Một nghiên cứu Didactic về biểu đồ biểu diễn dữ liệu thống kê trong dạy học Toán ở phổ thông

ã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu luận văn, tôi xin trân trọng gởi lời cảm ơn đến:  TS. Vũ Như Thư Hương, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi về mặt nghiên cứu khoa học cũng như niềm tin trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.  PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung và các quý thầy cô trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy những tri thức quý báu và truyền thụ hứng thú và niềm say mê đối với chuyên ngành diadactic Toán cho chúng tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.  PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot đã có những góp ý và chỉ dẫn về luận văn cũng như những giải đáp giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về didactic Toán. Bên cạnh đó, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến:  Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Đức Tân, huyện Hàm Tân, tỉnh Bình Thuận đã giúp đỡ và tạo mọi thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập cao học tại trường ĐHSP.  Các bạn cùng lớp cao học Didactic Toán khóa 18 đã luôn chia sẽ và giúp đỡ cũng như động viên tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Lời cuối cùng, xin dành những lời biết ơn sâu sắc nhất, gởi đến gia đình thân yêu của tôi, đã luôn bên cạnh, hổ trợ tôi về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Nguyễn Thị Thanh Hoàng MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 3 MỤC LỤC .................................................................................................................... 4 MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 6 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ............................................................................. 6 2. Khung tham chiếu lý thuyết và mục đích nghiên cứu .................................................................. 8 3. Câu hỏi nghiên cứu – Mục đích nghiên cứu ................................................................................ 9 4. Phương pháp nghiên cứu - Tổ chức của luận văn ........................................................................ 9 Chương 1: NGHIÊN CỨU BIỂU ĐỒ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC ..... 11 1.1. Đặc trưng khoa học luận của tri thức biểu đồ ......................................................................... 11 1.1.1 Biểu đồ hình cột ................................................................................................................... 11 1.1.2 Biểu đồ tổ chức..................................................................................................................... 12 1.1.3 Đa giác tần số, tần suất. ........................................................................................................ 13 1.1.4 Biểu đồ hình quạt ................................................................................................................. 14 1.2. Mối liên hệ giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu ...................................... 16 1.2.1 Mốt ....................................................................................................................................... 17 1.2.2 Số trung vị ............................................................................................................................ 18 1.2.3 Số trung bình cộng ............................................................................................................... 18 1.2.4 Phương sai, độ lệch chuẩn .................................................................................................... 21 1.3. Kết luận chương 1 ................................................................................................................... 29 Chương 2:NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ DẠY HỌC .............................. 31 TRI THỨC BIỂU ĐỒ ............................................................................................... 31 2.1.BIỂU ĐỒ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 7 ............................................................ 31 2.1.1 Phần lý thuyết ....................................................................................................................... 31 2.1.2 Phần bài tập .......................................................................................................................... 33 2.1.3 Một vài kết luận .................................................................................................................... 38 2.2. Biểu đồ trong chương trình toán lớp 10 .................................................................................. 39 2.2.1. Phần lý thuyết ..................................................................................................................... 42 2.2.2. Phần bài tập ......................................................................................................................... 52 2.2.3. Một vài kết luận ................................................................................................................... 61 2.3. Kết luận chương 2 ................................................................................................................... 62 CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ................................................ 64 3.1.THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT ................................................................................................ 64 3.1.1Giới thiệu thực nghiệm .......................................................................................................... 64 3.1.2 Bài toán thực nghiệm ........................................................................................................... 64 3.1.3 Phân tích a priori .................................................................................................................. 66 3.1.3.1. Phân tích câu hỏi 1 ...................................................................................................... 66 3.1.3.2. Phân tích câu hỏi 2. ..................................................................................................... 68 3.1.4. Phân tích a posteriori .......................................................................................................... 71 3.1.4.1. Phân tích câu hỏi 1 (kiểm chứng R1) .......................................................................... 71 3.1.4.2. Phân tích câu hỏi 2 (kiểm chứng R2) .......................................................................... 73 3.1.5. Một vài kết luận ................................................................................................................... 75 3.2. THỰC NGHIỆM THỨ HAI ................................................................................................... 76 3.2.1. Mục đích .............................................................................................................................. 76 3.2.2. Nội dung thực nghiệm ......................................................................................................... 77 3.2.2.1. Giới thiệu thực nghiệm ................................................................................................ 77 3.2.2.2. Dàn dựng kịch bản ...................................................................................................... 77 3.2.3. Phân tích apriori .................................................................................................................. 85 3.2.3.1. Phân tích các biến ....................................................................................................... 85 3.2.3.2. Phân tích các chiến lược và những cái có thể quan sát được. .................................... 89 3.2.4. Phân tích a posteriori ........................................................................................................... 97 3.3. Kết luận chương 3 ................................................................................................................. 109 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 113 PHỤ LỤC ................................................................................................................. 115 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong sách giáo khoa mới hiện hành tại Việt Nam, một số kiến thức Thống kê mô tả được đưa vào giảng dạy một cách có hệ thống trong chương trình Toán ở phổ thông, bao gồm ba nội dung chính sau: • Các khái niệm cơ bản của Thống kê mô tả. • Các phương pháp biểu diễn dữ liệu thống kê. • Các tham số đặc trưng của mẫu số liệu. Mục tiêu giảng dạy Thống kê mô tả trong chương trình là cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản về phương pháp thu gọn và trình bày dữ liệu thống kê thông qua biểu đồ hoặc các tham số đặc trưng của mẫu số liệu. Trong đó, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến tri thức biểu đồ, với những ghi nhận ban đầu như sau: - Biểu đồ cho một hình ảnh trực quan về sự phân bố của các số liệu thống kê. “Biểu đồ dùng hình ảnh, đường nét và màu sắc biểu thị cho mức độ của hiện tượng, thể hiện được khái quát các đặc điểm về cơ cấu, mối liên hệ, so sánh và xu hướng biến động … của hiện tượng, giúp người xem nhanh chóng và dễ dàng tiếp cận vấn đề được trình bày.” (Hà Văn Sơn (2004), Giáo trình lý thuyết thống kê - Ứng dụng trong quản trị và kinh tế, NXB Thống kê). Chính vì vậy mà biểu đồ có vai trò quan trọng trong việc dạy học thống kê, nhất là đối với học sinh bước đầu tiếp cận với nội dung toán học này. - Có nhiều loại biểu đồ dùng biểu diễn dữ liệu thống kê. Mỗi loại biểu đồ có đặc trưng riêng về cách thức biểu thị dữ liệu, về đặc điểm của dữ liệu được trình bày, cũng như chúng có vai trò và ý nghĩa riêng tùy theo mục đích sử dụng của người dùng. Do đó, người dùng cần phải nắm được các đặc trưng của từng loại biểu đồ, để đảm bảo đạt hiệu quả tốt nhất trong việc biểu diễn dữ liệu thống kê bằng biểu đồ. - Nếu như biểu đồ cho một hình ảnh trực quan về sự phân bố của dữ liệu thống kê, thì các tham số đặc trưng lại là công cụ thu gọn, nó cho biết những thông tin ngắn gọn và khái quát về dữ liệu thống kê. Từ bảng dữ liệu thống kê ban đầu, ta có thể tóm tắt và sắp xếp các số liệu dưới dạng bảng phân bố tần số, tần suất. Từ đó ta có thể tính được các tham số đặc trưng của mẫu số liệu, hoặc có thể vẽ biểu đồ biểu diễn dữ liệu. Đồng thời, từ biểu đồ ta có thể khôi phục lại bảng phân bố tần