Một số vấn đề về bất đẳng thức đối xứng ba biến

hoá luận cho em. Mặc dù đã cố gắng nhưng bản thân em mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em hi vọng sẽ nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô và các bạn để khoá luận của em hoàn chỉnh hơn. Sinh viên Nguyễn Thị Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Khoá luận tốt nghiệp là kết quả của sự lỗ lực tự bản thân tôi và sự hướng dẫn của thầy giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Phạm Lương Bằng. Nội dung khoá luận không trùng lặp với công trình nghiên cứu của các tác giả trước đã công bố. Sinh viên Nguyễn Thị Phương MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong kỷ nguyên công nghệ thông tin, sự biến đổi các ngành trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên hay khoa học xã hội luôn diễn ra với tốc độ chóng mặt. Nhờ internet và các phương tiện truyền thông mà các quốc gia đã xích lại gần nhau trong một thế giới hội nhập toàn cầu hoá. Ở một phạm vi hẹp chúng ta có thể thấy sự phát triển của các webside Toán học đã làm cho những người đam mê Toán học trên thế giới có thể dễ dàng nhanh chóng tiếp cận và trao đổi thông tin vô cùng phong phú. Một điều mà mọi người dễ thống nhất với nhau là bất đẳng thức luôn chiếm vị trí quan trọng đối với toán học phổ thông cũng như trên các webside Toán học. Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển của Toán học sơ cấp đang ngày càng phát triển, đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp đẹp và thú vị nhất, vì thế luôn cuốn hút rất nhiều đối tượng bạn đọc quan tâm. Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của bất đẳng thức trong toán sơ cấp, đó là có rất nhiều những bài toán khó, thậm chí là rất khó, luôn có thể giải được bằng những kiến thức rất cơ sở và việc hoàn thành được chứng minh là niềm vui thực sự. Bất đẳng thức đối xứng là một trong các phần quan trọng nhất của bất đẳng thức sơ cấp, cũng là dạng bài quen thuộc trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Đây là dạng bất đẳng thức rất được yêu thích không chỉ với các bạn đã thành thạo mà còn hấp dẫn với cả những bạn mới bắt đầu. Xuất phát từ cơ sở lí luận và thực tiễn đó mà em đã quyết định chọn đề tài: “Một số vấn đề về bất đẳng thức đối xứng ba biến” làm đề tài nghiên cứu cho mình. 2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Nắm được những kiến thức cơ bản và độc đáo về bất đẳng thức đối xứng ba biến, từ đó có phương pháp giải phù hợp và bước đầu hình thành khả năng tự sáng tạo bất đẳng thức. 3. Đối tượng nghiên cứu Các bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng thức của các dãy số đồng thứ tự, lớp hàm đối xứng ba biến, tiêu chuẩn S.O.S, bất đẳng thức dạng đồng bậc, bất đẳng thức thuần nhất đối xứng có điều kiện và không có điều kiện. Một số bài toán bất đẳng thức đối xứng ba biến. 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc, nghiên cứu tài liệu. So sánh, phân loại, tổng hợp kiến thức. Tổng hợp, sắp xếp, giải bài tập. CHƯƠNG 1 LÍ THUYẾT CHUNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 1.1 SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN Nói chung, các bất đẳng thức đối xứng ba biến ở dạng tổng quát luôn có biểu diễn dưới dạng sau: trong đó là hàm đối xứng của ba biến a, b, c hay nói cách khác: . Ví dụ: . Tính chất quan trọng nhất của các biểu thức đối xứng là vai trò bình đẳng giữa các biến, và do đó ta có thể xắp xếp lại theo một trật tự tuỳ ý giá trị các biến số đó trong chứng minh. Đây là một chú ý sẽ được sử dụng rất nhiều. Bài toán 1: Cho là các số thực không âm, khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng: . Chứng minh: Do vai trò bình đẳng giữa các biến , không mất tính tổng quát, giả sử . Nhận thấy: = = 0 Do đó : VT = 2== 0 Bài toán được chứng minh. Bài toán 2: Cho các số thực khác 1 thoả mãn = 1. Chứng minh rằng: Chứng minh: Đặt , khi đó ta có Do giả thiết = 1 nên . Bất đẳng thức cần chứng minh được đưa về dạng . . (đpcm). Bài toán 3: Cho các số dương a, b, c thoả mãn a + b +c = 3. Chứng minh rằng: . Chứng minh: Ta có: 3( b + ca) = 3b + 3ca = (a + b + c)b + 2ca +ca Do đó từ đó suy ra: = 3 Bài toán được giải quyết. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Bài toán 4: Tìm hằng số k lớn nhất để bất đẳng thức sau đúng , trong đó a, b, c là các số thực không âm sao cho trong chúng có ít nhất một số dương và a + b + c = ab + bc + ca. Chứng minh: Cho a = b = 2, c = 0 thì hiển nhiên a + b + c = ab + bc + ca, và ta thu được .Ta sẽ chỉ ra rằng 1 cũng là giá trị lớn nhất có thể của k, tức là: Bất đẳng thức này đúng, ta suy ra điều phải chứng minh. 1.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 1.2.1. Bất đẳng thức AM-GM Với mọi số thực dương ta có bất đẳng thức . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Những trường hợp đặc biệt và hệ quả hay được áp dụng cho bất đẳng thức đối xứng ba biến Với mọi a, b, c không âm ta có ; ; ; ; ; Một số bài toán đặc trưng sử dụng bất đẳng thức AM-GM Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có: . Chứng minh: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số = 9.( đpcm) Bất đẳng thức tổng quát hơn được chứng minh hoàn toàn tương tự . Bài toán 6: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta luôn có Chứng minh: Đặt x = (a+b)(b-c), y = (b+c)(c-a), z = (c+a)(a-b). Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được đưa về dạng: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, dễ thấy Do đó ta chỉ cần chứng minh , tức là . Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo AM-GM. Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 7: Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh: . Chứng minh: Ta có (1) (2) Theo bất đẳng thức AM-GM ta có (do x + y + z = 1) Vậy (2) đúng, tức là (1) đúng. Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Bài toán 8: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện abc = ab + bc + ca. Chứng minh . Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có . Đẳng thức xảy ra (1) Lập luận tương tự ta có . Đẳng thức xảy ra (2) . Đẳng thức xảy ra (3) Cộng từng vế (1), (2), (3) ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0, điều này không xảy ra vì a, b, c là các số dương. Vậy ta có . Theo giả thiết ta có ab + bc + ca = abc . Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh. Bằng cách này ta chứng minh được bất đẳng thức còn mạnh hơn bất đẳng thức ban đầu. 1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz – Holder 1.2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz : Với hai dãy số thực tuỳ ý và ta luôn có bất đẳng thức . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và là hai bộ tỷ lệ, tức là tồn tại số thực k để . Hệ quả 1: Với hai dãy số và , , . Hệ quả 2: Với hai dãy số thực và ta có Sau đây là những ứng dụng thường gặp của bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Bài toán 9: Giả sử a, b, c là các số thực dương, chứng ming rằng . Chứng minh: Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có . Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta lại có . Từ hai bất đẳng thức trên ta suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Bài toán 10: Với mọi x, y, z không âm, chứng minh . Chứng minh: Áp dụng hệ quả 2 của bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có . Theo bất đẳng thức AM-GM ta có . Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Bài toán 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Với a, b, c là các số thực dương tuỳ ý. Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có = . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Bài toán 12: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta đều có . Chứng minh: Trước hết ta sẽ chứng minh . Thật vậy khai triển ra ta được ( luôn đúng). Sử dụng bất đẳng thức này, ta chỉ cần chứng minh . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz cho 2010 số, ta được . Hoàn toàn tương tự, ta cũng có và . Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên lại ta được (đpcm). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 1.2.2.2 Bất đẳng thức Holder: Với m dãy số dương , ta có . Đẳng thức xảy ra khi m dãy đó tương đương tỉ lệ. Chú ý: Khi m = 2, bất đẳng thức Holder trở thành Cauchy Schwarz. Ngoài trường hợp này, trường hợp đặc biệt hay được sử dụng nhất của bất đẳng thức Holder là n = m = 3, khi đó ta có thể phát biểu nó như sau: Với mọi số thực không âm a, b, c, x, y, z, m, n, p, ta có: . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và . Bài toán 13: Chứng minh rằng với mọi a, b, c là các số thực dương ta có . Chứng minh: Đặt . Sử dụng bất đẳng thức Holder với ba dãy ta có Lúc này ta chỉ cần chứng minh hay (đúng với mọi số dương a, b, c). Vậy suy ra , bài toán được chứng minh. Bài toán 14: Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn không có hai số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh bất đẳng thức sau . Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có . Hoàn toàn tương tự ta có ; . Cộng theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được . (đpcm). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c 1.2.3 Bất đẳng thức Chebyshev Cho dãy số thực sao cho . Ta xét dãy như sau: Nếu thì . Nếu thì . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Bài toán 15: Cho các số thực a, b, c lớn hơn 1 thoả mãn: . Chứng minh rằng . Chứng minh: Ta sử dụng bất đẳng thức Chebyschev kết hợp với phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Nói cách khác, ta sẽ chứng minh rằng, nếu các số thực a, b, c lớn hơn 1 thoả mãn . Thì bất đẳng thức sau luôn đúng . Thật vậy, từ giả thiết ta có Bất đẳng thức cần chứng minh . Do vai trò bình đẳng giữa các biến, không làm mất tính tổng quát, ta giả sử , khi đó và . Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai bộ ngược chiều trên ta được = 0 (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi và chi khi a = b = c = 2. Bài toán 16: Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh . Chứng minh: Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử . Khi đó ta có và . Áp dụng bất đẳng thức với hai dãy ngược chiều trên ta được (đpcm). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 1.2.4. Bất đẳng thức Jensen Định nghĩa: Cho là một khoảng trên tập thực . Hàm f xác định trên khoảng được gọi là lồi nếu với mọi và [0,1] thì . Tính chất: Cho là một hàm số có đạo hàm, khi đó f là hàm lồi nếu và chỉ nếu . Bất đẳng thức Jensen: Nếu là hàm lồi trên thì với mọi ta đều có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Bài toán 17: Cho a, b, c là các số dương, chứng minh . Chứng minh: Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng sau . Xét hàm số . Đây là hàm lồi khi x > 0. Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có . Bất đẳng thức được chứng minh. Bài toán 18: Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng Chứng minh: Với giả thiết x + y + z = 1, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với . Xét hàm số ; . Ta có ; f là hàm lồi. Theo bất đẳng thức Jensen ta có (đpcm). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . 1.2.5 Bất đẳng thức Schur Với các số dương a, b, c số k không âm bất kỳ, ta luôn có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 cùng các hoán vị tương ứng. Trường hợp k =1 thường được biết đến với tên gọi là bất đẳng thức Schur bậc ba, nó có các dạng tương đương là: Trường hợp k = 2 thường được biết đến với tên gọi là bất đẳng thức Schur bậc bốn, nó có các dạng tương đương là: ; Bất đẳng thức Schur suy rộng: Cho các số dương a, b, c, x, y, z sao cho (a, b, c) và (x, y, z) đều là các bộ đơn điệu. Khi đó bất đẳng thức sau luôn thoả mãn . Bài toán 19: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau . Chứng minh: Ta sẽ dùng phương pháp phản chứng để chứng minh bài toán này. Giả sử rằng tồn tại a, b, c dương sao cho . Khi đó đặt . Ta dễ thấy và . Từ đó suy ra Do và nên [][][] = (AM-GM) =[](). Mà theo bất đẳng thức Schur bậc ba thì []() . Kết hợp lại ta được (vô lí). Điều này chứng tỏ giả sử sai, hay nói cách khác với mọi a, b, c dương ta đều có . Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 20: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có . Chứng minh: Sử dụng bất đẳng thức Nesbitt . Ta đi chứng minh một bất đẳng thức mạnh hơn Do vai trò bình đẳng giữa các biến, không giảm tính tổng quát, ta giả sử thế thì hiển nhiên . Áp dụng bất đẳng thức Schur suy rộng ta có ngay điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. CHƯƠNG 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 2.1 BẤT ĐẲNG THỨC CỦA CÁC DÃY SỐ ĐỒNG THỨ TỰ Như đã nói ở trên, tính chất quan trọng nhất của các biểu thức đối xứng ba biến là vai trò bình đẳng giữa các biến, và do đó ta có thể sắp xếp lại theo một trật tự tuỳ ý giá trị các biến số đó trong chứng minh. Việc giải các bài toán bất đẳng thức có những biến số được sắp xếp theo một thứ tự nào đó là rất thuận tiện và có thể tổng quát hoá được. Trong mục này, ta nghiên cứu việc chứng minh bất đẳng thức đối xứng ba biến với kĩ thuật tạo ra các bộ ba số đồng thứ tự. Định nghĩa: Hai bộ ba số và gọi là đồng thứ tự nếu chúng thoả mãn đồng thời và hoặc đồng thời và . Hai bộ ba số và gọi là nghịch đảo thứ tự nếu chúng thoả mãn đồng thời và hoặc đồng thời và . Ví dụ: Cho ba số nguyên dương a, b, c bất kì thì ta có thể sắp xếp chúng theo thứ tự (hoặc ), khi đó hai bộ ba số và là đồng thứ tự, còn hai bộ ba số và là nghịch đảo thứ tự. Mệnh đề: Cho hai bộ số thực và . Kí hiệu , ở đây là hoán vị của (1, 2, 3). Khi đó (i) Nếu hai bộ ba số là đồng thứ tự thì các bất đẳng thức sau đúng . (ii) Nếu hai bộ ba số là nghịch đảo thứ tự thì các bất đẳng thức sau đúng . Các bất đẳng thức trên xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi hoặc = (1, 2, 3) (đối với các bất đẳng thức vế trái) và = (3, 2, 1) (đối với các bất đẳng thức vế phải). Bài toán 21: Cho a, b, c là những số dương, chứng minh bất đẳng thức . Chứng minh: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng . Giả sử , khi đó . Như vậy hai bộ số và là đồng thứ tự. Theo mệnh đề trên ta có Cộng theo vế của hai bất đẳng thức trên rồi rút gọn ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Bài toán 22: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c thì . Chứng minh: Do tính đối xứng của các biến trong bất đẳng thức, ta có thể giả sử . Khi đó bộ ba và là nghịch đảo thứ tự. Theo mệnh đề trên ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 23: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c thì : . Chứng minh: Giả sử thế thì . Hai bộ ba và là nghịch đảo thứ tự, theo mệnh đề trên ta có . (1) Mặt khác ta lại có . (2) Tiếp tục áp dụng mệnh đề trên với hai bộ đồng thư tự và ta nhận được . (3) Từ (1), (2), (3) suy ra (đpcm) 2.2 LỚP HÀM ĐỐI XỨNG SƠ CẤP BA BIẾN Việc nghiên cứu các biểu thức đối xứng có thể được quy về bằng việc nghiên cứu các đa thức đối xứng được chứng minh qua định lí sau Định lí cơ bản của đại số: Mọi đa thức đối xứng luôn có thể biểu diễn qua các đa thức đối xứng sơ cấp. Như vậy tất cả các bất đẳng thức đối xứng ba biến số đều có thể quy về các hàm đối xứng cơ bản của ; ; Trong phần này, ta sẽ lần lượt xét các bài toán bất đẳng thức, từ dễ đến khó, có thể giải theo đường lối này. Sau khi viết bất đẳng thức cần chứng minh theo