Lý thuyết dung lượng trong không gian Tôpô

GS. TS. ĐẬU THẾ CẤP Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 1 LỜI CÁM ƠN Lời cám ơn sâu sắc nhất, tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy của tôi – PGS - TS. Đậu Thế Cấp, người đã giảng dạy cho tôi trong khóa học, cũng như đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thạc sĩ này. Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc và cho tôi những nhận xét về luận văn. Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, quý Thầy Cô của Khoa Toán - Tin học, quý Thầy Cô thuộc Phòng Quản Lý Khoa Học Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm TP. HCM đã trang bị cho tôi kiến thức cũng như đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy Cô – những đồng nghiệp của tôi Trường THPT Mạc Đĩnh Chi đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong công việc để tôi được thuận lợi hơn trong quá trình học tập. Tôi cũng xin cám ơn các bạn học viên cùng lớp Cao học Giải Tích khóa 16 đã chia sẻ, giúp đỡ nhau trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng là lời cám ơn tôi dành cho những người thân trong gia đình tôi, những người luôn động viên tôi trong suốt thời gian qua. TP. Hồ Chí Minh, ngày 1 tháng 10 năm 2008 Phan Phụng Hiệp 2 MỤC LỤC Lời cám ơn ……………………………………………………………….......1 Mục lục ………………………………………………………………………2 MỞ ĐẦU …………………………………………………………………….3 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ……………………………………...5 1.1. Độ đo ……………………………………………………………...5 1.2. Hàm đo được…...... …………….………………………………..18 1.3. Bổ đề Urysohn……………………………………………………19 Chương 2: DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ ………….21 2.1. Các định nghĩa và tính chất ……………………………………...21 2.2. Mối liên hệ giữa dung lượng và độ đo …………………………..28 2.3. Một số dung lượng đặc biệt ……………………………………...29 Chương 3: TÍCH PHÂN CHOQUET THEO DUNG LƯỢNG ………...35 3.1. Định nghĩa ……………………………………………………….35 3.2. Tính chất………………………………………………………….36 KẾT LUẬN ………………………………………………………………...45 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………...46 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết dung lượng được đưa ra bởi G. Choquet và được tiếp tục phát triển bởi nhiều tác giả trong thời gian qua. Dung lượng đã được xét trong không gian đo được bất kỳ như là một khái quát của độ đo và gần đây là trong không gian mêtric nR với σ - đại số Borel của hai tác giả Nguyễn Nhụy và Lê Xuân Sơn. Vì vậy, tiếp tục mở rộng các kết quả trên một không gian tôpô tổng quát đó là lí do mà chúng tôi chọn đề tài này. 2. Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi đưa ra khái niệm dung lượng và khái niệm tích phân Choquet theo dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff tổng quát với σ - đại số Borel. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff với σ - đại số Borel, khảo sát một số trường hợp dung lượng có giá là tập hữu hạn, và một số tính chất của tích phân Choquet theo các dung lượng có giá là tập hữu hạn. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết quả có được của luận văn là một trường hợp cho lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff với σ - đại số Borel. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn được trình bày 3 chương: 4 - Chương 1: Trình bày một số vấn đề về lí thuyết độ đo có liên quan và bổ đề Urysohn. - Chương 2: Trình bày định nghĩa của dung lượng trên không gian tôpô Hausdorff cùng một số tính chất của nó, mối liên hệ giữa dung lượng với độ đo và một số dung lượng đặc biệt. - Chương 3: Trình bày định nghĩa tích phân Choquet theo dung lượng và chứng minh một số kết quả trong trường hợp dung lượng có giá là tập hữu hạn. 5 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Độ đo Kí hiệu ( )XP là họ tất cả các tập con của tập X. Định nghĩa 1.1.1 Một họ ( )X⊂M P được gọi là một σ - đại số trên X nếu thỏa mãn các điều kiện i. ∅∈M . ii. { } 1j j E +∞ = ⊂M thì 1 j j E +∞ = ∈U M . iii. E∈M thì \cE X E= ∈M . Nếu điều kiện ii. được thay bởi điều kiện ii’. { } 1 n j j E = ⊂M thì 1 n j j E = ∈U M thì M gọi là một đại số. Cặp ( , )X M gồm tập X và một σ - đại số M trên X gọi là một không gian đo được. Ta biết giao của một họ khác rỗng các σ - đại số các tập con của X là một σ - đại số. Nếu E là một họ các tập con của X thì ( )XP là một σ - đại số chứa E . Do đó ta có σ - đại số M E( ) là giao của tất cả các σ - đại số chứa E và σ - đại số M E( ) được gọi là σ - đại số sinh bởi E . Với các họ tập con E F, của X ta có ( ) ( ) ( ).⊂ ⇒ ⊂E F E FM M M 6 Định nghĩa 1.1.2 Cho X là một không gian tôpô. Ta gọi σ - đại số Borel trên X là σ - đại số sinh bởi họ các tập con mở của X, kí hiệu là XB( ) . Mỗi phần tử thuộc XB( ) gọi là một tập Borel. Như vậy tập Borel bao gồm các tập mở, các tập đóng, giao của đếm được các tập mở, hợp của đếm được các tập đóng… của X. Đặc biệt nếu X là không gian Hausdorff thì mọi tập con compăc là tập Borel. Ta gọi một tập bằng giao của đếm được các tập mở là tập Gδ , một tập bằng hợp của đếm được các tập đóng là tập Fσ . Định lí 1.1.1 RB( ) được sinh bởi một trong các họ tập con sau đây của R a. Họ các khoảng mở { }1 ( ; ) /a b a b= <
E . b. Họ các khoảng đóng { }2 [ ; ]/a b a b= <
E . c. Họ các khoảng nửa mở { }3 ( ; ]/a b a b= <E hoặc { }4 [ ; ) /a b a b= <E . d. Họ các nửa đường thẳng mở { }5 ( ; ) /a a R= +∞ ∈E hoặc { }6 ( ; ) /a a R= −∞ ∈E . e. Họ các nửa đường thẳng đóng { }7 [ ; ) /a a R= +∞ ∈E hoặc { }8 ( ; ]/a a R= −∞ ∈E . Định nghĩa 1.1.3 Cho { } IXα α∈ là một họ các tập khác rỗng, I X Xα α∈ =∏ và : X Xα αpi → là ánh xạ tọa độ thứ α . Với mỗi α , cho αM là σ - đại số trên Xα . 7 Ta gọi σ - đại số tích của các σ - đại số trên Xα là σ - đại số trên X sinh bởi họ tập { }1( ) / ,E E Iα α α αpi α− ∈ ∈M . Ta kí hiệu σ - đại số này là I αα∈ ⊗ M , nếu { }1,...,I n= thì ta kí hiệu 1 n j⊗M hoặc 1 ... n⊗ ⊗M M . Định lí 1.1.2 Nếu I là tập đếm được thì I αα∈ ⊗ M là σ - đại số sinh bởi họ tập / I E Eα α α α∈   ∈    ∏ M . Định lí 1.1.3 Cho αM sinh bởi , Iα α ∈E . Khi đó I αα∈ ⊗ M được sinh bởi { }11 ( ) / , E E Iα α α αpi α−= ∈ ∈EF . Nếu I đếm được và , X Iα α α∈ ∀ ∈E thì I αα∈ ⊗ M được sinh bởi 2 / I E Eα α α α∈   = ∈    ∏ EF . Định lí 1.1.4 Cho 1,..., nX X là các không gian mêtric và 1 n jX X=∏ là không gian mêtric tích. Khi đó 1 ( ) n jX X⊗ ⊂B( ) B . Nếu tất cả các không gian jX khả li thì 1 ( ) ( ) n jX X⊗ =B B . 8 Ta gọi một gian trong nR là một tập dạng 1 ... nG G× × , trong đó iG là khoảng mở, khoảng đóng, hoặc khoảng nửa mở trong R. Định lí 1.1.5 1 ( ) ( ) n nR R= ⊗B B và ( )nRB là σ - đại số được sinh bởi các gian trong nR . Định nghĩa 1.1.4 Họ E các tập con của X gọi là một họ sơ cấp nếu i. ∅∈ E . ii. ,E F E F∈ ⇒ ∩ ∈E E . iii. E∈ E thì cE bằng hợp của hữu hạn các tập rời nhau của E . Định lí 1.1.6 Nếu E là một họ sơ cấp thì họ A các hợp hữu hạn của các tập rời nhau của E là một đại số. Định nghĩa 1.1.5 Cho M là một σ - đại số trên X. Một hàm tập : [0; ]µ → +∞M gọi là một độ đo trên M nếu thỏa mãn các điều kiện i. ( ) 0µ ∅ = . ii. { } 1j j E +∞ = là dãy các tập rời nhau thuộc M thì 11 ( )j j jj E Eµ µ +∞ +∞ ==   =    ∑U . Độ đo µ trên M gọi là hữu hạn nếu ( ) , E Eµ < +∞ ∀ ∈M . 