Một định lý về tính ổn định mũ của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach

tôi tận tình trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh. Tôi chân thành cảm ơn các Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh, các Thầy Cô đã tận tình tham gia giảng dạy tôi trong lớp Cao học Giải tích khoá 15 và Phòng KHCN - SĐH Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh. Tôi gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Bộ môn Toán trường Dự Bị Đại học TP.HCM, Trường THPT DL An Đông đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong công tác để tôi có thể tham gia đầy đủ các khóa học cũng như hoàn thành luận văn này. Đặc biệt là lời cảm ơn sâu sắc Thầy TS. Chu Đức Khánh đã góp ý cho luận văn và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập. Tôi cũng gởi lời cảm ơn đến tất cả các bạn trong lớp Cao học khoá 15. Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này, khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc. Mọi ý kiến đóng góp xin gởi về email: lehuuthuc74@gmail.com. Xin chân thành cảm ơn. 3MỤC LỤC Trang phụ bìa ................................................................................................. 1 Lời cảm ơn ...................................................................................................... 2 Mục lục ........................................................................................................... 3 MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 4 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ................................................. 6 1.1. Nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn ............... 6 1.2. Nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính bị chặn ............ 10 1.3. Định lý Hille – Yosida ....................................................................... 14 1.4. Nửa nhóm của các toán tử tuyến tính và bài toán Cauchy ............... 15 1.5. Họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach ................................ 18 Chương 2: MỘT ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỌ TIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH ....................... 21 2.1. Giới thiệu............................................................................................ 21 2.2. Kết quả .............................................................................................. 25 Chương 3: ỨNG DỤNG ................................................................................. 36 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................................ 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 40 4MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hiện nay, vấn đề nửa nhóm và họ tiến hóa trong không gian Banach là một hướng nghiên cứu lớn của toán học hiện đại. Nhiều nhà toán học trên thế giới đã và đang tiếp tục nghiên cứu, phát triển các vấn đề này theo nhiều hướng khác nhau trong đó nghiên cứu mối quan hệ của nửa nhóm tiến hóa với bài toán Cauchy được nhiều nhà toán học quan tâm. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài theo hướng nghiên cứu trên. 2. Mục đích: Luận văn này nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân thông qua lý thuyết phổ của nửa nhóm tiến hóa. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính tuần hoàn của nghiệm yếu của phương trình vi phân không thuần nhất với tính ổn định mũ của họ tiến hóa tuần hoàn. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn: Kết quả của luận văn này là cơ sở để tiếp tục nghiên cứu tính các tính chất khác của nghiệm yếu của phương trình vi phân không thuần nhất với tính ổn định mũ của họ tiến hóa tuần hoàn. 55. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có 3 chương: Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ bản liên quan đến nửa nhóm, họ tiến hóa tuần hoàn và một số phương trình vi phân. Chương 2: Chúng tôi trình bày và chứng minh định lý về tính ổn định mũ của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach. Chương 3: Chúng tôi giới thiệu một số ứng dụng của định lý trên. Cuối cùng là các tài liệu tham khảo mà chúng tôi có trích dẫn một số định lý cũng như chứng minh của chúng. ---------------------------------- 6CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 NỬA NHÓM LIÊN TỤC ĐỀU CỦA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN Định nghĩa 1.1.1: Cho X là không gian Banach. Họ một tham số T(t), 0 ≤ t < , của các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X được gọi là một nửa nhóm của các toán tử tuyến tính bị chặn trên X nếu (i) T(0) = I, ( I là toán tử đồng nhất trên X ) (ii) T(t+s) =T(t).T(s) với mọi t, s  0 Một nửa nhóm của các toán tử tuyến tính bị chặn