Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm

Bessot, GS. Alain Birebent, PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, TS. Đoàn Hữu Hải và các quí thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành didactic toán khóa 15. Xin chân thành cảm ơn: TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giúp đỡ tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp. Xin chân thành cảm ơn: Ban Giám Hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa (TPHCM) đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp Didactic khóa 15 đã luôn động viên và chia sẻ những vui buồn và khó khăn trong suốt thời gian học tập Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và những bạn bè thân thiết đã luôn bên cạnh, ủng hộ và động viên tôi trong suốt thời gian qua. Bùi Thị Thu Hiền MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Theo truyền thống, tiếp tuyến luôn là chủ đề quan trọng trong chương trình toán ở trường phổ thông Việt Nam, đặc biệt là trong chương trình hình học sơ cấp ở THCS và chương trình Giải tích ở THPT. Trong phạm vi Giải tích, việc nghiên cứu khái niệm tiếp tuyến luôn gắn với khái niệm đạo hàm. Trong luận văn tốt nghiệp đại học của mình, nhan đề: « Tiếp tuyến và đạo hàm phải chăng là một cặp ?», hai sinh viên người Pháp N. Chaboud và D. Hedde (2000) cũng đã chỉ ra sự gắn kết của hai khái niệm này trong lịch sử giảng dạy ở Pháp từ năm 1993 đến năm 1999. Từ đó, chúng tôi thấy cần thiết đặt ra các câu hỏi khởi đầu sau đây: Tại sao khái niệm tiếp tuyến luôn gắn liền với khái niệm đạo hàm? Chúng kết hợp với nhau thế nào? Vai trò, ý nghĩa của mỗi khái niệm trong sự kết hợp đó ? Có được câu trả lời cho những câu hỏi này sẽ cho phép chúng tôi – những giáo viên toán THPT - hiểu rõ hơn đối tượng kiến thức cần giảng dạy, để từ đó có những vận dụng thích hợp trong quá trình thực hành nghề nghiệp của mình. 2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu Lí thuyết nhân chủng học của Didactic toán với các khái niệm mấu chốt như “mối quan hệ thể chế”, “Mối quan hệ cá nhân” sẽ là công cụ lí thuyết mà chúng tôi sử dụng trong nghiên cứu của mình. Trong phạm vi lí thuyết này và từ các câu hỏi khởi đầu nêu trên, chúng tôi trình bày hệ thống câu hỏi nghiên cứu của luận văn như sau : Q1: Trong lịch sử phát triển của Toán học, mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến đã được thiết lập trong những tình huống nào? Đặc trưng cơ bản của mối quan hệ này? Có đối tượng nào khác luôn gắn liền với chúng ? Mỗi đối tượng có vai trò và chức năng gì trong mối quan hệ đó? Q2: Trong hệ thống dạy học toán ở trường phổ thông, mối quan hệ thể chế với đạo hàm và tiếp tuyến, cũng như quan hệ giữa chúng hình thành ra sao ? Với những đặc trưng cơ bản nào so với quan hệ của chúng trong lịch sử ? Có những ràng buộc thể chế nào trên chúng? Q3: Mối quan hệ thể chế nêu trên ảnh hưởng thế nào lên mối quan hệ cá nhân học sinh? 3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Mục đích của luận văn này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục 2. Để đạt được điều đó, chúng tôi sẽ tiến hành các nghiên cứu sau đây : - Phân tích, tổng hợp một số tài liệu hay công trình đã biết về lịch sử hay khoa học luận để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến, đặc biệt là vai trò, chức năng của mỗi đối tượng trong sự kết hợp này. Kết quả của chương này là cơ sở tham chiếu cho phân tích mối quan hệ thể chế tiếp ngay sau đó. - Phân tích, tổng hợp một số kết quả chính trong luận văn của hai sinh viên Pháp là N. Chaboud, D. Hedde (2000) và phân tích chi tiết một SGK của Pháp nhằm mục tiêu làm tham chiếu cho phân tích CT và SGK Việt Nam. - Trên cở sở các nghiên cứu trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích CT và SGK toán lớp 9 và SGK THPT hiện hành ở Vịêt Nam nhằm tìm câu trả lời cho các câu hỏi đặt ra trong Q2, mục 2. - Triển khai một thực nghiệm để kiểm chứng về ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế gắn liền với đạo hàm và tiếp tuyến lên mối quan hệ cá nhân tương ứng của học sinh. Đặc biệt, chúng tôi sẽ đưa vào thử nghiệm giả thuyết nghiên cứu sau đây (kết quả rút ra từ phân tích CT và SGK Việt Nam) : Giả thuyết :”Ở bậc THPT, học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh”. 4. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm 5 phần : Phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận chung. - Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lợi ích của đề tài; mục đích và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn. - Chương 1 dành cho việc trình bày kết quả phân tích và tổng hợp các công trình nghiên cứu về khoa học luận và lịch sử để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến trong lịch sử hình thành và tiến triển của chúng. - Trong chương 2, chúng tôi phân tích CT và SGK Việt Nam để làm rõ mối quan hệ giữa hai đối tượng nêu trên. Nhưng trước đó, chúng tôi đã chọn phân tích một số tư liệu của thể chế dạy học của Pháp để làm tham chiếu cho việc phân tích SGK Việt Nam. - Chương 3 giới thiệu một thực nghiệm nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân tương ứng của học sinh và kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu nêu trong mục 3. - Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3 và nêu một số hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn. Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA MỐI QUAN HỆ GIỮA TIẾP TUYẾN VÀ ĐẠO HÀM 1.1. Mục tiêu của chương Mục đích chủ yếu của chương này là phân tích và tổng hợp một số công trình nghiên cứu lịch sử, khoa học luận về tiếp tuyến và đạo hàm để làm rõ các đặc trưng của mối liên hệ giữa hai khái niệm này. Cụ thể, dựa vào các công trình đánh số [1], [2], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20] (xem phần Tài liệu tham khảo) chúng tôi cố gắng tìm câu trả lời cho những câu hỏi sau đây: Đối tượng đạo hàm và tiếp tuyến xuất hiện trong những tình huống nào của lịch sử toán học? Chúng quan hệ với nhau như thế nào? Đặc trưng cơ bản của mối quan hệ này? Mỗi đối tượng có vai trò và chức năng gì trong mối quan hệ đó? 1.2. Đặc trưng khoa học luận của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm 1.2.1. Giai đoạn 1: Trước thế kỉ XVII  Khái niệm tiếp tuyến Trong [2], tác giả Vũ Đức đã rút ra một số đặc trưng khoa học luận sau đây của khái niệm tiếp tuyến trong giai đoạn này của lịch sử. - Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện và được nghiên cứu trước hết trong phạm vi hình học sơ cấp với các đặc trưng: tiếp tuyến là một đường thẳng có duy nhất một điểm chung và tiếp xúc với đường cong. Tiếp tuyến của đường tròn còn có thêm đặc trưng vuông góc với bán kính của đường tròn tại tiếp điểm. - Tiếp tuyến được định nghĩa hoàn toàn theo lối mô tả trực giác hình học và sử dụng một số thuật ngữ khá mơ hồ, không được giải thích như “chạm”, “đi qua phía bên kia”, “rơi”...Các định nghĩa mô tả này không cho phép đưa ra một phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến. - Cách xác định tiếp tuyến luôn được trình bày thông qua dựng hình và phụ thuộc nhiều vào hình vẽ và tính chất của đường cong.  Nhận xét về mối quan hệ của hai khái niệm Trong giai đoạn này tiếp tuyến chỉ xuất hiện ở phạm vi hình học sơ cấp, bài toán xác định tiếp tuyến được giải quyết dựa vào dựng hình. Khái niệm đạo hàm chưa xuất hiện (dù dưới dạng ngầm ẩn) và do đó, chưa có mối liên hệ nào giữa hai khái niệm được thiết lập. 1.2.2. Giai đoạn 2: Nửa đầu thế kỉ XVII Trong thời điểm này, việc phát minh ra hình học giải tích đồng thời và độc lập bởi Descartes (1596-1650) và Fermat (1601-1665) đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến sự phát triển của giải tích. Nhiều phương pháp mới xác định tiếp tuyến ra đời tạo mầm mống cho sự hình thành phép tính vi phân.  Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Fermat Phần trình bày này dựa trên tài liệu [13] và [14]. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất được biết đến từ năm 1629 qua các bức thư của Fermat. Nhưng đến năm 1642 tác phẩm “Phương pháp khảo sát các số lớn nhất và nhỏ nhất” mới được xuất bản. Trong tác phẩm này, Fermat đề xuất qui tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất qua bài toán sau: Chia đường AC (hình 1.1) bởi điểm B sao cho vật thể, được xây dựng trên hình vuông AB và đường BC là lớn nhất(*) Fichtegôn giải thích phương pháp của Fermat như sau ([14, tr.355]): Đặt đoạn AC đã cho là B, đoạn AB phải tìm là A. Đối với thể tích lớn nhất ta được biểu thức A2(B-A) Sau khi thế A+E vào biểu thức trên thay cho A (Fermat dùng chữ E làm kí hiệu chuẩn cho số gia của lượng đang xét A).Ta cho cả hai biểu thức bằng nhau (trên thực tế là không bằng nhau): (A+E)2(B-A-E) = A2(B-A) Giản ước các vế ta được: 2A(B –A) – A2 + E(B–A–E) –2AE = 0 Bỏ những số hạng còn chứa E, kết quả ta có: 2A(B–A) –A2 = 0 hay 2AB = 3A2 Biểu thức này, theo cách diễn đạt của Fermat, là đẳng thức “đúng”, trong khi đó các đẳng thức trên chỉ là “tưởng tượng ra” hay “gần đúng”. Từ đẳng thức cuối cùng ta xác định được A = 2 3 B Nếu dùng các kí hiệu về hàm số, “qui tắc Fermat” dưới dạng tổng quát sẽ như sau: Để tìm giá trị A, mà tại đó biểu thức f(A) có giá trị lớn nhất hay bé nhất, Fermat dựa vào nguyên lý đã biết trước đó: tại thời điểm mà đại lượng đạt giá trị bé nhất hay lớn nhất, lượng đó hầu như dừng lại trong quá trình biến thiên.  