Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-Phụ thuộc

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Một số khái niệm hội tụ của các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5. Một số khái niệm về luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6. Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1. Luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 1 MỞ ĐẦU Luật số lớn đóng một vai trò rất quan trọng trong Lý thuyết Xác suất. Luật số lớn đầu tiên của J.Bernoulli được công bố năm 1713. Về sau kết quả này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov,... mở rộng. Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn mới được E.Borel phát hiện. Kết quả này được Kolmogorov hoàn thiện năm 1926. Năm 1987, Moricz đã đưa ra khái niệm m-phụ thuộc của dãy các biến ngẫu nhiên. Trong thời gian gần đây, có nhiều bài báo nghiên cứu về Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc. Trên cơ sở đọc và tìm hiểu các tài liệu tham khảo, chúng tôi nghiên cứu đề tài "Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc". Mục đích chính của đề tài là thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối bằng cách sử dụng phương pháp tương tự như trong một số tài liệu tham khảo [4], [5], [6]. Khóa luận gồm 2 chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi đưa ra các khái niệm về tính độc lập, độc lập đôi một, khái niệm về m-phụ thuộc, m-phụ thuộc đôi một, m-phụ thuộc đôi một theo khối và m-phụ thuộc theo khối, khái niệm về bị chặn ngẫu nhiên, khái niệm về Luật số lớn. Đồng thời chúng tôi đưa ra một số bất đẳng thức và bổ đề thường sử dụng để chứng minh Luật mạnh số lớn. Chương 2. Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc. Đây là nội dung chính của khóa luận, bao gồm hai tiết. Tiết 2.1 chúng tôi trình bày chi tiết lại Luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối trong [5]. Tiết 2.2 chúng tôi thiết lập Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối. Kết quả trong tiết này tổng quát Định lý 1 trong [6]. 2 Khóa luận được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của Thạc sĩ Lê Văn Thành. Nhân dịp này cho phép tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất tới ThS. Lê Văn Thành, người thầy đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng, thầy giáo PGS.TS. Trần Xuân Sinh. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong Khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy, cuối cùng tác giả cảm ơn tất cả các bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp 45B Toán đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót về cả nội dung lẫn hình thức. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và những góp ý của bạn đọc. Vinh, tháng 05 năm 2008 Tác giả 3 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn bộ khóa luận ta luôn giả sử (Ω,F , P ) là không gian xác suất cố định. 1.1. Tính độc lập, độc lập đôi một 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là biến ngẫu nhiên, khi đó F(X) = {X−1(B) : B ∈ B(R)} được gọi là σ-đại số sinh bởi X. Họ hữu hạn {Fi, 1 ≤ i ≤ n} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập nếu P ( n⋂ i=1 Ai ) = n∏ i=1 P (Ai), đối với mọi Ai ∈ Fi (1 ≤ i ≤ n) bất kỳ. Họ vô hạn {Fi, i ∈ I} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập nếu mọi họ con hữu hạn của nó độc lập. Họ các biến ngẫu nhiên {Xi, i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các σ-đại số sinh bởi chúng {F(Xi), i ∈ I} độc lập. Họ các biến cố {Ai, i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên {IAi, i ∈ I} độc lập. 1.1.2. Định nghĩa. Tập các biến ngẫu nhiên {Xi, i ∈ I} được gọi là độc lập đôi một nếu Xi và Xj độc lập, với mọi i 6= j, i, j ∈ I. 1.2. Tính m-phụ thuộc, m-phụ thuộc đôi một, m-phụ thuộc đôi một theo khối và m-phụ thuộc theo khối Giả sử m là số nguyên không âm. 4 1.2.1. Định nghĩa. Một họ các biến ngẫu nhiên {Xi, 1 ≤ i ≤ n} được gọi là m-phụ thuộc nếu n ≤ m+ 1, hoặc n > m+ 1 và họ {Xi, 1 ≤ i ≤ k} độc lập với họ {Xi, l ≤ i ≤ n} khi l − k > m. Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc nếu họ {Xi, 1 ≤ i ≤ k} độc lập với họ {Xn, n ≥ l} khi l − k > m. 1.2.2. Định nghĩa. Một họ các biến ngẫu nhiên {Xi, 1 ≤ i ≤ n} được gọi là m-phụ thuộc đôi một nếu n ≤ m+1, hoặc n > m+1 và hai biến ngẫu nhiên Xi và Xj độc lập với nhau khi j − i > m. Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc đôi một nếu Xi và Xj độc lập với nhau khi j − i > m. 1.2.3. Định nghĩa. Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc đôi một theo khối nếu với mỗi số nguyên dương p họ {Xi, 2p−1 < i ≤ 2p} là m-phụ thuộc đôi một. 1.2.4. Định nghĩa. Giả sử {βk, k ≥ 1} là dãy số nguyên dương tăng ngặt với β1 = 1, và đặt Bk = [βk, βk+1). Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc theo khối đối với các khối {Bk, k ≥ 1} nếu với mỗi k ≥ 1, họ các biến ngẫu nhiên {Xi, i ∈ Bk} là m-phụ thuộc. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc đôi một theo khối đối với các khối {Bk, k ≥ 1} nếu với mỗi k ≥ 1, họ các biến ngẫu nhiên {Xi, i ∈ Bk} là m-phụ thuộc đôi một. Đối với {βk, k ≥ 1} và {Bk, k ≥ 1} như đã nói ở trên chúng ta đưa vào các ký hiệu sau đây: B(l) = {k ∈ N : 2l ≤ k < 2l+1}, l ≥ 0, B (l) k = Bk ∩B(l), k ≥ 1, l ≥ 0, Il = {k ≥ 1 : B(l)k 6= ∅}, l ≥ 0, r (l) k = min{r : r ∈ B (l) k }, k ∈ Il, l ≥ 0, 5 cl = cardIl, l ≥ 0, dl = max k∈Il (cardB (l) k ), l ≥ 0, ϕ(n) = ∞∑ l=0 clIB(l)(n), n ≥ 1, φ(n) = ∞∑ l=0 dlIB(l)(n), n ≥ 1, ψ(n) = max k≤n ϕ(k), n ≥ 1, với IB(l) là hàm đặc trưng của tập B (l), l ≥ 0. Với các ký hiệu trên ta đưa ra nhận xét dưới đây. 1.2.5. Nhận xét i) ⋃ k∈Il B (l) k = B (l), l ≥ 0. ii) Tồn tại k ∈ Il để r(l)k = 2l, l ≥ 0. iii) {ψ(n), n ≥ 1} là dãy số nguyên dương, không giảm. iv) M⋃ l=0 ⋃ k∈Il B (l) k = {k ∈ N : 1 ≤ k < 2M+1}. v) 1 ≤ cardB(l)k ≤ cardB(l) = 2l, k ∈ Il, l ≥ 0. 1.2.6. Nhận xét i) Nếu βk = 2 k−1, k ≥ 1 thì ψ(n) = 1. ii) Nếu βk = [q k−1] với k đủ lớn và q > 1 thì ψ(n) = O(1). 1.3. Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên 1.3.1. Định nghĩa. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số D <∞ sao cho P (|Xn| > t) ≤ DP (|DX| > t), t ≥ 0, n ≥ 1. 1.3.2. Nhận xét. Nếu dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} cùng phân phối thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X1. 6 1.4. Một số khái niệm hội tụ của các biến ngẫu nhiên Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω,F , P ). 