Một nghiên cứu didactic về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian

dẫn tôi thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn những ý kiến quý báu của bà Claude Comiti, bà Annie Bessot và cô Vũ Như Thư Hương cho đề cương luận văn được hoàn chỉnh. Xin gửi lời tri ân đến Cô Lê Thị Hoài Châu và các Thầy Lê Văn Tiến, Thầy Trần Lương Công Khanh, Thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, những người đã tận tâm và nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức về Didactic trong những năm đại học cũng như cao học sau này. Xin cảm ơn Ban lãnh đạo, các anh chị chuyên viên phòng Khoa học và công nghệ sau đại học đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học và thời gian thực hiện luận văn. Cảm ơn các bạn, các anh chị trong khóa Didactic 18, đã giúp đỡ, cùng nhau chia sẽ những khó khăn, kinh nghiệm trong thời gian học ở trường. Luận văn không thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ, góp ý kiến của Thầy Đậu Văn Duy trường Trưng Vương, Thầy Bùi Đức Tước Hoàn trường Lê Qúi Đôn thành phố Hồ Chí Minh và các em học sinh lớp 11A1, 11A2, 11A3 của hai trường trong phần thực nghiệm luận văn. Cuối cùng, xin dành trọn tấm lòng của người con đối với ba mẹ, những người thân trong gia đình và anh Trần Anh Tuấn, người đã luôn bên cạnh động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập ở thành phố. DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HHKG : Hình học không gian HHP : Hình học phẳng HS : Học sinh SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách bài tập VTTĐ : Vị trí tương đối MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Kinh nghiệm giảng dạy của tôi và đồng nghiệp thường gặp một số nhận định sai lầm của học sinh khi học HHKG lớp 11: - Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung - Hai đư ờng thẳng không song song ho ặc có điểm chung trên hình vẽ thì cắt nhau - Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng cắt đường thẳng còn lại - Hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng nhìn thấy trên hình thì không đồng phẳng - Hai m ặt phẳng song song thì các đường thẳng chứa trong nó cũng song song… Cuốn phương pháp dạy học môn toán có nhận định: “Do đã có một giai đoạn dài học hình học phẳng nên việc quen tư duy theo kiểu hình học phẳng cũng là trở ngại, gây bỡ ngỡ khi học hình học không gian. Hình học không gian gắn liền với hình biểu diễn, nhưng các nguyên tắc vẽ phối cảnh không dễ nắm được ngay và hình biểu diễn không hoàn toàn trực quan như hình học phẳng ” [10, tr.115] Cũng với tinh thần này, Sách Giáo viên hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục, 2009 viết: “Ở lớp 10 và đầu lớp 11, học sinh chỉ học hình học phẳng, nay học hình học không gian sẽ gặp rất nhiều khó khăn” [17, tr. 42] Những quan sát có được đã gợi ra cho chúng tôi những câu các hỏi sau: - Nguồn gốc những nhận định trên của học sinh cũng như khó khăn mà hai cuốn sách nói đến là gì? - Liệu chúng ta có thể giải thích được những hiện tượng đó không? - Và nếu có thì giải quyết bằng công cụ nào? Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, chúng tôi chỉ dám dừng lại ở việc nghiên cứu đối tượng là VTTĐ giữa hai đường thẳng trong dạy học HHKG ở trường phổ thông bằng phương pháp tổng hợp. Chọn đường thẳng để nghiên cứu mối quan hệ giữa chúng, xuất phát từ những lý do sau: - Đây là một đối tượng HS đã nghiên cứu kỹ trong HHP và được ti ếp xúc nhiều trong thực tế. Trong HHKG, mối quan hệ hai đường thẳng lại phức tạp hơn nhiều. - Thêm nữa, việc xét mối quan hệ giữa hai đường thẳng liên quan đến một loạt các kiểu nhiệm vụ khác như: chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng song song, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng,… 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi trên bằng việc nghiên cứu chương trình HHKG mà giới hạn là VTTĐ giữa hai đường thẳng. Cụ thể hơn những câu hỏi đó là: 1. VTTĐ giữa hai đường thẳng đã được các sách và chương trình toán phổ thông xây dựng như thế nào? Các thuộc tính đặc trưng của chúng là gì? Yêu cầu của nó đối với HS? 2. Việc dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian ở trường phổ thông đã xuất hiện những kiểu nhiệm vụ nào? Đâu là kiểu nhiệm vụ trọng tâm? 3. Những khó khăn của HS khi tiếp xúc với đối tượng trên là gì? Có thể tìm ra nguyên nhân và giải thích sai lầm được không? 3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu Những vấn đề gợi ra ở trên liên quan đến việc dạy học hình học không gian ở trường phổ thông Việt nam. Do đó, chúng tôi chọn công cụ là lý thuyết nhân chủng học (quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân) để tham chiếu. Tìm và giải thích những khó khăn bằng công cụ lý thuyết tình huống với khái niệm sai lầm và chướng ngại. Cuối cùng, để thấy được những ứng xử của học sinh với một dạng bài tập nào đó, chúng tôi sử dụng công cụ hợp đồng didactic. Cụ thể: 3.1. Thuyết nhân học Công cụ cho chúng tôi biết đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng được trình bày như thế nào trong chương trình. Mối quan hệ của nó với các đối tượng khác (điểm, mặt phẳng) và với việc tiếp thu kiến thức của HS. Khi xuất hiện quan hệ hai chéo nhau giữa hai đường thẳng và khái niệm hai đường thẳng song song đã thay đổi, buộc HS phải điều chỉnh mối quan hệ của mình với các đối tượng cho phù hợp. Hơn nữa, đường thẳng có thể sống trong hai thể chế khác nhau (dạy học hình học phẳng và hình học không gian) và do đó nó phải tuân theo sự ràng buộc của thể chế, phải biến đổi phù hợp với yêu cầu của thể chế. Việc tiếp cận các hoạt động toán học theo mô hình tổ chức [ ], , ,T τ θ Θ đã hình thành một hệ thống các kiểu nhiệm vụ xác định. Và chúng tôi muốn tìm hiểu có bao nhiêu kiểu nhiệm vụ liên quan, kiểu nhiệm vụ nào thường gặp,… 3.2. Sai lầm và chướng ngại Ngoài những sai lầm mang tính cá nhân, do thiếu kiến thức thì có những sai lầm của HS khiến chúng ta phải quan tâm vì nó không phải ngẫu nhiên được sinh ra. Những sai lầm này thuộc về kiến thức và là biểu hiện của kiến thức. Nghiên cứu lý thuyết tình huống đã cung cấp cho chúng tôi một công cụ để nghiên cứu sai lầm, khó khăn của HS khi học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian, biết đâu là chướng ngại tránh được và không tránh được. 3.3. Hợp đồng didactic Tìm và giải thích những quy tắc hợp đồng đã hình thành trong SGK. Ứng với một tình huống mới lạ về đường thẳng, HS có tìm cách phá vỡ hợp đồng đã hình thành trước hay không? Phản ứng của các em như thế nào? Trên khung lý thuyết này, các câu hỏi ban đầu được trình bày lại là: ' 1Q : Khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng đã được xây dựng như thế nào trong các tài liệu trước đây? ' 2Q : Trong chương tr ình, sách giáo khoa toán phổ thông Việt nam, khái niệm trên được đề cập ra sao, có những thuộc tính đặc trưng nào? Các tổ chức toán học có liên quan? ' 3Q : Cách trình bày của thể chế với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng đã ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân học sinh? Những qui tắc hợp đồng nào được hình thành từ cách trình bày này? 4. Phương pháp nghiên cứu Với luận văn này, chúng tôi thực hiện đồng thời các nghiên cứu sau: Để trả lời cho '1Q , chúng tôi nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng, các vấn đề về hình vẽ và qui tắc vẽ hình trong dạy học HHKG. Nghiên cứu thể chế dạy học HHKG ở Việt nam qua việc phân tích chương trình, bộ sách giảng dạy hiện hành gồm SGK, SGV, SBT lớp 8 và lớp 11 để trả lời cho '2Q . Việc nghiên cứu này thực hiện trên khung l ý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu được trình bày ở phần trước. Trên cơ sở đó hình thành gi ả thuyết nghiên cứu. Cuối cùng, giả thuyết được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm xây dựng ở chương 3. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Nghiên cứu những khó khăn, sai lầm của học sinh khi tiếp thu nội dung dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian là một đề tài thiết yếu. Nó không chỉ cho phép chúng tôi hiểu một cách sâu sắc nội dung chương trình, giải thích cho các khái niệm didactic mà còn mang lại những kinh nghiệm bổ ích cho việc dạy học về sau. 6. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm những phần sau: Mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn và ý nghĩa khoa học của đề tài. Chương 1: Trình bày tóm t ắt những công trình nghiên cứu, các tài liệu liên quan Chương 2: Phân tích quan hệ thể với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian ở trường phổ thông Việt nam. Cụ thể: VTTĐ giữa hai đường thẳng trong chương trình, SGK, SGV được trình bày ra sao, hệ thống ký hiệu, quy ước, khái niệm, định nghĩa, các tính chất,…Phân tích các tổ chức toán học được xây dựng, tổ chức nào chiếm vị trí quan trọng Trên cơ sở này, chúng tôi sẽ tìm ra những khó khăn, sai lầm của HS có thể mắc phải. Những sai lầm nào có thể giải thích bằng công cụ didactic. Cuối cùng hình thành giả thuyết nghiên cứu. Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệ m trên đối tượng là HS. P hân tích tiên nghiệm các tình huống đã nêu, phân tích hậu nghiệm từ kết quả thu được nhằm kiểm chứng giả thuyết. Kết luận: Tóm tắt, đánh giá các kết quả thu được, hướng nghiên cứu mở ra Tài liệu tham khảo. Chương 1: NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ HÌNH VẼ TRONG KHÔNG GIAN 1.1. Mục đích của chương Mục đích của chương là tổng hợp các công trình nghiên cứu như: cách xây dựng VTTĐ giữa hai đường thẳng, phép chiếu song song và hình biểu diễn của chúng trong một số giáo trình. Từ đó tạo cơ sở lý luận cho việc phân tích chương 2. Tài liệu mà chúng tôi sử dụng là: - Giáo trình hình học họa hình (1988), V. O. GÔCĐÔN, M, A. XEMEXNÔP- OGHIEPXKI, NXB Mir Maxcova (Nguyễn Đình Điện, Hoàng Văn Thân dịch) - Elementary mathematics (1978), Translated from Russian by George Yankoisky, Mir publishers Moscow - Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, Lê Thị Hoài Châu (2004), Nxb Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh. - Hình học không gian, thực trạng về việc đọc hình vẽ của học sinh cuối cấp trung học cơ sở, Hamid CHAACHOUA - Các phép bi ến hình trong mặt phẳng (2004), Nguyễn Mộng Hy, Nxb giáo dục 1.2. Một nghiên cứu về cách xây dựng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian Trong cuốn Elementary mathematics thì: Hai đường thẳng trong không gian có các vị trí tương đối khác nhau. Chúng có thể có một điểm chung. Vì thế chúng hoàn toàn nằm trên cùng một mặt phẳng, để tạo thành một mặt phẳng, có thể vẽ qua ba điểm: điểm A, giao điểm của hai đường thẳng, điểm B và C được lấy tương ứng trên hai đường thẳng n, m. Mặt phẳng sẽ chứa cả hai đường thẳng vì nó có hai điểm chung với mỗi đường. Bây giờ giả sử các đường thẳng không có bất kỳ điểm chung nào. Điều này không có nghĩa là chúng song song, bởi vì sự xác định tính song song qui định rằng các đường thẳng phải cùng nằm trên một mặt phẳng. Để giải quyết câu hỏi các đường thẳng xác định vị trí như thế nào, vẽ mặt phẳngλ qua một trong hai đường, m chẳng hạn, và qua một điểm A tùy