Luận văn Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức lớp 10 ban nâng cao

8 14 01 11 Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Đức Huy HÀ NỘI – 2017 i LỜI CẢM ƠN Với tình cảm chân thành và lòng biết ơn sâu sắc, tác giả xin được trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo, Hội đồng khoa học, Ban giám hiệu trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu hoàn thành khóa học. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn Đức Huy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn. Tác giả cũng xin cảm ơn sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, các thầy cô giáo trong tổ Toán Tin, trường THPT Nguyễn Khuyến, thành phố Hải Phòng đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin được dành cho những người thân trong gia đình và bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học Toán khóa 2015 - 2017 đã luôn quan tâm, cổ vũ, động viên, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn một cách tốt nhất. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 11 năm 2017 Tác giả Trần Tăng Thắng ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT AM - GM Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân BĐT Bất đẳng thức C - S Cauchy - Schwarz CMR Chứng minh rằng ĐC Đối chứng GV Giáo viên HS Học sinh SĐC Sau đối chứng SGK Sách giáo khoa STN Sau thực nghiệm TDST Tư duy sáng tạo TĐC Trước đối chứng TN Thực nghiệm TS Tiến sĩ TTN Trước thực nghiệm THPT Trung học phổ thông iii MỤC LỤC Lời cảm ơn ......................................................................................................... i Danh mục các kí hiệu viết tắt ............................................................................ ii Danh mục các bảng .......................................................................................... vi Danh mục các biểu đồ ..................................................................................... vii MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 2 5. Giả thuyết khoa học ...................................................................................... 2 6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 3 7. Đóng góp mới của luận văn .......................................................................... 3 8. Cấu trúc của luận văn .................................................................................... 4 Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VẤN ĐỀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THPT ............................................................................ 5 1.1. Cơ sở lý luận .............................................................................................. 5 1.1.1. Tư duy ..................................................................................................... 5 1.1.1.1. Khái niệm về tư duy ............................................................................. 5 1.1.1.2. Đặc điểm của tư duy ............................................................................ 5 1.1.1.3. Các giai đoạn tư duy ............................................................................ 7 1.1.1.4. Các thao tác tư duy ............................................................................... 8 1.1.2. Tư duy sáng tạo ....................................................................................... 9 1.1.2.1. Khái niệm về sáng tạo .......................................................................... 9 1.1.2.2. Khái niệm tư duy sáng tạo ................................................................... 9 1.1.2.3. Một số thành tố đặc trưng của tư duy sáng tạo .................................. 10 1.1.3. Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ................................................ 12 1.1.3.1. Những tiềm năng trong môn Toán cần hình thành và phát triển TDST cho học sinh ..................................................................................................... 13 1.1.3.2. Một số biểu hiện TDST trong môn Toán cần tập trung phát triển cho học sinh ........................................................................................................... 14 1.1.3.3. Phương hướng dạy học phát triển TDST cho hoc̣ sinh thông qua môn Toán ................................................................................................................. 15 1.2. Cơ sở thực tiễn vấn đề phát triển TDST cho học sinh trong dạy học môn Toán tại trường THPT Nguyễn Khuyến, thành phố Hải Phòng ..................... 17 1.2.1. Khái quát về khảo sát thực trạng ........................................................... 17 iv 1.2.1.1. Mục đích khảo sát .............................................................................. 17 1.2.1.2. Đối tượng khảo sát ............................................................................. 18 1.2.1.3. Phương pháp khảo sát ........................................................................ 18 1.2.1.4. Mô tả nội dung khảo sát ..................................................................... 18 1.2.1.5. Mô tả việc đánh giá kết quả khảo sát ................................................. 18 1.2.2. Kết quả khảo sát thực trạng ................................................................... 19 1.2.2.1. Nội dung chủ đề bất đẳng thức trong chương trình Đại số & Giải tích 10 nâng cao ...................................................................................................... 19 1.2.2.2. Thực trạng biểu hiện TDST của học sinh trong quá trình học tập..... 20 1.2.2.3. Thực trạng vấn đề dạy học phát triển TDST cho học sinh của giáo viên .................................................................................................................. 25 1.2.3. Đánh giá chung về khảo sát thực trạng ................................................. 33 Kết luận chương 1 ........................................................................................... 35 Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC LỚP 10 BAN NÂNG CAO .............................................................. 37 2.1. Một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức ................................................................... 38 2.1.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh sử dụng linh hoạt các thao tác tư duy cơ bản ....................................................................................................... 38 2.1.2. Biện pháp 2: Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải cho một bài toán và lựa chọn được cách giải quyết tối ưu nhất ................................................. 44 2.1.3. Biện pháp 3: Quan tâm tới sai lầm của học sinh, tìm ra nguyên nhân và cách khắc phục ................................................................................................ 49 2.1.4. Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh khả năng khai thác kết quả của một bài toán để giải bài toán khác ................................................................... 52 2.1.5. Biện pháp 5: Rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển bài toán, xây dựng các bài toán mới từ bài toán đã cho ....................................................... 55 2.1.6. Biện pháp 6: Tăng cường cho học sinh giải các bài toán thực tiễn để từ đó hình thành động cơ sáng tạo cho học sinh ................................................. 58 2.2. Thiết kế một số giáo án dạy học chủ đề bất đẳng thức lớp 10 ban nâng cao theo hướng các biện pháp đã đề xuất ....................................................... 63 2.2.1. Giáo án 1 ............................................................................................... 63 2.2.2. Giáo án 2 ............................................................................................... 68 2.2.3. Giáo án 3 ............................................................................................... 74 Kết luận chương 2 ........................................................................................... 78 Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .................................................... 80 v 3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................. 80 3.2. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................ 80 3.4. Thời gian thực nghiệm ............................................................................. 81 3.5. Tổ chức tiến hành thực nghiệm ................................................................ 81 3.6. Kết quả thực nghiệm sư phạm ................................................................. 82 3.6.1. Các bình diện được đánh giá ................................................................. 82 3.6.1.1. Đánh giá về mặt định lượng ............................................................... 82 3.6.1.2. Đánh giá về mặt định tính .................................................................. 83 3.6.2. Mô tả sơ bộ về đề kiểm tra .................................................................... 84 3.6.3. Phân tích kết quả thực nghiệm .............................................................. 86 3.6.3.1. Đánh giá định lượng ........................................................................... 86 3.6.3.2. Đánh giá định tính .............................................................................. 91 3.7. Đánh giá chung về thực nghiệm sư phạm ................................................ 94 Kết luận chương 3 ........................................................................................... 97 KẾT LUÂṆ .................................................................................................... 99 Danh mục các công trình khoa học đã công bố của tác giả có liên quan tới luận văn ......................................................................................................... 102 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 103 PHỤ LỤC ..................................................................................................... 105 vi DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1: Một số biểu hiện TDST của học sinh trong giờ học qua phiếu thăm dò ý kiến giáo viên .......................................................................................... 20 Bảng 1.2: Một số biểu hiện TDST của học sinh trong giờ học qua phiếu thăm dò ý kiến học sinh ........................................................................................... 