T(t) được gọi là liên tục đều nếu 0 lim ( ) 0 t T t I    (1.1) Từ định nghĩa rõ ràng ta có : Nếu T(t), 0 ≤ t < , là một nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn thì lim ( ) ( ) 0 s t T s T t    (1.2) Định nghĩa 1.1.2: Cho {T(t)}t0 là một nửa nhóm của các toán tử tuyến tính bị chặn xác định trên X. Với h > 0 ta định nghĩa toán tử tuyến tính Ah xác định như sau: ( ) , .h T h x x A x x X h   (1.3) Kí hiệu D(A) là tập tất cả các xX sao cho giới hạn 0 lim h h A x  tồn tại, ta xác định toán tử A trên D(A) như sau: 70 lim , ( )h h Ax A x x D A    (1.4) Ta gọi toán tử A xác định như trên là toán tử sinh cực vi ( hay ngắn gọn hơn là toán tử sinh) của nửa nhóm T(t) và D(A) là tập xác định của A. Định lý 1.1.3: Một toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục đều nếu và chỉ nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn. Chứng minh: Cho A là một toán tử tuyến tính bị chặn trên X và đặt 0 ( ) ( ) ! n tA n tA T t e n     (1.5) Vế phải của (1.5) hội tụ theo chuẩn với mọi t  0 và xác định với mỗi t một toán tử tuyến tính bị chặn T(t). Rõ ràng là T(0) = I và với cách tính trực tiếp trên chuỗi lũy thừa trên ta thấy T(t+s) = T(t).T(s) Tiến hành đánh giá chuỗi lũy thừa trên ta có: ( ) t AT t I t A e  và ( ) ( ) T t I A A T t I t     Từ đó suy ra rằng T(t) là một nửa nhóm liên tục đều của toán tử tuyến tính bị chặn xác định trên X và A là toán tử sinh của T(t). Mặt khác cho T(t) là một nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn xác định trên X. Cố định  >0, đủ nhỏ, sao cho 81 0 ( ) 1I T s ds     Suy ra rằng 1 0 ( )T s ds     là khả nghịch và vì vậy 0 ( )T s ds   là khả nghịch Bây giờ 1 0 ( ( ) ) ( )h T h I T s ds     = 1 0 0 ( ( ) ( ) )h T s h ds T s ds       = 1 0 0 ( ( ) ( ) ) h h h T s ds T s ds     Vì vậy 1( ( ) )h T h I  = 1 1 1 0 0 0 [ ( ) ( ) ]( ( ) ) h h h T s ds h T s ds T s ds        (1.6) Cho 0h  trong (1.6) ta thấy 1( ( ) )h T h I  là hội tụ theo chuẩn và vì vậy đủ mạnh để toán tử tuyến tính bị chặn 1 0 ( ( ) )( ( ) )T I T s ds     là toán tử sinh của T(t).
Vậy nửa nhóm T(t) có một toán tử sinh A thì có duy nhất không? Trả lời câu hỏi này ta xem định lý sau. Định lý 1.1.4: Cho T(t) và S(t) là nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn. Nếu 0 0 ( ) ( ) lim lim t t T t I S t I A t t     (1.7) thì T(t) = S(t) với mọi t  0 Chứng minh: 9Cho T > 0, S(t) = T(t), với 0 ≤ t ≤ T. Cố định T > 0, khi ( )t T t và ( )t S t là liên tục thì tồn tại một hằng số C sao cho ( ) ( )T t S s C với 0 ≤ t, s ≤ T. Từ (1.7), cho  > 0, tồn tại một số  > 0 sao cho 1 ( ) ( )h T h S h TC    với 0≤ h ≤  (1.8) Cho 0 ≤ t ≤ T và chọn n  1 sao cho t n  . Từ tính chất của nửa nhóm và (1.8) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) t t T t S t T n S n n n    1 0 ( 1) (( ) ) ( ) (( 1) ) ( ) n k t kt t k t T n k S T n k S n n n n        1 0 (( 1) ) ( ) ( ) ( ) n k t t t kt t T n k T S S Cn n n n n TC n           Vậy T(t) = S(t) với mọi 0 ≤ t ≤ T
Do hai định lý trên ta có kết quả sau Cho T(t) là nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn. Ta có a) Tồn tại một hằng số 0  sao cho ( ) tT t e . b) Tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn duy nhất A sao cho ( ) tAT t e . c) Toán tử A trong phần b) là toán tử sinh của T(t). d) ( )t T t là khả vi với chuẩn và ( ) ( ) ( )dT t AT t T t A dt   . 10 1.2 NỬA NHÓM LIÊN TỤC MẠNH CỦA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN Trong suốt chương này, X là không gian Banach. Định nghĩa 1.2.1: Một nửa nhóm T(t), 0 ≤ t < , của các toán tử tuyến tính bị chặn trên X là nửa nhóm liên tục mạnh nếu 0 lim ( ) t T t x x   với mọi x  X (1.9) Một nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính bị chặn trên X sẽ được gọi là một nửa nhóm của lớp C0 hay gọi tắt là nửa nhóm_C0. Định lý 1.2.2: Cho T(t) là nửa nhóm_C0 , khi đó tồn tại một hằng số 0  và M  1 sao cho: ( ) . tT t M e với 0 ≤ t < . (1.10) Chứng minh: Trước tiên ta thấy rằng có một số 0  sao cho ( )T t là bị chặn trong 0 t   . Nếu điều này sai thì có dãy {tn} thỏa tn  0, lim 0nn t  và ( )nT t n . Áp dụng định lý bị chặn đều ta thấy tồn tại x  X sao cho ( )nT t x là không bị chặn, mâu thuẫn với (1.9),vậy ( )T t M với 0 t   . Ta có (0) 1T  , M  1. Cho 1 log 0M    . Cho t  0 ta có t n   , với 0    . Áp dụng tính chất nửa nhóm ta có 1( ) ( ) ( ) . . t n n tT t T T M M M M e     
11 Hệ quả 1.2.3: Nếu T(t) là một nửa nhóm_C0 thì với mọi x  X, ( )t T t x là một hàm liên tục từ 0  (đường thẳng thực không âm) vào X. Chứng minh: Cho t, h  0. ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tT t h x T t x T t T h x x Me T h x x      Và cho t  h  0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tT t h x T t x T t h x T h x Me x T h x       Vậy hàm ( )t T t x liên tục.
