Lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt P-ADIC

ọc tập và làm luận văn, lịng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn đối với quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, TS Trần Huyên, quý thầy đã trực tiếp giảng dạy, trang bị cho tơi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình học tập, nghiên cứu. Tơi vơ cùng cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý Thầy Cơ khoa Tốn – Tin, quý Thầy Cơ phịng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi được học tập và hồn thành luận văn. Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt quá trình học tập và hồn thành luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2007 Nguyễn Ngọc Huy 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giải tích p-adic là chuyên ngành mới của Tốn học đang phát triển và cĩ nhiều ứng dụng, đặc biệt, trong Lý thuyết số hiện đại. Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình p-adic một biến đã được nghiên cứu bởi các tác giả như Hà Huy Khối, Mỵ Vinh Quang, Butabaa … Năm 1988, trong [3], Hà Huy Khối và Mỵ Vinh Quang lần đầu tiên xây dựng được cơng thức Poisson – Jensen cho hàm chỉnh hình p-adic và lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt hàm phân hình. Sau đĩ, nhiều tác giả tiếp tục phát triển lý thuyết theo nhiều hướng khác nhau. Trong [4], Hà Huy Khối đã mở rộng vấn đề nghiên cứu cho các hàm chỉnh hình nhiều biến. Tuy nhiên, Hà Huy Khối chỉ nêu tĩm tắt các ý tưởng, kết quả dưới dạng hình học. Chính vì vậy chúng tơi chọn đề tài “Lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt p-adic” để tiếp tục nghiên cứu một cách đầy đủ, chi tiết hơn về độ cao của hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến và áp dụng nĩ để nghiên cứu lý thuyết phân phối giá trị cho siêu mặt p-adic. 2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng cơng thức đầy đủ và hồn chỉnh với các chứng minh đầy đủ, chi tiết cho độ cao của hàm Chỉnh hình p-adic và xây dựng được 2 định lí cơ bản cho Lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt p-adic. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Chúng tơi sẽ nghiên cứu độ cao của hàm Chỉnh hình p-adic một biến và nhiều biến, lý thuyết phân phối giá trị cho siêu mặt p-adic. 4. Cấu trúc luận văn Do những mục đích nĩi trên, tồn bộ luận văn bao gồm 3 chương. Chương 1: Những kiến thức cơ bản Trong chương đầu tiên này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản chẳng hạn như chuẩn trên một trường, chuẩn phi Archimede đầy đủ, xây dựng các trường số p-adic p p,_ ^ và một số tính chất cần thiết cho hai chương sau. Chương 2: Độ cao của hàm chỉnh hình p-adic 2 Trong chương này, chúng tơi nêu khái niệm hàm chỉnh hình p-adic, cũng như đưa ra khái niệm độ cao của hàm chỉnh hình p-adic. Đặc biệt, nêu lên một số tính chất lí thú về độ cao của hàm chỉnh hình p-adic mà sẽ được mở rộng lên cho hàm nhiều biến ở chương 3. Chương 3: Độ cao của hàm chỉnh hình nhiều biến và lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt Trong chương này, chúng tơi xây dựng cơng thức Poisson – Jensen p-adic cho hàm nhiều biến cũng như mở rộng lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt. Tuy đã cĩ nhiều cố gắng, nhưng do năng lực cĩ hạn nên luận văn này chắc chắn khơng tránh khỏi những thiếu xĩt, tơi rất mong được sự thơng cảm và gĩp ý sâu sắc của quý Thầy Cơ. 3 Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương đầu tiên này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản chẳng hạn như chuẩn trên một trường, chuẩn phi Archimede đầy đủ, xây dựng các trường số p-adic p p,_ ^ và một số tính chất cần thiết cho hai chương