Một lớp bài toán biên cho phương trình vi phân hàm

ng sức và tận tình hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận văn này. Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cơ trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đĩng gĩp ý kiến giúp cho tơi hồn thành luận văn này một cách hồn chỉnh. Bên cạnh đĩ, tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám Hiệu trường ðH Sư phạm Tp.HCM, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn - Tin học, Phịng KHCN – SðH và quý Thầy Cơ đã giảng dạy, tạo điều kiện cho chúng tơi hồn thành khĩa học này. Và để cĩ được kết quả như ngày hơm nay, tơi cũng đã được sự giúp đỡ tận tình của Ban chủ nhiệm Khoa Vật Lý, cũng như nhận được những lời động viên, đĩng gĩp ý kiến của các bạn đồng nghiệp Khoa Vật Lý – Trường ðH Sư phạm Tp.HCM cùng bạn bè và người thân. ðặc biệt, tơi xin dành tặng kết quả này cho ba mẹ và gia đình thân yêu nhất của mình – những người đã luơn tạo điều kiện, hỗ trợ cũng như động viên tơi vượt qua những khĩ khăn trong bước đường nghiên cứu khoa học này. Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này, khĩ tránh khỏi những thiếu sĩt, tơi mong nhận được những ý kiến đĩng gĩp của bạn đọc. Mọi ý kiến đĩng gĩp, xin gửi về theo địa chỉ: Nguyễn Vũ Thụ Nhân Khoa Vật Lý, Trường ðại học Sư Phạm Tp.HCM 280 An Dương Vương, Quận 5, Tp.HCM Email: nguyenvuthunhan@gmail.com Xin chân thành cảm ơn. 3 Mục lục Trang phụ bìa ................................................................................................1 Lời cảm ơn ...................................................................................................2 Mục lục ...................................................................................................3 Danh mục các ký hiệu ....................................................................................5 MỞ ðẦU ...................................................................................................8 Chương 1. GIỚI THIỆU BÀI TỐN.........................................................10 Chương 2. MỘT SỐ CƠNG CỤ, KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................12 2. 1. BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TỐN KHƠNG THUẦN NHẤT........................................................................................ 12 2.1.1. ðịnh nghĩa 2.1.1.......................................................................12 2.1.2. ðịnh nghĩa 2.1.2.......................................................................12 2.1.3. Bổ đề 2.1.1 (bổ đề về tính giải được của phương trình vi phân hàm khơng thuần nhất)............................................................13 2.1.4. Bổ đề 2.1.2 ...............................................................................15 2. 2. BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TỐN PHI TUYẾN17 2.2.1. ðịnh nghĩa 2.2.1.......................................................................17 2.2.2. ðịnh nghĩa 2.2.2.......................................................................17 2.2.3. Mệnh đề 2.2.1 ([8]) ..................................................................17 2.2.4. Mệnh đề 2.2.2 ([8]) ..................................................................18 2.2.5. Bổ đề 2.2.1 ...............................................................................18 2.2.6. Mệnh đề 2.2.3 ..........................................................................19 2.2.7. Mệnh đề 2.2.4 (Tính chất của tập 0 (( ; ); )V a b ℓ .........................19 2.2.8. Bổ đề 2.2.2 ..............................................................................20 Chương 3. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH CỦA BÀI TỐN BIÊN HAI ðIỂM .....23 4 3. 1. BÀI TỐN (1.1), (1.2) .............................................................. 23 3.1.1. ðịnh lý 3.1.1 ............................................................................23 3.1.2. Bổ đề 3.1.1 (bổ đề đánh giá xấp xỉ tiệm cận)............................23 3.1.3. Hệ quả 3.1.1 .............................................................................26 3.1.4. Hệ quả 3.1.2 .............................................................................28 3.1.5. ðịnh lý 3.1.2 ............................................................................29 3.1.6. Bổ đề 3.1.2 (bổ đề đánh giá xấp xỉ tiệm cận)............................30 3.1.7. ðịnh lý 3.1.3 ............................................................................34 3.1.8. Bổ đề 3.1.3 ...............................................................................34 ðịnh lý 3.1.3’ .....................................................................................38 3.1.9. Hệ quả 3.1.3 .............................................................................38 3.1.10. Hệ quả 3.1.4 ...................................................................41 3. 2. BÀI TỐN (1.1), (1.2) CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VỚI PHẦN CHÍNH KHƠNG TĂNG....................................................... 44 3.2.1. ðịnh lý 3.2.1 ............................................................................44 3.2.2. Bổ đề 3.2.1 ...............................................................................44 3.2.3. Bổ đề 3.2.2 ...............................................................................46 3.2.4. Hệ quả 3.2.1 .............................................................................50 3.2.5. Hệ quả 3.2.2 .............................................................................54 3.2.6. Hệ quả 3.2.3 .............................................................................55 3.2.7. Hệ quả 3.2.4 .............................................................................57 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ......................................................................62 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................63 5 Danh mục các ký hiệu
R: tâp hợp các số thực
R+ = [0, + ∞)
N: tập hợp các số tự nhiên
C ([a ; b]; R) là khơng gian các ánh xạ liên tục u: [a, b] → R trên [a ; b] với chuẩn: || u ||C = max { |u(t)|: a ≤ t ≤ b}
C0 ([a ; b]; R) = { u ∈ C( [a ; b]; R) : u(a) = 0, u(b) = 0}
C1([a ; b]; R) là khơng gian các ánh xạ khả vi, liên tục u: [a, b] → R với chuẩn: 1 'C C Cu u u= +
1 0 ([ ; ]; )C a b R = { }1([ ; ]; ) : ( ) 0, ( ) 0u C a b R u a u b∈ = =

'C ([a ; b]; R) là khơng gian các hàm liên tục tuyệt đối trên [a ; b], cùng với các đạo hàm cấp một cũng liên tục tuyệt đối, hàm u: [a ; b] → R với chuẩn:  ' ( ) '( ) b C a u u a u s ds= + ∫
' ( ; )locC I D (với I ⊂ [a ; b] và D ⊂ R) là tập hợp các ánh xạ u: I →D liên tục tuyệt đối trên I sao cho u ∈ 'C ( I0 ; D) với mỗi tập compact I0 ⊂ I.
