Một số phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tăng

Học viên Nguyễn Thị Thu Hà MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết phương trình trong khơng gian cĩ thứ tự được hình thành từ những năm 1940, tiếp tục được phát triển và hồn thiện cho đến ngày nay. Lý thuyết này tìm được những ứng dụng đa dạng trong việc chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu tính chất của nghiệm của các phương trình vi phân, tích phân phát sinh trong Tốn học, Vật lí, Sinh học, … cũng như trong nghiên cứu các mơ hình phát triển xuất phát từ kinh tế học, … Trong lí thuyết phương trình trong khơng gian cĩ thứ tự thì lớp phương trình với tốn tử tăng đĩng vai trị quan trọng. Các kết quả về tốn tử dạng này cho phép nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và xấp xỉ nghiệm của các phương trình chứa các tốn tử khơng liên tục vốn xuất hiện tự nhiên từ các bài tốn thực tế. Đã cĩ nhiều định lí về điểm bất động của ánh xạ tăng, được chứng minh bằng các phương pháp khác nhau trong các bài báo của Krasnoselskii, Bakhtin, Carl, Heikkila, Nguyễn Bích Huy, … Để cĩ thể tìm ra các định lí dạng mới về điểm bất động của ánh xạ tăng hoặc để nghiên cứu các lớp ánh xạ gần với ánh xạ tăng thì cần cĩ sự nhìn lại, phân tích các phương pháp đã được áp dụng để nghiên cứu ánh xạ tăng. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ tăng mà chúng tơi tìm hiểu được qua các bài báo khoa học. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là điểm bất động của ánh xạ tăng. Phạm vi nghiên cứu: luận văn trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ tăng. Đĩ là: phương pháp áp dụng nguyên lí đệ qui mở rộng; phương pháp áp dụng dãy qui nạp siêu hạn; phương pháp áp dụng nguyên lí Entropy; phương pháp sử dụng mêtric đặc biệt và ánh xạ co. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Lý thuyết phương trình trong khơng gian cĩ thứ tự được ứng dụng trong việc chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu tính chất của nghiệm của các phương trình vi phân, tích phân phát sinh trong Tốn học, Vật lí, Sinh học, … cũng như trong nghiên cứu các mơ hình phát triển xuất phát từ kinh tế học, … 5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm cĩ bốn chương. Chương 1: trình bày nguyên lí đệ qui mở rộng, ứng dụng của nĩ trong việc tìm điểm bất động của ánh xạ tăng. Chương 2: tìm hiểu ứng dụng của số siêu hạn vào bài tốn điểm bất động của ánh xạ tăng. Chương 3: trình bày nguyên lí Entropy và ứng dụng của nĩ vào bài tốn điểm bất động. Chương 4: ứng dụng của ánh xạ co suy rộng trong bài tốn điểm bất động; khảo sát sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cĩ tính chất lõm. Vì khả năng và thời gian cĩ hạn nên bản luận văn này chắc cĩ thể thiếu sĩt, em rất mong nhận được sự gĩp ý của quí thầy cơ và độc giả. Chương 1. PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ĐỆ QUI MỞ RỘNG 1.1. Nguyên lí đệ qui mở rộng Định nghĩa 1.1.1 Cho tập P   , khi đĩ  ,P  được gọi là tập sắp thứ tự một phần nếu trên P cĩ quan hệ thứ tự  thỏa: i. Phản xạ: x x x P   . ii. Đối xứng: Nếu x y và y x thì ,x y x y P   . iii. Bắc cầu: Nếu x y và y z thì , ,x z x y z P   . Ta kí hiệu x y nếu x y và x y . Ví dụ.      , , , , ,   là các tập được sắp thứ tự. Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp P cĩ thứ tự gọi là sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của nĩ đều cĩ phần tử đầu tiên.  