Luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên

o 28 2MỞ ĐẦU Luật mạnh số lớn đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết xác suất. Luật số lớn đầu tiên do James Bernoulli công bố năm 1713. Về sau kết quả này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov... mở rộng. Tuy nhiên phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn mới được E.Borel phát hiện. Kết quả này được Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926. Trên cơ sở đọc hiểu và tìm hiểu tài liệu tham khảo, chúng tôi nghiên cứu đề tài " Luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên". Khóa luận được chia làm 2 chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 1 trình bày một số định nghĩa và tính chất để làm công cụ nghiên cứu chương sau. Các kiến thức trình bày ở đây chủ yếu trích dẫn từ [2] và [3]. Chương 1 gồm 3 tiết. Tiết 1.1, chúng tôi trình bày các khái niệm như không gian xác suất, biến ngẫu nhiên và tính độc lập...Tiết 1.2, chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức cơ bản để làm công cụ nghiên cứu các tiết sau. Luật số lớn được trình bày ở tiết 1.3. Sau khi trình bày khái niệm luật số lớn, chúng tôi trình bày một số luật số lớn cổ điển nổi tiếng. Chương 2: Luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên. Đây là nội dung chính của khóa luận, bao gồm 2 tiết. Tiết 2.1 chúng tôi thiết lập luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên độc lập, bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X. Kết quả chính trong tiết này mở rộng Định lý 2.1 trong [4]. Trong tiết này chúng tôi cũng trình bày lại chi 3tiết Định lý 2.2 trong [4]. Tiết 2.2 chúng tôi trình bày lại chi tiết Định lý 3.1, Bổ đề 3.2, Định lý 3.3, Định lý 3.4, và Mệnh đề 3.6 trong [5]. Khóa luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Văn Thành. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự nhiệt tình hướng dẫn đã dành cho tác giả trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận. Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán , các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Vinh, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả được học tập và hoàn thành khóa luận. Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do khả năng bản thân còn hạn chế nên khóa luận chắn hẳn còn nhiều thiếu sót. Kính mong sự góp ý của quý thầy cô cùng toàn thể các bạn sinh viên. Vinh, tháng 5 năm 2010 Tác giả 4CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản 1.1.1 Định nghĩa. Cho Ω là một tập khác rỗng. Một họ F những tập con của Ω được gọi là một σ- đại số nếu thỏa mãn ba điều kiện i) Ω ∈ F , ii)Nếu A ∈ F thì Ω \A ∈ F , iii) Nếu An ∈ F , n ≥ 1 thì ⋃∞ i=1 An ∈ F . 1.1.2 Định nghĩa. Cho Ω là một tập khác rỗng và F là một σ- đại số các tập con của Ω. Hàm tập P xác định trên F được gọi là một độ đo xác suất nếu thõa mãn ba điều kiện i) P (A) ≥ 0 ∀A ∈ F , ii)P (Ω) = 1, iii) Nếu {An, n ≥ 1} là dãy các tập con đôi một rời nhau thuộc F thì P ( ∞⋃ i=1 An) = ∞∑ i=1 P (An). 