9 Độ đo µ trên M gọi là σ - hữu hạn nếu tồn tại dãy { } 1j j E +∞ = ⊂M , ( ) , jE jµ < +∞ ∀ và 1 j j E X +∞ = =U . Độ đo µ trên M gọi là độ đo đầy đủ nếu mọi E∈M , ( ) 0Eµ = thì mọi F E⊂ đều có F∈M . Bộ ba ( , , )X µM trong đó M là một σ - đại số trên X, µ là một độ đo trên M gọi là một không gian độ đo. Định lí 1.1.7 Cho ( , , )X µM là một không gian độ đo. Khi đó a. Mọi , ,E F E F∈ ⊂M đều có ( ) ( )E Fµ µ≤ (tính chất đơn điệu). b. Mọi dãy { } 1j j E +∞ = ⊂M đều có 11 ( )j jE Eµ µ +∞ +∞  ≤    ∑U (tính chất cộng tính dưới). c. Mọi dãy { } 11 , j j jjE E E j +∞ += ⊂ ⊂ ∀M , đều có 1 lim ( )j j j E Eµ µ +∞ →+∞   =    U (tính chất liên tục dưới). d. Mọi dãy { } 1 11 , , ( )j j jjE E E j Eµ +∞ += ⊂ ⊃ ∀ < +∞M , đều có 1 lim ( )j j j E Eµ µ +∞ →+∞   =    I (tính chất liên tục trên). Định lí 1.1.8 Cho ( , , )X µM là một không gian độ đo. 10 Giả sử { } { }| ( ) 0 , | , N M N E F E F N Nµ= ∈ = = ∪ ∈ ⊂ ∈N M M N , . Khi đó M là một σ - đại số và tồn tại duy nhất độ đo µ trên M là mở rộng của µ , µ là một độ đo đầy đủ trên M . Ta gọi µ là bổ sung đầy đủ của độ đo µ , σ - đại số M gọi là bổ sung đầy đủ của σ - đại số M tương ứng với độ đo µ . Định nghĩa 1.1.6 Cho X là một tập khác rỗng. Hàm * : ( ) [0; ]Xµ → +∞P gọi là một độ đo ngoài trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện i. *( ) 0µ ∅ = . ii. * *, ( ), ( ) ( )A B X A B A Bµ µ∈ ⊂ ⇒ ≤P . iii. { } * * 1 11 ( ) ( )j j jA X A Aµ µ +∞ +∞+∞   ⊂ ⇒ ≤    ∑UP . Định lí 1.1.9 Cho { }( ), , [0; ]X X ρ⊂ ∅ ⊂ → +∞E E EP , : là hàm thỏa mãn ( ) 0ρ ∅ = . Với mỗi ,A X⊂ ta đặt { }* 1 1 1 ( ) inf ( ) | j j jA E E A Eµ ρ +∞+∞ +∞  = ⊂ ⊂    ∑ U,E . Khi đó *µ là một độ đo ngoài trên X. Định nghĩa 1.1.7 Cho *µ là một độ đo ngoài trên X. Tập A X⊂ gọi là *µ - đo được nếu * * *( ) ( ) ( ), cE E A E A E Xµ µ µ= ∩ + ∩ ∀ ⊂ . 11 Định lí 1.1.10 (Định lí Caratheodory) Nếu *µ là một độ đo ngoài trên X thì họ M các tập *µ - đo được là một σ - đại số và thu hẹp của *µ trên M là một độ đo đầy đủ. Định nghĩa 1.1.8 Cho ( )X⊂ PA là một đại số. Hàm : [0; ]µ → +∞A gọi là một tiền độ đo nếu i. ( ) 0µ ∅ = . ii. Nếu { } 1j A +∞ ⊂ A là các tập rời nhau và 1 jA +∞ ∈U A thì 11 ( )j jA Aµ µ +∞ +∞  =    ∑U . Định lí 1.1.11 Cho µ là một tiền độ đo trên đại số A . Đặt { }* 1 1 1 ( ) inf ( ) / j j jE A A E Aµ µ +∞+∞ +∞  = ⊂ ⊂    ∑ U,A . Khi đó *µ là độ đo ngoài trên X và a. * |µ µ=
A . b. Mọi tập thuộc A là *µ - đo được. Định lí 1.1.12 (Định lí Hahn) Cho ( )X⊂ PA là một đại số, µ là tiền độ đo trên A , M là σ - đại số sinh bởi A . Khi đó a. Tồn tại độ đo µ trên M mở rộng của µ , cụ thể là | µ µ µ∗ ∗= M, là độ đo ngoài trên X xác định bởi 12 { }* 1 1 1 ( ) inf ( ) | j j jE A A E Aµ µ +∞+∞ +∞  = ⊂ ⊂    ∑ U,A . b. Nếu ν là độ đo bất kì trên M mở rộng của µ thì ( ) ( ),E Eν µ≤ E∀ ∈M , dấu đẳng thức xảy ra khi ( )Eµ < +∞ . c. Nếu µ là σ - hữu hạn thì µ là mở rộng duy nhất của µ thành độ đo trên M . Kí hiệu E là họ các khoảng mở bên trái (hữu hạn và vô hạn) của R và tập rỗng. Ta có E là một họ sơ cấp. Gọi A là đại số sinh bởi E . Ta có ( ) ( ) ( )R= =M MA E B . Định lí 1.1.13 Với ( ; ], 1,...,j ja b j n= là các khoảng rời nhau, đặt ( ) 11 ( ; ) , ( ) 0 n n j j j ja b b aµ µ   = − ∅ =    ∑U . Khi đó µ là một tiền độ đo trên A . Chứng minh: Nếu { } 1 ( ; ] n j ja b là các khoảng rời nhau và 1 ( ; ] ( ; ] n j ja b a b=U thì bằng cách đánh lại chỉ số j ta có 1 1 2 2 ... na a b a b b b= < = < = < = nên ( ) 1 1 n j j nb a b a b a− = − = −∑ . 