Với ,C P x P  , ta kí hiệu  xC y C y x   . Mệnh đề 1.1.1 (Nguyên lí đệ qui) Cho D là tập hợp các tập con của tập sắp thứ tự  , ,P D  và ánh xạ :F D P . Khi đĩ, tồn tại duy nhất tập sắp tốt C của P sao cho: 1)  xx C x F C   . (*) 2) Nếu C D thì  F C khơng phải là cận trên chặt của C . (**) Chứng minh. Đặt  0x F P   . Gọi M là tập tất cả các xích sắp tốt 'C của P cĩ tính chất: 'x C thì  'xx F C . Ta cĩ M  vì  0'C x M  . Ta sẽ chứng minh ' ' C M C M   . Bổ đề 1.1.1 Nếu 1 2,C C M và 2 1C C thì 1 2xC C với  2 1min \x C C . Chứng minh.  Vì  2 1min \x C C nên 2 1xC C Thật vậy, lấy 2xy C thì 2y C và y x . Mà  2 1min \x C C nên 2 1\y C C . Suy ra 1y C .  Giả sử 1 2\ xC C   Đặt  1 2min \ xy C C . Khi đĩ, ta cĩ  1 2 1 2y xC C C C   (do 2 1xC C ) Ta sẽ chứng minh 1 2y xC C . Giả sử 1 2y xC C . Khi đĩ tồn tại  2 1min \x yz C C nên  2 1zx yC C . Suy ra 2 1 z yC C (vì z x ) (1) Mặt khác  2 1 2xz C C C   nên 1z C . Mà 1 yz C . Do đĩ y z . Suy ra 2 2y zC C . Ta cĩ 1 2 y xC C nên 1 2y yC C (Lấy 1 2 2 2,y x yz C C z C z y z C       ) Do đĩ 1 2y zC C (2) Từ (1) và (2) suy ra 2 1z yC C Hay    2 1z yz F C F C y   , mâu thuẫn vì 2xz C và 2xy C . Vậy 1 2y xC C hay    1 2y xy F C F C x   , mâu thuẫn vì 1y C và 1x C . Vậy 1 2\ xC C  .  Ta đã chứng minh được 2 1 xC C và 1 2\ xC C  . Do đĩ 1 2xC C . Bổ đề 1.1.2 Giả sử  ,xx F C x y C M    . Khi đĩ x C . Chứng minh.  Vì y C M  nên  yy F C . Do x y nên ta cĩ x yC C . Hơn nữa dấu “=” khơng xảy ra vì    x yx F C y F C   . Như vậy  min \y xz C C   Ta sẽ chứng minh x z thì sẽ cĩ x C . Trước tiên, ta chứng minh x zC C Do  min \y xz C C nên z xC C (Thật vậy, lấy zu C , ta cĩ ,u C u z y   . Mà  min \y xz C C suy ra \y x xu C C u C   ) Giả sử dấu “=” khơng xảy ra. Khi đĩ \x zt C C  Vì t và z thuộc C nên chúng so sánh được với nhau. Và từ cách chọn t , ta cĩ z t x  . Tức là xz C , mâu thuẫn vì  min \y xz C C . Do đĩ x zC C Suy ra    x zx F C F C z   . Vậy x C . Chứng minh mệnh đề 1.1.1 Theo bổ đề 1.1.1 thì hai xích bất kì thuộc M đều chứa nhau. Đặt ' ' C M C C    .  Chứng minh C sắp tốt Lấy tập con ,A C A  . Ta sẽ chứng minh minx A  Chọn 1C M sao cho 1A C  Do 1C sắp tốt nên  1minx A C   . Ta chứng minh minx A Lấy y bất kì thuộc A . Ta chứng minh ,x y y A   . Khi đĩ, 2C M  sao cho 2y C Nếu 1y C thì 1y C A  do đĩ x y Nếu 1y C thì 2 1C C nên theo bổ đề 1.1.1 ta cĩ 1 2kC C với  2 1min \k C C Cĩ 2 1,y C y C  nên 2 1\y C C do đĩ k y Suy ra 2 2 k yC C tức là 1 2 2k yC C C  Do 1 2 yx C C  nên x y . Vậy ,x y y A   . Suy ra minx A tồn tại hay C là xích sắp tốt.  Chứng minh C thỏa (*) / Lấy x C thì tồn tại 1C M sao cho 1x C Lấy xy C thì tồn tại 2C M sao cho 2xy C Nếu 2 1C C thì 2 1x xC C do đĩ 1xy C Nếu 2 1C C thì theo bổ đề 1.1.1 ta cĩ  1 2 2 1, min \kC C k C C  Do 1 1 2, kx C C C  nên 2kx C . Suy ra x k  1 2 2xx k xC C C   Mà 2 xy C nên 1xy C . Tức là 1 ,x xy C y C   hay 1x xC C Hiển nhiên ta cĩ 1x xC C . Do đĩ 1x xC C Suy ra    1x xx F C F C  (do 1C M ). Vậy C M . / Giả sử  xx F C . Cần chứng minh x C . Giả sử trái lại x C . Ta đã chứng minh C M nên từ bổ đề 1.1.2, ta phải cĩ ,x y y C   (1) Hiển nhiên xC  vì nếu khơng, ta cĩ   0x F x C    . Đặt  1 xC C x  . Chứng minh 1C sắp tốt Với  1, ,D C D D x   thì ta cĩ  min min xD C D nên theo định nghĩa 1.1.2 ta cĩ 1C sắp tốt (  min xC D tồn tại vì ,x xC D C C C   sắp tốt và theo định nghĩa 1.1.2) Do (1) nên 1 1, y yC C y C   Thật vậy, lấy  1 xy C C x   Nếu y x thì   1 1 xy x x x yC C C x C C     Nếu xy C thì y x nên ta cĩ   1 yy x yC C x C   Do đĩ 1C M Thật vậy, lấy 1y C , chứng minh  1yy F C Nếu y x thì      1x y yy x F C F C F C    Nếu xy C thì y C mà C M nên    1y yy F C F C  Suy ra x C , mâu thuẫn. Ta cĩ điều phải chứng minh.  