Luận văn Phương pháp giải phương trình bất phương trình chứa Logarit và các bài toán liên quan

2014 Mửc lửc Mð Ưu 3 1 Tẵnh chĐt cừa h m số logarit v  cĂc kián thực liản quan 5 1.1 Tẵnh chĐt cừa h m số logarit . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 CĂc ành lỵ bờ trủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Lợp h m tuƯn ho n v  phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh . . . . 10 1.3.1 Lợp h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Lợp h m phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh . . . . . . . . 11 2 Phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh v  hằ phữỡng trẳnh chựa logarit 13 2.1 Phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh chựa logarit . . . . . . . 13 2.1.1 Phữỡng phĂp mụ hõa v  ữa vã cũng cỡ số . . . . 13 2.1.2 Phữỡng phĂp °t ân phử . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3 Phữỡng phĂp hơng số bián thiản . . . . . . . . . . 22 2.1.4 Phữỡng phĂp h m số . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.5 Ùng dửng ành lỵ Lagrange, ành lỵ Rolle . . . . 29 2.1.6 Phữỡng phĂp iãu kiằn cƯn v  ừ . . . . . . . . . 33 2.1.7 Phữỡng phĂp Ănh giĂ . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Phữỡng phĂp giÊi bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit . . . . . 36 2.2.1 Phữỡng phĂp mụ hõa v  ữa vã cũng cỡ số . . . . 36 2.2.2 Phữỡng phĂp °t ân phử . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.3 Phữỡng phĂp h m số . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.4 Phữỡng phĂp iãu kiằn cƯn v  ừ . . . . . . . . . 44 2.2.5 Phữỡng phĂp Ănh giĂ . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Phữỡng phĂp giÊi mởt số hằ chựa logarit . . . . . . . . . 46 i 2.3.1 Phữỡng phĂp bián ời tữỡng ữỡng . . . . . . . . 46 2.3.2 Phữỡng phĂp °t ân phử . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.3 Phữỡng phĂp h m số . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.4 Phữỡng phĂp iãu kiằn cƯn v  ừ . . . . . . . . . 51 2.3.5 Phữỡng phĂp Ănh giĂ . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 CĂc b i toĂn liản quan án h m số logarit 56 3.1 Phữỡng trẳnh v  bĐt phữỡng trẳnh h m trong lợp h m logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.1 Phữỡng trẳnh h m trong lợp h m logarit . . . . . 56 3.1.2 BĐt phữỡng trẳnh h m trong lợp h m logarit . . . 64 3.2 CĂc b i toĂn vã dÂy số v  giợi hÔn dÂy số sinh bði h m logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Kát luên 75 T i liằu tham khÊo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 ii Mð Ưu Phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh l  mởt trong nhỳng nởi dung cỡ bÊn v  quan trồng cừa chữỡng trẳnh toĂn bêc trung hồc phờ thổng. ffi°c biằt l  cĂc phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit l  nhỳng nởi dung hay v  khõ ối vợi hồc sinh v  chúng thữớng xuĐt hiằn trong cĂc ã thi tuyºn sinh Ôi hồc, cao ¯ng v  ã thi hồc sinh giọi. Viằc giÊng dÔy h m số logarit  ữủc ữa v o chữỡng trẳnh lợp 12 trong õ phƯn kián thực vã phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit chiám vai trỏ trồng tƠm. Tuy nhiản do thới gian hÔn hàp cừa chữỡng trẳnh phờ thổng nản trong sĂch giĂo khoa khổng nảu ữủc Ưy ừ v  chi tiát tĐt cÊ cĂc dÔng b i toĂn vã phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit v  cĂc b i toĂn liản quan. Vẳ vêy hồc sinh thữớng g°p nhiãu khõ khôn khi giÊi cĂc b i toĂn nƠng cao vã phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit trong cĂc ã thi Ôi hồc, cao ¯ng v  ã thi hồc sinh giọi. M°c dũ  cõ nhiãu t i liằu tham khÊo vã logarit vợi nởi dung khĂc nhau những chữa cõ chuyản ã riảng khÊo sĂt vã phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit mởt cĂch hằ thống. ffi°c biằt, nhiãu dÔng toĂn vã