13 Bây giờ giả sử { } { }1 1, mn i jI J là hai họ các khoảng mở bên trái rời nhau, 1 1 n m i jI J=U U . Theo trường hợp đã chứng minh ta có 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) nn n m m m i i j i j j j j j ji I I J I J Jµ µ µ µ = = = ==   = ∩ = ∩ =    ∑ ∑∑ ∑ ∑U Vậy định nghĩa µ là hợp lí và µ cộng tính hữu hạn. Bây giờ ta sẽ chứng minh nếu { } 1j I +∞ là một dãy các khoảng rời nhau trong A thì 11 ( )j jI Iµ µ +∞ +∞  =    ∑U . Đặt 1 jI I +∞ =U , do µ cộng tính hữu hạn nên ta chỉ cần xét ( ; ], ( ; ], ( ; ), , , I a b I b I a a b R a b= = −∞ = +∞ ∈ < . Ta có 11 1 1 ( ) \ ( ) n n n n j j j jI I I I I Iµ µ µ µ µ       = + ≥ =            ∑U U U . Cho n→ +∞ ta nhận được 1 ( ) ( )jI Iµ µ +∞ ≥∑ . Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, trước hết xét trường hợp ( ; ]I a b= . Cố định 0ε > . Với mỗi ( ; ]j j jI a b= , chọn jδ sao cho 0 .2 j jδ ε −< < . Họ các khoảng mở ( ; )j j ja b δ+ là một phủ mở của tập compắc [ ; ]a bε+ nên có phủ con hữu hạn. Bằng cách loại các khoảng được chứa trong một khoảng khác và đánh số lại phủ con hữu hạn này ta có các khoảng 1 1 1( ; )a b δ+ ,…,( ; )N N Na b δ+ phủ [ ; ]a bε+ , 1 2 ... Na a a< < < và ( )1 1 1; , 1,..., 1j j j j jb a b j Nδ δ+ + ++ ∈ + = − . Khi đó: 14 ( ) 1 1 1 ( ) N N N N j jb a a aδ ε − += + − + − +∑ ( ) 1 1 ( ) ( ) N N N N j j jb a b aδ δ ε − ≤ + − + + − +∑ ( ) 1 ( ) N j j jb aδ ε= + − +∑ ( ) ( ) 1 1 ( ) N N j j j j jb a b bδ ε= − + + − +∑ ∑ 1 ( ) 2jIµ ε +∞ ≤ +∑ . Vì 0ε > tuỳ ý nên ta có 1 ( ) ( )jI Iµ µ +∞ ≤∑ . Với mọi 0M > đủ lớn theo trường hợp đã chứng minh ta có ( ; ]I b= −∞ thì ( ) 1 ( , ] ( ) 2jM b Iµ µ ε +∞ − ≤ +∑ ( ; )I a= +∞ thì ( ) 1 ( , ] ( ) 2 .ja M Iµ µ ε +∞ ≤ +∑ Cho M → +∞ và 0ε → ta có 1 ( ) ( )jI Iµ µ +∞ ≤∑ . Theo định lí Hahn, tồn tại duy nhất độ đo µ trên ( )RB mở rộng của µ . Kí hiệu m là bổ sung đầy đủ của µ , gọi là độ đo Lebesgue trên R, kí hiệu miền của độ đo này là L . Rõ ràng ( )R ⊂B L . Mỗi tập thuộc L gọi là tập đo được Lebesgue. 1( ) ( ) ( )N NI b a b aµ ε ε δ ε= − + + ≤ + − + 15 Định lí 1.1.14 Với mọi E∈L ta có a. ( ) 1 1 ( ) inf ( , ) | ( , )j j j jm E m a b E a b +∞+∞  = ⊂    ∑ U . b. ( ) infm E = { ( ) /m U U E⊃ và U mở}. c. ( ) supm E = { ( ) /m K K E⊂ và K compăc}. Chứng minh: a) Kí hiệu 1 1 ( ) : inf ( , ) / ( , )j j j jE m a b E a bν +∞+∞  = ⊂    ∑ U . Giả sử 1 ( , )j jE a b +∞ ⊂U . Với mỗi j đặt j j jl b a= − và ( )1.2 , .2 , k k kj j j j jI b l b l k N− −= − + ∈ . Khi đó 1 ( , ) kj j j k a b I +∞ = =U và ( ) 1 , 1 ( , ) ( ) ( ) kj j j j k m a b m I m E +∞ +∞ = = ≥∑ ∑ . Vậy ( ) ( )E m Eν ≥ . Bất đẳng thức ngược lại là hiển nhiên nếu ( )m E = +∞ . Trường hợp ( )m E , tồn tại { } 1 ( , ]j ja b +∞ sao cho 1 ( , ]j jE a b +∞ ⊂U và ( ) 1 ( , ] ( )j jm a b m E ε +∞ ≤ +∑ . Với mọi j, tồn tại jδ sao cho 0 .2 j jδ ε −< < . Khi đó 1 ( , )j j jE a b δ +∞ ⊂ +U và ( ) ( ) 1 1 ( , ) ( , ] ( ) 2j j j j jm a b m a b m Eδ ε ε +∞ +∞ + ≤ + ≤ +∑ ∑ . Vậy trường hợp này ta cũng có ( ) ( )E m Eν ≤ . 