Luật số lớn cho mảng phù hợp với các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach

n trong không gian Banach p-trơn đều 11 2.1. Luật yếu số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2LỜI NÓI ĐẦU Luật số lớn đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong Lý thuyết Xác suất. Luật số lớn đầu tiên của J. Bernoulli được công bố vào năm 1713. Về sau kết quả này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov,... mở rộng. Trong những năm qua có một hướng nghiên cứu Luật số lớn là mở rộng các kết quả về Luật số lớn trong trường hợp dãy (một chỉ số) ra cho trường hợp nhiều chỉ số. Smythe (1972) đã thu được luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên. Luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với dãy nhiều chiều được Gut (1987), Klesov (1996) thiết lập. Thời gian gần đây có nhiều bài báo nghiên cứu trong trường hợp hai chỉ số cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực (Hong and Volodin (1999), L. V. Thanh (2005), N. V. Quang and N. N. Huy (2008)) hoặc nhận giá trị trên không gian Banach (N. V. Quang and L. H. Son (2006), Rosalsky and L. V. Thanh (2006), N. V. Quang and N. V. Huan (2008)). Trên cơ sở đọc và tìm hiểu tài liệu tham khảo, chúng tôi nghiên cứu đề tài Luật số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach. Bố cục khóa luận gồm 2 chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm về không gian Banach p-trơn đều, các khái niệm về tính bị chặn ngẫu nhiên và bị chặn theo xác suất, đặc biệt là đã xây dựng được khái niệm mảng các hiệu martingale. Đồng thời chúng tôi cũng đưa ra một số bổ đề và các bất đẳng thức, đây chính là chìa khóa để có được các kết quả về luật số lớn trong khóa luận. Chương 2. Luật số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p−trơn đều. Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong chương này, bao gồm hai tiết. Tiết 2.1 chúng tôi trình bày Luật yếu số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach 3p-trơn đều đối với trường hợp chỉ số tất định và chỉ số ngẫu nhiên. Kết quả trong tiết này đã được trình bày ở bài báo [8] mà tác giả đã viết chung với thầy giáo Nguyễn Văn Quảng. Tiết 2.2 chúng tôi thiết lập Luật mạnh số lớn cho mảng các hiệu martingale, luật số lớn kiểu Marcinkiewicz cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên. Một số kết quả của chúng tôi đưa ra là tổng quát hơn các kết quả trước đó. Khóa luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của Thầy giáo, PGS. TS Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập, nghiên cứu khoa học và các bài học trong cuộc sống. Nhân dịp này tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo, Th.S Lê Văn Thành đã giúp đỡ tác giả về những tài liệu tham khảo. Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân và tất cả bạn bè đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên khóa luận chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và góp ý của bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 5 năm 2009 Tác giả 4CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn bộ khóa luận, ta luôn giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác suất đầy đủ cố định. Với a, b ∈ R, min{a, b} và max{a, b} được kí hiệu là a ∧ b và a ∨ b. Kí hiệu C là một hằng số dương, nhưng hằng số đó không nhất thiết phải giống nhau trong các lần xuất hiện. Kí hiệu log chỉ logarit cơ số 2 và log+x = log(1∨x). Với x > 0, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. 