Ôi số v  logarit cõ quan hằ ch°t ch³ vợi nhau, khổng thº tĂch rới ữủc. Nhiãu b i toĂn chựa logarit cƯn cõ sỹ trủ giúp cừa Ôi số, giÊi tẵch v  ngữủc lÔi. Do õ, º Ăp ựng nhu cƯu vã giÊng dÔy, hồc têp v  gõp phƯn nhọ b² v o sỹ nghiằp giĂo dửc, luên vôn "Phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit v  cĂc b i toĂn liản quan" nhơm hằ thống cĂc kián thực cỡ bÊn vã phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit kát 3 hủp vợi kián thực Ôi số, giÊi tẵch º tờng hủp, chồn lồc v  phƠn loÔi cĂc phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit v  xƠy dỹng mởt số lợp b i toĂn mợi. Luên vôn ữủc chia l m 3 chữỡng Chữỡng 1. Tẵnh chĐt cừa h m số logarit v  cĂc kián thực liản quan. - Nhưc lÔi cĂc tẵnh chĐt cừa h m số logarit. - Nảu cĂc ành lỵ bờ trủ. - Lợp h m tuƯn ho n v  phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh. Chữỡng 2. Phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh v  hằ phữỡng trẳnh chựa logarit. - Trẳnh b y cĂc phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh chựa logarit. - Trẳnh b y cĂc phữỡng phĂp giÊi bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit. - Trẳnh b y cĂc phữỡng phĂp giÊi mởt số hằ chựa logarit. Chữỡng 3. CĂc b i toĂn liản quan án h m số logarit. - Nảu phữỡng trẳnh v  bĐt phữỡng trẳnh h m trong lợp h m logarit. - Nảu cĂc b i toĂn vã dÂy số v  giợi hÔn dÂy số sinh bði h m logarit. TĂc giÊ xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc ối vợi GiĂo sữ, Tián sắ khoa hồc Nguyạn Vôn Mêu, ngữới thƯy  trỹc tiáp hữợng dăn, cung cĐp t i liằu v  truyãn Ôt nhỳng kinh nghiằm nghiản cựu cho tổi. Tổi xin chƠn th nh cÊm ỡn cĂc thƯy, cổ giĂo trong khoa ToĂn - Tin, phỏng ffi o tÔo trữớng ffiÔi hồc Khoa hồc - ffiÔi hồc ThĂi Nguyản, Trữớng THPT Na Rẳ v  bÔn b± ỗng nghiằp  giúp ù tÔo iãu kiằn cho tổi ho n th nh bÊn luên vôn n y. ThĂi Nguyản 2014 Lỵ Vôn ffiực 4 Chữỡng 1 Tẵnh chĐt cừa h m số logarit v  cĂc kián thực liản quan 1.1 Tẵnh chĐt cừa h m số logarit H m số f(x) = logax, 0 < a 6= 1 ữủc gồi l  h m số logarit cỡ số a. Nhên x²t rơng têp xĂc ành D = (0; +∞) v  têp giĂ trà I = R. Trong cĂc phƯn tiáp theo, ta giÊ sỷ 0 < a 6= 1. Nhên x²t rơng h m số f(x) = logax liản tửc v  cõ Ôo h m vợi mồi x > 0, hỡn nỳa f ′(x) = 1 x ln a . Ta khÊo sĂt tẵnh ỡn iằu cừa h m số f(x) = logax trong 2 trữớng hủp. - Trữớng hủp 1: a > 1. Khi õ, ln a > 0 nản suy ra f ′(x) = 1 x ln a > 0,∀x > 0. Vêy, khi a > 1 thẳ f(x) = logax l  h m ỗng bián trản D. Ta lÔi cõ f(1) = 0, f(a) = 1 v  lim x→0+ logax = −∞; lim x→+∞ logax = +∞. Ta cõ bÊng bián thiản sau: x 0 1 a +∞ y = logax −∞% 0% 1% +∞ 5 - Trữớng hủp 2: 0 < a < 1. Trong trữớng hủp n y f ′(x) < 0,∀x ∈ D. Vêy, khi 0 < a < 1 thẳ f(x) = logax l  h m số nghàch bián trản D. Ta cõ bÊng bián thiản sau: x 0 1 a +∞ y = logax +∞ &0 & 1 &−∞ Tẵnh chĐt 1.1. f(x) = logax l  h m ỗng bián trản D = R+ khi a > 1 v  nghàch bián khi 0 < a < 1. Tẵnh chĐt 1.2. Vợi mồi a > 0, a 6= 1 v  x1, x2 ∈ (0; +∞), ta cõ loga(x1x2) = logax1 + logax2, loga x1 x2 = logax1 − logax2. Tẵnh chĐt 1.3. Vợi mồi a > 0, a 6= 1 v  x > 0. Vợi α bĐt ký, ta cõ logax α = αlogax. Tẵnh chĐt 1.4. Vợi mồi 0 0, ta cõ logax = logcx logcx . Tẵnh chĐt 1.5. H m số f(x) = logax (0 < a 6= 1) cõ Ôo h m tÔi mồi iºm x ∈ (0; +∞) v  (logax)′ = 1 x ln a . Náu h m số u = u(x) cõ Ôo h m trản khoÊng J ∈ R thẳ h m số y = logau(x), (0 < a 6= 1) cõ Ôo h m trản J v  (logau(x)) ′ = u′(x) u(x) ln a . Tẵnh chĐt 1.6. Vợi mồi a > 0, a 6= 1 v  x1, x2 ∈ (0; +∞), ta cõ • Khi a > 1 thẳ logax1 < logax2 ⇔ x1 < x2. • Khi 0 x2. 