Một số nghiên cứu về phương trình Logistic

Hồ Chí Minh , đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập , nghiên cứu và hoàn thành luận văn . Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán –Tin , Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập cũng như tìm tòi các tài liệu cho việc nghiên cứu. Vì kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu xót , rất mong được sự chỉ bảo chân thành của các thầy , và các bạn . MỞ ĐẦU Trong luận văn này , chúng tơi nghiên cứu về phương trình logistic cĩ dạng sau: u m(x)u eu trong u 0 trên        (0.1) Phương trình này xuất phát từ bài tốn sinh học mơ tả sự phát triển của các lồi trong tự nhiên và đã được nhiều nhà tốn học nghiên cứu theo những hướng khác nhau từ những năm 1980 cho đến tận ngày nay. Phương trình (0.1) là dạng biến đổi của phương trình sau : n q(v ) m(x)v v trong v 0 trên       (0.2) trong đĩ n , q 1 và hàm trọng m(x) thuộc một khơng gian hàm cụ thể . Trường hợp n  1 và m(x) bị chặn , tồn tại nghiệm cổ điển được nghiên cứu bởi Amann và Crandal [3] .Trường hợp n  1 và m(x) sL ( )  với s   , sự tồn tại nghiệm yếu của (0.2) được nghiên cứu bởi Hernández J ,Drabek [17,18] và Nguyễn Bích Huy [24] .Các nghiên cứu chỉ rằng tính chính qui của nghiệm yếu phụ thuộc vào độ lớn s : khi s N nghiệm yếu thuộc lớp 1C ( ) , khi Nqs 2(q 1)   nghiệm yếu thuộc 1,20W ( ) L ( )  .Trường hợp n 1 và Ns 2 cũng được nghiên cứu trong [17].Trong luận văn , ở chương 1 , chúng tơi xét trường hợp n 1 và s cĩ thể nhỏ hơn N 2 . Bằng phép biến đổi nu v , bài tốn (0.2) trở thành : u m(x)u u trong u 0 trên        (0.3) trong đĩ N (N 3)  là miền mở ,bị chặn với biên trơn , m(x) sL ( )  với 2N(q 1)s , , 0 1 2(q 1) N(q 1 2r)           , và giả thiết bị chặn dưới của m(x) ,chúng tơi đã chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu cực trị của (0.3) trên khoảng  0u , với 0u được định nghĩa trong chương 1.  Trong chương 2 , 3 , chúng tơi nghiên cứu điều khiển tối ưu mùa thu hoạch của một lồi và được mơ hình hĩa bởi phương trình logistic suy biến sau : u (a f)u eu trong u 0 trên         (0.4) trong đĩ N (N 3)  là miền mở ,bị chặn với biên trơn . Ở đây , a , f ,e là các hàm bị chặn , a f , a , e   L: f L ( ) | f 0    , 0 1     . Phương trình (0.4) xuất hiện khi trong phương trình : m 2w (a f)w ew trong w 0 trên        (0.5) ta thực hiện phép đổi biến mu w , khi đĩ 1 2 , m m     . Phương trình (0.5) đã được áp dụng trong mơ hình phát triển giống lồi bởi Gurtin và MacCamy trong [15] , mơ tả sự phát triển của một lồi đang cư ngụ trong  và mật độ của nĩ là w(x) . Điều kiện biên Dirichlet được hiểu là lồi w khơng thể sống trên  ; bởi vì , chẳng hạn biên  cĩ thể là sơng , hồ , hay mơi trường bao quanh  rất nguy hiểm , khơng thể sống được . Hàm dương e(x) mơ tả mức lớn nhất cho phép về những ảnh hưởng của đám đơng trong lồi và hàm a(x) tượng trưng cho tốc độ sinh trưởng của lồi .Hàm f(x) đĩng vai trị điều khiển sự sinh trưởng của lồi .Tốn tử  chỉ sự khuyếch tán của lồi , nghĩa là chỉ tốc độ di chuyển của lồi từ vùng cĩ mật độ cao đến vùng cĩ mật độ thấp .Trong luận văn , chúng tơi xét m 1 , gọi là sự khuyếch tán phi tuyến chậm , nghĩa là sự khuyếch tán chậm hơn trường hợp m 1 . Điều kiện này mơ tả chính xác hơn hiện thực sinh học .Với giả