ý trên đường thẳng còn lại. Hai trường hợp có thể xảy ra: (1) Mặt phẳngλ tạo thành chứa toàn bộ đường thẳng thứ hai (hình 324). Khi ấy, các đường thẳng m và n thuộc cùng một mặt phẳng và không giao nhau, vì vậy chúng song song (2) Mặt phẳngλ cắt đường thẳng tại điểm A. Khi ấy, hai đường thẳng không nằm trên một mặt phẳng. Những đường thẳng như vậy gọi là những đường thẳng chéo nhau (hình 325) Tóm lại: có ba trường hợp có thể có về VTTĐ của hai đường thẳng: 1. Chúng nằm trên một mặt phẳng và cắt nhau 2. Chúng nằm trên một mặt phẳng và song song 3. Chúng chéo nhau, nghĩa là chúng không nằm trên cùng một mặt phẳng Như vậy, khái niệm được trình bày thông qua tình huống xây dựng mặt phẳng chứa đường thẳng để khái quát các VTTĐ giữa hai đường thẳng mà không nêu định nghĩa của chúng. Liệu chương trình, SGK phổ thông Việt Nam có đi theo con đường này hay chỉ nêu định nghĩa bằng cách chỉ ra đặc trưng của khái niệm. 1.3. Phép chiếu song song và vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Phần này được viết theo Giáo trình hình học họa hình (1988) Lấy một mặt phẳng (P) làm mặt phẳng hình chiếu. Nếu các đường thẳng chiếu là những đường thẳng song song thì phép chiếu được gọi là phép chiếu song song. Có thể vẽ hình chiếu của một đường bằng cách vẽ hình chiếu của một số điểm của nó. Các đường thẳng chiếu vẽ qua các điểm này sẽ tạo thành một mặt gọi là mặt chiếu. Giao của mặt chiếu với mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu cần vẽ. Để xác định phép chiếu song song trước hết phải chỉ rõ hướng chiếu. Hình chiếu song song của một điểm là giao điểm của đường thẳng chiếu, vẽ song song với hướng đã cho, với mặt phẳng hình chiếu. Muốn có hình chiếu song song của một đường nào đó, ta vẽ hình chiếu của một số điểm của nó rồi nối chúng lại thành một đường. 1.3.1. Những tính chất của phép chiếu song song 1. Mặt chiếu của một đường thẳng trong trường hợp chung là một mặt phẳng 2. Mỗi điểm và mỗi đường trong không gian có một hình chiếu duy nhất 3. Mỗi điểm trên mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu của mọi điểm của đường thẳng chiếu đi qua nó 4. Mỗi đường trên mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu của mọi đường của mặt chiếu đi qua nó HÌNH 78 5. Muốn vẽ hình chiếu của đường thẳng ta chỉ cần vẽ hình chiếu hai điểm của nó 6. Nếu một điểm thuộc đường thẳng thì hình chiếu của điểm thuộc hình chiếu của đường thẳng đó 7. Nếu đường thẳng song song với hướng chiếu thì hình chiếu của nó là một điểm 8. Một đoạn thẳng thuộc đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu sẽ được chiếu thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó Từ hình chiếu song song của các điểm và đường ta suy ra cách vẽ hình chiếu song song của các mặt và các vật thể 1.3.2. VTTĐ giữa hai đường thẳng qua phép chiếu song song Đường thẳng song song: “hình chiếu của hai đường thẳng song song thì song song. Nếu các đường thẳng AB và CD song song nhau (hình 78) thì các mặt phẳng chiếu Q và R song song và giao của chúng với mặt phẳng hình chiếu P là các hình chiếu ,p p p pa b c d song song nhau. Nhưng, giả sử //p p p pa b c d (hình 78) thì những đường thẳng nhận chúng làm hình chiếu có thể là không song song nhau: ví dụ đường thẳng AB không song song với 1 1C D ” [26, tr. 46] Đường thẳng cắt nhau: “nếu những đường thẳng cắt nhau thì thì các hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau tại điểm là hình chiếu của giao điểm của những đường thẳng ấy. Thực vậy (hình 82), nếu điểm K thuộc cả hai đường thẳng AB và CD thì hình chiếu của K phải là giao điểm của hình chiếu của AB và CD”. Điều kiện ắt và đủ để khẳng định các đường thẳng cắt nhau là: “giao điểm của các hình chiếu cùng tên cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu tương ứng (hình 83), hay trên đồ thức không có trục chiếu (hình 84), cùng nằm trên một đường gióng”. [26, tr. 47] Đường thẳng chéo nhau: “là những đường thẳng không cắt nhau và không song song nhau. Hình 86 biểu diễn hai đường thẳng chéo nhau mặc dù các hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau nhưng các giao điểm không thể nối được bằng một đường song song với các đường gióng l’l và m’m tức là những đường thẳng ấy không cắt nhau”. [26, tr. 48] 1.4. Những vấn đề đặt ra về hình vẽ Phần này đươc viết theo bài báo: Hình học không gian, thực trạng về việc đọc hình vẽ của học sinh cuối cấp trung học cơ sở, Hamid CHAACHOUA 1.4.1. Vấn đề biểu thị đối tượng không gian Xét hình vẽ là mô hình của một đối tượng HHKG. Mô hình này gồm tập hợp các tính chất hình học được biểu diễn bởi một số tính chất không gian của hình vẽ (lĩnh vực hoạt động) và tập hợp các tính chất không gian của hình vẽ không thể giải thích được cũng như phản ánh vào các tính chất của đối tượng (lĩnh vực giải thích). Các đối tượng hình học không gian vốn ba chiều được thể hiện bằng các hình vẽ trên tờ giấy hai chiều thông qua một hay nhiều phép chiếu. Trong trường hợp chỉ có một phép chiếu thì thông tin sẽ bị thất thoát. Do đó, cần phải vận dụng một số qui tắc để đọc-hiểu và viết ra các sự thể hiện đó, như Bkouche đã nói: “Một tình huống không gian xuất hiện qua sự thể hiện, và sự thể hiện này biến tình huống đó thành một hình phẳng, do vậy cần có qui tắc để giải thích, qui tắc viết và qui tắc đọc…Trong điều kiện này, việc tiếp cận tình huống không gian thông qua trung gian sự thể hiện phẳng không còn dựa vào sự hiển nhiên nữa như trong trường hợp hình học phẳng... Vì thế cần hoàn chỉnh phương pháp suy luận phức tạp hơn”. Do vậy, vấn đề hình vẽ trong hình học không gian, trong quá trình dạy học bị lệ thuộc vào sự lựa chọn phương thức thể hiện đối tượng không gian. Giữa nhiều cách thể hiện phẳng đối tượng không gian thì phối cảnh song song cho phép “giữ lại” các tính chất (song song, trung điểm, quan hệ đo đạc các đoạn thẳng song song) nhiều nhất. Trong hoạt động liên hệ giữa một đối tượng hình học không gian và hình vẽ thể hiện nó có sự can thiệp của một đối tượng khác: đó là đối tượng hình học phẳng chiếu trên một mặt phẳng của đối tượng hình học không gian. Sơ đồ sau cho thấy tính chất phức tạp của các quan hệ được thiết lập trong việc mô hình hóa Hình vẽ Mô hình đối tượng hình học Đối tượng hình học phẳng Đối tượng hình học không gian Không gian vật lý Mô hình hình học Kết hợp một đối tượng HHP với một đối tượng HHKG nhờ một phép chiếu lên mặt phẳng và hình vẽ như là sự biểu diễn vật liệu của phép chiếu này. 1.4.2. Đường thẳng qua bước chuyển từ đối tượng hình học sang hình vẽ Bước chuyển từ đối tượng hình học không gian sang hình vẽ thể hiện nó được thực hiện thông qua việc thể hiện một số tính chất hình học của đối tượng thành các quan hệ không gian trên hình vẽ. Chức năng này tương đương với giai đoạn chủ thể thực hiện một hình vẽ nhằm thể hiện dữ kiện bài toán, tùy thuộc vào lĩnh vực vận hành của hình vẽ - mô hình đối tượng hình học. Tính chất hình học của hình không gian Phép chiếu Tính chất hình học của hình phẳng Tính chất không gian của hình vẽ Hai đường thẳng song song, hoặc cắt nhau của hình không gian qua phép chiếu trở thành hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau và trong không gian của hình vẽ, chúng là hai đoạn thẳng song song hoặc cắt nhau. Như vậy, nếu dừng lại ở phối cảnh ước lệ thì lĩnh vực vận hành của hình vẽ sẽ rất hạn chế. 1.4.3. Đường thẳng qua bước chuyển từ hình vẽ sang đối tượng hình học Chúng ta biết rằng hình vẽ không thể bao quát hết tình huống. Tuy nhiên, nếu sử dụng hình vẽ như mảnh đất thực nghiệm khi giải bài toán thì vấn đề giải thích các tính chất không gian như là các tính chất hình học sẽ được đặt ra. Hình không gian Đối tượng vật chất Hình vẽ Các hình phẳng Trong HHKG, phạm vi giải thích của một hình vẽ là rất hẹp và nó hoạt động theo một logic khác với logic được dùng để giải thích một hình vẽ của hình học phẳng. Thật vậy, khi xem xét các qui tắc của phép phối cảnh, chúng tôi ghi nhận: - Nếu hai đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng mà cắt nhau thì các đường thẳng không song song - Nếu hai đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng mà song song thì các đường thẳng có thể không song song. - Nếu ba điểm biểu diễn ba điểm A, B và C của không gian không thẳng hàng trên hình vẽ thì các điểm A, B và C không thẳng hàng 1.5. Một số khái niệm liên quan Đồ thức: Bản vẽ có được bằng cách gập mặt phẳng hình chiếu bằng H vào mặt phẳng hình chiếu đứng V như từ hình 10 sang 12 gọi là đồ thức hay là bản vẽ trong hệ thống V, H . Khi đó, các hình chiếu 'a và a sẽ cùng nằm trên một đường thẳng gọi là đường gióng của điểm A Hình: Theo nghĩa toán học: hình là “một tập hợp điểm”. “Việc hiểu hình theo nghĩa tập hợp còn giúp ta hiểu thêm một số khái niệm khác có liên quan đến lý thuyết tập hợp như giao của hai hình hay nhiều hình, một điểm A thuộc hình H”, …[13, tr. 5- 6] Hình hình học - Là những hình được mô tả qua các tiên đề, định nghĩa, tính chất - Các khái niệm hình học như điểm, đường thẳng là sản phẩm của sự trừu tượng hóa các đối tượng hiện thực. Các hình hình học chỉ có trong ý thức con người [18, tr. 8] Hình vẽ - Là biểu diễn phẳng của các hình hình học - Là mô hình của một đối tượn g hình học. Hình vẽ không thể phản ánh đúng những tính chất hình học vốn có đối với mọi bài toán - Là bản vẽ vật chất của các hình hình học, đối với các hình vẽ này, số đo giữ vai trò trung tâm [22, tr. 8] Theo [4, tr. 189] thì: “Với tư cách là phương tiện biểu diễn, hình vẽ là hình biểu diễn cho một đối tượng có thể dựng được của thực tế và là hình biểu diễn của những khái niệm trừu tượng” Bước chuyển từ quan điểm thực nghiệm sang quan điểm tiên đề của hình vẽ trong dạy học được thực hiện như sau: “Khi chuyển từ quan điểm thực nghiệm sang quan điểm tiên đề trong trình bày hình học, người ta đã mặc nhiên yêu cầu học sinh phải chuyển cách nhìn các hình vẽ từ cơ chế thứ nhất sang cơ chế thứ hai. Bước chuyển này không dễ dàng nhưng nó lại thường không được dự kiến trong các chương trình và sách giáo khoa” [4, tr. 189] Kiến thức hình học và kiến thức không gian Trong giảng dạy hình học, kiến thức hình học là kiến thức thuộc về toán học, nó gắn liền với các tiên đề, định nghĩa, định lí và các phép suy luận. Còn kiến thức không gian theo Berthelot và Salin, đó là: “những kiến thức mà hình học có thể mô tả, và chúng cho phép mỗi cá nhân cảm nhận và kiểm soát được hệ quả của những tác động của mình lên không gian, cũng như có được trao đổi các thông tin” [3, tr. 8] 1.6. Kết luận chương 1 Việc tiếp cận VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian qua trung gian là HHP không còn dựa vào sự hiển nhiên khi tiếp cận hình vẽ như trước nữa. Cần có một phương pháp suy luận để đọc, hiểu và thể hiện nó. Nếu chọn phép chiếu song song thì: Hai đường thẳng song song song trong không gian được thể hiện bằng hai đoạn thẳng song song trong HHP. Tuy nhiên, trong hình vẽ, hai đoạn thẳng song song thì trong không gia n, chúng có thể không song song. Ngược lại nếu hai đoạn thẳng cắt nhau trên hình vẽ thì các đường thẳng trong không gian không song song. Như vậy, tùy phương chiếu sẽ cho mô hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau: Điều này có thể giải thích tại sao khi vẽ hình biểu diễn của tứ diện có thể có một hoặc hai cặp cạnh đối diện song song. Việc dùng phép chiếu song song để biểu diễn hình không gian lên mặt phẳng có thể mang lại những sai lầm do trực giác. Yêu cầu hình biểu diễn đúng theo các tính chất của phép chiếu song song kết hợp với yêu cầu chọn hình biểu diễn trực quan. AB C D A' B' C' D' Chương 2: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG VỊ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 2.1. Mục đích của chương Mục đích chương là làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian ở trường phổ t hông. Chúng tôi chọn thể chế là chương trình, các sách hướng dẫn giảng dạy, SGK toán hiện hành. Cụ thể việc dạy học HHKG trong SGK Toán 8 và Hình học 11 nâng cao. Chúng tôi chia thành hai giai đoạn. Mỗi giai đoạn ứng với một thờ i điểm đưa đối tượng trên vào HHKG ở trường phổ thông. Trả lời những câu hỏi sau là mục đích của chúng tôi. ' 2Q : Trong chương trình, sách giáo khoa toán phổ thông Việt nam, khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng được đề cập ra sao, có những thuộc tính đặc trưng nào? Các tổ chức toán học liên quan? ' 3Q : Cách trình bày của thể chế với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân học sinh? Các qui tắc hợp đồng nào được hình thành? 