Luận án Suy luận tương tự trong dạy học môn toán trung học phổ thông: Nghiên cứu trường hợp phương pháp tọa độ trong không gian

ONG KHÔNG GIAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN Mã số chuyên ngành: 62 14 01 11 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. PGS. TS. NGUYỄN PHÚ LỘC 2. TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG TP HỒ CHÍ MINH - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Các số liệu trích dẫn trong quá trình nghiên cứu điều được ghi rõ nguồn gốc. Tác giả luận án BÙI PHƯƠNG UYÊN MỤC LỤC Trang TRANG BÌA PHỤ i DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VIẾT TẮT VIẾT ĐẦY ĐỦ DH Dạy học SLTT Suy luận tương tự PPTĐ Phương pháp tọa độ GV Giáo viên HS Học sinh SV Sinh viên THPT Trung học phổ thông SGK Sách giáo khoa PT Phương trình PTTQ Phương trình tổng quát PTTS Phương trình tham số VTPT Vectơ pháp tuyến VTCP Vectơ chỉ phương GMAT The General Model of Analogy Teaching TWA Teaching-With-Analogies FAR Focus-Action-Reflection DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng Tên bảng Trang Bảng 1.1 Phân loại SLTT trong nghiên cứu SGK 18 Bảng 1.2 Ví dụ về SLTT có ít thuộc tính, đặc điểm tương tự giữa nguồn và đích 19 Bảng 1.3 Ví dụ về SLTT có nhiều thuộc tính, đặc điểm tương tự giữa nguồn và đích 19 Bảng 1.4 Dùng SLTT đưa ra giả thuyết trong công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng 21 Bảng 1.5 Mô hình FAR 24 Bảng 1.6 Phân tích khái niệm PT mặt cầu theo mô hình FAR 25 Bảng 2.1 Thống kê các bài dạy của GV ở các trường THPT 33 Bảng 2.2 Thang bậc đánh giá mức độ sử dụng SLTT trong dạy học 34 Bảng 2.3 Các nội dung tương tự trong bài Hệ tọa độ trong không gian 35 Bảng 2.4 Thống kê nội dung bài soạn của SV theo nhóm 37 Bảng 3.1 Các nội dung tương tự giữa PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ trong không gian 42 Bảng 3.2 SLTT trong các SGK Hình học cơ bản 45 Bảng 3.3 SLTT trong các SGK Hình học nâng cao 45 Bảng 3.4 Phân loại SLTT trong các SGK Hình học cơ bản và nâng cao 46 Bảng 3.5 Các tổ chức toán học trong PPTĐ trong mặt phẳng và trong không gian 51 Bảng 4.1 Thống kê số tiết sử dụng SLTT theo bài dạy của GV 62 Bảng 4.2 Các bài dạy có sử dụng SLTT của GV 63 Bảng 4.3 Thống kê kết quả sử dụng SLTT ở bước 1 68 Bảng 4.4 Thống kê kết quả sử dụng SLTT ở bước 2 69 Bảng 4.5 So sánh mức độ sử dụng SLTT theo điểm trung bình 71 Bảng 4.6 Kết quả soạn giáo án của SV trong khảo sát 2 71 Bảng 4.7 Thống kê kết quả câu hỏi 1 73 Bảng 4.8 Thống kê kết quả câu hỏi 2 74 Bảng 4.9 Thống kê sự lựa chọn bước khó nhất 75 Bảng 4.10 Thống kê kết quả câu hỏi 3 76 Bảng 5.1 Các giá trị biến trong bài toán viết PTTQ của mặt phẳng qua 3 điểm phân biệt 81 Bảng 5.2 Các chiến lược giải bài toán tìm PTTQ của mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt 82 Bảng 5.3 Kết quả làm bài của HS khi giải bài toán viết PTTQ của mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt 83 Bảng 5.4 Các giá trị biến trong bài toán viết PTTQ của mặt phẳng đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng 87 Bảng 5.5 Các chiến lược của HS khi giải bài toán viết PTTQ của mặt phẳng đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng 88 Bảng 5.6 Kết quả làm bài của HS khi giải bài toán viết PTTQ của mặt phẳng qua 1 điểm và song song với 2 đường thẳng 89 Bảng 5.7 Các giá trị biến trong bài toán viết PTTS của đường thẳng trong không gian đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng d 93 Bảng 5.8 Các chiến lược tìm PTTS của đường thẳng trong không gian đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng d 94 Bảng 5.9 Kết quả làm bài của HS khi giải bài toán tìm PTTS của đường thẳng trong không gian đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng d 95 Bảng 5.10 Các giá trị biến trong bài toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 99 Bảng 5.11 Các chiến lược trong bài toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 99 Bảng 5.12 Kết quả làm bài của HS khi giải bài toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 100 Bảng 5.13 Một số tương tự giữa các dạng cụ thể trong kiểu nhiệm vụ nhận dạng PT đường tròn và mặt cầu 103 Bảng 5.14 Các giá trị của biến trong bài toán nhận dạng PT đường tròn và PT mặt cầu 105 Bảng 5.15 Dự đoán một số sai lầm của HS khi sử dụng SLTT nhận dạng PT đường tròn và PT mặt cầu 106 Bảng 5.16 Kết quả làm bài của HS khi giải bài toán nhận dạng PT đường tròn và PT mặt cầu 108 Bảng 5.17 Các sai lầm của HS khi giải bài toán nhận dạng PT đường tròn và PT mặt cầu 108 Bảng 6.1 Quy trình DH khám phá khái niệm với SLTT (được cải tiến từ mô hình TWA) 113 Bảng 6.2 Dùng SLTT để khám phá khái niệm PT mặt cầu 114 Bảng 6.3 Dùng SLTT để khám phá khái niệm PTTQ của mặt phẳng 116 Bảng 6.4 Dùng SLTT để khám phá khái niệm PTTS của đường thẳng trong không gian 118 Bảng 6.5 Quy trình DH khám phá định lý với SLTT (cải tiến từ mô hình TWA) 119 Bảng 6.6 Quy trình DH giải bài tập toán với SLTT (cải tiến từ mô hình TWA) 123 Bảng 6.7 Quy trình dự đoán sai lầm của HS do các nguồn tương tự trước khi giảng dạy 129 Bảng 6.8 Quy trình phân tích phát hiện sai lầm 132 Bảng 6.9 Quy trình sửa chữa sai lầm khi sử dụng SLTT 136 Bảng 6.10 Hệ thống hóa kiến thức trong PPTĐ trong mặt phẳng và trong không gian 140 Bảng 6.11 Hệ thống hóa cách giải các bài tập viết PTTS của đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian 141 Bảng 6.12 Kết quả SLTT bài toán 1b và 2b theo chiến lược S1 147 Bảng 6.13 Kết quả SLTT bài toán 1b và 2b theo chiến lược S2 148 Bảng 6.14 Kết quả SLTT bài toán 1b và 2b theo chiến lược S3 148 Bảng 6.15 Thống kê kết quả pha 1 trong tình huống thực nghiệm 1 149 Bảng 6.16 Thống kê kết quả pha 2 trong tình huống thực nghiệm 1 150 Bảng 6.17 Kết quả pha 1 trong tình huống thực nghiệm 2 155 Bảng 6.18 Cách giải bài toán D1, D2, D3 theo chiến lược B1 162 Bảng 6.19 Cách giải bài toán D1, D2, D3 theo chiến lược B2 163 Bảng 6.20 Cách giải bài toán D1, D2, D3 theo chiến lược B3 164 Bảng 6.21 Kết quả thực nghiệm pha 1 và pha 2 của tình huống 3 165 Bảng 6.22 Các chiến lược của các bài toán – tình huống thực nghiệm 4 169 Bảng 6.23 Thống kê các chiến lược của HS đối với bài toán 1 172 Bảng 6.24 Thống kê các chiến lược của HS đối với bài toán 2 172 Bảng 6.25 Thống kê các chiến lược của các nhóm đối với bài toán 3 173 DANH MỤC CÁC HÌNH Hình Tên hình Trang Hình 1 Sơ đồ quá trình nghiên cứu của luận án 8 Hình 1.1 Sơ đồ cấu trúc của SLTT 13 Hình 1.2 Mô hình học tập bằng SLTT của Holyoak 13 Hình 1.3 SLTT trong quá trình nhận thức 14 Hình 1.4 Mô hình của SLTT (theo Nguyễn Phú Lộc, 2010) 17 Hình 1.5 Sơ đồ diễn giải “tổ chức toán học” (praxéologie) theo cách tiếp cận của thuyết nhân học trong didactic toán 28 Hình 2.1 Mẫu biên bản dự giờ GV 33 Hình 3.1 Dùng SLTT chứng minh 47 Hình 3.2 Lời giải bài tập SGK có sử dụng SLTT của HS 48 Hình 3.3 PTTS của đường thẳng trong không gian 48 Hình 3.4 Tình huống có vấn đề cho việc giảng dạy PTTS của đường thẳng trong không gian 48 Hình 3.5 Cách giới thiệu chương Phương pháp tọa độ trong không gian bằng tương tự 49 Hình 3.6 Cách trình bày khái niệm hệ trục tọa độ trong không gian 49 Hình 3.7 Cách trình bày công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 50 Hình 5.1 Các chiến lược tìm PTTQ của đường thẳng qua 2 điểm phân biệt A, B. 79 Hình 5.2 Các chiến lược tìm PTTQ của mặt phẳng qua 3 điểm phân biệt A, B, C 80 Hình 5.3 Các chiến lược tìm PPTQ của đường thẳng qua A và song song d 86 Hình 5.4 Các chiến lược tìm PTTQ của mặt phẳng đi qua điểm A và song song với hai đường thẳng d và d’ 86 Hình 5.5 Các chiến lược tìm PTTS đường thẳng qua A và vuông góc d trong mặt phẳng 92 Hình 5.6 Các chiến lược tìm PTTS của đường thẳng đi qua A và vuông góc đường thẳng d trong không gian 92 Hình 5.7 Các chiến lược tìm góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng 97 Hình 5.8 Các chiến lược tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 97 Hình 5.9 Các chiến lược nhận dạng PT đường tròn 104 Hình 5.10 Các chiến lược nhận dạng PT mặt cầu 104 Hình 6.1 Bài làm của HS L.H.T. (lớp 12 trường PT Thái Bình Dương) 133 Hình 6.2 Bài làm của HS B.V.N.M. (lớp 12 trường PT Thái Bình Dương) 135 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Việc sử dụng suy luận tương tự vào dạy học được nhiều nhà giáo dục trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Khi gặp một tình huống mới, học sinh (HS) có xu hướng so sánh, đối chiếu nó với các vấn đề tương tự trước đó, từ đó tìm ra cách giải quyết vấn đề. Việc sử dụng suy luận tương tự (SLTT) trong quá trình dạy học (DH) đòi hỏi HS phải hoạt động dựa trên kiến thức cũ để tự mình khám phá ra các kiến thức mới. Vì vậy, HS là người chủ động, tích cực để hình thành các giả thuyết mới. Quá trình này thúc đẩy phát triển tư duy vì nó đòi hỏi người học phải biết suy xét, phân tích, so sánh, đối chiếu, khái quát hóa các kiến thức; từ đó, khuyến khích lòng ham mê học tập và là động lực để phát huy tư duy độc lập, tư duy phê phán và tư duy sáng tạo của HSThe analogies serve as initial models, or simple representa-.Of- SLTT có vai trò quan trọng trong DH khoa học nói chung và DH toán nói riêng. SLTT có thể được dùng để xây dựng ý nghĩa cho tri thức, xây dựng giả thuyết trong DH khám phá, dự đoán và ngăn ngừa sai lầm của HS, dùng trong giải bài tập toán,. Vì vậy, việc nghiên cứu về tương tự, SLTT và sử dụng SLTT vào DH đã được nhiều tác giả quan tâm. Ở thời kì cổ đại, theo [66], Aristote đã xem xét SLTT là cách suy luận dựa trên những điểm giống nhau hay tương tự giữa hai vật. Ông đã đưa ra tương tự dựa trên nguyên nhân, dấu hiệu, các đại diện và tương tự dựa trên tính tỷ lệ. Ở thời kì trung đại, theo [67], khi các trường Đại học đầu tiên (Bologna, Paris, Oxford) được thành lập, các nghiên cứu về SLTT cũng tăng lên và được xem xét thành ba loại chính: Thứ nhất, theo ý nghĩa gốc Hy Lạp, SLTT liên quan đến so sánh hai tỷ lệ hoặc một mối quan hệ giữa hai điều. Thứ hai, SLTT theo thuộc tính. Thứ ba, SLTT được sử dụng bởi các nhà thần học, là mối quan hệ giống nhau giữa Thiên Chúa và các sinh vật. Ở thời kì hiện đại, những nghiên cứu về tương tự và SLTT được phát triển mạnh mẽ. SLTT không chỉ là suy luận giữa các tỷ số hay mối quan hệ giữa hai điều có đặc điểm tương tự mà nó là một tương ứng giữa hai cấu trúc được ràng buộc bởi nhiều yếu tố. G. Polya (1977) đã nghiên cứu việc sử dụng SLTT trong toán học và cho rằng SLTT có thể cung cấp nguồn cho các vấn đề mới và có thể nâng cao hiệu suất, ý tưởng giải quyết vấn đề. Theo [23, tr. 24-50], ông đã giới thiệu SLTT cùng mối liên hệ của nó với khái quát hóa, đặc biệt hóa trong giải quyết các vấn đề toán học. Dedre Gentner (1983) đã đưa ra lý thuyết cấu trúc tương ứng (Structure - Mapping) nhằm mục đích nắm bắt các quy trình tâm lý thực hiện SLTT. Lý thuyết này cho rằng “SLTT là một tương ứng từ một cấu trúc (nguồn) đến một cấu trúc khác (đích)” [43]. Hassan Hussein Zeitoun (1984) đã đưa ra mô hình GMAT (The General Model of Analogy Teaching). Theo [52], mô hình GMAT nhấn mạnh sự cần thiết lên kế hoạch trước khi sử dụng SLTT để giúp HS học tập kiến thức mới và đánh giá những tác động của SLTT để đáp ứng nhu cầu của HS. Theo [59], Tom Murray, Klaus Schultz, David Brown và Jonh Clement (1990) đã thiết kế một chiến lược giảng dạy sử dụng SLTT để khắc phục quan niệm sai lầm bằng cách khơi gợi trực giác chính xác hiện có và mở rộng những trực giác bằng cách khuyến khích những suy nghĩ tương tự. Shawn M. Glynn (1994) đề xuất mô hình TWA (Teaching With Analogies). Theo [58], mô hình này đã nêu ra một quy trình DH với SLTT một cách rõ ràng bao gồm 6 bước. Holyoak (1997) phát triển nghiên cứu việc sử dụng SLTT trong giải quyết vấn đề và cho rằng quá trình lập tương ứng cần hướng đích: sự gắn kết của SLTT phụ thuộc vào cấu trúc thống nhất, ngữ nghĩa và mục đích. Vì vậy, giữa nguồn và đích cần có càng nhiều mối quan hệ, thuộc tính giống nhau càng tốt và nó giúp giải quyết vấn đề gần.