Mặt phẳng với mật độ

cảm ơn chân thành đến quý thầy cô trong khoa Anh, khoa Triết và khoa Toán- Tin trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã tham gia giảng dạy cung cấp cho tôi những tri thức, phương pháp tiếp cận khoa học và làm việc hiệu quả. Đặc biệt, tôi cảm nhận được tình cảm thầy trò sâu sắc và lòng nhiệt thành trong công việc của PGS.TS Lê Anh Vũ- người trực tiếp hướng dẫn khoa học, hơn thế nữa chính thầy đã cho tôi một tấm gương sáng về học tập và làm việc.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy. Tôi xin gửi lời cảm ơn các cán bộ của phòng Khoa Học Công Nghệ & Sau Đại Học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Trấn Biên- Biên Hoà- Đồng Nai, cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Thưa các thầy, mặc dù đã có nhiều cố gắng song bản thân tôi còn nhiều hạn chế về trình độ, kinh nghiệm, thời gian nghiên cứu nên chắc chắn bài viết này không tránh khỏi sự thiếu sót. Do đó tôi kính mong các thầy đóng góp cho tôi những kiến thức quý báu để hoàn thiện mình tốt hơn Một lần nữa tôi chân thành cảm ơn và xin trân trọng kính chào Tp. Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2009 Tác giả Phan Thị Thái Hoà MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu Danh mục các hình MỞ ÐẦU ......................................................................................................... 1 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Đa tạp với mật độ ............................................................................. 4 1.2. Một số kết quả hình học .................................................................. 6 Chương 2: ÐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG VỚI MẬT ÐỘ 2.1 Độ cong của đường cong trong mặt phẳng với mật độ. .................. 8 2.2 Mặt phẳng với mật độ pr và xe ................................................. 15 2.3 Mặt phẳng với mật độ 22 yxe  , gọi là  - phẳng. ........................... 21 2.4 Định lý bốn đỉnh. ........................................................................... 29 2.5 Bài toán đẳng chu trên đường thẳng thực với hàm mật độ............. 42 Chương 3: ĐƯỜNG CONG VỚI ÐỘCONG HẰNG 3.1. Đường cong có độ cong hằng với mật độ yxe  ............................ 52 3.2. Hình vẽ minh họa đường có độ cong hằng.................................... 59 KẾT LUẬN .................................................................................................... 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 64 BẢNG TRA CỨU THUẬT NGỮ ............................................................... 66 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa Gm : Không gian Gauss m- chiều Rn : Không gian Euclid n- chiều. φ : Hàm mật độ. (t) : Đường cong . A : Diện tích theo mật độ V(M) : Thể tích của một đa tạp ds : Vi phân độ dài của đường cong theo mật độ G : Độ cong Gauss. Gφ : Độ cong Gauss theo mật độ φ. k : Độ cong của đường tại t kφ : φ-độ cong của đường cong. dP : Chu vi Riemann. dPφ : Chu vi Riemann theo mật độ eφ . dV : Thể tích Riemann. dVφ : Thể tích Riemann theo mật độ eφ . r(x) : nn xxxxr  ,...)( 221 . R : Biên của miền R.  : Miền đẳng chu. Vol( ) : Thể tích của  với mật độ exf )( P( ,U) : Chu vi của   : Siêu mặt chứa gốc tọa độ )(1 v : Biến phân thứ nhất. DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 2.1 : Mặt phẳng với mật độ 0, pr p .............................................. 