2.2. Giai đoạn 1: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong Toán 8 Trong SGK 8, VTTĐ giữa hai đường thẳng được đưa vào Chương IV: Hình lăng trụ đứng – Hình chóp đều. Theo [7, tr. 108]: “Ở chương này các tác giả chỉ giới thiệu cho HS một số vật thể trong không gian thông qua các mô hình. Trên cơ sở quan sát HHCN, HS nhận biết được một số khái niệm cơ bản của HHKG: - Điểm, đường thẳng và mặt phẳng - Đoạn thẳng trong không gian, cạnh, đường chéo - Hai đường thẳng song song với nhau - Đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song…” Yêu cầu của SGV: “Khi dạy HHKG, cần phải luôn liên hệ với HHP, từ đó: so sánh, mở rộng những khái niệm, tính chất đã học trong HHP vào HHKG” [7, tr. 110] 2.2.1. Mặt phẳng và đường thẳng trong giai đoạn 1 Trên cơ sở quan sát HHCN, SGK cho HS nhận biết được một số khái niệm cơ bản của HHKG: - Điểm như là các đỉnh của hình hộp - Các cạnh như là đoạn thẳng - Mỗi mặt, chẳng hạn mặt ABCD là một phần của mặt phẳng (ta hình dung mặt phẳng trải rộng về mọi phía) AB C D A' B' C D' A B C D A' B' C' D' A B CD A' B' C'D' H. a H. b H. c - Đường thẳng qua hai điểm của mặt thì nằm trọn trong mặt phẳng đó Như vậy, theo cách trình bày của SGK thì mặt phẳng như là mặt bên, mặt đáy của hình hộp chữ nhật nên mặt có dạng hình bình hành hay hình chữ nhật. Không xét trường hợp mặt phẳng có mô hình biểu diễn là tam giác. Các đường thẳng chủ yếu nằm trên các mặt bên của hình hộp là các đường quan sát được trên hình, không thấy xuất hiện các đường thẳng của mặt chéo. 2.2.2. Hình thành khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng trong giai đoạn 1 Qua việc quan sát hình, SGK phân biệt ba vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt a, b như sau: a) Cắt nhau (H.a). Chẳng hạn 'DD và ' 'A D cắt nhau ở 'D , chúng cùng nằm trong mặt phẳng ( )' 'ADD A b) Song song (H.b). Chẳng hạn AA ' song song với DD', ký hiệu AA '/ /DD ' , chúng cùng nằm trong mặt phẳng ( )AA ' 'DD c) Không cùng nằm trong một mặt phẳng nào (H.c), chẳng hạn các đường thẳng AD và ' 'D C [6, tr. 98] Như vậy, có ba VTTĐ giữa hai đường thẳng phân biệt trong không gian được xét là cắt nhau, song song và không cùng nằm trong một mặt phẳng nào. Khi nói đến hai đường thẳng cắt nhau hay song song, SGK đã nói rõ mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó. Theo cách xác định mặt phẳng ở trên, liệu HS có cho rằng: “không cùng nằm trong một mặt phẳng nào” tức là không cùng nằm tro ng một mặt bên của hình hộp hay không? Chúng tôi không thấy có thêm câu hỏi khác để cũng cố ba vị trí tương đối trên. SGV cũng công nhận rằng hai đường thẳng chéo nhau là “một khái niệm khó, vì vậy chỉ có thể đưa ra một mô hình để học sinh quan sát” [7, tr. 113]. Không đề cập các tiên đề của HHKG, không định nghĩa hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng mà chỉ đưa ra định nghĩa hai đường thẳng song song qua hai đặc trưng đồng phẳng và không có điểm chung. “Trong không gian, hai đường thẳng a và b gọi là song song với nhau nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung” Một tính chất của nó: “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” [6, tr. 98] Đây là một tính chất đúng trong HHP cũng như trong HHKG. Khi đưa tính chất này vào chương trình, SGK không chú ý gì thêm, liệu HS có nhầm lẫn khi cho rằng có thể áp dụng những tính chất trong HHP vào HHKG? Về hai đường thẳng song song trong không gian, SGV có những lưu ý như sau: “Trong HHP, học sinh đã được làm quen với hai đường thẳng song song với hai điều kiện. Thực tiễn ở trường học cho thấy học sinh chỉ còn nhớ hoặc chú ý đến điều kiện thứ hai vì điều kiện thứ nhất được xem là hiển nhiên (cùng nằm trong mặt phẳng) …Khái niệm hai đường thẳng song song trong không gian hoàn toàn giống như khái niệm hai đường thẳng song song trong hình phẳng (thực chất là hình phẳng), tuy nhiên trong không gian, khi đề cập đến hai đường thẳng song song phải căn cứ vào hai tính chất đặt thù của nó: bỏ sót tính chất thứ nhất (cùng nằm trong một mặt phẳng) sẽ dẫn đến khái niệm hai đường thẳng chéo nhau…” [7, tr. 113] Liệu có thể giải thích chướng ngại HS mắc phải trên là do sự trình bày kiến thức của thể chế được không? Khi đưa ra một khái niệm mới hay một tính chất, SGK đều có ví dụ và giải thích cụ thể. Trình tự kiến thức mà HS được học là: Quan sát hình  nhận xét tính chất hình  khái niệm mới  củng cố 2.2.3. Các tổ chức toán học liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng Các bài tập SGK, SBT đưa ra đều sử dụng mô hình là hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ. Không có bài tập yêu cầu chứng minh tính chất, yêu cầu vẽ hình. “Chương trình không yêu cầu HS biểu diễn hình không gian nhưng việc qua sát hình, việc “đọc” hình là cần thiết” [7, tr. 109] Chúng tôi đ ã thống kê những kiểu nhiệm vụ có trong SGK và SBT như sau 1T : Tìm hai đường thẳng song song 2T : Tìm hai đường thẳng cắt nhau 3T : Tìm hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng. 4T : Tìm đường thẳng song song với mặt phẳng 5T : Tìm hai mặt phẳng song song 6T : Vẽ thêm các cạnh để được một hình hoàn chỉnh Thống kê số lượng nhiệm vụ của ba kiểu nhiệm vụ được nêu trong Bảng 2.1 KNV 1T 2T 3T 4T 5T 6T SGK 9 0 0 8 2 3 SBT 1 5 5 3 2 0 A1 B1 C1 D1 A B C D A B CD A1 D1 C1 B1 TC 20 15 3 Bảng 2.1 Như vậy, nhiệm vụ tìm hai đường thẳng song song và hai mặt phẳng song song chiếm số lượng lớn trong SGK. Kỹ thuật chung đối với hai dạng bài tập này là quan sát hình vẽ để nhận ra quan hệ giữa các đối tượng. HS chưa được học các “dấu hiệu nhận biết” để áp dụng vào chứng minh như trong HHP. Các dạng bài tập trên có thể quy về loại bài tập nhận dạng hình và đọc hình. Hai nhiệm vụ tìm đường thẳng cắt nhau và không cùng nằm trong một mặt phẳng không được nói đến trong SGK nhưng lại được đề cập nhiều trong SBT. Liệu những kiến thức SGK cung cấp có đủ cho HS giải được những bài tập này không? PHÂN TÍCH CHI TIẾT Kiểu nhiệm vụ 1T : Tìm hai đường thẳng song song Kỹ thuật: Quan sát hình vẽ để xác định cặp cạnh cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung Công nghệ: Định nghĩa hai đường thẳng song song trong không gian và tính chất: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Bài 6/SGK/Tr.100: 1 1 1 1.ABCD A B C D là một hình lập phương (h.81). Quan sát hình và._. cho biết a. Những cạnh nào song song với cạnh 1C C b. Những cạnh nào song song với cạnh 1 1A D Lời giải mong đợi: a. 1 1 1AA ; ; DDBB b. 1 1; ; DBC B C A Nhận xét 1T : Đây là dạng bài tập nhận dạng và đọc hình đơn giản, kỹ thuật không được nêu trong SGK. HS không được đối diện với kiểu bài tập nhận dạng hai đường thẳng song song trong không gian thực. Như vậy việc vận dụng kiến thức đã học vào việc nhận dạng hai đường thẳng song song trong không gian không thuộc về trách nhiệm của HS. Kiểu nhiệm vụ 2T : Tìm hai đường thẳng cắt nhau Kỹ thuật: Quan sát hai đường có cùng nằm trên một mặt phẳng và có điểm chung hay không Công nghệ: Khái niệm hai đường thẳng cắt nhau Bài 10/SBT/Tr.107: 1 1 1 1.ABCD A B C D là một hình lập phương a. Khi nối A với 1C và B với 1D thì hai đường thẳng 1AC và 1BD có cắt nhau hay không? b. 1AC và 1AC có cắt nhau hay không? c. Câu hỏi tương tự như câu b) với 1BD và 1A A A B CD A1 D1 C1 B1 A B CD A1 D1 C1 B1 Nhận xét: Bài tập không yêu cầu chứng minh hai đường thẳng cắt nhau mà dưới dạng câu hỏi mở: “có, không”. Không yêu cầu giải thích câu trả lời. Lời giải mong đợi a. Bốn điểm 1 1, , ,A B C D thuộc một mặt phẳng. Dễ thấy 1 1ABC D là một hình bình hành có 1 1,AC BD là hai đường chéo nên chúng cắt nhau. b. Tương tự câu a) 1 1,AC AC là hai đường chéo của hình chữ nhật 1 1AC C A nên chúng cắt nhau c. Không cắt nhau Nhận xét 2T : Kỹ thuật và nhiệm vụ không được xây dựng trong SGK. Tình huống đưa ra có sự xuất hiện mặt phẳng như là mặt chéo, đường thẳng là đường chéo của hình hộp, điều này không được nói đến trong SGK. Các đường thẳng cắt nhau được giải thích là đường chéo của hình bình hành, hình chữ nhật. Lý do hai đường thẳng không cắt nhau (ở đây là chéo nhau) lại không được giải thích. Như vậy, HS không có trách nhiệm giải thích về sự không cắt nhau của hai đường thẳng. Kiểu nhiệm vụ 3T : Tìm hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng Kỹ thuật: Quan sát hình vẽ để nhận ra các đường không cùng nằm trong một mặt phẳng và thỏa yêu cầu bài toán Công nghệ: Khái niệm hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng Bài 21/SBT/Tr.109: Tìm trên hình hộp chữ nhật 1 1 1 1.ABCD A B C D một ví dụ cụ thể để chứng tỏ mệnh đề sau là sai: hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Nhận xét: Bài tập xét mối quan hệ giữa tính song song và vuông góc trong không gian. Nắm được tính chất hình hộp chữ nhật để suy ra bất kỳ hai cạnh nào của hình hộp hoặc là song song hoặc vuông góc. Có thể tìm một đường thẳng bất kỳ, sau đó tìm hai đường thẳng còn lại vuông góc với đường thẳng đó và không song song với nhau. Lời giải mong đợi: 1A A AB⊥ và 1A A AD⊥ nhưng AB và AD không song song với nhau. Mệnh đề sai. Bài 7/ SBT /Tr.106: Tìm trên hình hộp chữ nhật 1 1 1 1.ABCD A B C D một ví dụ cụ thể để chứng tỏ mệnh đề sau đây là sai: a. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng cắt đường thẳng kia. b. Hai đường thẳng song song khi chúng không có điểm chung. Nhận xét: Đây là hai tính chất trong HHP mà không đúng trong HHKG. Bài tập xét mối quan hệ giữa tính song song và có điểm chung của hai đường thẳng. Lời giải mong đợi a. Chẳng hạn AB//CD và 1BB cắt AB nhưng nó không cắt CD. Mệnh đề a) sai b. Chẳng hạn hai đường thẳng DC và 1BB không có điểm chung nhưng chúng không song song với nhau. Mệnh đề b) sai. Nhận xét 3T : Kiểu nhiệm vụ tìm hai đường thẳng không đồng phẳng không được nêu trong SGK. SBT thể hiện qua yêu cầu tìm phản ví dụ để minh họa cho những tính chất đúng trong HHP mà không đúng trong HHKG. Lý do đ ưa nhiệm vụ 3t là thỏa đáng vì nó đáp ứng yêu cầu của SGV cũng như kiến thức của HS sau này. Nhiệm vụ cho thấy có sự so sánh mở rộng khi học HHKG liên hệ với HHP. Tên của nhiệm vụ không được nêu một cách tường minh và kỹ thuật cũng không được trình bày. Các mệnh đề SBT đưa ra đều rất quen thuộc đối với HS, là ba mệnh đề đúng trong HHP. Đó là: - Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì chúng cũng cắt đường thẳng còn lại. - Hai đường thẳng song song nếu chúng không có điểm chung - Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song Bài tập này minh họa cho một lưu ý của SGV: “Cần tránh xu hướng sai lệch: tất cả các định lý đã học về đường thẳng song song trong hình phẳng đều đúng trong không gian” [6, tr. 113]. Nhận xét ba kiểu nhiệm vụ đầu: Qua việc phân tích bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T, chúng tôi thấy các bài tập trong SBT có sự đa dạng trong cách xác định đường và mặt, yêu cầu cao về mức độ vận dụng. Chúng bước đầu tạo ra sự khác biệt về kiến thức giữa HHKG và HHP. Kiểu nhiệm vụ T đã thể hiện đầy đủ ba VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian. Việc tìm hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng không được đề cập trong SGK nhưng có trong SBT qua việc yêu cầu HS chỉ ra một số quan hệ trên hình vẽ mà mà các đường thẳng không đồng phẳng phản ánh. Kiểu nhiệm vụ 4T : Tìm đường thẳng song song với mặt phẳng Kỹ thuật: Tìm một đường thẳng nằm trong mặt phẳng và song song với đường thẳng đề bài cho A B CD E F GH P a b p q Công nghệ: Khái niệm đường thẳng song song với mặt phẳng Bài 17/SGK/Tr.105: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. EFGH a. Kể tên các đường thẳng song song với mp(EFGH). b. Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng nào? c. Đường thẳng AD song song với những đường thẳng nào Lời giải mong đợi a. AB; CD; AD; BC b. (EFGH); (CDHG) c. (BCGH); (EFGH) Chúng tôi còn thấy bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này dưới dạng quan sát mô hình Bài 8/SGK/Tr.100: Hình 82 vẽ một phòng ở. Quan sát hình và giải thích vì sao: a) Đường thẳng b song song với mp(P)? b) Đường thẳng p song song với sàn nhà? Nhận xét: Bài tập xuất hiện mô hình thực tế có dạng hình hộp, kèm theo yêu cầu giải thích sự song song. Lời giải mong đợi a. b//a, b không thuộc (P) nên b//(P) b. p//q, p không thuộc sàn nhà nên p song song sàn nhà Nhận xét 4T : Nhiệm vụ được nêu rõ, còn dưới tên gọi tìm đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung. Kỹ thuật không được xây dựng trong SGK. HS trả lời dựa vào cảm nhận trực giác. Tình huống trong '1t có thêm tính thực tiễn, không gian tiếp xúc là mô hình sàn nhà trên mặt phẳng trang giấy nên thể hiện tính chất hình học và tính chất không gian của hình vẽ. Trong khi SBT có đề cập đến mặt chéo của hình lập phương. Hơn nữa, SBT thừa nhận mặt phẳng qua ba điểm. Kiểu nhiệm vụ 5T : Tìm hai mặt phẳng song song Kỹ thuật: Tìm hai đường thẳng cắt nhau thuộc một mặt phẳng và song song với mặt phẳng còn lại hoặc tìm hai mặt phẳng không có điểm chung. Công nghệ: Khái niệm hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng Bài 8/SBT/Tr.106: Quan sát hình hộp chữ nhật A B CD E F GH a) Các cặp mặt phẳng nào song song với nhau? b) Các điểm D, H, G và C có cùng thuộc một mặt phẳng hay không? c) Các điểm D, H, G và F có cùng thuộc một mặt phẳng hay không? d) Câu hỏi tương tự như câu b), c) đối với các điểm A, B, G và H. Lời giải mong đợi a. mp(ABCD) và mp(EFGH), mp(FGCB) và mp(EHDA), mp(HGCD) và mp(EFBA) b. Có cùng thuộc mp(DHGC) c. Không d. Có cùng thuộc mp(ABGH) Nhận xét 5T : Tình huống đưa ra đơn giản, HS quan sát hình và trả lời bằ ng sự quan sát được mà không giải thích lý do có sự song song này. Không xuất hiện tình huống thực tế. Bài tập còn yêu cầu xét tính đồng phẳng của bốn điểm Nhận xét kiểu nhiệm vụ 4 5,T T : Đây là kiểu nhiệm vụ chiếm số lượng lớn trong ba kiểu nhiệm vụ. Nhấn mạnh việc tìm được thẳng song song với mặt phẳng và hai mặt phẳng song song mà không yêu cầu giải thích cho sự song song này. Kiểu nhiệm vụ 6T : Vẽ thêm các cạnh để được một hình hoàn chỉnh. Kỹ thuật: quan sát hình mẫu, dùng thước thẳng và bút kẻ thêm các đường thẳng song song qua các điểm cho trước để tạo một hình hoàn chỉnh như ban đầu. Công nghệ: khái niệm hai đường thẳng song song, tính chất mô hình mẫu của hình cho sẵn. D E Fc) B C e) B H D d) E FH A B G D a) F C G b) Bài 20/SGK/Tr.108: Vẽ lại các hình sau vào vở rồi vẽ thêm các cạnh vào các hình 97b, c, d, e để có một hình hộp hoàn chỉnh. Nhận xét: Quan sát kỹ hình vẽ ta sẽ nhận thấy mức độ khó tăng dần theo thứ tự ở các hình b), c), d), e). Thông thường HS có thói quen vẽ các đường thẳng song song ở dạng nằm ngang (hình.b), sau đó thẳng đứng (hình.c), các đường thẳng song song nằm “xiên” (hình.d, e) thường khó hơn. Theo như SGV, các hình này dành cho HS khá giỏi. Kỹ thuật giải quyết dựa vào kiến thức hình học và kiến thức không gian. Nhận xét 6T : Cho trước một hình hoàn chỉnh (hình hộp, hình lăng trụ,…) kèm theo các mô hình của nó (thiếu các cạnh, đỉnh) và được đặt dưới các góc nhìn khác nhau. HS có trách nhiệm vẽ thêm các cạnh để được hình vẽ ban đầu. Các đường vẽ thêm phải đảm bảo nét liền, nét đứt theo góc nhìn. Kiểu nhiệm vụ ''T nhằm kiểm tra khả năng vẽ đường thẳng qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước. Toàn bộ hình mẫu không được vẽ trên giấy kẻ ô vuông. 2.2.4. Nhận xét về VTTĐ giữa hai đường thẳng trong giai đoạn 1 Tóm lại, mục tiêu của chương là lấy mô hình hình hộp chữ nhật để bước đầu hình thành khái niệm cho HS (con đường mô tả). Khái niệm hai đường thẳng chéo nhau chưa thấy xuất hiện trong SGK (nhưng có xuất hiện ở SGV) mà ẩn dưới tên gọi hai đường thẳng “không cùng nằm trong một mặt phẳng nào”. SGK không trình bày các tiên đề, chỉ đưa định nghĩa hai đường thẳng song song mà không định nghĩa hai đường thẳng cắt nhau hay không cùng nằm trong một mặt phẳng. Liệu “hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào” có thể dẫn đến cách hiểu hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nhìn thấy trên hình không? Yêu cầu kiến thức chỉ dừng lại ở việc nhận biết VTTĐ giữa các đối tượng trên hình vẽ cho sẵn. Trình bày lý thuyết bằng con đường mô tả, chú trọng quan sát. HS ghi nhận những kiến thức có được qua việc quan sát hình vẽ. Không xuất hiện bài tập tìm hai đường thẳng không nằm trên một mặt phẳng trong SGK, khái niệm này được trình bày một cách mờ nhạt. Mặt phẳng được cho sẵn như là mặt bên hoặc mặt đáy của hình hộp, tức có dạng hình bình hành hoặc hình chữ nhật, không thấy xuất hiện mặt chéo (chỉ có trong SBT). Không trình bày cách xác định mặt phẳng. SGK không đưa ra bài tập để phát hiện sai lầm của học sinh khi áp dụng quan hệ song song trong HHP vào HHKG. HS không có trách nhiệm chứng minh hai đường thẳng không đồng phẳng , chứng minh sự song song của đường và mặt. SBT đã liên hệ với HHP qua việc nêu những tính chất đúng trong HHP mà không đúng trong HHKG. Không yêu cầu chứng minh nhưng qua các ví dụ cho HS phát hiện cũng đã góp phần cũng cố kiến thức và thấy được sự khác nhau giữa hai mảng hình học.. 2.3. Giai đoạn 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong Toán 11 NC 2.3.1. Yêu cầu của chương trình - Về kiến thức + Biết được khái niệm hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau + Biết (có chứng minh) định lý: nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song mà cắt nhau thì giao tuyến của chúng sẽ song song (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó) - Về kỹ năng + Xác định được VTTĐ của hai đường thẳng + Biết cách chứng minh hai đường thẳng song song + Biết áp dụng định lý trên để xác định giao tuyến hai mặt phẳng trong một số trường hợp đơn giản. Thay thế việc tìm vị trí tương đối giữa hai đường thẳng dự a vào trực giác bằng việc chứng minh VTTĐ giữa chúng. “…tư duy trực quan sẽ không đóng vai trò quan trọng như trước thay vào đó là tư duy logic kết hợp với trí tưởng tượng không gian” [8, tr. 94]. - Vị trí VTTĐ giữa hai đường thẳng được trình bày ở bài 2: Hai đường thẳng song song, của chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Theo phân phối chương trình, chương này gồm 16 tiết. 2.3.2. Phương pháp Về cơ bản thì chương trình HHKG 11 “bước đầu cho học sinh làm quen với phương pháp tiên đề” [10, tr. 40]. Năm tính chất thừa nhận và ba cách xác định mặt phẳng làm cơ sở cho các su y luận, chứng minh các định lý hay xét VTTĐ giữa các đường thẳng…Tính chất 1 và 4 liên quan trực tiếp đến đường thẳng. Cụ thể: Tính chất thừa nhận Ý nghĩa 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước Đã có trong HHP, ở đây nhấn mạnh đối với việc xác định một đường thẳng trong không gian 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Giới thiệu đối tượng mới: mặt phẳng và sự xác định duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng 3. Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng Khẳng định số chiều của không gian phải lớn hơn 2 (chứng minh sự tồn tại của hình tứ diện - bốn điểm không đồng phẳng) 4. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Sự xác định tính duy nhất của giao tuyến hai mặt phẳng 5. Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng Trong mỗi mặt phẳng được sử dụng kiến thức đã biết của hình học phẳng Bảng 2.2 Ba cách xác định tính duy nhất của mặt phẳng là: - Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng - Mặt phẳng qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó - Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt nhau. Liệu HS có chú ý đến tính duy nhất của mặt phẳng xác định bởi các điều kiện trên khi xem xét những bài toán liên quan đến sự đồng phẳng của đường và điểm sau này không? HS có biết vận dụng các tiên đề này trong các lời giải khi cần thiết? 2.3.3. Hình thành khái niệm về hai đường thẳng chéo nhau, song song và cắt nhau trong SGK Hình học 11 nâng cao SGK hình thành khái niệm các VTTĐ giữ a hai đường thẳng phân biệt bằng con đường quy nạp. Xuất phát từ một hình ảnh thực tế: mô hình của chiếc bàn bốn chân, từ đó trừu tượng hóa, khái quát hóa đưa ra dấu hiệu đặc trưng và đi đến định nghĩa khái niệm. Cụ thể: Bước 1: Hình thành biểu tượng bằng cách cho HS quan sát hình vẽ, sau đó phát hiện một số thuộc tính bản chất của khái niệm rồi phát thảo định nghĩa khái niệm: a. Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b. Khi đó ta nói rằng hai đường thẳng a và b chéo nhau (hình 49) b. Có mặt phẳng chứa cả a và b. Khi đó ta nói rằng chúng đồng phẳng. Trong trường hợp này, theo kết quả của HHP, có hai khả năng xảy ra: i. a và b không có điểm chung. Khi đó ta nói rằng chúng song song với nhau (hoặc chúng song song). Ký hiệu a//b (hình 50) ii. a và b có m ột điểm chung duy nhất. Khi đó ta nói rằng chúng cắt nhau iii. (hình 51)” [18, tr. 52]. abI Hình 49 Hình 50 Hình 51 a b a b Bước 2: Trình bày định nghĩa chính thức Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng n ằm trong một mặt phẳng Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng Hai đư ờng thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung Như vậy, SGK không đi theo cách xây dựng khái niệm như ở chương một. Từ mô hình thực tế để khái quát định nghĩa, liệu HS có nắm hết nghĩa của các khái niệm khô ng? Hai đường thẳng “đồng phẳng” được định nghĩa qua khái niệm “cùng nằm trong một mặt phẳng”. Theo cách phát biểu này thì “không đồng phẳng” = “không cùng nằm trong một mặt phẳng” tuy nhiên trong định nghĩa phải hiểu chúng là “không cùng nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào”. Như vậy, chúng có gây sự nhọc nhằn trong cách hiểu các khái niệm của HS hay không? So sánh với cách trình bày trước về VTTĐ giữa hai đường thẳng: - Chúng nằm trên một mặt phẳng và cắt nhau - Chúng nằm trên một mặt phẳng và song song - Chúng chéo nhau, nghĩa là chúng không nằm trên cùng một mặt phẳng Trong cách trình bày này, ta th ấy chỉ xuất hiện thêm khái niệm “chéo nhau”. Khái niệm song song và cắt nhau luôn đi kèm với đặc trưng “nằm trên một mặt phẳng” Với hình vẽ 49 và định nghĩa của SGK, HS có hiểu hai đường thẳng không đồng phẳng có là hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng không? Mặt phẳng này có phải chỉ là các mặt phẳng nhìn thấy trên hình như hình bình hành, tam giác, tứ giác? Liệu HS có tính đến cách xác định tính duy nhất của mặt phẳng đã học trước? Định nghĩa cho ta thêm một cách xác định mặt phẳng. Đó là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song. Từ cách trình bày, ta thấy đặc trưng đầu tiên khi xét VTTĐ giữa hai đường thẳng là xét yếu tố đồng phẳng của chúng. Sau đó tính đến đặc trưng có điểm chung hay không. Không có câu hỏi yêu cầu học sinh phân biệt ba VTTĐ trên, trách nhiệm này thuộc về GV “GV cần làm rõ những tính chất giống nhau và tính chất khác nhau của hai đường thẳng song song và hai đường thẳng chéo nhau”. [12, tr. 48]. SGK không đưa ra d ấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau. Từ hình vẽ ta có thể rút ra cách chứng minh hai đường thẳng chéo nhau như đã nói ở phần đầu chương. Rõ ràng, nếu dùng định nghĩa làm công cụ để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau là điều không thể vì ta không kiểm tra được tất cả mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó. Bước 3: Hoạt động củng cố SGK đã tiến hành hai hoạt động nhận dạng và cũng cố khái niệm như sau: Hoạt động 1: nhận dạng khái niệm Hoạt động 2: củng cố khái niệm Cho tứ diện ABCD. Hãy xét VTTĐ của hai đường thẳng AB và CD. Lời giải của SGV AB, CD chéo nhau. Giả sử AB, CD không chéo nhau, khi đó tồn tại mặt phẳng chứa cả AB, CD. Suy ra, A, B, C, D thuộc một mặt phẳng, mâu thuẫn với giả thiết ABCD là tứ diện. Vậy AB, CD chéo nhau. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có hay không hai đư ờng thẳng p, q song song với nhau, mỗi đường đều cắt cả a và b. Lời giải của SGV Giả sử tồn tại hai đường p, q song song với nhau và đều cắt a, b tương ứng tại A, B, C, D như hình vẽ. Vì p//q nên tồn tai mặt phẳng (p, q) chứa hai đường thẳng này . Suy ra A, B, C, D thuộc mp(p, q). Mặt khác A, D thuộc a nên a thuộc mp (p, q); B, C thu ộc b nên b thuộc mp(p, q). Từ đó suy ra a, b đồng phẳng, mâu thuẫn với giả thiết a, b chéo nhau. Nhận xét: Hoạt động 1 yêu cầu xét VTTĐ của hai đường thẳng cho dưới dạng hai điểm là AB, CD. Hoạt động 2 cho đường thẳng dưới dạng chữ cái a, b,…Kiến thức sử dụng là tính chất thừa nhận 1 và định nghĩa hai đường thẳng song song. Điểm chung của hai chứng minh là sử dụng phương pháp phản chứng. Điều này không được giải thích bởi SGK, SGV. Một qui tắc hợp đồng ngầm ẩn được hình thành: phương pháp phản chứng có thể được sử dụng thường xuyên trong các chứng minh của HHKG. Thực tế, HS có thể vẽ tứ diện với AB không có điểm chung với CD nên xem chúng song song nhau. Hoạt động này còn đánh vào một sai lầm của HS là: xem bất kỳ bốn điểm phân biệt nào cũng A B C D a b p q A B D C xác định được một mặt phẳng (nó giống như bốn đỉnh của một tứ giác mà các em đã học trước đây). Như vậy là: khi xét VTTĐ của hai đường thẳng, nên quan tâm đến việc hai đường thẳng có đồng phẳng hay không chứ không nên dựa vào điểm chung nhìn thấy trên hình vẽ mà kết luận. Bởi vì những quan hệ nhìn thấy trên hình có thể không phản ánh đúng tính chất hình học của nó. Thêm nữa, hoạt động 2 cho biết không phải lúc nào cũng có thể tìm được hai đường thẳng song song với nhau trong không gian mặc dù ta cũng vẽ được chúng trên mặt phẳng nhưng thực tế không tồn tại hình như vậy. Tài liệu [10, tr. 74] đưa ra dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau bởi định lý: “Nếu đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) tại điểm A thì mọi đường thẳng nằm trên (P) nhưng không qua A thì chéo với a” hay [1, tr. 34, 35]: “a và b chéo nhau⇔ b cắt mp (P) chứa a tại một điểm không thuộc a” Ta có thể dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau trên để chứng minh cho hoạt động 1. Đó là: đường thẳng AB không chứa trong mp(BCD) và cắt mặt phẳng này tại một điểm B không thuộc CD nên AB, CD chéo nhau. Khi đó, chúng tôi ngh ĩ rằng hình vẽ có được sẽ không là chướng ngại cho việc chứng minh. Cũng có thể chứng minh trực tiếp bằng định nghĩa: ABCD là tứ diện nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Suy ra AB, CD không đồng phẳng nên chúng chéo nhau. SGK đã cung cấp các dấu hiệu để chứng minh hai đường thẳng song song và dựng giao tuyến của hai mặt phẳng trong trường hợp đơn giản. SGK đưa thêm các câu hỏi để cũng cố khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng xoay quanh các mối quan hệ song song, cắt nhau, chéo nhau với tính có điểm chung của chúng. Cụ thể: Bài 17/55. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây a. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung b. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau c. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau d. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau Bài 23/ 59. Cho hai đường thẳng a và b cùng song song với mp(P). Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây: a. a và b song song với nhau b. a và b chéo nhau c. a và b có thể cắt nhau d. a và b trùng nhau e. Các mệnh đề a), b), c), d) đều sai 2.3.4. Vấn đề biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng và việc đọc hình biểu diễn trong SGK [12, tr. 62] đưa ra bốn hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau nhưng không có giải thích gì thêm: Trong bốn hình vẽ thì có ba hình cho hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau hoặc song song quan sát được trên hình. Một hình vẽ cho đường thẳng không nằm trong mặt phẳng chứa đường còn lại. Như vậy, liệu HS có thể hiểu hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng hay nằm trong hai mặt phẳng phân biệt không? [12] cũng phân biệt các bài toán trên hình biểu diễn và các bài toán dựng hình (xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện,…). Dựng hình cần phải dựa vào các tính chất hình học của nó, phải đúng và chính xác. Còn khi biểu diễn hình nên chọn thế nào cho thuận tiện và tốt nhất, tức mang tính trực quan cao bằng cách lựa chọn những phương chiếu thích hợp. Qui tắc vẽ hai đường thẳng song song và cắt nhau :“hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau)” [18, tr. 42]. [18] đưa ra tính chất “hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau” và qui tắc biểu diễn: “Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng nằm trên hai đoạn thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì chẳng những được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau), mà tỉ số của hai đoạn thẳng này phải bằng tỉ số của hai đoạn thẳng tương ứng trên hình H”. Chúng tôi không th ấy chương tr ình đề cập cách đọc hình vẽ từ hình biểu diễn của nó. 2.3.5. Các tổ chức toán học liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng Chúng tôi thống kê được các tổ chức toán học có trong SGK lẫn SBT qua bảng 2.3 KNV Nhóm T gồm các kiểu nhiệm vụ liên quan trực tiếp đến VTTĐ giữa hai đường thẳng SGK SBT 1T Xét VTTĐ của hai đường thẳng 4 0 2T Chứng minh hai đường thẳng song song 7 6 3T Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau 0 8 a b a b a b a b 4T Chứng minh đường (hoặc điểm) đồng phẳng 4 6 TỔNG CỘNG 15 20 KNV Nhóm T’ gồm các kiểu nhiệm vụ sử dụng kiến thức VTTĐ giữa hai đường thẳng để giải quyết ' 1T Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 10 6 ' 2T Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 7 5 ' 3T Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 6 9 ' 4T Chứng minh hai mặt phẳng song song 3 5 ' 5T Chứng minh ba hay nhiều đường thẳng đồng qui 3 5 ' 6T Dựng thiết diện của một hình khi cắt bởi một mặt phẳng 9 25 ' 7T Chứng minh ba điểm thẳng hàng 2 5 TỔNG CỘNG 40 60 Bảng 2.3 Bảng 2.4 thống kê số lượng bài tập của hai nhóm kiểu nhiệm vụ T 'T SGK 15 ( )27,3% 20 ( )25% SBT 40 ( )72,7 % 60 ( )75% TỔNG CỘNG 55 ( )100% 80 ( )100% Bảng 2.4 Như vậy, các bài tập liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng chiếm số lượng lớn. Ở nhóm kiểu nhiệm vụ 'T thì ' ' '1 2 3, ,T T T và '6T chiếm số lượng cao và có thể xem như dạng bài tập dựng điểm và đường trong không gian. Nhấn mạnh việc chứng minh hai đường thẳng song song vì nó liên quan đến các kiểu nhiệm vụ chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng, hai mặt phẳng song song và dựng thiết diện của một hình. PHÂN TÍCH CHI TIẾT 1T : Xét VTTĐ giữa hai đường thẳng a và b Kỹ thuật τ Công nghệ θ - Nếu hai đường thẳng không đồng phẳng, dùng kỹ thuật 1 2,τ τ - Nếu hai đường thẳng đồng - Tính chất thừa nhận 1, định nghĩa tứ diện, phẳng, dùng các kỹ thuật còn lại 1τ : Chứng minh phản chứng Giả sử hai đường thẳng đã cho cùng nằm trong một mặt phẳng rồi rút ra mâu thuẫn 2τ : Chứng minh b cắt mặt phẳng chứa a tại một điểm I không thuộc a. định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau - Định lý: “Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó” - Các quy tắc phản chứng ( ) ( ) ; ; A B B B A B A B B A B B A ⇒∧ ⇒ ⇒ ∧ ⇒ ⇒ 3 4,τ τ : Áp dụng cho hai đường thẳng a, b cắt nhau - 3τ : Chứng minh hai đường thẳng cùng nằm t rong một mặt phẳng và có điểm chung duy nhất - 4τ : Chứng minh phản chứng. Giả sử a và b không cắt nhau, suy ra a//b. Lập luận rồi suy ra điều mâu thuẫn. - Định nghĩa hai đường thẳng cắt nhau - Quy tắc phản chứng ở trên Áp dụng ch o chứng minh hai đường thẳng a, b song song 5τ : Chứng minh a, b đồng phẳng và sử dụng các phương pháp đã biết trong HHP như - Chứng minh a (hoặc b) chia hai cạnh tam giác những đoạn thẳng tỉ lệ - Chứng minh a, b là hai cạnh một hình bình hành, hình thang,… - Chứng minh a là đường trung bình của tam giác, hình thang 6τ :Chứng minh hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba 7τ : Chứng minh b là giao tuyến của 3θ : Định lý Talet đảo, tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang - Tính chất hình bình hành Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song / / / / / / a c a b b c  ⇒  Định lý 2: Nếu đường thẳng a song song với mp(Q) thì mọi mp(P) chứa a mà cắt(P) BC D M N P Q A mp(P) chứa a vớ i mp(Q) song song với a 8τ : Chứng minh b là giao tuyến của hai mặt phẳng song song với a 9τ : Chứng minh a, b là giao tuyến của mp(R) với hai mặt phẳng song song (P), (Q) 10τ : Giả sử a cắt b tại một điểm A rồi suy ra điều mâu thuẫn (phương pháp phản chứng) thì cắt theo giao tuyến song song với a. ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / a Q a P a b P Q b   ⊂ ⇒  ∩ = Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó) ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / / / P Q b P a a b Q a ∩ =  ⇒   Tính chất 2: Nếu hai mp(P), (Q) song song thì mọi (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / P Q R P a a b Q Q b   ∩ = ⇒  ∩ = Ví dụ: Bài 18/Tr.55/SGK: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB; P, Q là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MQ, NP và vị trí tương đối của hai đường thẳng MP, NQ Nhận xét: SGK không yêu cầu dùng phản chứng để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau. Dựa vào cách chứng minh ở hoạt động 1 và sử dụng quan hệ giữa đường và mặt, điểm và đường. Từ đường thẳng đồng phẳng suy ra điểm đồng phẳng. Lời giải mong đợi: Hai đường thẳng MP, NQ chéo nhau. Thật vậy, giả sử chúng không chéo nhau, tức chúng cùng thuộc một mp ( )α nào đó. Vậy M, N, P, Q cùng thuộc mp ( )α và do đó A, B, C, D cũng thuộc mp ( )α . Điều này mâu thuẫn với giả thiết ABCD là tứ diện. Chứng minh tương tự hai đường thẳng MP và NQ cũng chéo nhau. bc Q P R P R a b c Câu hỏi 2/Tr.53/SGK: Giả sử ( ) ( ) ( ), ,P Q R là ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c trong đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,a P R b Q R c P Q= ∩ = ∩ = ∩ Có những vị trí tương đối nào giữa hai giao tuyến a và b. Nhận xét: Câu hỏi cho dưới dạng mở. Với kiểu nhiệm vụ xét VTTĐ giữa hai đường thẳng này, phải khái quát các khả năng có thể dựa vào giả thiết của bài toán như có điểm chung hay không có điểm chung, có đồng phẳng hay không đồng phẳng. Lời giải mong đợi: a và b cắt nhau hoặc song song với nhau (vì a, b phân biệt đồng thời cùng nằm trên mp(R)). Nhận xét về kiểu nhiệm vụ 1T : Kiểu nhiệm vụ được nêu rõ trong đề bài. Kỹ thuật không được xây dựng. SGK đưa ra 4 trường hợp xét VTTĐ của hai đường thẳng thì có đến ba trường hợp hai đường thẳng chéo nhau, một trường hợp hai đường thẳng có thể song song hoặc cắt nhau. Trong ba trường hợp chéo nhau, các đường thẳng đều được cho dưới dạng hai chữ cái như AB, MN,…Hình vẽ đều là hình tứ diện, chóp tứ giác, đường thẳng là cạnh hay đường nối hai điểm trên cạnh. Cả hai sách đều sử dụng phương pháp phản chứng, chuyển đường thẳng đồng phẳng về bốn điểm đồng phẳng rồi suy ra điều mâu thuẫn. Với các trường hợp chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ở trên, ta đều có thể chứng minh dễ dàng bằng 2τ . Từ 1T có thể hình thành cho HS một quy t ắc hợp đồng: “sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau”. Có trường hợp học sinh phải xét VTTĐ của hai đường thẳng cho dưới dạng a, b,…(một trường hợp trong ba trường hợp trên). Trường hợp này cần dựa vào định nghĩa khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng để xét các trường hợp có thể của chúng. 2T : Chứng minh hai đường thẳng song song Kỹ thuật và công nghệ: Kỹ thuật như 4 5,τ τ và công nghệ của 1T ở trên Bài 4 Tr.78/SGK: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm M, N lần lượt thuộc các đường chéo AC, BF sao cho 2 ; 2MC AM NF BN= = . Qua M, N kẻ các đường thẳng song song với AB cắt các cạnh AD, AF lần lượt tại 1 1,M N .Chứng minh rằng: / /MN DE F E BA CD N O MM1 N1 Nhận xét: Với giả thiết có các đường thẳng song song và tỉ lệ nên có thể đưa về trường hợp chứng minh hai đường t._.ào bài 18 trang 55/SGK: “Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB; P, Q là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MQ, NP và vị trí tương đối của MP, NQ”. Chuyển hai cạnh bên của tứ diện thành hai đường thẳng chéo nhau a, b để lúc đầu không xuất hiện mặt phẳng nhìn thấy trên hình. Các đường thẳng xét VTTĐ có “điểm chung” trên hình. 3.3.1. Các biến didactic V1: Cho trước hay không cho trước hình vẽ Mỗi bài toán chúng tôi đều cho các hình vẽ minh họa. Nó chỉ là một trong các trường hợp xảy ra của bài toán để làm điểm tựa trực giác cho việc tìm tòi lời giải. Nếu chỉ căn cứ vào hình vẽ mà không chú ý đến giả thiết của đề bài sẽ dẫn đến hiện tượng bỏ sót các trường hợp khác. Do đó, biến này có các giá trị: V1.1: Cho trước hình vẽ V1.2: Không cho trước hình vẽ V2: Có điểm chung hay không có điểm chung trên hình Chúng tôi muốn nói đến yếu tố trực quan của hình vẽ. Nếu chỉ căn cứ vào yếu tố điểm chung “thấy được” trên hình vẽ để kết luận hai đường thẳng cắt nhau là không đúng với tư duy của HHKG. Biến này ảnh hưởng đến chiến lược quan sát hình vẽ nên câu trả lời do trực giác mang lại. Biến có hai giá trị: V2.1: Hai đường thẳng có điểm chung trên hình V2.2: Hai đường thẳng không có điểm chung trên hình V3: Hình thức biểu diễn của hai đường thẳng Hình thức biểu diễn hai đường thẳng cũng ảnh hưởng đến chiến lược của HS. Biến này có các giá trị: V3.1: Đường thẳng là đoạn thẳng qua hai điểm V3.2: Đường thẳng là đoạn thẳng không cho qua hai điểm Chúng tôi tạo sự đang xen hai cách biểu diễn của đường thẳng. Cách cho đường t hẳng xác định bởi hai điểm có thể đưa về chứng minh điểm đồng phẳng (hoặc không đồng phẳng) nhờ sử dụng tương quan giữa điểm và đường. V4: Đặc trưng của đường thẳng được xem xét Khi xét VTTĐ giữa hai đường thẳng phải chú ý đến đặc trưng đồng phẳng hay khôn g đồng phẳng của chúng. Đây là một đặc trưng mà HS dễ bỏ qua. Chúng tôi gọi mặt phẳng được biểu diễn bằng hình bình hành hoặc tam giác là những mặt phẳng nhìn thấy trên hình. Mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau là mặt phẳng không nhìn thấy trên hình. Để chứng minh sự tồn tại mặt phẳng này phải sử dụng các công cụ như định lý, tính chất, tiên đề, các qui tắc của phép chiếu song song,… Biến này có các giá trị: V4.1: Hai đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng cho trước V4.2: Một đường thẳng nằm trên mặt phẳng cho trước không chứa đường thẳng còn lại V4.3: Hai đường thẳng không nằm trên mặt phẳng cho trước nào V5: Bản chất của lời giải giả định Để kiểm tra mức độ ảnh hưởng của khái niệm hai đường thẳng không đồng phẳng và việc sử dụng phương pháp phản chứng trong việc chứng minh hai đường thẳng chéo nhau, chúng tôi đã hình thành lời giải giả định dựa trên các giá trị của biến như sau: V5.1: Lời giải dùng phản chứng V5.2: Lời giải dùng khái niệm: đường thẳng, điểm đồng phẳng hoặc không đồng phẳng; đường thẳng chéo nhau V5.3: Lời giải dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau Những lời giải này cũng ảnh hưởng đến việc sử dụng chiến lược ở các câu sau. V6: Hình thức đặt câu hỏi Có những chiến lược mang lại khẳng định đúng nhưng lời giải thích lại sai hoặc mập mờ. Vì thế cần đặt những câu hỏi cho phép hiểu được lập luận của HS để thấy được những quan niệm của họ với đối tượng cần xem xét. Ba giá trị của biến là: V6.1: Cho sẵn các câu trả lời, yêu cầu HS chọn câu trả lời hợp lý và giải thích về sự lựa chọn đó V6.2: Không cho sẵn câu trả lời, yêu cầu HS phải trình bày lời giải của mình V6.3: Cho sẵn câu trả lời, HS lựa chọn nhưng không giải thích, sau đó trình bày một lời giải của mình Thống kê giá trị của biến được sử dụng trong các tình hu ống qua bảng 3.1 Biến Câu I Câu II Câu III Bài 1 Bài 2 Bài 3 V1 V1.1 V1.1 V1.1 V1.1 V1.1 V2 V2.1 V2.1 V2.1 V2.1 V2.1 V3 V3.1 V3.1, V3.2 V3.1 V3.1 V3.1 V4 V4.2 V4.2 V4.2 V4.2 V4.3 V5 V5.1, V5.2 V5.3 V5.2 V5.2 V5.2 V6 V6.3 V6.3 V6.3 V6.3 V6.3 Bảng 3.1 3.3.2. Chiến lược và những cái quan sát được S1: Chiến lược “quan sát điểm chung” của hai đường thẳng Dựa trên các qui tắc hành động đã có ở HHP: hai đường thẳng có điểm chung trên hình thì cắt nhau, không có điểm chung thì song song. Do đó, câu trả lời ảnh hưởng phần lớn vào hình vẽ. Chiến lược này chỉ cho câu trả lời đúng khi hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng. Câu Những cái quan sát được Câu I Đường thẳng BK và MN có điểm chung nên chúng cắt nhau Câu II Bài 1 a, b có điểm chung nên chúng cắt nhau. Suy ra hai đường thẳng đồng phẳng Bài 2 AB và d có điểm chung nên chúng cắt nhau. Suy ra hai đường thẳng đồng phẳng Bài 3 BK và MN có điểm chung nên chúng cắt nhau. Suy ra hai đường thẳng đồng phẳng Câu III Chiến lược không xuất hiện ở câu hỏi này S2: Chiến lược “dùng khái niệm hai đường thẳng không đồng phẳng” Trong chiến lược này hai đường thẳng chéo nhau chỉ dựa trên tiêu chuẩn hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng có trên hình. Xuất phát từ định nghĩa hai đường thẳng đồng phẳng, HS có thể hiểu không đúng về hai đường thẳng không đồng phẳng. Câu Những cái quan sát được Câu I - 2. .1IS : BK chứa trong (BCD) mà mặt phẳng này không chứa MN nên hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng. Suy ra chúng chéo nhau. - 2. .2IS : MN chứa trong (BMN) mà BK không chứa trong mặt phẳng này nên MN, BK không cùng nằm trong một mặt phẳng. Suy ra chúng chéo nhau. Câu II Bài 1 ( ) ( ),a R b R⊂ ⊄ nên hai đường thẳng a, b không đồng phẳng Bài 2 Đường thẳng qua hai điểm A, B chứa trong (P) mà d không nằm trong mặt phẳng này nên hai đường thẳng không đồng phẳng Bài 3 Ta có: ( ) ( );MN ACD BK ACD⊂ ⊄ ⇒MN và BK không đồng phẳng Câu III 2. .1IIIS : Ta có: ( ) ( ),AD ACD BC ACD⊂ ⊄ ⇒ AD và BC không cùng nằm trên (ACD) nên chúng không đồng phẳng (vì theo định nghĩa hai đường thẳng đồng phẳng là hai đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng) ,AD BC⇒ chéo nhau 2. .2IIIS : Ta có: ( ) ( ),BC ABC AD ABC⊂ ⊄ ⇒ AD và BC không cùng nằm trên (ABC) nên chúng không đồng phẳng (vì theo định nghĩa hai đường thẳng đồng phẳng là hai đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng) ,AD BC⇒ chéo nhau 2. .3IIIS : Gọi ( ) ( ),α β tương ứng là hai mặt phẳng chứa a và b Vì a, b chéo nhau nên ( ) ( ),α β phân biệt Ta có: ( ) ( ), ; ,A B C Dα β∈ ∈ ⇒ AD và BC không cùng thuộc một mặt phẳng nào nên AD, BC không đồng phẳng S3: Chiến lược “dùng khái niệm điểm không đồng phẳng” Tương tự như trên S2. Xem bốn điểm không đồng phẳng là “bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng”.Chiến lược này dựa trên mối quan hệ giữa điểm và đường thẳng (một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết nó đi qua hai điểm phân biệt). Do vậy, nếu bốn điểm không đồng phẳng thì hai đường thẳng qua bốn điểm đó chéo nhau. Câu Những cái quan sát được Câu I Ta có: B, M, K thuộc mặt đáy BCD còn N không thuộc mặt phẳng này nên bốn điểm không đồng phẳng. ⇒ BK và MN không đồng phẳng ⇒ BK và MN chéo nhau Câu II Bài 1 3.1.1S : Ta có: ( ) ( ), ; ,C D R A B R∈ ∉ nên AB, CD chéo nhau 3.1.2S : A, B, C, D nằm trong mặt phẳng tạo bởi AC và BD (vì hai đường này đồng qui với giao tuyến của (P) và (Q) nên AB, CD cắt nhau Bài 2 Lấy một điểm C khác M nằm trên đường thẳng d Ta có A, B, M cùng thuộc (P), C không thuộc (P) nên bốn điểm A, B, M, C không đồng phẳng. Suy ra AB và MC không đồng phẳng hay AB và d không đồng phẳng Bài 3 Ta có: ( ) ( ), , ;M N K ACD B ACD∈ ∉ ⇒ bốn điểm M, N, B, K không cùng nằm trên một mặt phẳng ⇒ MN, BK không đồng phẳng Câu III 3. .1IIIS : Bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng nào trên hình nên AD, BC không đồng phẳng 3. .2IIIS : Gọi (P), (Q) tương ứng là hai mặt phẳng chứa a, b Vì a, b chéo nhau nên (P), (Q) phân biệt Ta có: ( ) ( ), ; ,A B a P C D b Q∈ ⊂ ∈ ⊂ ⇒ Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng (không cùng nằm trên một mặt phẳng) ⇒ AD và BC chéo nhau 3. .3IIIS : Ta có ( ) ( ), D , DC D b b AC a AC∈ ⇒ ⊂ ⊄ .Mà B thuộc a nên ( )DB AC⊄ . Suy ra bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng ⇒ AD và BC chéo nhau 3. .4IIIS : C, D thuộc b nên ( )b ACD⊂ . Lại có A, B thuộc a mà a chéo b và a cắt ( ACD) tại điểm A nên ( )B ACD∉ ⇒ 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng ⇒ AD và BC chéo nhau S4: Chiến lược “chứng minh phản chứng” Câu Những cái quan sát được Câu I 4. .1IS : Giả sử hai đường thẳng BK và MN đồng phẳng, suy ra chúng thuộc ( )mp α nào đó ( ), ,B M K α⇒ ∈ Mặt khác ( ), ,B M K BCD∈ Theo tính chất thừa nhận 2 thì có một và chỉ một mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng nên ( ) ( )BCDα ≡ ( )N BCD⇒ ∈ (vô lý) ⇒ BK và MN không đồng phẳng nên chúng chéo nhau 4. .2IS : Giả sử BK và MN đồng phẳng, suy ra chúng thuộc ( )mp α nào đó. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C BM C D CK D A DN A α α α α α α ∈ ⊂ ⇒ ∈ ∈ ⊂ ⇒ ∈ ∈ ⊂ ⇒ ∈ Suy ra A, B, C, D cùng thuộc ( )α (mâu thuẫn với giả thiết ABCD là tứ diện) Vậy BK, MN không đồng phẳng nên chúng chéo nhau. Câu II Bài 1 Giả sử a và b đồng phẳng suy ra chúng cùng thuộc một mặt phẳng. Mà ( ) ( )a R b R⊂ ⇒ ⊂ (vô lý với giả thiết b nằm ngoài (R)). Vậy a, b không đồng phẳng. Bài 2 Giả sử AB và d đồng phẳng Ta có: ( ) ( )AB P d P⊂ ⇒ ⊂ (vô lý vì giả thiết cho d cắt (P)) Vậy AB và d không đồng phẳng Bài 3 Giả sử MN và BK đồng phẳng ⇒ chúng cùng nằm trong một mặt phẳng Mà M, N, K thuộc (ACD) ( )B ACD⇒ ∈ (vô lý vì ABCD là tứ diện) Vậy MN và BK không đồng phẳng Câu III Ta có AD và BC chéo nhau. Thật vậy, giả sử AD và BC không chéo nhau, tức chúng cùng thuộc ( )mp α nào đó ( ), , ,A B C D α⇒ ∈ Mà , ; ,A B a C D b∈ ∈ nên a, b cũng chứa trong ( )mp α (vô lý với giả thiết a, b chéo nhau) S5: Chiến lược “dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau” Câu Những cái quan sát được Câu I Ta có: ( )BK BCD⊂ MN cắt mp(BCD) tại một điểm M không thuộc BK nên MN và BK chéo nhau. Câu II Bài 1 Nếu b cắt (R) tại một điểm M thuộc a thì a và b đồng phẳng Nếu M không thuộc A thì a và b không đồng phẳng Bài 2 Nếu d cắt (P) tại điểm M nằm trên đường thẳng AB mà không thuộc đoạn AB thì đường thẳng qua hai điểm A, B với d đồng phẳng Trường hợp còn lại AB và d không đồng phẳng Bài 3 Nếu MN đi qua điểm K thì BK cắt (ACD) tại K thuộc MN nên MN và BK đồng phẳng Trường hợp còn lại MN, BK không đồng phẳng Câu III 5. .1IIIS : Ta có: ( )AD ACD⊂ BC cắt (ACD) tại một điểm C không thuộc AD nên AD và BC chéo nhau. 5. .2IIIS : Ta có: ( )BC ABC⊂ . AD cắt (ACD) tại một điểm C không thuộc BC nên AD và BC chéo nhau. Các câu trả lời của An, Bình, Cường được xếp vào các chiến lược trên theo bảng 3.2 Lời giải An Bình Cường Câu I S2 S4 S5 Câu II Bài 1 S2 S3 Bài 2 S2 S5 Bài 3 S2 S3 Bảng 3.2 S6: Chiến lược “chứng minh trực tiếp”: Chiến lược này chỉ sử dụng ở câu 3 Ta có: , ; ,A B a C D b∈ ∈ . Mà a, b chéo nhau nên a, b không đồng phẳng , , ,A B C D⇒ không đồng phẳng ,AD BC⇒ chéo nhau S7: Chiến lược “biện luận các trường hợp của hai đường thẳng” Chiến lược chỉ sử dụng ở câu 2. Thật vậy, khi xét sự đồng phẳng hay không của hai đường, ta xem chúng có song song hoặc có điểm chung hay không. Do đó, ta phải biện luận các trường hợp có thể có của hai đường, chứ không phải căn cứ vào hình vẽ hay chỉ xét một trường hợp nào đó mà thôi. Bài Lời giải Bài 1 7.1.1S : Nếu a, b song song hoặc cắt nhau thì a và b đồng phẳng. Trường hợp còn lại chúng không đồng phẳng. 7.1.2S : Nếu AC, BD song song hoặc đồng qui với giao tuyến của (P) và (Q) thì a và b đồng phẳng Bài 2 Nếu M nằm trên đường thẳng AB mà không thuộc đoạn AB thì AB và d cùng nằm trên một mặt phẳng Nếu M không nằm trên đường thẳng AB thì AB và d không đồng phẳng Bài 3 Nếu MN qua K thì MN và BK đồng phẳng. Trường hợp còn lại chúng không đồng phẳng. S8: Chiến lược cho câu trả lời sai hoặc không trả lời 3.4. Phân tích a posteriori Câu I: Bảng 3.3 thống kê câu trả lời của 103 HS Bạn An Bình Cường Đồng ý 36 (34,95%) 93 (90,29%) 16 (15,53%) Không đồng ý 66 (64,07%) 10 (9,7%) 84 (81,55%) Không trả lời 1 (0,98%) 0 3 Đồng ý đổi thành không đồng ý 34 (33%) 0 0 Không đồng ý đổi thành đồng ý 10(9,7%) 0 0 Bảng 3.3 Qua bảng thống kê chúng tôi rút ra những nhận xét sau: Đối với lời giải của An (dùng chiến lược S2: định nghĩa hai đường thẳng không đồng phẳng) có 36 HS trên tổng số 103 HS đồng ý. Tuy nhiên, ban đầu chúng tôi thấy có rất nhiều sự lựa chọn đồng ý sau đó thay đổi. Chứng tỏ đã có sự lưỡng lự trong việc lựa chọn của họ. Bằng chứng là đã tìm thấy vết của hiện tượng này trên bài làm của 34 HS. Tìm hiểu hiện tượng này, chúng tôi đã phỏng vấn một số HS và nhận được câu trả lời của họ là: - Do em chưa đọc kỹ - Có thể không cùng thuộc (BCD) nhưng cùng thuộc mặt phẳng khác - Do thấy lời giải phản chứng đúng hơn, em thường gặp - Thấy cũng đúng nhưng em chưa thấy thầy làm như vậy bao giờ Đối với lời giải của Bình (dùng chiến lược phản chứng S4) có tới 93 HS (90,29%) đồng ý. Một con số khá lớn so với 103 HS làm thực nghiệm. Hầu hết HS không đồng ý với lời giải của Cường (84 HS: 81,55%). Điều ấy cho thấy dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau không được chú ý nhiều trong HS. Như vậy, qua thực nghiệm ở câu I bước đầu cho phép chúng tôi củng cố được sự tồn tại của hai giả thuyết H1, H2 nêu ở đầu chương. Tìm hiểu lời giải của HS (chỉ xét lời giải nằm ngoài các lời giải được cho của ba bạn, chúng tôi thống kê số lần sử dùng chiến lược đường, điểm không đồng phẳng S2, S3 và phản chứng S4 trong các lời giải của HS như sau: Chiến lược S2 S3 S4 Số lượng 10 13 4 Minh họa một số lời giải của HS H5/S3: Cho rằng bốn điểm không nằm tr ong cùng một mặt phẳng nhìn thấy trên hình thì không đồng phẳng. Ta có: ( ) ( ), , ;B M K BCD N BCD∈ ∉ , , ,B M N K⇒ không thuộc một mặt phẳng ⇒ BK và MN không đồng phẳng ⇒ BK và MN chéo nhau H67/S2: Cho rằng hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng nhìn thấy trên hình thì không đồng phẳng Ta có : ( ) ( ) BK ABK MN AMD ⊂  ⊂ Và (ABK) cắt (AMD) (vì trong (BCD) BK và MN cắt nhau) ⇒ BK và MN không cùng nằm trong một mặt phẳng ⇒ BK và MN chéo nhau H79/S4: Cho rằng nếu hai đường thẳng đồng phẳng thì chúng cùng nằm trong một mặt phẳng nhìn thấy trên hình. Giả sử BK và MN đồng phẳng ( ),BK MN BCD⇔ ⊂ ( ), , ,B K M N BCD⇔ ⊂ Mà ( )N AD ABD∈ ⊂ (giả thiết) ⇒ BK và MN không thể đồng phẳng ⇒ BK, MN chéo nhau Câu II: Bảng 3.4 thống kê kết quả ở câu 2 Bài An Bình Chiến lược Đồng ý Không đồng ý Không trả lời Chiến lược Đồng ý Không đồng ý Không trả lời Bài 1 S2 19 18,45% 82 79,61% 2 1,94% S3 48 46,6% 52 50,49% 3 2,91% Bài 2 S2 35 33,98% 65 63,12% 3 2,9% S5 41 39,81% 61 59,22% 1 0,97% Bài 3 S2 17 16,5% 79 76,75% 7 6,8% S3 69 67% 23 22,33% 11 10,67% Bảng 3.4 Qua bảng thống kê, chúng tôi ghi nhận những điểm sau: Số HS đồng ý với ý kiến của An, Bình khá cao. 71/309 lần đồng ý với An, 158/309 đồng ý với ý kiến của Bình. Do đó, câu 2 cũng khẳng định sự tồn tại của H1. Tuy nhiên, con số này cũng có sự chênh lệch giữa các hình. Cụ thể như ở chiến lược S2 trong lời giải của An ở ba bài là 19:35:17. Hơn nữa số HS đồng ý với chiến lược điểm không đồng phẳng của Bình. Đối với yêu cầu cho thêm lời giải của mình, phần lớn HS không trình bày, hoặc ghi lại câu lời giải của An, Bình mà họ đã chọn ở trên. Bảng 3.5 thống kê số lần sử dùng chiến lược đường, điểm không đồng phẳng và phản chứng trong các lời giải của HS Chiến lược Bài 1 Bài 2 Bài 3 S2 10 27 12 S3 17 2 17 S4 5 16 18 Cụ thể, một số bài làm của HS như sau: H44/Bài 1: Dùng mối quan hệ giữa đường, điểm và tính đồng phẳng của chúng Giả sử a và b đồng phẳng Có: ( ) ( ) ( ) 1 C a D a α α ∈ ⊂  ∈ ⊂ ( ) ( ) ( ) 2 A b B b α α ∈ ⊂  ∈ ⊂ ⇒A, B, C, D cùng thuộc ( )α vô lý vì ( ) ( ) ( ); ; ,A P B Q C D R∈ ∈ ∈ theo giả thiết. ⇒ a, b không đồng phẳng H2/ Bài 2: Nếu hai đường thẳng đồng phẳng thì cùng thuộc mặt phẳng nhìn thấy trên hình. Đã vận dụng được tính duy nhất của mặt phẳng qua ba điểm Trên d lấy một điểm C bất kỳ. Giả sử AB, d đồng phẳng. ⇒A, B, M cùng thuộc ( )mp α mà A, B, M cùng thuộc (P) ( ) ( )P α⇒ ≡ ( )C P⇒ ∈ (vô lý vì ( ) ,d P M M C∩ = ≠ ) Vậy AB, d không đồng phẳng. H3/Bài 2: Cho rằng các điểm đồng phẳng thì chỉ thuộc mặt phẳng nhìn thấy trên hình. Biết vận dụng quan hệ giữa điểm, đường và mặt. Giả sử A, B, M cùng nằm trên ( )mp α ( ), ,A B M α⇔ ∈ mà ( ), ,A B M P∈ ( ) ( )Pα⇔ ≡ mà ( ) ( )d d Pα∈ ⇒ ∈ (vô lý vì d cắt (P) tại M) ⇒ A, B và d không cùng nằm trên một mặt phẳng. H45/ Bài 3: Vận dụng được tính duy nhất của mặt phẳng qua ba điểm Giả sử MN và BK đồng phẳng ⇒ cùng nằm trong một mặt phẳng Mà M, N, K thuộc (ACD) ( )B ACD⇒ ∈ Mà theo giả thiết ( )B ACD∉ (mâu thuẫn) ⇒ MN và BK không đồng phẳng Hiển nhiên những lời giải phản chứng ở câu này đều sai. Giả thiết của chúng tôi chưa xác định cụ thể một VTTĐ nào giữa hai đường thẳng nên không thể đi đến mâu thuẫn. Thêm nữa, họ hiểu sai định nghĩa điểm, đường thẳng đồng phẳng. Điểm chung của những chứng minh phản chứng trên là cho rằng nếu hai đường thẳng đồng phẳng thì nếu có một mặt phẳng chứa đường thẳng này thì sẽ chứa đường còn lại. Cũng như vậy đối với điểm đồng phẳng. Điều này có thể giải thích được là do các em hiểu rằng: hai đường thẳng đồng phẳng là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng nên nếu biết mặt phẳng chứa đường này thì suy ra nó cũng chứa đường còn lại. Chúng tôi thống kê có 8 HS cho lời giải đúng. Các em đã biết xác định đúng VTTĐ giữa hai đường thẳng cho trước dựa vào các tính chất đặc trưng của nó. Khó khăn này có thể giải thích do cho giả thiết mở hay HS chỉ nhìn hình vẽ mà kết luận. Thêm nữa, thể chế không có nhiều bài tập yêu cầu HS biện luận các VTTĐ có thể có của hai đường thẳng. Chiến lược S7 Bài 1 Bài 2 Bài 3 Số lượng 7 6 5 Cụ thể một số lời giải của các em HS như sau: Bài Lời giải Bài 1/H56 Có hai trường hợp Trường hợp 1: A, B, C, D đồng phẳng Mà , ; ,A B a C D b∈ ∈ ,a b⇒ đồng phẳng Trường hợp 2: A, B, C, D không đồng phẳng Mà , ; ,A B a C D b∈ ∈ ,a b⇒ không đồng phẳng Bài 2/H56 Trường hợp 1: A, B, M thẳng hàng (M nằm ngoài đoạn AB) M AB⇒ ∈ mà M d∈ AB d M⇒ ∩ = ,AB d⇒ đồng phẳng Trường hợp 2: A, B, M không thẳng hàng (M nằm ngoài đoạn AB). Ta có: d cắt (P) tại M nằm ngoại đoạn AB ⇒AB và d chéo nhau ⇒AB và d không đồng phẳng Bài 2/H67 Trường hợp 1: Giống bạn Bình Trường hợp 2: Nếu M nằm ngoài đoạn AB nhưng M thuộc d’ đi qua AB ⇔ A, B, M thẳng hàng. Mà 'M d M d d∈ ⇒ = ∩ d⇒ và d’ vẫn có thể đồng phẳng H56/Bài 3 Có hai trường hợp Trường hợp 1: K MN∈ . Mà ba điểm ( ), ,M N B BMN∈ ( )K BMN⇒ ∈ ⇒Bốn điểm M, N, B, K đồng phẳng (thuộc (BMN)) ,BK MN⇒ đồng phẳng Trường hợp 2: ( )K MN BK BMN∉ ⇒ ⊄ BK⇒ cắt (BMN) tại B mà ( )MN BMN⊂ ⇒BK và MN không đồng phẳng. Câu III: Không cho HS lựa chọn các lời giải