Luận án Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật toán

MƯỜI LĂM TUỔI TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TỐN Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 62.14.01.11 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. LÊ THỊ HỒI CHÂU PGS. TS. TRẦN VUI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được cơng bố trong bất kỳ cơng trình nào khác. Tác giả luận án Trương Thị Khánh Phương LỜI CẢM ƠN Tơi xin trân trọng cảm ơn: Phĩ giáo sư Tiến sĩ Lê Thị Hồi Châu, người đã luơn động viên nhắc nhở, hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi về mọi mặt để tơi hồn thành luận án này; Phĩ giáo sư Tiến sĩ Trần Vui, người đã tận tình hướng dẫn tơi về mặt nghiên cứu khoa học, luơn động viên khích lệ để tơi cĩ đủ niềm tin và nghị lực trong suốt quá trình thực hiện luận án này; Các Thầy, Cơ trong tổ Tốn-Tin trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy và chia sẻ những kinh nghiệm nghiên cứu cho tơi trong suốt thời gian theo học Nghiên cứu sinh. Tơi xin chân thành cám ơn: Ban giám hiệu trường ĐH Y Dược Huế, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học cơ bản và các đồng nghiệp trong bộ mơn Tốn-Tin trường ĐH Y Dược Huế, Ban lãnh đạo và chuyên viên Phịng Khoa học cơng nghệ - Sau đại học trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt quá trình theo học Nghiên cứu sinh và bảo vệ luận án; Các giáo viên Tốn và học sinh ở các trường THPT Phong Điền, THPT Quốc Học, THPT Nguyễn Huệ, THPT Cao Thắng, THPT Nguyễn Trường Tộ, THPT Hai Bà Trưng (Huế) và THPT Lê Lợi (Quảng Trị), THPT Lê Lợi (Gia Lai) đã giúp đỡ, hỗ trợ tơi trong quá trình tiến hành thực nghiệm cho nghiên cứu này. Cuối cùng, xin tỏ lịng biết ơn đến những người thân trong gia đình và những người bạn đã luơn quan tâm, nâng đỡ và là chỗ dựa tinh thần cho tơi trong suốt thời gian qua. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2015 Trương Thị Khánh Phương MỤC LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ BDTQ biểu diễn trực quan GV giáo viên HS học sinh KTM kết thúc mở nnk những người khác SGK sách giáo khoa THPT trung học phổ thơng tr. trang DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ TIẾNG ANH Glossary in English Nghĩa tiếng Việt Abductive reasoning Suy luận ngoại suy Inductive reasoning Suy luận quy nạp Deductive reasoning Suy luận diễn dịch Selective abduction Ngoại suy chọn lựa Creative abduction Ngoại suy sáng tạo Visual abduction Ngoại suy trực quan Manipulative abduction Ngoại suy thao tác Visual representation Biểu diễn trực quan Dynamic visual representation Biểu diễn trực quan động Visualization Trực quan hĩa Mathematical pattern Dạng mẫu tốn Open ended problem Bài tốn kết thúc mở Dragging scheme Phương thức kéo rê National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) Hội đồng giáo viên tốn quốc gia Programme for International Student Assessment (PISA) Chương trình đánh giá học sinh quốc tế Organization for Economic Co-operation and Development (OECD) Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH Hình 2.1. Mơ hình suy luận ngoại suy