Ma trận, Định thức và môđun trên vành giao hoán có đơn vị có ước của không

c: TS. TRẦN HUYÊN Tp, Hồ Chí Minh, tháng 10/2011 0BLỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh về sự tận tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học vừa qua. Đặc biệt, tôi xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Huyên, người thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này. Cuối cùng tôi xin cảm ơn đến các bạn, những học viên cao học khóa 19, đã cùng tôi đồng hành và giúp đỡ tôi trong thời gian qua. Hồ Chí Minh, ngày 19 tháng 9 năm 2011 Lê Thị Thu Huyền 1BMỤC LỤC 0TLỜI CẢM ƠN0T .......................................................................................................................... 3 0TMỤC LỤC0T ................................................................................................................................ 4 0TMỞ ĐẦU0T .................................................................................................................................. 7 0TCHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị0T ............................................................................................ 8 0T1.1.Các kiến thức cơ bản về vành0T .................................................................................................................. 8 0T1.1.1.Vành giao hoán có đơn vị:0T ............................................................................................................... 8 0T1.1.2.Ideal của vành giao hoán R:0T ............................................................................................................. 8 0T1.1.3.Ideal sinh bởi tập X0T .......................................................................................................................... 8 0T1.2.Ước của 0 và miền nguyên0T ...................................................................................................................... 8 0T1.2.1.Ước của 0 trong vành giao hoán có đơn vị:0T ...................................................................................... 8 0T1.2.2.Miền nguyên:0T ................................................................................................................................... 8 0T rong miền nguyên có luật giản ước cho các phần tử khác 0. Thật vậy:0T ............................. 9 0T1.3.Linh tử hóa:0T ............................................................................................................................................. 9 0T1.4.Module:0T ................................................................................................................................................... 9 0T1.4.1.Module:0T ........................................................................................................................................... 9 0T1.4.2.Module con0T ...................................................................................................................................... 9 0T1.4.3.Ví dụ :0T ............................................................................................................................................ 10 0T1.5.Module tự do0T ......................................................................................................................................... 10 0T1.5.1.Định nghĩa:0T .................................................................................................................................... 10 0T1.5.2.Ví dụ:0T............................................................................................................................................. 10 0T1.5.3.Một vài định lí:0T .............................................................................................................................. 10 0TCHƯƠNG 2: MA TRẬN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ, CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG0T ...................................................................................................................................12 0T2.1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN0T ................................................................................................................ 