Định lý 1.2.4: Cho T(t) là một nửa nhóm_C0 và cho A là toán tử sinh của nó. Ta có: a) Với x  X, 0 1 lim ( ) ( ) t h h t T s xds T t x h    (1.11) b) Cho x  X, ta có 0 ( ) ( ) t T s xds D A và 0 ( ) ( ) t A T s xds T t x x        (1.12) c) Cho ( ), ( ) ( )x D A T t x D A  và ( ) ( ) ( )d T t x AT t x T t Ax dt   (1.13) d) Cho ( )x D A , ( ) ( ) ( ) ( ) t t s s T t x T s x T r Ax dr AT r xdr    (1.14) 12 Chứng minh: a) Phần này được suy ra trực tiếp từ tính liên tục của ( )t T t x . b) Cho x  X, và h > 0. Ta có 0 0 ( ) 1 ( ) ( ( ) ( ) ) t tT h I T s xds T s h x T s x ds h h      0 1 1 ( ) ( ) t h h t T s xds T s xds h h     và khi 0h  vế phải sẽ tiến đến ( )T t x x . Ta có điều phải chứng minh. c) Cho x  D(A), và h > 0, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T h I T h I T t x T t x T t Ax h h       khi 0h  (1.15) Vì vậy, T(t)x  D(A) và AT(t)x = T(t)Ax. (2.7) cũng suy ra rằng ( ) ( ) ( ) d T t x AT t x T t Ax dt    Nghĩa là, đạo hàm bên phải của T(t)x là T(t)Ax. Chứng minh (1.13) chúng ta phải thấy rằng cho t > 0, đạo hàm bên trái của T(t)x tồn tại và bằng T(t)Ax. 0 ( ) ( ) lim ( ) h T t x T t h x T t Ax h      = 0 0 ( ) lim ( ) lim( ( ) ( ) ) h h T h x x T t h Ax T t h Ax T t Ax h          . 13 Và cả hai giới hạn bên phải đều bằng không. Giới hạn thứ nhất bằng không là do x  D(A) và ( )T t h bị chặn trên 0 ≤ h ≤ t, giới hạn thứ hai là bởi tính liên tục mạnh của T(t). Kết thúc chứng minh c). d) Chứng minh phần này ta lấy tích phân từ s đến t cho 2 vế của (1.13).
Hệ quả 1.2.5: Nếu A là toán tử sinh của một nửa nhóm_C0 T(t) thì D(A), tập xác định của A, trù mật trong X và A là một toán tử tuyến tính đóng. Chứng minh: Với mọi x  X, tập 0 1 ( ) t tx T s xdst   . Do b) của định lý 1.2.4 nên xt  D(A) với t > 0 và do a) của định lý 1.2.4 nên tx x khi 0t  . Vì vậy ( )D A X . Tính chất tuyến tính của A thì rõ ràng, do đó ta chỉ cần chứng minh thêm A là ánh xạ đóng. Cho xn  D(A), nx x và nAx y khi n  Từ d) của định lý 1.2.4 ta có: 0 ( ) ( ) t n n nT t x x T s Ax ds   (1.16) Hàm dưới dấu tích phân ở vế phải của (1.16) hội tụ đến T(s)y đều trên một khoảng bị chặn, do vậy khi cho n  trong (1.16) ta có 0 ( ) ( ) t T t x x T s y ds   (1.17) 14 Chia (1.17) cho t > 0 và cho 0t  , ta có x D(A) và Ax = y ( do a) của định lý 1.2.4 ).
