Một số biến số động lực học, đặc biệt là mômen động lượng L của một hạt và của hệ hai hạt

ủa vật đen,….từ đó dẫn đến khái niệm mới – bước đầu của việc phát triển môn CƠ HỌC LƯỢNG TỬ. Sự ra đời của cơ học lượng tử là cơ sở đầu tiên giúp con người tìm hiểu và chinh phục thế giới vi mô, là lý thuyết về các hiện tượng và quá trình vật lý trong thế giới vi mô. Ngày nay, một trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng nhất của vật lý hiện đại là thế giới các hạt vi mô. Do đó, môn cơ học lượng tử đã trở thành một học phần không thể thiếu đối với sinh viên ngành vật lý. Cơ học lượng tử là môn lý thuyết vật lý nghiên cứu những quy luật chuyển động của các hạt vi mô (bao gồm nguyên tử, hạt nhân và các hạt cơ bản). Đối với các hạt vi mô, để xác định trạng thái của chúng, người ta dùng các biến số Cơ học lượng tử. Trong phạm vi giới hạn của đề tài này, chúng ta sẽ làm quen và tìm hiểu một số biến số động lực học, đặc biệt là mômen động lượng L của một hạt và của hệ hai hạt. Muốn vậy ta cần xác định hàm riêng và trị riêng của toán tử mômen động lượng L trong tọa độ cầu. CÁC MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI. Đề tài xoay quanh nghiên cứu các nội dung chính sau đây: Các toán tử biểu diễn số động lực học. Các toán tử mômen động lượng trong tọa độ cầu. Trị riêng của mômen động lượng. Phương trình Legendre và đa thức Legendre. Hàm riêng của mômen động lượng. Mômen động lượng của hệ hai vật. CÁC PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI. Đề tài được thực hiện chủ yếu bằng phương pháp nghiên cứu lý thuyết từ các tài liệu giáo trình có liên quan kết hợp với sự hướng dẫn của giáo viên. Phần II NỘI DUNG CÁC TOÁN TỬ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TOÁN TỬ. Định nghĩa. Toán tử là một thực thể toán học mà khi tác dụng lên một hàm số bất kì sẽ cho ta một hàm số khác. Nghĩa là: Trong đó là một toán tử, là các hàm số bất kì mô tả trạng thái vật lí của hệ lượng tử, liên hệ với nhau bởi phương trình biến đổi hàm sóng của toán tử . Các thí dụ: Phép nhân với tọa độ x: . Phép lấy đạo hàm theo x: . Phép nhân với một hằng số h: . Phép lấy liên hiệp phức: . Toán tử tuyến tính. Nếu có tổ hợp tuyến tính và toán tử sao cho: . Thì được gọi là toán tử tuyến tính với c1, c2 là hằng số. Thí dụ: Chứng minh là toán tử tuyến tính. Ta có : Các phép tính trên toán tử. Cho hai toán tử và hàm số bất kì . Nếu có: thì được gọi là toán tử tổng. thì được gọi là toán tử hiệu. thì được gọi là tích hai toán tử. được gọi là giao hoán tử của hai toán tử. Tổng và hiệu hai toán tử thì giao hoán được, còn tích hai toán tử nói chung không giao hoán được. Trị riêng và hàm riêng của toán tử. Khi cho toán tử tác dụng lên hàm thì ta được chính hàm số đó nhân thêm với một hằng số. Tức là: Khi đó ta nói là hàm riêng của toán tử và phương trình trên là phương trình trị riêng của toán tử . Còn A được gọi là trị riêng ứng với hàm riêng của toán tử . Chú ý: Một toán tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì tương ướng với một trị riêng (trường hợp không suy biến). Số trị riêng có thể là hữu hạn và cũng có thể là vô hạn. Các trị riêng có thể gián đoạn (toán tử có phổ gián đoạn) hay liên tục (toán tử có phổ liên tục). Để phân biệt được các trị riêng và hàm riêng tương ứng, ta có thể viết lại phương trình trị riêng của nó là . Thí dụ: Cho toán tử . Hãy tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử biết rằng hàm riêng tuần hoàn trong khoảng (0,L). Gọi là trị riêng và hàm riêng tương ứng của toán tử thì phương trình trị riêng của toán tử là Với C là hằng số được xác định từ điều kiện chuẩn hóa. Vì hàm số tuần hoàn trong khoảng (0,L) nên ta có . Tức là Từ đó ta được . Ta thấy có trị gián đoạn theo số nguyên n. Còn hàm riêng tương ứng với Toán tử hermitic (toán tử tự liên hiệp toán tính). Định nghĩa. Cho toán tử và các hàm bất kì nếu hệ thức sau thỏa mãn: thì được gọi là hermitic. Nếu là các toán tử hermitic và . Thì cũng là toán tử hermitic. Các tính chất của toán tử hermitic. Trường hợp có phổ biến gián đoạn: + Phương trình trị riêng: với n = 0,1,2,3….. +Trị riêng là những số thực: . +Điều kiện trực chuẩn: gọi là kí hiệu kronecker. +Các hàm riêng lập thành hệ đủ: . Trường hợp toán tử có phổ liên tục: +Phương trình trị riêng: . +Trị riêng là những số thực: A*=A. +Điều kiện trực chuẩn: Với goi là hàm denta Dirac. Các hàm riêng lập thành hệ đủ: CÁC TOÁN TỬ BIỂU DIỄN SỐ ĐỘNG LỰC HỌC. Các tiên đề cơ lượng tử. Tiên đề 1. Mỗi biến số động lực được mô tả bằng một toán tử tuyến tính xác định. Tiên đề 2. Khi ta đo một biến số động lực nào đó thì ta chỉ thu được những giá trị bằng số là trị riêng của các toán tử biểu diễn số động lực ấy. Từ tiên đề này ta suy ra các toán tử biểu diễn số động lực là những toán tử hermitic và có đầy đủ các tính chất của toán tử hermitic. Tiên đề 3. Nếu hệ lượng tử ở trạng thái trong đó các là các hàm riêng (hàm sóng đã chuẩn hóa) của toán tử nào đó thì xác suất khi đo biến số động lực L được giá trị Li sẽ là với i=1,2,3,….. Trường hợp riêng: Nếu hàm trạng thái trùng với hàm riêng nào đó thì khi đo L ta sẽ được giá trị Lk là trị riêng tương ứng với hàm . Tức là xác suất phép đo L được giá trị Lk là bằng một. Pi là xác suất tuyệt đối, do đó nếu hàm sóng đã chuẩn hóa thì ta có: Nghĩa là các hệ số phân tích cũng được chuẩn hóa. Công thức . Là điều kiện chuẩn hóa của hệ số phân tích. Với ý nghĩa là tổng xác suất các trạng thái có thể phải bằng một. Giá trị trung bình của biến số động lực. Ta định nghĩa giá trị trung bình của biến số động lực L biểu diễn bằng toán tử (cho cả trường hợp toán tử có phổ gián đoạn và toán tử có phổ liên tục) như sau: . Với là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ. là liên hiệp phức của . Sự đo đồng thời hai biến số động lực. Điều kiện cần và đủ để đo chính xác đồng thời hai biến số động lực L và M trong hệ lượng tử là 2 toán tử biểu diễn chúng phải giao hoán. Tức là . Các đại lượng động lực trong CHCĐ. Tọa độ Xung lượng Năng lượng Mômen động lượng với Các đại lượng động lực trong cơ học lượng tử. 2.5.1. Toán tử tọa độ. Theo nguyên lý tương ứng:”Cơ học cổ điển là trường hợp riêng của cơ học lượng tử”. Trong cơ học lượng tử thì các biến số động lực được biểu diễn bằng các toán tử và chúng liên hệ với nhau bằng các công thức tương tự như trong cơ học cổ điển, ta được các toán