[70] Lindsey E. Richland, Keith J. Holyoak và James W. Stigler (2004) đã nghiên cứu xem xét các vấn đề: HS - GV tham gia, nguồn tương tự, xây dựng mục tiêu và bối cảnh xuất hiện tương tự. Những dữ liệu từ 103 tương tự xuất hiện trong 25 lớp 8 học toán được chọn ngẫu nhiên ở Mỹ cho thấy rằng các GV thường xuyên sử dụng tương tự như các cơ chế hướng dẫn để dạy các khái niệm. Xây dựng nguồn và mục tiêu cũng liên quan đến tương tự đáp ứng nhu cầu học tập của HS dưới sự kiểm soát và giúp đỡ của GV. [49] Leslie Jill Atkins (2004) đã tập trung vào việc HS tạo ra tương tự trong khoa học và cung cấp một mô hình cho sự hiểu biết này. Tác giả cung cấp bằng chứng về phân loại tương tự và các cơ sở của tương tự, từ đó cho rằng tương tự được tạo ra dựa vào lược đồ và các mô hình nhận thức. [48] Theo [40], Harrison và Coll (2007) đưa ra một hướng dẫn GV cách phân tích một tương tự trước và sau khi DH với SLTT: mô hình FAR (Focus-Action-Reflection). Nghiên cứu của Kyung Hwa Lee, Min Jung Kim, Gwi Soo Na, Dae Hee Han và Sang Hun Song (2007) tập trung thảo luận hai vấn đề: làm thế nào để các HS lớp 6 và lớp 8 có năng khiếu toán học sử dụng quy nạp, tương tự và hình ảnh trong quá trình giải quyết công việc của các em và vai trò của quy nạp, tương tự và hình ảnh trong việc khám phá toán học. [47] Alison Pease, Markus Guhe và Alan Smaill (2009), khám phá nguồn gốc và sự phát triển các giả thuyết của Descartes – Euler và những thảo luận hình học (sự giống nhau giữa hai chiều và ba chiều, SLTT trong toán học của G. Polya) thông qua các SLTT đã được sử dụng để phát minh ra và phân tích phỏng đoán. [41] Ở Việt Nam, có nhiều nghiên cứu về SLTT và ứng dụng của nó trong DH được giới thiệu bởi các tác giả như Hoàng Chúng, Nguyễn Bá Kim, Đào Tam, Nguyễn Phú Lộc, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Đoàn Hữu Hải, Tác giả Hoàng Chúng (1994) đã định nghĩa SLTT “là suy luận căn cứ vào một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng, để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tượng đó” [5, tr. 87-88], cùng sơ đồ, ví dụ minh họa và các điều kiện đảm bảo độ tin cậy của SLTT. Tác giả Đoàn Hữu Hải (2001) đã chỉ ra “những qui tắc đặt tương ứng về sự tương tự dựa trên các phương diện cấu trúc; sự tương tự giữa các khái niệm, định nghĩa, định lý liên quan đến các đối tượng cơ bản và những quan hệ cơ bản và sự tương tự giữa các tính chất của những hình dạng thông thường”[8]. Tác giả Nguyễn Bá Kim (2004) xem xét SLTT là một cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề trong DH phát hiện và giải quyết vấn đề [13, tr.209]. Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2004) đã giới thiệu việc khai thác phép SLTT vào DH hình học không gian: thứ nhất là sự tương tự tính chất của hình học phẳng và hình học không gian; thứ hai là dùng tương tự trong cách giải quyết hai bài toán khi có sự tương tự về các yếu tố cho trong giả thiết và kết luận (theo [4, tr. 212-216]). Tác giả Lê Văn Tiến (2005) đã đưa ra một ví dụ sử dụng SLTT giữa tam giác vuông và tứ diện vuông [34]. Tác giả Đào Tam (2007) đã nhấn mạnh cần “chú trọng cho HS thao tác tư duy tương tự hóa giữa việc DH hình học phẳng và hình học không gian” [29, tr.63] và chỉ ra các sai lầm khi sử dụng SLTT. Đối với nội dung PPTĐ, tác giả đã phân tích đặc điểm và chỉ ra sự tương tự giữa các kiến thức trong mặt phẳng và trong không gian. Tác giả Nguyễn Phú Lộc (2010) đã đề cập cơ sở lý thuyết về SLTT, hai loại SLTT theo quan hệ và theo thuộc tính. Bên cạnh đó, theo [18, tr. 64-69] và [20, tr. 81-82], tác giả Nguyễn Phú Lộc đã đề cập hai mô hình TWA và FAR sử dụng SLTT vào DH khám phá các khái niệm cấp số nhân, đạo hàm và giới hạn dãy số. Tác giả Từ Đức Thảo (2011) đề cập việc tìm ra các quy luật, tính chất liên quan đến elip, hyperbol, parabol bằng cách sử dụng SLTTvới các quy luật liên quan đến đường tròn [33]. Tác giả Bùi Phương Uyên (2012) đã vận dụng mô hình TWA vào DH các khái niệm trong chương PPTĐ trong không gian và thực nghiệm kiểm chứng [38]. Tác giả Dương Hữu Tòng (2013) nghiên cứu cách sử dụng SLTT để xây dựng nghĩa cho tri thức, xây dựng giả thuyết, dùng trong giải các bài tập liên quan đến chủ đề phân số [37]. 1.2. Mối quan hệ tương tự giữa phương pháp tọa độ trong không gian và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Phương pháp tọa độ (PPTĐ) là “một phương pháp tư duy mới, tư duy hình học bằng những con số, tìm hiểu các hình hình học qua phương trình của chúng. Việc đưa kiến thức vectơ PPTĐ vào chương trình hình học... đã giúp HS tiếp cận với một phương pháp tư duy hiện đại... có thêm những phương tiện mới để suy luận một cách có cơ sở khoa học mà hoàn toàn không dựa vào trực giác” (dẫn theo [4, tr.120]). PPTĐ là một nội dung quan trọng trong chương trình toán phổ thông hiện nay. PPTĐ chiếm một phần ba nội dung hình học trong chương trình sách giáo khoa (SGK) toán lớp 10 và lớp 12 hiện nay. Đây cũng là một nội dung quan trọng trong các kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi đại học, cao đẳng (chiếm 1/5 khối lượng trong các đề thi). Vì vậy, cần giúp cho HS nắm vững các khái niệm, định lý và vận dụng tốt vào giải các bài tập PPTĐ là một yêu cầu cần thiết hiện nay. Các SGK hiện nay trình bày chủ yếu một hệ tọa độ là hệ tọa độ Descartes vuông góc trong cả mặt phẳng lẫn không gian vì nó là hệ tọa độ thông dụng nhất và cho phép giải quyết cả những bài toán aphin lẫn những bài toán mêtric. SGK Hình học 10 đề cập đến một số nội dung quan trọng: Phương trình tham số (PTTS), phương trình (PT) chính tắc, phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng, PT theo đoạn chắn, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, PT đường tròn, các đường conic,... Trong không gian, nội dung của PPTĐ bao gồm: PTTQ của mặt phẳng, vectơ pháp tuyến (VTPT), cặp vectơ chỉ phương (VPCP), vị trí tương đối của hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, PTTS của đường thẳng, PT mặt cầu,... Điều này cho thấy rằng có nhiều khái niệm ở chương PPTĐ trong không gian là những vấn đề tương tự như đã xét đối với các khái niệm ở chương PPTĐ trong mặt phẳng. Hơn thế nữa, ở hai chương PPTĐ trong mặt phẳng và trong không gian, rất nhiều dạng bài tập có nội dung và cách giải hoàn toàn tương tự nhau. Vì thế, giáo viên (GV) cần giúp cho HS thấy được sự tương tự giữa các nội dung trong PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ trong không gian. Điều này được tác giả Lê Thị Hoài Châu chỉ rõ : “Khi dạy PPTĐ trong không gian cần phải liên hệ với PPTĐ trong mặt phẳng, chỉ cho HS thấy sự tương tự, sự khái quát hóa từ mặt phẳng lên không gian: PTTQ, VTPT, cặp VTCP, vị trí tương đối của hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng là những vấn đề tương tự như đã xét với đường thẳng trong mặt phẳng”. [4, tr. 142] Như đã phân tích, DH với SLTT có vai trò quan trọng trong quá trình DH toán bởi nó không chỉ giúp HS có cơ hội ôn tập kiến thức cũ mà còn giúp phát huy tính tích cực của HS trong việc khám phá kiến thức mới. Bên cạnh đó, các nội dung trong chương PPTĐ trong gian có nhiều điểm tương tự với các nội dung trong chương PPTĐ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, hiện nay chưa có nhiều công trình nghiên cứu về vấn đề này. Vì vậy, DH các nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian bằng việc sử dụng SLTT với các nội dung ở chương PPTĐ trong mặt phẳng là một vấn đề mới. Từ đây đặt ra cho chúng tôi bốn nghi vấn sau: - Thứ nhất, các tác giả SGK Hình học hiện hành có sử dụng SLTT để trình bày các nội dung cụ thể trong chương PPTĐ trong không gian hay không? - Thứ hai, từ việc sử dụng SLTT trong các SGK, GV toán THPT và SV sư phạm toán có lựa chọn sử dụng SLTT trong DH chương PPTĐ trong không gian như là một chiến lược nhằm phát huy tính tích cực của HS hay không? - Thứ ba, HS mắc phải những loại sai lầm nào khi sử dụng SLTT trong quá trình học tập ở chương PPTĐ trong không gian? - Thứ tư, làm thế nào để phát huy tính hiệu quả khi DH với SLTT ở chương PPTĐ trong không gian? Từ những nghi vấn trên đây, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu của luận án: “Suy luận tương tự trong dạy học môn Toán trung học phổ thông: Nghiên cứu trường hợp Phương pháp tọa độ trong không gian”. 2. Phạm vi lý thuyết và nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi về tương tự, SLTT và DH với SLTT. Bên cạnh đó, một số công cụ lý thuyết của didactic toán được vận dụng trong luận án là: - Thuyết nhân học trong didactic toán: quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học. - Hợp đồng DH trong nghiên cứu sai lầm của HS. - Lý thuyết tình huống: phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm các tình huống DH. Mục đích của đề tài là tìm hiểu về khái niệm tương tự, SLTT, vai trò, vị trí của nó và các ứng dụng của SLTT trong DH PPTĐ trong không gian. Từ những nghi vấn ban đầu, chúng tôi đã cụ thể thành các câu hỏi nghiên cứu sau: Câu hỏi nghiên cứu 1: Mối tương quan tương tự giữa PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ trong không gian ra sao? Có những kiểu nhiệm vụ nào trong chương PPTĐ trong không gian tương tự các kiểu nhiệm vụ trong PPTĐ trong mặt phẳng? Có những kết luận gì về thực trạng sử dụng SLTT trong SGK Hình học hiện nay? Câu hỏi nghiên cứu 2: Sự ảnh hưởng của việc sử dụng SLTT trong chương PPTĐ trong không gian ở các SGK đối với việc thực hành giảng dạy của GV toán THPT và SV năm cuối ngành sư phạm toán ra sao? Câu hỏi nghiên cứu 3: HS gặp phải những sai lầm nào khi sử dụng SLTT vào giải bài tập chương PPTĐ trong không gian? Câu hỏi nghiên cứu 4: Những biện pháp nào để phát huy tác dụng tích cực của SLTT trong DH PPTĐ trong không gian? Làm thế nào để kiểm chứng tính hiệu quả của các biện pháp này? 3. Phương pháp nghiên cứu Để tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi được nêu ở trên, chúng tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: - Nghiên cứu lý luận: Phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các quan niệm về tương tự, SLTT và các mô hình DH sử dụng SLTT để hình thành cơ sở lý thuyết cho đề tài. - Phương pháp phân tích nội dung: phân tích các SGK Hình học hiện hành được thực hiện nhằm tìm hiểu các SLTT được sử dụng như thế nào trong SGK và đặc biệt ở chương PPTĐ trong không gian. - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Tìm hiểu thực tiễn DH sử dụng SLTT trong chương PPTĐ trong không gian của GV và SV sư phạm Toán. Tìm hiểu những sai lầm của HS liên quan đến SLTT khi học tập các kiến thức trong chương PPTĐ trong không gian. - Nghiên cứu và phát triển: đề xuất những giải pháp tổ chức DH sử dụng SLTT vào DH các nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian. - Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: triển khai thực nghiệm kiểm chứng tính hiệu quả của các tình huống DH sử dụng SLTT đã đề xuất. - Phương pháp thống kê toán học: phân tích các dữ liệu nghiên cứu. Quá trình nghiên cứu của chúng tôi được mô tả ở hình 1. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU THU THẬP DỮ LIỆU NGHIÊN CỨU PHÂN TÍCH DỮ LIỆU NGHIÊN CỨU TỔNG HỢP VÀ TƯỜNG THUẬT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu các SLTT trong SGK Hình học (câu hỏi nghiên cứu 1) Nghiên cứu thực tiễn DH sử dụng dụng SLTT của GV và SV (câu hỏi nghiên cứu 2) Nghiên cứu sai lầm của HS khi sử dụng SLTT (câu hỏi nghiên cứu 3) Nghiên cứu giải pháp sử dụng SLTT vào DH và thực nghiệm kiểm chứng (câu hỏi nghiên cứu 4) NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU CƠ SỞ LÝ THUYẾT Hình 1. Sơ đồ quá trình nghiên cứu của luận án 4. Giới hạn của đề tài Ở đây, chúng tôi lựa chọn một phép suy luận được sử dụng nhiều trong quá trình học tập, khám phá kiến thức mới của HS: SLTT. Phép suy luận này được nghiên cứu trong quá trình DH toán ở trường THPT và được vận dụng vào DH các nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian. Hơn nữa, trong luận án chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu những SLTT chuyển từ mặt phẳng sang không gian. Để nghiên cứu sự ảnh hưởng của việc sử dụng SLTT ở SGK đối với việc thực hành giảng dạy của GV và SV, chúng tôi dựa trên cơ sở so sánh các SLTT được trình bày trong các SGK Hình học 12 hiện hành (cơ bản và nâng cao) với cách sử dụng SLTT trong các tiết dạy của GV toán THPT và giáo án của SV sư phạm toán. Về đối tượng khảo sát, chúng tôi chỉ tiến hành khảo sát đối với GV và HS các trường THPT ở các tỉnh đồng bằng sông Cửu Long, SV ngành Sư phạm toán trường Đại học Cần Thơ. 5. Giả thuyết khoa học Các giả thuyết sau đây có được từ việc nghiên cứu cơ sở lý luận, nghiên cứu nội dung SGK và thực trạng DH với SLTT. Việc kiểm chứng tính đúng đắn của chúng được thực hiện trong chương 5 và chương 6 của luận án. H1: Bằng cách sử dụng SLTT, GV có thể tổ chức DH giúp HS khám phá tri thức toán học ở chương PPTĐ trong không gian. H2: Bằng cách sử dụng SLTT, GV có thể giúp HS tìm tòi lời giải cho các bài toán ở chương PPTĐ trong không gian . H3: Trong học tập chương PPTĐ trong không gian, HS sẽ gặp phải những sai lầm khi giải bài tập toán do sử dụng SLTT. 6. Đóng góp chính của luận án 6.1. Về mặt lý luận - Tổng hợp quan điểm của nhiều nhà khoa học, nhà giáo dục về tương tự, SLTT, vai trò và ứng dụng của nó trong quá trình DH, cách phân loại về SLTT và các mô hình DH sử dụng SLTT như: mô hình GMAT, mô hình TWA, mô hình FAR, - Đề xuất tiêu chí đánh giá mức độ sử dụng SLTT trong DH. - Đề xuất sáu giải pháp nhằm phát huy tác dụng tích cực của SLTT vào DH. - Đề xuất cách vận dụng SLTT vào sáu quy trình DH cơ bản: quy trình DH khám phá khái niệm; quy trình DH khám phá định lý, quy trình DH giải bài toán; quy trình dự đoán sai lầm của HS do các nguồn tương tự trước khi giảng dạy; quy trình phân tích và phát hiện sai lầm; quy trình sửa chữa sai lầm khi sử dụng SLTT. 6.2. Về mặt thực tiễn - Phân tích các tương tự và SLTT được sử dụng trong các SGK Hình học hiện hành ở chương PPTĐ trong không gian. - Làm rõ những ảnh hưởng của cách trình bày các SLTT ở SGK đến việc DH sử dụng SLTT ở chương PPTĐ trong không gian của GV ở trường phổ thông hiện nay và SV năm cuối ngành sư phạm toán. - Chỉ ra một số sai lầm của HS do sử dụng SLTT khi giải bài tập ở chương PPTĐ trong không gian. - Các giải pháp và các quy trình DH với SLTT góp phần nâng cao hiệu quả quả DH các nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian nói riêng và DH môn toán nói chung. 7. Những điểm cần bảo vệ - Những quan niệm về tương tự, SLTT và vai trò của nó trong DH. - Những SLTT được sử dụng trong các SGK hiện hành và thực trạng DH với SLTT của GV, SV sư phạm toán trong chương PPTĐ trong không gian. - Một số kết quả về nghiên cứu sai lầm của HS khi sử dụng SLTT ở chương PPTĐ trong không gian. - Các giải pháp sư phạm và các quy trình DH phát huy tác dụng tích cực của SLTT trong DH chương PPTĐ trong không gian và kết quả thực nghiệm kiểm chứng. 8. Cấu trúc của luận án Tương ứng với mục đích và nhiệm vụ đặt ra, ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận án được trình bày theo 6 chương như sau: Chương 1. Cơ sở lý thuyết Chương 2. Phương pháp và thiết kế nghiên cứu Chương 3. Nghiên cứu SLTT trong chương PPTĐ trong không gian Chương 4. Nghiên cứu thực tiễn DH sử dụng SLTT Chương 5. Nghiên cứu thực tiễn về sai lầm của HS khi sử dụng SLTT Chương 6. Giải pháp phát huy tác dụng tích cực của SLTT trong DH toán và thực nghiệm sư phạm Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này, chúng tôi phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các quan niệm của các nhà giáo dục về tương tự, SLTT, vai trò của SLTT trong DH toán và các mô hình DH sử dụng SLTT để hình thành cơ sở lý thuyết cho đề tài. 1.1. Khái niệm tương tự và suy luận tương tự 1.1.1. Tương tự là gì? Từ tương tự có nguồn gốc từ “αναλογια”, một từ toán học của Hy Lạp. Từ này có nghĩa là sự bằng nhau của hai tỉ số [20, tr. 81- 82]. Theo G. Polya (1997), tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Những đối tượng phù hợp với nhau trong những mối quan hệ được quy định là những đối tượng tương tự. Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng. Theo [23, tr.24 -26], tam giác trong mặt phẳng tương ứng tứ diện trong không gian. Trong mặt phẳng, hai đường thẳng không tạo nên một hình giới hạn, còn ba đường thẳng tạo nên một tam giác. Trong không gian, ba mặt phẳng không tạo nên một vật giới hạn, còn bốn mặt phẳng thì có thể tạo nên một tứ diện. Quan hệ của tam giác với mặt phẳng cũng như quan hệ của tứ diện với không gian bởi chúng đều được giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản. Trong một định nghĩa của Hassan Hussein Zeitoun [50, tr.164-177], tương tự được dựa trên bốn thành phần cụ thể là “nguồn”, “đích”, “tương đồng” và “dị biệt”. “Đích” là các vật không quen thuộc, các vật trừu tượng để được học. Nó có thể là một khái niệm, nguyên tắc, quy luật, lý thuyết hay vấn đề công việc cần được giải quyết. Khái niệm “nguồn” là các vật cụ thể, quen thuộc, thu được từ xung quanh hoặc từ một tình huống trong môi trường. Nó được sử dụng để tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập của khái niệm đích. Khái niệm “nguồn” cũng đại diện cho tương tự và ngược lại. Thuật ngữ “tương đồng” đề cập đến những điểm tương đồng chia sẻ giữa các tính năng tương ứng của khái niệm nguồn và khái niệm đích. Thuật ngữ “dị biệt” được sử dụng để chỉ bất kỳ hình thức khác biệt hoặc không tương đồng giữa các tính năng của khái niệm nguồn và đích. Theo định nghĩa của Duit và Glynn, một tương tự biểu thị sự tương đồng giữa hai lĩnh vực có liên quan đến đặc tính cụ thể [63]. Theo Gentner (1983), “The analogy 'a T is like a B ' defines a mapping from B to T ” (Gentner 1983). B is called theT và S tương tự với nhau hay ta nói “T giống S” xác định một tương ứng từ S đến T [43]. S được gọi làbase domain and serves as a knowledge source. T is called the target domain, and is the subject nguồn và là một kiến thức đã biết, T được gọi là đích và là đề tài to be learned.được học. Như vậy, Gentner xem tương tự là một tương ứng từ nguồn đến đích (một dấu hiệu giống nhau giữa nguồn và đích). Thông thường, nguồn là một phần đã được biết đến, trong khi đích là một phần có thể suy ra hoặc phát hiện. Sự tương tác của nguồn và đích tạo ra một cấu trúc mới mở rộng vượt ra ngoài trước kinh nghiệm đã có. According to Gentner's Structure Mapping Theory , Trong luận án này, chúng tôi lấy quan niệm về tương tự của G. Polya làm cơ sở lý thuyết. 1.1.2. Suy luận tương tự là gì? Theo từ điển Bách khoa toàn thư [62], SLTT là phương pháp luận xác định s...hững hoạt động này chỉ mới đề cập nói chung mà chưa được mô tả hay đưa ra những hướng dẫn cụ thể cho việc giảng dạy trên lớp. 1.3.3. Mô hình TWA ( Teaching-With-Analogies) GV sử dụng SLTT để xây dựng cầu nối khái niệm cho HS giữa những gì quen thuộc (nguồn) và những gì mới (đích). Quy trình của DH với SLTT được thể hiện trong mô hình TWA (the Teaching-With-Analogies), do Glynn đề nghị (1989) bao gồm các bước sau [69, tr.13-14]: 1. Giới thiệu kiến thức cần dạy (đích); 2. Khơi dậy kí ức của HS về tình huống tương tự; 3. Nhận biết các đặc điểm quan trọng của kiến thức nguồn; 4. Thiết lập sự tương ứng giữa nguồn và đích; 5. Chỉ ra những kết luận không đúng; 6. Rút ra kết luận về kiến thức đích. Mô hình trên đã đề xuất một quy trình DH với SLTT một cách rõ ràng. Theo hướng dẫn đó, GV có thể dễ dàng thực hiện quá trình DH của mình. Theo chúng tôi, đây là mô hình có nhiều ưu điểm trong việc áp dụng SLTT vào DH các chủ đề cụ thể của toán học. 1.3.4. Kết luận về các mô hình DH với suy luận tương tự Mỗi mô hình DH với SLTT nói trên đều có những ưu điểm và khuyết điểm. Mô hình GMAT đưa ra các bước để GV lên kế hoạch trước khi sử dụng SLTT và đánh giá những tác động của SLTT để đáp ứng nhu cầu của HS. Mô hình FAR nhấn mạnh sự hợp tác để hành động, phân tích các điểm tương đồng, dị biệt của nguồn và đích từ đó thiết lập sự tương ứng giữa chúng. Tuy nhiên, hai mô hình GMAT và FAR còn bộc lộ khuyết điểm là chưa đưa ra được các bước, các hướng dẫn cụ thể để giúp GV thực hiện quá trình DH với SLTT trên lớp. Các bước cụ thể trong mô hình TWA đã giúp bổ sung và khắc phục khuyết điểm này. Như vậy, nếu kết hợp các mô hình nói trên để phát huy ưu điểm của mỗi mô hình sẽ mang lại hiệu quả tích cực cho quá trình DH với SLTT. 1.4. Một số yếu tố của Didactic toán Trong luận án, chúng tôi có sử dụng một số công cụ lý thuyết của didactic toán. Sau đây, chúng tôi xin trình bày tóm tắt một số yếu tố của nó (phần này được tham khảo trong tài liệu [2]). 1.4.1. Thuyết nhân học trong didactic toán * Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân Quan hệ của thể chế I với tri thức O, R(I, O) là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì, trong I. [2, tr. 317] Quan hệ cá nhân X với tri thức O, R (X, O) là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao. Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X, O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của thể chế I, mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại dấu ấn trong quan hệ R(X,O). Muốn nghiên cứu R(X, O) ta cần đặt nó trong R(I, O). Để góp phần trả lời cho vấn đề những ảnh hưởng của thể chế dạy học đến quan hệ cá nhân của giáo viên và sinh viên với việc sử dụng SLTT ở chương PPTĐ trong không gian, trong chương 3 và chương 4 của luận án, chúng tôi sẽ phân tích những SLTT được các tác giả SGK hiện hành sử dụng và nghiên cứu cách thức sử dụng SLTT của GV và SV sư phạm toán. * Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội, thực tế toán học cũng là một kiểu thực tế xã hội nên cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Chính quan điểm này đã dẫn đến khái niệm praxéologie. Dẫn theo [2, tr. 319], Chevallard chỉ ra mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần , trong đó T là kiểu nhiệm vụ, là kĩ thuật cho phép giải quyết T, là công nghệ giải thích cho kĩ thuật , là lý thuyết giải thích cho . Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học gọi là một tổ chức toán học. Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến một đối tượng tri thức là cần thiết trong quá trình DH tri thức đó bởi nó cho phép vạch rõ mối quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với tri thức. Từ đó, có thể tìm hiểu nguồn gốc của những sai lầm mà HS gặp phải khi học tập tri thức này. Điều này đã được hai tác giả Nguyễn Phú Lộc và Diệp Văn Hoàng diễn giải lại như sau (xem hình 1.5): B1. Kiểu nhiệm vụ (Nêu dạng toán cần xem xét) B2. Kĩ thuật (Trình bày cách giải cho dạng toán nêu ở B1) B3. Công nghệ (Nêu ra các tri thức làm cơ sở; lý giải cho kĩ thuật giải ở B2) B4. Lý thuyết (Hợp thức hóa tri thức ở B3; chỉ rõ lý thuyết làm cơ sở cho tri thức cho B3) Cách thức thực hiện nhiệm vụ (hoặc quy trình hành động để hoàn thành nhiệm vụ) Tri thức và lý thuyết được dùng lý giải cho cách thức thực hiện nhiệm vụ Hình 1.5. Sơ đồ diễn giải “tổ chức toán học” (praxéologie) theo cách tiếp cận của thuyết nhân học trong didactic toán [21] Cách tiếp cận chương trình và SGK sẽ vạch rõ sự lựa chọn của thể chế và những điều kiện, những ràng buộc, những ảnh hưởng của sự lựa chọn của thể chế đối với việc xây dựng hoặc làm thay đổi quan hệ cá nhân của HS đối với tri thức. Lý thuyết về tổ chức toán học cho phép nghiên cứu các dạng bài tập theo một tiêu chuẩn nhất định. Các khái niệm kiểu nhiệm vụ, kĩ thuật, yếu tố công nghệ được vận dụng để phân tích một số tổ chức toán học có đặc điểm tương tự ở hai nội dung PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ trong không gian ở chương 3. Những phân tích về đặc điểm tương tự của các kiểu nhiệm vụ cho phép chúng tôi dự đoán một số sai lầm của HS khi sử dụng SLTT để giải bài tập chương PPTĐ trong không gian. 1.4.2. Các khái niệm trong lý thuyết tình huống Chương 5 và 6 của luận án sử dụng một số khái niệm của lý thuyết tình huống như: phân tích tiên nghiệm, phân tích hậu nghiệm, biến, chiến lược, Nó tạo điều kiện để giải thích cho sự lựa chọn của chúng tôi đối với từng tình huống thực nghiệm. Do vậy, trong phần này, chúng tôi xin trích dẫn một số khái niệm cần thiết. 1.4.2.1. Biến didactic Một họ các bài toán có thể được sinh ra từ một tình huống bằng việc thay đổi những giá trị của một số biến. Các biến này, đến lượt nó, lại làm thay đổi những đặc trưng của các chiến lược giải (độ khó khăn, tính hợp thức, sự phức tạp,). Chúng sẽ là biến didactic nếu bằng cách thực hiện sự tác động lên chúng, người ta có thể gây nên những thích nghi và những điều tiết của việc học tập. [2, tr.175] G.Brousseau gọi: biến didactic là những biến có thể làm thay đổi đặc trưng của những chiến lược giải hay câu trả lời của HS và GV có thể thực hiện việc lựa chọn các giá trị của biến. 1.4.2.2. Phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm Phân tích tiên nghiệm: là thiết lập một mô hình dự kiến về thực tế (tình huống Sa gắn liền với đối tượng tri thức đang nghiên cứu). Khi phân tích tiên nghiệm, người ta thường tìm cách xác định các yếu tố: - Các biến didactic có thể tác động trong Sa, những chiến lược hay câu trả lời có thể xuất hiện và ảnh hưởng của biến trên chiến lược. - Những cái có thể quan sát được, minh chứng các chiến lược hay câu trả lời. - Những kiến thức ẩn đằng sau những chiến lược đó, nghĩa là những kiến thức mầm mống cho sự nảy sinh các chiến lược. - Những kiến thức có thể nảy sinh và các lựa chọn giá trị của biến tạo ra điều kiện nảy sinh đó. Phân tích hậu nghiệm: là dựng lại tình huống thực tế Sp xảy ra thực sự khi triển khai thực nghiệm tình huống Sa. Trong đó, điểm mấu chốt là thực hiện sự phân tích đối chứng giữa những cái đã dự kiến trong phân tích tiên nghiệm với những dữ liệu và mối quan hệ giữa các dữ liệu thu thập được khi triển khai tình huống thực nghiệm, nghĩa là sự đối chứng giữa tình huống Sa và tình huống thực nghiệm Sp xảy ra trong thực tế thực nghiệm. 1.4.2.3. Hợp thức hóa ngoại vi và hợp thức hóa nội tại Hợp thức hóa ngoại vi là phương pháp kiểm chứng tính hiệu quả và khả thi của một hệ thống hóa các giải pháp về DH toán mà nghiên cứu đề xuất. Người ta thường xây dựng triển khai kế hoạch, nội dung và tiến hành trên nhóm đối tượng mẫu và so sánh với nhóm đối tượng đối chứng. Về cơ bản, hai nhóm đối tượng này có bản chất như nhau. Trong hợp thức hóa nội tại, người ta chỉ triển khai thực nghiệm trên nhóm đối tượng mẫu và do đó không có sự so sánh kết quả với nhóm đối chứng như trong hợp thức hoá ngoại vi. Điểm quan trọng trong hợp thức hóa nội tại là thực hiện sự đối chứng giữa phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm. Trong chương 5 và chương 6 của luận án, chúng tôi chủ yếu sử dụng hình thức hợp thức hóa nội tại. Các thực nghiệm được tổ chức trên cơ sở có sự so sánh giữa phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm. 1.4.3. Hợp đồng dạy học Theo quan điểm didactic, cái đích của GV và HS trong lớp là tri thức, nhưng kế hoạch của mỗi bên đối với tri thức khác nhau. Điều đó là do vị trí khác nhau của mỗi bên đối với tri thức. Những gì mỗi bên có quyền làm hay không được làm đối với một tri thức được chi phối bởi một tập hợp các quy tắc có khi tường minh nhưng thường là ngầm ẩn. G. Brousseau định nghĩa hợp đồng DH là tập hợp các quan hệ xác định, thường là ngầm ẩn, có thể phân nhỏ một cách rõ ràng thành những điều khoản của mỗi bên (GV và HS) có trách nhiệm thực hiện những nghĩa vụ bên này với bên kia. Theo Y. Chevallard (1993) hợp đồng DH quy định các quyền hạn và nhiệm vụ của HS và GV qua sự phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi bên. Nó là tập hợp các quy tắc hoạt động, các điều kiện quy định mối quan hệ giữa GV và HS. Hợp đồng DH được xem như là công cụ để nghiên cứu sai lầm của HS và dự đoán nguyên nhân của các sai lầm này. Điều này giúp lý giải một số sai lầm của HS khi giải các bài tập PPTĐ trong không gian ở chương 5. 1.5. Kết luận chương 1 SLTT là phép suy luận từ những đặc điểm chung của nguồn và đích, rút ra những đặc điểm chung khác của chúng. Trong quá trình DH, SLTT được sử dụng để xây dựng ý nghĩa của tri thức, xây dựng các giả thuyết khoa học từ đó khám phá nội dung học tập. Bên cạnh đó, SLTT còn được dùng để hướng dẫn HS giải bài tập, đồng thời sửa chữa các sai lầm của HS. Vì lý do đó, SLTT đã được sử dụng ngày càng nhiều trong quá trình DH. Hiện nay, nhiều mô hình có sử dụng SLTT như mô hình GMAT, mô hình TWA, mô hình FAR hỗ trợ cho quá trình DH. Mỗi mô hình này đều có những ưu điểm và khiếm điểm riêng, nhưng chúng có thể hỗ trợ và bổ sung cho nhau. Chính vì vậy, việc nghiên cứu ứng dụng của SLTT trong DH và xây dựng các giải pháp sư phạm để vận dụng SLTT vào DH các chủ đề cụ thể của toán học là rất cần thiết. Hơn nữa, chúng tôi còn trình bày một số yếu tố của didactic như lý thuyết tình huống, thuyết nhân học trong didactic toán, hợp đồng DH,. Đây là những công cụ lý thuyết được sử dụng trong các nghiên cứu ở các chương sau của luận án. Chương 2 PHƯƠNG PHÁP VÀ THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU Trong chương này, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau để trả lời bốn câu hỏi nghiên cứu đã nêu trong phần nhiệm vụ nghiên cứu: - Phương pháp phân tích nội dung: phân tích các SGK Hình học hiện hành được thực hiện nhằm tìm hiểu các SLTT trong chương PPTĐ trong không gian. - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: quan sát quá trình DH sử dụng SLTT trong chương PPTĐ trong không gian của GV, điều tra, phân tích sản phẩm của SV sư phạm Toán. - Phương pháp phân tích sản phẩm và phỏng vấn: phân tích bài làm và phỏng vấn HS khi thực nghiệm các tình huống gắn liền với những sai lầm của HS do sử dụng SLTT để giải bài tập trong chương PPTĐ trong không gian - Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: thực nghiệm kiểm chứng tính hiệu quả của các tình huống DH sử dụng SLTT vào DH các nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian. 2.1. Nghiên cứu các suy luận tương tự trong chương Phương pháp tọa độ trong không gian 2.1.1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu này được thực hiện để trả lời câu hỏi nghiên cứu 1 (đã nêu trong nhiệm vụ nghiên cứu) và được cụ thể hơn như sau: - Các khái niệm, tính chất tương tự có thể có giữa hai nội dung PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ trong không gian là gì? - Các tác giả SGK Hình học (cơ bản và nâng cao) trong chương trình toán THPT có sử dụng SLTT để trình bày các nội dung toán học hay không? Các tác giả đã sử dụng SLTT như thế nào trong chương PPTĐ trong không gian ở các SGK Hình học 12 hiện hành? - Có những tổ chức toán học nào ở chương PPTĐ trong không gian có mối quan hệ tương tự với những những tổ chức toán học ở chương PTTĐ trong mặt phẳng? 2.1.2. Phương pháp nghiên cứu Trong nghiên cứu này, chúng tôi tiến hành phương pháp phân tích nội dung để: - Phân tích những khái niệm, tính chất tương tự ở hai nội dung PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ trong không gian bằng cách làm rõ các đặc điểm của nguồn và đích trong mỗi tương tự. Đây là cơ sở cho việc vận dụng SLTT vào DH khái niệm, tính chất mới trong chương PPTĐ trong không gian. - Phân tích những SLTT được các tác giả SGK Hình học hiện hành (cơ bản và nâng cao) sử dụng để trình bày các nội dung toán học trong chương trình toán THPT. Ở đây, chúng tôi sử dụng cách phân loại SLTT khi nghiên cứu SGK đã đề cập ở chương 1 (xem bảng 1.1). Sau đó, chúng tôi phân tích cụ thể những SLTT ở chương PPTĐ trong không gian để làm rõ thực trạng sử dụng SLTT của các SGK. - Trình bày tóm tắt 30 cặp tổ chức toán học có đặc điểm tương tự trong hai chương PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ trong không gian theo quan điểm của didactic toán bao gồm: T là kiểu nhiệm vụ, là kĩ thuật cho phép giải quyết T, là công nghệ giải thích cho kĩ thuật . Phân tích cụ thể một số tổ chức toán học làm cơ sở cho việc dùng SLTT vào DH giải bài tập toán và nghiên cứu sai lầm của HS. 2.2. Nghiên cứu thực tiễn dạy học sử dụng suy luận tương tự Để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu 2, chúng tôi tiến hành khảo sát để tìm hiểu về cách thức và mức độ sử dụng SLTT vào DH chương PPTĐ trong không gian của GV ở các trường THPT tại đồng bằng sông Cửu Long và SV năm cuối ngành sư phạm toán học ở trường Đại học Cần Thơ. Khảo sát này góp phần làm rõ những ảnh hưởng của cách trình bày trong SGK đối với cách sử dụng SLTT vào DH của GV và SV sư phạm. 2.2.1. Khảo sát giáo viên 2.2.1.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích của khảo sát này nhằm trả lời hai câu hỏi sau: - Dưới sự ảnh hưởng của việc sử dụng SLTT trong các SGK, GV toán THPT có lựa chọn sử dụng SLTT nhằm giúp HS khám phá kiến thức mới hay không? - Nếu GV có sử dụng SLTT trong quá trình DH thì tính chất và mức độ sử dụng như thế nào? 2.2.1.2. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp điều tra và quan sát như sau: Trong năm học 2013 - 2014, chúng tôi tiến hành khảo sát một số tiết dạy trong chương PPTĐ trong không gian của GV toán ở các trường THPT tại đồng bằng sông Cửu Long. Ở đây, chúng tôi không thực hiện bất kì một tác động nào đến quá trình DH của GV. Trong các tiết dạy, GV được chủ động lựa chọn phương pháp DH riêng cho mình. Những tiết dạy được các GV khác trong tổ toán của trường THPT dự giờ, ghi chép lại một cách chi tiết thành biên bản theo mẫu mà chúng tôi đề nghị (xem hình 2.1). Hình 2.1. Mẫu biên bản dự giờ GV Khảo sát đã tiến hành trên 20 tiết dạy của 18 GV dạy toán tại 10 trường THPT (xem bảng 2.1): Bảng 2.1. Thống kê các bài dạy của GV ở các trường THPT TT GV Tên trường THPT Tên bài dạy Ngày dạy 1 G1 (T.C.L.) Trường THPT An Phú – An Giang PT đường thẳng trong không gian 11/02/2014 2 G2 (N.H.T.) Trường THPT Nguyễn Văn Thoại – An Giang PT đường thẳng trong không gian 24/02/2014 3 G3 (V.C.L.) Trường THPT Nguyễn Văn Thoại – An Giang Luyện tập PT mặt cầu 15/05/2014 4 G4 (D.H.N.) Trường THPT Nguyễn Văn Thoại – An Giang Luyện tập PT đường thẳng 17/05/2014 5 G5 (P.T.K.H.) Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai – Bến Tre PTTQ của mặt phẳng 21/02/2014 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng 23/02/2014 6 G6 (L.P.T.K.) Trường THPT Nguyễn Thị Định – Bến Tre PT đường thẳng trong không gian 03/02/2014 7 G7 (N.H.Đ) Trường THPT Nguyễn Thị Định – Bến Tre PTTQ của mặt phẳng 25/02/2014 8 G8 (L.X.M.) Trường THPT Hòa An – Hậu Giang PTTQ của mặt phẳng 15/02/2014 9 G9 (L.M.N.) Trường THPT Phú Điền – Đồng Tháp PTTQ của mặt phẳng 08/01/2014 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng 16/01/2014 10 G10 (P.V.T.) Trường THPT Nguyễn Thông – Vĩnh Long PTTQ của mặt phẳng 24/01/2014 11 G11 (V.V.T.) Trường THPT Nguyễn Thông – Vĩnh Long PT đường thẳng trong không gian 13/02/2014 12 G12 (N.T.T.A.) Trường THPT Nguyễn Thông – Vĩnh Long Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian 01/03/2014 13 G13 (N.N.N) Trường THPT Phú Thịnh – Vĩnh Long Luyện tập PTTQ của mặt phẳng 16/01/2014 14 G14 (T.T.L.H.) Trường THPT Long Phú – Vĩnh Long Luyện tập PTTQ của mặt phẳng 13/01/2014 15 G15 (N.T.K.C.) Trường THPT Trưng Vương – Vĩnh Long Điều kiện để hai mặt phẳng song song 15/01/2014 16 G16 (V.V.N.) Trường THPT Võ Văn Kiệt – Vĩnh Long Luyện tập PT đường thẳng 19/03/2014 17 G17 (H.Q.T.) Trường THPT Võ Văn Kiệt – Vĩnh Long Luyện tập PPTQ của mặt phẳng 19/03/2014 18 G18 (L.T.B.T.) Trường THPT Võ Văn Kiệt – Vĩnh Long PT đường thẳng trong không gian 22/03/2014 2.2.1.3. Tiêu chí đánh giá Từ cách phân loại SLTT ở bảng 1.1 cho thấy có nhiều mức độ khác nhau khi sử dụng SLTT. Đó có thể là một SLTT đơn giản, cụ thể bằng cách nói rằng nguồn tương tự đích hay một SLTT được giải thích rõ ràng, chỉ ra các dấu hiệu tương ứng giữa nguồn và đích. Vì vậy, việc xây dựng một thang bậc với các tiêu chí đánh giá mức độ sử dụng SLTT trong quá trình DH của GV là cần thiết. Dựa trên các cách phân loại SLTT và các bước trong mô hình TWA, chúng tôi đã đề xuất tiêu chí đánh giá mức độ sử dụng SLTT được phân chia thành các mức độ như sau (xem bảng 2.2): Bảng 2.2. Thang bậc đánh giá mức độ sử dụng SLTT trong DH Mức Mức độ sử dụng SLTT 0 Không sử dụng tương tự. 1 Chỉ nêu được tên nguồn tương tự. 2 Nhắc lại đặc điểm của nguồn, nhưng chưa thiết lập được sự tương ứng với kiến thức đích. 3 Lập được tương ứng giữa nguồn và đích. 4 Thực hiện tốt sự tương ứng giữa nguồn và đích: chỉ ra được tương đồng và dị biệt; có những kết luận thích đáng nhờ SLTT. 2.2.2. Khảo sát SV sư phạm 2.2.2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích của nghiên cứu nhằm trả lời các câu hỏi sau: 1. SV năm cuối ngành sư phạm toán ở trường Đại học Cần Thơ có lựa chọn sử dụng SLTT trong quá trình thực hành soạn giáo án chủ đề PPTĐ trong không gian hay không? 2. Những khó khăn mà SV gặp phải khi thực hành soạn giáo án có vận dụng mô hình TWA vào DH các nội dung chương PPTĐ trong không gian? 3. SV đã thực hiện những biện pháp nào để khắc phục những khó khăn này? 2.2.2.2. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp điều tra và phân tích bài làm của SV như sau: Chúng tôi đã tiến hành hai khảo sát đối với các SV năm cuối ngành sư phạm toán và sư phạm toán - tin học tại trường Đại học Cần Thơ. Khi đó, các em SV đã được học các học phần về phương pháp DH như: Lý luận và phương pháp DH toán, Xu hướng DH không truyền thống, Hoạt động dạy và học môn toán,... Khảo sát được thực hiện đối với các SV đang học học phần Tập giảng toán học. Trong học phần này, SV được giao nhiệm vụ lập kế hoạch bài giảng, soạn giáo án và thực hành DH nên có thể xem như SV đang thực hành công việc của người GV tương lai. Khảo sát 1 Để trả lời cho câu hỏi 1, chúng tôi đã tiến hành khảo sát đối với 52 SV ngành Sư phạm Toán và Sư phạm Toán-tin học khóa 36 của trường Đại học Cần Thơ trong năm học 2013 -2014. Thời gian khảo sát vào tháng 9 năm 2013 và được tiến hành tại hai lớp học phần tập giảng. Nội dung điều khảo sát được tiến hành như sau: Bước 1: SV được giao nhiệm vụ tham khảo các tài liệu để soạn giáo án bài Hệ tọa độ trong không gian (được phân phối trong 3 tiết dạy). SV sẽ làm việc cá nhân ở nhà và nộp lại giáo án đã soạn sau 1 tuần. Chúng tôi lựa chọn bài Hệ tọa độ trong không gian vì nó có nhiều khái niệm và công thức tương tự với hệ tọa độ trong mặt phẳng để tạo điều kiện thuận lợi cho việc sử dụng SLTT vào DH. Các nội dung trong bài hệ tọa độ trong không gian ở SGK 12 Nâng cao được trình bày trong bảng 2.3. Bảng 2.3. Các nội dung tương tự trong bài Hệ tọa độ trong không gian Kiến thức Hệ tọa độ trong không gian (kiến thức đích) Hệ tọa độ trong mặt phẳng (Kiến thức nguồn) 0. Giới thiệu nội dung bài học HS cần nắm định nghĩa về tọa độ điểm, vectơ, biểu thức tọa độ của các phép toán trên vectơ, PT mặt cầu trong hệ trục Oxyz. HS đã biết định nghĩa về tọa độ điểm, vectơ, biểu thức tọa độ của các phép toán trên vectơ, PT đường tròn trong hệ trục Oxy. 1. Hệ trục tọa độ trong không gian Hệ trục Oxyz kí hiệu , với O là gốc tọa độ; Ox (trục hoành), Oy (trục tung), Oz (trục cao) đôi một vuông góc; : các vectơ đơn vị. Hệ trục Oxy kí hiệu , với O là gốc tọa độ; Ox (trục hoành), Oy (trục tung) vuông góc; : các vectơ đơn vị. 2. Tọa độ vectơ 3. Tọa độ điểm 4. PT mặt cầu PT mặt cầu Tâm I(a; b; c), bán kính . PT đường tròn , Tâm I(a; b), bán kính . Ở bước này, chúng tôi muốn tìm hiểu xem khi làm việc cá nhân, SV có sử dụng SLTT vào DH một số nội dung trong PPTĐ trong không gian hay không? Bước 2: SV được chia nhóm thảo luận tại lớp, mỗi nhóm từ 3 đến 4 SV. Các em sẽ thảo luận với nhau về cách dạy bài Hệ tọa độ trong không gian trong 60 phút và nộp lại kết quả. Trong bước này, chúng tôi muốn tìm hiểu xem sau khi thảo luận theo nhóm, việc sử dụng SLTT vào DH của SV có tăng lên hay không? Khảo sát 2 Để trả lời cho câu hỏi 2 và câu hỏi 3, chúng tôi tiến hành khảo sát đối với 31 SV ngành Sư phạm Toán và Sư phạm Toán-tin học khóa 37 của trường Đại học Cần Thơ trong năm học 2014 -2015. Thời gian khảo sát vào tháng 9 năm 2014 và được tiến hành tại một lớp học phần tập giảng như sau: Bước 1: Chúng tôi giới thiệu cho SV về SLTT, mô hình TWA và một ví dụ sử dụng mô hình TWA vào DH công thức tính số hạng tổng quát của một cấp số nhân trong thời gian 45 phút. Sau đó, chúng tôi tổ chức cho SV thảo luận theo nhóm trong 60 phút để soạn giáo án DH các khái niệm, tính chất và bài tập chương PPTĐ trong không gian theo mô hình TWA. Lớp học phần tập giảng gồm 31 SV được chia lớp thành 9 nhóm, mỗi nhóm từ 3 đến 4 SV và soạn giáo án các nội dung sau (xem bảng 2.4): Bảng 2.4. Thống kê nội dung bài soạn của SV theo nhóm Nhóm (SV) Nội dung bài soạn Nhóm 1 (4 SV: L.T.N., N.T.T.A., N.T.T.N., H.D.T.A.) Hệ trục tọa độ, tọa độ điểm, tọa độ vectơ trong không gian Nhóm 2 (3 SV: T.T.T, N.H.D., N.T.T.T.) Tích vô hướng và tích có hướng Nhóm 3 (3 SV: V.T.D.P, T.B.T., V.T.N.D.) PT mặt cầu Nhóm 4 (3 SV: T.N.C., L.N.D., D.K.) PT mặt phẳng Nhóm 5 (3 SV: T.S.R., S.H.D., H.C.T.T.) Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Nhóm 6 (3 SV: N.T.T., N.N.N., P.N.Y.K.) Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Nhóm 7 (4 SV: H.B.T., D.T.M.H., N.H.L., V.N.H.K.) PT tham số và chính tắc của đường thẳng Nhóm 8 (4SV: N.T.T.D., N.T.N.N., T.T.T.N., N.T.L.Q.) Vị trí tương đối của hai đường thẳng Nhóm 9 (4 SV: L.H.N., N.T.T.T., D.T.N.D., L.C.H.) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng Bước 2: Chúng tôi cho SV tiếp tục thảo luận theo nhóm để trả lời các câu hỏi sau trong thời gian 30 phút: 1. Khi vận dụng mô hình TWA vào DH các khái niệm, tính chất, bài tập, các em có được những thuận lợi và khó khăn nào? 2. Hãy cho biết những khó khăn mà em đã gặp phải trong mỗi bước khi áp dụng mô hình TWA vào DH? Theo em, bước nào là khó nhất? Cho ví dụ minh họa. 3. Làm thế nào để vận dụng một cách hiệu quả nhất mô hình TWA vào DH? 2.2.2.3. Tiêu chí đánh giá Tiêu chí đánh giá mức độ sử dụng SLTT được sử dụng theo bảng 2.2 được đề cập trong khảo sát GV. 2.3. Nghiên cứu về sai lầm của học sinh khi sử dụng suy luận tương tự 2.3.1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu này được thực hiện để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu 3: HS gặp phải những sai lầm nào khi sử dụng SLTT vào giải các bài tập chương PPTĐ trong không gian? Dựa theo tính đúng sai của nguồn và đích, có 4 trường hợp sau: Trường hợp 1(Nguồn đúng – đích đúng): Từ các tính chất đúng của nguồn, HS có thể suy ra các tính chất tương tự của đích cũng đúng. Ở đây, SLTT cho một dự đoán đúng và HS cần chứng minh lại các tính chất này. Trường hợp 2 (Nguồn sai – đích sai): Từ các tính chất sai của nguồn, HS có thể suy ra các tính chất tương tự của đích cũng sai. Vì vậy, SLTT cho một dự đoán sai và từ đây cũng dẫn đến sai lầm cho HS. Trường hợp 3 (Nguồn đúng – đích sai): Từ các tính chất đúng của nguồn, HS lại suy ra các tính chất tương tự của đích sai. Ở đây, SLTT cho một dự đoán sai. Nếu các em biết kiểm chứng lại dự đoán thì đây là điểm khác biệt của nguồn và đích. Nhưng nếu các em thừa nhận dự đoán này thì sẽ dẫn đến sai lầm. Trường hợp 4 (Nguồn sai – đích đúng): Từ các tính chất sai của nguồn, HS có thể suy ra các tính chất tương tự đúng của đích. Về mặt logic, điều này hoàn toàn có thể xảy ra đối với HS. Từ phân tích trên cho thấy chỉ có hai loại sai lầm đối với đích có thể xảy ra khi HS sử dụng SLTT vào giải bài tập toán: Sai lầm loại 1: HS mắc phải sai lầm khi giải các bài toán nguồn. Do đó, các em cũng mắc phải những sai lầm khi vận dụng các chiến lược giải tương tự cho bài toán đích. Sai lầm loại 2: HS đã từng thành công khi sử dụng các chiến lược giải này ở bài toán nguồn. Tuy nhiên, khi vận dụng các chiến lược tương tự vào giải bài toán đích thì lại dẫn đến sai lầm. Điều này buộc HS phải xem xét lại cách giải của mình và điều chỉnh cho phù hợp. Bên cạnh đó, chúng tôi nhận thấy còn một số nguyên nhân khác có thể dẫn đến sai lầm của HS như: áp dụng các quy tắc của hợp đồng DH, không nắm vững khái niệm, tính chất, tính toán sai hay sự vô ý của HS. 2.3.2. Phương pháp nghiên cứu Trong nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng công cụ lý thuyết của Didactic toán: lý thuyết tình huống. Chúng tôi đã thiết kế một tình huống học tập gắn liền với các sai lầm khi HS sử dụng SLTT để giải các bài tập ở chương PPTĐ trong không gian. Phân tích tiên nghiệm: Chúng tôi phân tích cụ thể một số kiểu nhiệm vụ trong chương PPTĐ trong không gian minh họa cho các loại sai lầm nói trên. Các kiểu nhiệm vụ này bao gồm: viết PTTQ của mặt phẳng, viết PTTS của đường thẳng trong không gian, tính góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng, nhận dạng PT đường tròn và mặt cầu. Chúng tôi còn đề cập các biến được sử dụng trong tình huống và các chiến lược có thể của 5 bài toán trong tình huống thực nghiệm sai lầm. Phân tích hậu nghiệm: Chúng tôi đã tiến hành phát phiếu học tập cho 309 HS tại 9 lớp 12 vào tháng 3 năm 2015. Các lớp học này bao gồm 4 lớp 12A1, 12A2, 12B1, 12B2 ở trường THPT Thực hành Sư phạm (thành phố Cần Thơ) và 5 lớp 12T1, 12A2, 12A4, 12A7, 12A8 ở trường THPT Nguyễn Thị Định (tỉnh Bến Tre) do 7 GV toán khác nhau giảng dạy. Cuối cùng, chúng tôi chọn 6 HS trong số các HS có mắc phải sai lầm để phỏng vấn về cách mà các em đã sử dụng để giải các bài toán này. Điều này giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về cách sử dụng SLTT để giải toán của các em. 2.4. Nghiên cứu giải pháp sư phạm sử dụng suy luận tương tự vào dạy học Phương pháp tọa độ trong không gian và thực nghiệm kiểm chứng Nghiên cứu này được thực hiện để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu 4. 