Một lớp các P.I đại số nửa nguyên tố

i đã từng bước hướng dẫn tơi phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Đại Số, khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tơi nâng cao trình độ chuyên mơn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học cao học. Chân thành cám ơn quý thầy cơ phịng Khoa học Cơng nghệ và Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi thực hiện luận văn này. Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Thủ Đức đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt quá trình học cao học. Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi gĩp ý và động viên tơi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. TP. HCM năm 2009 Nguyễn Thị Minh Nguyệt MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Theo Posner- Rowen thì bất kỳ P.I đại số nguyên tố nào đều được nhúng vào một P.I đại số nguyên thủy , là đại số thương theo tâm của nĩ như một thứ tự trái phải trong nĩ.Như chúng ta đã biết, đại số nửa nguyên tố là tích trực tiếp con các đại số nguyên tố, đại số nửa nguyên thủy là tích trực tiếp con các đại số nguyên thủy .Câu hỏi tự nhiên đặt ra, liệu ta cĩ thể mở rộng định lý Posner-Rowen cho lớp các P.I đại số nửa nguyên tố, điều đĩ cĩ nghĩa là: Liệu cĩ thể nhúng một P.I đại số nửa nguyên tố vào P.I đại số nửa nguyên thủy như một thứ tự trái phải trong nĩ? Trong P.I Algebras An Introduction, tác giả Nathan Jacobson đã từng nhận định là điều trên khơng cịn đúng và luận văn thạc sỹ của Trương Huy Hồng đã đưa ra ví dụ minh chứng điều đĩ.Vậy trong điều kiện nào thì định lý Posner- Rowen được mở rộng cho lớp các P.I đại số nửa nguyên tố? Câu hỏi cĩ một sức hấp dẫn nhất định,trả lời câu hỏi lý thú này là cơ hội để tơi vận dụng các kiến thức tốn học hữu ích,đồng thời giúp bản thân phát triển tư duy và tiếp cận với tốn học hiện đại .Đĩ là lý do đưa tơi đến việc nghiên cứu đề tài “Một lớp các P.I đại số nửa nguyên tố”, đĩ là lớp các P.I đại số nửa nguyên tố mà định lý Posner-Rowen được mở rộng. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài của tơi là chỉ ra “Một lớp các P.I đại số nửa nguyên tố” để định lý Posner-Rowen cĩ thể mở rộng, hay nĩi rõ hơn là trong luận văn này tơi sẽ đưa thêm điều kiện cần thiết cho các P.I đại số nửa nguyên tố ,để cĩ thể nhúng P.I đại số nửa nguyên tố đĩ vào một P. I đại số nưả nguyên thủy. 3. Phương pháp nghiên cứu Để mở rơng định lý Posner Rowen đối với các P.I đại số nửa nguyên tố, thơng thường cĩ hai phương hướng: hoặc là xây dựng lại khái niệm đại số thương một cách phù hợp; hoặc là bổ sung điều kiện cần thiết cho các P.I đại số nửa nguyên tố. Với luận văn này, phương hướng bổ sung điều kiện là phương pháp mà tơi lựa chọn để mở rộng định lý . 4. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương. Chương 1: Một số khái niệm và các định lý về vành khơng giao hĩan. Trong chương này luận văn trình bày lại các kiến thức cơ bản về vành khơng giao hốn cĩ liên quan đến các chương sau. Ở đây, hầu hết các định lý, các hệ quả, các bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ khơng chứng minh. Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài. Chương 2: Các P.I đại số nguyên tố và nửa nguyên tố. Tại đây, hầu hết các định lý đều được chứng minh một cách tường minh. Chương này giới thiệu định lý Posner -Rowen, đưa ra ví dụ trong luận văn thạc sĩ của Trương Huy Hồng để chứng minh định lý khơng cịn đúng đối với P.I đại số nửa nguyên tố. Cuối cùng, tơi sẽ bổ sung một số mệnh đề cần thiết để đạt được mục tiêu mà luận văn đã đề ra: là chỉ ra “Một lớp các P.I đại số nửa nguyên tố”- đĩ là lớp các P.I đại số nửa nguyên tố mà định lý Posner-Rowen cĩ thể mở rộng. Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ VỀ VÀNH KHƠNG GIAO HỐN Trong chương này luận văn trình bày lại các kiến thức cơ bản về vành khơng giao hốn cĩ liên quan đến các chương sau. Ở đây, hầu hết các định lý, các hệ quả, các bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ khơng chứng minh. Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài. Trong chương này, ký hiệu R là vành khơng giao hốn, M là R-modul phải 1.1. Modun bất khả quy trung thành Định nghĩa 1.1.1:  M được gọi là R-modul nếu tồn tại ánh xạ : ( , ) f MxR M m r mr   thỏa:  m(a+b)=ma+mb  (m+n)a=ma+na  (ma)b=m(ab)  m.1=m với mM;a,b,1R  M được gọi là R-modul trung thành nếu M.r = thì r = 0 Bổ đề 1.1.2: Ký hiệu: A(M) = {rR/ M.r = } Ta cĩ: A(M) là ideal hai phía của R và M là R/A(M)- modul trung thành. Chứng minh: Ta cĩ A(M)  R vàaA(M),rR  ta cĩ : M.ar=(Ma)r=0.r=0 suy ra arA(M) Cũng cĩ: M.ra = (Mr)aMa=0,suy ra raA(M) Vậy: A(M) là ideal hai phía của R   r = (r+A(M)) R/A(M) .Xét: ) : / ( ) ( , f MxR A M M m r mr   Ta cĩ: (m, r )= (m, 'r )  r = 'r  (r-r’) A(M) m(r-r’)=0, mMmr=mr’ Vậy: f là ánh xạ và thỏa các tính chất của R/A(M)- modul Nên: M là R/A(M)- modul  Ta cĩ : M r = Suy ra: m r =0,mM  mr=0, mM,  r  A(M) hay r =0 Vậy: M là R/A(M)-modul trung thành Cho M là R- modul , aR, xét ánh xét :T M Ma  với mTa = ma, mM là đồng cấu nhĩm cộng. Ký hiệu E(M) là tập tất cả các đồng cấu nhĩm cộng thì E(M) là một vành với các phép tốn cộng và nhân các đồng cấu nhĩm Xét ánh xạ: a :R ( ) a T E M   thì  là đồng cấu vành Ta cũng cĩ: ker = A(M) suy ra R/A(M) Im Bổ đề 1.1.3: R/A(M) đẳng cấu với vành con của vành E(M) Đặc biệt: Nếu M là R-modul trung thành thì A(M) = .Khi đĩ  là đơn cấu nên ta cĩ thể nhúng R vào E(M) như vành con khi đồng nhất a với Ta , aR. Định nghĩa 1.1.4:  Ta cĩ C(M)=  ( ) / ,a af E M T f fT a R    là vành giao hốn tử của R trong M.Lúc đĩ: C(M) là vành con của vành E(M) v à C(M)= REnd M Định nghĩa 1.1.5.:  M được gọi là R-modul bất khả quy nếu M và M chỉ cĩ hai modul con tầm thường là và M  Cho  là trường số thực, trong 2 xét ma trận 0 -11 0      . Xét A=   là ideal sinh bỡi , V={ }1 2 1 2( ; ) / ;x x x xg = Ỵ .Lúc đĩ V là A-modun bất khả quy. Bổ đề 1.1.6: Nếu M là R-modul bất khả quy thì MR/  với  là ideal tối đại của R.Hơn nữa tồn tại aR sao cho x-ax  với mọi xR (  được gọi là ideal phải chính quy).Ngược lại với  là ideal phải chính quy thì R/  là R-modul bất khả quy. Bổ đề 1.1.7: Nếu M là R-modul bất khả quy thì C(M) là một thể . 1.2. Radical của vành Định nghĩa 1.2.1:  Radical Jacobson của vành R,ký hiệu là J(R) là tập hợp các phần tử của R mà linh hố tất cả các modul bất khả quy của R,J(R)= A(M) với M là R-modul bất khả quy. Lúc đĩ J(R) là ideal hai phía của R  Nếu R khơng cĩ modul bất khả quy, ta quy ước J(R)=R,Lúc đĩ R được gọi là vành radical. Định nghĩa 1.2.2:  là ideal phải của R , ký hiệu (  :R)= {xR/Rx  } Bổ đề 1.2.3:  Nếu  là ideal phải chính quy thì (  :R) là ideal hai phía lớn nhất của R nằm trong  .  Nếu  là ideal phải tối đại chính quy thì A(M)= (  :R) với M=R/  . Định lý 1.2.4.: J(R) =  (  :R) với  là ideal phải tối đại chính quy của R. Bổ đề 1.2.5: Nếu  là ideal phải chính quy của R(   R) thì  nằm trong một ideal phải chính quy tối đại nào đĩ. Định lý 1.2.6: J(R) =   với  là ideal phải tối đại chính quy của R. Định nghĩa 1.2.7.:  aR được gọi là tựa chính quy phải nếu: a’R: a+a’+aa’=0.  