22 Bảng 1.3: Mức độ thực hiện các hoạt động trong giờ học của giáo viên nhằm phát triển TDST cho học sinh qua phiếu thăm dò ý kiến giáo viên ................ 25 Bảng 1.4: Mức độ thực hiện một số hoạt động của giáo viên trong quá trình dạy học TDST cho học sinh qua phiếu thăm dò ý kiến học sinh .................... 30 Bảng 3.1: So sánh kết quả kiểm tra trước thực nghiệm của học sinh lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ................................................................................. 86 Bảng 3.2: So sánh kết quả kiểm tra sau thực nghiệm của học sinh lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ................................................................................. 88 Bảng 3.3: So sánh kết quả trước và sau thực nghiệm của lớp đối chứng ....... 89 Bảng 3.4: So sánh kết quả trước và sau thực nghiệm của lớp thực nghiệm ... 90 vii DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 1.1: Một số biểu hiện TDST của học sinh trong giờ học qua phiếu thăm dò ý kiến giáo viên ................................................................................. 21 Biểu đồ 1.2: Một số biểu hiện TDST của học sinh trong giờ học qua phiếu thăm dò ý kiến học sinh .................................................................................. 23 Biểu đồ 1.3: Mức độ thực hiện các hoạt động trong giờ học của giáo viên nhằm phát triển TDST cho học sinh qua phiếu thăm dò ý kiến giáo viên ...... 29 Biểu đồ 1.4: Mức độ thực hiện một số hoạt động của giáo viên trong quá trình dạy học TDST cho học sinh qua phiếu thăm dò ý kiến học sinh .................... 31 Biểu đồ 3.1: So sánh kết quả kiểm tra trước thực nghiệm của học sinh lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ......................................................................... 87 Biểu đồ 3.2: So sánh kết quả kiểm tra sau thực nghiệm của học sinh lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ................................................................................. 88 Biểu đồ 3.3: So sánh kết quả trước và sau thực nghiệm của lớp đối chứng ... 89 Biểu đồ 3.4: So sánh kết quả trước và sau thực nghiệm của lớp thực nghiệm90 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Theo Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI (29-NQ/TW) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo với quan điểm chỉ đạo: “Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước và của toàn dân; Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước trong các chương trình, kế hoạch phát triển kinh tế - xã hội; Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học; Học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” [1]. Để đáp ứng quá trình đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đặc biệt là đối với giáo dục phổ thông cần đổi mới theo định hướng phát triển năng lực và hình thành phẩm chất người học là phải khuyến khích học sinh tự học, sáng tạo, vận dụng kiến thức vào thực tiễn đồng thời phải áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại vào dạy học. Với hoc̣ sinh phổ thông, tư duy sáng tạo (TDST) thể hiêṇ qua viêc̣ vâṇ duṇg kiến thức tư ̣cấu trúc laị cái đa ̃biết, tìm tòi, phát hiện điều chưa biết. Với mỗi môn hoc̣ TDST có đăc̣ trưng riêng, khi hoc̣ môn Toán viêc̣ tìm tòi các lời giải khác nhau hoăc̣ sáng taọ ra bài toán mới là cách thể hiêṇ của TDST. Bất đẳng thức (BĐT) là chủ đề xuất hiện từ rất sớm trong chương trình toán phổ thông, ngay từ lúc còn học ở tiểu học thì học sinh đã làm quen với BĐT với việc so sánh các số tự nhiên, các phân số... đồng thời BĐT xuất hiện trong tất cả các phân môn của toán học như đại số, hình học, số học, đặc biệt khái niệm về giới hạn trong phân môn giải tích được xây dựng dựa vào các đánh giá BĐT. Do đó, dạy học chủ đề BĐT là cơ hội tốt để phát triển TDST cho học sinh phổ thông. Đã có nhiều công trình nghiên cứu [6], [9], [11], [12], [15], [17], [22], [24], [28], [29] trong nước và ngoài nước đề cập tới về vấn đề lý luận và thực 2 tiễn của việc phát triển TDST cho học sinh. Đồng thời tác giả cũng rất quan tâm tới lĩnh vực này và có những hướng nghiên cứu, tiếp cận mới với đề tài. Vì vậy, tác giả chọn đề tài nghiên cứu của mình là: “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức lớp 10 ban nâng cao”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần phát triển TDST cho học sinh thông qua dạy học chủ đề BĐT lớp 10 ban nâng cao. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số vấn đề lý luận về tư duy, TDST và phát triển TDST cho học sinh. Tìm hiểu thực trạng vấn đề dạy học phát triển TDST qua môn toán tại trường THPT Nguyễn Khuyến, thành phố Hải Phòng. Đề xuất một số biện pháp phát triển TDST cho học sinh thông qua dạy học chủ đề BĐT lớp 10 ban nâng cao. Thực nghiệm sư phạm để làm rõ tính tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất trong luận văn. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Học sinh lớp 10 và giáo viên giảng dạy môn Toán tại trường THPT Nguyễn Khuyến, thành phố Hải Phòng. Quá trình phát triển TDST cho học sinh thông qua dạy học chủ đề BĐT trong chương trình Đại số & Giải tích lớp 10 ban nâng cao. Thời gian: học kì 1 năm học 2016 - 2017. 5. Giả thuyết khoa học Nếu dạy học chủ đề bất đẳng thức lớp 10 ban nâng cao theo hướng xây dựng các biện pháp đã đề xuất trong đề tài thì sẽ góp phần phát triển TDST cho học sinh. 3 6. Phương pháp nghiên cứu 6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận Phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa, khái quát hóa trong quá trình nghiên cứu các tài liệu (sách, tài liệu, các công trình nghiên cứu: luận án, luận văn, bài báo khoa học) để xác định những vấn đề lý luận cho luận văn. 6.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn + Điều tra giáo dục: điều tra, khảo sát nhằm thu thập thông tin từ giáo viên và học sinh bằng cách sử dụng phiếu hỏi về thực trạng vấn đề dạy học phát triển TDST qua môn Toán tại trường THPT Nguyễn Khuyến, thành phố Hải Phòng. + Quan sát sư phạm: quan sát các hoạt động của giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học. + Thực nghiệm sư phạm: tiến hành thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi, tính hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất trong luận văn. 6.3. Phương pháp thống kê toán học Sử dụng các phần mềm thống kê toán học trong đó chủ yếu là phần mềm SPSS để xử lý số liệu điều tra khảo sát và thực nghiệm sư phạm. 7. Đóng góp mới của luận văn Tác giả đã làm sáng tỏ những biểu hiện TDST cốt lõi trong môn Toán cần tập trung phát triển cho học sinh. Đồng thời tác giả cũng đã xác định được phương hướng chung để phát triển TDST cho học sinh thông qua môn Toán. Từ đó, tác giả đã phân tích, đánh giá được thực trạng vấn đề phát triển TDST cho học sinh trong hoạt động dạy học của giáo viên và học sinh nhà trường THPT Nguyễn Khuyến, thành phố Hải Phòng. Tác giả đã nghiên cứu và đề xuất được 6 biện pháp phát triển TDST cho học sinh thông qua dạy học chủ đề BĐT lớp 10 ban nâng cao. Đồng thời thiết kế được 3 giáo án dạy học chủ đề bất đẳng thức sử dụng các biện pháp đã đề xuất có tác dụng phát triển TDST cho học sinh. 4 8. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được chia thành 3 chương: Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn vấn đề phát triển TDST cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường THPT. Chương 2: Một số biện pháp phát triển TDST cho học sinh thông qua dạy học chủ đề BĐT lớp 10 ban nâng cao. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. 5 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VẤN ĐỀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THPT 1.1. Cơ sở lý luận 1.1.1. Tư duy 1.1.1.1. Khái niệm về tư duy Theo từ điển tiếng Việt: “Tư duy là giai đoạn cao nhất của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, phán đoán và suy lý” [18]. Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận” [23]. Theo tâm lý học, tư duy là thuộc tính đặc biệt của vật chất có tổ chức cao (bộ não người). Tư duy phản ánh thế giới vật chất dưới dạng các hình ảnh lý tưởng: “Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng mà trước đó ta chưa biết” [4]. Tóm lại, có thể hiểu tư duy là một hiện tượng tâm lý, là hoạt động nhận thức bậc cao ở con người. Cơ sở sinh lý của tư duy là sự hoạt động của vỏ đại não. Hoạt động tư duy đồng nghĩa với hoạt động trí tuệ. Mục tiêu của tư duy là tìm ra các triết lý, lý luận, phương pháp luận, phương pháp, giải pháp trong các tình huống hoạt động của con người. 1.1.1.2. Đặc điểm của tư duy Qua việc nghiên cứu các tài liệu về tư duy [4], [7], [11], [16], [21], có thể hiểu tư duy gồm những đặc điểm sau: + Tính có vấn đề của tư duy: Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề. Đó là những tình huống mà ở đó nẩy sinh những mục đích mới và những phương tiện, phương pháp hoạt động cũ đã có trước đây trở nên không 6 đủ để đạt được mục đích đó. Nhưng muốn kích thích được tư duy thì hoàn cảnh có vấn đề phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ tư duy của cá nhân, nghĩa là cá nhân phải xác định được cái gì đã biết, cái gì chưa biết, cần phải tìm và có nhu cầu tìm kiếm. + Tính gián tiếp của tư duy: Tư duy phản ánh sự vật hiện tượng một các gián tiếp bằng ngôn ngữ, tư duy được biểu hiện trong ngôn ngữ. Các quy luật, quy tắc, các sự kiện các mối liên hệ và sự phụ thuộc được khái quát và diễn đạt trong các từ. Mặt khác những phát minh, những kết quả tư duy của người khác, cũng như kinh nghiệm cá nhân của con người đều là những công cụ để con người tìm hiểu thế giới xung quanh để giải quyết những vấn đề mới đối với họ. Ngoài ra những công cụ do con người tạo ra cũng giúp chúng ta hiểu biết được những hiện tượng có trong hiện thực mà không thể tri giác chúng một cách trực tiếp được. + Tính trừu tượng và khái quát của tư duy: Tư duy có khả năng tách trừu tượng khỏi sự vật hiện tượng, những thuộc tính, những dấu hiệu cụ thể cá biệt, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất nhất, chung cho nhiều sự vật hiện tượng rồi trên cơ sở đó mà khái quát các sự vật và hiện tượng riêng lẻ khác nhau, nhưng có những thuộc tính bản chất thành một nhóm, một loại phạm trù, nói cách khác tư duy mang tính chất trừu tượng hoá và khái quát hoá. Nhờ đặc điểm này mà con người có thể nhìn vào tương lai. + Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ: Tư duy của con người gắn liền vơí ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương tiện. Tư duy của con người không thể tồn tại bên ngoài ngôn ngữ được, ngược lại ngôn ngữ cũng không thể có được nếu không dựa vào tư duy. Tư