số, tần suất và tính được các tham số đặc trưng. Ngoài ra, qua xem xét một số tài liệu về thống kê, chúng tôi thấy rằng từ biểu đồ ta có thể chỉ ra các tham số đặc trưng của dữ liệu thống kê một cách trực tiếp mà không phải thông qua bảng phân bố tần số, tần suất như trên. Như vậy, giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu có mối liên hệ với nhau, thể hiện theo sơ đồ sau: Như vậy, xuất phát từ biểu đồ, ta có hai “con đường” để xác định các tham số đặc trưng của mẫu số liệu: - Một là từ biểu đồ ta khôi phục bảng phân bố tần số (tần suất) để tính các tham số đặc trưng; - Hai là đi trực tiếp từ biểu đồ đến các tham số đặc trưng. Tuy nhiên, qua xem xét sách giáo khoa (chương trình mới hiện hành) về nội dung thống kê, chúng tôi nhận thấy sách giáo khoa trình bày hoàn toàn tách biệt hai tri thức biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu. Điều đó thúc đẩy chúng tôi xem xét đến mối liên hệ giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của dữ liệu thống kê, mong muốn tìm hiểu xem chương trình và sách giáo khoa quan tâm như thế nào về mối liên hệ đó? Xuất phát từ các ghi nhận ban đầu trên, chúng tôi chọn đề tài này, nghiên cứu về tri thức biểu đồ biểu diễn dữ liệu thống kê được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán phổ thông ở Việt nam, với mong muốn trả lời các câu hỏi xuất phát sau: • Trong thống kê mô tả, biểu đồ có những đặc trưng gì, có vai trò như thế nào trong việc biểu diễn dữ liệu thống kê? Biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu liên hệ với nhau như thế nào trong việc biểu diễn dữ liệu thống kê? • Biểu đồ được trình bày như thế nào trong nội dung thống kê được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán phổ thông ở Việt Nam? Cách trình bày của sách giáo khoa ảnh hưởng như thế nào đến nhận thức của học sinh về tri thức biểu đồ trong quá trình học toán thống kê? 2. Khung tham chiếu lý thuyết và mục đích nghiên cứu Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của lý thuyết didactic toán để giải quyết các câu hỏi trên. Cụ thể: Để xem xét tri thức biểu đồ được đưa vào như thế nào trong chương trình dạy học toán phổ thông ở Việt Nam, chúng tôi chọn khung lý thuyết nhân chủng học. Chúng tôi vận dụng lý thuyết về quan hệ thể chế R (I, O) nhằm xác định mối quan hệ của thể chế dạy học toán ở bậc trung học phổ thông với tri thức biểu đồ, cụ thể: tri thức biểu đồ xuất hiện như thế nào trong chương trình và sách giáo khoa? Nó được trình bày ra sao và có ý nghĩa gì? Điều này là cơ sở để chúng tôi giải thích các ràng buộc và ảnh hưởng của nó lên quan hệ cá nhân của học sinh đối với tri thức này. Quan hệ thể chế R (I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, tồn tại ra sao và có vai trò gì, … trong I? Quan hệ cá nhân R(X, O) của một cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O. Quan hệ này chỉ rõ cách thức mà cá nhân X biết về đối tượng O: nghỉ gì về O, hiểu về O như thế nào, thao tác và sử dụng O ra sao, …? Muốn nghiên cứu quan hệ cá nhân R(X, O) ta cần đặt nó trong một quan hệ thể chế R(I, O) nhất định. Để vạch rõ các đặc trưng của quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với tri thức đồ thị thống kê, chúng tôi sử dụng khái niệm praxéologie của Bosch M. và Chevallard Y. (1999). Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [ ], , ,T τ θ Θ , trong đó T là kiểu nhiệm vụ, τ là kĩ thuật cho phép giải T, θ là công nghệ giải thích cho ký thuật τ , còn Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ . Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học . Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến tri thức biểu đồ cho phép chúng tôi làm rõ các mối quan hệ R (I, O) của thể chế I với tri thức O và quan hệ R (X, O) mà cá nhân X có được với tri thức O. Cụ thể, việc xác định các kiểu nhiệm vụ liên quan đến biểu đồ cho chúng tôi thấy được vai trò của biểu đồ cũng như mức độ quan tâm của thể chế dành cho tri thức này. Các kỹ thuật được sữ dụng cho biết cách thức thao tác và sử dụng biểu đồ. Các phân tích trên sẽ giúp chúng tôi hiểu được quan hệ cá nhân mà cá nhân X có được đối với tri thức biểu đồ, đồng thời cho phép giải thích những ảnh hưởng của quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân. Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta làm rõ mối quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân X có được với tri thức O. Bên cạnh đó, để làm rõ những ràng buộc của quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân và giải thích những ứng xữ của học sinh liên quan đến tri thức biểu đồ, chúng tôi vận dụng lý thuyết hợp đồng didactic. Hợp đồng didactic là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ tiềm ẩn của học sinh và giáo viên về các đối tượng tri thức toán học. Thông thường, nó là tập hợp các qui tắc phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy. Khái niệm hợp đồng didactic cho phép chúng tôi giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hành động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích rõ ràng và chính xác các sự kiện mà ta quan sát được trong quá trình dạy học. 3. Câu hỏi nghiên cứu – Mục đích nghiên cứu Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu như sau: Lựa chọn của thể chế, cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng như thế nào đến quan niệm của học sinh về tri thức biểu đồ biểu diễn dữ liệu thống kê? Những quy tắc hợp đồng didactic nào liên quan đến biểu đồ được hình thành trong quá trình dạy - học? Việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi trên chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này. 4. Phương pháp nghiên cứu - Tổ chức của luận văn Cấu trúc của luận văn gồm phần mở đầu và ba chương lớn: Phần mở đầu, gồm: những ghi nhận ban đầu và các câu hỏi xuất phát, khung tham chiếu lí thuyết, phần trình bày câu hỏi nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. Chương 1: Nghiên cứu biểu đồ ở cấp độ tri thức khoa học Trong chương này, chúng tôi tiến hành phân tích và tổng hợp các kết quả từ một số công trình nghiên cứu đã được công bố, các giáo trình lý thuyết thống kê sử dụng ở bậc đại học trong và ngoài nước, nhằm chỉ ra một số yếu tố về đặc trưng khoa học luận của tri thức biểu đồ. Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến tri thức biểu đồ được tìm thấy trong các tài liệu trên cho phép chúng tôi làm rõ vai trò và ý nghĩa của biểu đồ trong việc biểu diễn dữ liệu thống kê, đồng thời chỉ ra mối liên hệ giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu. Các kết quả có được trong chương này là cơ sở để chúng tôi tham chiếu khi phân tích về tri thức biểu đồ trong thể chế dạy học toán phổ thông ở Việt Nam. Chương 2: Nghiên cứu quan hệ thể chế dạy học tri thức biểu đồ Trong chương này, chúng tôi thực hiện phân tích thể chế, bằng cách phân tích chương trình và sách giáo khoa, sách giáo viên, tìm hiểu sự lựa chọn của thể chế và phân tích ảnh hưởng của nó lên quá trình dạy học. Phân tích sâu sách giáo khoa, chúng tôi nêu rõ các tổ chức toán học liên quan đến tri thức biểu đồ, xem xét các kiểu nhiệm vụ liên quan đến chúng, những kỹ thuật nào được sử dụng, kỹ thuật nào được ưu tiên, đồng thời chỉ ra các quy tắc hợp đồng didactic hình thành trong quá trình dạy học đối với tri thức này. Tổng hợp từ các phân tích đó cho phép chúng tôi hình thành các giả thuyết nghiên cứu. Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm Việc tiến hành thực nghiệm cho phép chúng tôi kiểm chứng giả thuyết nêu ra. Chúng tôi dự kiến sẽ tiến hành thực nghiệm trên đối tượng học sinh trung học phổ thông, sau khi học xong nội dung thống kê trong chương trình toán lớp 10. Việc hợp thức các giả thuyết nêu ra sẽ cho phép chúng tôi làm rõ được phần nào quan hệ cá nhân của học sinh với tri thức biểu đồ. Chúng tôi dự kiến thực hiện hai thực nghiệm: Thực nghiệm thứ nhất: kiểm chứng các giả thuyết nêu ra liên quan đến các hợp đồng didactic rút ra được trong chương 2. Thực nghiệm thứ hai: Nếu kết quả thực nghiệm thứ nhất cho phép chúng tôi hợp thức giả thuyết nghiên cứu nêu ra, chúng tôi sẽ thực hiện thực nghiệm thứ hai, nhằm mục đích hình thành mối liên hệ giữa biểu đồ biểu diễn dữ liệu thống kê và tham số đặc trưng của mẫu số liệu, cụ thể chúng tôi lựa chọn số trung bình cộng. Phần kết luận. Tài liệu tham khảo. Phụ lục. Chương 1: NGHIÊN CỨU BIỂU ĐỒ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Trong chương này, chúng tôi xem xét tri thức biểu đồ ở cấp độ tri thức khoa học, nhằm mục đích chỉ ra được các đặc trưng của mỗi dạng biểu đồ, vai trò, mục đích và ưu thế của từng dạng trong việc biểu diễn dữ liệu thống kê. Đồng thời, chúng tôi tìm hiểu, phân tích và chỉ ra mối liên hệ giữa biểu đồ với các giá trị tham số đặc trưng của mẫu số liệu. Các kết quả có được sẽ là cơ sở để chúng tôi tham chiếu khi tiến hành phân tích tri thức biểu đồ trong chương trình và sách giáo khoa toán hiện hành bậc trung học ở Việt Nam. 1.1. Đặc trưng khoa học luận của tri thức biểu đồ Trong phần này, chúng tôi sử dụng kết quả phân tích khoa học luận về tri thức biểu đồ trong tài liệu sau: [A] Tăng Minh Dũng (2009), Dạy học thống kê và vấn đề đào tạo giáo viên, luận văn thạc sĩ giáo dục học. Những kết quả này tác giả đạt được khi tiến hành phân tích đặc trưng khoa học luận về tri thức biểu đồ từ các tài liệu sau: - Dodge Y. (2006), Premiers pas en statistique, Springer. - Freedman D., Pisani R., Purves R. (1988), Statistics, W. W. Norton & Company, Inc. - Navidi W. (2006), Statistics for Engineers anhd Scientists, The Mc Graw-Hill Companies, Inc. - Những phân tích của Chauvat (2002) về đặc trưng một số dạng đồ thị thống kê. - Phần trình bày, giải thích về cách sử dụng các dạng đồ thị thống kê trong trang web Statistics Canada. Trong phạm vi của luận văn này, chúng tôi chỉ đề cập đến các loại biểu đồ xuất hiện trong chương trình và sách giáo khoa toán bậc trung học ở Việt Nam, bao gồm: biểu đồ hình cột, biểu đồ tổ chức, đa giác tần số, tần suất và biểu đồ hình quạt. Chúng tôi tóm tắt các kết quả chính sau đây của tác giả Tăng Minh Dũng. 1.1.1 Biểu đồ hình cột Biểu đồ hình cột được sử dụng để biểu diễn dữ liệu thống kê trong trường hợp biến thống kê là biến định tính hoặc biến định lượng rời rạc. ([A], trang 14) Để vẽ biểu đồ hình cột, người ta dựng các cột hình chữ nhật theo chiều đứng hoặc chiều ngang trên cùng một trục biểu diễn các giá trị khác nhau của biến đang xem xét. Chiều cao (hoặc chiều dài) của cột thể hiện số lượng phần tử của giá trị tương ứng mà cột biểu diễn. Biểu đồ hình cột có nhiều ưu thế trong việc quan sát sự phân bố của các giá trị, so sánh mức độ phổ biến của các giá trị khác nhau của biến. 1.1.2 Biểu