Chứng minh C thỏa (**) Thật vậy, nếu C D và  a F C là một cận trên chặt của C , thì aC C . Suy ra    aF C F C a  Do (*) nên ta cĩ a C (mâu thuẫn vì a là cận trên chặt của C ) Vậy C thỏa (**). Kết luận: Mệnh đề được chứng minh hồn tồn. 1.2. Tập xấp xỉ liên tiếp từ một điểm đối với một ánh xạ Bổ đề 1.2.1 Cho tập cĩ thứ tự  ,P  , ánh xạ :G P P và a P . Khi đĩ tồn tại duy nhất xích sắp tốt C của P sao cho mina C và   sup xa x C x G C     I Chứng minh.  Xét     supD A P G A    tồn tại và ánh xạ :f D P xác định bởi  f a  và    supf A G A với A D   Rõ ràng f được định nghĩa tốt.  Theo mệnh đề 1.1.1 (nguyên lí đệ qui) thì tồn tại duy nhất xích sắp tốt C của P sao cho 1)  xx C x f C   2) Nếu C D thì  f C khơng phải là cận trên chặt của C .  Ta kiểm tra C thỏa  I . Đặt 0 minx C (vì C sắp tốt nên tồn tại min) Ta cĩ 0x C nên theo 1) ta cĩ    00 xx f C f a    tức là mina C . Với a x thì xC   . Do đĩ    supx xx C x f C G C    (định nghĩa f ). Vậy C chính là xích sắp tốt duy nhất của P thỏa điều kiện  I . Định nghĩa 1.2.1 Xích C được xây dựng như trên gọi là xích sắp tốt (w.o) của phép lặp G từ a . Định lí 1.2.1 Cho tập cĩ thứ tự  ,P  , ánh xạ : ,G P P a P  . Giả sử C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a . Nếu a Ga và  * supx G C tồn tại thì * maxx C và * *Gx x . Chứng minh. Giả sử a Ga và  * supx G C tồn tại. Ta chứng minh * maxx C  Lấy x C Nếu x a thì do   *supa Ga G C x   nên *x x Nếu a x C  ta cĩ     *sup supxx G C G C x   Suy ra *,x x x C   .  Giả sử *x C Khi đĩ ta cĩ *,x x x C   hay *xC C Ta cĩ    ** sup sup xx G C G C  Suy ra *x C (mâu thuẫn). Do đĩ *x C . Vậy ta đã chứng minh được * maxx C . Và  * *supGx G C x  . Bổ đề 1.2.2 Nếu A và B là tập con của P và nếu sup , supA B tồn tại thì    sup sup sup , supA B A B  . Chứng minh. Dễ thấy hai tập hợp A B và  sup , supA B cĩ cận trên giống nhau, từ đĩ suy ra điều phải chứng minh. Định nghĩa 1.2.2 Cho C là xích sắp tốt. Với mỗi , maxx C x C  , sẽ cĩ một phần tử tiếp sau Sx trong C , ta cĩ  : min /Sx y C x y   . Mệnh đề 1.2.1 Cho :G P P là ánh xạ tăng và a Ga . Gọi C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a . Khi đĩ: a. Nếu x C thì x Gx và Gx C . b. Sa tồn tại khi và chỉ khi a Ga và do đĩ Sa Ga . c. Nếu a x C  thì Sx tồn tại khi và chỉ khi Gx x và  sup ,x Gx tồn tại, và do đĩ  sup ,Sx x Gx . d. Nếu a x C  thì sup xx C khi và chỉ khi x khơng là phần tử tiếp sau. e.  G C là xích sắp tốt của P . Chứng minh. a. Lấy x C , chứng minh x Gx Nếu x a thì x Gx (do giả thiết a Ga ) Nếu a x C  ta cĩ xy C  thì y x mà G tăng nên Gy Gx Suy ra  sup xG C Gx hay x Gx . Vậy x C thì x Gx .  Chứng minh Gx C Ta chỉ cần xét trường hợp x Gx . Ta sẽ chứng minh  Gx xC C x  . Thật vậy Hiển nhiên cĩ  x GxC x C  (do x Gx ) (1) Lấy Gxy C thì y C và y Gx Nếu x y thì yx C . Nên  sup yGx G C y  (mâu thuẫn vì y Gx ) Suy ra y x hay  ,x Gxy C x y C    hay  Gx xC C x  (2) Từ (1) và (2) suy ra  Gx xC C x  Do đĩ     sup supGx xG C G C x Gx   do G tăng. Vậy Gx C . b. Nếu Sa tồn tại thì do Sa a , Sa C khi và chỉ khi  sup SaSa G C (theo  I ) Mà    Sa aC C a a   (vì mina C nên aC  ) nên   supSa G a Ga  và a Sa Ga  .  