duy và ngôn ngữ thống nhất với nhau nhưng không đồng nhất và tách rời nhau được. + Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: Mối quan hệ này là quan hệ hai chiều như tư duy được tiến hành trên cơ sở những tài liệu nhận thức cảm tính đem lại, kết quả tư duy được kiểm tra bằng thực tiễn dưới hình 7 thức trực quan, ngược lại tư duy và kết quả của nó có ảnh hưởng đến quá trình nhận thức cảm tính. 1.1.1.3. Các giai đoạn tư duy Dẫn theo tài liệu [29], K.K.Platonôv đã sơ đồ hóa các giai đoạn của một hành động (quá trình) tư duy qua sơ đồ sau: Sơ đồ 1.1. Các giai đoạn tư duy Theo đó, mỗi hành động tư duy diễn ra qua các giai đoạn bao gồm: + Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy, hay nói cách khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp; + Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi; + Xác minh giả thuyết trong thực tiễn, nếu giả thuyết đúng thì thực hiện tiếp bước sau, nếu giả thuyết sai thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới; + Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng. Như vậy, có thể nói quá trình tư duy diễn ra theo các giai đoạn cho dù vấn đề tư duy nảy sinh từ đâu trong lý luận hay trong hoạt động thực tiễn thì cũng đều diễn ra theo quy trình kể trên. 8 1.1.1.4. Các thao tác tư duy Dựa trên việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan [4], [6], [11], [12], [16], [22], [28], [30], các tác giả đều có điểm chung cho rằng các giai đoạn của tư duy mới chỉ phản ánh được cấu trúc bên ngoài của tư duy, còn nội dung bên trong của mỗi giai đoạn trong hành động tư duy lại là một quá trình diễn ra trên cơ sở những thao tác tư duy. Có thể nói các thao tác trí tuệ chính là các quy luật bên trong của tư duy và tư duy diễn ra thông qua các thao tác sau: + Phân tích: là quá trình dùng trí óc để phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các thành phần khác nhau từ đó vạch ra được những thuộc tính, những đặc điểm của đối tượng nhận thức hay xác định các bộ phận của một tổng thể bằng cách so sánh, phân loại, đối chiếu, làm cho tổng thể được hiển minh. + Tổng hợp: là quá trình dùng trí óc để hợp nhất, sắp xếp hay kết hợp những bộ phận, những thành phần, những thuộc tính của đối tượng nhận thức đã được tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể để từ đó nhận thức đối tượng một cách bao quát, toàn diện hơn. + So sánh: là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức. + Trừu tượng hoá: là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ những mặt, những thuộc tính không cần thiết về phương diện nào đó và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để tư duy. + Đặc biệt hóa: là quá trình dùng trí óc chuyển từ cả một lớp đối tượng sang một đối tượng của lớp đó. + Khái quát hoá: là quá trình dùng trí óc để bao quát nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính chung nhất định. 9 Tóm lại, các thao tác tư duy cơ bản được xem như quy luật bên trong của mỗi hành động tư duy. Trong thực tế tư duy, các thao tác đan chéo vào nhau mà không theo trình tự máy móc. Tuy nhiên, tùy theo từng nhiệm vụ tư duy, điều kiện tư duy, không phải mọi hành động tư duy cũng nhất thiết phải thực hiện tất cả các thao tác trên. 1.1.2. Tư duy sáng tạo 1.1.2.1. Khái niệm về sáng tạo Theo từ điển tiếng Việt: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết cái mới, không bị gò bó, phụ thuộc vào những cái đã có” [30]. Theo từ điển triết học: “Sáng tạo là quá trình hoạt động của con người tạo ra những giá trị vật chất, tinh thần mới về chất” [23]. Như vậy, có thể hiểu theo một cách thông thường: Sáng tạo, căn cứ vào những ý tưởng đã có sẵn làm tài liệu rồi cắt xén, chọn lọc, tổng hợp lại để thành một hình tượng mới. 1.1.2.2. Khái niệm tư duy sáng tạo Trong cuốn tài liệu [17], tác giả G.Polya quan niệm: “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó; có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này; các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao”. Theo tài liệu [12], tác giả quan niệm: “Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới”. Trong tài liệu [27], tác giả cho rằng: “Tư duy sáng tạo là là một daṇg tư duy độc lập taọ ra ý tưởng mới độc đáo có hiêụ quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới thể hiêṇ ở chỗ phát hiêṇ vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới taọ ra kết 10 quả mới. Tính độc đáo của ý tưởng thể hiêṇ ở giải pháp la,̣ hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất”. Từ các khái niệm về TDST, tác giả nhận thấy mặc dù sáng tạo được giải thích ở các góc độ khác nhau nhưng các tác giả đều thống nhất cho rằng TDST là một thuộc tính, một phẩm chất trí tuệ đặc biệt của con người; hoạt động sáng tạo diễn ra ở mọi nơi, mọi lúc, mọi lĩnh vực; bản chất của sáng tạo là con người tìm ra cái mới, cái độc đáo và có giá trị xã hội. Đây là một điểm chung mà các tác giả đều nhấn mạnh nhưng được nhìn dưới nhiều góc độ khác nhau, có tác giả quan tâm đến cái mới của sản phẩm hoạt động, có tác giả lại quan tâm đến cách thức, đến quá trình tạo ra cái mới đó. Song cái mới cũng có nhiều mức độ, có cái mới đối với toàn xã hội, có cái mới chỉ đối với bản thân người tạo ra nó. Điểm chung nữa ở các tác giả là đều nhấn mạnh đến ý nghĩa xã hội của sản phẩm sáng tạo. Trong luận văn này, tác giả quan niệm: TDST là tư duy có khuynh hướng phát hiện và giải thích bản chất sự vật theo lối mới, hoặc tạo ra ý tưởng mới, cách giải quyết mới không theo tiền lệ đã có. 1.1.2.3. Một số thành tố đặc trưng của tư duy sáng tạo Trong các công trình nghiên cứu về TDST [9], [13], [14], [17] đã có nhiều quan niệm về các đặc trưng của TDST. Các quan niệm đều tập trung cho rằng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề, tính phê phán, tính độc lập, tính trau chuốt, khả năng giải quyết vấn đề theo cách mới là những đặc trưng của TDST. Trong đề tài này, tác giả thống nhất với quan điểm của các nhà nghiên cứu tâm lý học giáo dục trong cuốn tài liệu [13], cho rằng TDST được đặc trưng bởi các yếu tố chính như tính mềm dẻo (flexibility), tính nhuần nhuyễn (fluency), tính độc đáo (originality), tính trau chuốt (elaboration) và tính nhạy cảm (sensibility). a. Tính mềm dẻo (Flexibility) 11 Tính mềm dẻo là khả năng chủ thể biến đổi thông tin, kiến thức đã tiếp thu được một cách dễ dàng, nhanh chóng từ góc độ, quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, chuyển đổi sơ đồ tư duy có sẵn trong đầu sang một hệ tư duy khác, chuyển đổi từ phương pháp cũ sang hệ thống phương pháp mới, chuyển đổi từ hành động trở thành thói quen sang một hành động mới, gạt bỏ sự cúng nhắc mà con người đã có để thay đổi sự nhận thức dưới một góc độ mới, thay đổi cả những thái độ đã cố hữu trong hoạt động tinh thần, trí tuệ. Tính mềm dẻo của tư duy có những đặc điểm sau: + Biết phối hợp, kết hợp tổng quát các thao tác tư duy, các phương pháp suy luận. + Dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác; + Điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại; + Suy nghĩ không rập khuôn, kh... 25% 210/336 62,5% 23/336 6,85% 31 Biểu đồ 1.4: Mức độ thực hiện một số hoạt động của giáo viên trong quá trình dạy học TDST cho học sinh qua phiếu thăm dò ý kiến học sinh Nhìn chung đa số học sinh được khảo sát đều cho rằng các hoạt động của giáo viên mà tác giả nêu trên đều không nhiều. Duy chỉ có hoạt động (2) là được đa số học sinh cho là nhiều. Còn tất cả các hoạt động còn lại chỉ diễn ra ở mức độ không nhiều. Điều này nói lên rằng việc phát triển TDST cho học sinh chưa được thực hiện thường xuyên và chưa hiệu quả. Bản thân giáo viên cũng tỏ ra lúng túng trong việc tổ chức các hoạt động để phát triển TDST cho học sinh có khi cũng còn bỏ qua các hoạt động đó. b) Qua dự giờ Để đánh giá giáo viên trong giờ dạy có phát huy được TDST cho học sinh hay không, tác giả căn cứ vào Mục 1.1.3.3 qua quan sát những hoạt động của giáo viên, tác giả nhận thấy cách hướng dẫn, tổ chức cho học sinh tiến hành các hoạt động học tập của giáo viên còn rất đơn điệu, chưa phát huy được TDST cho học sinh. Mọi học sinh trong lớp chưa được cùng tham gia vào các hoạt động học tập (mọi học sinh chưa được tư duy và rèn các yếu tố của TDST). Cụ thể: 32 + Điểm rõ nhất là trong tiết dạy, chỉ có một vài câu hỏi được sử dụng như trong SGK, một vài học sinh khá giỏi tham gia, còn đa số học sinh trong lớp dường như đứng ngoài cuộc. + Học sinh không được tạo điều kiện để khai thác sâu các nội dung bài học. Trong suốt giờ học, giáo viên không đưa ra các câu hỏi giúp học sinh hồi tưởng lại quá trình suy nghĩ, quá trình tìm kiếm lời giải như: Em tìm ra câu trả lời như thế nào? Em đã dùng cách nào để tìm ra kết quả? Tại sao em làm như vậy? Bằng cách nào em biết điều đó? Trong các việc đó, theo em việc gì khó? Còn cái gì liên quan đến bài học mà em chưa biết rõ? Em đã tìm ra được điều gì? Trước đây em có biết gì về điều đó không? Em có thể làm gì tiếp khi đã biết, đã hiểu về điều đó?... giúp học sinh hồi tưởng lại quá trình tư duy của chúng (rèn tính nhuần nhuyễn). + Học sinh không được tạo điều kiện để nhận thức được rằng cùng một nội dung có thể diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau và ngược lại. Điều này làm cho học sinh không có điều kiện để thể hiện tính mềm dẻo, độc đáo, nhuần nhuyễn của TDST. + Ngoài ra, như một thói quen giáo viên đã không để thời gian đủ cho học sinh có thể đánh giá tất cả những cách làm của mình, của bạn để từ đó chọn cách làm đúng và hay, thấy rõ được giá trị của những cái hay, nhờ đó mà học sinh thấy được cái sai của mình. + Tất cả những gì học sinh thể hiện trong tiết học cho thấy học sinh chưa chủ động tham gia các hoạt động học tập, chưa mềm dẻo, linh hoạt trong giải quyết các vấn đề học tập. Đây là hệ quả của cách dạy mà giáo viên thực hiện trong giờ học. Như vậy, về cơ bản thầy đã hoàn thành được mục tiêu về kiến thức, kĩ năng của tiết dạy nhưng cách dạy thầy thực hiện trong tiết học này đã không khuyến khích được TDST của học sinh. Nhiều học sinh trong suốt giờ học không phải làm gì ngoài việc chép lại bài làm của học sinh khác, một số học 33 sinh thì nhìn lên bảng nhưng không tham gia hoạt động, không phải suy nghĩ và cũng không được thầy đưa vào các tình huống học tập để phát huy TDST của mình. c) Qua nghiên cứu giáo án, kế hoạch dạy học của giáo viên Qua nghiên cứu tìm hiểu giáo án lên lớp của giáo viên, tác giả thấy rằng cũng chưa có một hướng dẫn về dạy học phát triển TDST cho học sinh trong chương trình, kế hoạch, giáo án giảng dạy của giáo viên. Điều đó chứng tỏ việc phát triển TDST cho học sinh vẫn chưa trở thành một yêu cầu