Moment và kỳ vọng có điều kiện của các đại lượng Ngẫu Nhiên

nh lý giới hạn, người ta thường đặt ra các điều kiện của các moment. Mặt khác, khái niệm kỳ vọng có điều kiện cũng là một khái niệm rất cơ bản. Dựa trên khái niệm này, người ta xây dựng được khái niệm Martingale và một số khái niệm liên quan khác. Khóa luận này trình bày các khái niệm moment và kỳ vọng có điều kiện của đại lượng ngẫu nhiên cùng các tính chất của chúng. Với mục đích như vậy, khóa luận chia làm ba phần: Phần 1. Các kiến thức chuẩn bị. Trong phần này chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất phục vụ cho phần sau như không gian xác suất, hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên. Phần 2. Tính chất của các moment. Trong phần này, chúng tôi trình bày các tính chất của kỳ vọng và các moment của đại lượng ngẫu nhiên và chứng minh một số mệnh đề liên quan đến kỳ vọng và mở rộng của nó. Phần 3. Kỳ vọng điều kiện. Trong phần này, chúng tôi giới thiệu khái niệm kỳ vọng điều kiện và nghiên cứu các tính chất của kỳ vọng điều kiện, đồng thời chỉ ra sự khác nhau giữa kỳ vọng điều kiện và kỳ vọng thông thường. Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô 2 giáo trong khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập tại khoa. Cuối cùng, vì sự hạn chế thời gian cũng như tài liệu nên khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự đóng góp, giúp đỡ của quý thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 4 năm 2006 Tác giả 3 §1. Các kiến thức chuẩn bị 1.1. Định nghĩa. Giả sử Ω 6= ∅, F là các tập con của Ω. F được gọi là một σ-đại số nếu: i) Ω ∈ F ; ii) Nếu A ∈ F thì Ω \ A ∈ F ; iii) Nếu {An} ⊂ F thì ∞⋃ n=1 An ∈ F . 1.2. Định nghĩa. Giả sử Ω 6= ∅, F là một σ-đại số các tập con của Ω. Hàm tập P : F → R được gọi là xác suất trên F nếu: i) P (A) ≥ 0, với mọi A ∈ F ; ii) P (Ω) = 1; iii) Nếu {An} ⊂ F , An ∩ Am = ∅, với mọi n 6= m thì P ( ∞⋃ n=1 An) = ∞∑ n=1 P (An) 1.3. Định nghĩa. Giả sử Ω 6= ∅, F là một σ-đại số các tập con của Ω và P : F → R là độ đo xác suất. Khi đó bộ ba (Ω,F , P ) được gọi là một không gian xác suất. 1.4. Tính chất. a) P (∅) = 0; b) Nếu A ⊂ B thì P (A) ≤ P (B); c) Nếu A ⊂ B thì P (B \ A) = P (B)− P (A); d) P (A) + P (A) = 1; e) Nếu A,B ∈ F thì P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (AB); f) Nếu A,B,C ∈ F thì P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB)− P (AC)− P (BC) + P (ABC); g) Nếu {An} ⊂ F thì P ( ∞⋃ n=1 An) ≤ ∞∑ n=1 P (An) 4 h) Nếu {An} ⊂ F sao cho A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ⊂ An ⊂ . . . thì lim n→∞P (An) = P ( ∞⋃ n=1 An) i) Nếu {An} ⊂ F sao cho A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⊃ An ⊃ . . . thì lim n→∞P (An) = P ( ∞⋂ n=1 An) 1.5. Định nghĩa. Hai biến cố A,B được gọi là độc lập nếu P (AB) = P (A).P (B). 