16 b) Nếu U E⊃ , U mở thì ( ) ( )m U m E≥ . Mặt khác nếu U bằng hợp của đếm được các khoảng ( , )j ja b phủ E thì U mở, U E⊃ và ( ) 1 ( ) ( , )j jm U m a b +∞ ≤∑ . Vậy b) suy ra từ a). c) Trước hết ta giả thiết E bị chặn. Nếu E E= thì E compắc, kết quả là hiển nhiên. Nếu E không đóng thì theo b) với mọi 0ε > , tồn tại tập mở U sao cho \U E E⊃ và ( ) ( \ )m U m E E ε≤ + . Đặt \K E U= thì K compắc, K E⊂ và ( ) ( ) ( )m K m E m E U= − ∩ ( )( ) ( ) ( \ )m E m U m U E= − − ( ) ( ) ( \ )m E m U m E E≥ − + ( )m E ε≥ − . Cuối cùng, nếu E không bị chặn thì đặt ( , 1]jE E j j= ∩ + . Theo trường hợp bị chặn, mọi n N∈ tồn tại tập compắc j jK E⊂ sao cho 1 ( ) ( ) 2 jj jm K m E n −≥ − . Đặt n n j n H K − =U thì nH là tập compắc, nH E⊂ và 3 ( ) n n j n m H m E n−   ≥ −    U . Từ đó ta có lim ( ) ( )nm H m E= và có nK H= với n đủ lớn. Cho các không gian độ đo ( , , ), 1,...,j j jX j nµ =M . Ta gọi gian trong 1 n jX∏ là các tập dạng 1 ... nA A× × , trong đó j jA ∈M gọi là các cạnh của gian. Với mọi gian 1 ... nA A× × ta có 17 ( )1 1 1 1 1 ( ... ) ... ... n c c n j j j n j A A X X A X X− + = × × = × × × × × ×U là hợp của các gian rời nhau. Ta có ∅ là gian và giao của hai gian là gian nên họ các gian trong 1 n jX∏ là một họ sơ cấp. Kí hiệu A là họ các hợp hữu hạn của các gian rời nhau. Ta có A là một đại số. Với mỗi gian 1 ... nA A× × , đặt 1 1 1( ... ) ( )... ( )n n nA A A Api µ µ× × = , ở đây ta quy ước 0. 0∞ = . Ta có pi là một tiền độ đo trên A . Thế thì tồn tại duy nhất độ đo µ trên 1 ... n⊗ ⊗M M sao cho |µ pi=A . Độ đo µ gọi là tích của các độ đo 1,..., nµ µ , kí hiệu là 1 ... nµ µ× × . Nếu 1 ... nA A× × là một gian thì ta có 1 1 1 ... ( ... ) ( ) n n n j jA A Aµ µ µ× × × × =∏ . Xét trường hợp jX R= và j mµ = trên ( )RB với 1,...,j n= thì ta có độ đo tích ...m m× × trên σ - đại số Borel ( ) ... ( ) ( )nR R R⊗ ⊗ =B B B . Bổ sung đầy đủ của độ đo này gọi là độ đo Lebesgue trên nR , kí hiệu là nm , miền của nó kí hiệu là nL . Một cách tương đương cũng có thể coi nm là bổ sung đầy đủ của độ đo tích ...m m× × trên ...⊗ ⊗L L . | ( )n nm RB gọi là độ đo Borel trên nR . Định nghĩa 1.1.9 Một độ đo trên σ - đại số Borel của không gian tôpô X được gọi là độ đo Borel. Một độ đo Borel µ trên X gọi là chính quy nếu mọi ( )E X∈B ta có 18 ( ) infEµ = { ( ) |U U Eµ ⊃ và U mở} sup= { ( ) |K K Eµ ⊂ và K compăc}. Định lí 1.1.15 Độ đo Lebesgue trên nR có tính chính quy, tức là mọi nE∈L đều có ( ) infm E = { ( ) |m U U E⊃ và U mở} sup= { ( ) |m K K E⊂ và K compăc}. Chứng minh: Từ định nghĩa độ đo tích, mọi 0ε > tồn tại dãy { } 1j G +∞ các gian sao cho 1 jE G +∞ ⊂U và 1 ( ) ( )jm G m E ε +∞ ≤ +∑ . Áp dụng định lí 1.1.14 cho các cạnh của gian jG ta có thể tìm được gian j jS G⊃ có các cạnh là tập mở sao cho ( ) ( ) .2 j j jm S m G ε −≤ + . Đặt 1 jU S +∞ =U thì U là mở và 1 ( ) ( ) ( ) 2jm U m S m E ε +∞ ≤ ≤ +∑ . Vậy ta có ( ) infm E = { ( ) |m U U E⊃ và U mở}. Tương tự như trong chứng minh định lí 1.1.14 ta có ( ) supm E = { ( ) |m K K E⊂ và K compăc}. 1.2. Hàm đo được Định nghĩa 1.2.1 Cho ( , )X M và ( , )Y N là hai không gian đo được. Ánh xạ :f X Y→ gọi là ( )M,N - đo được nếu mọi B∈N đều có 1( )f B− ∈M . Hàm :f X R→ gọi là đo được nếu f là ( ) ( )RM, B - đo được. 19 Nếu X là không gian tôpô thì hàm :f X R→ gọi là đo được Borel nếu f là ( )( ) ( )X RB , B - đo được. Định lí 1.2.1 Nếu :f R R→ là hàm đơn điệu thì f đo được Borel. Chứng minh: Giả sử hàm :f R R→ đơn điệu giảm. a R∀ ∈ , đặt { }inf : ( )t f t aα = ≤ . Ta có ( )1 ( ; ] [ ; ) ( )f a Rα− −∞ = +∞ ∈B . Tương tự cho hàm :f R R→ đơn điệu tăng. 1.3. Bổ đề Urysohn Định lí 1.3.1 (Bổ đề Urysohn) Cho X là không gian tôpô chuẩn tắc, A và B là hai tập con đóng rời nhau của X. Khi đó tồn tại hàm liên tục : [0;1]f X → sao cho ( ) 0 f x x A= ∀ ∈ và ( ) 1 f x x B= ∀ ∈ . Chứng minh: Trước hết ta chứng minh với mỗi số hữu tỉ dạng .2 (0;1]nr k −= ∈ thì tồn tại một tập mở rU sao cho \ , r r sA U X B U U⊂ ⊂ ⊂ với r s< . Thật vậy, đặt 1 \U X B= . Gọi V và W là các tập mở rời nhau sao cho , A V B W⊂ ⊂ . Đặt 1 