Định lý 1.2.6: Cho T(t) và S(t) là nửa nhóm_C0 của các toán tử tuyến tính bị chặn với 2 toán tử sinh tương ứng là A và B. Nếu A = B thì T(t) = S(t) với mọi t  0. Chứng minh: Cho x D(A) = D(B) . Từ c) của định lý 1.2.4 ta thấy rằng hàm ( ) ( )s T t s S s x  khả vi và ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d T t s S s x AT t s S s x T t s BS s x ds       ( ) ( ) ( ) ( ) 0T t s AS s x T t s BS s x      Vì vậy hàm ( ) ( )s T t s S s x  là hàm hằng và trong trường hợp đặc biệt giá trị của nó ở s = 0 và s = t là giống nhau, tức là T(t)x = S(t)x với mọi x  X. Điều này đúng cho mọi x  D(A) . Do hệ quả 1.2.5, D(A) trù mật trong X và T(t), S(t) bị chặn nên T(t)x = S(t)x với mọi x  X.
1.3 ĐỊNH LÝ HILLE – YOSIDA Cho T(t) là một nửa nhóm_C0. Từ định lý 1.2.2 ta có hằng số 0  và M  1 sao cho ( ) . tT t M e với 0 ≤ t < . Nếu 0  thì T(t) được gọi là bị chặn đều và nếu thêm M = 1 thì nó được gọi là nửa nhóm_C0 rút gọn. Nếu A là một toán tử tuyến tính ( không nhất thiết bị chặn) trong X, tập giải ( )A của A là tập gồm các số phức  sao cho I A  có ánh xạ ngược, 15 tức là 1( )I A  là một toán tử tuyến tính bị chặn trong X. Họ 1( , ) ( ) , ( )R A I A A      được gọi là giải thức của A. Định lý 1.3.1: (Hille – Yosida) Một toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn) A là toán tử sinh của một nửa nhóm_C0 rút gọn T(t), t  0 nếu và chỉ nếu (i) A là đóng và ( )D A X . (ii) Tập giải ( )A của A là tập chứa  và cho 0  1 ( , )R A  (1.18) Định lý 1.3.2: Cho T(t) là một nửa nhóm liên tục mạnh xác định trên X và A là toán tử sinh tương ứng thỏa 2 điều kiện của định lý 1.3.1. Khi đó ta có kết quả sau: lim ( , ) ,R A x x x X        Chứng minh: Đầu tiên giả sử rằng ( )x D A thì: ( , ) ( , )R A x x AR A x    = 1( , ) 0R A Ax Ax   khi  . Nhưng D(A) thì trù mật trong X và ( , ) 1R A   . Vì vậy ( , )R A x x   khi  với mọi x X .
1.4 NỬA NHÓM CỦA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN CAUCHY 16 Chúng ta xem xét một số phương trình vi phân và các quan hệ của nó với nửa nhóm của các toán tử tuyến tính . Cho X là không gian Banach và cho A là một toán tử tuyến tính từ D(A)  X vào X. Cho x  X, Bài toán Cauchy của A với giá trị đầu x là ( ) ( ), 0 (0) du t Au t t dt u x      (1.19) Nghiệm của bài toán là một hàm u(t) có giá trị trong X sao cho u(t) liên tục với mọi t  0, khả vi liên tục và u(t)  D(A) với mọi t > 0 và thỏa (1.19). Rõ ràng là nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t) thì bài toán Cauchy theo A có nghiệm u(t) = T(t)x với mọi x thuộc D(A). Thật vậy theo định lý 1.2.4 thì ( ) ( ) ( )d T t x AT t x T t Ax dt   và T(0)x = x. Bây giờ ta xem xét tiếp bài toán giá trị đầu không thuần nhất ( ) ( ) ( ), 0 (0) du t Au t f t t dt u x       (1.20) Với : [0, [f T X , và A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t) sao cho phương trình thuần nhất tương ứng ( tức là phương trình với f  0 ) có nghiệm duy nhất với mọi giá trị đầu x D(A). Định nghĩa 1.4.2: 17 Một hàm : [0, [u T X là nghiệm mạnh của (1.20) trên [0,T [ nếu u là liên tục trên [0,T [, khả vi liên tục trên ]0,T [, u(t) D(A) với 0 < t < T và (1.20) được thỏa trên [0,T [ . Cho T(t) là nửa