6 1.2 CĂc ành lỵ bờ trủ ffiành lẵ 1.1. Náu h m số y = f(x) liản tửc trản [a; b] v  f(a).f(b) < 0 thẳ tỗn tÔi c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0. ffiành lẵ 1.2. Náu h m số y = f(x) liản tửc trản [a; b], f(a) = A, f(b) = B thẳ h m số nhên mồi giĂ trà trung gian giỳa A v  B. Hằ quÊ 1.1. Náu h m số y = f(x) liản tửc trản [a; b] thẳ nõ nhên mồi giĂ trà trung gian giỳa giĂ trà lợn nhĐt v  giĂ trà nhọ nhĐt. ffiành lẵ 1.3 (Rolle). Cho h m số f : [a; b]→ R thọa mÂn f liản tửc trản [a; b], cõ Ôo h m trản khoÊng (a; b) v  f(a) = f(b) thẳ tỗn tÔi c ∈ (a; b) sao cho f ′(c) = 0. Chựng minh. Vẳ f(x) liản tửc trản [a; b] nản theo ành lẵ Weierstrass f(x) nhên giĂ trà lợn nhĐt M v  giĂ trà nhọ nhĐt m trản [a; b]. - Khi M = m ta cõ f(x) l  h m hơng trản [a; b], do õ vợi mồi c ∈ (a; b) luổn cõ f ′(c) = 0. - Khi M > m, vẳ f(a) = f(b) nản tỗn tÔi c ∈ (a; b) sao cho f(c) = m ho°c f(c) = M , theo bờ ã Fermat suy ra f ′(c) = 0. Hằ quÊ 1.2. Náu h m số f(x) cõ Ôo h m trản khoÊng (a; b) v  f(x) cõ n nghiằm (n l  số nguyản dữỡng lợn hỡn 1) trản (a; b) thẳ f ′(x) cõ ẵt nhĐt n− 1 nghiằm trản (a; b). Hằ quÊ 1.3. Náu h m số f(x) cõ Ôo h m trản khoÊng (a; b) v  f ′(x) vổ nghiằm trản (a; b) thẳ f(x) cõ nhiãu nhĐt 1 nghiằm trản (a; b). Hằ quÊ 1.4. Náu h m số f(x) cõ Ôo h m trản khoÊng (a; b) v  f ′(x) cõ nhiãu nhĐt n nghiằm (n l  số nguyản dữỡng) trản (a; b) thẳ f(x) cõ nhiãu nhĐt n+ 1 nghiằm trản (a; b). ffiành lẵ 1.4 (Lagrange). Cho h m số f : [a; b]→ R thọa mÂn f liản tửc trản oÔn [a; b], khÊ vi trản khoÊng (a; b), khi õ ∃c ∈ (a; b) : f ′(c) = f(b)− f(a) b− a . 7 Chựng minh. X²t h m số F (x) = f(x)− f(b)− f(a) b− a x. Ta cõ F (x) l  h m liản tửc trản oÔn [a; b] , cõ Ôo h m trản khoÊng (a; b) v  F (a) = F (b). Theo ành lẵ Rolle tỗn tÔi c ∈ (a; b) sao cho F ′(c) = 0. M  F ′(x) = f ′(x)− f(b)− f(a) b− a , suy ra f ′(c) = f(b)− f(a) b− a . Hằ quÊ 1.5. Náu F ′(x) = 0 vợi mồi x thuởc khoÊng (a; b) thẳ F (x) bơng hơng số trản khoÊng õ. ffiành lẵ 1.5. Cho h m số f(x) cõ Ôo h m trản khoÊng (a; b). - Náu f ′(x) > 0,∀x ∈ (a; b) thẳ f(x) ỗng bián trản (a; b). - Náu f ′(x) < 0,∀x ∈ (a; b) thẳ f(x) nghàch bián trản (a; b). ffiành lẵ 1.6 (BĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz). Cho hai c°p dÂy số bĐt ký a1, a2, ..., an v  b1, b2, ..., bn. Khi õ (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn) 2 ≤ (a21 + a22 + ...+ a2n)(b21 + b22 + ...+ b2n). DĐu bơng xÊy ra khi v  ch¿ khi ∃k º ai = kbi,∀i ∈ (1, 2, ..., n). Chựng minh. X²t tam thực bêc hai f(x) = (a21+a 2 2+ ...+a 2 n)x 2−2(a1b1+a2b2+ ...+anbn)x+(b21+b22+ ...+b2n) - Náu a21 + a 2 2 + ...+ a 2 n = 0⇔ a1 = a2 = ... = an = 0 bĐt ¯ng thực hiºn nhiản úng. - Náu a21 + a 2 2 + ...+ a 2 n > 0, ta viát f(x) dữợi dÔng f(x) = (a1x− b1)2 + (a2x− b2)2 + ...+ (anx− bn)2 ≥ 0,∀x ∈ R. Theo ành lỵ vã dĐu cừa tam thực bêc hai thẳ ∆′ = (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)2 − (a21 + a22 + ...+ a2n)(b21 + b22 + ...+ b2n) ≤ 0⇔ (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)2 ≤ (a21 + a22 + ...+ a2n)(b21 + b22 + ...+ b2n). 8 DĐu ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi  a1x− b1 = 0 a2x− b2 = 0 .................. anx− bn = 0 hay khi v  ch¿ khi ∃k º ai = kbi,∀i ∈ (1, 2, ..., n). ffiành lẵ 1.7 (BĐt ¯ng thực Bernoulli). GiÊ sỷ x > −1. Khi õ{ (1 + x)α ≤ 1 + αx khi 0 ≤ α ≤ 1 (1 + x)α ≥ 1 + αx khi α ≤ 0 ∨ α ≥ 1. Chựng minh. - Khi α = 0 ho°c α = 1 thẳ ta thu ữủc ¯ng thực. - Khi α 1, x²t h m số f(x) = (1 + x)α − αx − 1, vợi x > −1. Ta cõ f ′(x) = α(1 + x)α−1 − α = α [ (1 + x)α−1 − 1 ] v  f ′(x) = 0⇔ x = 0, nản f(x) ≥ 0,∀x > −1⇔ (1 + x)α ≥ 1 + αx, ∀x > −1. - Khi 0 < α < 1, x²t h m số f(x) nhữ trản, ta cõ f(x) ≤ 0,∀x > −1⇔ (1 + x)α ≤ 1 + αx, ∀x > −1. Nhên x²t 1.1. Khi thay x bði x− 1 ta cõ{ xα + (1− x)α ≤ 1 khi 0 ≤ α ≤ 1 xα + (1− x)α ≥ 1 khi α ≤ 0 ∨ α ≥ 1. Vẵ dử 1.1. Cho m > 0 l  số nguyản dữỡng cỏn a, b, c l  3 số thỹc sao cho a m+ 2 + b m+ 1 + c m = 0 Chựng minh rơng khi õ phữỡng trẳnh ax2 + bx + c = 0 cõ ẵt nhĐt 1 nghiằm trong khoÊng (0; 1). GiÊi. X²t h m số F (x) = a m+ 2 xm+2 + b m+ 1 xm+1 + c m xm liản tửc trản [0; 1]. KhÊ vi trong (0; 1) v  F ′(x) = xm−1(ax2 + bx+ c). 