'C ([a ; b]; (0, + ∞)) = {u ∈'C ([a ; b]; R): u(t) > 0, ∀ a ≤ t ≤ b}
[ ]( ); ;L a b R là khơng gian các hàm f : [a ; b] → R khả tích Lebesgue trên [a ; b] với chuẩn: ( ) b L a f f s ds= ∫
( )( ) { }; ; = (( ; ); ) : ( ) 0,L a b R f L a b f t a t b+ ∈ ≥ ∀ < <ℝ
LP((a ; b); R), p> 1, là khơng gian các hàm f: (a ; b) → R, ( )( ) ; ;RPf L a b +∈ , với chuẩn 1/ ( ) p pb p L a f f s ds =     ∫ 6
( )( ); x ; , , nK a b R D n N D R∈ ⊂ , là tập hợp các ánh xạ ( ): ; x nf a b R D→ thỏa mãn điều kiện Caratheodory địa phương, nghĩa là:
( ) ( )., : ;f x a b D→ là đo được với mỗi x ∈ Rn.  ( ){ } ( )( )0sup ., , ; ,f x x D L a b R+∈ ∈ với mỗi tập compact 0 nD R∈ .  ( ),. : nf t R D→ là liên tục hầu khắp nơi với mọi t ∈ (a ; b).
M((a ; b); D), với D ⊂ R, là tập các hàm đo được f: (a ; b) → D.
L0([a;b]) là tập hợp các tốn tử [ ]( ) ( )( ): ; ; ; ; C a b R L a b R→ℓ tuyến tính, bị chặn thỏa mãn điều kiện: ( )( ){ } ( )( )sup . : 1 ; ;Cv v L a b R+= ∈ℓ (*)
L1((a ; b)) là tập hợp các tốn tử [ ]( ) ( )( ): ; ; ; ; C a b R L a b R→ℓ liên tục, và thuần nhất dương thỏa mãn điều kiện (*).
K((a ; b)) là tập hợp các tốn tử F: 1([ ; ]; ) (( ; ); )C a b L a b→ℝ ℝ liên tục và thỏa mãn điều kiện: { } ( )( )1sup ( )(.) : ; ;R , 0CF v v r L a b r+≤ ∈ ∀ >
K ((a ; b)) là tập hợp các tốn tử F: '([ ; ]; ) (( ; ); )C a b L a b→ℝ ℝ liên tục và thỏa mãn điều kiện: ( )( ) { } ( )( ) ' sup . : ; ; , 0 C F v v r L a b R r+≤ ∈ ∀ >
σ: L((a ; b); R) → L((a ; b); R) là tốn tử được xác định bởi: 2 ( )( ) exp ( ) t a b p t p s dsσ +     =       ∫ 1( )( ) ( )( )( )( ) t p t p s ds p tα α σ σ σ = ∫ 7 1( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) t b ab a t p t p s ds p s ds p t σ σ σ σ = ∫ ∫ [ ] ( ) ½p p p+ = + [ ] ( ) ½p p p− = −
Ta nĩi tốn tử ℓ ∈ Li((a ; b)) , i ∈ {0; 1} là khơng giảm nếu: Với bất kỳ u, v ∈ C([a ; b]; R) thỏa mãn: u(t) ≥ v(t), a≤ t ≤ b thì ta cĩ: ℓ( u)( t) ≥ ℓ( v)( t), với a≤ t ≤ b .
Ta nĩi tốn tử ℓ ∈ Li((a ; b)) , i ∈ {0; 1} là khơng tăng nếu: Với bất kỳ u, v ∈ C([a ; b]; R) thỏa mãn: u(t) ≤ v(t), a≤ t ≤ b thì ta cĩ: ℓ( u)( t) ≥ ℓ( v)( t), với a ≤ t ≤ b.