thiết đã cho , chúng tơi chứng tỏ rằng , với mỗi f , tồn tại duy nhất nghiệm dương của (0.5) và được kí hiệu là fu . Khi đem bán sản phẩm , chúng ta sẽ thu được lợi nhuận được biểu thị bởi cơng thức sau : fJ(f ) ( h(f )u k(f ))     . Trong đĩ 1h C ( , )  , 2k C ( , )  và 0  là tham số . Hàm J biểu thị mức chênh lệch giữa thu nhập được tính bởi fu h(f )   và phí tổn được tính bởi k(f )   . Ở đây ,  mơ tả tỉ số giữa giá cả của lồi và phí tổn .Mục tiêu của chúng tơi là làm sao cho lợi nhuận lớn nhất , nghĩa là hàm J đạt giá trị lớn nhất. Trong trường hợp m 1 , nghĩa là 1 , 2    và h(t)  t , k(t)  2t , bài tốn này đã được nghiên cứu trong [6],[22],[23] . Cịn trong luận văn , chúng tơi xét m > 1, 1h C ( , )  , 2k C ( , )  và cĩ một số giả thiết khác nữa .  Nội dung của luận văn chủ yếu dựa vào ba bài báo [11],[12],[24] bao gồm : CHƯƠNG 1 : Sự tồn tại nghiệm yếu khơng bị chặn . Trong chương này , chúng tơi đưa bài tốn (0.3) về bài tốn tìm điểm bất động của ánh xạ tăng và từ đĩ chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu cực trị nằm trong q 1L  . CHƯƠNG 2 : Phương trình logistic suy biến . Trong §1 , chúng tơi giới thiệu một số khái niệm và một số kết quả về sự tồn tại và duy nhất giá trị riêng chính , nghiệm của bài tốn elliptic tuyến tính với hàm thế khơng bị chặn .Trong §2 , chúng tơi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm dương của (0.4). CHƯƠNG 3 : Sự tồn tại và duy nhất hàm điều khiển tối ưu. Trong chương này , chúng tơi chứng minh với  đủ nhỏ thì tồn tại duy nhất hàm điều khiển tối ưu. CHƯƠNG 1 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM YẾU KHƠNG BỊ CHẶN §1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QỦA ĐƯỢC SỬ DỤNG. A.Khơng gian Banach cĩ thứ tự Định nghĩa 1.1.1 Cho khơng gian Banach thực X . Tập K X gọi là một nĩn trên X nếu : i) K là tập đĩng , K   , ii) K K K tK K t 0      , iii)  K ( K)   . Nếu K X là nĩn thì thứ tự trong X sinh bởi nĩn K được định nghĩa như sau: x y khi và chỉ khi y x K  . Định nghĩa 1.1.2 Cho X là khơng gian Banach thực , cĩ thứ tự sinh bởi nĩn K . Khi đĩ ta nĩi : K là nĩn sinh nếu K K X  .  K là nĩn chuẩn nếu N 0 , x,y K , x y x N y       .  K là nĩn chính qui nếu mọi dãy đơn điệu tăng , bị chặn trên thì hội tụ .  K là nĩn hồn tồn chính qui nếu mọi dãy đơn điệu tăng , bị chặn theo chuẩn thì hội tụ. Ta dễ dàng kiểm tra rằng :  Nĩn các hàm khơng âm h.k.n trong pL (X, ) , 1 p < +   là nĩn sinh , nĩn hồn tồn chính qui. B.Điểm bất động của ánh xạ tăng Giả sử X là khơng gian Banach thực , cĩ thứ tự sinh bởi một nĩn . Ta kí hiệu  u, là tập x X | x u  . Ta nĩi tập M X là cĩ hướng nếu 1 2 1 2x , x M x M , x x , x x      . Ánh xạ T : M X X  được gọi là ánh xạ tăng nếu x, y M,x y T(x) T(y)     . Trong chương này ta sẽ sử dụng một định lý điểm bất động của ánh xạ tăng để chứng minh sự tồn tại nghiệm cực trị của bài tốn tìm nghiệm yếu của phương trình Logistic. Mệnh đề 1.1.3 [ 7 ],[ 24 ] Cho X là khơng gian Banach thực cĩ thứ tự sinh bởi một nĩn , M X là tập đĩng và T : M M là ánh xạ tăng thỏa mãn các điều kiện sau : i)  0M u M | u Tu    , 0 0M , M  cĩ hướng . ii) Với mọi dãy tăng  n 0u M thì dãy  nTu hội tụ . Khi đĩ , với mỗi u 0M thì ánh xạ T cĩ trong  M u, điểm bất động lớn nhất u và điểm bất động nhỏ nhất u , nghĩa là