Mô đun biểu diễn được

tố của R và M được gọi là M là ρ-coprimary. Mô đun con N của M được gọi là mô đun con ρ-nguyên sơ nếu mô đun thương M/N là ρ-coprimary. Một sự phân tích nguyên sơ của N trong M là sự biểu diễn của N như là giao hữu hạn các mô đun con nguyên sơ của M: N = Q1 ∩Q2 ∩ ... ∩Qn. Sự phân tích nguyên sơ được gọi là tối tiểu nếu các mô đun con nguyên sơ Q1, Q2, ..., Qn thỏa các điều kiện : (1) Các iđêan nguyên tố < ( M/Qi ) phân biệt. (2) Không có Qi nào nằm trong giao các mô đun con còn lại. Từ đó, các nhà toán học đã nêu khái niệm về mô đun thứ cấp và mô đun biểu diễn được. Một R-mô đun M được gọi là thứ cấp nếuM 6= 0 và với mọi x thuộc R thì ϕx,M là toàn cấu hoặc lũy linh. Khi đó, < (M) = ρ là iđêan nguyên tố của R và M được gọi là R-mô đun ρ-thứ cấp. Một biểu diễn thứ cấp của M là sự biểu diễn M như là tổng hữu hạn các mô đun con thứ cấp: M = N1 +N2 + ...+Nn. Biểu diễn thứ cấp được gọi là tối tiểu nếu các mô đun con thứ cấp N1, N2, ..., Nn thỏa các điều kiện : (1) Các iđêan nguyên tố < (Ni) phân biệt. (2) Không có Ni nào nằm trong tổng các mô đun con còn lại. Nếu M có một biểu diễn thứ cấp, ta nói M là mô đun biểu diễn được. Luận văn này viết về mô đun biểu diễn được và các tính chất của nó, được chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tôi trình bày một số kiến thức cần thiết cho chương sau bao gồm các khái niệm về vành, mô đun, vành Nơ te, vành Artin, iđêan nguyên tố liên kết, iđêan nguyên tố liên kết yếu, dãy khớp. Hầu hết các chứng minh trong chương này đều được bỏ qua. Chương 2: Mô đun biểu diễn được Chương này trình bày các vấn đề về mô đun biểu diễn được: định nghĩa mô đun thứ cấp và mô đun biểu biễn được, tính chất của mô đun thứ cấp và mô đun biểu diễn được, mô đun con của mô đun biểu diễn được, tính biểu diễn được của mô đun Artin, tính biểu diễn được của Hom(M,E) trong một số tình huống cụ thể của R-mô đun M và E. Tôi xin gửi đến TS. Trần Tuấn Nam, TS. Nguyễn Đình Lân lòng biết ơn chân thành nhất. Thầy là người hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô trong Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh và các thầy cô đã tham gia giảng dạy, quản lý khóa học, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn học cùng khóa đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn có thể có những thiếu sót, kính mong thầy cô và các bạn góp ý và thông cảm. TP. Hồ Chí Minh 12-2009 Đỗ Trần Minh Vũ Mục lục 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 1.1 Mô đun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết yếu . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Iđêan nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Mô đun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Vành Nơ te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 Vành Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8 Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC 12 2.1 Mô đun biểu biễn được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Tính chất của mô đun biểu diễn được . . . . . . . 16 2.1.3 Iđêan nguyên tố gắn kết . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Mô đun con của mô đun biểu diễn được . . . . . . . . . 33 2.3 Tính biểu diễn được của mô đun Artin . . . . . . . . . . 41 2.4 Tính biểu diễn được của Hom(M;E) . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mô đun Trong luận văn này, ta hiểu vành là một vành giao hoán có đơn vị khác không. Cho M là R-mô đun, A và B là hai tập con của M, 0 6= K ⊂ R. Ta định nghĩa: A+B = {a+ b|a ∈ A, b ∈ B} KA = {r.a|a ∈ A, r ∈ K} Tập con A khác rỗng của M được gọi là mô đu con của M nếu A+A ⊂ A và RA ⊂ A. Với A và B là hai mô đun con của M thì A+B và A ∩ B cũng là mô đun con của M. Hơn nữa, Giao của một họ bất kì các mô đun con của M cũng là mô đun con của M. Cho S là tập con khác rỗng của M. Giao của tất cả các mô đun con của M chứa S được gọi là mô đun con sinh bởi tập S, ký hiệu là . Cho A là mô đun con của M, tập thương M/A = {m+ A|m ∈M} là R- mô đun với các phép toán (m1 + A) + (m1 + A) = (m1 +m2) + A r. (m+ A) = rm+ A R-mô đun M/A được gọi là mô đun thương của M theo mô đun A. 2Giả sử M là R-mô đun và f : S → R là đồng cấu vành. Khi đó, M có thể xem như S-mô đun với phép nhân ngoài s.m = f(s).m. Tập con S của M được gọi là hệ sinh của M nếu M=. Tập con S được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ mỗi đẳng thức n∑ i=1 risi = 0 với ri ∈ R, si ∈ S, ta có r1 = r2 = ... = rn = 0. Mô đun M được gọi là mô đun tự do nếu M có một hệ sinh độc lập tuyến tính. Giả sử {Mi}i∈I là họ các R-mô đun. Trong tập tích Đề các ∏ i∈I Mi, ta định nghĩa các phép toán: (xi)i∈I + (yi)i∈I = (xi + yi)i∈I r.(xi)i∈I = (rxi)i∈I Khi đó, ∏ i∈I Mi trở thành R-mô đun và được gọi là tích trực tiếp của họ R-mô đun {Mi}i∈I . Mô đun con ∑ i∈I Mi = { (xi)i∈I ∈ ∏ i∈I Mi| hữu hạn xi 6= 0 } của ∏ i∈I Mi được gọi là tổng trực tiếp của của họ các mô đun {Mi}i∈I . Tổng trực tiếp của các mô đun tự do là một mô đun tự do. R-mô đun M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với tổng trực tiếp của họ nào đó các bản sao của vành R. Mỗi mô đun M bất kì đều đẳng cấu với mô đun thương của một mô đun tự do nào đó. Cho M là R- mô đun, L và N là các mô đun con của M. Ta kí hiệu (L : N) = {x ∈ R|x.N ⊂ L} Đây là một iđêan của R. Trong trường hợp đặc biệt khi L=0 và N=M thì (0 : M) được gọi là cái linh hóa của mô đun M, và được kí hiệu là Ann(M). Với m ∈ M , Ann(m) là cái linh hóa của R-mô đun sinh bởi phần tử m ∈M . Mệnh đề 1.1.1 . Cho L và N là hai R-mô đun. Khi đó, 1. Ann (L+N) = Ann (L) ∩ Ann (N) 32. (N : L) = Ann ( (N + L)/N ) Mệnh đề 1.1.2 . Cho các R-mô đun L,M,N thỏa N ⊂ M ⊂ L . Khi đó: ( L/N )/( M/N ) ∼= L/M Mệnh đề 1.1.3 . Cho L và N là các mô đun con của M. Khi đó: (L+N)/N ∼= L/(N ∩ L) Mệnh đề 1.1.4 . Cho M là R-mô đun. Khi đó: M là hữu hạn sinh khi và chỉ khi M đẳng cấu với mô đun thương của một mô đun tự do hữu hạn sinh nào đó. 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết Giả sử R là vành Nơ te giao hoán có đơn vị khác không. Iđêan nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của R-mô đun M nếu tồn tại phần tử x ∈M để Ann(x)=P. AssR (M) là tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của R-mô đun M. Khi không sợ lầm lẫn vành R, ta kí hiệu Ass(M). Mệnh đề 1.2.1 .Cho P là phần tử tối đại của tập các iđêan{ Ann (x) |x ∈M và x 6= 0} Khi đó, P ∈ Ass (M). Hệ quả 1.2.2 .Cho M là R-mô đun. (1) Ass (M) = 0⇔M = 0 (2) Tập các ước của 0 của R-mô đun M là hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M. Ta đặt: SuppM = {P ∈ Spec (R) |MP 6= ∅} Định lý 1.2.3 .Cho M là R-mô đun. Khi đó, Ass (M) ⊂ Supp (M). 4Định lý 1.2.4 . Cho M là R-mô đun hữu hạn sinh khác 0. Khi đó, tồn tại dãy các mô đun con 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mn = M sao cho Mi/Mi−1 ∼= R/Pi với Pi ∈ Spec (R) , (1 ≤ i ≤ n) Bổ đề 1.2.5 .Cho 0→M ′ →M →M ′′ là một dãy khớp các R-mô đun thì Ass (M) ⊂ Ass (M ′) ∪ Ass (M ′′) Từ bổ đề trên, ta thấy, nếu M = M1 ⊕M2 thì ta có dãy khớp 0 → M1 →M →M2 và do đó, Ass (M) ⊂ Ass (M1) ∪ Ass (M2) Mệnh đề 1.2.6 . Cho M là R-mô đun hữu hạn sinh . Khi đó, Ass (M) là tập hữu hạn. Định lý 1.2.7 .Cho R là vành Nơ te, các điều sau tương đương với M là R-mô đun: (1) M là coprimary (2) M chỉ có một iđêan nguyên tố liên kết. 