1.1 Không gian Banach p-trơn đều 1.1.1 Định nghĩa. Không gian Banach khả li X được gọi là không gian Banach p-trơn đều (1 6 p 6 2) nếu ρ(τ) = sup {‖x + y‖ + ‖x− y‖ 2 − 1; ∀ x, y ∈ X ; ‖x‖ = 1, ‖y‖ = τ } 6 Cτ p với C là một hằng số nào đó. Nhận xét. Đường thẳng thực R là trường hợp đặc biệt của không gian Banach p-trơn đều với p = 2. Định lý sau đây của Assouad đưa ra điều kiện cần và đủ để một không gian Banach khả li X là không gian Banach p-trơn đều 1.1.2 Định lý. (Assouad) Không gian Banach khả li X là p-trơn đều (1 6 p 6 2) nếu và chỉ nếu với mọi q > 1, tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi martingale {Sn,Fn, n > 1} nhận giá trị trên X đều có E‖Sn‖q 6 CE ( n∑ i=1 ‖Si − Si−1‖p )q/p , ∀n ∈ N. (1.1.1) (Bất đẳng thức Marcinkiewicz - Zygmund) 51.1.3 Định lý. (Assouad, Hoffmann Jφrgensen) Không gian Banach nhận giá trị thực X là p-trơn đều (1 6 p 6 2) khi và chỉ khi tồn tại số dương L sao cho với mọi x, y ∈ X , ta có ‖x + y‖p + ‖x− y‖p 6 2‖x‖p + L‖y‖p. (1.1.2) 1.2 Mảng phù hợp và mảng các hiệu martingale Cho (Ω,F ,P) là không gian xác suất, X là không gian Banach khả li và B(X ) là σ-đại số tất cả các tập Borel trong X . Cho mảng hai chiều {Fmn,m > 1, n > 1} các σ-đại số con của F với chỉ số trong N × N. Khi đó mảng hai chiều {Xmn,Fmn,m > 1, n > 1} được gọi là mảng phù hợp nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 1. Xmn là Fmn/B(X ) đo được. 2. Với mỗi n ∈ N và m2 > m1 thì Fm1n ⊂ Fm2n, với mỗi m ∈ N và n2 > n1 thì Fn1m ⊂ Fn2m. Chú ý rằng định nghĩa mảng phù hợp ở đây của chúng tôi khác với định nghĩa mảng phù hợp đã được nêu trong [6] và [7]. Trong các định nghĩa đó, khái niệm mảng phù hợp được xây dựng dựa trên quan hệ thứ tự tần số trên N2. Kí hiệu F∞n = σ( ⋃ m>1 Fmn), Fm∞ = σ( ⋃ n>1 Fmn) và F∗mn = σ(Fm−1,∞ ⋃F∞,n−1). Ta quy ước rằng F0,∞ = F∞,0 = {∅,Ω}. Một mảng phù hợp {Xmn,Fmn,m > 1, n > 1} được gọi là mảng các hiệu martingale nếu E{Xmn|F∗mn} = 0 hầu chắc chắn (h.c.c) ∀m,n ∈ N. Ví dụ sau đây cho chúng ta thấy được sự tồn tại của khái niệm mảng các hiệu martingale Ví dụ 1. Cho {Xmn,m > 1, n > 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập có kì vọng 0. Với mọi m > 1, n > 1, gọi Fmn là σ-đại số sinh bởi Xmn, khi đó E(Xmn|F∗mn) = EXmn = 0 và {Xmn,Fmn,m > 1, n > 1} lập thành một mảng các hiệu martingale. 6Ví dụ 2. Cho dãy (Xn,Fn, n > 1) là một hiệu martingale nào đó nhưng (Xn, n > 1) không độc lập. Với mọi n > 1, đặt Xmn = Xn nếu m = 1 và Xmn = 0 nếu m > 1; Fmn = Fn ,m ≥ 1. Ta có Xmn ∈ Fmn với mọi m > 1, n > 1; F∗mn = Fn−1 nếu m = 1; F∗mn = σ ( ∞⋃ n=1 Fn ) nếu m > 1. Khi đó {Xmn,Fmn,m > 1, n > 1} là mảng các hiệu martingale nhưng không là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0. Từ hai ví dụ trên ta thấy rằng tập hợp tất cả mảng các hiệu martingale thực sự rộng hơn tập hợp tất cả mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0. 1.3 Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên và bị chặn theo xác suất 1.3.1 Định nghĩa. Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn,m > 1, n > 1} được gọi là bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số C < ∞ thỏa mãn P{‖Xmn‖ > t} 6 CP{‖X‖ > t}, với mọi t > 0,m > 1, n > 1. (1.3.1) 1.3.2 Nhận xét. Nếu {Xmn,m > 1, n > 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên cùng phân phối thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X11 và khi đó C = 1. 