Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gian rời rạc

kiện và martingale với thời gian rời rạc 15 2.1 Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Martingale với thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 2MỞ ĐẦU Lý thuyết xác suất là lĩnh vực toán học có cơ sở lý thuyết chặt chẽ và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người từ âm nhạc tới vật lý, từ văn học tới thống kê xã hội, từ cơ học tới thị trường chứng khoán ... Đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất chính là các định lý về kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gian rời rạc. Vì những lý do trên, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Nguyễn Văn Quảng, chúng tôi đã chọn đề tài "Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gian rời rạc" nhằm nghiên cứu sâu hơn về lĩnh vực này. Nội dung của khóa luận được chia làm hai chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này tác giả trình bày về biến ngẫu nhiên G - đo được, tính độc lập, định nghĩa kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gian rời rạc cùng một số tính chất cơ bản cần thiết cho chương sau. Chương 2. Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện và mar- tingale với thời gian rời rạc. Đây là phần chính của khóa luận. Trong chương này, tác giả trình bày một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện đối với σ - đại số G và một số tính chất của martingale với thời gian rời rạc. Khoá luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo, PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự tận tình hướng dẫn trong 3suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo, TS. Lê Văn Thành, Học viên Vũ Thị Ngọc Ánh đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu, giúp tác giả hoàn thành khoá luận tốt hơn. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ xác suất thống kê và toán ứng dụng, các thầy cô giáo trong Khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân và bạn bè đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành khoá luận này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên khoá luận chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của thầy cô giáo và góp ý của bạn đọc để khoá luận được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 5 năm 2010. Tác giả 4CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác suất, G là σ−đại số con của F . 1.1 Biến ngẫu nhiên G−đo được 1.1.1 Định nghĩa. Giả sử (Ω1,F1) và (Ω2,F2) là hai không gian đo. Ánh xạ X : Ω1 −→ Ω2 gọi là ánh xạ F1/F2 đo được nếu với mọi B ∈ F2 thì X−1(B) ∈ F1. 1.1.2 Định nghĩa. Giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác suất, G là σ- đại số con của σ- đại số F . Khi đó ánh xạ X : Ω→ R được gọi là biến ngẫu nhiên G- đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi B ∈ B(R) thì X−1(B) ∈ G). 