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết yếu Cho vành giao hoán có đơn vị R. Một iđêan nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết yếu của M nếu tồn tại phần tử x ∈M để P là tối tiểu trên Ann(x). Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết yếu của M kí hiệu là W.Ass(M). Mệnh đề 1.3.1 . Cho M là một R-mô đun. Khi đó, ta có: (1) Ass (M) ⊂ W.Ass (M) (2) Ass (M) = W.Ass (M)nếu R là vành Nơ te. (3) W.Ass 6= ∅ nếu M 6= 0 (4) Nếu 0→M → N → L→ 0 là dãy khớp thì W.Ass (M) ⊂ W.Ass (N) ⊂ W.Ass (M) ∪W.Ass (L) 5Mệnh đề 1.3.2 . Cho M là R-mô đun thỏa điều kiện mô đun không của M có phân tích nguyên sơ. Gọi 0 = N1∩N2∩ ...∩Nn là phân tích nguyên sơ tối tiểu của 0, trong đó Ni là mô đun con Pi-nguyên sơ của M. Khi đó, W.Ass (M) = {P1, P2, ..., Pn} Hệ quả 1.3.3 . Cho R là vành Nơ te, M là R-mô đun hữu hạn sinh thì mọi mô đun con của M đều có một phân tích nguyên sơ. 1.4 Iđêan nguyên sơ Mệnh đề 1.4.1 . (1) Cho Q1, ..., Qn là các iđêan nguyến tố của vành R và P là một iđêan của R nằm trong n⋃ i=1 Qi . Khi đó, tồn tại một chỉ số i0 để P ⊂ Qi0. (2) Cho P1, ..., Pn là các iđêan của vành R và Q là một iđêan nguyên tố của R chứa n⋂ i=1 Pi . Khi đó, tồn tại một chỉ số i để Pi ⊂ Q. Đặc biệt, nếu Q = n⋂ i=1 Pi thì có i để Q = Pi. Cho P và Q là hai iđêan của vành R thì Q ∪ P cũng là một iđêan của R. Ta còn định nghĩa iđêan (Q : P ) = {x ∈ R|x.P ⊂ Q} gọi là iđêan thương của Q cho P. Cho P là iđêan của vành R. Căn của P, kí hiệu r (P ), là iđêan xác định như sau: r (P ) = {x ∈ R | ∃n > 0 : xn ∈ P} Mệnh đề 1.4.2 . Cho P là một iđêan của vành R. Khi đó: (1) P ⊂ r (P ) (2) Nếu P là iđêan nguyên tố thì r (P n) = P với mọi số n>0. Nếu f : A → B là một đồng cấu vành và Q là iđêan của B thì P = f−1(Q) cũng là một iđêan của A và ta sẽ kí hiệu P = Qc. iđêan P của R được gọi là nguyên sơ nếu P khác R và nếu x.y ∈ P thì x ∈ P hoặc yn ∈ P với một số nguyên dương n nào đó. Một iđêan nguyên tố 6đương nhiên là iđêan nguyên sơ nhưng điều ngược lại không đúng. iđêan P được gọi là Q-nguyên sơ nếu P là iđêan nguyên sơ và r(P)=Q. Mệnh đề 1.4.3 . Nếu Q là iđêan nguyên sơ thì r(Q) là iđêan nguyên tố tối tiểu của R chứa Q. Mệnh đề 1.4.4 . Nếu r(P) là iđêan tối đại thì P là iđêan nguyên sơ. Đặc biệt, nếu P là iđêan tối đại của R thì với mọi n>0, P n là iđêan P-nguyên sơ. Một sự phân tích nguyên sơ của iđêan P trong vành R là sự biểu diễn P như là giao của một số hữu hạn các iđêan nguyên sơ của R. Sự phân tích nguyên sơ P = n⋂ i=1 Qi của iđêan P trong vành R được gọi là tối tiểu nếu với mọi i, n⋂ j=1 j 6=i Qj 6⊂ Qi. Từ một sự phân tích nguyên sơ bất kì, ta luôn có được một phân tích nguyên sơ tối tiểu. iđêan P của R được gọi là phân tích được nếu P có một sự phân tích nguyên sơ trong R. Mệnh đề 1.4.5 . Cho P là iđêan phân tích được của vành R và P = n⋂ i=1 Qi là phân tích nguyên sơ tối tiểu của P. Khi đó, với mỗi i, đặt Pi = r (Qi). Khi đó, các Pi không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ của P. 1.5 Mô đun con Một mô đun con thực sự N của M được gọi là mô đun con nguyên tố của M nếu, với mọi r ∈ R và m ∈ M thỏa rm ∈ N thì hoặc là m ∈ N ,hoặc là r ∈ (N : M). Ta thấy, nếu N là mô đun con nguyên tố của M thì P = (N : M) là iđêan nguyên tố của R. Do đó, ta còn gọi N là P-mô đun con nguyên tố. Cho R là vành và M là R-mô đun. Với mỗi phần tử x thuộc R, ta gọi ϕx,M là tự đồng cấu của M xác định bởi phép nhân phần tử x với 7M. Khi đó, nilradical của M, kí hiệu <(M), là tập tất cả các phần tử x thuộc R sao cho ϕx,M lũy linh. Nó là một iđêan của R, được gọi là căn lũy linh của M. Định lý 1.5.1 . N là mô đun con nguyên tố của M khi và chỉ khi với mỗi r thuộc R, đồng cấu ϕ r,M/N : M/N → M/N hoặc là đơn