sau. Đa số các chứng minh trong chương này đều được bỏ qua và người đọc có thể dễ dàng tìm thấy chúng trong các tài liệu tham khảo. 1.1. Một số khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa Cho K là một trường. Chuẩn trên K là ánh xạ : K +→ \ thỏa mãn các điều kiện sau: C1: x 0 x 0 C2 : x.y x . y , x, y K C3: x y x y , x, y K = ⇔ = = ∀ ∈ + ≤ + ∀ ∈ Nếu e là đơn vị của K thì theo C2: ( )e ee e e e e 1 0 e 1= = ⇔ − = ⇔ = Cũng từ C2 suy ra 1 2 m 1 2 mx .x ...x x . x ... x= , đặc biệt mmx x= Ví dụ Ví dụ 1 Trường các số hữu tỉ _ với giá trị tuyệt đối thông thường thỏa mãn điều kiện của định nghĩa. Ví dụ 2 Giả sử K là một trường tùy ý. Ánh xạ 0 x 1 nếu x = 0 nếu x 0 ⎧= ⎨ ≠⎩ là một chuẩn trên K và được gọi là chuẩn tầm thường. 1.1.2. Mệnh đề Cho K là trường với chuẩn . Xét d : KxK +→ \ ( ) ( )x, y d x, y x y= −6 4 Khi đó d là mêtric trên K, nghĩa là d thoả: i. ( ) ( )d x, y 0; d x, y 0 x y≥ = ⇔ = ii. ( ) ( )d x, y d y, x x, y K= ∀ ∈ iii. ( ) ( ) ( )d x, y d x, z d z, y x, y, z K≤ + ∀ ∈ 1.1.3. Định nghĩa Dãy { }nx K⊂ được gọi là dãy Cauchy nếu ( )m nd x , x 0→ khi m,n →∞ Tức là 0 0 n m0, n : m, n n x x∀ε > ∃ ∈ ≥ ⇒ − < ε` 1.1.4. Định nghĩa Nếu chuẩn trên trường K thỏa mãn điều kiện C3/ mạnh hơn C3 là: C3/: { }x y max x , y+ ≤ thì nó được gọi là chuẩn phi Archimede. 1.1.5. Các ví dụ về chuẩn phi Archimede Ví dụ 1 Chuẩn tầm thường trên trường K là phi Archimede. Thật vậy, nếu x + y = 0 thì { }x y 0 max x , y+ = ≤ Nếu x y 0+ ≠ thì x 0≠ hoặc y 0≠ , do đó { }x y 1 max x , y+ = ≤ Ví dụ 2 Xét K là trường số hữu hạn có q phần tử với phần tử đơn vị là e. Nếu x = 0 thì x 0= Nếu x 0≠ , thì : q 1q 1 q 1 ex e x x 1 x 1−− − == ⇒ = = ⇒ = Vậy là tầm thường và do đó phi Archimede. Ví dụ 3 - Định nghĩa. Giả sử { }p 2,3,5,7,...∈ là một số nguyên tố nào đó. Với mỗi a ,a 0,∈ ≠] ta gọi ( )POrd a là số mũ của p trong sự phân tích a thành các thừa số nguyên tố. Nếu a = 0 thì ( )POrd a .= ∞ - Định nghĩa. Giả sử { }p 2,3,5,7,...∈ là một số nguyên tố nào đó. 5 Với ( )ax thì x ;a, b ,b 0, a, b 1. b ∈ = ∈ ≠ =_ ] Định nghĩa: ( ) ( ) ( )p p pOrd x Ord a Ord b= − - Trên trường _ , ta xét ánh xạ p : pOrd x p 1 x p 0 ⎧⎛ ⎞ ≠⎪⎜ ⎟= ⎨⎝ ⎠⎪ ≠⎩ nếu x 0 nếu x 0 thì p là một chuẩn phi Archimede. Ta dễ dàng kiểm tra ( )p p pOrd x log x= − 1.1.6. Định lý Cho là chuẩn trên trường K. Kí hiệu đơn vị của K là 1 và n∀ ∈` thì đồng nhất n 1 1 ... 1= + + + (n lần). Các mệnh đề sau là tương đương: i. là chuẩn phi Archimede. ii. 2 1≤ iii. n 1, n N≤ ∀ ∈ iv. Tập hợp { }0,1, 2,...=` bị chặn, nghĩa là tồn tại a∈\ sao cho n a, n≤ ∀ ∈` Chứng minh i. ii.⇒ { }2 1 1 max 1 ; 1 1= + ≤ = ii. iii.⇒ Với 0 0n , n 0; n th∈ > ∀ ∈` ` ì n được biểu diễn dưới dạng : s 0 1 0 s 0n a a n ... a n= + + + với i 0 s i0 a n ,a 0,a≤ < ≠ ∈] Độ dài s hồn tồn được xác định vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 s s 0 0 0 0 0 0 0 s s 0 0 0 0 0 0 s s 1 0 0 n n n n n 1 n 1 n ... n 1 n v n 1 n n 1 n 1 n 1 n ... n 1 n n n n s log n s 1 s log n+ ≤ ≤ − + − + + − ≤ − ⇒ ≤ < + − + − + + − ⎡ ⎤⇒ ≤ < ⇒ ≤ < + ⇒ = ⎣ ⎦ iì a Áp dụng kết quả trên với 0n 2= ta cĩ : s 0 1 sn :n a a 2 ... a 2∀ ∈ = + + +` với [ ]i s i 20 a 1,a 1,a ,s log n≤ ≤ = ∈ =] ( )k s 1s s 1 * k2 n 2 k : n 2 ++⇒ ≤ < ⇒∀ ∈ <` Ta lại viết k t0 1 tn b b 2 ... b 2= + + + với ki t i 20 b 1,b 1,b , t log n⎡ ⎤≤ ≤ = ∈ = ⎣ ⎦] k t 0 1 tn b b 2 ... b 2⇒ ≤ + + + 6 ( )i1 1 ... 1 do b 1, 2 1≤ + + + ≤ ≤ t 1= + Do ( ) ( ) ( )k s 1 k s 1k k2 2n 2 t log n log 2 k s 1+ +⎡ ⎤< ⇒ = < = +⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )k *k k t 1 k s 1 n k s 1 n k. s 1 k ⇒ + ≤ + ⇒ ≤ + ⇒ ≤ + ∀ ∈` Cho k →∞ ta được n 1≤ iii. iv.⇒ Với mọi n : n 1∈ ≤` . Vậy tập các số tự nhiên` bị chặn. iv. i.