19 Hình 2.2 : Mặt phẳng với mật độ xe ........................................................ 21 Hình 2.3 : Lưới của những đường trắc địa trong  phẳng. ....................... 23 Hình 2.4 : Đồ thị của một đường trắc địa trong phẳng ........................... 24 Hình 2.5 : Đồ thị của một đường trắc địa trong phẳng qua gốc mang hướng dương hội tụ về một đường thẳng song song với Ox.... 24 Hình 2.6 : Đồ thị của đường .........................................................................27 Hình 2.7 : Đồ thị của hàm )( ph .......................................................................29 Hình 2.8 : Đường tròn có hai đỉnh trong mặt phẳng Gauss....................... 31 Hình 2.9 : Tồn tại mật độ cầu để một đường tròn chứa gốc tọa độ có đúng 2n đỉnh ............................................................................. 39 Hình 2.10 : Miền đẳng chu với mật độ xe ............................................... 46 Hình 2.11 : Miền đẳng chu với mật độ f(x) của VD 2.5.10 là nửa đường thẳng hoặc các khoảng bị chặn...................................... 48 Hình 2.12 : Không tồn tại miền đẳng chu với mật độ f(x) của VD 2.5.12 ................................................................................. 49 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết hình học Affine, hình học Euclid, hình học xạ ảnh, hình học vi phân được xây dựng trên cơ sở xác định một nhóm các phép biến đổi thích hợp trên một không gian xác định và nghiên cứu các bất biến qua nhóm các phép biến đổi đó. Trong các hình học này, một bộ phận của hình học vi phân cổ điển được dành để nghiên cứu các tính chất địa phương của các đường trong mặt phẳng Euclid thông thường. Trong mặt phẳng này mật độ được xem là đều tại mọi điểm. Vấn đề đặt ra là, nếu mật độ tại các điểm không còn đều nữa thì các tính chất hình học như độ cong, bài toán đẳng chu, … sẽ thay đổi như thế nào? Đây là một vấn đề thú vị và có nhiều ý nghĩa cả trong nội tại Toán học lẫn trong thực tiễn. Đa tạp với mật độ là đa tạp Riemann Mn cùng với một hàm mật độ dương e dùng làm trọng số trong việc đánh giá thể tích, diện tích của siêu mặt, độ dài của đường…Đa tạp với mật độ xuất hiện nhiều nơi trong Vật lý và Toán học như các đa tạp Riemann thương hoặc các không gian Gauss. Không gian Gauss Gn, không gian Euclid với mật độ xác suất Gauss 22 2 )2( rn e  là một không gian quan trọng đối với các nhà xác suất và thống kê. Đa tạp với mật độ xứng đáng được tập trung nghiên cứu xa hơn bởi các kết quả liên quan đến chuyển động Brown, đặc biệt mặt phẳng xác xuất Gauss, mặt phẳng R2 với mật độ 22re được dùng để nghiên cứu phương thức đặt giá trong thị trường chứng khoán và nhiều ý nghĩa thực tiễn sâu sắc khác. Trong vài năm gần đây hướng nghiên cứu bài toán đẳng chu trên các đa tạp với mật độ được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Các kết quả về bài toán đẳng chu trong không gian với mật độ Gauss có ứng dụng 2 trong xác suất và thống kê. Năm 1975 C. Borell, đã chứng minh một cách độc lập rằng nửa không gian là nghiệm của bài toán đẳng chu trong không gian Gauss. Năm 1982 A. Ehrhard đưa ra một chứng minh mới bằng cách sử dụng phép đối xứng hoá Steiner mở rộng cho không gian Gauss. Năm 2008 C. Rosales cùng với các cộng sự đã chứng minh một số kết quả về tính tồn tại nghiệm của các miền đẳng chu trong các không gian với độ đo toàn phần vô hạn và đã đưa ra giả thuyết sau: Trong 1nR với mật độ cầu, log-lồi các hình cầu tâm ở gốc toạ độ là các miền đẳng chu