tử biểu diễn các toán tử biểu diễn số động lực trong cơ học lượng tử. Toán tử tọa độ có dạng: . Tọa độ Toán tử xung lượng. Toán tử xung lượng có dạng: Xung lượng 2.5.3. Toán tử năng lượng. Năng lượng 2.5.4. Toán tử mômen động lượng. Mômen động lượng Trong đó là toán tử Nabla. là toán tử plaplace. Một số tính chất của toán tử biểu diễn số động lực. Toán tử tọa độ và các thành phần của nó theo các trục tọa độ đều là số thực nên được xem là toán tử hermitic và có thể giao hoán được với nhau. Toán tử xung lượng Ta tìm hệ thức giữa các toán tử hình chiếu xung lượng va tọa độ. Giả sử là hàm sóng, khi đó ta có: Tương tự ta có và Các quy tắc này được gọi là các hệ thức giới hạn Heisenberg. Ta dễ dàng chứng minh được: Toán tử momen động lượng cũng tuân theo mọi định luật bảo toàn và cùng có tính chất tương tự trong cơ học cổ điển. Ngoài ra, người ta còn thiết lập toán tử bình phương momen động lượng. Sau đây ta khảo sát các quy tắc giao hoán cho các thành phần của toán tử momen động lượng. Ta có . Cho hai vế của phương trình trên tác dụng lên hàm ta được Xét (1) ( 2) Từ (1) và (2) ta có: Vậy Tương tự: Ta nhận thấy các giao hoán tử của các thành phần momen động lượng theo hoán vị vòng quanh các tọa độ x,y,z. Các giao hoán tử này khác 0 nên hình chiếu của các momen động lượng của các hạt không thể có đồng thời những giá trị xác định. Một trường hợp ngoại lệ là trạng thái trong đó momen động lượng bằng 0, khi đó . Ngược lại, các toán tử hình chiếu giao hoán với toán tử bình phương momen động lượng . Thực vậy, dễ dàng chứng minh được: Chứng minh: Ta có Mặt khác Nhân ở sau hai vế phương trình với , ta được: (3) Nhân ở trước hai vế phương trình với , ta được: (4) Từ (3) và (4) Chứng minh tương tự ta được: Cộng các kết quả trên ta được: Bằng cách chứng minh như trên ta cũng có: Như vậy, toán tử bình phương momen động lượng là một trong các hình chiếu của nó lên một trục tùy ý hoán vị được với nhau và có thể đồng thời có giá trị xác định. Ngoài ra người ta còn đưa các toán tử sau đây: Các toán tử này còn tuân theo các hệ thức sau: CÁC TOÁN TỬ MOMEN ĐỘNG LƯỢNG TRONG TỌA ĐỘ CẦU. Trong cơ học lượng tử, biểu thức toán tử mômen động lượng trong tọa độ đề các như sau: Nhưng đôi khi giải bài toán trong tọa độ cầu lại đơn giản hơn. Vậy ta hãy tìm các toán momen động lượng trong tọa độ cầu. Tọa độ cầu là tọa độ có ba thông số r,. Ta chuyển các tọa độ x,y,z sang tọa độ cầu theo các hệ thức sau: Vì trong biểu thức của toán tử mômen động lượng có chứa các đạo hàm theo các tọa độ x,y,z nên ta phải chuyển phép tính đó sang tọa độ cầu. Xét một hàm đạo hàm riêng của hàm f theo tọa độ cầu được tính: Ta cũng có thể biểu diễn tương tự cho Đạo hàm riêng của r, theo x: Đạo hàm riêng của r, theo y: Đạo hàm riêng của r, theo z: Thay các kết quả trên vào biểu thức ta được: Đưa vào biểu thức toán tử các momen động lượng Bình phương các toán tử mômen động lượng vừa tìm được ta được Toán tử bình phương mômen động lượng trong tọa độ cầu được biểu diễn Thực hiện phép tính ta có: Trong đó toán tử gọi là toán tử Laplace cầu. TRỊ RIÊNG CỦA MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG Để xác định trị riêng của mômen