1.1.3 Định nghĩa. Cho Ω là một tập khác rỗng và F là một σ- đại số các tập con của Ω và P là một độ đo xác suất trên F . Khi đó bộ ba (Ω,F , P ) được gọi là không gian xác suất tổng quát. Nếu với A ∈ F thỏa mãn P (A) = 0 mà ta có B ∈ F , ∀B ⊂ A thì F được 5gọi là σ- đại số đầy đủ và P được gọi là độ đo xác suất đầy đủ. Khi đó, không gian (Ω,F , P ) được gọi là không gian xác suất đầy đủ. 1.1.4 Định nghĩa. Ký hiệu R là tập hợp tất cả các số thực và B(R) là σ- đại số nhỏ nhất chứa các khoảng mở dạng (a, b), (a, b ∈ R). Khi đó B(R) được gọi là σ- đại số Borel trong R. Mỗi phần tử của B(R) được gọi là một tập Borel. 1.1.5 Định nghĩa. Hàm thực X : Ω → R được gọi là hàm F - đo được hoặc biến ngẫu nhiên nếu {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} = X−1(B) ∈ F , ∀B ∈ B(R). 1.1.6 Định nghĩa. Hàm số FX(x) = P {ω ∈ Ω : X(ω) < x} , x ∈ R được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. 1.1.7 Định nghĩa. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên thì họ σ(X) = { X−1(B) : B ∈ B } được gọi là σ- đại số sinh bởi X. 1.1.8 Định nghĩa. Cho dãy các biến ngẫu nhiên X1, X2, . . . có các hàm phân phối tương ứng là FX1, FX2, . . . Các biến ngẫu nhiên trên được gọi là cùng phân phối nếu FX1(x) = FX2(x) = . . . ∀x ∈ R. 1.1.9 Định nghĩa. Giả sử (Ω,F , P ) là không gian xác suất. i) Họ hữu hạn {Fi, i ∈ I} các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu P ( ⋂ i∈I Ai) = ∏ i∈I P (Ai), ∀Ai ∈ Fi, i ∈ I. ii) Họ vô hạn các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu mỗi họ con của nó độc lập. 6iii) Họ các biến ngẫu nhiên {Xi, i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các σ - đại số sinh bởi chúng độc lập. iv) Họ các biến cố {Ai, i ∈ I} ⊂ F được gọi là độc lập nếu các biến ngẫu nhiên {IAi, i ∈ I} độc lập. 1.1.10 Định nghĩa. Giả sử X : (Ω,F , P ) → (R,B) là đại lượng ngẫu nhiên. Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P ( nếu tồn tại ) được gọi là kỳ vọng của X và ký hiệu là EX. Vậy EX = ∫ Ω XdP. 1.1.11 Định nghĩa. Với p > 0, ký hiệu Lp = Lp(Ω,F , P ) là tập hợp các biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω,F , P ) sao cho E |X|p < ∞. 1.1.12 Định nghĩa. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số D < ∞ sao cho P [|Xn| > t] ≤ DP [|DX| > t], ∀t ≥ 0, n ≥ 1. Nhận xét. Nếu dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} cùng phân phối thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X1. 1.2 Một số bất đẳng thức 1.2.1 Bất đẳng thức Holder. Giả sử p, q > 1 sao cho 1p + 1 q = 1 và giả sử X ∈ Lp, Y ∈ Lq. Khi đó E |XY | ≤ ||X| |p ||X| |q, trong đó ||X| |p = (E |X| p) 1 p . 1.2.2 Bất đẳng thức Markov. Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi đó, với mọi ε > 0 và p > 0, ta có P {|X >| ε} ≤ 1 εp E |X|p . 