Luận án Về quy tắc fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp

oan Tôi xin cam đoan: Bản luận văn tốt nghiệp này là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu khảo sát và phân tích từ thực tiễn dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu. Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận văn này là hoàn toàn trung thực và chưa được sử dụng để bảo vệ một học vị nào, phần tài liệu tham khảo được xếp đúng thứ tự và đủ các thông tin theo đúng yêu cầu. Thái Nguyên, ngày 24 tháng 03 năm 2015 Tác giả Phạm Thị Thủy Mục lục Trang Lời cam đoan i Mục lục ii Danh sách kí hiệu ... iv Lời nói đầu............... 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. 4 1.1. Tập lồi... 4 1.2. Hàm lồi.. 5 1.3. Các phép toán bảo toàn tính lồi ... 7 1.4. Bài toán tối ưu. 7 1.5. Tính liên tục của hàm số . 9 1.6. Đạo hàm và ma trận Hessian... 10 1.7. Ma trận xác định dương, nửa xác định dương. ... 11 1.8. Bổ đề Farkas. 11 1.9. Nón pháp tuyến. ... 11 1.10. Dưới vi phân 12 Chương 2. Quy tắc Fermat trong bài toán cực trị 14 2.1. Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến không có ràng buộc. 18 2.2. Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến có ràng buộc 22 2.3. Quy tắc Fermat cho hàm nhiều biến khả vi không có ràng buộc. 27 2.4. Mở rộng nguyên lý Fermat cho hàm nhiều biến có ràng buộc... 32 Chương 3. Áp dụng giải một số bài toán phổ thông ... 39 3.1. Áp dụng cho bài toán cực trị hàm một biến... 39 3.2. Áp dụng chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số nhiều biến ........ 43 Kết luận ....... 55 Tài liệu tham khảo.................... 56 Danh sách ký hiệu n Không gian Euclid n chiều    f ' x , f " x Đạo hàm (bậc 1 và bậc 2) của hàm số f(x)  lim n a f x  Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới a [a,b] Đoạn thẳng nối hai điểm a và b .,. Tích vô hướng trong n f Gradient của hàm f 2 f Ma trận Hessian f Dưới vi phân của hàm f  CN x nón pháp tuyến ngoài của C tại x 1 Lời nói đầu. Trong việc ứng dụng toán học vào các bài toán thực tiễn, các bài toán cực trị là một trong những dạng toán gần với những ứng dụng thực tế nhất. Những yêu cầu về đường đi ngắn nhất, đường đi nhanh nhất, góc nhìn lớn nhất, tổng thời gian chờ đợi ít nhất, tổng chi phí ít nhất, tổng lợi nhuận cao nhất, diện tích lớn nhất là những yêu cầu rất tự nhiên xuất phát từ những bài toán của sản xuất, đời sống và khoa học. Chính vì thế những bài toán cực trị cần có một chỗ đứng xứng đáng trong chương trình toán ở phổ thông. Các phương pháp giải bài toán cực trị cũng cần phải được trình bày một cách bài bản. Trên phương diện phương pháp, có hai cách tiếp cận chính cho lời giải của các bài toán cực trị, đó là phương pháp sử dụng bất đẳng thức và phương pháp hàm số. Với phương pháp bất đẳng thức, sơ đồ cơ bản là: Để chứng minh M là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên miền C, ta sẽ chứng minh i) f(x)  M với mọi x thuộc C ii) Tồn tại x0 thuộc C sao cho f(x0) = M. Phương pháp hàm số sẽ khảo sát hàm f(x) trên C và dựa vào các định lý của giải tích để tìm ra điểm cực trị và giá trị M. Fermat – một luật sư, nhà toán học người Pháp đã sử dụng công cụ đạo hàm để giải bài toán cực trị bằng cách đưa bài toán cực trị từ cách giải đánh giá bằng bất đẳng thức cần nhiều tư duy, mẹo mực về cách giải tự nhiên tìm điểm nghi vấn chỉ nhờ giải các phương trình (đối với hàm số một biến) và hệ phương trình (đối với hàm số nhiều biến). Quy tắc Fermat là một công cụ mạnh, cho