cấu, hoặc là bằng 0. Ta nói mô đun M là nguyên tố nếu mô đun con 0 của M là mô đun con nguyên tố. Do đó, Mô đun con N là mô đun con nguyên tố khi và chỉ khi M/N là mô đun nguyên tố. Một R-mô đun M được gọi là coprimary nếu M khác không và với mọi x thuộc R thì ϕx,M là đơn cấu hoặc lũy linh. Khi đó, <(M) = P là iđêan nguyên tố của R. Do đó, ta nói M là P-coprimary. Cho M là R-mô đun và P là iđêan nguyên tố của R. Mô đun con N của M được gọi là mô đun con P-nguyên sơ nếu mô đun thương M/N là P-đối nguyên sơ. Một sự phân tích nguyên sơ của N trong M là sự biểu diễn của N như là giao hữu hạn các mô đun con nguyên sơ của M: N = Q1 ∩Q2 ∩ ... ∩Qn. Sự phân tích nguyên sơ được gọi là tối tiểu nếu các mô đun con nguyên sơ Q1, Q2, ..., Qn thỏa các điều kiện : (1) Các iđêan nguyên tố Pi = < ( M/Qi ) phân biệt. (2) Không có Qi nào nằm trong giao các mô đun con còn lại. Cho M là R-mô đun có mô đun 0 có sự phân tích nguyên tối tiểu 0 = Q1 ∩ ... ∩Qn . Khi đó: Mệnh đề 1.5.2 . Tập các iđêan nguyên tố Pi = < ( M/Qi ) không phụ thuộc vào sự phân tích của mô đun 0. Hơn nữa, nếu P là một iđêan nguyên tố của R thì các điều sau tương đương : (1) P là một trong các Pi. (2) M có một mô đun con P-đối nguyên sơ. (3) M có một mô đun con mà nilradical của nó là P. 8Tập các iđêan Pi = < ( M/Qi ) được kí hiệu Ass(M). Một tập con B của Ass(M) được gọi là cô lập nếu với mỗi P thuộc B và mọi Q thuộc Ass(M), nếu Q ⊂ P thì Q ∈ B Mệnh đề 1.5.3 . Nếu {Pi1, ..., Pir} là tập con cô lập của Ass(M) thì mô đun con Qii ∩ ... ∩Qir không phụ thuộc sự phân tích đã chọn. . Mệnh đề 1.5.4 . Tập các phần tử x ∈ R để ϕx,M không đơn cấu là hợp của tấp cả các Pi thuộc Ass(M). Mệnh đề 1.5.5 . Tập các phần tử x ∈ R để ϕx,M lũy linh là giao của tất cả các Pi thuộc Ass(M). 1.6 Vành Nơ te Một vành R được gọi là vành Nơ te nếu mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử tối đại. Mệnh đề 1.6.1 . Các điều sau là tương đương đối với một vành R: (1) R là vành Nơ te. (2) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh. Mệnh đề 1.6.2 . Cho R là vành Nơ te. Khi đó, (1) Nếu φ : R→ S là một toàn cấu thì S là vành Nơ te. (2) Nếu S là tập con đóng nhân của R thì S−1R là vành Nơ te. (3) Nếu P là một iđêan nguyên tố của R thì RP là vành Nơ te. Mệnh đề 1.6.3 . Cho S là một vành con của vành R. Nếu S là vành Nơ te và R là hữu hạn sinh, xét như S-mô đun. Khi đó, R là vành Nơ te. Định lý 1.6.4 . Trong vành Nơ te, mọi iđêan đều có một sự phân tích nguyên sơ. 9Mệnh đề 1.6.5 . Cho R là vành Nơ te. Khi đó, (1) Mọi iđêan đều chứa một lũy thừa nào đó căn radical của nó. (2) Nếu Q là iđêan tối đại của R và P là một iđêan bất bì khác của R thì các điều sau tương đương: (a) P là Q-nguyên sơ. (b) r (P ) = Q (c) tồn tại số n để Qn ⊂ P ⊂ Q 1.7 Vành Artin Một vành R được gọi là vành Artin nếu mọi tập không rỗng các iđêan của R đều có phần tử tối tiểu. Mệnh đề 1.7.1 . Trong một vành Artin, ta có: (1) Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan tối đại. (2) Tập các iđêan tối đại là tập hữu hạn. Định lý 1.7.2 . Cho vành R có iđêan không là tích của các iđêan tối đại P1, ..., Pn ( không nhất thiết các iđêan tối đại khác nhau). Khi đó, R là vành Nơ te khi và chỉ khi R là vành Artin. Ta xét dãy hữu hạn các iđêan nguyên tố của R như sau: P0 P1 P2 .... Pn Một dãy như trên được gọi là có độ dài n. Ta định nghĩa chiều của vành R là sup của tập các độ dài các dãy iđêan nguyên tố của R. Kí hiệu là dimR. Hiển nhiên vành Artin có số chiều là 0. Định lý 1.7.3 . Cho vành R. R là vành Artin khi và chỉ khi R là vành Nơ te và dimR=0. Một vành được gọi là vành địa phương nếu nó có duy nhất một iđêan tối đại. Định lý 1.7.4 . Một vành Artin R bất kì luôn đẳng cấu với tích trực tiếp của hữu hạn các vành Artin địa phương. 