Nghiệm của bài tốn: u”( t) = F (u) (t) với F∈K((a ; b)) là hàm u ∈
'C ( [ a ; b]; R) thỏa mãn phương trình hầu khắp nơi trên (a ; b). --------------------------- 8 MỞ ðẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết bài tốn biên cho phương trình hàm được hình thành và phát triển từ thế kỷ XVIII và ngày càng tìm được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực kinh tế và khoa học kỹ thuật. Song, chỉ từ năm 1997, việc nghiên cứu và phát triển theo hướng này mới thực sự phát triển mạnh và thu được nhiều kết quả mới. Các kết quả này được nghiên cứu bởi một nhĩm các nhà tốn học Grudia và Cộng hịa Czech dưới sự dẫn dắt của giáo sư viên sỹ Ivan Kiguradze - Viện trưởng viện tốn học Tbilisi. Trong những năm gần đây, vấn đề này càng đạt được nhiều kết quả trong các cơng trình của các tác giả như: I.Kiguradze, B.Puza. R.Hakl, A.Lomtatidze. Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài này làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài của mình theo hướng của các tác giả trên. 2. Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tơi tiếp tục học tập và nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài tốn biên hai điểm cho các phương trình: phương trình vi phân hàm cấp hai thuần nhất, phương trình vi phân hàm cấp hai khơng thuần nhất, và áp dụng kết quả đạt được cho phương trình vi phân hàm cấp hai đối số lệch. 3. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tơi chú trọng việc nghiên cứu về tính giải được và duy nhất nghiệm của các bài tốn biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Kết quả của luận văn này là cơ sở để tiếp tục nghiên cứu các lớp bài tốn biên hai điểm, nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai và phương trình vi phân hàm bậc cao và áp dụng các kết quả đĩ cho phương trình vi phân đối số lệch bậc cao. 9 5. Cấu trúc luận văn Nội dung chính của luận văn gồm cĩ 3 chương: Chương 1. Phần giới thiệu bài tốn Chương 2. Một số cơng cụ, kiến thức chuẩn bị Nội dung chính của chương là trình bày các khái niệm, định nghĩa, và các bất đẳng thức liên quan đến quá trình xây dựng kết quả của bài tốn. ðồng thời, chúng tơi xây dựng các bổ đề về tính giải được của bài tốn biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai. Chương 3. Các kết quả chính của bài tốn Dựa trên các kết quả của chương trên để xây dưng các điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân hàm bậc hai. -------------------------------------------------- 10 Chương 1. GIỚI THIỆU BÀI TỐN Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của phương trình: u’’ (t) = F (u)(t) (1.1) thỏa mãn điều kiện: u(a) = 0, u(b) = 0 (1.2) trong đĩ: F ∈ K((a ; b)). Bài tốn (1.1), (1.2) đã được nghiên cứu chi tiết trong trường hợp F là tốn tử Nemytski, nghĩa là: F(u)(t) = f ( t, u (t), u’(t)), với f ∈K((a ; b)xR2; R) Khi đĩ, bài tốn (1.1) trở thành: '' ( , ( ), '( ))u f t u t u t= (1.3) Các kết quả của bài tốn biên (1.3), (1.2), được trình bày trong các cơng trình của các nhà tốn học như S.N.Bershtein [5], M.Nagumo, C.De la Vallée Poussin, L. Tonelli và H. Epheser. Hiện nay, lý thuyết về bài tốn biên dạng (1.3), (1.2) đã được hình thành một cách đầy đủ, trong đĩ hàm f là hàm khơng khả tích. Trong những năm gần đây, vấn đề này càng đạt được nhiều kết quả trong các cơng trình của các tác giả như: I.Kiguradze, B.Puza. R.Hakl, A.Lomatatidze. Vì vậy, cơng việc chính của luận văn là tiếp tục học tập và phát triển đề tài của mình theo hướng của các tác