duy nhất. Bài toán về sự tồn tại các miền đẳng chu trong các không gian với mật độ đang là một vấn đề thời sự và còn nhiều vấn đề mở. Không phải trong mọi không gian với mật độ các miền đẳng chu đều tồn tại. Có những không gian đã được chứng minh là không tồn tại miền đẳng chu. Xuất phát từ sự kiện các biên của các miền đẳng chu luôn có độ cong hằng. Một trong các bài toán liên quan đến độ cong của các đường cong phẳng là định lý bốn đỉnh- một định lý toàn cục rất nổi tiếng của hình học vi phân. Định lý bốn đỉnh khẳng định rằng: “Mọi đường cong đơn đóng trên mặt phẳng Euclid đều có ít nhất bốn đỉnh”. Định lý tưởng chừng như đơn giản này lại có mệnh đề đảo vừa mới chỉ được chứng minh gần đây. Với những lý do nêu trên mà luận văn được mang tên “Mặt phẳng với mật độ” 2. Mục đích nghiên cứu Từ các bài báo, tạp chí khoa học của các GS-P.GS trong và ngoài nước như Frank Morgan, Colin Carroll, Ivan Corwin, M.D Carmo và Đoàn Thế Hiếu(Đại Học Sư Phạm Huế) dùng để nghiên cứu độ cong của đường, với những mật độ khác nhau độ cong sẽ thay đổi như thế nào? Từ đó chúng tôi đề cập, giới thiệu đa tạp với mật độ và những bài toán liên quan đến chúng. Một định lý có lịch sử lâu đời của hình học vi phân là “Định lý bốn đỉnh” và bài toán về sự tồn tại các miền đẳng chu trong không gian với mật độ. 3 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Luận văn nghiên cứu các vấn đề sau: - Độ cong của đường cong trong mặt phẳng với mật độ. - Định lý bốn đỉnh. - Bài toán đẳng chu trên đường thẳng thực với hàm mật độ. - Mặt phẳng với mật độ .;; 22 yxxp eer  - Độ cong của đường cong hằng với mật độ yxe  . 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Mặt phẳng với mật độ liên quan đến kinh tế, đặc biệt mặt phẳng xác suất Gauss dùng để nghiên cứu thị trường chứng khoán. Trong vài năm gần đây hướng nghiên cứu bài toán đẳng chu trên các đa tạp với mật độ được quan tâm nhiều, các kết quả về bài toán đẳng chu trong không gian với mật độ Gauss có ứng dụng trong xác suất và thống kê. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu. Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản và các kết quả được sử dụng, xây dựng cho các chương sau như: Đa tạp với mật độ, mặt phẳng Gauss, không gian Gauss, đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều, độ cong, mục tiêu Frenet… Chương 2: Những định lý, bài toán liên quan đến độ cong trong mặt phẳng với mật độ khác nhau như: 22,,, yxyxxp eeer  Chương 3: Liệt kê đường cong có độ cong hằng với mật độ yxe  và hình vẽ minh họa cho các đường cong này. Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở tiếp tục nghiên cứu tiếp sau đề tài. 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này, chúng tôi trình bày khái niệm đa tạp với mật độ, mặt phẳng Gauss, không gian Gauss, đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều, độ cong, mục tiêu Frenet…và các ứng dụng của nó trong Toán học, Vật lý và Kinh tế. Hơn nữa, đưa ra các kết quả về độ cong theo mật độ, mặt phẳng với các mật độ khác nhau và những định lý để làm nền tảng, xây dựng cho chương sau. 1.1. Đa tạp với mật độ Định nghĩa 1.1.1(Xem[2],[11, tr.853],[15, tr.3]) Đa tạp với mật độ là đa tạp Riemann Mn cùng với một hàm mật độ dương e được dùng làm trọng số trong việc đánh giá thể tích, chu vi, diện tích của siêu mặt, độ dài của đường Giả sử dV và dP là các phần tử thể tích và chu vi Riemann. Khi đó, phần tử thể tích và chu vi theo mật độ e được cho bởi công thức: dPedP