10 1.8 Dãy khớp Cho M và E là hai R-mô đun, ánh xạ f : M → E được gọi là R-đồng cấu nếu với mọi m1,m2 ∈M và r ∈ R thì f (m1 +m2) = f (m1) + f (m2) f (r.m1) = r.f (m1) Ta đặt Hom(M,E) là tập tất cả các R-đồng cấu từ M vào E. Cho f : M → N là R-đồng cấu các R-mô đun và E là một R-mô đun, ta kí hiệu f∗ : Hom (N,E)→ Hom (M,E) là R-đồng cấu biến mỗi đồng cấu g trong Hom(N,E) thành đồng cấu gf trong Hom(M,E). Tương tự, f ∗ : Hom (E,M)→ Hom (E,N) là R-đồng cấu biến mỗi đồng cấu g trong Hom(E,M) thành đồng cấu fg trong Hom(E,N). Một dãy các R-mô đun và R-đồng cấu ... −→Mn−1 fn−−→Mn fn+1−−−→Mn+1 −→ ... được gọi là khớp tại Mn nếu Im fn = Ker fn+1. Một dãy được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi Mn. Đặc biệt: (1) Dãy 0 −→M f−→ N khớp khi và chỉ khi f đơn cấu. (2) Dãy M f−→ N −→ 0 khớp khi và chỉ khi f toàn cấu. (3) Dãy 0 −→ L g−→ M f−→ N −→ 0 khớp khi và chỉ khi g đơn cấu, f toàn cấu và Im g = Ker f . Mệnh đề 1.8.1 . Cho L g−→ M f−→ N −→ 0 là một dãy các R-mô đun và R-đồng cấu. Dãy trên khớp khi và chỉ khi với mọi R-mô đun E, dãy sau khớp: 0 −→ Hom (N,E) f−→ Hom (M,E) g−→ Hom (L,E) Mệnh đề 1.8.2 . Cho 0 −→ L g−→ M f−→ N là một dãy các R-mô đun và R-đồng cấu. Dãy trên khớp khi và chỉ khi với mọi R-mô đun E, dãy sau khớp: 0 −→ Hom (E,L) g−→ Hom (E,M) f−→ Hom (E,N) 11 Định nghĩa: Cho E là R-mô đun. E được gọi là R-mô đun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu χ : A→ B, mỗi đồng cấu f : A→ E, tồn tại đồng cấu f : B → E sao cho f = fχ. Định lý 1.8.3 . Mọi mô đun đều có thể nhúng vào một mô đun nội xạ nào đó, xem như là mô đun con của mô đun nội xạ đó. Nếu R-mô đun E là nội xạ thì với mọi dãy khớp ngắn 0 −→ L g−→M f−→ N −→ 0 ta có dãy khớp sau: 0 −→ Hom (N,E) f−→ Hom (M,E) g−→ Hom (L,E) −→ 0. Định nghĩa: Cho E là R-mô đun. E được gọi là R-mô đun xạ ảnh nếu với mỗi toàn cấu σ : B → C, mỗi đồng cấu f : E → C, tồn tại đồng cấu f : E → B sao cho f = σf . Nếu R-mô đun E là xạ ảnh thì với mọi dãy khớp ngắn 0 −→ L g−→M f−→ N −→ 0 ta có dãy khớp sau: 0 −→ Hom (E,L) g−→ Hom (E,M) f−→ Hom (E,N) −→ 0 12 Chương 2 MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC 2.1 Mô đun biểu biễn được 2.1.1 Các định nghĩa Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Một R-mô đun M được gọi là thứ cấp nếu M khác không và với mọi x thuộc R thì ϕx,M là toàn cấu hoặc lũy linh. Mệnh đề 2.1.1 Cho M là R-mô đun thứ cấp. Ta có < (M) = ρ là iđêan nguyên tố của R. Chứng minh: Giả sử xy ∈ ρ và y /∈ ρ. Khi đó, với mọi n, ynM 6= 0 và tồn tại số m để (xy)mM = 0. Do đó, ϕy,M không lũy linh nên nó là toàn cấu. Do đó, yM = M . Vì thế nên 0 = (xy)mM = xmymM = xmM . Suy ra, x ∈ ρ. Vậy, ρ là iđêan nguyên tố của R. Do mệnh đề trên, khi M là R-mô đun thứ cấp có < (M) = ρ, ta gọi M là ρ-thứ cấp. Cho M là R-mô đun. Một biểu diễn thứ cấp của M là sự biểu diễn M như là tổng hữu hạn các mô đun con thứ cấp: M = N1 +N2 + ...+Nn. Biểu diễn thứ cấp được gọi là tối tiểu nếu các mô đun con thứ cấp N1, N2, ..., Nn thỏa các điều kiện : 13 (1) Các iđêan nguyên tố < (Ni) phân biệt. (2) Không có Ni nào nằm trong tổng các mô đun con còn lại. Nếu M có một biểu diễn thứ cấp, ta nói M là mô đun biểu diễn được. Mệnh đề 2.1.2 . Tổng trực tiếp hữu hạn các mô đun ρ-thứ cấp là một mô đun ρ-thứ cấp. Chứng minh: Giả sử M = m⊕ i=1 Mi là tổng trực tiếp các R-mô đun ρ-thứ cấp. Nếu r ∈ ρ thì với mọi i, Mi r.−→ Mi là lũy linh. Do đó, có số ni để rniMi = 0. Đặt n = n1n2...nm. Khi đó, r nMi = 0 với mọi i . Do đó, rnM = 0, tức là M r.−→M lũy linh. Nếu r /∈ ρ thì với mọi i, Mi r.−→Mi là toàn cấu. Do đó, M r.