Fermat viết các biểu thức “gần đúng”: f (A+E) = f(A) hay f (A+E) - f(A) = 0 với E rất nhỏ  Đơn giản những số hạng giống nhau ở hai vế, rồi chia cho E ta được: f (A E) f (A) 0 E     Bỏ đi những số hạng còn chứa E, tức là đặt E = 0 (mà điều này tương đương với việc chuyển qua giới hạn khi E0). Cuối cùng, ta được đẳng thức : (*) Giá trị lớn nhất của vật thể được hiểu là thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật có ba cạnh lần lượt là A, A và B-A. B C BA A Hình 1.1 E 0 f (A E) f (A) 0 E        . Từ đó xác định được giá trị A cần tìm. Nhận xét Trong phương pháp trên có những chỗ bất hợp lí: lúc thì cho E là một số hữu hạn khác 0 (bằng cách chia hai vế cho E) sau đó lại cho E = 0. Fichtegôn cũng nhận xét: “phương pháp của Fermat không có cơ sở nào”. Rõ ràng, Fermat đã gặp khó khăn với phép lấy giới hạn và khái niệm vô cùng bé. Tuy nhiên, trong phương pháp trên đã hiện diện tư tưởng của giới hạn và khái niệm đạo hàm: E 0 f (A E) f (A) 0 E        (tương đương với các với cách viết hiện nay là E 0 f (A E) f (A)lim E   = 0 hay f’(A) = 0) Theo ngôn ngữ hiện nay, phương pháp trên dựa trên tính chất: « Hàm số f(x) có đạo hàm tại a và đạt cực đại hay cực tiểu tại điểm đó thì f’(a) =0. Về mặt hình học, tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đạt cực đại hay cực tiểu thì song song với trục hoành » Tuy nhiên, trong phương pháp trên, Fermat cũng chưa biết rằng f’(a) = 0 chỉ là điều kiện cần chứ chưa phải là điểu kiện đủ để có cực trị Còn lời giải có thể mô tả như sau: Gọi V là thể tích của hình hộp chữ nhật nêu trên, x là độ dài đoạn AB và a là độ dài đoạn AC, ta có: 2 3 2( )V x a x x ax     và 2 2' 3 2 0 3 aV x ax x      (vì x > 0). Từ đó, ta có bảng biến thiên sau: x 0 2a/3 a V(x) 0 V đạt giá trị lớn nhất khi 2 3 ax  hay AB = 2 3 AC Trong cùng tác phẩm trên, Fermat cũng đề nghị phương pháp xác định tiếp tuyến của đường cong, được mô tả như sau đây (theo [13]). Xác định tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M. Gọi M’ là điểm khác M nằm trên đường cong (C). X, X’ lần lượt là hình chiếu của M, M’ xuống trục hoành Giả sử tiếp tuyến tại điểm M mà ta cần xác định cắt trục hòanh tại T. X’M’ cắt tiếp tuyến MT tại N (Hình 1.2). Để xác định tiếp tuyến MT, Fermat tìm tiếp ảnh TX. Do TXM và TX’N đồng dạng và thay X’N bằng xấp xỉ, ta có: A: XM = E: (X’M’-XM) EA T X’ X N M’ M Hình 1.2 Theo cách kí hiệu thông thường hiện nay, nếu kí hiệu đường cong (C) bằng công thức y = F(x) thì đẳng thức trên trở thành: A : F(x) = E : (F(x+E)-F(x))  A = F(x).E F(x E) F(x)  Chia biểu thức trên cho E ta được: F(x)A F(x E) F(x) E    Cho E bằng 0, tìm được A Nhận xét Cách dựng tiếp tuyến của Fermat thể hiện một quan điểm rất khác về tiếp tuyến so với các quan điểm trước đó. Trong phương pháp trên, khi điểm M’ dần đến vị trí của M thì cát tuyến M’M dần đến vị trí của tiếp tuyến MT. Như vậy, Fermat đã xem tiếp tuyến của đường cong như là vị trí giới hạn của cát tuyến. Có thể thấy cả hai bài toán trên của Fermat cùng thống nhất trong một phương pháp giải, trong đó đã xuất hiện ngầm ẩn “khái niệm đạo hàm”.Tuy nhiên, ông không tiến xa hơn được vì khó khăn trong việc hiểu “giới hạn” và “vô cùng bé”. Tóm lại, quan niệm rất mới về tiếp tuyến như là “vị trí giới hạn của cát tuyến” đã dẫn tới một phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến mặc dù phương pháp đó còn nhiều chỗ “bất hợp lí” như đã phân tích ở trên. Đạo hàm đã xuất hiện ngầm ẩn và đóng vai trò công cụ cho phép giải quyết bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong. Mối liên hệ giữa đạo hàm ngầm ẩn và tiếp tuyến cũng được thiết lập: « Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm » (Phương pháp trên tương đương với cách viết hiện nay: F(x)A F'(x)  hay F’(x) = F(x) A )  Phương pháp xác định tiếp tuyến của Roberval (1602-1675) và Torricelli (1608-1674) Theo [14], một cách độc lập và gần như đồng thời, cả hai nhà bác học này đã đưa ra phương pháp tìm tiếp tuyến của đường cong bằng cách dùng “hình bình hành vận tốc” (những nghiên cứu của họ được công bố lần đầu tiên năm 1644). Roberval quan niệm: “Phương chuyển động của điểm vạch nên đường cong là tiếp tuyến của đường cong tại mỗi vị trí điểm của nó” Cụ thể nếu đường cong biểu diễn được như là quĩ đạo chuyển động của điểm, chuyển động đó gồm hai chuyển động đơn giản hơn mà đối với chúng vận tốc (theo giá trị và hướng) được cho một cách trực tiếp, thì hướng của vận tốc của chuyển động hợp (và cùng với nó cả hướng của tiếp tuyến với quĩ đạo) đựơc xác định theo “qui tắc hình bình hành”, như sau: Giả sử tại thời điểm ban đầu chất điểm nằm ở O (hình 1.3) và rơi tự do theo gia tốc g (có nghĩa là với vận tốc gt, t là thời gian) dọc theo đường thẳng đứng, mà chất điểm đó lại dời chỗ theo chiều ngang với vận tốc u không đổi. Khi đó, theo kí hiệu trong hình vẽ, tại thời điểm t ta có : x = 21 gt 2 ; y = ut Từ đó, sau khi khử t ta tìm được 22 uy 2 x g  . Như vậy quĩ đạo của chất điểm nhận được là một parabol ( mà dựa theo cách chọn u có thể đồng nhất với parabol tùy ý 2y 2px ). Tỉ số giữa vận tốc thẳng đứng và nằm ngang bằng 2gt gt 2x u ut y   . Do đó- chú ý đến sự đồng dạng của các tam giác, ta chứng minh được rằng tiếp tuyến cắt trục parabol về phía sau đỉnh của nó một đoạn là x. Nhận xét : Phương pháp của Roberval và Torricelli không đựơc xem là phương pháp tổng quát vì những khó khăn trong việc xác định chuyển động thành phần. Quan niệm về tiếp tuyến của Roberval theo quan điểm động học có ý nghĩa về mặt lịch sử vì đề cập đến phương tức thời của chuyển động, là ý tưởng liên quan đến giới hạn, đánh dấu sự phát triển của giải tích. Cách làm này cho thấy ông đã thấy được mối liên hệ mật thiết giữa vận tốc (đạo hàm của khoảng cách còn ngầm ẩn) với tiếp tuyến : Tỉ số giữa vận tốc thẳng đứng và nằm ngang bằng 2x y . Theo ngôn ngữ hiện nay thì mối liên hệ đó là : «hệ số góc của tiếp tuyến bằng dy dx » (với Ox là trục hoành, Oy là trục tung).  Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow Phần trình bày này dựa theo [19]. Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow được trình bày trong « bài giảng về quang học và hình học » (1660-1670). Phương pháp này cũng tương tự như phương pháp của Fermat nhưng có những bước hoàn thiện hơn và có thể diễn tả như sau : Giả sử ta có đường cong s (hình 1.4). Đường thẳng nằm ngang AP cắt đường cong tại A, đường thẳng thẳng đứng PM cắt đường cong tại M. Giả sử MT là tiếp tuyến cần xác định của đường cong tại M, cắt AP tại T. Xét cung MN vô cùng nhỏ là phần trùng nhau của đường thẳng MT và đường cong s. Vẽ NQ // MP, NR //AP. Hình 1.4 t A T Q P m R M a N c T x x O y p M x Hình 1.3 Đặt MP = m; PT = t; MR = a; NR = e Để xác định tiếp tuyến MT ta sẽ tính lượng PT = t Vì M, N cùng nằm trên đường cong nên cùng nghiệm đúng tính chất đặc trưng của đường cong đó. Từ tính chất này, ta tìm mối liên hệ giữa các đại lượng a, e và m qua một đẳng thức I nào đó. Trong đẳng thức này, ta sẽ bỏ đi các số hạng có dạng lũy thừa của a và e (các số hạng này được xem như:có giá trị không đáng kể hay vô cùng bé trong phép tính) Dựa vào định lý Thales ta có a e e t m t a m    . Thay vào I, ta sẽ tính được t. Như vậy tiếp tuyến MT hòan tòan được xác định Theo Perrin, phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow dựa vào ý tưởng xem tiếp tuyến tại một điểm của đường cong như là đường thẳng trùng với một phần vô cùng nhỏ của đường cong tại điểm đó. Phương pháp của ông, theo ngôn ngữ hiện đại, trong lân cận của tiếp điểm có thể “xấp xỉ” đường cong bởi tiếp tuyến tại điểm đó. Trong phương pháp trên, nguyên lí bỏ qua những số hạng vô cùng bé (a,e) có bậc cao hơn 1 được nêu ra: “bỏ đi các số hạng có dạng lũy thừa của a và e vì các số hạng này được xem như có giá trị không đáng kể hay vô cùng bé trong phép tính” (ở Fermat thì nguyên lí này chỉ có thể ngầm hiểu). Việc tìm hệ số góc của tiếp tuyến m t được thay bằng tỉ số a e mà e, a là các vô cùng bé đã ngầm ẩn khái niệm ”vi phân”. Theo cách làm hiện nay, nếu chọn A làm gốc tọa độ và trục hòanh là AP, trục tung là đường thẳng qua A và song song với PM thì a e chính là dy dx và m t chính là hệ số góc của tiếp tuyến. Như vậy, mối quan hệ giữa tiếp tuyến và vi phân (còn ngầm ẩn) đã được thiết lập: “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số hai vi phân dy dx ”. Tuy nhiên, cũng như Fermat, phương pháp của Barrow cũng chưa có cơ sở lí thuyết rõ ràng.  Những đặc trưng khoa học luận cơ bản của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong giai đoạn này có thể tóm lược như sau : - Quan niệm rất mới về tiếp tuyến : “vị trí giới hạn của cát tuyến” và “đường thẳng trùng với phần vô cùng nhỏ của đường cong tại tiếp điểm” đã dẫn đến phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến. Tiếp tuyến bắt đầu xuất hiện trong phạm vi giải tích và mở đường cho việc hình thành các ý tưởng liên quan đến đạo hàm và vi phân. Đạo hàm và vi phân xuất hiện như công cụ ngầm ẩn để giải bài toán xác định tiếp tuyến. Việc xuất hiện đạo hàm và vi phân trong tư tưởng xấp xỉ. - Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, tiếp tuyến và vi phân cũng xuất hiện ngầm ẩn: «Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm » «Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số của hai vi phân dy dx » Nói cách khác, nhờ việc tìm lời giải cho bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong mà nhiều nhà toán học trong giai đoạn này đã tiến đến hiểu biết rất gần với khái niệm đạo hàm, vi phân. Tuy nhiên, việc giải các bài toán tiếp tuyến chưa có cơ sở rõ ràng và được giải quyết vẫn dựa vào hình vẽ. 1.2.3.Giai đoạn 3: Nửa cuối thế kỉ XVII đến cuối thế kỉ XVIII Phân tích trong phần này dựa vào [14], [15] và . Sự phát triển của giải tích được tạo ra bởi Newton(1642-1727) và Leibniz (1646-1716) - cả hai hoạt động độc lập với nhau từ những năm 1660- do việc phát minh ra phép tính vi tích phân. 1.2.3.1.Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp làm chảy (fluxi) của Newton Phương pháp làm chảy của Newton được trình bày chi tiết trong “Phương pháp fluxi và các chuỗi vô hạn(1736)”  Khái niệm về đạo hàm, vi phân ([14], [15]). Newton xem một đường được sinh ra bởi chuyển động liên tục của một điểm và đưa ra một số khái niệm mới. Các lượng biến thiên Newton gọi là “thông lượng” (“tức là các lượng chạy”) (fluente) và kí hiệu bằng các chữ cuối cùng của bảng chữ cái Latinh: u, x, y, z ; chúng được khảo sát như những lượng tăng (giảm) theo thời gian. Những vận tốc, mà theo đó chúng tăng, được gọi là “những đạo hàm” (fluxion) của chúng và cũng được kí hiệu bằng những chữ đó, nhưng thêm dấu chấm u,x, y,z    . Thực ra, Newton chú ý rằng ở đây thời gian được hiểu không phải theo đúng nghĩa đen của nó, “thời gian” có thể được hiểu là lượng bất kỳ chẳng hạn x, tăng một cách đều cùng với thời gian thực sự chẳng hạn sao cho x =1. Nhưng cần nhớ rằng mọi thông lượng đều phụ thuộc vào “thời gian” này, tức là vào cùng một biến độc lập phổ dụng. “Vi phân” cũng được Newton đưa vào với tên gọi là moment của đại lượng chảy. Moment của đại lượng chảy x, kí hiệu là x0 , mà lượng x sẽ tăng (hay giảm) trong khoảng thời gian vô cùng bé 0. Về sau Newton đã đưa vào đạo hàm của đạo hàm, tức là đạo hàm thứ hai: u,x, y,z    , và cả những đạo hàm cấp cao.  