⇒ x, y K∀ ∈ , ta cần chứng minh { }x y max x , y+ ≤ Đặt { }M max x , y= ( ) k kk i i k i i i k ik k i 0 i 0 k : x y C x y C x y− − = = ∀ ∈ + = ≤∑ ∑` ( )kk i k i k k k i 0 x y aM M k 1 aM x y k 1 aM− = ⇒ + ≤ = + ⇒ + ≤ +∑ Cho k →∞ ta được { }x y M max x , y+ ≤ = Định lí được chứng minh. □ 1.1.7. Mệnh đề (Nguyên lý tam giác cân) Cho là một chuẩn phi Archimede trên trường K. Nếu x y≠ thì { }x y max x , y+ = 1.1.8. Mệnh đề Cho là chuẩn phi Archimede trên trường K. Nếu dãy { } nnx x 0→∞⎯⎯⎯→ ≠ thì 0 0 nn , n n x x∃ ∈ ∀ > ⇒ =` . Nghĩa là, mọi dãy hội tụ về một phần tử khác không thì dãy các chuẩn tương ứng là dãy dừng. 1.1.9. Định lí Oxtropxki Mọi chuẩn không tầm thường trên _ đều tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường trên _ hoặc tương đương với chuẩn p (p là một số nguyên tố nào đó). Chứng minh 7 Ta xét 2 trường hợp: a. n : n 1∃ ∈ >` Gọi { }0n min n / n 1= ∈ >` *Vì 0n 1> nên ( )00 0 n 0n n log n 0α= α = > *k ,∀ ∈` ta viết số nk trong hệ đếm 0n : 0 k 2 s k 0 1 0 2 0 s o i i 0 s nn a a n a n ... a n a ,0 a n ;a 0,s log n⎡ ⎤= + + + + ∈ ≤ < ≠ = ⎣ ⎦] Khi đĩ: k s s 0 1 0 s 0 0 1 0 s 0n a a n ... a n a a n ... a n α α≤ + + + = + + + Do i 0a n i< ∀ nên ia 1≤ (theo cách chọn 0n ) k s s0 0 0 s 0 0 1 1n 1 n ... n n 1 ... n n α α α α α ⎛ ⎞⇒ ≤ + + + = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ Đặt: ( )s0 0 1 1c 1 ... ... n n α α = + + + + thì c là hằng số ( vì c là tổng của CSN lùi vơ hạn) Khi đĩ: ( )k s k k s0 s 0n n .c c.n do a 0 nên n nα α≤ ≤ ≠ ≥ kn c.nα⇒ ≤ Cho ( )k thì n n 1α→∞ ≤ *Ta cĩ: s k s 10 0n n n +≤ < s 1 k s 1 k k s 1 k k s 1 s 1 k0 0 0 0 0n n n n n n n n n n n + + + + += + − ≤ + − ⇒ ≥ − − Theo phần trên ta đã cĩ: ( ) ( ) ( ) s 1s 1 0 0 0 0 s 1 k s 1 k o 0 n n n n n n n n n n n α +α + αα + + ⎧ = ⇒ =⎪⎨ ≤ ∀ ⇒ − ≤ −⎪⎩ Vì thế ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k s 1 s 1s 1 k s 1 s s k0 0 0 0 0 0n n n n n n n do n nα αα + α ++ +≥ − − ≥ − − ≤ ( )k s 10 0 1n n 1 1 n α α + ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⇒ ≥ − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ Đặt ( ) ( )k s 1 k k s 10 0 0 1c 1 1 thì: n n .c c.n do n n n α α + α +⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= − − ≥ > <⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ kn c.nα⇒ > Cho ( )k thì n n 2α→∞ ≥ Từ ( )( )1 2 n nα⇒ = Do đĩ: *m ;m ,n ta cĩ: m m m n α∀ ∈ ∈ ∈ − = =_ ] ` , mm mn n n n n α α= ⇒ = = 8 Vậy chuẩn đang xét tương đương với giá trị tuyệt đối thơng thường. b. Xét trường hợp n 1, n≤ ∀ ∈` Gọi p là số tự nhiên lớn hơn 0, bé nhất thỏa p 1< • Giả sử p khơng là số nguyên tố thì: 1 2 1 2p n .n ;n ,n p= < 1 2n n 1⇒ = = (do cách chọn p) 1 2p n n 1⇒ = = (vơ lý) Vậy p là số nguyên tố. • Ta sẽ chỉ ra rằng: q 1= với mỗi số nguyên tố q p≠ Giả sử q : q 1∃ ∈ <` (q: nguyên tố) Khi đĩ với số tự nhiên M, N đủ lớn: MM 1p p 2 = < , NN 1q q 2 = < Do ( )M Np ,q 1= nên cĩ thể tìm được 2 số m, n ∈` sao cho M Nmp nq 1+ = Khi đĩ: M N M N1 1 mp nq mp nq= = + ≤ + ( )M M M Mm p n q p q vì m 1, n 1 1 1 1 2 2 = + ≤ + ≤ ≤ < + = ( )1 1 vơ lý⇒ < Vậy: q 1= • mx : x p . n α∀ ∈ =_ với ( ) ( )m, p 1; n, p 1= = Do m, n đều phân tích được dưới dạng tích của các số nguyên tố khác p và chuẩn của các số nguyên tố đĩ bằng 1 nên m n 1.= = Đặt p 1= ρ < Ta cĩ: pord x m x n α α= ρ = ρ = ρ Vậy chuẩn tương đương với p Định lí được chứng minh.