nếu  v M u,  là một điểm bất động của T thì u v u   . Ghi chú 1.1.4 Ta sẽ áp dụng mệnh đề 1.1.3 cho ánh xạ T tác động trong khơng gian pX L ( )  , 1 p   , pL ( ) là khơng gian Banach cĩ thứ tự sinh bởi nĩn các hàm khơng âm h.k.n trong .Như vậy để chứng minh dãy tăng  nTu hội tụ , ta chỉ cần chứng minh nĩ bị chặn theo chuẩn . C.Khơng gian Sobolev Giả sử N là một miền .Với 1 p   và m 0,1,2,… ta định nghĩa :  m,pW ( ) là khơng gian các hàm u , pu L ( )  cĩ đạo hàm suy rộng đến bậc m và pD u L ( )   với mọi  , m  . Với m 0 ,ta đặt 0,p pW ( ) L ( )   .Trong m,pW ( ) ta xét chuẩn : m,p p m u D u     , trong đĩ p. là chuẩn trong pL ( ) .  m,p0W ( ) là bao đĩng của cC ( )  trong m,pW ( ) ( cC ( )  là khơng gian các hàm cĩ giá compắc trong  và cĩ đạo hàm mọi hạng liên tục trên ) . Ta thường xét khơng gian 1,p0W ( ) , trong 1,p0W ( ) ta xét chuẩn : 1,p p u u  . .Chuẩn này tương đương với chuẩn : p p u u  . Khơng gian 1,2W ( ) cịn được kí hiệu là 1H ( ) . Khơng gian liên hợp của 1,p0W ( ) là 1,pW ( )  với 1 1 1p p  và 1,p W ( )   được định nghĩa trong [14]. Mệnh đề 1.1.5 [8],[14] 1) Khi 1< p < N , phép nhúng 1,p pW ( ) L ( )   là liên tục ,với Npp N p    và ta cĩ :  p 1,pL ( ) W ( )     , trong đĩ s là chỉ số liên hợp với s theo nghĩa 1 1 1 s s   . 2) Nếu u,v 1,pW ( )  thì max(u,v) , min(u,v) thuộc 1,pW ( ) và ta cĩ: ii i D u(x) ,nếu u(x) v(x) D (max(u,v))(x) D v(x) ,nếu v(x) u(x)    , ii i D u(x) ,nếu u(x) v(x) D (min(u,v))(x) D v(x) ,nếu v(x) u(x)    , iD u là đạo hàm riêng suy rộng theo biến xi của hàm u . Nĩi riêng ta cĩ :     i i D u(x) , nếu u(x) 0 D u (x) 0 , nếu u(x) 0 , ii D u(x) , nếu u(x) 0 D u (x) 0 ,nếu u(x) 0     . Bất đẳng thức Gagliardo – Nirenberg + Với m,p qu W ( ) L ( )   và0 m 1    , ta cĩ : 1 m,p qr D u C u . u   trong đĩ  định bởi : 1 1 m 1(1 ) r N p N q            . + Với 0,m 1   , ta cĩ : 1 r 1,p q u C u . u  . §2. NGHIỆM YẾU CỰC TRỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC Trong mục này , ta xét phương trình Logistic dạng sau: r qu m(x)u u trong u=0 trên       . (1.1) Ta xét sự tồn tại nghiệm yếu cực trị của (1.1) với các giả thiết : N (N 3)  là miền mở , bị chặn với biên trơn ,  là tham số dương , sm(x) L ( )  , 0 r 1 , r q    . Định nghĩa 1.2.1 Xét phương trình : u f(x,u) trong u 0 trên      (1.2) với : N ( N 3 ) là tập mở , bị chặn , cĩ biên trơn , f :   là một hàm thỏa điều kiện Caratheodory. 1)Ta nĩi hàm 10u H ( )  là một nghiệm yếu của (1.2) nếu 2N N 2f (x,u) L ( )  , 1 0u dx f (x,u) dx H ( )          . 2) Ta nĩi hàm 1u H ( )  là một nghiệm dưới của (1.2) nếu 2N N 2f (x,u) L ( )  , u 0 trên , 10u dx f (x,u) dx H ( ) , 0            h.k.n trên  . Mệnh đề 1.2.2 [5] Giả sử hàm g :   thỏa điều kiện Caratheodory và các điều kiện sau : i) Với mọi x thì g(x,0) 0 và hàm u g(x,u) là tăng , ii) Với mọi t > 0 , tồn tại hàm 1th L ( )  sao cho   tsup g(x,u) u t h (x)  . Khi đĩ với mọi 1h H ( )  bài tốn biên : u g(x,u) h trong u 0 trên       cĩ duy nhất nghiệm yếu u 10H ( )  thỏa mãn điều kiện ug(x,u) 1L ( )  . Giả sử các dữ kiện trong bài tốn (1.1) thỏa mãn các điều kiện sau : (H1) m(x) sL ( )  với 2N(q 1)s , r q ,0 r 1.2(q 1) N(q 1 2r)        (H2) m(x) 0 h.k.n trong  và tồn tại số 0m 0 , tập  cĩ biên trơn sao cho 0; m(x) m , x .       