Phép lấy đạo hàm của Newton ( [14, tr.360]) Bài toán cơ bản thứ nhất của Newton gắn liền với phép tính vi phân: “Theo hệ thức đã cho giữa các thông lượng hãy xác định hệ thức giữa các đạo hàm” Newton chỉ giải quyết trực tiếp đối với các phương trình đại số. Để ví dụ, ông lấy phương trình: x3 – ax2 + axy – y3 =0. Cách làm như sau:  Trong phương trình trên thay x bằng x + x0 , thay y bằng y + y0  Đơn giản hệ thức trên và chia từng số hạng cho 0  Cuối cùng bỏ qua những số hạng mà vẫn còn chứa 0 thì ta được: 3x2 x – 2ax x + ay x + ax y – 3y2 y =0 Newton giải thích việc bỏ qua các số hạng chứa 0 : “vì ta đã giả thiết 0 là lượng vô cùng bé,… cho nên những số hạng, mà được nhân với nó, có thể xem như không đáng kể so với các đại lượng khác”. Theo Fichtegôn, nguyên lí mà Newton phát biểu và cách làm không phải là mới nhưng cái thực sự mới ở đây là: “kết quả được khẳng định đối với các thông lượng bất kì, không phải từng bài toán cá biệt”.  Phương pháp tìm tiếp tuyến của Newton( [14, tr.361]) Newton đã áp dụng cách tính các đạo hàm cho một số bài toán quan trọng trong đó có bài toán: “Dựng tiếp tuyến với đường cong” Ở đây chúng tôi trình bày tóm tắt cách giải quyết bài toán tiếp tuyến của Newton : Trong trường hợp cơ bản, khi cho trực tiếp phương trình giữa các tọa độ Descartes x, y của điểm biến thiên của đường cong, Newton lý luận như Barrow (đã trình bày ở phần tiếp tuyến), chỉ khác là các số gia (giảm) vô cùng bé e và a ông đã thay bằng các mốc x0 , y0 Do đó ( nếu giữ nguyên kí hiệu ở hình 1.4 thì : PM : TP = y : x Còn tỉ số giữa các đạo hàm được xác định từ phương trình của đường cong theo qui tắc trên. Ngày nay, điều đó có nghĩa là: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng y : x ” Như vậy, từ vận tốc Newton đã đưa vào khái niệm đạo hàm rồi dùng khái niệm này giải quyết bài toán tiếp tuyến.  Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình ( [17, tr. 6-8]) Cũng trong cuốn “Phương pháp fluxi và các chuỗi vô hạn(1736)”, Newton đã áp dụng phương pháp bỏ qua các vô cùng bé để tìm nghiệm gần đúng của phương trình. Cho phương trình y3 – 2y – 5 = 0, dùng một số chẳng hạn là số 2, mà không khác lắm với giá trị đúng của nghiệm, và đặt 2 + p = y Thay 2 + p bởi y vào phương trình cho sẵn, chúng ta sẽ có: p3 + 6p2 + 10p – 1 = 0; Bỏ đi p3 + 6p2 rất nhỏ ta được 10p – 1 = 0, hay p = 0,1, cái này là một giá trị rất gần với giá trị đúng của p; Vì thế việc viết dưới dạng 0,1 + q = p và cũng làm như trên, ta có : q3 + 6,3q2 + 11,23q + 0,061 = 0, bỏ đi hai lựơng đầu tiên không đáng kể, còn lại : 11,23q + 0,061 = 0, hay q = - 0,0054 tốt hơn là ta đạt được trước đây, và ta tiếp tục quá trình này đến khi ưng ý. ……………………………………….. Nhận xét : Ta có thể mô tả bài toán và lời giải theo quan điểm hiện nay như sau : Cho hàm số f(x) = x3– 2x– 5 có đồ thị là (C) Đồ thị này cắt trục hoành tại điểm khá gần với 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là: x3– 2x– 5 = 0 (1) Đặt x = 2 + p thì (1) trở thành p3 + 6 p2 + 10p – 1 = 0 và f’(2) =10 . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x = 2 là ∆: y = 10(x-2) – 1 Phương trình hoành độ giao điểm của ∆ và trục hoành là: 10(x-2)-1 = 0 hay 10p – 1 = 0 hay p = 0,1 Ta có nghiệm gần đúng là x1 = 2 + p = 2,1 Và cứ tiếp tục như thế, đặt p = 0,1 + q (nghĩa là x = 2,1+ q) thì (1) trở thành: q3 + 6,3q2 + 11,23q + 0,061 = 0 f’(2,1) = 11,23 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x = 2,1 là (∆’): y = 11,23(x-2,1) + 0,061 Phương trình hoành độ giao điểm của ∆’ và trục hoành là: 11,23(x-2,1) + 0,061 = 0 hay 11,23q+ 0,061 = 0 hay q = - 0,0054. Vậy ta có nghiệm gần đúng là x2 = 2,1+ q = 2,0964 Và cứ tiếp tục đến khi ưng ý…… Ở đây, theo cách của Newton, ông đã bỏ đi lượng không đáng kể p3 + 6p2 (dựa nguyên lí:” bỏ qua những số hạng vô cùng bé có bậc cao hơn 1”) để f(2+p) 10p – 1 hay f(2+p) f(2) + f’(2)p. Trong đó, f(2)+f’(2)p là một hàm affine và cũng chính là tiếp tuyến của hàm số y= f(x) tại x = 2 . Như vậy, theo quan điểm hiện nay, có thể tóm tắt phương pháp của Newton theo như sau : Xét phương trình f(x) =0 và x0 là một nghiệm gần đúng của phương trình. Nếu f là một hàm số có đạo hàm trên khỏang I, đường cong của nó là (C) có một tiếp tuyến tại mỗi điểm M0(x0; f(x0)). Bắt đầu ở điểm M0(x0 ; f(x0). - Dựng tiếp tuyến T0 của đường cong (C) tại điểm M0 và tìm hoành độ giao điểm của T0 và trục hoành ta được nghiệm gần đúng x1 - Dựng tiếp tuyến T1 của đường cong (C) tại điểm M1(x1,f(x1)) và tìm hoành giao điểm của T1 và trục hoành ta được nghiệm gần đúng x2 - và cứ tiếp tục như thế…ta xây dựng được dãy (xn ) các nghiệm gần đúng của phương trình. Trong phương pháp giải này ngầm ẩn mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine: “hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hòanh độ là a”. 1.2.3.2. Từ tiếp tuyến đến phương pháp vi phân của Leibniz Phân tích trong phần này dựa vào [14] và [13]. Cùng với Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) được xem như người khai sinh ra phép tính vi phân và giải tích vô cùng bé. Nếu như Newton từ vận tốc, đưa vào khái niệm đạo hàm rồi dùng khái niệm này giải quyết bài toán tiếp tuyến thì Leibnitz xây dựng khái niệm tiếp tuyến và tìm tiếp tuyến bằng các “vi phân”. Kể từ năm 1673, việc nghiên cứu các vấn đề tổ hợp đã đưa ông tới các vấn đề vi phân của toán học. Tuy nhiên, các nguyên tắc của phép tính vi phân chỉ công bố năm 1684 trong hồi kí đầu tiên của ông “ Phương pháp mới về các số lớn nhất và bé nhất, cùng những tiếp y D dx Y Y X X A x Hình 1.5 tuyến, mà các đại lượng phân số, vô tỉ không phải là trở ngại cho phương pháp đó” được xuất bản. Leibniz viết: “Giả sử YY là đường cong tùy ý (hình 1.5). Y là điểm biến thiên trên đó với hoành độ AX = x và tung độ YX = y, Leibniz kí hiệu dx đơn giản là đoạn thẳng được lấy tùy ý. Nếu YD là tiếp tuyến của đường cong tại điểm Y, thì đoạn thẳng mà tỉ lệ với dx cũng như là tung độ y tỉ lệ với XD (tiếp ảnh) được gọi là dy”. Như vậy, vi phân của hàm số- dy- được xác định bởi đẳng thức: dy y dx XD  . Sau đó, Leibniz đã đưa ra các qui tắc tính toán liên quan đến việc lấy vi phân của hằng số, hiệu, tích, thương, căn số. Từ phương trình của đường cong, bằng các qui tắc đó, Leibniz xác định được tỉ số dy dx , từ đó xác định được tiếp ảnh XD. Nhận xét : Như vậy, Leibnit cũng quan niệm “tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến”và hệ số góc của tiếp tuyến là tỉ số của các vi phân dy dx ”. Về bản chất thì các phương pháp của Newton và Leibniz là tổng hợp các phương pháp của Fermat và Barrow, nhưng chặt chẽ hơn và có hệ thống hơn vì có cơ sở lý thuyết là các khái niệm vi phân và đạo hàm. Việc trình bày các qui tắc tính vi phân và đạo hàm đã giúp cho việc xác định tiếp tuyến của đường cong trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Đến đây, bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong tổng quát xem như được giải quyết. Tuy nhiên, cả Newton và Leibniz đều chưa xây dựng được cơ sở vững chắc cho các phép tính của mình vì cả hai chưa làm rõ được những cơ sở cho việc bỏ qua các đại lượng vô cùng bé và các vấn đề liên quan đến giới hạn. Tóm tắt những đặc trưng khoa học luận của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong giai đoạn này: - Việc tìm kiếm phương pháp tổng quát xác định tiếp tuyến của đường cong dẫn đến sự nảy sinh khái niệm đạo hàm và vi phân. Bên cạnh đó khái niệm đạo hàm cũng sớm được xuất hiện như là công cụ cho việc tìm vận tốc tức thời trong chuyển động cơ học. Sau đó, đạo hàm và vi phân đóng vai trò công cụ tường minh cho việc xác định tiếp tuyến của đường cong. - Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và vi phân, tiếp tuyến và đạo hàm đã xuất hiện tường minh dưới dạng: “hệ số góc của tiếp tuyến là tỉ số của y x   ” và “hệ số góc của tiếp tuyến là tỉ số của các vi phân dy dx ”. - Vấn đề liên quan đến tiếp tuyến và đạo hàm cũng đã dẫn đến việc hình thành tư tưởng xấp xỉ. Khái niệm xấp xỉ affine xuất hiện ngầm ẩn trong việc tìm nghiệm gần đúng của phương trình bậc 3 của Newton và trong cách tìm tiếp tuyến của Barrow, Newton :“đường cong xấp xỉ với tiếp tuyến trong lân cận tiếp điểm”. Mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng được thiết lập: “hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hòanh độ là a” 1.2.4. Giai đoạn 4: Từ đầu thế kỉ XIXđến nay Ở thế kỉ XVIII, một số nhà toán học đã cho định nghĩa tổng quát về giới hạn. Sau đó, từ khái niệm giới hạn, các nhà toán học ở thế kỉ XIX – đặc biệt là Cauchy (1789- 1857) mới lập nên nền tảng thực sự cho việc xây dựng tiếp theo của toàn bộ giải tích toán học, cho phép tính vi tích phân nói riêng. Tuy nhiên, trong nền tảng này vẫn còn có lỗ hổng- vẫn chưa có đủ cơ sở chặt chẽ cho chính khái niệm số thực và việc chứng minh tính liên tục của phạm vi các số thực. Việc khắc phục khiếm khuyết này được thực hiện trong suốt thế kỉ XIX. Thuật ngữ “Đạo hàm” do Lagrange đưa ra vào cuối._. thế kỉ XVIII và đầu thế kỉ XIX. Cauchy là người đầu tiên đưa ra định nghĩa đạo hàm theo lí thuyết cổ điển của giới hạn và ông cũng đưa vào định nghĩa vi phân dựa trên khái niệm đạo hàm. Định nghĩa đạo hàm của hàm một biến (từ điển toán học [9] ) : Cho hàm số f xác định trên khoảng (a,b). Đạo hàm của hàm f tại điểm x0  (a,b) là giới hạn, nếu có, của tỉ số  0 0 f(x) f(x ) x x khi x dần tới x0( x (a,b), x ≠ x0) Đạo hàm tại x0 được kí hiệu là f’(x0) (kí hiệu Newton) hay 0( )df xdx (kí hiệu của Leibniz) Còn định nghĩa tiếp tuyến, cho trong từ điển toán học năm 1993 của nhà xuất bản Mir Moscou như sau : Cho f là một hàm số xác định trong lân cận U(x0) của điểm x0 và liên tục tại x0. Cho M(x0,f(x0)), M(x,f(x)) trong đó x U(x0). Tiếp tuyến tại điểm M của đường cong biểu diễn cho hàm số f là vị trí giới hạn của cát tuyến M0M khi x tiến về x0, hay nói cách khác là khi MM0. Nếu f khả vi tại x0 thì tiếp tuyến có phương trình là : y – f(x0) = f’(x0) (x – x0) ( hệ số góc của tiếp tuyến bằng f’(x0)) Nhận xét: Trong giai đoạn này, phép tính vi phân đã có cơ sở lí thuyết chặt chẽ. Đạo hàm đóng vai trò công cụ tường minh trong việc tìm lời giải bài toán xác định tiếp tuyến. Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm xuất hiện tường minh. Đặc trưng của mối quan hệ này là: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm” Ngoài ra, từ công thức f’(x0) =   0 0 x x 0 f(x) f(x )lim x x suy ra được f(x)  f’(x0)(x-x0) + f(x0), trong đó y = f’(x0)(x-x0) + f(x0) chính là phương trình tiếp tuyến của đường cong có phương trình y = f(x) tại điểm có hoành độ là x0 . Như vậy, mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng được thiết lập tường minh: “hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hòanh độ là a” 1.3. Kết luận Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện trước và rất lâu trong lịch sử rồi mới đến khái niệm đạo hàm và vi phân. Nhu cầu tìm kiếm phương pháp tổng quát xác định tiếp tuyến của đường cong (mà qua đó khái niệm tiếp tuyến được ngầm định nghĩa) là động lực thúc đẩy cho việc hoàn thiện khái niệm tiếp tuyến và đồng thời là một trong các nhân tố dẫn đến sự nảy sinh khái niệm đạo hàm và vi phân. Bên cạnh đó khái niệm đạo hàm cũng sớm xuất hiện như là công cụ cho việc tìm vận tốc tức thời trong chuyển động cơ học. Khi khái niệm đạo hàm hình thành và hoàn thiện thì lại tác động ngược lại để giải quyết các bài toán tiếp tuyến một cách triệt để. Trong mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm cũng có sự hình thành của khái niệm xấp xỉ affine : ”xấp xỉ hàm số bằng hàm affine, về mặt hình học là xấp xỉ đường cong bởi tiếp tuyến trong lân cận tiếp điểm”. 1.3.1. Tóm tắt tiến triển của mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến  Giai đoạn 1: Trước thế kỉ XVII Trong giai đoạn này, các quan niệm về tiếp tuyến được mô tả bằng trực giác hình học rất mơ hồ nên chỉ cho phép nghiên cứu tiếp tuyến ở một số hình hình học đơn giản. Tư tưởng về đạo hàm chưa xuất hiện do đó không có mối liên hệ nào giữa tiếp tuyến và đạo hàm.  Giai đoạn 2: nửa đầu thế kỉ XVII (giai đoạn ngầm ẩn mối liên hệ) - Việc phát minh ra hình học giải tích được tạo ra bởi Descarte và Fermat đã dẫn đến sự phát triển vượt bậc của toán học. Tiếp tuyến đã chuyển vào phạm vi hình học giải tích và bước đầu tiến vào lĩnh vực giải tích nhờ các quan niệm rất mới của một số nhà toán học tiên phong. Các quan niệm về tiếp tuyến trong giai đoạn này: + Quan niệm của Fermat (QNF) : Tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến. + Quan niệm của Torricelli và Roberval (QNT) : Phương tức thời của chuyển động (quan điểm động học). + Quan niệm của Barrow (QNB): Tiếp tuyến là đường thẳng gần trùng với đường cong trong lân cận tiếp điểm. QNT không giải quyết triệt để bài toán tiếp tuyến do khó khăn trong việc xác định chuyển động thành phần. QNF, QNB đã mở ra con đường cho giải tích phát triển cụ thể là việc nảy sinh ra các khái niệm đạo hàm và vi phân. - Những tư tưởng đầu tiên về đạo hàm xuất hiện trong bài toán tìm GTLN, GTNN và tìm tiếp tuyến của đường cong bởi nhà toán học Pháp Pierre de Fermat. Trong giai đoạn này, thuật ngữ “đạo hàm” xuất hiện đầu tiên trong vật lí bởi Torricelli và Barrow: “Đạo hàm của khoảng cách là vận tốc”. Tuy nhiên, đạo hàm không được nghiên cứu sâu hơn trong toán học. Đạo hàm xuất hiện trong toán học chỉ như một công cụ ngầm ẩn trong các bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong. Nó lấy cơ chế của một khái niệm protomathématique (không tên, không định nghĩa). - Khái niệm xấp xỉ affine cũng xuất hiện ngầm ẩn trong quan niệm về tiếp tuyến của Barrow: ”tiếp tuyến gần trùng với đường cong trong lân cận tiếp điểm”. Tư tưởng xấp xỉ gắn liền với việc hình thành khái niệm tiếp tuyến và cũng tạo điều kiện cho việc hình thành phép tính vi phân. - Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm và xấp xỉ affine Tiếp tuyến dẫn đến việc hình thành các ý tưởng của phép tính đạo hàm và vi phân. Trong giai đoạn này, đạo hàm và vi phân đóng vai trò công cụ ngầm ẩn cho việc giải bài toán tiếp tuyến. Đặc trưng của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm và xấp xỉ affine: “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm” “Tiếp tuyến xấp xỉ với đường cong trong lân cận tiếp điểm”  Giai đoạn 3: Từ nửa sau thế kỉ XVII đến cuối thế kỉ XVIII Trong giai đoạn này, đạo hàm và vi phân nảy sinh và phát triển nhờ công lao to lớn của hai nhà toán học Newton và Leibnit. Nhờ đó bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong cũng được giải quyết triệt để. - Quan niệm về tiếp tuyến: Cả Newton và Leibnit đều có quan niệm về tiếp tuyến giống với Fermat và Barrow. - Quan niệm về đạo hàm: + Newton cho định nghĩa đạo hàm (fluxion) trong vật lí : Đạo hàm là vận tốc của lượng chạy + Leibnit hiểu về đạo hàm: Đạo hàm được hiểu là tỉ số của các vi phân dy dx . Trong giai đoạn này, đạo hàm và vi phân vẫn lấy cơ chế công cụ và đã bắt đầu là đối tượng nghiên cứu. Nói cách khác, đạo hàm lấy cơ chế của một khái niệm paramathématique. - Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm: Việc xác định tiếp tuyến dẫn đến sự xuất hiện khái niệm vi phân. Đạo hàm và vi phân được dùng như công cụ tường minh để giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong. Đặc trưng của mối liên hệ: “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm” “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số hai vi phân dy dx ”  Giai đoạn 4: Từ cuối thế kỉ XIX đến nay - Quan niệm về tiếp tuyến Tiếp tuyến của đường cong vẫn dựa trên quan điểm về tiếp tuyến giống Fermat và Barrow. - Quan niệm về đạo hàm Giới hạn của tỉ số số gia của hàm số và đối số. Đến đây, đạo hàm lấy cơ chế của một khái niệm toán học. Đạo hàm vẫn tiếp tục là công cụ hữu hiệu để giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong. Ngòai ra, đạo hàm còn dùng như là công cụ để định nghĩa khái niệm tiếp tuyến - Đặc trưng của sự kết hợp giữa tiếp tuyến và đạo hàm: “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm” 1.3.2. Tóm tắt tiến trình xuất hiện các khái niệm và quan hệ giữa chúng  Giai đoạn ngầm ẩn (đầu thế kỉ XVII) Sơ đồ 1.1. Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm đầu thế kỉ XVII.  Giai đoạn tường minh (nửa cuối thế kỉ XVII đến thế kỉ XVIII) Sơ đồ 1.2. Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm nửa cuối thế kỉ XVII đến thế kỉ XVIII.  Giai đoạn thế kỉ XIX : Sơ đồ 1.3. Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm đầu thế kỉ XIX Đạo hàm Giới hạn tỉ số số gia Tiếp tuyến xấp xỉ afin (tường minh) Tiếp tuyến (GTVCB ) Xấp xỉ affine (ngầm ẩn) Đạo hàm, vi phân (tường minh) Bài toán vật lí Tiếp tuyến (Giải tích vô cùng bé ) Đạo hàm, vi phân (ngầm ẩn) Tiếp tuyến (Hình học sơ cấp) Tiếp tuyến (Hình học giải tích ) Xấp xỉ affine (ngầm ẩn) Chương 2: MỐI QUAN HỆ GIỮA KHÁI NIỆM TIẾP TUYẾN VÀ ĐẠO HÀM Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY Mục đích và phương pháp phân tích - Đặt cơ sở trên kết quả phân tích ở chương 1, chương này có mục tiêu nghiên cứu mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ở cấp độ tri thức cần giảng dạy trong thể chế dạy học toán ở Việt Nam. Cụ thể hơn, chúng tôi đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: + Khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm kết hợp với nhau trong những tình huống nào? Đặc trưng của mối quan hệ này? Trong các tình huống đó, mỗi khái niệm lấy nghĩa gì? + Vai trò của khái niệm tiếp tuyến đối với khái niệm đạo hàm và ngược lại? + Có những ràng buộc nào của thể chế lên mối quan hệ giữa hai khái niệm này? Hệ quả của nó? - Ở thời điểm chúng tôi tiến hành nghiên cứu, SGK Việt Nam gồm 3 bộ sau : + Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 + Sách giáo khoa thí điểm bộ 1 gồm hai ban: ban KHTN và ban KHXH + Sách giáo khoa thí điểm bộ 2 gồm hai ban: ban KHTN và ban KHXH Để nghiên cứu, chúng tôi chọn chương trình và SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 (đang được sử dụng đại trà) kết hợp với việc so sánh, đối chiếu với SGK thí điểm bộ 2. Trong bộ sách thí điểm này, sự khác nhau giữa hai ban không nhiều nên chúng tôi chọn ban KHTN để phân tích. Ngoài ra, để thấy rõ hơn mối quan hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK Việt Nam, chúng tôi chọn phân tích một số SGK của thể chế dạy học ở Pháp. Phần phân tích sau dựa vào các tài liệu đánh số từ [2] đến [12] và [18] (xem Tài liệu tham khảo). Phần A Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK Pháp Theo phân tích ở chương 1, khái niệm tiếp tuyến xuất hiện trước trong phạm vi hình học sơ cấp (HHSC) thông qua khái niệm tiếp tuyến với đường tròn, sau đó mới xuất hiện trong giải tích và mở đường cho việc hình thành khái niệm đạo hàm và vi phân. Phân tích chương trình và SGK của Pháp cũng cho thấy tiếp tuyến xuất hiện đầu tiên trong phạm vi HHSC. Sau đó, khái niệm tiếp tuyến với đường cong tổng quát đuợc đưa vào cùng với khái niệm đạo hàm. Sau đây chúng tôi sẽ phân tích theo 2 giai đoạn : 2.1. Tiếp tuyến trong phạm vi HHSC Chúng tôi dựa vào kết quả trong [2] Khái niệm tiếp tuyến với đường tròn được đưa vào ở lớp 10 với các đặc trưng: là đường thẳng có ”một điểm chung”,” tiếp xúc”,”vuông góc với bán kính qua tiếp điểm”. Việc xác định tiếp tuyến chủ yếu dựa vào phương pháp dựng hình và phương pháp vectơ tọa độ. 2.2. Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong phạm vi giải tích 2.2.1. Những đặc trưng chủ yếu của tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm và tiếp tuyến a) Trong khóa luận tốt nghiệp (mémoire professionnel) của mình, hai sinh viên Pháp N.Chaboud và D. Hedde đã làm rõ bốn tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm thể hiện trong một số SGK thuộc các ban khác nhau ở Pháp (từ năm 1993 đến năm 1999). Bảng dưới đây tổng hợp những đặc trưng chính của khái niệm đạo hàm và mối quan hệ của nó với khái niệm tiếp tuyến trong các tiến trình này[25, tr.3]. Bảng 2.1: Những điểm chính của mỗi tiến trình đưa vào khái niệm tiếp tuyến, đạo hàm Ghi chú - ”Số đạo hàm” chính là đạo hàm của hàm số tại một điểm - Nghiên cứu địa phương một hàm số là nghiên cứu hàm số đó trong một lân cận khá bé của một điểm nào đó. Nghiên cứu tổng thể một hàm số là nghiên cứu nó trong một khoảng xác định. b) Nhận xét Tiến trình 1 Tiến trình 2 Tiến trình 3 Tiến trình 4 Tiếp tuyến (khái niệm trực giác) Số đạo hàm Hàm số đạo hàm Giới hạn tại 0 của tỉ số số gia Số đạo hàm Hàm số đạo hàm và tiếp tuyến (khái niệm được định nghĩa) Xấp xỉ afin ( dưới hình thức khai triển giới hạn cấp 1) và giới hạn của tỉ số số gia Số đạo hàm Hàm số đạo hàm và khái niệm tiếp tuyến ( khái niệm được định nghĩa) Hàm số đạo hàm ( khái niệm trực giác) Số đạo hàm Tiếp tuyến ( khái niệm được định nghĩa) Khái niệm giới hạn Chuyển từ địa phương tới tổng thể Chuyển từ tổng thể tới địa phương Xấp xỉ affine không được đề cập hoặc hầu như không được xử lí Xấp xỉ affine được đề cập theo kiểu ”bổ sung” (thường là cuối công đoạn) Xấp xỉ affine là cơ sở của phần lí thuyết (cours) Xấp xỉ affine được xếp vào một công đoạn sau khi nghiên cứu về giới hạn - Trong các tiến trình ở trên thì khái niệm tiếp tuyến có thể xuất hiện trước hay sau khi đưa vào khái niệm số đạo hàm : Trong tiến trình 1, nó được đưa vào một cách trực giác trước khái niệm số đạo hàm. Trong các tiến trình 2, 3, 4 tiếp tuyến luôn được định nghĩa sau số đạo hàm. Như vậy, tiếp tuyến có khi là phương tiện và động cơ để đưa đến khái niệm đạo hàm, có khi nó lại được định nghĩa nhờ vào khái niệm đạo hàm. - Trừ tiến trình 1, xấp xỉ affine luôn được đề cập (có khi đóng vai trò quan trọng, có khi đóng vai trò bổ sung) trong các tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm. 2.2.2. Phân tích bộ SGK Déclic Maths - Hachette livre 2002 Để làm sáng tỏ và bổ sung thêm những gì trình bày ở trên chúng tôi chọn phân tích một bộ SGK của Pháp. Cụ thể ở đây chúng tôi chọn một bộ SGK hiện hành của Pháp là “Déclic Maths - Hachette livre 2002” Để thuận tiện cho phân tích, chúng tôi trình bày dưới đây cấu trúc của mỗi chương trong bộ SGK này . Cấu trúc của chương Mỗi chương của bộ sách này gồm 6 phần sau:  Hoạt động (Activités) Những hoạt động được đưa vào đa dạng nhằm đề cập đến : - Một khía cạnh văn hóa - Nhắc lại những khái niệm cần thiết hay những kĩ thuật cơ bản - Tiếp cận các khái niệm sẽ được đề cập trong chương.  