nhóm_C0 được sinh bởi A và cho u là một nghiệm của (1.20). khi đó hàm có giá trị trong X, g(s) = T( t – s )u(s) là khả vi với 0 < s < t và ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dg AT t s u s T t s u s ds AT t s u s T t s Au s T t s f s T t s f s             (1.21) Nếu 1(0, : )f L T X thì ( ) ( )T t s f s là khả tích và lấy tích phân của (1.21) từ 0 đến t ta có 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t T t s u s T t s f s ds u s T t x T t s f s ds         0 ( ) ( ) ( ) ( ) t u t T t x T t s f s ds   (1.22) Từ định nghĩa trên ta thấy nếu 1(0, : )f L T X thì với mọi x  X, bài toán giá trị đầu (1.20) có nhiều nhất một nghiệm. Nếu nó có một nghiệm thì nghiệm này được cho bởi (1.22). Định nghĩa 1.4.4: Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t). Cho x  X và 1(0, : )f L T X . Hàm ([0, ]: )u C T X được cho bởi 18 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 t u t T t x T t s f s ds t T     , là một nghiệm yếu (mild solution) của bài toán giá trị đầu (1.20) trên [0,T ] (Tham khảo [11]). Định lý 1.4.5: Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t). Cho 1(0, : )f L T X liên tục trên [0,T] và cho 0 ( ) ( ) ( ) 0 t v t T t s f s ds t T    Bài toán (1.20) có nghiệm mạnh u trên [0,T [ với mọi x  D(A) nếu một trong hai điều kiện sau đây được thỏa: (i) v(t) là khả vi liên tục trên ]0,T [. (ii) v(t)  D(A) với 0 < t < T và Av(t) là liên tục trên ]0,T [ Nếu (1.20) có nghiệm u trên [0,T [ với một x  D(A) nào đó thì v(t) sẽ thỏa cả 2 điều kiện (i), (ii) Hệ quả 1.4.6: Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t). Nếu f(s) là khả vi liên tục trên [0,T] thì Bài toán (1.20) có nghiệm mạnh u trên [0,T[ với mọi x  D(A). 1.5 HỌ TIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH Định nghĩa: 19 Cho X là không gian Banach. Ta ký hiệu L(X) là không gian Banach của các toán tử tuyến tính xác định trên X. ta cũng ký hiệu . là chuẩn của vectơ trong X hoặc của toán tử trong L(X) Họ U:={U(t,s): t ≥ s ≥ 0} L(X) được gọi là họ tiến hóa trên  của các toán tử tuyến tính bị chặn trên X nếu và chỉ nếu (e1) U(t,t) = I và U(t,s)U(s,r) = U(t,r) cho mọi t ≥ s ≥ r ≥ 0 (e2) Hàm  ( , ) ( , ) : ( , ) :t s U t s x t s t s X  là liên tục với mỗi x  X Nếu thêm vào điều kiện: Cho M > 0 và   sao cho (e3) ( )( , ) t sU t s Me  cho mọi t ≥ s ≥ 0 thì U là họ tiến hóa bị chặn mũ trên X. Họ tiến hóa U là ổn định mũ nếu (e3) đúng với  < 0 nào đó Nếu họ tiến hóa U thỏa điều kiện sau (e4) U(t,s) = U(t-s,0) với mọi t ≥ s ≥ 0 thì họ T =  ( ,0) : 0 ( )U t t L X  là một nửa nhóm liên tục mạnh trên X. trong trường hợp này (e3) là hiển nhiên đúng. Họ tiến hoá U là tuần hoàn chu kỳ_q nếu : (e5) U(t+q,s+q) = U(t,s) với mọi t ≥ s ≥ 0 Cho bài toán non-autonomous ( ) ( ) ( ), 0 (0) , du t A t u t t dt u x x X       (1.21) Với A(t) là toán tử tuyến tính ( có thể không bị chặn ) 20 Nghiệm yếu của (1.21) dẫn đến một họ tiến hóa trên  U =  ( , ) : 0 ( )U t s t s L X   Lưu ý : Nếu bài toán Cauchy (1.21) là tuần hoàn chu kỳ 1 tức là : ( 1) ( ), 0A t A t t    thì họ tiến hóa U tương ứng là tuần hoàn chu kỳ 1. 