12 0T2.1.1. Định nghĩa MA TRẬN:0T ................................................................................................................ 12 0T2.1.2. Một số ma trận dạng đặc biệt :0T ...................................................................................................... 12 0T2.1.3. Các phép toán trên ma trận0T ............................................................................................................ 13 0T2.1.4. Một số tính chất khác của các phép toán trên ma trận:0T ................................................................... 14 0T2.1.5. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận0T .......................................................................................... 14 0T2.1.6.Ma trận bậc thang0T .......................................................................................................................... 15 0T2.2. ĐỊNH THỨC0T ....................................................................................................................................... 16 0T2.2.1. Định nghĩa 2.2.1:0T .......................................................................................................................... 16 0T2.2.2. Các tính chất cơ bản của định thức:0T ............................................................................................... 17 0T2.2.3. Ma trận con và định thức con:0T ....................................................................................................... 17 0T2.2.4. Một số định lý khai triển định thức:0T............................................................................................... 18 0T2.2.5. Ma trận khả nghịch0T ....................................................................................................................... 19 0T2.3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MA TRẬN0T .............................................................................................. 21 0TĐịnh nghĩa 2.3.1 (Định nghĩa 1):0T ............................................................................................................ 21 0TĐịnh nghĩa 2.3.2:0T .................................................................................................................................... 22 0THệ quả 2.3.2:0T .......................................................................................................................................... 23 0TĐịnh nghĩa 2.3.3. (Định nghĩa 2):0T ........................................................................................................... 24 0T ính chất 2.3.3:0T....................................................................................................................................... 24 0T2.4. Hệ phương trình tuyến tính0T ................................................................................................................... 29 0TĐịnh lí 2.4.1:0T .......................................................................................................................................... 29 0THệ quả 2.4.1:0T .......................................................................................................................................... 31 0TĐịnh lí 2.4.2:0T .......................................................................................................................................... 32 0TĐịnh lí 2.4.3:0T .......................................................................................................................................... 33 0TVí dụ 2.4.3:0T............................................................................................................................................. 33 0TĐịnh lí 2.4.4:0T .......................................................................................................................................... 34 0THệ quả 2.4.4:0T .......................................................................................................................................... 