Lí thuyết (cours) Trình bày những kiến thức lí thuyết mới (định nghĩa, định lí, ví dụ, phương pháp....)  Bài tập giải sẵn (Exercises résolus) Bài tập có trình bày sẵn lời giải và phương pháp để giải chúng được tổng kết ở bảng « kĩ năng » (savoir-faire) cuối mục này.  Bài tập có hướng dẫn (Travaux dirigés) Bao gồm những bài tập mẫu có hướng dẫn giải.  Tổng hợp (Synthèse) Điểm lại những điểm cần nhớ và những kĩ năng cần thiết  Bài tập tự giải (Exercises) Bài tập được đưa vào theo thứ tự giống tiến trình của cours. 2.2.2.1. Phân tích SGK Déclic Maths - Premierè S (P1) Khái niệm đạo hàm được đề cập lần đầu tiên trong chương III “Số đạo hàm” của “Déclic Maths - Premierè S”. a) Phần hoạt động (activité). Phần này đưa vào nhiều hoạt động để đem lại nghĩa cho khái niệm đạo hàm. Chúng tôi chỉ quan tâm đến các tình huống có mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm hoặc mối liên hệ tiếp tuyến, đạo hàm và xấp xỉ affine.  Quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine. Ta xét một tình huống trong hoạt động 4 chương III [P1, tr.74] : “Đường thẳng hay đường cong” Cho hàm f xác định trên R bởi công thức f(x) = x2 – 3x 1) Vẽ parabol (P) có phương trình y = f(x) bằng MTBT, sau đó thực hiện việc phóng to (Zoom in) tập trung tại điểm A (2;-2) của (P), để đạt được hình vẽ như dưới đây. Đường cong (P) có khuynh hướng thành đường thẳng D đi qua điểm A và có hệ số góc là 1 2) a) Chứng minh rằng đường thẳng D có phương trình y = (x – 2) – 2 b) Biểu diễn đừơng thẳng D lên màn hình của MTBT c) Quay trở lại màn hình ban đầu (Zoom out). Đường thẳng D có vị trí nào? 3) Xác định hàm  sao cho f(2+h) = f(2) + h + h  (h) và chứng minh rằng h 0 lim (h)  = 0.  Lời giải dự kiến: 2) a) Đường thẳng D đi qua điểm A (2; -2) và có hệ số góc k = 1 có phương trình là: y = - 2 + 1( x – 2)  y = ( x – 2) – 2 b) c) Hình vẽ trên màn hình MTBT sẽ có dạng sau: Phương trình hòanh độ giao điểm của D và (C ) là : x2 – 3x = ( x – 2) – 2  x2 – 4x + 4 = 0  x = 2 Đường thẳng D cắt đồ thị hàm số tại một điểm A( 2; -2) 3) f(2+h) = (2+h)2 – 3(2+h) = h2 + h – 2 = f(2) + h + h. h Đặt  (h) = h thì f(2+h) = f(2)+h+h  (h) và h 0 lim (h)  = h 0lim h = 0.  Nhận xét A Với sự hỗ trợ của MTBT, tình huống này đã mang lại hình ảnh rất trực quan về mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine. Trước hết, việc phóng to đường cong trong lân cận của điểm A(2; -2) (“zoom in” tại điểm A) cho hình ảnh: “Đường cong (P) có khuynh hướng thành đường thẳng D”. Điều đó có thể diễn tả là: Nếu xét một đường cong trong trong lân cận điểm A thì nó gần như là một đường thẳng. Sau đó, ở câu 2, đường thẳng D ở trên được xác định bằng phương trình và được vẽ cụ thể trên hệ trục toạ độ. Việc vẽ đồ thị của D và đường cong trên cùng hệ trục tọa độ và câu hỏi “đường thẳng D có vị trí nào?” dường như thể hiện mong đợi của thể chế: thể hiện ngầm ẩn đặc trưng “tiếp xúc” và có “một điểm chung” của đường thẳng D với đường cong. Đặc trưng “có một điểm chung” không chỉ dựa vào trực giác mà còn có thể chứng minh được. Các đặc trưng trên tương tự như đặc trưng của tiếp tuyến với đường tròn. Tuy nhiên, ở đây, cách mô tả đường thẳng D rất khác: D gần trùng với phần đường cong trong lân cận điểm A. Tình huống này ngầm đem đến cho tiếp tuyến một nghĩa mới “tiếp tuyến là đường thẳng xấp xỉ với đường cong trong lân cận tiếp điểm” và tạo ra được sự nối khớp giữa khái niệm tiếp tuyến ở lớp 10 với khái niệm tiếp tuyến sắp đề cập trong phần lí thuyết sau đó. Cuối cùng, ở câu 3, việc tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại điểm x gần với 2 ( x = 2 + h, h rất nhỏ) cho kết quả: “Chúng ta rút ra f(2)+ h là giá trị gần đúng của f(2+h) khi h dần đến 0 hay cũng có f(2) + (x – 2 ) là giá trị gần đúng của f(x) khi x là điểm trong lân cận của 2” (P1,tr. 74) Dễ thấy y = f(2) + (x – 2 ) là một hàm affine và cũng chính là phương trình của đường thẳng D đã được đề cập ở câu trên. Như vậy, trong tình huống này, ngoài việc đem lại cho tiếp tuyến một nghĩa mới theo quan điểm địa phương thì “khái niệm xấp xỉ affine” và mối liên hệ của nó với tiếp tuyến đã xuất hiện ngầm ẩn: Trong lân cận của điểm A, xấp xỉ hàm số y = f(x) bằng một hàm affine, về mặt hình học là xấp xỉ đồ thị của hàm f(x) bằng tiếp tuyến của nó  Quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm Tình huống liên quan đến tiếp tuyến và đạo hàm xuất hiện lần đầu tiên trong hoạt động 5 chương III [P1, tr.75]: Vị trí giới hạn của cát tuyến Hàm f xác định trên R được cho bởi công thức: f(x) = - x2 + 4 và (P) là đừơng cong của nó trong hệ trục tọa độ trực chuẩn Chúng ta sẽ xác định hệ số góc của cát tuyến của (P) đi qua điểm A có tọa độ (1;3) 1) Xác định hệ số góc của đừơng thẳng (AB) và (AC). 2) h là số thực khác không và M là một điểm trên parabol (P) có hoành độ 1+h a) Tính hệ số góc m của đường thẳng (AM) với mỗi giá trị 0,5 và -0,1 của h b) Dùng GEOPLANW Vẽ một parabole (P), những điểm A và M, và cho hiển thị hệ số góc m của đường thẳng (AM) c) Dịch chuyển điểm M trên P, dự đoán vị trí của cát tuyến (AM) khi điểm M tiến dần đến điểm A trên parabol P. 3) a) Cho h ≠ 0, chứng minh rằng f (1 h) f (1) 2 h h      b) Khi điểm M tiến gần điểm A, h tiến dần về 0. Hệ số góc của cát tuyến (AM) sẽ tiến đến giá trị nào? Minh họa bằng đồ thị kết quả trên. Về mặt hình học, khi điểm M tiến gần đến điểm A của (C) có hoành độ là a, cát tuyến (AM) quay quanh điểm A.  Lời giải dự kiến: 1) Hệ số góc của (AB) và (AC) là: -1 và -3 2) a) Đường thẳng (AM) đi qua điểm A(1;3) và M(1+h; f(1+h)) nên có hệ số góc là: m = f (1 h) f (1) h   Với h = 0,5 thì m = f (1,5) f (1) 0,5  = -2,5 Với h = -0,1 thì m = f (0,9) f (1) 0,1   = -1,9 b) và c ) Khi M tiến đến gần A trên (P) thì (AM) có hình ảnh như sau: Dự đóan: (AM) cắt (P) tại một điểm và “tiếp xúc” với (P) khi M tiến đến gần A. 3) a) f (1 h) f (1) h   = 2 2(1 h) 4 3 h 2h 2 h h h          b) Khi h tiến về 0 thì hệ số góc của đường thẳng (AM) tiến về -2  Nhận xét: Việc dịch chuyển điểm M trên (P) ở câu 2c nhằm mục đích gì? Theo chúng tôi, nó cho hình ảnh trực giác: khi điểm M dần đến điểm A trên (P), đường thẳng AM tiến dần đến vị trí của đường thẳng D Sau đó, yêu cầu: “dự đoán vị trí của cát tuyến (AM) khi điểm M tiến dần đến điểm A trên parabol P” đem lại cho đường thẳng D đặc trưng rất quen thuộc của tiếp tuyến của đường tròn là:“tiếp xúc” và “một điểm chung”. Tuy nhiên, tiếp tuyến ở đây cũng không được mô tả như trước mà thông qua hình A D ảnh “giới hạn” của cát tuyến. Như vậy, hoạt động này tạo ra được sự nối khớp giữa khái niệm tiếp tuyến ở lớp 10 với khái niệm tiếp tuyến sắp định nghĩa: “vị trí giới hạn của cát tuyến”. Cuối cùng, ở câu 3, chứng minh được: hệ số góc của đường thẳng (AM) tiến tới -2 khi h tiến về 0 (tương ứng về mặt đồ thị là điểm M tiến về A hay đường thẳng AM tiến đến D). Sau hoạt động trên, ta có hình ảnh: D là tiếp tuyến của (P) và hệ số góc của đường thẳng D là h 0 f (a h) f (a)lim h   Như vậy, việc đưa vào khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm ở đây rất giống tiến trình trong lịch sử: Với quan niệm về tiếp tuyến “vị trí giới hạn của cát tuyến” đã dẫn đến sư xuất hiện ngầm ẩn của khái niệm đạo hàm. Đạo hàm xuất hiện dưới dạng giới hạn của tỉ số f (a h) f (a) h   và đóng vai trò công cụ ngầm ẩn để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm cũng được thiết lập ngầm ẩn: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng số đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm” và đạo hàm mang nghĩa là: độ nghiêng của tiếp tuyến. Sau hoạt động trên, khái niệm tiếp tuyến đã được định nghĩa chính thức, [P1, tr.75] viết: Nếu hệ số góc của cát tuyến f (a h) f (a) h   đạt được giới hạn xác định khi h tiến đến 0, thì cát tuyến (AM) đạt vị trí giới hạn gọi là tiếp tuyến tại điểm A của đường cong (C). Hệ số góc của tiếp tuyến này là: h 0 f (a h) f (a)lim h   Tiếp tuyến với nghĩa “tiếp xúc” và "một điểm chung” trước đây chính thức được thay bằng nghĩa mới “vị trí giới hạn của cát tuyến”. Đạo hàm ngầm ẩn dưới dạng giới hạn của tỉ số số gia và đóng vai trò công cụ để định nghĩa tiếp tuyến. Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ngầm ẩn xuất hiện chính thức: “Hệ số góc của tiếp tuyến này là: h 0 f (a h) f (a)lim h   ” ( h 0 f (a h) f (a)lim h   chính là số đạo hàm của hàm số tại a còn ngầm ẩn)  Kết luận phần hoạt động - Trong hai tình huống trên, tiếp tuyến xuất hiện với 2 nghĩa mới: “vị trí giới hạn của cát tuyến” (tường minh) và “xấp xỉ đường cong trong lân cận tiếp điểm” (ngầm ẩn). Việc làm này đã tạo ra bước chuyển khái niệm tiếp tuyến vào lĩnh vực giải tích tạo điều kiện cho sự xuất hiện của đạo hàm và xấp xỉ affine theo như tiến trình trong lịch sử. Phần họat động cũng mang lại nghĩa cho khái niệm đạo hàm và xấp xỉ affine sẽ xuất hiện trong phần lí thuyết. Giai đoạn này có thể xem như là giai đoạn ngầm ẩn của khái niệm đạo hàm và xấp xỉ affine. - Đạo hàm và xấp xỉ affine chưa được định nghĩa nhưng nội hàm của chúng đã được thể hiện. Đạo hàm đóng vai trò công cụ ngầm ẩn để giải bài tóan tiếp tuyến và định nghĩa khái niệm tiếp tuyến. - Đặc trưng của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng đã được thiết lập. b) Phần lí thuyết (cours) Thời điểm đầu tiên xuất hiện thuật ngữ đạo hàm ở mục 2 chương III (P1,tr. 77): Định nghĩa số đạo hàm của hàm f tại a Hàm số f có đạo hàm tại a khi và chỉ khi giới hạn tại 0 của f (a h) f (a) h   tồn tại và hữu hạn. Giới hạn này là số đạo hàm của hàm f tại a và được kí hiệu là f’(a) f có đạo hàm tại a h 0 f (a h) f (a)lim f '(a) h    Đặt a + h = x, khi h tiến đến 0, khi đó x tiến đến a thì f có đạo hàm tại a f (x) f (a) f '(a)lim x ax a   Giới hạn tại 0 của f (a h) f (a) h   đã được đề cập trong phần hoạt động 5 ở trên bây giờ đã được nêu tên là “số đạo hàm”.  Quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến Việc xuất hiện thuật ngữ “số đạo hàm” dẫn đến mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm đã được thiết lập ở họat động 5 được diễn đạt lại như sau: Giải thích đồ thị của số đạo hàm tại a.  (C) là đồ thị của hàm số f trong hệ trục tọa độ R, A là một điểm của( C) có hoành độ là a và M là một điểm có hoành độ là a + h Cho h khác 0, thuơng số f (a h) f (a) h   là hệ số góc của đường thẳng (AM)  Khi hàm f có đạo hàm tại a, thì hệ số góc f (a h) f (a) h   đạt được giới hạn f’(a) khi h tiến đến 0 Theo đồ thị, điểm M tiến gần đến điểm A và đường thẳng (AM) có khuynh hướng tiến đến vị trí giới hạn ∆ Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường cong C tại A Định lí: f là hàm số có đạo hàm tại a, thì số đạo hàm của f tại a là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong C tại điểm A có hoành độ là a Tiếp tuyến này được cho bởi vectơ chỉ phương 1u f '(a)      Phần này có thể xem như là tổng kết chính thức cho hoạt động 5 được trình bày ở trên. Đạo hàm ở đây đóng vai trò công cụ tường minh để giải quyết bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong. Sau định lí trên có phần chú ý [P1, tr.78]: Đồ thị của hàm số có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là a không nhất thiết phải là hàm số có đạo hàm tại a. Đặc biệt, đường cong có phương trình y = x có một tiếp tuyến thẳng đứng đi qua gốc tọa độ), nhưng hàm số x x không có đạo hàm tại 0. Việc xác định tiếp tuyến trong ví dụ trên nhờ sự hỗ trợ của đồ thị và cũng chẳng có lí thuyết nào trong P1 cho phép khẳng định đường thẳng đó chính là tiếp tuyến của đường cong. Vậy P1 đưa vào chú ý này nhằm mục đích gì? Để giải thích ý định của noosphère, chúng tôi trích mục tiêu của chương III: “Dựng tiếp tuyến của một đường cong của hàm số có đạo hàm”. (P1, tr.71) Như vậy, chú ý được đưa vào nhằm bổ sung cho mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong trường hợp không tồn tại số đạo hàm nhưng không làm rõ khái niệm tiếp tuyến khi nó không có hệ số góc. Định lí và chú ý trên bổ sung thêm vai trò của tiếp tuyến và đạo hàm: Tiếp tuyến là công cụ để tìm số đạo hàm, hoặc chứng minh sự tồn tại của đạo hàm. Trong trường hợp tiếp tuyến đóng vai trò công cụ để chứng minh sự tồn tại của đạo hàm phải nhờ vào sự hỗ trợ của đồ thị. Quan hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine Thuật ngữ “xấp xỉ affine” cũng được chính thức đưa vào ở phần giải thích về phương diện số của số đạo hàm [P1,tr.79]: Giải thích về phương diện số của số đạo hàm Định lí: Cho f là một hàm xác định trên một khoảng I và một số thực a thuộc khoảng này. Hàm số f có đạo hàm tại a là f’(a) nghĩa là: Tồn tại một số thực  và một hàm số  tiến về 0 khi h tiến về 0, như vậy : cho bất cứ số thực nào sao cho a + h  I, ta có: f(a+h) = f(a) + h + h  (h) và =f’(a) Chú ý f có đạo hàm tại a, số đạo hàm là f’(a) tồn tại một hàm  tiến về 0 khi h tiến về a như vậy, với tất cả những số thực thuộc khoảng I: f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + (x-a)  (x) và x a lim (x) 0   Hàm số x f (a) f '(a)(x a)  là xấp xỉ affine tốt nhất của f trong lân cận điểm a. Sự thể hiện hình học là tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ là a. Đặc trưng “tiếp tuyến là đường thẳng xấp xỉ của đường cong trong lân cận tiếp điểm” trong hoạt động 4 được trình bày chính thức. Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện ở đây mang đặc trưng địa phương - một điểm khác biệt so với khái niệm tiếp tuyến được tiếp cận theo quan điểm tổng thể được biết trước đây. Đến thời điểm này mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine cũng được thiết lâp: Đạo hàm là công cụ để xấp xỉ hàm số bằng hàm affine và ngược lại có thể tính được đạo hàm nhờ việc khai triển giới hạn bậc nhất hàm số. Ngoài ra, P1cũng tạo ra sự liên hệ về phương diện hình học và phương diện số của số đạo hàm: Hàm số có đạo hàm thì có thể xấp xỉ f bởi một hàm số affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong lân cận tiếp điểm. Có thể mô tả mối liên hệ giữa tiếp tuyến, đạo hàm và xấp xỉ affine trong phần lí thuyết theo sơ đồ sau: Sơ đồ 2.1: Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong P1 Có một điểm trong phần lí thuyết cần nhắc đến để dễ dàng cho việc phân tích các kĩ thuật giải bài tập liên quan đến tiếp tuyến và đạo hàm là:  Khái niệm “hàm số đạo hàm” Khái niệm này được đưa vào trong phần lí thuyết ở chương IV [P1, tr.98 ]: Hàm số đạo hàm Cho f là một hàm số có đạo hàm tại tất cả x trong khỏang I của tập xác định Df. Hàm số mà, tại mỗi số thực x thuộc I cho một số đạo hàm của f tại x, là hàm số đạo hàm của f và kí hiệu là f’ f’: x f’(x) Sau khi đưa vào định nghĩa hàm số đạo hàm thì các công thức tính đạo hàm của một số hàm thông dụng và các phép toán của đạo hàm cũng được đưa vào. Sau đó, việc tính “số đạo hàm”có thể dựa vào các công thức được cho sẵn. Để làm rõ hơn mối quan hệ thể chế, chúng tôi tiến hành phân tích tổ chức tóan học chung quanh hai khái niệm này. c) Tổ chức toán học xung quanh khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm trong P1  Kiểu nhiệm vụ T1 : Viết phương trình tiếp tuyến T của đường cong (C) có phương trình y = f(x) ) tại điểm có hòanh độ là a Kĩ thuật 1  - Tính f’(a) (tính bằng định nghĩa số đạo hàm hoặc tính đạo hàm bằng công thức rồi thay a vào) - Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(a; f(a)) và có hệ số góc là f’(a). Công nghệ 1  : Định lí giải thích hình học số đạo hàm; kiến thức về đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc là k. Ví dụ: Bài 22 [P1 ,tr.88] Xác định phương trình tiếp tuyến của parabole (P) có phương trình y = x2 – 3x tại điểm có hoành độ là -1 Đạo hàm Tiếp tuyến Xấp xỉ affine  Kiểu nhiệm vụ T2 : Chứng minh rằng đường thẳng d có phương trình y = kx+h là tiếp tuyến của đường cong (C) có phương trình y = f(x) tại điểm A(a; b) Kĩ thuật 2 - Chứng minh đường thẳng d đi qua điểm A(a;b). - Tính f’(a) và chứng tỏ rằng f’(a) = k. Công nghệ 2 : Định lí giải thích hình học số đạo hàm Ví dụ: Bài 24 [P1,tr.88] Chứng minh rằng đường thẳng d có phương trình : y =10x - 17 là tiếp tuyến của đường cong có phương trình y = x3 – 2x – 1 tại điểm A có toạ độ là (2;3)  Kiểu nhiệm vụ T3: Tính số đạo hàm bằng đồ thị Kĩ thuật 3 - Dùng đồ thị để xác định hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là a - Kết luận: f’(a) = k Công nghệ 3 : Định lí giải thích hình học của số đạo hàm Ví dụ: Bài 18 [P1 ,tr.87] Những đường thẳng được vẽ là những tiếp tuyến của đường cong (C) có phương trình y = f(x) Bằng đồ thị hãy tính f’(-3,5); f’(-2); f’(0); f’(2) Đặc trưng của T3: - Các hàm số được cho b._. này nằm ngoài dự đoán của chúng tôi trong phân tích apriori.  Phân tích chi tiết Mặc dù, trong bài toán này chúng tôi đã lựa chọn giá trị của biến V2 không làm thuận lợi cho chiến lược vi phân như bài toán 1 mà tạo điều kiện bình đẳng cho sự xuất hiện các chiến lược: SVP, SXX, SCT, SĐT .Tuy nhiên, các chiến lược vi phân vẫn chiếm ưu thế, chiến lược đồ thị không xuất hiện, còn chiến lược xấp xỉ xuất hiện rất khiêm tốn. 75,5% đã vận dụng chiến lược vi phân và sau đây là giải thích của một trong các học sinh đó cho thấy họ hiểu rất rõ về các mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến, đạo hàm và xấp xỉ affine(ngầm ẩn): - H54: “Điểm A(1; 1) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) nên f(1) = 1 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1;1) có hệ số góc là 2 1 nên: f’(1) = 2 1 f(1,05) = f(1+0,05)  f(1) + f’(1).0,05 f(1,05)  1+ 2 1 .0,05= 1,025” Số lượng học sinh sử dụng Sxx chiếm tỉ lệ rất thấp 1/159 học sinh (0,6%). Thực ra, học sinh đó tiến rất gần với tư tưởng xấp xỉ trong khi tìm cách giải bài 2a bằng chiến lược vi phân. Chúng tôi trích dẫn lời giải của học sinh đó: - H8 cho lời giải: “f’(1) = 2 1 ; y = f(x), x thuộc R f(1,05) = f(1+0,05) = f(1) + f’(1).0,05 Phương trình tiếp tuyến tại A: y = g(x) = 2 1 (x – x0) +y0 = 2 1 (x – 1) + 1= 2 1 x + 2 1  g(1) =1 x = x0 – x <<1 f(1,05)  g(1,05) = g(1) + 2 1 .0,05= 1,025 ” Chúng tôi nhận thấy ở học sinh xuất hiện tư tưởng xấp xỉ mặc dù chưa chính xác: “x0 – x <<1 f(1,05)  g(1,05) ”. Tuy nhiên học sinh không dùng chúng trong bài giải mà vẫn quay về với chíến lược vi phân: g(x0+x)  g(x0) + g’(x0).x. Như vậy thực chất chiến lược trên không hòan toàn là chiến lược xấp xỉ mà chúng tôi đã xét đến trong phân tích a priori. Ngoài ra, học sinh cũng không chú ý việc sử dụng dấu  trong công thức gần đúng trên. Có 20 học sinh (chiếm12.6%) giải theo chiến lược về hình thức rất gần với chiến lược xấp xỉ. Tuy nhiên theo chúng tôi có thể do học sinh nhầm lẫn nên chúng tôi gọi những chiến lược đó là chiến lược khác. Một số trích dẫn về lời giải của các học sinh: - H28 : “ Phương trình tiếp tuyến (T): y = f’(x0)(x- x0) + y0 Mà (T) là tiếp tuyến tại A(1;1) và có hệ số góc là 2 1 nên x0 = 1; y0 = 1; f’(x0) = 2 1 Vậy y = 2 1 (1,05 -1) +1= 1,025” Có lẽ học sinh này nhầm lẫn công thức của tiếp tuyến là công thức hàm số hoặc là nhầm lẫn tính giá trị của điểm thuộc tiếp tuyến. Vì nếu học sinh hiểu được tư tưởng xấp xỉ thì ở trên phải kí hiệu dấu  và phải giải thích vì sao có thể thay 1,05 vào phưong trình tiếp tuyến để tính ra giá trị gần đúng của hàm số tại x =1,05. - H46: “Phương trình tiếp tuyến (T): y - y0 = k(x- x0) y - y0 = 2 1 (x- x0) A(1;1) thuộc (T) nên: 1- y0 = 2 1 (1- 1,05)  y0 =1,025” Ở đây học sinh nhầm lẫn giá trị cần tìm tại M (x0; y0) với kí hiệu quen thuộc là tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0). Do đó học sinh đi tìm tung độ của tiếp điểm M