bắt buộc trong việc dạy học của giáo viên. Trong giáo án của giáo viên chủ yếu là các hoạt động để giải quyết các nội dung kiến thức trong bài học, không có phần thiết kế cho các hoạt động TDST hay lồng ghép các hoạt động TDST vào trong kế hoạch giảng dạy ở mỗi bài học cụ thể. Thực tế cho thấy giáo án lên lớp của giáo viên chủ yếu sử dụng mẫu thiết kế bài giảng trong các sách tham khảo. Trong các cuốn thiết kế bài giảng, cũng hoàn toàn không có các hướng dẫn cho việc phát triển TDST của học sinh. Như vậy có thể khẳng định giáo án, kế hoạch dạy học của giáo viên hiện nay mới chỉ thể hiện việc giải quyết kiến thức, mà chưa hướng đến phát triển TDST cho học sinh. 1.2.3. Đánh giá chung về khảo sát thực trạng Trên đây là kết quả khảo sát thực trạng một số mặt liên quan đến đề tài nghiên cứu. Qua phân tích kết quả điều tra thực trạng, tác giả cho rằng nhìn chung việc phát triển TDST cho học sinh hiện nay ở trường THPT chưa được quan tâm đúng mức: Thứ nhất, đó là còn một số giáo viên còn chưa phát hiện được những biểu hiện TDST của học sinh trong quá trình học tập để mà tiếp tục rèn luyện nâng cao chất lượng dạy học. Về phía học sinh thì còn bộ phận học sinh chưa tích cực phát huy TDST trong quá trình học tập cũng như trong cách thức giải quyết các vấn đề. 34 Thứ hai, đó là một số giáo viên chưa chú ý đến phát triển TDST cho học sinh, đặc biệt các thành tố cơ bản của TDST. Có thể chỉ ra như là khi dự giờ một số tiết dạy của các giáo viên, tác giả không hề thấy giáo viên đề cập gì đến vấn đề phát triển TDST cho học sinh. Trong cả tiết học, có những nội dung có thể khai thác bài tập để phát triển các yếu tố cơ bản nhất của TDST cho học sinh nhưng đều bị giáo viên bỏ qua. Hơn nữa, giáo viên cũng chưa tạo điều kiện, khuyến khích hay tổ chức để học sinh vận dụng linh hoạt các thao tác tư duy và các phương pháp suy luận vào giải quyết các vấn đề học tập, chưa tạo lập cho học sinh thói quen suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những tri thức, kinh nghiệm, kĩ năng đã có vào trong những điều kiện, hoàn cảnh mới trong đó có những yếu tố đã thay đổi; chưa rèn cho học sinh khả năng tìm nhiều cách giải quyết cho một vấn đề và luôn tìm ra cách ngắn gọn nhất, tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và nhiều tình huống khác nhau, từ đó sàng lọc các giải pháp để chọn được giải pháp tối ưu, hoặc phát hiện ra hoặc giải thích được vấn đề mới dựa trên kiến thức của bài học, tìm ra cách giải quyết vấn đề hay và độc đáo. Ngoài ra, như một thói quen, đa số giáo viên đã không để thời gian đủ cho học sinh có thể đánh giá tất cả những cách làm của mình, của bạn để từ đó chọn cách làm đúng và hay, thấy rõ được giá trị của những cái hay, nhờ đó mà học sinh thấy được cái sai của mình. Tóm lại, mặc dù việc phát triển TDST cho học sinh thông qua dạy học là rất cần thiết. Tuy nhiên, hầu như giáo viên chưa quan tâm đúng mức đến dạy học phát triển TDST cho học sinh cũng như chưa có biện pháp phát triển TDST cho học sinh một cách hiệu quả. Theo tác giả thực tế này có thể là do những nguyên nhân sau: Một là, nhà trường hiện nay vẫn còn ảnh hưởng nhiều bởi xu hướng dạy học truyền thống với những học sinh học theo sự chỉ đạo chặt chẽ của giáo viên, không có thái độ phê phán và tinh thần sáng tạo vượt ra khỏi giới hạn thông thường. Việc học vẫn mang tính áp đặt và hầu như đã thành thói quen. 35 Học sinh vẫn học theo kiểu áp đặt của những lời giải kinh điển có sẵn, hoặc những khuôn mẫu giáo điều. Các em chỉ mới tiếp nhận được quan điểm đơn phương từ phía giáo viên mà chưa có được điều kiện để chia sẻ quan điểm của mình, không có điều kiện để phê phán các nguồn thông tin, để tự do trình bày những ý tưởng, cách làm mới mẻ. Hai là, giáo viên chưa có ý thức và chưa biết khai thác các nội dung dạy học có thể phát triển TDST. Đồng thời giáo viên chưa có biện pháp cụ thể để rèn luyện và phát triển TDST cho học sinh trong quá trình dạy học của mình. Ba là, việc phát triển TDST mới chỉ mang tính khuyến khích và hướng đến trong mục tiêu giáo dục. Ngoài ra, việc tuân theo một khung chương trình cố định, không có phần tự thiết kế, tự xây dựng các nội dung dạy học,... tại chính các nhà trường đã phần nào hạn chế khả năng phát triển tư duy ở mức độ cao (TDST) cho học sinh trong dạy học. Như vậy, kết quả nghiên cứu thực trạng cho thấy vấn đề phát triển TDST cho học sinh của giáo viên hiện nay còn hết sức chung chung, đơn điệu. Từ đó có thể thấy thực trạng việc phát triển TDST, cụ thể là phát triển các yếu tố cơ bản của TDST cho học sinh trong dạy học hiện nay chưa được quan tâm đúng mức. Thực tế này có nhiều nguyên nhân, lý do khác nhau mà tác giả đã phân tích ở trên. Kết luận chương 1 Thứ nhất, tác giả đã khái quát các vấn đề nghiên cứu có liên quan đến đề tài ở cả trong và ngoài nước. Từ đó đánh giá những kết quả cũng như những vấn đề còn tồn tại trong nghiên cứu lĩnh vực sáng tạo nói chung, TDST trong dạy học nói riêng và tác giả cũng lý giải sự cần thiết của đề tài. Trong phần này, tác giả cho rằng qua các công trình nghiên cứu, thực nghiệm, nhiều nhà tâm lý, giáo dục học đã đi đến kết luận có thể phát triển TDST ở mỗi học sinh và mỗi môn học đều có khả năng nhất định trong việc phát triển TDST của học sinh nếu có sự tác động phù hợp của các nhà sư phạm. Đồng thời khẳng 36 định có thể phát triển TDST ở mỗi học sinh thông qua việc dạy học có hướng dẫn trực tiếp trong các giờ học hoặc trong các hoạt động trong và ngoài giờ, bằng sự hỗ trợ của các chương trình đặc biệt,... Như vậy, có thể phát triển TDST ở cá nhân theo những phương pháp, biện pháp sư phạm nhất định. Thứ hai, tác giả đã tập trung nghiên cứu lý luận các vấn đề về tư duy, TDST và phát triển TDST cho học sinh. Đây cũng là cơ sở khoa học cho việc khảo sát thực trạng dạy học phát triển TDST cho học sinh. Việc khảo sát thực trạng về dạy học phát triển TDST cho học sinh được tiến hành bằng phương pháp điều tra giáo dục qua phiếu thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh. Thông qua khảo sát, tác giả cho rằng, nhìn chung việc phát triển TDST cho học sinh hiện nay ở trường chưa được quan tâm đúng mức. Chẳng hạn như: giáo viên chưa kích thích nhu cầu, động cơ sáng tạo cho học sinh trong quá trình dạy học, chưa khơi gợi sự say mê, tích cực trong học tập; biểu hiện tư duy sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập của các em còn rất hạn chế, đây là hệ quả của thực trạng cách dạy của giáo viên đã được phân tích trên; giáo viên chưa chú ý đến phát triển TDST, đặc biệt là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo là những yếu tố cơ bản nhất của TDST cho học sinh thể hiện ở chỗ, trong dạy học giáo viên chỉ chú ý nhiều đến việc truyền đạt hết nội dung dạy học, mà không chú ý đến rèn luyện, kích thích việc giải quyết các nhiệm vụ học tập một cách mềm dẻo, độc đáo. Hơn nữa, giáo viên chưa chú ý đào sâu trong cách suy nghĩ, cách giải quyết vấn đề, cách thức tìm kiếm lời giải, đáp án, giải pháp cho những vấn đề học tập, chưa rèn luyện cho học sinh cách suy nghĩ mềm dẻo, chiếm lĩnh nội dung học tập một cách nhuần nhuyễn, tạo ra sản phẩm học tập một cách độc đáo mới mẻ. Cả chương 1 (cơ sở lý luận và thực tiễn) sẽ là định hướng để tác giả tiến hành nghiên cứu và đề xuất các biện pháp cụ thể nhằm phát triển TDST cho học sinh trong dạy môn Toán ở bậc trung học phổ thông, sẽ được trình bày trong chương 2 của luận văn. 37 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC LỚP 10 BAN NÂNG CAO Căn cứ vào cơ sở lý luận và thực tiễn được làm rõ trong chương 1 của luận văn, cụ thể: dựa vào Mục 1.1.3.3 phương hướng dạy học phát triển TDST cho học sinh thông qua môn Toán và Mục 1.2.3 đánh giá chung về khảo sát thực trạng, có thể xây dựng được nhiều biện pháp phát triển TDST cho học sinh. Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian thực hiện cũng như giới hạn phạm vi nghiên cứu của đề tài, tác giả mới chỉ xây dựng đề xuất biện pháp chủ yếu tập trung vào việc phát triển một số thao tác tư duy cơ bản và phát triển một số thành tố đặc trưng của TDST. Căn cứ vào việc tham khảo ý kiến của các chuyên gia đồng thời bằng thực tế kinh nghiệm dạy học của bản thân, tác giả cho rằng: muốn phát triển TDST cho học sinh thì trước hết người giáo viên phải phát triển các thao tác tư duy cơ bản cho học sinh. Sau đó, giáo viên tiếp tục tác động trực tiếp vào những yếu tố cụ thể của TDST cho học sinh bằng các biện pháp chuyên biệt. Nói cụ thể hơn, tác giả đề xuất 6 biện pháp phát triển TDST cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức là: Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh sử dụng linh hoạt các thao tác tư duy cơ bản. Biện pháp 2: Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải cho một bài toán và lựa chọn được cách giải tối ưu nhất. Biện pháp 3: Quan tâm tới sai lầm của học sinh, tìm ra nguyên nhân và cách khắc phục. Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh khai thác kết quả của một bài toán để giải một bài toán khác. 38 Biện pháp 5: Rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển bài toán, xây dựng bài toán mới từ bài toán đã cho. Biện pháp 6: Tăng cường cho học sinh giải các bài toán thực tiễn để từ đó gợi động cơ sáng tạo cho học sinh. Trong các biện pháp được xây dựng, tác giả tập trung vào phân tích các vấn đề chung, khái quát khi dạy học phát triển TDST, không đi vào toàn tiết dạy cụ thể. Các ví dụ minh họa chỉ là các trích đoạn một số bài tập mà giáo viên sẽ dạy tương tự trong một giờ dạy cụ thể. Các biện pháp này sẽ được thiết kế vào trong kế hoạch dạy học và định hướng phương pháp cho từng tiết dạy trên lớp thông qua các giáo án sử dụng các biện pháp nêu ở trên. Sau đây là nội dung chi tiết của từng biện pháp: 2.1. Một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức 2.1.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh sử dụng linh hoạt các thao tác tư duy cơ bản Các thao tác tư duy cơ bản có thể kể đến như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa, so sánh rèn luyện các thao tác tư duy là yếu tố không thể thiếu trong phát triển mọi loại hình tư duy vì nó là thành tố bên trong của mọi quá trình tư duy. Ở đây, việc rèn luyện các thao tác tư duy được xem là sự phát triển về “lượng” khi muốn phát triển TDST cho học sinh. Sau đây tác giả đưa ra một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1. (A-2007) Cho , , 0x y z  thoả mãn 1xyz  . CMR      2 2 2 2. 