2.4.1. Căn cứ đề xuất giải pháp sư phạm sử dụng suy luận tương tự vào dạy học Phương pháp tọa độ trong không gian 2.4.1.1. Mục đích của dạy học bằng SLTT DH bằng SLTT được tổ chức nhằm giúp HS khám phá kiến thức mới dựa trên những kiến thức đã học. Quá trình này tạo điều kiện để HS ôn tập kiến thức cũ đã biết, tạo được mối liên hệ giữa kiến thức cũ và kiến thức mới, nhận ra và sửa chữa những sai lầm trong quá trình học tập. Hơn nữa, sử dụng SLTT vào DH còn giúp HS hiểu và nắm rõ hệ thống kiến thức trong chương trình toán, cũng như mối quan hệ giữa toán và các môn khoa học khác. 2.4.1.2. Đặc trưng của tình huống dạy học bằng SLTT Tình huống DH bằng SLTT là một tình huống tạo ra những điều kiện thuận lợi để HS thực hiện phép SLTT vào khám phá kiến thức mới. Đây không phải là quá trình mô tả trực quan, đưa nhận xét rồi phát biểu kiến thức cần học. Kiến thức mới phải được xây dựng thông qua việc sử dụng SLTT. Ở đây, GV không thực hiện nhiệm vụ xây dựng kiến thức mới cho HS. GV có vai trò thiết kế các tình huống, các câu hỏi, các nhiệm vụ giao cho HS thực hiện và thể chế hóa kiến thức. HS có nhiệm vụ thực hiện các yêu cầu của GV, tập dượt sử dụng SLTT trong việc khám phá kiến thức mới. 2.4.1.3. Các căn cứ của việc dạy học PPTĐ trong không gian bằng SLTT Các giải pháp sư phạm khi DH sử dụng SLTT được đề xuất dựa trên những đặc điểm sau: Mục tiêu DH nội dung PPTĐ trong chương trình toán THPT hiện nay. Đó là đảm bảo sự cân đối cho HS nắm vững các mặt cú pháp và ngữ nghĩa; chú trọng khai thác càng nhiều càng tốt các ứng dụng khác nhau của từng khái niệm, định lí, quy tắc, tính chất suy từ khái niệm vào giải quyết nghiên cứu các vấn đề khác thuộc phạm vi kiến thức phổ thông; chú trọng các yếu tố trực quan; chú trọng các dạng toán trong chương trình phổ thông, phối hợp nhiều phương pháp khác nhau để giải: phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, PPTĐ (trích theo [29, tr.117-136]). Hơn nữa, nội dung chương PPTĐ trong không gian có nhiều đặc điểm tương tự với chương PPTĐ trong mặt phẳng. Chính vì vậy, việc sử dụng SLTT vào DH PPTĐ trong không gian là hợp lý. Điều này được nhấn mạnh trong các giáo trình Phương pháp DH dành cho SV ngành sư phạm toán và cũng được các tác giả SGK đề cập. SLTT và vai trò quan trọng của nó trong DH toán, đặc biệt là việc dùng SLTT để giúp HS khám phá kiến thức mới và nhận ra các sai lầm trong quá trình học tập. Bên cạnh đó, các mô hình DH như TWA, GMAT, FAR là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc tổ chức DH bằng SLTT. Thực tiễn DH với SLTT của GV THPT và SV sư phạm toán nhằm giúp HS khám phá kiến thức mới. 2.4.2. Nghiên cứu thực nghiệm các tình huống dạy học sử dụng suy luận tương tự 2.4.2.1. Mục đích nghiên cứu thực nghiệm Mục đích chính là thử nghiệm các tình huống DH trong đó HS khám phá kiến thức mới ở chương PPTĐ trong không gian bằng cách sử dụng SLTT. Trọng tâm của nghiên cứu là kiểm chứng giả thuyết H1, H2 và một phần giả thuyết H3 đã nêu trong phần giả thuyết nghiên cứu. 2.4.2.2. Phương pháp thực nghiệm Chúng tôi tiến hành thực nghiệm DH để kiểm chứng các giả thuyết trên: Thực nghiệm 1: thiết kế một tình huống để HS khám phá kiến thức về PT mặt cầu bằng cách sử dụng SLTT với PT đường tròn. Thực nghiệm 2: thiết kế một tình huống để HS khám phá công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng cách sử dụng SLTT với công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Thực nghiệm 3: tình huống đưa ra yê...à các em vừa học xong bài hệ tọa độ trong không gian và khái niệm PTTQ của mặt phẳng. Lớp học được chia thành 9 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 HS thảo luận với nhau (xem bảng 6.21). Bảng 6.21. Kết quả thực nghiệm pha 1 và pha 2 của tình huống 3 Pha 1 (làm việc cá nhân- 36 HS) Pha 2 (làm việc theo nhóm- 9 nhóm) Câu hỏi 1 Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Chiến lược S1 S2 S3 S4 S5 Chiến lược khác S1 S2 S3 S4 S5 B1 B2 B3 Nhóm 1 1 (HS) 3 0 1 1 Nhóm 2 2 2 0 1 1 Nhóm 3 3 1 0 1 1 Nhóm 4 4 0 1 1 Nhóm 5 2 2 0 1 1 Nhóm 6 1 2 1 0 1 1 Nhóm 7 2 2 0 1 1 Nhóm 8 1 3 0 1 1 Nhóm 9 2 2 0 1 1 Tổng cộng 4 3 4 16 9 0 0 0 1 6 2 2 1 6 Trong pha 1, chúng tôi nhận thấy chiến lược chiếm đa số là chiến lược S4 (16 HS lựa chọn). Điều này thể hiện các em đã tìm được nguồn tương tự là bài toán. Có 9 HS lựa chọn chiến lược S5. Các chiến lược S1, S2, S3 thì ít được HS chú ý. Trong pha 2, sau khi thảo luận nhóm, các em đã thống nhất bài toán tương tự. Chiến lược S4 đã được nhiều nhóm lựa chọn nhất để trả lời câu hỏi 1. Các nhóm này cũng lựa chọn chiến lược B3 để suy ra cách giải cho bài toán D1, D2, D3. Bài làm của nhóm 4 minh họa cho việc tìm ra cách giải các bài tập mới dựa trên cách giải tương tự của các bài toán trong mặt phẳng: “Câu hỏi 1: Bài toán N1: Trong Oxy, viết PTTQ của đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B. Bài toán N2: Trong Oxy, viết PTTQ của đường thẳng d đi qua điểm A và song song với đường thẳng . Bài toán N3: Trong Oxy, viết PTTQ của đường thẳng d vuông góc với đường thẳng và tiếp xúc với đường tròn . Câu hỏi 2: Bài toán N1: - Tìm VTPT . - Thay tọa độ điểm A và vào PT đường thẳng. Bài toán D1: - Tính , suy ra - Suy ra PT mặt phẳng: . Bài toán N2: - Tìm , suy ra . - Thay tọa độ điểm A và vào PT đường thẳng. Bài toán D2: - Tìm , suy ra - Suy ra PT mặt phẳng: . Bài toán N3: - có , suy ra dạng PT d: (c là chưa biết). - d tiếp xúc (C) nên , từ đó suy ra c. - Thay c vào ta được PT đường thẳng. Bài toán D3: - Chọn , suy ra PT có dạng . - tiếp xúc (S) nên , từ đó suy ra . - Thay vào ta được 2 PT mặt phẳng và .” Có 2 nhóm lựa chọn chiến lược S5 cho câu hỏi 1 và các em lựa chọn chiến lược B1 để trả lời cho câu hỏi 2. Điều này chứng tỏ một số HS đã từng biết cách giải của các dạng bài toán này. Ở đây, các em đề ra cách giải hoàn toàn giống với các bài toán các em đã biết từ các sách tham khảo. Sau đây là bài làm của nhóm 7 minh họa cho trường hợp này: “Câu hỏi 1: Bài toán N1: Viết PTTQ của mặt phẳng qua 3 điểm A(0;1;2), B(2;-2;3), C(5;4;-1). Bài toán N2: Viết PTTQ của mặt phẳng đi qua điểm B(2;3;4) và song song với đường thẳng . Bài toán N3: Viết PTTQ của mặt phẳng vuông góc với đường thẳng và tiếp xúc với mặt cầu . Câu hỏi 2: Bài toán N1: Tìm qua 3 điểm A, B, C nên nhận làm cặp VTCP là VTPT qua A : Bài toán D1: Tính qua M Bài toán N2: (P)//d và d’ là VTPT của (P). (P) qua B : . Bài toán D2: . qua M Bài toán N3: (P) có pt:. (P) tiếp xúc (S) Vậy pt(P) Bài toán D3: (P) có pt:. (P) tiếp xúc (S) Vậy pt(P)” Trong pha 3, chúng tôi gọi HS đại điện nhóm 3 trình bày bài toán tương tự và cách giải của các em. Sau khi các em trình bày, các nhóm khác nhận xét bổ sung và lên bảng trình bày bài giải cho ba bài toán đã cho. Sau cùng, chúng tôi hướng dẫn lại và nhấn mạnh lại các đặc điểm quan trọng của bài toán. Kết luận tình huống thực nghiệm 3 Từ tình huống thực nghiệm 3, chúng tôi có một số nhận xét sau: - Đa số HS đã tìm được bài toán nguồn thích hợp trong mặt phẳng Oxy để suy ra cách giải tương tự cho các bài toán mới trong không gian Oxyz. Các em đã đưa ra được cách giải đúng cho các bài toán mới. Điều này chứng tỏ rằng các em đã kiến tạo nên kiến thức mới nhờ sử dụng suy luân tương tự với kiến thức cũ. - Một số HS đã biết cách giải của các dạng toán này do đã đọc ở các sách tham khảo nên có thể đưa ra ngay cách giải của các bài toán mới. - Vẫn còn một số ít HS chưa tìm được bài toán nguồn phù hợp và chưa tìm ra được cách giải đúng cho bài toán đích. 6.3.4. Tình huống thực nghiệm 4 Nội dung tình huống (gồm 3 pha) Pha 1 (HS làm việc cá nhân): GV cho HS làm việc cá nhân để nêu cách giải cho 2 bài toán sau trong thời gian 5 phút. Bài toán 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tọa độ 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Nêu cách tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. Bài toán 2. Trong không gian Oxyz, cho tọa độ 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy nêu cách tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. Pha 2 (HS thảo luận nhóm): HS thảo luận theo nhóm từ 3 đến 4 HS để giải bài toán sau trong 15 phút: Bài toán 3. Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1).Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. Pha 3 (hợp thức hóa – 5 phút): GV gọi một nhóm HS nêu lại cách giải trước lớp. Các nhóm khác nhận xét, bổ sung. GV nhận xét sau cùng. Phân tích kịch bản Các pha được tổ chức nhằm giúp HS nhận ra và sửa chữa sai lầm khi sử dụng SLTT theo quy trình ở bảng 6.8. Hình thức thực nghiệm Tình huống sau đây được thực hiện nhằm kiểm nghiệm giả thuyết H3 nêu trên. Tình huống được thực hiện với HS lớp 12 đã học bài PT mặt phẳng và PT đường thẳng trong chương trình Hình học 12. Phân tích tiên nghiệm Các biến V1: Nguồn tương tự Ở đây, bài toán đã đề cập nguồn tương tự. Điều này giúp HS có sẵn nguồn tương tự để thực hiện SLTT tìm ra cách giải cho bài toán đích. Mục đích của việc cho sẵn nguồn tương tự ở đây giúp HS nhận ra sai lầm khi sử dụng SLTT từ cách giải của bài toán tìm tọa độ trục tâm tam giác trong mặt phẳng. V2: Bài toán cho dưới các số cụ thể hay tổng quát Bài toán 1 và 2 chỉ yêu cầu HS nêu cách giải, không yêu cầu giải. Từ việc nhắc lại cách giải của bài toán 1 tạo điều kiện thuận lợi cho việc sử dụng SLTT để tìm ra cách giải bài toán 2. Ở bài toán 3, đề bài yêu cầu HS phải trình bày lời giải cụ thể để áp dụng cách giải mà các em đã nêu ở bài toán 2. Qua đó, HS có thể kiểm chứng lại cách giải đã đưa ra có đúng chưa và điều chỉnh nếu mắc phải sai lầm. V3: Tính thẳng hàng của các điểm A, B, C: thẳng hàng hay không thẳng hàng Ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không sẽ ảnh hưởng đến chiến lược giải bài toán. Nếu A, B, C thẳng hằng thì không tìm được trực tâm tam giác ABC. Ở bài toán 3, chúng tôi chọn ba điểm A, B, C không thẳng hàng để hạn chế cách giải đặc biệt này. V4: Đặc điểm tam giác ABC: thường, vuông, cân hay đều Tam giác ABC đã cho là tam giác đều, cân, vuông hay là tam giác thường. Nếu tam giác ABC là tam giác vuông thì trực tâm chính là đỉnh góc vuông; nếu tam giác ABC là tam giác đều thì trực tâm H trùng với trọng tâm G, do đó HS có thể dùng công thức trọng tâm để suy ra tọa độ H. Trong bài toán 3, chúng tôi chọn tam giác ABC là một tam giác thường. Các chiến lược và các lời giải có thể quan sát được (xem bảng 6.22) Bảng 6.22. Các chiến lược của các bài toán – tình huống thực nghiệm 4 Bài toán Chiến lược Bài toán 1 S1: Hai tích vô hướng S2: Giao của 2 đường cao Bài toán 2 B1: Hai tích vô hướng B2: Ba tích vô hướng B3: Hai tích vô hướng và điều kiện đồng phẳng B4: Giao của 2 đường vuông góc với 2 cạnh B5: Giao của 2 đường cao Bài toán 3 C1: Trọng tâm C2: Hai tích vô hướng C3: Ba tích vô hướng C4: Tích vô hướng và điều kiện đồng phẳng C5: Giao của 2 đường vuông góc với 2 cạnh C6: Giao của 2 đường cao Các lời giải có thể quan sát được Bài toán 1 S1: Gọi H(x;y). Ta có suy ra x,y. S2: Viết PT 2 đường cao rồi tìm giao điểm của chúng. Hai chiến lược này mang lại kết quả đúng cho bài toán 1. Bài toán 2 