Như vậy, những học sinh cho điểm cao lời giải của Hạnh trong các trường hợp trên là do nhầm lẫn chứ không biết mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine. Qua phân tích các câu trả lời cho thấy chiến lược xấp xỉ xuất hiện quá khiêm tốn trong khi chúng tôi đã tạo điều kiện rất thuận lợi cho chiến lược đó xuất hiện. Chỉ có duy nhất học sinh H8 thể hiện tư tưởng xấp xỉ trong bài làm nhưng cuối cùng lại trình bày bài giải theo chiến lược vi phân. Điều này cho phép khẳng định chiến lược xấp xỉ không được các học sinh vận dụng trong giải toán nghĩa là: học sinh không vận dụng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine trong việc giải toán. Vậy học sinh có biết về mối quan hệ đó không? Học sinh biết nhưng không trình bày lời giải theo chiến lược đó hay hoàn toàn không biết gì về mối quan hệ đó? Chúng tôi sẽ phân tích câu trả lời của những bài toán ở phía sau để làm rõ điều đó. Câu 2 b Bảng 3.3: Bảng thống kê việc biểu diễn điểm M trên hệ trục tọa độ Biểu diễn điểm M Số lượng Tỉ lệ % Điểm M thuộc T 92 57,9% Điểm M không thuộc T 49 30,8% Không trả lời 18 11,3% Tổng 159 100% Nhận xét: Số lượng học sinh chọn chiến lược vi phân chiếm ưu thế và không có sự xuất hiện chiến lược xấp xỉ. Vậy tại sao học sinh vẫn biểu diễn được điểm M thuộc (T). Điều này có thể giải thích là: - Học sinh có biết về mối quan hệ tiếp tuyến và xấp xỉ affine nhưng không vận dụng chúng để trình bày lời giải cho bài toán 2a. - Hoặc học sinh viết phương trình tiếp tuyến của (T) và thay tọa độ của điểm M vào thấy thỏa nên biểu diễn M thuộc (T). - Hoặc học sinh vẽ đúng tỉ lệ. - Hoặc học sinh nhầm lẫn ở câu 2a theo kiểu trên (gồm 11 học sinh) Tóm lại, có thể một số các em biểu diễn được M thuộc (T) đã tồn tại tư tưởng xấp xỉ. Vậy những em biểu diễn được M thuộc (T) mà chưa biết về tư tưởng xấp xỉ liệu có nghi ngờ về mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine? Chúng tôi sẽ phân tích kĩ hơn đánh giá của những em này trong bài toán 4 để thấy rõ hơn. 3.4.3. Phân tích sản phẩm thu thập được của bài toán 3 Bảng 3.4: Bảng thống kê các chiến lược được sử dụng cho bài toán 3  Nhận xét mở đầu Số lượng học sinh không trả lời gia tăng so với câu 1 và 2, chiến lược xấp xỉ hoàn toàn biến mất. Chiến lược vi phân vẫn chiếm ưu thế (78%)  Phân tích chi tiết Với sự lựa chọn biến trong bài toán không thuận lợi cho chiến lược vi phân như ở câu 1 và câu 2a mà dành nhiều cơ hội cho chiến lược xấp xỉ. Tuy nhiên, chiến lược vi phân gia tăng so với bài toán 2a và chiến lược xấp xỉ lại hoàn toàn biến mất trong khi chiến lược công thức vẫn không thay đổi đáng kể. Điều đáng lưu ý là học sinh H8 cho lời giải rất gần với chiến lược xấp xỉ ở bài 2a lại trình bày bài này theo chiến lược vi phân. Ngoài ra, có hai học sinh phát hiện ra mối liên hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine nhưng lại quay trở lại phủ định nó. Chúng tôi trích lời giải của hai hoc sinh này: - H44; H65:”Phương trình tiếp tuyến (T) của đồ thị hàm số tại điểm B(5; 8) là y = 3x -7 nên ta có:f ’(5) = 3 và f(5) = 3.5-7 = 8 f(5,001) = f(5+0,001)  f(5) + f’(5).(5,001-5) Vậy f(5,001)  8 + 3.0,001= 8, 003 Ta có điểm M(5,001; 8, 003) thuộc tiếp tiếp tuyến của đồ thị do 3. 5,001-7 = 8,003 (vô lí) Suy ra không tính được giá trị gần đúng”. Chúng tôi xem bài 2, cả hai học sinh này đều làm theo chiến lược vi phân ở câu 2a và trong câu 2b họ biểu diễn điểm M không thuộc (T). Tại sao hai học sinh này lại cho rằng điểm M thuộc (T) là vô lí? Chúng tôi tìm được lí do trả lời cho câu hỏi này ở bài toán 4 của một học sinh tương tự. Chiến lược Số lượng Tỉ lệ % SVP Chiến lược vi phân 126 79,2% Sxx Chiến lược xấp xỉ 0 0 SCT Chíến lược công thức 6 3,8% Chiến lược khác 4 2,5% Không trả lời 23 14,5% Tổng 159 100% 3.4.4. Phân tích sản phẩm thu thập được của bài toán 4 Bảng 3.5: Bảng thống kê các chiến lược được sử dụng cho bài toán 4 : Lời giải Đồng ý Không đồng ý Lời giải của An 156 98.1% 3 1.9% Lời giải của Bình 56 35.2% 103 64.8% Lời giải của Hạnh 48 30.2% 111 69.8% Lời giải củaPhúc 7 4.4% 152 95.6%  Nhận xét mở đầu Số học sinh chấp nhận lời giải của An (lời giải theo chiến lược vi phân) chiếm gần như tuyệt đối. Số học sinh chấp nhận lời giải của Hạnh chiếm tỉ lệ khá thấp (30,2%) , thấp hơn số học sinh chấp nhận lời giải theo chiến lược đồ thị của Bình (35,2%)  Phân tích chi tiết  Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải của An Hầu hết các học sinh đều cho rằng lời giải của An là đúng vì đã áp dụng vi phân để tính gần đúng. Chỉ có 3/159 học sinh không đồng tình mà chúng tôi sẽ trích dẫn lời giải thích sau đây: - H84 cho 0 điểm với giải thích: “Vì bạn đó làm giống cách của em, mà cách của em là sai do nếu theo cách đó thì điểm mà ta cần tìm chắc chắn thuộc đường thẳng (T)”. Lí do mà học sinh này đưa ra giống với H44 và H65 đã nêu ra ở bài toán 3 Cả 3 học sinh này nhận ra được điểm cần tìm thuộc (T) nhưng không cho rằng điều đó là hợp lí mà lại quay trở lại phủ nhận cách làm.. - H123 cho 0 điểm với giải thích: “Chưa tính được f’(x) sao lại thế vào đề bài bằng 1” - H125: cho 6 điểm và không giải thích. Trong 3 học sinh không chấp nhận lời giải của An, trừ 2 học sinh H123 và H125 cho lời giải thích không rõ ràng, thì H84 vẫn theo chiến lược vi phân và bắt đầu phát hiện ra mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine. Nhưng rất tiếc là học sinh đó lại quay lại phủ nhận cả chiến lược vi phân và chiến lược xấp xỉ. Điều đó cho thấy học sinh hiểu rõ về ứng dụng của vi phân để tính gần đúng nhưng rất khó chấp nhận mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine.  Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải của Hạnh Bảng 3.6:Bảng thống kê các chiến lược được sử dụng trong việc đánh giá lời giải của Hạnh Chiến lược Số lượng Tỉ lệ % Sa 8 5% Sb 14 8.8% Sc 26 16.4% Sd 111 69.8% Tổng 159 100% Trong số các học sinh chấp nhận lời giải của Hạnh thì chỉ có 8 em (5%) theo chiến lược Sa tức là hiểu được tư tưởng xấp xỉ hay gần tiến đến tư tưởng xấp xỉ .Chúng tôi trích dẫn một số câu trả lời của các học sinh này: - H14 cho 9 điểm với giải thích: “Bạn Hạnh cần phải giải thích rõ về vi phân, khi chia ra nhiều đoạn rất nhỏ thì đồ thị sẽ là những đoạn thẳng trùng với tiếp tuyến của đồ thị” - H15 cho 8 điểm với giải thích: “Cần suy ra từ công thức tính gần đúng: f(x0 +x) - f(x0) = f’(x0).x suy ra y – y0 = k( x – x0)” - H26 cho 8 điểm với giải thích: “Lời giải có thể chấp nhận được vì 2,01 rất gần với 2 nên dựa trên đồ thị có thể nhận xét được f(2,01)  g(2,01) với g(x) = x – 1 là phương trình tiếp tuyến”. - H50 cho 8 điểm với giải thích: “Cần giải thích thêm rằng vì điểm M rất gần với điểm N nên có thể xem điểm N cũng gần như cũng nằm trên tiếp tuyến”. Trừ những học sinh có quan điểm rõ ràng như trên, các em còn lại mặc dù có tư tưởng xấp xỉ nhưng giải thích còn chưa rõ ràng. Ngoài ra, có một số em vẫn có khuynh hướng quay trở lại chiến lược vi phân. Chúng tôi trích một số giải thích của học sinh: - H65 cho 8 điểm với giải thích: “Bài làm cho kết quả đúng nhưng chưa giải thích rõ lí do vì sao từ việc thế x = 2,01 vào phương trình tiếp tuyến dẫn đến kết luận f(2,01) 1,01. Điều này có thể giải thích là vì trong quá trình tính gần đúng ta đã bỏ qua phần sai số. Điều này dẫn đến giá trị gần đúng cần tính bằng với giá trị có được khi thế vào phương trình tiếp tuyến”. Có một sự tiến triển trong mối quan hệ cá nhân của học sinh này. Ở bài toán 2, theo học sinh thì điểm M thuộc tiếp tuyến là vô lí còn ở đây thì đồng ý là điểm đó thuộc tiếp tuyến. - H54 cho 4 điểm với giải thích: “Vì chỉ tính gần đúng, trên phương trình tiếp tuyến, M có thể có các lân cận điểm gần đúng với f(x). Tuy nhiên chưa có sự chứng minh rõ ràng, tốt hơn là làm cách của An”. Chúng tôi cũng trích ra đây một số lời giải theo chiến lược Sb để thấy rằng học sinh cho điểm cao lời giải của Hạnh vì nhầm lẫn chứ không biết về mối liên hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine. - H36 cho điểm 8 với giải thích: “Không nói rõ là tiếp tuyến tại x = 2 gần như trùng với tiếp tuyến tại x = 2,01 mới thế được vào công thức (1)” - H45 cho điểm 9 với giải thích: “Bạn đó tính ra kết quả là 1,01 nhưng lại ghi gần đúng f(2,01) 1,01 và trong toàn bài em không thấy chỗ nào là gần đúng”. - H81 cho điểm 9 với giải thích: “sai cách tính vì thế thẳng vào f(x) là ra giá trị chính xác”. - H91; H95 cho điểm 10 với giải thích:“Sử dụng đúng công thức y – y0 = k( x – x0)” Ngòai ra, một số lời giải theo chiến lược Sc cũng không cho phép chúng tôi kết luận học sinh biết về mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine. Vài trích dẫn về câu trả lời của học sinh: - H113 cho 8 điểm với giải thích: “bài giải gọn dễ hiểu” - H51 cho 9 điểm với giải thích: “Cần giải thích thêm vì sao có thể biết được đường đó có nằm trên đường tiếp tuyến hay không vì thực tế điểm đó chỉ tiến đến đường tiếp tuyến”. - H67 cho 8 điểm với giải thích: “cần giải thích rõ hơn vì sao có f(2,01) 1,01” - H147 cho 9 điểm với giải thích: “cũng đúng nhưng trong trường hợp này còn trường hợp khác thì không được”. Một tỉ lệ khá cao (69,8%) không chấp nhận lời giải của Hạnh và cho điểm rất thấp. Ngoài ra, trong số 92 học sinh biểu diễn được điểm M thuộc (T) ở câu 2b thì chỉ có 26 em cho điểm cao lời giải của bạn Hạnh ở bài toán 4 và chỉ có 5 em sử dụng chiến lược Sa cho bài toán 4. Như vậy có đến 66 học sinh biểu diễn được M thuộc (T) ở câu 2b nhưng lại không chấp nhận mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine ở bài toán 4. Chúng tôi trích dẫn một số câu trả lời kiểu Sd để hiểu thêm về quan niêm của học sinh: - H84 cho 0 điểm với giải thích: “Vì cách này giống cách bạn An mà qua một điểm trên đồ thị ta chỉ có thể vẽ được một tiếp tuyến duy nhất" Như vậy chúng tôi tìm được lí do vì sao học sinh này cho lời giải của An là sai và học sinh H44, H65 cho rằng điểm M thuộc (T) ở bài toán 3 là vô lí: Học sinh cho rằng điểm M phải thuộc đồ thị hàm số, mà M lại thuộc tiếp tuyến nên vô lí vì “qua một điểm trên đồ thị ta chỉ có thể vẽ được một tiếp tuyến duy nhất” Vậy quan niệm của các học sinh này gắn liền với việc tính đúng giá trị của hàm số tại một điểm. Mặc dù học sinh vẫn dùng công thức vi phân để tính gần đúng nhưng lại nhầm lẫn với tính đúng. Qua lời giải thích trên chúng tôi còn nhận thấy học sinh Việt Nam chưa quen thuộc với phép tính gần đúng mà chịu ảnh hưởng rất nặng nề của phép