2 2 2 x y z y z x z x y y y z z z z x x x x y y          Đây là một bài toán khá hay, học sinh sẽ dễ dàng trả lời các câu hỏi như bài toán cho biết gì? hỏi gì? Các từ ngữ cũng như câu được dùng trong bài đều tường minh và dễ hiểu... Tuy vậy, để giải được bài toán giáo viên và học sinh cần tiến hành các phân tích như: 39 + Giáo viên: Ta có thể dự đoán dấu “=” xảy ra khi nào? + Học sinh: Dấu “=” xảy ra khi khi 1x y z   . + Giáo viên: Quan sát mẫu số chứa tổng các đại lượng , ,x x y y z z gần như là không biến đổi được, hoặc nếu có biến đổi sẽ làm phức tạp thêm biểu thức ở mẫu số. Tiếp tục phân tích tử số nếu sử dụng bất đẳng thức AM- GM ta được điều gì? + Học sinh: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 2 2 2 2 ; 2 ; 2y z yz z x zx x y xy x y z          Dẫn đến      2 2 22 ; 2 ; 2x y z x x y z x y y z x y z z      , rõ ràng tử số chứa đại lượng ở mẫu số. Từ đó, tổng hợp lại cách phân tích ở trên ta có thể trình bày lời giải chi tiết của bài toán như sau: Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 22 2 2 2 2 y yx x z z P y y z z z z x x x x y y       Đặt , , 1x x a y y b z z c abc     Khi đó biểu thức 2 2 2 2 2 2 a b c P b c c a a b       Áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có     22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b ca b c a b c b c c a a b ab ac bc ab ac bc ab bc ca                    Đẳng thức xảy ra khi 1.x y z   Ví dụ 2. Cho , , 0a b c  & 1ab bc ca   . CMR 2 2 23 3 2.a b c   40 Cũng là vận dụng thao tác phân tích - tổng hợp để tìm lời giải cho bài toán nhưng ở bài này đã đòi hỏi mức độ mềm dẻo, linh hoạt nhất định của thao tác phân tích - tổng hợp. Cụ thể là: + Giáo viên: Điều kiện ràng buộc ở giả thiết đối xứng với , ,a b c nhưng bất đẳng thức chỉ đối xứng với ,a b còn vai trò của c với ,a b là như nhau khi đó dự đoán dấu “=” xảy ra khi nào? + Học sinh: Dự đoán dấu bằng xảy ra khi 2 2 2 2 c a b    với 0  nào đó. + Giáo viên: Khi đó việc tìm số  dựa trên đánh giá nào? + Học sinh: Tiếp cận như sau:   2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 . 2 2 2 . 2 2 AM GM AM GM AM GM c a ac c b bc a b ab                      Suy ra    2 2 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca                + Giáo viên: Để sử dụng được điều kiện đề bài ta cần chọn số 0  thỏa điều kiện gì? + Học sinh: Ta chọn 0  sao cho 3 2     chẳng hạn có 2  . Đẳng thức xảy ra xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2 1 2 ab bc ca c a b           1 2 2 5 1 2 5 a b c a b ab bc ca c               41 Tổng hợp lại các cách phân tích ở trên ta có thể trình bày lời giải như sau: Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 c a ac a b ab a b c ab bc ca c b bc                   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 5 . 2 5 a b c        Nhận xét. Trong hai ví dụ trên hoạt động phân tích - tổng hợp thường xuyên được vận dụng vào việc định hướng để tìm lời giải, được sử dụng để tìm hiểu đề bài, để nhận diện bài toán thuộc loại nào, phân tích cách diễn đạt các mối quan hệ của bài toán. Đặc biệt, với cách phân tích trong ví dụ 2, việc đưa vào tham số 0  là một ý tưởng rất hay, độc đáo giúp cho lời giải thêm ấn tượng đối với học sinh, qua đó cũng rèn được cho học sinh tính độc đáo của TDST. Ví dụ 3. Cho , , 0 & , *,a b c m n m n   . CMR . m m m m n m n m n n n n a b c a b c b c a        Để giải được bài toán này, giáo viên có thể cho học sinh xét các trường hợp đặc biệt của bài toán như sau: + Giáo viên: Ta xét trường hợp 2, 1m n  , ta chứng minh BĐT? + Học sinh: Ta chứng minh BĐT 2 2 2a b c a b c b c a      Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 2 2 2 2 2 2 a b c b c a a b c b c a                          42 Do đó, ta có BĐT 2 2 2a b c a b c b c a      . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c  . + Giáo viên: Xét trường hợp đặc biệt với 3, 1m n  , ta chứng minh BĐT? + Học sinh: Ta chứng minh BĐT 3 3 3 2 2 2a b c a b c b c a      Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 23 3 3 a a b b c c b c a a b c b b c c a a                             Do đó, ta có BĐT 3 3 3 2 2 2a b c a b c b c a      . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c  . Từ hai trường hợp đặc biệt của bài toán và cách chứng minh của hai bài toán trên, học sinh có thể trình bày lời giải cho trường hợp tổng quát bài toán như sau: Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có   ... ... . . m n m m m m n nm n m n m n m n n n n m n a a a b b m b ma b b b                         Suy ra   m m n m n n a m n nb ma b     ; Chứng minh tương tự, ta cũng có:     ; m m n m n n m m n m n n b m n nc mb c c m n na mc a           Cộng các vế BĐT trên, suy ra bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  . 43 Nhận xét. Với việc tìm ra lời giải ngay trong ví dụ 3, có thể sẽ gây khó khăn cho học sinh. Lúc này giáo viên nên hướng học sinh tư duy bằng việc giải các bài toán trong trường hợp đặc biệt, rồi từ đó tìm cách chứng minh bài toán tổng quát. Ví dụ 4. Cho 1 2 1 2 , , ,a a b b là các số thực dương. CMR  2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2a b a b a b a b            . Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có 2 2 , 0 2 x y x y x y      Từ đó, suy ra  2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 a b a b a b a b              1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b                           + Giáo viên: Yêu cầu học sinh hãy khái quát hóa bài toán trên? + Học sinh: Khái quát hóa thành bài toán tổng quát sau mà cách giải hoàn toàn tương tự: “Cho 1 2 1 2 , ,... , , ,..., n n a a a b b b là các số dương và *n . Khi đó, ta có BĐT   2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 ... ... 2 n n n n n a b a b a b a b a b a b                  ”. Nhận xét. Trong ví dụ 4, thao tác khái quát hóa áp dụng để tổng quát hóa một vấn đề sau khi đã được giải quyết. Do vậy, thao tác khái quát hóa trong quá trình giải bài tập toán là cần xác định được cái chung và cái riêng trong các bài toán để từ đó khái quát được thành bài toán tổng quát, hoặc tìm ra phương pháp giải bài toán tổng quát. Bài tập luyện tập 44 Bài 1. Cho các số thực dương , ,a b c thoả mãn 3a b c   . CMR 2 2 2 . 3 3 3 ab bc ca a b c b c c a a bc a b           Bài 2. (HSG-HP2014) Cho , , 0x y z  & 1x y z   . CMR 3 . 2 xy yz zx xy z yz x zx y       Bài 3. Cho ba số thực dương , ,a b c và , 2n n  . CMR             1. 3 1 3 1 3 1 n n nn n n n n n a b c a bc b ca c ab          Bài 4. Cho các số thực dương , , & , *,a b c m n giả sử  , ,x y z là một hoán vị của  , ,a b c . CMR . m m m m n m n m n n n n x y z a b c y z x        Bài 5. Cho ba số thực , ,a b c thỏa mãn 3 , , & 1 4 a b c a b c      . CMR 2 2 2 9 . 1 1 1 10 a b c a b c       Bài 6. (Japan 1997) Cho , , 0a b c  . CMR             2 2 2 2 2 22 2 2 3 . 5 b c a c a b a b c b c a c a b a b c                2.1.2. Biện pháp 2: Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải cho một bài toán và lựa chọn được cách giải quyết tối ưu nhất Khi học sinh gặp một bài toán, học sinh nên phân tích bài toán đó dưới nhiều góc độ khác nhau, không chấp nhận một cách giải quen thuộc hoặc duy nhất, biết liên kết các kiến thức đã học để đưa ra các cách giải quyết bài toán. Đứng trước một bài toán dài và phức tạp học sinh phải nghĩ ngay đến cách giải ngắn gọn nhất, độc đáo và tối ưu nhất. Biện pháp cũng giúp cho học sinh có hướng nhìn nhận vấn đề một cách toàn diện, không phiến diện, một chiều hay cứng nhắc. Qua đó rèn luyện luyện được cho học sinh tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo của tư duy sáng tạo. 45 Sau đây, là một số ví dụ minh họa trong dạy học giáo viên có thể gợi mở cho học sinh ít nhất ba cách giải quyết như sau: Ví dụ 5. Cho , ,a b c >0 thỏa mãn 1a b c   . CMR 6a b b c c a      . Lời giải. Học sinh có thể đề xuất cách giải như sau: Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có   2 2 3 3 2 a b a b       2 2 3 3 2 b c b c       2 2 3 3 2 c a c a     Cộng các vế tương ứng của các bất đẳng thức trên, ta được     2 22 . 2 3 2 a b c a b b c c a           Từ đó suy ra 6a b b c c a      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 1 a b c 3    + Giáo viên: Ngoài cách giải trên còn cách nào khác? + Học sinh: Đề xuất cách 2 Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có    1 1 1 . 2 2 2 6a b b c c a a b c           Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 1 a b c 3    + Giáo viên: Ai có thể phát hiện thêm cách nào khác nữa? + Học sinh: Bổ sung thêm cách 3 Cách 3. Đặt , ,a b x b c y c a z      46 Từ giả thiết suy ra 2 2 2x y z 2   và , ,0 x y z 2  . Yêu cầu bài toán tương đương với việc chứng minh BĐT x y z 6   Bình phương hai vế, ta được BĐT tương đương  2 2 2x y z 2 xy yz zx 6         2 2 2 2 2 2x y z 2 xy yz zx 3 x y z               2 2 2 0 x y y z z x       BĐT cuối luôn đúng, nên bài toán đã cho được chứng minh. Bằng cách lập luận tương tự như ở ví dụ trên, học sinh có thể giải quyết bài toán trong ví dụ 6, ví dụ 7: Ví dụ 6. Cho , ,a b c >0 . CMR 3 3 3 2 2 2 2 2 2 . 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a            Lời giải. Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có      23 2 2 2 2 3 3 a ab b ab a b a ba a a a a ab b a ab b ab              Tương tự  3 2 2 ; 3 b cb b b bc c       3 2 2 3 c ac c c ca a      Cộng các BĐT trên, khi đó bài toán được chứng minh. Cách 2. Chú ý rằng 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 0 a b b c c a a ab b b bc c c ca a             , suy ra 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c b c a a ab b b bc c c ca a a ab b b bc c c ca a                  BĐT đã cho tương đương với BĐT 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3                  a b b c c a a b c a ab b b bc c c ca a        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b ca ab b b bc c c ca a a b b c c a a ab b b bc c c ca a                     Ta lại có 2 2 2 2 1 ; 3 a ab b a ab b      2 2 2 2 1 ; 3 b bc c b bc c      2 2 2 2 1 3 c ca a c ca a      . Do đó cộng các bất đẳng thức trên, bài toán được chứng minh. Cách 3. Ta chứng minh được 3 2 2 2 3 3     a b a a ab b . 47 Thật vậy, ta có       23 2 2 2 2 2 0 3 3 3 a b a ba b a a ab b a ab b           BĐT hiển nhiên đúng với mọi số , > 0a b Tương tự 3 2 2 2 ; 3 3 b c b b bc c     3 2 2 2 3 3 c a c c ca a     Cộng các BĐT trên, khi đó bài toán được chứng minh. Ví dụ 7. (IMO-2001) Cho các số thực dương , ,a b c . CMR 2 2 2 1. 8 8 8 a b c a bc b ca c ab       Lời giải. Cách 1. Đặt 2 2 2 ; ; , , 0 bc ca ab x y z x y z a b c      và 1.xyz  BĐT trở thành 1 1 1 1 1 8 1 8 1 8x y z       (1 8 )(1 8 ) (1 8 )(1 8 ) (1 8 )(1 8 ) (1 8 )(1 8 )(1 8 )x y y z z x x y z               8( ) 2 (1 8 ) 1 8 1 8 ( 1 8 1 8 1 8x y z x y z x y z ) 510              Từ giả thiết 1xyz suy ra 3x y z   nên ta có        1 8 1 8 1 8 1 8 64 512 729x y z x y z xy yz zx xyz            Suy ra    61 8 1 8 1 8 3 1 8 1 8 1 8 9x y z x y z          . Do đó BĐT được chứng minh. Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 8 8 8 8 8 8 a b c a b c a bc b ca c ab a a bc b b ca c c ab              Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có          2 22 2 2 2 28 8 8 8 8 8a ba c a a bc b b ca c c aa bc b b ca c c ab b                 3 3 3 24 .a b c a b c abc      Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có       3 3 3 3 3 3 33 4a b c a b c a b b c c a a b c abc           Suy ra     2 42 2 28 8 8a a bc b b ca c c ab a b c        Do đó 2 2 2 2 4 ( ) 1 8 8 8 ( ) a b c a b c a bc b ca c ab a b c            . 48 Cách 3. Ta chứng minh 4 3 4 4 42 3 3 38 a a a bc a b c     14 4 4 23 3 3 3 8a b c a a bc     Bình phương và rút gọn ta được bất đẳng thức       8 8 24 4 4 3 3 33 3 32 8b c ab bc ca a bc          Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có         8 8 164 4 4 883 3 33 3 32 8 .b c ab bc ca a bc           Tương tự, ta cũng có 4 4 3 3 4 4 4 4 4 42 2 3 3 3 3 3 3 ; 8 8 b b c c b ca c ab a b c a b c         Cộng các BĐT trên, từ đó bài toán được chứng minh. Nhận xét. Trong các ví dụ trên, giáo viên nên khuyến khích học sinh đề xuất ra nhiều cách giải khác nhau (rèn luyện tính nhuần nhuyễn của TDST). Cũng từ đó, học sinh sẽ lựa chọn được cho riêng mình cách giải quyết độc đáo, tối ưu nhất (rèn luyện tính độc đáo của TDST). Bài tập luyện tập Bài 7. Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3. 2 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b c          Bài 8. Cho , , 0a b c  & 3 2 a b c   . CMR 2 2 2 2 2 2 3 . 2 2 2 4 a b c a b b c c a       Bài 9. (A-2005) Cho , , 0x y z  thỏa mãn 1 1 1 4 x y z    . CMR 1 1 1 1. 2 2 2x y z x y z x y z          Bài 10. Cho , , 0x y z  thỏa mãn 1x y  . CMR 2 2 1 1 8 . 1 2 3a b ab     49 Bài 11. Cho , , 0a b c  . CMR 3 2 3 3 . 2a ab abc a b c        Bài 12. Cho các số thực , &x y x y . CMR 3 33 3 4.x x y y    2.1.3. Biện pháp 3: Quan tâm tới sai lầm của học sinh, tìm ra nguyên nhân và cách khắc phục Việc tìm ra lời giải đúng dựa trên lời giải sai lầm mà học sinh mắc phải là việc làm rất cần thiết. Bởi vì học sinh có sai lầm trong cách giải thì với sự gợi ý của giáo viên mà học sinh phát hiện ra sai lầm đó và tự điều chỉnh để tìm ra cách giải đúng thì càng có ý nghĩa nhiều hơn cho tư duy của học sinh. Qua đó cũng giúp học sinh phát hiện ra được nhiều vấn đề mới, kích thích được cách giải quyết sáng tạo vấn đề đã được nêu ra. Biện pháp dạy học dựa trên những sai lầm của học sinh, để từ đó đưa ra được hướng giải quyết vấn đề chính là việc rèn luyện tính nhạy cảm của TDST. Sau đây là một số ví dụ minh họa: Ví dụ 8. Giả sử a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 S a a   . Sai lầm thường gặp. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 1 2 2S a minS a      Nguyên nhân sai lầm. Ta có 2minS  1 1a a a     (trái với giả thiết a 2 ) Lời giải đúng. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 1 3 1 3 3 5 2 . 1 .2 4 4 4 4 4 2 a a a a a a             Do đó 5 2 S  . Đẳng thức xảy ra khi 1 24 2 a aa a       suy ra 5 2 minS  . 50 Ví dụ 9. (A-2003) Cho , , 0a b c  & 1a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 1 1 1 P a b c b c a       . Sai lầm thường gặp. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 2 2 2 63 2 2 2 1 1 1 3 . . 3 8 3 2 3 2P a b c minP b c a  ...đề, chẳng hạn như: Biết chia nhỏ vấn đề (bài tập, câu hỏi) để giải quyết từng phần một cách dễ dàng; biết nhìn tổng thể, toàn diện đối với các vấn đề; nhận thức được mọi sự vật đều có mối liên hệ với nhau, để giải quyết toàn diện, đồng bộ (tính mềm dẻo); biết giải quyết vấn đề một cách độc lập; biết cách giải quyết linh hoạt sáng tạo khi các vấn đề khó có nguy cơ bị bế tắc; nhận ra được các chức năng khác của một sự vật hay vấn đề (cách giải, bài toán, câu hỏi); nhìn ra và khai thác cái hay, cái tốt, cái tích cực, điều kiện khó khăn, trong thách thức,...; nhận ra tính hai mặt của một vấn đề để phát huy cái tốt, cái hay và hạn chế cái xấu, cái không hay. Đây là những biểu hiện một số yếu tố của TDST ở học sinh được thể hiện ít nhiều trong quá trình học tập và kết quả học tập sau quá trình thực nghiệm mà tác giả nhận thấy. Điều mà trước đó, trong quá trình khảo sát thực tiễn không có được ở học sinh. Tóm lại, những biện pháp tác giả xây dựng được chính tác giả dạy thực nghiệm truyền tải vào các tiết dạy của mình đã làm cho học sinh được suy nghĩ nhiều hơn, được tham gia vào giải quyết các nhiệm vụ học tập thường xuyên, liên tục hơn. Một số yếu tố của TDST được thể hiện rõ nét trong cả quá trình học tập cũng như trong sản phẩm học tập của mọi đối tượng học sinh. Ngoài sản phẩm học tập là các bài kiểm tra với điểm số cao hơn, thể hiện được kết quả, lời giải và cách thực hiện lời giải, con đường tìm đến kết quả (cách suy luận, cách trình bày,...) một cách độc đáo, sáng tạo; giải được các bài toán khó với cách giải hay, mới lạ và độc đáo; tìm ra nhiều cách giải quyết cho cùng một vấn đề học tập,... thì trong mỗi giờ học, học sinh còn có những ý kiến sâu sắc, những cách trả lời và giải quyết vấn đề linh hoạt, mềm dẻo và sâu sắc, biết vận dụng linh hoạt các thao tác tư duy và các phương pháp suy luận; biết di chuyển hay phối hợp, kết hợp tổng quát các thao tác tư 97 duy, các phương pháp suy luận; phân tích vấn đề theo nhiều hướng khác nhau; tìm ra nhiều cách giải quyết cho cùng một vấn đề học tập; diễn đạt vấn đề ngắn gọn súc tích hơn. Đây là những điểm mới trong lớp học, khác xa một lớp học trước đây. Kết luận chương 3 Thực nghiệm sư phạm được thực hiện với mục đích đánh giá tính khả thi và hiệu quả của một số biện pháp phát triển TDST cho học sinh đã đề xuất trong chương 2. Sau thời gian dạy thực nghiệm, học sinh các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng được làm bài kiểm tra đầu ra với đề bài như nhau. Trên cơ sở phân tích các kết quả đã thu được qua đợt thực nghiệm, tác giả rút ra những kết luận sau: + Các biện pháp tác giả đề xuất đã được các thầy cô giáo trong trường thực nghiệm đánh giá cao và khẳng định sẽ áp dụng tốt trong điều kiện nhà trường hiện nay. + Kết quả thực nghiệm sư phạm được thể hiện thông qua kết hợp giữa đánh giá định tính bằng các giờ dạy thực nghiệm, qua quan sát quá trình học tập của học sinh cũng như thông qua ý kiến nhận xét đánh giá của giáo viên dạy thực nghiệm, giáo viên tham gia dự giờ; đánh giá định lượng bằng kết quả các bài kiểm tra được thiết kế bao gồm những câu hỏi hay bài tập có tác dụng kiểm tra tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo của TDST ở học sinh được thể hiện trong bài làm của mình. - Đánh giá định lượng được phân tích thông qua sự theo dõi và so sánh điểm số các bài kiểm tra trước và sau thực nghiệm. Kết quả cho thấy ba yếu tố của TDST ở học sinh thể hiện rõ nét trong bài làm của học sinh ở các lớp thực nghiệm, khi có sự tác động của giáo viên bằng những biện pháp phát triển TDST so với trước thực nghiệm, trong khi các lớp đối chứng kết quả này không có sự biến động. 98 - Đánh định tính được phân tích thông qua việc bình luận các tiết dạy, việc quan sát các hành vi, thái độ, cử chỉ của học sinh trong giờ học cũng như thông qua ý kiến nhận xét đánh giá của giáo viên dạy thực nghiệm, giáo viên nhà trường tham gia dự giờ. Kết quả cho thấy có sự chuyển biến và thể hiện rõ nét các yếu tố cơ bản của TDST ở học sinh các lớp thực nghiệm thể hiện trong quá trình học tập. Điều này đã khẳng định thêm tính chính xác, khách quan về tính khả thi, hiệu quả của các biện pháp. + Qua phân tích các kết quả đánh giá định lượng và định tính, có thể khẳng định rằng: trong và sau quá trình dạy thực nghiệm, học sinh các lớp thực nghiệm có kết quả học tập cao hơn, học sinh mạnh dạn tự tin hơn, và đặc biệt tư duy của các em được hoạt động nhiều nhất. Việc giải quyết các vấn đề, các bài tập khó, phức tạp trở nên dễ dàng hơn, các em luôn tìm được giải pháp cho vấn đề thông qua mò mẫm và vận dụng linh hoạt, mềm dẻo các thao tác tư duy trong phân tích và giải quyết vấn đề. Việc có càng nhiều những bài làm hay, bài làm có nhiều cách, những giải pháp độc đáo cho vấn đề, những ý kiến, nhận xét sắc sảo trong bài làm, sản phẩm học tập cũng như việc hiểu sâu và khái quát về bài tập, đồng thời có phương pháp hiệu quả để giải các bài tập khó của học sinh càng chứng minh rằng những biện pháp đề xuất đã thể hiện tác dụng rõ nét. Các biện pháp, ngoài hình thành được thói quen giải quyết vấn đề học tập một cách sáng tạo, còn kích thích được hứng thú, say mê của học sinh trong giờ học tạo cho không khí học tập thật sôi nổi, nhẹ nhàng. Như vậy, những kết quả thu được sau đợt thực nghiệm đã khẳng định tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất trong luận văn. Nó hoàn thành được mục đích chính của thực nghiệm sư phạm đã đề ra là nhằm kiểm nghiệm giả thuyết khoa học của luận văn qua thực tiễn dạy học và kiểm nghiệm tính hiệu quả, khả thi của các biện pháp đã xây dựng. 99 KẾT LUÂṆ Qua quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài, tác giả rút ra một số kết luận sau: 1/ Cần khẳng định rằng phát triển TDST cho học sinh trong dạy học là vấn đề mang tính cấp thiết và thực tiễn cao, nhất là trong giai đoạn hiện nay chúng ta đang đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục nhằm vào mục tiêu đào tạo thế hệ trẻ có tri thức cao, năng động và sáng tạo. Trong những năm trở lại đây, phương pháp dạy học mặc dù đã được đổi mới khá mạnh mẽ song kết quả thu được còn nhiều hạn chế, chưa đáp ứng kịp với yêu cầu cao của thực tiễn giáo dục. Nguyên nhân chủ yếu của vấn đề này là nhà trường hiện nay vẫn còn ảnh hưởng nhiều bởi xu hướng dạy học truyền thống, môi trường dạy học thiếu tính cởi mở, quan hệ thầy trò nặng về áp đặt mà ít có sự khơi nguồn cảm hứng và phát huy tính sáng tạo của người học. Giáo viên chưa chưa biết khai thác các nội dung dạy học có thể phát triển TDST, đồng thời chưa biết cách thức, biện pháp, phương pháp để rèn luyện và phát triển TDST cho học sinh trong quá trình dạy học của mình. Do đó, nghiên cứu để phát triển TDST cho học sinh trong dạy học các chủ đề ở phổ thông là một cách tiếp cận khả thi trong công cuộc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. 