cho sẵn, chúng tôi muốn tìm hiểu xem HS chứng minh hai đường thẳng chéo nhau theo những cách nào. Bảng 3.6 thống kê kết quả thực nghiệm câu III Chiến lược Số lượng S2: Dùng “khái niện đường thẳng không đồng phẳng” 8 S3: Dùng “khái niệm điểm không đồng phẳng” 8 S4: Chứng minh phản chứng 55 S5: Dùng dấu hiệu nhận biết 0 S6: Chứng minh trực tiếp 14 S8: Chiến lược sai hoặc không trả lời 18 Bảng 3.6 Qua bảng thống kê, chúng tôi thấy họ đã sử dụng năm chiến lược S2, S3, S4, S6 và S8. Mặc dù có sự phân hóa giữa các chiến lược, nhưng chiến lược phản chứng vẫn chiếm ưu thế với hơn nữa số HS (53,4%). Minh họa một số bài làm của HS Chiến lược Lời giải S2: Đường thẳng không đồng phẳng H46: Ta có: ( ) ( ),AD ACD BC BCD⊂ ⊂ Mà (ACD) và (BCD) không trùng nhau ⇒ AD và BC không đồng phẳng ⇒ AD và BC chéo nhau S3: Điểm không đồng phẳng H92: Gọi (P) là mặt phẳng chứa a, (Q) là mặt phẳng chứa b Mà ( ) ( ), ; ,A B a P C D b Q∈ ⊂ ∈ ⊂ ⇒ A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng ⇒ AD và BC chéo nhau S4: Phản chứng H2: Giả sử AD và BC không chéo nhau ⇒ AD và BC nằm trên ( )mp α Có ( ), ; ,A B A B aα∈ ∈ ⇒a nằm trên ( )mp α (1) Có ( ), ; ,C D C D bα∈ ∈ ⇒b nằm trên ( )mp α (2) Từ (1) và (2)⇒a, b nằm trên ( )mp α (mâu thuẫn với đề bài). Vậy AD; BC chéo nhau. S6: Trực tiếp H34: Ta có: a và b là hai đư ờng thẳng chéo nhau , ; ,A B a C D b∈ ∈ ⇒A, B, C, D không đ ồng phẳng. Vậy AD và BC chéo nhau Chiến lược dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau không được xuất hiện. Một lần nữa, khái niệm không đồng phẳng của điểm và đường theo quan niệm của HS lại xuất hiện ở câu III trong chứng minh hai đường thẳng chéo nhau. Chúng tôi tìm thấy nghĩa của khái niệm “hai đường thẳng không đồng phẳng, điểm không đồng phẳng” ở các giải thích như: - Hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng không trùng nhau (H46, 99, 98, 103,…) - Mỗi đường thẳng đi qua hai điểm của hai mặt phẳng phân biệt (H51, 66,…) - Hai cặp điểm nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (H72, 91, 92,…) - Một điểm không thuộc mặt phẳng chứa ba điểm còn lại (H51, 60,…) Như vậy, câu III đã khẳng định sự tồn tại của H2 và khẳng định thêm H1. Học sinh đã có ý thức sử dụng phản chứng trong các chứng minh của mình nhưng không vì thế mà bỏ qua những cách suy luận khác. Có điều, do phủ định sai mệnh đề cần chứng minh, không xét hết các trường hợp có thể hoặc không nắm vững định nghĩa, khái niệm nên các chứng minh đều sai. 3.5. Kết luận thực nghiệm Việc phân tích kết quả thực nghiệm cho phép chúng tôi khẳng định sự tồn tại của giả thuyết nêu ở cuối chương hai. Qua thực nghiệm, chúng tôi rút thêm một số kết quả như sau: Song song với việc xem hai đường thẳng không đồng phẳn g là hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng nhìn thấy trên hình thì họ cũng ứng xử như vậy đối với bốn điểm không đồng phẳng. Cụ thể: - Nếu bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng hay thuộc các mặt phẳng khác nhau trên hình thì bốn điểm đó không đồng phẳng - Hai đường thẳng thuộc các mặt phẳng khác nhau hay một đường thẳng không thuộ c mặt phẳng chứa đường còn lại thì chúng không đồng phẳng - Nếu hai đường thẳng đồng phẳng mà một đường nằm trong mặt phẳng nhìn thấy thì mặt này cũng chứa đường còn lại. Tương tự như vậy đối với các điểm đồng phẳng. Sai lầm trên có thể được giải thích do cách hiểu hai đường thẳng đồng phẳng phải nằm trên mặt phẳng nhìn thấy mà không nghĩ tới việc chúng thuộc mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau. Hình vẽ cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến chiến lược và câu trả lời của HS. Thường thì họ chỉ nhìn một trường hợp cụ thể của hình vẽ để suy ra các VTTĐ giữa hai đường thẳng hoặc các điểm. Một biểu hiện là rất ít HS biết biện luận các VTTĐ có thể có của hai đường thẳng. Tức là họ chỉ có trách nhiệm chứng minh một VTTĐ nào đó chứ không có trách nhiệm kiểm tra các vị trí còn lại của chúng. Do vậy, họ gặp khó khăn trong các bài toán mở giả thiết. Mặc dù dạng bài này cũng được nói đến trong phần trình bày lý thuyết của SGK. Không nắm vững tính chất như xem bất kỳ ba điểm phân biệt nào cũng xác định một mặt phẳng mà không xét tính thẳng hàng của chúng, không phân biệt được tính duy nhất của mặt phẳng tạo bởi hai đường song song và cắt nhau. Vẫn còn trường hợp cho hai đường thẳng không đồng phẳng thì cắt nhau. Như vậy thì: có những kiến thức mà HS thu được từ HHP được sử dụng một cách tùy tiện trong HHKG và việc tiếp thu kiến thức mới lại không được vận dụng một cách chính xác. Phương pháp phản chứng được sử dụng rất nhiều trong chứng minh hai đường thẳng chéo nhau. Hay đối với trường hợp xét sự đồng phẳng của câu II, họ vẫn sử dụng chiến lược này. Vì các tiền đề chưa rõ ràng nên không dẫn đến mâu thuẫn. KẾT LUẬN Việc tổng hợp các tài liệu, phân tích chương trình, SGK, SGV toán p hổ thông cũng như kết quả thu được của thực nghiệm đã cho phép chúng tôi trả lời những câu hỏi trong phần mở đầu của luận văn và khẳng định được sự tồn tại của hai giả thuyết. Điểm lại một số kết quả chính mà luận văn đã đạt được. Chương một: Trình bày một cách xây dựng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian. Sau đó, tổng hợp các tài liệu liên quan đến phép chiếu song song và hình biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng. Vai trò của hình vẽ trong dạy học HHKG gian nói chung và VTTĐ giữa hai đường thẳng nói riêng. Chương hai: Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng VTTĐ giữ a hai đường thẳng trong dạy học HHKG ở trường phổ thông Việt nam. Cụ thể trong các giáo trình giảng dạy và chương trình dạy học phổ thông qua hai giai đoạn: Giai đoạn 1: Lớp 8. Đây là giai đoạn chính thức đưa HHKG vào giảng dạy ở trường phổ thông. Cho HS làm quen với các đối tượng cơ bản, các kiến thức ban đầu và dừng lại ở việc nhận biết VTTĐ trên các hình vẽ cho sẵn như hình hộp chữ nhật, hình lập phương. Nhận dạng VTTĐ giữa hai đường thẳng dựa vào trực giác bằng việc quan sát hình vẽ. Chương trình đi sâu vào quan hệ song song giữa đường và mặt. Bước chuyển từ HHP sang HHKG được thể hiện rõ ở SBT khi có sự liên hệ những tính chất đúng trong HHP mà không đúng trong HHKG bằng việc yêu cầu HS chỉ ra các phản ví dụ. Tức là đã chú ý đến sự khác biệt giữa HHP và HHKG mà SGK không đề cập. Thêm nữa, sự phức tạp trong cách nhìn hình, đọc hình vẽ và số lượng bài tập của SBT cũng nhiều hơn SGK. Giai đoạn 2: Lớp 11. Chuyển từ việc mô tả lên khái quát đi kèm với định nghĩa các VTTĐ giữa hai đường thẳng. Mối quan hệ điểm, đường, mặt phức tạp hơn với nhiều khái niệm, định lí, tính chất trong lý thuyết cũng như số lượng bài tập có trong SGK. Học sinh có trách nhiệm chứng minh hai đường thẳng chéo nhau hoặc song song, đường thẳng song song với mặt phẳng theo các định lý, tính chất cho sẵn mà không có trách nhiệm dựng hai đường thẳng chéo nhau. Kiểu bài tập dựng đường thẳng qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước xuất hiện thường xuyên, nhất là kiểu bài tập xác định thiết diện, dựng giao tuyến. Khái niệm hai đườ ng thẳng chéo nhau được định nghĩa dựa trên đặc trưng không đồng phẳng. Không đưa ra dấu hiệu nhận bi ết hai đường thẳng chéo nhau. Phương pháp phản chứng được sử dụng nhiều trong các chứng minh hình học. Chương ba: Kết quả nghiên cứu thực nghiệm đã làm rõ mối quan hệ các nhân HS với đối tượng qua việc khẳng định sự tồn tại của hai giả thuyết. Thực nghiệm còn mang lại cho chúng tôi nhiều vấn đề có giá trị. HẠN CHẾ VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU MỞ RA CỦA LUẬN VĂN Hạn chế của luận văn là chưa xây dựng được những tình huống dạy học để giúp học sinh vượt qua khó khăn trong dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng , cũng như chưa làm rõ khái niệm “không đồng phẳng” của đường và điểm. Đây cũng là hướng nghiên cứu mở ra cho luận văn. Thêm nữa, cần làm rõ vai trò của hình vẽ trong v iệc xét VTTĐ giữa hai đường, làm thế nào để HS vượt qua khó khăn, hạn chế sai lầm trong việc nhìn hình và đọc hình. Nếu có điều kiện, chúng tôi tiến hành thực nghiệm với giáo viên để tìm hiểu những khó khăn cũng như chia sẽ kinh nghiệm dạy học HHKG của họ. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Vũ Hữu Bình (1997), Kinh nghiệm dạy toán và học toán bậc Trung học cơ sở, Nxb Giáo dục. 2. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (2002), Sai lầm phổ biến khi giải toán, Nxb Giáo dục. 3. Huỳnh Bảo Châu (2006), Nghiên cứu didactic về kiến thức không gian và kiến thức hình học trong dạy học hình học ở trường tiểu học – trường hợp hình chữ nhật, Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh. 4. Lê Thị Hoài Châu (2004), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, Nxb Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh. 5. Lê Thị Hoài Châu và Lê Văn Tiến (dịch), Những yếu tố cơ bản của Didactic toán, Nxb Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh. 6. Phan Đức Chính (tổng chủ biên) (2007), Toán 8, tập 2, Nxb Giáo dục. 7. Phan Đức Chính (tổng chủ biên) (2007), Sách giáo viên Toán 8, Nxb Giáo d ục. 8. Văn Như Cương (chủ biên) (2009), Bài tập Toán 11 Nâng cao, tập 1, Nxb Giáo dục. 9. Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh (2002), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11, Nxb Giáo dục. 10. Phạm Gia Đức (1998), Hình học SP, Tài liệu đào tạo giáo viên tiểu học hệ trung học sư phạm 9+3 và 9+4, Nxb Giáo dục. 11. Phạm Gia Đức (1998), Phương pháp dạy học môn toán tập 2, Nxb Giáo dục. 12. Nguyễn Mộng Hy (1991), Sách giáo viên hình học 11, Nxb Giáo dục 13. Nguyễn Mộng Hy (2004), Các phép bi ến hình trong mặt phẳng, Nxb Giáo d ục 14. Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương (1994), Phương pháp dạy học môn toán, Nxb Giáo dục. 15. Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều (2001), Hình học 9, Nxb Giáo dục. 16. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn toán, Nxb Đại học sư phạm. 17. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2009), Sách giáo viên hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục. 18. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2009), Hình học 11 Nâng cao, Nxb Giáo dục. 19. Đào Tam (2007), Phương pháp dạy học hình học ở trường THPT, Nxb Đại học Sư phạm. 20. Tôn Thân (chủ biên) (2007), Bài tập Toán 8, Nxb Giáo dục. 21. Nguyễn Thế Thạch (chủ biên) (2009), Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kỹ năng môn toán 11, Nxb Giáo dục. 22. Hồ Lộc Thuận (2006), Bài toán d ựng hình và thuật toán ở trường trung học cơ sở, trường hợp bài toán ti ếp tuyến với đường tròn, Đại học Sư phạm Tp HCM. 23. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông, Nxb Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh. 24. V. V ZAITSEV, V. V. RYZHKOV (1978), Elementary mathematics, Translated from Russian by George Yan koisky, Mir publishers Moscow. 25. Hamid CHAACHOUA, Hình học không gian, thực trạng về việc đọc hình vẽ của học sinh cuối cấp trung học cơ sở. 26. V. O. GÔCĐÔN, M, A. XEMEXNÔP- OGHIEPXKI (1988), Giáo trình hình học họa hình, NXB Mir Maxcova, Nguyễn Đình Điện, Hoàng Văn Thân dịch. ._.