tính đúng. - H19 cho 5 điểm với giải thích: “Kết quả đúng nhưng chưa hiểu bản chất của tiếp tuyến. Vì x = 2,01 thuộc đồ thị của hàm số f(x) chứ không thuộc tiếp tuyến (T) nên không thể thế x = 2,01 vào phương trình của (T)” - H22 cho 0 điểm với giải thích: “lầm tưởng giá trị cần tìm thuộc tiếp tuyến, nếu đường cong có độ cong lớn thì sẽ sai biệt lớn”. - H32 cho 1 điểm với giải thích: “đúng đáp số nhưng lời giải sai hoàn toàn”. - H53 cho 0 điểm với giải thích: “Sai vì đề bài hỏi tính giá trị gần đúng của hàm số y = f(x) tại x = 2,01 chứ không hỏi tính giá trị gần đúng của phương trình tiếp tuyến tại x = 2,01. Ra đáp số đúng là vì đề bài cho số không chênh lệch nhiều” Những lời giải thích theo kiểu Sd cho thấy học sinh không thể chấp nhận lời giải theo tư tưởng xấp xỉ vì không biết về mối quan hệ đó. Ngoài ra, lí do để học sinh khó khăn trong việc chấp nhận mối quan hệ đó là do họ chịu ảnh hưởng nặng nề của phép tính gần đúng. Điều này cũng được thể hiện rõ qua việc học sinh không ý thức trong việc sử dụng dấu  trong công thức tính gần đúng. Số học sinh sử dụng dấu “=” thay cho dấu  chiếm số lượng khá cao trong các bài toán. 3.5 Kết luận về thực nghiệm - Việc phân tích các câu trả lời của các bài toán thực nghiệm đã cho chúng tôi trả lời câu hỏi đặt ra ở chương 2 : Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine có tồn tại trong mối quan hệ cá nhân của học sinh Việt Nam? Đặc bịêt, kết quả từ các bài toán trên cho phép chúng tôi khẳng định giả thuyết nghiên cứu: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ” - Ngoài ra, thực nghiệm còn cho thấy:  Một số học sinh nhận ra được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine nhưng rất khó khăn trong việc chấp nhận chúng.  Học sinh không chú ý đến việc tính đúng hay tính gần đúng nên không chú ý trong việc sử dụng kí hiệu  và thường nhầm lẫn với việc tính đúng. Điều đó gây khó khăn cho việc chấp nhận các lời giải dựa trên tư tưởng xấp xỉ. Vậy, thực nghiệm cũng cho chúng tôi thấy được ảnh hưởng mạnh mẽ của quan điểm đại số trong thể chế dạy học của Việt Nam làm cản trở sự hình thành tư tưởng xấp xỉ ở học sinh. Đặc biệt, nó gây khó khăn cho học sinh trong việc chấp nhận mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine. KẾT LUẬN  Kết quả đạt được Kết quả nghiên cứu đã được trình bày trong ba chương của luận văn. Sau đây là một số điểm chính trong các kết quả nghiên cứu đã đạt được: - Ở chương 1, chúng tôi đã phân tích, tổng hợp một số tài liệu và công trình đã biết về lịch sử hay khoa học luận để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến, đặc biệt là tiến trình xuất hiện cùng với vai trò, chức năng của mỗi đối tượng trong sự kết hợp này. - Trong chương 2, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ở cấp độ tri thức cần giảng dạy trong thể chế dạy học toán ở Việt Nam. Đặc biệt, chúng tôi đã xác định được: + Tiến trình đưa vào hai khái niệm này trong SGK. Sơ đồ tóm tắt tiến trình này được trình bày ở chương 2 cho thấy tiến trình đưa vào hai khái niệm này không giống với tiến trình lịch sử. + Vai trò của tiếp tuyến là đối tượng đưa vào khái niệm đạo hàm không được đề cập như trong lịch sử. Ngoài ra, khái niệm tiếp tuyến được đưa vào trong giải tích ở THPT không có sự nối khớp với khái niệm đó ở THCS. + Đạo hàm đóng vai trò công cụ cho việc tìm tiếp tuyến nhưng không là công cụ để định nghĩa tiếp tuyến. Đạo hàm cũng là công cụ để xấp xỉ hàm số bằng hàm affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng không được đề cập như lịch sử. + Những ràng buộc của thể chế ảnh hưởng lên mối quan hệ giữa hai khái niệm này thông qua việc phân tích các tổ chức toán học hiện diện trong SGK và SBT. Kết quả phân tích trên dẫn chúng tôi đặt ra câu hỏi và giả thuyết nghiên cứu sau: Có sự ngắt quãng giữa tiếp tuyến ở THCS và tiếp tuyến xuất hiện trong phạm vi giải tích ở THPT? Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine có tồn tại trong mối quan hệ cá nhân của học sinh Việt Nam? Giả thuyết nghiên cứu: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ” - Trong chương 3, nghiên cứu thực nghiệm đã giúp chúng tôi kiểm chứng tính thích đáng của giả thuyết đã được đặt ra. Ngoài ra, thực nghiệm cũng cho chúng tôi thấy được ảnh hưởng mạnh mẽ của quan điểm đại số trong thể chế dạy học của Việt Nam gây khó khăn cho sự hình thành tư tưởng xấp xỉ ở học sinh.  Hạn chế của đề tài: Giả thuyết sẽ được kiểm chứng đầy đủ hơn nếu chúng tôi thực nghiệm cả trên hai chủ thể của hệ thống dạy học: giáo viên và học sinh. Tuy nhiên vì lí do về thời gian nên chúng tôi không thể thực nghiệm trên đối tượng giáo viên.  Hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn: Từ kết quả thực nghiệm và phân tích ở chương 2 cho thấy: Tiến trình đưa vào hai khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK làm hạn chế bớt nghĩa của khái niệm đạo hàm, tiếp tuyến và không có sự nối khớp giữa khái niệm tiếp tuyến ở THCS và THPT. Từ đó, chúng tôi thấy có thể có một số hướng nghiên cứu mới sau đây: - Xây dựng một tiểu đồ án didactic để từ khái niệm tiếp tuyến dẫn đến việc hình thành khái niệm đạo hàm (trong đó có tính đến cả xấp xỉ affine). - Xây dựng một tiểu đồ án didactic để điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của học sinh với đạo hàm và tiếp tuyến theo quan điểm xấp xỉ và đem lại cho tiếp tuyến một nghĩa mới theo tư tưởng xấp xỉ. - Xây dựng thực nghiệm nhằm trả lời cho câu hỏi đặt ra ở chương 2: “Có sự ngắt quãng giữa tiếp tuyến ở THCS và tiếp tuyến xuất hiện trong phạm vi giải tích ở THPT?” TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Văn Như Cương(1977), Lịch sử hình học, NXBGD. 2. Trần Vũ Đức(2004), Khái niệm tiếp tuyến- Một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm, Luận văn tốt nghiệp, ĐHSP, TP.HCM. 3. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2004), Đại số và giải tích 11- Ban khoa học tự nhiên, NXBGD. 4. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2004), Bài tập Đại số và giải tích 11- Ban khoa học tự nhiên, NXBGD. 5. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2004), Sách giáo viên Đại số và giải tích 11- Ban khoa học tự nhiên, NXBGD. 6. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2006), Đại số và giải tích 12- Ban khoa học tự nhiên, NXBGD. 7. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2006), Bài tập Đại số và giải tích 12- Ban khoa học tự nhiên, NXBGD, Hà Nội. 8. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2006), Sách giáo viên Đại số và giải tích 12- Ban khoa học tự nhiên, NXBGD. 9. Ngô Thúc Lanh, Đoàn Quỳnh, Nguyễn Đình Trí (2002), Từ điển toán học thông dụng, NXBGD. 10. Ngô Thúc Lanh (chủ biên)(2002), Giải tích 12, NXBGD. 11. Ngô Thúc Lanh (chủ biên)(2002), Bài tập Giải tích 12, NXBGD. 12. Ngô Thúc Lanh (chủ biên)(2000), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 12, NXBGD. Tiếng Anh 13. Arthur Rosenthal (1951), “The history of calculus”, The American Mathematical Monthly, 58 (2), pp.75-86. 14. G.M.Fichtengon(1977), Cơ sở giải tích toán học tập 1, NXB ĐHMN. 15. Howard Eves (1993) (Nguyễn Đức Thuần dịch), Giới thiệu lịch sử toán học, NXB Khoa học và kĩ thuật. 16. Tom m. Apostol, Calculus-volume 1, John Wiley & Son Inc- New York. Tiếng Pháp 17. Newton (1740) (traduction de M. de Buffon), La Méthode des Fluxions et des Suites infininies, Paris. 18. Nadège Chaboud, Dominique Hedde(2000), La tangente et la dérive font- ellles la paire?, Mémoire professionnel des mathémathiques, UFM de l’Académie de Grenoble. 19. Perrin Patrick(1992), Prenons la tangente avant de dériver, Histoire d’infini, commission inter-IREM. 20. Phụ lục 1: NỘI DUNG BÀI TOÁN THỰC NGHIỆM Họ và tên : Lớp : Trường : STT : PHA 1 (45 phút) Bài toán 1 . Không dùng MTBT, hãy tính gần đúng giá trị của 1,002 Lời giải ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... Bài tóan 2 Cho hàm số y = f(x) xác định trên R . Tiếp tuyến (T) của đồ thị hàm số tại điểm A(1;1) có hệ số góc là 1 2 (xem hình dưới đây) : 1 1 (T) x y A 1 O a) Tính gần đúng giá trị của f(x0) với x0 = 1,05 b) Hãy biểu diễn điểm M(x0 ; y0) lên mặt phẳng tọa độ đã cho ở trên, với x0 = 1,05 và y0 là giá trị gần đúng của f(x0) mà em tính được ở câu a. Lời giải ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... Bài toán 3 Cho hàm số y = f(x) xác định trên R. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm B(5;8) có phương trình là: y = 3x – 7 Có thể tính gần đúng giá trị của f(5,001) được hay không ? - Nếu có hãy tính gần đúng giá trị đó. - Nếu không hãy giải thích tại sao? Lời giải ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... 2 PHA 2 (15 phút) Bài toán 4 Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Tiếp tuyến (T) của đồ thị hàm số tại điểm M(2;1) có hệ số góc k = 1 và được cho như hình vẽ. (T)(C) M(2;1) Tính gần đúng giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 2,01 Sau đây là lời giải bài toán trên của bốn bạn học sinh lớp 11. a) Lời giải của bạn An Vì hệ số góc của tiếp tuyến (T) là đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm, nên ta có : f ’(2) = k = 1 Mặt khác, điểm M(2; 1) thuộc đồ thị hàm số nên f(2) = 1. Áp dụng công thức tính gần đúng : f(x0 + x)  f(x0) + f ’(x0). x , ta suy ra : f(2,01) = f(2 + 0,01)) f(2) + f’(2). 0,01   f(2,01)  1+ 1. 0,01  f(2,01)  1,01 3 b) Lời giải của bạn Bình y O 1 (T)(C) N M(2;1) 2 x - Dựng hệ trục tọa độ Oxy như trên - Trên trục Ox, lấy điểm có hoành độ 2,01 - Dựng đường thẳng đi qua điểm đó song song với trục tung và cắt đồ thị hàm số tại điềm N - Từ điểm N ta dựng đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại một điểm, đó chính là giá trị cần tìm. Từ hình vẽ ta có : f(2,01)  1,01 c) Lời giải của bạn Hạnh - Tiếp tuyến (T) đi qua điểm M (2 ; 1) và có hệ số góc k = 1 nên có phương trình là: y -1 = x-2 hay y = x -1 (1) - Thay x = 2,01 vào (1) ta có : y = 2,01 - 1 = 1,01 Suy ra : f(2,01)  1,01. d) Lời giải của bạn Phúc Ta có: 2,01  2 và 2,01 > 2 nên f(2,01)  f(2) và f(2,01) > f(2) (1) Mặt khác, điểm M(2; 1) thuộc đồ thị hàm số nên f(2) = 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra: f(2,01)  1,01 4 5 Em hãy cho điểm lời giải bài toán của bốn bạn học sinh trên (theo thang điểm 10) và giải thích vì sao em đánh giá như vậy. Lời giải Điểm Giải thích vì sao em đánh giá như vậy Lời giải của bạn An. Lời giải của bạn Bình. Lời giải của bạn Hạnh Lời giải của bạn Phúc ._.