dVedV       (1.1.1) Ví dụ 1.1.2(Xem[15, tr.3]) a. Xét đường cong trên nửa mặt phẳng đóng Euclid (biên Ox) và mặt tròn xoay được sinh ra bởi đường cong khi quay quanh Ox. Khi đó, diện tích của mặt tương ứng với độ dài của đường cong trên nửa mặt phẳng với mật độ 2y. b. Trong Vật lý, một đối tượng có thể có mật độ nội tại khác nhau tại các điểm. Do đó, để xác định khối lượng của nó ta phải tính tích phân theo mật độ. 5 Định nghĩa 1.1.3(Xem[16, tr. 6]) Không gian Rn với mật độ )(re , trong đó r là khoảng cách từ gốc toạ độ đến điểm, được gọi là đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều Định lý 1.1.4 (Mục tiêu Frenet) Cho 2: RIc  là một đường cong tham số hoá độ dài cung s thuộc I )()( scst  . Ta chọn vectơ đơn vị n thỏa mãn: Thì {t, n}: gọi là trường mục tiêu Frenet Định lý 1.1.5(Xem[3]) Trong mặt phẳng R2 đường cong tham số độ dài cung ))(),(()(,: 2 tytxtcRIc  {t, n} là trường mục tiêu Frenet được tính theo công thức: ).,(1 ),(1 22 22 xy yx n yx yx t   (1.1.2) Định lý 1.1.6 (Độ cong)(Xem[19, tr.25]) Cho 2: RI  là một mặt phẳng cong với ))(),(()( tytxt  Khi đó độ cong của  tại t được tính theo công thức: 322 )( )( yx yxyxtk   (1.1.3) Hệ quả 1.1.7(Xem[19, tr.25]) Cho hàm 2: RIk  khả vi. Lúc đó tồn tại đường tham số 2: RIc  với tham số độ dài cung nhận k làm hàm độ cong đại số. Hai hàm như thế định hướng dương(det(t,n)>0) n  t {t, n} 6 khác nhau một phép dời thuận. Định nghĩa 1.1.8(Xem[15, tr.4]) a. Không gian Gauss Gm là không gian Rm với mật độ Gauss 22 2 .)2( rm e  , trong đó r là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm. b. Mặt phẳng Gauss là mặt phẳng G2 Định nghĩa 1.1.9(Đỉnh của đường cong)(Xem[19, tr.36]) a. Đỉnh của đường cong là điểm mà tại đó độ cong theo mật độ đạt cực trị địa phương b. Đỉnh của đường cong phẳng chính quy 2],[: Rba  là một điểm ],[ bat sao cho 0)(  tk , trong đó k(t) là độ cong của đường cong  tại t. 1.2 Một số kết quả hình học Định lý 1.2.1(Xem[15, tr. 5]) Trên mặt phẳng R2 với mật độ )( re , trong đó 22),( yxyxr  , đường cong 2],[: Rba  , Rbatytxt  ,;))(),(()( có độ cong theo mật độ là dr d yxr xyyx yx yxyxk  22322 )(    Đặc biệt, dr dxyyx r yxyxk  )(1  nếu  có vectơ vận tốc đơn vị Định lý 1.2.2(Định lý bốn đỉnh)( Xem [2], [13], [14, [17], [18]) Mọi đường cong đơn đóng trên mặt phẳng Euclid có ít nhất bốn đỉnh Định nghĩa 1.2.3(Miền đẳng chu) Cho M là một đa tạp 2-chiều, không biên, số thực dương t < V(M), trong đó V(M) là thể tích của M. Miền đẳng chu  là miền sao cho biên  7 của nó là một siêu mặt có chứa diện tích nhỏ nhất trong các miền  có thể tích tV )( . Định lý 1.2.4(Xem[8, tr. 5]) Cho mặt phẳng  với hàm mật độ 02,  pr p , lúc đó không tồn tại miền đẳng chu. Định lý 1.2.5(Xem[8, tr. 7]) Trong mặt phẳng  với hàm mật độ 0, pr p hoặc 2p thì tồn tại miền đẳng chu. Định lý 1.2.6(Xem[8, tr. 3]) Trong mặt phẳng П với mật độ e không là hằng và 0  GG , một miền đẳng chu không compact theo từng phần. (1.2.1) Định lý 1.2.7(Xem [8, tr. 13]) Trong mặt phẳng Gauss có duy nhất một đường trắc địa đóng, là đường tròn Định lý 1.2.8(Xem [6]) Trong 1nR với một mật độ cầu, log-lồi các hình cầu tâm ở gốc toạ độ là miền đẳng chu duy nhất. 8 Chương 2 ĐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG VỚI MẬT ĐỘ Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số công thức về độ cong tại t và độ cong theo mật độ e , dựa vào đó đi tính độ cong của các đường quen thuộc như: Cycloid, Hyperbol, parabol, đường trắc địa. Một trong