21 CHƯƠNG 2: MỘT ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỌ TIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH 2.1 GIỚI THIỆU Chúng ta xem xét một nghiệm yếu vf(.,0) của một bài toán Cauchy không thuần nhất đặt tốt trên không gian Banach phức X ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0 dv t A t v t f t dt v      , trong đó A(t) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 có giá trị là các toán tử. Chúng ta chứng minh rằng nếu vf(.,0) thuộc APo(  ,X) với mọi f thuộc APo(  ,X) thì với mọi x  X , nghiệm của bài toán Cauchy đặt tốt ( ) ( ) ( ) (0) dv t A t v t dt v x     là ổn định mũ đều. Để thuận tiện cho việc trình bày ta định nghĩa một số ký hiệu sau: * Ký hiệu X là không gian Banach phức, L(X) là đại số Banach các toán tử tuyến tính, bị chặn trên X. Chuẩn của vectơ trong X và chuẩn của toán tử trong L(X) được ký hiệu là . . * Ký hiệu là tập hoặc , BUC( , X) là không gian Banach của các hàm bị chặn và liên tục đều từ vào X. 22 * Ký hiệu AP( ,X) là không gian Banach tất cả các hàm tuần hoàn hầu hết từ vào X. AP( ,X) là không gian con đóng nhỏ nhất của BUC ( ,X) gồm các hàm có dạng: , ( ) : : , ,    i txt f t e x J X x X  . * Ký hiệu 0 ( , )+A X là tập các hàm f từ + vào X có tính chất sau: Tồn tại ft ≥ 0 và fF  AP( + ,X) sao cho ( ) 0, [0, ] ( ) ( ), f f f f t t t f t F t t t      0 ( , )+AP X là không gian con đóng nhỏ nhất của BUC ( + ,X) mà chứa 0 ( , )+A X . * Ký hiệu 01 ( , )P J X là không gian con của BUC( ,X) gồm các hàm tuần hoàn chu kỳ 1, liên tục đi từ vào X thoả f(0)=0. Hàm đa thức lượng giác lấy giá trị trong X được cho bởi k n i t k k k k k k n t p(t) : c e x : X, c , , x X            * Ký hiệu 0 ( , )+TP X là tập các hàm f từ + vào X có tính chất sau: Tồn tại tf ≥ 0 và một hàm đa thức lượng giác (lấy giá trị trong X) pf(t) sao cho ( ) 0, [0, ] ( ) ( ), f f f f t t t f t p t t t      0 ( , )+TP X là tập con của 0 ( , )+A X và là không gian con đóng trong BUC( + ,X) của một phần của 0 ( , )+TP X . 23 Cho T = {T(t):t ≥ 0} L(X) là nửa nhóm liên tục mạnh trên X và A : D(A)  X  X là toán tử vi cực sinh của T(t). Xét bài toán Cauchy đặt tốt sau: ( ) ( ), 0 (0) , du t Au t t dt u x x X       (2.1) Nghiệm yếu của (2.1) được cho bởi u(t) = T(t)x , ( t ≥ 0 ). Hơn nữa với mỗi hàm khả tích cục bộ Bochner f : +  X, Nghiệm yếu của bài toán Cauchy không thuần nhất ( ) ( ) ( ), 0 (0) , du t Au t f t t dt u y y X        được cho bởi 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) , 0 t fu t y T t y T t f d t      Trong trường hợp đặc biệt, bài toán Cauchy được cho như sau ( ) ( ) , 0 (0) 0 i tdu t Au t e x t dt u       (Ở đây    , x  X) có nghiệm , 0 ( ,0) ( ) ( ) , 0 t i f xu t u t T t e xd t        Ta biết rằng “ Nửa nhóm liên tục mạnh T={T(t): t≥0}  L(X) thì ổn định mũ (tức là tồn tại một hằng số N > 0 và v > 0 sao cho ( ) , 0vtT t Ne t   ) nếu 24 và chỉ nếu nó bị chặn trên không gian ( , ) pL X hoặc 0 ( , )C X bởi tích chập ” (Tham khảo [9]) . (2.2) Nói một cách khác, nếu X là không gian ( , ) pL X hoặc 0 ( , )C X thì nửa nhóm liên tục mạnh T là ổn định mũ f  X, nghiệm uf(.,0)  X, ở đây 0 ( , )C X là không gian gồm các hàm liên tục có giá trị trong X và triệt tiêu ở vô cực và ( , ) pL X (1 ≤ p < ) là