1.3.3 Định nghĩa. Cho dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn, n > 1} và dãy các hằng số dương {bn, n > 1}, ta nói Xn/bn là bị chặn theo xác suất và kí hiệu là Xn = OP (bn), nếu lim K→∞ sup n>1 P {‖Xn‖ bn > K } = 0. (1.3.2) 71.4 Một số bổ đề Bổ đề sau đây cho ta một cách chứng minh sự hội tụ hầu chắc chắn của mảng các phần tử ngẫu nhiên và rất hay sử dụng trong quá trình chứng minh sự hội tụ hầu chắc chắn của mảng các phần tử ngẫu nhiên. 1.4.1 Bổ đề. Giả sử {Xmn,m > 1, n > 1} là mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên. 1. Với ε > 0 bất kì, nếu ∞∑ m=1 ∞∑ n=1 P(‖Xmn‖ > ε) < ∞ thì Xmn → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞. 2. Với p > 0, nếu ∞∑ m=1 ∞∑ n=1 E‖Xmn‖p < ∞ thì Xmn → 0 h.c.c và trong Lp khi m ∨ n → ∞. Chứng minh. Đặt Ak = ∞⋃ m∨n=k (‖Xmn‖ > ε), k > 1, khi đó dãy {Ak, k > 1} là dãy giảm các biến cố, đặt A = ∞⋂ k=1 Ak. 1. Với mọi k > 1, vì chuỗi kép ∑∞ m=1 ∑∞ n=1 P(‖Xmn‖ > ε) hội tụ nên phần đuôi ∑ m∨n>k P{‖Xmn‖ > ε} của nó sẽ dần tới 0 khi k → ∞. Ta có: P(Ak) = P{ sup m∨n>k ‖Xmn‖ > ε} 6 ∑ m∨n>k P{‖Xmn‖ > ε} → 0 khi k → ∞. Từ đó P(A) = lim k→∞ P(Ak) = lim k→∞ P{ sup m∨n>k ‖Xmn‖ > ε} = 0. 8Nếu ω /∈ A thì tồn tại k0 sao cho ω /∈ Ak0 hay ‖Xmn(ω)‖ 6 ε với mọi m ∨ n > k0, điều này kéo theo lim m∨n→∞Xmn(ω) = 0. Vì P(A) = 0 nên Xmn → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞. 2. Với p > 0, do chuỗi kép ∑∞ m=1 ∑∞ n=1 E‖Xmn‖p hội tụ nên hiển nhiên suy ra E‖Xmn‖p → 0 khi m ∨ n → ∞. Do đó Xmn → 0 trong Lp khi m ∨ n → ∞. Mặt khác, với mọi k > 1 và áp dụng bất đẳng thức Markov ta có ∞∑ m=1 ∞∑ n=1 P(‖Xmn‖ > ε) 6 1 εp ∞∑ m=1 ∞∑ n=1 E‖Xmn‖p < ∞ (do giả thiết) Theo ý thứ nhất ta suy ra Xmn → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞. Bổ đề sau đây sẽ thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng các hiệu martingale trong không gian Banach p-trơn đều 1.4.2 Bổ đề. Cho 0 < p 6 2. Cho {Xij; 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n} là họ mn phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach khả li. Khi 1 < p 6 2 ta giả thiết thêm {Xij,Fij; 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n} là mảng các hiệu martingale trong không gian Banach p-trơn đều thì E ( max 16k6m 16l6n ∥∥∥ k∑ i=1 l∑ j=1 Xij ∥∥∥)p 6 C m∑ i=1 n∑ j=1 E‖Xij‖p. (1.4.1) với hằng số C không phụ thuộc vào m và n. Chứng minh. Trong trường hợp 1 < p 6 2 : Đặt Skl = ∑k i=1 ∑l j=1 Xij, Yl = max16k6m ‖Skl‖ với mỗi l = 1, 2, ..., n. Nếu σl là σ-đại số sinh bởi {Xij; 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 l} thì σl ⊂ F∗i,l+1 với mọi i > 1, điều này kéo theo E(Xi,l+1|σl) = E(E(Xi,l+1|F∗i,l+1)|σl) = 0 h.c.c Do đó ta có E(Sk,l+1|σl) = E(Skl + X1,l+1 + · · · + Xk,l+1|σl) 9= E(Skl|σl) + E(X1,l+1|σl) + · · · + E(Xk,l+1|σl) = Skl h.c.c. Suy ra {Skl, σl; 1 6 l 6 n} là martingale. Vì {‖Skl‖, σl; 1 6 l 6 n} là martingale dưới không âm với mỗi k = 1, 2, ...,m. Vì vậy { max 16k6m ‖Skl‖ = Yl, σl; 1 6 l 6 n} là martingale dưới không âm. Theo bất đẳng thức Doob (xem [11], tr. 255) E ( max 16k6m 16l6n ‖Skl‖ )p = E(max 16l6n Yl) p 6 CEY pn . (1.4.2) Mặt khác, vì {Skn,F∗k+1,1}mk=1 là martingale nên {‖Skn‖,F∗k+1,1}mk=1 là martingale dưới không âm. Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Doob ta có EY pn = E ( max 16k6m ‖Skn‖ )p 6 CE‖Smn‖p (1.4.3) Ta lại có {Sml,F∗1,l+1}nl=1 và { ∑k i=1 Xil,F∗k+1,l}mk=1 (với mỗi l = 1; ...;n) là các martingale. Vì vậy theo Định lý 1.1.2 ta có E‖Smn‖p =E ∥∥∥ n∑ l=1 (Sml − Sm,l−1) ∥∥∥p 6 C n∑ l=1 E‖Sml − Sm,l−1‖p = C n∑ l=1 E ∥∥∥ m∑ k=1 Xkl ∥∥∥p 6 C m∑ k=1 n∑ l=1 E‖Xkl‖p (1.4.4) Kết hợp (1.4.2), (1.4.3) và (1.4.4) cho ta (1.4.1). Trường hợp còn lại 0 < p 6 1, ta có E ( max 16k6m 16l6n ∥∥∥ k∑ i=1 l∑ j=1 Xij ∥∥∥)p 6 E( max 