên M , ta có thể xác định h một cách tổng thể như là một ánh xạ h : X(M)× X(M)→ F(M) Một cách tổng quát hơn , nếu M có số đối chiều p , ta có thể chọn p các trường vectơ pháp tuyến đơn vị 1,..., nξ ξ mà chúng trực giao tại mỗi điểm. Ta có thể biểu diễn α bởi 1 ( , ) ( , ) n i i i X Y h X Y = α = ξ∑ . Như vậy ta có được p các dạng cơ bản thứ hai theo cách diễn đạt cổ điển. Như vậy chúng ta có được công thức cơ bản đầu tiên cho đa tạp con: (I) ' ( , )X XY Y X Y∇ = ∇ + α (I) được gọi là công thức Gauss. 2.1.2. Công thức Weingarten Lấy X ∈ X(M) và ξ∈ X(M) ⊥ và viết ( ' ) ( ( )) ( )X x x X xA X Dξ∇ ξ = − + ξ , với ( ( ))A Xξ− và XD ξ là các kí hiệu chỉ các thành phần tiếp xúc và trực giao , phụ thuộc vào X và ξ . Dễ dàng 38 chỉ ra rằng trường vectơ ( ( )) x x A Xξ→ và trường các vectơ trực giao ( )X xx D→ ξ là các trường vectơ khả vi trên M . 2.1.2.1. Mệnh đề (1) Ánh xạ ( , )X ξ ∈ XM)× X(M) ⊥ → ( )A Xξ ∈ X(M) là F(M) – song tuyến tính, do đó , ( ( )) x A Xξ chỉ phụ thuộc vào xX và xξ , cảm sinh một ánh xạ song tuyến tính ( ) ( ) ( )x x xT M T M T X⊥× → , với x là một điểm tuỳ ý của M . (2) Với mỗi ( )xT M ⊥ξ∈ , ta có ( ( ), ) ( ( , ), )g A X Y g X Yξ = α ξ với mọi , ( )xX Y T M∈ , do đó, Aξ là một phép biến đổi tuyến tính của ( )xT M đối với gξ . Chứng minh (1) Tính chất cộng tính trên X hoặc ξ ( khi thành phần còn lại được giữ cố định ) là hiển nhiên. Thật vậy Ta chứng minh 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ), ,A X X A X A X X Xξ ξ ξ+ = + ∀ ∈ X(M), ξ∈ X(M)⊥ . Do 1 2 1 2 1 2' ' ' , ,X X X X X X+∇ ξ = ∇ ξ + ∇ ξ ∀ ∈ X(M), ξ∈ X(M)⊥ 1 2 1 2 ( ' ) ( ' ) ( ' ) ,X X x X x X x x M+⇒ ∇ ξ = ∇ ξ + ∇ ξ ∀ ∈ 1 2 1 2 1 2 1 2( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) x X X x x x X x X x A X X D A X A X D D ξ + ξ ξ⇒ − + + ξ = − − + ξ + ξ Lấy thành phần thuộc ( )xT M của cả hai vế ta thu được 1 2 1 2( ( )) ( ( )) ( ( )) ,x x xA X X A X A X x Mξ ξ ξ+ = + ∀ ∈ 39 1 2 1 2( ) ( ) ( )A X X A X A Xξ ξ ξ⇒ + = + (đpcm). Việc chứng minh 1 2 1 2 ,A X A X A X Xξ +ξ ξ ξ= + ∀ ∈ X(M), 1 2,ξ ξ ∈ X(M)⊥ hoàn toàn tương tự như trên, chú ý rằng chúng ta đã có 1 2 1 2' ( ) ' 'X X X∇ ξ + ξ = ∇ ξ + ∇ ξ Với bất kì ϕ∈F(M) , ta có ' ( ) . ' [ ] .