º 1.2. Các trường số p-adic 1.2.1. Xây dựng trường p_ 9 Từ định lí Oxtropxki, ta thấy một chuẩn không tầm thường trên _ tương đương chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường , hoặc chuẩn phi Archimede p . Mặc khác, ta biết rằng làm đầy đủ _ theo ta sẽ được trường số thực \ . Vậy làm đầy đủ _ theo p ta sẽ được trường mới mà ta gọi là trường số p-adic p_ . Cụ thể cách xây dựng như sau: - Kí hiệu S là tập hợp tất cả các dãy Cauchy các số hữu tỉ theo p . - Trên S xác định một quan hệ tương đương { } { } ( )n n n nnx ~ y lim x y 0→∞⇔ − = - Ta gọi p_ là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên và trang bị cho p_ hai phép toán cộng và nhân như sau: { } { } { }n n n nx y x y+ = + { } { } { }n n n nx y x .y• = Định nghĩa trên hồn tồn hợp lí vì : i. { } { }n n n nx y , x y+ là dãy Cauchy theo p : ( ) ( ) ( ) { }n 1 n 1 n n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 np pp px y x y x x y y max x x , y y 0+ + + + + ++ − + = − + − ≤ − − → n 1 n 1 n n n 1 n 1 n n 1 n n 1 n np p x y x y x y x y x y x y+ + + + + +− = − + − ( ) ( )n 1 n 1 n n n 1 n py x x x y y+ + += − + − { }n 1 n 1 n n n 1 np p p pmax y x x , x y y 0+ + +≤ − − → ii. { } { }n n n nx y , x y+ khơng phụ thuộc vào cách chọn đại diện : { } { } { } { } n n n n p n n n n p x x x x 0 y y y y 0 ′ ′⇔ − → ′ ′⇔ − → ∼ ∼ Ta cĩ : ( ) ( ) ( ) { }n n n n n n n n n n n np pp px y x y x x y y max x x , y y 0′ ′ ′ ′ ′ ′+ − + = − + − ≤ − − → ( ) ( )n n n n n n n n n n n n n n n n n np p px y x y x y x y x y x y y x x x y y′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− = − + − = − + − { }n n n n n np p p pmax y x x , x y y 0′ ′ ′≤ − − → - Rõ ràng ( )P , ,+ •_ là một trường. Thật vậy, i. ( )p ,+_ là nhĩm aben : Phần tử trung hịa của phép cộng là { }0 0= Phần tử đối của { }na a= là { }na a− = − Hiển nhiên phép cộng là giao hốn. 10 ii. ( )*p ,•_ là nhĩm aben : Phần tử đơn vị của phép nhân là { }1 1= Phần tử nghịch đảo của { }n0 a a≠ = Nếu na 0= ta cĩ thể thay na bởi nna p′ = , do đĩ ta cĩ thể chọn một đại diện của a là dãy Cauchy khơng cĩ phần tử bằng khơng. Khi đĩ n 1 1 a a ⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭ là phần tử nghịch đảo của a. Hiển nhiên phép nhân là giao hốn. - Trường _ có thể xem là trường con của p_ nhờ ánh xạ nhúng pj : →_ _ { }a a .6 - ∀ pα∈_ thì { }na ;α = np pnlim a→∞α = là chuẩn của α trên p_ . Thật vậy, i. Chuẩn p α luơn tồn tại Nếu 0α = thì n pa 0= , do đĩ p 0α = Nếu 0α ≠ thì M∃ ∈` sao cho n M∀ > thì np paα = 0≠ ii. Chuẩn p α khơng phụ thuộc vào phần tử đại diện Giả sử { }/na là đại diện khác của α , khi đĩ / / / / / / n n n n n n n n n n np pp p p p p / n np pn n a a a a a a a a a a a 0 lim a lim a→∞ →∞ = − + ≤ − + ⇒ − ≤ − → ⇒ = - Ta cĩ { }p p px / x 1= ∈ ≤] _ là một vành, được gọi là vành các số nguyên p-adic và { }p p pM x / x 1= ∈ <_ là ideal tối đại của p] . Hơn nữa, p pM p= ] , thật vậy: i. 1 pp p ppx p x p 1 px M −= ≤ < ⇒ ∈ p pp M⇒ ⊂] ii. p px M : x 1∀ ∈ < mà px pα= nên p 1 0 1α < ⇒ α < ⇒ α ≤ − 1 pp p x xx p 1 p p −⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ∈] Vậy p p p xx p p M p p = ∈ ⇒ ⊂] ] - Do đĩ p pp ] ] là một trường, gọi là trường thặng dư của p_ đối với p theo mod p. 11 1.2.2. Xây dựng trường p^ Làm đầy đủ _ theo p ta được trường p_ đầy đủ nhưng không đóng đại số. Kí hiệu bao đóng đại số của p_ là p_ . Chuẩn trên p_ được xây dựng như sau: - Với pα∈_ thì α là phần tử đại số trên p_ . Do đó tồn tại một đa thức ( )pIrr , , xα _ bất khả quy có các hệ số thuộc p_ , hệ số đầu tiên là 1 và nhận α làm nghiệm: ( ) n n 1p n 1 1 0Irr , , x x a x ... a x a−−α = + + + +_ - Định nghĩa n 0p paα = . Khi đó p là một chuẩn trên p_ và p p= trên p_ . - Trường p_ đóng đại số nhưng nó lại không đầy đủ theo p vừa xây dựng. Nếu tiếp tục làm đầy đủ p_ theo p thì ta sẽ được trường các số phức p – adic, kí hiệu: ^ ^ ^ p p= =^ _ _ . Để thuận tiện trong trình bày, ta dùng kí hiệu p thay vì p cho giá trị tuyệt đối trên p^ . - Tập