các bài toán liên quan đến độ cong của các đường cong phẳng là định lý bốn đỉnh. Định lý tưởng chừng đơn giản này lại có mệnh đề đảo vừa mới chứng minh gần đây, để biết thêm về đa tạp với mật độ cũng như các kết quả liên quan, độc giả có thể tham khảo[11],[13],[14,[17],[18],[19]. Trong mục 2.2, 2.3 sẽ cho thấy những mặt phẳng với mật độ cụ thể: 22,, yxxp eer  . Bài toán về sự tồn tại các miền đẳng chu trong không gian với mật độ đang được quan tâm, không phải trong mọi không gian với mật độ các miền đẳng chu đều tồn tại. Có những không gian đã được chứng minh là không tồn tại miền đẳng chu, tiêu chuẩn về mật độ để các miền đẳng chu tồn tại vẫn là một vấn đề mở. Để có thông tin về vấn đề này độc giả có thể tìm hiểu các công trình gần đây của F.Morgan và các cộng sự ([6], [9], [15], [16], [19]…). Sau đó tổng hợp lại các kết quả và đưa ra các ví dụ về bài toán đẳng chu trên đường thẳng thực. 2.1 Độ cong của đường cong trong mặt phẳng với mật độ(Xem[2],[15]) Định nghĩa 2.1.1(Xem[15, tr. 3]) Trên đa tạp Riemann 2-chiều với mật độ e , độ cong theo mật độ hay  độ cong k của đường cong theo pháp vectơ đơn vị n được cho bởi công thức: dn dkk   (2.1.1) 9 Ví dụ 2.1.2 a. Trong mặt phẳng Gauss 2G , một đường tròn có bán kính r với vectơ pháp tuyến hướng vào trong có độ cong theo mật độ là hằng số và hằng số này bằng r r 21 b. Trong mặt phẳng Gauss 2G , độ cong theo mật độ của đường thẳng là hằng số và hằng số này bằng khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng. Tuy nhiên, trên mặt phẳng R2 với mật độ 3re thì độ cong của đường thẳng không còn là hằng số. Định nghĩa 2.1.3(Xem [15, tr. 4]) Đường trắc địa là đường cong đẳng chu có độ cong theo mật độ là 0k Ví dụ 2.1.4 Trong mặt phẳng R2 với mật độ 22re , các đường thẳng qua gốc tọa độ là các đường trắc địa. Hơn nữa, đây là các đường trắc địa duy nhất trên mặt phẳng này. Mệnh đề 2.1.5(Xem[15, tr.4]) Cho một đường cong )(r trên đa tạp Riemann 2-chiều với mật độ )( re . Khi đó độ cong theo mật độ k được cho bởi công thức: 22322 22 )( 2 rr r dr d rr rrrrk     322 2 22 2 )( )( rrr rrr rrr rr dn dr      (2.1.2) 10 Định lý 2.1.6(Xem[15, tr. 5]) Trên mặt phẳng R2 với mật độ )( re , trong đó 22),( yxyxr  , đường cong 2],[: Rba  , Rbatytxt  ,;))(),(()( có độ cong theo mật độ là dr d yxr xyyx yx yxyxk  22322 )(    (2.1.3) Đặc biệt, nếu  là đường cong với vectơ vận tốc đơn vị thì dr dxyyx r yxyxk  )(1  (2.1.4) CHỨNG MINH: Ta có   n yx yxyx dn dkk ; )( 322  (2.1.5) Ta đi tính  φ ; n  Vì );();( dy dr dr d dx dr dr d dy d dx d   ),;( dr d r y dr d r x  );( 1 22 xy yx n  Suy ra dr d yxr yxyx dr d yxr yx dr d yxr yxn  222222 ;     (2.1.6) Thay (2.1.6) vào (2.1.5) ta được (2.1.4)(đpcm).  Đặc biệt, nếu  là đường cong với vectơ vận tốc đơn vị thì dr dxyyx r yxyxk  )(1  (2.1.7) 11 Dựa vào công thức (2.1.3) chúng ta đi tính độ cong của các đường quen thuộc theo mật độ xe . Trường hợp nếu lấy mật độ xe thì độ cong được tính theo công thức: 22322 )( yx y yx yxyxk    (2.1.8) Ví dụ 2.1.7 Lá Descartes ) 1 3; 1 3()( 3 2 3 t at t att  với a >0 Ta có ). )1( )2(3; )1( )21(3()( 23 3 23 3 t tat t tat     ). )1( )61(6; )1( )2(18()( 33 3 33 32 t ta t tatt     Áp dụng công thức (2.1.8) ta có: . )1( )2( )1( )21(3 )1( )2(3 ) )1( )2( )1( )21((3 )1( )61)(21(18 )1( )2(54 43 232 43 23 23 3 3 43 232 43 23 53 332 53 2332 t tt t ta t tat t tt t ta t tta t tta k              Hay . )2()21( )2( ])2()21[(3 )]61)(21()2()[1( 243 3 323223 332333 ttt tt ttta tttttk    Ví