Gọi u1 là hàm riêng ứng với giá trị riêng thứ nhất của bài tốn biên : u u trong u 0 trên       (1.3) và u0 là hàm bằng 0 trên \   , bằng 1cu trên  với c > 0 đủ nhỏ . Định lý 1.2.3 Giả sử các điều kiện (H1),(H2) được thỏa mãn và hàm u0 được định nghĩa như trên . Khi đĩ phương trình (1.1) cĩ nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất trong 0u , . Chứng minh Ta chứng minh hàm u0 là một nghiệm dưới của (1.1). Gọi 1 là giá trị riêng đầu của bài tốn biên (1.3) và đặt 1 u (x) ,x u(x) 0 ,x \     thì theo [25] ta cĩ 1u u   , theo nghĩa yếu , nghĩa là : 11 0u dx u dx , H ( ) , 0.             Do đĩ , để 0u cu là nghiệm dưới của (1.1) ta chỉ cần chọn c sao cho :    r q 11 0cu m(x) cu(x) cu(x) dx , H ( ), 0                . (1.4) hay    r q 11 1 1 1 0cu m(x) cu (x) cu (x) dx , H ( ), 0                 . Ta cĩ :    r q1 1 1 1m(x) cu (x) cu (x) cu (x)         r q r 1 r1 0 1 1 1cu (x) m cu (x) cu (x) 0 , x            khi c 0 đủ nhỏ vì q r 0,1 r 0    và u1(x) bị chặn trên  . Như vậy , ta cĩ thể chọn c đủ nhỏ để (1.4) đúng hay 0u cu là nghiệm dưới của (1.1). Ta đưa bài tốn (1.1) về bài tốn tìm điểm bất động của ánh xạ tăng . Với mỗi q 1u L ( )  ta xét bài tốn tìm nghiệm yếu của bài tốn : q rz z m(x)u trong z 0 trên        . (1.5) Ta áp dụng mệnh đề 1.2.2 cho bài tốn (1.5) .Rõ ràng hàm g(x,z) zq thỏa các điều kiện i),ii) của mệnh đề 1.2.2 . Vì u q 1 sL ( ) , m L ( )    ta suy ra : r tm(x).u L ( )  với s(q 1)t rs q 1    . Từ điều kiện (H1) ta cĩ : 2Nt N 2  , do đĩ : 2N r 1N 2m(x)u L ( ) H ( )    . Như vậy , tất cả các điều kiện của mệnh đề 1.2.2 được thỏa mãn và bài tốn (1.5) cĩ duy nhất nghiệm yếu 10z H ( )  sao cho q 1 1z L ( )   . Xét ánh xạ T đặt tương ứng mỗi u q 1L ( )  với nghiệm duy nhất z của (1.5) thì ta cĩ T là một ánh xạ từ q 1L ( )  vào q 1L ( )  và u là nghiệm yếu của (1.1) khi và chỉ khi u là điểm bất động của ánh xạ T . Ta chứng minh T là ánh xạ tăng . Giả sử u , v q 1L ( )  và u v .Với 10H ( )  , theo định nghĩa của T và khái niệm nghiệm yếu ta cĩ : r qTu dx m(x)u (Tu) dx            , r qTv dx m(x)v (Tv) dx            , và do đĩ : r r q q(Tu Tv) dx m(x)(u v ) ((Tu) (Tv) ) dx               . (1.6) Theo mệnh đề 1.1.5 ta cĩ: 10(Tu Tv) H ( )   , và ta cĩ :    q qTu Tv (Tu Tv) 0 trong       . Do đĩ , cho (Tu Tv)   trong (1.6) ta cĩ : (Tu Tv) (Tu Tv) dx 0       . (1.7) Mặt khác , với mọi w 10H ( )  , theo mệnh đề 1.1.5 ta cĩ: w w 0      . (1.8) Do vậy , từ (1.7) và (1.8) ta cĩ : 2 (Tu Tv) dx 0     . Từ đây , ta suy ra (Tu Tv) 0   h.k.n trong . Suy ra ,Tu Tv h.k.n trong   . Như vậy u v  Tu Tv  .  Ta tiếp tục chứng minh : 0 0u Tu . (1.9) Vì u0 là nghiệm dưới của (1.1) nên ta cĩ : r q 10 0 0 0u dx m(x)u u dx , H ( ), 0                . Kết hợp với : r q 10 0 0 0Tu dx m(x)u (Tu ) dx , H ( )              . Ta được : q q 10 0 0 0 0(u Tu ) dx u (Tu ) dx , H ( ), 0                 .