các z trong p^ mà pz 1≤ làm thành một vành con đóng của p^ , kí hiệu là pO . - Tập các z mà p z 1< là ideal tối đại Ip trong pO , kí hiệu mp p pO / I=^ là mở rộng của p pp ] ] , gọi là trường các lớp thặng dự. Vì p^ đóng tại số ( theo mệnh đề 1.2.3.1 dưới đây) nên mp^ cũng vậy, đặc biệt mp^ không là trường hữu hạn. Lấy pw∈^ , kí hiệu lớp tương đương của nó trong mp^ là lw . - Ta dùng kí hiệu ( ) ( )p pv z log z= − là hàm mũ trên trường p^ , nó là mở rộng của hàm mũ ( )p p pOrd a log a= − trên trường p_ . Nếu z = 0 thì ta quy ước v ( )0 =∞ . Để thuận tiện cho việc trình bày, từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn, trong luận văn sẽ sử dụng p thaycho là chuẩn trên trường số phức p-adic p^ và cũng dùng kí hiệu log thay cho logp . 1.2.3. Một số tính chất của trường p^ Cũng như trường số phức ^ , trường p^ có các tính chất cơ bản sau: 1.2.3.1. Mệnh đề 1. p^ đầy đủ 12 2. p^ - đóng đại số Chứng minh 1. Hiển nhiên vì mp p=^ _ 2. Đầu tiên ta sẽ chứng minh bổ đề sau. 1.2.3.2. Bổ đề Lấy ( ) [ ]n n 1n 1 0 pg x x b x ... b x−−= + + + ∈_ . Khi đĩ nếu β là nghiệm của ( )g x thì { }i0 i n 1c max 1, b≤ ≤ −β ≤ = Chứng minh Giả sử β là nghiệm của ( )g x và ( )c *β > Ta cĩ: n n 1n 1 0b ... b 0−−β + β + + = 0n 1 n 1 bb ... 0− −⇒ β+ + + =β { } ( ) 0n 2 n 1 n 1 in i 1 n i 1i0 i n 1 0 i n 1 bbb ... bmax max b do 1 − − − − − − −≤ ≤ − ≤ ≤ − ⇒ β = − − − −β β ⎧ ⎫⇒ β ≤ ≤ β >⎨ ⎬β⎩ ⎭ c≤ (mâu thuẫn với (*)) Vậy cβ ≤ Bổ đề được chứng minh. □ Bây giờ ta chứng minh mệnh đề 1.2.3.1 Lấy ( ) [ ]n n 1n 1 0 pf x x a x ... a x−−= + + + ∈^ , ta sẽ chứng minh ( )f x cĩ nghiệm trong p^ . Với mỗi i 0,1,..., n 1= − ; lấy { }ij ja là dãy phần tử của p_ hội tụ về ai. Đặt ( ) n n 1j n 1, j 1, j 0, jg x x a x ... a x a−−= + + + + . Lấy ijr là nghiệm của ( ) ( )j pg x trong i 1,2,..., n=_ Ta cĩ: ( ) ( ) ( )nj 1 i, j 1 i 1 g x x r *+ + = = −∏ Với mọi j đặt { }nj ij ij i1 i nA max 1, a ,doa a khi j≤ ≤= → →∞ nên n nij ia a khi j→ →∞ và do đĩ 13 n ija bị chặn khi jj A→∞⇒ bị chặn khi j jj A : A A,→∞⇒∃ < ∀ . Theo bổ đề 1.2.3.2 ta được { }nij1 i nmax 1, r A≤ ≤ < . Bây giờ, với mỗi j ta xây dựng ji j j r , 1 i n≤ ≤ sao cho dãy { }ji jr là dãy Cauchy. ● 1i 1 r chọn tùy ý (nghiệm tùy ý của g1) ● giả sử đã chọn ji j r , ta chọn j 1i j 1 r + + như sau : ● từ (*) suy ra ( ) ( ) ( ) ( )( )j j j j jn i j i, j 1 j 1 i j j 1 i j j i j j 1 j i j i 1 r r g r g r g r g g r+ + + + = − = = − = −∏ ji, j 1 ij i j j max a a r A+≤ − ≤ δ với j j 1 jg g+δ = − ji, j 1 ijmax a a 0 →∞ += − ⎯⎯⎯→ Gọi j 1i + là chỉ số để ji j i, j 1r r +− bé nhất j j 1 nni j i , j 1 jr r A 0khi j+ +− ≤ δ → →∞ { }ji jr⇒ là dãy Cauchy pr⇒∃ ∈^ để ji jjr lim r→∞= (do p^ đầy đủ) ( ) ( )j ji j i jj j f r f lim r lim f r→∞→∞ ⎛ ⎞⇒ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ (do f là đa thức nên liên tục) ( )jj i j j lim g r 0 →∞ = = Vậy p^ đĩng đại số. Mệnh đề được chứng minh. □ Ngồi ra p^ cĩ những tính chất khác mà ^ khơng cĩ. 1.2.3.3. Mệnh đề p^ không Compact địa phương. Chứng minh Với ( )m : m,p 1,∈ =` kí hiệu { }mm p1 x / x 1= ∈ =^ Dễ dàng thấy với mmm 1 1 1 1ξ∈ ⇔ ξ = ⇒ ξ = ⇒ ξ = Để chứng minh mệnh đề 1.2.3.3 đầu tiên ta sẽ chứng minh bổ đề sau. 1.2.3.4. Bổ đề Với ( )m : m,p 1,∈ =` m 1, 1th 1ξ∈ ξ ≠ ξ − =ì 1 14 Chứng minh Ta cĩ: { }1 max , 1 1ξ − ≤ ξ = Giả sử 1 1ξ − < . Đặt a 1 0= ξ− ≠ thì a 1< và 1 aξ = + Khi đĩ ( )mm m 1 m1 a 1 ma ... ma a−ξ = + = + + + + ( ) m 1 m m 1 m m 2 m 1 1 ma ... ma a 1 ma ... ma a 0 a m ... ma a 0 − − − − ⇒ + + + + = ⇒ + + + = ⇒ + + + = m 2 m 1m ... ma a 0− −⇒ + + + = ( )m 2 m 1m ... ma a 0 1− −⇒ + + + = Mặt khác, ( )m, p 1 m 1= ⇒ = và i 1i i 1 im mC a C a 1 i 2,..., m−− = < ∀ = nên ( )m 2 m 1m ... ma a m 1 2− −+ + + = = ( )1 và ( )2 mâu thuẫn. Vậy 1 1ξ − = Bổ đề được chứng minh. □ Bây giờ ta chứng minh mệnh đề 1.2.3.3 Đặt ( ) m m,p 1 I 1 = = ∪ thì I là tập vơ hạn. Lấy { }i i I∈ξ ⊂` , ta sẽ chứng minh { }i i∈ξ ` khơng cĩ dãy con hội tụ. Thật vậy, với { }i j i i, ∈ξ ξ ∈ ξ ` , giả sử m ni j1, 1ξ ∈ ξ ∈ ta cĩ: mni ii j j j j 1 1 do 1 ⎛ ⎞ξ ξξ − ξ = ξ − = ∈⎜ ⎟⎜ ⎟ξ ξ⎝ ⎠ . Do đĩ, mọi dãy con của { }i i∈ξ ` đều khơng hội tụ. Mà { }i i∈ξ ` cũng là dãy trên quả cầu đơn vị, do đĩ quả cầu đơn vị khơng Compact, suy ra mọi quả cầu đều khơng Compact. Vậy p^ khơng Compact địa phương. Mệnh đề được chứng minh. □ 1.3. Chuỗi lũy thừa p-adic Trong phần này, chúng tôi đề cập đến các khái niệm cơ bản về dãy và chuỗi trên một trường p^ với chuẩn phi Archimede đầy đủ , đặc biệt là các dãy và chuỗi 15 số p-adic với các tính chất mạnh hơn hẳn so với tính chất của các dãy và chuỗi trong giải tích phức. 1.3.1. Bổ đề Dãy { }na trong p^ là dãy Cauchy và do đó hội tụ n 1 nnlim a a 0+→∞⇔ − = Chứng minh )⇒ Dãy{ }na là dãy Cauchy thì 0 0 n k n0, n sao cho n n , k : a a+∀ε > ∃ ∈ ∀ > ∀ ∈ − < ε` ` . Nĩi riêng, n 1 n n 1 nna a lim a a 0+ +→∞− < ε⇒ − = ) 0⇐ ∀ε > n 1 nn 0 Do lim a a 0+→ − = nên 0 0 n 1 nn saocho n n : a a+∃ ∈ ∀ > − < ε` Khi đĩ: 0n n , k :∀ > ∀ ∈` { }n k n n k n k 1 n 1 n n k n k 1 n 1 na a a a ... a a max a a ,..., a a+ + + − + + + − +− = − + + − ≤ − − < ε { }na⇒ là dãy Cauchy trong p^ . Bổ đề được chứng minh. □ 1.3.2. Hệ quả Chuỗi vô hạn n n 0 a ∞ = ∑ với n pa ∈^ là hội tụ nnlim a 0.→∞⇔ = Khi đó n nnn 0 a max a ∞ = ≤∑ 1.3.3. Định nghĩa Chuỗi lũy thừa p-adic là chuỗi hàm có dạng ( ) ( )nn n p n 0 f z a z a ∞ = = ∈∑ ^ (1) Bán kính hội tụ của chuỗi được định nghĩa bởi hệ thức 1 n nn 1 lim sup a→∞ ρ = . Nếu 0ρ = thì chuỗi chỉ hội tụ tại z = 0. Nếu ρ = ∞ thì chuỗi hội tụ trên p^ . Nếu 0 ρ 1.3.4. Định nghĩa Ta dùng các kí hiệu sau: { }r pD z : z r= ∈ ≤^ { }pD z : z 1= ∈ ≤^ { }prD z : z r= ∈ =^ 16 { }prD z : z r− = ∈ <^ 1.3.5. Định lí Chuỗi (1) hội tụ nnnlim a z 0→∞⇔ = →∞⇔ = n nn lim a z 0 Chuỗi (1) hội tụ trên Dr thì hội tụ tuyệt đối, hội tụ đều trên Dr Nếu chuỗi (1) hội tụ về f(z) trên Dr thì f(z) là hàm liên tục trên Dr . 17 Chương 2 ĐỘ CAO CỦA HÀM CHỈNH HÌNH P-ADIC Trong chương này chúng tơi nêu khái niệm hàm chỉnh hình p-adic, cũng như đưa ra khái niệm độ cao của hàm chỉnh hình p-adic. Đặc biệt, nêu lên một số tính chất lí thú về độ cao của hàm chỉnh hình p-adic mà sẽ được mở rộng lên cho hàm nhiều biến ở chương 3. 2.1. Chuẩn trên vành H(Dr) 2.1.1. Vành các chuỗi lũy thừa hình thức p[[z]]^ Ta gọi ( ) nn n 0 f z a z ∞ = =∑ là chuỗi lũy thừa hình thức. Tập tất cả các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ tử thuộc p^ được kí hiệu là p[[z]]^ , nghĩa là ( ) np n n p n 0 [[z]] f z a z a ∞ = ⎧ ⎫= = ∈⎨ ⎬⎩ ⎭∑^ ^ . Trên p[[z]]^ ta xây dựng phép cộng, phép nhân như sau : * Phép cộng: ( ) ( )n nn n p n 0 n 0 f z a z ,g z b z [[z]] ∞ ∞ = = ∀ = = ∈∑ ∑ ^ . Ta định nghĩa ( ) ( ) ( ) nn n n 0 f z g z a b z ∞ = + = +∑ . Dễ thấy phép cộng được định nghĩa hợp lí và cĩ tính kết hợp, giao hốn, phần tử trung hịa p [[z]] 0^ là chuỗi lũy thừa hình thức với mọi hệ tử là 0. * Phép nhân: ( ) ( )n nn n p n 0 n 0 f z a z ,g z b z [[z]] ∞ ∞ = = ∀ = = ∈∑ ∑ ^ . Ta định nghĩa ( ) ( ) kk k 0 f z .g z c z ∞ = =∑ với k i j i j k c a b + = = ∑ . Dễ thấy phép nhân được định nghĩa hợp lí và cĩ tính kết hợp, giao hốn, phần tử đơn vị p n [[z]] n n 1 e 1 a z ∞ = = +∑^ với na 0 n 1,2...