1.4.1. Sự hội tụ theo xác suất Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X (khi n→ ∞) nếu với mọi ε > 0 ta đều có lim n→∞P (|Xn −X| > ε) = 0. Ký hiệu Xn P−→ X. 1.4.2. Sự hội tụ hầu chắc chắn Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X (khi n→ ∞) nếu P { ω : lim n→∞Xn(ω) = X(ω) } = 1. Ký hiệu Xn h.c.c−→ X, hoặc lim n→∞Xn = X h.c.c. 1.4.3. Định lý. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X khi và chỉ khi với ε > 0 bất kỳ, lim n→∞P ( sup k≥n |Xk −X| > ε ) = 0. 1.4.4. Định lý. Cho Xn h.c.c−→ X, Yn h.c.c−→ Y . Khi đó Xn + Yn h.c.c−→ X + Y. Chứng minh. Đặt A1 = { ω : lim n→∞Xn(ω) = X(ω) } , A2 = { ω : lim n→∞Yn(ω) = Y (ω) } . 7 Khi đó ta có P (A1) = P (A2) = 1, Ta suy ra P (A1 ∩ A2) = 1. Nếu ω ∈ A1 ∩ A2 thì { lim n→∞Xn(ω) = X(ω) lim n→∞Yn(ω) = Y (ω) Do đó lim n→∞ (Xn(ω) + Yn(ω)) = X(ω) + Y (ω). Chứng tỏ ta có ω ∈ { ω : lim n→∞(Xn + Yn)(ω) = (X + Y )(ω) } , Nên ta có A1 ∩ A2 ⊂ { ω : lim n→∞(Xn + Yn)(ω) = (X + Y )(ω) } . Suy ra P { ω : lim n→∞(Xn + Yn)(ω) = (X + Y )(ω) } = 1. Vậy ta có Xn + Yn h.c.c−→ X + Y.  1.5. Một số khái niệm về luật số lớn Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω,F , P ). Đặt Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn. 8 1.5.1. Luật yếu số lớn Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là tuân theo luật yếu số lớn nếu Sn − ESn n P−→ 0. 1.5.2. Luật yếu số lớn tổng quát Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là tuân theo luật yếu số lớn tổng quát nếu tồn tại hai dãy số (an), (bn), 0 < bn ↑ ∞ sao cho Sn − an bn P−→ 0. 1.5.3. Luật mạnh số lớn Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là tuân theo luật mạnh số lớn nếu Sn − ESn n h.c.c−→ 0. 1.5.4. Luật mạnh số lớn tổng quát Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là tuân theo luật mạnh số lớn tổng quát nếu tồn tại hai dãy số (an), (bn), 0 < bn ↑ ∞ sao cho Sn − an bn h.c.c−→ 0. 1.6. Một số bất đẳng thức Bổ đề sau đây giúp ta chứng minh các định lý ở chương 2. 1.6.1. Bổ đề Toeplitz. Cho ani, 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1, và xi, i ≥ 1 là các số thực sao cho với mọi i cố định, lim n→∞ ani = 0 và với mọi n, n∑ i=1 |ani| ≤ C <∞. Khi đó, nếu lim n→∞xn = 0 thì limn→∞ n∑ i=1 anixi = 0, và nếu limn→∞ n∑ i=1 ani = 1, limn→∞xn = x thì lim n→∞ n∑ i=1 anixi = x. 9 Chứng minh. Nếu lim n→∞xn = 0 thì với mọi ε > 0 tồn tại nε sao cho |xn| < C−1ε, với mọi n ≥ nε. Do đó, với n ≥ nε ta có ∣∣∣ n∑ i=1 anixi ∣∣∣ ≤ nε−1∑ i=1 |anixi|+ n∑ i=nε |anixi| ≤ nε−1∑ i=1 |anixi|+ ε. Theo giả thiết ta suy ra lim n→∞ ani = 0, với mọi i = 1, 2, . . . , nε − 1. Do vậy ta có lim n→∞ n∑ i=1 anixi = 0. Nếu lim n→∞ n∑ i=1 ani = 1, limn→∞xn = x thì từ kết quả trên và đẳng thức n∑ i=1 anixi = x n∑ i=1 ani + n∑ i=1 ani(xi − x), ta cũng thu được lim n→∞ n∑ i=1 anixi = x.  Định lý sau đây là một kết quả nổi tiếng có tên là Bổ đề Kronecker, được sử dụng rất nhiều khi chứng minh các định lý dạng Luật mạnh số lớn. 1.6.2. Bổ đề Kronecker. Giả sử 0 < bn ↑ ∞, và chuỗi số ∞∑ n=1 xn bn hội tụ. Khi đó lim n→∞ ( 1 bn n∑ k=1 xk ) = 0. 10 Chứng minh. Đặt yn = xn bn , n ≥ 1, an = bn − bn−1, n ≥ 1, b0 = 0, Sn+1 = n∑ i=1 yi, n ≥ 1. lim n→∞Sn+1 = S. Khi đó lim n→∞ ( 1 bn n∑ k=1 xk ) = lim n→∞ ( 1 bn n∑ k=1 bk(Sk+1 − Sk) ) = lim n→∞ ( Sn+1 − 1 bn n∑ k=1 akSk ) = S − lim n→∞ 1 bn n∑ k=1 akSk = S − S (Do Bổ đề Toeplitz) = 0.  