phép bài toán cực trị có được lời giải tự nhiên Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu quy tắc Fermat trong từng bước phát triển của nó từ sơ cấp lên cao cấp, nhằm nâng cao kiến thức và khả năng trong 2 giảng dạy và nghiên cứu về toán tối ưu, có được cái nhìn tổng thế từ toán cao cấp vào toán sơ cấp. Nội dung luận văn được viết trong 3 chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Một số kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi, hàm khả vi, điểm dừng Chương 2. Quy tắc Fermat. Quy tắc Fermat và các ví dụ ứng dụng trong các trường hợp hàm số một biến, khả vi, không có ràng buộc, phát triển đến hàm một biến khả vi, có điều kiện ràng buộc, nâng cao lên hàm nhiều biến, khả vi, không ràng buộc, tổng quát nhất là bài toán hàm nhiều biến, không khả vi và có ràng buộc. Sau mỗi bước phát triển ta đều có thể quay trở về bài toán sơ cấp trước đó bằng cách bổ sung thêm giả thiết. Từ đó thấy được các bước phát triển của quy tắc Fermat, đồng thời cũng cho thấy cái nhìn của Toán cao cấp vào toán sơ cấp. Chương 3. Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải các bài toán phổ thông. Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải các bài toán phổ thông, từ những bài toán đơn giản đến những bài toán nâng cao, từ cách giải áp dụng trực tiếp quy tắc đến việc sử dụng toán cao cấp định hướng cho cách giải trong chương trình phổ thông. Do thời gian và kiến thức có hạn nên chắc chắn luận văn này còn nhiều thiếu sót, kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp thu và hoàn thiện luận văn hơn nữa. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH Lê Dũng Mưu, Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn. 3 Bên cạnh đó, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Khoa Toán Tin, trung tâm học liệu đã tạo điều kiện giúp tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn. Thái Nguyên, ngày 24 tháng 03 năm 2015 Học viên Phạm Thị Thủy 4 Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này chủ yếu nhắc lại một số khái niệm cơ bản về hàm lồi, tập lồi, các khái niệm cực tiểu cực đại, bài toán tối ưu, khái niệm đạo hàm, đạo hàm cấp hai. Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5]. 1.1. Tập lồi Định nghĩa 1.1. Một tập nC   được gọi là một tập lồi, nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua 2 điểm bất kỳ của nó. Tức C là lồi khi và chỉ khi  , , 0,1 (1 ) .x y C x y C          Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (véc-tơ) 1 2, ,..., kx x x nếu 1 1 , 0 1,..., , 1 k k j j j j j j x x j k           Một điểm x C được gọi là điểm cực biên của C nếu x không thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp lồi chặt của hai điểm phân biệt bất kì nào của C, tức không tồn tại , ,y z C y z  sao cho  1x y z    với 0 1  . Ví dụ 1.1. Trong 1 các khoảng       , 1 | 0,1a b a b     , 5 đoạn       , 1 | 0,1a b a b     là các tập lồi, đoạn  ,a b có hai điểm cực biên là x = a và x=b. Trong 2 các đa giác lồi, hình tròn, hình elip là các tập lồi. Trong 3 các khối đa diện, khối cầu là các tập lồi. 1.2. Hàm lồi Định nghĩa 1.2. Cho nC   là một tập lồi và :f C  . Ta sẽ ký hiệu  dom : ( )f x C f x    Tập dom f được gọi là miền hữu dụng của f . Định nghĩa 1.3. Cho nC  là một tập lồi và hàm  : nf     . Ta nói f là hàm lồi trên C, nếu           1 1 , , 0,1f x y f x f y x y C             hàm  : nf     được gọi là hàm lồi chặt trên C, nếu           1 1 , , 0,1f x y f x f y x y C             hàm  : nf     được gọi là hàm lồi