a’ được gọi là tựa nghịch đảo phải của a.  tương tự ta cĩ tựa chính quy trái , tựa nghịch đảo trái.  Một ideal được gọi là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nĩ là tựa chính quy phải.  J(R) là ideal tựa chính quy phải. Định lý 1.2.8: J(R) là ideal phải tựa chính quy phải và chứa mọi ideal phải tựa chính quy phải, tức là J(R) là ideal phải tựa chính quy phải tối đại duy nhất của R. Định nghĩa 1.2.9:  Phần tử aR được gọi là luỹ linh nếu tồn tại nN sao cho na =0  Ideal phải (trái) của R được gọi là nil-ideal phải (trái) nếu mọi phần tử của nĩ đều luỹ linh  Ideal phải (trái )  của R đựơc gọi là luỹ linh nếu tồn tại m N sao cho . ...1 2a a am =0 với mọi ai   , tức tồn tại m N sao cho m =0 Nhận xét:  Nếu  là ideal luỹ linh thì  là nil-ideal  mọi phần tử luỹ linh đều tựa chính quy  J(R) chứa mọi nil-ideal một phía  Nếu R cĩ ideal luỹ linh khác 0 thì R cĩ ideal hai phía luỹ linh khác 0. 1.3. Radical của một đại số Định nghĩa 1.3.1: A đựơc gọi là đại số trên trường F nếu A thoả các điều kiện sau:  A là một vành  A là khơng gian vectơ trên trường F   a,b A ,   F thì  (ab)=( a)b=(a)b Nếu A cĩ đơn vị 1 thì .1 nằm trong tâm của A (với  F) Mệnh đề 1.3.2: Nếu A là một đại số trên trường F thì radical Jacobson của đại số A trùng với radical Jacobson của vành A. 1.4. Một số đại số đặc biệt 1.4.1. Đại số nửa nguyên thuỷ Định nghĩa 1.4.1.1: Đại số A được gọi là nửa nguyên thuỷ  J(A)=0. Mệnh đề 1.4.1.2: Nếu A là một đại số thì A/J(A) là đại số nửa nguyên thuỷ. Chứng minh: Lấy  là ideal phải tối đại chính quy của A, ta cĩ J(A)   . Ta cũng cĩ  +J(A) là ideal phải tối đaị của A/J(A)  chính quy nên aA: x-ax  ,xA   a = (x-ax) +J(A)   +J(A): x - a x  +J(A),  xA/J(A) Suy ra:  +J(A)chính quy Ta cũng cĩ: J(A)=   với  chạy khắp ideal tối đại phải chính quy của A nên  ( +J(A))=. Vậy J(A/J(A))=, hay A/J(A) là nửa nguyên thủy. Mệnh đề 1.4.1.3: Nếu A khơng cĩ nil-ideal khác 0 thì A[ ] là nửa nguyên thuỷ. Mệnh đề 1.4.1.4: Nếu B là ideal hai phía của đại số A thì J(B)=J(A) B. Hệ quả 1.4.1.5: Mọi ideal hai phía của đại số nửa nguyên thuỷ đều nửa nguyên thuỷ. Nhận xét: Điều trên khơng cịn đúng nếu I là ideal một phía Ví dụ: Xét R là vành ma trận vuơng cấp 2 trên trường F, R là vành nửa nguyên thủy nên J( R) = 0 Lấy A= : , 0 0 F               là ideal phải của R và x= 0 0 0     J(A) với  F Vì 2x = 20 0 0      = , suy ra x lũy linh và 0 : 0 0 F            là nil ideal phải của A .Suy ra J(A)  .Do đĩ : J(A) A J(R) 1.4.2. Đại số nguyên thuỷ Định nghĩa 1.4.2.1:  Đại số A được gọi là nguyên thuỷ nếu nĩ cĩ một modul bất khả quy trung thành.  IA, I được gọi là ideal nguyên thủy  A/I là đại số nguyên thủy. Mệnh đề 1.4.2.2: Cho A là một đại số tuỳ ý,M là một A-modul bất khả quy thì A(M) là một ideal hai phía của A và A/A(M) là một đại số nguyên thủy Mệnh đề 1.4.2.3: A là đại số nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại ideal phải tối đại chính quy  cuả A sao cho (  :A) = .Khi đĩ A là nửa nguyên thủy và nếu A giao hốn cĩ đơn vị thì A là một trường Vậy: Mọi đại số nguyên thủy đều nửa nguyên thủy Định nghĩa 1.4.2.4: Giả sử R là vành nguyên thủy, M là R-mođun bất khả quy trung thành. Đặt  =C(M) thì  là một thể.Khi đĩ M là khơng gian vec tơ trên  với phép nhân ngồi  : M x  M với  (m;  )=m =(m) ,trong đĩ  :MM thuộc  =C(M)= End MR .  