1.1.3 Định lý. X là biến ngẫu nhiên G- đo được khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau đây thoả mãn (i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ G với mọi a ∈ R. (ii) (X ≤ a) := (ω : X(ω) ≤ a) ∈ G với mọi a ∈ R. (iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ G với mọi a ∈ R. (iv) (X ≥ a) := (ω : X(ω) ≥ a) ∈ G với mọi a ∈ R. 1.1.4 Định lý. Giả sử X1, X2, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên G- đo được cùng xác định trên (Ω,F ,P), f : Rn −→ R là hàm đo được (tức f là 5B(Rn)/B(R) đo được). Khi đó Y = f(X1, ..., Xn) : Ω −→ R ω 7→ f(X1(ω), ..., Xn(ω)) là biến ngẫu nhiên G- đo được. 1.1.5 Hệ quả. Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên G- đo được cùng xác định trên (Ω,F , P ), f : R −→ R là hàm liên tục a, b ∈ R. Khi đó aX+bY,XY, |X|, f(X), X+ = max(X, 0), X− = max(−X, 0), X Y , (Y 6= 0) đều là các biến ngẫu nhiên G- đo được. 1.1.6 Định lý. Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên G- đo được cùng xác định trên (Ω,F ,P). Khi đó, nếu inf n Xn, sup n Xn hữu hạn, thì inf n Xn, sup n Xn, limXn, limXn, lim n→∞Xn (nếu tồn tại), đều là biến ngẫu nhiên G- đo được. 1.2 Tính độc lập 1.2.1 Định nghĩa. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu P(AB) = P(A)P(B). 1.2.2 Định lý. Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau thoả mãn (i) A, B độc lập; (ii) A, B độc lập; (iii) A, B độc lập. 1.2.3 Định lý. Giả sử biến cố A có P(A) = 0 hoặc P(A) = 1. Khi đó A độc lập với mọi biến cố. 6Chứng minh. Giả sử P(A) = 0 và B là biến cố bất kỳ. Do P(AB) ≤ P(A) nên P(AB) = 0 = P(A)P(B). Do đó A và B độc lập. Giả sử P(A) = 1 và B là biến cố bất kỳ. Khi đó P(A) = 0 nên theo chứng minh trên A, B độc lập. Do đó A, B độc lập. 1.2.4 Định nghĩa. Họ các biến cố (Ai)i∈I được gọi là độc lập đôi một nếu hai biến cố bất kỳ của họ đều độc lập. Họ các biến cố (Ai)i∈I được gọi là độc lập toàn cục (gọi vắn tắt là độc lập), nếu đối với mọi họ hữu hạn các biến cố Ai1, Ai2, . . . , Ain của họ đó, ta đều có P(Ai1Ai2 . . . Ain) = P(Ai1)P(Ai2)...P(Ain). 1.2.5 Định nghĩa. Họ các lớp biến cố (Ci)i∈I (Ci ⊂ F) được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu với mọi Ai ∈ Ci, họ các biến cố (Ai)i∈I độc lập (độc lập đôi một). Họ các biến ngẫu nhiên (Xi)i∈I được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu họ σ-đại số (σ(Xi))i∈I độc lập (độc lập đôi một). 1.3 Định nghĩa kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gian rời rạc 1.3.1 Định nghĩa. Giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác suất, X : Ω → R là biến ngẫu nhiên và G là σ-đại số con của F . Khi đó biến ngẫu nhiên Y gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ-đại số G nếu i) Y là biến ngẫu nhiên G- đo được; ii) Với mỗi A ∈ G, ta có ∫ A Y dP = ∫ A XdP. Ta thường ký hiệu Y = E(X|G) hay Y = EGX. Chú ý. 71. Nếu Y là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω,F ,P) và G là σ-đại số con của F sao cho Y là biến ngẫu nhiên G− đo được, thì ta viết Y ∈ G. 2. Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên đã cho trên (Ω,F ,P) và G là σ-đại số sinh bởi Y , thì E(X|G) được ký hiệu là E(X|Y ) và được gọi là kỳ vọng điều kiện của biến ngẫu nhiên X đối với biến ngẫu nhiên Y . 3. Nếu X1, X2, ... là các biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω,F ,P) và G là σ-đại số sinh bởi chúng thì E(X|G) được ký hiệu là E(X|X1, X2, ...). 4. Nếu X = IA, A ∈ G thì E(X|G) được ký hiệu là P(A|G) và được gọi là xác suất điều kiện của biến cố A đối với σ-đại số G. E(IA|X1, X2, ...) được ký hiệu là P(A|X1, X2, ...) và được gọi là xác suất điều kiện của biến cố A đối với các biến ngẫu nhiên X1, X2, .... 1.3.2 Định nghĩa. Giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác suất. (Xn, n ∈ N) là dãy biến ngẫu nhiên. (Fn, n ∈ N) là dãy tăng các σ-đại số. Khi đó dãy (Xn,Fn, n ∈ N được gọi là • martingale nếu (i) Xn đo được đối với Fn, n ∈ N. (ii) E|Xn| <∞, ∀n ∈ N. (iii) Với m ≤ n, m, n ∈ N E(Xn|Fm) = Xm h.c.c. • martingale trên nếu (i) Xn đo được đối với Fn, n ∈ N. (ii) E|Xn| <∞, ∀n ∈ N. (iii’) Với m ≤ n, m, n ∈ N E(Xn|Fm) ≤ Xm h.c.c. • martingale dưới nếu (i) Xn đo được đối với Fn, n ∈ N. 8(ii) E|Xn| <∞, ∀n ∈ N. (iii”) Với m ≤ n, m, n ∈ N E(Xn|Fm) ≥ Xm h.c.c. • hiệu martingale nếu (i) (Xn,Fn, n ∈ N) là dãy phù hợp. (ii) E|Xn| <∞, ∀n ∈ N. (iii” ’) Với m < n, m, n ∈ N E(Xn|Fm) = 0 h.c.c. Chú ý. • Các điều kiện (iii), (iii’), (iii”) và (iii” ’) có thể được thay thế bởi các điều kiện sau (iii) Với n = 1, 2, ... E(Xn|Fn−1) = Xn−1 h.c.c. (iii’) Với n = 1, 2, ... E(Xn|Fn−1) ≤ Xn−1 h.c.c. (iii” ’) Với n = 1, 2, ... E(Xn|Fn−1) = 0 h.c.c. • Điều kiện (ii) có thể thay thế bằng điều kiện: có kỳ vọng điều kiện. 1.4 Một số tính chất cơ bản của kỳ vọng có điều kiện Giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác suất, các biến ngẫu nhiên đều có kỳ vọng, G là σ - đại số con nào đó của F . 1.4.1 Định lý. Nếu X=c (hằng số) thì E(X | G) = E(c | G) = c (h.c.c). 9Chứng minh. Đặt Y = c. Khi đó Y ∈ G và với mọi A ∈ G∫ A Y dP = ∫ A cdP = ∫ A XdP do đó Y = c = E(c | G). 1.4.2 Định lý. Nếu X ≥ Y (h.c.c) thì E(X | G) ≥ E(Y | G) (h.c.c). Chứng minh. Đặt Z = E(X | G), T = E(Y | G). Khi đó Z ∈ G, T ∈ G và với mọi A ∈ G ta có∫ A ZdP = ∫ A XdP ≥ ∫ A Y dP = ∫ A TdP. Từ đó, ta suy ra ∫ A ZdP ≥ ∫ A TdP. Do đó E(X | G) ≥ E(Y | G) (h.c.c). 1.4.3 Định lý. Với mọi hằng số a, b, ta có E(aX + bY | G) = aE(X | G) + bE(Y | G). Chứng minh. Đặt Z = E(X | G), T = E(Y | G). Khi đó Z ∈ G và T ∈ G, do đó (aZ + bT ) ∈ G. 10 Mặt khác, với mọi A ∈ G ta có∫ A (aZ + bT )dP = a ∫ A ZdP + b ∫ A TdP = a ∫ A XdP + b ∫ A Y dP = ∫ A (aX + bY )dP. Từ các lập luận trên suy ra E(aX + bY | G) = aE(X | G) + bE(Y | G). 