động lượng ( chẳng hạn) ta phải giải phương trình trị riêng của chúng. Gọi là hàm riêng của toán tử thì ta có phương trình trị riêng là: Ta giải bài toán này trong tọa độ cầu. Khi đó ta có: Ta dễ dàng tìm được Trong đó C là hằng số không phụ thuộc nhưng có thể phụ thuộc r,. Do đó, ta viết lại nghiệm như sau: Theo đòi hỏi về vật lý thí nghiệm phải đơn giản nên khi thay đổi góc 2 thì hàm sóng nhận giá trị cũ, tức là: Từ đó ta suy ra trị riêng của toán tử Và hàm riêng của phụ thuộc vào số nguyên m nên ta có thể viết dưới dạng: . Trị riêng của bình phương mômen động lượng. Ta cũng có thể tìm được trị riêng của toán tử bằng cách như sau. Ta có : Cho hai vế của phương trình toán tử này tác dụng lên hàm riêng của và cũng là của ta được: Nghĩa là là hàm ứng với trị riêng của Mặt khác, ứng với trị riêng của là hàm riêng . Suy ra và cũng biểu diễn một trạng thái vật lý nên chỉ khác nhau một hằng số nhân. Nghĩa là . Vì mlà trị riêng của nên m không thể bằng vô cùng được. nghĩa là m phải ngắt ở giá trị lớn nhất nào đó. Gọi là giá trị lớn nhất của m thì: . Vì thế sẽ tồn tại giá trị Điều này trái với điều nói ở trên. Bây giờ ta cho hai vế của phương trình toán tử tác dụng lên hàm ta sẽ được Chú ý số hạng đầu của vế trái bằng 0, do đó ta được: Mặt khác cũng là hàm riêng của , nên ta có: Với là giá trị lớn nhất của m và có thể bằng 0. từ đây ta thấy rằng với mỗi giá trị xác định của thì m có nhiều giá trị, các giá trị đó là các số nguyên từ - đến + (kể cả số 0). Như vậy m có tất cả (2+1) giá trị. Các số nguyên m được gọi là lượng tử số xác định độ lớn hình chiếu trên trục z của mômen động lượng, còn gọi là lượng tử số xác định độ lớn của mômen động lượng. điều đó có nghĩa là độ lớn của mômen động lượng bị lượng tử hóa theo các số nguyên . Vì trục z được chọn tùy ý, nên kết quả trên cũng xảy ra đối với các toán tử . Như vậy, hình chiếu mômen lên một phương tùy ý trong không gian lấy những giá trị nguyên (trong đơn vị ). Vì toán tử không giao hoán với nên giá trị Lz không được xác định đồng thời Lx, Ly. Điều đó có nghĩa là nếu ta thực hiện các phép đo các giá trị hình chiếu Lx, Ly trong một trạng thái Lz đã cho chỉ có những giá trị khả dĩ tùy ý. HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG. 6.1. Phần phụ thuộc của hàm sóng Trong tọa độ cầu thì biểu thức của toán tử chỉ chứa các tọa độ và các đạo hàm riêng theo hai tọa độ này. Do đó, đối với các hàm sóng (hàm riêng của hai toán tử này) ta cũng chỉ xác định được phần phụ thuộc của hàm sóng mà thôi. Còn phần phụ thuộc r coi như được chứa trong hằng số nhân. Gọi là hàm riêng của hai toán tử , ứng với các trị riêng và của hai toán tử; phần phụ thuộc của hàm sóng ta gọi là hàm cầu, kí hiệu . Như vậy hàm riêng của hai toán tử trên được viết là: Vì các toán tử không phụ thuộc vào r nên trong phương trình trị riêng của chúng ta không cần viết phần phụ thuộc r cho đơn giản (coi được chứa trong hằng số). Ta có phương trình trị riêng như sau: Thay vào phương trình (5.2) ta được: Trong đó C là một hàm phụ thuộc và ta có thể đặt 6.2. Phần phụ thuộc của hàm sóng. Đưa vào phương trình (5.1) và chú ý biểu thức của trong tọa độ cầu Ta được phương trình: (Để cho phương trình đơn giản ta viết thay cho ). Lấy đạo hàm đối với số hạng thứ nhất, theo đối với số hạng thứ hai, ta được: Đặt Mà , thay biểu thức vào phương trình trên ta được: (5.3) Vì nên nghiệm của phương trình hữu hạn tại . Phương trình (5.3) là phương trình Legendre liên kết và nghiệm của phương trình là đa thức liên kết Legendre với biến cos có dạng . 