mạnh trên C với hệ số 0  , nếu  , , 0,1x y C     có            2 1 1 1 1 2 f x y f x f y x y             Bằng quy nạp ta chứng minh được nếu f nhận giá trị hữu hạn trên tập lồi C thì với mọi số tự nhiên m và mọi 1,..., mx x C thỏa mãn 6 1 1 0,..., 0, 1 m m j j        , ta có   1 1 m m j j j j j j f x f x            (Bất đẳng thức Jensen). Hàm f được gọi là hàm lõm trên C nếu f lồi trên C. Các ví dụ về hàm lồi 1. Hàm a-phin   : Tf x a x   trong đó ,na    là một hàm vừa lồi vừa lõm trên toàn không gian. Khi 0  , thì hàm này được gọi là hàm tuyến tính. 2. Hàm chỉ. Cho C  là 1 tập lồi. Đặt   0 khi : khi C x C x x C       Ta nói C là hàm chỉ của C. Do C lồi nên C là một hàm lồi. 3. Hàm mặt cầu. Cho  : | 1nS x x   là một mặt cầu và :h S  là một hàm bất kỳ. Định nghĩa hàm f như sau:     0 1 : 1 1 khi x f x h x khi x khi x         Hàm này được gọi là hàm mặt cầu và là một hàm lồi trên n . 4. Hàm khoảng cách. Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C được định nghĩa bởi   : minC y C d x x y    5. Hàm chuẩn. Giả sử  1,..., nx x x   1 : : max i i f x x x  7 Hoặc     1 2 2 2 1: : ... nf x x x x    6. Hàm số một biến. Hàm số  : ,f a b  khả vi cấp hai liên tục trên (a,b) và có    " 0 ,f x x a b   thì lồi trên (a,b). 1.3. Các phép toán bảo toàn tính lồi Cho f và g là hai hàm xác định trên C và không nhận giá trị  . Với mọi x C ta định nghĩa các hàm:       :f g x f x g x       : ,f x f x   là số thực. Mệnh đề dưới đây suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Mệnh đề 1.1. (i) Cho f và g là hai hàm lồi lần lượt trên các tập lồi A và B, với A B  . Khi đó hàm    f g  lồi trên A B với mọi 0, 0   . (ii) Giới hạn theo từng điểm của một dãy các hàm lồi cũng là một hàm lồi. Tức là nếu  :if C i   và dãy số   if x hội tụ với mỗi x C thì hàm    : lim i i f x f x   cũng lồi trên C. (iii) Nếu :f C  lồi trên tập lồi C và hàm một biến : I  không giảm trên khoảng I, sao cho  f C I thì hàm hợp f  lồi trên C. 1.4. Bài toán tối ƣu Bài toán tối ưu tổng quát được phát biểu như sau: min   : f x x C (P) hoặc max   : f x x C (P’) 8 trong đó C X khác rỗng ( X là một không gian nào đó), thông thường nX và : f C . Định nghĩa 1.4. Một điểm *x C được gọi là cực tiểu địa phương của f trên C (Nghiệm tối ưu địa phương của (P)) nếu tồn tại một lân cận U của *x sao cho    *f x f x x U C    Điểm *x C được gọi là cực đại địa phương (Nghiệm tối ưu địa phương của (P’)) nếu    *f x f x x U C    Nếu    *f x f x x C   thì x* được gọi là cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối của f trên C (Nghiệm tối ưu toàn cục của (P)). Nếu    *f x f x x C   thì x* được gọi là cực đại toàn cục hay cực đại tuyệt đối của f trên C (Nghiệm tối ưu toàn cục của (P’)). Mệnh đề 1.2. Cho  : nf     lồi. Khi đó mọi điểm cực tiểu địa phương trên một tập lồi đều là cực tiểu toàn cục. Hơn nữa tập hợp các điểm cực tiểu của f là một tập lồi. Nếu f lồi chặt thì điểm cực tiểu nếu tồn tại, sẽ duy nhất. Chứng minh. Cho nC   . Giả sử x* là điểm cực tiểu địa phương trên C của f . Khi đó tồn tại lân cận U của x* sao cho    *f x f x x U C    ,0 1x C     do C lồi và U là lân cận của *x C nên ta có điểm  : 1 *x x x C U       khi  đủ nhỏ. Do    *f x f x và f lồi, ta có          * *1f x f x f x f x      9 suy ra    *f x f x . Chứng tỏ x* là điểm cực tiểu toàn cục của f . Giả sử * *,x y C là các điểm cực tiểu của f trên C, vậy      * *f x f y f x x C    . Lấy  * * *: 1z x y    với 0 1  . Do C lồi nên *z C và do f lồi nên          * * *1f z f x f y f