giả trên. Trong những năm gần đây, các cơng trình đều nghiên cứu lý thuyết bài tốn biên cho hệ phương trình vi phân hàm ([1 - 4, 6 - 8], ...). Hơn nữa, bài tốn (1.3), (1.2), tiếp tục được nghiên cứu tỉ mỉ trong trường hợp tổng quát. Tuy nhiên, chúng ta gặp khĩ khăn khi sử dụng các kỹ thuật của lý thuyết bài tốn vi phân thường cho bài tốn vi phân hàm, bởi các phương pháp để 11 nghiên cứu trong hầu hết trường hợp đều dựa trên tính chất của tốn tử Nemytski. Trong luận văn này, chúng tơi sẽ học tập, nghiên cứu các bài tốn trên và đưa ra một số điều kiện để bài tốn (1.1), (1.2) cĩ thể giải được trong trường hợp F như là tốn tử tựa tuyến tính. Ở chương 2 và §1 chương 3, chúng tơi sẽ đề cập đến các điều kiện tổng quát để bài tốn cĩ nghiệm, và ở §2 chương 3, chúng tơi sẽ nghiên cứu tốn tử F là tốn tử đơn điệu ℓ. Phương pháp chính trong việc chứng minh các kết quả ở các mục trên dựa vào sự đánh giá, ước lượng các bất đẳng thức vi phân hàm. ðối với nhiều cơng trình của các nhà tốn học, kết quả của các mục trên đã được giải quyết tương đối đầy đủ cho các bài tốn cĩ dạng: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2" . ' u t p t u t p u t u t h t u t G u tτ= + + + (1.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )" g . ' u t p t u t t u t h t u t G u tτ= + + + (1.5) Và: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )" u t h t u t G u tτ= + (1.6) Trong đĩ: τ ∈ M((a ; b); (a ; b)), p1, p, g ∈ L((a ; b); R) và p2, G ∈ K((a ; b)). 12 Chương 2. MỘT SỐ CƠNG CỤ, KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2. 1. BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TỐN KHƠNG THUẦN NHẤT Trong mục này, ta xét tính giải được của phương trình vi phân cấp 2 phi tuyến khi phương trình thuần nhất tương ứng chỉ cĩ nghiệm tầm thường Xét phương trình vi phân cấp 2 khơng thuần nhất: ''( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )( )u t p t u t g t u t H u t= + + (2.1.1) và phương trình vi phân thuần nhất: '' ( ) ( ) ( ) '( )u p t u t g t u t= + (2.1.2) trong đĩ: p, g ∈ L((a ; b); R). 2.1.1. ðịnh nghĩa 2.1.1 Ta nĩi cặp tốn tử (ℓ0, ℓ1) thuộc tập U0((a; b)) (hay U0((a; b)) là tập hợp tất cả các cặp tốn tử (ℓ0, ℓ1)) nếu: 1. ℓi ∈Li((a ; b)) , (i = 0, 1) là khơng tăng. 2. Tồn tại ánh xạ w ∈'C ([ a ; b]; (0; +∞)) sao cho: w"(t) ≤ ℓ0 (w)(t) + ℓ1(1)(t), với a < t < b (2.1.3) ( )0 1( )( ) (1)( ) 1 b a w s s ds+ <∫ ℓ ℓ . (2.1.4) 2.1.2. ðịnh nghĩa 2.1.2 Ta nĩi: phiếm hàm vectơ (p, g1, g2): (a ; b) → R3 thuộc tập V0((a; b); ℓ) nếu: 1. p, g1, g2 ∈ L((a ; b); R) 2. Với mỗi hàm g ∈ M((a ; b); R) thỏa mãn bất đẳng thức: g1(t) ≤ g(t) ≤ g2(t), với a < t < b (2.1.5) đều tồn tại w ∈'C ( [ a ; b];R) sao cho: w"(t) ≤ p(t)w(t) + g(t)w’(t) + ℓ(w)(t), với a < t < b. (2.1.6) 13 2.1.3. Bổ đề 2.1.1 (bổ đề về tính giải được của phương trình vi phân hàm khơng thuần nhất) Giả sử H ∈ K((a ; b)), và tồn tại q ∈ L((a ; b); R+) sao cho với mọi phiếm hàm v ∈ C1([a ; b]; R) ta luơn cĩ bất đẳng thức: |H(v)(t)| ≤ q(t). (2.1.7) Hơn nữa, giả sử bài tốn thuần nhất (2.1.2), (1.2) chỉ cĩ nghiệm tầm thường. Khi đĩ, bài tốn (2.1.1), (1.2) cĩ ít nhất một nghiệm. Chứng minh: Xét C([a ; b]; R2) là khơng gian các phiếm hàm véc tơ hai chiều, liên tục v = (v1, v2): [a; b] → R2 với chuẩn: { }1 2max ( ) ( ) :v v t v t a t b= + ≤ ≤ ðặt G1:[a,b] x [a; b] → R là hàm Green của bài tốn (2.1.2), (1.2) và G2(t, s) = t ∂ ∂ G1(t, s), với a ≤ t, s ≤ b. Xét tốn tử T = (T1, T2) : C([a ; b]; R2) → C([a ; b]; R2) được định nghĩa bởi: Ti (v1, v2) (t) =  2( , ) ( )( ) , , 1,2 b i a t s H v s ds a t b i≤ ≤ =∫G . (2.1.8) trong đĩ: ( )( ) ( ) , , ([ ; ]; ) t a w t w s ds a t b w C a bϕ = ≤ ≤ ∈∫ ℝ (2.1.9)  ( )( )( ) ( ) ( ), , ([ ; ]; )H w t H w t a t b w C a bϕ= ≤ ≤ ∈ ℝ (2.1.10) T là ánh xạ liên tục, compact tương đối từ C([a ; b]; R2) vào chính nĩ. Thật vậy, xét ( )1 2, Im , n n nh h h T n N= ∈ ∈ . Khi đĩ tồn tại ( ) [ ]( )1 2 2, ; ; , n n nv v v C a b R n N= ∈ ∈ , sao cho: ( )1 2( ) , ( ), , {1,2}, in i n nh t T v v t a t b i n N= ≤ ≤ = ∈ Giả sử  2( ) ( )( )n nf t H v t= , a ≤ t ≤ b, n ∈ N 14 Vì ( )( ) ( )H v t q t≤ . nên khơng mất tính tổng quát, ta cĩ thể giả sử: lim 0 n Ln f f →+∞ − = , với f ∈ L([a ; b]; R) (2.1.11) Xét : ( ) ( , ) ( ) , , 1,2 b i i a t t s f s ds a t b i= ≤ ≤ =∫q G Hiển nhiên: ( ) [ ]( )21 2, ; ;Rq q q C a b= ∈ và ( ) '2 1( ), .q t q t a t b= ≤ ≤ , Khi đĩ:  ( ) 1 '1 1 ' 2 1 2n n n n LC LL h q h q h q M f f− = − = − ≤ − và:  ( )'2 2 2 '2 2 2( ) ( )n n nC Lh q h a q a h q− = − + − ≤ 2( , ) ( ) ( ) ) . b n n nL L a t s f s f s ds f f M f f≤ − + − ≤ −∫G với ( ){ }2M 1 sup G , : ,t s a t s b= + ≤ ≤ Khi đĩ, từ (2.1.11) ta cĩ: lim 0 n Ln h q →+∞ − = Nghĩa là, tốn tử T là ánh xạ liên tục, và compact tương đối. Vì vậy, theo nguyên lý điểm bất động Schauder, tồn tại ( ) [ ]( )21 2, ; ;Rv v C a b∈ sao cho:  2( ) ( , ) ( )( ) , , 1,2 b i i a v t t s H v s ds a t b i= ≤ ≤ =∫G (2.1.12) ðiều đĩ chứng tỏ hàm số u(t) = v1(t), a ≤ t ≤ b, với 1 2( ) ( ) , t a v t v s ds a t b= ≤ ≤∫ , và là nghiệm của bài tốn (2.1.1), (1.2).  15 2.1.4. Bổ đề 2.1.2 Giả sử H ∈  ( )( ; )K a b , và Im H ⊂ L((a ; b); R) là tập compact. Giả sử, bài tốn thuần nhất (2.1.2), (1.2) chỉ cĩ nghiệm tầm thường. Khi đĩ, bài tốn (2.1.1), (1.2) cĩ ít nhất một nghiệm. Chứng minh: Xét C([a ; b]; R2) là khơng gian các phiếm hàm véc tơ hai chiều, liên tục tuyệt đối v = (v1, v2): [a; b] → R2 với chuẩn:  1 2C Cv v v= + ðặt G1:[a,b] x [a; b] → R là hàm Green của bài tốn (2.1.2), (1.k) và G2(t, s) = t ∂ ∂ G1(t, s), với a ≤ t, s ≤ b. Xét tốn tử ( )  ( )  ( )2 21 2, : [ ; ]; [ ; ];T T T C a b R C a b R= → được định nghĩa bởi các đẳng thức (2.1.8) – (2.1.10). Ta chứng minh ImT là tập compact tương đối trong  ( )2[ ; ];C a b R Thật vậy, xét ( )1 2, Im , .n n nh h h T n N= ∈ ∈ Khi đĩ tồn tại ( ) [ ]( )1 2 2, ; ; , n n nv v v C a b R n N= ∈ ∈ , sao cho: ( )1 2( ) , ( ), , {1,2}, in i n nh t T v v t a t b i n N= ≤ ≤ = ∈ Giả sử  2( ) ( )( )n nf t H v t= , a ≤ t ≤ b, n ∈ N Vì ImH là tập compact tương đối trong khơng gian L([a ; b]; R), nên khơng mất tính tổng quát, ta cĩ thể giả sử: lim 0n Ln f f→+∞ − = , với f ∈ L([a ; b]; R) (2.1.13) Giả sử : ( ) ( , ) ( ) , , 1,2 b i i a t t s f s ds a t b i= ≤ ≤ =∫q G Hiển nhiên: ( ) [ ]( )21 2, ; ;Rq q q C a b= ∈ và ( ) '2 1( ), .q t q t a t b= ≤ ≤ Khi đĩ: 16  ( ) 1 '1 1 ' 2 1 2n n n n LC LL h q h q h q M f f− = − = − ≤ − và:  ( )'2 2 2 '2 2 2( ) ( )n n nC Lh q h a q a h q− = − + − ≤ 2( , ) ( ) ( ) ) . b n n nL L a t s f s f s ds f f M f f≤ − + − ≤ −∫G với ( ){ }2M 1 sup G , : ,t s a t s b= + ≤ ≤ Khi đĩ, từ (2.1.13) ta cĩ: lim 0n Ln h q→+∞ − = . Nghĩa là, Tốn tử T là hồn tồn liên tục. Vì vậy, theo nguyên lý điểm bất động Schauder, tồn tại ( ) [ ]( )21 2, ; ;Rv v C a b∈ sao cho:  2( ) ( , ) ( )( ) , , 1,2 b i i a v t t s H v s ds a t b i= ≤ ≤ =∫G ðiều đĩ chứng tỏ hàm số : u(t) = v1(t), a ≤ t ≤ b, với 1 2( ) ( ) , t a v t v s ds a t b= ≤ ≤∫ là nghiệm của bài tốn (2.1), (1.2).  17 2. 2. BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TỐN PHI TUYẾN Xét phương trình vi phân hàm cấp hai phi tuyến: ''( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )( ) ( )u t p t u t g t u t u t q t= + + +ℓ . (2.2.1) Cùng với phương trình (2.2.1) ta xét phương trình tuyến tính thuần nhất của nĩ. Sau đây, ta sẽ chứng minh rằng bài tốn (2.2.1), (1.2) giải được khi và chỉ khi bài tốn thuần nhất của nĩ chỉ cĩ nghiệm tầm thường. Trước hết, ta nhắc lại kết quả cho bài tốn biên hai điểm (trong [4], [7], [8], [9] ). 2.2.1. ðịnh nghĩa 2.2.1 Phiếm hàm α ∈ C([a ; b]; R2) được gọi là hàm dưới (trên) của bài tốn (2.2.1) nếu nĩ được biểu diễn dưới dạng α(t) = α0(t) + α1(t), với a ≤ t ≤ b, trong đĩ α0 ∈ ' ([ ; ]; )locC a b R và α1 ∈ C([a ; b]; R2) là 1 hàm lõm (lồi) cĩ đạo hàm cấp hai bằng khơng hầu khắp nơi, và bất đẳng thức: ''( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )( ) ( )t p t t g t t t q tα α α α≥ + + +ℓ (2.2.2) ( )''( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )( ) ( )t p t t g t t t q tα α α α≤ + + +ℓ được thỏa mãn hầu khắp nơi trên (a ; b). 2.2.2. ðịnh nghĩa 2.2.2 Ta nĩi rằng hàm véc tơ (p, g): (a ; b) → R2 thuộc tập 0 (( ; ))U a b , nếu bài tốn (2.1.2) chỉ cĩ nghiệm tầm thường thỏa mãn điều kiện: u(a) = u (b1) = 0, với b1 ∈ (a ; b) nào đĩ. 2.2.3. Mệnh đề 2.2.1 ([8]) ðiều kiện (p, g) ∈ 0 (( ; ))U a b là điều kiện cần và đủ để tồn tại phiếm hàm v ∈ '([ ; ]; (0; ))C a b + ∞ sao cho: ''( ) ( ) ( ) ( ) '( )v t p t v t g t v t≥ + . 18 2.2.4. Mệnh đề 2.2.2 ([8]) Cho (p, g) ∈ 0 (( ; ))U a b (2.2. 3) và α là phiếm hàm dưới của bài tốn (2.1.2), thỏa mãn điều kiện: α(a) ≤ 0 và α(b) ≤ 0 (2.2.4) Khi đĩ, α(t) ≤ 0, với mọi t ∈ [a ; b] (2.2.5) Hơn nữa, nếu cĩ ít nhất một trong hai bất đẳng thức của (2.2.4) là ngặt, thì α(t) < 0, với mọi t ∈ (a ; b). 2.2.5. Bổ đề 2.2.1 Cho ℓ ∈ L0 ((a ; b)) là tốn tử khơng giảm, (p, g) ∈0 (( ; ))U a b , và cho α1 , α2 lần lượt là hàm dưới và hàm trên của bài tốn (2.2.1) thỏa mãn điều kiện: 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ; ( ) 0 ( ) ; ( ) 0 ( )t t a t b bα α α α α α≤ ≤ ≤ ≤ ≤ , a ≤ t ≤ b . Khi đĩ, bài tốn (2.2.1), (1.2) cĩ ít nhất một nghiệm u thỏa mãn: α1(t) ≤ u(t) ≤ α2(t), a ≤ t ≤ b. (2.2.6) Chứng minh bổ đề 2.2.1 : Ta định nghĩa X : C([a ; b]; R) → C([a ; b]; R) là tốn tử được xác định bởi: ( )1 2 1 21( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2X v t v t t v t t t tα α α α= − − − + + (2.2.7) và o= Xɵℓ ℓ . Xét bài tốn biên: ''( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )( ) ( ), ( ) 0, ( ) 0u t p t u t g t u t u t q t u a u b= + + + = =ɵℓ (2.2.8) Từ (2.2.7) ta cĩ: 1 2( )( ) ( )( ) ( )( ), , ([ ; ]; )t v t t a t b v C a b Rα α≤ ≤ < < ∈ɵℓ ℓ ℓ (2.2.9) Vì vậy, do (2.2.3) và bổ đề 2.1.1, ta cĩ bài tốn (2.2.8) cĩ ít nhất một nghiệm u. Ta chứng minh bất đẳng thức (2.2.6) Thật vậy, giả sử: ( ) ( 1) ( ( ) ( )), , 1,2nn nv t u t t a t b nα= − − < < = 19 Khi đĩ, từ (2.2.9) ta cĩ: " ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ( )( ) ( )( )) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n v t p t v t g t v t t u t p t v t g t v tα≥ + − − − ≥ +ɵℓ ℓ Do đĩ, vn(t) là hàm dưới của bài tốn (2.2.2) thỏa mãn vn(a) ≤ 0, vn(b) ≤ 0 Nên theo mệnh đề 2.2.2 ta tìm được: ( ) 0, , 1,2nv t a t b n≤ < < = Cho nên, bất đẳng thức (2.2.6) được thỏa mãn. Vì vậy, từ (2.2.7) ta cĩ : ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )X Xv t v t v t o v t v t= ⇒ = =ɵℓ ℓ ℓ Do đĩ : u là nghiệm của bài tốn (2.2.1), (1.2)  2.2.6. Mệnh đề 2.2.3 Cho ℓ ∈ L0 ((a ; b)). Khi đĩ, nghiệm duy nhất của bài tốn (2.2.1), (1.2) là điều kiện cần và đủ để bài tốn thuần nhất : "( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )( )u t p t u t g t u t u t= + + ℓ (2.2.10) Cĩ duy nhất một nghiệm tầm thường. (kết quả này cĩ thể tìm trong [3]) 2.2.7. Mệnh đề 2.2.4 (Tính chất của tập 0 (( ; ); )V a b ℓ Giả sử ℓ ∈ L0((a ; b)) là tốn tử khơng tăng, v ≠ 0, '([ ; ];[0;1])v C a b∈ , và: ''( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )( ),v t p t v t g t v t v t a t b≤ + + < <ℓ (2.2.11) Hơn nữa, nếu: v(t) < 1, a < t < b, v(a) = 0, v(b) = 0 hoặc: ( ) ( ) 0v a v b+ ≠ . Thì bài tốn (2.2.10), (1.2) cĩ duy nhất một nghiệm tầm thường. Chứng minh: Ta chứng minh mệnh đề bằng phương pháp phản chứng. Giả sử trái lại. Gọi u là một nghiệm khơng tầm thường của bài tốn (2.2.10), (1.2). ðặt: ( ) ( ) ( ), , Ct u t Mv t a t b M uα = − ≤ ≤ = 20 Rõ ràng: ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0a u a Mv a Mv a do u aα = − = − ≤ = ( ) ( ) ( ) ( ) 0b u b Mv b Mv bα = − = − ≤ . Vậy α thỏa mãn bất đẳng thức (2.2.4). Mặt khác do ℓ ∈ L0((a ; b)) là tốn tử khơng tăng, nên: "( ) "( ) ( ( )) "( )t u t sign u t Mv tα = − ≥ [ ] [ ]( ) ( ) ( ) '( ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )( )p t u t g t u t u t sgn u t M p t v t g t v t v t≥ + + − + +ℓ ℓ ( )( ) ( ) ( ) '( ) ( )p t t g t t u Mv tα α ≥ + + − ℓ = ( )( ) ( ) ( ) '( ) ( )p t t g t t tα α α+ +  ℓ [ ]( ) ( ) ( ) '( )p t t g t tα α≥ + , a < t < b. (2.2.12) Áp dụng mệnh đề 2.2.1 ta cĩ : (p, g) ∈0 (( ; ))U a b Do đĩ, áp dụng mệnh đề 2.2.2 cho hàm α( t) ta cĩ: α(t) ≤ 0, a < t < b Khi đĩ, nếu v(t) < 1, a < t < b thì : ( ) ( ) ( ) 0t u t Mv tα = − ≤ ⇒ ( ) ( ) (!)C Cu t Mv t u M v M M M≤ ⇒ ≤ < ⇒ < Hoặc, nếu ( ) ( ) 0v a v b+ ≠ thì theo mệnh đề 2.2.2 ta cĩ: α(t) < 0, nên theo trên ta cũng cĩ : M < M (!) Vậy ta cĩ điều phải chứng minh  2.2.8. Bổ đề 2.2.2 Cho ℓ ∈ L0((a ; b)) là tốn tử khơng tăng, và (p, g, g) ∈ V0((a ; b); ℓ ) Khi đĩ bài tốn (2.2.10), (1.2) cĩ duy nhất một nghiệm tầm thường. Hơn nữa, nếu α là hàm dưới của bài tốn (2.2.10) thỏa mãn bất đẳng thức (2.2.4), thì : α(t) ≤ 0, với mọi t ∈ [a ; b] Chứng minh: Giả sử u0 là một nghiệm khơng tầm thường của bài tốn (2.2.10), (1.2). Do (p, g, g) ∈V0((a ; b); ℓ ) nên tồn tại w∈ '([ ; ];(0; ))C a b +∞ thỏa mãn: ''( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )( ),w t p t w t g t w t w t a t b≤ + + < <ℓ . (2.2.13) 21 ðặt: 0 ( )( ) ,( ) u t u t a t b w t = ≤ ≤ . (2.2.14) Rõ ràng, ( )u t thỏa mãn điều kiện (1.2) và là nghiệm của bài tốn: 1 1 1''( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )( )v t p t v t g t v t v t= + + ℓ . (2.2.15) trong đĩ: [ ]1 1( ) ( ) ( ) ( ) '( ) "( )( )p t p t w t g t w t w tw t= + − [ ]1 1( ) ( ) ( ) 2 '( ) ,( )g t g t w t w t a t bw t= − < < (2.2.16) 1 1( )( ) ( )( ), , ([ ; ]; )( )v t vw t a t b v C a bw t= < < ∈ℓ ℓ ℝ (2.2.17) Thật vậy, từ (2.2.14) ta cĩ: 0 ( ) ( ). ( )u t u t w t= . Từ đĩ: ' 0 ( ) '( ). ( ) ( ). '( )u t u t w t u t w t= + ; " 0 ( ) "( ). ( ) 2 '( ). '( ) ( ). "( )u t u t w t u t w t u t w t= + + Do u0(t) là nghiệm của phương trình (2.2.10) nên: ( ) ( )"( ). ( ) ( ). ( ) ( ). '( ) "( ) ( ) ( ). ( ) 2 '( ) '( ) ( )( )u t w t p t w t g t w t w t u t g t w t w t u t uw t= + − + − + ℓ nên ta cĩ các biểu thức (2.2.15), (2.2.16), (2.2.17) Từ các biểu thức (2.2.13), (2.2.15) – (2.2.17) , ta nhận thấy rằng bài tốn (2.2.15) với v(t) ≡ 1 đã thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề 2.2.4 Vì vậy, bài tốn (2.2.15), (1.2) cĩ duy nhất một nghiệm tầm thường. ðiều này mâu thuẫn với giả thiết.