16k6m 16l6n k∑ i=1 l∑ j=1 ‖Xij‖p ) = E ( m∑ i=1 n∑ j=1 ‖Xij‖p ) = m∑ i=1 n∑ j=1 E‖Xij‖p Ta cũng nhận được (1.4.1). Bổ đề được chứng minh hoàn toàn. 1.5 Một số bất đẳng thức Các bổ đề sau đây là một số bất đẳng thức sơ cấp và một số kết quả về chuỗi số, sẽ được sử dụng trong quá trình thiết lập các luật số lớn 10 1.5.1 Bổ đề. (xem [7], Bổ đề 2.4) Với mọi p ∈ [1, 2] và với mọi k ∈ N ta có các bất đẳng thức sau 1. k p r 6 p r k∑ i=1 i p r−1 với mọi r ∈ (0, p). (1.5.1) 2. k∑ i=i0 i p r−2 6 r p− r ( k p r−1 − (i0 − 1) p r−1 ) với mọi i0 ∈ N, r ∈ (p 2 , p). (1.5.2) Chứng minh. 1. Với r ∈ (0, p) ta có pr − 1 > 0, cho nên hàm số y = x p r−1 tăng trên (0,∞). Vì vậy i p r−1 = ∫ i i−1 i p r−1dx > ∫ i i−1 x p r−1dx với mọi i = 1, 2, ..., k. Nên k∑ i=1 i p r−1 > k∑ i=1 ∫ i i−1 x p r−1dx = ∫ k 0 x p r−1dx = r p k p r . 2. Với r ∈ (p2 , p) thì pr −2 < 0. Vì vậy hàm số y = x p r−2 giảm trên (0,∞). Nên i p r−2 = ∫ i i−1 i p r−2dx 6 ∫ i i−1 x p r−2dx với mọi i = 1, 2, ..., k. Suy ra k∑ i=i0 i p r−2 6 k∑ i=i0 ∫ i i−1 x p r−2dx = r p− r ( k p r−1 − (i0 − 1) p r−1 ) . 1.5.2 Bổ đề. Cho k là số nguyên dương. Gọi d(k) là số ước số dương của k, khi đó ta có 1. ∞∑ k=i+1 d(k) k p r 6 C logi (i + 1) p r−1 với p > r > 0. (1.5.3) 2. n∑ k=1 d(k) k 1 r 6 C n1− 1r logn với r > 1. (1.5.4) Chứng minh của bổ đề trên có thể tìm thấy từ Bổ đề 4 và 5 trong [9] hoặc một số tài liệu về Giải tích số. 11 CHƯƠNG 2 LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG PHÙ HỢP CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN BANACH P -TRƠN ĐỀU 2.1 Luật yếu số lớn Luật yếu số lớn cho dãy phù hợp các phần tử ngẫu nhiên được đưa ra bởi N. V. Quang and L. H. Son trong [5]. Sau đó luật yếu số lớn cho mảng phù hợp các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực với quan hệ thứ tự tần số trên N2 được thiết lập bởi N. V. Quang and N. N. Huy (xem [6]). Kết quả này đã được N. V. Quang and N. V. Huan mở rộng cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trên không gian Banach (xem [7]). Trong tiết này chúng tôi sẽ thiết lập các luật yếu số lớn với chỉ số tất định và chỉ số ngẫu nhiên với các mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên (theo định nghĩa chúng tôi đã đưa ra ở chương trước). Các kết quả chính trong phần này đã được chúng tôi công bố trong [8]. Sau đây là luật yếu số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều. 2.1.1 Định lý. Cho {Xmn,Fmn,m > 1, n > 1} là mảng phù hợp trong không gian Banach p-trơn đều X (1 6 p 6 2), {bmn,m > 1, n > 1} là mảng các số thực dương. Đặt Yij = Xij I{‖Xij‖ 6 bmn}. Ta có 1 bmn m∑ i=1 n∑ j=1 Xij P−→ 0 khi m ∨ n −→ ∞, (2.1.1) 12 nếu i) P { max 16i6m 16j6n ‖Xij‖ > bmn } −→ 0 khi m ∨ n −→ ∞, (2.1.2) ii) 1 bmn m∑ i=1 n∑ j=1 E{Yij|F∗ij} P−→ 0 khi m ∨ n −→ ∞, (2.1.3) iii) 1 bpmn m∑ i=1 n∑ j=1 E‖Yij − E{Yij|F∗ij}‖p −→ 0 khi m ∨ n −→ ∞. (2.1.4) Chứng minh. Với m > 1, n > 1, đặt Smn = m∑ i=1 n∑ j=1 Xij ; S˜mn = m∑ i=1 n∑ j=1 Yij ; µmn = m∑ i=1 n∑ j=1 E{Yij|F∗ij}. Theo (2.1.2) ta có P (Smn bmn 6= S˜mn bmn ) = P(Smn 6= S˜mn) 6 P ( ⋃ 16i6m 16j6n {Xij 6= Yij} ) = P ( ⋃ 16i6m 16j6n {‖Xij‖ > bmn} ) = P { max 16i6m 16j6n ‖Xij‖ > bmn } −→ 0 khi m ∨ n −→ ∞. Để chứng minh (2.1.1) ta chỉ cần chứng minh 1 bmn S˜mn P−→ 0 là đủ. Lại theo (2.1.3) nên ta chỉ cần chứng minh 1 bmn (S˜mn − µmn) P−→ 0 khi m ∨ n −→ ∞ (2.1.5) Với ε > 0, theo bất đẳng thức Markov ta có P {∥∥ 1 bmn (S˜mn − µmn) ∥∥ > ε} = P{∥∥∥ m∑ i=1 n∑ j=1 ( Yij − E{Yij|F∗ij} )∥∥∥ > bmnε} 6 1 bpmn εp E ∥∥∥ m∑ i=1 n∑ j=1 ( Yij − E{Yij|F∗ij} )∥∥∥p. Mặt khác, vì {Yij,Fij , i ≥ 1, j ≥ 1} và { E{Yij|F∗ij},Fij , i ≥ 1, j ≥ 1 } là mảng phù hợp nên {Yij − E{Yij|F∗ij},Fij, i ≥ 1, j ≥ 1} là mảng các hiệu martingale. 