x     Suy ra z * cũng là điểm cực tiểu của f trên C. Chứng tỏ tập các điểm cực tiểu của f trên C là lồi. Dễ thấy rằng tập hợp này chỉ gồm nhiều nhất một điểm khi f lồi chặt. Cực đại hàm lồi. Các tính chất cực đại của một hàm lồi khác hẳn các tính chất về cực tiểu của nó. Cụ thể,cực đại địa phương của một hàm lồi không nhất thiết là cực đại tuyệt đối. Ví dụ hàm   2f x x có điểm cực đại địa phương trên [-1, 2] là x = -1, nhưng điểm cực đại tuyệt đối lại là x = 2. Nếu xét hàm này trên [-2,2] ta thấy các điểm cực đại tuyệt đối của nó trên đoạn này không lồi vì nó chỉ gồm 2 điểm 2 và -2. Dưới đây nếu không nói gì thêm thì ta hiểu cực đại là cực đại tuyệt đối. 1.5. Tính liên tục của hàm số Cho hàm số f xác định trên tập mở nC . Hàm f được gọi là liên tục tại điểm 0x C nếu với mọi 0  , tồn tại 0  sao cho    0f x f x   với mọi x C thỏa mãn 0x x   . Nói cách khác, hàm số f là liên tục tại 0x C nếu với mọi dãy nx C hội tụ đến 0x , ta có     0nf x f x . Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại điểm 0x C nếu với mọi 0  , tồn tại 0  sao cho         0 0f x f x f x f x     10 với mọi x C thỏa mãn nx x   . Nói cách khác, hàm số f là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại 0x C nếu với mọi dãy nx C hội tụ đến 0x , và dãy   nf x  hội tụ, ta có         0 0lim limn n n n f x f x f x f x     . Rõ ràng nếu f là nửa liên tục dưới tại 0x C thì f là nửa liên tục trên tại 0x C . Hàm f vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục dưới tại 0x C thì liên tục tại điểm đó. Hàm f được gọi là liên tục (nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) trên C nếu nó liên tục (nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) tại mọi điểm của C. 1.6. Đạo hàm và ma trận Hessian Cho hàm f xác định trên tập mở nC . Giả sử rằng tại 0x , các đạo hàm riêng của hàm f theo mọi biến tồn tại. Khi đó vec tơ      0 0 0 1 2 , ,..., T n f x f x f x x x x           được gọi là gradient của f tại 0x C và kí hiệu  0f x . Nếu các đạo hàm cấp hai theo mọi biến của f tại 0x đều tồn tại thì ma trận         2 0 2 0 1 1 1 2 0 2 0 1 n n n n f x f x x x x x f x f x x x x x                              được gọi là ma trận Hessian của f tại 0x kí hiệu là  2 0f x . 11 Điểm x C là điểm dừng của f trên C lồi nếu  , 0,f x x x x C     trong đó 1 , n T j j j a b a b a b    . Nói riêng, nếu   0f x  thì x là điểm dừng. 1.7. Ma trận xác định dƣơng, nửa xác định dƣơng. Cho A là một ma trận đối xứng thực cấp n, A được gọi là một ma trận nửa xác định dương, nếu 0,T nx Ax x   , là một ma trận xác định dương nếu 0, , 0T nx Ax x x    . A được gọi là một ma trận nửa xác định âm nếu 0,T nx Ax x   , là một ma trận xác định âm nếu 0, , 0T nx Ax x x    . 1.8. Bổ đề Farkas. Cho vectơ np và ma trận A cấp m n , muốn cho , 0p x với mọi x nghiệm đúng 0Ax điều kiện cần và đủ là tồn tại vectơ mu sao cho 0u và  Tp A u ( p biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính không âm các vec tơ hàng của A). 1.9. Nón pháp tuyến. Một tập C được gọi là nón nếu 0, x C x C      một nón được gọi là nón lồi nếu đồng thời nó là một tập lồi. Cho tập nC là một tập lồi và một điểm x C . Ký hiệu    0CN x w| w,y x y C     . 12 Hiển nhiên  0 CN x . Dùng định nghĩa, kiểm tra được  CN x là một nón lồi đóng, nón này được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x. Tập  CN x được gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x. Hiển nhiên    0CN x w| w,y x , y C      . Khi C là một tập mở (trường hợp riêng là nC  ) thì   0CN x  . 