2 U V= . Vì \X W đóng nên ta có 1 1 1 2 2 \ \A U U X W X B U⊂ ⊂ ⊂ ⊂ = Ta xây dựng rU với .2 nr k −= bằng quy nạp theo n. 20 Giả sử đã chọn được rU với .2 nr k −= , 0 2 , 1 1nk n N< ≤ ≤ ≤ − . Ta sẽ xây dựng rU với 1(2 1).2 , 0 2N Nr j j− −= + ≤ < (với 1 ( 1)0 2 , 2 .2 .2 , N N N rj r j j U − − − −< ≤ = = đã có theo giả thiết quy nạp). Ta có 1.2 NjU − và 1( 1).2\ NjX U −+ là hai tập đóng rời nhau (ở đây đặt 0U A= ) nên tương tự như trên, chọn được rU sao cho 1 1.2 ( 1).2N Nr rj jU U U U− −+⊂ ⊂ ⊂ Vậy ta có họ rU có tính chất đặt ra. Đặt , 1rU X r= ∀ > và xác định hàm { }( ) inf / rf x r x U= ∈ . Vì \rA U X B⊂ ⊂ với 0 1r< < nên ( ) 0 f x x A= ∀ ∈ , ( ) 1 f x x B= ∀ ∈ và 0 ( ) 1 f x x X≤ ≤ ∀ ∈ . [0;1]α∀ ∈ , do các giá trị .2 nr k −= , 0 2nk< ≤ trù mật trong [0;1] nên ( ) rf x x Uα< ⇔ ∈ với r nào đó , r α< r r x U α< ⇔ ∈U . ( ) rf x x Uα> ⇔ ∉ với r nào đó , r α> sx U⇔ ∉ với s nào đó , s α> ( )\ s s x X U α> ⇔ ∈U . Vì vậy ( )1 ( ; ) r r f U α α− < −∞ =U và ( ) ( )1 ( ; ) \ s s f X U α α− > +∞ =U là mở. Từ đó ta có f liên tục. 21 Chương 2: DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 2.1. Các định nghĩa và tính chất Ta kí hiệu ( )XB , ( )XK , ( )XG lần lượt là họ các tập Borel, các tập compăc, các tập mở trong không gian tôpô X . Định nghĩa 2.1.1 Cho X là không gian tôpô Hausdorff. Hàm : ( ) [0; )T X → +∞B được gọi là dung lượng trên X nếu nó thỏa mãn 4 điều kiện sau đây 1. ( ) 0T ∅ = . 2. Với mọi họ tập Borel Ai , 1,..., , 2i k k= ≥ ta có # 1 ( )1 ( 1) k I i i I I ki i I T A T A+ ∈= ∈     ≤ −        ∑I U , trong đó { }{ }( ) 1,..., ,I k I k I= ⊂ ≠ ∅ và # ( )I card I= . 3. { }( ) sup ( ) : ( ), T A T C C X C A= ∈ ⊂K , ( )A X∀ ∈B . 4. { }( ) inf ( ) : ( ), , ( )T C T G G X G C C X= ∈ ⊃ ∀ ∈KG . Kể từ đây trong luận văn này, không gian tôpô X ta xét là không gian tôpô Hausdorff. Định lí 2.1.1 Cho T là dung lượng trên X. Khi đó T là hàm không giảm trên ( )XB . Chứng minh: Giả sử , ( ), A B X A B∈ ⊂B . Đặt { }( ) : ( ), A C C X C A= ∈ ⊂K K 22 { }( ) : ( ), B C C X C B= ∈ ⊂K K Thế thì ( ) ( )A B⊂K K Theo định nghĩa 2.1.1 thì { } { } ( ) ( ) ( ) sup ( ) sup ( ) ( ) C A C B T A T C T C T B ∈ ∈ = ≤ = K K Vậy ( ) ( )T A T B≤ . Hệ quả 2.1.1 Cho T là dung lượng trên X . Nếu ( )A X∈B và ( ) 0T A = thì ( ) ( ), ( )T B T B A B X= ∪ ∀ ∈B . Chứng minh: Theo định lí 2.1.1 ta có ( ) ( )T B T B A≤ ∪ . Vì T là dung lượng trên X nên ( ) ( ) ( ) ( )T B A T B T A T B A∩ ≤ + − ∪ ( ) ( ) ( ) ( )T B A T B T A T B A⇒ ∪ ≤ + − ∩ Mà ( ) 0 ( ) 0T A T B A= ⇒ ∩ = . Do đó ( ) ( )T B A T B∪ ≤ Vậy ( ) ( ), ( )T B T B A B X= ∪ ∀ ∈B . Định nghĩa 2.1.2 Hàm : ( ) [0; )T X → +∞B được gọi là cực đại nếu { }( ) max ( ), ( ) , ( )T A B T A T B A B X∪ = ∀ ∈B . Định lí 2.1.2 Nếu hàm : ( ) [0; )T X → +∞B là cực đại thì với mọi họ tập Borel Ai , 1,..., , 2i k k= ≥ ta có 23 { }# 1 {1,..., } ( ) ( 1) min ( )I i ii k I I k i I T A T A+ ∈ ∈ ∈   − =    ∑ U . Chứng minh: Với k = 2 ta có 1 2 1 2( ) ( ) ( )T A T A T A A+ − ∪ = { }1 2 1 2( ) ( ) max ( ), ( )T A T A T A T A+ − = { }1 2min ( ), ( )T A T A . Giả sử đẳng thức trên đúng với , 2k n n= ≥ , ta chứng minh đẳng thức trên đúng với 1k n= + . Với mọi họ tập Borel Ai , 1,..., 1i n= + , không mất tính tổng quát ta có thể giả sử { }1 1 1( ) min ( )ii nT A T A≤ ≤ += và { }1 1 1( ) max ( )n ii nT A T A+ ≤ ≤ += . Ta có # 1 ( 1) ( 1) I i I I n i I T A+ ∈ + ∈   −     ∑ U = # 1 # ' 11 ( ) ' ( , 1) ' ( 1) ( ) ( 1) n I I i n i I I n I I ni I i I T A T A T A+ ++ ∈ ∈ +∈ ∈     − + + −        ∑ ∑U U = ( )1 21 1 1( ) ( ) ... ( 1) ( )n nn n n n nT A T A C C C T A+ ++ + − + − + − = ( )0 1 21 1( ) ... ( 1) ( )n nn n n n nT A C C C C T A ++ − + − + − = 1( )T A { } 1 1 min ( )ii n T A ≤ ≤ + = với ( ) { }{ }, 1 1 : ( )nI n I n I I n+ = ∪ + ∈ . 