1.6. Định nghĩa. Giả sử (Ω,F , P ) là không gian xác suất. Khi đó ánh xạ đo được X : Ω → R được gọi là một đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN). 1.7. Định nghĩa. Giả sử (Ω,F , P ) là không gian xác suất, X : Ω → R là ĐLNN. Ta gọi hàm PX : B(R) → R xác định bởi PX(B) = P (X −1(B)), với mọi B ∈ B(R). là phân phối xác suất của X 1.8. Định nghĩa. Giả sử X là ĐLNN, hàm số F (x) = P (X < x) được gọi là hàm phân phối của X. 1.9. Định lý. Giả sử (Ω,F , P ) là không gian xác suất, X : Ω → R là ĐLNN. Đặt FX = {A = X−1(B) : B ∈ B(R)}. Khi đó FX là một σ-đại số. 1.10. Định nghĩa. (i) FX được gọi là σ-đại số sinh bởi X. (ii) Hai σ-đại số F1,F2 được gọi là độc lập nếu với mọi A1 ∈ F1, A2 ∈ F2 thì P (A1A2) = P (A1)P (A2). (iii) Hai ĐLNN X, Y gọi là độc lập nếu FX ,FY độc lập. Tổng quát, dãy ĐLNN X1, X2, . . . , Xn, . . . gọi là độc lập nếu với mọi n ≥ 1, thì F(X1, X2, . . . , Xn) và F(Xn+1, Xn+2, . . . , ) độc lập. (Trong đó F(X1, X2, . . . , Xn) 5 ( tương ứng F(Xn+1, Xn+2, . . . , )) là σ- đại số bé nhất mà X1, X2, . . . , Xn (tương ứng Xn+1, Xn+2, . . . ,) đo được). 1.11. Bổ đề. (Bất đẳng thức Markov). Giả sử X là ĐLNN, khi đó với mọi  > 0 ta có P (|X| > ) ≤ E|X| r r , với mọi r > 0. 1.12. Định nghĩa. Giả sử µ là độ đo, ν là hai hàm tập cộng tính xác định trên không gian đo (Ω,F). Ta nói ν liên tục tuyệt đối đối với µ, nếu với mọi A ∈ F mà µ(A) = 0 thì ν(A) = 0. Ký hiệu ν  µ. 1.13. Định lý. (Radon - Nikodym). Giả sử ν  µ. Khi đó, tồn tại duy nhất hàm đo được khả tích X : Ω → R sao cho với mọi A ∈ F thì ν(A) = ∫ A Xdµ 1.14. Định nghĩa. Giả sử (Ω,F , P ) là không gian xác suất, X : Ω → R là đại lượng ngẫu nhiên. Kỳ vọng của X, ký hiệu EX là một số xác định bởi công thức EX = ∫ Ω XdP 1.15. Chú ý. Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X có thể tồn tại hoặc không tồn tại. Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X tồn tại nếu tích phân trong vế phải của Định nghĩa 1.14 tồn tại. 1.16. Ý nghĩa. Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X là giá trị trung bình theo xác suất của đại lượng ngẫu nhiên đó. Trong trường hợp X nhận các giá trị với xác suất như nhau thì kỳ vọng chính là trung bình cộng của nó. 6 1.17. Các tính chất. a) Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0; b) Nếu X = c = const thì EX = c; c) Nếu tồn tại EX thì với mọi c ∈ R ta có E(cX) = cEX; d) Cho X, Y là ĐLNN, ta có E(X ± Y ) = EX ± EY e) Cho X, Y là các ĐLNN, thì với mọi a, b ∈ R, ta có: E(aX + bY ) = aEX + bEY f) Cho X, Y là các ĐLNN, nếu X, Y độc lập thì EXY = EX.EY . Tổng quát, Nếu X1, X2, . . . , Xn là họ các ĐLNN độc lập thì E(X1.X2. . . . Xn) = EX1.EX2 . . . EXn g) Nếu X rời rạc có bảng phân phối X x1 x2 . . . xn . . . P p1 p2 . . . pn . . . thì EX = x1p1 + x2p2 + . . . + xnpn + . . . h) Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ p(x) thì EX = +∞∫ −∞ xp(x)dx i) Nếu f : R → R đo được thì E[f(x)] =  ∑ i f(xi)pi, nếu X rời rạc và P (X = xi) = pi; +∞∫ −∞ f(x)p(x)dx, nếu X liên tục có hàm mật độ p(x). 1.18. Định nghĩa. i) Cho X là ĐLNN và số r > 0. Khi đó số EXr = ∫ Ω XrdP, (nếu tồn tại) được gọi là moment cấp r của X. ii) Số E|X − EX|r = ∫ Ω |X − EX|rdP, (nếu tồn tại) 7 được gọi là moment trung tâm cấp r của X. (iii) Số E|X|r = ∫ Ω |X|rdP, (nếu tồn tại) được gọi là moment tuyệt đối bậc r của X. 1.19. Nhận xét. i) Moment bậc nhất chính là kỳ vọng. ii) Moment trung tâm bậc hai chính là phương sai. 8 §2. Tính chất của kỳ vọng và moment 2.1. Mệnh đề. Giả sử X và Y là hai ĐLNN. Khi đó nếu tồn tại E(max{X, Y }) và E(min{X, Y }), thì a) Tồn tại E|X|, E|Y |; b) EX + EY = E(max{X, Y }) + E(min{X, Y }). Chứng minh. a) Ta có |X| ≤ max{X, Y }+ min{X, Y } |Y | ≤ max{X, Y }+ min{X, Y } do đó, E|X| ≤ E (max{X, Y }+ min{X, Y }) E|Y | ≤ E (max{X, Y }+ min{X, Y }) hay E|X| ≤ E(max{X, Y }) + E(min{X, Y }) E|Y | ≤ E(max{X, Y }) + E(min{X, Y }) Theo giả thiết, tồn tại E(max{X, Y }) và E(min{X, Y }) nên từ bất đẳng thức trên, suy ra tồn tại E|X|, E|Y |. b) Ta có X + Y = max{X, Y }+ min{X, Y } nên EX + EY = E(max{X, Y }) + E(min{X, Y }) 2.2. Mệnh đề. Giả sử X là ĐLNN chỉ nhận giá trị nguyên không âm có kỳ vọng hữu hạn. Khi đó EX = ∞∑ n=1 P (X ≥ n). 9 Chứng minh. Đặt S′ = ∞∑ n=1 P (X ≥ n), EX = ∞∑ n=1 nP (X = n) = S. Khi đó Sn = n∑ k=1 kP (X = k) ≤ ∞∑ k=1 P (X ≥ k) = n∑ k=1 nP (X = k) + ∞∑ k=n+1 nP (X = k) = Sn + ∞∑ k=n+1 nP (X = k) Suy ra S = S′, tức là EX = ∞∑ n=1 P (X ≥ n). 2.3. Mệnh đề. Giả sử X là ĐLNN có kỳ vọng không và phương sai hữu hạn. Khi đó E|X| ≤ 1 2 (DX + 1) Chứng minh. Ta có: 0 ≤ (E|X| − 1)2 = E|X|2 − 2E|X|+ 1 = DX + 1− 2E|X|. Suy ra DX + 1− 2E|X| ≥ 0 hay E|X| ≤ 1 2 (DX + 1). 10 Vậy, E|X| ≤ 1 2 (DX + 1) 2.4. Mệnh đề. Giả sử X, Y là các ĐLNN độc lập nhận các giá trị nguyên không âm và E|X| < ∞. Khi đó E(min{X, Y }) = ∞∑ n=1 P (X ≥ n).P (Y ≥ n) Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.2 ta có: E(min{X, Y }) = ∞∑ n=1 P (min{X, Y } ≥ n) = ∞∑ n=1 P (X ≥ n, Y ≥ n) = ∞∑ n=1 P (X ≥ n).P (Y ≥ n) suy ra E(min{X, Y }) = ∞∑ n=1 P (X ≥ n).P (Y ≥ n). 