71.2.3 Bất đẳng thức Bernstein. Giả sử X1, X2,...,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập với EXi = 0, |Xi| ≤ M , 1 ≤ i ≤ n, ε > 0. Khi đó P {∣∣∣∣∣ n∑ i=1 Xi ∣∣∣∣∣ ≥ ε } ≤ exp { −ε2 2 ( n∑ i=1 EXi 2 + Mε 3 )−1 } . 1.2.4 Bổ đề Kronecker. Giả sử {bn, n ≥ 1} là dãy hội tụ thỏa mãn 0 < bn ↑ ∞ và chuỗi số ∑∞ i=1 xn hội tụ. Khi đó lim n→∞ 1 bn n∑ i=1 bkxk = 0. 1.2.5 Bất đẳng thức Liapunov. Đối với biến ngẫu nhiên X ∈ Lt bất kỳ và 0 < s < t, ta có ||X| |s ≤ ||X| |t. 1.3 Một số kết quả về luật số lớn 1.3.1 Định nghĩa i)Cho dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1}. Ta nói dãy {Xn, n ≥ 1} hội tụ theo xác suất về biến ngẫu nhiên X nếu với mọi ε > 0 bất kỳ, ta có lim n→∞ P {|Xn −X| > ε} = 0. Khi đó ta ký hiệu Xn P −→ X (n → ∞). ii) Cho dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} . Ta nói dãy {Xn, n ≥ 1} hội tụ hầu chắc chắn về biến ngẫu nhiên X nếu P { lim n→∞ Xn = X } = 1. Khi đó ta ký hiệu Xn h.c.c −−→ X (n → ∞). 81.3.2 Định lý. Dãy {Xn, n ≥ 1} hội tụ hầu chắc chắn về biến ngẫu nhiên X nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, ta có lim n→∞ P { sup m≥n |Xm −X| > ε } = 0. 1.3.3 Bổ đề Borel - Cantelli. Giả sử {An, n ≥ 1} là dãy các biến cố bất kỳ. Khi đó a) Nếu ∑∞ n=1 P (An) < ∞ thì P (lim supnAn) = 0, b) Nếu ∑∞ n=1 P (An) = ∞ và các biến cố An độc lập, thì P (lim supn An) = 1, trong đó lim supn An = ⋂∞ n=1 ⋃∞ k=nAk. 1.3.4 Định lý Marcinkiewicz - Zygmund. Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và 0 < p < 2. Khi đó∑n i=1 Xi − nc n 1 p → 0 (h.c.c) khi và chỉ khi E |X1| p < ∞, trong đó c = EX1 nếu 1 ≤ p < 2 và c là hằng số tùy ý nếu 0 < p < 1. 9CHƯƠNG 2 LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Trong chương này ta ký hiệu C là hằng số, nhưng hằng số đó không nhất thiết giống nhau trong các lần xuất hiện. Ký hiệu log chỉ logarit cơ số e. 2.1 Luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên Định lý 2.1 trong [4] thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, khả tích cấp p, p ≥ 1 với kỳ vọng 0. Trong tiết này chúng tôi sẽ mở rộng Định lý 2.1 trong [4] cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X, khả tích cấp p, p ≥ 1. Kết quả chính trong tiết này là Định lý 2.1.1 2.1.1 Định lý. Giả sử p ≥ 1 và {Xi, i ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X với E |X|p < ∞. Giả sử {ani, n ≥ 1, 1 6 i 6 n} là một mảng các số thực thỏa mãn sup n≥1,1≤i≤n |ani| < ∞. - Nếu p > 2 và ∑n i=1 a 2 ni = o(n 2 p log−1 n), thì lim n→∞ 1 n 1 p n∑ i=1 aniXi = 0 h.c.c. 10 - Nếu 1 ≤ p ≤ 2 và ∑n i=1 |ani| p = O(nµ), trong đó 0 < µ < 1, thì lim n→∞ 1 n 1 p n∑ i=1 aniXi = 0 h.c.c. Chứng minh. Với ε > 0, chọn một số nguyên dương N và đặt Xni = XiI(|aniXi| ≤ n 1 p log−1 n), Yni = XiI(n 1 p log−1 n < |aniXi| ≤ n 1 p ε N ), Zni = XiI(|aniXi| > n 1 p ε N ). Trường hợp 1: p > 2. Đầu tiên ta chứng minh lim n→∞ 1 n 1 p n∑ i=1 aniXi = 0 h.c.c. (2.1) Ta thấy∣∣∣∣∣E( 1n 1p n∑ i=1 aniXni) ∣∣∣∣∣ ≤ 1 n 1 p n∑ i=1 E[|aniXi| I(|aniXi| > n 1 p log−1 n)] ≤ 1 n 1 p n∑ i=1 E[|aniXi| I(|aniXi| > n 1 p log−1 n)]p(n 1 p