9 Ngo i ra F (0) = F (1) = 0. p dửng ành lỵ Rolle khi õ ∃α ∈ (0; 1) sao cho F ′(α) = 0 ⇔ αm−1(aα2 + bα + c) = 0 ⇔ aα2 + bα + c = 0. Vêy phữỡng trẳnh ax2 + bx + c = 0 cõ nghiằm α ∈ (0; 1). (iãu phÊi chựng minh) Vẵ dử 1.2. Chựng minh rơng 1 2014 < ln 2014 2013 < 1 2013 . GiÊi. X²t h m số f(x) = lnx, ta cõ f ′(x) = 1 x . H m f(x) liản tửc trản oÔn [2013; 2014], cõ Ôo h m trản (2013; 2014). Theo ành lỵ lagrange tỗn tai c ∈ (2013; 2014) sao cho f(2014)− f(2013) 2014− 2013 = f ′(c)⇔ ln 2014− ln 2013 = 1 c ⇔ ln 2014 2013 = 1 c . Vợi c ∈ (2013; 2014) ta cõ 1 2014 < 1 c < 1 2013 . Suy ra 1 2014 < ln 2014 2013 < 1 2013 . Vêy, ta cõ iãu phÊi chựng minh. 1.3 Lợp h m tuƯn ho n v  phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh 1.3.1 Lợp h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh ffiành nghắa 1.1. H m số f(x) ữủc gồi l  h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký a (a /∈ {0, 1,−1}) trản M náu M ⊂ D(f) v  10 { ∀x ∈M ⇒ a±1x ∈M, f(ax) = f(x),∀x ∈M. Vẵ dử 1.3. X²t h m số f(x) = sin(2pilog2x). Khi õ f(x) l  h m tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký 2 trản R+. Thêt vêy, ta cõ ∀x ∈ R+ thẳ 2±1x ∈ R+ v  f(2x) = sin(2pilog2(2x)) = sin(2pi(1 + log2x)) = sin(2pilog2x) = f(x),∀x ∈ R+. Vẵ dử 1.4. Cho vẵ dử vã h m số liản tửc v  tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký cỡ sð 5: f(5x) = f(x),∀x > 0. GiÊi. Ta cõ ∀x ∈ R+ ⇒ 5±x ∈ R+ v  log5(5x) = 1 + log5x⇔ 2pilog5(5x) = 2pi + log5x. ffi°t f(x) = cos[2pilog5x],∀x > 0, suy ra f(5x) = cos[2pilog5(5x)] = cos[2pi+2pilog5x] = cos[2pilog5x] = f(x) Vêy, h m số f(x) = cos(2pilog5x),∀x > 0 l  mởt h m số tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký cỡ sð 5 trản R+. 1.3.2 Lợp h m phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh ffiành nghắa 1.2. H m số f(x) ữủc gồi l  h m phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký a (a /∈ {0, 1,−1}) trản M náu M ⊂ D(f) v { ∀x ∈M ⇒ a±1x ∈M, f(ax) = −f(x),∀x ∈M. 11 Vẵ dử 1.5. Cho vẵ dử h m số liản tửc v  phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký cỡ sð 3: f(3x) = −f(x),∀x > 0. GiÊi. Ta cõ ∀x ∈ R+ ⇒ 3±x ∈ R+ v  log3(3x) = 1 + log3x⇔ pilog3(3x) = pi + pilog3x ffi°t f(x) = cos[pilog3x],∀x > 0 suy ra f(3x) = cos[pilog3(3x)] = cos[pi + pilog3x] = −cos[pilog3x] = −f(x). Vêy, h m số f(x) = cos(pilog3x), l  mởt h m số phÊn tuƯn ho n nhƠn tẵnh chu ký cỡ sð 3 trản R+. 12 Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh v  hằ phữỡng trẳnh chựa logarit 2.1 Phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh chựa logarit 2.1.1 Phữỡng phĂp mụ hõa v  ữa vã cũng cỡ số 1. Phữỡng phĂp chung. ffiº chuyºn ân số khọi logarit ta cõ thº mụ hõa theo cũng mởt cỡ số cÊ hai vá cừa phữỡng trẳnh. Chúng ta lữu ỵ cĂc ph²p bián ời cỡ bÊn sau: • logaf(x) = b⇔ { 0 < a 6= 1 f(x) = ab . • logaf(x) = logag(x)⇔ { 0 < a 6= 1 f(x) = g(x) . 2. CĂc vẵ dử. Vẵ dử 2.1. GiÊi phữỡng trẳnh logx(x 2 + 4x− 4) = 3 (2.1) GiÊi. ffiiãu kiằn{ x2 + 4x− 4 > 0 0 < x 6= 1 ⇔  [ x > −2 +√8 x < −2−√8 0 < x 6= 1 ⇔ √ 8− 2 < x 6= 1. (2.2) 13 Ta sỷ dửng ph²p bián ời: 3 = logxx 3 Khi õ (2.1)⇔ logx(x2 + 4x− 4) = logxx3 ⇔ x2 + 4x− 4 = x3 ⇔ x3 − x2 − 4x+ 4 = 0⇔ (x− 1)(x2 − 4) = 0⇔ [ x = 1 x = 2 x = −2 Trong õ x = −2 khổng thọa mÂn iãu kiằn (2.2). Vêy, phữỡng trẳnh cõ nghiằm l  x = 1, x = 2. Vẵ dử 2.2. XĂc ành m º phữỡng trẳnh 2log4(2x 2 − x+ 2m− 4m2) + log1 2 (x2 +mx− 2m2) = 0 (2.3) cõ nghiằm x1, x2 thọa mÂn x 2 1 + x 2 2 > 1. GiÊi. Ta sỷ dửng ph²p bián ời: log4(2x 2 − x+ 2m− 4m2) = 1 2 log2(2x 2 − x+ 2m− 4m2) log1 2 (x2 +mx− 2m2) = −log2(x2 +mx− 2m2). Khi õ, phữỡng trẳnh (2.3) cõ dÔng log2(2x 2 − x+ 2m− 4m2)− log2(x2 +mx− 2m2) = 0 ⇔ log2(2x2 − x+ 2m− 4m2) = log2(x2 +mx− 2m2) ⇔ { x2 +mx− 2m2 > 0 2x2 − x+ 2m− 4m2 = x2 +mx− 2m2 ⇔ { x2 +mx− 2m2 > 0 x2 − (m+ 1)x+ 2m− 2m2 = 0 ⇔  x 2 +mx− 2m2 > 0[ x1 = 2m x2 = 1−m . ffiº phữỡng trẳnh (2.3) cõ nghiằm x1, x2 thọa mÂn x 2 1 + x 2 2 > 1 iãu kiằn l :  (2m) 2 +m(2m)− 2m2 > 0 (1−m)2 +m(1−m)− 2m2 > 0 (2m)2 + (1−m)2 > 1 ⇔ [ −1 < m < 0 2 5 < m < 1 2 . 14 2.1.2 Phữỡng phĂp °t ân phử Mửc ẵch cừa phữỡng phĂp n y l  chuyºn cĂc b i toĂn  cho vã phữỡng trẳnh ho°c hằ phữỡng trẳnh Ôi số quen biát. 2.1.2.1 Dũng ân phử chuyºn phữỡng trẳnh logarit th nh mởt phữỡng trẳnh vợi mởt ân phử 1. Phữỡng phĂp chung Ta lữu ỵ cĂc ph²p °t ân phử thữớng g°p sau: DÔng 1: Náu °t t = logax vợi x > 0 thẳ logka x = t k, logxa = 1 t vợi 0 < x 6= 1. DÔng 2: Ta biát rơng alogbc = clogba, do õ náu °t t = alogbx thẳ t = xlogba. Tuy nhiản trong nhiãu b i toĂn cõ chựa alogbx, ta thữớng °t ân phử dƯn vợi t = logbx. 2. CĂc vẵ dử Vẵ dử 2.3. GiÊi phữỡng trẳnh (x− 2)log3[9(x−2)] = 9(x− 2)3. (2.4) GiÊi. ffiiãu kiằn x − 2 > 0 ⇔ x > 2. LĐy logarit cỡ số 3 hai vá phữỡng trẳnh (2.4), ta ữủc: log3[(x− 2)log3[9(x−2)]] = log3[9(x− 2)3] ⇔ [log3[9(x− 2)]].log3(x− 2) = 2 + log3(x− 2)3 ⇔ [2 + log3(x− 2)].log3(x− 2) = 2 + 3log3(x− 2). (2.5) ffi°t t = log3(x− 2). Khi õ (2.5) cõ dÔng: (2 + t)t = 2 + 3t⇔ t2 − t− 2 = 0⇔ [ t = −1 t = 2 . • Vợi t = −1 ta cõ log3(x− 2) = −1⇔ x = 7 3 . • Vợi t = 2 ta cõ log3(x− 2) = 2⇔ x = 11. 15 Vêy, phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = 7 3 v  x = 11. Vẵ dử 2.4 (ffiã thi ffiÔi hồc ThĂi Nguyản Khối D nôm 1998). GiÊi phữỡng trẳnh loga(ax).logx(ax) = loga2( 1 a ), 0 < a 6= 1. (2.6) GiÊi. ffiiãu kiằn:{ ax > 0 0 < x 6= 1 ⇔ 0 < x 6= 1. Bián ời phữỡng trẳnh (2.6) vã dÔng (logaa+ logax).(logxa+ logxx) = − 1 2 logaa ⇔ (1 + logax).( 1 logax + 1) = −1 2 . (2.7) ffi°t t = logax. Khi õ phữỡng trẳnh (2.7) cõ dÔng (1 + t).( 1 t + 1) = −1 2 ⇔ 2t2 + 5t+ 2 = 0⇔ [ t = −1 2 t = −2 . • Vợi t = −1 2 ta cõ logax = − 1 2 ⇔ x = 1√ a . • Vợi t = −2 ta cõ logax = −2⇔ x = 1 a2 . Vêy, phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = 1√ a v  x = 1 a2 . 2.1.2.2 Dũng ân phử chuyºn phữỡng trẳnh logarit th nh mởt phữỡng trẳnh vợi mởt ân phử những hằ số văn chựa x 1. Phữỡng phĂp chung. Ta lữu ỵ cõ nhỳng phữỡng trẳnh khi lỹa chồn ân phử cho mởt biºu thực thẳ cĂc biºu thực cỏn lÔi khổng biºu diạn ữủc triằt º qua ân phử õ ho°c náu biºu diạn ữủc thẳ cổng thực biºu diạn lÔi quĂ phực tÔp. Khi õ ta cõ thº º phữỡng trẳnh ð dÔng: "chựa ân phử những hằ số văn chựa x". 16 Trong trữớng hủp n y ta thữớng ữủc mởt phữỡng trẳnh bêc hai theo ân phử (ho°c văn theo ân x) cõ biằt số ∆ l  mởt số chẵnh phữỡng. 2. CĂc vẵ dử Vẵ dử 2.5. GiÊi phữỡng trẳnh lg2x− lg x.log2(4x) + 2log2x = 0. (2.8) GiÊi. ffiiãu kiằn x > 0. Bián ời phữỡng trẳnh (2.8) vã dÔng lg2x− (2 + log2x) lg x+ 2log2x = 0. ffi°t t = lg x, khi õ phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng vợi t2 − (2 + log2x).t+ 2log2x = 0 ∆ = (2 + log2x) 2 − 8log2x = (2− log2x)2. Suy ra [ t = 2 t = log2x . • Vợi t = 2 ta cõ lg x = 2⇔ x = 100. • Vợi t = log2x ta cõ lg x = log2x⇔ lg x = lg x lg 2 ⇔ lg x = 0⇔ x = 1. Vêy, phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm x = 100, x = 1. Vẵ dử 2.6. GiÊi phữỡng trẳnh lg2(x2 + 1) + (x2 − 5). lg(x2 + 1)− 5x2 = 0. (2.9) GiÊi. ffi°t t = lg(x2+1), iãu kiằn t ≥ 0 vẳ x2+1 ≥ 1 nản lg(x2+1) ≥ lg 1 = 0. Khi õ phữỡng trẳnh (2.9) tữỡng ữỡng vợi t2 + (x2 − 5).t− 5x2 = 0 ∆ = (x2 − 5)2 + 20x2 = (x2 + 5)2. Suy ra [ t = 5 t = −x2 . 17 • Vợi t = 5 ta cõ lg(x2 + 1) = 5⇔ x2 + 1 = 105 ⇔ x = ±√99999. • Vợi t = −x2 ta cõ lg(x2 + 1) = −x2 ⇔ { lg(x2 + 1) = 0 x2 = 0 ⇔ x = 0. Vêy, phữỡng trẳnh cõ ba nghiằm x = ±√99999 v  x = 0. 