không gian Lebesque Bochner thông thường của tất cả các hàm đo được f : +  X thoả 1 0 : ( ( ) ) p p p f f s ds     Khi X là một không gian Hilbert phức thì ta lại có : Nửa nhóm liên tục mạnh T trên X là ổn định mũ  , 0 supsup ( ) ( ) ,x R t u t M x x X        (2.3) (Tham khảo [10]) . Cho một hàm khả tích cục bộ Bochner f: +  X, Nghiệm yếu của bài toán Cauchy không thuần nhất sắp đúng : ( ) ( ) ( ) ( ) , 0, (0) dv t A t v t f t t dt v x       được cho bởi 0 ( , ) : ( ,0) ( , ) ( ) , 0 t fv t x U t x U t f d t     . Chúng ta cũng xem xét họ tiến hóa trên đường thẳng . Ta cũng sử dụng ký hiệu tương tự như trong trường hợp họ tiến hóa trên + , trừ biến s, t có thể mang giá trị bất kỳ trong  . (2.2) có thể được mở rộng cho họ tiến hóa trong 25 2 trường hợp : trên đường thẳng hoặc trên nửa đường thẳng(Tham khảo [7, định lý 2.2], [6]). Trong trường hợp tổng quát (2.3) không thể mở rộng cho họ tiến hóa tuần hoàn nhưng vài kết quả yếu dưới đây vẫn đúng : Chúng ta sử dụng lại những ký hiệu ở nửa nhóm tiến hóa. Cho { ( , ) : }  U U t s t s là họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ 1, t ≥ 0 và G  AP(,X). Hàm được cho bởi : ( ( ) )( ) : ( , ) ( ) :    s S t G s U s s t G s t X (*) thuộc AP( ,X) và họ một tham số S={S(t) : t ≥ 0} là một nửa nhóm liên tục mạnh trên AP( ,X), (Tham khảo [8]). S được gọi là nửa nhóm tiến hóa trên AP( ,X). 2.2 KẾT QUẢ Bổ đề 2.2.1: Một họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ_q U trên X thì bị chặn mũ (exponentially bounded ), tức là có  > 0 vàø M > 1 sao cho ( )( , ) 0t sU t s Me t s     . Chứng minh: Hàm t  U(t,0)x là liên tục trên [0,q] với mọi x  X, do đó tồn tại M(x)>1 sao cho ( ,0) ( )U t x M x với mọi t[0,q]. Sử dụng nguyên lý bị chặn đều ta có kết quả là tồn tại Mq >1 sao cho ( ,0) qU t M với mọi t[0,q]. Cho  = mq + s với m  {1, 2, …} và s[0,q) thì 26 ( ,0) ( , ( ,( 1) ) ( ,0)U U mq U mq m q U q    1 1 ( ) ln (ln ) 1 q q mq M M m q q q q qM M e M e    Đến đây ta dễ dàng thấy rằng có  =  (q) > 0 và Mq > 1 sao cho ( ,0) , 0qU M e     (2.4) Mặt khác hàm (t,s)  U(t,s)x là liên tục trên tập {(t,s)  R2 : 0  s  t  q} với mọi x  X, Vì vậy tồn tại Nq > 1 sao cho    ( ,0) , ( , ) 0, 0, ,qU N t s q x q t s     . (2.5) Cho v ≥  + q và  = nq + u, với n  N và u  [0,q) thì theo (2.4) và (2.5) ta có ( , ) ( , ( 1) ) (( 1) , )U v U v n q U n q    ( )( ,0) ( , ) vq qU v nq q U q u M N e      .
Bổ đề 2.2.2: Cho U { ( , ) : }U t s t s  là họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ q trên không gian banach X, V:=U(q,0)  L(X). Ta có: U là ổn định mũ đều nếu và chỉ nếu r(V) < 1. Chứng minh: Cho v > 0 sao cho r(V) < e-v < 1 thì khi đó r(ev V) < 1, vì vậy có một số K > 0 sao cho v n ne V K cho mọi n = 1, 2, … . theo đó  ,0 v nU nq Ke . Cho t ≥ q , m = 1, 2, … và   [0,q) sao cho t = mq+ thì ( ,0) ( , ) ( ,0)U t U t mq U mq 11( ,0) v tqMe U mq K e   27 Ở đây v1 = q v và q v qeMKeK  1 Cho t  [0,q) thì 1 2( ,0) v tU t K e Ở đây 1( )2 v qK Me   Cho  ≥ 0 và t ≥  + q thì rõ ràng ta có p  và s  [0,q) sao cho  = pq + s thì: 1 ( ) 1 2 ( , ) ( ,( 1) ) (( 1) , ) ( ) v tq U t U t p q U p q s Me K K e          Chiều ngược lại là hiển nhiên .