Đảo lại, giả sử a Ga . Chứng minh Sa tồn tại. Ta cĩ  GaC a . Thật vậy Hiển nhiên   Gaa C do a Ga Ta chứng minh  GaC a . Lấy Gax C ta cĩ x C và x Ga Nếu a x thì xa C nên  sup xGa G C x  (do  I ) mâu thuẫn vì x Ga . Vậy x a , mà mina C nên x a hay  x a tức là  GaC a Vậy  GaC a . Khi đĩ:     sup supGaG C G a Ga  do  I nên Ga C . Ta cĩ a Ga C  nên maxa C Theo định nghĩa ta cĩ Sa tồn tại. c. Giả sử a x C  và Sx tồn tại Áp dụng  I , định nghĩa 1,2,2 và bổ đề 1.2.2 ta cĩ        sup sup sup sup , Sx x x Sx G C G C x G C Gx x Gx               Vì  sup ,x Sx x Gx  nên Gx x .  Đảo lại, giả sử a x C  và Gx x và  sup ,z x Gx tồn tại. Ta chứng minh Sx tồn tại. Ta cĩ  z xC C x  (tương tự a) Theo bổ đề 1.2.2 và ( )I , ta cĩ             sup , sup sup sup x x z z x Gx G C Gx G C x G C         Suy ra z C do ( )I . Như vậy ta cĩ x z C  nên maxx C . Theo định nghĩa 1.2.2 ta cĩ Sx tồn tại. d. Giả sử a x C  và x khơng là phần tử tiếp sau Rõ ràng x là một cận trên của xC . Lấy w là một cận trên khác của xC . Với xy C thì a y x  Do y C và maxy C nên tồn tại Sy . y a thì do b) ta cĩ a Sa Ga  . y a thì do c)  sup ,Sy y Gy Vậy với xy C ta luơn cĩ  sup ,Sy y Gy . Suy ra xGy Sy C  (do y x và x Sy nên Sy x ) Do đĩ , xGy w y C   . Suy ra  sup xG C w hay x w (do ( )I ) Như vậy theo định nghĩa sup ta cĩ sup xx C .  Giả sử x là phần tử tiếp sau, tức là x Sy với y nào đĩ thuộc C . Khi đĩ xy Sy x y C    Ta chứng minh , xz y z C   . Thật vậy Nếu tồn tại xz C và y z thì x Sy z  mâu thuẫn vì xz C . Khi đĩ sup xSy x C y   , mâu thuẫn. Suy ra điều phải chứng minh. Các kết quả trên kéo theo các hệ quả sau. Hệ quả 1.2.1 Nếu C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a P thì a. maxa C khi và chỉ khi a Ga . b. Nếu a x thì maxx C khi và chỉ khi Gx x hoặc  sup ,x Gx khơng tồn tại. Chứng minh. a. Suy ra từ mệnh đề 1.2.1.b) b. Suy ra từ mệnh đề 1.2.2.c) Hệ quả 1.2.2 Cho C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a P . Ta cĩ Nếu x C thì Gx Sx khi và chỉ khi x Gx . Chứng minh. / Hiển nhiên Gx Sx x  / Ta cĩ x C và x Gx Theo mệnh đề 1.2.1.a) x C nên Gx C . Khi đĩ tồn tại  sup ,x Gx Gx do x Gx Theo mệnh đề 1.2.1.c) ta cĩ tồn tại  sup ,Sx x Gx Gx  (đpcm). 1.3. Điểm bất động của ánh xạ tăng Định lí 1.3.1 Cho tập sắp thứ tự P , ánh xạ tăng :G P P . a là một cận dưới của  G P . Giả sử tồn tại  * supx G C với C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a . Khi đĩ  * * max minx Gx C a x Gx x     Đặc biệt *x là điểm bất động bé nhất của G . Chứng minh.  Vì a là cận dưới của  G P nên a Ga . Mà theo giả thiết ta cĩ  * supx G C tồn tại Nên theo định lí 1.2.1 thì * maxx C và * *Gx x Mặt khác theo mệnh đề 1.2.1 thì *x C nên * *x Gx Suy ra * * maxx Gx C   Chứng minh  * min /x a x Gx x   Đặt  /D a x Gx x   Lấy y D , ta cần chứng minh *x y . Thật vậy Giả sử *x y . Ta cĩ  /A x C x y    vì *x A . Đặt minz A ta cĩ z y Mà a y nên z a hay zC   Với zt C thì t y theo định nghĩa z . Suy ra  sup zz G C Gy y   do y D . Mâu thuẫn. Vậy  * , /x y y D a x Gx x      hay  * min /x a x Gx x   (do * maxx C a  và * *Gx x nên *x D ) Kết luận:  * * max min /x Gx C a x Gx x      Đặc biệt D chứa tất cả các điểm bất động của G . Mà * minx D nên *x là điểm bất động bé nhất của G . Do sự tương tự, nếu ta xét tập với quan hệ thứ tự  thì các kết quả ở 1.1, 1.2, 1.3 vẫn cịn đúng. Đặc biệt ta cĩ kết quả sau Định lí 1.3.2 Cho ánh xạ :F P P và b P . Khi đĩ tồn tại duy nhất xích sắp tốt nghịch đảo 'C của phép lặp F từ b thỏa  'I max 'b C  ' inf 'xb x C x F C    Nếu b Fb , F tăng và  * inf 