36 0TCHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG TRONG LÍ THUYẾT MODULE0T .............................................37 0T3.1. HẠNG CỦA HỆ HỮU HẠN PHẦN TỬ TRÊN MODULE TỰ DO0T ..................................................... 37 0TĐịnh nghĩa 3.1.1:0T .................................................................................................................................... 37 0TĐịnh lí 3.1.1:0T .......................................................................................................................................... 37 0TĐịnh lí 3.1.2:0T .......................................................................................................................................... 37 0TVí dụ 3.1.2:0T............................................................................................................................................. 38 0TBổ đề 3.1.2:0T ............................................................................................................................................ 38 0TĐịnh lý 3.1.3.0T .......................................................................................................................................... 39 0THệ quả 3.1.3:0T .......................................................................................................................................... 39 0THệ quả 3.1.3:0T .......................................................................................................................................... 41 0T3.2. HẠNG CỦA MODULE TỰ DO0T .......................................................................................................... 41 0TĐịnh lí 3.2.1:0T .......................................................................................................................................... 41 0TĐịnh nghĩa 3.2.1 (Hạng của module tự do)0T.............................................................................................. 42 0TĐịnh lí 3.2.2.0T........................................................................................................................................... 43 0TVí dụ 3.3.2:0T............................................................................................................................................. 45 0TKẾT LUẬN0T .............................................................................................................................46 0T ÀI LIỆU THAM KHẢO0T ......................................................................................................47 2BMỞ ĐẦU Đại số tuyến tính nói chung và lí thuyết ma trận nói riêng được xây dựng trên trường số thực. Trường là cấu trúc đại số trọn vẹn nhất nên việc xây dựng ma trận trên đó có nhiều kết quả đa dạng và phong phú. Những kết quả này, chúng ta đã được học trong chương trình đại số tuyến tính năm nhất đại học. Tuy nhiên nếu thay trường bẳng một cấu trúc đại số khác, mà cụ thể ở đây là trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không thì các kết quả đã biết có còn đúng, hay được thay đổi và biến dạng như thế nào? Những kết quả nào vẫn giữ nguyên, tính chất nào không còn bảo toàn và vì sao? Những biến đổi đó có ảnh hưởng và liên hệ như thế nào trong lí thuyết môđun trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không. Vấn đề đặt ra giúp ta nhìn lại những kết quả đã biết trong một hướng gợi mở mới mẻ, qua đó tìm hiểu những tính chất khác biệt của ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không. Bố cục luận văn được chia thành ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Ma trân trân và định thức trên vành giao hoán có đơn vị Chương 3: Ứng dụng trong lí thuyết môđun Tuy đã có nhiều cô gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót, mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn. 3BCHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị 9B1.1.Các kiến thức cơ bản về vành 20B1.1.1.Vành giao hoán có đơn vị:  Một vành R gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó là giao hoán, tức Rb,a ∈∀ , ta có baab = .  Một vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, kí hiệu là 1, tức là Rb,a ∈∀ , ta có aa.11.a == . 