1.4.4 Định lý. Nếu X và G độc lập thì E(X | G) = EX. Chứng minh. Đặt Y = EX. Khi đó Y ∈ G vì với mọi B ∈ B(R), ta có Y −1(B) = {∅, nếu EX /∈ B Ω, nếu EX ∈ B. Mặt khác, với mọi A ∈ G, ta có X và IA độc lập, do đó∫ A Y dP = ∫ A EXdP = EX ∫ A dP = P(A)EX. Lại có ∫ A XdP = ∫ Ω XIAdP = E(XIA) = E(X)E(IA) = P(A)EX. Vậy ∫ A Y dP = ∫ A XdP. Do đó E(X|)G = EX. 1.4.5 Định lý. E[E(X | G)] = EX. Chứng minh. Vì Ω ∈ G nên ta có E[E(X | G)] = ∫ Ω E(X | G)dP = ∫ Ω XdP = EX. 11 1.4.6 Định lý. Nếu X là G- đo được thì E(X | G) = X h.c.c. Chứng minh. Theo giả thiết ta có Y = X ∈ G. Mặt khác, với mọi A ∈ G ta có ∫ A Y dP = ∫ A XdP. Do đó E(X | G) = X. 1.4.7 Định lý (Tính chất hút). Nếu G1 ⊂ G2 thì E(X | G1) = E[E(X | G1) | G2] = E[E(X | G2) | G1]. Chứng minh. Đặt E(X | G1) = Y, E(X | G2) = Z. Khi đó, E(Y | G2) = Y và Y = E(Z | G1). Thật vậy, ta có Y = E(X | G1), suy ra Y ∈ G1. Do đó G1 ⊂ G2. Do đó, theo Định lý 1.4.6, Y = E(Y | G2). Mặt khác, với mọi A ∈ G1 thì A ∈ G2, nên ta có∫ A Y dP = ∫ A XdP = ∫ A ZdP, do đó Y = E(Z | G1). Vậy, ta có E(X | G1) = E[E(X | G1) | G2] = E[E(X | G2) | G1]. 1.4.8 Định lý (Bất đẳng thức Jensen). Nếu ϕ là hàm lồi, X là ϕ(X) khả tích thì E[ϕ(X) | G] ≥ ϕ[E(X | G)] (h.c.c). 1.5 Một số tính chất cơ bản của martingale với thời gian rời rạc 1.5.1 Định lý. (i) Nếu (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale, thì hàm trung bình EXn không đổi. 12 (ii) Nếu (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale dưới (martingale trên), thì hàm trung bình EXn không giảm (không tăng) theo n ∈ N. Chứng minh. (i) Với (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale, ta cóXm = E(Xn | Fm) với m ≤ n, suy ra EXm = E[E(Xn | Fm)] = EXn. (ii) Với (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale dưới. Với mọi m ≤ n ta có EXm ≤ E[E(Xn | Fm)] = EXn. Trường hợp martingale trên chứng minh tương tự. 1.5.2 Định lý. (i) Nếu (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale và ϕ là hàm lồi với E | ϕ(Xn) |<∞, (∀n ∈ N), thi (ϕ(Xn),Fn, n ∈ N) là martingale dưới. (ii) Nếu (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale dưới và ϕ là hàm lồi không giảm với E | ϕ(Xn) |<∞, (∀n ∈ N), thi (ϕ(Xn),Fn, n ∈ N) là martingale dưới. Chứng minh. (i) Để chứng minh (ϕ(Xn),Fn, n ∈ N) là martingale dưới ta kiểm tra các điều kiện • ϕ(Xn) ∈ Fn, (∀n ∈ N) (vì Xn ∈ Fn ∀n ∈ N). • E | ϕ(Xn) |<∞, (∀n ∈ N) (do giả thiết). • n = 1, 2, ... ta cần chứng minh E[ϕ(Xn) | Fn−1] ≥ ϕ(Xn−1)(h.c.c). Thật vậy, theo bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện ta có E[ϕ(Xn) | Fn−1] ≥ ϕ[E(Xn | Fn−1)] (1.1) Theo giả thiết thì (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale nên với n = 1, 2, ... E(Xn | Fn−1) = Xn−1(h.c.c). Điều này kéo theo ϕ[E(Xn | Fn−1)] = ϕ(Xn−1)(h.c.c). (1.2) 13 Từ (1.1) và (1.2) suy ra E[ϕ(Xn) | Fn−1] ≥ ϕ(Xn−1)(h.c.c). Vậy (i) được chứng minh. (ii) Để chứng minh (ϕ(Xn),Fn, n ∈ N) là martingale dưới ta kiểm tra các điều kiện • ϕ(Xn) ∈ Fn, (∀n ∈ N) (vì Xn ∈ Fn ∀n ∈ N). • E | ϕ(Xn) |<∞, (∀n ∈ N) (do giả thiết). • n = 1, 2, ... ta cần chứng minh E[ϕ(Xn) | Fn−1] ≥ ϕ(Xn−1)(h.c.c). Thật vậy, theo bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện ta có, E[ϕ(Xn) | Fn−1] ≥ ϕ[E(Xn | Fn−1)]. (1.3) Theo giả thiết thì (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale dưới nên với n = 1, 2, ... E(Xn | Fn−1) ≥ Xn−1(h.c.c). Do ϕ là hàm không giảm, nên ϕ[E(Xn | Fn−1)] = ϕ(Xn−1)(h.c.c). (1.4) Từ (1.3) và (1.4) suy ra E[ϕ(Xn) | Fn−1] ≥ ϕ(Xn−1)(h.c.c). Vậy (ii) được chứng minh. 1.5.3 Hệ quả. (i) Cho p ≥ 1. Nếu (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale với E|Xn|p <∞, n ∈ N, thì (|Xn|p,Fn, n ∈ N) là martingale dưới, do đó hàm E|Xn|p không giảm theo n ∈ N. (ii) Nếu (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale dưới thì (X+n ,Fn, n ∈ N) cũng là martingale dưới. 14 Chứng minh. (i) Với p ≥ 1, thì |x|p là hàm lồi, nên theo tính chất trên (|Xn|p,Fn, n ∈ N) là martingale dưới, do đó hàm E|Xn|p không giảm theo n ∈ N. (ii) Tương tự x+ là hàm lồi không giảm nên ta có điều phải chứng minh. 15 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ MARTINGALE VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC 2.1 Kỳ vọng có điều kiện 2.1.1 Mệnh đề. Giả sử G = {A, A¯,Ω, ∅}, 0 < P(A) = p < 1 và∫ A XdP = a1, ∫ A¯ XdP = a2. Khi đó E(X | G) = a1 p IA + a2 1− pIA¯. Chứng minh. Đặt Y = E(X | G). Khi đó Y ∈ G, suy ra Y có dạng Y = b1IA + b2IA¯. (2.1) Mặt khác ta có E(Y IA) = ∫ A Y dP = ∫ A XdP = a1. Hơn nữa Y IA = b1IA suy ra E(Y IA) = E(b1IA) = b1P (A). Kết hợp với trên ta có b1P (A) = a1 do đó b1 = a1 P(A) = a1 p . (2.2) Tương tự ta lại có E(Y IA¯) = ∫ A¯ Y dP = ∫ A¯ XdP = a2. Hơn nữa Y IA¯ = b2IA¯ suy ra E(Y IA¯) = E(b2IA¯) = b2P (A¯). Kết hợp với trên ta có b2P (A¯) = a2, do đó b2 = a2 P(A¯) = a2 1− p. (2.3) 16 Từ (2.1), (2.2) và (2.3) ta được E(X | G) = a1 p IA + a2 1− pIA¯. Đó là điều cần chứng minh. 2.1.2 Hệ quả. Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối nhị thức B(1, p). Đặt Z = I(X+Y =0) và G = σ(Z) (σ- đại số sinh bởi Z). Khi đó E(Y | G) = E(X | G) = p 1− (1− p)2I(X+Y≥1). (2.4) Do đó E(X | G) và E(Y | G) không độc lập. Chứng minh. Đặt A = {X + Y = 0}. Khi đó G = σ(Z) = {A, A¯,Ω, ∅}. Ta có ∫ A XdP = ∫ A 0dP = 0∫ A¯ XdP = ∫ Ω XdP− ∫ A XdP = EX = p P (A) = P (X + Y = 0) = P (X = 0, Y = 0) = P (X = 0)P (Y = 0) (Do X và Y độc lập) = (1− p)(1− p) = (1− p)2. Do đó, áp dụng Mệnh đề 1.5.1 ta có E(X | G) = p 1− (1− p)2I(X+Y≥1). Tương tự ta có E(Y | G) = p 1− (1− p)2I(X+Y≥1). Từ đó ta thu được (2.4). Do