−→M cũng là toàn cấu. Vậy, M là R-mô đun ρ-thứ cấp. Mệnh đề 2.1.3 . Mô đun thương khác không của mô đun ρ-thứ cấp là mô đun ρ-thứ cấp. Chứng minh: Giả sử M là R-mô đun ρ-thứ cấp vàM/N là một mô đun thương khác 0 bất kì của M. Nếu r ∈ ρ thì đồng cấu M r.−→ M là lũy linh. Khi đó, tồn tại số n để rnM = 0 . Do đó, rn ( M/N ) = r nM/N = 0 nên M/N r.−→M/N lũy linh. Nếu r /∈ ρ thì đồng cấu M r.−→ M là toàn cấu. Do đó, r ( M/N ) = rM/N = M/N nên M/N r.−→M/N toàn cấu. Vậy,M/N là R-mô đun ρ-thứ cấp. Giả sử M1,M2, ...,Mr là các R- mô đun con của M. Ta thấy Mi có thể coi như là mô đun thương của R-mô đun M = m⊕ i=1 Mi. Do đó, nếu M = m⊕ i=1 Mi là R-mô đun ρ-thứ cấp thì do mệnh đề trên, Mi cũng là 14 R-mô đun biểu diễn được. Do đó, ta có:M1,M2, ...,Mr là các R- mô đun ρ-thứ cấp khi và chỉ khi M = m⊕ i=1 Mi là R-mô đun ρ-thứ cấp. Mệnh đề 2.1.4 . Cho M là R-mô đun, ρ là iđêan nguyên tố của R, và M1,M2, ...,Mr là các mô đun con ρ-thứ cấp của M. Khi đó, N = M1 +M2 + ...+Mr là mô đun con ρ-thứ cấp của M. Chứng minh : Nếu r ∈ ρ thì với mọi i, Mi r.−→ Mi là lũy linh. Do đó, có số ni để rni.Mi = 0. Đặt n = n1.n2...nm. Khi đó, r nMi = 0 với mọi i . Do đó, rn.N = 0, tức là N r.−→ N lũy linh. Nếu r /∈ ρ thì với mọi i, Mi r.−→ Mi là toàn cấu. Do đó, N r.−→ N cũng là toàn cấu. Vậy, N là R-mô đun ρ-thứ cấp. Cho M là R-mô đun biểu diễn được và M = n∑ i=1 Ni là một biểu diễn thứ cấp của M. Do mệnh đề 2.1.4, ta có thể giả sử các iđêan nguyên tố <(Ni) = ρi là khác nhau. Bằng cách bỏ các phần dư trong tổng trên, ta coi biểu diễn trên là tối tiểu. Vậy, từ một biểu diễn thứ cấp bất kì, ta luôn có thể tìm được một biểu diễn thứ cấp tối tiểu. Cho M là R-mô đun biểu diễn được và M = n∑ i=1 Ni là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M. Các iđêan nguyên tố ρ1, ρ2, ..., ρn được gọi là các iđêan nguyên tố gắn kết của R-mô đun biểu diễn được M, kí hiệu là Att(M). Tập con ∑ của Att(M) được gọi là cô lập nếu với bất kì Q ∈ Att(M) thỏa điều kiện có P ∈∑ để Q ⊂ P thì Q ∈∑ . Mệnh đề 2.1.5 . Cái linh hóa của một mô đun ρ-thứ cấp là một iđêan ρ-nguyên sơ. Chứng minh: 15 + Nếu x ∈ ρ thì tồn tại số n để xnM = 0. Do đó, xn ∈ Ann (M) và xn ∈ r (Ann (M)). Ngược lại, vì Ann (M) ⊂ ρ và ρ là iđêan nguyên tố nên r (Ann (M)) ⊂ ρ. Do đó, r (Ann (M)) = ρ. + Giả sử xy ∈ Ann (M). Khi đó, xyM = 0. Nếu x ∈ ρ thì tồn tại số n để xnM = 0. Do đó, xn ∈ Ann (M). Nếu x /∈ ρ thì xM = M . Do đó, yM = yxM = 0 và y ∈ Ann (M). Vậy, Ann (M) là iđêan ρ-nguyên sơ. Mệnh đề 2.1.6 . Nếu M là một R-mô đun ρ-thứ cấp và S là tập con nhân của R thì : a) Nếu S ∩ ρ 6= ∅ thì S−1M =0. b) Đồng cấu nhúng M vào S−1M là toàn cấu. c) S−1M hoặc là bằng 0, hoặc là một S−1R-mô đun S−1ρ-thứ cấp. Chứng minh: a) Giả sử S∩ρ 6= ∅. Lấy p ∈ S∩ρ. Khi đó, tồn tại số n để pnM = 0 và pn ∈ S. Ta có, pn (s.0− 1.m) = pnm = 0. Vì thế nên với mọi ms ∈ S−1M , m s = 0S−1M . Vậy, S −1M = 0 b) Ta có ψ : M → S−1M biến m ∈ M thành m1 ∈ S−1M . Nếu S ∩ ρ 6= ∅ thì S−1M =0. Khi đó, đồng cấu nhúng M vào S−1M đương nhiên là toàn cấu. Nếu S ∩ ρ = ∅ thì với bất kì ms ∈ S−1M , vì sM = M nên có m1 ∈ M để sm1 = m. Khi đó, ta có s (s.m1 − 1.m) = 0 nên ψ (m1) = m1 1 = m s . Do đó, đồng cấu nhúng M vào S −1M là toàn cấu. c) Giả sử S−1M 6= ∅. Nếu ps′ ∈ S−1ρ thì do p ∈ ρ nên tồn tại số n để pnM = 0. Khi đó, với bất kì ms′ ∈ S−1M , ( p s′ )n m s = pn.m s′.s = 0. Do đó, S −1M p s′−→ S−1M là lũy linh. Nếu ps′ /∈ S−1ρ thì với mọi ms ∈ S−1M , do p /∈ ρ nên ta tìm được m1 ∈M để p.m1 = m. Khi đó, do ps m11 = ms nên S−1M p s−→ S−1M là toàn cấu. Vậy, S−1M là S−1R -mô đun S−1ρ-thứ cấp. 16 2.1.2 Tính chất của mô đun biểu diễn được Trong phần này, ta xem R là vành Nơ te giao hoán có đơn vị khác không. Mệnh