dụ 2.1.8 Đường Cycloid )),cos1();sin(()( tattat  trong đó a là hằng số dương tuỳ ý. Ta có ).sin;cos()( tatat  ).cos;sin()( tatat  Áp dụng công thức (2.1.8) ta có: tata ta tata tatak 2222 2 32222 2222 cossin sin )cossin( cossin   Hay .sin 1 t a k  12 Ví dụ 2.1.9 Đường Hyperbol ),sinh;cosh()( tbtat  trong đó a là hằng số dương tuỳ ý. Ta có ),cosh;sinh()( tbtat  ).sinh;cosh()( tbtat  Áp dụng công thức (2.1.8) ta có: tbta tb tbta tabtabk 222232222 22 coshsinh cosh )coshsinh( sinhcosh   Hay tbta tb tbta abk 222232222 coshsinh cosh )coshsinh(  Ví dụ 2.1.10 Đường Parabol ),;()( 2attt  trong đó a là hằng số dương tuỳ ý. Ta có )2,0()(,)2,1()( atatt   Áp dụng công thức (2.1.8) ta có: 22322 41 2 )41( 2 ta at ta ak   Hay ) )41( 1 41 (2 32222 tata tak  Định lý 2.1.11(Xem[2, tr.13], [15, tr. 3]) Trong không gian Euclid Rn, độ cong k của đường cong thỏa mãn công thức biến phân thứ nhất  .kvdsdtdL (2.1.9) Biến phân thứ nhất dt dL v  )(1 của độ dài một đường cong trơn trên đa tạp Riemann 2-chiều với mật độ e theo vectơ ban đầu v thỏa mãn đẳng thức:  .)(1  vdskdt dL v (2.1.10) 13 Nếu k là hằng số thì    dA dL k  Trong đó A được ký hiệu diện tích theo mật độ trên biên của pháp vectơ và ds là vi phân độ dài của đường cong theo mật độ . CHỨNG MINH: Ta có dseds   )()( dsedt dL dt d dt dL   )()( dsdtdedsedtd    kvdsevdsdn de       .))(( vdskvdsedndk  Do đó  . vdsdt dA Nếu k là hằng số thì   dt dA kvdsk dt dL    )( Suy ra    dA dL k   Định lý 2.1.12(Xem[2, tr.14], [15, tr.4]) Một đường đẳng chu phải có độ cong theo mật độ k là hằng. CHỨNG MINH: Do đường cong là đường đẳng chu nên   dA dL phải là hằng số. Mặt khác, từ (2.1.10) ta có     vdsk dt dA dA dL 14 Suy ra      vdskvds dA dL )( Vậy    dA dL k  là một hằng số  Định nghĩa 2.1.13(Xem[2, tr.15]) Trên mặt phẳng R2 với mật độ e ,  độ cong toàn phần của một đường cong trơn RbaRba  ;,],[: 2 Tham số hóa độ dài cung theo s được cho bởi công thức .dsk b a   Định lý 2.1.14(Xem[2, tr.15]) Trên mặt phẳng R2 với mật độ e , trong đó  là hàm điều hòa,  độ cong toàn phần của đường cong đơn đóng lồi RbaRba  ,;],[: 2 luôn lớn hơn hoặc bằng 2. CHỨNG MINH: Do D là miền trong của đường cong . Áp dụng công thức Green cho hai hàm  và  1 trên D ta được   D D dsdndvdndvdxdyvv )()(  (2.1.11) Suy ra 0b a dn d Mặt khác, ta có .2)(    dskkdsdsdndkdsk b a b a b a b a Từ đó suy ra .2 b a k  15 2.2 Mặt phẳng với mật độ pr và xe ( Xem[8], [12], [16]) Định nghĩa 2.2.1  222 ),(,),( yxMOdOMrRyxM  , p là hằng số cho trước 222 2 )(:)],[(),( : p p yxryxfyx RRf      Mật độ xe được định nghĩa như sau xeyxfyx RRf    :)],[(),( : 2  Nhận xét 2.2.2  Khi 0p thì 1pr là mật độ đều (mật độ Euclid)  pr là hằng trên mỗi đường tròn tâm O, nghĩa là hai điểm cách đều tâm O đều có cùng mật độ.  xe là hằng trên mỗi đường thẳng đứng (cùng phương với Oy) nghĩa là hai điểm có cùng hoành độ thì sẽ cùng mật độ. Định lý 2.2.3 (Xem[8, tr.5]) Mỗi đường tròn có tâm là gốc tọa độ trong mặt phẳng với mật độ 1r là đường trắc địa. CHỨNG MINH: Do tính đối xứng, một đường tròn tâm là gốc tọa độ có độ cong tổng quát là hằng số. Khi đường tròn càng lớn nghĩa là r càng tăng thì diện tích rrrS   12 càng lớn, trong khi đó  22 1  rrP không thay đổi. Do đó 0 dA dPk . Suy ra đường tròn là đường trắc địa.  