1.10. Dƣới vi phân Cho  nf :     . Ta nói * nx  là dưới đạo hàm của f tại x nếu    *x ,z x f x f z , z.    Tương tự đối với hàm lồi khả vi thông thường biểu thức này có nghĩa là phương trình tiếp tuyến nằm dưới đồ thị của hàm số, tuy nhiên khác với trường hợp khả vi, tiếp tuyến ở đây có thể không tồn tại duy nhất. Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là  f x . Nói chung đây là một tập (có thể bằng rỗng) trong n . Khi  f x  thì ta nói f khả dưới vi phân tại x. Theo định nghĩa, một điểm  *x f x khi và chỉ khi nó thỏa mãn một hệ vô hạn các bất đẳng thức tuyến tính. Như vậy  f x là giao của các nửa không gian đóng. Vậy  f x luôn là một tập lồi đóng (có thể rỗng). Ví dụ 1.3. 1.   nf x x ,x  . Tại điểm x = 0 hàm này không khả vi, nhưng nó khả dưới vi phân và    0 * *f x | x ,x x , x    2. C f   là hàm chỉ của một tập lồiC  . Khi đó với 0x C     0 0* *C Cx x | x ,x x x , x      13 Với x C , thì  C x   , nên bất đẳng thức này luôn đúng. Vậy      0 0 00* *C Cx x | x ,x x , x C N x       Vậy đưới vi phân của hàm chỉ của một tập lồi C khác rỗng tại điểm x0  C chính là nón pháp tuyến ngoài của C tại x0. 14 Chƣơng 2 QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ Pierre de Fermat sinh ngày 17 tháng 8 năm 1601 tại Pháp, ông mất năm 1665. Fermat là một học giả vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và là cha đẻ của lý thuyết số hiện đại. Fermat xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án nhưng lại vô cùng say mê toán học với thói quen nổi tiếng là ghi các ghi chú bên lề các quyển sách. Fermat là một học giả nghiệp dư đích thực. Ông được mệnh danh là "Ông Hoàng của những người nghiệp dư". Trong những thư từ trao đổi với các nhà toán học, ông luôn viết những phát biểu cho định lí mới nhất của mình, nhưng không gửi kèm chứng minh. Và ông thách thức họ tìm ra chứng minh đó. Việc ông không bao giờ tiết lộ chứng minh của mình cho mọi người biết khiến họ rất bực mình. Rene Descartes đã gọi Fermat là "thằng cha khoác lác", còn John Wallis thì gọi ông là "gã người Pháp chết tiệt". Khi Blaise Pascal ép ông công bố chứng minh, nhà toán học đã nói: "Bất cứ công trình nào của tôi cũng xứng đáng được công bố, nhưng tôi không muốn tên tôi xuất hiện ở đó.". Ông là một người ưa bí mật, ông sẵn sàng hy sinh danh tiếng của mình để miễn là không bị quấy rầy bởi những câu hỏi vụn vặt của những người phê bình. Phạm vi các định lí của Fermat trải rộng từ định lí cơ bản đến những định lí đơn thuần chỉ có tính giải trí, và thông thường định lí được phát biểu ở mức độ ngắn 15 nhất có thể hiểu nổi và không có một lời gợi ý hay một chứng minh nào. Sau khi Pierre de Fermat mất, người con trai mới in dần các công trình của cha kể từ năm 1670. Năm 1896, hầu hết các tác phẩm của Fermat được ấn hành thành 4 tập dày. Qua đó, người đời vô cùng ngạc nhiên và khâm phục trước sức đóng góp dồi dào của ông. Chính ông là người sáng lập lý thuyết số hiện đại, trong đó có 2 định lý nổi bật: định lý nhỏ Fermat và định lý lớn Fermat. Trong hình học, ông phát triển phương pháp tọa độ, lập phương trình đường thẳng và các đường cong bậc hai rồi chứng minh rằng các đường cong nọ chính là các thiết diện cônic. Trong giải tích, ông nêu các quy tắc lấy đạo hàm của hàm mũ với số mũ hữu tỷ bất kỳ, tìm cực trị, tính tích phân những hàm mũ với số mũ phân số và số mũ âm. Nguyên lý Fermat về truyền sáng lại là một định luật quan trọng của quang học. Ông vừa là một luật sư, vừa là một nhà toán học đã đóng góp