Bổ đề 2.2.3: Cho T  L(X). Nếu 0 0 sup ,         n i k k t k e T M   thì r(T) < 1. Chứng minh: Chúng ta sẽ sử dụng đồng nhất IdTeIdTeTe nni n k ikki     1)1( 0 )(  (2.6) Từ (4.10) ta có : n  iμ(n+1) n+1 μe T 1+ M (1+ T ) (2.7) suy ra r(T)  1.Giả sử rằng )(1 T . Thì với mọi m = 1, 2, …, tồn tại xm  X với 1mx và 0)(  mxTId khi m . Từ (2.7) ta có kết quả là ( ) 0k mT Id T x  khi m đều cho mọi k  . Cho N , N > 2M0 và m sao cho 28 1 ( ) , 0,1,... 2 k mT Id T x k NN    thì 1 1 0 ( ( ) ) N k j m m m k j M x x T T Id x         1 1 0 ( 1) ( ) N k j m m k j N x T T Id x        024 )1( )1( M N N NN N  điều này mâu thuẫn với )(1 T . Bây giờ thì dễ thấy rằng )(Tei   với    . Vậy r(T) < 1
. Định lý 2.2.4: Cho U = {U(t,s)}t ≥ s ≥ 0 là một họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ q trên không gian Banach X. Nếu 0 0 sup ( , ) ( ) , ( , ), t i q t e U t f d f P X               (2.8) thì U là ổn định mũ. Chứng minh: Cho V = U(q,0), x  X, n = 0, 1, 2, … và g  Pq(  ,X) sao cho g() = (q-)U(,0)x ,   [0,q]. Từ (4.12), cho t = (n+1)q ta có: ( 1) 0 sup (( 1) , ) ( ) , k qn i n N k kq U n q e g d               . (2.9) 29 Trong định nghĩa của họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ q, có tính chất: U(pq+q,pq+u) = U(q,u), p   , u  [0,q] và U(pq,jq) = U((p-j)q,0) = Vp-j, p   , j   , p ≥ j. Với mọi k = 0,1,… ta có:       qk kq i qk kq i dgeqkUqkqnUdgeqnU )1()1( )(),)1(())1(,)1(()(),)1((   =    q kquikn duukqgekquqkUV 0 )( )(),)1((  =   q uiknkqi duuguqUeVe 0 )(),( =   q uiknkqi xduuUuqUuqueVe 0 )0,(),()( =    q knuikqi xVduuquee 0 1))((  = xVeeqM knqkniqni 1)1()1(),(   . Ở đây 0)(),( 0    q ui duuqueqM  Trở lại (4.13) , ta thu được    1 0 sup n j jjqi Nn Ve  ta có r(V) < 1 và U là ổn định mũ.
Định lý 2.2.5: 30 Cho U { ( , ) : }U t s t s  là họ tiến hóa 1_tuần hoàn trên không gian banach X, V:=U(1,0) là toán tử đơn đạo và S là nửa nhóm tiến hóa liên kết với U trên không gian ( , )AP X (được cho ở (*)). 4 mệnh đề sau đây là tương đương: (i) U là ổn định mũ; (ii) r(V)<1; (iii) 0 sup , n i k k n k e V M            ; (iv) 01 ( , )f P X   và   hàm 0 ( , ) ( ) t i st U t s e f s ds bị chặn trên  . Chứng minh: (i)  (ii): Bổ đề 2.2.2 (iii)  (ii): Bổ đề 2.2.3 (iv)  (i): Định lý 2.2.4 (i)  (iii): Do U là ổn định mũ ta có : 0, 0V Ne sao cho N    . Suy ra 0 0 0 0 n n n n i k k i k k k k k k k k k e V e V V N e             Do chuổi 0 n k k k N e   hội tụ nên 0 sup , n k k n k N e M            (i)  (iv): Do U là ổn định mũ ta có: ( )( , ) t sU t s Me  với  < 0, t  s 31 Mặt khác ( )f s   do 01 ( , )f P X  Suy ra: ( , ) ( ) ( , ) ( )i s i sU t s e f s U t s e f s     Vậy 0 ( , ) ( ) t i sU t s e f s ds bị chặn Bổ đề 2.2.6: Cho ( , ), 0of AP X   và U { ( , ) : } ( )U t s t s L X    là họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ 1 của các toán tử tuyến tính bị chặn trên X. Khi đó hàm ( )S f cho bởi: ( , ) ( ), [ ( ) ]( ) : 0, 0 U s s f s s S f s s           (2.10) thuộc ( , )oAP X . Chứng minh: Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng 0( ) ( , ).S g A X   Với mọi g ( , )oA X . Cho gt và gF (giống như trong định nghĩa của tập ( , )oA X ). Cho ( ) :S g gt t   và ( ) : (.,. ) (. )S g gF U F     . Nếu gs t    thì ( ) 0g s   và [ ( ) ]( ) 0S g s  . Hơn nữa , nếu gs t  thì ( ) ( )gg s F s    và vì vậy ( )[ ( ) ]( ) ( )S gS g s F s  . Vậy 0( ) ( , )S g A X   . Cho  > 0 và 0 ( , )g A X  sao cho ( , )BUC Xf g   , khi đó 0( ) ( , )S g A X   và 32 ( , ) ( ) ( ) sup ( , )[ ( ) ( )] sup ( ) ( ) BUC X s s S f S g U s s f s g s Me f s g s Me                            Vậy bổ đề đã được chứng minh.
Bây giờ thì ta dễ dàng thấy họ  ( ) : 0S    là nửa nhóm của các toán tử tuyến tính và bị chặn trên 0 ( , )AP X Bổ đề 2.2.7: Cho U là họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ 1 của các toán ._.