Định lý 2.2.4(Xem[8, tr.5]) Cho mặt phẳng  với hàm mật độ 02,  pr p , lúc đó không tồn tại miền đẳng chu. Mật độ pr được định nghĩa như sau 16 CHỨNG MINH: Trong mặt phẳng  bán kính đường tròn có tâm gốc tọa độ là 12 pr . * Nếu 12  p thì khi r dần ra vô cực thì chu vi của đường tròn dần về 0. Diện tích bên ngoài của đường tròn bằng     drdrr p20 1 (2.2.1) Do đó bất kì 0 cho trước, có thể xây dựng hai đường tròn đồng tâm với bán kính đủ lớn sao cho tổng chu vi của hai đường tròn nhỏ hơn  . Gọi là A0 là diện tích giữa hai đường tròn. Nếu A0 < A thì diện tích bên ngoài của đường tròn thứ hai là vô cực vì vậy tăng bán kính của đường tròn này, giảm chu vi và tăng diện tích đến A. Nếu A0 > A, thì tăng bán kính của đường tròn thứ nhất, tăng cả chu vi và diện tích để đạt đến A. * Nếu p = -1 xây dựng tọa độ Euclid bằng ánh xạ )log(z với dzzdw 1 , và mật độ diện tích xw eez  , (2.2.2) (x = Re(w) ). Ảnh của  dưới ánh xạ này là một dải có độ cao 2 với đỉnh và đáy không xác định. Tâm dần về âm vô cực, bán kính r của đường tròn là đường thẳng đứng ( )log(rx  ). Cho 0 , xét đường tròn có chu vi nhỏ hơn  . Đường tròn này có thể dời trái hoặc dời phải để đạt tới một diện tích nào đó. * Nếu -1 < p < 0 thì ảnh của  dưới ánh xạ 1 1   p z p là một hình quạt trong mặt phẳng với đồng nhất hóa các cạnh và góc )1(2 p . Mật độ diện tích trong tọa độ Euclid được cho bởi 1  p pp wz , trong đó mật độ diện tích tại tâm dần ra vô cực khi r dần ra vô cực 17 Cho 0 bất kì, trong tọa độ Euclid tạo ra một đường tròn có chu vi P và diện tích A=A0. Nếu A < A0 thì chúng ta co đường tròn, tăng chu vi cho đến khi A = A0 Nếu A > A0 thì đường tròn có thể được dời ra phía ngoài để đạt tới diện tích A.  Định lý 2.2.5 (Xem[8, tr.6]) Trong mặt phẳng  với hàm mật độ 2, pr p . Miền đẳng chu là đường tròn có tâm là gốc tọa độ bao quanh diện tích A bởi chu vi nhỏ nhất. CHỨNG MINH: Chứng minh định lý này trong tọa độ Euclid. Ta xây dựng ánh xạ 1 1   p zw p với dzzdw p và mật độ diện tích qp wcz   với 1 p pq .Vì 1< q <2 nên ảnh của  là một góc hình quạt 12 p với hai tia hình quạt không xác định. Vì mật độ diện tích dần tới 0 khi w nên những miền biên dần về chu vi nhỏ nhất và tồn tại miền đẳng chu bởi chuẩn compact(Xem[4,tr.6-10]). Đường cong hằng có miền đẳng chu là biên của nó, do đó đường cong này lồi. Miền đẳng chu chỉ có một thành phần, vì nếu có hai thành phần thì nó bị đóng và bị co rút về gốc tọa độ. Nói cách khác miền đẳng chu phải chứa gốc tọa độ, khi đó đường biên của nó là đồ thị  Lr ;0),(  trong tọa độ cực, với 12  pL  , diện tích RA được tính bởi:      L oo r p p oR ddrrrcA 0 )( 0 1 ...   18                  L p p L r p p o L o r p o drc dr p pc ddrrc 0 1 2 2 0 )( 0 1 2 0 )( 0 1 1 )( 2 1. ..      Ở đó 2 )1( 2   p pcc . Xem đường tròn (C) có bán kính avgr với avgr là giá trị trung bình của hàm  Lr ;0),(  . Chu vi của (C) là    L LL avgavgC drdrdrLrP 0 0 2 0 )()(  R L Pdrr   0 2 . 2 )()(  , suy ra chu vi của (C) nhỏ hơn chu vi của R Diện tích của (C) là     L p p avgC drcA 0 1 2 2 )(  . Nếu cho 0 1 2)( 1 2 2     p pxcxg p p (do 0,2 2  cp ), suy ra g(x) lõm ngặt (do x<0). Khi đó ta có    L L RavgC AdrgdrgA 0 0 ))(()(  Hay diện tích của đường tròn (C) lớn hơn diện tích của miền R. Vậy với chu vi nhỏ nhất thì miền đẳng chu là đường tròn có tâm là gốc tọa độ bao quanh diện tích A.  