(1.10) Cho 0 0(u Tu )    trong (1.10) và chú ý : q q0 0 0 0u (Tu ) (u Tu ) 0     ta cĩ : 0 0 0 0(u Tu ) (u Tu ) dx 0        . Tiếp tục sử dụng (1.8) ta cĩ : 2 0 0(u Tu ) dx 0      . Từ đây, suy ra : 0 0u Tu h.k.n trong . Từ (1.9) và T là ánh xạ tăng ta thấy T biến tập đĩng  0u , vào chính nĩ .Nghiệm yếu cực trị của (1.1) trên  0u , chính là các điểm bất động lớn nhất và nhỏ nhất của T trên  0u , . Chứng minh T cĩ điểm bất động lớn nhất , nhỏ nhất trên  0u , Ta sẽ kiểm tra rằng tất cả các điều kiện của mệnh đề 1.1.3 được thỏa mãn . Với   1 2 0 0u ,u M u u , | u Tu     , ta đặt 3 1 2u max(u ,u ) thì do tính tăng của ánh xạ T ta cĩ : 1 1 3u Tu Tu  , 2 2 3u Tu Tu  .Từ đây ta cĩ : 3 3 3 0u Tu hay u M  . Vậy M0 là tập cĩ hướng . Để chứng minh rằng , ánh xạ T thỏa mãn điều kiện ii) của mệnh đề 1.1.3 , ta chỉ cần chứng minh tập 0T(M ) bị chặn theo chuẩn trong q 1L ( )  . Với mỗi u M0 ta cĩ : r qTu dx m(x)u (Tu) dx            r q 10m(x)(Tu) (Tu) dx , H ( ) , 0            . Cho Tu  ta cĩ : 2 q 1 r 1Tu (Tu) dx m(x)(Tu) dx           . Dưới đây , ta sẽ cĩ (r 1)sTu L ( )  , do đĩ áp dụng bất đẳng thức Holder cho vế phải ta cĩ : 2 q 1 r 1 H q 1 s (r 1)s Tu Tu m . Tu      (1.11) ,trong đĩ 1 22 H u u       . Trường hợp: (r 1)s q 1   . Do q 1Tu L ( )  nên (r 1)sTu L ( )  .Từ (1.11) ta cĩ q 1 r 1 q 1 s q 1 Tu m C. Tu    . Từ đây và do r < q , suy ra 0T(M ) là tập bị chặn trong q 1L ( )  . Trường hợp: (r 1)s q 1   . Từ (H1) ta suy ra : 2N s(q 1) N 2 rs q 1    . (1.12) Vì ánh xạ stt (rs t) tăng nên từ (1.12) ta cĩ : 2N s(r 1)s s(r 1)s N 2 rs (r 1)s (r 1)s 1           2N (r 1)s . N 2   Như vậy , ta cĩ : 2Nq 1 (r 1)s N 2      , và ta cĩ thể áp dụng bất đẳng thức Gagliardo – Nirenberg để cĩ: t 1 t (r 1)s H q 1 Tu C Tu . Tu   , (1.13) trong đĩ t thỏa : 1 1 1 N 2t 1 q (1 r)s q 1 2N         . Như vậy , ta cĩ (r 1)sTu L ( )  .Từ (1.11) ta cĩ : r 1 2 1H (r 1)s Tu C Tu   , (1.14) r 1 q 1 1q 1 (r 1)s Tu C Tu     . Từ (1.13) và (1.14) ta cĩ : t (r 1) (1 t )(r 1) 2 q 1 2(r 1)s (r 1)s Tu C Tu        . Từ đây và do t(r 1) (1 t)(r 1) 1 2 q 1     nên tập T(M0) bị chặn trong (r 1)sL ( )  và do đĩ bị chặn trong q 1L ( )  . Như vậy ánh xạ T thỏa mãn tất cả các điều kiện của mệnh đề 1.1.3 và do đĩ nĩ cĩ điểm bất động lớn nhất và nhỏ nhất trên  0u , và chính là nghiệm yếu lớn nhất và nhỏ nhất của bài tốn (1.1) trên  0u , . Định lý 1.2.4 Giả sử các giả thiết của định lý 1.2.3 được thỏa mãn . Gọi un là nghiệm yếu (duy nhất) của bài tốn : q rn n n 1u u m(x)u     trong , nu 0 trên  ( n ). Khi đĩ dãy  nu hội tụ trong 10H ( ) về nghiệm yếu nhỏ nhất của bài tốn (1.1) trên  0u , . Chứng minh Áp dụng mệnh đề 1.2.2 và lập luận như ở phần đầu bước 2 trong chứng minh định lý 1.2.3 ta cĩ hàm un được xác định duy nhất theo un-1 . Từ định nghĩa của ánh xạ T trong chứng minh định lý 1.2.3 và định nghĩa của un , ta suy ra un = T(un-1) . Do 0 0u Tu nên  nu là dãy tăng . Cũng theo chứng minh định lý 1.2.3 ta cĩ  nu bị chặn trong q 1L ( )  .Do đĩ tồn tại giới hạn nny lim u h.k.n trong  và trong q 1L ( )  . Vì T là ánh xạ tăng nên n nu Tu Ty (n )   . Theo định nghĩa nghiệm yếu ta cĩ : q q r r 1n n n 1 0(Ty u ) dx (Ty) u dx m(x)(y u ) dx H ( )                     . Cho nTy u   và áp dụng bất đẳng thức Poincare ta cĩ : 22 n nC (Ty u ) dx (Ty u ) dx         q q r rn n n 1 n(Ty) u (Ty u )dx m(x)(y u )(Ty u )dx               r rn 1 nm(x) y u (Ty u )dx      . Cho n  và áp dụng định lý Beppo – Levi ta cĩ Ty y .Vậy y là một điểm bất động của T . Cũng từ bất đẳng thức trên ta suy ra : nnlim u y  trong 1 0H ( ) . Ta chứng minh y là điểm bất động nhỏ nhất của T trên 0u , .Thật vậy , nếu  1 0y u ,  là một điểm bất động của T thì dùng qui nạp ta chứng minh được n 1u y (n )  và do đĩ y 1y . Định lý được chứng minh . CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC SUY BIẾN §1 . CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QỦA ĐƯỢC SỬ DỤNG. Cho  là miền bị chặn trong N ,N 3 với biên  trơn .Cho f L ( )  ,ta định nghĩa :  Mf : esssupf inf k | f (x) k h.k.n trong      ,  Lf : essin f f sup k | k f (x) h.k.n trong      ,  LL ( ) : f L ( ) | f 0       ,  ML ( ) : f L ( ) | f 0       ,  1 10C ( ) : u C ( ) | u 0 trên       . 