nhiều vào sự phát triển bước đầu của toán học. Đặc biệt, ông được nhớ đến qua sự khám phá một phương pháp đầu tiên để tìm cực đại và cực tiểu của tung độ của đường cong. Ông cũng nghiên cứu về lý thuyết số và có nhiều đóng góp trong các lĩnh vực hình học giải tích, xác suất và quang học. Vào những năm 1630 khi khái niệm đạo hàm còn chưa được định nghĩa thì Fermat đã biết sử dụng nó để giải các bài toán cực trị như một công cụ mới mẻ đầy hiệu quả. Ông xét bài toán sau: Cho trước một đoạn thẳng, hãy chia nó thành 2 phần sao cho tích của 2 phần này là lớn nhất? B B - AA Hình 2.1. 16 Đáp án của bài toán này thì người ta đã biết từ trước (tích lớn nhất khi ta chia đoạn thẳng thành 2 phần bằng nhau) nhưng cách làm của Fermat thì lại rất mới. Gọi chiều dài đoạn ban đầu là B, chiều dài đoạn thứ nhất là A thì chiều dài đoạn thứ hai sẽ là: B-A và tích của 2 phần là: 2( )  A B A AB A . Nhà toán học Hi Lạp Pappus ở Alexandria trong một tác phẩm của mình có đưa ra một nguyên lý: “Một bài toán nào đó nói chung có 2 nghiệm thì nó sẽ đạt được giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) trong trường hợp chỉ có một nghiệm”. Ta sẽ dành một chút thời gian để minh họa nguyên lí này của Pappus bởi vì đây là một nguyên lí rất thú vị và có ích. Xét bài toán đơn giản sau: Từ điểm A nằm ngoài đường thẳng d cho trước, hãy xác định điểm N trên d sao cho độ dài đoạn AN là nhỏ nhất? d M'NM A Hình 2.2. . Hãy giả sử chúng ta tìm được một điểm M nào đó nằm bên trái thỏa mãn yêu cầu đề bài (tức là làm cho đoạn AM nhỏ nhất). Khi đó nói chung luôn có một điểm M’ nằm bên phải để cho AM = AM’ cho nên nếu M là nghiệm của bài toán này thì M’ cũng phải là nghiệm và bài toán sẽ luôn có 2 nghiệm. Nguyên lý Pappus phát biểu rằng, giá trị cực tiểu sẽ đạt được trong trường hợp chỉ có một nghiệm, mà muốn vậy thì 'M M . Điều này chỉ xảy ra khi M chính là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống d và đây cũng chính là đáp án của bài toán này. Ví dụ này mặc dù khá tầm thường nhưng nguyên lí của Pappus thì lại rất hữu ích 17 trong nhiều trường hợp tìm cực trị khác nhau. Bây giờ hãy trở lại với bài toán của Fermat. Ông giả sử rằng bài toán trên còn có thêm một đáp số thứ hai nữa (tức là có một cách chia khác để tích hai đoạn lớn nhất), với đáp số thứ hai này chúng ta sẽ gọi đoạn thứ nhất là A E khi đó đoạn còn lại là: B A E  . Tích của chúng lúc này bằng: 2 22AB A AE BE E    . . Bởi vì giá trị lớn nhất phải là duy nhất cho nên hai đáp số trên đều phải cho ra tích giống nhau, nghĩa là: 2 2 2 22 2AB A AE BE E AB A AE E BE         Rút gọn 2 vế cho E ta được: 2A E B  . Mặt khác theo nguyên lý Pappus thì 2 nghiệm này trong trường hợp đạt giá trị lớn nhất phải trở nên bằng nhau nên nói chung E không hề tồn tại. Thế là Fermat cho E = 0, từ đó ông thu được kết quả 2 B A , mà đây cũng chính là đáp số của bài toán trên. Cách làm của Fermat có cái gì đó vừa độc đáo vừa kì quái, ông giả sử rằng bài toán có 2 nghiệm và chúng khác nhau một lượng E. Lúc đầu ông xem E khác 0 và rút gọn E ở hai vế, sau đó ông ta vận dụng nguyên lí Pappus và nói rằng muốn đạt được cực trị thì nói chung E không nên tồn tại và thế là cho E = 0 cuối cùng lại thu được đáp số chính xác. Cách làm này thật quái lạ đối với đa số các nhà toán học thời kì đó, còn với thì hiện tại khi mà chúng ta đã học về đạo hàm thì ta sẽ hiểu được rốt cuộc thì Fermat đã làm cái gì để giải được bài toán đó. . Bài toán mà Fermat giải là xác định A để hàm số  f A lớn nhất, và việc