đó E(X | G) và E(Y | G) không độc lập. 17 2.1.3 Mệnh đề. Nếu X là biến ngẫu nhiên và ϕ(x) là hàm đo được sao cho tồn tại E[ϕ(X)], thì E[ϕ(X) | X] = ϕ(X). Chứng minh. Ta có X ∈ σ(X), mà ϕ(X) là hàm đo được, do đó ϕ(X) ∈ σ(X). Theo Định lý 1.4.6 suy ra E[ϕ(X) | X] = ϕ(X). Đó là điều phải chứng minh. 2.1.4 Mệnh đề. Nếu tất cả các biến cố của σ- đại số G đều có xác suất bằng 0 hoặc bằng 1, thì với xác suất 1 ta có E(X | G) = EX, với mọi biến ngẫu nhiên X. Chứng minh. Lấy A ∈ G ta có P (A) = 0 hoặc P (A) = 1, suy ra A độc lập với mọi biến cố B. Do đó với mọi A ∈ G , mọi B ∈ σ(X) thì ta có A, B độc lập, nên G độc lập với X. Theo Định lý 1.4.4 suy ra E(X | G) = EX (h.c.c). 2.1.5 Hệ quả. Giả sử G1 và G2 là hai σ- đại số độc lập và X là biến ngẫu nhiên bất kỳ có kỳ vọng. Khi đó, với xác suất 1, ta có E(X | G1 ∩ G2) = EX (h.c.c). Chứng minh. Lấy A ∈ G1∩G2. Khi đó A ∈ G1 và A ∈ G2 . Mà G1 và G2 độc lập nên A độc lập với A. Suy ra P (A) = P (A)P (A), Do đó [ P (A) = 0 P (A) = 1 . 18 Nên theo Mệnh đề 2.1.4 suy ra E(X | G1 ∩ G2) = EX (h.c.c). Đó là điều phải chứng minh. 2.1.6 Mệnh đề. Giả sử G1,G2, ... là dãy không tăng các σ- đại số, X là biến ngẫu nhiên. Khi đó E(...E(X | G1) | G2... | Gn) = E(X | Gn). (2.5) Chứng minh. Với n = 1, (2.5) hiển nhiên đúng. Giả sử (2.5) đúng với n = k, ta chứng minh (2.5) đúng với n = k + 1. Thật vậy, E(E(...E(E(X | G1) | G2)... | Gk) | Gk+1) = E(E(X | Gk) | Gk+1) (do giả thiết quy nạp) = E(X | Gk+1) (do tính chất hút) . Bằng thuật toán tương tự chứng minh mệnh đề trên ta thu được mệnh đề sau. 2.1.7 Mệnh đề. Giả sử G1,G2, ... là dãy không giảm các σ- đại số, X là biến ngẫu nhiên. Khi đó E(...E(X | G1) | G2... | Gn) = E(X | G1). 2.1.8 Mệnh đề. Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên khả tích sao cho E(X | Y ) = Y ;E(Y | X) = X, thì X = Y h.c.c. Chứng minh. Ta có X, Y ∈ σ(X, Y ) = σ(σ(X) ∪ σ(Y )). 19 Với mọi A ∈ σ(X) ta có∫ A Y dP = ∫ A XdP (Do E(Y | X) = X). Với mọi A ∈ σ(Y ) ta có∫ A XdP = ∫ A Y dP (Do E(X | Y ) = Y ). Do đó, với mọi A ∈ σ(X) ∪ σ(Y ) ta có∫ A XdP = ∫ A Y dP. Suy ra X = Y h.c.c. 2.1.9 Mệnh đề. Giả sử X là biến ngẫu nhiên khả tích xác định trên không gian xác suất (Ω,F ,P) và B là σ- đại số con của F . Khi đó với mọi a > 0 ta có P{| E(X | B) |≥ a} ≤ E | X | a . Chứng minh. Ta có P{| E(X | B) |≥ a} ≤ E | E(X | B) | a ≤ E(E(| X || B)) a = E | X | a . Đó là điều phải chứng minh. 2.1.10 Mệnh đề. Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích, cùng xác định trên không gian xác suất (Ω,F ,P) và G là σ- đại số con nào đó của F . Ta định nghĩa D(X | G) := E[(X − E(X | G))2 | G] Cov[(X, Y ) | G] := E[(X − E(X | G))(Y − E(Y | G)) | G] D(X | G) được gọi là phương sai (hay variance) có điều kiện của X đối với σ- đại số G và cũng được ký hiệu V ar(X | G). Cov[(X, Y ) | G] được 20 gọi là covariance có điêu kiện của X, Y đối với σ- đại số G. Khi đó a)DX = ED(X | G) +DE(X | G) b)Cov(X, Y ) = ECov[(X, Y ) | G] + Cov[E(X | G), E(Y | G)]. Chứng minh. a) Ta có ED(X | G) +DE(X | G) = E{E[(X − E(X | G))2 | G]}+ E{[E(X | G)]2} − {E[E(X | G)]}2 = E[(XX2 − 2XE(X | G) + E(X | G)) | G] + E[E(X | G)]2 − (EX)2 = EX2 + 2E{E(X | G)[E(X | G)−X]} − (EX)2 = DX + 2E{E(X | G)[E(X | G)−X]}. (2.6) Vì E(X | G) là G- đo được nên E{E(X | G)[E(X | G)−X]} = E{E(E(X | G)[E(X | G)−X]) | G} = E{E(X | G)E[E(X | G)−X] | G} = E{E(X | G)[E(E(X | G)) | G − E(X | G)]} = E{E(X | G)[E(X | G)− E(X | G)]} = 0. Kết hợp điều này với (2.6) ta được ED(X | G) +DE(X | G) = DX. b. Ta có ECov[(X, Y ) | G] + Cov[E(X | G), E(Y | G)] = E{E[XX − E(X | G)(Y X − E(Y | G))\]} + E[(XE(X | G)− EX)(E(Y | G)− EY )] = E{XY − Y E(X | G)−XE(Y | G) + E(X | G)E(Y | G) + E(X | G)E(Y | G)− E(X | G)EY − EXE(Y | G) + EXEY } = E{(X − EX)(Y − EY ) + [E(Y | G)− EX][E(X | G)− EY ] + [E(Y | G)− Y ][E(X | G)− EX]} = Cov(X, Y ) + E[E(X | G)−X][E(Y | G)− EY ] + E[E(Y | G)− Y ][E(X | G)− EX]. 21 E[E(X | G)−X][E(Y | G)− EY ] = E{E[E(X | G)−X][E(Y | G)− EY ] | G} = E{[E(Y | G)− EY ]E[(XE(X | G)−X) | G]} = E{[E(Y | G)− EY ][E(E(X | G)) | G − E(X | G)]} = E{[E(Y | G)− EY ][E(X | G)− E(X | G)]} = 0. Tương tự ta cũng chứng minh được E[E(X | G)− Y ][E(X | G)− EX] = 0. Từ đó suy ra Cov(X, Y ) = Ecov[(X, Y ) | G] + Cov[E(X | G), E(Y | G)]. 2.2 Martingale với thời gian rời rạc 2.2.1 Mệnh đề. Giả sử (Xn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, với EXn = 0, n ∈ N . Đặt Sn = X0 +X1 +X2 + ...+Xn, Fn = σ(X0, . . . , Xn), n ∈ N. Khi đó (Sn,Fn, n ∈ N) là martingale. Chứng minh. Ta có Sn ∈ Fn, E | Sn |<∞, ∀n ∈ N. Mặt khác E(Sn | Fn−1) = E(Sn−1 +Xn | Fn−1) = E(Sn−1 | Fn−1) + EXn (Do Xn độc lập với Fn−1) = Sn−1. Do đó (Sn,Fn, n ∈ N) là martingale. 22 2.2.2 Mệnh đề. Giả sử (Xn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với EXn = 1, n ∈ N. Đặt Zn = n∏ k=0 Xk, Fn = σ(X0, . . . , Xn), n ∈ N. Khi đó (Zn,Fn, n ∈ N) là martingale. Chứng minh. Tương tự Mệnh đề 2.2.1, ta có Zn−1 là Fn−1 - đo được, Xn và Fn−1 độc lập nên ta có E(Zn | Fn−1) = E(Zn−1Xn | Fn−1) = Zn−1E(Xn | Fn−1) = Zn−1EXn = Zn−1. Do đó (Zn,Fn, n ∈ N) là martingale. 2.2.3 Mệnh đề. Giả sử (ξn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích, không âm. Đặt Xn = n∑ k=0 ξk Fn = σ(ξ0, . . . , ξn), n ∈ N. Khi đó dãy (Xn,Fn, n ∈ N) lập thành martingale dưới. Chứng minh. Ta có Xn ∈ Fn, E | Xn |<∞, ∀n ∈ N. Mặt khác Xn = n∑ k=0 ξk = Xn−1 + ξn. Do đó E(Xn | Fn−1) = E[(Xn−1 + ξn) | Fn−1] = E(Xn−1 | Fn−1) + E(ξn | Fn−1) = Xn−1 + E(ξn | Fn−1) ≥ Xn−1 (Do ξn không âm). Do đó (Xn,Fn, n ∈ N) lập thành martingale dưới. 23 2.2.4 Mệnh đề. Giả sử (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale dưới và dãy (EXn, n ∈ N) không đổi. Khi đó (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale. Chứng minh. Với mọi m ≥ n, ta có E(Xm | Fn)−Xn ≥ 0 và E[E(Xm | Fn)−Xn] = EXm − EXn = 0, Suy ra E(Xm | Fn)−Xn = 0. Do đó (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale. 2.2.5 Mệnh đề. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn, (Fn, n ∈ N) là dãy không giảm các σ-đại số. Đặt Xn = E(X|Fn). Khi đó (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale. Chứng minh. Ta có Xn ∈ Fn, E | Xn |≤ E | X |<∞, ∀n ∈ N. Với n ≥ 1, ta có E(Xn | Fn−1) = E(E(X | Fn) | Fn−1) = E(X | Fn−1) (Do tính chất hút) = Xn−1. Do đó (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale. 2.2.6 Mệnh đề. Giả sử (Xn;Fn, n ∈ N) là martingale. Đặt Yn = n∑ k=1 1 k (Xk −Xk−1). Khi đó (Yn,Fn, n ≥ 1) là martingale. 24 Chứng minh. Ta có Yn ∈ Fn, E | Yn |<∞, ∀n ∈ N. Với n ≥ 2, ta có E(Yn | Fn−1) = E(Yn−1 + 1 n (Xn −Xn−1) | Fn−1) = Yn−1 + 1 n (E(Xn | Fn−1)−Xn−1) = Yn−1 + 1 n (Xn−1 −Xn−1) (Do (Xn,Fn, n ∈ N) là martingale) = Yn−1. Do đó (Yn,Fn, n ∈ N) là martingale. 2.2.7 Mệnh đề. Giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác suất, (Xn,Fn, n ∈ N) và (Yn,Fn, n ∈ N) là hai martigale cùng xác định trên (Ω,F ,P) và bình phương khả tích. Khi đó a) E(XmYn|Fm) = XmYm h.c.c với mọi m 6 n. b) E(XnYn)− E(X0Y0) = ∑n k=1 E((Xk −Xk−1)(Yk − Yk−1)). Chứng minh. a) Với m ≤ n, ta có E(XmYn | Fm) = XmE(Yn | Fm) (Do Xm ∈ Fm) = XmYm (Do (Yn,Fn, n ∈ N) là martingale). b) Với m ≤ n, ta có E(XmYn | Fm) = XmYm. Do đó E(XmYn) = E(XmYm) (∀m ≤ n). 25 Với ∀k ≥ 1, ta có E((Xk −Xk−1)(Yk − Yk−1)) = E(XkYk)− E(XkYk−1) − E(Xk−1Yk) + E(Xk−1Yk−1) = E(XkYk)− E(Xk−1Yk−1) − E(Xk−1Yk−1) + E(Xk−1Yk−1) = E(XkYk)− E(Xk−1Yk−1). Suy ra n∑ k=1 E((Xk −Xk−1)(Yk − Yk−1)) = n∑ k=1 [E(XkYk)− E(Xk−1Yk−1)] = E(XnYn)− E(X0Y0). Đó là điều phải chứng minh. 26 KẾT LUẬN Kết quả đã đạt được Khóa luận nghiên cứu về kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gian rời rạc. Khóa luận đã thiết lập được một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện, đó là các mệnh đề trong 2.1. Khóa luận cũng đưa ra được một số dạng martingale với thời gian rời rạc, đó là các mệnh đề trong 2.2. Hướng phát triển khóa luận Tiếp tục nghiên cứu các tính chất của kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gian rời rạc. Nghiên cứu sự hội tụ của martingale với thời gian rời rạc. Nghiên cứu các tính chất của martingale với thời gian liên tục. 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến Cơ Sở Lý Thuyết Xác Suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006. [2] Nguyễn Văn Quảng Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008. [3] Đặng Hùng Thắng Mở đầu về lý thuyết xác suất, NXB Giáo duc, 2000. [4] Nguyễn Duy Tiến Các mô hình xác suất và ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005. ._.