1 0C ( ) là khơng gian Banach cĩ thứ tự sinh bởi nĩn P các hàm khơng âm của 10C ( ) ,phần trong của P kí hiệu là int(P).           1 0 uint(P) : u C ( ) | u 0 trong , 0 trên n , trong đĩ n là véc tơ pháp tuyến đơn vị trên biên  hướng ra ngồi . Chúng ta xét bài tốn giá trị riêng suy biến sau: u M(x)u u trong u 0 trên        (2.1) ,trong đĩ : (H1) locM L ( )   thỏa M(x)d (x) L ( )   , d (x) : dist(x, )   . Định lý 2.1.1[4],[16] Giả sử rằng M thỏa mãn (H1) .Khi đĩ tồn tại duy nhất giá trị riêng chính (nghĩa là một giá trị thực tương ứng với hàm riêng 1( M)   trong int(P)), ta kí hiệu là 1( M)   , 1 0 2 2 1 2u H ( )\{0} u M(x)u ( M) inf u                    . Ngồi ra ta cĩ : (a) Giả sử M1 , M2 thỏa (H1) và M1 < M2 . Khi đĩ : 1 1 1 2( M ) ( M )       . (b) Giả sử Mn , M đều thỏa (H1) với mọi n  và thỏa 2 2 1n 0M M , H ( )         . (2.2) Khi đĩ 1 n 1( M ) ( M) khi n        . Đặt biệt , với M 0 , ta kí hiệu 1 1: ( )    và 1 1: ( )    với 1 1  . (c) 2,p 1 1 v W ( ) C ( ),p N ( M) 0 v 0, v M(x)v 0 h.k.n trong v int(P) v 0 trên                            . Bổ đề 2.1.2 Giả sử Mn , M đều thỏa (H1) với mọi n , 1( M)   >0 và thỏa (2.2) . Khi đĩ tồn tại hằng số dương C0<1 (độc lập với n ) và n0(C0) sao cho: 2 2 2 10 n 0 0C u u M u , u H ( ), n n               . (2.3) Chứng minh Do 1 1( sM) ( M) khi s 1        nên tồn tại 0s 1 sao cho 1 0( s M) 0    . Chọn 0 < C0 < 1 sao cho s0 0 1 1 C   . Do 1 0 n 1 0( s M ) ( s M) 0 khi n         nên 0n , 1 0 n 0( s M ) 0 n n      . Lấy n  n0 , 10u H ( ) \{0}  . Khi đĩ : (2.3) 2 2 2 2n 0 n 0 M uu 0 u s M u 0 1 C               2 2 0 n 2 u s M u 0 u           Ta cĩ : 1 0 n( s M )   = 1 0 2 2 0 n 2u H ( ) u s M u inf u                . Vì thế : 2 2 0 n 1 0 n 2 u s M u 0 ( s M ) u              . Do đĩ (2.3) đúng .  Ta xét bài tốn sau: u M(x)u f trong u 0 trên       . (2.4) Định lý 2.1.3 [11],[12] Giả sử M thỏa (H1) , 1( M) 0    , f L ( )  . Khi đĩ bài tốn (2.4) cĩ duy nhất nghiệm u 1,C ( )  , (0,1) . Hơn nữa ,tồn tại hằng số K 0 (độc lập với f ) sao cho : 1,C ( )u K f   . (2.5) Ngồi ra ta cĩ : (a) Giả sử f1 , f2 L ( )  , 1 2f f và u1 ,u2 là các nghiệm của (2.4). Khi đĩ 1 2u u . (b) Giả sử M1 , M2 thỏa (H1) , 1 1( M ) 0    , f L ( )  , 1 2M M , và u1 , u2 là các nghiệm của (2.4 ) . Khi đĩ 2 1u u . Định lý 2.1.4 [6],[11] Giả sử M thỏa (H1) , 1( M) 0    , f 2L ( )  . Khi đĩ bài tốn (2.4) cĩ duy nhất nghiệm u 2,2W ( )  . Hơn nữa ,tồn tại hằng số K >0 (độc lập với f ) sao cho: 2,2W 2 u K f . Ngồi ra ta cĩ : (a) Giả sử f1 , f2 2L ( )  , 1 2f f và u1, u2 là các nghiệm của (2.4). Khi đĩ 1 2u u . (b) Giả sử M1 , M2 thỏa (H1) , 1 1( M ) 0    , 1 2M M , f 2L ( )  , f 0 h.k.n trong  ,và u1 , u2 là các nghiệm của (2.4 ) . Khi đĩ 2 1u u . Bổ đề 2.1.5 [12] Cho M thỏa mãn (H1) , u 2,p 1W ( ) C ( )   , p 2 thỏa:         u 0 trong , u 0 trên u 