2/ Sau quá trình nghiên cứu, đề tài đã thu được một số kết quả cụ thể: + Đi sâu nghiên cứu lý luận có liên quan đến tư duy, TDST và phát triển TDST cho học sinh như làm rõ được các vấn đề cơ bản về TDST. Đặc biệt, các vấn đề liên quan đến biện pháp phát triển TDST được tác giả nghiên cứu, phân tích cụ thể. Việc làm rõ các vấn đề nói trên đem đến những định hướng vừa mang tính tổng quát, vừa mang tính cụ thể, tạo cơ sở khoa học cho việc phân tích các vấn đề thực tiễn dạy học phát triển TDST cho học sinh cũng như xây dựng các biện pháp phát triển TDST cho học sinh một cách khoa học. + Thực tiễn phát triển TDST cho học sinh trong dạy học hiện nay cho thấy: 100 - Thứ nhất, những biểu hiện của học sinh qua những hoạt động, hành vi, việc làm chứng tỏ chúng chưa có TDST trong quá trình học tập cũng như trong sản phẩm học tập của mình. - Thứ hai, trong quá trình dạy học phần lớn giáo viên chưa có các biện pháp cụ thể để phát triển TDST cho học sinh. Thực trạng dạy học hiện nay tại nhà trường không phát huy được TDST cho học sinh được xem là do một số nguyên nhân như: giáo viên trong nhà trường hiện nay vẫn còn ảnh hưởng nhiều bởi xu hướng dạy học truyền thống, không khuyến khích được tinh thần sáng tạo củahọc sinh; giáo viên chưa nắm được cách thức, biện pháp, phương pháp để rèn luyện và phát triển TDST cho học sinh trong quá trình dạy học của mình; phần khác là do học sinh thiếu kĩ năng học tập sáng tạo; chưa có một quan điểm chỉ đạo về việc bắt buộc phải dạy học theo hướng phát triển tư duy, trong đó có TDST cho học sinh,.... Những vấn đề về thực trạng chính là cơ sở thực tiễn để tác giả xây dựng một số biện pháp phát triển TDST cho học sinh đảm bảo tính khả thi và hiệu quả. + Từ những cơ sở lí luận và thực tiễn được làm sáng tỏ trong đề tài, tác giả cho rằng muốn phát triển TDST cho học sinh trước hết là giáo viên phải phát triển được các thao tác tư duy cơ bản, sau đó là phát triển một số thành tố đặc trưng của TDST. 3/ Các biện pháp được xây dựng trong luận văn được dạy thực nghiệm tại nhà trường nơi tác giả công tác, được giáo viên nhà trường đánh giá cao. Mặc dù, thời gian thực nghiệm tương đối ngắn, số tiết học thực nghiệm chưa nhiều song kết quả thu được tương đối khả quan, đáp ứng được mục đích nghiên cứu đã đề ra, bước đầu khẳng định tính đúng đắn của giả thuyết khoa học, thể hiện được tính khả thi và hiệu quả, chất lượng của các biện pháp dạy học được xây dựng trong đề tài. 4/ Việc phát triển TDST cho học sinh là một quá trình lâu dài và luôn song hành trong suốt quá trình dạy học. Cần khẳng định rằng tất cả các nội 101 dung dạy học đều có tác dụng phát triển TDST cho học sinh. Tuy nhiên tuỳ theo từng nội dung kiến thức mà có ưu thế và điều kiện để phát triển một hay một số yếu tố đặc trưng nhất định của TDST. Vì vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần phải nắm chắc nội dung chương trình, đồng thời biết chọn lọc từng nội dung cụ thể để có kế hoạch rèn luyện phát triển TDST cho học sinh một cách toàn diện. Ngoài việc khai thác các nội dung trong chương trình SGK của môn học, giáo viên cần thiết kế các bài tập phong phú có tác dụng kích thích phát triển các yếu tố đặc trưng của TDST. 5/ Các biện pháp được xây dựng trong luận văn không phải là một giáo án hay kế hoạch bài dạy của giáo viên mà nó mang tính định hướng tư tưởng, mang tính phương pháp luận cho giáo viên khi thiết kế bài dạy của mình. Tùy các mạch kiến thức trong môn học và từng loại bài học để giáo viên vận dụng một, một vài biện pháp hay tất cả các biện pháp trong thiết kế giáo án cho mỗi bài học cụ thể. Ngoài ra, các biện pháp phát triển TDST cho học sinh được vận dụng trong nhiều môn học và cho các đối tượng HS, nên trong mỗi biện pháp được trình bày trong luận văn, giáo viên cần vận dụng linh hoạt kết hợp với các biện pháp chung theo các mức độ khác nhau phù hợp với từng nhóm học sinh qua việc kết hợp phân hoá các nội dung dạy học với phân hoá cách hướng dẫn, cách tổ chức cho phù hợp với từng nhóm đối tượng học sinh trong lớp để phát huy được tối đa TDST của mỗi cá nhân học sinh trong lớp học. 6/ Để sử dụng tốt kết quả nghiên cứu của đề tài, trong quá trình dạy học giáo viên cũng cần căn cứ vào điều kiện cụ thể, đặc biệt là trình độ của học sinh để có những vận dụng linh hoạt sáng tạo nhằm phát huy hiệu quả cao nhất. Việc vận dụng các biện pháp phát triển TDST cần được thực hiện thường xuyên liên tục. Cần phối hợp các biện pháp một cách linh hoạt tùy theo tình hình thực tế của lớp mình, không nhất thiết phải rèn luyện theo trình tự các biện pháp được xây dựng, hơn nữa cần nhận thức rõ biện pháp nào thì sẽ phù hợp với từng hoạt động cụ thể nào trong giờ học để khai thác có hiệu quả nhất. 102 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN TỚI LUẬN VĂN 1. Trần Tăng Thắng (2016), Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức lớp 10 ban nâng cao, Tạp chí Giáo dục & Xã hội, số 64, tháng 7/2016, trang 36 - 39, 59. 2. Trần Tăng Thắng (2016), Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức lớp 10 ban nâng cao, Kỷ yếu hội nghị nghiên cứu khoa học học viên sau đại học, ĐHGD - ĐHQGHN, trang 368 - 371. 3. Trần Tăng Thắng (2017), Một số biện pháp sư phạm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức lớp 10, Sáng kiến năm học 2016-2017, xếp loại B cấp Sở. 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Ban Chấp hành Trung ương (2013), Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8 (Nghị quyết số 29-NQ/TW) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế. 2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2014), Tài liệu tập huấn dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả học tập theo định hướng phát triển năng lực học sinh môn Toán cấp trung học phổ thông. 3. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2011), Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. 4. Nguyễn Quang Cẩn (2005), Tâm lí học đại cương. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. 5. Võ Quốc Bá cẩn, Nguyễn Quốc Anh (2010), Bất đẳng thức và những lời giải đẹp. Nxb Trẻ Thành phố Hồ Chí Minh. 6. V.A Crutexki (1973), Tâm lý năng lực Toán học của học sinh. Nxb Giáo dục. 7. V.A Crutexki (1980), Những cơ sở của Tâm lý học sư phạm. Nxb Giáo dục. 8. Nguyễn Hữu Châu (2001), Một xu thế của giáo dục ở thế kỉ XXI. Thông tin KHGD. 9. Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông. Nxb Giáo dục. 10. Trần Bá Hoành (2007), Đổi mới phương pháp dạy học, chương trình và sách giáo khoa. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. 11. Nguyêñ Thái Hòe (2001), Rèn luyêṇ tư duy qua viêc̣ giải bài tập toán. Nxb Giáo duc̣. 12. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn toán. Nxb Giáo dục. 13. Nguyễn Thị Mỹ Lộc, Đinh Thị Kim Thoa, Trần Văn Tính (2007), Tâm lý học giáo dục. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. 14. Trần Luận (1995), Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua hệ thống bài tập toán. Nghiên cứu giáo dục. 15. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn toán ở trường phổ thông. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. 104 16. A.V Petrovski (1982), Tâm lí học lứa tuổi và tâm lí học sư phạm. Nxb Giáo dục. 17. G Polya (1978), Sáng tạo Toán học. Nxb Giáo dục 18. Hoàng Phê (1988), Từ điển tiếng việt. Nxb Khoa học xã hội. 19. Trần Phương (2001), Các phương pháp và kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức. Nxb Hà Nội. 20. Đoàn Quỳnh (2007). Đaị số 10 nâng cao. Nxb Giáo duc̣. 21. X.L Rubinstein (1940), Những cơ sở tâm lí học đại cương. Nxb Giáo dục. 22. Huỳnh Văn Sơn (2009), Tâm lí học sáng tạo. Nxb Giáo dục. 23. Cung Kim Tiến (2002), Từ điển triết học. Nxb Văn hóa tông tin. 24. Nguyễn Cảnh Toàn (1998), Tập cho học sinh giỏi Toán làm quen dần với nghiên cứu toán học. Nxb Giáo dục. 25. Dương Thiệu Tống (2005), Phương pháp nghiên cứu khoa học giáo dục và tâm lý. Nxb Khoa học xã hội. 26. Nguyễn Minh Tuấn (2014), Lý thuyết cơ sở của hàm lồi và các bất đẳng thức cổ điển. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. 27. Tôn Thân (1995), Xây dựng câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi Toán ở trường Trung học cơ sở Việt Nam. Viện Khoa học Giáo dục. 28. Chu Cẩm Thơ (2015), Phát triển tư duy thông qua dạy học môn toán ở trường phổ thông. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. 29. Nguyễn Văn Thuận (2004), Góp phần phát triển năng lực tư duy logic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ thông trong dạy học Đại số. Luận án Tiến sĩ Giáo dục học trường Đại học Vinh. 30. Nguyễn Quang Uẩn (1999), Tâm lý học đại cương. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. 31. Nguyễn Như Ý (1999), Từ điển Tiếng Việt. Nxb Đà nẵng. 105 PHỤ LỤC Phụ lục 1 PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN HỌC SINH Câu 1. Trong giờ học, các em đã thực hiện những hoạt động dưới đây như thế nào? Các phương án trả lời     Rất nhiều Nhiều Không nhiều Không bao giờ STT Một số hoạt động Tô đen vào phương án phù hợp nhất 1 Thích hỏi, tò mò và hay thắc mắc.     2 Tìm ra cách giải quyết vấn đề hay và độc đáo cho câu hỏi, bài tập hay bài toán.     3 Tìm ra nhiều cách giải quyết cho cùng một vấn đề học tập.     4 Tìm ra câu trả lời nhanh, chính xác cho câu hỏi hoặc yêu cầu của giáo viên.     5 Biết cách suy luận, phát hiện, giải quyết vấn đề, biết cách học và tự học.     6 Đưa ra những lập luận hợp lý cho những câu trả lời.     7 Đưa ra những câu hỏi hay về chủ đề đang giải quyết.     106 Câu 2. Theo các em trong dạy học môn Toán, Thầy/Cô của các em thực hiện các hoạt động sau với mức độ như thế nào? Các phương án trả lời     Rất nhiều Nhiều Không nhiều Không bao giờ STT Một số biểu hiện Tô đen vào phương án phù hợp nhất 1 Yêu cầu học sinh khai thác kết quả của bài toán để giải bài toán khác hay đề xuất sáng tạo bài toán mới.     2 Hướng dẫn học sinh tìm ra nhiều cách giải, lựa chọn được phương án giải tối ưu nhất cho bài tập hay bài toán.     3 Hướng dẫn học sinh phân tích tìm ra sai lầm về cách giải của bài tập hay một bài toán, chỉ ra nguyên nhân sai lầm, đưa ra hướng khắc phục.     Xin cảm ơn sự đóng góp ý kiến của em! 107 Phụ lục 2 PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN GIÁO VIÊN Câu 1. Theo Thầy/Cô, học sinh thường biểu hiện tư duy sáng tạo trong giờ học như thế nào? Các phương án trả lời     Rất nhiều Nhiều Không nhiều Không bao giờ STT Một số biểu hiện Tô đen vào phương án phù hợp nhất 1 Thích hỏi, tò mò và hay thắc mắc.     2 Tìm ra cách giải quyết vấn đề hay và độc đáo.     3 Tìm ra nhiều cách giải quyết cho cùng một vấn đề học tập.     4 Tìm ra câu trả lời nhanh, chính xác cho câu hỏi hoặc yêu cầu của giáo viên.     5 Biết cách suy luận, phát hiện, giải quyết vấn đề, biết cách học và tự học.     6 Đưa ra những lập luận hợp lý cho những câu trả lời.     7 Học sinh đưa ra nhiều câu trả lời khác nhau cho một vấn đề và sử dụng những từ ngữ cụ thể, chính xác để diễn đạt.     8 Học sinh tư duy về quá trình tư duy của mình (diễn đạt lại quá trình tìm lời giải cho vấn đề).     