21B .1.2.Ideal của vành giao hoán R: Một ideal của vành giao hoán R là một vành con A của R có tính chất hấp thụ đối với phép nhân bên trái và bên phải. Tức là: Aa.r,Ar.a ∈∈ với Aa,Rr ∈∀∈∀ . 2B1.1.3.Ideal sinh bởi tập X Cho X là tập con bất kì của vành R. Giao của tất cả các ideal của R chứa X được gọi là ideal sinh bởi tập X. Đó chính là ideal nhỏ nhất chứa X trong R. 10B .2.Ước của 0 và miền nguyên 23B1.2.1.Ước của 0 trong vành giao hoán có đơn vị: Cho R là vành giao hoán có đơn vị, phần tử 0a ≠ của R được gọi là ước của 0 nếu tồn tại phần tử 0b ≠ của R sao cho 0ab = . Khi đó ta nói R là vành có ước của 0. Ví dụ: Vành       ∈      = Rb,a, b0 0a M2 là vành giao hoán có đơn vị và có ước của 0, vì trong 2M có ma trận khác 0 là             70 00 , 00 07 và       =            00 00 70 00 00 07 . 24B1.2.2.Miền nguyên: Một vành giao hoán có đơn vị 1 ( )01≠ và không có ước của 0 được gọi là miền nguyên. 4BTrong miền nguyên có luật giản ước cho các phần tử khác 0. Thật vậy: ( ) cb0cb0cbabcac:0a,Rc,b,a =⇒=−⇒=−⇒=≠∈∀ . 1B .3.Linh tử hóa: Cho M là R module.  Với ( ) { }0xmRxmAnn,Mm R =∈=∈ gọi là linh tử hóa của phần tử m trong R.  ( ) { }Mm,0xmRxMAnnR ∈∀=∈= gọi là linh tử hóa của M. Nhận xét: o ( ) ( )MAnn,mAnn RR là các ideal của R. o ( ) ( ){ }Mm,mAnnMAnn RR ∈∀∩= . o Với { }0\Mm∈ , ( )mAnnH R∪= là tập tất cả ước của 0 của M. o Nếu BA ⊂ thì ( ) ( )AAnnBAnn RR ⊂ với A, B là R- module 12B .4.Module: 25B1.4.1.Module: Gỉa sử R là một vành giao hoán có đơn vị 1. Một module trên R là một nhóm abel M (viết theo lối cộng) cùng với một ánh xạ ( ) axx,a MMR a →× thường gọi là phép nhân vô hướng trong R, thỏa mãn các điều kiện sau đây: ( ) ( ) ( ) ( ) xx1)4 bxaxab)3 bxaxxba)2 ayaxyxa)1 = = +=+ +=+ với My,x,Rb,a ∈∈ 26B1.4.2.Module con Cho R-module M và tập con khác rỗng N,MN ⊂ được gọi là module con của M nếu .Nrx,Nyx:Rr,Ny,x ∈∈+∈∀∈∀ Mỗi R-module M bất kì có hai module con tầm thường là M và module 0. 27B1.4.3.Ví dụ : 1) Mỗi nhóm abel là một module trên vành Z. 2) Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một module trên một vành bất kì, được gọi là module 0. 3) Mỗi không gian vectơ trên một trường K là một module trên K và ngược lại. 4) Module con của Z-module M chính là nhóm con của nhóm abel M (đối với cộng) 5) Nếu A là một ideal của vành R và M là một R-module thì { }Nn,Mx,Aaxa...xaAM iinn11 ∈∈∈++= là R-module con của M. 13B .5.Module tự do 28B1.5.1.Định nghĩa: Giả sử M là một R-module  Tập con khác rỗng S của M được gọi là cơ sở của M nếu mỗi phần tử của M đều có thể biểu thị tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S. Nói cách khác, phần tử 0 của M có cách biểu diễn duy nhất. Tức là: Nếu với Rr....,,r,r n21 ∈ và Ss....,,s,s n21 ∈ thỏa nn2211 sr....srsr0 +++= thì 0r....rr n21 ==== .  Module M được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở, hoặc nó là module 0. 29B1.5.2.Ví dụ: Trên tập ( ){ }n,1i,Rxx...,,x,xR in21n =∈= với hai phép toán sau: ( )n21 x...,,x,x + ( )n21 y...,,y,y = ( )nn2211 yx...,,yx,yx +++ ( ) ( )n21n21 rx,...,rx,rxx...,,x,xr = trong đó r, ii y,x thuộc R. Khi đó nR là R-module tự do có cơ sở ( ) ( ) ( )1...,,0,0e,0....,0,1,0e,0...,,0,1e n21 === . 30B1.5.3.Một vài định lí: Định lí 1: Nếu họ ( ) IiiM ∈ là các R module tự do thì iIi MM ∈⊕= cũng là R module tự do. Định lí 2: R-module M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với tổng trự tiếp của họ nào đó các bản sao của vành hệ tử R. 5BCHƯƠNG 2: MA TRẬN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ, CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG 14B2.1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN Xét R là vành giao hoán có đơn vị 31B2.1.1. Định nghĩa MA TRẬN: Cho m, n là hai số nguyên dương. Ma trận A cấp nm× trên R là một hệ gồm nm× hệ tử a RijR thuộc R với m,1j,n,1i == và được sắp xếp thành hình chữ nhật gồm m dòng và n cột .             = mn2m1m n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa A Trong đó aRijR là một phần tử ở dòng thứ i và cột thứ j hay ở vị trí ( )j,i của ma trận A. Tập hợp tất cả ma trận cấp nm× trên R kí hiệu ( )R,nmM × . 32B .1.2. Một số ma trận dạng đặc biệt : 1) Ma trận không : Ma trận A cấp nm× trên R được gọi là ma trận không nếu tất cả các phần tử của A đều bằng 0. Kí hiệu: ( ) nm0 × . 