13 Theo (1.4.4) và (2.1.4), ta được P {‖ 1 bmn (S˜mn − µmn)‖ > ε } 6 C bpmn εp m∑ i=1 n∑ j=1 E‖Yij − E{Yij|F∗ij}‖p −→ 0 khi m ∨ n −→ ∞. Đến đây ta thu được (2.1.5). Dễ dàng nhận thấy rằng nếu Xmn P−→ X khi m ∨ n −→ ∞, thì X1n P−→ X khi n → ∞. Hơn nữa, chú ý rằng P { max 16i6m 16j6n ‖Xij‖ > bmn } 6 m∑ i=1 n∑ j=1 P{‖Xij‖ > bmn} ta lập tức nhận được 2.1.2 Hệ quả. (xem [5], Định lý 2.1) Cho {Sn = ∑n i=1 Xi,Fn;n > 1} là dãy phù hợp trong không gian Banach p-trơn đều X (1 6 p 6 2) và giả sử {bn, n > 1} là dãy các số dương với bn ↑ ∞. Kí hiệu Xni = Xi I{‖Xi‖ 6 bn} , 1 6 i 6 n, ta có 1 bn Sn P−→ 0 khi n −→ ∞, nếu i) n∑ i=1 P{‖Xi‖ > bn} −→ 0, ii) 1 bn n∑ i=1 E{Xni|Fi−1} P−→ 0, iii) 1 bpn n∑ i=1 E‖Xni − E{Xni|Fi−1}‖p −→ 0. Nhận xét: Trong trường hợp đặc biệt, khi X = R, hệ quả trên thật sự mạnh hơn Định lý 2.13 của Hall và Heyde được nêu ra trong [10]: cũng đưa ra kết quả tương tự nhưng với giả thiết mạnh {∑ni=1 Xi,Fn;n ≥ 1} là martingale (xem ví dụ để chứng tỏ điều này trong [5]). Định lý tiếp theo thiết lập luật số lớn cho mảng các phần tử ngẫu nhiên với chỉ số ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều. Định lý này là một dạng 14 tương tự của Định lý 4.2 trong [2], tuy nhiên Định lý 4.2 trong [2] chỉ xét cho mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập còn Định lý sau đây xét cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên. Ngoài ra, phép chứng minh của chúng tôi cũng sử dụng một số kĩ thuật khác so với kĩ thuật được trình bày trong [2]. 2.1.3 Định lý. Cho {Xmn,Fmn;m > 1, n > 1} là mảng phù hợp trong không gian Banach p-trơn đều X , (1 6 p 6 2). Giả sử {Xmn,m > 1, n > 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X. Cho {Tn;n > 1} và {τn;n > 1} là dãy các đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương sao cho Tn = OP (n) và τn = OP (n) Cho số thực r ∈ (0, p). Đặt Yij = Xij I{‖Xij‖ 6 m 1rn 1r}. Nếu lim λ→∞ λP{‖X‖ > λ 1r} = 0 (2.1.6) thì ta có luật yếu số lớn∑Tm i=1 ∑τn j=1 ( Xij − E{Yij|F∗ij} ) m 1 rn 1 r P−→ 0 khi m ∨ n −→ ∞, Chứng minh. Theo (1.3.2), với mọi ε > 0, tồn tại số nguyên dương K = Kε để sup n>1 P {Tn n > K } 6 ε và sup n>1 P {τn n > K } 6 ε Đầu tiên, ta chứng minh∑Tm i=1 ∑τn j=1(Xij − Yij) m 1 rn 1 r P−→ 0 khi m ∨ n −→ ∞, (2.1.7) Thật vậy, với ε > 0 tùy ý ta có P {‖∑Tmi=1∑τnj=1(Xij − Yij)‖ m 1 rn 1 r > ε } 6 P { Tm∑ i=1 τn∑ j=1 Xij 6= Tm∑ i=1 τn∑ j=1 Yij } 6 P {[ Tm∑ i=1 τn∑ j=1 Xij 6= Tm∑ i=1 τn∑ j=1 Yij ] ∩ [Tm 6 Km] ∩ [τn 6 Kn]} + P{Tm > Km} + P{τn > Kn} 6 P {Km⋃ i=1 Kn⋃ j=1 [‖Xij‖ > mn] } + 2 ε 6 Km∑ i=1 Kn∑ j=1 P{‖Xij‖ > mn} + 2 ε 6 CK2mnP{‖X‖ > mn} + 2ε = o(1) + 2 ε (theo (1.3.1)) 15 Vì ε > 0 là tùy ý nên ta nhận được (2.1.7). Từ (2.1.7), ta chỉ cần chứng minh∑Tm i=1 ∑τn j=1 ( Yij − E{Yij|F∗ij} ) m 1 rn 1 r P−→ 0 khi m ∨ n −→ ∞, (2.1.8) Với ε > 0 tùy ý, ta có P {∥∥∑Tm i=1 ∑τn j=1 ( Yij − E{Yij|F∗ij} )∥∥ m 1 rn 1 r > ε } 6 P {[∥∥∑Tm i=1 ∑τn j=1 ( Yij − E{Yij|F∗ij} )∥∥ m 1 rn 1 r > ε ] ∩ [Tm 6 Km] ∩ [τn 6 Kn]} + P{Tm > Km} + P{τn > Kn} 6 P { Km⋃ k=1 Kn⋃ l=1 [∥∥∥∥ k∑ i=1 l∑ j=1 ( Yij − E{Yij|F∗ij} )∥∥∥∥ > εm 1rn 1r ]} + 2 ε = P { max 16k6Km 16l6Kn ∥∥∥∥ k∑ i=1 l∑ j=1 ( Yij − E{Yij|F∗ij} )∥∥∥∥ > εm 1rn 1r } + 2 ε 6 C εp(mn) p r Km∑ i=1 Kn∑ j=1 E‖Yij − E{Yij|F∗ij}‖p + 2 ε (Vì { Yij − E{Yij|F∗ij} ,Fij ;m > 1, n > 1 } lập thành một mảng các hiệu mar- tingale và theo Bổ đề 1.4.2) Kết hợp (1.1.2) và bất đẳng thức Jensen