'x F C tồn tại thì  min ' maxx Fx C b x Fx x      và x là điểm bất động lớn nhất của F . Từ các định lí 1.3.1, 1.3.2 ta cĩ hệ quả sau Hệ quả 1.3.1 Cho P là tập sắp thứ tự một phần và ánh xạ tăng :G P P a. Nếu  G P cĩ một cận dưới và mọi xích sắp tốt của  G P đều cĩ sup thì G cĩ điểm bất động bé nhất *x và  * min /x x Gx x  . b. Nếu  G P cĩ một cận trên và mọi xích sắp tốt của  G P đều cĩ inf thì G cĩ điểm bất động lớn nhất *x và  * max /x x Gx x  . Chứng minh. Ta chỉ chứng minh a), trường hợp b) hồn tồn tương tự. Gọi a là cận dưới của  G P , ta cĩ a Ga Gọi C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a . Theo mệnh đề 1.2.1 thì  G C C và  G C là xích sắp tốt của  G P . Do đĩ theo giả thiết thì  * supx G C tồn tại. Áp dụng định lí 1.3.1 ta cĩ đpcm. Định nghĩa 1.3.1 Tập hợp sắp thứ tự một phần P được gọi là đầy đủ tương đối theo thứ tự nếu A P   là tập sắp tốt (hoặc sắp tốt nghịch đảo) thì tồn tại sup A P (tương ứng inf A P ). Nếu A P thì P gọi là tập sắp tốt đầy đủ. Định nghĩa 1.3.2 Cho tập hợp sắp thứ tự một phần P . Khi đĩ: a. c được gọi là sup – center của P nếu tồn tại  sup , ,c y P y P   . b. c được gọi là inf – center của P nếu tồn tại  inf , ,c y y P  . c. c được gọi là order – center của P nếu nĩ vừa là sup – center vừa là inf – center của P . Với , ,a b P a b  . Kí hiệu             , , , , a x P a x b x P x b a b x P a x b           Định lí 1.3.3 Cho  ,P  là tập sắp thứ tự một phần, :G P P là ánh xạ tăng và  G P là tập đầy đủ tương đối theo thứ tự trong P . Khi đĩ a. Nếu P cĩ một sup – center c thì G cĩ điểm bất động x thỏa mãn   max /x x b x Gx    . với     min / sup ,b x c c Gx x   . b. Nếu P cĩ một inf – center c thì G cĩ điểm bất động x thỏa mãn   min /x x a Gx x    . với     max / inf ,a x c x c Gx   . Chứng minh. Ta chỉ chứng ming trường hợp a), cịn trường hợp b) chứng minh tương tự.  Xét ánh xạ :f P P xác định bởi    sup ,f x c Gx . Hiển nhiên f được định nghĩa tốt. Khi đĩ, rõ ràng f tăng và  f P là tập đầy đủ tương đối theo thứ tự (vì G tăng,  G P đầy đủ tương đối theo thứ tự)  Ta cĩ    sup ,c c Gc f c  hay c là cận dưới của  f c . Gọi C là xích sắp tốt của f từ c . Vì  f P đầy đủ tương đối và    f C f P là tập sắp tốt nên theo định nghĩa 1.3.1 sẽ tồn tại  supb f C . Theo định lí 1.3.1 thì là điểm bất động b của f và     min /b x c f x x    Ta cĩ    sup ,b f b c Gb  nên Gb b . Gọi 'C là xích sắp tốt nghịch đảo của G từ b . Khi đĩ vì  'G C sắp tốt nghịch đảo và  G P đầy đủ tương đối nên tồn tại  inf 'x G C  . Theo định lí 1.3.2 thì x là điểm bất động của G và   max /x x b x Gx    với     min / sup ,b x c c Gx x   . Hệ quả 1.3.2 Cho  ,P  là tập sắp thứ tự một phần cĩ order – center c và ánh xạ tăng :G P P ,  G P là tập đầy đủ tương đối theo thứ tự trong P . Khi đĩ a. Phương trình  inf ,x c Gx cĩ nghiệm lớn nhất trong  c . b. Phương trình  sup ,x c Gx cĩ nghiệm bé nhất trong  c . c. G cĩ điểm bất động bé nhất x và điểm bất động lớn nhất x trong  ,a b với ,a b xác định ở định lí 1.3.3. Hệ quả 1.3.3 Cho P là tập sắp thứ tự tốt đầy đủ và cĩ một order – center. Khi đĩ, mỗi ánh xạ tăng :G P P đều cĩ điểm bất động lớn nhất x và điểm bất động bé nhất x thỏa định lí 1.3.3. Ví dụ Kí hiệu   1 2 1 2, ,..., / ... pp pm pm mP x x x x x x r      với  0,p  và 0r  . Giả sử P được sắp thứ tự theo “thứ tự từng tọa độ” (nghĩa là nếu  1 2, , , ,..., mx y P x x x x  và  1 2, ,..., my y y y thì , 1,i ix y x y i m     ). Khi đĩ, mọi ánh xạ tăng :G P P đều cĩ điểm bất động x và x thỏa định lí 1.3.3. Chứng minh. Đặt  0,0,...,0c  thì c là order – center của P . Thật vậy, lấy  1 2, ,... mx x x x P  , ta cĩ         1 2sup , max 0, ,max 0, ,...,max 0, mc x x x x và  max 0, , 1,i ix x i m   Suy ra  sup ,c x P hay c là sup – center của P . Tương tự c là inf – center của P . Vậy c là order – center. Mặt khác P là tập đĩng, bị chặn, con của m nên P là đầy đủ tương đối theo thứ tự. Áp dụng hệ quả 1.3.2 ta cĩ đpcm. Định lí 1.3.4 Cho P là tập sắp thứ tự một phần và a P . Giả sử ánh xạ tăng :G P P thỏa a Ga và C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a . Xét dãy lặp  n nx thỏa 0 1, n nx a x Gx  . Khi đĩ, nếu x P  thỏa  sup nx x  thì x là điểm bất động bé nhất của G trong a . Chứng minh. Cĩ thể viết lại  n nx thành  2, , , ..., , ...na Ga G a G a . Suy ra  n nx là dãy tăng và nx C n  .  Nếu 1m mx x  với m nào đĩ thì 1m mG a G a  hay 1m k m kG a G a k     Suy ra 1 ,m k m kx x k     . Khi đĩ  sup supnx x C   chính là điểm bất động bé nhất của G theo định lí 1.3.1.  Nếu  n nx tăng ngặt Ta sẽ chứng minh  sup xGx G C   . Thật vậy, vì xnx C n  nên  sup sup xnGx Gx G C    . Mặt khác nếu xx C  thì x C và x x . Do  sup nx x  nên tồn tại n sao cho nx x . Khi đĩ nGx Gx Gx  nên  sup supx nG C Gx  . Vậy  sup xGx G C   . Mà 1sup sup supn n nx x x Gx Gx      Suy ra  sup xx G C   hay x C  Vì x Gx  nên khơng tồn tại Sx và ta cĩ maxx C  . Theo định lí 1.3.1 thì x là điểm bất động bé nhất của G trong  a . Chương 2. PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG DÃY QUI NẠP SIÊU HẠN 2.1 Số siêu hạn Trong mục này ta trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về số siêu việt để ứng dụng trong mục sau. Định nghĩa 2.1.1 1. Các tập cĩ thứ tự    , , ,X YX Y  được gọi là đồng dạng nếu tồn tại song ánh :f X Y sao cho    , , X Yx y X x y f x f y     2. Quan hệ đồng dạng giữa các tập được sắp tồn phần là quan hệ tương đương. Do đĩ tập tất cả các tập được sắp tồn phần được chia thành các lớp tương đương. Các tập trong cùng một lớp được gọi là cĩ cùng kiểu thứ tự. 3. Ta kí hiệu kiểu thứ tự của tập  bởi số 0 , kiểu thứ tự của tập  1,...,n với thứ tự thơng thường bởi số n , kiểu thứ tự của , , , với thứ tự thơng thường kí hiệu tương ứng bởi , , ,    . 4. Giả sử tập  ,X  cĩ kiểu thứ tự là  . Ta định nghĩa thứ tự " " trong X như sau x y y x   . Khi đĩ kiểu thứ tự của  ,X  kí hiệu là  . Ví dụ: kiểu thứ tự của tập  0, 1, 2, ...  với thứ tự thơng thường là  . 5. Kiểu thứ tự gọi là vơ hạn nếu tập tương ứng là vơ hạn. Định nghĩa 2.1.2 Cho tập cĩ thứ tự tồn phần I và các tập cĩ thứ tồn phần  ,iX i I thoả điều kiện  i jX X i j   . Ta sắp tập i i I X X    như sau. Giả sử ,i ja X b X  ta định nghĩa a b nếu i j hoặc nếu i j và a b trong iX . Nếu iX cĩ kiểu thứ tự là i thì ta kí hiệu kiểu thứ tự của X là i i I    . Ví dụ 1)      2) Giả sử    1 2, , 1,2X a X I   . Khi đĩ kiểu thứ tự của    1 2 ,1,2,... 1X X a  là 1  Giả sử  1 2,X X a  khi đĩ kiểu thứ tự của tập    1 2 1,2,..., 2X X a  là 1  . Các tập    1 , 2 cĩ kiểu thứ tự khác nhau (  2 cĩ phần tử lớn nhất cịn  1 khơng cĩ). Vậy 1 1    . 3) Tập        , ,a b a a b b   cĩ kiểu thứ tự là 1 1  . Định nghĩa 2.1.3 1) Tập được sắp tồn phần X gọi là được sắp hồn tồn (sắp tốt) nếu mọi tập con khơng trống của X cĩ phần tử nhỏ nhất. 2) Kiểu thứ tự của tập được sắp hồn tồn gọi là số thứ tự. 3) Số thứ tự vơ hạn gọi là số siêu hạn. Ví dụ 1) Các kiểu thứ tự , , 1n    là số thứ tự; , 1   là số siêu hạn. 2) Các kiểu thứ tự , , ,    khơng là số thứ tự. Định nghĩa 2.1.4 1) Nếu X là tập được sắp tồn phần và a X thì tập  : :aX x X x a   gọi là một đoạn của X . 