2) Ma trận vuông : Ma trận A cấp nm× trên R được gọi là ma trận vuông nếu nm = Khi đó ma trận A được gọi là ma trận vuông cấp n trên R. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R kí hiệu là M(n,R). 3) Ma trận tam giác: Cho ma trận A cấp n trên R. Ma trận A được gọi là ma trận tam giác trên (dưới) nếu aRijR =0 với mọi ( )jiji . 4) Ma trận đường chéo: Ma trận A cấp nm× trên R được gọi là ma trận đường chéo nếu a RijR =0 với mọi ji ≠ . 5) Ma trận đơn vị : Ma trận vuông A cấp n trên R được gọi là ma trận đơn vị nếu tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 và các phần tử còn lại đều bằng 0. Ma trận đơn vị cấp n trên R kí hiệu là IRnR .  Tính chất: Cho A∈M(n,R), ( )R,nmMB ×∈ , IRnR là ma trận đơn vị cấp n trên R. Ta có BI.B,AA.II.A nnn === . 6) Hai ma trận bằng nhau :Cho ( ) ( )ijij bB,aA == là hai ma trận cấp nm× trên R. Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu các phần tử ở cùng vị trí tương ứng bằng nhau. Kí hiệu ABhayBA == . 3B2.1.3. Các phép toán trên ma trận 1) Phép cộng hai ma trận : Cho hai ma trận ( )ijaA = và ( )ijbB = có cùng cấp nm× trên R. Định nghĩa: Tổng của hai ma trận A và B là ma trận ( )ijcC = cấp nm× với ijijij bac += . Kí hiệu: BAC += Tính chất:  ( ) ( )CBACBA ++=++  ABBA +=+  ( ) ( ) A00A nmnm +=+ ××  ( ) nm0AA ×=− 2) Phép nhân hệ tử với ma trận : Cho ma trận ( )ijaA = cấp nm× và hệ tử k, l trên R . Định nghĩa: Tích của k và A là ma trận ( )ijbB = cấp nm× với ijij a.kb = . Tính chất:  ( ) kBkABAk +=+  ( ) lAkAAlk +=+  ( ) ( )lAkAkl =  AA.1 = 3) Phép nhân hai ma trận : Cho hai ma trận ( )ijaA = cấp nm× và ( )ijbB = cấp pn× trên R. Tích của ma trận A và B là ma trận ( )ijcC = cấp pm× với nkink22ik11iij b.a...b.ab.ac +++= Kí hiệu: B.AC = . 4) Phép chuyển vị : Cho ma trận ( )ijaA = cấp nm× trên R. Định nghĩa: Ma trận chuyển vị của A là ma trận ( )jiaB = cấp nm× . Kí hiệu: tAB = Tính chất: Cho A, B cấp nm× , C cấp pn× trên R và hệ tử k trên R.  ( ) ttt BABA +=+  ( ) AA tt =  ( ) ttt A.CAC =  ( ) tt A.kkA = 34B2.1.4. Một số tính chất khác của các phép toán trên ma trận:  Tính chất phân phối: Cho các ma trận A, B cấp nm× , C cấp pn× , D cấp mp× trên R. Ta có: ( ) ( ) DBDABAD,BCACCBA +=++=+  Tính chất kết hợp: Cho ma trận A cấp nm× , B cấp pn× , C cấp qp× trên R. Ta có: ( ) ( )BCACAB = 35B2.1.5. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Cho ma trận ( )ijaA = cấp nm× trên R. Gọi ( )m,1idi = là dòng thứ i của ma trận A. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận A : 1) Đổi chỗ hai dòng i, ( )li,m,1il ≠= của ma trận A.                 ↔                 ............... a......aa ............... a......aa ............... dd . ............... a......aa ............... a......aa ............... in2i1i ln2l1l ki ln2l1l in2i1i 2) Nhân vào dòng thứ i ( m,1i = ) của A với một hệ tử k khác không của R             →             ............ ............ ka...kaka ............ kdd . ............ ............ a...aa ............ in2i1iiiin2i1i 3) Cộng vào dòng thứ i của A với tích của hệ tử k trên R với dòng thứ 1 )ji,m,1j,i( ≠= .                 +++ +→                 ............... kaa......kaakaa ............... a......aa ............... kddd . ............... a......aa ............... a......aa ............... lnin2l2i1l1i ln2l1l lii ln2l1l in2i1i Tương tự trong các phép biến đổi sơ cấp trên, nếu ta thay “dòng “ bằng “cột “ thì ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng và các phép biến đổi sơ cấp trên cột gọi chung là các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận giúp ta chuyển được ma trận tới dạng như mong muốn. Một trong những dạng ma trận mà ta thu được sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp là ma trận bậc thang. 36B2.1.6.Ma trận bậc thang 1) Định nghĩa 2.1.6: Cho ( )ijaA = là ma trận cấp nm× trên R. A được gọi là ma trận bậc thang theo dòng nếu có một số nguyên r { }( )n,mmin,1r = và một dãy các chỉ số cột nj...jj1 r21 ≤<<<≤ , sao cho các phần tử của A thỏa mãn : a) 0a ij = nếu mir ≤< hoặc ( ri1 ≤≤ và iji1 ≤≤ ) b) 0a....,,a,a r21 rjj2j1 ≠ . Tương tự ta cũng có ma trận bậc thang theo cột. Ma trận bậc thang theo dòng và ma trận bậc thang theo cột gọi chung là ma trận bậc thang. 