của Meyer 36 Hình 2.2. Minh họa suy luận của HS 40 Hình 2.3. Các giai đoạn phát triển cĩ tính trình tự của biểu diễn 42 Hình 2.4. BDTQ tổng vơ hạn 44 Hình 2.5. Quy tắc 45 Hình 2.6. Quy tắc 45 Hình 2.7. Quy tắc 45 Hình 2.8. Quy tắc 46 Hình 2.9. Quy tắc 46 Hình 2.10. Biểu diễn trực quan của dãy tam giác, dãy tứ giác, dãy ngũ giác 47 Hình 2.11. Minh họa bài tốn chia mặt phẳng bởi n đường thẳng 56 Hình 2.12. Quá trình ngoại suy-quy nạp trong khám phá dãy số theo quy luật hàm số bậc nhất 59 Hình 2.13. Quy trình khám phá quy luật dãy số bằng suy luận ngoại suy-quy nạp 61 Hình 3.1. Minh họa bài tốn tiền thực nghiệm Nghiên cứu 2 (câu a) 82 Hình 3.2. Minh họa bài tốn tiền thực nghiệm Nghiên cứu 2 (câu b) 83 Hình 4.1. Ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc đệ quy cho bài Hình chữ Z 93 Hình 4.2. Ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc đệ quy 93 cho bài Hình Tháp (trái) và Hình chữ S (phải) 93 Hình 4.3. Ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc đệ quy cho bài Hình chữ S. 95 Hình 4.4. Phương án Cộng dồn cho bài Hình chữ Z 96 Hình 4.5. Phương án Cộng dồn cho bài Hình chữ S 96 Hình 4.6. Phương án Giải phương trình cho bài Hình chữ Z 97 Hình 4.7. Phương án Đốn và Thử cho bài Hình chữ S 97 Hình 4.8. Phương án Đốn và Thử cho bài Ghế cơng viên 98 Hình 4.9. Phương án Đơn vị và Tổng thể cho bài Hình Tháp 98 Hình 4.10. Phương án Ghép hình rời cho bài Hình Tháp 99 Hình 4.11. Phương án Sắp xếp hình cho bài Mũ Halloween 99 Hình 4.12. Phương án Ghép hình rời- Sắp xếp hình cho bài Hình chữ S 100 Hình 4.13. Sai lầm của HS trong bài Hình chữ Z 102 Hình 4.14. Sai lầm của HS trong bài Ghế cơng viên 102 Hình 4.15. Sai lầm của HS trong bài Hình Tháp 103 Hình 4.16. Phương án Làm trịn hình cho bài Xếp bàn tiệc 108 Hình 4.17. Ngoại suy-quy nạp mức độ 1 cho bài Hình Tháp 109 Hình 4.18. Ngoại suy-quy nạp mức độ 2 cho bài Hình chữ Z 110 Hình 4.19. Ngoại suy-quy nạp mức độ 3 cho bài Ghế cơng viên 111 Hình 4.20. Ngoại suy-quy nạp mức độ 3 cho bài Ghế cơng viên 111 Hình 4.21. Ngoại suy-quy nạp mức độ 3 cho bài Xếp bàn tiệc 112 Hình 4.22. Ngoại suy-quy nạp mức độ 4 cho bài Hình chữ S 113 Hình 4.23. Ngoại suy-quy nạp mức độ 5 cho bài Ghế cơng viên. 114 Hình 4.24. Chia đường trịn bởi các dây cung 117 Hình 4.25. Mơ tả số hạng tổng quát của bài Hình chữ Z 118 Hình 4.26. Sơ đồ chơn kho báu 121 Hình 4.27. Vị trí chơn kho báu G 121 Hình 4.28a. C trùng A 122 Hình 4.28b. C trùng H 122 Hình 4.29. Minh họa Bài tốn 1 123 Hình 4.30. Minh họa Bài tốn 2 123 Hình 4.31. Kéo rê về các trường hợp đặc biệt đối với tứ giác ABCD 124 Hình 4.32. Giả thuyết: A, I, C thẳng hàng 125 Hình 4.33. Kéo rê duy trì điểm M để ABCD là hình chữ nhật (Nhĩm 2) 129 Hình 4.34. Kéo rê duy trì điểm M để ABCD là hình chữ nhật (Nhĩm 1) 130 Hình 5.1a: A, B, T thẳng hàng 137 Hình 5.1b: A, B, T khơng thẳng hàng 137 Hình 5.1c. BDTQ minh họa suy luận ngoại suy 138 Hình 5.2. Cặp gĩc đối đỉnh tạo bởi các đường thẳng đồng quy 139 Hình 5.3. Minh họa Ví dụ 5.7 143 Hình 5.4. Đồ thị khoảng cách-thời gian 146 Hình 5.5. BDTQ minh họa Ví dụ 5.8 148 Hình 5.6a. Tam giác