B1: Gọi H(x;y ;z). Ta có suy ra x,y,z. B2 : Gọi H(x;y ;z). Ta có suy ra x,y,z. B3: Gọi H(x; y; z). Ta có suy ra x, y, z. B4: - Viết PT đường thẳng d1 qua A, vuông góc BC. - Viết PT đường thẳng d2 qua B vuông góc AC. - Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng d1 và d2. B5: - Viết PT đường thẳng d1 qua A, vuông góc và cắt BC. - Viết PT đường thẳng d2 qua B vuông góc và cắt AC. - Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng d1 và d2. Chiến lược B3 và B5 là chiến lược tối ưu cho bài bài toán 2. Bài toán 3 C1: Tọa độ trực tâm . Chiến lược này không mang lại kết quả đúng. C2: Gọi H(x; y; z) trực tâm của tam giác ABC. Khi đó Hệ này có vô số nghiệm nên có vô số trực tâm H của tam giác ABC. Chiến lược này không giúp HS giải đúng bài toán 3. C3 : Gọi H(x; y; z) trực tâm của tam giác ABC. Khi đó Hệ này cũng có vô số nghiệm nên có vô số trực tâm H của tam giác ABC. Chiến lược này không giúp HS giải đúng bài toán 3. C4: Gọi H(x; y; z). Ta có , và C5: Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC, d2 là đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC. Khi đó H là giao điểm của d1 và d2. HS không tìm được hoặc viết sai PT d1 và d2 vì có vô số đường thẳng như vậy. C6: Gọi d1 là đường thẳng đi qua A, vuông góc và cắt BC, d2 là đường thẳng đi qua B, vuông góc và cắt AC. Khi đó H là giao điểm của d1 và d2. * Tìm PT đường thẳng d1: Gọi K là chân đường cao kẻ từ A. Ta có PT đường thẳng BC: . Vì nên . Do nên . Ta suy ra và PT d1: . * Tương tự, ta được PT d2: . * H là giao của d1 và d2 nên suy ra H(0;1;0). Chiến lược C4 và C6 đều giúp tìm được tọa độ trực tâm H. Tuy nhiên, chiến lược C6 có lời giải quá dài so với chiến lược C4 nên C4 là chiến lược tối ưu cho bài toán 3. Phân tích hậu nghiệm Chúng tôi tiến hành thử nghiệm ở lớp 12B1, trường THPT Thực hành Sư phạm, thành phố Cần Thơ từ 9 giờ 45 phút đến 10 giờ 30 phút vào ngày 20 tháng 3 năm 2015. Lớp 12A1 gồm 36 HS. Sau đây là kết quả thực nghiệm. Pha 1 (xem bảng 6.23) Bảng 6.23. Thống kê các chiến lược của HS đối với bài toán 1 Chiến lược Số HS Tỉ lệ (%) Chiến lược S1 21 58.33 Chiến lược S2 15 41.67 Chiến lược khác 0 0 Tổng cộng N=36 100 % Có 21 HS sử dụng chiến lược S1 (dùng tích vô hướng) và 15 HS sử dụng chiến lược S2 (viết PT 2 đường cao) để tìm tọa độ trực tâm tam giác. Cả hai chiến lược này đều cho kết quả đúng. Không có HS nào sử dụng chiến lược khác. Bảng 6.24. Thống kê các chiến lược của HS đối với bài toán 2 Chiến lược Số HS Tỉ lệ (%) Chiến lược B1 13 36.11 Chiến lược B2 0 0 Chiến lược B3 7 19.44 Chiến lược B4 12 33.33 Chiến lược B5 4 11.12 Chiến lược khác 0 0 Tổng cộng N=36 100% Qua bảng 6.24 cho thấy phần lớn HS sử dụng chiến lược B1 và B4 để nêu cách giải cho bài toán 2. Như vậy, các em đã suy ra cách giải cho bài toán tìm tọa độ trực tâm tam giác trong không gian tương tự với cách tìm tọa độ trực tâm tam giác trong mặt phẳng. Một số ít HS đã dùng ứng dụng tích vô hướng và bổ sung thêm điều kiện (hay AB, AC, AH đồng phẳng) để tìm tọa độ trực tâm H. Và chỉ có 4 HS đề xuất cách tìm 2 đường cao của tam giác trong không gian để tọa độ trực tâm. Điều này chứng tỏ việc HS dùng SLTT để suy ra cách giải cho bài toán tìm tọa độ trực tâm của tam giác trong không gian trên cơ sở cách giải của bài toán tìm tọa độ trực tâm của tam giác trong mặt phẳng đã dẫn đến sai lầm. Pha 2 Chúng tôi đã chia lớp thành 12 nhóm, mỗi nhóm 3 HS để giải bài toán 3. Các nhóm đã tiến hành thảo luận và kết quả lựa chọn chiến lược giải được thống kê trong bảng 6.25: Bảng 6.25. Thống kê các chiến lược của các nhóm đối với bài toán 3 Chiến lược C1 C2 C3 C4 C5 C6 Chiến lược khác Số nhóm 0 2 0 7 1 1 1 Qua thống kê, chúng tôi nhận thấy có 7 nhóm lựa chọn chiến lược C4 (chiến lược tối ưu) và giải đúng tọa độ trực tâm H của bài toán 3. Lời giải của nhóm 6 minh họa cho chiến lược này như sau: “Gọi , Ta có: . Vậy .” Không có HS lựa chọn chiến lược C1 và C3. Đối với chiến lược C2, có 2 nhóm lựa chọn nhưng các em chỉ tìm được 1 hệ PT gồm 2 PT 3 ẩn nên không tìm được tọa độ H. Có 1 nhóm lựa chọn chiến lược C5 nhưng các em không tìm được PT các đường thẳng d1 và d2. Chiến lược C6 đã được một nhóm lựa chọn nhưng PT các đường cao của các em không đúng dẫn đến sai tọa độ trực tâm H. Đặc biệt, có một nhóm đã sử dụng một chiến lược khác và tìm đúng tọa độ H. Bài giải này được tóm tắt lại như sau: gọi là mặt phẳng qua C và vuông góc AB, là mặt phẳng qua A và vuông góc BC, khi đó H là giao điểm của 3 mặt phẳng . Như vậy, qua quá trình thảo luận và vận dụng các cách giải đã đề xuất ở pha 1 vào một bài toán cụ thể, nhiều HS đã nhận ra được các sai lầm và tiến hành những điều chỉnh để sửa chữa chúng. Pha 3 Sau khi HS đã giải bài toán và nộp lại bài làm, GV và HS cùng thảo luận để tìm lời giải đúng cho bài toán. Kết quả đối thoại giữa GV và HS giúp các em tiếp tục tiến hành các điều chỉnh để tìm ra lời giải đúng cho bài toán. Điều này chứng tỏ các em đã nhận ra và sửa chữa sai lầm nhờ những thông tin phản hồi từ môi trường. Kết luận tình huống thực nghiệm 4 Từ tình huống thực nghiệm 4 cho thấy nhiều HS đã mắc phải sai lầm khi sử dụng SLTT để tìm tọa độ trực tâm của tam giác trong không gian. Tuy nhiên, các em đã nhận ra và khắc phục được các sai lầm này nhờ những tác động phản hồi từ môi trường. Điều này chứng tỏ giả thuyết H3 được khẳng định. 6.4. Kết luận chương 6 Trong chương này, chúng tôi đã đề xuất sáu giải pháp và sáu quy trình DH các tình huống điển hình của toán học với SLTT. Mỗi giải pháp, chúng tôi đưa ra các ví dụ minh họa cụ thể trong chương PPTĐ trong không gian. Bên cạnh đó, chúng tôi đã thực nghiệm 4 tình huống DH để kiểm chứng hai trong sáu giải pháp nêu trên. Kết thực nghiệm góp phần khẳng định tính khả thi và hiệu quả của chúng. KẾT LUẬN 1. Những đóng góp mới của luận án 1.1. Về mặt lý luận Những đóng góp chính của luận án về mặt lý luận bao gồm: - Phân tích, hệ thống hóa những quan niệm về tương tự và SLTT của các nhà giáo dục cùng với các cách phân loại, những ứng dụng và các mô hình DH sử dụng SLTT. - Đề xuất tiêu chí đánh giá mức độ sử dụng SLTT gồm 5 thang bậc cụ thể. Điều này giúp đánh giá quá trình DH với SLTT một cách khách quan và hiệu quả. - Đề xuất sáu giải pháp sư phạm nhằm phát huy tác dụng tích cực của SLTT vào DH chương PPTĐ trong không gian nói riêng và DH toán nói chung. - Đề xuất cách vận dụng SLTT vào sáu quy trình DH cơ bản: quy trình DH khám phá khái niệm; quy trình DH khám phá định lý, quy trình DH giải bài toán; quy trình dự đoán sai lầm của HS do các nguồn tương tự trước khi giảng dạy; quy trình phân tích và phát hiện sai lầm; quy trình sửa chữa sai lầm khi sử dụng SLTT. Các quy trình này là cơ sở lý luận quan trọng cho GV và SV sư phạm vận dụng SLTT vào DH các nội dung cơ bản của toán học. 1.2. Về mặt thực tiễn Bên cạnh mặt lý luận, luận án còn mang lại một số giá trị thực tiễn: - Kết quả nghiên cứu cách sử dụng SLTT của các tác giả SGK Hình học THPT cho thấy các tác giả đã sử dụng SLTT cho nhiều đối tượng khác nhau. Tuy nhiên, các SLTT được sử dụng để trình bày các khái niệm mới chủ yếu có lời nói, cấu trúc đơn giản và không đề cập bất kỳ sự hiểu lầm có thể xảy ra nếu sử dụng SLTT. Hơn nữa, các tác giả SGK đã không đề xuất những hoạt động sử dụng SLTT mà HS phải thực hiện để khám phá kiến thức mới. - Kết quả nghiên cứu thực tiễn DH sử dụng SLTT của GV ở trường THPT và SV ngành sư phạm toán cho thấy rằng việc sử dụng SLTT vào DH chủ đề PPTĐ trong không gian vẫn chưa được chú trọng. Các nội dung được GV, SV lựa chọn sử dụng SLTT có điểm tương đồng với các nội dung đã sử dụng SLTT ở các SGK. Tuy nhiên, các SLTT này còn ở mức độ đơn giản nhằm giúp HS ôn tập kiến thức cũ, gợi động cơ mở đầu bài học. Một số ít trường hợp GV sử dụng SLTT giúp HS đưa ra một dự đoán về kiến thức mới nhưng chưa chỉ ra được các sai lầm trong quá trình học tập. Chính vì vậy, một yêu cầu cần thiết đặt ra là phải xây dựng một hệ thống giải pháp sư phạm phù hợp để có thể vận dụng SLTT một cách hiệu quả vào DH toán nói chung và DH nội dung PPTĐ nói riêng. - Nghiên cứu thực tiễn về sai lầm của HS khi giải các bài toán trong chương PPTĐ trong không gian cho thấy sự tồn tại các sai lầm loại 1 và sai lầm loại 2 do sử dụng SLTT. Vì vậy, cần phải thiết kế những tình huống học tập để giúp HS nhận ra và sửa chữa sai lầm của mình khi áp dụng SLTT. - Các giải pháp sư phạm và các quy trình sử dụng SLTT được vận dụng vào DH một số nội dung cụ thể trong chương PPTĐ trong không gian nhằm giúp HS khám phá kiến thức mới, giải bài tập toán hay nhận ra và sửa chữa các sai lầm. Từ đó, góp phần nâng cao hiệu quả của việc DH chương PPTĐ nói riêng và DH toán nói chung. 2. Một số hướng nghiên cứu mở ra từ đề tài Bên cạnh những kết quả đạt được, luận án còn gợi ra các hướng nghiên cứu mới: - Nghiên cứu những sai lầm trong nội tại chương PPTĐ trong không gian. - Tích hợp sử dụng DH với SLTT và công nghệ thông tin để giúp HS khám phá tri thức mới. - Triển khai vận dụng DH với SLTT vào những tình huống điển hình của toán học ở trường THPT. - Nghiên cứu những thuận lợi và khó khăn của GV khi sử dụng SLTT như là một chiến lược để phát huy tính tích cực của HS. 3. Kết luận chung Toàn bộ các kết quả nghiên cứu của luận án đã chứng tỏ rằng các giả thuyết khoa học của luận án là chấp nhận được, các câu hỏi nghiên cứu đã được trả lời, mục đích và nhiệm vụ đặt ra đã hoàn thành. DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ Bài báo đăng Tạp chí khoa học trong nước Bùi Phương Uyên (2012), Sử dụng mô hình FAR vào dạy học tương tự trong toán học, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ, số 22b (2012), tr.63-70. Bùi Phương Uyên (2013), Các kiểu nhiệm vụ trong chủ đề phương trình mặt phẳng: một nghiên cứu trên cơ sở suy luận tương tự, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ, số 27 (2013), tr.108-115. Bùi Phương Uyên (2014), Dạy học khám phá công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (Hình học 12) bằng suy luận tương tự, Tạp chí Giáo dục, số 338 kì 2 (7/2014), tr. 54-56. Bùi Phương Uyên (2015), Phân tích thực hành giảng dạy của giáo viên qua tiết học về công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng theo quan điểm của didactic toán, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ, số 36c(2015), tr. 1-7. Bùi Phương Uyên (2015), Sai lầm liên quan đến phương trình mặt phẳng từ cách tiếp cận của suy luận tương tự và hợp đồng dạy học, Tạp chí Khoa học ĐHSP TP. Hồ Chí Minh, số 6(72) năm 2015, tr. 39 - 48. Bùi Phương Uyên (2015), Thực trạng sử dụng suy luận tương tự vào dạy học của sinh viên sư phạm toán – Đại học Cần Thơ qua học phần tập giảng, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ, số 39c (2015), tr. 1-6. Bùi Phương Uyên (2015), Nghiên cứu cách thức sử dụng suy luận tương tự vào dạy học phương pháp tọa độ trong không gian của giáo viên toán ở trường THPT, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ, số 41c(2015), tr. 76-80. Bài báo đăng Tạp chí khoa học nước ngoài Loc, N. P. & Uyen, B. P. (2014), Using Analogy in Teaching Mathematics: An Investigation of Mathematics Education Students in School of Education - Can Tho University, International Journal of Education and Research, ISSN: 2411-5681, Vol. 2 No. 7 July 2014, Contemporary Research Center, Australia. Loc, N. P. & Uyen, B. P. (2015), A Study of Mathematics Education Students’ Difficulties in Applying Analogy to Teaching Mathematics: A Case