2) Nếu ,X Y là các tập được sắp tồn phần và X đồng dạng với một đoạn của Y thì ta nĩi X ngắn hơn Y . 3) Giả sử ,  là hai số thứ tự và ,X Y là 2 tập sắp tồn phần cĩ kiểu thứ tự ,  tương ứng. Nếu X ngắn hơn Y thì ta nĩi  nhỏ hơn  hay  lớn hơn  và viết   hay   . Ví dụ 0 1 2 ...   , và các số trong dãy này đều nhỏ hơn các số siêu hạn. Định lí 2.1.1 1) Nếu ,  là hai số thứ tự thì cĩ một và chỉ một khả năng sau: , ,        . 2) Nếu S là một tập các số thứ tự với thứ tự được định nghĩa trong định nghĩa 2.1.4 thì S cĩ số nhỏ nhất. 3) Nếu S là một tập các số thứ tự thì tồn tại số thứ tự lớn hơn mọi số thuộc S . 4) Số 1  là số thứ tự nhỏ nhất lớn hơn  . Định nghĩa 2.1.5 Số thứ tự  gọi là loại 1 nếu tồn tại số thứ tự lớn nhất nhỏ hơn  (kí hiệu là 1  ). Trường hợp ngược lại  gọi là số thứ tự loại 2. Ví dụ Tất cả các số thứ tự n  là số loại 1. Tổng quát hơn, các số dạng 1  là số loại 1. Số  là loại 2. Nguyên lí qui nạp siêu hạn Giả sử  T  là mệnh đề phát biểu cho các số thứ tự  , thoả mãn các điều kiện i)  0T  đúng. ii) Nếu  T  đã đúng cho mọi số thứ tự 0    thì  T  đúng. Khi đĩ  T  đúng cho mọi số thứ tự 0  . 2.2 Ứng dụng vào bài tốn điểm bất động của ánh xạ tăng Xét tốn tử A trong tập sắp thứ tự một phần X . Các định nghĩa  Tốn tử A được gọi là v – đĩng trên trên tập M X nếu với bất kì tập hợp cĩ thứ tự tuyến tính  x và  Ax , phần tử  supy Ax tồn tại và thuộc M .  Tương tự, ta cĩ định nghĩa v – đĩng dưới của một tốn tử.  Một tốn tử vừa là v – đĩng trên, vừa là v – đĩng dưới được gọi là v – đĩng. Định lí 2.1.1 Cho một họ giao hốn  A  của các tốn tử A và tập M X cĩ các tính chất sau 1. M là bất biến với mọi A . ( .A M M ) 2. ,Ax x A   và x M . 3. Cĩ ít nhất một tốn tử 0A  là v – đĩng trên trên M . Khi đĩ các tốn tử A cĩ một điểm bất động chung trong M . Chứng minh. Trước tiên chúng ta chứng minh rằng với bất kì x M , tồn tại trong M ít nhất một điểm bất động x x  của 0A . Xét một thứ tự mới trong M : x y nếu x y và 0 0A x A y . Mỗi tập cĩ thứ tự tuyến tính  x là bị chặn trên trong thứ tự mới. Thực vậy,  x và  0A x là các tập cĩ thứ tự tuyến tính trong thứ tự cũ. Vì vậy, phần tử  0supy A x là tồn tại và thuộc M . Khi đĩ 0x A x y   Và 0 0A x y A y   . Do đĩ x y  . Tức là  x bị chặn trên trong thứ tự mới. Do bổ đề Zorn, với mỗi x M , tồn tại trong M ít nhất một phần tử cực đại x x  . Hiển nhiên, 0y A x x    , 0 0A y y A x    . Tức là x y  . Vì vậy, do tính cực đại của x nên 0A x x  , với x x  . Chúng ta chứng minh rằng các tốn tử A cĩ ít nhất một điểm bất động chung trong M . Giả sử trái lại, với mỗi điểm bất động 0x M của 0A , tồn tại một A sao cho 0 0y Ax x  . Theo chứng minh trên, tồn tại trong M một điểm bất động 1x y của 0A . Chúng ta sẽ xây dựng một dãy siêu hạn tăng các điểm bất động của 0A bằng cách tương tự như sau. Nếu x là xác định với mọi   và con số siêu hạn  là loại I, thì do giả thiết, tồn tại một điểm bất động 1x x của 0A , . Nếu  là loại II, thì chúng ta định nghĩa x là điểm bất động bất kì  0supx x A x     của 0A . Quy trình này được tiếp tục đến vơ hạn, do đĩ, chúng ta cĩ thể xây dựng một dãy siêu hạn tăng các điểm bất động x M  của 0A , cĩ lực lượng tuỳ ý, nĩi riêng cĩ lực lượng lớn hơn lực lượng của 0  . Ta gặp mâu thuẫn. Định lí 2.1.2 Cho một họ giao hốn  A  của các tốn tử A và tập M X cĩ các tính chất sau 1. M là bất biến với mọi A . 