9 Đưa ra những câu hỏi phức tạp về chủ đề đang giải quyết.     108 Câu 2. Trong quá trình dạy học, Thầy/cô thực hiện những hoạt động sau đây như thế nào? Các phương án trả lời      Rất thường xuyên Thường xuyên Thỉnh thoảng Rất ít khi Chưa bao giờ STT Một số cách Tô đen vào phương án phù hợp nhất 1 Hướng dẫn học sinh phân tích vấn đề theo nhiều hướng khác nhau. Rèn cho HS biết diễn đạt bài toán, lời giải bằng nhiều cách khác nhau.      2 Kích thích trí tưởng tượng sáng tạo cho học sinh thông qua sử dụng câu hỏi có tác dụng gợi mở, gợi sự liên tưởng để diễn đạt lại những vấn đề trừu tượng; sử dụng hình vẽ để phác họa lại hay tóm tắt lai đề bài, vấn đề.      3 Luôn giúp học sinh nhận thức được rằng cùng một nội dung có thể diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau và ngược lại.      4 Rèn cho học sinh luôn có phản ứng đối với tính hợp lý của đáp án hoặc của quá trình suy luận, giải quyết vấn đề, đảo ngược vấn đề, có cái nhìn phê phán đối với vấn đề.      5 Rèn cho học sinh biết di chuyển hay phối hợp, kết hợp tổng quát các thao tác tư duy, các phương pháp suy luận.      6 Rèn cho học sinh biết đặt lại bài toán, sơ đồ hoá bài toán nhằm đưa bài toán về dạng quen thuộc.      7 Rèn cho học sinh biết tách vấn đề, đối tượng      109 thành những đối tượng, vấn đề nhỏ hơn để giải quyết từng bước, từng phần đối với những bài tập khó, các yếu tố trong bài đều cho dưới dạng gián tiếp. 8 Rèn cho học sinh kĩ năng suy luận, lập luận (quy nạp hay diễn dịch: đi từ cái riêng, cụ thể đến cái chung, khái quát hay từ cái chung, khái quát đến cái riêng, cụ thể).      9 Rèn cho học sinh biết lập kế hoạch giải, lập dàn ý, chương trình thực hiện cho từng vấn đề cụ thể (theo quy trình, các bước thực hiện), thể hiện ở tính chính xác, tính hoàn chỉnh của bài làm như: có tóm tắt nếu cần; có câu trả lời rõ ràng cho mỗi bước giải; có phép tính đúng; có đáp số; có chuyển đổi đơn vị đo nếu cần.      10 Rèn cho học sinh thói quen luôn tìm nhiều cách giải quyết cho một vấn đề và luôn tìm ra cách ngắn gọn nhất, sáng tạo nhất.      11 Tạo cho học sinh thói quen: khi vấn đề được giải quyết bằng một cách giải dài dòng, với nhiều bước tính nhỏ, ta có thể nghĩ ngay rằng có thể có một cách giải khác ngắn gọn sáng sủa hơn.      12 Tập cho học sinh không chấp nhận một cách giải quen thuộc hoặc duy nhất, luôn kích thích các em tìm tòi và đề xuất nhiều cách giải khác nhau.      13 Rèn cho học sinh biết hệ thống hoá và sử dụng các kiến thức, kĩ năng, thuật giải trong      110 quá trình hướng dẫn học sinh luyện tập, ôn tập một chủ đề kiến thức nào đó. 14 Rèn cho học sinh biết thực hiện gộp các bước tính trong bài giải; tìm nhiều cách giải, chỉ ra được cách giải hay nhất; từ bài toán suy ra được sơ đồ, tóm tắt, đặt thành đề toán khác; bài giải bằng những suy luận gián tiếp, những nhận xét sắc xảo, những lập luận chặt chẽ, lôgíc.      15 Sử dụng các câu hỏi trong bài dạy, dạng như: - Tại sao em làm như vậy? - Bằng cách nào em biết điều đó? - Trong các việc đó, theo em việc gì khó? - Còn cái gì (điều gì) liên quan đến bài học mà em chưa biết rõ?      Xin cảm ơn sự đóng góp ý kiến của các Thầy/Cô! 111 Phụ lục 3 BÀI KIỂM TRA SO SÁNH TRÌNH ĐỘ HỌC SINH TRƯỚC KHI DẠY THỰC NGHIỆM Đề bài Câu 1. (2 điểm) Cho hai số thực ,a b . CMR   2 2 2 2 a b a b    . Câu 2. (4 điểm) Cho hai số thực , & 3 4 5x y x y  . CMR 2 2 253 4 7 x y  . Câu 3. (4 điểm) (1) Cho ba số thực , , 0x y z  . CMR   1 1 1 9x y z x y z           . (2) Cho , , 0x y z  thỏa mãn 3x y z   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 1 1 1 x y z P x y z       Đáp án và biểu điểm Câu Đáp án Biểu điểm 1 BĐT tương đương với BĐT sau: 2 2 2 22 2 2a b a b ab     2 22 0a ab b      2 0a b   1.5 đ BĐT cuối luôn đúng, do đó BĐT đã cho được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .a b 0.5 đ 2 Từ giả thiết suy ra 5 3 4 x y   . Do đó BĐT tương đương với BĐT sau: 2 2 5 3 253 4. 4 7 x x          2212 5 3 25 4 7 x x     27 21 30 25 100x x      2 7 5 0x   3.0 đ BĐT cuối luôn đúng, do đó BĐT đã cho được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 5 5 & . 7 14 x y  1.0 đ 1(2đ) 2(4đ) 112 (1) Áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có   1 1 1 x y z x y z                22 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z                             2 1 1 1 . . . 9x y z x y z           Dấu bằng xảy ra khi .x y z  1.0 đ (2) Ta có 1 1 1 3 1 1 1 P x y z             1.0 đ Áp dụng câu 3(1) ta có   1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 x y z x y z                Suy ra 1 1 1 3 1 1 1 2x y z           1.0 đ Do đó 3 3 3 2 2 P P     Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1x y z   Vậy 3 . 2 maxP  1.0 đ 3(4đ) 113 Phụ lục 4 BÀI KIỂM TRA SO SÁNH TRÌNH ĐỘ HỌC SINH SAU KHI DẠY THỰC NGHIỆM Đề bài Câu 1. (2 điểm) Cho ba số thực , , 0a b c  . CMR 2 2 2 .a b c ab bc ca     Câu 2. (4 điểm) Cho hai số thực , 0x y  & 5 4 x y  . CMR 4 1 5. 4x y   Câu 3. (4 điểm) (1) Cho ba số thực , ,x y z & 0yz  . CMR 2 2x yz x yz  . (2) Cho , , 0x y z  thỏa mãn 3x y z   . CMR 1. 3 3 3 x y z x x yz y y zx z z xy          Đáp án và biểu điểm Câu Đáp án Biểu điểm BĐT đã cho tương đương với BĐT sau 2 2 22 2 2 2 2 2a b c ab bc ca     0.5 đ      2 2 2 2 2 22 2 2 0a ab b b bc c c ca a          0.5 đ       2 2 2 0a b b c c a       0.5 đ BĐT cuối luôn đúng, do đó BĐT đã cho được chứng minh. 0.5 đ Từ giả thiết suy ra 5 4 y x  , với 5 0, 4 x       . Do đó, BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau: 4 1 5 5 4 4 x x         2 đ 5 5 16 20 4 4 x x x x                 5 0, 4 x        220 15 25 20x x x      2 1 0x   1.5 đ 1(2đ) 2(4đ) 114 BĐT cuối luôn đúng, do đó BĐT đã cho được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 1& . 4 x y  0.5 đ (1) Xét hiệu   2 2 2 0x yz x yz x yz     0.5 đ Do đó 2 2x yz x yz  Dấu bằng xảy ra khi 0.yz x  0.5 đ (2) Giả thiết 3x y z   và theo phần (1), ta có  3x x zy x x y z x yz            2 2x x yz y z x x x yz y z x            x x y z x x y z      1.0 đ Do vậy 3 x x x x zy x y z      Tương tự ; 3 yy y y zx x y z      3 z z z z xy x y z      1.5 đ Suy ra 1 3 3 3 x y z x x yz y y zx z z xy          Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1.x y z   0.5 đ 3(4đ) 115 Phụ lục 5 MỘT SỐ CÁCH SÁNG TẠO - KHÁC ĐÁP ÁN QUA BÀI KIỂM TRA SAU THỰC NGHIỆM Câu 1. Cho ba số thực dương , ,a b c . Cmr 2 2 2 .a b c ab bc ca     Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 2 2 2 2 2 22 ; 2 ; 2a b ab b c ca c a ab      Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế, ta được 2 2 2 .a b c ab bc ca     Cách 3. Áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có         22 2 2 2 2 2 2 2 2 2. . . .a b b c c a a b c b c a a b c          Từ đó suy ra 2 2 2 .a b c ab bc ca     Câu 2. Cho , 0x y  thỏa mãn 5 4 x y  . Chứng minh rằng 4 1 5. 4x y   Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có     2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 14 1 1 1 1 1 1 25 5. 4 4 4 4x y x x x x y x x x x y x y                   Cách 3. Áp dụng bất đẳng thức phụ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ... , ,..., 0, , 2 ... n n n n x x x n n x x x x x x            Suy ra   24 1 1 1 1 1 1 5 25 5. 4 4 4 4x y x x x x y x x x x y x y               Cách 4. Áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có     2 22 2 24 1 2 1 4 2 1 4 . . . . . 5 4 5 52 2 x y x y x y x y x y                                 Cách 5. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có   4 1 4 1 4 1 5 4 4 4 2 .4 2 .4 4. 5 4 4 4 4 x y x y x y x y x y x y                      116 Phụ lục 6 BÀI VIẾT CỦA NHÓM LỚP TN 10C1 – NHÓM LỚP ĐC 10C2 Bài toán: Cho số thực 2x  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 .P x x   Nhiệm vụ nhóm: Em hãy phân tích tìm tòi lời giải (nhiều cách giải) và đề xuất bài toán tổng quát kèm theo lời giải (nếu có) tương tự giống như bài toán đã cho. 1. Sản phẩm nhóm lớp ĐC 10C2 (1 bài viết) Phân tích. Dễ thấy tích hai số 1 . 1x x  , nếu sử dụng bất đẳng thức AM- GM cho hai số x và 1 x , lúc này dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 1x x x    mâu thuẫn giả thiết 2.x  Cũng từ giả thiết cho 2x  , nên nhóm dự đoán dấu bằng xảy ra khi 2x  lúc này 5 2 min P  , tức là tìm cách chứng minh 5 2 P  . Lời giải. Ta sẽ chứng minh 1 5 2 2 x x x        2 21 5 1 5 2 5 2 0 2 2 1 0 2 2 x x x x x x x x              BĐT cuối luôn đúng 2x  . Từ đó suy ra 5 2 P  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2x  5 2 min P  . 2. Sản phẩm nhóm lớp TN 10C1 (3 bài viết và đề xuất bài bài toán tổng quát) Bài viết 1. Như bài viết của nhóm lớp ĐC 10C2. Bài viết 2. Phân tích 117 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2x  , lúc này 1 x x  Do đó 1 .x x  với 0  . Suy ra 2 4x   . Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 4 3 4 3 3 3 5 2 . 4 4 2 2 2 P x x x x x x x x                  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2x  5 2 min P  . Bài viết 3. Phân tích Ta có   2 21 1 x x x x          lúc này ta nghĩ tới việc sử dụng bất đẳng thức C-S. Ta sẽ tìm , 0a b  sao cho       2 2 2 2 21 a x b x a b x x                            Dựa vào dấu bằng xảy ra khi 1 & 2 x x a bx   Suy ra 4a b , chọn 1 4b a   . Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có       2 2 2 2 21 4 4 1x x x x                            Suy ra 1 16 25x x x x            1 1 15 25x x x x x              2 1 15 1 25x x x x x                 2 2 1 15 15 10 10 2 4 x x x x              Do đó 5 2 P  . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2x  5 2 min P  . 118 Bài toán tổng quát: Cho các số thực 1 x  và *n . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 .n n P x x   Phân tích. Nếu áp dụng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM cho hai số 1 ,n n x x thì sẽ không xảy ra dấu bằng. Lúc này ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  lúc này 1n n P     . Lời giải: Cách 1. Ta sẽ chứng minh 1n n P     1 x   và *n Thật vậy, xét hiệu: 1n n P           1 1n n n nx x               11 1 0 1 n n n n n n n n n n x x x x x x                    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  . Vậy 1 .n n min P     Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . 1 2 . . . 1 1 1 2. . 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n P x x x x x x x                                      Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  . Vậy 1 .n n min P    