2.1.2.3 Dũng ân phử chuyºn phữỡng trẳnh logarit th nh mởt hằ phữỡng trẳnh vợi 2 ân phử 1. Phữỡng phĂp chung Bơng viằc sỷ dửng tứ hai ân phử trð lản (giÊ sỷ l  u, v), ta cõ thº kh²o l²o ữa viằc giÊi phữỡng trẳnh vã viằc x²t mởt hằ, trong õ: • Phữỡng trẳnh thự nhĐt cõ ữủc tứ phữỡng trẳnh Ưu b i. • Phữỡng trẳnh thự hai cõ ữủc tứ viằc Ănh giĂ mội quan hằ cừa u, v. 2. CĂc vẵ dử Vẵ dử 2.7. GiÊi phữỡng trẳnh√ 3 + log2(x 2 − 4x+ 5) + 2 √ 5− log2(x2 − 4x+ 5) = 6. (2.10) GiÊi. ffiiãu kiằn x 2 − 4x+ 5 > 0 3 + log2(x 2 − 4x+ 5) ≥ 0 5− log2(x2 − 4x+ 5) ≥ 0 ⇔ x2 − 4x+ 5 ≤ 25 ⇔ x2 − 4x− 27 ≤ 0 ⇔ 2−√29 ≤ x ≤ 2 +√29. ffi°t{ u = √ 3 + log2(x 2 − 4x+ 5) v = √ 5− log2(x2 − 4x+ 5) , iãu kiằn u, v ≥ 0. 18 Khi õ phữỡng trẳnh (2.10) ữủc chuyºn th nh{ u+ 2v = 6 u2 + v2 = 8 ⇔ { u = 6− 2v (6− 2v)2 + v2 = 8 ⇔ { u = 6− 2v 5v2 − 24v + 28 = 0 ⇔  u = 6− 2v[ v = 2 v = 14 5 ⇔  { u = 2 v = 2 u = 2 5 v = 14 5 . • Vợi{ u = 2 v = 2 ⇔ { √ 3 + log2(x 2 − 4x+ 5) = 2√ 5− log2(x2 − 4x+ 5) = 2 ⇔ log2(x2 − 4x+ 5) = 1⇔ x2 − 4x+ 5 = 2 ⇔ x2 − 4x+ 3 = 0⇔ [ x = 1 x = 3 . • Vợi{ u = 25 v = 145 ⇔ { √ 3 + log2(x 2 − 4x+ 5) = 25√ 5− log2(x2 − 4x+ 5) = 145⇔ log2(x2 − 4x+ 5) = −7125 ⇔ x2 − 4x+ 5 = 2− 7125 ⇔ x2 − 4x+ 5− 2− 7125 = 0.(vổ nghiằm) VƠy, phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm phƠn biằt. Vẵ dử 2.8. GiÊi phữỡng trẳnh log2(x− √ x2 − 1) + 3log2(x+ √ x2 − 1) = 2. GiÊi. ffiiãu kiằn  x2 − 1 ≥ 0 x−√x2 − 1 > 0 x+ √ x2 − 1 > 0 ⇔ x ≥ 1. ffi°t { u = log2(x− √ x2 − 1) v = log2(x+ √ x2 − 1) . Nhên x²t rơng u+ v = log2(x− √ x2 − 1) + log2(x+ √ x2 − 1) = log2 ( (x− √ x2 − 1).(x+ √ x2 − 1) ) = log21 = 0. 19 Khi õ phữỡng trẳnh ữủc chuyºn th nh{ u+ v = 0 u+ 3v = 2 ⇔ { u = −v 2v = 2 ⇔ { u = −1 v = 1 ⇔ { log2(x− √ x2 − 1) = −1 log2(x+ √ x2 − 1) = 1 ⇔ { x−√x2 − 1 = 12 x+ √ x2 − 1 = 2 ⇔ x = 5 4 . Vêy, phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = 5 4 . 2.1.2.4 Dũng ân phử chuyºn phữỡng trẳnh logarit th nh mởt hằ phữỡng trẳnh vợi 1 ân phử v  mởt ân x 1. Phữỡng phĂp chung Bản cÔnh cĂc phữỡng phĂp °t ân phử trản, ta cõ thº sỷ dửng phữỡng phĂp "chuyºn phữỡng trẳnh th nh hằ gỗm hai ân l  mởt ân phử v  ân x" bơng cĂch thỹc hiằn theo cĂc bữợc: Bữợc 1: Bián ời phữỡng trẳnh vã dÔng: f [x, ϕ(x)] = 0. Bữợc 2: ffi°t u = ϕ(x), ta bián ời phữỡng trẳnh th nh hằ:{ u = ϕ(x) f(x, u) = 0 . 2. CĂc vẵ dử Vẵ dử 2.9. GiÊi phữỡng trẳnh log22 x+ √ log2x+ 1 = 1. (2.11) GiÊi. ffi°t u = log2x. Khi õ phữỡng trẳnh (2.11) ữủc chuyºn th nh u2 + √ u+ 1 = 1 ffiiãu kiằn{ u+ 1 ≥ 0 1− u2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ u ≤ 1. ffi°t v = √ u+ 1, iãu kiằn 0 ≤ v ≤ √2 suy ra v2 = u+ 1. 20 Khi õ phữỡng trẳnh ữủc chuyºn th nh hằ{ u2 = 1− v v2 = u+ 1 ⇒ u2 − v2 = −(u+ v) ⇔ (u+ v)(u− v + 1) = 0⇔ [ u+ v = 0 u− v + 1 = 0 . • Vợi v = −u, ta ữủc u2 − u− 1 = 0⇔  u = 1−√5 2 u = 1 + √ 5 2 . Trong õ u = 1 + √ 5 2 khổng thọa mÂn iãu kiằn −1 ≤ u ≤ 1. u = 1−√5 2 ⇔ log2x = 1−√5 2 ⇔ x = 2 1−√5 2 . • Vợi u− v + 1 = 0, ta ữủc u2 + u = 0⇔ [ u = 0 u = −1 ⇔ [ log2x = 0 log2x = −1 ⇔ [ x = 1 x = 1 2 . Vêy, phữỡng trẳnh cõ nghiằm l  x = 2 1−√5 2 , x = 1 v  x = 1 2 . Vẵ dử 2.10. GiÊi phữỡng trẳnh 7x−1 = 6log7(6x− 5) + 1. GiÊi. ffiiãu kiằn 6x− 5 > 0⇔ x > 5 6 . ffi°t y − 1 = log7(6x− 5). Khi õ phữỡng trẳnh ữủc chuyºn th nh hằ{ 7x−1 = 6(y − 1) + 1 y − 1 = log7(6x− 5) ⇔ { 7x−1 = 6y − 5 7y−1 = 6x− 5 . (2.12) 21 Trứ theo vá hai phữỡng trẳnh cừa (2.12), ta ữủc 7x−1 + 6x = 7y−1 + 6y. (2.13) X²t h m số f(t) = 7t−1 + 6t l  h m ỡn iằu trản R. Khi õ (2.13) ữủc viát lÔi dữợi dÔng f(x) = f(y)⇔ x = y. Khi õ phữỡng trẳnh 7y−1 = 6x− 5 cõ dÔng 7x−1 − 6x+ 5 = 0. X²t h m số g(x) = 7x−1 − 6x+ 5. • Miãn xĂc ành D = (5 6 ; +∞). • ffiÔo h m g′(x) = 7x−1. ln 7− 6 g′′(x) = 7x−1.ln27 > 0,∀x ∈ D Suy ra g′(x) l  h m ỗng bián trản D. Vêy, theo ành lỵ Rolle phữỡng trẳnh g(x) = 0 cõ khổng quĂ 2 nghiằm trản D. Nhên x²t rơng g(1) = g(2) = 0. Vêy, phữỡng trẳnh cõ 2 nghiằm x = 1 v  x = 2. Chú ỵ 2.1. ffiối vợi phữỡng trẳnh logarit cõ mởt dÔng °c biằt, õ l  sax+b = clogs(dx+ e) + αx+ β vợi d = ac+ α v  e = bc+ β. Vợi dÔng phữỡng trẳnh n y, ta thỹc hiằn nhữ sau: ffiiãu kiằn { 0 < s 6= 1 dx+ e > 0 . ffi°t ay + b = logs(dx+ e). Tứ õ thỹc hiằn cĂc bữợc tữỡng tỹ nhữ vẵ dử 2.10. 