1.6.3. Bất đẳng thức Markov. Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ và 0 0 bất kỳ ta đều có P (|X| > ε) ≤ E|X| p εp . Chứng minh. Với ε > 0 bất kỳ ta có 0 ≤ εpI(|X| > ε) ≤ |X|pI(|X| > ε) ≤ |X|p. Từ đó ta có E (εpI(|X| > ε)) ≤ E|X|p, Do đó εpP (|X| > ε) ≤ E|X|p. Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.  11 1.6.4. Định lý. Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên, và p > 0. Nếu ∞∑ n=1 E|Xn|p <∞, (1.2) thì Xn h.c.c−→ 0. (1.3) Chứng minh. Với ε > 0 bất kỳ và mọi k ≥ 1 ta có P ( sup n≥k |Xn| > ε ) ≤ ∞∑ n=k P (|Xn| > ε) ≤ 1 εp ∞∑ n=k E|Xn|p (1.4) (Do bất đẳng thức Markov). Từ (1.2) và (1.4) ta có lim k→∞ P ( sup n≥k |Xn| > ε ) = 0. Vậy Xn h.c.c−→ 0.  1.6.5. Định lý. Giả sử biến ngẫu nhiên X không âm, α > 0 và EXα < ∞. Khi đó EXα = α ∞∫ 0 xα−1P (X > x) dx. Chứng minh. Ta có EXα = ∫ Ω Xα dP = ∫ Ω  ∞∫ 0 αxα−1I(X > x) dx  dP = α ∞∫ 0 xα−1 ∫ Ω I(X > x) dP  dx (Định lý Fubini) = α ∞∫ 0 xα−1P (X > x) dx.  12 1.6.6. Định lý. Giả sử {Xi, 1 ≤ i ≤ n} là họ các biến ngẫu nhiên, 0 < p ≤ 1, và E|Xi|p <∞, i = 1, 2, . . . , n. Khi đó E ∣∣∣ n∑ i=1 Xi ∣∣∣p ≤ n∑ i=1 E|Xi|p. (1.5) Chứng minh. Do 0 < p ≤ 1 nên ta có∣∣∣ n∑ i=1 Xi ∣∣∣p ≤ n∑ i=1 |Xi|p. Lấy kỳ vọng hai vế ta suy ra (1.5).  1.6.7. Định lý. Cho biến ngẫu nhiên X và r > 0. Khi đó ∞∑ n=1 P ( |X| ≥ n 1r ) ≤ E|X|r ≤ ∞∑ n=0 P ( |X| ≥ n 1r ) . (1.6) Chứng minh. Đặt Y = ∞∑ j=1 jI(j≤|X|r<j+1), Z = ∞∑ j=0 (j + 1)I(j≤|X|r<j+1). Khi đó Y ≤ |X|r ≤ Z, do đó EY ≤ E|X|r ≤ EZ. (1.7) Mặt khác ∞∑ n=1 P ( |X| ≥ n 1r ) = ∞∑ n=1 ∞∑ j=n P (j ≤ |X|r < j + 1) = ∞∑ j=1 j∑ n=1 P (j ≤ |X|r < j + 1) = ∞∑ j=1 jP (j ≤ |X|r < j + 1) = EY. (1.8) 13 ∞∑ n=0 P ( |X| ≥ n 1r ) = ∞∑ n=0 ∞∑ j=n P (j ≤ |X|r < j + 1) = ∞∑ j=0 j∑ n=0 P (j ≤ |X|r < j + 1) = ∞∑ j=0 (j + 1)P (j ≤ |X|r < j + 1) = EZ. (1.9) Từ (1.7), (1.8) và (1.9) ta thu được (1.6).  Khi chứng minh các định lý giới hạn nói chung và Luật mạnh số lớn nói riêng, người ta thường sử dụng bổ đề sau. 1.6.8. Bổ đề Borel-Cantelli. Giả sử {An, n ≥ 1} là dãy các biến cố bất kỳ. a) Nếu ∞∑ n=1 P (An) <∞ thì P (lim supAn) = 0. b) Nếu ∞∑ n=1 P (An) = ∞ và {An, n ≥ 1} độc lập thì P (lim supAn) = 1. Chứng minh. a) Vì { ∞⋃ m=n Am, n ≥ 1 } là dãy giảm nên với mọi n ≥ 1, ta có 0 ≤ P (lim supAn) = lim n→∞P ( ∞⋃ m=n Am ) ≤ lim n→∞ ∞∑ m=n P (Am) = 0, Từ đó ta thu được P (lim supAn) = 0. b) Nếu {An, n ≥ 1} độc lập thì {An, n ≥ 1} cũng độc lập. Do đó P ( ∞⋂ m=n Am ) = ∞∏ m=n P (Am). Mà ta có P (Am) = 1− P (Am) ≤ e−P (Am) (Do 1− x ≤ e−x, 0 ≤ x ≤ 1). Nên ta có 0 ≤ P ( ∞⋂ m=n Am ) = ∞∏ m=n P (Am) ≤ ∞∏ m=n e−P (Am) = e − ∞∑ m=n P (Am) = e−∞ = 0. 14 Từ đó ta có P ( ∞⋃ m=n Am ) = 1− P ( ∞⋂ m=n Am ) = 1. Như vậy ta có P (lim supAn) = 1.  1.6.9. Bất đẳng thức Doob. Nếu {Xi,Fi, 1 ≤ i ≤ N} là hiệu martingale, và E|Xi|p <∞, 1 < p <∞ thì E ( max k≤N ∣∣∣ k∑ i=1 Xi ∣∣∣)p ≤ ( p p− 1 )p E ∣∣∣ N∑ i=1 Xi ∣∣∣p. 1.6.10. Bất đẳng thức Marcinkiewicz-Zygmund. Nếu {Xn, n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và EXn = 0, n ≥ 1, thì với p ≥ 1 luôn tồn tại hằng số dương Ap, Bp phụ thuộc vào p thỏa mãn Ap ∥∥∥∥∥  n∑ j=1 X2j  12 ∥∥∥∥∥ p ≤ ∥∥∥ n∑ j=1 Xj ∥∥∥ p ≤ Bp ∥∥∥∥∥  n∑ j=1 X2j  12 ∥∥∥∥∥ p . 