2.5. Mệnh đề. Cho X1, X2, . . . là dãy ĐLNN không âm. Khi đó E ( ∞∑ n=1 Xn ) = ∞∑ n=1 EXn nếu chuổi ∞∑ n=1 Xn hội tụ hầu chắc chắn. Chứng minh. Đặt Sn = n∑ k=1 Xk, khi đó, dãy {Sn} thỏa mãn điều kiện của Định lý hội tụ đơn điệu nên ta có 11 ESn → ES ⇔ E ( n∑ k=1 Xk ) → E ( ∞∑ n=1 Xn ) ⇔ n∑ k=1 EXk → E ( ∞∑ n=1 Xn ) ⇔ lim n→∞ n∑ k=1 Yk = E ( ∞∑ n=1 Xn ) , với Yk = EXk ⇔ ∞∑ n=1 Yn = E ( ∞∑ n=1 Xn ) hay E ( ∞∑ n=1 Xn ) = ∞∑ n=1 EXn 2.6. Mệnh đề. Cho X là ĐLNN, khi đó DX = min a∈R E(X − a)2 Chứng minh. Với mọi a ∈ R ta có E(X − a)2 = E(X2 − 2aX + a2) và DX = EX2 − (EX)2, do đó E(X − a)2 −DX = E(X2 − 2aX + a2)− [EX2 − (EX)2] = EX2 − 2aEX + a2 − EX2 + (EX)2 = a2 − 2aEX + (EX)2 = (a− EX)2 ≥ 0 Từ bất đẳng thức trên, suy ra DX ≤ E(X − a)2, với mọi a ∈ R. Vậy, DX = min a∈R E(X − a)2 2.7. Mệnh đề. Giả sử X và Y là các ĐLNN độc lập với phương sai hữu hạn. Khi đó(√ DX − √ DY )2 ≤ D(X + Y ) ≤ (√DX +√DY )2 12 Chứng minh. Ta có D(X + Y ) = E[X + Y − E(X + Y )]2 = E(X − EX + Y − EY )2 = E(X − EX)2 + E(Y − EY )2 + 2E(X − EX)(Y − EY ) = DX + DY + 2E(X − EX)(Y − EY ) Mặt khác, theo Bất đẳng thức Bunhiacovski - Cauchy ta có: |E(X − EX)(Y − EY )| ≤ √ DX.DY . Do đó DX + DY − 2 √ DX.DY ≤ D(X + Y ) ≤ DX + DY + 2 √ DX.DY . Hay (√ DX − √ DY )2 ≤ D(X + Y ) ≤ (√DX +√DY )2 2.8. Mệnh đề. Giả sử X1, . . . , Xn là các ĐLNN có moment bậc r với 0 < r ≤ 1. Khi đó E|X1 + . . . + Xn|r ≤ E|X1|r + . . . + E|Xn|r Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức |a + b|r ≤ |a|r + |b|r, với mọi 0 < r ≤ 1, ta có E|a + b|r ≤ E(|a|r + |b|r) = E(|a|r) + E(|b|r) Khi đó, với X1, . . . , Xn là các ĐLNN có moment bậc 0 < r ≤ 1, ta có: E|X1 + X2|r ≤ E|X1|r + E|X2|r và E|X1 + X2 + X3|r ≤ E|X1 + X2|r + E|X3|r ≤ E|X1|r + E|X2|r + E|X3|r Do đó, bằng quy nạp ta chứng minh được E|X1 + . . . , Xn|r ≤ E|X1|r + . . . + E|Xn|r. 13 2.9. Mệnh đề. Giả sử X là ĐLNN dương, không suy biến có kỳ vọng hữu hạn. Khi đó 1 EX ≤ E ( 1 X ) Chứng minh. Áp dụng Bất đẳng thức Ho¨lder ta có: 1 = E ( 1 X X ) ≤ E ( 1 X ) EX suy ra 1 EX ≤ E ( 1 X ) 2.10. Mệnh đề. (Mở rộng của Mệnh đề 2.9) Giả sử X và Y là các ĐLNN độc lập, nhận các giá trị dương. Khi đó, với mọi r ≥ 0, ta có: E ( X Y )r ≥ EX r EY r Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.9, ta có: EXr EY r = EXrE ( 1 Y r ) ≥ EXr 1 EY r Vậy, E ( X Y )r ≥ EX r EY r 2.11. Mệnh đề. Giả sử X1, X2, . . . , Xn là các ĐLNN có kỳ vọng hữu hạn, Yk = X1 + . . . + Xk (k = 1, . . . , n). Khi đó, với mọi  > 0 ta có P ( max 1≤k≤n |Yk| > ) ≤ n∑ k=1 E|Yk|  