Định lý sau là hệ quả trực tiếp của định lý 2.6 trong tài liệu[6] (Xem[6, tr.6]) Định lý 2.2.6(Xem[8, tr.7]) Cho mặt phẳng với hàm độ 0, pr p . Thì tồn tại miền đẳng chu. 19 Như vậy, trong mặt phẳng Euclid có f là hàm mật độ cầu không tăng thoả mãn )(xf khi x (do 0p ), thì tồn tại miền đẳng chu trên một thể tích V cho trước. Hệ quả 2.2.7(Xem[8, tr.7]) Trong mặt phẳng  với hàm mật độ 0, pr p cho trước diện tích A. Thì xác định được một miền đẳng chu R là một đường cong đóng dĩa lồi, chứa gốc tọa độ(như hình 2.1). Miền đẳng chu hoặc là một đường tròn bao quanh gốc tọa độ khi 0p , hoặc là tia đơn vị khi p . Hình 2.1 : Mặt phẳng với mật độ 0, pr p Định lý 2.2.8 (Xem[8, tr.8]) Trong mặt phẳng 2R với hàm mật độ xe . Nếu  là đường cong giới hạn một miền và có k là hằng. Thì  hoặc là đóng hoặc có độ dài theo mật độ không xác định. CHỨNG MINH Giả sử ngược lại, tức tồn tại một đường cong không đóng và có độ dài theo mật độ xác định bao miền D. Vì  có độ dài theo mật độ xác định nên 0 20  phải chứa một điểm P mà tại đó x lớn nhất. Tại điểm P vectơ tiếp xúc )0,1(n . Hơn nữa, k > 0 do đó 11  k dn dkk  Vì vậy tại mọi điểm 011    knkdn dkk bị chặn dưới bởi hằng số dương 1k (Điều này mâu thuẫn tính không đóng của  ).  Hệ quả 2.2.9 (Xem[8, tr.8]) Trong mặt phẳng 2R với hàm mật độ xe không tồn tại miền đẳng chu. CHỨNG MINH Mọi miền đẳng chu R phải có biên trơn với độ cong theo k là hằng. Theo định lí (2.2.8)  phải đóng . Tức R là một miền compact theo từng thành phần, điểu này mâu thuẫn với định lí (1.2.1) (đpcm).  Hệ quả 2.2.10 (Xem[8, tr.9]) Trong mặt phẳng 2R với mật độ xe thì cận dưới nhỏ nhất của chu vi bao quanh diện tích A cũng chính là A. CHỨNG MINH Dựng một hình chữ nhật mở trên R như H.2.2, đối xứng qua trục Ox. Chu vi và diện tích của miền R là )12(   beP aR aR beA  2 Cho diện tích A bất kì, a là một hàm số của b, AR = A, b thì 0,  aea và tỉ số 1 R R P A . Giả sử tồn tại một miền có chu vi nhỏ hơn hoặc bằng A. Xét tất cả các đường nằm ngang của mặt phẳng, để bao quanh độ dài đường nằm ngang thì lấy một điểm với mật độ pe bao độ dài pe phía bên trái. Diện tích của miền được tính bởi tích phân của độ dài đường nằm ngang pe và chu vi được tính 21 bởi tích phân của pe . Vì vậy biên không thể là đường thẳng đứng, chu vi lớn hơn diện tích A. Hình 2.2: Mặt phẳng với mật độ xe 2.3. Mặt phẳng với mật độ 22 yxe  , gọi là  - phẳng. Định nghĩa 2.3.1 22 :)],[(),( : 2 yxeyxfyx RRf      Nhận xét 2.3.2 Mật độ 22 yxe  là hằng trên mỗi hyperbol )(22 constcyx  nghĩa là trên mỗi điểm của hyperbol đều có cùng mật độ Định lý 2.3.3 (Xem[8, tr.10]) Cho là một đường trắc địa trong  và một điểm p nằm trên  không thuộc trục Ox hoặc trục Oy,  không tiếp xúc với đường thẳng đứng (xem hình 2.5). Do đó tiếp tuyến l của  tại đểm p không thẳng đứng, đường thẳng y x (-a,b) (-a,-b) Density=ex Mật độ 22 yxe  được định nghĩa như sau 22 l giao với trục Oy tại điểm p. Chọn hướng dương đi từ p đến p . Lúc đó  mang hướng dương, hội tụ về một đường thẳng song song với trục Ox. CHỨNG MINH Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng điểm p nằm ở góc phần tư thứ nhất(Hình 2.5), do các góc phần tư là đối xứng. Gọi  tham số hóa của độ dài cung. Giả sử     pyx  )0(),0(0 và .0)0( x Xét hai trường hợp: 1) 0)0( y Giả sử 0)( ty với t > 0, là đường thẳng đứng hay đường nằm ngang tại đểm t0 > 0 nào đó. Cần chứng minh 0)(  tx và 0)(  ty với t > 0  Nếu  là đường nằm ngang tại điểm t0 >0 thì vectơ tiếp xúc n là đường thẳng đứng, theo phương trình đường trắc địa: 0)(  kn )(  k phải nằm ngang. Mà k là bội của n, vì vậy k thẳng đứng. Do )( k nằm ngang nên k phải giản ước thành phần thẳng đứng của  . Trong góc phần tư thứ nhất ta có )2,2( yx  , trong đó thành phần y dương, vì vậy để giản ước thì k phải hướng thẳng đứng xuống dưới. Do đó 0)(  ty với t > 0. ._.