(!) Do đĩ, u0 là một nghiệm tầm thường của bài tốn (2.2.10), (1.2). Ta chứng minh: nếu α là hàm dưới của bài tốn (2.2.10) thỏa mãn bất đẳng thức: α(a) ≤ 0 và α(b) ≤ 0 (2.2.4), thì : α(t) ≤ 0, với mọi t ∈ [a ; b] Thật vậy, giả sử tồn tại t* ∈ [a ; b] sao cho: α(t*) > 0 (2.2.18) ðặt : { }1 min ( ) : Cc w t a t b α = + ≤ ≤ Khi đĩ: β(t) = c.w(t), a ≤ t ≤ b là phiếm hàm trên của bài tốn (2.2.10), và β(t) > α(t), với a ≤ t ≤ b. 22 Khi β(a) > 0 và β(b) > 0 thì từ biểu thức (2.2.13), mệnh đề 2.2.1 và bổ đề 2.2.1, ta cĩ bài tốn (2.2.10), (1.2) cĩ ít nhất một nghiệm u và : α(t) ≤ u(t), a ≤ t ≤ b Mặt khác, theo trên, ta cĩ bài tốn (2.2.10), (1.2) cĩ duy nhất một nghiệm tầm thường. Do đĩ, u ≡ 0. hay α(t) ≤ 0, a ≤ t ≤ b. Hay ta cĩ điều cần chứng minh.  23 Chương 3. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH CỦA BÀI TỐN BIÊN HAI ðIỂM 3. 1. BÀI TỐN (1.1), (1.2) 3.1.1. ðịnh lý 3.1.1 Cho: (ℓ0, ℓ1) ∈ U0((a; b)) (3.1.1) và với mọi v ∈ 10( [ ; ]; )C a b R ta cĩ: ( ) ( ) ( )10 1( )( )sgn ( ) ( ) ' ( ) , CF v t v t v t v t q t v≥ + −ℓ ℓ . (3.1.2) trong đĩ q ∈ K((a ; b) xR; R+) thỏa mãn điều kiện: 1lim ( , ) 0 b x a q s x ds x→+∞ =∫ (3.1.3) Khi đĩ, bài tốn (1.1), (1.2) cĩ ít nhất một nghiệm. ðể chứng minh định lý trên, chúng ta cần bổ đề đánh giá tiệm cận sau: 3.1.2. Bổ đề 3.1.1 (bổ đề đánh giá xấp xỉ tiệm cận) Giả sử ℓ0 ∈ L0((a ; b)), ℓ1 ∈ L1((a ; b)) là các tốn tử khơng tăng và (( ; )x ; )q K a b R R+∈ là hàm khơng giảm đối với biến thứ hai và thỏa mãn điều kiện (3.1.3). Hơn nữa, giả sử tồn tại '([ ; ];(0; ))w C a b∈ +∞ sao cho: 0 1''( ) ( )( ) (1)( ), w t w t t a t b≤ + < <ℓ ℓ , (3.1.4) ( )0 1( )( ) (1)( ) 1 b a w s s ds+ <∫ ℓ ℓ . (3.1.5) Khi đĩ, tồn tại r > 0 sao cho: với bất kỳ hàm '([ ; ]; )v C a b R∈ thỏa mãn điều kiện : ( ) ( ) ( )10 1"( )sgn ( ) ' ( ) , , Cv t v t v v t q t v a t b≥ + − < <ℓ ℓ ,v(a) = 0,v(b)=0 (3.1.6) Thì : 1Cv r≤ . Chứng minh bổ đề: Ta chứng minh bổ đề bằng phương pháp phản chứng. 24 Giả sử với bất kỳ số tự nhiên k, tồn tại hàm '([ ; ]; )kv C a b R∈ thỏa mãn: vk(a)= 0, vk(b)= 0 (3.1.7) 1k Cv k≥ (3.1.8) ( ) ( ) ( )1" '0 1( )sgn ( ) ( ) , , k k k k k Cv t v t v v t q t v a t b≥ + − < <ℓ ℓ (3.1.9) Xét αk là nghiệm của bài tốn biên: ( )1 ' 1 '' , ; ( ) 0, ( ) 0k C k C q t v a b v α α α= − = = (3.1.10) Ta chứng minh: ( )'( ) ( ) ( ) , , k k kCv t v w t t a t b k Nα≤ + < < ∈ (3.1.11) Thật vậy, đặt: ' ( )( ) ( ) ( ), k k k C v t t w t t a t b v γ α= − − ≤ ≤ Rõ ràng: 0''( ) ( )( ); ( ) 0, ( ) 0t t a bγ γ γ γ≥ ≤ ≤ℓ (3.1.12) Vậy ( )tγ là phiếm hàm dưới của bài tốn: 0''( ) ( )( )v t v t= ℓ Mặt khác do (3.1.4) nên : (0,0,0) ∈V0 ((a; b);ℓ 0). Khi đĩ, áp dụng bổ đề 2.2.2 cho bài tốn (3.1.12) và sử dụng kết quả trên ta cĩ: ( ) 0, t a t bγ ≤ < < Vậy: (3.1.11) được chứng minh. Bây giờ, từ (3.1.11) và (3.1.9) ta cĩ : ( ) ( ) ( )1" ' 0 1( )sgn ( ) 1 ( ) , , k k k k k CCv t v t v w t q t v a t bα ≥ + + − < < ℓ ℓ (3.1.13) Ta xấp xỉ 'kv . Lấy bất kỳ t0 ∈ (a ; b) sao cho ' 0( ) 0kv t ≠ . Khơng mất tính tổng quát, giả sử rằng '0 0( ). ( ) 0k kv t v t > . Khi đĩ, do ( ) 0kv a = , ( ) 0kv b = nên tồn tại t1 ∈ (t0 ; b] sao cho : '( ). ( ) 0k kv t v t > , t0 < t < b, ' 1( ) 0kv t = (3.1.14) Lấy tích phân của (3.1.13) trên đoạn [t0; t1] và sử dụng (3.1.14) ta cĩ : 25 ( ) ( ) ( )( ) ( )1' '0 0 0 1( ) ( ) ( ) 1 ( ) ,b bk k k k CC a a v t v w s s s ds q s v dsα   ≤ + + +    ∫ ∫ℓ ℓ ℓ (3.1.15)._.