Chứng minh. Ta có P ( max 1≤k≤n |Yk| > ) = P ({|Y1| > } ∪ . . . ∪ {|Yn| > }) = P ({|Y1| > } ∪ . . . ∪ {|X1 + . . . + Xn| > }) ≤ P (|X1||+ . . . + |Xn| > ) 14 Từ đó áp dụng bất đẳng thức Markov, ta nhận được: P ( max 1≤k≤n |Yk| > ) ≤ E(|X1|+ . . . + |Xn|)  = E|X1|+ . . . + E|Xn|  hay P ( max 1≤k≤n |Yk| > ) ≤ n∑ k=1 E|Yk|  15 §3. Kỳ vọng điều kiện 3.1. Định nghĩa. Giả sử (Ω,F , P ) là không gian xác suất, X : Ω → R là ĐLNN khả tích (E|X| < ∞) và G là σ-đại số con của F . Khi đó, ĐLNN Y gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với Y nếu i) Y là G-đo được; ii) Với mọi A ∈ G, ta có ∫ A Y dP = ∫ A XdP Ta thường ký hiệu là Y = E(X/G) hay Y = EGX. 3.2. Chú ý. 1) Nếu X, Y là các ĐLNN đã cho trên (Ω,F , P ) và G là σ-đại số sinh bởi Y thì E(X/G) được ký hiệu là E(X/Y ) và gọi là kỳ vọng điều kiện của ĐLNN X đối với ĐLNN Y . 2) Nếu X1, X2, . . . là các ĐLNN được xác định trên (Ω,F , P ) và G là σ-đại số sinh bởi chúng thì E(X/G) được ký hiệu là E(X/X1, X2, . . .). 3) Nếu X = IA, A ∈ G, thì E(X/G) được ký hiệu là P (A/G) và được gọi là xác xuất điều kiện của biến cố A đối với σ-đại số G. E(IA/X1, X2, . . .) được ký hiệu là P (A/X1, X2, . . .) và được gọi là xác suất điều kiện của biến cố A đối với các ĐLNN X1, X2, . . .. 3.3. Các tính chất của kỳ vọng điều kiện. Giả sử (Ω,F , P ) là không gian xác suất, các ĐLNN đều có kỳ vọng (khả tích hoặc nửa khả tích) G ⊂ F là σ-đại số con nào đó. Khi đó ta có các tính chất sau: 3.3.1. Mệnh đề. Nếu E|X| < ∞ thì tồn tại duy nhất Y = E(X/G). Chứng minh. Xét hàm tập ν : G → R cho bởi công thức: ν(A) = ∫ A XdP, với mọi A ∈ G (1) 16 Do E|X| < ∞ suy ra ν  P . Theo Định lý Radon-Nikodym suy ra tồn tại duy nhất ĐLNN Y là G-đo được sao cho ν(A) = ∫ A Y dP (2) Từ (1) và (2) ta có ∫ A Y dP = ∫ A XdP Vậy Y = E(X/G). 3.3.2. Mệnh đề. Nếu X = c là hằng số thì: E(X/G) = E(c/G) = c(h.c.c) c là hằng số. Chứng minh. Ta có Y = c là G-đo được. Mặt khác với mọi A ∈ G, ta có ∫ A Y dP = ∫ A cdP = ∫ A XdP do đó suy ra Y = c = E(c/G). 3.3.3. Mệnh đề. Nếu X ≥ Y (h. c. c) thì E(X/G) ≥ E(Y/G)(h.c.c) Chứng minh. Đặt Z = E(X/G), T = E(Y/G), khi đó Z, T là G-đo được. Hơn nữa với mọi A ∈ G, ta có∫ A ZdP = ∫ A XdP ≥ ∫ A Y dP = ∫ A TdP suy ra ∫ A ZdP ≥ ∫ A TdP Vậy, E(X/G) ≥ E(Y/G)(h.c.c) 17 3.3.4. Mệnh đề. Với mọi a, b là hằng số và aX + bY xác định ta có E(aX + bY/G) = aE(X/G) + bE(Y/G) Chứng minh. Đặt Z = E(X/G), T = E(Y/G) khi đó Z, T là G-đo được do đó aZ + bT cũng là G-đo được. Mặt khác, với mọi A ∈ G ta có∫ A (aZ + bT )dP = a ∫ A ZdP + b ∫ A TdP = a ∫ A XdP + b ∫ A Y dP = ∫ A (aX + bY )dP