cho kì vọng có điều kiện ta thu được E‖Yij − E{Yij|F∗ij}‖p 6 E ( 2‖Yij‖p + L‖E{Yij|F∗ij}‖p ) 6 2E‖Yij‖p + LE ( E{‖Yij‖p |F∗ij} ) = (L + 2)E‖Yij‖p (2.1.9) Bởi vậy 0 6 1 m p rn p r Km∑ i=1 Kn∑ j=1 E‖Yij − E{Yij|F∗ij}‖p 6 (L + 2)(mn) −p r Km∑ i=1 Kn∑ j=1 E‖Yij‖p = (L + 2)(mn) −p r Km∑ i=1 Kn∑ j=1 E (‖Xij‖p I{‖Xij‖ 6 m 1rn 1r}) 16 = (L + 2)(mn) −p r Km∑ i=1 Kn∑ j=1 mn∑ k=1 E (‖Xij‖p I{(k − 1)1r < ‖Xij‖ 6 k 1r}) 6 (L + 2)(mn)−pr Km∑ i=1 Kn∑ j=1 mn∑ k=1 k p r P{(k − 1)1r < ‖Xij‖ 6 k 1r}. Theo (1.5.1), ta thu được 0 6 1 m p rn p r Km∑ i=1 Kn∑ j=1 E‖Yij − E{Yij|F∗ij}‖p 6 p(L + 2) r (mn) −p r Km∑ i=1 Kn∑ j=1 mn∑ k=1 ( k∑ l=1 l p r−1 ) P{(k − 1)1r < ‖Xij‖ 6 k 1r} = p(L + 2) r (mn) −p r Km∑ i=1 Kn∑ j=1 mn∑ l=1 l p r−1 ( mn∑ k=l P{(k − 1)1r < ‖Xij‖ 6 k 1r} ) = C(mn) −p r Km∑ i=1 Kn∑ j=1 mn∑ l=1 l p r−1P{(l − 1)1r < ‖Xij‖ 6 (mn) 1r} 6 C(mn)−pr Km∑ i=1 Kn∑ j=1 mn∑ l=1 l p r−1P{‖Xij‖ > (l − 1) 1 r} 6 C(mn)−pr Km∑ i=1 Kn∑ j=1 mn∑ l=1 l p r−1P{‖X‖ > (l − 1)1r} = C(mn) −p r K2mn mn∑ l=1 l p r−1P{‖X‖ > (l − 1)1r} = C(mn) −p r +1 mn∑ l=1 l p r−2 ( l P{‖X‖ > (l − 1)1r}). (2.1.10) Trong trường hợp 0 < r 6 p2 , ta có l p r−2 6 (mn)pr−2 với mọi l = 1, 2, ...,mn. Sử dụng giả thiết lim l→∞ P{‖X‖ > (l − 1)1r} = 0, (2.1.10) và Định lý Stolz ta có 0 6 1 m p rn p r m∑ i=1 n∑ j=1 E‖Yij − E{Yij|Fi,j−1}‖p 6 C mn∑ l=1 l P{‖X‖ > (l − 1)1r} mn −→ 0 khi m ∨ n −→ ∞. 17 Trường hợp còn lại, p2 < r < p. Từ giả thiết lim l→∞ P{‖X‖ > (l − 1)1r} = 0, với ε > 0 cho trước, tồn tại l0 ∈ N để l P{‖X‖ > (l − 1)1r} l0. Khi đó ta được (mn) −p r +1 mn∑ l=1 l p r−2 ( l P{‖X‖ > (l − 1)1r}) = (mn) −p r +1 ( l0∑ l=1 l p r−2 ( l P{‖X‖ > (l − 1)1r})+ mn∑ l=l0 l p r−2 ( l P{‖X‖ > (l − 1)1r})) 6 C(mn)−pr +1 + (mn)−pr +1 mn∑ l=l0 l p r−2ε. Chú ý rằng C(mn) −p r +1 → 0 khi m∨n −→ ∞. Mặt khác p2 < r < p, nên theo (1.5.2), ta thu được (mn) −p r +1 mn∑ l=l0 l p r−2ε 6(mn)−pr +1 r p− r ( (mn) p r−1 − (l0 − 1) p r−1 ) ε 6 r p− r ε = ε ′ với mọi mn > l0. Vậy (mn) −p r +1 ∑mn l=1 l p r−2 ( l P{‖X‖ > (l − 1)1r}) −→ 0 khi m ∨ n −→ ∞. Vì ε > 0 là tùy ý nên ta nhận được (2.1.8) 2.1.4 Hệ quả. Cho {Xmn,Fmn;m > 1, n > 1} là mảng phù hợp trong không gian Banach p-trơn đều X , (1 6 p 6 2). Giả sử {Xmn,m > 1, n > 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X. Cho {Tn;n > 1} và {τn;n > 1} là dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương và Tn = OP (n) và τn = OP (n) Cho số thực α, β ∈ (0, p). Đặt Yij = Xij I{‖Xij‖ 6 m 1αn 1β}. Nếu lim λ→∞ λP{‖X‖ > λ 1max{α,β}} = 0 thì ta có luật số lớn∑Tm i=1 ∑τn j=1 ( Xij − E{Yij|F∗i,j} ) m 1 αn 1 β P−→ 0 khi m ∨ n −→ ∞, (2.1.11) 18 Chứng minh. Trong trường hợp α = β, theo Định lý 2.1.3, ta có (2.1.11). Trong trường hợp α 6= β, ta giả sử rằng α < β. Dễ dàng chứng minh được rằng∑Tm i=1 ∑τn j=1(Xij − Yij) m 1 αn 1 β P−→ 0 khi m ∨ n −→ ∞, cho nên ta chỉ cần chứng minh∑Tm i=1 ∑τn j=1 ( Yij − E{Yij|F∗ij} ) m 1 αn 1 β P−→ 0 khi m ∨ n −→ ∞. Với ε > 0 bất kì, tồn tại số nguyên dương K = Kε sao cho P { ‖∑Tmi=1∑τnj=1 (Yij − E{Yij|F∗ij})‖ m 1 αn 1 β > ε } 6 Cm−pα n −p β Km∑ i=1 Kn∑ j=1 E‖Yij‖p + 2 ε Mặt khác ta lại có m −p α n −p β Km∑ i=1 Kn∑ j=1 E‖Yij‖p = m −p α n −p β Km∑ i=1 Kn∑ j=1 E (‖Xij‖p I{‖Xij‖ 6 m 1βn 1β}) + m −p α n −p β Km∑ i=1 Kn∑ j=1 E (‖Xij‖p I{m 1βn 1β < ‖Xij‖ 6 m 1αn 1β}) 6 m p β− pα (mn) −p β Km∑ i=1 Kn∑ j=1 E (‖Xij‖p I{‖Xij‖ 6 m 1βn 1β})+ Km∑ i=1 Kn∑ j=1 P (‖Xij‖ > m 1βn 1β ) 6 o(1) + C Km∑ i=1 Kn∑ j=1 P (‖X‖ > m 1βn 1β ) = o(1) + CK2mnP (‖X‖ > m 1βn 1β )−→0 khi m ∨ n −→ ∞. Hệ quả được chứng minh hoàn toàn. 2.2 Luật mạnh số lớn Trong tiết này