1.6.11. Bất đẳng thức Redemacher-Menshov. Cho {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên trực giao. Khi đó với n ≥ 1 ta có E ( max 1≤k≤n ∣∣ k∑ i=1 Xi ∣∣2) ≤ 4 log2(n+ 1) n∑ i=1 EX2i . 15 CHƯƠNG 2 LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN m-PHỤ THUỘC Trong chương này, ký hiệu C chỉ một hằng số. Hằng số đó không nhất thiết giống nhau giữa các dòng. Ký hiệu log chỉ logarit cơ số 2. 2.1. Luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối Trong tiết này chúng tôi trình bày chi tiết hơn hai định lý trong [5]. Định lý 2.1.6 là Định lý 3.1 trong [5], Định lý 2.1.7 là Định lý 3.3 trong [5]. 2.1.1. Bổ đề. Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với EXn = 0, n ≥ 1 và giả sử p > 1 thì E ( max 1≤j≤n ∣∣∣ j∑ i=1 Xi ∣∣∣)p ≤ CE( n∑ i=1 X2i )p 2 , (2.1) ở đây C là hằng số không phụ thuộc vào n. Chứng minh. Đặt Fn = σ(X1, X2, . . . , Xn), n ≥ 1 Khi đó ta có {Xn,Fn, n ≥ 1} là hiệu martingale. Áp dụng bất đẳng thức Doob và bất đẳng thức Marcinkiewicz-Zygmund ta thu được (2.1).  2.1.2. Bổ đề. Giả sử {Xi, 1 ≤ i ≤ n} là họ các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc với EXi = 0, 1 ≤ i ≤ n, và giả sử p ≥ 1. Khi đó tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào m và p sao cho E ( max 1≤j≤n ∣∣∣ j∑ i=1 Xi ∣∣∣)p ≤ C n∑ i=1 E|Xi|p, 1 ≤ p ≤ 2 (2.2) 16 E( max 1≤j≤n ∣∣∣ j∑ i=1 Xi ∣∣∣)p ≤ Cnp2−1 n∑ i=1 E|Xi|p, p ≥ 2. (2.3) Chứng minh. Nếu n ≤ m + 1, Bổ đề 2.1.2 hiển nhiên đúng. Ta chứng minh Bổ đề 2.1.2 trong trường hợp n > m+ 1. Trong trường hợp p = 1, với mọi n ≥ 1 ta có E ( max 1≤j≤n ∣∣∣ j∑ i=1 Xi ∣∣∣) ≤ E( max 1≤j≤n j∑ i=1 |Xi| ) = E ( n∑ i=1 |Xi| ) = n∑ i=1 E|Xi|, (2.2) được chứng minh. Trong trường hợp p > 1, với n > m+ 1 ta có E ( max 1≤j≤n ∣∣∣∣ j∑ i=1 Xi ∣∣∣∣ )p ≤ E m+1∑ j=1 max 0≤k(m+1)≤n−j ∣∣∣∣ k∑ i=0 Xi(m+1)+j ∣∣∣∣ p ≤ (m+ 1)p−1 m+1∑ j=1 E ( max 0≤k(m+1)≤n−j ∣∣∣∣ k∑ i=0 Xi(m+1)+j ∣∣∣∣ )p ≤ C m+1∑ j=1 E  ∑ 0≤i(m+1)≤n−j X2i(m+1)+j  p 2 (2.4) (Do Bổ đề 2.1.1). Nếu 1 < p ≤ 2 thì m+1∑ j=1 E  ∑ 0≤i(m+1)≤n−j X2i(m+1)+j  p 2 ≤ m+1∑ j=1 E  ∑ 0≤i(m+1)≤n−j |Xi(m+1)+j|p  (Do Định lý 1.6.6) = n∑ i=1 E|Xi|p. (2.5) 17 Từ (2.4) và (2.5) ta thu được (2.2). Nếu p ≥ 2 thì m+1∑ j=1 E  ∑ 0≤i(m+1)≤n−j X2i(m+1)+j  p 2 ≤ np2−1 m+1∑ j=1 E  ∑ 0≤i(m+1)≤n−j |Xi(m+1)+j|p  ( n− j m+ 1 ≤ n, j = 1, 2, . . . ,m+ 1 ) = n p 2 −1 n∑ i=1 E|Xi|p. (2.6) Từ (2.4) và (2.6) ta thu được (2.3).  2.1.3. Bổ đề. Giả sử {Xn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên , giả sử {bn, n ≥ 1} là một dãy số dương không giảm, và giả sử {kn, n ≥ 0} là dãy số dương thỏa mãn inf n≥0 bkn+1 bkn > 1 và sup n≥0 bkn+1 bkn <∞ (2.7) Thì lim n→∞ 1 bn n∑ i=1 Xi = 0 h.c.c (2.8) khi và chỉ khi lim n→∞  1 bkn+1 − bkn max kn≤k<kn+1 ∣∣∣∣ k∑ i=kn Xi ∣∣∣∣  = 0 h.c.c. (2.9) 2.1.4. Nhận xét. Ta thấy rằng nếu (2.9) giữ nguyên với một dãy số nguyên dương {kn, n ≥ 1} nào đó thỏa mãn (2.7) thì (2.9) được giữ nguyên đối với mọi dãy số nguyên dương {kn, n ≥ 0} thỏa mãn (2.7). Vì vậy, không mất tính tổng quát ta giả sử kn = 2 n, n ≥ 0 trong trình tự chứng minh luật mạnh số lớn (2.8). 2.1.5. Nhận xét. Từ điều kiện inf n≥0 b2n+1 b2n > 1 ta có b2n b2n+1 < 1, ∀n ≥ 0. Do đó luôn tồn tại hằng số C đủ nhỏ để b2n b2n+1 ≤ 1− C, ∀n ≥ 0, 18 hay b2n+1 − b2n ≥ C b2n+1, ∀n ≥ 0. 