Fermat xem         0f A E f A f A E f A      sau đó rút gọn biểu thức cho E rồi cho E = 0 nếu nói theo ngôn ngữ ngày nay là ông đã sử dụng đặc trưng sau đây của hàm số tại điểm cực trị của nó: 18       0 lim 0 ' 0 E f A E f A f A E      Đây chính là nội dung định lí Fermat về điều kiện cần để hàm số đạt cực trị được trình bày trong sách giáo khoa giải tích 12. Trong chương này ta sẽ tìm hiểu về quy tắc Fermat và các bước phát triển của quy tắc này qua các bài toán tối ưu đối với hàm số khả vi một biến không có ràng buộc, hàm số khả vi một biến có ràng buộc, hàm số khả vi nhiều biến không có ràng buộc và có ràng buộc, hàm số không khả vi. Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu ở các tài liệu [1], [4], [6], [7]. 2.1. Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến không có ràng buộc Ở đây, không gian X trong bài toán (P) là X  Xét bài toán:  { ; }min f x x  1P Hoặc  { ; }max f x x  1 'P trong đó :  f khả vi Để giải bài toán trên ta sử dụng định lý Fermat Định lý 2.1. (Định lý Fermat). Nếu :  f là một hàm số khả vi thì mỗi điểm cực đại (cực tiểu) địa phương đều là điểm dừng, nghĩa là là nghiệm của phương trình f’(x) = 0. Chứng minh. Giả sử f(x) đạt cực đại địa phương tại x0 và có đạo hàm tại x0. Khi đó f(x) xác định trên một khoảng  x ;x    với một 0  và trên khoảng này ta có:    0 0 0f x x f x   với mọi x   19 Do đó:      0 0 0 0 0 x f x x f x f ' x lim x             0 0 0 0 0 x f x x f x f ' x lim x        Suy ra f’(x0) = 0. Định lý Fermat ở đây chỉ nêu điều kiện cần của cực trị. Mệnh đề đảo của định lý không đúng, ví dụ hàm số f(x) = x3 tại x = 0. Để tìm được cực trị, ta dùng định lý Fermat tìm ra các điểm “nghi vấn”, sau đó sử dụng các điều kiện đủ để kiểm tra cực trị. Định lý 2.2. (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị). Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng K =  0 0x ;x   và có đạo hàm trên K hoặc K\{x0}, với 0  . a) Nếu   0f ' x  trên khoảng  0 0x ;x và   0f ' x  trên khoảng  0 0x ;x   thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). b) Nếu   0f ' x  trên khoảng  0 0x ;x và   0f ' x  trên khoảng  0 0x ;x   thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). c) Nếu  f ' x không đổi dấu khi x đi qua x0 thì hàm số không đạt cực trị tại x0. Chứng minh. a) Vì hàm số f(x) liên tục trên K và   0f ' x  trên khoảng  0 0x ;x và   0f ' x  trên khoảng  0 0x ;x   nên ta có    0 0 0f x x f x   với mọi x   20 hay    0 0f x x f x  với mọi x   , điều này tương đương với    0f x f x với mọi  0 0x x ;x    , hay x0 là điểm cực đại của hàm số b), c) tương tự. x y f' x( )<0 f' x( )>0 O x0 x y f' x( )0 O x0 Hình 2.3a. Hàm số đạt cực tiểu tại x0 Hình 2.3b. Hàm số đạt cực đại tại x0 x y f' x( )<0 f' x( )<0 O x0 x y f' x( )>0 f' x( )>0 O x0 Hình 2.4. Hàm số không đạt cực trị tại x0 Ví dụ 2.1. Hàm số   3 2 1f x x x x    có đạo hàm   23 2 1f ' x x x   và   1 0 1 3 f ' x x ; x     . Ta có f’(x) đổi đấu từ + sang – khi x đi qua điểm - 1 và 21 đổi đấu từ - sang + khi x đi qua 1 3 . Do đó x = 1 là điểm cực đại và 1 3 x  là điểm cực tiểu của hàm số. Định lý 2.3. (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị theo đạo hàm cấp cao) Giả sử f(x) được khai triển theo công thức Taylor trong một khoảng mở nào đó chứa x0:             00 0 0 1 kn k n k f x f x f x x x x x k !        