2.1.3 Phữỡng phĂp hơng số bián thiản 1. Phữỡng phĂp chung. ị tữðng chừ Ôo cừa phữỡng phĂp n y bao gỗm: a. Sỷ dửng cĂc hơng số l m ân phử, sau õ tẳm lÔi x theo hơng số. 22 b. Náu phữỡng trẳnh cõ chựa tham số m, ta cõ thº coi m l  ân, cỏn x l  tham số, sau õ tẳm lÔi x theo m. 2. CĂc vẵ dử Vẵ dử 2.11. GiÊi phữỡng trẳnh lg4x+ lg3x− 2lg2x− 9 lg x− 9 = 0. GiÊi. ffiiãu kiằn x > 0. ffi°t t = lg x, ta ữủc t4 + t3 − 2t2 − 9t− 9 = 0⇔ 32 + 3t.3− t4 − t3 + 2t2 = 0. ffi°t u = 3, ta ữủc u2 + 3t.u− t4 − t3 + 2t2 = 0. Ta x²t phữỡng trẳnh bêc hai theo u, ữủc ∆ = 9t2 + 4(t4 + t3 − 2t2) = (2t2 + t)2, suy ra u = −3t− (2t 2 + t) 2 u = −3t+ (2t2 + t) 2 ⇔ [ u = −t2 − 2t u = t2 − t ⇔ [ 3 = −t2 − 2t 3 = t2 − t ⇔ t2 − t− 3 = 0⇔ t = 1± √ 13 2 . • Vợi t = 1 + √ 13 2 ta ữủc lg x = 1 + √ 13 2 ⇔ x = 10 1 + √ 13 2 . • Vợi t = 1− √ 13 2 ta ữủc lg x = 1−√13 2 ⇔ x = 10 1−√13 2 . Vêy, phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = 10 1±√13 2 . Vẵ dử 2.12. Cho phữỡng trẳnh lg4x+ (2m− 1)lg3x+m(m− 2)lg2x− (m2 −m+ 1) lg x−m+ 1 = 0. (2.14) 23 a. GiÊi phữỡng trẳnh vợi m = −1. b. XĂc ành m º phữỡng trẳnh cõ bốn nghiằm phƠn biằt. GiÊi. ffiiãu kiằn x > 0. ffi°t t = lg x, ta ữủc t4 + (2m− 1).t3 +m(m− 2).t2 − (m2 −m+ 1).t−m+ 1 = 0 ⇔ [ t− 1 = 0 t3 + 2mt2 +m2t+m− 1 = 0 (2.15) Ta viát lÔi phữỡng trẳnh t3 + 2mt2 +m2t+m− 1 = 0 dữợi dÔng tm2 + (2t2 + 1)m+ t3 − 1 = 0 Coi m l  ân, cỏn t l  tham số, ta ữủc phữỡng trẳnh bêc 2 theo m. GiÊi ra ta ữủc [ m = 1− t m = −t 2 + t+ 1 t Do õ phữỡng trẳnh t3 + 2mt2 +m2t+m− 1 = 0 ữủc chuyºn vã dÔng (t+m− 1)[t2+(m + 1)t + 1] = 0. Khi õ (2.15)⇔ [ t− 1 = 0 t+m− 1 = 0 g(t) = t2 + (m+ 1)t+ 1 = 0 (2.16) a. Vợi m = −1 (2.16)⇔ [ t− 1 = 0 t− 2 = 0 t2 + 1 = 0 ⇔ [ t = 1 t = 2 ⇔ [ lg x = 1 lg x = 2 ⇔ [ x = 10 x = 100 . Vêy, vợi m = −1 phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm phƠn biằt x = 10, x = 100. 24 b. ffiº phữỡng trẳnh (2.14) cõ 4 nghiằm phƠn biằt khi v  ch¿ khi phữỡng trẳnh g(t) = t2 + (m+ 1)t+ 1 = 0 cõ 2 nghiằm phƠn biằt khĂc 1 v  1−m v  1−m 6= 1 khi v  ch¿ khi ∆g > 0 g(1) 6= 0 g(1−m) 6= 0 1−m 6= 1 ⇔  m2 + 2m− 3 > 0 m+ 3 6= 0 3− 2m 6= 0 m 6= 0 ⇔ [ 1 < m 6= 3 2 m < −3 . Vêy, vợi m ∈ (−∞;−3) ∪ (1; +∞)\{3 2 } phữỡng trẳnh  cho cõ 4 nghiằm phƠn biằt. 2.1.4 Phữỡng phĂp h m số 2.1.4.1 GiÊi phữỡng trẳnh logarit bơng viằc sỷ dửng tẵnh chĐt liản tửc cừa h m số 1. Phữỡng phĂp chung Cho phữỡng trẳnh f(x) = 0, º chựng minh phữỡng trẳnh cõ k nghiằm phƠn biằt trong [a; b], ta thỹc hiằn theo cĂc bữợc sau: Bữợc 1: Chồn cĂc số a < T1 < T2 < ... < Tk−1 < b chia oÔn [a; b] th nh k khoÊng thọa mÂn: { f(a).f(T1) < 0 ... f(Tk−1).f(b) < 0 Bữợc 2: Kát luên. 2. CĂc vẵ dử Vẵ dử 2.13. Chựng minh rơng phữỡng trẳnh log2(2x+ 1) = 2 x−1 (2.17) cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm. GiÊi. ffiiãu kiằn 2x+ 1 > 0⇔ x > −1 2 . Viát lÔi phữỡng trẳnh dữợi dÔng log2(2x+ 1)− 2x−1 = 0. (2.18) 25 X²t h m số f(x) = log2(2x+ 1)− 2x−1 liản tửc trản (− 1 2 ; +∞). Ta cõ: f(0) = −1 2 , f(1) = log23− 1 = log2 3 2 Suy ra f(0)f(1) = (−1 2 ).log2 3 2 < 0, nản (2.18) cõ 1 nghiằm x0 ∈ (0; 1). Vêy, phữỡng trẳnh (2.17) cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm. Vẵ dử 2.14. Tẳm a > 1 º phữỡng trẳnh ax = logx2+2(ax + 2) (2.19) cõ nghiằm. GiÊi. ffiiãu kiằn ax + 2 > 0⇔ x > −2 a Viát lÔi phữỡng trẳnh dữợi dÔng ax− logx2+2(ax + 2) = 0 (2.20) X²t h m số f(x) = ax− logx2+2(ax + 2) liản tửc trản (− 2 a ; +∞). Ta cõ f(0) = −1, f(a) = a2 − 1 Suy ra f(0)f(a) = (−1)(a2−1) 1, nản (2.20) cõ 1 nghiằm x0 ∈ (0; a). Vêy, phữỡng trẳnh (2.19) cõ nghiằm vợi mồi a > 1. 