0 u Mu 0 h.k.n trong Khi đĩ : u(x) 0 x và 0 0u (x ) 0 xn     mà u(x0) 0. Bổ đề 2.1.6 [20] Cho  1,q0W ( ) , 1 q     . Khi đĩ C >0 sao cho 1,q 0W q C d    . Bổ đề 2.1.7 Cho f : L ( )   định bởi Mf(u) = u := esssup u . Khi đĩ f liên tục. Chứng minh Ta cĩ : v(x) u(x) v u    h.k.n trong . Mv(x) u(x) u v u u v        . M Mv u u v     M Mv u u v     . Tương tự ta cĩ : M Mu v u v    .Suy ra : M Mu v u v    . Do đĩ f liên tục. Bổ đề 2.1.8 Cho f : L ( )   định bởi Lf(u)= u := essinf u . Khi đĩ f liên tục. Chứng minh Ta cĩ : Lu v(x) u(x) v(x) u v       Lu u v v(x)   h.k.n trong .  L Lu u v v    L Lu v u v    . Tương tự : L Lv u u v    . Suy ra : L Lu v u v    . Do đĩ f liên tục. Bổ đề 2.1.9 Cho 10f : int(P) C ( )   định bởi: x u(x)f(u) = inf d (x)  . Khi đĩ f liên tục. Chứng minh Ta cĩ : 1C ( ) u(x) v(x) u v d (x)     1C ( ) v(x)f (u) u v d (x)      . 1C ( ) f (u) f (v) u v     .Tương tự : 1C ( )f (v) f (u) u v    . Suy ra : 1C ( )f (v) f (u) u v    . Do đĩ f liên tục. Bổ đề 2.1.10 [21] (Nguyên tắc maximum ) Cho u 2,p 1W ( ) C ( )   , p 2 thỏa : c(x) 0 trong   , Lu 0 h.k.n trong . Trong đĩ : i j i N N ij i x x x i, j 1 i 1 Lu a u b u c(x)u        ,với ij jia a ; ij ia ,b ,c liên tục và 0  sao cho N 2ij N i j i, j 1 a (x)        . Nếu u đạt giá trị nhỏ nhất khơng dương trong  thì u là hằng số . §2 .PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC SUY BIẾN Ta xét phương trình logistic suy biến sau đây: u bu eu trong u 0 trên        (2.6) ,thỏa điều kiện : (H2) 00 , e , trong đĩ   L: f L ( ) | f 0    . Để nghiên cứu bài tốn (2.6) , ta xét phương trình porous medium sau: w w trong w = 0 trên      (2.7) Bổ đề 2.2.1 [2] Giả sử0 1   .Bài tốn (2.7) cĩ nghiệm khơng âm và khơng tầm thường khi và chỉ khi >0 .Nếu >0 thì (2.7) tồn tại duy nhất nghiệm dương ngặt ,kí hiệu là w , 2,w C ( )   .Hơn nữa : 0 1 0w k trong       , (2.8) trong đĩ int(P) là nghiệm dương duy nhất của bài tốn : 1 trong , = 0 trên      (2.9) và 10 1     , 1 0k     . Định lý 2.2.2 Giả sử cĩ (H2) . Khi đĩ bài tốn (2.6) tồn tại nghiệm cực đại khơng âm ub .Hơn nữa ,bởi tính chính qui elliptic 2,pbu W ( ),p 2   , và vì thế , 1, b Nu C ( ) , 0 1 p       . Chứng minh định lý 2.2.2 +Trước hết ,ta chứng minh (0, Mb w ) là cặp nghiệm dưới – trên của bài tốn (2.6) . Thật vậy , rõ ràng 0 là nghiệm dưới của (2.6) . Do Mb w là nghiệm dương ngặt của (2.7) nên ta cĩ: M Mb M b w b (w )  .Suy ra: M M M Mb b b b w b(w ) b(w ) e(w )      . Vì thế , Mb w là nghiệm trên của (2.6). Do đĩ (2.6) cĩ nghiệm cực đại ub ứng với cặp (0, Mbw ) . +Bây giờ ta chứng minh ub cũng là nghiệm cực đại khơng âm của (2.6) . Thật vậy , lấy bất kì nghiệm yếu u của (2.6).Khi đĩ bởi tính chính qui elliptic u 10C ( )  .Vì thế , tồn tại K 0 đủ lớn sao cho u  K và (u, K ) là cặp nghiệm dưới-trên của (2.7) với Mb  . Do tính duy nhất nghiệm của (2.7) nên Mbu w . Suy ra ub cũng là nghiệm cực đại khơng âm của (2.6) và Mb bu w . Định lý 2.2.3 Giả sử cĩ (H2) và bL> 0 . Khi đĩ tồn tại duy nhất nghiệm dương ngặt của bài tốn (2.6) . Hơn nữa ,bởi tính chính qui elliptic 2,pbu W ( ) ,p 2   , và vì thế 1, b Nu C ( ) int(P) ,0< 1 p      . Ngồi ra: (a) b 1 bu h.k.n trong     (2.10) , trong đĩ b 0  thỏa : 1b 1 b M Le b       . (2.11) (b)   11b Mu b    . (2.12) Chứng minh Trước hết , ta chứng minh rằng ( b 1  , Mbw ) là cặp nghiệm dưới- trên của (2.6) với b 0  thỏa (2.11). +Thật vậy , b 1  là nghiệm dưới của (2.6) khi và chỉ khi : b 1 b 1 b 1( ) b( ) e( )           . b 1 b 1 b 1b( ) e( )           . 