đồ tổ chức Biểu đồ tổ chức dùng biểu diễn dữ liệu thống kê trong trường hợp các giá trị của biến quan sát được ghép lớp (biến định lượng liên tục hoặc biến định lượng rời rạc có nhiều giá trị khác nhau). Để vẽ biểu đồ tổ chức, người ta dựng các hình chữ nhật có đáy là độ dài của các lớp ghép trên cùng một trục nằm ngang, và diện tích của các hình chữ nhật biểu thị cho tần suất của lớp ghép. Thu nhập (nghìn đô-la) Biểu đồ tổ chức thu nhập bình quân gia đình nước Mỹ năm 1973 ([A], trang 18) Chiều cao của các hình chữ nhật được xác định bằng cách chia giá trị tần suất cho độ rộng của lớp ghép. Do đó, trục đứng trong biểu đồ tổ chức không phải là thang đo theo đơn vị chiều cao, mà mang một ý nghĩa hoàn toàn khác: thang mật độ. Thu nhập (nghìn đô-la) Biểu đồ tổ chức thu nhập bình quân gia đình nước Mỹ năm 1973 ([A], trang 18) Như vậy, về hình thức, biểu đồ tổ chức và biểu đồ hình cột đều biểu diễn dữ liệu bằng các hình chữ nhật. Tuy nhiên, có sự khác biệt về mặt bản chất giữa hai dạng đồ thị thống kê này. Biểu đồ tổ chức biểu diễn các giá trị tần suất thông qua diện tích của các hình chữ nhật, chứ không phải qua chiều cao như trong biểu đồ hình cột. Trong trường hợp các lớp ghép có độ rộng bằng nhau, chiều cao của các hình chữ nhật sẽ tỉ lệ với tần suất của các lớp ghép. Điều này dễ dẫn đến sự nhầm lẫn về đặc trưng của biểu đồ tổ chức và biểu đồ hình cột. 1.1.3 Đa giác tần số, tần suất. Đa giác tần số-tần suất dùng biểu diễn dữ liệu thống kê trong trường hợp biến thống kê là biến định lượng liên tục, hoặc là biến rời rạc (có nhiều giá trị khác nhau) được ghép lớp đều nhau, nghĩa là các lớp ghép có độ rộng bằng nhau. Nó có dạng đường gấp khúc và thường được bổ sung vào biểu đồ tổ chức, với mục đích xem xét sự tiến triển của các số liệu thống kê. ([A], trang 22 Để vẽ đa giác tần số-tần suất, người ta dựng các điểm có “tọa độ” (ci; ni) (hoặc (ci; fi)), với ci là tâm của lớp ghép Ci và ni (fi) là tần số (tần suất) của lớp ghép Ci (i=1,2,..,n). Đặc biệt, người ta bổ sung thêm hai lớp ghép “tưởng tượng” với độ rộng bằng độ rộng của các lớp ghép đã có là C0 vào trước lớp ghép C1 và Cn+1 vào sau lớp ghép Cn, rồi xác định thêm hai điểm (c0;0) và (cn+1;0). Sau đó, nối các điểm trên với nhau bằng các đoạn thẳng tạo thành đường gấp khúc, đó là đa giác tần số, tần suất. Trong trường hợp đã có biểu đồ tổ chức, thì đa giác tần số-tần suất được dựng bằng cách nối các trung điểm các cạnh trên của các cột hình chữ nhật, đồng thời cũng bổ sung hai trung điểm của hai lớp ghép “tưởng tượng” như trên. Đường gấp khúc xây dựng như trên tạo với trục ngang (trục biểu diễn giá trị của biến) một miền đa giác khép kín. Do đặc điểm các lớp ghép có độ rộng bằng nhau nên diện tích miền đa giác giới hạn này tỉ lệ với tổng tần số (tần suất) các giá trị của biến biến thống kê đang xem xét. Hình ảnh đường gấp khúc của đa giác tần số-tần suất tạo ưu thế cho người đọc xem xét sự tiến triển của tần số, tần suất của các lớp ghép, đồng thời, nó cũng cho phép dự đoán được hình dáng của đồ thị hàm mật độ lý thuyết của biến thống kê. 1.1.4 Biểu đồ hình quạt Biểu đồ hình quạt được sử dụng trong trường hợp biểu diễn bảng phân bố tần suất, thể hiện sự phân bố của các thành phần trong một tổng thể. Biểu đồ thể hiện chất lượng nghiệp vụ của một nhóm nhân viên ([A], trang 16) Một hình tròn biểu diễn cho một tổng thể. Người ta chia hình tròn thành các hình quạt từ tâm, mỗi hình quạt biểu diễn cho một giá trị khác nhau của biến đang xem xét, có diện tích tỉ lệ với tần suất của giá trị đó. Để xây dựng biểu đồ hình quạt, người ta phải chuyển đổi tần suất của mỗi thành phần thành tỉ lệ của hình quạt so với toàn bộ hình tròn, bằng cách tính góc ở tâm của hình quạt theo công thức: 0360 .i ifα = , trong đó, if là tần suất. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, biểu đồ hình quạt tỏ ra có nhiều khuyết điểm trong việc biểu diễn dữ liệu thống kê, chẳng hạn: - Trường hợp các số liệu thống kê có sự chênh lệch thấp, biểu đồ hình quạt không tạo thuận lợi cho việc quan sát và so sánh mức độ phổ biến giữa các giá trị của biến thống kê. - Trường hợp biến thống kê đang xem xét có nhiều hơn 5 hay 6 giá trị khác nhau thì ta nên xem xét đến một loại đồ thị thống kê khác có khả năng biểu diễn tốt hơn là sử dụng biểu đồ hình quạt. Tóm lại, mỗi dạng đồ thị thống kê có những đặc trưng riêng về cách thức biểu thị dữ liệu, đặc điểm của dữ liệu cũng như ưu thế riêng về mục đích sử dụng, được tóm tắt trong bảng sau: Đặc trưng của các dạng đồ thị thống kê Đồ thị thống kê Tình huống sửdụng Đặc trưng Đặc điểm của dãy dữ liệu Mục đích sử dụng Biểu đồ hình cột -Biến định tính -Biến định lượng rời rạc -So sánh sự phổ biến của các dữ liệu khác nhau trong dãy Chiều cao (hoặc chiều dài) cột thể hiện số lượng phần tử ứng với từng giá trị của biến quan sát. Biểu đồ hình quạt -Các thành phần trong một tổng thể -Mô tả cấu trúc thành phần (cơ cấu) của dữ liệu -So sánh tỉ trọng giữa các thành phần. Diện tích hình quạt biểu diễn tần số (tần suất) của các thành phần trong dãy dữ liệu. Biểu đồ tổ chức -Biến định lượng (liên tục hoặc rời rạc có rất nhiều giá trị khác nhau) được ghép lớp -Xem xét phân bố dữ liệu -So sánh hai dãy số liệu -Dự đoán đường cong hàm mật độ lý thuyết Diện tích của các hình chữ nhật biểu diễn tần suất của các lớp ghép. Đa giác tần số, tần suất (thường đi kèm biểu đồ tổ chức) -Biến định lượng (liên tục hoặc rời rạc có rất nhiều giá trị khác nhau) được ghép lớp, các các lớp ghép có độ rộng bằng nhau. -Xem xét sự tiến triển của hàm mật độ (tần số, tần suất) lớp ghép. -So sánh hai dãy số liệu -Dự đoán đường cong hàm mật độ lý thuyết Đường gấp khúc (bổ sung cho biểu đồ tổ chức) nối trung điểm của các đoạn thẳng giới hạn phía trên biểu đồ tổ chức. Diện tích giới hạn bên dưới đường gấp khúc tỉ lệ với tổng số quan sát (Bảng 1.5, [A], trang 23) 1.2. Mối liên hệ giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu Trong phần này, chúng tôi tìm hiểu, phân tích và chỉ ra mối liên hệ giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu, cụ thể là xem xét trên biểu đồ, các tham số đặc trưng của mẫu số liệu thể hiện như thế nào và dựa vào biểu ta có thể “đọc” các tham số đặc trưng của mẫu số liệu như thế nào? Tương tự như đối với biểu đồ, chúng tôi chỉ quan tâm đến các tham số xuất hiện trong chương trình và sách giáo khoa toán bậc phổ thông ở Việt Nam, cụ thể: - Các tham số định tâm gồm: mốt, số trung vị, số trung bình cộng - Các tham số đo độ phân tán gồm: phương sai, độ lệch chuẩn. Trong các phân tích ở mục này, chúng tôi sử dụng các tài liệu sau: [B] Freedman D., Pisani R., Purves R. (1988), Statistics, W. W. Norton & Company, Inc. [C] David A. Kenny (1987), Statistics for the social and behavioral sciences, Little, Brown Company (Canada) Limited. 1.2.1 Mốt Mốt được định nghĩa là giá trị có tần số lớn nhất. “Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong bảng số liệu” ([C], trang 43) Như vậy, để xác định mốt, ta lập bảng phân bố tần số (tần suất) và xác định giá trị có tần số (tần suất) lớn nhất. Về mối liên hệ giữa biểu đồ và mốt, chúng tôi tìm thấy trong [C] chỉ ra: “Trên đồ thị biểu diễn sự phân bố của dãy số liệu, mốt là giá trị tương ứng với điểm cao nhất (đỉnh) của đồ thị.” ([C], trang 44) Như vậy, khi biểu diễn dữ liệu thống kê bằng biểu đồ, ta có thể quan sát được hình ảnh của mốt, cụ thể: - Trên biểu đồ hình cột, mốt là giá trị tương ứng với cột cao (dài) nhất. - Trên biểu đồ tổ chức, mốt là giá trị tương ứng với hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. - Trên đa giác tần số, tần suất, mốt là giá trị tương ứng với điểm cao nhất của đường gấp khúc. - Trên biểu đồ hình quạt, mốt là giá trị tương ứng với hình quạt có diện tích lớn nhất. 1.2.2 Số trung vị Số trung vị được định nghĩa: “Số trung vị là giá trị chia mẫu số liệu thành hai nữa, 50% dữ liệu nằm dưới trung vị và 50% dữ liệu nằm trên trung vị.” ([C], trang 44) Để xác định số trung vị, ._.ta cần xếp mẫu số liệu thành một dãy các giá trị rời nhau theo một thứ tự nhất định (không giảm hoặc không tăng). Khi đó, số trung vị là giá trị nằm giữa dãy số liệu. “Số trung vị được xác định theo các bước sau: - Xếp các số liệu thành một dãy thứ tự - Số trung vị là giá trị của số liệu ở chính giữa dãy. + Nếu n (kích thước mẫu) là số lẻ thì số trung vị là giá trị thứ (n+1)/2. + Nếu n là số chẳn thì số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị thứ (n/2) và thứ (n/2 +1). Nghĩa là số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa dãy.” ([C], trang 48) Về mối liên hệ giữa biểu đồ và số trung vị, chúng tôi tìm thấy trong [D] trình bày như sau: “Trên biểu đồ, số trung vị có thể được biểu thị bằng đường thẳng chia biểu đồ thành hai nữa có diện tích bằng nhau” ([C], trang 44) ([C], trang 44) Cũng cần phải chú ý rằng, ở đây, dãy số liệu khi biểu diễn trên biểu đồ phải đảm bảo theo một thứ tự nhất định và khi ta chia diện tích của biểu đồ thành hai nữa bằng nhau cũng phải đảm bảo tính từ giá trị đầu tiên theo thứ tự đã chọn. 1.2.3 Số trung bình cộng Số trung bình cộng được định nghĩa là trung bình cộng của tất cả các số liệu thống kê, và được kí hiệu là x . “Số trung bình cộng được tính bằng tổng của tất cả các số liệu chia cho số lượng quan sát – kích thước mẫu: xx n = ∑ ” ([C], trang 45) Trong trường hợp dữ liệu được biểu diễn bằng bảng phân bố tần số, số trung bình cộng được tính như sau: - “ Nhân giá trị x với tần số tương ứng. - Cộng các kết quả tích có được ở trên. - Chia tổng cho kích thước mẫu” ([C], trang 50) Trong trường hợp số liệu được ghép lớp, người ta sử dụng giá trị đại diện của lớp ghép, đó là “điểm chính giữa” của lớp ghép, tính bằng trung bình cộng của hai giá trị đầu mút của lớp ghép. “Điểm chính giữa của các lớp ghép có thể được dùng để thay thế cho các giá trị để nhân với tần số của lớp ghép” ([C], trang 50) Về ý nghĩa của số trung bình cộng: Số trung bình cộng thể hiện mức bình quân mà biến quan sát đạt được, là mức cân bằng giữa các số liệu. “Số trung bình cộng là điểm cân bằng của phân phối” ([C], trang 44) Do đó, khi biểu diễn dữ liệu bằng biểu đồ thì: “Giá trị trung bình biểu thị bằng đường thẳng đi qua trọng tâm của biểu đồ.” ([C], trang 45) Như vậy, mối liên hệ giữa biểu đồ tổ chức và số trung bình cộng được thể hiện qua vị trí cân bằng trên trục ngang của biểu đồ. Trong trường hợp dữ liệu thống kê có tính chất là dãy đối xứng, lúc đó, biểu đồ tổ chức có dạng đối xứng qua một trục thì số trung bình cộng là giá trị tại vị trí trục đối xứng. “Xét biểu đồ tổ chức của dãy số đối xứng: 1, 2, 2, 3. Khi đó, biểu đồ tổ chức có dạng đối xứng qua trục tại giá trị 2, đó là số trung bình cộng.” ([B], trang 62) Trong