log−1 n)1−p ≤ C logp−1 n ∑n i=1 a 2 ni n ≤ C logp−2 n n1− 2 p → 0. Do đó để chứng minh lim n→∞ 1 n 1 p n∑ i=1 aniXi = 0 h.c.c ta sẽ chứng minh ∞∑ n=1 P {∣∣∣∣∣ n∑ i=1 (aniXni − EaniXni) ∣∣∣∣∣ > n 1pε } < ∞. (2.2) 11 Áp dụng Bất đẳng thức Bernstein đối với các biến ngẫu nhiên{ 1 n 1 p (aniXni − EaniXni), 1 ≤ i ≤ n } ta có P { 1 n 1 p ∣∣∣∣∣ n∑ i=1 (aniXni −EaniXni) ∣∣∣∣∣ ≥ ε } ≤ exp { −ε2 2 ( 1 n 2 p n∑ i=1 ani 2Xni 2 + 2 log−1 nε)−1 } ≤ Cexp(−2 logn) = C n2 . Từ đó suy ra{ 1 n 1 p ∣∣∣∣∣ n∑ i=1 (aniXni − EaniXni) ∣∣∣∣∣ ≥ ε } ≤ exp(−2 logn) = C n2 . (2.3) Điều này kéo theo (2.2). Bây giờ ta chứng minh 1 n 1 p n∑ i=1 aniYni → 0 h.c.c. (2.4) Gọi N là số số i thỏa mãn |aniXi| > n 1 p log−1 n và từ cách định nghĩa Yni, ta có P { n∑ i=1 |aniYni| > n 1 pε } ≤ ∑ 1≤i1<...<iN≤n P (|ani1Xi1| > n 1 p log−1 n, ..., |aniNXiN | > n 1 p log−1 n) ≤ ( n∑ i=1 P (|aniXi| > n 1 p log−1 n))N ≤ (C n∑ i=1 |ani| 2 E |Xi| p n logp n)N ≤ (C n∑ i=1 |ani| 2 n logp n)N 12 ≤ C( logp n n 1− 2 p )N . Do đó P { n∑ i=1 |aniYni| > n 1 pε } ≤ C( logp n n1− 2 p )N . (2.5) Chọn N đủ lớn, từ (2.5) ta suy ra (2.4). Ta chỉ cần chứng minh 1 n 1 p n∑ i=1 aniZni → 0 h.c.c. (2.6) Vì E |X|p < ∞ nên n∑ i=1 P (|Xi| > i 1 p ) < ∞. (2.7) Do đó theo Bổ đề Borel - Cantelli, ta suy ra n∑ i=1 |Zni| ≤ C h.c.c. (2.8) Vì vậy lim n→∞ 1 n 1 p ∣∣∣∣∣ n∑ i=1 aniZni ∣∣∣∣∣ ≤ limn→∞ Cn 1p n∑ i=1 |Zni| = 0 h.c.c. Từ (2.1), (2.4) và (2.6), trường hợp 1 của Định lý được chứng minh. Trong phần chứng minh này, C ký hiệu là một hằng số dương, có thể khác nhau ở những chỗ xuất hiện. Trường hợp 2. Chứng minh tương tự. 2.1.2 Định lý. Cho Tn = ∑n i=1 aniXi là một tổng trọng của những biến ngẫu nhiên Xi độc lập cùng phân phối . Đặt 1p = 1 α + 1 β với 1 < α, β < ∞ và 1 < p < 2. Giả sử E |X|β < ∞, Aα = lim supAα,n < ∞, với Aαα,n = n −1 ∑n i=1 |ani| α và EX = 0. Khi đó Tn n 1 p → 0 h.c.c. 13 Ngược lại, nếu Tn n 1 p → 0 h.c.c với mảng hệ số thỏa mãn Aα = lim supAα,n < ∞ với Aαα,n = n −1 ∑n i=1 |ani| α, thì E |X|β < ∞ và EX = 0. Chứng minh. Điều kiện đủ có thể suy ra ngay vì đây là hệ quả của Định lý 2.1.1. Điều kiện cần. Chọn an1 = ... = an,n−1 = 0 và ann = n 1 α ta được n −1 β Xn → 0 h.c.c. Điều này kéo theo E |X|β < ∞. Từ β > 1, EX tồn tại, hơn nữa E((Tn − ETn)) = 0 áp dụng điều kiện đủ của Định lý 2.1.2 ta có n −1 p (Tn −ETn) → 0 h.c.c, và có n −1 p ETn = n −1 p n∑ i=1 aniEX → 0. Chọn ani = 1 ta có EX = 0. Vậy điều kiện cần cũng được chứng minh. Định lý 2.1.3 sau đây trình bày kết quả mở rộng trong trường hợp β lớn tùy ý của Định lý 2.1.2, với giả thiết h, γ > 0, Eexp(h |X|γ) < ∞. 