1 11 b 1 b 1b e            . 1 11 1 b 1 b 1b e             . 1 1 11 b b 1 1e b            . 1 1b 1 M 1 L(e e ) b b          . (2.13) Do 10 1   nên 11 1  , 11 1  . Suy ra 11 Me e e   ; 1L 1 Lb b b   . Suy ra: 11 Me e 0    , 11 Lb b 0   . (2.14) Do (2.14) nên (2.13) đúng . Suy ra b 1  là nghiệm dưới của (2.6). +Ta chứng minh Mb w là nghiệm trên của (2.6). Do Mb w là nghiệm dương ngặt của (2.7) nên ta cĩ : M Mb M b w b (w )  .Suy ra : M M M Mb b b b w b(w ) b(w ) e(w )      . Vì thế , Mb w là nghiệm trên của (2.6). Do ( b 1  , Mbw ) là cặp nghiệm dưới - trên của (2.6) và theo định lý 2.2.2 suy ra nghiệm cực đại ub của (2.6) thỏa b 1 bu h.k.n trong     .Theo tính chính qui elliptic 2,pbu W ( ) , p 2   , và vì thế 1,b Nu C ( ) , 0< 1 p      .Theo bổ đề 2.1.5 , bu int(P)  . Bây giờ ta chứng minh bài tốn (2.6) cĩ duy nhất nghiệm dương ngặt . Đặt 11z u 1   . Khi đĩ , bài tốn (2.6) tương đương với bài tốn sau: 2 2 2 ( ) (1 ) 1 2 N z z zz b e(z(1 )) trong (1 )z x x x z 0 trên                                             (2.15) Gọi z2 là nghiệm cực đại của (2.15) . Giả sử bài tốn (2.15) cĩ nghiệm dương ngặt khác là z1 với 1 2z z .Ta sẽ chứng minh 2 1z z bằng phản chứng . Đặt 1 2z z   .Giả sử 0P  sao cho  đạt cực tiểu âm . Cho r >0 sao cho 0 z1(x) z2(x) , 0x B(P , r)  . Ở đây , B(P0,r ) là qủa cầu mở tâm P0 , bán kính r . Ta cĩ :   1 1 2 2N 1 2 1 1 2 i 1 1 i 2 i 1 z 1 z e 1 (z z ) 1 z x z x                                   . Mặt khác , ta cĩ : 2 2N N 1 2 i i 1 i 11 i 2 i i 1 z 1 z c c(x) z x z x x                         , với 1 2i i i i 1 z zc z x x        , c(x) = 2N 2 i 11 2 i 1 z z z x     . Vì thế  thỏa mãn :   1 111 1 2c(x) e 1 (z z )1            trong B(P0,r) , (2.16) ở đây 2N N 1 i2 i 1 i 1i i c x 1 x               . Ta thấy c(x) 0 trong B(P0,r) và từ (H2) ta suy ra 1 11 2z z     trong B(P0,r) . Áp dụng nguyên tắc maximum (bổ đề 2.1.10) suy ra  C 0 (C là hằng số ) .Vế trái của (2.16) khơng dương , cịn vế phải dương nên mâu thuẫn .Vậy z1 z2 . Do đĩ , bài tốn (2.6) cĩ duy nhất nghiệm dương ngặt . Ta cịn chứng minh   11b Mu b    . Thật vậy , từ (2.8) và Mb b u w , ta cĩ : b 0u k    . Mà 1 1 1 0 Mk b     nên   11b Mu b    . Chú ý 2.2.4 (a) Kết qủa sau đây nằm trong bổ đề 3.6 của [10]. Do bu int(P) nên tồn tại k1 , k2 > 0 thỏa 1 b 2k d (x) u (x) k d (x) x     . (b) Do bM > 0 nên tồn tại qủa cầu B:B(x0,r) sao cho bL,B > 0 trong B , trong đĩ bL,B là essinf của b trong B . Do đĩ , B1 b 1u h.k.n trong B      , trong đĩ 1 0  thỏa : 1 B1 1 1 M,B L,Be b      . (c) Do b 1 bu h.k.n trong     nên C 0  ( độc lập với b) sao cho b bC d u h.k.n trong    . Định lý 2.2.5 Giả sử cĩ (H2) .Khi đĩ ánh xạ b 1b 0L ( ) u int(P) C ( )     là tăng , liên tục và C1. Chứng minh Bổ đề 2.2.6 (a) Cho (0,1] và 0 < t1 < t2 . Khi đĩ : 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1t (t t ) t t t (t t )           . (b) Cho [1, )  và 0< t1< t2 . Khi đĩ : 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1t (t t ) t t t (t t )           . Chứng minh bổ đề 2.2.6 bằng định lí Lagrange áp dụng cho hàm t , t  . B._.