= ∀ = Hơn nữa phép nhân phân phối đối với phép cộng, hay p[[z]]^ là vành giao hốn, cĩ đơn vị và được gọi là vành các chuỗi lũy thừa hình thức. 2.1.2. Chuẩn trên vành H(Dr) 2.1.2.1. Định nghĩa Với r 0,> ta định nghĩa ( ) ( ){ }nnr nH D f z [[z]] / a r 0→∞= ∈ ⎯⎯⎯→^ 18 2.1.2.2. Định lí Với r 0,> ( )rH D là vành con của [[z]]^ . Chứng minh Với ( ) ( ) ( )n nn n r n 0 n 0 f z a z ,g z b z H D ∞ ∞ = = = = ∈∑ ∑ ta cĩ ( ) ( ) ( ) nn n n 0 f z g z a b z ∞ = − = −∑ Mà { }n n nn n n na b r max a r ; b r− ≤ nên nnn na b r 0→∞− ⎯⎯⎯→ hay ( ) ( ) ( )rf z g z H D− ∈ Với ( ) ( ) ( )n nn n r n 0 n 0 f z a z ,g z b z H D ∞ ∞ = = = = ∈∑ ∑ ta cĩ ( ) ( ) kk k 0 f z .g z c z ∞ = =∑ với k i j i j k c a b + = = ∑ Mà kkc r = { }k i ji j i ji j ki j k a b r max a r . b r+ =+ = ≤∑ nên kkkc r 0→∞⎯⎯⎯→ hay ( ) ( ) ( )rf z .g z H D∈ Vậy ( )rH D là vành con của [[z]]^ . Định lí đã được chứng minh. □ Do nnnlim a r 0→∞ = nên n nn lim a z 0→∞ = với mọi rz D∈ hay chuỗi n n n 0 a z ∞ = ∑ hội tụ trên rD . Từ đĩ ta đi đến định nghĩa hàm chỉnh hình như sau. 2.1.2.3. Định nghĩa Hàm →^r pf : D được gọi là hàm chỉnh hình (hay hàm giải tích) p-adic trên Dr nếu f(z) có thể biểu diễn được dưới dạng một chuỗi lũy thừa hội tụ trên Dr . Nghĩa là, ( ) = + + + +n0 1 nf z a a z ... a z ... hội tụ ∀ ∈ rz D . Nếu f biểu diễn được dưới dạng một chuỗi lũy thừa p-adic hội tụ trên p^ thì f được gọi là hàm nguyên p-adic. Khi đĩ H(Dr) là tập các hàm chỉnh hình trên Dr Đặc biệt, do nnnlim a r 0→∞ = nên 00 n n 0 n nn n : a r max a r∃ ∈ =` 2.1.2.4. Định nghĩa Với r 0> , ( )nn r n 0 f a z H D ∞ = = ∈∑ . Ta định nghĩa 00 n nn nr nf a r max a r= = 2.1.2.5. Định lí Cho r 0> , r là một chuẩn trên ( )rH D nghĩa là r thỏa các tính chất sau: 1. r f 0 f 0= ⇔ = 2. { } ( )rr r rf g max f ; g f ,g H D+ ≤ ∀ ∈ 19 3. ( )rr r rfg f . g f ,g H D= ∀ ∈ Chứng minh 1. n nn n nr nf 0 max a r 0 a r 0 n a 0 n f 0= ⇔ = ⇔ = ∀ ⇔ = ∀ ⇔ = 2. Giả sử 0 0 0 n n nr f g a b r+ = + Ta cĩ: { } { }0 00 0n nn nr r rf g max a r ; b r max f ; g+ ≤ ≤ 3. Giả sử 0 0 n nr fg c r= Ta cĩ: { } ( ) 0 i j i j i j i jr r r i j n fg a r b r max a r b r f g 1 + = = ≤ ≤∑ Gọi 0i là chỉ số bé nhất mà 0 00 0 i ii i 0 i ir f a r th i i : a r a r= ∀ < <ì Gọi 0j là chỉ số bé nhất mà 0 00 0 j jj j 0 j jr g b r th j j : b r b r= ∀ < <ì Ta cĩ: 0 0 0 0 i j i jr r f g a b r += Đặt ( ) 0 0 i i0 n n n i j 0 0 i j i j i j i j n i j n n i j th c r a b r a b r a r b r * ≠ + = + = = + = = +∑ ∑nì Với 0 0i j n i j th+ = = + ì: 0 0 0 0 ii i i0 jj 0 j j a r a ri i , j j b r b r ⎡ ⎡ <<⎢ ⎢⇒⎢ < ⎢ <⎣⎣ kết hợp với ( )* ta cĩ: { } ( ) 0 0 n n n i j r r n nr r rn c r a b r f g fg max c r f g 2 = = ⇒ = ≥ Từ ( )( ) r r r1 2 fg f g⇒ = Định lí được chứng minh. □ Hiển nhiên ( ) ( )r rd : H D xH D +→ \ ( ) ( ) rf (z),g(z) d f (z),g(z) f g= −6 là mêtric trên H(Dr) 2.1.3. Mệnh đề Với r > 0, ( )rH D đầy đủ đối với r . Chứng minh Giả sử dãy hàm ( ) ni in n 0 f z a z ,i 1, 2,... ∞ = = =∑ là dãy Cauchy đối với ( )rr trong H D 20 Tức là: 0 0 in jn i jn0 n ; i, j n : max a a f f∀ε > ∃ ∈ ∀ > − = − < ε` nên{ }in i 1a ≥ là dãy Cauchy với mỗi n, và do p^ đầy đủ nên chúng hội tụ. Giả sử n inia lim a→∞= và đặt ( ) nnn 0f z a z ∞ = =∑ Vì nin jna a r− nên khi cho j→∞ , ta được nếu n0 in ni n thì a a r> − ≤ ε n in n in max a a r f f⇒ − ≤ ε⇒ − ≤ ε do đĩ iilim f f→∞ = . Vì ( )i rf H D∈ nên nina r 0 khi n→ →∞ , do đĩ ni i ini, n , n n : a r∀ ∃ ∀ > < ε Cố định 0i n ,> ta cĩ: { } ( )n n n nn in n in i n ra r max a a r , a r n n hay a r 0 khi n ,suy ra f H D≤ − → →∞ ∈ Mệnh đề được chứng minh. □ 2.1.4. Mệnh đề Với r > 0, [ ]p z^ trù mật trong ( )rH D Chứng minh Lấy ( ) ( )nn r n 0 f z a z H D ∞ = = ∈∑ và đặt ( ) n kn k k 0 f z a z = =∑ . Dãy ( ){ } [ ]n pf z z⊂ ^ hơn nữa : k kn k kk n kf f max a r max a r 0>− = ≤ → nên nf f→ . Suy ra [ ]p z^ trù mật trong ( )rH D . Mệnh đề được chứng minh. □ 2.2. Định lí chuẩn bị Weierstrass Trong mục này ta sẽ chứng minh một định lí cĩ vai trị rất quan trọng trong lí thuyết các hàm chỉnh hình p-adic, đĩ là định lí chuẩn bị Weierstrass. 