2. ,Ax x A   và x M . 3. Cĩ ít nhất một tốn tử 0A  là v – đĩng dưới trên M . Thì các tốn tử A cĩ một điểm bất động chung trong M . Kết quả của định lí 2.1.1 và 2.1.2 được làm mạnh dưới giả thiết thêm; chúng ta sẽ lần lượt chứng minh sự tồn tại của điểm bất động chung nhỏ nhất và điểm bất động chung lớn nhất. Định lí 2.1.3 Nếu tất cả các điều kiện của định lí 2.1.1 đều thỏa với một họ giao hốn  A  các tốn tử đơn điệu A trên M X thì với x M tùy ý, tồn tại trong M một điểm bất động chung dưới (nhỏ nhất) x x  của A . Chứng minh. Cố định một x M , chúng ta sẽ xây dựng một dãy tăng siêu hạn của các phần tử từ M theo quy tắc sau. Giả sử x xác định với mọi  1x x   . Nếu số siêu hạn  là loại I, thì quá trình kết thúc nếu 1x  là điểm bất động chung của mọi A . Trường hợp khác, để làm x chúng ta lấy 0 1A x  nếu 0 1 1A x x   và bất cứ 1 1Ax x   nếu 0 1 1A x x   . Nếu  là loại II, thì với x , tồn tại phần tử  sup x   thuộc M do tính chất v – đĩng trên của A trên M . Thật vậy, phần tử    0sup y A x    tồn tại và thuộc M . Nhưng với   tùy ý, 0A x x  hoặc 0 1A x x  . Vì vậy    sup supx y      . Quá trình này khơng thể tiếp tục mãi, vì nếu vậy chúng ta cĩ thể xây dựng theo phương pháp này một dãy siêu hạn tăng các phần tử từ M , số phần tử của nĩ vượt quá số phần tử bất kì đã cho, đặc biệt vượt số phần tử của chính M . Cho quá trình này giới hạn ở một bước 0 . Hiển nhiên, 0x x  là điểm bất động chuug của A . Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh rằng y x  với bất kì điểm bất động chung y x  của A . Thực vậy, lấy x y  với mọi  0     . Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng x y  . Do đĩ, vì  tùy ý, dãy siêu hạn  x cĩ cận trên là y , và đặc biệt x x y   . Nếu  là loại I thì hiển nhiên 1x y   . Vì vậy, 1Ax Ay y     với A bất kì, và đặc biệt x y  . Nếu  là loại II thì  supx x y      . Định lí được chứng minh. Định lí sau được chứng minh tương tự. Định lí 2.1.4 Nếu tất cả điều kiện của định lí 2.1.2 thỏa với họ giao hốn  A  của các tốn tử đơn điệu A trên M X , thì với x M tùy ý, tồn tại trong M một điểm bất động chung trên (lớn nhất) x x  của A . Định lí 2.1.5 Cho một tốn tử đơn điệu A trong khơng gian Banach thực E với nĩn chuẩn K E biến đoạn đĩng 0 0,x y thành chính nĩ và thỏa ít nhất một trong các điều kiện: 1. A là compact. 2. K là chính qui. 3. E là đầy đủ yếu. Khi đĩ A là v – đĩng trên 0 0,x y . Chứng minh. Xét tập cĩ thứ tự tuyến tính   0 0,x x y  . Do tính đơn điệu của A , tập hợp    0 0,A x x y  cĩ thứ tự tuyến tính. Chúng ta sẽ chứng minh rằng các phần tử    0 0inf , supu Ax v Ax   tồn tại. Do đĩ, tính v – đĩng của A trên sẽ được chứng minh vì 0 0 0 0, ,u v x y . Trước tiên chúng ta chứng minh tính compact của  Ax . Trong trường hợp (1),  Ax compact do đoạn 0 0,x y bị chặn và A là compact. Trong trường hợp (2) và (3), cĩ thể trích ra một dãy con tăng hoặc giảm từ một dãy bất kì    ny Ax . Để xác định, lấy  kny là dãy con tăng của dãy    ny Ax . Sự hội tụ của  kny là hiển nhiên trong trường hợp (2). Trong trường hợp (3), dãy  kny hội tụ yếu đến y nào đĩ. Nhưng  co kny y . Vì vậy, do K là nĩn chuẩn và  kny đơn điệu, dãy  kny hội tụ theo chuẩn đến y . Tính compact của  Ax được chứng minh. Lấy    ny Ax là tập đếm được và xét    1 1inf ,..., , sup ,...,n n n nu y y v y y  Lý luận như trên ta chứng minh được tồn tại giới hạn mạ._.