2.1.3 Định lý. Cho Tn = ∑n i=1 aniXi, n ≥ 1 là một tổng trọng của những biến ngẫu nhiên Xi độc lập cùng phân phối. Giả sử Aα = lim supAα,n < ∞ đúng với α ∈ (0, 2) và Eexp(h |X|γ) 0. Khi đó Nếu 0 < α ≤ 1 và bn = n 1 α log 1 γ n, thì lim sup |Tn| bn ≤ h −1 γ Aα h.c.c. (2.9) 14 Nếu 1 < α < 2, bn = n 1 α (logn) 1 γ +γ(α−1) α(1+γ) và EX = 0, thì lim sup |Tn| bn = 0 h.c.c. (2.10) Ngược lại, nếu (2.9) đúng với 0 < α ≤ 1 cho tất cả dãy trọng số thỏa mãn Aα = lim supAα, n < ∞, thì E(h′ |X|γ) < ∞, 0 < h′ < h, nếu (2.10) đúng với 1 < α < 2, thì E(h |X|η) 0, 1 η = 1 γ + γ(α− 1) α(1 + γ) . Chứng minh. Trường hợp 1: 0 < α ≤ 1. Ta có max 1≤i≤n |ani| ≤ n 1 αAα,n, do đó ∑ |ani| ≤ n 1 αAα,n. Sử dụng Bổ đề Borel - Cantelli và bất đẳng thức Markov, t > 1 ta có P { (logn) −1 γ |Xn| > th −1 γ } = P {h |Xn| γ > t” logn} = P { exp{h |Xn| γ} > nt′ } ≤ Eexp {h |Xn| γ} nt′ → 0. Suy ra lim sup log −1 γ nmax {|Xi| , ..., |Xn|} ≤ h −1 γ h.c.c. Từ đó ta có lim sup |Tn| bn ≤ lim supAα,n log −1 γ nmax 1≤n |xi| ≤ Aαh −1 γ . 15 Giả sử (2.9) đúng cho nhiều cách chọn trọng số thỏa mãn Aα = lim supAα, n < ∞. Lấy ani = 0, với i < n và ann = n 1 αAα thì ta có lim sup n ( h logn ) 1 γ |Xn| ≤ 1 h.c.c. Điều đó có nghĩa là, với mọi ε > 0 thì P (exp { h |Xn| γ 1 + ε } ≥ n) = 0. Vậy ta có Eexp(h′ |X|γ) < ∞, h′ = h (1 + ε) . Trường hợp 2: 1 < α < 2. Chúng ta sẽ chứng minh (2.10) đúng với bn = n 1 α (logn)1+ 1 γ − 1 λ , ở đây λ được xác định bởi 1 < λ = α(1 + γ) (α + γ) < α < 2. Với t > 1, ta đặt Xci = XiI[|Xi| ≥ t(h −1 logn) 1 γ ], X ′i = XiI[(logn) δ1 ≤ |Xi| < t(h −1 logn) 1 γ ], X”i = XiI[|Xi| < (logn) δ1] = Xi −X c i −X ′ i, ở đây δ1 = α + γ [αγ(γ + 1)] = 1 α + 1 γ − 1 λ = 1 λγ < 1 γ . Tương ứng ta có cách đặt của các trọng số như sau a′ni = aniI[|ani| ≥ n 1 α log −1 α n], a”ni = aniI[n 1 α log−δ2 n ≤ |ani| ≤ n 1 α log −1 α n], a”′ni = aniI[|ani| < n 1 α log−δ2 n], 16 ở đây δ2 > 1 λ . Tn bn = b−1n {∑ aniX c i + ∑ a ′ niX”i + ∑ (a ′ ni + a ” ni)X ′ i + ∑ a”niX ” i + ∑ a” ′ niX ∗ i } , X∗i = Xi −X c i . Để chứng minh Định lý này ta cần sử dụng các bổ đề sau: 2.1.4 Bổ đề. ∣∣b−1n ∑ aniXci ∣∣→ 0 h.c.c. Chứng minh. Điều kiện Aα < ∞ chỉ rõ rằng max 1≤i≤n |ani| ≤ n 1 αAα,n h.c.c. Vế trái bị chặn bởi (logn) −1 γ ∑N(ω) i=1 |Xi|, thật vậy∣∣∣∣∣b−1n n∑ i=1 aniX c i ∣∣∣∣∣ ≤ n −1 α (logn)−1− 1 γ + 1 λ max |ani| N(ω)∑ i=1 |Xi| ≤ Aα,n(logn) 1 λ −1(logn) −1 γ N(ω)∑ i=1 Xi ≤ (logn) −1 γ N(ω)∑ i=1 Xi (1 < λ < 2), ở đây N(ω) là tập hợp hữu hạn các biến cố thõa mãn |Xi| > t(h−1 log i) 1 γ . Bổ đề được chứng minh. 2.1.5 Bổ đề. lim sup b−1n ∣∣∑ a′niX”i ∣∣ ≤ Aαα h.c.c. Chứng minh. Từ cách định nghĩa a ′ ni, X ′ i và δ1 = 1 α + 1 γ − 1 λ ta có b−1n ∣∣∣∑ a′niX”i ∣∣∣ ≤ b−1n ∑ |ani|α n 1α−1 logδ1+1− 1α n ≤ Aαα,n. Bổ đề được chứng minh. 2.1.6 Bổ đề. b−1n ∑ (a ′ ni + a ” ni)X ′ i → 0 h.c.c. 17 Chứng minh. Đặt Mn = # { i ≤ n, (a ′ ni + a ” ni)X ′ i 6= 0 } . Theo bất đẳng thức Holder, ta có ∑ |ani| ≤ ( Mn∑ i=1 |ani| α) 1 αM 1− 1 α n . Từ đó ta có b−1n ∣∣∣∑ (a′ni + a”ni)X ′i∣∣∣ ≤ b−1n ∑ |ani|Xi ≤ th −1 γ logn 1 γ logn−1+ 1 λ − 1 γn −1 α ∑ |ani| ≤ th −1 γ Aα,nM 1− 1 α n logn −1+ 1 λ Để hoàn thành chứng minh bổ đề này chúng ta cần chỉ ra ∀ε > 0, P (M 1− 1 α n ≥ ε(logn) 1− 1 λ ) = 0 (∗) Ta nhận xét # { i ≤ n, a ′ ni + a ” ni 6= 0 } = # { i ≤ n, |ani| > n 1 α (logn)−δ2 } ≤ Aαα,n(logn) αδ2. Kết hợp với