2.2.1. Định lí chuẩn bị Weierstrass Với r> 0 , ( )nn r n 0 f a z H D ∞ = = ∈∑ , tồn tại ( ) [ ]0 1 pg z b b z ... b z zνν= + + + ∈^ với ( ) { }nn rf , r max n / a r fν = ν = = và ( ) nn n 1 h z 1 c z ∞ = = +∑ thoả: i. ( ) ( ) ( )f z g z .h z= ii. r g b rνν= iii. ( )rh H D∈ iv. r h 1 1− < v. r r f g g− < 21 vi. ( )f z cĩ đúng ν không điểm trong rD Chứng minh Để chứng minh định lí Weierstrass, ta cần các bổ đề sau. 2.2.2. Bổ đề Với r > 0, f(z), g(z) = [ ]k k0 1 k p krb b z ... b z z saocho g b r+ + + ∈ =^ . Gọi Q(z), R(z) là thương và dư trong phép chia f(z) cho g(z): f(z) = g(z).Q(z) + R(z) ; deg R < k Khi đó: { }r r r rf max g . Q ; R= Chứng minh 1. { } { }r r r r r rf max gQ ; R max g . Q ; R≤ = 2. Chứng minh { }r r r rf max g . Q ; R≥ i. Khi r 1= ta cần chứng minh { }1 1 1 1f max g . Q ; R≥ Cho ( ) kg z saocho b 1= Khi đĩ { }1 1 1 1g 1 max g . Q ; R 1= ⇒ = Giả sử 1 f 1< Ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f z g z .Q z R z *= + với ( ) ( )deg R z deg R z k≤ < ( )*⇒ là phép chia trongm [ ]p z^ Do 1 f 1< nên ( )f z 0= Mà ( ) ( )( ) { }1 1 1 11 Q z 0 Q 1 g z 0 max g . Q ; R 1 R 1R z 0 ⎧ = ⎧ <⎪ ⎪≠ ⇒ ⇒ ⇒ <⎨ ⎨ <= ⎪⎪ ⎩⎩ (vơ lý) Vậy { }1 1 1 1 1f 1,suy ra f max g . Q ; R≥ ≥ ii. Khi t pr p a : a r= ⇒ ∃ ∈ =^ Xét hàm chỉnh hình ( ) ii i 0 h z a z ∞ = = ∑ , định nghĩa ( ) ( ) i ia i i 0 h z h az a a z ∞ = = =∑ Ta cĩ: i ia i i r1h max a a max a r h= = = Từ f(z) = g(z).Q(z) + R(z) suy ra ( ) ( ) ( ) ( )a a a af z g z .Q z R z= + Theo i) : { }a a a a1 1 1 1f max g . Q ; R≥ 22 { }r r r rf max g . Q ; R⇒ ≥ iii. Khi tr p≠ nghĩa là ∃ pa : a r∈ =^ , p+ β∀α∈ α =\ với logβ = α∈ =\ _ Nên tồn tại { } { }nt tn nn tn nt : lim t lim p p pβ∈ ∈→∞ →∞⊂ = β⇒ = = α⇒` __ trù mật trong +\ Vậy cĩ { } iti i it saocholim p r∈ →∞ =` , đặt iti iir p lim r r→∞= ⇒ = Theo ii) : { } i i i ir r r r f max g . Q ; R≥ Cho i →∞ ta được { }r r r rf max g . Q ; R≥ Từ (1) và (2) suy ra { }r r r rf max g . Q ; R= Bổ đề được chứng minh.º 2.2.3. Bổ đề Với r > 0, f(z) ( )rH D∈ , g(z) = [ ]k0 1 k pb b z ... b z z+ + + ∈^ với kkrg b r= Khi đĩ ( ) [ ]r pQ(z) H D ,R(z) z∃ ∈ ∈^ sao cho: i. f(z) = g(z).Q(z) + R(z); deg R < deg g = k ii. { }r r r rf max g . Q ; R= Chứng minh Giả sử ( ) ii i 0 f z a z ∞ = = ∑ Vì [ ]p z^ trù mật trong ( )rH D theo chuẩn r Nên ( ) ( ) ( ){ }n nin i n n i 0 f z a z f z f z→∞ ∈= = ⎯⎯⎯→ ⇒∑ ` là dãy Cauchy ( )nn n 1 rf f 0 1→∞+⇒ − ⎯⎯⎯→ Theo Bổ Đề 2.2.2 ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( )n n n nn n nr r r r f z g z .Q z R z deg R k f max g Q ; R 2 ⎧ = + <⎪⎨ =⎪⎩ Do đĩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n n 1 n n 1 n n 1f z f z g z Q z Q 2 R z R z+ + +− = − + − Với deg ( ) ( )( )n n 1R z R z k+− < nên theo Bổ Đề 2.2.2 { } ( )( )nn n 1 n n 1 n n 1r r r rf f max g . Q Q ; R R 0 do 1→∞+ + +− = − − ⎯⎯⎯→ 23 { } { }nn n 1 r n nn n n 1 r Q Q 0 Q , R R R 0 →∞ + →∞ + ⎧ − ⎯⎯⎯→⎪⇒ ⇒⎨ − ⎯⎯⎯→⎪⎩ là hai dãy Cauchy ( ) ( ) ( ) [ ] n n r n n p Q Q z H D R R z z ;deg R k →∞ →∞ ⎧ ⎯⎯⎯→ ∈⎪⇒ ⎨ ⎯⎯⎯→ ∈ <⎪⎩ ^ Trong ( )2 ,cho n →∞ ta được: { }r r r rf max g . Q ; R= Bổ đề được chứng minh. º Bây giờ ta sẽ chứng minh định lí Weierstrass: Giả sử ( ) n0 1 nf z a a z ... a z ...= + + + + Đặt ( )1 0 1g z a a z ... a zνν= + + + { } { }i n1 i nr ri r Ta cĩ: f g max a r a r (do = max n/ a r f ) f ν ν>ν − = < ν = = nên 1 r r f g 0 1 f −< < ( ) 1 r r f g 0;1 saocho :0 f −⇒ ∃δ∈ < ≤ δ . Đặt ( )1h z 1= *Bằng quy nạp ta xây dựng: ( ) ( ) [ ]ji ij i p j 0 g z b z , h z 1 z z ν = ⎡ ⎤= ∈ + ⎣ ⎦∑ ^ thỏa các điều kiện sau 1._.