chúng tôi sẽ thiết lập Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach p-trơn đều. Đầu tiên là Luật mạnh số lớn cho mảng các hiệu martingale 19 2.2.1 Định lý. Cho α > 0, β > 0 và 0 < p 6 2. Cho {Xij; 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n} là họ mn phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach khả li. Khi 1 < p 6 2 ta giả thiết thêm {Xij,Fij; 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n} là mảng các hiệu martingale trong không gian Banach p- trơn đều. Nếu ∞∑ i=1 ∞∑ j=1 E‖Xij‖p (iαjβ)p < ∞ (2.2.1) thì 1 mαnβ m∑ i=1 n∑ j=1 Xij → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞ (2.2.2) Chứng minh. Đặt Smn = m∑ i=1 n∑ j=1 Xij và Tkl = max 2k6m<2k+1 2l6n<2l+1 ∥∥∥∥ Smnmαnβ − S2k2l(2αk2βl) ∥∥∥∥ Với mọi ε > 0, theo bất đẳng thức Markov ta có: ∞∑ k=1 ∞∑ l=1 P {∥∥∥∥ S2k2l(2αk2βl) ∥∥∥∥ > ε} 6 ∞∑ k=1 ∞∑ l=1 1 (2αk2βl)pεp E‖S2k2l‖p 6 C ∞∑ k=1 ∞∑ l=1 ∑2k i=1 ∑2l j=1 E‖Xij‖p (2αk2βl)p (do (1.4.4)) 6 C ∞∑ i=1 ∞∑ j=1 ∞∑ k=[logi] ∞∑ l=[logj] E‖Xij‖p (2αk2βl)p 6 C ∞∑ i=1 ∞∑ j=1 E‖Xij‖p (2α[logi]2β[logj])p 6 C ∞∑ i=1 ∞∑ j=1 E‖Xij‖p (iαjβ)p < ∞ (theo (2.2.1)) Theo Bổ đề 1.4.1 ta có S2k2l (2αk2βl) −→ 0 h.c.c khi k ∨ l → ∞ (2.2.3) Tiếp theo, với ε > 0 tùy ý, ta có P{|Tkl| > ε} 6 P { ‖S2k2l‖ (2αk2βl) > ε 2 } + P { max 2k6m<2k+1 2l6n<2l+1 ‖Smn‖ mαnβ > ε 2 } 6 P { ‖S2k2l‖ (2αk2βl) > ε 2 } + P { max 2k6m<2k+1 2l6n<2l+1 ‖Smn‖ (2αk2βl) > ε 2 } 20 6 P { ‖S2k2l‖ > (2αk2βl)ε 2 } + P { max 16m62k+1 16n62l+1 ‖Smn‖ > (2 αk2βl)ε 2 } 6 2 p (2αk2βl)pεp E‖S2k2l‖p + 2p (2αk2βl)pεp E ( max 16m62k+1 16n62l+1 ‖Smn‖ )p 6 C2 p (2αk2βl)pεp 2k∑ i=1 2l∑ j=1 E‖Xij‖p + C2 p (2αk2βl)pεp 2k+1∑ i=1 2l+1∑ j=1 E‖Xij‖p (do Bổ đề 1.4.2) 6 C 2k∑ i=1 2l∑ j=1 E‖Xij‖p (2αk2βl)p + C 2k+1∑ i=1 2l+1∑ j=1 E‖Xij‖p (2α(k+1)2β(l+1))p 6 C 2k+1∑ i=1 2l+1∑ j=1 E‖Xij‖p (2α(k+1)2β(l+1))p Suy ra ∞∑ k=1 ∞∑ l=1 P{|Tkl| > ε} 6 C ∞∑ k=1 ∞∑ l=1 2k+1∑ i=1 2l+1∑ j=1 E‖Xij‖p (2α(k+1)2β(l+1))p 6 C ∞∑ i=1 ∞∑ j=1 E‖Xij‖p (iαjβ)p < ∞ Theo Bổ đề 1.4.1 ta có Tkl −→ 0 h.c.c khi k ∨ l → ∞ (2.2.4) Mặt khác, với 2k 6 m < 2k+1 và 2l 6 n < 2l+1 ta có ‖Smn‖ mαnβ 6 ∥∥∥ Smn mαnβ − S2k2l 2αk2βl ∥∥∥+ ∥∥∥ S2k2l 2αk2βl ∥∥∥ 6 Tkl + ∥∥∥ S2k2l 2αk2βl ∥∥∥ (2.2.5) Khi cho k ∨ l → ∞ thì m ∨ n → ∞. Kết hợp (2.2.3) và (2.2.4) với (2.2.5) ta có (2.2.2). Nhận xét: Trong trường hợp đặc biệt, khi X = R và mảng các hiệu mar- tingale thay bởi mảng các biến ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0 thì ta nhận được Định lý 2.1 đối với sự hội tụ hầu chắc chắn của L. V. Thanh (xem [3]) như là hệ quả của Định lý 2.2.1 ở trên. Định lý sau đây thiết lập kiểu luật mạnh số lớn Marcinkiewicz cho mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên 2.2.2 Định lý. Cho 1 1, n > 1} là mảng phù hợp trong không gian Banach p-trơn đều X . Giả sử {Xmn,m > 1, n > 1} bị 21 chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X. Nếu E‖X‖r log+‖X‖ < ∞ thì 1 (mn) 1 r m∑ i=1 n∑ j=1 ( Xij − E{Xij|F∗ij} ) → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞ (2.2.6) Chứng minh. Gọi F là hàm phân phối của ‖X‖, d(k) là số ước số dương của số nguyên dương k. Đặt X ′ij = XijI(‖Xij‖ 6 (ij) 1 r ), X ′′ij = XijI(‖Xij‖ > (ij) 1 r ). Khi đó với mỗi i và j ta có Xij − E{Xij|F∗ij} = (X ′′ij − E{X ′′ij|F∗ij}) + (X ′ij − E{X ′ij|F∗ij}). (2.2.7) Đầu tiên ta chứng minh rằng 1 (mn) 1 r m∑ i=1 n∑ j=1 ( X ′ij − E{X ′ij|F∗ij} ) → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞ (2.2.8) Thật vậy, sử dụng (1.5.3) ta có đánh giá ∞∑ i=1 ∞∑ j=1 E‖X ′ij − E{X ′ij|F∗ij}‖p (ij) p r 6 C ∞∑ i=1 ∞∑ j=1 E‖X ′ij‖p (ij) p r (theo (2.1.9)) = C ∞∑ i=1 ∞∑ j=1 1 (ij) p r ∫ (ij) 1r 0 xpdF (x) = C ∞∑ k=1 d(k) k p r ∫ k 1r 0 xpdF (x) = C ∞∑ k=1 d(k) k p r k−1∑ i=0 ∫ (i+1) 1r i 1 r xpdF (x) = C ∞∑ i=0 ( ∞∑ k=i+1 d(k) k p r )∫ (i+1) 1r i 1 r xpdF (x) 6 C ∞∑ i=0 logi (i + 1) p r−1 ∫ (i+1) 1r i 1 r xpdF (x) 6 C ∞∑ i=0 ∫ (i+1) 1r i 1 r xp (x p r−1)r log+|x| dF (x) 6 C ∫ ∞ 0 xr log+|x| dF (x) 6 CE‖X‖rlog+‖X‖ < ∞. Theo Định lý 2.2.1 khi α = β = 1r ta thu được (2.2.8). Tiếp theo ta sẽ chứng minh 1 (mn) 1 r m∑ i=1 n∑ j=1 (X ′′ij − E{X ′′ij|F∗ij}) → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞ (2.2.9) 22 Thật vậy, sử dụng (1.5.4) ta có đánh giá ∞∑ i=1 ∞∑ j=1 E‖X ′′ij − E{X ′′ij|F∗ij}‖ (ij) 1 r 6 C ∞∑ i=1 ∞∑ j=1 E‖X ′′ij‖ (ij) 1 r 6 C ∞∑ i=1 ∞∑ j=1 1 (ij) 1 r ∫ ∞ (ij) 1 r |x| dF (x) 6 C ∞∑ k=1 d(k) k 1 r ∫ ∞ k 1 r |x|dF (x) 6 C ∞∑ i=1 ( i∑ k=1 d(k) k 1 r )∫ (i+1) 1r i 1 r |x|dF (x) 6 C ∞∑ i=1 i1− 1 r logi ∫ (i+1) 1r i 1 r |x|dF (x) 6 C ∫ ∞ 1 |x|r log+|x| dF (x) 6 CE‖X‖r log+‖X‖ < ∞. Theo Định lý 2.2.1 khi α = β = 1r và p = 1 ta thu được (2.2.9) Kết hợp (2.2.7) và (2.2.8) với (2.2.9) ta có (2.2.6). Nhận xét. Trong trường hợp riêng, khi Fmn = σ{Xij ; i < m hoặc j < n} ta nhận được Định lý 3.3 đối với 1 < r < p 6 2 ở [4]. 23 KẾT LUẬN 1. Kết quả chính Khóa luận nghiên cứu về Luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều. Khóa luận đã đưa ra được khái niệm mảng các hiệu martingale- là một hướng mở rộng cho khái niệm mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0. Khóa luận đã thiết lập được Luật yếu số lớn cho mảng các phần tử ngẫu nhiên với chỉ số tất định và với chỉ số ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều. Đó là Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.3 và Hệ quả 2.1.4. Thiết lập được Luật mạnh số lớn cho mảng các hiệu martingale, đó là Định lý 2.2.1, kết quả này mở rộng Định lý 2.1 đối với sự hội tụ hầu chắc chắn trong [3]. Luật mạnh số lớn kiểu Marcinkiewicz-Zygmund được thiết lập trong Định lý 2.2.2. 2. Hướng phát triển khóa luận Sử dụng khái niệm mảng các hiệu martingale để thiết lập các định lý hội tụ theo trung bình, đặc biệt là các Luật số lớn. Mở rộng các kết quả cho mảng đa trị. 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. tiếng anh [2] A. Rosalsky and L. V. Thanh (2006), Strong and weak law of large numbers for double sums of independent random elements in Rademacher type p Banach spaces, Stochastic Analysis and Applications, 24, 1097-1117. [3] L. V. Thanh (2005), Strong law of large numbers and Lp-convergence for double arrays of independent random variables, Acta Math Vietnam, 30, No. 3, pp. 225-232. [4] L. V. Dung, N. D. Tien and A. Volodin, Marcinkiewicz-type law of large numbers for double arrays of random elements in martingale type p Banach spaces, preprint. [5] N. V. Quang and L. H. Son (2006), On the weak law of large numbers for sequences of Banach space valued random elements, Bull. Korean Math. Soc. 43, No. 3, pp. 551-558. [6] N. V. Quang and N. N. Huy (2008), Weak law of large numbers for adpted double arays of random variables, J. Korean Math. Soc. 45, No. 3, pp. 795-805. [7] N. V. Quang and N. V. Huan (2008), On the weak law of large numbers for double arrays of Banach space valued random elements, Journal of Proba- bility and Statistical Science, 6, No. 2, pp. 125-134. 25 [8] N. V. Quang and N. T. Thuan (2009), On the weak law of large numbers for double adapted array of random elements in p-uniformly smooth Ba- nach space, Lobachevski Journal of Mathematics, 30._.