Tức các lập luận trên ta suy ra E(aX + bY/G) = aE(X/G)+ bE(Y/G) 3.3.5. Mệnh đề. i) Nếu X và G độc lập, thì E(X/G) = EX. ii) E[E(X/G)] = EX. Chứng minh. i)Ta có Y = EX là G-đo được vì: Y −1(B) = {∅, nếu EX /∈ B Ω, nếu EX ∈ B Mặt khác, với mọi A ∈ G, ta có X và IA độc lập, do đó∫ A Y dP = ∫ A EXdP = EX ∫ A dP = P (A)EX 18 Mặt khác∫ A XdP = ∫ Ω XIAdP = E(XIA) = E(X)E(IA) = EX ∫ Ω IAdP = EX ∫ A dP = EXP (A) = P (A)EX Vậy, ∫ A Y dP = ∫ A XdP, hay E(X/G) = EX. ii) Vì Ω ∈ G nên ta có E[E(X/G)] = ∫ Ω E(X/G)dP = ∫ Ω XdP = EX. 3.3.6. Mệnh đề. i) (Tính chất hút) Nếu G1 ⊂ G2 thì E(X/G1) = E[E(X/G1)/G2] = E[E(X/G2)/G1] ii) Nếu X là G-đo được thì E(X/G) = X. Chứng minh. i) Đặt E(X/G1) = Y , E(X/G2) = Z. Khi đó, Y = E(Y/G2) và Y = E(Z/G1). Thật vậy, ta có Y = E(X/G1) suy ra Y là G-đo được. Do G1 ⊂ G2 nên Y là G2-đo được. Mặt khác với mọi A ∈ G2 ta có ∫ A Y dP = ∫ A Y dP do đó Y = E(Y/G2). Tương tự ta có Y = E(Z/G1). Vậy, ta có E(X/G1) = E[E(X/G1)/G2] = E[E(X/G2)/G1] ii) Ta có theo giả thiết Y = X là G-đo được. Mặt khác, với mọi A ∈ G, ta có ∫ A Y dP = ∫ A XdP Vậy, E(X/G) = X. 19 3.3.7. Mệnh đề. Nếu E|XY | < ∞, E|Y | < ∞, X là G-đo được thì E(XY/G) = XE(Y/G) (∗) Chứng minh. Ta có X.E(Y/G) là G-đo được. Hơn nữa, với mọi A ∈ G, trước hết ta sẽ chứng minh đẳng thức (*) đúng với X = IA, A ∈ G. Thật vậy, từ X = IA ta có∫ A′ XE(Y/G) = ∫ A′ IAE(Y/G)dP = ∫ A′A E(X/G)dP = ∫ A′A Y dP = ∫ A′ IAY dP = ∫ A′ XY dP Từ đó suy ra ∫ A′ X.E(Y/G)dP = ∫ A′ XY dP Vậy, E(XY/G) = XE(Y/G), tức là (∗) đúng với X = IA. Từ đây suy ra (∗) đúng với các hàm đơn giản. Bây giờ nếu X đo được thì X = limhn, với {hn} là dãy các hàm đơn giản, do đó Mệnh đề được chứng minh. 3.3.8. Định lý hội tụ đơn điệu B-Levi. i) Nếu dãy Xn ↑ X(h. c. c) và tồn tại n ∈ N sao cho E(Xn) < ∞ thì E(Xn/G) ↑ E(X/G)(h.c.c) ii) Nếu dãy Xn ↓ X(h. c. c) và tồn tại n ∈ N sao cho E(Xn) < ∞ thì E(Xn/G) ↓ E(X/G)(h.c.c) Chứng minh. Ta chứng minh cho tính chất thứ nhất. Giả sử tồn tại n0 để EXn0 < ∞. Khi đó, ta có 0 ≤ Xn + Xn0 ↑ X + Xn0. Theo Định lý Lơbe về hội tụ đơn điệu, ta có∫ A lim n E[(Xn + Xn0)/G]dP = limn ∫ A E(Xn + Xn0)dP = lim n ∫ A (Xn + Xn0)dP = ∫ A lim n E(Xn + Xn0) = ∫ A (X + Xn0)dP. 20 Từ đó, kết hợp với tính tuyến tính của tích phân, ta có∫ A lim n E(Xn/G)dP = ∫ A XdP = ∫ A E(X/G)dP, với mọi A ∈ G. Vậy lim n E(Xn/G) = E(X/G)(h.c.c) Trường hợp còn lại, ta chứng minh tương tự. 3.3.9. Bổ đề Fatou. Giả sử tồn tại Y khả tích, khi đó i) Nếu Xn ≤ Y (h. c. c) với mọi n ≥ 1 thì E(limXn/G) ≤ limE(Xn/G)(h.c.c) ii) Nếu Xn ≥ Y (h. c. c) thì limE(Xn/G) ≤ E(limXn/G)(h.c.c) Chứng minh hai tính chất này tương tự như chứng minh Định lý hội tụ đơn điệu B-Levi. 3.3.10. Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue. Giả sử Y khả tích và |Xn| < Y (h. c. c). Khi đó, nếu Xn → X(h. c. c), thì E(lim n Xn/G) = lim n E(Xn/G)(h.c.c) 3.3.11. Mệnh đề. Giả sử G = {A,A,Ω, ∅}, 0 < P (A) = p < 1 và∫ A XdP = a1, ∫ A XdP = a2. Khi đó E(X/G) = a1 p IA + a2 1− pIA. Chứng minh. Đặt Y = E(X/G). Khi đó Y là G-đo được, suy ra Y có dạng Y = b1IA + b2IA. Mặt khác ta có E(Y IA) = ∫ A Y dP = ∫ A XdP = a1 21 Hơn nữaY IA = b1IA suy ra E(Y IA) = b1P (A). Kết hợp với trên ta có b1P (A) = a1 do đó b1 = a1 P (A) = a1 p . Tương tự ta có b2 = a2 P (A) = a2 1− p. Vậy Y = E(X/G) = a1 p IA + a2 1− pIA. 3.3.12. Mệnh đề. Giả sử (Ω,F , P ) là không gian xác suất, G là σ-đại số con của F , X là ĐLNN có phương sai hữu hạn, khi đó DE(X/G) ≤ DX. Chứng minh. Ta có DX = EX2 − (EX)2 do đó DE(X/G) = E[E(X/G)]2 − [E(E(X/G))]2 = E[E(X/G)]2 − (EX)2. Mặt khác lại có 0 ≤ E[X − E(X/G)]2 = EX2 − E[E(X/G)]2 suy ra EX2−E[E(X/G)]2 ≥ 0. Vậy DE(X/G) ≥ EX2− (EX)2 = DX. 3.3.13. Mệnh đề. Giả sử G1,G2, . . . là dãy không giảm các σ-đại số, X là ĐLNN có kỳ vọng hữu hạn, khi đó với mọi  > 0 ta có P ( sup 1≤k≤n |E(X/Gk)| >  ) ≤ E|X|  . Chứng minh. Đặt A = { ω : sup 1≤k≤n |E(X/Gk)| >  } A1 = {ω : |E(X/G1)| > } ........... Aj = { ω : sup 1≤k≤j−1 |E(X/Gk)| ≤ , |E(X/Gj)| >  } 22 Khi đó vì Aj∩Ai = ∅ với mọi i 6= j, A = n⋃ j=1 Aj, Aj ∈ Gj, j = 1, , . . . , n nên E|X| ≥ ∫ A XdP = n∑ j=1 ∫ Aj XdP = n∑ j=1 ∫ Aj E(X/Gj)dP ≥  n∑ j=1 P (Aj) = P (A). suy ra E|X| ≥ P (A) hay P (A) ≤ E|X|  . Vậy P ( sup 1≤k≤n |E(X/Gk)| >  ) ≤ E|X|  . 3.3.14. Mệnh đề. Nếu X là ĐLNN thì X và σ-đại số G độc lập với nhau khi và chỉ khi với mọi hàm Borel ϕ(X) mà E|ϕ(X)| < ∞ thì E(ϕ(X)/G) = E(ϕ(X)). Chứng minh. Nếu X và G độc lập thì ϕ(X) và G cũng độc lập. Do đó E(ϕ(X)/G) = E(ϕ(X)). Ngược lại, giả sử với mọi hàm Borel ϕ(X) mà E(ϕ(X)) < ∞ ta luôn có E(ϕ(X)/G) = E(ϕ(X)). Khi đó với mọi tập Borel A bất kỳ, xét ϕ(X) = IA.X = IX∈A. Khi đó với mọi B ∈ G ta có: P (B ∩X ∈ A) = ∫ B IA.XdP = P (B)E(IAX) = P (B)P (X ∈ A) suy ra, X và G độc lập. Liên quan dến khái niệm kỳ vọng, ta đã biết đến các khái niệm phương sai (variance) và covariance. cụ thể, chúng được xác định như sau: DX := E(X − EX)2 = EX2 − (EX)2 Cov(X, Y ) := E[(X − EX)(Y − EY )] Mối quan hệ giữa phương sai và covarian được thể hiện qua đẳng thức DX = Cov(X,X). 