đề 2.1.7 . Cho M là R-mô đun biểu diễn được. Khi đó, α = Ann(M) là iđêan phân tích được của R. Và Ass ( R/α ) ⊂ Att (M) Chứng minh: Giả sử M có biểu diễn thứ cấp tối tiểu M = n∑ i=1 Ni với Ni là ρi-thứ cấp. Đặt Qi = Ann(Ni). Từ 2.1.5, ta có Qi là ρi-nguyên sơ. Nếu r ∈ ∩Qi thì rNi = 0 với mọi chỉ số i. Do đó, rM = n∑ i=1 rNi = 0. Suy ra, r ∈ Ann (M). Nếu r /∈ ∩Qi thì tồn tại chỉ số i0 để r /∈ ρi0. Vì biểu diễn M = n∑ i=1 Ni là biểu diễn tối tiểu nên Ni0 6⊂ n∑ i=1 i6=i0 Ni. Chọn x0 ∈ Ni0\ n∑ i=1 i6=i0 Ni. Khi đó, rxi0 6= 0 và rxi0 /∈ n∑ i = 1 i 6= i0 Ni Vì thế cho nên rxio + n∑ i = 1 i 6= i0 Ni 6= 0 Do đó, rM 6= 0. Suy ra, r /∈ Ann (M). Vậy, ta có Ann(M) = ∩Qi. Do đó, Ann(M) là iđêan phân tích được của A. Theo mệnh đề 1.5.2, ta có Ass ( R/α ) ⊂ Att (M) Mệnh đề 2.1.8 . Cho Q là một mô đun thương khác 0 của R- mô đun biểu diễn được M. Khi đó, Q là mô đun biểu diễn được và Att(Q) ⊂ Att(M). 17 Chứng minh: Giả sử M có biểu diễn thứ cấp tối tiểu M = n∑ i=1 Ni với Ni là ρi-thứ cấp. Đặt Q = M/P . Khi đó, Q = n∑ i=1 (Ni + P )/P . Ta có (Ni + P )/P ∼= Ni/Ni ∩ P nên theo mệnh đề 2.1.3, (Ni + P )/P là một ρi-thứ cấp hoặc bằng 0. Do đó, bằng cách loại bỏ các mô đun 0, Q là mô đun biểu diễn được. Hơn nữa, Att(Q) ⊂ Att(M). Định lý 2.1.9 . Cho M là R-mô đun biểu diễn được có tập các iđêan nguyên tố gắn kết Att(M)={ρ1, ρ2, ..., ρn}. Khi đó, tập các iđêan nguyên tố gắn kết Att(M) chỉ phụ thuộc vào M và không phụ thuộc vào sự biểu diễn thứ cấp tối tiểu. Hơn nữa, các điều kiện sau là tương đương đối với một iđêan nguyên tố P : (1) P là một trong các ρi. (2) M có một mô đun thương P-thứ cấp. (3) M có một mô đun thương Q sao cho < (Q) = P . (4) M có một mô đun thương Q sao cho P là phần tử tối tiểu trong tập các iđêan nguyên tố chứa Ann(Q). Chứng minh : (1)=⇒(2): Giả sử P = ρi. Đặt Qi = ∑ j 6=i Nj. Khi đó, do biểu diễn của M là tối tiểu nên M 6= Qi, M/Qi 6= 0. Ta có : M/Qi = (Ni +Qi)/Qi ∼= Ni/Ni ∩Qi Vì Ni là ρi-thứ cấp nên theo tính chất 2.1.3, ta có M/Qi là ρi-thứ cấp. (2)=⇒(3): Hiển nhiên. (3)=⇒(4): Nếu Q là mô đun thương của M sao cho < (Q) = P . Khi đó, P là căn của Ann(Q). Vì căn của Ann(Q) là iđêan nguyên tố tối tiểu của R chứa Ann(Q) nên ta có (4). (4)=⇒(1): Giả sử Q là mô đun thương của M sao cho P là phần tử tối tiểu trong tập các iđêan nguyên tố chứa Ann(Q). Do mềnh đề 2.1.8, 18 ta có Q là biểu diễn được. Do 2.1.7, Ann(Q) là iđêan phân tích được của R và Ass ( R/Ann(Q) ) ⊂ Att (Q) ⊂ Att (M) Vì P ∈ Ass ( R/Ann(Q) ) nên P ∈ Att (M), tức là P là một trong các ρi. Mệnh đề 2.1.10 . Giả sử vành R là Nơ te và P là một iđêan nguyên tố của R. Khi đó, các điều kiện trong định lý 2.1.9 đối với iđêan nguyên tố P tương đương với điều kiện sau: (5) Tồn tại một mô đun thương Q của M mà Ann(Q) = P. Chứng minh : (2)=⇒(5): Cho Q là mô đun thương ρ-thứ cấp của M. Khi đó, do 2.1.5 nên Ann(Q) là iđêan ρ-nguyên sơ. Vì R là vành Nơ te nên theo 1.6.5, Ann(Q) chứa một lũy thừa nào đó của ρ. Tức là có số nguyên k để ρkQ = 0. Vì Q khác 0 nên Q 6= ρQ ( nếu Q = ρQ thì Q = ρQ = ρ2Q = ... = ρkQ = 0 ). Do đó, Q/ρQ khác 0 nên là mô đun ρ-thứ cấp bởi 2.1.3 và Ann ( Q/ρQ ) = ρ. (5)=⇒(3): Giả sử tồn tại một mô đun thương Q của M mà Ann(Q) =ρ. Vì Ann(Q) là iđêan nguyên tố ρ nên ta có <(Q) = r (Ann(Q)) = ρ. Mệnh đề 2.1.11 . Cho x là phần tử bất kì của R. Khi đó, ta có : (1) ϕx,M là toàn cấu⇔ x /∈ n⋃ i=1 ρi. (2) ϕx,M là lũy linh⇔ x ∈ n⋂ i=1 ρi. Chứng minh : (1) Nếu x /∈ n⋃ i=1 ρi thì xNi = Ni, i = 1, n. Do đó, xM=M. Tức là ϕx,M là toàn cấu. Ngược lại, nếu x ∈ n⋃ i=1 ρi, tức là tồn tại chỉ số i và số nguyên r để xrNi = 0. Do đó, xrM = n∑ j=1 xrNj = ∑ j 6=i xrNj ⊂ ∑ j 6=i Nj 19 Vì M = n∑ j=1 Nj là biểu diễn