24 Định lí 2.1.3 Nếu hàm : ( ) [0; )T X → +∞B là cực đại thì T thỏa điều kiện 2. của định nghĩa 2.1.1 Chứng minh: Với mọi họ tập Borel Ai , 1,..., , 2i k k= ≥ ta có { } # 1 {1,..., } ( )1 min ( ) ( 1) k I i i ii k I I ki i I T A T A T A+ ∈ ∈= ∈     ≤ = −        ∑I U . Định nghĩa 2.1.3 Hàm : ( ) [0; )T X → +∞B được gọi là độ đo cực đại nếu T là cực đại và thỏa các điều kiện 1., 3., 4. của định nghĩa 2.1.1. Như vậy, một độ đo cực đại là một dung lượng trên X . Định nghĩa 2.1.4 Hàm : ( ) [0; )T X → +∞B được gọi là có tính liên tục trên nếu với mọi dãy giảm 1 2 ... ...nC C C⊃ ⊃ ⊃ ⊃ của các tập Borel trong X và 0 1 n n C C +∞ = =I thì 0lim ( ) ( )nn T C T C →+∞ = . Trong trường hợp tổng quát, một dung lượng không nhất thiết có tính liên tục trên, chẳng hạn như ví dụ sau đây Ví dụ Cho không gian định chuẩn { }( , . ), 0X X ≠ . Hàm : ( ) [0;1]T X →B được xác định như sau ( )A X∀ ∈B , 1 ( ) 0 khi A T A khi A ≠ ∅ =  =∅ . 25 Khi đó T là dung lượng trên X nhưng T không có tính liên tục trên. Chứng minh: Trước hết ta kiểm tra T là một dung lượng. Ta có ( ) 0T ∅ = . Ta có T là cực đại. Thật vậy, , ( )A B X∀ ∈B : Nếu A B∪ =∅ thì { }( ) max ( ), ( ) =0T A B T A T B∪ = . Nếu A B∪ ≠ ∅ thì { }( ) max ( ), ( ) =1T A B T A T B∪ = . Do đó T thỏa mãn điều kiện 2. của định nghĩa 2.1.1. Ta có { }( ) sup ( ) : ( ), T A T C C X C A= ∈ ⊂K , ( )A X∀ ∈B . Thật vậy: Nếu A =∅ thì { }( ) sup ( ) : ( ), 0T A T C C X C A= ∈ ⊂ =K . Nếu A ≠ ∅ thì với x A∈ , ta có { }x là tập compăc chứa trong A và { }( ) 1T x = nên ta có { }( ) sup ( ) : ( ), 1T A T C C X C A= ∈ ⊂ =K . Ta có { }( ) inf ( ) : ( ), , ( )T C T G G X G C C X= ∈ ⊃ ∀ ∈KG . Thật vậy: Nếu C =∅ thì ∅ cũng là một tập mở chứa C nên { }( ) inf ( ) : ( ), 0T C T G G X G C= ∈ ⊃ =G . Nếu C ≠ ∅ thì { }( ) inf ( ) : ( ), 1T C T G G X G C= ∈ ⊃ =G . Vậy T là dung lượng trên X . Tiếp theo ta chứng minh T không có tính liên tục trên. Với mỗi n = 1, 2, … ta đặt 1 : 0nA x X x n  = ∈ < <    Thế thì { }nA là một dãy giảm trong ( )XB và 1 n n A +∞ = =∅I . Ta có ( ) 1, n 1nT A = ∀ ≥ và 1 0n n T A +∞ =   =    I . 26 Do đó 1 lim ( ) 1n n n n T A T A +∞ →+∞ =   = >     I . Vậy T không có tính liên tục trên. Định lí 2.1.4 Trên ( )nRK thì một dung lượng có tính liên tục trên. Chứng minh: Giả sử 1 2 ... ...nC C C⊃ ⊃ ⊃ ⊃ là một dãy giảm của các tập trong ( ) nRK và 0 1 n n C C +∞ = =I . Ta chứng minh 0lim ( ) ( )nn T C T C →+∞ = . Vì T là hàm không giảm nên tồn tại lim ( )nn T C →+∞ và 0lim ( ) ( )nn T C T C →+∞ ≥ . Ta có { }0 0( ) inf ( ) : ( ), nT C T G G R G C= ∈ ⊃G . Với 0ε > cho trước, tồn tại 0( ), nG R G C∈ ⊃G sao cho 0( ) ( )T G T C ε< + Vì 0 1 n n C C +∞ = =I là tập compắc và G là một tập mở chứa 0C nên 0 0: , nn N G C n n∃ ∈ ⊃ ∀ ≥ . Do đó ( ) lim ( )nn T G T C →+∞ ≥ . Suy ra 0( ) lim ( )nn T C T Cε →+∞ + > . Tứ đó ta có 0( ) lim ( )nn T C T C →+∞ ≥ . Vậy 0lim ( ) ( )nn T C T C →+∞ = . 