p, q, r, ta chỉ cần khảo sát bất đẳng thức này theo ba biến mới p, q, r. Điểm mạnh nhất của phương pháp này là xử lý được những bất đẳng thức đối xứng ba biến, chặt và khó, vì ta không thực hiện nhiều phép ước lượng trung gian thô và điều đó cũng có nghĩa là ta phải làm việc với nhiều bước tính toán nhất là trong bài toán dạng phân thức hoặc bậc cao. Chúng ta dễ dàng kiểm tra các kết quả cơ bản sau ; ; ; Một vấn đề nữa cần đặt ra là thứ tự so sánh giữa các bộ p, q, r như thế nào. Một nguyên tắc là phải đảm bảo tính đồng bậc. Trước tiên, ta hãy quan sát các bất đẳng thức liên quan đến p, q, r. Mở đầu là bất đẳng thức Schur Với mọi số thực không âm x, y, z, t, ta có . Bằng phép đặt ẩn ; ta có thể thấy ngay trong trường hợp t = 1 và t = 2 của bất đẳng thức Schur có thể viết lại dưới dạng tương đương là ; . Cho x, y, z là các số thực dương, cũng bằng phếp đặt ẩn như trên ta còn có các kết quả sau: Từ kết quả trên đây, người ta có thể áp đặt điều kiện để xây dựng các bất đẳng thức đối xứng ba biến có điều kiện. Với một bài toán bất đẳng thức đồng bậc ba biến, ta có thể lựa chọn tuỳ ý một (chỉ một thôi) trong ba điều kiện p = 1; q = 1; r = 1. Cũng dựa vào các kết quả cơ bản trên, ta đi xem xét các bài toán bất đẳng thức đối xứng ba biến giải theo đường lối này. Bài toán 24: Xét các số thực không âm a, b, c thỏa mãn đẳng thức , chứng minh rằng: Chứng minh: Bất đẳng thức bên trái hiển nhiên đúng. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức bên phải. Đặt . Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng . (*) Theo bất đẳng thức Schur thì , và nhờ giả thiết ta có . Do đó ta có (**) Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân thì hay . Lại có . Do đó (**) . Để chứng minh (*) ta chứng minh . Bất đẳng thức này đúng vì . Ta có đpcm. Bài toán 25: Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 1, chứng minh rằng Chứng minh: Ta có . Đây là bất đẳng thức đối xứng ba biến, do vai trò bình đẳng giữa các biến, ta đặt p = x + y + z; q = xy + yz + zx; r = xyz. Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng Từ giả thiết ta có p = 1, nên bất đẳng thức trên lại có dạng Vì nên . Do đó phép chứng minh được hoàn tất nếu ta có . . Điều này hiển nhiên đúng vì ta có . Bài toán 26: Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng . Chứng minh: Đặt p = x + y + z; q = xy + yz + zx; r = xyz; theo giả thiết thì r = 1. Ta có . . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành . Vì r = 1 nên suy ra . Lại có , nên ta có điều phải chứng minh. 2.3 MỘT SỐ TIÊU CHUẨN VỀ S.O.S Định lí S.O.S: Xét biểu thức . Trong đó là các hàm số của a, b, c. 1. Nếu thì . 2. Nếu và thì . 3. Nếu và thì . 4. Nếu và thì . 5. Nếu và thì . Định lí này có ứng dụng với hầu hết các bất đẳng thức ba biến, một điều thật may mắn và rất ngạc nhiên là mọi hàm đối xứng thỏa mãn và f có thể chứa căn thức, phân thức của a, b, c luôn luôn có biểu diễn dưới dạng chính tắc S.O.S mhư vậy. Trước khi vào một số ví dụ cụ thể của phương pháp này chúng ta chú ý một số đẳng thức thường được sử dụng trong quá trình phân tích 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Trong các biểu thức ba biến chúng ta nên chú ý tới các đại lượng a – b, b – c, c – a. Việc nhóm các đại lượng này một cách hợp lí sẽ rút ra được hạng tử , . Bài toán 27: Chứng minh rằng với mọi số thức không âm a, b, c ta luôn có . Chứng minh: Như giới thiệu trên ta có hai đẳng thức sau Áp dụng hai đẳng thức trên vào khai triển ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với . Từ đó ta có Do tính đối xứng nên ta có thể giả sử rằng , khi đó dễ thấy . Dựa vào tiêu chuẩn thứ nhất ta chỉ cần chứng minh là xong. Ta có . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng tức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 28: Cho , chứng minh rằng . Chứng minh: Do vai trò bình đẳng giữ các biến, giả sử . Ta có Vậy bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng do . Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc abc = 0. 2.4 HAI DẠNG CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 2.4.1 Bất đẳng thức dạng thuần nhất bậc Tính thuần nhất bậc (đồng bậc, thuần nhất) là một tiêu chuẩn đầu tiên phải tính đến khi so sánh các đại lượng. Các bất đẳng thức cổ điển ta đã biết như bất đẳng thức AM-GM, Cauchy Schwarz, Holder, Chebyshev, Schur,…, đều là các bất đẳng thức dạng đồng bậc. Hàm số của các biến số thực được gọi là hàm thuần nhất bậc m nếu với mọi số thực t ta có , với {0}, và , , m, n , m n . Số tự nhiên m được gọi là bậc của đa thức đồng bậc. Bất đẳng thức dạng với f là một hàm thuần nhất được gọi là bất đẳng thức thuần nhất ( bậc m ). Khái niệm bất đẳng thức đồng bậc liên quan chặt chẽ với đa thức đồng bậc. Trong phạm vi của một đa thức thì một đa thức là thuần nhất bậc nếu nó là tổng của các đơn thức đồng bậc. Ví dụ về các đa thức đồng bậc ; . Dựa trên tính đồng bậc, tính bình đẳng giữa các biến số, ta sẽ sắp thứ tự và chọn phần tử lớn nhất hoặc nhỏ nhất, từ đó giảm biến số. Với cách làm này ta giải quyết được một lớp các bất đẳng thức bốn biến số, để dưa về việc chứng minh bất đẳng thức đối xứng ba biến số. Bài toán 29: Chứng minh rằng với a, b, c, d thì . Chứng minh: Nếu một trong bốn số bằng 0 thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng. Xét trường hợp a, b, c, d > 0, vì tính đồng bậc nên ta có thể chọn . (1) Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành . Đặt , vì (1) nên . Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết dưới dạng . Theo bổ đề về tính chất hàm bậc ba và đa thức đối xứng thì . Ta cần chứng minh . Vì nên , và , ta suy ra . Bài toán được chứng minh. Bài toán 30: Với mọi a, b, c, d là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c + d = 1, chứng minh rằng . Chứng minh: Nếu một trong bốn số bằng 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Ta có thể viết bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng đồng bậc . Vì tính đồng bậc nên ta giả sử Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết dưới dạng . Đặt , ta cũng có . Ta chứng minh . Tương tự như trên ta đưa bât đẳng thức về dạng Vì nên và nên suy ra theo bất đẳng thức AM-GM . Đến đây ta thu được . Ta suy ra đpcm. 2.4.2 Đồng bậc hoá bất đẳng thức Với những bất đẳng thức chưa đồng bậc, ta có thể chuyển về bất đẳng thức dạng đồng bậc, dựa vào điều kiện cho trước hoặc thông qua việc chứng minh một bất đẳng thức khác mạnh hơn. Điều kiện cho trước thường là một hệ thức liên hệ giữa các biến số. Từ giả thiết đã cho ta có thể viết bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng thuần nhất bậc. Bài toán 31: Cho các số thức a, b, c thoả mãn điều kiện chứng minh bất đẳng thức . Chứng minh: Để bỏ số mũ dạng hữu tỉ, ta đưa ra biến mới như sau Đặt ; ; . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được đưa về dạng với điều kiện . Sử dụng giả thiết ta viết được bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng thần nhất tương đương là Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng. Ta có điều phải chứng minh. Bài toán 32: Giả sử a, b, c là các số không âm bất kì. Hãy chứng minh . Chứng minh: Bất đẳng thức trên không đồng bậc, ta đưa nó về dạng thuần nhất bậc như sau Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có Nên để chứng minh bất đẳng thức đã cho ta chỉ cần chứng minh được . . Bây giờ sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta được . Nên ta chỉ cần chứng minh . Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc 4 và bất đẳng thức AM-GM, ta có . Do đó bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng và phép chứng minh của ta được hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a,b,c) = (1, 1, 1) hoặc (a, b,c) = (2, 2, 0) và các hoán vị tương ứng. Bài toán 33: Chứng minh rằng với các số thực dương a, b, c thoả mãn thì . Chứng minh: Sử dụng điều kiện , ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng đồng bậc tương đương là . Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có . Do đó ta chỉ cần chứng minh được Đây chính là bất đẳng thức Schur ở dạng bậc ba nên nó hiển nhiên đúng. Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc cùng các hoán vị tương ứng. Bài toán 34: Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a + b + c = 2. Chứng minh rằng . Chứng minh: Sử dụng điều kiện a + b + c = 2, ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng đồng bậc Đây chính là bất đẳng thức Schur ở dạng bậc 4. Vậy ta có điều phải chứng minh. 2.4.3 Bất đẳng thức đối xứng ba biến thuần nhất không có điều kiện Về cơ bản thì việc chứng minh một bất đẳng thức đối xứng ba biến thuần nhất không có điều kiện giống như việc chứng minh một bất đẳng thức đối xứng ba biến, ngoài các cách chứng minh bất đẳng thức thông thường ta còn có các cách độc đáo riêng bởi tính đối xứng của nó như đưa về bất đẳng thức của các dãy số đồng thứ tự, hay đưa về bất đẳng thức mới thông qua các đa thức đối xứng sơ cấp ba biến, hoặc phân tích bình phương S.O.S. Việc giải được một bài toán hay và khó thực sự là điều rất thú vị, song nếu chúng ta có thể tự mình sáng tạo ra các bất đẳng thức như vậy thì niềm vui còn tăng lên rất nhiều lần, đó cũng là một việc đáng quan tâm và nhiều ý nghĩa. Trong mục này chúng ta sẽ bước đầu làm quen với việc sáng tạo bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức đối xứng ba biến nói riêng. Mở đầu về bất đẳng thức đối xứng ba biến thuần nhất là bất đẳng thức cực kì nổi tiếng và có nhiều ứng dụng, đó là bất đẳng thức Schur. . Chứng minh: Ta xem một cách chứng minh rất đơn giản và ngắn gọn. Do tính đối xứng của bất đẳng thức ta có thể giả sử . Đặt x = a – b, y = b – c, ta có , x + y = a – c, a = x + y + c, bất đẳng thức được viết lại thành Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì các biến c, x, y đều không âm. Vậy bài toán được chứng minh. Ta đã biết bất đẳng thức trên thường được phát biểu dưới dạng quen thuộc hơn như hay . Một cách tự nhiên, ta xem xét mở rộng tương tự bất đẳng thức trên Bài toán 35: Với mọi số thức không âm a, b, c, khẳng định hoặc phủ định bất đẳng thức . Lời giải: Bất đẳng thức trên không phải luôn đúng. Thật vậy, cho b = c = x thì bất đẳng thức trên tương đương với . (*) Chọn a = 0 khi đó (*) , bất đẳng thức này không phải luôn đúng. Ta tiếp tục mở rộng bất đẳng thức trên theo hướng khác Bài toán 36: Với mọi số thực không âm a, b, c, liệu có tồn tại một hằng số k sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng . Nếu có hãy tìm hằng số tốt nhất (nhỏ nhất) có thể được. Lời giải: Không tồn tại một hằng số k nào thoả mãn, và do đó cũng không có hằng số nhỏ nhất. Cả hai kết quả thử nghiệm trên đều dẫn đến một kết quả phủ định. Ta có thể tìm ra một bất đẳng thức đúng được không? Chúng ta cùng nhìn lại bài toán sau: Bài toán 37: Với mọi số thực không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức . Chứng minh: Ta có: . Do đó (đpcm). Mục đích bây giờ là ta sẽ thêm đại lượng chứa vào biểu thức vế trái, và giảm hệ số 2 đến mức nhỏ nhất có thể được để có một bất đẳng thức đúng. Theo các suy luận ở trên, ta không thể giảm hệ số 2 tới 1. Ta xem xét một kết quả sau Bài toán 38: Với mọi số thực a, b, c, khẳng định hoặc phủ định bất đẳng thức . Lời giải: Theo bất đẳng thức AM-GM thì , , . Theo bất đẳng thức Schur ta có . Cộng cả bốn bất đẳng thức trên lại ta được . Kết luận: Bất đẳng thức trên luôn đúng. Như vậy với việc mở rộng bất đẳng thức Schur bậc ba ta tìm ra được một bất đẳng thức mới. Bây giờ ta đi xem