( ( )) . [ ]X X XX A X D Xξ∇ ϕξ = ϕ ∇ ξ + ϕ ξ = −ϕ + ϕ ξ + ϕ ξ So sánh với ' ( ) ( ) ( )X XA X Dϕξ∇ ϕξ = − + ϕξ , chúng ta có được ( ) ( ( ))A X A Xϕξ ξ= ϕ đối với các thành phần tiếp xúc và ( ) [ ] ( )X XD X f Dϕξ = ξ + ϕ ξ đối với các thành phần trực giao . (Đẳng thức thứ 2 được sử dụng trong mệnh đề tiếp theo). Nói cách khác , một chứng minh tương tự cho ' ( )Xϕ∇ ξ kéo theo ( ) . ( )A X A Xξ ξϕ = ϕ . Điều này chỉ ra rằng ( )A Xξ là F(M) – song tuyến tính đối với X và ξ ( Ta cũng có .X XD Dϕ ξ = ϕ ξ , điều này sẽ được sử dụng trong mệnh đề tiếp theo). (2) Với bất kì Y∈X(M), ta có ( , )g Y ξ = 0. Do g là một trường tenxơ kiểu (2, 0) trên N , nên khi lấy đạo hàm thuận biến dọc X ( đối với liên thông Riemann '∇ ) , ta có ( ' , ) ( , ' ) 0X Xg Y g Y∇ ξ + ∇ ξ = Do đó ( ( , ), ) ( , ( ) ) 0X Xg Y X Y g Y A X Dξ∇ + α ξ − + ξ = Vì ( , ) ( , ) 0X Xg Y g Y D∇ ξ = ξ = , ta có 40 ( ( , ), ) ( , ( )) ( ( ), )g X Y g Y A X g A X Yξ ξα ξ = = (do g là một dạng song tuyến tính, đối xứng, xác định dương) Vậy chúng ta có ( ( , ), ) ( ( ), )g X Y g A X Yξα ξ = . Điều này chỉ ra rằng Aξ là phép biến đổi tuyến tính của ( )xT M , tương ứng với hàm song tuyến tính đối xứng α trên ( ) ( )x xT M T M× . Như vậy Aξ là đối xứng ( ( ), ) ( , ( )g A X Y g X A Yξ ξ= Thật vậy, ( ( ), ) ( ( , ), ) ( ( , ), ) ( ( ), ) ( , ( ))g A X Y g X Y g Y X g A Y X g X A Yξ ξ ξ= α ξ = α ξ = = Ta chứng minh xong. Đối với XD , ta có 2.1.2.2. Mệnh đề Ánh xạ ( ,X ξ )∈XM)× X(M)⊥ XD→ ξ∈ X(M) ⊥ trùng với đạo hàm thuận biến của nhát cắt ξ của phân thớ trực giao ( )T M ⊥ dọc theo trường vectơ X đối với liên thông trên ( )T M ⊥ . Chứng minh Trong chứng minh phần trước , chúng ta nhận thấy XD có các tính chất sau 1) .X XD Dϕ ξ = ϕ ξ 2) 1 2 1 2( )X X XD D Dξ + ξ = ξ + ξ 3) ( ) [ ] ( ),X XD X Dϕξ = ϕ ξ + ϕ ξ ∀ξ∈X(M)⊥ , ϕ∈F(M) Do đó, XD ξ thực sự là đạo hàm thuận biến của liên thông tuyến tính đã xác định trên phân thớ trực giao . Hơn nữa, với ,ξ η∈ X(M) ⊥ , ta có ' ( )X XA X Dξ∇ ξ = − + ξ , ' ( )X XA X Dη∇ η = − + η Do đó : 41 ( , ) ( , ) ( ' , ) ( , ' ) . ( , )X X X Xg D g D g g X gξ η + ξ η = ∇ ξ η + ξ ∇ η = ξ η (vì ( ), ( )A X A Xξ η ∈ XM) , ,ξ η∈ X(M)⊥ , và '∇ là liên thông Riemann trên N ). Ta thu được công thức cơ bản tiếp theo cho đa tạp con, đó là (II) ' ( )X XA X Dξ∇ ξ = − + ξ (II) được gọi là công thức của Weingarten. Trong trường hợp M là một siêu mặt , (II) có dạng đơn giản hơn . Thật vậy , nếu ta lấy trường vectơ ξ các vectơ pháp tuyến đơn vị, sau đó lấy đạo hàm ( , ) 1g ξ ξ = , ta có được : ( ' , ) 0Xg ∇ ξ ξ = ( ( ) , ) 0Xg A X Dξ⇒ − + ξ ξ = ⇒ ( , ) 0Xg D ξ ξ = . Do đó XD ξ trực giao , và là một nhân vô hướng với ξ , vậy chúng ta phải có XD ξ = 0 tại mỗi điểm. Do đó, XD ξ = 0 ( khi ( , ) 1g ξ ξ = ) 2.1.3. Một số ví dụ minh họa 2.1.3.1.Ví dụ Lấy 1M và 2M là các đa tạp con, cả 2 đều có số chiều n , trong một đa tạp Riemann N có số chiều n p+ . Lấy ( )x tτ = , 0 1t≤ ≤ , là một đường cong khả vi trên 1 2M M∩ . Ta sẽ nói rằng : 1M và 2M tiếp xúc với nhau dọc theo τ nếu ( ) 1 ( ) 2( ) ( )x t x tT M T M= với mỗi t , 0 1t≤ ≤ . Trong trường hợp này , chuyển dời song song dọc theo τ trong 1M trùng với chuyển dời song song dọc theo τ trong 2M . Thật vậy, nếu tX x= , với bất kì trường vectơ Y dọc theo τ , ta có (1) (1) (2) (2) ' ( , ) ( , )X X XY Y X Y Y X Y∇ = ∇ + α = ∇ + α 42 Với (1)∇ ( tương ứng (2)∇ ) là đạo hàm hiệp biến của 1M ( tương ứng của 2M ) và (1)α ( tương ứng (2)α ) là dạng cơ bản thứ 2 của 1M ( tương ứng của 2M ). Bây giờ nếu ta giả sử rằng :Y song song dọc theo τ trong 1M • Vì 1( )tY V M∈ nên với mỗi ( ) 1[0,1] , ( ) x tt Y t T M∈ ∈ , mà ( ) 1 ( ) 2( ) ( )x t x tT M T M= (theo giả thiết) nên : ( ) 1( ) x tY t T M∈ 2( )tY V M⇒ ∈ . • Mặt khác , do 1( )tY V M∈ là song song dọc τ (1) (1)0 0 tx Y Y t ∇ ⇔ = ⇔ ∇ = ⇔ ∂ (1) 0X Y∇ = Vậy 'X Y∇ trực giao với 1M ( ) ( ) 1 ( ) 2( ' )X x t x t x tY T M T M⇒ ∇ ⊥ ≡ ⇒ (2) 0X Y∇ = ⇒ Y là song song dọc theo τ trong 2M . 2.1.3.2.Ví dụ Lấy M là một đa tạp con có số chiều n trong một đa tạp Riemann N có số chiều n p+ . Lấy 0x là một điểm của M . Ta có thể chọn một hệ tọa độ trực giao 1,..., n py y + với gốc tọa độ 0x sao cho 0 0 1 ,..., n x x y y    ∂ ∂    ∂ ∂    làm thành một cơ sở của 0 ( x T M ). Thật vậy, lấy 1 1,..., , ,...,n n n pY Y Y Y+ + là một hệ cơ sở trực chuẩn của 0 ( ) x T N sao cho 1,..., nY Y tạo thành một cơ sở của 0 ( )xT M . Ta có thể chọn một hệ tọa độ chuẩn tắc 1,..., n py y + sao cho 0 ii x Y y  ∂ = ∂  , 1 i n p≤ ≤ + . Lưu ý rằng 1,...,n n pY Y+ + tạo thành một cơ sở của 0 ( )xT M ⊥ . Lấy 1,..., nx x là một hệ tọa độ tuỳ ý trong một lân cận U của 0x trong M và lấy 1( ,..., )i i ny y x x= , 1 i n p≤ ≤ + , là hệ phương trình xác định phép nhúng U vào N . Ta sẽ chỉ ra rằng : 43 0 0 0 2 1 , kn p k k nx x x y Y x x x x + λ µ λ µ = +    ∂ ∂ ∂    α =       ∂ ∂ ∂ ∂       ∑ Để chứng minh điều này ta tính: 1 2 , 1 1 ' ' ' l kn p k kx x k l kn p n p k k k l ky y x x y y y y x x y x x y λ λ + ∂ ∂µ µ =∂ ∂ + + ∂µ λ λ µ = =∂    ∂ ∂ ∂ ∇ = ∇      ∂ ∂ ∂             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ +       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂        ∑ ∑ ∑ 2 , , 1 1 ' k l kn p n p m kl m k m k l k y y y x x y x x y + + µ λ λ µ = =        ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = Γ +       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂        ∑ ∑ với 'mklΓ là các hệ số Christoffel loại hai của liên thông Riemann trên N đối với 1,..., n py y + . Lưu ý rằng 'mklΓ = 0 tại gốc tọa độ 0x của hệ tọa độ trực giao . ( do 1,..., ny y là hệ tọa độ chuẩn tắc tại lân cận 0x nên 0 0( ) ( ) 0i ijk kjx xΓ + Γ = , do liên thông Riemann Γ có độ xoắn bằng 0 nên 0( ) 0i i ijk kj jk xΓ = Γ ⇒ Γ = ). Lấy các thành phần trực giao với 0 ( )xT M ở 2 vế , ta được: 0 0 0 2 1 , kn p k k nx x x y Y x x x x + λ µ λ µ = +    ∂ ∂ ∂    α =       ∂ ∂ ∂ ∂       ∑ (đpcm). 