biểu đồ tổ chức dang xét ở trên, nếu thay đổi giá trị 3 trong dãy số, tăng lên thành 5 hay 7, thì số trung bình cộng của dãy số sẽ thay đổi (tăng lên), lúc đó, vị trí biểu diễn cho số trung bình cộng sẽ dịch chuyển sang phải. “Hãy tưởng tượng hình chữ nhật tại vị trí giá trị 3 trượt sang phải trên một sợi dây căng, đến vị trí 5 hoặc 7. Khi đó, sự đối xứng của biểu đồ bị phá vỡ, trục cân bằng cũng xê dịch sang phải, tương ứng số trung bình cộng của dãy số cũng sẽ tăng lên.” ([B], trang 62) (Số trung Số trung bình cộng được đánh dấu bằng mũi tên) Quan sát sự thay đổi của số trung bình cộng xét trong ví dụ trên, ta thấy phần có diện tích nhỏ hơn sẽ nằm xa vị trí số trung bình cộng, phần diện tích lớn hơn nằm gần vị trí số trung bình cộng hơn, theo một tỉ lệ khoảng cách nhất định đảm bảo sự “cân bằng” xãy ra ngay tại vị trí số trung bình cộng. “Biểu đồ tổ chức cân bằng ngay tại số trung bình cộng.” ([B], trang 64] ([B], trang 63) Đặc biệt, khi biểu đồ tổ chức có dạng đối xứng thì mốt bằng số trung vị và bằng số trung bình cộng, đồng thời đó chính là giá trị tương ứng trên trục ngang tại vị trí trục đối xứng của biểu đồ. Trong trường hợp biểu đồ tổ chức lệch về phía bên trái, số trung bình cộng lớn hơn số trung vị và số trung vị lớn hơn mốt. (Mode: mốt, Median: số trung vị, Mean: số trung bình cộng) ([C], trang 48) Ngược lại, trong trường hợp biểu đồ tổ chức lệch về phía bên phải, giá trị trung bình sẽ nhỏ hơn số trung vị và số trung vị nhỏ hơn mốt. (Mode: mốt, Median: số trung vị, Mean: số trung bình cộng) ([C], trang 48) 1.2.4 Phương sai, độ lệch chuẩn Phương sai và độ lệch chuẩn là hai tham số được dùng để đo độ phân tán của dãy số liệu, được tính dựa vào độ lệch của các số liệu so với số trung bình cộng. Tuy nhiên, khi tính độ lệch giữa các số liệu so với số trung bình cộng thì ta có tổng các độ lệch luôn bằng 0. Do đó, thay vì tính trung bình của các độ lệch, người ta tính trung bình của các bình phương độ lệch. “Phương sai, được kí hiệu là s2, bằng tổng bình phương độ lệch của các giá trị so với số trung bình cộng chia cho kích thước mẫu trừ một.” ( )− = − ∑ 2 2 1 x x s n ([C], trang 63) Trong công thức trên, người ta sử dụng kích thước mẫu trừ đi 1 với lý do để đảm bảo phương sai không xác định khi kích thước mẫu bằng 1. “Nếu chia cho kích thước mẫu n thì phương sai luôn bằng 0 trong trường hợp mẫu số liệu bằng 1. Tuy nhiên, nếu mẫu số của công thức tính phương sai là (n – 1) thì phương sai không xác định khi kích thước mẫu bằng 1” ([C], trang 65) Khi tính phương sai, người ta sử dụng bình phương các độ lệch, do đó, làm bình phương đơn vị của độ lệch. Để trở về đơn vị ban đầu, người ta lấy căn bậc hai của phương sai và định nghĩa là độ lệch chuẩn. “Độ lệch chuẩn, ký hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai” ([C], trang 63) Trong khi đó, chúng tôi tìm thấy trong [B] ký hiệu độ lệch chuẩn là “SD”. Hầu hết các số liệu của dãy nằm trong “khu vực” x SD± , rất ít số liệu nằm ngoài “khu vực” 2x SD± . “Khoảng 68% số liệu nằm trong khu vực x SD± , 32% còn lại nằm ngoài khoảng này. Khoảng 95% số liệu nằm trong khu vực 2x SD± , 5% còn lại nằm ngoài” ([C], trang 68). [A, trang 68] Như vậy, nếu càng nhiều dữ liệu tập trung càng gần “khu vực” giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn của dãy số liệu càng nhỏ và ngược lại. Do đó, nếu đỉnh của đồ thị càng cao và độ dốc của đồ thị càng lớn thì độ lệch chuẩn càng nhỏ và ngược lại, nếu đỉnh của đồ thị càng thấp và độ dốc của đồ thị càng thấp thì độ lệch chuẩn càng lớn. Ngoài ra, [B] cũng cung cấp công thức cho phép tính độ lệch chuẩn dựa vào dãy số liệu: ( )2x x SD n − = ∑ Trong công thức trên, mẫu số được tính bàng n thay vì (n – 1) như trong [C] và điều này không được giải thích. Tóm lại, giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu có mối liên hệ qua lại với nhau. Mối liên hệ đó cho phép xác định hoặc ước lượng trực tiếp giá trị các tham số trên biểu đồ, mà không cần phải lập lại bảng tần số, tần suất, tức là không qua bước trung gian là sử dụng bảng số liệu để tính theo các công thức được cung cấp. Tuy nhiên, điều đó có thật sự được quan tâm hay không? Chúng tôi tiến hành tìm hiểu và phân tích về các tổ chức toán học liên quan đến biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu để làm rõ điều này. Các tổ chức toán học liên quan đến mối liên hệ giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu được chúng tôi tìm thấy trong [B] và [C]: • Tt.tv : Tính số trung vị của mẫu số liệu. -Kĩ thuật .t tvτ 1: - Xếp các số liệu thành một dãy thứ tự - Số trung vị là giá trị của số liệu ở chính giữa dãy. + Nếu n (kích thước mẫu) là số lẻ thì số trung vị là giá trị thứ (n+1)/2 + Nếu n là số chẳn thì số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị thứ (n/2) và thứ (n/2 +1). Yếu tố công nghệ .t tvθ 1: Định nghĩa và cách xác định số trung vị. -Kĩ thuật .t tvτ 2: Xác định vị trí đường thẳng chia biểu đồ thành hai nữa có diện tích bằng nhau. Số trung vị là giá trị tương ứng tại vị trí đó. Chú ý các trường hợp sau: - Nếu biểu đồ tổ chức có dạng đối xứng thì số trung vị là giá trị tương ứng tại vị trí trục đối xứng, - Nếu biểu đồ tổ chức lệch về bên phải (trái) thì số trung vị có xu hướng lệch sang bên phải (trái). Yếu tố công nghệ .t tvθ 2: Trên biểu đồ, số trung vị biểu thị bằng đường thẳng chia biểu đồ thành hai nữa có diện tích bằng nhau. • Tt.tb : Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu -Kĩ thuật .t tbτ 1: Tính tổng tất cả các số liệu thống kê và chia cho kích thước mẫu. Trường hợp số liệu ghép lớp thì lấy điểm chính giữa lớp ghép làm giá trị đại diện cho lớp ghép đó. Yếu tố công nghệ .t tbθ 1: Định nghĩa và cách tính số trung bình cộng. -Kĩ thuật .t tbτ 2: Xác định (hoặc ước lượng) vị trí cân bằng (trọng tâm) của biểu đồ. Khi đó, số trung bình cộng là giá trị tại vị trí cân bằng (đường thẳng đi qua trọng tâm). Chú ý các trường hợp sau: - Nếu biểu đồ tổ chức có dạng đối xứng thì giá trị trung bình là giá trị tương ứng tại vị trí trục đối xứng, - Nếu biểu đồ tổ chức lệch về bên phải (trái) thì giá trị trung bình có xu hướng lệch sang bên phải (trái). Yếu tố công nghệ .t tbθ 2: trên biểu đồ tổ chức, giá trị trung bình là vị trí “cân bằng”. Kĩ thuật .t tbτ 2 thường được sử dụng trong trường hợp mẫu số liệu thống kê được trình bày bằng biểu đồ tổ chức, nhất là khi không có đầy đủ số liệu chi tiết trên biểu đồ, chẳng hạn: Bên dưới là ba đồ thị mô tả sự phân bố của ba dãy số liệu. Hãy chọn giá trị và điền vào chổ trống cho mỗi dãy số liệu: số trung bình cộng của dãy số là:………. 25, 40, 50, 60, 75. ([B], trang 65) Kĩ thuật này cũng cho thấy mối liên hệ giữa biểu đồ và số trung bình cộng của mẫu số liệu: từ biểu đồ, ta có thể chỉ ra số trung bình cộng mà không phải sử dụng bảng số liệu thống kê như trong kĩ thuật .t tbτ 1. • Ts.tb-tv : So sánh số trung bình cộng và số trung vị của mẫu số liệu -Kĩ thuật .s tb tvτ − 1: trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng số liệu, bảng phân bố, ta thực hiện các bước sau: - Tính số trung vị theo kĩ thuật .t tvτ 1 - Tính số trung bình cộng theo kĩ thuật .t tbτ 1 - So sánh số trung bình và số trung vị. Yếu tố công nghệ .s tb tvθ − 1: - Định nghĩa và cách tính số trung vị và số trung bình cộng. - Phép toán so sánh. -Kĩ thuật .s tb tvτ − 2: sử dụng kĩ thuật .t tbτ 2 và .t tvτ 2 để tính (ước lượng) số trung bình cộng và số trung vị rồi so sánh. Chú ý các trường hợp sau: - Nếu biểu đồ tổ chức có dạng đối xứng thì số trung vị bằng số trung bình cộng, và là giá trị ngay tại trục đối xứng đó. - Nếu biểu đồ tổ chức lệch về phía bên trái, số trung vị nhỏ hơn số trung bình cộng, ngược lại, nếu biểu đồ tổ chức lệch về phía bên phải, số trung vị lớn hơn số trung bình cộng. Yếu tố công nghệ .s tb tvθ − 2: tính chất và mối liên hệ giữa số trung vị, số trung bình cộng và biểu đồ tổ chức. Kĩ thuật .s tb tvτ − 2 được sử dụng trong trường hợp mẫu số liệu được biểu diễn bằng biểu đồ, nhất là trong các trường hợp không có thông tin chi tiết về các số liệu. Ví dụ: Trong mỗi biểu đồ tổ chức ở trên, số trung vị bằng giá trị trung bình không? Hay ở bên trái? hay ở bên phải? ([B], trang 65) • Tt.SD : Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu. -Kỹ thuật .t SDτ 1: - Tính số trung bình cộng x - Tính độ lệch giữa các giá trị xi và số trung bình cộng x , tức là tính ix x− - ( ) 2 ix x SD n − = , với n là kích thước mẫu. Yếu tố công nghệ .t SDθ 1: định nghĩa và cách tính độ lệch chuẩn. -Kỹ thuật .t SDτ 2: Ước lượng độ lệch chuẩn dựa vào hình dáng của biểu đồ tổ chức: nếu đỉnh của đồ thị càng cao và độ dốc của đồ thị càng lớn thì độ lệch chuẩn càng nhỏ và ngược lại. Đồng thời, ước lượng khoảng 68% dữ liệu nằm trong khoảng x SD± và khoảng 95% dữ liệu nằm trong khoảng 2x SD± . Yếu tố công nghệ .t SDθ 2: ý nghĩa của độ lệch chuẩn và biểu thị của nó trên biểu đồ tổ chức. Ví dụ: Sau đây là đường vẽ biểu đồ tổ chức của ba dãy số liệu. Hãy lựa chọn mỗi biểu đồ với một trong các mô tả sau: (i) 3.5 , 1x SD≈ ≈ (ii) 3.5 , 0.5x SD≈ ≈ (iii) 3.5 , 2x SD≈ ≈ (iv) 2.5 , 1x SD≈ ≈ (v) 2.5 , 0.5x SD≈ ≈ (vi) 4.5 , 0.5x SD≈ ≈ ([B], trang 69) • Ts.SD : so sánh độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu -Kỹ thuật .s SDτ 1: tính độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu theo kĩ thuật .t SDτ 1 rồi so sánh. Yếu tố công nghệ .s SDθ 1: cách tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu và phép toán so sánh. -Kỹ thuật .s SDτ 2: So sánh độ lệch chuẩn dựa vào hình dáng biểu đồ tổ chức: nếu đỉnh của đồ thị càng cao và độ dốc của đồ thị càng lớn thì độ lệch chuẩn càng nhỏ và ngược lại, nếu đỉnh của đồ thị càng thấp và độ dốc của đồ thị càng thấp thì độ lệch chuẩn càng lớn. Yếu tố công nghệ .s SDθ 2: ý nghĩa của độ lệch chuẩn và biểu thị của nó trên biểu đồ tổ chức. Kĩ thuật .s SDτ 2 sử dụng trong trường hợp cần ước lượng để so sánh độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu dựa vào biểu đồ tổ chức, khi không có thông tin chi tiết và đầy đủ về số liệu thống kê, ví dụ: Sau đây là phát họa biểu đồ tổ chức của ba dãy số liệu […] d. Độ lệch chuẩn (SD) của biểu đồ tổ chức (i) nhỏ hơn độ lệch chuẩn (SD) của biểu đồ tổ chức (iii), đúng hay sai, giải thích? ([B], trang 69) • Tm.hd: Mô tả hình dạng đồ thị khi biết giá trị trung bình, số trung vị và mốt. Ví dụ: - Một nghiên cứu về độ tuổi của những người sống tại trại chăm sóc thu được số liệu dưới các số đặc trưng như sau: trung bình: 70, số trung vị: 78, mốt: 83. Hãy dự đoán biểu đồ tổ chức có hình dạng như thế nào?