xét vấn đề theo một khía cạnh khác. Bài toán 39: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phân biệt ta luôn có . (1) Chứng minh: Đặt ; khi đó ta có . Do đó ta có điều hiển nhiên . Trả lại biến ban đầu ta được . Bài toán 40: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thực, ta luôn có bất đẳng thức . (2) Chứng minh: Thật dễ dàng, ta chứng minh được bất đẳng thức này một cách hoàn toàn tương tự như trên. Bớt đi 1 vào mỗi hạng tử vế trái của (2) ta được bất đẳng thức mới Bài toán 41: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thực và phân biệt ta luôn có bất đẳng thức . (3) Nhân với 2 rồi thêm vào 1 ở mỗi hạng tử vế trái của (3) ta được Bài toán 42: Với mọi a, b, c thực phân biệt, chứng minh bất đẳng thức . (4) Kết hợp hai bất đẳng thức (1) và (4) ta được Bài toán 43: Chứng minh với mọi a, b, c thực phân biệt thì (5) Kết hợp hai bất đẳng thức (3) và (4) ta suy ra Bài toán 44: Chứng minh với mọi a, b, c thực phân biệt ta luôn có (6) Ta đưa về một kết quả tương đương nhưng đẹp mắt hơn là Bài toán 45: Với mọi số thực a, b, c phân biệt, chứng minh rằng (7) Việc sử dụng liên tiếp các hằng đẳng thức và thêm bớt các biểu thức một cách hợp lí đã giúp chúng ta tạo ra những bất đẳng thức mới khá đẹp mắt. 2.4.4 Bất đẳng thức đối xứng ba biến thuần nhất có điều kiện Trước tiên ta đi xem xét bài toán sau Bài toán 46: Chứng minh rằng với các số không âm a, b, c có tổng bằng 2 thì . Chứng minh: Thực chất là ta đi chứng minh bài toán: , với mọi a, b, c không âm. Ta có Đây là bất đẳng thức Schur bậc ba, nên nó hiển nhiên đúng. Ta nhận thấy các bất đẳng thức đối xứng có điều kiện và không có điều kiện là hai đối tượng riêng rẽ, tồn tại độc lập, nhưng thật ra chúng lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Chính mối quan hệ này làm nảy sinh một kĩ thuật mới chứng minh bất đẳng thức, đó là kĩ thuật chuẩn hoá với bất đẳng thức thuần nhất đối xứng. Xét bất đẳng thức đồng bậc dạng , trong đó f và g là hai đa thức đồng bậc. Do tính chất của hàm thuần nhất, ta có thể chuyển việc chứng minh bất đẳng thức trên về việc chứng minh bất đẳng thức với mọi thoả mãn điều kiện . Chuẩn hoá một cách thích hợp, ta có thể làm đơn giản các biểu thức của bất đẳng thức cần chứng minh, tận dụng được một số tính chất đặc biệt của hằng số. Nếu biết quan sát và lựa chọn những điều kiện thích hợp, nghĩa là lúc ấy như có thêm giả thiết, ta sẽ có lời giải gọn gàng sáng sủa. Bài toán 47: Chứng minh rằng với mọi a, b, c không âm thì . Chứng minh: Cái khó nhất của bài toán là sự có mặt của hai căn thức khác nhau, theo lối suy nghĩ thông thường là luỹ thừa mũ 6 cả hai vế rồi khai triển, nhưng cách này rất dài và không nhiều ý nghĩa, thậm chí rất dễ nhầm lẫn. Chọn , thành thử bây giờ ta chỉ cần chứng minh rằng . Theo những trường hợp đặc biệt và hệ quả của bất đẳng thức AM-GM thì từ suy ra kéo theo . Ta lại có . Vậy bài toán được chứng minh xong. Điều độc đáo và cũng là điều khó nhất của kĩ thuật này là việc chuẩn hoá biểu thức nào cho hợp lí nhất để có chứng minh đơn giản nhất. Chẳng hạn trong ví dụ trên, ta hoàn toàn có thể giả sử bất kì một biểu thức nào khác hoặc hoặc hoặc abc = 1, nhưng các cách chuẩn hoá này hoặc không thể giải ra được hoặc phải chứng minh rất dài. Bài toán 48: Với mọi a, b, c là các số thực không âm, chứng minh bất đẳng thức . Chứng minh: Để rút gọn các số hạng vế trái trở thành các biểu thức đơn giản hơn đối với một biến của a, b, c, ta chuẩn hoá a + b + c = 3. Bất đẳng thức tương đương với . Nói chung, những bài bất đẳng thức có một vế là tổng của ba phân thức như trên là rất khó hoặc không thể đánh giá được từng phân thức. Với điều kiện a + b + c = 3, ta sẽ tìm một số thực k sao cho . Khi đó bất đẳng thức sẽ được chứng minh vì . Ta có Vậy và bất đẳng thức được chứng minh. Bài toán 49: Chứng minh ._.