2) Định lí 2.1.6: Cho A là ma trận khác không cấp nm× ( 2n,m ≥ ) trên miền nguyên R. Qua một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta luôn đưa được A về dạng ma trận bậc thang dòng. 3) Hệ quả 2.1.6: Mọi ma trận vuông khác không cấp n ( 2n ≥ ) trên miền nguyên R đều có thể đưa về dạng ma trận tam giác trên (dưới) nhờ một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột). 15B2.2. ĐỊNH THỨC Trước hết, ta nhắc lại khái niệm phép thế Cho tập hợp { }n,...,2,1S = (n>0). Mỗi song ánh SS: →σ được gọi là phép thế bậc n. Tập hợp tất cả các phép thế bậc n được kí hiệu SRnR.  Với 1n = : SR1 R có một phần tử nên ta có ánh xạ RS:sign 1 → đồng nhất biến 11S → .  Với nS:2n ∈σ∀= ta xét ánh xạ RS:sign n → biến ∏ ≠ − σ−σ →σ ji ji )j()i( với n,1j,i =  Với 1n ≥ , ta có { }1,1sign −∈ . Nếu 1sign = thìσ được gọi là phép thế chẵn, 1sign −= thì σ được gọi là phép thế lẻ. 37B2.2.1. Định nghĩa 2.2.1: Cho ( )ijaA = là ma trận vuông cấp n trên R. Định thức của ma trận A trên R được cho bởi công thức ( )nna... nS 22 a11a.sign σ∑∈σ σσ σ             và kí hiệu là detA hay A Ta có nn2n1n n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa A = 38B2.2.2. Các tính chất cơ bản của định thức: Các tính chất của định thức trên trường mà việc chứng minh chúng không phụ thuộc vào tính riêng biệt của trường (mọi phần tử khác không đều khả nghịch) vẫn hoàn toàn đúng cho định thức trên vành giao hoán có đơn vị. 1) Cho ma trận vuông A cấp n trên R và APtP là ma trận chuyển vị của ma trận A. Khi đó tAdetAdet = . 2) Nếu ma trận vuông A cấp n trên R có ít nhất một dòng không thì thì detA=0. 3) Nếu đổi chỗ hai dòng bất kì của một ma trận vuông thì định thức của nó đổi dấu. 4) Nếu ma trận vuông A có hai dòng bằng nhau thì detA=0 5) Cho ma trận vuông ( )ijaA = cấp n trên R. Nếu nhân vào dòng thứ i của ma trận A với hệ tử k thuộc R ( 0k ≠ ) thì định thức của ma trận nhận được bằng định thức của A nhân với k, tức là Adet.k ............ ............ ka...kaka ............ in2i1i = Nếu nhân k vào ma trận vuông A cấp n thì ta có ( ) ( )AdetkA.kdet n= Nếu ma trận vuông A có một dòng bằng bội Rk∈ của một dòng khác thì det A=0. 6) Nếu cộng vào một dòng nào đó của ma trận vuông A một bội Rk∈ của một dòng khác thì định thức của nó không đổi. Cho ma trận vuông ( )ijaA = cấp n trên R và giả sử dòng thứ i ( n,1i = ) của A có tính chất Rc,b,n,1j,cba ijijijijij ∈=+= . Khi đó, ta có: ............ ............ c...cc ............ ............ ............ b...bb ............ ............ ............ cb...cbcb ............ Adet in2i1iin2i1iinin2i2i1i1i += +++ = 39B2.2.3. Ma trận con và định thức con: Cho ( )ijaA = là ma trận vuông cấp n ( 1n ≥ ) trên R, ta đặt AdetD = và ( )n,1kk = là số nguyên dương. Trong ma trận A ta chọn ra k dòng iR1R, iR2R,…..iRkR ( )ni...ii1 k21 ≤<<<≤ và k cột cột j R1R, jR2R,….,jRkR ( )nj...jj1 k21 ≤<<<≤ nào đó. Khi đó những phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột đã nói ở trên theo thứ tự đó lập thành ma trận vuông cấp k, ma trận đó được gọi là ma trận vuông con cấp k của A và được kí hiệu là k21k21 j...jji..ii M Ta có k21k21 j...jji..ii M               = kk2k1k n22212 k12111 jijiji jijiji jijiji a...aa ............ a...aa a...aa Định thức của ma trận con k21 i....ii M được gọi là định thức con cấp k của ma trận A và kí hiệu là k21 i....ii D Khi xóa đi k dòng, k cột ở trên của A ta cũng thu được ma trận vuông con cấp ( )kn − của A và kí hiệu )j...jji..ii( k21k21N . Định thức của ma trận con )j...jji..ii( k21k21N kí hiệu là )j...jji..ii( k21k21D . Phần bù đại số của định thức con k21k21 j...jji..ii D được kí hiệu là k21k21 j...jji..ii A và cho bởi công thức ( )( ) )j...jji...ii(j...jji..iij...jji..ii k21k21k21k21k21k21 D.1A +++++++−= . 