Luận văn Rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ, logarit cho học sinh THPT thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm

Chuyên ngành: Lí luận và PPDH bộ môn Toán Mã số: 60.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Trần Việt Cƣờng THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015 Tác giả luận văn Lăng Thị Thành Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................................ i MỤC LỤC ......................................................................................................................... ii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN .......................................... iii DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ ............................................................................. iv MỞ ĐẦU ............................................................................................................................ 1 1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................... 2 3. Giả thuyết khoa học ...................................................................................................... 3 4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................... 3 5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................. 3 6. Cấu trúc luận văn .......................................................................................................... 3 Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................................ 4 1.1. Kỹ năng, kỹ năng giải toán ....................................................................................... 4 1.1.1. Kỹ năng ................................................................................................................... 4 1.1.2. Kỹ năng giải toán .................................................................................................... 5 1.2. Thực trạng của việc dạy và học phương trình mũ, logarit ở trường THPT ......... 7 1.2.1. Nội dung phương trình mũ, logarit trong chương trình THPT .......................... 7 1.2.2. Mục đích, yêu cầu khi dạy học chủ đề phương trình mũ, logarit ở trường THPT .................................................................................................................................. 8 1.2.3. Thực trạng của việc dạy và học chủ đề phương trình mũ, logarit ở một số trường THPT ................................................................................................................... 12 1.3. Một số dạng sai lầm và nguyên nhân sai lầm của HS khi giải phương trình mũ, logarit ở trường THPT ........................................................................................... 15 1.3.1. Sai lầm do không nắm vững nội hàm các khái niệm toán học ........................ 15 1.3.2. Sai lầm do áp dụng định lý, công thức một cách máy móc hoặc áp dụng không chính xác .............................................................................................................. 18 1.3.3. Sai lầm liên quan đến khả năng suy luận ........................................................... 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN iii 1.3.4. Sai lầm khi chuyển đổi bài toán .......................................................................... 21 1.3.5. Sai lầm do cảm nhận trực quan ........................................................................... 22 1.4. Tiềm năng rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT thông qua dạy học chủ đề phương trình mũ và logarit ............................................................................... 23 1.5. Kết luận chương 1 .................................................................................................. 27 Chƣơng 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM NHẰM GÓP PHẦN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT CHO HS THPT THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM ................... 28 2.1. Định hướng đề xuất các biện pháp sư phạm ........................................................ 28 2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển kỹ năng giải phương trình mũ và logarit cho HS THPT thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm ....... 31 2.2.1. Trang bị đầy đủ, chính xác kiến thức “nền” cho HS......................................... 31 2.2.2. Tạo cơ hội để HS được thử thách thường xuyên với những bài toán chứa sai lầm trong lời giải ............................................................................................. 36 2.2.3. Tổ chức cho HS phát hiện và nhận dạng quy tắc thuật giải, tựa thuật giải .. 43 2.2.4. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ và logarit dựa vào các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm.......................................................................... 52 2.3. Kết luận chương 2 .................................................................................................. 59 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................................... 60 3.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................................... 60 3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................ 60 3.3. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................................. 60 3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ........................................................................................ 60 3.3.2. Phương pháp thực nghiệm................................................................................... 61 3.4. Đánh giá thực nghiệm sư phạm ............................................................................ 61 3.4.1. Phân tích định lượng ............................................................................................ 61 3.4.2. Phân tích định tính ................................................................................................ 68 3.5. Kết luận chương 3 .................................................................................................. 69 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN iv KẾT LUẬN ..................................................................................................................... 70 CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN ................................. 71 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................... 72 PHỤ LỤC Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN iii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN STT Viết tắt Viết đầy đủ 1 GV Giáo viên 2 HS Học sinh 3 Nxb Nhà xuất bản 4 SGK Sách giáo khoa 5 THPT Trung học phổ thông Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN iv DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm học ................ 6161 Bảng 3.2. Bảng phân bố tần số về điểm ........................................................ 6565 Bảng 3.3. Bảng thống kê kết quả ................................................................... 6565 Biểu đồ 1.1. Mức độ sử dụng các tình huống chứa sai lầm trong dạy học ....... 12 Biểu đồ 1.2. Thái độ học tập của HS trước những bài toán chứa sai lầm ......... 13 Biểu đồ 1.3. Tỉ lệ HS mắc sai lầm thường gặp khi giải PT mũ và logarit ........ 14 Biểu đồ 1.4. Biểu đồ đánh giá kết quả ............................................................... 15 Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân bố tần số về điểm .................................................... 65 Biểu đồ 3.2. Biểu đồ thống kê kết quả .............................................................. 66 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong những năm gần đây, sự phát triển nhanh chóng của khoa học và công nghệ đang đặt ra những yêu cầu mới đối với người lao động. Để thực hiện sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong bối cảnh hội nhập quốc tế, người lao động phải năng động, sáng tạo, có trình độ, có kiến thức chuyên môn và kỹ năng thành thạo. Chuẩn mực của người giỏi ngày nay được “đo” bằng năng lực chuyên môn, năng lực giải quyết các vấn đề. Đây là những phẩm chất không phải có sẵn ở mỗi con người mà nó được hình thành và phát triển trong quá trình giáo dục. Học sinh (HS) Trung học phổ thông (THPT) là những người đang trưởng thành, chuẩn bị tham gia trực tiếp vào lao động sản xuất, phát triển xã hội. Việc trang bị cho các em những kỹ năng, những phẩm chất của người lao động ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường là hết sức cần thiết. Luật Giáo dục năm 2005 [14]: “Phương pháp dạy học phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS”. Trong dạy học môn Toán, dạy học giải bài tập được xem là một trong những tình huống điển hình. Nội dung kiến thức môn Toán cần trang bị cho HS không chỉ bao gồm các khái niệm, định lí mà còn bao gồm các kỹ năng, phương pháp, mà giải bài tập toán chính là phương tiện không thể thiếu trong việc giúp HS nắm vững tri thức, hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Thực tế cho thấy kỹ năng giải toán của HS còn nhiều hạn chế. Mà một trong những biểu hiện có thể kể đến đó là HS còn mắc phải nhiều sai lầm khi giải. Có những sai lầm do HS chưa nắm vững kiến thức cơ bản, xét thiếu trường hợp, hoặc cũng có những sai lầm rất tinh vi... Trước những sai lầm đó, GV cần phải kịp thời phát hiện để sửa chữa, uốn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 2 nắn ngay trong giờ học. Mặt khác, GV cũng cần phải xem xét, dự đoán trước những sai lầm mà HS có thể mắc phải. HS sẽ học được rất nhiều và nhớ rất lâu kiến thức khi học qua các sai lầm, đồng thời cũng rèn luyện cho HS tính cẩn thận, kiên trì, nhẫn nại trong cuộc sống. Như vậy, việc khắc phục và sửa chữa sai lầm cho HS là cần thiết và có thể thực hiện được. Hiện nay, nội dung phương trình mũ và logarit được đưa vào chương trình lớp 12 THPT. Từ khi ra đời, hàm số mũ và logarit đóng vai trò là một công cụ đơn giản hóa các phép tính nhân, chia và khai căn thành các phép tính đơn giản hơn. Theo tiến trình phát triển của lịch sử, lý thuyết về mũ và logarit ngày càng hoàn thiện và ứng dụng của nó ngày càng được làm rõ nét. Ví dụ logarit được biết đến trong ứng dụng giải phương trình, bất phương trình mũ, đếm số các chữ số của một số nguyên dương, đo độ PH của dung dịch, độ lớn của âm thanh... hoặc hàm số mũ dùng để mô tả một số hiện tượng trong vật lý như biểu diễn định luật phân rã phóng xạ Nội dung phương trình mũ và logarit trong chương trình toán phổ thông hiện hành với hệ thống bài tập khá phong phú và mức độ khó dễ khác nhau, đây là một lĩnh vực có thể khai thác để phân tích làm rõ những sai lầm mà HS có thể mắc phải nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán, phát triển tư duy cho HS trong quá trình dạy học. Mặc dù đã có nhiều công trình nghiên cứu liên quan, nhưng đây vẫn là vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu cả về phương diện lý luận và triển khai trong thực tiễn dạy học. Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ, logarit cho HS THPT thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu xác định vai trò của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS và phân tích một số sai lầm thường mắc phải của HS khi giải phương trình mũ và logarit. Từ đó, đề xuất một số biện pháp sư phạm để hạn chế và khắc phục những sai lầm này nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 3 3. Giả thuyết khoa học Nếu làm sáng tỏ được những sai lầm và đề xuất được một số biện pháp sư phạm thích hợp để hạn chế, khắc phục sai lầm cho HS thì có thể giúp HS nâng cao kỹ năng giải toán, qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường phổ thông. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu một số sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải phương trình mũ và logarit. - Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm khi giải phương trình mũ và logarit. - Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi của giả thuyết khoa học. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu một số tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn. - Phương pháp điều tra, quan sát: Nghiên cứu thực trạng dạy học nội dung phương trình mũ và logarit tại một số trường THPT thông qua hình thức dự giờ, sử dụng phiếu điều tra, phỏng vấn trực tiếp GV. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số trường THPT để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các nội dung nghiên cứu đã đề xuất. Xử lý các số liệu thực nghiệm bằng phương pháp thống kê toán học. 6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2: Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ và logarit cho HS THPT thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm Chương 3: Thực nghiệm sư phạm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 4 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Kỹ năng, kỹ năng giải toán 1.1.1. Kỹ năng Theo từ điển Tiếng Việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [19]. Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [18]. Theo nhà tâm lí học Liên Xô K.K.Platơnôp: “Cơ sở tâm lí của kỹ năng là sự thông hiểu mối liên hệ giữa mục đích hành động, các điều kiện và phương thức hành động”. “Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp” [25]. Bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn khác nhau, có nhiều định nghĩa khác nhau về kỹ năng. Dù phát biểu theo góc độ nào, hầu hết chúng ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chủ thể áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Để sở hữu kỹ năng, chúng ta phải trải qua quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó. Nói đến kỹ năng là nói đến năng lực của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở hiểu biết để đạt được mục đích đã định. Kỹ năng luôn có chủ đích và định hướng rõ ràng. Để hiểu rõ hơn về kỹ năng, cần phân biệt kỹ năng với một số dấu hiệu gần giống kỹ năng: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 5 - Kỹ năng khác phản xạ: Phản xạ là phản ứng của cơ thể với môi trường. Phản xạ mang tính thụ động. Ngược lại, kỹ năng là phản ứng có ý thức và mang tính chủ động. - Kỹ năng khác với thói quen: Hầu hết thói quen được hình thành một cách vô thức và khó kiểm soát, trong khi kỹ năng được hình thành một cách có ý thức qua quá trình luyện tập. - Kỹ năng khác với kiến thức: Kiến thức là sự hiểu biết nhưng chưa từng làm. Còn kỹ năng là hành động trên nền tảng kiến thức. 1.1.2. Kỹ năng giải toán a) Khái niệm “Trong toán học kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được” [24]. Theo tác giả Hoàng Chúng: “Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh)” [3]. Như vậy, cơ sở của kỹ năng giải toán là các tri thức toán học, khi giải một bài toán tức là thực hiện một hệ thống hành động có mục đích. Do đó, chủ thể hành động cần phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó. Kỹ năng giải toán của HS có thể hiểu là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức, kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện một hệ thống hành động để tìm ra lời giải bài toán một cách khoa học. Kỹ năng có thể được rút ngắn, bổ sung và thay đổi trong quá trình hoạt động. b) Một số biểu hiện của kỹ năng giải toán của HS Để tìm hiểu về một số biểu hiện của kỹ năng giải toán của HS, cần lưu ý một số đặc điểm của kỹ năng như sau: - Kỹ năng là mặt kỹ thuật của một hay một nhóm hành động nhất định. Khi nói đến kỹ năng là nói đến hành động đúng đắn, thành thạo nhất định, không có kỹ năng chung chung, tách rời hành động. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 6 - Thành phần của kỹ năng bao gồm: tri thức, kinh nghiệm, quá trình thực hiện hành động, sự kiểm soát và hiệu chỉnh trực tiếp của ý thức, kết quả của hành động. - Tiêu chuẩn xác định sự hình thành và mức độ phát triển của kỹ năng là tính chính xác, tính thành thạo, tính linh hoạt và kết hợp nhịp nhàng, ăn khớp với các hành động. Hành động còn vụng về sẽ chưa thể trở thành kỹ năng. Kỹ năng giải toán của HS biểu hiện qua hoạt động giải bài tập toán và được biểu hiện: - Có tri thức về hành động đó. - Kỹ năng phân tích, tổng hợp: HS cần có kỹ năng phân tích bài toán, thiết lập mối liên hệ và phụ thuộc giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm, liên hệ với những tri thức đã có để tìm ra phương pháp giải đúng đắn, hiệu quả và nhanh nhất. - Kỹ năng thực hành: Sau khi đã phát hiện cách giải, HS cần phải tính toán cẩn thận, chính xác. Sau đó sắp xếp các bước giải và trình bày một cách khoa học, phải thể hiện từng bước rõ ràng, mạch lạc. - Kỹ năng vận dụng các quy tắc suy luận logic, các định lý, tính chất, hệ quả, mệnh đề Yêu cầu HS vận dụng linh hoạt, chính xác, tránh máy móc. - Kỹ năng vẽ hình, vẽ đồ thị hàm số. - Nhóm kỹ năng tư duy: tư duy logic, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo. - Kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn: Kỹ năng này giúp HS nắm được bản chất kiến thức đã học, biết vận dụng kiến thức Toán vào giải quyết các vấn đề trong cuộc sống, gây hứng thú học tập cho HS. Tránh tình trạng hiểu vấn đề một cách hình thức, xa rời với thực tiễn. - Kỹ năng tìm ra vấn đề và giải quyết vấn đề: Trong cuộc trò chuyện với GS Ngô Bảo Châu, GS Đàm Thanh Sơn chia sẻ: “Có lẽ trong ngành khoa học nào cũng vậy, muốn thành công ít nhất phải có hai kỹ năng: tìm ra vấn đề hay và giải quyết được vấn đề.” Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 7 - Kỹ năng tự học, tự kiểm tra, tự đánh giá lời giải và tránh sai lầm khi giải toán. Theo Polya “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”. Trong giải bài tập toán, việc phát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm đó là một thành công của người học toán. Do vậy, GV cần giúp HS có khả năng và thói quen tự kiểm tra, tự đánh giá lời giải sau mỗi bài tập. Việc hình thành kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá và tự điều chỉnh cho HS sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy và học. c) Nhu cầu phát triển kỹ năng giải toán cho HS ở trƣờng THPT Trong dạy học môn Toán, dạy học giải bài tập được xem là một trong những tình huống điển hình. Chất lượng giải toán sẽ phản ánh rõ nhất trình độ học toán của HS. Vì vậy, hoạt động rèn luyện kỹ năng giải toán là hoạt động không thể thiếu của HS. Thực tế có không ít HS gặp khó khăn khi lĩnh hội một số khái niệm, định lí. HS có thể học thuộc nhưng không giải thích được đầy đủ, chính xác ý nghĩa và bản chất của nó. Việc nắm kiến thức và kỹ năng thiếu vững chắc là nguyên nhân dẫn đến vận dụng một cách máy móc, không biết hướng vận dụng hoặc mắc phải sai lầm trong quá trình vận dụng. Hơn nữa, các bài toán đưa ra thường được trừu tượng hóa hoặc bị che lấp bởi một số yếu tố nhằm đánh lạc hướng tư duy của HS. Do vậy, HS cần có cách nhìn linh hoạt, sáng tạo trước một bài toán cụ thể. Sở hữu kỹ năng thành thạo sẽ giúp HS làm việc độc lập, sáng tạo không chỉ trong nội bộ môn toán, mà còn có ứng dụng trong các ngành khoa học khác và trong thực tiễn đời sống. 1.2. Thực trạng của việc dạy và học phƣơng trình mũ, logarit ở trƣờng THPT 1.2.1. Nội dung phương trình mũ, logarit trong chương trình THPT Trong chương trình THPT, theo phân phối chương trình chuẩn lớp 12, nội dung phương trình mũ và logarit được thực hiện cụ thể như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 8 Phân phối chương trình Tên bài dạy Nội dung Tiết 31, 32 I. Phương trình mũ, phương trình logarit Bài tập - Nêu dạng phương trình cơ bản. - Giúp HS nhận dạng và giải được phương trình mũ và logarit cơ bản. Tiết 33, 34 II. Phương trình mũ, phương trình logarit Bài tập - Hướng dẫn HS giải phương trình mũ và logarit bằng một số phương pháp được đề cập. Bước đầu giúp HS nhận dạng, giải thành thạo những phương trình mẫu mực. - Tạo cơ hội cho HS vận dụng các tính chất của hàm số mũ và logarit để giải những bài toán không mẫu mực. Tiết 11, 12 (tự chọn) Bài tập phương trình mũ, logarit - Hệ thống lý thuyết, phân dạng bài tập. - Luyện tập giải các phương trình mẫu mực lẫn phương trình không mẫu mực. - Có thể mở rộng, đưa vào thêm một số phương pháp giải mà trong sách chưa đề cập tới, chẳng hạn dùng bất đẳng thức. 1.2.2. Mục đích, yêu cầu khi dạy học chủ đề phương trình mũ, logarit ở trường THPT a) Về kiến thức - HS nắm vững khái niệm phương trình mũ và logarit cơ bản, nắm vững những đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm. Chẳng hạn phương trình mũ cơ bản xa m nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. - Nắm được những khái niệm có liên quan: nghiệm phương trình, tập nghiệm, phép biến đổi tương đương, hệ quả Thông qua đó, củng cố và đào sâu một số kiến thức về tập hợp và logic toán, cụ thể: khái niệm tập hợp, phần Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 9 tử, quan hệ bao hàm, các phép toán tập hợp, các phép toán logic “kéo theo” và “tương đương”. Ví dụ 1.1: Phép chuyển đổi từ phương trình h(x) h(x)log f (x) log g(x) (1) sang phương trình f (x) g(x) (2) gọi là phép mũ hóa và phép chuyển từ (2) sang (1) gọi là phép logarit hóa. Căn cứ vào định nghĩa và tính chất của hàm số mũ và hàm số logarit, qua những ví dụ cụ thể cần cho HS thấy rõ: phép mũ hóa làm mở rộng tập nghiệm và phép logarit hóa làm thu hẹp tập nghiệm, hay nói cách khác (2) là hệ quả của (1). b) Về kỹ năng Tùy thuộc vào từng “mảng” kiến thức, từng nội dung môn học, có nhiều kiểu phân chia kỹ năng phù hợp. Đối với chủ đề phương trình, ta cần rèn luyện cho HS những kỹ năng thuộc về nhóm kỹ năng nhận thức và vận dụng. Có thể kể ra một số kỹ năng sau: - Kỹ năng tính toán: Trước hết, cần phải khẳng định học toán gắn liền với tính toán. Yêu cầu tính chính xác, nhanh, ngắn gọn là những yêu cầu cơ bản, đầu tiên để học tốt môn Toán. Đồng thời, kỹ năng này có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong thực tế của đời sống, sản xuất kinh doanh, trong kỹ thuật. Khi giải toán phương trình tính toán có tính số và tính biểu thức, đặc biệt với các bài toán chứa tham số với mức độ yêu cầu cao, khó và trừu tượng thì chỉ cần tính toán sai một bước sẽ dẫn đến tất cả đều sai. Do đó cần rèn luyện cho HS khả năng tính toán ở nhiều mức độ khác nhau. Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, cần rèn luyện khả năng tính toán theo những hướng sau: + Đặc biệt chú ý những kỹ năng nào của kỹ năng tính toán cần thiết cả trong trường hợp không dùng máy tính lẫn bằng máy tính: tính nhẩm, tính ước chừng + Về mặt tính viết: Không cần thiết phải bỏ công sức cho HS tập luyện tính toán trên những số liệu quá cồng kềnh, phức tạp. + Từ bỏ việc tính toán với những phương tiện đã lỗi thời. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 10 Chúng tôi cho rằng rèn luyện khả năng tính toán khi giải phương trình thể hiện ở các mặt sau: + Rèn kỹ năng tính nhẩm và tính nhanh: Việc tính nhẩm và tính nhanh rất phù hợp với những bài có số liệu đơn giản (có thể trực tiếp nhẩm ra đáp số mà không cần viết ra giấy) hoặc những bài toán chứa căn thức biến đổi đưa về hằng đẳng thức (tính nhanh) + Nhớ những số hay dùng, có thể nhớ máy móc hay nhớ theo quy luật chẳng hạn: Bình phương các số từ 1 đến 20; các số lập phương từ 1 đến 10; các giá trị log2, log3, log5, 2 log 4, 2 log 8 để thuận lợi khi giải phương trình mũ và logarit. Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho HS, cần chú ý rèn luyện cho HS các đức tính như cẩn thận, kiên trì, nhanh trí, tiến tới thói quen tính toán chính xác. Đồng thời có thể đề ra nhiều cách giải khác nhau để HS có cơ hội tính toán linh hoạt đa dạng, tìm ra những cách giải ngắn và độc đáo. - Kỹ năng vận dụng các phương trình mẫu mực, nhận dạng và giải thành thạo các phương trình cơ bản hoặc quy về dạng cơ bản, giải phương trình theo thuật giải hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổi xác định. Kỹ năng phân tích, tổng hợp để tìm ra mối liên hệ giữa yếu tố đã biết và yếu tố cần tìm, linh hoạt vận dụng tri thức đã có để tìm ra phương pháp giải đúng và nhanh nhất. Ví dụ 1.2: Để chứng minh phương trình x3 4 x có nghiệm duy nhất, ta làm như sau: Đặt xf (x) 3 và g(x) 4 x . Ta thấy f(x) là hàm số luôn đồng biến trên  và g(x) là hàm số luôn nghịch biến trên  nên phương trình f (x) g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên  . Nhận thấy x 1 là một nghiệm của phương trình đã cho nên phương trình có nghiệm duy nhất là x 1. - Kỹ năng biến đổi các biểu thức mũ và logarit, kết hợp rèn luyện và nắm vững một số phương pháp giải phương trình mũ, logarit thường gặp. Kỹ năng giải phương trình nói chung. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 11 - Kỹ năng sử dụng đồ thị: Nhiều HS thắc mắc giải toán phương trình tại sao cần dùng đến đồ thị, họ cho rằng kỹ năng này chỉ cần khi học nội dung “hàm số”. Thực ra, nhiều bài toán giải phương trình, nhất là những bài toán biện luận số nghiệm khi giải bằng phương pháp này thì sẽ nhận được kết quả nhanh chóng và trực quan. HS cần biết cách giải phương trình bằng phương pháp đồ thị để thấy mối liên hệ giữa phương trình và hàm số. Ví dụ 1.3: Giải phương trình: 2 1 log ( 2) 1 3 2 1 x x x Điều kiện: x 2 0 x 0 1 x 2 x 2 x 0 1 x 2 Phương trình đã cho tương đương với: 2 x 1 log x 2 2x 1 Ta có nhận xét: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của 2 đồ thị hàm số: 2y log (x 2) và x 1 y 2x 1 Vẽ đồ thị 2 hàm số này trên cùng mặt phẳng tọa độ (Hình 1.1). Dựa vào hình vẽ, ta thấy phương trình đã cho vô nghiệm. Hình 1.1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 12 - Kỹ năng suy luận, chứng minh: Kỹ năng này không chỉ cần khi giải toán phương trình mà có thể nói đây là kỹ năng chung cần để giải bài tập toán. Để đưa ra những suy luận, HS phải dựa vào những đặc điểm, nhận thức, dự đoán, phân tích riêng của bản thân khi gặp những dạng toán chưa có sẵn cách giải. c) Về tƣ duy - HS được phát triển về tư duy thuật giải trong việc giải phương trình theo thuật giải hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổi xác định. - HS được rèn luyện về tính linh hoạt, khả năng sáng tạo, đặc biệt là khi giải những phương trình không mẫu mực. - HS được rèn luyện tính quy củ, tính kế hoạch, tính kỉ luật trong khi giải những phương trình theo thuật giải, công thức hoặc theo hệ thống quy tắc biến đổi xác định; được giáo dục về tính cẩn thận, chính xác và thói quen tự kiểm tra lời giải. 1.2.3. Thực trạng của việc dạy và học chủ đề phương trình mũ, logarit ở một số trường THPT a) Đối với GV Việc tìm hiểu, phân tích thực tế dạy và học nội dung phương trình mũ và logarit là việc làm rất cần thiết. Điều đó giúp chúng tôi có thêm cơ sở để xác định đúng đắn các yêu cầu cũng như biện pháp sư phạm đặt ra trong luận văn. Để tìm hiểu về thực trạng dạy học chủ đề phương trình mũ và logarit ở trường THPT, chúng tôi đã tiến hành phỏng vấn, phát phiếu thăm dò ý kiến của GV dạy toán (30 GV) thuộc các trường: THPT Cao Lộc (Huyện Cao lộc, tỉnh Lạng Sơn), THPT Việt Bắc (thành phố Lạng Sơn), THPT Mê Linh (Đông Hưng, Thái Bình). Nội dung tổng hợp từ phiếu điều tra được thể hiện trong biểu đồ sau: Biểu đồ 1.1. Mức độ sử dụng các tình huống chứa sai lầm trong dạy học Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 13 Biểu đồ 1.2. Thái độ học tập của HS trước những bài toán chứa sai lầm Chúng tôi cũng đã tiến hành phỏng vấn một số GV. Chúng tôi xin trích dẫn một đoạn phỏng vấn cô giáo Nguyễn Thị Hương, GV Toán trường THPT Cao Lộc, huyện Cao Lộc, tỉnh Lạng Sơn như sau: - Hỏi: Cô vui lòng cho biết, khi học nội dung phương trình mũ và logarit, HS có hay mắc phải sai lầm không và đó là những sai lầm gì? - Cô Hương: Qua thực tế dạy học, tôi thấy khi học nội dung này HS thường mắc sai lầm (ngay cả với những HS khá giỏi). Một số sai lầm thường mắc phải như: không chú ý đến điều kiện khi biến đổi, áp dụng công thức một cách máy móc, áp dụng sai, sáng tác ra các công thức mới - Hỏi: Theo cô, nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó là gì? - Cô Hương: Theo tôi, đó là do HS không hiểu bản chất, không nắm chắc phần kiến thức đó. Khi cần áp dụng, không thể nhớ chính xác mà lại không có phương pháp để kiểm tra lại. Có lẽ thế mà trong bài kiểm tra tôi thường gặp một số công thức mới do các em tự “sáng tác” ra. - Hỏi: Theo cô, việc tạo ra các tình huống dễ dẫn đến sai lầm để thử thách HS có tác dụng giúp HS phòng tránh và hạn chế được sai lầm hay không, và cô có thường xuyên sử dụng biện pháp này trong quá trình giảng dạy hay không? ...S đã hiểu sai bản chất vấn đề. Nếu GV chỉ mong Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 34 đợi câu trả lời là hàm số đồng biến hay nghịch biến thì sai lầm này không được “chấn chỉnh” kịp thời và sẽ trở thành một “lỗ hổng” hoặc HS hiểu một cách “mập mờ”, không chắc chắn. Liên quan đến các bài toán xét tính đơn điệu, vẽ đồ thị hàm số mũ, các bài tập trong SGK chỉ đề xuất các bài tập quen thuộc, HS chỉ cần xét đến cơ số là có thể kết luận được tính đơn điệu của hàm số. Để khắc phục sai lầm này, GV nên cân nhắc hướng xây dựng bài tập cho HS. GV có thể tạo ra các tình huống học tập đòi hỏi HS phải suy luận, cân nhắc khi xác định cơ số hoặc phải vận dụng các phương pháp khác để giải như: dùng định nghĩa, đạo hàm. - Thứ 4: Giúp HS tạo “đường dẫn” giữa kiến thức mới với kiến thức đã học. Thực tế, HS có tâm lí “ngại” tiếp nhận kiến thức mới chiếm một số lượng không nhỏ. Nếu HS có thể liên hệ với những kiến thức cũ thì việc học kiến thức mới sẽ diễn ra dễ dàng và thuận lợi hơn. Do đó, nên tổ chức cho HS tự lực hình thành hoặc giúp đỡ họ hình thành tri thức mới, sử dụng tư duy logic khi cần thiết, giúp HS thấy được thông tin nào cần ghi nhớ máy móc, thông tin nào có thể được suy luận nhờ tư duy logic. Hãy giúp HS cách suy luận và tiếp nhận kiến thức mới bằng phương pháp tư duy bởi vì một sơ đồ tư duy sẽ có tác dụng hơn “hàng ngàn chữ viết” hay chỉ giảng giải bằng lời. Ví dụ 2.3: GV hướng dẫn HS tiếp cận các quy tắc tính logarit như sau: Với số a dương và khác 1 và các số b, c dương. Ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 35 Việc trang bị kiến thức “nền” cho HS là vô cùng quan trọng, trực tiếp hướng vào việc giúp HS tránh những sai lầm do không nắm vững nội hàm các khái niệm toán học; sai lầm do áp dụng máy móc các công thức, định lí hoặc áp dụng không chính xác; sai lầm do cảm nhận trực quan. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 36 2.2.2. Tạo cơ hội để HS được thử thách thường xuyên với những bài toán chứa sai lầm trong lời giải Trong dạy học, GV luôn chú trọng đến cách lập luận, rút ra những chú ý, nhận xét nhằm giúp HS tránh những sai lầm khi giải toán. Nhưng nếu chỉ dừng lại ở việc nhấn mạnh về mặt lý thuyết thì khó có thể hạn chế được những sai lầm đó. Việc HS mắc phải sai lầm khi giải toán là điều thường xuyên gặp phải trong dạy học. Tuy nhiên, nếu HS thật sự có ý chí, quyết tâm chinh phục những khó khăn đó bằng chính năng lực của mình thì sai lầm đó sẽ trở thành “chất xúc tác” khiến họ thay đổi và ngày càng hoàn thiện hơn. Vì vậy, để HS va chạm với những bài toán chứa sai lầm có thể giúp HS phòng tránh những sai lầm thường mắc phải, đồng thời đó là cơ sở để phân tích, củng cố lại phần kiến thức mà HS còn mơ hồ, giúp HS tích lũy kinh nghiệm và nhờ đó sẽ giảm thiểu hoặc chấm dứt được những sai lầm của bản thân. Thế nhưng không phải vì vậy mà có thể cho rằng mình có quyền mắc sai lầm, lặp lại hết lần này đến lần khác vì đó là do bản thân lười biếng, không có chí cầu tiến và tự cho phép mình xem mọi thứ là “quy luật” khi bản thân mắc phải sai sót. Tư tưởng này hoàn toàn phù hợp với quan điểm của J.Piaget: “Chỉ có sự hoạt động được GV thường xuyên định hướng và khích lệ, nhưng vẫn luôn luôn tự do trong việc mò mẫm và ngay cả trong những sai lầm, mới có thể đưa đến sự độc lập về mặt trí tuệ” [11]. Việc sửa chữa sai lầm là một hoạt động quan trọng, chẳng hạn G.Polia cho rằng: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” [24]. Theo J.A.Komenxki thì: “Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho HS kém đi nếu như GV không chú ý ngay đến sai lầm đó, và hướng dẫn HS nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lầm” [30]. Một