27 Định nghĩa 2.1.5 Tập S X⊂ được gọi là giá của dung lượng T nếu S là tập đóng nhỏ nhất trong X thỏa ( \ ) 0T X S = . Giá của T được kí hiệu là suppT. Định lí 2.1.5 Nếu T là dung lượng trên X thì (supp ) ( ) ( )T T T A A X≥ ∀ ∈B . Và do đó (supp ) ( )T T T X= . Chứng minh: Với S = suppT và ( )A X∀ ∈B thì ta có ( ) ( )cA A S A S= ∩ ∪ ∩ . Theo định nghĩa 2.1.1 thì ( )0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c cT A S A S T A S T A S T A= ∩ ∩ ∩ ≤ ∩ + ∩ − ( ) ( ) ( )cT A T A S T A S⇒ ≤ ∩ + ∩ . Mà ( ) ( )T A S T S∩ ≤ và ( ) 0cT A S∩ = , do đó ( ) ( )T A T S≤ . Ta có (supp ) ( )T T T X≤ và theo trên thì ( ) (supp )T X T T≤ nên được (supp ) ( )T T T X= . Hệ quả 2.1.2 Nếu T là dung lượng trên X thì { }supp \ : ( ), ( ) 0T X G G X T G= ∈ =U G . Định nghĩa 2.1.6 Dung lượng T được gọi là dung lượng xác suất trên X nếu (supp ) 1T T = . 28 2.2. Mối liên hệ giữa dung lượng và độ đo Định lí 2.2.1 Nếu µ là độ đo hữu hạn trên ( )XB thì với mọi họ tập Borel Ai , 1,...,i k= , 2k ≥ ta có # 1 ( )1 ( 1) k I i i I I ki i I A Aµ µ+ ∈= ∈     = −        ∑I U . Chứng minh: Với k = 2, do µ là độ đo hữu hạn ta có 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )A A A A A Aµ µ µ µ∩ = + − ∪ . Giả sử đẳng thức trên đúng với , 2k n n= ≥ , ta chứng minh đẳng thức trên đúng với 1k n= + . Kí hiệu { }{ } ( )( 1) ( ) 1 , 1nI n I n n I n+ = ∪ + ∪ + , với ( ) { }{ }, 1 1 : ( )nI n I n I I n+ = ∪ + ∈ . Đặt 1 n i i A A = =I . Ta có ( ) 1 1 1 n i n i A A Aµ µ + + =   = ∩    I = 1 1( ) ( ) ( )n nA A A Aµ µ µ+ ++ − ∪ = 1 1 1 ( ) ( ) n n i n i A A A Aµ µ µ+ + =    + −       UI = ( ) ( )1 1 1 1 n n i n i n i i A A A Aµ µ µ+ + = =     + − ∪        I I = ( )# 1 # 11 1 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)I Ii n i n I I n I I ni I i I A A A Aµ µ µ+ ++ + ∈ ∈∈ ∈     − + − − ∪        ∑ ∑U U = # 1 # 11 ( ) ( ) ' ( 1) ( ) ( 1)I Ii n i I I n I I ni I i I A A Aµ µ µ+ ++ ∈ ∈∈ ∈     − + − −        ∑ ∑U U 29 = # 1 # ' 11 ( ) ' ( , 1) ' ( 1) ( ) ( 1) n I I i n i I I n I I ni I i I A A Aµ µ µ+ ++ ∈ ∈ +∈ ∈     − + + −        ∑ ∑U U = # 1 ( 1) ( 1) I i I I n i I Aµ+ ∈ + ∈   −     ∑ U , với { }' 1 , ( )I I n I I n= ∪ + ∈ . Hệ quả 2.2.1 Độ đo Borel chính quy hữu hạn trên X là dung lượng trên X. Đặc biệt, với mọi tập con Borel bị chặn A của nR , thu hẹp của độ đo Lebesgue trên ( )AB là dung lượng trên A. Như vậy, lớp các dung lượng trên X chứa lớp các độ đo Borel chính quy hữu hạn và lớp của những độ đo cực đại. 2.3. Một số dung lượng đặc biệt Định lí 2.3.1 Cho x X∈ . Hàm : ( ) [0; )x xT Xδ= → +∞B được xác định như sau ( )A X∀ ∈B , 1 ( ) 0 x khi x A T A khi x A ∈ =  ∉ . Khi đó xT là dung lượng xác suất trên X . Chứng minh: Ta có ( ) 0xT ∅ = . xT là cực đại. Thật vậy, , ( )A B X∀ ∈B : Nếu x A B x A∈ ∪ ⇒ ∈ hoặc x B∈ thì { }( ) max ( ), ( ) 1x x xT A B T A T B∪ = = . Nếu x A B x A∉ ∪ ⇒ ∉ và x B∉ thì 30 { }( ) max ( ), ( ) 0x x xT A B T A T B∪ = = . Do đó xT thỏa mãn điều kiện 2. của định nghĩa 2.1.1. Ta có { }( ) sup ( ) : ( ), x xT A T C C X C A= ∈ ⊂K , ( )A X∀ ∈B . Thật vậy: Nếu x A∈ thì ( ) 1xT A = . Vì { }x là tập compăc chứa trong A và { }( ) 1xT x = nên đẳng thức đúng. Nếu x A∉ thì ( ) 0xT A = . Vì ( ), ( ) 0xC X C A x C T C∀ ∈ ⊂ ⇒ ∉ ⇒ =K nên đẳng thức cũng đúng. Ta có { }( ) inf ( ) : ( ), , ( )x xT C T G G X G C C X= ∈ ⊃ ∀ ∈KG . Thật vậy: Nếu x C∈ thì ( ) 1xT C = và ( )( ) 1, , x XT G G G C= ∀ ∈ ⊃G nên đẳng thức đúng. Nếu x C∉ thì ( ) 0xT C = . Ta có { }\X x là một tập mở chứa C. Mà { }( )\ 0xT X x = nên đẳng thức cũng đúng. Vậy xT là dung lượng trên X . Hiển nhiên { }suppT x= và { }( ) 1xT x = nên xT là dung lượng xác suất trên X . Định lí 2.3.2 Cho ( )C X∈K . Hàm : ( ) [0; )CT X → +∞B được xác định như sau ( )A X∀ ∈B , 1 ( ) 0 C khi A C T A khi A C ∩ ≠ ∅ =  ∩ =∅ . Khi đó CT là dung lượng xác suất trên X và supp CT C= . Chứng minh: Ta có ( ) 0CT ∅ = . Ta có CT là cực đại. Thật vậy, , ( )A B X∀ ∈B : Nếu ( )A B C∪ ∩ ≠ ∅ thì { }( ) max ( ), ( ) 1C C._.