2.1.6. Định lý. Giả sử {Xn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên với EXn = 0, n ≥ 1, giả sử p ≥ 1 và {bn, n ≥ 1} là dãy số dương không giảm thỏa mãn inf n≥0 b2n+1 b2n > 1 và sup n≥0 b2n+1 b2n <∞. (2.10) Nếu {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối đối với các khối {Bk, k ≥ 1} và nếu ∞∑ n=1 E|Xn|2p b2pn (ϕ(n))2p−1(φ(n))p−1 <∞, (2.11) thì lim n→∞ 1 bn n∑ i=1 Xi = 0 h.c.c. (2.12) Chứng minh. Đặt T (l) k = max j∈B(l)k ∣∣∣∣ j∑ i=r(l)k Xi ∣∣∣∣, k ∈ Il, l ≥ 0, Tl = 1 b2l+1 ∑ k∈Il T (l) k , l ≥ 0. Với l ≥ 0, ta có E(Tl) 2p ≤ 1 b2p2l+1 c2p−1l ∑ k∈Il E(T (l) k ) 2p ≤ C 1 b2p2l+1 c2p−1l ∑ k∈Il (cardB(l)k )p−1 ∑ i∈B(l)k E|Xi|2p  (Do Bổ đề 2.1.2) ≤ C 1 b2p2l+1 c2p−1l d p−1 l ∑ k∈Il ∑ i∈B(l)k E|Xi|2p = C 1 b2p2l+1 c2p−1l d p−1 l ∑ i∈ ⋃ k∈Il B (l) k E|Xi|2p 19 = C 1 b2p2l+1 c2p−1l d p−1 l 2l+1−1∑ i=2l E|Xi|2p ≤ C 2l+1−1∑ i=2l E|Xi|2p b2pi (ϕ(i))2p−1(φ(i))p−1, Do đó ∞∑ l=0 ET 2pl ≤ C ∞∑ i=1 E|Xi|2p b2pi (ϕ(i))2p−1(φ(i))p−1, Từ đó và (2.11) ta có ∞∑ l=0 ET 2pl <∞. Do đó lim l→∞ Tl = 0 h.c.c (Do Định lý 1.6.4). Ta có 1 b2l+1 − b2l max 2l≤k<2l+1 ∣∣∣∣ k∑ i=2l Xi ∣∣∣∣ ≤ Cb2l+1 max2l≤k<2l+1 ∣∣∣∣ k∑ i=2l Xi ∣∣∣∣ (Do Nhận xét 2.1.5) ≤ CTl (Do Nhận xét 1.2.5), Nên lim l→∞ ( 1 b2l+1 − b2l max 2l≤k<2l+1 ∣∣∣∣ k∑ i=2l Xi ∣∣∣∣ ) = 0 h.c.c. Theo Bổ đề 2.1.3 ta thu được (2.12).  2.1.7. Định lý. Giả sử {Xn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên với EXn = 0, n ≥ 1, giả sử p ≥ 1 và giả sử {bn, n ≥ 1} là dãy số dương thỏa mãn (2.10). Nếu {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối đối với các khối {Bk, k ≥ 1} và nếu ∞∑ n=1 E|Xn|2p b2pn (φ(n))p−1 <∞, (2.13) 20 thì lim n→∞ n∑ i=1 Xi bn(ψ(n)) 2p−1 2p = 0 h.c.c. (2.14) Chứng minh. Đặt T (l) k = max j∈B(l)k ∣∣∣∣ j∑ i=r(l)k Xi ∣∣∣∣, k ∈ Il, l ≥ 0, τl = 1 (b2l+1 − b2l) (ψ(2l)) 2p−1 2p ∑ k∈Il T (l) k , l ≥ 0. Với l ≥ 0 ta có Eτ2pl ≤ C b2p2l+1(ψ(2 l))2p−1 E ∑ k∈Il T (l) k 2p (Do Nhận xét 2.1.5) ≤ C b2p2l+1(ψ(2 l))2p−1 c2p−1l ∑ k∈Il E(T (l) k ) 2p ≤ C b2p2l+1 ∑ k∈Il E(T (l) k ) 2p ≤ C b2p2l+1 ∑ k∈Il (cardB(l)k )p−1 ∑ i∈B(l)k E|Xi|2p  (Do Bổ đề 2.1.2) ≤ C b2p2l+1 dp−1l ∑ k∈Il ∑ i∈B(l)k E|Xi|2p = C b2p2l+1 dp−1l ∑ i∈ ⋃ k∈Il B (l) k E|Xi|2p = C b2p2l+1 dp−1l 2l+1−1∑ i=2l E|Xi|2p ≤ C 2l+1−1∑ i=2l E|Xi|2p b2pi (φ(i))p−1. 21 Do đó ∞∑ l=0 Eτ2pl ≤ C ∞∑ i=1 E|Xi|2p b2pi (φ(i))p−1, Từ đó và (2.13) ta có ∞∑ l=0 Eτ2pl <∞. Do đó lim l→∞ τl = 0 h.c.c (Do Định lý 1.6.4). (2.15) Với n ≥ 0, giả sử M ≥ 0 thỏa mãn 2M ≤ n < 2M+1, ta có 0 ≤ ∣∣ n∑ i=1 Xi ∣∣ bn(ψ(n)) 2p−1 2p ≤ max 1≤j<2M+1 ∣∣ j∑ i=1 Xi ∣∣ b2M (ψ(2M )) 2p−1 2p ≤ M∑ l=0 ∑ k∈Il T (l) k b2M (ψ(2M )) 2p−1 2p (Do nhận xét 1.2.5) ≤ M∑ l=0 b2l+1 − b2l b2M τl. (2.16) Đặt aMl = b2l+1 − b2l b2M , Khi đó lim M→∞ aMl = 0, M∑ l=0 |aMl| = 1 b2M M∑ l=0 (b2l+1 − b2l) = 1 b2M (b2M+1 − b1) ≤ C (Vì sup n≥0 b2n+1 b2n <∞). Kết hợp với (2.15), áp dụng Bổ đề Toeplitz ta có lim M→∞ M∑ l=0 b2l+1 − b2l b2M τl = 0 h.c.c, Kết hợp với (2.16) ta thu được (2.14)  22 2.2. Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối Định lý 1 trong [6] thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối. Trong tiết này chúng tôi thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối đối với các khối {Bk, k ≥ 1} bằng cách mở rộng Định lý 1 trong [6] cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối đối với các khối {Bk, k ≥ 1}. Kết quả chính trong tiết này là Định lý 2.2.3. Trước khi đưa ra kết quả chính ta cần sử dụng bổ đề sau. 2.2.1. Bổ đề. Giả sử {Xi, 1 ≤ i ≤ n} là họ các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một thỏa mãn EXi = 0, 1 ≤ i ≤ n, thì E ( max 1≤k≤n ∣∣ k∑ i=1 Xi ∣∣)2 ≤ C(m+ 1)(log 2n)2 n∑ i=1 EX2i . Chứng minh. Nếu n ≤ m + 1 Bổ đề 2.2.1 hiển nhiên đúng. Ta chứng minh Bổ đề 2.2.1 trong trường hợp n > m+ 1. Với n > m+ 1, ta có E ( max 1≤k≤n ∣∣ k∑ i=1 Xi ∣∣)2 ≤ E m+1∑ j=1 max 0≤k(m+1)≤n−j ∣∣ k∑ i=0 Xi(m+1)+j ∣∣2 ≤ (m+ 1) m+1∑ j=1 E ( max 0≤k(m+1)≤n−j ∣∣ k∑ i=0 Xi(m+1)+j ∣∣)2 ≤ C(m+ 1) log2(n+ 1) m+1∑ j=1 ∑ 0≤i(m+1)≤n−j EX2i(m+1)+j (Do bất đẳng thức Redemacher-Menshov và n− j m+ 1 ≤ n, j = 1, 2, . . . ,m+ 1) ≤ C(m+ 1)(log 2n)2 n∑ i=1 EX2i .  23 Ta nhắc lại một số kết quả về chuỗi số, các kết quả này được sử dụng để chứng minh Định lý 2.2.3. 2.2.2. Một số kết quả về chuỗi số Cho f là hàm liên tục, dương, giảm trên [a, ∞), a ∈ N. Đặt F (y) = y∫ a f(x) dx, và xét chuỗi ∞∑ k=0 f(a+ k). Khi đó Sn+1 − f(a) ≤ F (a+ n) ≤ Sn, ∀n ≥ 1. Từ đó ta có các kết quả sau: i) ∞∑ j=n log2 j jα ≤ C log 2 n nα−1 , α > 1, n ≥ 2, ii) n∑ i=1 1 i ≤ log n+ 1, n ≥ 1, iii) n∑ i=1 1 iα ≤ C 1 nα−1 , 0 < α < 1, n ≥ 1. 2.2.3. Định lý. Cho {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối đối với các khối {Bk, k ≥ 1}. Giả sử {Xn, n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X. Nếu E(|X|r(log+ |X|)2) <∞, (1 ≤ r < 2), (2.17) thì lim n→∞ 1 n 1 rψ 1 2 (n) n∑ j=1 (Xj − EXj) = 0 h.c.c. (2.18) Chứng minh. Đặt Yn = XnI(|Xn|≤n 1r ), T (l) k = max j∈B(l)k ∣∣∣∣ j∑ i=r(l)k (Yi − EYi) ∣∣∣∣, k ∈ Il, l ≥ 0, 24 τl = 1( 2 l+1 r − 2 lr ) ψ 1 2 (2l) ∑ k∈Il T (l) k , l ≥ 0. Với n ≥ 1 ta có EY 2n = 2 ∞∫ 0 xP ( |Xn|I(|Xn|≤n 1r ) > x ) dx = 2 n 1 r∫ 0 xP ( |Xn|I(|Xn|≤n 1r ) > x ) dx ≤ 2 n 1 r∫ 0 xP (|Xn| > x) dx. Ta có ∞∑ n=1 log2 n n 2 r EY 2n ≤ 2 ∞∑ n=1 log2 n n 2 r n 1 r∫ 0 xP (|Xn| > x) dx ≤ C ∞∑ n=1 log2 n n 2 r n∑ j=1 j 1 r∫ (j−1) 1r xP (|DX| > x) dx = C ∞∑ j=1 ∞∑ n=j log2 n n 2 r j 1 r∫ (j−1) 1r xP (|DX| > x) dx ≤ C ∞∑ j=1 j r−2 r log2 j j 1 r∫ (j−1) 1r xP (|DX| > x) dx (Vì ∞∑ n=j log2 n n 2 r = O ( j r−2 r log2 j ) , j ≥ 2) ≤ C ∞∑ j=1 log2 j j 1 r∫ (j−1) 1r xr−1P (|DX| > x) dx ≤ C ∞∑ j=1 log2 jP (|DX|r > j) ≤ CE(|X|r(log+ |X|)2) <∞. 25 Với l ≥ 0 ta có Eτ2l ≤ C 1 2 2(l+1) r ψ(2l) cl ∑ k∈Il E(T (l) k ) 2 ≤ C 1 2 2(l+1) r ∑ k∈Il ( log(2cardB (l) k ) )2 ∑ i∈B(l)k E|Yi − EYi|2 (Do Bổ đề 2.2.1) ≤ C 1 2 2(l+1) r (log 2l+1)2 ∑ k∈Il ∑ i∈B(l)k E|Yi − EYi|2 = C 1 2 2(l+1) r (log 2l+1)2 2l+1−1∑ i=2l E|Yi − EYi|2 ≤ C 2l+1−1∑ i=2l (log 2i)2 i 2 r EY 2i . Do đó ta có ∞∑ l=1 Eτ2l ≤ C ∞∑ i=2 (log 2i)2 i 2 r EY 2i ≤ C ∞∑ i=2 log2 i i 2 r EY 2i <∞, Từ đó ta suy ra lim l→∞ τl = 0 h.c.c (Do Định lý 1.6.4). Với n ≥ 1, giả sử M ≥ 0 thỏa mãn 2M ≤ n < 2M+1 ta có ∣∣ n∑ i=1 (Yi − EYi) ∣∣ n 1 rψ 1 2 (n) ≤ max 1≤j<2M+1 ∣∣ j∑ i=1 (Yi − EYi) ∣∣ 2 M r ψ 1 2 (2M ) ≤ 1 2 M r ψ 1 2 (2M ) M∑ l=0 ∑ k∈Il T (l) k (Do Nhận xét 1.2.5) ≤ M∑ l=0 2 l+1 r − 2 lr 2 M r τl. (2.19) 26 Theo Bổ đề Toeplitz ta có lim M→∞ M∑ l=0 2 l+1 r − 2 lr 2 M r τl = 0 h.c.c. (2.20) Từ (2.19) và (2.20) ta có lim n→∞ n∑ i=1 (Yi − EYi) n 1 rψ 1 2 (n) = 0 h.c.c. (2.21) Ta có ∞∑ n=1 P (Xn 6= Yn) = ∞∑ n=1 P (|Xn| > n 1r ) ≤ D ∞∑ n=1 P (|DX| > n 1r ) ≤ CE|X|r <∞. (2.22) Từ (2.21), (2.22) và Bổ đề Borel-Cantelli ta có lim n→∞ 1 n 1 rψ 1 2 (n) n∑ i=1 (Xi − EYi) = 0 h.c.c. (2.23) Với n ≥ 1 ta có E(Xn − Yn) ≤ E ( |Xn|I(|Xn|>n 1r ) ) = ∞∫ 0 P ( |Xn|I(|Xn|>n 1r ) > x ) dx = n 1 r∫ 0 P (|Xn| > n 1r ) dx+ ∞∫ n 1 r P (|Xn| > x) dx = n 1 rP (|Xn| > n 1r ) + ∞∫ n 1 r P (|Xn| > x) dx. 27 Với r = 1 ta có ∞∑ n=1 1 n E(Xn − Yn) ≤ ∞∑ n=1 1 n ∞∫ n P (|Xn| > x) dx + ∞∑ n=1 P (|Xn| > n) ≤ D ∞∑ n=1 1 n ∞∫ n P (|DX| > x) dx + D ∞∑ n=1 P (|DX| > n) ≤ C ∞∑ n=1 1 n ∞∑ i=n i+1∫ i P (|DX| > x) dx + CE|X| = C ∞∑ n=1 i∑ n=1 1 n i+1∫ i P (DX| > x) dx + CE|X| ≤ C ∞∑ i=1 (log i+ 1) i+1∫ i P (|DX| > x) dx + CE|X| (Do i∑ n=1 1 n = O(log i+ 1), i ≥ 1) ≤ C ∞∑ i=1 (log i+ 1)P (|DX| > i) + CE|X| ≤ C(E(|X| log+ |X|) + E|X|) <∞. Với 1 < r < 2 ta có ∞∑ n=1 1 n 1 r E(Xn − Yn) ≤ ∞∑ n=1 1 n 1 r ∞∫ n 1 r P (|Xn| > x) dx + ∞∑ n=1 P (|Xn| > n 1r ) ≤ D ∞∑ n=1 1 n 1 r ∞∫ n 1 r P (|DX| > x) dx + D ∞∑ n=1 P (|DX| > n 1r ) ≤ C ∞∑ n=1 1 n 1 r ∞∑ i=n (i+1) 1r∫ i 1 r P (|DX| > x) dx + CE|X|r = C ∞∑ n=1 i∑ n=1 1 n 1 r (i+1) 1r∫ i 1 r P (|DX| > x) dx + CE|X|r 28 ≤ C ∞∑ i=1 i r−1 r (i+1) 1r∫ i 1 r P (|DX| > x) dx + CE|X|r (Do i∑ n=1 1 n 1 r = O(i r−1r ), i ≥ 1) ≤ C ∞∑ i=1 (i+1) 1r∫ i 1 r xr−1P (|DX| > x) dx + CE|X|r = C ∞∫ 1 xr−1P (|DX| > x) dx + CE|X|r ≤ CE|X|r <∞. Như vậy với 1 ≤ r < 2 ta có ∞∑ n=1 1 n 1 r E(Xn − Yn) <∞. Do đó, theo Bổ đề Kronecker ta có lim n→∞ 1 n 1 r n∑ i=1 E(Xi − Yi) = 0. Do đó ta cũng có lim n→∞ 1 n 1 rψ 1 2 (n) n∑ i=1 E(Xi − Yi) = 0. (2.24) Từ (2.23), (2.24) và Định lý 1.4.4 ta có lim n→∞ 1 n 1 rψ 1 2 (n) n∑ i=1 (Xi − EXi) = 0 h.c.c.  Từ Nhận xét 1.2.6 ta có hệ quả sau. 2.2.4. Hệ quả. Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.2.5 với βk = 2 k, k ≥ 1 (hoặc tổng quát hơn với βk = [qk−1] với k đủ lớn và q > 1), thì lim n→∞ 1 n 1 r n∑ i=1 (Xi − EXi) = 0 h.c.c. 29 KẾT LUẬN 1. Kết quả chính Khóa luận nghiên cứu về Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc. Khóa luận thiết lập được Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối đối với các khối {Bk, k ≥ 1}. Đó là Định lý 2.2.3, Hệ quả 2.2.4. Kết quả này mở rộng Định lý 1 trong [6]. 2. Hướng phát triển khóa luận Tìm các ví dụ minh họa cho kết quả thu được. Thiết lập luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy các biến ngẫu nhiên là hiệu martingale theo khối. 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Văn Quảng, Giáo trình xác suất, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007. [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, 2003. TIẾNG ANH [3] F. Moricz, Strong limit theorems for blockwise m-dependent and blockwise quasiorthogonal sequences of random variables, Proc. Amer. Math. Soc, 101(1987) 709-715. [4] Nguyen Van Quang and Le Van Thanh, Marcinkiewicz - Zygmund law of large numbers for blockwise adapted sequences, Bulletin of the Korean Mathematical Society, 43(2006), No. 1, 213 - 223. [5] Le Van Thanh, On the Brunk-Chung type strong law of large numbers for sequences of blockwise m-dependent random variables, Esaim: PS, 10(2006) 258 - 268. [6] Le Van Thanh, Strong laws of large numbers for sequences of blockwise and pairwise m-dependent random variables, Bulletin of the Institute of Mathematics Academia Sinica, 4(2005) 397-405. 31 ._.