([D], trang 53) - Hãy vẽ biểu đồ tổ chức minh họa cho các trường hợp sau: a. Giá trị trung bình lớn hơn mốt b. Giá trị trung bình nhỏ hơn trung vị c. Số trung vị nhỏ hơn mốt d. Có hai giá trị mốt ([C], trang 54) Kĩ thuật .m hdτ : - Nếu mốt bằng số trung vị và bằng giá trị trung bình thì biểu đồ tổ chức có dạng đối xứng, khi đó mốt, số trung vị, giá trị trung bình là giá trị ngay tại vị trí trục đối xứng. - Nếu giá trị trung bình lớn hơn số trung vị và số trung vị lớn hơn mốt thì biểu đồ tổ chức lệch về phía bên trái. - Nếu giá trị trung bình sẽ nhỏ hơn số trung vị và số trung vị nhỏ hơn mốt thì biểu đồ tổ chức lệch về phía bên phải. Yếu tố công nghệ .m hdθ : tính chất của mốt, số trung vị và giá trị trung bình trên biểu đồ tổ chức. Chúng tôi không tìm thấy kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến mốt của mẫu số liệu. Tuy nhiên, có thể thấy mốt là giá trị tham số dễ nhìn thấy và xác định được trên biểu đồ so với các tham số khác. Các tổ chức toán học liên quan đến việc tìm hay ước lượng, so sánh số trung vị, số trung bình, độ lệch chuẩn trên biểu đồ (cụ thể là biểu đồ tổ chức) tạo điều kiện cho ta thấy rõ hơn mối liên hệ qua lại giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu, đồng thời cho phép hiểu sâu hơn định nghĩa cũng như thấy được ý nghĩa của các tham số đó. 1.3. Kết luận chương 1 - Biểu đồ cho một hình ảnh trực quan về sự phân bố của các giá trị của biến. Mỗi loại biểu đồ có những đặc trưng riêng về cách thức biểu diễn dữ liệu, về đặc điểm của mẫu số liệu và về mục đích sử dụng. Biểu đồ hình cột biểu diễn dữ liệu của biến định tính và định lượng rời rạc, có ưu thế trong việc so sánh mức độ phổ biến giữa các giá trị của biến; Biểu đồ hình quạt cho một hình ảnh về tỉ lệ của các thành phần trong một tổng thể; Biểu đồ tổ chức và đa giác tần số, tần suất dùng biểu diễn dữ liệu trong trường hợp dữ liệu ghép lớp, nó cũng cho phép người dùng xem xét sự phân bố của dữ liệu, sự tiến triển của hàm mật độ, và dự đoán đường cong hàm mật độ lý thuyết. Như vậy, việc biểu diễn dữ liệu bằng biểu đồ sẽ mang lại hiệu quả tốt nếu như ta lựa chọn được loại biểu đồ thích hợp với đặc điểm của dữ liệu và mục đích của việc biểu diễn. Do đó, việc nắm rõ các đặc trưng cũng như ưu thế của từng loại biểu đồ là điều quan trọng và cần thiết đối với người sử dụng. - Nếu như biểu đồ cho một hình ảnh trực quan về sự phân bố của mẫu số liệu, thì các tham số đặc trưng lại là một công cụ thu gọn mẫu số liệu thống kê, cho biết những thông tin ngắn gọn và khái quát về mẫu số liệu. Giữa biểu đồ và các số đặc trưng của mẫu số liệu có mối liên hệ với nhau, được xây dựng dựa trên định nghĩa, ý nghĩa của các tham số đó và cách thức biểu thị dữ liệu của biểu đồ. Xét sơ đồ biểu thị mối liên hệ giữa các công cụ biểu diễn, tóm tắt dữ liệu thống kê như sau: Sơ đồ trên cho thấy: giữa bảng phân bố tần số (tần suất) và biểu đồ có mối quan hệ hai chiều, tức là từ bảng phân bố tần số, ta vẽ được biểu đồ và ngược lại, từ biểu đồ, ta có thể lập lại bảng phân bố (trong những trường hợp cụ thể). Đồng thời, từ bảng phân bố ta tính được các tham số đặc trưng của mẫu số liệu. Như vậy, xuất phát từ biểu đồ, ta có thể tính các tham số đặc trưng của mẫu số liệu bằng con đường trở về bảng phân bố. Ngoài ra, giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu lại có mối liên hệ với nhau, đó là liên hệ “từ biểu đồ, chỉ ra các tham số đặc trưng”. Do đó, từ biểu đồ, ta cũng có thể tính (hay ước lượng) một cách trực tiếp các tham số đặc trưng của mẫu số liệu mà không phải thông qua bảng dữ liệu thống kê. Điều này đặc biệt có ý nghĩa khi cần xác định, ước lượng, so sánh các tham số hay so sánh các mẫu dữ liệu với nhau trong trường hợp không có thông tin chi tiết và đầy đủ về số liệu thống kê. Chương 2:NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ DẠY HỌC TRI THỨC BIỂU ĐỒ Trong chương này, mục đích của chúng tôi là làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán bậc trung học ở Việt Nam với đối tượng biểu đồ. Chúng tôi quan tâm đến thể chế dạy học toán theo chương trình và sách giáo khoa mới hiện hành (được đưa vào giảng dạy từ năm 2000 đối với lớp 7 và từ năm 2003 đối với lớp 10). Cụ thể, trong chương này, chúng tôi sẽ phân tích chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài tập của chương trình toán ở lớp 7 và ở lớp 10 liên quan đến nội dung thống kê được giảng dạy, chỉ ra được sự lựa chọn của thể chế đối với tri thức biểu đồ, những ràng buộc và ảnh hưởng của nó lên việc học tri thức biểu đồ ở học sinh. 2.1.BIỂU ĐỒ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 7 Biểu đồ được trình bày trong nội dung một bài học (§3) trong chương III, phần đại số, sách giáo khoa Toán lớp 7, tập hai. Mục tiêu dạy học đặt ra đối với tri thức biểu đồ là học sinh có kĩ năng dựng được biểu đồ biểu diễn mối liên hệ giữa các giá trị của dấu hiệu và tần số của nó, đồng thời, dựa vào biểu đồ đó để nhận xét, đánh giá sơ bộ về sự phân bố của dữ liệu. “Lập được bảng tần số, biểu diễn được bằng cột đứng các mối liên hệ nói trên và nhận xét sơ bộ sự phân phối các giá trị của dấu hiệu.”(SGV toán 7, trang 3) 2.1.1 Phần lý thuyết Sách giáo khoa trình bày hai loại biểu đồ: biểu đồ đoạn thẳng và biểu đồ hình chữ nhật. Mở đầu bài học về biểu đồ, sách giáo khoa trình bày : “Ngoài bảng số liệu thống kê ban đầu, bảng “tần số”, người ta còn dùng biểu đồ để cho một hình ảnh cụ thể về giá trị của dấu hiệu và tần số.” (SGK Toán 7, tập hai, trang 13) Như vậy, biểu đồ xuất hiện với vai trò là một hình thức mô tả trực quan mối quan hệ giữa các giá trị của dấu hiệu và tần số tương ứng. Cùng với bảng số liệu thống kê ban đầu, bảng tần số, biểu đồ là một hình thức biểu diễn các dữ liệu thống kê. a) Biểu đồ đoạn thẳng: Sách giáo khoa giới thiệu biểu đồ đoạn thẳng gắn liền với bảng tần số, và trình bày các bước dựng biểu đồ đoạn thẳng qua một hoạt động, hướng dẫn cho học sinh thực hiện như sau: “Trở lại với bảng “tần số” lập được… Giá trị (x) 28 30 35 50 Tần số (n) 2 8 7 3 N = 20 Như vậy, sách giáo khoa trình bày tường minh và chi tiết các bước tiến hành dựng biểu đồ đoạn thẳng với số liệu thống kê cho bằng bảng tần số. Ở đây, chúng tôi nhận thấy sách giáo khoa sử dụng hệ trục tọa độ Oxy khi dựng biểu đồ đoạn thẳng. Học sinh đọc các giá trị của dấu hiệu trên trục hoành và tần số của chúng dựa theo chiều cao của các đoạn thẳng tương ứng (giá trị trên trục tung). Tuy nhiên, sách giáo khoa không được giải thích gì thêm về hình ảnh các “đoạn thẳng” trong biểu đồ, cụ thể là nó biểu diễn cho cái gì, nó có ý nghĩa gì trên biểu đồ? Điều đó làm chúng tôi tự hỏi rằng, học sinh hiểu như thế nào về hình ảnh các đoạn thẳng trên biểu đồ? Liệu rằng học sinh có nhận biết được hình ảnh các đoạn thẳng đó biểu diễn cho sự phân bố của các giá trị của dấu hiệu? Hay học sinh chỉ quan tâm đến các số liệu trên biểu đồ, và xem các đoạn thẳng như là đường nối giúp cho việc quan sát và đọc tần số của các giá trị được dễ dàng hơn? b) Biểu đồ hình chữ nhật: “? Hãy dựng biểu đồ đoạn thẳng theo các bước sau: a) Dựng hệ trục toạ độ, trục hoành biểu diễn các giá trị của x, trục tung biểu diễn tần số n (độ dài đơn vị trên hai trục có thể khác nhau). b) Xác định các điểm có toạ độ là các cặp số gồm giá trị và tần số của nó: (28;2) ; (30;8) ; ... )Lưu ý: giá trị viết trước, tần số viết sau). c) Nối mỗi điểm đó với điểm trên trục hoành có cùng hoành độ. Chẳng hạn điểm (28;2) được nối với điểm (28;0) ;... Biểu đồ vừa dựng là một ví dụ về biểu đồ đoạn thẳng (h.1).” (SGK Toán 7, tập 2, trang 13) Biểu đồ hình chữ nhật được giới thiệu trong mục “Chú ý” trong bài: “… loại biểu đồ như hình 2 (các đoạn thẳng được thay bằng các hình chữ nhật, cũng có khi các hình chữ nhật được vẽ sát nhau để dễ nhận xét và so sánh), đó là biểu đồ hình chữ nhật” (SGK toán 7, tập 2, trang 13,14) Như vậy, biểu đồ hình chữ nhật được trình bày thông qua một hình ảnh minh họa, nó chỉ khác với biểu đồ đoạn thẳng về hình thức, là các đoạn thẳng được thay bằng các hình chữ nhật. Sách giáo khoa không trình bày tường minh và chi tiết về cách dựng biểu đồ hình cột và không yêu cầu học sinh biết vẽ loại biểu đồ này. Quan sát hình ảnh biểu đồ hình cột, chúng tôi thấy trục ngang không đảm bảo tỉ lệ của trục tọa độ, trục đứng được chia tỉ lệ tính từ gốc O và biểu thị cho số lượng phần tử của biến tương ứng với các giá trị biểu diễn trên trục ngang. Do đó, đặc trưng biểu đồ hình chữ nhật là chiều cao của các cột thể hiện số lượng phần tử của các giá trị. Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy, các giá trị của dấu hiệu biểu diễn trong biểu đồ hình chữ nhật đều là các giá trị rời rạc. Như vậy, biểu đồ hình chữ nhật ở đây chính là biểu đồ hình cột mà chúng tôi trình bày trong chương 1. 2.1.2 Phần bài tập Các tổ chức toán học liên quan đến biểu đồ được tìm thấy trong sách giáo khoa và sách bài tập của bộ sách lớp 7: • TV.ĐT: Vẽ biểu đồ đoạn thẳng Kĩ thuật τ V.ĐT: - Lập bảng “tần số” từ bảng bảng số liệu thống kê ban đầu (nếu đã có bảng tần số thì bỏ qua bước này). - Dựng hệ trục toạ độ, trục hoành biểu diễn các giá trị của x, trục tung biểu diễn tần số n (độ dài đơn vị trên hai trục có thể khác nhau). - Xác định các điểm có toạ độ là các cặp số gồm giá trị và tần số của nó: (x;n). - Nối mỗi điểm đó với điểm trên trục hoành có cùng hoành độ. Yếu tố công nghệ θ V.ĐT: chiều cao của các đoạn thẳng thể hiện số lượng phần tử ứng với từng giá trị của dấu hiệu. • T Đ.TS: Đọc giá trị tần số từ biểu đồ Ví dụ: Hãy quan sát biểu đồ ở hình 3 (đơn vị của các cột là triệu người) và trả lời các câu hỏi: A. Năm 1921, số dân của nước ta là bao nhiêu? (SGK Toán 7, tập hai, trang 14) Kĩ thuật τ Đ.TS: đọc các giá trị của dấu hiệu trên trục ngang (trục hoành) và chiều cao của các đoạn thẳng (cột hình chữ nhật) tương ứng là tần số. Yếu tố công nghệ θ Đ.TS: chiều cao của các đoạn thẳng (cột hình chữ nhật) thể hiện số lượng phần tử ứng với từng giá trị của dấu hiệu. • T BTS: Lập bảng “tần số” dựa vào biểu đồ đoạn thẳng Kĩ thuật τ BTS: - Xác định tần số của các giá trị theo kỹ thuật τ Đ.TS. - Lập bảng tần số gồm hai dòng: dòng giá trị của dấu hiệu và dòng tần số tương ứng. Yếu tố công nghệ θ BTS: khái niệm bảng “tần số” • TNX: Nhận xét dãy số liệu dựa vào biểu đồ Kiểu nhiệm vụ này có 2 kiểu nhiệm vụ con:  TNX.TS: Nhận xét sự phổ biến của các giá trị. Kĩ thuật τ NX.TS: kĩ thuật của kiểu nhiệm vụ này không được trình bày tường minh và rõ ràng, nhưng thông qua các bài tập và lời giải trình bày trong sách giáo viên, có thể thấy thể chế mong đợi học sinh có thể “đọc” từ biểu đồ đoạn thẳng các dữ kiện sau: - Số lượng các giá trị khác nhau của dấu hiệu (nhiều, ít, …) - Giá trị có tần số nhỏ nhất, lớn nhất. - Các giá trị của dấu hiệu chiếm số lượng phần tử nhiều nhất (tỉ lệ khoảng trên 70%). Yếu tố công nghệ θ NX.TS: đặc trưng của biểu đồ đoạn thẳng: chiều cao của các đoạn thẳng thể hiện số lượng phần tử ứng với từng giá trị của dấu hiệu.  