Eexp(h |X|γ) 0, C > 0 ta có P { M 1− 1 α n ≥ ε(logn) 1− 1 λ } = P { Mn ≥ ε(logn) γ γ+1 } ≤ E |Mn| ε(log n) γ γ+1 (ε(logn) γ γ+1 )ε(log n) γ γ+1 ≤ Cexp(−ε(logn) γ γ+1 { h(logn)γδ1 − αδ2 log logn } ) ≤ Cexp( −1 2 εh(logn)1+ γ α(γ+1) ) Vậy (*) đúng, vì vậy Bổ đề được chứng minh. 2.1.7 Bổ đề. b−1n ∣∣∑ a”niX”ni∣∣ ≤ 3 h.c.c và b−1n ∑ a”′niX∗i → 0 h.c.c. 18 Chứng minh. Trước tiên chúng ta chỉ ra rằng b−1n ∑ a”niEX ′ i → 0 và b −1 n ∑ a” ′ niEX ∗ i → 0. Từ EX = 0, Eexp(h |X|γ) 0 và sử dụng bất đẳng thức Markov ta có∣∣∣EX”i ∣∣∣ = ∣∣∣EXi −EXci −EX ′i∣∣∣ = ∣∣∣EXci + EX ′i∣∣∣ = ∣∣∣EXI[|X| > (logn)δ1]∣∣∣ ≤ (logn)δ1exp(−h(logn)γδ1) Mặt khác # { i ≤ n, a”ni 6= 0 } ≤ # { i ≤ n, a ′ ni + a ” ni 6= 0 } ≤ Aαα,n(logn) αδ2 = O(logn)αδ2, Nên ta có ∣∣∣b−1n ∑ a”niEX”i ∣∣∣ ≤ O((logn)δ1+αδ2−1+ 1 λ − 1 γ )exp(−h(logn)γδ1) → 0. Tương tự ta có |EX∗i | = ∣∣∣EXI[|X| > th−1γ (logn) 1γ ∣∣∣ ≤ th −1 γ (logn) 1 γ exp(−tγ logn). Điều này kéo theo b−1n ∑ a” ′ niEX ∗ i → 0, t > 1. Nhận xét b−1n ∣∣∣a”niX”i ∣∣∣ ≤ (logn)−1+ 1λ− 1γ− 1α+δ1 = 1logn, 19 và V ar(b−1n ∑ a”niX ” i ) ≤ b −2 n ∑∣∣∣a”ni∣∣∣2 E(X2) ≤ Aαα,nδ 2(logn)−2− 2 γ + 2 λ − 2−α α ≤ Aαα,nδ 2(logn)−1−2δ1 = o( 1 logn ), ở đây δ2 = EX21 . Áp dụng bất đẳng thức Bernstein đối với các biến ngẫu nhiên với t > 3, ta có P { b−1n ∣∣∣∑ a”ni(X”i − EX”i )∣∣∣ ≥ t} ≤ 2e−t log n → 0. Từ đó suy ra lim sup b−1n ∣∣∣∑ a”ni(X”i −EX”i )∣∣∣ ≤ 3 h.c.c. Mặt khác ta có nhận xét rằng với c > 1, δ2 > 1λ thì b−1n ∣∣∣a”′niX∗i ∣∣∣ ≤ th−1γ (logn)−1+ 1λ−δ2 = o(log−c n). Hơn nữa ta có V ar(b−1n ∑ a” ′ niX ∗ i ) ≤ b −2 n ∑∣∣∣a”′ni∣∣∣2 δ2 ≤ b−2n ∑ |ani| α(n 1 α log−δ2 n)2−αδ2 ≤ Aαα,n(logn) −2− 2 γ + 2 λ −(2−α)δ2 δ2 = o(log−c n), với δ2 > 1 α , δ1 = 1 γ + 1 α − 1 λ và −1− 2 γ + 2 λ − (2− α)δ2 = (2− α)( 1 α − δ2)− 2δ1 < 0. Từ hai nhận xét đó áp dụng bất đẳng thức Bernstein với ε > 0 ta có P { b−1n ∣∣∣∑ ani”′(X∗i −EX∗i )∣∣∣ ≥ ε} ≤ 2e−ε2 logc n. 20 Điều này kéo theo b−1n ∑ a” ′ ni(X ∗ i − EX ∗ i ) → 0 h.c.c. Kết thúc chứng minh Bổ đề 2.1.7. Kết hợp các Bổ đề 2.1.1 - 2.1.7 ta có ngay kết quả lim sup b−1n ∣∣∣∑ aniXi∣∣∣ ≤ Aαα + 3 h.c.c. Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ (2.10) của Định lý 2.1.3. Đặt a˜ni = ηani và X˜i = ωXi. Ta dễ dàng chứng minh được lim sup b−1n ∣∣∣∑ a˜niX˜i∣∣∣ ≤ A˜αα + 3 = ωηαAαα + 3. Điều đó tương đương với lim sup b−1n ∣∣∣∑ aniXi∣∣∣ = ηα−1Aαα + 3ω. Cho η → 0 và ω → ∞ ta có điều phải chứng minh. Điều kiện cần của trường hợp 2 được chứng minh tương tự như trường hợp 1 như sau Giả sử (2.10) đúng cho mọi dãy trọng số thỏa mãn Aα = lim supAα, n < ∞. Lấy ani = 0 với i < n và ann = n 1 αh 1 η , thì lim sup ( h logn 1 η |X|) = 0 h.c.c. Điều này có nghĩa là ∀ε > 0, P (eh|X| η ≥ n) = 0. Bằng Bổ đề Borel - Cantelli ta có điều phải chứng minh. Kết thúc chứng minh (2.10). Định lý 2.1.3 được chứng minh xong. 2.2 Luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund cho dãy trọng số độc lập cùng phân phối Trong tiết này chúng tôi trình bày chi tiết hơn các bổ đề và định lý trong [5]. Định lý 2.2.1 là Định lý 2.1 trong [5], Định lý 2.2.3 là Định lý 21 3.3 trong [5], Định lý 2.2.4 là Định lý 3.4 trong [5],Bổ đề 2.2.2 là Bổ đề 3.2 trong [5], Mệnh đề 2.2.5 là Mệnh dề 3.6 trong [5]. 