44 2.2. Phương trình Gauss và Codazzi 2.2.1. Phương trình Gauss Lấy M là một đa tạp Riemann n - chiều được nhúng đẳng cự trong một đa tạp Riemann N có số chiều là n p+ . Đầu tiên ,chúng ta tìm một mối liên hệ giữa các trường tenxơ cong của M và N . Vì ta chỉ xem xét về mặt địa phương, nên ta chọn p trường trực chuẩn của các vectơ pháp tuyến 1,..., pξ ξ với M . Lấy ih là các dạng cơ bản thứ hai tương ứng, và đặt i tA Aξ= . Sử dụng các công thức của Gauss và Weigarten, với các trường vectơ tùy ý ,X Y và Z tiếp xúc với M , ta thu được: ' ( ' ) ' ( ( , ) ) ( ) ( , ) ) ( , ) ( , ){ ( ) }, ( ) ( , ) ( ) { ( , ) ( , )} ( , ) i i i X Y X Y i i i X Y Y i i i X i i i i X Y i Y i X i Z Z h Y Z Z h X Z X h Y Z h Y Z A X D Z h Y Z A X X h Y Z h X Z h Y Z D ∇ ∇ = ∇ ∇ + ξ = ∇ ∇ + ∇ ξ + ⋅ ξ + + − + ξ = ∇ ∇ − + ⋅ + ∇ ξ + ξ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Cho tổng chạy từ 1 đến p . Ở biểu thức cuối, hai số hạng đầu tiên biểu thị cho thành phần tiếp xúc, hai số hạng cuối biểu thị cho thành phần trực giao. Với ' ( ' )Y X Z∇ ∇ ta có thể hoán vị X và Y trong phương trình trên. Chúng ta cũng có: ' ( ' ) ( ) ( , ) ( ) { ( , ) ( , )} ( , ) i i Y X Y X i i i i X Y i Z Z h X Z A Y Y h X Z h Y Z h X Z D ∇ ∇ = ∇ ∇ − + ⋅ + ∇ ξ + ξ ∑ ∑ ∑ Mặt khác, [ , ] [ , ] [ , ] ' ([ , ], ) { ( , ) ( , )} , i X Y X Y i i i X Y X Y i Z Z h X Y Z Z h Y Z h X Z ∇ = ∇ + ξ = ∇ + ∇ − ∇ ξ ∑ ∑ (do [ , ] X YX Y Y X= ∇ − ∇ trên M ). 45 Sử dụng các phương trình trên, ta thu được thành phần tiếp xúc của [ , ]'( , ) ' ( ' ) ' ( ' ) 'X Y Y X X YR X Y Z Z Z Z= ∇ ∇ − ∇ ∇ − ∇ bằng với [ , ]( ) ( ) { ( , ) ( ) ( , ) ( )}i iX Y Y X X Y i iZ Z Z h X Z A Y h Y Z A X∇ ∇ − ∇ ∇ − ∇ + −∑ = ( , ) { ( , ) ( ) ( , ) ( )}.i ii iR X Y Z h X Z A Y h Y Z A X+ −∑ Nếu W tiếp xúc với M , ta có ( '( , ) , ) ( ( , ) , ) ( { ( , ) ( ) ( , ) ( )}, ) ( ( , ) , ) { ( , ) ( ( ), ) ( , ) ( ( ), )} ( ( , ) , ) { ( , ) ( ( , ), ) ( , ) ( ( , ), )} ( ( , ) , ) { ( , ) ( ( , i i i i i i i i i i i i i j g R X Y Z W g R X Y Z W g h X Z A Y h Y Z A X W g R X Y Z W h X Z g A Y W h Y Z g A X W g R X Y Z W h X Z g Y W h Y Z g X W g R X Y Z W h X Z g h Y = = + − = + − = + α ξ − α ξ = + + ∑ ∑ ∑ ∑ ) , ) ( , ) ( ( , ) , } ( ( , ) , ) { ( , ) ( , ) ( , ) ( , )} ( ( , ) , ) ( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , )) i