và đạo hàm đầu tiên khác 0 của nó tại x0 là đạo hàm cấp n tức là        10 0 0 0 n f ' x f ' x ... f x      và    0 0 n f x  . Khi đó i) Nếu n là số lẻ thì f(x) không có cực trị tại x0 ii) Nếu n là số chẵn thì f(x) có cực trị tại x0, cụ thể là    0 0 n f x  thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số,    0 0 n f x  thì x0 là điểm cực đại của hàm số. Chú ý 2.1. Trong trường phổ thông ta chỉ xét n = 2. Ví dụ 2.2.  Xét hàm   3f x x tại 0. Ta có        3' 0 " 0 0, 0 6f f f          30 0 0 0 6f ' f '' ; f   nên x = 0 không phải là điểm cực trị.  Xét hàm   sinf x x . Ta có    ' cos , " sinf x x f x x   .    ' 0 2 f x x k k       , 22 với k = 2n, " 2 1 0 2 f n            , nên các điểm  2 2 x n n     là các điểm cực đại của hàm số. với 2 1k n  ,  " 2 1 1 0 2 f n            , nên các điểm  2 1 2 x n      n là các điểm cực tiểu của hàm số. Mệnh đề 2.1. Nếu hàm số :f   liên tục và  f x  khi x  thì nó đạt được giá trị nhỏ nhất trong  . Hơn nữa nếu f(x) là hàm lồi khả vi thì nó sẽ có nhiều nhất một điểm cực tiểu và đó điểm mà hàm số đạt cực tiểu tuyệt đối. Chứng minh. Ta coi Mệnh đề 2.1 là hệ quả được suy ra từ định lý ở phần sau. Ví dụ 2.3. Xét hàm 2xf ( x ) e x  , đạo hàm 2xf '( x ) e x  có nghiệm x0 (vì f’(x) liên tục, đồng biến trên  và     x x lim f x ; lim f x       ), hàm số f(x) lồi (vì   2 0xf " x e   ) nên hàm số đạt cực tiểu tại x0, đồng thời x0 là điểm cực tiểu toàn cục.. 2.2 . Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến có ràng buộc Xét bài toán:  { ; },Min f x x C C   2P hoặc  { ; },Max f x x C C   2 'P trong đó : f C khả vi, C có thể là một khoảng, hoặc đoạn trên  Khi xét bài toán tối ưu trên một tập ràng buộc thì Định lý Fermat không còn đúng nữa. 23 Ví dụ xét hàm số    2f x x trên  1;2 . Ta có       ' 2 , ' 0 0f x x f x x , vì  0 1;2x    và    " 0 2 0f nên x = 0 là một điểm cực tiểu của hàm số trên đoạn [-1;2], và quy tắc Fermat vẫn đúng, tuy nhiên nếu ta thay thế điều kiện ràng buộc bởi đoạn không chứa điểm dừng ví dụ [1;2] thì x = 0 không thể là nghiệm của bài toán cực trị trên đoạn [1;2], khi đó điểm cực trị của bài toán sẽ rơi vào các điểm biên. Đặc biệt trong trường hợp hàm  f x lồi trên đoạn [a;b], ta có các bước để giải bài toán: Giải phương trình  ' 0f x  tìm các nghiệm x*. Nếu  * ;x a b , ta kết luận x* là nghiệm cực tiểu của bài toán (P2), x y ba x*O Hình 2.5a. Cực tiểu hàm lồi trên một đoạn Nếu  * ;x a b , ta xét 2 trường hợp *x a thì a là nghiệm cực tiểu của (P2),  *x b thì b là nghiệm cực tiểu của (P2). 24 x y ba x*O x y b a x*O Hình 2.5b. Cực tiểu hàm lồi trên một đoạn Nếu hàm số lõm thì cực tiểu đạt được ở một trong hai đầu biên. x y ba x* O x y ba x* O x y bax* O Hình 2.6. Cực tiểu hàm lõm trên một đoạn Vậy trong trường hợp bài toán tối ưu một biến bị ràng buộc bởi đoạn [a;b] thì Định lý Fermat ở phần 2.1 không còn đúng nữa, và ta thay thế nó bởi định lý sau: Định lý 2.4. Nếu f là một hàm số khả vi trên [a;b] thì cực đại hoặc cực tiểu rơi vào điểm x0 [a,b] là nghiệm của f’(x) = 0 hoặc điểm cực biên x= a hoặc x = b. Chứng minh. Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại  0 ,x a b , theo quy tắc Fermat thì x0 là một nghiệm của f’(x) = 0. 25 Trong trường hợp f’(x) = 0 không có nghiệm trên đoạn [a,b] thì rõ ràng cực trị đạt được tại hai biên x = a hoặc x = b. Do đó ta có thể giải bài toán cực tiểu, cực đại trên đoạn [a;b] bằng cách so sánh giá trị của hàm số tại các điểm dừng trên đoạn [a;b] với giá trị của hàm số tại các điểm biên mà không cần dùng điều kiện đủ như ở phần 2.1. Ví dụ 2.4. (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2ln x y x  trên đoạn 31;e   . Giải. Ta có 2 2 2 2 ln 2 . ln 2ln ln '