Họ , ,...,1 2v v vn trong M được gọi là độc lập tuyến tính trên  ( 0 0, 1, , ) 1, v i ni i i ii n           Vành R được gọi là tác động dày đặc trên M nếu với mọi n và , ,...,1 2v v vn trong M là hệ độc lập tuyến tính trên  và bất kỳ n phần tử w ,w ,...,w1 2 n trong M thì tồn tại r sao cho w1 v ri (i=1,2,3,..n)  Nếu M là khơng gian véc tơ hữu hạn chiều trên  và R tác động trung thành và dày đặc trên M thì R= End M n  với n là vành ma trận vuơng cấp n trên  . Thật vậy: Nếu M là R-modul trung thành thì R nhúng vào E(M) như vành con nếu đồng nhất rTr :MM với (m)Tr =mr    , ta cĩ (m )Tr =m( Tr )=m(Tr  )=(mTr ) ,suy ra: Tr  End M , hay R End M Ngược lại: giả sử , ,...,1 2v v vn là cơ sở của M trên  và f End M .Do R dày đặc trên M nên: r R sao cho ( vi )f= vi r (i=1,2,..,n), suy ra: ( vi )f=( vi )Tr hay f=Tr  r R Suy ra End M R Vậy: R= End M n  . Định lý 1.4.2.5: (Định lý dày đặc) Cho R là vành nguyên thủy, M là R-modul phải bất khả quy trung thành.Nếu  = C(M) thì R là vành dày đặc những phép biến đổi tuyến tính của M trên  . Chứng minh: Trước tiên ta nhận thấy rằng để chứng minh định lý ta cần chứng tỏ rằng: Với một khơng gian con hữu hạn chiều V của M trên  ,dimV=n và m M sao cho m V thì chúng ta cĩ thể tìm được r R với Vr= nhưng mr  0.Ta sẽ chứng minh điều này bằng quy nạp theo n  Với n=0, khi đĩ dimV=0, hay V=, Vì vậy , m 0 ,m M m V s u y ra    Nên , 0 : 0 ( M R 0 )r R r m r d o       và Vr=  Giả sử điều đĩ luơn đúng với dim V<n  Ta chứng minh trường hợp dim V=n, khi đĩ giả sử V= 0V +w , Với dim 0V = dimV- 1và w 0V .Theo giả thiết quy nạp  y 0V , y M, ta cĩ r R: 0V r= nhưng yr  0.Hay  y 0V , y M,  r A( 0V ):yr 0 Suy ra : m 0V thì m A( 0V )  0.Khi đĩ với A( 0V ) là ideal phải của R, vì w  0V ,w A( 0V )  0 là modun con của M bất khả quy nên wA( 0V )=M. Dùng phản chứng , giả sử rằng tồn tại m  M,m V sao cho  r R mà Vr=thì mr=0.Ta chứng minh điều này khơng thể, vì: wA( 0V )=M x M,  a A( 0V ):x=wa Xét: : M M  sao cho wa=xma Khi đĩ  được định nghĩa là tốt, vì nếu x=0wa=0a linh hĩa w và a A( 0V )a linh hĩa V, hay Va=0, suy ra ma=0 Mặt khác ta cĩ   E(M),x=wa với a A( 0V )thì  r R,ta cĩ: xr=(wa)r=w(ar) và (xr) =w(ar) =m(ar)=(ma)r=(x )r, suy ra    Vì vậy: a A( 0V ),ma=(wa) =(w )a, suy ra (m-w )a=0,a A( 0V ) Suy ra: (m-w ) 0V , hay m 0V + w mà 0V  0V + w  0V +w Suy ra: m V (mâu thuẫn với m  V). Chứng minh định lý: Lấy   1,vi i n là một họ độc lập tuyến tính trên M và  w 1,i i n là một họ tùy ý trên M, Gọi Vi là khơng gian véc tơ sinh bỡi họ  1,j iv j j n .Ta cĩ: dimVi =n-1, vi  M, vi  Vi , nên tồn tại r  R: Vi r=, vi r  0 Nên: vi rR , suy ra: vi rR=M, suy ra:  wi  M, is  R : wi = vi r is Đặt: it = r is thì wi = vi r is = vi it và Vi it =(Vi r) is =0. Đặt: t= 1t + 2t +….+ nt , khi đĩ: vi t= vi ( 1t + 2t +….+ nt )= vi it Hay: wi = vi t,  i=1,n .Vậy R dày đặc trên M. 1.4.3. Đại số đơn: Định nghĩa 1.4.3.1: Đại số A được gọi là đại số đơn nếu A  0 và A khơng cĩ ideal thực sự. Mệnh đề 1.4.3.2: Đại số A là đại số đơn cĩ đơn vị thì A là đại số nguyên thủy Chứng minh: J(A)  A- đại số đơn và J(A)  A vì 1 J(A).Suy ra: J(A)=0 Do J(A)=   với  là ideal phải tối đại chính quy của A Suy ra: tồn tại ideal (  :A) là ideal hai phía lớn nhất nằm trong  Suy ra: (  :A)=( do A là đại số đơn),suy ra: A là đại số nguyên thủy (theo mệnh đề 1.4.2.3) 1.4.4. Đại số nguyên tố Định nghĩa 1.4.4.1:  Một ideal P của đại số A được gọi là ideal nguyên tố nếu BCP thì hoặc BP hoặc CP với B,C là các ideal của A.  Đại số A được gọi là đại số nguyên tố nếu 0 là ideal nguyên tố của A.  Ta cịn cĩ thể định nghĩa PA, P được gọi là ideal nguyên tố  A/P là đại số nguyên tố. Mệnh đề 1.4.4.2: Nếu A là đại số nguyên thuỷ thì A là đại số nguyên tố. Chứng minh: Ta cĩ A là đại số nguyên thủy nên A cĩ M là A-modul bất khả quy trung thành.Gọi B và C là 2 ideal khác 0 của A.Ta cĩ: (BC)M=B(CM)=BM=M ( vì BM và CM là hai modul con khác 0 của M) Suy ra: BC 0 Vậy: A là đại số nguyên tố. Bổ đề 1.4.4.3: Các mệnh đề sau tương đương: a) A là đại số nguyên tố b) bAc=0 thì b=0 hay c=0 với mọi b,c A c) linh hố tử bên trái của một ideal trái khác 0 bất kỳ là bằng 0 d) linh hố tử bên phải của một ideal phải khác 0 bất kỳ là bằng 0 1.4.5. Đại số nửa nguyên tố Tích trực tiếp con:  Tích trực tiếp của họ các K-đại số  A I  là tập hợp AI  mà trên đĩ ta định nghĩa các phép cộng và nhân như sau: (f+g)(  ) = f( ) + g( ) ; (f.g)(  ) = f( ).g( ) Khi đĩ A I  cùng với hai phép tốn trên lập thành một vành và là K-đại số  Đặt  là phép chiếu: A AI     . Đại số A được gọi là tích trực tiếp con các đại số  A I   nếu tồn tại đơn cấu : A AI   : = A , IA        B A I   sao cho B = và A/ B  A Định nghĩa 1.4.5.1:  Một đại số A được gọi là nửa nguyên tố nếu nĩ khơng cĩ ideal luỹ linh khác 0.  Một ideal B của đại số A được gọi là ideal nửa nguyên tố nếu A/B là nửa nguyên tố.  Nhận xét: A là đại số nguyên tố thì A là nửa nguyên tố. Mệnh đề 1.4.5.2: A là đại số nửa nguyên tố khi và chỉ khi A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố. Chứng minh:  Cho A là tích trực tiếp con các đại số nguyên tố A và gọi N là ideal lũy linh của A, thì N   (N) là một ideal lũy linh của A , Suy ra N =0,  .Vậy N=0  Giả sử A là đại số nửa nguyên tố, B là một ideal khác 0 của A, chọn 1b  0 trong B, ta cĩ A 1b A là ideal khác 0 trong B.Vì 2)( 1AAb = A 1b A 1b A 0 Suy ra 1b A 1b  0 nên ta tìm được 1a sao cho 2b = 1b 1a 1b  0 và 2b B, cứ tiếp tục như vậy , ta tìm được dãy các phần tử khác 0 1b ; 2b = 1b 1a 1b ; 3b = 2b 2a 2b ;…; 1 1 1b b a bi i i i    ;…chứa trong B. Trong quá trình hình thành các phần tử này đã chứng tỏ rằng nếu k>i,j thì i jb b a bi jk  , Với i ja A.Vì  ib = , nên theo Bổ đề Zorn tồn tại một ideal P của A sao cho P là ideal lớn nhất trong tập các ideal của A thỏa P ib = .Chúng ta sẽ chứng minh P là ideal nguyên tố của A.Gọi C và D là hai ideal khác 0 của P sao cho C P;D P, ta cĩ : 1C =C+PP ; 1D =D+PP,suy ra:  bi 1C ; b j 1D .Nếu k> i,j thì i jb b a bi jk   1C 1D Suy ra 1C 1D  P (vì bk P).Vì 1C 1D =(C+P)(D+P)=CD+CP+PD+PCD+P nên CD P.Vậy P là ideal nguyên tố. Vì P ib = và  ib B, nên B P.Như vậy, ta đã chứng tỏ được rằng với B là ideal bất kỳ khác 0 trong A , ta luơn tìm được ideal nguyên tố P khơng chứa B , suy ra P Pngto  ={0} và A là tích trực tiếp con các đại số nguyên tố A/P. Định nghĩa 1.4.5.4: Tổng các ideal luỹ linh khơng nhất thiết là ideal luỹ linh, gọi tổng này là N(0), ta định nghĩa một dãy siêu hạng các ideal như sau:  nếu  là một bản số nào đĩ mà khơng là bản số giới hạn , =  +1, ta định nghĩa N( ) là ideal của A sao cho N( )/N(  ) là tổng tất cả các ideal luỹ linh của A/ N( )  N ếu  là bản số giới hạn, nghĩa là khơng cĩ bản số đứng ngay trứơc nĩ, ta đặt N( )= N( )   . Khi đĩ ta cĩ N( )N( ’) nếu  < ’ và tồn tại bản số đầu tiên  sao cho N( )= N( +1).Ta gọi N( ) này là nil radical dươí của A,ký hiêu lnA. Định nghĩa 1.4.5.5:  Đại số A được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nĩ đều sinh ra một đại số con lũy linh  Một ideal I của A được gọi là ideal lũy linh địa phương nếu A/I là đại số lũy linh địa phương Nhận xét:  Mọi ideal lũy linh đều là lũy linh địa phương  Mọi ideal lũy linh địa phương đều là nil ideal Mệnh đề 1.4.5.5:  Tồn tại duy nhất một nil ideal tối đại của đại số A chứa mọi nil ideal của A, Nil ideal đĩ được gọi là upper nil radical của A, ký hiệu : Un(A)  Tồn tại duy nhất