T NX.SS: Nhận xét sự biến động (so sánh tần số của các giá trị) của dãy số. Ví dụ: Hãy quan sát biểu đồ ở hình 3 (đơn vị của các cột là triệu người) và trả lời các câu hỏi: … b) Sau bao nhiêu năm (kể từ năm 1921) thì dân số nước ta tăng thêm 60 triệu người? c) Từ 1980 đến 1999, dân số nước ta tăng thêm bao nhiêu? (SGK Toán 7, tập hai, trang 14) Kĩ thuật τ NX.SS: đọc các giá trị của dấu hiệu trên trục ngang (trục hoành), số lượng phần tử của các giá trị là chiều cao của các hình chữ nhật tương ứng và so sánh, tính độ tăng (giảm) của các giá trị hay số lượng phần tử các các giá trị. Yếu tố công nghệ θ NX.SS: chiều cao của các hình chữ nhật thể hiện số lượng phần tử ứng với từng giá trị của dấu hiệu. Thống kê các bài tập sách giáo khoa và sách bài tập, chúng tôi tìm thấy số lượng các kiểu nhiệm vụ như sau: KNV Số lượng Tỉ lệ (%) TV.ĐT 9 52,9 T Đ.TS 1 5,9 T BTS 1 5,9 T NX 6 35,3 Tổng 17 100 Từ kết quả thống kê chúng tôi nhận thấy thấy kiểu nhiệm vụ TV.ĐT chiếm ưu thế hơn hẳn so với các kiểu nhiệm vụ còn lại. Điều này cho thấy thể chế chú trọng vào việc hình thành và rèn luyện kĩ năng vẽ biểu đồ đoạn thẳng cho học sinh. Ngoài ra, chúng tôi nhận xét thấy kiểu nhiệm vụ này luôn gắn liền với bảng phân bố tần số và biểu đồ được dùng với mục đích biểu diễn bảng “tần số”. Sự có mặt của kiểu nhiệm vụ T BTS tạo điều kiện cho học sinh nhận thấy mối liên hệ giữa bảng “tần số” và biểu đồ đoạn thẳng theo chiều ngược lại: từ biểu đồ đoạn thẳng cho trước, ta lập lại bảng “tần số”. Trong bài tập 13 (SGK toán 7, tập hai, trang 15) liên quan đến hai kiểu nhiệm vụ T Đ.TS và T NX.SS , chúng tôi thấy một hình ảnh khác về biểu đồ hình chữ nhật: (SGK toán 7, tập hai, trang 15) Trong biểu đồ trên, các cột được dựng trên một trục ngang, không có trục tung của hệ trục Oxy. Chúng tôi nhận thấy không có sự chia tỉ lệ trên trục ngang: khoảng cách giữa các cột đều bằng nhau, trong khi giá trị các năm không cách đều nhau. Điều đó theo chúng tôi là sẽ ảnh hưởng đến việc quan sát và đánh giá về sự phân bố của dữ liệu trên biểu đồ. Trong trường hợp này, cách biểu diễn như trên cho một hình ảnh không chính xác về mức độ tiến triển của hiện tượng (dân số nước ta) theo thời gian. Tuy nhiên, biểu đồ này lại được sử dụng trong kiểu nhiệm vụ T NX.SS. Như vậy, việc so sánh nhận xét về dãy số liệu biểu diễn trên biểu đồ chỉ ở mức độ là đọc và so sánh thông qua các số liệu ghi trên biểu đồ, chứ chưa có sự kết hợp việc quan sát và nhận thấy sự biến động của dãy số liệu thông qua “hình ảnh” biểu diễn của dãy số liệu từ biểu đồ. Về đặc điểm của mẫu số liệu, chúng tôi thấy trong tất cả các ví dụ và bài tập liên quan đến biểu đồ, các số liệu thống kê đều là các giá trị số rời rạc. Điều này là hợp lý với nội dung giới hạn của chương trình và sách giáo khoa: “Ta chỉ xem xét, nghiên cứu các dấu hiệu mà giá trị của nó là các số, tuy nhiên, cần lưu ý rằng không phải mọi dấu hiệu đều có giá trị là số”(SGK Toán 7, tập hai, trang 7) 2.1.3 Một vài kết luận - Có hai loại biểu đồ được đưa vào chương trình, tương ứng với đặc điểm mẫu số liệu của biến định lượng rời rạc, đó là biểu đồ đoạn thẳng và biểu đồ hình chữ nhật. Đặc trưng của biểu đồ đoạn thẳng (biểu đồ hình chữ nhật) là chiều cao của các đoạn thẳng (các cột hình chữ nhật) biểu diễn số lượng phần tử ứng với các giá trị của dấu hiệu. - Biểu đồ được đưa vào với mục đích chính là hình thức biểu diễn bảng “tần số” một cách trực quan. Các yêu cầu của kiểu nhiệm vụ TĐ.TS và TNX chỉ dừng lại ở mức độ đọc số liệu trên biểu đồ. Vai trò “hình ảnh” của biểu đồ chưa được khai thác khi cần nhận xét và đánh giá sự phân bố của dãy số liệu. - Chương trình và sách giáo khoa chú trọng việc hình thành và rèn luyện kĩ năng vẽ biểu đồ đoạn thẳng, không yêu cầu học sinh biết vẽ biểu đồ hình chữ nhật. Điều này cho thấy, sách giáo khoa chưa chỉ ra được ưu thế giữa hai loại biểu đồ trong việc biểu diễn dữ liệu thống kê, tương ứng với các mục đích sử dụng khác nhau. 2.2. Biểu đồ trong chương trình toán lớp 10 Chương trình toán lớp 10 dành trọn vẹn chương V trình bày nội dung thống kê mô tả. Cụ thể như sau: Chương V. Thống kê §1. Bảng phân bố tần số và tần suất §2. Biểu đồ §3. Số trung bình cộng. Số trung vị. Mốt §4. Phương sai và độ lệch chuẩn Ôn tập chương V Về nội dung dạy học thống kê mô tả, sách giáo khoa ôn tập lại các khái niệm cơ bản của thống kê mô tả đã được học ở chương trình toán lớp 7, đồng thời tiếp tục cung cấp cho học sinh một số khái niệm mới, như tần suất, bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp, biểu đồ tần số (tần suất) hình cột, đường gấp khúc tần số (tần suất), biểu đồ hình quạt, khái niệm cùng cách xác định số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu. Mục đích dạy học thống kê mô tả được trình bày trong sách giáo viên: “Cung cấp cho học sinh một cách hệ thống những kiến thức, kĩ năng ban đầu về các phương pháp trình bày các số liệu thống kê, phương pháp thu gọn các số liệu thống kê nhờ các số đặc trưng. Góp phần giáo dục ý thức và kĩ năng vận dụng thống kê vào cuộc sống.” (SGV Toán 10, trang 122). Như vậy, thống kê mô tả được đưa vào trong chương trình dạy học toán ở lớp 10 bao gồm hai nội dung chính: - Phương pháp biểu diễn dữ liệu thống kê: biểu diễn dữ liệu bằng bảng phân bố và bằng biểu đồ. - Phương pháp thu gọn dữ liệu thống kê: dùng các tham số đặc trưng. Về nội dung biểu đồ, chúng tôi thấy sách giáo khoa trình bày 3 loại biểu đồ sau: biểu đồ hình cột, đường gấp khúc và biểu đồ hình quạt. So v._.số (tần suất) và tính số trung bình cộng theo công thức (1) hoặc (2). Tuy nhiên, trong tình huống này, trên biểu đồ không thể hiện đầy đủ các số liệu, không có giá trị tần số hay tần suất của các lớp ghép thì việc khôi phục bảng phân bố tần số (tần suất) sẽ gặp nhiều khó khăn. Đây không phải là chiến lược mong đợi của chúng tôi trong tình huống được xây dựng. Những cái có thể quan sát được trong chiến lược này: Lời giải 1: Bảng phân bố tần số - Xác định chiều cao của các cột hình chữ nhật và gọi chiều cao của cột thấp nhất có tần số là n, với n là một ẩn số. Từ đó lập bảng tần số: Lớp ghép [40;46) [46;52) [52;58) [58;64) Tần số n 2n 8n 4n - Tính số trung bình cộng của dãy số liệu: + + + = = + + + 43. 49.2 55.8 61.4 55 2 8 4 n n n n x n n n n Lời giải 2: bảng phân bố tần suất - Xác định chiều cao của các hình chữ nhật theo một đơn vị quy ước (có thể quy ước hình chữ nhật có chiều cao thấp nhất là một đơn vị chiều cao) Lớp ghép [40;46) [46;52) [52;58) [58;64) Chiều cao 1 2 8 4 - Xác định tần suất của các lớp ghép dựa vào tỉ lệ diện tích (chiều cao) của các cột hình chữ nhật: Lớp ghép [40;46) [46;52) [52;58) [58;64) Tần suất (fi) 1/15 2/15 8/15 4/15 - Tính số trung bình cộng của dãy số liệu: + + + = =1 1 2 2 3 3 4 4 . . . . 55 100 c f c f c f c f x • S1: “Thực nghiệm vật lí” Học sinh có thể sử dụng chiến lược này để ước lượng vị trí cân bằng đặt trên trục hoành của biểu đồ, rồi từ đó, xác định số trung bình của dữ liệu là giá trị tại vị trí cân bằng. Tuy nhiên, biểu đồ ở đây được in trên giấy A4, không được cắt rời ra như tấm bìa trong pha 1sẽ gây khó khăn cho học sinh trong việc dò tìm vị trí cân bằng. Do đó việc tính số trung bình cộng bằng cách ước lượng vị trí cân bằng theo chiến lược S1 trong trường hợp này tỏ ra không hiệu quả. • S2: “Tính toán vật lý” Khi chiến lược S1 và S3 tỏ ra không hiệu quả thì chiến lược S2 xuất hiện sẽ cho phép hình thành ở học sinh mối liên hệ “từ biểu đồ, chỉ ra số trung bình cộng” thông qua việc sử dụng kỹ thuật tính số trung bình cộng bằng cách xác định vị trí cân bằng đặt trên trục hoành của biểu đồ. Những cái có thể quan sát được: Bước 1: xác định vị trí cân bằng của biểu đồ. Xem biểu đồ như hệ gồm bốn vật hình chữ nhật có khối lượng m, 2m, 8m và 4m (hình vẽ). Trọng lực của bốn vật lần lượt là     1 2 3 4, , ,F F F F với: = = =       2 1 3 1 4 12 , 8 , 4F F F F F F • Hợp lực của  1F và  2F là  1.2F xác định như sau: -Về độ lớn: = + =1.2 1 2 13F F F F -Điểm đặt của  12F chia khoảng cách giữa  1F và  2F theo tỉ lệ: = = 1 2 2 1 2 1 d F d F • Hợp lực của  3F và  4F là  3.4F xác định như sau: -Về độ lớn: = + =3.4 3 4 112F F F F -Điểm đặt của  12F chia khoảng cách giữa  1F và  2F theo tỉ lệ: = = 3 4 4 3 1 2 d F d F • Hợp lực của hai lực  1.2F và  3.4F là  1.2.3.4F xác định như sau: -Về độ lớn: = + =1.2.3.4 1.2 3.4 115F F F F -Điểm đặt của  1.2.3.4F chia khoảng cách giữa  1.2F và  3.4F theo tỉ lệ: = = 1.2 3.4 3.4 1.2 4 1 d F d F Vị trí điểm đặt của  1.2.3.4F trên trục hoành chính là vị trí cân bằng của biểu đồ. Bước 2: đọc số trung bình cộng tương ứng là giá trị tại vị trí cân bằng, đó là giá trị 55. Vậy, cân nặng trung bình là 55 (kg). Pha 4 có thể được xem như là hoạt động tổng kết thực nghiệm. Nếu chiến lược S2 xuất hiện ở hầu hết các học sinh các nhóm thì chứng tỏ thực nghiệm của chúng tôi đạt được các mục đích đề ra, nghĩa là ở học sinh đã hình thành được mối liên hệ “từ biểu đồ hình cột, chỉ ra số trung bình cộng của dữ liệu thống kê” thông qua ý nghĩa vật lí của số trung bình cộng. 3.2.4. Phân tích a posteriori Diễn tiến và các kết quả đạt được của thực nghiệm thứ hai Thực nghiệm được tiến hành trên 24 học sinh lớp 10A1, trường THPT Đức Tân, tỉnh Bình Thuận. 