trong những cách thức để HS tiếp xúc với những sai lầm là cài đặt “bẫy” vào trong các bài toán. “Bẫy” trong các bài toán là tình huống được GV thiết kế mà nếu HS không nắm vững kiến thức thì sẽ mắc phải sai lầm. Mỗi khi HS mắc phải sai lầm đồng nghĩa với việc “sa bẫy”. Theo tác giả Lê Thống Nhất, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 37 “bẫy trong các bài toán là các kiến thức mà HS dễ bị sai lầm ở một bước nào đấy trong lời giải, các kiến thức này được sự chuẩn bị có chủ định của GV nhằm đạt được tính hấp dẫn cùng với tính thử thách đối với HS” [17]. Việc cài đặt “bẫy” trong các bài toán như thế nào là hợp lí phụ thuộc rất nhiều vào trình độ và năng lực sư phạm của GV. Chúng tôi cho rằng, “bẫy” trong bài toán mang tính sư phạm phải đảm bảo phù hợp với trình độ của HS, chỉ nên xoay quanh vùng phát triển gần nhất của kiến thức HS. Hay nói cách khác HS chỉ cần nắm thật chắc kiến thức cơ bản thì có thể vượt qua được các “bẫy” đó. Nếu đưa ra những vấn đề quá khó, vượt xa trình độ của HS thì “bẫy” sẽ trở thành sự đánh đố, khiến HS bị lạc hướng. Khi đó, HS rơi vào bế tắc chứ không “sa bẫy”. Do đó, các biện pháp có chủ định về sư phạm không thực hiện được. Nếu “bẫy” quá dễ thì cũng không gây được hứng thú học tập cho HS. Việc tạo ra các “bẫy” không phù hợp có thể gây ra tâm lí tự ti hay tự phụ cho HS. Chúng tôi rút ra một số chú ý khi sử dụng biện pháp này như sau: - Thứ 1: Trước tình trạng phân cực trình độ của HS (ngay trong một lớp học) như hiện nay thì phương pháp dạy học phân hóa có tác dụng rút bớt dần sự phân cực đó. Chính vì vậy, khi xây dựng hệ thống bài tập có chứa các “bẫy”, GV nên căn cứ vào mức độ nhận thức chung của HS trong lớp để đưa ra các câu hỏi phân hóa hay bài tập phân hóa phù hợp. Ra bài tập phân hóa là để cho các đối tượng HS khác nhau có thể tiến hành các hoạt động khác nhau với trình độ khác nhau. GV có thể phân hóa bằng cách sử dụng mạch bài tập phân bậc, giao cho HS giỏi những bài tập có hoạt động ở bậc cao hơn so với các đối tượng HS khác, hoặc tiến hành dạy học phân hóa ngay trong một bài tập. Chẳng hạn: Đối với HS trung bình, yếu kém thường biểu hiện không nắm được kiến thức và kỹ năng cơ bản thì bộc lộ những sai lầm nghiêm trọng và lỗ hổng kiến thức. Với nhóm đối tượng này, GV có thể giao cho những bài toán dưới hình thức trắc nghiệm (kiểm tra lý thuyết hoặc áp dụng, tính toán đơn giản) hay dạng bài tập chỉ ra sai lầm trong lời giải. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 38 Ví dụ 2.4: Chỉ ra đáp án đúng a) a a alog b.c log b.log c b) a a alog b.c log b log c c) a a alog b.c log b log c d) a a alog b.c log b .log c Ví dụ 2.5: Chỉ ra sai lầm trong lời giải sau: Giải phương trình: 4 2 log x log 4x 5. Điều kiện: x 0 Khi đó, phương trình tương đương: 2 2 2 1 log x log 4.log x 5 2 2 2 1 log x 2.log x 5 2 2 5 log x 5 2 4x So sánh với điều kiện, x 4 là nghiệm của phương trình. Đối với nhóm HS khá giỏi, bản thân các em có năng lực học toán, thích làm toán thì GV có thể ra riêng những bài tập nâng cao, đòi hỏi khả năng vận dụng kiến thức một cách tổng hợp, yêu cầu HS phát huy tính độc lập trong khâu phát hiện, giải quyết vấn đề, trình bày và bảo vệ kết quả. Chẳng hạn: “Yêu cầu HS giải bài toán chứa đựng một tình huống dễ dẫn tới sai lầm” hoặc “Yêu cầu HS giải bài toán chứa đựng nhiều hơn một tình huống dễ dẫn tới sai lầm”. Ví dụ 2.6: Cho phương trình 2sin x 4tan x 4 2 cos2x2 m 2 .0,25 2m 1, với m là tham số. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Hãy xác định m để 2 2 1 2 A x x đạt giá trị nhỏ nhất. Với bài toán này, nhận định ban đầu của HS là sẽ đưa các lũy thừa về cùng cơ số 2. Tuy nhiên, do cấu tạo quá “dễ sợ” của phần lũy thừa làm cho HS lúng túng và họ không biết biến đổi như thế nào để đưa phương trình về dạng lũy thừa có cùng cơ số và phần lũy thừa tương đồng để đặt ẩn phụ. Do hình thức của lũy thừa như vậy, nên HS sẽ thiên về hướng biến đổi cos2x về dạng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 39 2cos x 4 nhằm đạt được 2tan x 4 2 , và rõ ràng đây là “ngõ cụt”, không thể thực hiện được. Tất nhiên người GV có thể thông cảm với sai lầm này của HS, bởi vì hình thức thể hiện bên ngoài của bài toán đã dẫn dắt các em đi theo con đường như thế. Trong trường hợp này, GV nên có hoạt động giúp đỡ, gợi ý theo hướng vẫn biến đổi cos2x nhằm đưa các hàm lượng giác về cùng góc x 4 , và cuối cùng biến đổi được: 2 2cos2x sin x cos x sinx cosx . sinx cosx 2sin x . 2sin x 2.sin x .cos x 4 4 4 4 Suy ra, ta có 2sin x 4 1 tan x cos2x 2 4 Khi đó phương trình trở thành: tan x tan x 4 422 m 2 .2 2m 1 Với điều kiện cos2x 0 , đặt tan x 4 t 2 t 0 , phương trình trở thành: 2 2 2m 2t 2m 1 0 t 2m 1 t m 2 0 t . Đến đây, phương trình đã trở nên quen thuộc, hầu hết HS có thể liên hệ được phần kiến thức để giải quyết bài toán này đó là sử dụng định lí Vi-ét. HS giải như sau: Theo định lí Vi-ét, ta có: 1 2 2 1 2 x x 2m 1 x .x m 2 Suy ra, ta có 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x 2x x 2m 1 2 m 2 2m 4m 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 40 Khi đó: 22A 2m 4m 3 2 m 1 5 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 5 khi m 1 GV có thể dễ dàng phát hiện ra sự không bình đẳng giữa kết luận với các yếu tố bình đẳng ở giả thiết trong lời giải trên. Theo tác giả Nguyễn Thái Hòe: “Việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài toán và cả kết quả của nó giúp cho người giải toán thấy rõ quá trình xảy ra có tính quy luật của mọi bài toán. Nói cụ thể hơn là người giải toán sẽ biết được với các giả thiết, các điều kiện đã cho như vậy thì tất yếu kết quả phải diễn ra như thế nào?” [10]. Trong ví dụ này, biểu thức A là tổng của 2 số bình phương nên không thể nhận giá trị âm. Sai lầm ở đây là HS chỉ đơn thuần đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2A 2m 4m 3 (tham số m), mà đúng ra HS phải tìm giá trị nhỏ nhất của 2A 2m 4m 3, với 2 2 1 2 A x x (x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho), hay nói cách khác giá trị của A không thể âm và 7 m 4 (do 0). GV đặt câu hỏi cho sự mâu thuẫn này, HS sẽ nhận ra trong lời giải có sai lầm và tìm cách sửa chữa. Lời giải đúng: Xét 2 2 1 2 1 2 A x x 2x x 2m 4m 3, với 7 m 4 Lập bảng biến thiên của biểu thức A: Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận: Vậy 2 2 1 2 x x đạt giá trị nhỏ nhất bằng 81 8 khi 7 m 4 7 4 2 2 1 2 A x x m 5 81 8 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 41 Ví dụ trên không phải là quá khó nhưng đã kiểm tra được nhiều kiến thức của HS. Như vậy, có thể cài đặt nhiều hơn một “bẫy” trong một bài toán. Với nhiều bẫy ấy, khi HS vượt qua được “bẫy” này thì lại vấp phải “bẫy” kia. Vấn đề thiết kế bao nhiêu “bẫy” phụ thuộc vào sự phỏng đoán một cách trực giác của GV về trình độ lập luận của HS. Thiết kế và cài đặt “bẫy” vào trong bài toán phải khéo léo và ăn khớp với tiến trình bài dạy. Mỗi cái “bẫy” là một “sản phẩm nghệ thuật” đòi hỏi người GV phải luôn trau dồi, học tập, gắn bó, yêu nghề, biết đặt mình vào vị trí của trò để lường trước được những sai lầm có thể mắc phải của học trò. Nếu HS vượt qua được tất cả các bẫy để đi đến lời giải đúng thì chính là đã qua một hình thức đo kiến thức. - Thứ 2: Khi HS “sa bẫy”, GV cần phải kịp thời, khéo léo dẫn dắt để HS vượt qua một cách tự nhiên, tự giác trong quá trình phát hiện và tìm biện pháp khắc phục. GV không thể kết luận ngắn gọn rằng “em đã giải sai” hoặc đột ngột đưa ra lời giải đúng. Chỉ ra chỗ sai và sửa như thế nào cho đúng, đó mới là lời giải thích thuyết phục nhất đối với HS. Việc này có thể thực hiện thông qua các câu hỏi gợi mở; nhấn mạnh lại một số kiến thức, kỹ năng biến đổi liên quan đến bài toán; so sánh với một lời giải đúng khác (lời giải để so sánh phải nằm trong phạm vi kiến thức của HS). Ví dụ 2.7: Giải phương trình: 2 2 2 log x 2.log 3x 4 * Lời giải của HS: Điều kiện: x 0 3x 4 0 x 0 4 x 3 Ta có (*) 2 2 2.log x 2.log 3x 4 * * 2 2 log x log 3x 4 x 3x 4 x 2 So sánh với điều kiện, x 2 không thỏa mãn nên phương trình vô nghiệm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 42 Là GV có thể dễ dàng chỉ ra sai lầm trong lời giải trên, nhưng nếu HS vừa mới học xong kiến thức này thì việc chỉ ra sai lầm vẫn còn nhiều khó khăn. Ở đây, GV có thể giúp đỡ HS chỉ ra sai lầm trong lời giải bằng cách: - GV đặt câu hỏi: Khi biến đổi thành phương trình (**) thì tập xác định của (**) có còn như ban đầu không? HS có thể tự kiểm tra bằng cách tìm tập xác định của (**). Sau khi tự kiểm tra, thấy (**) là phương trình hệ quả của (*) thì HS sẽ đặt nghi vấn: Có thể lời giải trên bị thiếu nghiệm nên lời giải trên chứa sai lầm. - Nhấn mạnh lại quy tắc biến đổi a a log x .log x , với chẵn. - Cho HS so sánh với một lời giải có cách biến đổi hoàn toàn khác: Với điều kiện: x 0 và 4 x 3 , phương trình tương đương với: 2 2 2 2log x log (3x 4) 2 2x (3x 4) 3x 4 x x 2 3x 4 x x 1 So sánh với điều kiện, phương trình có nghiệm x 1. Sau khi chỉ ra được sai lầm, GV có thể yêu cầu HS tự trình bày hoặc GV trình bày lời giải đúng. Lời giải đúng: Điều kiện: x 0 3x 4 0 x 0 4 x 3 Viết lại phương trình dưới dạng: 2 22.log x 2.log (3x 4) 2 2log x log (3x 4) 3x 4 x x 2 x 3x 4 3x 4 x x 1 So sánh với điều kiện, phương trình có nghiệm x 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 43 - Thứ 3: Cần phải quan tâm đúng mức đến việc phân hóa về mặt số lượng. Nghĩa là: Có một số HS cần làm nhiều bài tập cùng loại để rèn luyện một số kỹ năng nào đó nên GV cần cân nhắc để ra đủ liều lượng bài tập sao cho phù hợp với từng loại đối tượng HS. Với nhóm HS khá giỏi sẽ nhận thêm những bài tập khác để đào sâu và nâng cao kiến thức. 2.2.3. Tổ chức cho HS phát hiện và nhận dạng quy tắc thuật giải, tựa thuật giải Đối với một số bài toán, tồn tại những quy tắc xác định mô tả quá trình giải. Từ đó, người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật giải. Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thành thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài toán đó. Tuy nhiên trong quá trình dạy học, ta thường gặp một số quy tắc chưa mang đủ đặc điểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ rõ hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán. Đó là những quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó. Trong các tình huống dạy học thì dạy học giải phương trình là tình huống rất tốt để phát triển tư duy thuật giải cho HS. Trong quá trình dạy học giải phương trình, có những dạng phương trình đã có thuật giải, nhưng đa số phương trình chúng ta gặp đều chưa có ngay thuật giải. Để giải những phương trình dạng này, chúng ta phải biến đổi đưa về phương trình đã có thuật giải. Quá trình này có thể thực hiện bằng cách hướng dẫn HS tìm tòi, suy nghĩ và hướng đến xây dựng thuật giải cho bài toán nếu có thể. Theo A.N.Kolmogrov: “Trong mọi trường hợp có thể được, việc đi tìm các Algorit giải là một mục đích thực sự của Toán học”. Algorit thường được hiểu là bản ghi chính xác, tường minh tập hợp những thao tác sơ đẳng, đơn trị Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 44 theo một trình tự nhất định (tùy mỗi trường hợp cụ thể) để giải quyết bất kì vấn đề nào thuộc cùng một loại hay kiểu. Xuất phát từ vai trò của tư duy thuật giải trong giải phương trình nói chung, chúng tôi đưa ra quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải bao gồm các bước: Bước 1: Tập luyện cho HS thói quen phân tích bài toán, nhận dạng phương trình. Nếu phương trình đã có thuật giải thì HS tiến hành theo thuật giải. Nếu không, chuyển sang bước 2. Bước 2: Rèn luyện cho HS biến đổi phương trình về dạng quen thuộc. Trong bước này, GV cần gợi động cơ, hướng đích, lôi cuốn người học tích cực tìm tòi những phương pháp biến đổi phương trình về dạng quen thuộc. Đây là khâu quan trọng và cũng là khâu khó khăn nhất trong hoạt động giải phương trình. GV cần hướng dẫn người học huy động kiến thức tổng hợp để tìm phương pháp biến đổi thích hợp. Bước 3: Cho HS tiến hành giải phương trình nhận được. Sau khi đã biến đổi phương trình về dạng quen thuộc, HS vạch ra chương trình giải và thực hiện chương trình đó. Bài giải phải đảm bảo yêu cầu: Lời giải không chứa sai lầm (về kiến thức toán học, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, ký hiệu và ngôn ngữ diễn đạt); từng bước biến đổi phải có cơ sở lý luận chính xác. Bước 4: Kiểm tra lời giải, kết quả. Giải phương trình là hoạt động toán học tổng hợp. Trong quá trình tìm tòi lời giải và trình bày HS có thể mắc sai lầm. Do đó, GV cần phải kiểm tra và lường trước để chỉ ra những sai lầm HS thường mắc phải, đồng thời phân tích để tìm ra nguyên nhân sai lầm và biện pháp khắc phục. Bước 5: Rèn luyện cho HS khả năng nghiên cứu lời giải. Nghiên cứu – khai thác – phân tích và tìm tòi lời giải khoa học sẽ giúp HS có thói quen tập dượt nghiên cứu khoa học, nắm được bản chất vấn đề trong giải toán. Hoạt động này góp phần giúp HS phát hiện thuật giải tối ưu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 45 Bước 6: Hướng dẫn HS tìm các bài toán liên quan, mở rộng bài toán bằng cách khái quát hóa, tương tự hóa. Trong bước này, GV cần tập dượt cho HS các thao tác tương tự đơn giản, tìm ra những đặc điểm chung về hình thức, nội dung, phương pháp, từ đó xây dựng thuật giải cho dạng phương trình tổng quát. Trong khi dạy HS xây dựng thuật giải cụ thể cho một dạng phương trình nào đó, GV cần truyền cho HS những kinh nghiệm và nghệ thuật trong phương pháp suy nghĩ, giúp HS tự xây dựng được thuật giải trong những tình huống mới. Quá trình xây dựng một thuật giải cũng là quá trình giải một bài toán chưa có thuật giải. Chúng tôi đề xuất một số kỹ năng cần truyền thụ nhằm giúp HS tự phát hiện và xây dựng thuật giải, tựa thuật giải như sau: - Tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, phát hiện những đặc thù, dấu hiệu riêng biệt của bài toán. Từ đó, tìm ra thuật giải cho dạng phương trình. Ví dụ 2.8: Giải phương trình: x x 9 80 4. 9 80 3 Lần đầu tiên gặp phương trình này có lẽ ai cũng ái ngại vì cơ số phức tạp. Nhưng nếu ta xem xét kỹ hai cơ số thì thấy chúng có mối liên hệ đặc biệt: 9 80 . 9 80 1. Từ đặc điểm này, ta thấy có thể biểu diễn: x x 1 9 80 9 80 Đặt x t 9 80 , t 0. Phương trình trở thành: 24t 3 0 t 3t 4 0 t Giải phương trình ẩn t, tìm được t = 4 thỏa mãn điều kiện. Với t = 4, ta có: x 9 80 9 80 4 x log 4 Ta có thuật giải phương trình dạng: A.af(x) + B.bf(x) = C, (a.b = 1). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 46 Bước 1: Kiểm tra a.b = 1. Bước 2: Đặt f (x)t a , t 0 Bước 3: Giải phương trình B A.t C t hay 2A.t C.t B 0 Bước 4: Tìm nghiệm t0 thỏa mãn bước 2 Bước 5: Giải phương trình: f (x) 0 a t Bước 6: Kết luận. Ví dụ 2.9: Giải phương trình x x x 35 21 7. 5 21 2 Viết lại phương trình dưới dạng: x x x5 21 7. 5 21 8.2 Xem xét mối liên hệ đặc biệt giữa các cơ số của lũy thừa, ta thấy: 25 21 . 5 21 2 . Suy ra 5 21 2 2 5 21 Từ nhận xét trên, ta chia 2 vế của phương trình cho x2 , ta được: x x 5 21 5 21 7. 8 2 2 có 5 21 5 21 . 1 2 2 . Đây là phương trình dạng f (x) f (x)A.a B.b C với a.b = 1 đã có thuật giải. Ta có thuật giải phương trình dạng: f (x) f (x) f (x)A.a B.b C.c , ( 2a.b c ). Bước 1: Kiểm tra 2a.b c Bước 2: Chia 2 vế của phương trình cho f (x)c , phương trình trở thành: f (x) f (x) a b A. B. C c c , trong đó a b . 1 c c Bước 3: Đặt f (x) a t , t 0 c Bước 4: Giải phương trình B A.t C t hay 2A.t C.t B 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 47 Bước 5: Tìm nghiệm t0 thỏa mãn bước 2 Bước 6: Giải phương trình: f (x) 0 a t Bước 7: Kết luận. Như vậy, một số phương trình nếu xem xét kỹ để phát hiện ra những đặc điểm riêng biệt của chúng thì ta sẽ tìm được thuật giải. - Rèn luyện kỹ năng “Quy lạ về quen” Khi chữa bài tập, GV cần nhấn mạnh cho HS 2 vấn đề chính: Thứ 1: Hướng giải quyết bài toán. Thứ 2: Biến đổi như thế nào (dùng các công thức nào để biến đổi). Việc nêu ý tưởng cho lời giải cần phải mạch lạc, có đường lối rõ ràng để HS dễ nắm bắt. Qua đó, HS có thể làm được các bài tập tương tự và khó hơn, tránh tình trạng “Làm bài nào, biết bài ấy”, “Thấy cây mà chẳng thấy rừng”. GV cũng cần rèn luyện cho HS có thói quen xem xét một lời giải dưới nhiều góc độ, khai thác, tìm tòi cách này, cách kia để HS được luyện tập nhiều, khắc sâu kiến thức, tránh dập khuôn máy móc và còn để HS có thể liên hệ với những bài toán khó hơn. Làm được việc này là GV đã giúp cho HS “học một” mà “biết mười”. Việc làm này cần được thực hiện ngay cả với những bài toán cơ bản nhất để HS hiểu rằng các bài toán phức tạp cũng bắt đầu từ những bài toán hết sức đơn giản. Ví dụ 2.10: Giải phương trình 2x 4x 54 16 Lời giải đúng: Phương trình tương đương: 2 4 x 4x 5 log 16 2x 4x 5 2 2x 4x 3 0 x 1 x 3 Sau khi giải phương trình này, ta có nhận xét như sau: Nhận xét 1: Phương trình đã cho ở dạng cơ bản: f (x)a b a 0, a 1 nên ta có: a f (x) log b (với b 0). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 48 Nhận xét 2: Cũng có thể hiểu là: Ta đã lấy logarit cơ số 4 để được phương trình trên. Hơn nữa, việc lấy logarit cơ số a a 0, a 1 bất kì ta vẫn tìm được lời giải của bài toán. Cụ thể, phương trình tương đương: 2x 4x 5 a a log 4 log 16 2 a a x 4x 5 log 4 log 16 2 4 x 4x 5 log 16 Với nhận xét 2, ta có thể giải được lớp phương trình phức tạp hơn có dạng: f (x) g(x)a b 0 a 1, 0 b 1 bằng cách lấy logarit cơ số nào đó (thường lấy logarit cơ số a hoặc b). Chẳng hạn lấy logrit cơ số a, ta có: f (x) g(x) a a b f (x) g(x).log b . Nhận xét 3: Lớp phương trình có dạng f (x) g(x)k.a h.b cũng được làm tương tự. Trường hợp đặc biệt của dạng này là phương trình có dạng: f (x) f(x)k.a h.b , 0 a 1, 0 b 1; k,h  . Ta biến đổi về dạng cơ bản như sau: f (x) f (x) f(x) a hk.a h.b b k . Phần lớn các phương trình đều chưa ở dạng quen thuộc để có thể sử dụng ngay các thuật giải. Đối với các phương trình này, trong quá trình dạy học GV cần rèn luyện cho HS kỹ năng huy động các thuật giải đã biết. Để đạt được mục đích này, có thể sử dụng phương pháp quen thuộc là xây dựng hệ thống bài toán gốc cho từng dạng phương trình. Thông qua việc phân tích, biến đổi, nhận ra một số đặc điểm đặc biệt của phương trình để đưa về bài toán gốc đã có thuật giải. Chúng tôi xin dẫn ra dưới đây một số bài toán gốc với phương pháp giải tương ứng có thể tham khảo: Bài toán 1: Phương trình có dạng: 2f (x) f (x) 1 2 3 .a .a 0 Bước 1: Đặt f (x)t a , t 0 Bước 2: Phương trình đã cho trở thành: 2 1 2 3 .t .t 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 49 Bước 3: Giải phương trình bậc 2, ẩn t (đã biết thuật giải). Giả sử tìm được t0 thỏa mãn bước 1. Bước 4: Giải phương trình f (x) 0 a 0 a t f (x) log t Bài toán 2: Phương trình có dạng: f (x)2f (x) 2f (x) 1 2 3 .a . ab .b 0 Bước 1: Chia 2 vế của phương trình cho 2f (x)b 0 (hoặc 2f (x)a , hoặc f (x) ab ). Ta được: 2f (x) f (x) 1 2 3 a a . . 0 b b Bước 2: Đặt f (x) a t , t 0 b . Ta được: 2 1 2 3 t t 0 Bước 3: Giải phương trình bậc 2, ẩn t. Giả sử tìm được t0 thỏa mãn bước 2. Bước 4: Giải phương trình f (x) 0 a 0 b a t f (x) log t b Bài toán 3: Phương trình có dạng f (u) f (v) Bước 1: Xét hàm số y f (x) . Dùng lập khẳng định hàm số đơn điệu. Bước 2: Khi đó: f (u) f (v) u v Ví dụ 2.11: Giải phương trình: 2 2 2 1 x 1 2x x x 1 1 2 2 2 x Trước hết, ta lấy điều kiện x 0 . Đây là phương trình chưa có thuật giải nhưng chúng ta có thể chuyển về phương trình quen thuộc đã biết cách giải bằng cách biến đổi: 2 2 2 2 2 1 2x 1 x x 2x 2 1 1 1 2 x 2 xx x x Từ đó, phương trình trở thành: 2 2 2 1 x 1 2x 2 x x 2 2 1 1 2x 1 x 2 2 2 x x 2 2 2 1 x 1 2x2 x x 2 2 1 1 x 1 1 2x 2 . 2 . * 2 2x x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 50 Khi viết phương trình dưới dạng (*), ít nhiều HS cũng dễ dàng liên hệ được phương pháp chung để giải bài toán dạng này đó là dùng phương pháp hàm số. Ta tiến hành như sau: Xét hàm số t t f (t) 2 2 . Có t 1 f '(t) 2 .ln2 0 2 nên hàm số luôn đồng biến trên  . Do đó, từ 2 2 2 1 x 1 2x f f x x , ta suy ra 2 2 2 1 x 1 2x x x . Từ đây, dễ dang tìm được x 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải, tìm cách giải hợp lí hơn bằng cách khắc phục điều chưa hợp lí ở lời giải cũ hoặc thay đổi cách nhìn đối với bài toán; tìm lời giải tối ưu hơn. Ví dụ 2.12: Giải phương trình: 2 2 3 3 log x log x 1 3 0 Có nhiều HS làm như sau: Đặt 2 3 t log x , điều kiện t 0 Phương trình trở thành t t 1 3 0 t 1 3 t Cách đặt ẩn phụ như trên đưa đến giải phương trình vô tỷ. Nếu không nắm vững dạng phương trình này thì HS có thể mắc sai lầm. Nếu GV gợi ý: Hãy biến đổi biểu thức ngoài căn giống biểu thức trong căn? Phương trình 2 2 3 3 log x 1 log x 1 4 0. Đặt 2 3 t log x 1, t 1, phương trình trở thành 2t t 4 0 Đối với dạng phương trình giải được bằng cách đặt ẩn phụ để đưa về phương trình cơ bản, GV cần làm cho HS luôn có ý thức kiểm tra điều kiện đối với ẩn mới. Vì khi đặt ẩn phụ có thể thu hẹp hoặc mở rộng tập xác định của phương trình mới, nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện xem có thỏa mãn không. Dạng toán này đòi hỏi HS phải có sự tích lũy vốn kiến thức nhất định. Do đó, trong quá trình dạy giải bài tập GV hướng dẫn cho HS nhận dạng phương trình để có thể đặt ẩn phụ một cách thích hợp, từ đó đưa đến cách giải tối ưu hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 51 - Trong SGK, HS được giới thiệu một số dạng phương trình và cách giải chúng. Tuy nhiên trong SGK chưa nêu cách giải các dạng đó dưới dạng một thuật giải. Do đó, sau khi dạy cho HS thuật giải, cần phải tổ chức cho HS thực hành trên những bài toán cụ thể nhằm giúp HS nắm vững phương pháp giải các dạng phương trình này. GV cũng cần chỉ rõ cho HS vấn đề: cần phải ghi nhớ và vận dụng thành thạo các quy trình, thuật giải đã có sẵn. Bên cạnh đó phải luôn có ý thức huy động tích cực vốn tri thức và năng lực để tìm ra những phương pháp khác nhau hoặc phương pháp tối ưu hơn khi đứng trước các vấn đề cần giải quyết. Điều đó cũng góp phần phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo cho HS. - Trên cơ sở bài toán đã có thuật giải, việc đề xuất bài toán mới sẽ giúp HS nắm vững thuật giải, biết biến đổi linh hoạt trong khi thực hiện thuật giải. Do đó, ngay sau khi dạy một thuật giải nào đó (có thể là một quy tắc, một công thức), GV có thể giao cho HS một số bài toán mới được suy ra từ thuật giải đã biết hoặc hướng dẫn HS tự đề xuất bài toán mới. Đây là một biện pháp tốt để phát triển tư duy thuật giải cho HS. Ví dụ 2.13: Sau khi xây dựng thuật giải phương trình: f (x) f (x)A.a B.b C (trong ví dụ 2.8), GV hướng dẫn HS đề xuất bài toán mới như sau. Ta có nhận xét: xx x 2 2 2 2A A 1 . A A 1 A A 1 . A A 1 x 2 2 xA A 1 1 1 Với nhận xét trên, HS dễ dàng đề xuất các bài toán sau: x x 1) 7 48 7 48 14 x 1 x 1 2) 10 3 10 3 5 Việc tiến hành giải một bài toán theo thuật giải, tựa thuật giải sẽ giúp HS có được lời giải chính xác, tránh được những sai lầm thường gặp của bản thân. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 52 2.2.4. Rèn luyện kỹ năng giải phƣơng trình mũ và logarit dựa vào các tƣ tƣởng chủ đạo của tƣ duy hàm a) Rèn luyện kĩ năng vận dụng các dạng phương trình mẫu Dựa trên quan điểm vận dụng các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm, chúng tôi nhấn mạnh đến việc thiết lập sự tương ứng giữa tình huống được đưa ra trong mỗi bài toán với tập hợp các dạng phương trình mẫu HS đã học. Đối với đa số bài toán có thuật giải được đưa ra trong SGK thì việc thiết lập sự tương ứng này được thực hiện trực tiếp thông qua hoạt động nhận dạng. Việc HS nhận dạng đúng bài toán cần giải là họ đã thiết lập được sự tương ứng giữa bài toán đó với bài toán tổng quát đã có thuật giải. Các yêu cầu cơ bản khi tiến hành rèn luyện cho HS kỹ năng vận dụng phương trình mẫu: - Nắm vững quy tắc giải - Nhận dạng đúng bài toán có quy tắc giải xác định - Tiến hành giải bài toán theo quy tắc đã học b) Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình Khi tiến hành giải phương trình, ta thường tìm cách biến đổi phương trình đó về dạng đơn giản hơn và cuối cùng dẫn đến phương trình đã biết cách giải. Xét theo quan điểm khai thác các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm, chúng tôi cho rằng quá trình biến đổi phương trình là quá trình mang tính “động”. Trong quá trình “động” đó, ta khai thác các yếu tố “tĩnh” để đạt được mục đích (tìm được nghiệm). Cái thay đổi trong biến đổi phương trình là hình thức, là dạng, là loại phương trình. Mục đích của việc biến đổi là làm giảm nhẹ khó khăn, quy lạ về quen và giữ bất biến tập nghiệm hay kiểm soát được được sự thay đổi tập nghiệm sao cho sự thay đổi nếu có đều có thể kiểm tra để loại bỏ nghiệm ngoại lai hay vớt lại được các nghiệm đã bị gạt bỏ trong quá trình biến đổi. Ví dụ 2.14: Giải phương trình 3 x x 3 2 2x 5x 7 x 5x 7 (1) Ta phân tích quá trình biến đổi sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 53 Biến đổi phương trình (1) thành: 3 x x 3 (2) Bình phương hai vế của (2) ta được: 2 3 x x 3 (3) Thực hiện biến đổi đồng nhất, ta được: 29 6x x x 3 (4) Đưa (4) về phương trình bậc hai dạng chính tắc: 2x 7x 12 0 (5) Giải (5), ta được nghiệm của phương trình là: 3; 4 Câu hỏi đặt ra là: Mối quan hệ giữa các phương trình trong quá trình biến đổi? Diễn biến của các tập nghiệm của phương trình đó thay đổi như thế nào? Để trả lời được câu hỏi này, HS phải xác định được các phép biến đổi được sử dụng, nắm vững các phép biến đổi hệ quả, các kiến thức đã học (dù không liên quan trực tiếp đến biến đổi phương trình). Chẳng hạn: Với 0 a 1 thì x ya a x y , còn nếu a 1 thì x ya a với mọi giá trị của x và y. Từ đó, ta thấy được mối quan hệ giữa các phương trình là: 1 2 3 4 5 Dựa...ĐHTN 56 phương pháp đánh giá. Cần phải rèn luyện cho HS có “con mắt nhìn toán học” nhạy bén, tinh tế khi đứng trước một bài toán. Ví dụ 2.16: Giải phương trình: 2 2 x x2.sin x x 1 1 3 3 HS thường không khỏi hoang mang khi nhìn thấy hình thức của phương trình quá rắc rối như thế này. Vế trái là hàm lượng giác phức tạp, vế phải lại là tổng hai hàm số mũ. GV cần giúp HS nghiên cứu đặc điểm của từng biểu thức thành phần, tìm tập giá trị của chúng trên tập xác định. GV có thể đặt câu hỏi: Câu hỏi 1: Tìm điều kiện của phương trình? Câu hỏi 2: Hãy tìm tập giá trị của hàm x xf (x) 3 3 ? Ta có: x x x x x x 1 1 3 3 3 2. 3 . 2 3 3 . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x3 1 x 0 Câu hỏi 3: Hãy tìm tập giá trị của vế trái? Ta có: 2 20 2.sin x x 1 1 2 (Do 20 sin 1) Nhận thấy, với x 0 thì 2 22.sin x x 1 1 2 . Vậy x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. GV có thể chỉ cho HS thấy: với những phương trình cực kỳ phức tạp, sau khi đã huy động tất cả những phương pháp quen thuộc mà vẫn không đem lại kết quả thì hãy thử nghĩ đến phương pháp đánh giá giá trị các biểu thức thành phần. Cơ sở để nghĩ đến phương pháp này là: nhận thấy hai vế của phương trình rất khác biệt về tính chất, chúng có chứa các phép toán phức tạp và dường như giá trị của từng vế có xu hướng không vượt quá, không bé hơn một giá trị nào đó. Ví dụ 2.17: Giải phương trình 2x 1 3 2x 2 3 8 2 2 1 log 4x 4x 4 Ta có: 224x 4x 4 2x 1 3 3, x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 57 2 3 log 4x 4x 4 1, x 2 3 8 8, x 2 log 4x 4x 4 Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x2 2 2. 2 2x 1 3 2x2 2 8, x 3 Từ (2) và (3) suy ra đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi: 2 3 2x 1 3 2x 8 8 log 4x 4x 4 2 2 8 2 3 2x 1 3 2x log 4x 4x 4 1 2 2 8 Biến đổi và rút gọn, ta được: 2 2 2x 2x 1 0 2 2 0 1 x 2 Vậy 1 x 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. d) Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán Để giải phương trình, nguyên tắc chung là ta biến đổi đưa về những phương trình đơn giản hơn và cuối cùng đưa về phương trình quen thuộc đã biết cách giải. Tuy nhiên nếu hiểu từ “biến đổi” theo nghĩa thông thường thì không phải sự biến đổi nào cũng dẫn đến kết quả. Với cách hiểu theo nghĩa rộng thì “biến đổi” là phát biểu lại bài toán mà với cách phát biểu này thì bài toán mới hoàn toàn tương đương với bài toán ban đầu nhưng ở dạng dễ hiểu hơn và cho ta cách giải tự nhiên, đơn giản hơn. Ở đây, chúng tôi quan tâm nhiều đến việc chuyển đổi bài toán ban đầu sang bài toán mới tương đương với nó bằng cách đặt ẩn phụ. Cần rèn cho HS thói quen đặt điều kiện cho ẩn phụ có lập luận, có căn cứ chặt chẽ, tránh đưa ra những nhận định về điều kiện của ẩn phụ một cách cảm tính nhằm tránh những sai lầm trong giải toán (như ví dụ 1.9 đã nêu). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 58 1 x 0 0 0 1 - - 0 y’ y 3 + 2 + e) Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên của hàm số Ví dụ 2.18: Cho phương trình 2x 4x 3 4 21 m m 1 5 . Với giá trị nào của m thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Lời giải đúng: Vì 4 2m m 1 0 với mọi m. Do đó, phương trình tương đương với: 2 4 2 1 5 x 4x 3 log m m 1 . Đặt 4 2 1 5 log m m 1 t . Khi đó, phương trình trở thành: 2x 4x 3 t Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y t cắt đồ thì hàm số 2y x 4x 3 tại 4 điểm phân biệt. Xét hàm số 2 2 2 x 4x 3 khi x 1 hoaëc x 3 y x 4x 3 x 4x 3 khi 1 x 3 Đạo hàm: 2x 4 khi x 1hoaëc x 3 y' 2x 4 khi 1 x 3 Lập bảng biến thiên của hàm số, ta được: Từ đó, đường thẳng y t cắt đồ thì hàm số 2y x 4x 3 tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 59 0 t 1 4 2 1 5 0 log m m 1 1 4 2 1 m m 1 1 5 0 m 1 Vậy với 0 m 1 thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Rõ ràng nếu sử dụng công cụ đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số xác định được từ phương trình đã cho đem lại kết quả nhanh chóng, gọn gàng. Đặc biệt là các bài toán phương trình chứa tham số. Vậy câu hỏi đặt ra là: Khi nào giải phương trình thì ta lựa chọn công cụ đạo hàm và cần rèn luyện cho HS những kỹ năng gì? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi đưa ra 2 chú ý sau: - Rèn luyện cho HS kỹ năng xác định hàm số từ phương trình đã cho. - Rèn luyện kỹ năng thực hiện các bước của một bài toán khảo sát sự biến thiên của hàm số. 2.3. Kết luận chƣơng 2 Để phát triển cho HS kỹ năng giải phương trình nói chung đạt hiệu quả cao đòi hỏi người GV phải có kỹ năng sư phạm, có nghệ thuật biến quá trình dạy học thành một hệ thống làm việc có định hình, có tổ chức, kiểm soát chặt chẽ các hoạt động Toán học của HS. Trong chương 2 của Luận văn, chúng tôi đã đưa ra các định hướng dạy học nhằm tăng cường rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ và logairt. Từ đó đề ra một số biện pháp sư phạm rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ và logarit cho HS THPT thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm. Những kết quả nghiên cứu ở chương 2 nhằm góp phần thực hiện các mục đích, yêu cầu của việc dạy học chủ đề phương trình mũ và logarit; giúp HS nắm vững các kiến thức cơ bản, rèn luyện kỹ năng, tính linh hoạt, khả năng tìm tòi sáng tạo; nhằm thực hiện hóa những biện pháp sư phạm trong điều kiện thực tế của quá trình dạy học, đạt được mục đích mà giáo dục và yêu cầu của xã hội đặt ra. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 60 Chƣơng 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất ở chương 2 trong luận văn. 3.2. Nội dung thực nghiệm Căn cứ vào phân phối chương trình môn toán ở trường THPT, quá trình thực nghiệm được thực hiện linh hoạt vào trong quá trình dạy học một số tiết cụ thể như sau: Tiết Tên bài dạy Mục đích, yêu cầu 1 Lũy thừa với số mũ thực Giúp HS nắm được đầy đủ, chính xác kiến thức “nền”. Qua đó, phát triển kỹ năng biến đổi biểu thức mũ và logarit. 2 Logarit 3, 4 Phương trình mũ và logarit Nắm được một số phương pháp giải phương trình mũ và logarit. Bước đầu nhận dạng, giải thành thạo những phương trình mẫu mực. 5, 6 Luyện tập giải phương trình mũ và logarit Nắm vững lý thuyết và một số phương pháp giải đã đề cập trong tiết lý thuyết. Có khả năng vận dụng linh hoạt, chính xác kiến thức vào giải quyết những bài toán mới. Hệ thống kiến thức, phân dạng bài tập là một yêu cầu cần đạt được sau khi luyện tập. 3.3. Tổ chức thực nghiệm 3.3.1. Đối tượng thực nghiệm Được sự đồng ý của Ban Giám hiệu trường THPT Cao Lộc, tỉnh Lạng Sơn, chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm kết quả nghiên cứu của luận văn. Chúng tôi đã tiến hành tìm hiểu về kết quả học tập các lớp khối 12 của trường và nhận thấy: Lớp 12A1 (42 HS) và lớp 12A2 (41 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 61 HS) có số lượng HS gần bằng nhau và có kết quả học tập toán tương đương nhau (xem bảng 3.1). Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lƣợng đầu năm học (Thực hiện tháng 8 năm 2014) Điểm kiểm tra xi ( 1,10i ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x Số HS đạt điểm xi của lớp 12A1 1 2 6 6 8 9 6 4 7,11 Số HS đạt điểm xi của lớp 12A2 1 2 5 7 9 8 6 3 7,04 Trên cơ sở đó, chúng tôi đã đề xuất chọn lớp 12A1 làm lớp thực nghiệm và lớp 12A2 làm lớp đối chứng. GV giảng dạy lớp thực nghiệm và đối chứng là cô Nguyễn Thị Hương. Thời gian tiến hành thực nghiệm sư phạm trong tháng 11 và tháng 12 năm 2014. 3.3.2. Phương pháp thực nghiệm * Tại lớp thực nghiệm - GV dạy theo hướng tăng cường luyện tập các dạng hoạt động tương ứng với nội dung bài học như đã đề xuất ở chương 2. - Quan sát hoạt động học tập của HS, đánh giá trên hai mặt định tính và định lượng để nhận định hiệu quả học tập của HS. * Tại lớp đối chứng GV dạy học bình thường, không tiến hành như đối với lớp thực nghiệm và quan sát, đánh giá kết quả học tập của HS ở lớp đối chứng. 3.4. Đánh giá thực nghiệm sƣ phạm Sau thời gian thực nghiệm sư phạm, chúng tôi tiến hành phân tích, đánh giá kết quả thu được trên hai phương diện: Đánh giá về mặt định lượng và đánh giá về mặt định tính. 3.4.1. Phân tích định lượng a) Đề kiểm tra (45 phút): Giải các phƣơng trình sau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 62 1) x 6 3x 2 4 1,25 5 2) x x 7 4 3 3 2 3 2 0 3) 2 42 2 2 log x 1 2log x 1 4 0 4) 2 3 3log x log x3 9 2.x 0 Việc ra đề kiểm tra như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm. Trong số đó, có câu chứa đựng những tình huống dễ dẫn tới sai lầm (tuy nhiên chúng tôi không thiên về “đánh đố” học trò) nhằm khảo sát một số kỹ năng của HS. Chúng tôi xin phân tích thêm để làm rõ hơn điều này. Câu 1: Kỹ năng cần thiết để HS làm được câu này là việc phát hiện ra cơ số thích hợp. Câu này dành cho HS trung bình. Câu 2. HS cần phải có kỹ năng phân tích, đánh giá tinh tế đối với các toán tử của phương trình, để từ đó vận dụng thuật giải đã biết. Câu này nhằm kiểm tra khả năng phát hiện và thực hành quy tắc thuật giải của HS. Câu 3. Trong câu này, HS có thể dễ dàng tìm được phương pháp giải (phương pháp đặt ẩn phụ). Tuy nhiên trong quá trình biến đổi có không ít HS cho rằng: 22 2 2 2log x 1 2.log x 1 hay 22 2 2 2log x 1 4.log x 1 . Câu này rèn luyện cho HS kỹ năng biến đổi thông tin, diễn đạt lại thông tin của đề bài, luôn đề cao tính chính xác của ngôn ngữ, công thức, kí hiệu toán học. Đồng thời, khảo sát ý thức phòng tránh và sửa chữa sai lầm của HS khi giải toán. Phải khẳng định rằng: Cả 3 câu trên đều không quá phức tạp về mặt tính toán. Nếu HS xác định đúng hướng giải và có sự phân tích hợp lí thì sẽ dẫn đến kết quả. Cả 3 câu trên dành cho HS cả lớp. Câu 4 (Dành cho HS khá, giỏi). Trong câu này có 2 tình huống mà HS có thể mắc sai lầm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 63 Thứ nhất: Khi giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, HS không biết chia trường hợp. Thứ hai: Do HS biến đổi: 2 3 3 2 log x log x 23 3 x nên dẫn đến bế tắc, không thể giải được phương trình: 3log x2x 9 2.x 0 . Câu này nhằm kiểm tra độ vững vàng về kiến thức của HS (kỹ năng giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, kỹ năng biến đổi biểu thức mũ, logarit); kiểm tra ý thức phòng tránh chủ động các sai lầm khi giải toán của HS. Qua những phân tích sơ bộ trên có thể thấy rằng, đề kiểm tra thể hiện được dụng ý: khảo sát sự phòng tránh và sửa chữa sai lầm khi HS giải toán; khảo sát kỹ năng giải phương trình mũ và logarit nói riêng và kỹ năng giải phương trình nói chung. Đáp án: Câu Nội dung đáp án Điểm 1 x 6 3x 2 4 1,25 5 3x 2 x 6 5 4 4 5 3x 2 6 x 5 5 4 4 3x 2 6 x x 1 Vậy phương trình có nghiệm là x 1. 2đ 2 x x 7 4 3 3 2 3 2 0 Ta có: 2 7 4 3 2 3 Đặt x t 2 3 , t 0 . Khi đó, phương trình trở thành: 2t 3t 2 0 t 1 t 2 1,5đ Với t 1, suy ra: x 2 3 1 x 0 Với t 2 , suy ra: x 2 3 2 3 2 x log 2 1,5đ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 64 Câu Nội dung đáp án Điểm Vậy phương trình có 2 nghiệm x 0 và 2 3 x log 2 . 3 2 42 2 2 log x 1 2log x 1 4 0 . Điều kiện x 1 2 2 2 4log x 1 8log x 1 4 0 Đặt 2 t log x 1 , ta được: 24t 8t 4 0 t 1 1,5đ Với t 1, ta có: 2 log x 1 1 x 1 2 x 1 x 3 So sánh với điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là x 1 và x 3. 1,5đ 4 23 3log x log x3 9 2.x 0 Điều kiện: x 0 Phương trình tương đương: 2 3 3log x log x3 9 2.x 2 3 3 2 3 3 log x log x log x log x 3 9 2.x (1) 3 9 2.x (2) 1đ Nhận xét: 2 3 3 3 3 3 3 log x log x log x.log x log x log x 3 3 3 x . Khi đó: (1) 3 3 log x log x x 9 2.x 3 log x x 9 Phương trình này vô nghiệm. (2) 3 3 3 log x log x log x x 9 2.x x 3 . Lấy logarit cơ số 3 cả 2 vế của phương trình, ta được: 2 3log x 1 2 3log x 1 1 x 3 x 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm là: 1 x 3 và x 3. 1đ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 65 b) Kết quả bài kiểm tra Kết quả bài kiểm tra là cơ sở dữ liệu để chúng tôi tiến hành đánh giá và được thể hiện thông qua bảng phân bố tần số sau: Bảng 3.2. Bảng phân bố tần số về điểm Điểm kiểm tra xi ( 1,10i ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x Số HS đạt điểm xi của lớp 12A1 5 6 10 11 7 3 7,4 Số HS đạt điểm xi của lớp 12A2 3 5 10 8 9 5 1 6,8 Quan sát trực quan kết quả trên thông qua biểu đồ 3.1 sau: Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân bố tần số về điểm Chúng tôi so sánh kết quả bài kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng dựa trên các số liệu số HS đạt điểm theo các mức điểm: yếu, kém; trung bình; khá; giỏi và được thể hiện trong bảng sau: Bảng 3.3. Bảng thống kê kết quả Kết quả Lớp thực nghiệm Lớp 12A1 Lớp đối chứng Lớp 12A2 Yếu, Kém (< 4 điểm) 0 0% 3 7,3% Trung bình (5 – 6 điểm) 11 26,2% 15 36,6% Khá (7 – 8 điểm) 21 50% 17 41,5% Giỏi (9 – 10 điểm) 10 23,8% 6 14,6% Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 66 Có thể quan sát trực quan kết quả trên thông qua biểu đồ: Biểu đồ 3.2. Biểu đồ thống kê kết quả Từ kết quả trên, ta có nhận xét: - Tỉ lệ HS đạt điểm khá và giỏi ở lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng, chênh lệch 17,7%. - Lớp thực nghiệm không có HS bị điểm yếu kém, trong khi đó, tỉ lệ này ở lớp đối chứng chiếm 7,3%. Chúng tôi cũng tiến hành xử lý số liệu để đánh giá mức độ phân tán của các điểm đạt được xung quanh điểm trung bình theo từng lớp. Nội dung Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng Điểm trung bình 10 i i i 1 x .n x N 7,4 6,8 Phương sai 210 2 i i i 1 1 s x x .n N 2,008 2,289 Độ lệch chuẩn 2s s 1,42 1,51 Như vậy, điểm trung bình chung của lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng; phương sai và độ lệch chuẩn ở lớp thực nghiệm nhỏ hơn so với lớp đối chứng. Điều đó chứng tỏ rằng, kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm ít chênh lệch hơn, chất lượng học tập đồng đều hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 67 Sử dụng phép thử t – Student để xem xét, kiểm tra tính hiệu quả của việc thực nghiệm sư phạm, ta có kết quả: TN TN x t 1,92 s Tra bảng phân phối t – Student với bậc tự do F 42 và với mức ý nghĩa 0,05 ta được t 1,68 . Ta có t t . Như vậy thực nghiệm sư phạm đạt kết quả. Tiến hành kiểm định phương sai của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng với giả thuyết E0: “Sự khác nhau giữa các phương sai ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng là không có ý nghĩa”. Ta có kết quả: 2 TN 2 ÑC s F 0,77 s Giá trị tới hạn F tra trong bảng phân phối F ứng với mức ý nghĩa 0,05, với các bậc tự do TN F 42 và ÑC F 41 là F 1,68. Ta thấy F F nên chấp nhận E0, tức là sự khác nhau giữa phương sai ở nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng là không có ý nghĩa. Để so sánh kết quả thực nghiệm sư phạm, chúng tôi tiến hành kiểm định giả thuyết H0: “Sự khác nhau giữa điểm trung bình của lớp thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa với phương sai như nhau”. Với mức ý nghĩa 0,05, tra bảng phân phối t – Student với bậc tự do TN ÑC N N 2 81 ta được t 1,67. Ta có giá trị kiểm định: TN ÑC TN ÑC x x t 1,865 1 1 s. N N với 2 2 TN TN ÑC ÑC TN ÑC N 1 .s N 1 .s s N N 2 Ta có t t . Như vậy, giả thuyết H0 bị bác bỏ. Điều đó chứng tỏ sự khác nhau giữa điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng là có ý nghĩa. Kết quả kiểm định chứng tỏ chất lượng học tập của lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Đồng thời thể hiện tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 68 3.4.2. Phân tích định tính Khi quá trình thực nghiệm mới bắt đầu, thông qua việc quan sát cũng như kiểm tra sơ bộ về kỹ năng biến đổi các biểu thức mũ và logarit, kỹ năng giải phương trình mũ và logarit đối với HS ở cả lớp thực nghiệm và đối chứng, chúng tôi nhận thấy: Sự tự phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của HS khi giải toán ở cả hai lớp còn có phần hạn chế. GV chưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa sai lầm cho HS ngay trong các giờ học Toán, dẫn đến HS rơi vào tình trạng “sai lầm nối tiếp sai lầm”. Sau khi nghiên cứu kỹ và vận dụng các quan điểm dạy học được xây dựng ở chương 2, chúng tôi đã có cuộc trao đổi với GV dạy thực nghiệm: Câu hỏi: Thưa cô, Việc áp dụng các quan điểm dạy học mà chúng tôi đã đề xuất có gây khó khăn, trở ngại gì cho cô trong quá trình thực hiện không? Trả lời: Đối với tôi thì không có gì trở ngại trong việc vận dụng các quan điểm này. Cách dẫn dắt vấn đề bằng cách đặt HS vào trong các tình huống chứa sai lầm để họ tự thảo luận, tự tìm ra lời giải đúng vừa kích thích được tính tích cực, độc lập của HS, vừa kiểm soát và ngăn chặn được những khó khăn, sai lầm có thể nảy sinh. Câu hỏi 2: Theo cô, việc vận dụng các quan điểm này trong thực tiễn dạy học có khả thi hay không? Trả lời: Theo tôi, không khó khả thi trong việc vận dụng các quan điểm này. Trong quá trình thực nghiệm, chúng tôi đã theo dõi sự chuyển biến trong hoạt động học tập của HS ở cả hai lớp thực nghiệm và đối chứng, đặc biệt là sự hoàn thiện về các kỹ năng giải phương trình mũ và logarit. Chúng tôi nhận thấy lớp thực nghiệm có chuyển biến tích cực so với trước khi thực nghiệm. Cụ thể: - HS được trang bị chính xác các khái niệm, định lí, quy tắc, thuật giải,, lựa chọn hợp lí các kiến thức vào giải toán. - Không khí học tập sôi nổi, tích cực thông qua hoạt động thảo luận tìm sai lầm. HS học tập một cách tích cực hơn, những khó khăn và sai lầm của HS được Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 69 chỉ ra trong chương 1 cũng đã giảm đi rất nhiều. Đặc biệt là đã hình thành được cho HS ý chí học tập, tạo cho họ niềm tin khi đứng trước những dạng toán mà trước đây họ rất “ngại” vì luôn gặp phải những thiếu sót và sai lầm. - HS có ý thức phòng tránh những sai lầm thường gặp, hình thành được thói quen tự kiểm tra lời giải. - Kỹ năng giải phương trình nói chung, giải phương trình mũ và logarit nói riêng một lần nữa được rèn luyện, củng cố và hoàn thiện hơn. 3.5. Kết luận chƣơng 3 Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả được rút ra từ thực nghiệm cho phép khẳng định: mục đích thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi của các quan điểm đã được khẳng định. Thực hiện các quan điểm đó sẽ góp phần rèn luyện kỹ năng giải phương trình nói chung, giải phương trình mũ và logarit nói riêng; góp phần phòng tránh, hạn chế và tiến tới chấm dứt sai lầm cho HS khi học chủ đề này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 70 KẾT LUẬN Qua quá trình nghiên cứu đề tài, dưới sự chỉ bảo nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn TS.Trần Việt Cường cùng với sự cố gắng của bản thân, luận văn đã thu được những kết quả chính sau đây: 1. Luận văn góp phần làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS; hệ thống hóa quan điểm của nhiều nhà khoa học về sai lầm và sửa chữa sai lầm cho HS khi giải toán; phân tích một số khó khăn và sai lầm thường gặp khi học nội dung giải phương trình mũ và logarit. 