6.3. Đa thức liên kết Legendre. Như vậy, muốn tìm hàm cầu , ta phải tìm được với công thức được chứng minh là: Trong đó gọi là đa thức Legendre bậc 1, là nghiệm của phương trình Legendre có dạng (5.3’) Trong đó Y là một hàm nào đó phụ thuộc vào x, ta viết phương trình trên dưới dạng: (5.4) Với . Ta tìm nghiệm của phương trình này dưới dạng chuỗi lũy thừa (5.5) Ta có: Thay các biểu thức này vào phương trình (5.4) ta có: . Từ đó ta tìm được các phương trình cho các hệ số (5.6) Do đó: (5.7) Đẳng thức này chứng tỏ nếu , trong đó l là một số nguyên dương thì . Từ hệ thức (5.5) ta cũng suy ra . Vậy là số chẵn thì các hệ số với chỉ số chẵn bắt đầu từ đều bằng 0. Còn nếu là số lẽ thì các hệ số với chỉ số lẻ đều bằng 0. Vậy nghiệm của (5.5) của phương trình (5.4) khi đó có dạng: Trong đó c0 là tùy ý, , còn các hệ số sau tính theo công thức (5.7). Trong trường hợp lẻ, ta đặt c0=0 thì từ đẳng thức thứ nhất của (5.6) ta rút ra c2=0. Khi đó nhờ (5.7), các hệ số có chỉ số chẵn bằng 0 và nghiệm (5.5) trở thành đa thức: . Trong đó c1 là tùy ý, , còn các hệ số sau tính theo công thức (5.7). Vậy khi phương trình Legendre (5.4) có nghiệm là đa thức bậc nhất (=0,1,2,3…..). Các đa thức này hoặc chỉ chứa các số hạng bậc lẻ nếu lẻ. ta sẽ chọn các hệ số c0 hoặc c1 sao cho các đa thức ấy có giá trị bằng 1 khi x=1. Các đa thức xác định như vậy gọi là các đa thức Legendre, kí hiệu . Thành thử đa thức Legendre là một đa thức bậc nhất, thỏa mãn phương trình (5.4) với và tiến tới 1 khi x=1, nghĩa là . 6.4.Đa thức Legendre. Bây giờ ta tính đa thức Legendre với =0,1,2,3,…. +Với =0 thì . +Với =1 thì . +Với =2 thì Mà +Với =3 thì Mà Cũng có thể chứng minh rằng các đa thức Legendre (5.5) cũng có thể chứng minh theo công thức Rôdrigơ (5.8) Ta thấy phương trình (5.5) không có nghiệm hữu hạn trên [-1,1] nếu , còn nếu thì nghiệm hữu hạn trên đoạn [-1,1] là trong đó c là hằng số. Ta thấy phương trình (5.3’) là trường hợp đặc biệt của phương trình (5.3) khi m=0. Bây giờ ta nghiên cứu nghiệm của phương trình này. Ta đưa vào biến số mới z sao cho , khi đó: Vậy: Do đó hàm Z thỏa mãn phương trình: (5.9) Bởi vì biểu thức Legendre thỏa mãn phương trình (5.3’) với nên: (5.10) Ta lấy vi phân phương trình này theo x với m lần và sử dụng quy tắc Leipnitz để tìm đạo hàm của tích phân hai hàm, ta có: Và Thay vào (5.10) ta được: (5.10’) Từ đó ta thấy hàm thỏa mãn phương trình (5.9) nghĩa là hàm Thỏa mãn phương trình (5.3) với Hàm (5.11) Gọi là hàm Legendre liên kết. Vậy phương trình (5.3) có nghiệm hữu hạn trên [-1.1] chỉ khi và có dạng với c là hằng số. Bởi vì là đa thức bậc một nên với m>1 thì . Còn khi m=0 thì 6.5. Một số đa thức và hàm cầu cấp thấp. Thay các kết quả của vào phương trình (5.11) ta thu được kết quả như sau: Từ đó ta tính được các hàm cầu tương ứng. 7. MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG CỦA HỆ HAI HẠT. 7.1. Mẫu vectơ mômen động lượng. Ở trên ta đã tìm được trị riêng của toán tử và và là , trong đó với mỗi giá trị xác định của thì m có (2+1) giá trị khác nhau từ - đến . Từ đó ta suy ra là giá trị của mômen động lượng. Như vậy, với mỗi thì độ lớn của là xác định và nó không thể tùy ý hướng trong không gian được mà chỉ có thể hướng trong không gian sau hình chiếu Lz của nó nhận được (2+1) giá trị mà thôi. Ta thấy chỉ có thể hướng theo (2+1)hướng trong không gian tức là sẽ là đường sinh của (2+1) mặt nón tròn xoay có trục đối xứng là OZ (kể cả mặt tròn). 7.2. Phép cộng mômen động lượng. Ta xét hệ lượng tử gồm hai hạt có các mômen động lượng là . Bỏ qua mọi tương tác giữa hai hạt làm cho mômen động lượng của chúng thay đổi thì định luật bảo toàn mômen động lượng sẽ đúng cho mỗi phần tử của mômen toàn phần của hệ bằng tổng các mômen thành phần là . Nếu ta biết lượng tử số , m1, m2 xác định độ lớn và hình chiếu trên trục OZ của thì ta có thể suy ra các lượng tử số , m xác định độ lớn hình chiếu trên trục OZ của được. Thật vậy, ta có : Gọi 1, 2 là giá trị lớn nhất của m1, m2 thì giá trị lớn nhất của m là =1+2, còn giá trị nhỏ nhất của là . Các giá trị khác của thì nằm ở giữa hai giá trị này. Giả sử 1>2 thì sẽ có giá trị từ (1-2) đến (1+2). Các giá trị liền nhau thì cách nhau một đơn vị tất là có tất cả (22+1) giá trị khác nhau của . Suy ra có (22+1) cách hợp mômen động lượng của hệ. Thí dụ về phép cộng momen động lượng. Hệ lượng tử gồm hai hạt không tương tác lẫn nhau, hàm sóng của chúng có dạng . Tìm độ lớn momen động lượng của hệ. Giải Hàm sóng . Hàm sóng . Từ đó: . . . Vậy: nhận các giá trị 1,2,3. Momen động lượng của hệ: Hình chiếu trên trục Oz của Ta phải có nên Phần III KẾT LUẬN Bài tiểu luận này cho ta thấy vai trò hết sức quan trọng của CHLT, nó giúp con người đi sâu vào bản chất của thế giới vi mô. Đối với các hạt vi mô, các quy luật vật lí cổ điển không áp dụng được nữa, mà ta phải thay các quy luật cổ điển bằng các quy luật lượng tử.CHCĐ là nền tảng cho CHLT, và giúp CHLT hoàn chỉnh hơn Đề tài đã thể hiện rõ cách xác định trị riêng và hàm riêng của toán tử mômen động lượng thông qua đó xác định trạng thái của hạt vi mô và biết được các dạng phương trình sóng của chúng. Trong CHLT, giúp ta giải các bài toán trong tọa độ cầu dễ dàng hơn thông qua các dạng toán tử momen động lượng. Môn học CHLT còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực cũng như nhiều ngành vật lý khác nhau: Vật lý chất rắn, Vật lý thống kê, Vật lý lý thuyết,…. Do đó, việc nghiên cứu CHLT là rất đa dạng và phong phú. TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng Quang Khanh – Cơ học lượng tử - NXB khoa học và kỹ thuật – 1996. Nguyễn Hoàng Phương – Nhập môn Cơ học lượng Tử (cơ sở và phương pháp) kết hợp toán – lý – hóa – NXBGD – 1998. Trần Minh Quý – Toán cho vật lý – 2002. Lê Tiến Thịnh – SVSP Lý K22 – Niên luận: Hàm riêng và trị riêng cua mômen động lượng. Nguyễn Xuân Tư – Cơ học lượng tử. Phạm Quí Tư – Cơ học lượng tử. Trần Kim Phượng – SVSP Lý K30 – Niên luận: Hàm riêng và trị riêng của mômen động lượng. ._.