tối tiểu nên xrM ⊂ ∑ j 6=i Nj n∑ j=1 Nj = M. Tức là ϕx,M không toàn cấu. Do đó, nếu ϕx,M toàn cấu thì x /∈ n⋃ i=1 ρi. (2) Ta thấy, ϕx,M lũy linh khi và chỉ khi mọi ϕx,Ni lũy linh, và ϕx,Ni lũy linh khi và chỉ khi x ∈ ρi. Do đó, ϕx,M là lũy linh ⇔ x ∈ n⋂ i=1 ρi . Mệnh đề 2.1.12 . Cho M là R-mô đun biểu diễn được và α = Ann(M) . Khi đó, Ass ( R/α ) và Att(M) có chung các iđêan nguyên tố cô lập, và do đó, các iđêan nguyên tố cô lập gắn kết của M là phần tử nhỏ nhất trong tập các iđêan nguyên tố chứa α . Chứng minh : Đặt φ là tập các phần tử tối tiểu của Ass(R/α) và ψ là tập các phần tử tối tiểu của Att(M). Khi đó, do mệnh đề 2.1.11, ta có:⋂ P∈φ P = r (α) = <(M) = n⋂ P∈ψ P . Từ đó, ta thấy: mỗi P ∈ φ chứa một P ′ ∈ ψ và ngược lại. Do đó, φ = ψ. Mệnh đề 2.1.13 . Cho α là iđêan hữu hạn sinh của R và M là R-mô đun biểu diễn được. Khi đó, các điều sau tương đương : 1. M = αM 2. ∃x ∈ α : M = xM Chứng minh : (1)=⇒(2): Giả sử α ⊂ ρi0 với một chỉ số i0 nào đó. Vì α là hữu hạn sinh, ta tìm được số nguyên r để αrNi0 = 0 . Do đó: 20 M = αM = αrM = ∑ i6=i0 αrNi = ∑ i6=i0 Ni 6= M Điều mâu thuẫn này chỉ ra rằng với mọi i, ta có α 6⊂ ρi . Do đó, α 6⊂ n⋃ i=1 ρi. Khi đó, tồn tại x ∈ α\ n⋃ i=1 ρi để ϕx,M là toàn cấu theo mềnh đề 2.1.11. Tức là xM=M. (2)=⇒(1): hiển nhiên. Mệnh đề 2.1.14 . Cho M là R-mô đun có biểu diễn thứ cấp tối tiểu M = n∑ i=1 Ni, S là tập con nhân của R và {ρ1, ρ2, ..., ρn} là tập các iđêan gắn kết của R-mô đun M. Giả sử rằng S có phần tử chung với ρr+1, ρr+2, ..., ρn và không có phần tử chung với ρ1, ρ2, ..., ρr. Khi đó, các mô đun con của M sau dây bằng nhau : a) ⋂ x∈S xM b) r∑ i=1 Ni c) Tổng tất cả các mô đun con ρ-thứ cấp N của M sao cho ρ∩S = ∅. Chứng minh : Đặt L1, L2, L3 lần lượt là ba mô đun con trên. Ta sẽ chỉ ra : L1 ⊂ L2 ⊂ L3 ⊂ L1. Vì S có phần tử chung với ρr+1; ρr+2; ...; ρn nên ta gọi xi ∈ S ∩ ρi với i = r + 1, n. Khi đó, với số nguyên k đủ lớn thì xkiNi = 0 với mọi i = r + 1, n. Đặt x = n∏ i=r+1 xki ∈ S. Khi đó, L1 ⊂ xM = n∑ i=1 xNi = r∑ i=1 xNi ⊂ L2. Dễ thấy L2 ⊂ L3. Giả sử N là một mô đun con ρ-thứ cấp của M mà ρ ∩ S = ∅. Với mọi x ∈ S, ta có x /∈ ρ. Vì N là ρ-thứ cấp nên ϕx,N là toàn cấu. Do đó, N = xN ⊂ xM .Vì thế, N ⊂ L1 .Vậy, tổng tất cả các mô đun con ρ-thứ cấp N của M sao cho ρ ∩ S = ∅ được chứa trong L1. 21 Mô đun con của M trong mệnh đề 2.1.14 được ký hiệu là S(M). Ta có S(M) = ⋂ x∈S xM = r∑ i=1 Ni. Định lý 2.1.15 . Cho M là R-mô đun có biểu diễn thứ cấp tối tiểu M = n∑ i=1 Ni với < (Ni) = ρi và ∑ là một tập con cô lập của Att(M). Bằng cách đánh số lại, ta giả sử ∑ = {ρ1, ρ2, ..., ρr}. Khi đó, mô đun con N1 +N2 + ...+Nr không phụ thuộc biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M. Chứng minh : Đặt S = R\ r⋃ i=1 ρi. Khi đó, S ∩ ρj = ( R\ r⋃ i=1 ρi ) ∩ ρj = ∅ với j = 1, r S ∩ ρj = ( R\ r⋃ i=1 ρi ) ∩ ρj = ρj\ r⋃ i=1 ρi 6= ∅ với j = r + 1, n Do đó, S thỏa mãn giả thiết của mệnh đề 2.1.14. Từ đó, N1 +N2 + ...+ Nr = S(M) . Nhưng S(M) chỉ phụ thuộc vào M và ∑ nên ta có kết quả của định lý. Mệnh đề 2.1.16 . Cho M là R-mô đun có biểu diễn thứ cấp tối tiểu M = n∑ i=1 Ni với < (Ni) = ρi, α là iđêan hữu hạn sinh của R. Khi đó, dãy mô đun con (αrM)r≥0 dừng và với r đủ lớn và ta có α rM = ∑ i∈I Ni với I là tập tất cả các chỉ số i sao cho α 6⊂ ρi. Chứng minh : Vì α hữu hạn sinh nên với r đủ lớn và mọi chỉ số i /∈ I thì αrNi = 0. Do đó, ta có αrM = n∑ i=1 αrNi = ∑ i∈I αrNi ⊂ ∑ i∈I Ni. Mặt khác, tập {ρi : i ∈ I} là tập con cô lập của Att(M) nên theo 2.1.15, ta có ∑ i∈I Ni = S(M) với S = R\ ⋃ i∈I ρi . Cho r là số nguyên dương bất kì. Với mọi chỉ số i ∈ I , do α 6⊂ ρi nên αr 6⊂ ρi . Vì thế nên αr 6⊂ ⋃ i∈I ρi. Do đó, tồn tại xr ∈ S∩αr. T._.