một ideal luỹ linh địa phương tối đại của đại số A, chứa mọi ideal luỹ linh một phía của A, ideal luỹ linh địa phương tối đại này được gọi là Levitzki nil radical của A, ký hiệu: L(A). Mệnh đề 1.4.5.6:  A/Un(A) khơng chứa nil ideal khác 0. suy ra Un(A/Un(A))=0  A/ln(A) khơng chứa ideal luỹ linh khác 0  L(A/L(A))=0  Ln(A) L(A)Un(A) rad(A)  Ln(A)= P P  với P là ideal nguyên tố của A 1.4.6. Đại số thoả mãn đồng nhất thức (P.I đại số) Định nghĩa 1.4.6.1:  Cho X là vị nhĩm tự do sinh bởi tập đếm được các phần tửx , ,..., ,...1 2x xn .Lúc đĩ X là tập được xác định : X= 1, ... ,... 1 2 x x xi i ir       Mỗi phần tử ... 1 2 x x xi i ir phân biệt được gọi là đơn thức. Ta định nghĩa phép nhân trên X như sau: ... ; ... 1 2 1 2 ( ... )( ... ) ... ... 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x Xi i i j j jr s x x x x x x x x x x x xi i i j j j i i i j j jr s r s    ... ; ... 1 2 1 2 ( ... ) ( ... ) ; ;...1 1 2 21 2 1 2 x x x x x x Xi i i j j jr s x x x x x x kvck i j i ji i i j j jr s       Cho K X là đại số nửa nhĩm của X trên K Lúc đĩ K X gọi là đại số tự do với tập đếm được gồm các phần tử sinh ix  Đặc biệt: K , ,...,1 2x x xn gọi là đại số con của đại số K X , sinh bởi tập con hữu hạn , ,...,1 2x x xn với n nào đĩ Mỗi phần tử của K , ,...,1 2x x xn được ký hiệu là f , ,...,1 2x x xn (gọi là đa thức f)  Cho A là một đại số và  là ánh xạ đi từ X vào A.Lúc đĩ tồn tại duy nhất đồng cấu  từ K X vào A sao cho  .i =  với i là phép nhúng X vào K X .Lúc đĩ ảnh của đa thức f , ,...,1 2x x xn qua đồng cấu từ K X vào A biến đổi xi thành ia với 1 i n  và được ghi là f  , ,...,1 2a a an  f được gọi là đồng nhất thức trên đại số A khi f  , ,...,1 2a a an =0, , ,...,1 2a a a An   Đơn thức ... 1 2 x x xi i ir gọi là cĩ mặt trong f nếu nĩ cĩ hệ số khác 0 trong biểu diễn của f theo cơ sở của X  Đa thức f gọi là tuyến tính theo xi nếu mọi đơn thức cĩ trong f đều là bậc nhất theo xi  Đa thức f được gọi là đa tuyến tính ,nếu f là tuyến tính theo mọi xi cĩ trong f  Cho f là đa tuyến tính theo các biến xi , 2x ,.., xm lúc đĩ f cĩ dạng : ... , ... ...1 1 2 1 f x x x K m m m          và  thay đổi trên các hốn vị của 1,2,…,m  Nếu f đa tuyến tính thì: ( ,., , , ,., ) ( ,., ,.. ) ( ,., , , ,., )1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ,..., , , ,..., ) ( ,..., ,... ) , K1 1 1 1 f x x x x x x f x x x f x x x x xj m j m mj m j j m j f x x x x x f x x xj m j mj j                Nếu  ui là tập sinh của đại số A thì f là đồng nhất thức trên A khi và chỉ khi ( , ,..., ) 0 1 2 f u u ui i im  với mọi sự lựa chọn ui j trong  ui  ( , ,..., )1 2f x x xm được gọi là thay phiên nếu: ( ,..., , , ,..., , , ..., ) 01 1 1 1 1f x x x x x x x xi i mi i j j     , với mọi sự lựa chọn i<j  Nếu A cĩ tập sinh hữu hạn  ,..1u un thì mọi đa thức đa tuyến tính thay phiên cĩ bậc lớn hơn n đều là đồng nhất thức trên đại số A.  Bậc của f theo xi ,ký hiệu: deg fxi ; bậc của f, ký hiệu: deg f  f được gọi là đồng bậc nếu f đồng bậc theo mọi xi cĩ trong f  f được gọi là trộn đều theo xi nếu xi cĩ mặt trong mọi đơn thức cĩ trong f.  f được gọi là trộn đều nếu nĩ trộn đều theo mọi xi cĩ trong f  Height của đơn thức là hiệu số giữa bậc của nĩ với số xi cĩ trong đơn thức đĩ.  Height của f, ký hiệu htf, height tối đa của đơn thức cĩ trong f  f là đa tuyến tính khi và chỉ khi nĩ là trộn đều và cĩ htf bằng 0  Đa thức chuẩn:  Là đa thức ( ,..., ) (sg ) ...1 1 2 S x x x x xk k k      trong đĩ tổng được lấy trên nhĩm đối xứng và Sg là dấu của phép hốn vị  ( ,., ) ( ,., ) ( , ., ) .. ( 1) ( , ., )1 1 2 2 1 3 1 31 1 1 1 1 kS x x x S x x x S x x x x S x x xk k k k k k k k k         Do đĩ nếu Sk là đồng nhất trên đại số A thì 1Sk cũng là đồng nhất thức trên đại số A.  ( ,..., ) ( ) ( ,..., )11 k S x x Sg S x xk kk     Nếu 1i ,…, ir phân biệt và i j k  , 0<r<k và S’ là tổng các hạng tử của ( ,..., )1kS x xk cĩ ...1 2 x x xi i in là thừa số trái thì S’= ... ( ... )1 2 1 2 i i i S x x xr i i ik r r r k      Sk là đồng nhất thức trên mọi K-đại số hữu hạn sinh, với tập sinh cĩ số phần tử bé hơn k. Đặc biệt 2 1Sn  là đồng nhất trên đại số ( )M Kn  Đa thức chính quy mạnh:  Đa thức f được gọi là chính quy mạnh nếu f 0 và các hệ số khác 0 của f là đơn vị hoặc khả nghịch trong K.  Đồng nhất thức chính quy mạnh:  f được gọi là đồng nhất thức chính quy mạnh trên đại số A nếu f là đồng nhất thức trên A và là chính quy mạnh.  Nếu f là đồng nhất thức chính quy mạnh trên A thì f cũng là đồng nhất thức chính quy mạnh trên mọi đại số con của đại số A và điều này vẫn cịn đúng đối với mọi ảnh đồng cấu.  Đồng nhất thức thực sự:  f là đồng nhất thức thực sự trên đại số A khi f là đồng nhất thức trên A và tồn tại một hệ tử nào đĩ của f khơng linh hố A.  Nếu K là một trường thì f là đồng nhất thức thực sự trên A tương đương với f là đồng nhất thức trên A và f khác 0.  Một số ví dụ về đồng nhất thức:  Bất kỳ đại số giao hốn nào đều thỏa đồng nhất thức f= [ 1x , 2x ] = 1x 2x - 2x 1x  Một đại số được gọi là hầu hết nil với bậc bị chặn nếu nĩ cĩ dạng K.1+N, với N là một nil ideal cĩ bậc bị chặn , nghĩa là , : 0nz N n z" Ỵ $ Ỵ = Khi đĩ, nếu A là hầu hết nil thì [x,y] N, với mọi x,yA, vì N cĩ bậc bị chặn nên : n$ Ỵ : n[x,y] =0.Vậy A thỏa mãn đồng nhất thức f= n[x,y]  Trong ( )2M K ta để ý thấy rằng : Nếu a= p q r p      thì 2a = 2 0 20 p qr p qr         giao hốn với mọi ma trận Vì vậy, với mọi a, b,c ( )2M K , ta cĩ [ 2[ , ]a b ,c]=0 Suy ra: f=f( 1x , 2x , 3x )= 2(x x - x x )1 2 2 1 3x - 3x 2(x x - x x )1 2 2 1 là một đồng nhất thức trong ( )2M K .Đây là đồng nhất thức của Wagner.  Đa thức tâm:  Một đa thức được gọi là đa thức tâm của A nếu f khơng là đồng nhất thức của A nhưng [ ( , ,..., )1 2f x x xm , xm+1] là đồng nhất thức của A  Đồng nhất thức của Wagner đã chứng tỏ rằng 2(x x )1 2 2 1x x là một đa thức tâm của ( )2M K . Một số bổ đề:  Bổ đề 1.4.6.2.1: Cho f K X .Lúc đĩ f là tổng các đa thức trộn đều fi thoả mãn các điều kiện:  deg fi degf ; ht fi  htf  fi là tuyến tính theo x j nếu f tuyến tính theo x j  Với mọi đại s ố A và nhĩm con G của nhĩm cộng A, fi là G-giá trị (cĩ nghĩa là fi  , ,...,1 2a a an G) nếu f là G-giá trị  Bổ đề 1.4.6.2.2:  Khái niệm tốn tử sai phân xix j trong K X : ( ,., ) ( ,., , , ., ) ( ,., ,., ) ( ,., , , ., )1 1 1 1 1 1 1 1 xi f x x f x x x x x x f x x x f x x x x xx m i i j i m i m i j i mj         (với 1 i m  ) Nếu f tuyến tính theo xi thì xi x j  f = 0  Bổ đề 1.4.6.2.3: Cho f là trộn đều với deg fxi >1 và deg fx j =0 thì  xix j là trộn đều.  deg xix j f degf.  deg xix j fxi =deg fxi -1  ht xix j f<htf Tập các hệ số của xix j f là tập con của tập các hệ số của f Bổ đề 1.4.6.2.4: Nếu A cĩ đồng nhất thức thực sự f thì A cĩ đồng nhất thức đa tuyến tính thật sự với bậc nhỏ hơn hay bằng bậc của f.  Bổ đề 1.4.6.2.5: ( )M Kn khơng cĩ đồng nhất thức thực sự bậc < 2n.  