24 học sinh được chia làm 6 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh và được bố trí sao cho đảm bảo khoảng cách thích hợp để các nhóm có thể làm việc độc lập với nhau. Pha 1 Sơ đồ phân công nhiệm vụ cho các nhóm trong pha 1 Nhóm 1 Phiếu 1a + bìa hình 1a Nhóm 6 Phiếu 1b + bìa hình 1b Nhóm 2 Phiếu 1c+ bìa hình 1c Nhóm 5 Phiếu 1a+ bìa hình 1a Nhóm 3 Phiếu 1b+ bìa hình 1b Nhóm 4 Phiếu 1c+ bìa hình 1c Kết quả được chúng tôi tổng hợp và phân tích dựa vào sản phẩm gồm phiếu số 1, các phiếu 1A, 1B, 1C, giấy nháp từ các nhóm và băng ghi hình, thu âm thu được trong pha 1. - Chiến lược S1 có xuất hiện ở một số nhóm khi bắt đầu làm việc với tấm bìa. Điều này cho thấy các nhóm xem đây là một “tình huống vật lí” và bắt đầu bằng chiến lược liên quan đến kiến thức về sự cân bằng trong vật lí. Nhóm 1: “Cân bằng là sao? … – Là treo lên nó đứng thẳng như vầy nè. …” (câu 2, protocole). Nhóm 2: “Cân bằng là tìm trọng tâm đó… - Vậy nó ở khoảng chổ này nè (HS 1 đưa bút đánh dấu vị trí khoảng “ở giữa” tấm bìa)… - Nhưng tìm điểm trên cạnh này mà? – À, vậy như thế này hả? (HS2 đưa tấm bìa đặt lên ngón tay để thư vị trí có căn bằng không” (câu 3, protocole). Nhóm 6: (HS 2 đặt cạnh đánh dấu của tấm bìa lên ngón tay và thay đổi các vị trí để tìm vị trí cân bằng) Nó nhẹ quá, không đứng yên được … - Vậy làm sao biết chổ nào?” (câu 7, protocole). Tuy nhiên, chiến lược S1 tỏ ra không hiệu quả trong tình huống này, các nhóm bắt đầu chuyển sang chiến lược khác: chiến lược S2. Tổng hợp kết quả từ sản phẩm thu được của các nhóm trong pha 1 cho chúng tôi thấy rõ, tất cả các nhóm đều sử dụng chiến lược S2 để tìm vị trí cân bằng của tấm bìa trên cạnh được đánh dấu. Chúng tôi xin dẫn chứng bài làm của nhóm 6 làm minh họa: Trong đó, cả hai lời giải sử dụng kĩ thuật τ 2.1 và τ 2.2 đều xuất hiện. Kết quả thống kê như sau: Lời giải Số lượng Các nhóm thực hiện Dùng τ 2.1 4 N1, N2, N3, N6 Dùng τ 2.2 2 N4, N5 Trong các chiến lược nêu trên, có 5 nhóm tính tỉ lệ độ lớn của trọng lực dựa vào yếu tố diện tích của các cột hình chữ nhật, trong đó có 2 nhóm (N2, N4) đếm và tính tổng số ô trong cột , 3 nhóm còn lại chỉ đếm chiều cao của các cột hình chữ nhật khi thấy độ rộng các hình chữ nhật là bằng nhau. Còn một nhóm còn lại tính tỉ lệ độ lớn của trọng lực dựa vào yếu tố khối lượng của các “khối” hình chữ nhật. Nhóm 4: “Em đếm số ô chiều rộng và số ô chiều dài rồi nhân lại để có diện tích của các hình chữ nhật và tính như vậy ạ.” (câu 13, protocole). Nhóm 1: “… Dạ thưa cô, vì chiều rộng đều là 6 ô, bằng nhau, nên chỉ cần đếm chiều cao các hình chữ nhật và xem nó gấp mấy lần nhau, lúc đó độ lớn lực cũng gấp bấy nhiêu lần nhau.” (câu 19, protocole). Nhóm 6: “Nhóm em gọi ba hình chữ nhật lần lượt là ba khối (1), (2) và (3) … chiều cao của khối (2) gấp đôi chiều cao khối (1) nên nếu em gọi khối (1) có khối lượng là m thì khối (2) có khối lượng là 2m … khối (3) có khối lượng là 5m” (câu 20, protocole). Đồng thời, trong quá trình thảo luận về cách thực hiện, giữa các nhóm thực hiện theo S2.1 và S2.2 đã có đề cập đến điểm đặt của trọng lực lên vật (hình chữ nhật). Nhóm 4: “Lực có điểm đặt tại vị trí trọng tâm của vật, em xác định bằng giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật… rồi nhóm em chiếu trọng tâm xuống mặt chân đế… xác định vị trí cân bằng trên mặt chân đế … dạ thưa cô mặt chân đế là cạnh được đánh dấu này” (câu 9,15,17, protocole). Nhóm 6: “… Nhóm em thì đặt lực tại trung điểm của cạnh đáy hình chữ nhật … dạ thưa Cô, theo em vì trọng lực đặt trên cạnh dưới, do mình dựng tấm bìa đứng như thế này (học sinh dựng tấm bìa đứng theo hướng cạnh được đánh dấu nằm ngang phía dưới) chứ không phải nằm ngang ((học sinh đặt tấm bìa nằm ngang hướng bề mặt của tấm bìa quay xuống phía dưới)”. (câu 22, 24, protocole). Như vậy, trong pha 1, tất cả các nhóm đều đã thống nhất đi đến kết quả cuối cùng là chỉ ra vị trí cân bằng bằng cách sử dụng chiến lược S2: “Tính toán vật lí”. Đồng thời, kết quả pha 1 cho thấy kỹ thuật “tìm vị trí cân bằng” đã có sẳn ở học sinh thông qua môn vật lí lớp 10 (Chương IV – Tĩnh học vật rắn). Pha 2 Trong pha 2, khi phát các phiếu 2A, 2B, 2C cho các nhóm, chúng tôi đã sắp xếp sao cho các nhóm nhận được phiếu số 2 có hình biểu đồ khác với hình tấm bìa mà nhóm đã thao tác trong pha 1. Sơ đồ phân công nhiệm vụ cho các nhóm: Nhóm 1 Phiếu 2b Nhóm 6 Phiếu 2c Nhóm 2 Phiếu 2a Nhóm 5 Phiếu 2b Nhóm 3 Phiếu 2c Nhóm 4 Phiếu 2a Đúng như dự kiến của chúng tôi, tất cả các nhóm đều thực hiện nhiệm vụ của mình một cách nhanh chóng bằng cách sử dụng chiến lược S3. Điều này một lần nữa cho phép chúng tôi khẳng định sự tồn tại và ảnh hưởng mạnh mẻ của quy tắc hợp đồng R2. Nhóm 1: Nhóm 3: Nhóm 4 Như vậy, kỹ thuật “tính số trung bình cộng” bằng công thức (2) đã có ở học sinh. Pha 2 kết thúc với kết quả thống nhất giữa các nhóm. Pha 3 Giáo viên tiến hành thu lại các phiếu 2A, 2B, 2C từ các nhóm. Khi giáo viên yêu cầu các nhóm quan sát lại tấm bìa (trong pha 1) của nhóm mình và cho học sinh quan sát lại cả ba biểu đồ (trong pha 2), hầu hết tất cả các học sinh đều nhận thấy có sự giống nhau giữa tấm bìa của nhóm mình với một trong ba biểu đồ đó. Giáo viên tiến hành phát phiếu 2 có hình biểu đồ về cho nhóm có tấm bìa tương ứng là giống nhau. Chẳng hạn, nhóm 1 đang giữ tấm bìa hình 1A (pha 1) được phát phiếu 2A. Tương tự như vậy cho các nhóm khác. Chúng tôi quan sát thấy, khi vừa nhận được phiếu có hình biểu đồ, các học sinh đã nhận thấy tấm bìa và biểu đồ mà các em đang có là bằng nhau. Nhóm 1: “Giống y nhau vậy, nhìn nè… à, cái vị trí đánh dấu trùng nhau luôn …”(câu 41, protocole). Nhóm 5: “Đặt lên nó vừa khít nè, nó bằng nhau luôn” (câu 45, protocole). Do đó, khi giáo viên đặt câu hỏi: “Các em có nhận xét gì về hình dạng của tấm bìa và biểu đồ mà các em đang có?” thì tất cả các nhóm đều trả lời là chúng bằng nhau. Ngay sau đó, khi giáo viên yêu cầu các nhóm cho nhận xét về hai vị trí được đánh dấu, một trên tấm bìa và mộ trên biểu đồ thì tất cả các nhóm phát hiện được hai vị trí đó là trùng nhau và ngay lập tức, các nhóm nêu được nhận xét mà chúng tôi mong đợi về ý nghĩa vật lí của số trung bình cộng trên biểu đồ hình cột (biểu đồ tổ chức). Nhóm 4: “Thưa cô, nhóm em thấy vị trí cân bằng của tấm bìa khi đặt vào biểu đồ thì đó là vị trí số trung bình cộng trên trục hoành” (câu 48, protocole). Nhóm 5: “Dạ thưa cô, hai vị trí đó trùng nhau. Như vậy vị trí số trung bình trên trục hoành là vị trí cân bằng … dạ là vị trí cân bằng của tấm bìa … mà tấm bìa bằng biểu đồ nên có thể xem là vị trí cân bằng của biểu đồ” (câu 52, protocole). Giáo viên cũng đã điều khiển lớp để đi đến hình thành kỹ thuật tính số trung bình cộng của dữ liệu thông qua việc xác định vị trí cân bằng trên biểu đồ bằng các câu hỏi sau: GV: Cô muốn hỏi nhóm 5 một chút. Lúc nãy nhóm em có tính số trung bình của biểu đồ 2A không? HS N5: Dạ thưa Cô không, nhóm em làm biểu đồ 2B. GV: Vậy giờ em có thể đọc ngay cho cả lớp biết số trung bình cộng của dữ liệu biểu diễn bằng biểu đồ 2A được không? HS N5: Dạ được, là 3 GV: Tại sao em có được đáp án đó? HS N5: Dạ thưa cô vì bạn đã đánh dấu trên biểu đồ. GV: À! Vậy nếu biểu đồ chưa được đánh dấu vị trí số trung bình cộng, nghĩa là giờ cô đưa cho em một phiếu 2A còn mới, em có đọc được số trung bình cho lớp biết được không? HS N5: … Dạ thưa cô là được. GV: Bằng cách nào? HS N5: Dạ thưa Cô em đặt tấm bìa của em vào biểu đồ và đánh dấu vị trí cân bằng trên tấm bìa thành vị trí trên biểu đồ, đó là vị trí số trung bình và em đọc giá trị, cũng là 3. GV: À, cô hiểu rồi, cả lớp có nghe và hiểu rõ bạn làm như thế nào không? Có đồng ý không các em? Cả lớp: Dạ có. (câu 53-64, protocole). GV: … chúng ta có vị trí cân bằng trên trục hoành của biểu đồ, mình có có xác định được số trung bình là bao nhiêu không? Nhóm 3: dạ thưa Cô được. Mình đánh dấu vị trí cân bằng lên trục hoành, giá trị tại vị trí đó là số trung bình. (câu 69-70, protocole). Như vậy, mục đích chính của chúng tôi trong ba pha đầu đã được thực hiện. Ở các học sinh đều đã hình thành được ý nghĩa vật lí của số trung bình cộng trên biểu đồ hình cột, và kỹ thuật tính số trung bình cộng của dữ liệu một cách trực tiếp trên biểu đồ thông qua việc xác định vị trí cân bằng trên trục hoành của biểu đồ, chứ không thông qua việc lập lại bảng phân bố tần số, tần suất. Pha 4 Tổng hợp từ việc quan sát và phân tích kết quả từ sản phẩm thu về của pha 4, chúng tôi thấy có những điểm chú ý sau: - Khi bắt đầu thực hiện nhiệm vụ, ở các nhóm đã có sự trao đổi, thảo luận với nhau để lựa chọn chiến lược để thực hiện. Hầu hết các nhóm đều bắt đầu bằng chiến lược S3, nhưng các nhóm này gặp khó khăn và chuyển hướng suy nghĩ sang chiến lược khác, đó là chiến lược S2. Nhóm 2: “giờ tìm số trung bình hả, làm như lúc nãy, lập bảng tần số đi!... mà đâu có tần số… người ta cho tần số hay tần suất? … không cho gì hết, sao biết được? … vậy sao mình không làm như bài 1 và 2 đi, tìm vị trí cân bằng đi” (câu 72, protocole). Nhóm 3: “Không cho số học sinh sao tính? … ê, mà sao không làm như lúc nãy, từ 1 suy ra 2 đó, tức là tìm vị trí cân bằng rồi suy ra số trung bình cộng … Phải vậy không? … thì làm đi, đúng rồi đó!” (câu 73, protocole). Nhóm 4: “cái này có chia ô li nè, làm như bài 1 đi … người ta kêu tính số trung bình cộng mà, sao làm vậy được? … thì tìm vị trí cân bằng, đó là số trung bình chứ gì nữa … à, à, như hồi nãy, ừ!” (câu 74, protocole). Bảng thống kê các chiến lược cuối cùng của các nhóm: Chiến lược Số lượng S1 0 S2 5 S3 1 (Nhóm 1) Có 5 nhóm thực hiện chiến lược S2 và đi đến kế quả chính xác như phân tích tiên nghiệm của chúng tôi. Các nhóm này đều tiến hành xác định vị trí cân bằng của biểu đồ bằng cách xác định hợp lực của các trọng lực song song tác dụng lên các cột hình chữ nhật. Điều chú ý là các nhóm không thực hiện việc xác định hợp lực lần lượt từ trái qua phải, mà có sự điều chỉnh và thay đổi cách hợp lực cho thuận lợi trong việc tính toán và chia tỉ lệ. Cụ thể chúng tôi thấy ở các nhóm này, sau khi xác định hợp lực 1.2F  và tiến hành xác định hợp lực 1.2.3F  thì các em gặp phải khó khăn trong việc chia tỉ lệ do khoảng cách giữa hai lực là 8 ô và phải chia tỉ lệ thành 11 phần bằng nhau. Do đó, các nhóm đều chuyển sang xác định hợp lực 3.4F  , rồi sau đó xác định hợp lực 1.2.3.4F  của 1.2F  và 3.4F  . Nhóm 2: Nhóm 5: Điều đó cho phép chúng tôi kết luận rằng ở các học sinh này đã hình thành được mối liên hệ “từ biểu đồ hình cột, chỉ ra số trung bình cộng của dữ liệu thống kê” với kỹ thuật tìm vị trí cân bằng của biểu đồ, chứ không phải thông qua bảng phân bố tần số, tần suất và công thức (2). Điều đó có nghĩa là thực nghiệm thứ hai của chúng tôi đã thành công. Ngoài ra, có 1 nhóm thực hiện theo chiến lược S3, trong đó, các em giải thích: Nhóm 1: Phần giải thích của các em như sau: HS: Em lấy chiều cao của các cột làm tần số … … GV: Vậy điều đó có nghĩa là tổng số học sinh ở đây là? HS: Dạ thưa cô là 30. GV: Điều đó có chính xác không? Đề bài có cho biết là người ta điều tra và thu thập dữ liệu trên bao nhiêu học sinh không? HS: (Xem lại đề bài). Dạ không … Nhưng dù tăng tổng số lượng lên bao nhiêu thì chia ra vẫn được số trung bình là 55 … dù biểu đồ tần số hay tần suất thì x vẫn không đổi” (câu 90-98, protocole). Như vậy, ở đây, nhóm học sinh này không thực hiện như lời giải 1 và 2 như dự kiến của chúng tôi, mà các em xem chiều cao của các cột tính theo ô là giá trị tần số. Điều đó cho chúng tôi thấy các em vẫn chưa thật sự hiểu rõ được diện tích (trong trường hợp này là chiều cao) của các cột tỉ lệ với tần suất của các lớp ghép. Tuy nhiên, khi giáo viên hỏi thêm về cách làm khác trong tình huống này, thì các thành viên trong nhóm cũng trình bày cách làm theo chiến lược S2, chứng tỏ là các em đã nắm được kỹ thuật tính số trung bình cộng của dữ liệu trực tiếp trên biểu đồ thông qua việc xác định vị trí cân bằng trên trục hoành của biểu đồ. Đó chính là kết quả mà chúng tôi mong đợi. Pha tổng kết: Ngoài dự kiến, chúng tôi tổ chức tổng kết thực nghiệm bằng cách đặt ra hai câu hỏi để tổng kết các kết quả