2.1.4.2 Sỷ dửng tẵnh ỡn iằu cừa h m số giÊi phữỡng trẳnh logarit 1. Phữỡng phĂp chung Ta sỷ dửng cĂc tẵnh chĐt sau: Tẵnh chĐt 2.1. Náu h m f ỗng bián (ho°c nghàch bián) trong khoÊng (a; b) thẳ phữỡng trẳnh f(x) = k cõ khổng quĂ mởt nghiằm trong khoÊng (a; b). Phữỡng phĂp Ăp dửng 26 Ta thỹc hiằn theo cĂc bữợc sau: Bữợc 1: Chuyºn phữỡng trẳnh vã dÔng: f(x) = k. Bữợc 2: X²t h m số y = f(x) Dũng lêp luên kh¯ng ành h m số l  ỡn iằu (giÊ sỷ ỗng bián). Bữợc 3: Nhên x²t: • Vợi x = x0 ⇔ f(x) = f(x0) = k, do õ x = x0 l  nghiằm. • Vợi x > x0 ⇔ f(x) > f(x0) ⇔ f(x) > k do õ phữỡng trẳnh vổ nghiằm. • Vợi x < x0 ⇔ f(x) < f(x0) ⇔ f(x) < k do õ phữỡng trẳnh vổ nghiằm. Bữợc 4: Vêy x = x0 l  nghiằm duy nhĐt cừa phữỡng trẳnh. Tẵnh chĐt 2.2. Náu h m f ỗng bián trong khoÊng (a; b) v  h m g l  h m hơng ho°c l  mởt h m nghàch bián trong khoÊng (a; b) thẳ phữỡng trẳnh f(x) = g(x) cõ nhiãu nhĐt mởt nghiằm thuởc khoÊng (a; b) (do õ náu tỗn tÔi x0 ∈ (a; b) : f(x0) = g(x0) thẳ õ l  nghiằm duy nhĐt cừa phữỡng trẳnh f(x) = g(x)). Tẵnh chĐt 2.3. Náu h m f ỗng bián (ho°c nghàch bián) trong khoÊng (a; b) thẳ f(u) = f(v)⇔ u = v vợi mồi u, v thuởc (a; b). Bữợc 1: Chuyºn phữỡng trẳnh vã dÔng: f(u) = f(v). Bữợc 2: X²t h m số y = f(x) Dũng lêp luên khÊng ành h m số l  ỡn iằu. Bữợc 3: Khi õ phữỡng trẳnh ữủc chuyºn vã dÔng: u = v. 2. CĂc vẵ dử Vẵ dử 2.15. GiÊi phữỡng trẳnh log2x+ √ 2x + 2 = 2. 27 GiÊi. ffiiãu kiằn x > 0. Vá trĂi cừa phữỡng trẳnh l  mởt h m ỗng bián trản (0; +∞) v  vá phÊi l  h m hơng do õ phữỡng trẳnh náu cõ nghiằm thẳ nghiằm õ l  duy nhĐt. Nhên x²t rơng vợi x = 1 thẳ: log21 + √ 2 + 2 = 2⇔ 2 = 2 luổn úng Vêy, phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nhĐt x = 1. Vẵ dử 2.16. GiÊi phữỡng trẳnh log22 x+ (x− 5)log2x− 2x+ 6 = 0. (2.21) GiÊi. ffiiãu kiằn x > 0. ffi°t t = log2x. Khi õ (2.21) cõ dÔng t2 + (x− 5)t− 2x+ 6 = 0⇔ [ t = 2 t = 3− x . a. Vợi t = 2 log2x = 2⇔ x = 4. b. Vợi t = 3− x log2x = 3− x • H m số y = log2x l  h m ỗng bián. • H m số y = 3− x l  h m nghàch bián. Vêy, phữỡng trẳnh náu cõ nghiằm thẳ nghiằm õ l  duy nhĐt. Nhên x²t rơng x = 2 l  nghiằm cừa phữỡng trẳnh. Vêy, phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = 4 v  x = 2. 28 2.1.5 Ùng dửng ành lỵ Lagrange, ành lỵ Rolle 2.1.5.1 Sỷ dửng ành lỵ Lagrange chựng minh phữỡng trẳnh logarit cõ nghiằm 1. Phữỡng phĂp chung Tứ ành lỵ Lagrange, náu f(a) = f(b) thẳ ∃c ∈ (a; b) sao cho f ′(c) = f(b)− f(a) b− a = 0 ⇔ phữỡng trẳnh f ′(x) = 0 cõ nghiằm thuởc (a; b). Vêy, º Ăp dửng ữủc kát quÊ trản v o viằc chựng minh phữỡng trẳnh f(x) = 0 cõ nghiằm trong (a; b) iãu quan trồng nhĐt l  nhên ra ữủc h m F (x)(thỹc chĐt nõ chẵnh l  nguyản h m cừa h m f(x)). Cử thº ta thỹc hiằn theo cĂc bữợc sau: Bữợc 1: XĂc ành h m số F (x) khÊ vi v  liản tửc trản [a; b] v  thọa mÂn i. F ′(x) = f(x) (tực l  F (x) = ∫ f(x)dx). ii. F (b)− F (a) = 0. Bữợc 2: Khi õ ∃x0 ∈ (a; b) sao cho F ′(x0) = F (b)− F (a) b− a ⇔ f(x0) = 0 khi v  ch¿ khi phữỡng trẳnh f(x) = 0 cõ nghiằm x0 ∈ (a; b). 2. CĂc vẵ dử Vẵ dử 2.17. GiÊ sỷ a 2014 + b 2013 + c 2012 = 0. Chựng minh rơng phữỡng trẳnh a.lg2x+ b. lg x+ c = 0 (2.22) luổn cõ nghiằm dữỡng. GiÊi. ffiiãu kiằn x > 0. ffi°t t = lg x, ta ữủc a.t2 + b.t+ c = 0. X²t h m số F (t) = a.t2014 2014 + b.t2013 2013 + c.t2012 2012 khÊ vi v  liản tửc trản R v : 29 i. F ′(t) = a.t2013 + b.t2012 + c.t2011 = t2011.(a.t2 + b.t+ c). ii. F (1)− F (0) = a 2014 + b 2013 + c 2012 = 0. Khi õ ∃t0 ∈ (0, 1) sao cho F ′(t0) = F (1)− F (0) 1− 0 ⇔ t0 2011.(a.t0 2+b.t0+c) = 0⇔ (a.t02+b.t0+c) = 0 khi v  ch¿ khi phữỡng trẳnh a.t2 + b.t+ c = 0 cõ nghiằm t0 ∈ (0; 1). Vợi t0 ∈ (0; 1)⇔ lg x = t0 ⇔ x = 10t0 , tực ph