23 Đối với kỳ vọng có điều kiện ta cũng có các khái niệm liên quan tương tự. Chúng được định nghĩa như sau: 3.3.15. Định nghĩa. Cho X, Y là các ĐLNN xác định trên (Ω,F , P ) sao cho EX2 < ∞, EY 2 < ∞ và G là σ-đại số con nào đó của F . Ta định nghĩa D(X/G) := E(X − E(X/G)2) Cov[(X, Y )/G] := E[(X − E(X/G))(Y − E(Y/G))] D(X/G) được gọi là phương sai (hay variance) có điều kiện của X đối với σ -đại số G và cũng được ký hiệu V ar(X/G). Cov[(X, Y )/G] được gọi là covariance có điều kiện của X, Y đối với σ -đại số G. Mối liên hệ giữa phương sai và covarian của kỳ vọng và kỳ vọng điều kiện được thể hiện thông qua hai Mệnh đề sau: 3.3.16. Mệnh đề. Với các điều kiện trang bị trong Định nghĩa 3.3.15, ta có DX = ED(X/G) + DE(X/G) Chứng minh. Ta có ED(X/G) + DE(X/G) = E[E(X − E(X/G))2/G] + E[E(X/G)]2 − [E(E(X/G))]2 = E[(X2 − 2XE(X/G) + E(X/G))/G] + E[E(X/G)]2 − (EX)2 = EX2 + 2E{E(X/G)[E(X/G)−X]} − (EX)2 = DX + 2E{E(X/G)[E(X/G)−X]} (3) 24 Vì E(X/G) là G-đo dược nên kết hợp với tính chất 3.3.5 ta được E{E(X/G)[E(X/G)−X]} = E{E(E(X/G)[E(X/G)−X])/G} = E{E(X/G)E[E(X/G)−X]/G} = E{E(X/G)[E(E(X/G))/G − E(X/G)]} = E{E(X/G)[E(X/G)− E(X/G)]} = 0 Thay vào (3) ta được ED(X/G) + DE(X/G) = DX. 3.3.17. Mệnh đề. Với các điều kiện như trong Định nghĩa 3.3.15, ta có Cov(X, Y ) = ECov[(X, Y )/G] + Cov[E(X/G), E(Y/G)]. Chứng minh. Ta có ECovG(X, Y ) + Cov[E(X/G), E(Y/G)] = E[(X − E(X/G))(Y − E(Y/G))] + E[(E(X/G)− EX)(E(Y/G)− EY )] = E{XY − Y E(X/G)−XE(Y/G) + E(X/G)E(Y/G) + E(X/G)E(Y/G)− E(X/G)EY − EXE(Y/G) + EXEY } = E{(X − EX)(Y − EY ) + [E(Y/G)− EX][E(X/G)− EY ] + [E(Y/G)− Y ][E(X/G)− EX]} = Cov(X, Y ) + E[E(X/G)−X][E(Y/G)− EY ] + E[E(Y/G)− Y ][E(X/G)− EX] Ta có E[E(X/G)−X][E(Y/G)− EY ] = E{E[E(X/G)−X][E(Y/G)− EY ]/G} = E{[E(Y/G)− EY ]E[(E(X/G)−X)/G]} = E{[E(Y/G)− EY ][E(E(X/G))/G − E(X/G)]} = E{[E(Y/G)− EY ][E(X/G)− E(X/G)]} = 0 25 Tương tự ta cũng chứng minh được: E[E(X/G)− Y ][E(X/G)− EX] = 0 Từ đó ta suy ra Cov(X, Y ) = ECov[(X, Y )/G] + Cov[E(X/G), E(Y/G)]. 26 Kết luận Khóa luận đã nêu được những vấn đề sau: 1) Nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của lý thuyết xác suất cần thiết như không gian xác suất, đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên... 2) Giới thiệu các tính chất về các moment của đại lượng ngẫu nhiên, mối liên hệ giữa moment và phương sai. 3) Chứng minh các tính chất của kỳ vọng điều kiện, đồng thời chỉ ra sự khác nhau căn bản giữa kỳ vọng điều kiện và kỳ vọng. 27 Tài liệu [1] David Williams, Probability with martingales, Cambridge University, Press 1991. 1999. [2] Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999. [3] Đào Văn Phong, Hàm số thực, Nxb Giáo dục, 1976. [4] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, Nxb Giáo dục, 2001. 28 ._.