2.2.1 Định lý. Cho {Xn} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, E |Xn|p < ∞ với 1 < p ≤ 2 và E(Xn) = 0, ∀n. Nếu ∑∞ n=1 E(|Xn| p) < ∞ thì chuỗi∑∞ n=1 Xn hội tụ hầu chắc chắn. 2.2.2 Bổ đề. Giả sử Cn là dãy số thực không âm với sup c1 + c2 + ...+ cn n = c∗ < ∞ . Khi đó ∞∑ n=m+1 cn np ≤ p p− 1 c∗ mp−1 , ∀p > 1 và m = 1, 2, ... Chứng minh. Chúng ta dễ dàng chứng minh 1 kp − 1 (k + 1)p < p kp+1 . Từ đó với p > 1 ta có ∞∑ n=m+1 cn np = ∞∑ n=m cn ∞∑ k=n ( 1 kp − 1 (k + 1)p ) = ∞∑ k=n ( 1 kp − 1 (k + 1)p ) k∑ n=m cn ≤ ∞∑ k=m p kp+1 k∑ n=m cn ≤ ∞∑ k=m p kp+1 k 1 k k∑ n=1 cn ≤ c ∗ ∞∑ k=m p kp . Do đó ∞∑ n=m+1 cn np ≤ c∗ ∞∑ k=m+1 p kp ≤ pc∗ ∫ ∞ m dt tp = p p− 1 c∗ mp−1 . Kết thúc chứng minh. 2.2.3 Định lý. Cho q > 1 và cho {ak} thỏa mãn sup n |a1| q + ...+ |an| q n = A < ∞. 22 Khi đó mọi dãy độc lập {Xn} thỏa mãn E(Xn) = 0, ∀n và sup n E(|Xn| r) < ∞, 0 < r < ∞, ∀α ∈ ( 1 min {r, q, 2} , 1] thì chuỗi ∑∞ k=1 akXk kα hội tụ hầu chắc chắn, do đó 1 nα n∑ k=1 akXk → 0 h.c.c. Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng r ≤ 2, r ≤ q do đó α > 1 r . Đặt cn = |an|r. Theo Bổ đề 2.2.2 ta có ∞∑ n=1 |an| r nαr < ∞. Do đó ∞∑ n=1 E( ∣∣∣∣anXnnα ∣∣∣∣ r ) ≤ sup k E(|Xk| r) ∞∑ n=1 |an| r nαr < ∞. Do 1 < r ≤ 2 và E(Xn) = 0, ∀n, áp dụng Định lý 2.2.1 ta được sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi ∑∞ k=1 akXk kα . Áp dụng Bổ đề Kronecker ta có 1 nα n∑ k=1 akXk → 0 h.c.c. Định lý được chứng minh. 2.2.4 Định lý. Cho q > 1 và cho dãy {ak} thỏa mãn sup n |a1| q + ...+ |an| q n = A < ∞. Khi đó mọi dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối {Xn} thỏa mãn E(|X1|) < ∞ và E(X1) = 0 thì 1 n n∑ k=1 akXk → 0 h.c.c. 23 Chứng minh. Với q > 2, ( 1 n n∑ k=1 |ak| 2) 1 2 ≤ ( 1 n n∑ k=1 |ak| q) 1 q . Do vậy ta giả thiết q ≤ 2. Đặt Wn = Xnχ{|Xn|≤n}. Khi đó |E(Wn)| = |E(Xn)− E(Wn)| ≤ E(|X1|χ{|X1|>n}) → 0. Mặt khác ∞∑ n=1 P (Xn 6= Wn) = ∞∑ n=1 P (|Xn| > n) = ∞∑ n=1 P (|X1| > n) < ∞, nên P (Xn 6= Wn) = 0. Do đó chúng ta chỉ cần phải chứng minh 1 n n∑ k=1 akWk → 0 h.c.c. Đặt Vn = Wn − E(Wn). Khi đó {Vn} là dãy các biến ngẫu nhiên với E(Vn) = 0. Giả thiết sup n |a1| q + ...+ |an| q n = A < ∞ kéo theo sup n 1 n n∑ k=1 |ak| ≤ A 1 q . 24 Mặt khác do E(Wk) → 0 nên ∀ε > 0, tồn tại no sao cho ∀n > no thì |EWk| < ε. Kết hợp với giả thiết |E(Wk)| ≤ E(|X1|) ta có∣∣∣∣∣1n n∑ i=1 akVk − 1 n n∑ i=1 akWk ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣1n n∑ k=1 akE(Wk) ∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∣1n no∑ k=1 akE(Wk) ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣ 1 n n∑ k=no+1 akE(Wk) ∣∣∣∣∣∣ ≤ no n E(|X1|)A 1 q + εA 1 q . Vậy ta chỉ cần chỉ ra rằng 1 n n∑ i=1 akVk → 0 h.c.c và bằng Bổ đề Kronecker đủ để chỉ ra rằng ∞∑ i=1 anVn n h.c.c. Bằng Định lý 2.2.1 đủ để chỉ ra rằng ∞∑ n=1 |an| q E(|Vn| q) nq hội tụ. Ta có Vn = Wn − E(Wn) suy ra ||Vn| |q ≤ ||Wn| |q + ||E(Wn)| | = ||Wn| |q + |E(Wn)| ≤ 2 ||Wn| |q. Nên ta chỉ cần chứng minh rằng ∞∑ n=1 |an| q E(|Wn| q) nq < ∞. Đặt B = Aq(q−1) . Sử dụng Bổ đề 2.2.2 cho q ( với ck = |ak| q ) chúng ta đạt được ∞∑ n=1 |an| q E(|Wn| q) nq = ∞∑ n=1 |an| q nq ∫ ∞ 0 P {|Wn| q > αq}dαq 25 = ∞∑ n=1 |an| q nq ∫ ∞ 0 qαq−1P {|Wn| > α} dα ≤ ∞∑ i=1 |an| q nq qαq−1E(|X1|) = ∞∑ n=1 |an| q nq ∫ n 0 qαq−1P {|X1| > α} dα = ∫ ∞ 0 qαq−1P {|X1| > α} ∞∑ n=[α]+1 |an| q nq dα ≤ q ∞∑ n=1 |an| q nq + ∫ ∞ 1 qαq−1P {|X1| > α} B [α]q−1 dα ≤ q(|a1| q +B) + 2qBE(|X1|). 2.2.5 Mệnh đề. Tồn tại một dãy {ak} không âm thõa mãn sup n a1 + ...+ an n = A < ∞ sao cho với mọi dãy {Xk} khác 0 cùng phân phối thì chuỗi 1 n n∑ k=1 akXk không hội tụ hầu chắc chắn. Chứng minh. Cho a2j = 2j và ak = 0 nếu j không là lũy thừa của 2. Với 2l ≤ n < 2l+1 ta có 1 n n∑ k=1 ak ≤ 1 2l l∑ j=0 2j < 2. Giả sử {Xk} khác 0 cùng phân phối và 1n ∑n k=1 akXk hội tụ hầu chắc chắn. Nhận xét 1 n ∑n−1 k=1 akXk phải hội tụ tới cùng một giới hạn với 1 n ∑n k=1 akXk. 26 Do đó 1nanXn → 0 hầu chắc chắn. Điều này kéo theo X2j → 0 hầu chắc chắn. (∗∗) Mặt khác ta lại có P {|X2j | > δ} = P {|X1| > δ} > 0. Điều này kéo theo X2j không hội tụ theo xác suất tới 0. Mâu thuẫn với (**). Vậy mệnh đề được chứng minh. 27 KẾT LUẬN Kết quả đạt được Khóa luận nghiên cứu về luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên và đã thu được các kết quả sau: (i) Đọc hiểu các bài báo [4], [5], [6], [7] và làm rõ các chứng minh mà tác giả chỉ trình bày vắn tắt, chẳng hạn: Định lý 2.1.2, 2.1.3,... và các bổ đề liên quan. (ii) Kết quả đạt được là Định lý 2.1.1 mở rộng Định lý 2.1 trong [4] Hướng phát triển khóa luận Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận chúng tôi nhận thấy rằng có một câu hỏi được đặt ra, đó là: Có thể hạn chế giả thiết ở các Định lý mà vẫn thu được các đánh giá như thế được hay không?. Chúng tôi sẽ nghiên cứu vấn đề này trong thời gian sắp tới. 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đinh Văn Gắng, Lý thuyết xác suất và thống kê, NXB Giáo dục, 2008. [2] Nguyễn Văn Quảng, Giáo trình xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007. [3] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, 2006. [4] Z.D. Bai, Philip E. Cheng, Marcinkiewicz strong laws for linear statis- tics, Statistics & Probability Letters 46, 105-112 (2000). [5] John Baxter, Roger Jones, Michael Lin, and James Olsen, SLLN for Weighted Independent Identically Distributed Random Variables, Journal of Theoretical Probability, Vol. 17, No. 1, January (2004). [6] Zhidong Bai, Philip E. Cheng and Cun-Hui Zhang, An Extension of The Hardy - Littlewood Strong Law, Statistica Sinica 7, 923-928 (1997). [7] Rolf Thrum, A Remark on Almost Sure Convergence of Weighted Sums, Probab. Th. Rel. Fields 75, 425-430 (1987). ._.