2. Đề xuất 4 biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ và logarit cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm. Trong mỗi biện pháp, ngoài trình bày nội dung, chúng tôi còn minh họa bằng các ví dụ cụ thể. 3. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất. Như vậy, có thể khẳng định: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 71 CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN 1. Trần Việt Cường, Lăng Thị Thành (2015), Rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ và logarit cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm, Tạp chí Thiết bị giáo dục số 116 tháng 4. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 72 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. A.A.Stoliar (1969), Giáo dục học Toán học, Nxb Giáo dục, Minsk (Tiếng Nga). 2. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (2002), Sai lầm phổ biến khi giải toán, Nxb Giáo dục. 3. Hoàng Chúng (1997), Phương pháp dạy học Toán ở trường THPT, Nxb Giáo dục. 4. Crutexki V.A (1980), Những cơ sở của Tâm lý học sư phạm, Nxb Giáo dục. 5. Đỗ Ngọc Đạt (2000), Bài giảng lí luận dạy học, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội. 6. Nguyễn Huy Đoàn (Chủ biên) (2010), Bài tập giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam. 7. Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải toán mũ, logarit, Nxb Hà Nội. 8. Nguyễn Viết Hiếu (2013), “Vấn đề dạy học logarit trong chương trình toán phổ thông và những điều cần biết về logarit”, Tạp chí Khoa học ĐHSP TPHCM, 50 (84), tr. 55 – 67. 9. Nguyễn Thái Hòe (1996), Các Phương pháp giải toán, Nxb Giáo dục. 10. Nguyễn Thái Hòe (2001), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, Nxb Giáo dục. 11. IREM GRENOBLE (1997), Một số kinh nghiệm giảng dạy Toán ở Pháp, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 12. Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Hưởng (1994), Phương pháp dạy học môn Toán (phần 2) – Dạy học những nội dung cơ bản, Nxb Giáo dục. 13. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. 14. Luật Giáo dục (2005), Nxb chính trị Quốc gia, Hà Nội. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 73 15. Vương Dương Minh (1996), Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông, Luận án PTS khoa học sư phạm – tâm lý. 16. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm. 17. Lê Thống Nhất (1996), Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán, Luận án PTS khoa học sư phạm – tâm lý, Trường Đại học Sư phạm Vinh, Vinh. 18. Pêtrôvxki.A.V (1982), Tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm, Tập 2, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 19. Hoàng Phê (2009), Từ điển Tiếng Việt, Nxb Đà Nẵng, Đà Nẵng. 20. Trần Hữu Phúc, Nguyễn Cảnh Nam (2002), Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội. 21. Trần Phương, Lê Hồng Đức (2002), Tuyển tập các chuyên đề luyện thi Đại học môn toán Đại số sơ cấp, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. 22. Trần Phương, Lê Hồng Đức (2004), Sai lầm thường gặp và sáng tạo khi giải Toán, Nxb Hà Nội, Hà Nội. 23. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán, Nxb Hà Nội. 24. Pôlya G (1995), Toán học và những suy luận có lý, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 25. Polya G (1997), Sáng tạo toán học (bản dịch), Nxb Giáo dục, Hà Nội. 26. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2013), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam. 27. Lê Đình Thịnh, Trần Hữu Phúc, Nguyễn Cảnh Nam (1992), Mẹo và bẫy trong các đề thi môn toán tập 1, 2, Nxb Đại học và Giáo dục chuyên nghiệp, Hà Nội. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 74 28. Lê Văn Tiến (2006), "Sai lầm của học sinh nhìn từ góc độ lý thuyết học tập", Tạp chí giáo dục (137), tr. 12 – 14. 29. Trần Thúc Trình (2003), Rèn luyện tư duy trong dạy học môn Toán, Viện khoa học Giáo dục. 30. Nguyễn Anh Tuấn (2003), “Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh THCS trong dạy học khái niệm Toán học (thể hiện qua một số khái niệm Đại số ở Trung học cơ sở)”, Luận án Tiến sĩ, Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN PHỤ LỤC Phụ lục 1 PHIẾU XIN Ý KIẾN GIÁO VIÊN PHỔ THÔNG A. Thông tin cá nhân Họ và tên giáo viên (GV): .................................................................... Đơn vị công tác: ................................................................................... B. Nội dung thăm dò ý kiến GV Sau khi dạy học nội dung phương trình mũ và logarit, xin các Thầy (cô) vui lòng đưa ra những nhận xét của mình theo các tiêu chí chỉ ra dưới đây (Với các ô trống: chọn 1 đáp án ứng với các câu 1, 3, 4 và 5; chọn nhiều hơn 1 đáp án ứng với các câu 2 và 8). Những thông tin thu được từ phiếu thăm dò này chỉ phục vụ cho mục đích nghiên cứu khoa học, không vì một mục đích nào khác. Câu 1. Theo Thầy (cô), nội dung phƣơng trình mũ và logarit là nội dung dễ dạy hay khó dạy?  Dễ dạy  Bình thường  Khó dạy Câu 2. Đứng trƣớc một bài toán, những vấn đề Thầy (cô) quan tâm là:  Cách giải bài toán  Các dạng bài tập tương tự  Phát triển bài toán theo hướng mở rộng, nâng cao  Rút ra những kỹ năng cơ bản học sinh (HS) cần đạt được Ý kiến khác: .......................................................................................... ............................................................................................................... Câu 3. HS A lên bảng trình bày lời giải một bài toán. Sau khi nhận thấy lời giải của HS A là sai, Thầy (cô) thƣờng khắc phục bằng cách:  Gọi HS khác lên trình bày với lời giải khác  Đưa ra lời giải chính xác  Phân tích lời giải, tìm ra sai lầm và cùng nhau chính xác hóa lời giải Ý kiến khác: .......................................................................................... ............................................................................................................... Câu 4. Trong quá trình soạn giáo án, Thầy (cô) có quan tâm tạo ra những tình huống có chứa sai lầm để thử thách HS?  Luôn luôn  Thỉnh thoảng  Rất ít  Không bao giờ Câu 5. Thái độ học tập của HS nhƣ thế nào sau khi đƣợc nghe phân tích và chỉ ra sai lầm mà mình mắc phải?  Có hứng thú học tập, tiếp thu tích cực và không bao giờ tái phạm những sai lầm đó nữa  Tiếp thu nhưng vẫn tái phạm những sai lầm đó  Thờ ơ, không có hứng thú với những bài toán chứa sai lầm Câu 6. Thầy (cô) thƣờng gặp những khó khăn gì khi dạy học nội dung phƣơng trình mũ và logarit? ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... Câu 7. Theo Thầy (cô), khi học chủ đề phƣơng trình mũ và logarit, HS thƣờng mắc phải những sai lầm gì? ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... Câu 8. Theo Thầy (cô), nguyên nhân dẫn đến sai lầm của HS khi giải toán chủ đề phƣơng trình mũ và logarit là:  Không hiểu đúng khái niệm  Áp dụng quy tắc, công thức, định lý một cách máy móc  Lập luận thiếu logic  Phân chia trường hợp riêng Ý kiến khác: .......................................................................................... ............................................................................................................... Xin chân thành cám ơn quý Thầy (cô)! Phụ lục 2 PHIẾU HỎI HỌC SINH PHỔ THÔNG A. Thông tin cá nhân Họ và tên học sinh: ............................................................................... Lớp: ....................................................................................................... Trường: ................................................................................................. B. Nội dung thăm dò ý kiến học sinh Để góp phần nâng cao hiệu quả hoạt động dạy và học, các em vui lòng trả lời những câu hỏi trong phiếu này (Với các ô trống: chọn 1 đáp án ứng với các câu 1, 4, 5 và 6; chọn nhiều hơn 1 đáp án ứng với các câu 2 và 3). Những thông tin thu được từ phiếu thăm dò này chỉ phục vụ cho mục đích nghiên cứu khoa học, không vì một mục đích nào khác. Câu 1: Sự hứng thú của em đối với chủ đề phƣơng trình mũ và logarit ở mức nào dƣới đây?  Thích  Bình thường  Không thích Câu 2: Những khó khăn mà em gặp phải khi học chủ đề phƣơng trình mũ và logarit là gì?  Không có khó khăn gì, luôn chính xác  Không thể vận dụng lý thuyết vào làm bài tập  Có nhiều công thức gần giống nhau, rất dễ nhầm  Không biết cách trình bày  Tính toán sai  Không thể định hướng được cách giải Ý kiến khác: .......................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... Câu 3: Khi học chủ đề phƣơng trình mũ và logarit, em thƣờng tham khảo những tài liệu nào dƣới đây?  Sách giáo khoa, Sách bài tập  Bài giảng của giáo viên  Các Sách chuyên đề về phương trình mũ và logarit  Video các bài giảng, chương trình luyện thi trên internet Ý kiến khác: .......................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... Câu 4: Khi giải các dạng Toán thuộc chủ đề phƣơng trình mũ và logarit, em có mắc phải những sai lầm mà thầy cô đã nhắc không?  Có  Không Câu 5: Sau khi đƣợc cảnh báo, sửa chữa những sai lầm thƣờng xuyên mắc phải, em thấy:  Ghi nhớ, không bao giờ tái phạm  Thỉnh thoảng tái phạm  Luôn tái phạm Câu 6: Trong các nội dung của môn Toán, em đánh giá những bài toán thuộc chủ đề phƣơng trình mũ và logarit nhƣ thế nào?  Dễ  Bình thường  Khó Xin chân thành cám ơn các em!