of the “TWA” Model, American International Journal of Research in Humanities, Arts and Social Science (AIJRHASS), ISSN (Print): 2328-3734, ISSN (Online): 2328-3696, ISSN (CD-ROM): 2328-3688, 9(3), December 2014-February 2015, pp. 276-280, USA. Loc, N. P. & Uyen, B. P. (2015), Using Analogical Reasoning in Teaching Mathematics: A Survey of Mathematics Teachers at Secondary Schools in The Mekong Delta – Vietnam, International Journal of Sciences: Basic and Applied Research (IJSBAR), ISSN 2307- 4531, (2015) Volume 21, No 1, pp 90-100, Jordan. Loc, N. P. & Uyen, B. P. (2015), Analogies in Geometry Textbooks for 12th Grade Students in Vietnam, American International Journal of Research in Science, Technology, Engineering & Mathematics (AIJRSTEM), ISSN (Print): 2328-3491, ISSN (Online): 2328-3580, ISSN (CD-ROM): 2328-3629 , 10(1), March- May 2015, pp. 73-78, USA. Loc, N. P. & Uyen, B. P. (2016), Students’ Errors in Solving Problem: A Case Study based on the Concept “Didactical Contract”, European Academic Research, ISSN 2286-4822, Vol. IV, Issue 1/April, p.264-269, Romania. Loc, N. P. & Uyen, B. P. (2016), Students’ Errors in Solving Undefined Problem in Analytic Geometry In Space: A Case Study based on Analogical Reasoning, Asian Journal of Management Sciences & Education, ISSN: 2186-845X ISSN: 2186-8441 Print, Vol. 5(2) April 2016, p.14-18, Japan. Tham gia hội thảo, hội nghị khoa học Bùi Phương Uyên (2014), Sai lầm của học sinh khi giải bài toán tìm tọa độ trực tâm của tam giác trong không gian từ cách tiếp cận của suy luận tương tự, Hội nghị khoa học Khoa Toán tin (tháng 12 năm 2014), Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Bùi Phương Uyên (2015), Phương trình đường tròn và phương trình mặt cầu: Sai lầm liên quan đến suy luận tương tự, Hội thảo khoa học dành cho học viên cao học và nghiên cứu sinh (tháng 10 năm 2015), Trường Đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh, NXB Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh. Chương sách, giáo trình Nguyễn Phú Lộc, Bùi Phương Uyên (2016), Giáo trình Các xu hướng dạy học toán, Chương 3. Dạy học với suy luận tương tự, NXB Đại học Cần Thơ, Cần Thơ. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Annie Bessot, Claude Comiti (1993), Nhập môn Didactic toán, NXB Thế giới, Huế. Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của Didactic toán, NXB Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội. Lê Thị Hoài Châu (2004), Phương pháp dạy – học hình học ở trường THPT, NXB Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh, TP. Hồ Chí Minh. Hoàng Chúng (1994), Lôgic học phổ thông, NXB Giáo dục, Hà Nội. Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân (2008), Bài tập Hình học 12, Sách bài tập Nâng cao, NXB Giáo dục, Hà Nội. Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Vũ Khuê, Trần Hữu Nam (2009), Bài tập Hình học 10, Sách bài tập Nâng cao, NXB Giáo dục, Hà Nội. Đoàn Hữu Hải (2001), Giảng dạy hình học không gian ở đầu THPT trong mối liên hệ với hình học phẳng, Tóm tắt luận án Tiến sĩ, Tp. Hồ Chí Minh. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khưu Quốc Anh ,Trần Đức Huyên (2008), Hình học 10, SGK, NXB Giáo Dục, Hà Nội. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khưu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2007), Hình học 11, SGK, NXB Giáo Dục, Hà Nội. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khưu Quốc Anh, Trần Đức Huyên (2008), Hình học 12, SGK, NXB Giáo Dục, Hà Nội. Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên (2006), Bài tập Hình học 10, Sách bài tập, NXB Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp DH môn Toán, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Nguyễn Bá Kim (2011), Phương pháp DH môn Toán, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Nguyễn Ngọc Long, Nguyễn Hữu Vui (đồng chủ biên) và các tác giả khác (2006), Giáo trình triết học Mác Lênin (Dùng trong các trường đại học, cao đẳng), NXB Chính trị Quốc gia, Hà Nội. Nguyễn Phú Lộc, Nguyễn Kim Hường, Lại Thị Cẩm (2005), Giáo trình Lý luận dạy học Toán học, Tủ sách Đại học Cần Thơ, Cần Thơ. Nguyễn Phú Lộc (2008), Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, Tủ sách Đại học Cần Thơ, Cần Thơ. Nguyễn Phú Lộc (2007), Xu hướng DH không truyền thống, Tủ sách Đại học Cần Thơ, Cần Thơ. Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, NXB Giáo Dục, Hà Nội. Nguyễn Phú Lộc (2010), DH hiệu quả môn Giải tích trong trường phổ thông, NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội. Nguyễn Phú Lộc, Diệp Văn Hoàng (2014), Tổ chức toán học đối với định lý sin: Một khảo sát theo cách tiếp cận nhân chủng học trong didactic toán, Tạp chí Khoa học trường Đại học Cần Thơ, số 33 (2014): tr. 90-97. Bùi Văn Nghị (2011), Giáo trình Phương pháp DH những nội dung cụ thể môn toán, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. G. Polya, Người dịch: Hà Sĩ Hồ, Hoàng Chúng, Lê Đình Phư, Nguyễn Hữu Chương (1977), Toán học và những suy luận có lý, quyển I, tập I, II, NXB Giáo dục, Hà Nội. G. Polya (1997), Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục, Hà Nội. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị (2009), Hình học 10, SGK nâng cao, NXB Giáo Dục, Hà Nội. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân (2009), Hình học 11, SGK nâng cao, NXB Giáo Dục, Hà Nội. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân (2009), Hình học 12, SGK nâng cao, NXB Giáo Dục, Hà Nội. Hoàng Quý, Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng, Trần Văn Hạo, Lê Thiên Hương, (1997), Từ điển bách khoa phổ thông toán học, NXB Giáo dục. Đào Tam (2007), Phương pháp DH Hình học ở trường phổ thông, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Đào Tam, Lê Hiển Dương (2008), Tiếp cận các phương pháp DH không truyền thống trong DH Toán ở trường Đại học và trường Phổ thông, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Đào Tam (chủ biên), Chu Trọng Thanh, Nguyễn Chiến Thắng (2010), DH theo chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán lớp 10, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Đào Tam, Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức trong DH môn toán ở trường trung học phổ thông, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. Từ Đức Thảo (2011), Sử dụng phép tương tự trong DH toán ở trường THPT, Tạp chí Giáo dục, số 253 (kì 1 – 1/2011), Hà Nội. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp DH môn Toán ở trường phổ thông, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh. Lê Văn Tiến (2006), “Sai lầm của HS nhìn từ góc độ các lí thuyết về học tập”, Tạp chí giáo dục, số 137 kì 1-5/2006, Hà Nội. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán, Tập I, II, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội. Dương Hữu Tòng (2013), Sử dụng phép tương tự trong DH chủ đề phân số ở trường tiểu học, Tạp chí giáo dục, số 319 kì 1(10/2013)), Hà Nội. Bùi Phương Uyên (2012), Sử dụng phép tương tự vào DH: nghiên cứu áp dụng vào DH phương pháp tọa độ trong không gian, luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Đại học Cần Thơ, Cần Thơ. Tiếng Anh Allan G. Harrison, David F. Treagust (1993), Teaching with Analogies: A Case Study in 10-Grade Topics, Journal of Reseach in Science Teaching, Vol. 30, No. 10, PP 1291-1307, Curtin University of Technology, Perth, Western Australia. Allan G. Harrison, Richard K.Coll (2007), Using analogies in middle and secondary science classrooms: The FAR guide – An interesting way to teach with analogies, Corwin Press Publisher, The United States of America. Alison Pease, Markus Guhe, Alan Smaill (2009), Analogy Formulation and Modification in Geometry, School of Informatics, University of Edinburgh, Informatics Forum, 10 Crichton Street, Edinburgh, EH8 9AB, U.K. Bharath Sriraman (2005), Mathematical and Analogical Reasoning of Young Learners, Volume 37, Issue 6 , pp 506-509.  Dedre Gentner (1983), Structure – Mapping: A Theoretical Framework for Analogy, Cognitive science 7, 1x5-170 (1983). Jim Reynolds, Adam Pease, John Li, Analogy and Deduction for Knowledge Discovery, Teknowledge Corporation, 1800 Embarcadero Road ,Palo Alto, CA 94303. Juliana Mesquita Hidalgo Ferreira, Ana Paula Bispo da Silva (2005), Teaching Multidimensional Spaces and Non-Euclidean Geometry by Analogies: Limits in Conceiving and Explaining Ideas, State University of Campinas, Brazil. Kenneth Kurtz, Chun-Hui Miao, and Dedre Gentner (2001), Learning by Analogical Bootstrapping, The journal of the learning sciences, 10(4), 417446 2001, Lawrence Erlbaum Associates, Inc, Department of Psychology, Northwestern University. Kyung Hwa Lee, Min Jung Kim, Gwi Soo Na, Dae Hee Han và Sang Hun Song (2007), Induction, analogy, and imagery in geometric reasoning, Proceedings of the 31st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 3, pp. 145-152. Seoul: PME. Leslie Atkins (2004), Analogies as categorization phenomena: studies from scientific discourse, Ph.D. (tải từ trang Lindsey E. Richland, Keith J. Holyoak, James W. Stigler (2004), Analogy Use in Eighth-Grade Mathematics Classrooms, Cognition and instruction, 22(1), 37–60. Maria Salih (2008), A Proposed Model of Self-Generated Analogical Reasoning for the Concept of Translation, Joumal of Science and Mathemmatic Education in Southeast Asia, 2008, Vol. 31 2 No, 164-177, Faculty of Science & Technology, Sultan Idris University of Education, Malaysia. Mary Gick and Keinth Holyoak (1980), Analogical Problem Solving, Cognitive Psychology 12, 306-355, (1980). Helmar Gust, Ulf Krumnack, Kai-Uwe Kuhnberger, Angela Schwering (2008), Analogical Reasoning: A Core of Cognition, In Proceedings of KI. 2008, 8-12. Nirah Hativah (2000), Teaching for effective learning in higher education, Kluwer Academic Publishers, The Netherlands. Noah Podolefsky (2006), The Use of Analogy in Physics Learning and Instruction”, Comprehensive Exam II, University of Colorado. Orgill, M. (2013), How Effective Is the Use of Analogies in Science Textbooks?.In Khine, M. S. (editor) (2013), Critical Analysis of Science Textbooks-Evaluating instructional effectiveness, London: Springer. Pinar D. Guler (2008), The Description of Problems Relating to Analogies Used in Science and Technology, Journal of the Faculty of Education, Vol. 9.16, 105-122 16 (Fall 2008), 105-122, ISSN: 1300–2899, Đnonu University Faculty of Education. Ronnie Brown, Timothy Porter (2008), Analogy, concepts and methodology, in mathematics, UWB Math Preprint 06.08. Shawn M. Glynn (1994), Teaching Science With Analogy: A Strategy for Teachers and Textbook Authors, National Reading Research Center, Reading Research Report NO.15, Office of Educational Research and Improvement, Washington, DC. Tom Murray, Klaus Schultz, David Brown, Jonh Clement (1990), An Analogy-Based Computer Tutor for Remediating Physics Misconceptions, Interaction Learning Environment Vol.1, Isse (2), 79-101, University of Masschusetts. Yener, D. (2012), A study on analogies presented in high school physics textbooks. Asia-Pacific Forum on Science Learning and Teaching, Volume 13, Issue 1, Article 5 (Jun, 2012). Các trang Web (truy cập từ tháng 5 đến tháng 7 năm 2014) (Ntc 27/6/2014) (Ntc 15/5/2014) (Ntc 15/7/2014) (Ntc 27/7/2014) (Ntc 15/7/2014) (Ntc 14/6/2014) (Ntc 25/6/2014) (Ntc 17/5/2014) (Ntc 30/6/2014) (Ntc 14/5/2014)