j i i i i i i i i W h Y Z g h X W g R X Y Z W h X Z h Y W h Y Z h X W g R X Y Z W g X Z Y W g Y Z X W ξ ξ − ξ ξ = + − = + α α − α α ∑ ∑ ∑ (do tính trực chuẩn của 1,..., pξ ξ ) Như vậy, mối liên hệ giữa các trường tenxơ cong Riemann của N và M được cho bởi : 2.2.1.1. Mệnh đề ( Phương trình của Gauss) '( , , , ) ( , , , ) ( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , ))= + α α − α αR W Z X Y R W Z X Y g X Z Y W g Y Z X W với , ,X Y Z và W là các vectơ tiếp xúc tùy ý với M . Nếu muốn , ta có thể phát biểu phương trình của Gauss theo ngôn ngữ của phép biến đổi độ cong như sau: Với , ,X Y Z ( )∈ xT M , tồn tại duy nhất một phần tử thuộc ( )xT M , mà ta kí hiệu là ( , )B X Y Z sao cho : ( ( , ) , ) ( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , ))= α α − α αg B X Y Z W g X Z Y W g Y Z X W 46 với mọi ( )∈ xW T M . Hiển nhiên ( , )B X Y Z là 3 – tuyến tính ( vì '( , )R X Y Z và ( , )R X Y Z là các trường tenxơ kiểu (3, 1) mà ta đã biết: trường tenxơ( nhẵn ) kiểu (r ,1) ( 1r ≥ ) trên M có thể được xem là ánh xạ F(M) – đa tuyến tính ) Và ta cũng có ( , ) ( , )= −B Y X B X Y ( do ( , ) ( , )R Y X Z R X Y Z= − ) Phương trình của Gauss phát biểu rằng : phép biến đổi độ cong '( , )R X Y ( sinh ra bởi phép chiếu ( ) ( )→ x x T N T M ) bằng với ( , ) ( , )+R X Y B X Y ). 2.2.1.2. Hệ quả Nếu N có độ cong theo phương hai chiều là hằng số k, khi đó ( , ) { ( , ) ( , ) } ( , )= − −R X Y Z k g Y Z X g X Z Y B X Y Z . Đặc biệt, nếu +=
n pN ( với metric dẹt) , khi đó ( , ) ( , )= −R X Y B X Y . Chứng minh Vì N có độ cong theo phương hai chiều là hằng số k, nên với , , ( )xX Y Z T N∀ ∈ thì '( , , ) { ( , ) ( , ) }R X Y Z k g Y Z X g X Z Y= − Thay vào phương trình '( , ) ( , ) ( , )R X Y Z R X Y Z B X Y Z= + Ta có ( , ) { ( , ) ( , ) } ( , )= − −R X Y Z k g Y Z X g X Z Y B X Y Z (đpcm). Đặc biệt, nếu +=
n pN ( với metric dẹt), khi đó độ cong theo phương hai chiều k = 0, nên ( , ) ( , )= −R X Y B X Y . 2.2.1.2.1 Ví dụ Nếu số đối chiều p là 1, nghĩa là M là một siêu mặt của N , ta có: ( , ) '( , ) ( , )B X Y Z R X Y Z R X Y Z= − Do ( , ) ( )xB X Y Z T M∈ , mà thành phần tiếp xúc của '( , )R X Y Z bằng với ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )R X Y Z h X Z A Y h Y Z A X+ − 47 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ( , ), ) ( ) ( ( , ), ) ( ) ( ( ), ) ( ) ( ( ), ) ( ) B X Y Z h X Z A Y h Y Z A X g X Z A Y g Y Z A X g A X Z A Y g A Y Z A X ⇒ = − = α ξ − α ξ = − Đặc biệt , nếu +=
n pN , theo hệ quả 2.2.1.2, ta có ( , ) ( , )._.