đã được hình thành ờ học sinh sau thực nghiệm thứ hai này. • Câu hỏi 1: Em có kết luận gì về ý nghĩa vật lí của số trung bình cộng trên biểu đồ hình cột? Các câu trả lời nhận được đều có nội dung chính là: vị trí số trung bình trên trục hoành của biểu đồ chính là vị trí cân bằng của biểu đồ. • Câu hỏi 2: “Nếu cô cho dữ liệu thống kê được biểu diễn bằng biểu đồ, em hãy chỉ cho cô cách xác định số trung bình cộng?” Các câu trả lời nhận được: “Có thể lập bảng tần số và tính số trung bình theo công thức như bài 2, nếu không được thì mình tìm vị trí cân bằng của biểu đồ rồi vị trí đó là số trung bình cộng như bài 3”. (câu 112, protocole). “Có hai cách: làm như trước đây, hoặc là tìm vị trí cân bằng rồi đánh dấu lên trục hoành, đó là vị trí của số trung bình cộng”. (câu 113, protocole). Như vậy, qua thực nghiệm thứ hai, chúng tôi đã đạt được mục đích đề ra, đó là: - Tạo cơ hội cho học sinh thấy được ý nghĩa vật lý của giá trị trung bình trên biểu đồ hình cột: vị trí số trung bình cộng trên trục hoành của biểu đồ chính là vị trí đặt điểm tựa để biểu đồ cân bằng (vị trí cân bằng của biểu đồ). - Tạo tình huống cho học sinh hình thành và sử dụng kỹ thuật xác định trực tiếp số trung bình cộng dựa trên biểu đồ hình cột thông qua vị trí cân bằng của biểu đồ mà không cần thu hồi dữ liệu dưới dạng bảng phân bố tần số/tần suất. 3.3. Kết luận chương 3 Các kết quả nghiên cứu thực nghiệm trong chương 3 mà chúng tôi thu được cho thấy phần nào mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với tri thức biểu đồ, cụ thể: Kết quả thực nghiệm thứ nhất đã cho phép chúng tôi kiểm chứng sự tồn tại của hai quy tắc hợp đồng R1 và R2. Điều đó cho thấy, học sinh chưa thật sự chủ động trong việc sử dụng biểu đồ vào các mục đích biểu diễn dữ liệu thống kê, đồng thời, ở các em chưa có một sự phân biệt rõ ràng về các đặc trưng, vai trò và ý nghĩa giữa các loại biểu đồ biểu diễn dữ liệu thống kê. Bên cạnh đó, các em chưa có cơ hội tiếp cận với mối liên hệ “từ biểu đồ, chỉ ra các tham số đặc trưng của mẫu số liệu”. Do đó, chúng tôi đã tổ chức thực nghiệm thứ hai, tạo điều kiện hình thành ở học sinh mối liên hệ giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu, cụ thể là từ biểu đồ chỉ ra số trung bình cộng của dữ liệu thống kê một cách trực tiếp thông qua ý nghĩa vật lí của số trung bình, chứ không thông qua bảng phần bố tần số, tần suất. Kết quả đạt được của thực nghiệm thứ hai cho thấy việc xây dựng các tình huống dạy học như vậy là thật sự cần thiết và có ý nghĩa trong quá trình dạy học nói chung. KẾT LUẬN Các nghiên cứu trong chương 1, chương 2 và chương 3 cho phép chúng tôi giải đáp được các câu hỏi liên quan đến tri thức biểu đồ được giảng dạy trong chương trình dạy học toán bậc phổ thông ở Việt Nam được đặt ra trong phần mở đầu của luận văn. Cụ thể, các kết quả chính đạt được của luận văn bao gồm: Kết quả nghiên cứu biểu đồ ở cấp độ tri thức khoa học đã cho chúng tôi thấy được phần nào vai trò và ý nghĩa của biều đồ trong việc biểu diễn dữ liệu thống kê. Chúng tôi đã chỉ ra các đặc trưng riêng về cách thức biểu diễn dữ liệu, vai trò và ưu thế trong việc biểu diễn dữ liệu của các loại biểu đồ xuất hiện trong chương trình toán phổ thông hiện hành: biểu đồ hình cột, biểu đồ tổ chức, đa giác tần số, tần suất và biểu đồ hình quạt. Bên cạch đó, chúng tôi đã chỉ ra được mối liên hệ giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của dữ liệu thống kê. Đó là: từ biểu đồ biểu diễn dữ liệu thống kê, chỉ ra các tham số đặc trưng một cách trực tiếp bằng các kĩ thuật xây dựng từ ý nghĩa của các tham số và cách thức biểu thị dữ liệu của biểu đồ, chứ không chỉ bằng con đường thông qua bảng phân bố tần số, tần suất. Tuy nhiên, kết quả phân tích quan hệ thể chế trong chương 2 đã cho chúng tôi thấy rằng biểu đồ chưa thật sự được quan tâm ở mức độ tương ứng với vai trò và ý nghĩa của nó trong thống kê mô tả nói chung. Các đặc trưng riêng, vai trò và mục đích sử dụng của các loại biểu đồ xuất hiện khá mờ nhạt trong chương trình và sách giáo khoa. Do đó, ở học sinh chưa có một sự phân biệt rõ ràng về các đặc trưng, vai trò và ưu thế giữa các loại biểu đồ khi cần biểu diễn dữ liệu trong những tình huống khác nhau, cũng như học sinh chưa có cơ hội hình thành được mối liên hệ mà chúng tôi chỉ ra ở trên giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của dữ liệu thống kê. Các nhận định của chúng tôi được kiểm chứng bằng các thực nghiệm trong chương 3. Thực nghiệm thứ nhất đã cho phép chúng tôi kiểm chứng giả thuyết về hai quy tắc hợp đồng liên quan đến tri thức biểu đồ. Đó là: • R1: Học sinh không có nhiệm vụ xác định loại biểu đồ cần phải vẽ khi cần biểu diễn dữ liệu thống kê. Giáo viên là người có trách nhiệm lựa chọn và chỉ định loại biểu đồ trong việc biểu diễn dữ liệu thống kê. • R2: Biểu đồ biểu diễn dữ liệu thống kê ghép lớp không được học sinh dùng để tính hay ước lượng số trung bình cộng của tập hợp dữ liệu thống kê được biểu diễn một cách trực tiếp, tức là không sử dụng đến công thức (1) hoặc (2). Trong thực nghiệm thứ hai, chúng tôi đã xây dựng tình huống cho phép hình thành nơi học sinh ý nghĩa vật lí của số trung bình cộng và mối liên hệ giữa số trung bình cộng và biểu đồ biểu diễn dữ liệu thống kê, và kĩ thuật xác định số trung bình cộng từ biểu đồ tổ chức, mà không thông qua bảng phân bố tần số, tần suất. Do giới hạn của luận văn, nên chúng tôi chỉ mới xây dựng thực nghiệm về hình thành mối liên hệ “từ biểu đồ tổ chức, chỉ ra số trung bình cộng”. Việc nghiên cứu sâu và rộng hơn trên các loại biểu đồ khác và với các giá trị tham số khác có thể mở ra những đề tài mới trong tương lai. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Bessot A., Comiti C., Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của didactic toán (Éléments fondamentax de didacticque des mathématiquees) – Sách song ngữ Việt-Pháp, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. 2. Bộ giáo dục và đạo tạo (2006), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội. 3. Bộ giáo dục và đạo tạo (2009), Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán lớp 10, NXB Giáo dục Việt Nam. 4. Tăng Minh Dũng (2009), Dạy học thống kê và vấn đề đào tạo giáo viên, luận văn thạc sĩ giáo dục học. 5. Nguyễn Chí Long (2006), Xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên, NXB Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. 6. PGS.TS Phạm Văn Kiều (2004), Giáo trình xác suất và thống kê, NXB Giáo dục. 7. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Trần Đình Châu, Trần Đình Dung, Trần Kiều (2009), Sách giáo khoa Toán 7, tập hai, NXB Giáo dục. 8. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Trần Đình Châu, Trần Đình Dung, Trần Kiều (2009), Sách giáo viên Toán 7, tập hai, NXB Giáo dục. 9. Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Đình Châu, Trần Kiều, Bài tập Toán 7, tập hai, NXB Giáo dục. 10. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2006), Sách giáo khoa Đại số 10 (bộ chuẩn), NXB Giáo dục. 11. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2006), Sách giáo viên Đại số 10 (bộ chuẩn), NXB Giáo dục. 12. Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài (2006), Bài tập Đại số 10 (bộ chuẩn), NXB Giáo dục. 13. Đoàn Quỳnh), Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông, Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục. 14. Đoàn Quỳnh), Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông, Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục. 15. Nguyễn Huy Đoan, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình, Bài tập Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục. Tiếng Anh 16. Freedman D., Pisani R., Purves R. (1998), Statistics Third Edition, W.W. Norton & Company, Inc. 17. David A. Kenny (1987), Statistices for the social and behavioral sciences, Little, Brown Company (Canada) Limited. Trang web 18. Didactic Toán, 19. Statistics Canada, PHỤ LỤC PHIẾU CÂU HỎI THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT Họ và tên:……………………………………………………. Lớp:………………Trường:………………………………… Em hãy thực hiện các yêu cầu sau: Câu 1: An cùng nhóm bạn thực hiện bài trình bày về sự biến động nhiệt độ của tháng 12 ở địa phương mình trước lớp. Cả nhóm đã tiến hành điều tra nhiệt độ trung bình (0C) của tháng 12 từ năm 1990 đến 2010, kết quả thu được trình bày trong bảng phân bố tần suất ghép lớp sau: Lớp nhiệt độ Tần suất (%) [18;20) [20;22) [22;24) [24;26) [26;28) [28;30) [30;32] 3 3 17 24 39 11 3 Cộng 100 a) Em hãy giúp nhóm của An vẽ biểu đồ biểu diễn dữ liệu thống kê trên. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... b) Hãy giải thích sự lựa chọn loại biểu đồ mà em vẽ ở trên? ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... MÃ SỐ: Câu 2: Các số liệu thống kê về chiều cao (mét) của 200 học sinh nữ khối 10 của trường THPT A năm học 2010-2011 được biểu diễn bằng biểu đồ tần số hình cột sau: Biểu đồ tần số hình cột chiều cao của 200 học sinh nữ trường THPT A (2010-2011) Em hãy cho biết chiều cao trung bình của 200 học sinh nữ trường THPT A? Hãy trình bày rõ cách làm của mình. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Category 1 1,48 1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 Câu 1 Câu 2 PHIẾU CÂU HỎI THỰC NGHIỆM THỨ HAI PHIẾU SỐ 1 Mỗi nhóm sẽ được nhận một tấm bìa cứng và một phiếu có in hình của tấm bìa trên nền giấy kẻ ô. Các em hãy tìm cách xác định một vị trí trên cạnh (cạnh này đã được đánh dấu bằng đường kẻ màu đỏ) sao cho khi đặt một điểm tựa tại vị trí đó thì tấm bìa này sẽ ở trạng thái cân bằng. c) Hãy đánh dấu vị trí cân bằng đó lên tấm bìa. d) Hãy trình bày rõ cách thực hiện của các em. Phần trình bày: NHÓM: PHIẾU 1A NHÓM: PHIẾU 1B NHÓM: PHIẾU 1C NHÓM: PHIẾU SỐ 2 NHÓM: Mỗi nhóm sẽ nhận được một phiếu có in hình một biểu đồ hình cột. Người ta đã thu thập dữ liệu thống kê và biểu diễn dữ liệu này bằng một biểu đồ tần số hình cột như trong hình vẽ in trên phiếu nhận được. c) Em hãy tính số trung bình của tập hợp dữ liệu thống kê. d) Em hãy đánh dấu trên trục hoành vị trí của số trung bình vừa tìm được. Phần trình bày: O 1 3 5 7 Tầ n số 12 6 2 PHIẾU 2A NHÓM: O 1 3 5 7 Tần số 15 6 3 PHIẾU 2B NHÓM: O 1 3 5 7 PHIẾU 2C NHÓM: Tần số 16 12 4 PHIẾU SỐ 3 Mỗi nhóm nhận được một phiếu có in hình một biểu đồ hình cột. Người ta đã thu thập dữ liệu về cân nặng của một số học sinh (đơn vị tính là kg) và vẽ biểu đồ để biểu diễn dữ liệu như hình vẽ in trong phiếu nhận được. Em hãy tìm cách chỉ ra cân nặng trung bình của các học sinh này và trình bày cách thực hiện của em. Phần trình bày: NHÓM: KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM THỨ HAI - NHÓM 6 40 46 52 58 64 PHIẾU 3 NHÓM: ._.