40B2.2.4. Một số định lý khai triển định thức: Định lý 2.2.4.1: Cho ( )ijaA = là ma trận vuông cấp n ( )2n ≥ trên R, ijA là bù đại số của n,1j,i,a ij = . Khi đó ta có: 1) ∑ = = n 1i ijijAaAdet (Công thức khai triển định thức tho cột thứ j) 2) ∑ = = n 1j ijijAaAdet (Công thức khai triển định thức theo dòng thứ i ) Hệ quả 2.2.4.1: Cho ( )ijaA = là ma trận vuông cấp n ( )2n ≥ trên R. Nếu tồn tại hai chỉ số n,1j,i = sao cho 0a ik ≠ với jk = và 0a ik = với jk ≠ thì ikik A.aAdet = . Hệ quả 2.2.4.2: Cho ( )ijaA = là ma trận tam giác trên (dưới ) vuông cấp n ( )2n ≥ trên R. Khi đó det A bằng tích những phần tử nằm trên đường chéo chính của A. Định lí 2.2.4.2: (Định lí Laplace) Cho ( )ijaA = là ma trận vuông cấp n ( )2n ≥ trên R và trong ma trận A ta chọn ra tùy ý k dòng (hay k cột) ( )nk2 ≤≤ ( )k21k21 j...,,j,jhayi,...,,i,i . Khi đó ta có ∑= kk ADAdet , trong đó DRkR chạy khắp tất cả các định thức cấp k của A trên k dòng (hay k cột ) đã chọn, ARkR là phần bù đại số của DRkR. Từ định lí trên ta có hệ quả sau : Hệ quả 2.2.4.3: Với mỗi ma trận vuông ( )ijaA = cấp n trên R, ta có: 1) ( ) ( ) ( )n,1j,i ikkhi0 ikkhiAdet AdetAa ik n 1j kjij =∀    ≠ = =δ=∑ = 2) ( ) ( ) ( )n,1k,j jkkhi0 jkkhiAdet AdetAa jk n 1i ikij =∀    ≠ = =δ=∑ = Định lý 2.2.4.3: Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n trên R. Khi đó ( ) Bdet.AdetABdet = . 41B2.2.5. Ma trận khả nghịch Cho A là ma trận vuông cấp n trên R. Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông cấp n trên R sao cho nIBAAB == . Khi đó ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu là 1AB −= . Ma trận B (nếu có) là duy nhất, thật vậy giả sử tồn tại ma trận C cấp n trên R sao cho nICAAC == ,ta có ( ) ( ) CCICBAACBBIB nn ===== . Tập hợp tất cả các ma trận khả nghịch cấp n trên R, được kí hiệu là GL(n,R). Tính chất của ma trận khả nghịch: 1) Ma trận đơn vị IRnR là ma trận khả nghịch 2) Nếu A,B là hai ma trận vuông cấp n khả nghịch thì AB cũng là ma trận vuông cấp n khả nghịch và ( ) 111 ABAB −−− = . 3) Nếu A là ma trận vuông cấp n khả nghịch thì t1 A,A− cũng là ma trận vuông cấp n khả nghịch và ( ) ( ) ( )t11t11 AA,AA −−−− == . Định lý 2.2.5: Cho ( )ijaA = là ma trận vuông cấp n trên R. Gọi ( )ijbB = sao cho ( ) ( )jijiij Adet1b +−= với jiA là ma trận nhận được khi xóa đi dòng j cột i của ma trận A. Khi đó ta có 1) ( ) .I.AdetBAAB n== 2) Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khả nghịch Chứng minh 1) Đặt ( ) ( )R,nMcAB ik ∈= . Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )knnkin2k2k2i1k1k1i nkink22ik11iik Adet1a...Adet1aAdet1a ba...babac +++ −++−+−= +++= Nếu ki = thì ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AdetAdet1a...Adet1aAdet1a Adet1a...Adet1aAdet1ac in ni in2i 2i 2i1i 1i 1i kn nk in2k 2k 2i1k 1k 1iik =−++−+−= −++−+−= +++ +++ Nếu ki ≠ thì ta thay dòng thứ k trong ma trận A bằng dòng thứ i, ta nhận được ma trận 'A . Trong ma trận 'A nếu ta bỏ đi dòng k cột j thì ta nhận được ma trận bằng với ma trận thu được từ A bằng cách bỏ đi dòng k cột j, nghĩa là kjkj A'A = .Thay vào biểu thức của ( )ikc ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0'Adet'Adet1a...'Adet1a'Adet1ac knnkin2k2k2i1k1k1iik ==−++−+−= +++ Từ đó, ta có: ( ) ( ) n,1k,i kikhi0 kikhiAdet cik =∀    ≠ = = Suy ra ( ) nI.AdetAB = Vậy ( ) .I.AdetBAAB n== Chứng minh 2) Gỉa sử A là ma trận khả nghịch. Khi đó tồn tại ma trận ( )R,nMB∈ sao cho ( ) .I.AdetBAAB n== Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1Adet.BdetBdet.AdetABdet === . Suy ra det A khả nghịch Nếu det A khả nghịch thì theo 1) ta có: ( ) ( )( )( ) ( )( ) n11n IABAdetBAdetAI.AdetBAAB ==⇒== −− Vậy ma trận A khả nghịch. Chú ý: Nếu 0Adet ≠ trong vành giao hoán có đơn vị R thì ta không thể kết luận ma trận A khả nghịch Ví dụ 2.2.5: Cho ( )Ζ∈      = ,2M 32 12 A . Ta thấy 04Adet ≠= nhưng 4 không khả nghịch trong Z nên A không khả nghịch trong ( )Ζ,2M . 16B2.3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MA TRẬN Tương tự hạng của ma trận trên trường, ta có một số định nghĩa về hạng của ma trận trên vành R như sau: 42BĐịnh nghĩa 2.3.1 (Định nghĩa 1): Cho ma trận A cấp nm× trên R. Cấp cực đại của những định thức con khác không của A được gọi là hạng của nó và kí kiệu ( )Ark . Ví dụ 2.3.1: Xét trên vành 6Z , ma trận           = 033 141 252 A . Ta có ( ) 03Adet ≠= nên theo định nghĩa 1, ( ) 3Ark = . Dựa trên ý tưởng trong lí thuyết trường, A là ma trận cấp 3 có ( ) 3Ark = nên A là ma trận khả nghịch, suy ra detA khả nghịch. Nhưng điều này vô lí vì 3 không là phần tử khả nghịch trong 6Z . Vậy, định nghĩa 1 không cho ta kết quả tương tự như trên trường._.