Bổ đề 1.4.6.2.6: Cho F là một trường trên K và V là một khơng gian véc tơ vơ hạn chiều trên F thì đại số của các phép biến đổi tuyến tính End VF khơng thoả mãn đồng nhất thức thực sự nào. Chứng minh: Cho f là một đồng nhất thức trên A = End VF và d là bậc của f.Lấy x tùy ý thuộc V, M là một khơng gian con hữu hạn chiều chứa x, sao cho 2[M:F]>d. Gọi B là một đại số con của V, B khơng chứa đơn vị và ổn đinh với M, cĩ nghĩa là chuyển M vào M và chuyển M’=V\M vào 0 B= / ( ) ; ( \ ) 0End V M M V MF     Giả sử n= [M:F], thì B End VF  ( )M Fn ,f là một đồng nhất thức trên A nên f là đồng nhất thức trên ( )M Fn , theo bổ đề 5 suy ra rằng nếu  là hệ số bất kỳ của f thì  B=0.Khi đĩ:  1B =0, Suy ra: ( 1B )(x)=  (1B x)=  (1A x)=(  1A )x=0 Suy ra :  1A =0, hay  A=0. Vậy: f khơng là đồng nhất thức thực sự trên A. Bổ đề trên như là một ví dụ về một đại số khơng phải là P.I.  Bổ đề 1.4.6.2.7: Cho  là một đại số chia được.Thì  chứa một trường con tối đại F( trên K)và với trường con F như vậy thì tâm tâp  ( ) \ ,C F c cf fc f F F      Bổ đề 1.4.6.2.8: Cho A là đại số con đơn của đại số E,B là tâm tập của A trong E, C=BAlà tâm của A.Giả sử , ,...,1 2a a a Ar  là độc lập tuyến tính trên C thì những phần tử này cũng độc lập tuyến tính trên B, cĩ nghĩa là: 0 ; suy ra 0b a b B bi i i i   Định lý 1.4.6.3:( Định lý Kaplansky-Amitsur): Cho A là đại số nguyên thuỷ thoả mãn đồng nhất thức thực sự bậc d thì tâm C của A là trường, A là đại số đơn và d 2[A:C] [ ] 2  . Định lý 1.4.6.4:(Định lý Amitsur-Levitzki): Đa thức chuẩn 2nS là đồng nhất thức của ( )M Kn . Định lý 1.4.6.5: (Định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzki) A là một đại số nguyên thuỷ thoả mãn đồng nhất thức thực sự khi và chỉ khi A là đại số đơn và hữu hạn chiều trên tâm của nĩ.Nếu d là bậc thấp nhất của đồng nhất thức thực sự của A thì d=2n và [A: C] = 2n với C là tâm.Hơn nửa A thoả mãn đồng nhất thức chuẩn Sd . Định lý 1.4.6.5: Một nil đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính quy mạnh thì lũy linh địa phương. Chương 2: CÁC P.I ĐẠI SỐ NGUYÊN TỐ VÀ NỬA NGUYÊN TỐ 2.1. P.I đại số nguyên tố Định nghĩa 2.1.1: Cho S là vị nhĩm con của nhĩm nhân trong vành giao hốn cĩ đơn vị K và M là K- modun Xét tập: SxM= ( , ) / ,s x s S x M  Trên SxM ta định nghĩa quan hệ như sau: ( ; ),( ; ) ;1 1 2 2 ( ; ) ( ; ) : ( ) 01 1 2 2 2 1 1 2 s x s x SxM s x s x s S s s x s x         Lúc đĩ  là quan hệ tương đương trên SxM Gọi SM là tập các lớp tương đương (s;x), được ký hiệu 1s x Trên MS ta định nghĩa các phép tốn như sau: 1 1 1( ) ( )1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1( ) ( ), s x s x s s s x s x k s x s kx k K          Rõ ràng hai phép tốn trên là định nghĩa tốt trên MS Lúc đĩ MS là K-modun và ta gọi là Địa phương hố của M tại S Hiển nhiên ánh xạ: SV : 11 M MS x x   là một K-đồng cấu modun Và: KerVS = / : 0x M s S sx    Suy ra: Annx S   Đặc biệt KS là K-đại số giao hốn , nếu trên KS ta định nghĩa phép nhân như sau: 1 1 1( )( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2s k s k s s k k    Lúc đĩ ánh xạ VS là đồng cấu đại số và VS (s) là khả nghịch trên KS vì 1 1 1: (1 )( 1) 1 1 1s S s s KS         Bây giờ ta chọn: S=K-P với P là ideal nguyên tố trong K Lúc đĩ MS được ghi là MP KS được ghi là KP Lúc đĩ KP là đại số địa phương với ideal tối đại duy nhất chính là radical Jacobson của KP : J( PK )= 1 / ,s p s P p P    Nếu M= thì 11 x =0 trong M P , nên luơn tồn tại sP sao cho sx=0 Suy ra: Annx P  Nếu M thì cĩ xM sao cho x 0 và cũng cĩ AnnxK nên Annx cĩ thể nhúng trong một ideal tối đại P, lúc đĩ 11 x  0 trong MP Như vậy: nếu M thì tồn tại địa phương hố MP  Đặc biệt: Nếu A là K-đại số thì S KSA A K AKS   là đại số trên KS Định nghĩa 2.1.2: Cho A là một đại số trên K. khi đĩ:  kK được gọi là chính quy đối với A ( 0, 0)ka a A._.