ABC đều 149 Hình 5.6b. Tam giác ABC vuơng 149 Hình 5.6c. 149 Hình 5.7a. BDTQ minh họa quan hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân 151 Hình 5.7b. BDTQ minh họa quan hệ giữa trung bình nhân và trung bình điều hịa 152 Hình 5.8. Viết phương trình 154 Hình 5.9. Điểm đơn vị trên hai trục tọa độ 156 Hình 5.10. Đo chiều cao kim tự tháp 158 DANH SÁCH CÁC BẢNG BIỂU Bảng 2.1. Mơ tả diễn dịch, quy nạp, ngoại suy theo các tam đoạn luận của Peirce 28 Bảng 2.2. Mơ hình so sánh ba loại suy luận 41 Bảng 3.1. Phân bố Tập câu hỏi ở các lớp thực nghiệm 72 Bảng 3.2. Tổng quan về các nhiệm vụ trong mỗi Tập câu hỏi 75 Bảng 3.3. Tổ chức dữ liệu theo phương án Đệ quy 76 Bảng 3.4. Tổ chức dữ liệu theo phương án Đốn và Thử 77 Bảng 3.5. Tổ chức dữ liệu theo phương án Cộng dồn 77 Bảng 3.6. Tổ chức dữ liệu theo phương án Giải phương trình 78 Bảng 3.7. Bảng mã các phương án ngoại suy 88 Bảng 4.1. Bảng phân bố các phương án ngoại suy theo hướng đưa ra Quy tắc đệ quy và Quy tắc hàm số 94 Bảng 4.2. Phân bố các phương án ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc hàm số 100 Bảng 4.3. Phân bố các phương án ngoại suy trong phạm trù Số học và Hình học 103 Bảng 4.4a. Các quy tắc hàm số tương đương cho bài Hình chữ Z và Xếp bàn tiệc 106 Bảng 4.4b. Các quy tắc hàm số tương đương cho bài Hình chữ S và Hình tháp 106 Bảng 4.4c. Các quy tắc hàm số tương đương cho bài Ghế cơng viên và Mũ Halloween 107 Bảng 4.5. Bảng phân bố các câu trả lời ở năm mức độ ngoại suy 114 Chương 1 MỞ ĐẦU 1.1. Giới thiệu vấn đề nghiên cứu Trong vịng 20 năm trở lại đây hoặc lâu hơn nữa, một mơ tả chung nhất và đặc trưng nhất về tốn được hầu hết các nhà tốn học chấp nhận, đĩ là: Tốn học là khoa học của các dạng mẫu (Devlin, 1994, [30]; Resnik, 1999, [74]). Báo cáo “Mọi người đếm” – một báo cáo về tương lai của giáo dục tốn cho các quốc gia (1989, [55]) chỉ rõ: “Tốn học là một khoa học nhằm thấu hiểu các dạng mẫu phát sinh từ thế giới xung quanh ta và cả bên trong quá trình làm việc trí ĩc của con người. HS cần học các quy tắc tốn, nhưng quan trọng hơn là làm thế nào để cĩ thể mơ tả các sự vật hiện tượng theo ngơn ngữ của tốn học”. Một trong những cách để mơ tả các dạng mẫu là chỉ ra quy luật của nĩ thơng qua các mối quan hệ và hàm số. Việc khám phá quy luật tốn trong các dạng mẫu cũng là một kĩ năng cần thiết với HS trong xu hướng dạy học tốn gắn liền với thực tiễn, bởi các nhiệm vụ tốn khơng cịn bĩ hẹp trong các bài tốn chứng minh mà trở nên đa dạng hơn với các mẫu dữ liệu của các kết quả đo đạc và quan sát, các mơ hình tốn của các hiện tượng tự nhiên, của hành vi con người và của hệ thống xã hội. Bodner (1986, [21]) khẳng định “... người học kiến tạo sự hiểu biết. Họ khơng chỉ đơn giản phản chiếu lại những gì được dạy và những gì họ đọc được. Người học tìm kiếm ý nghĩa và cố gắng để tìm ra quy luật và trật tự của các dạng mẫu trong thế giới khách quan cho dù thiếu những thơng tin đầy đủ...”. Cĩ thể thấy hoạt động tìm kiếm quy luật tốn trong các dạng mẫu là một khía cạnh quan trọng của việc học. Chẳng hạn, lúc học phép cộng các số nguyên, một HS lớp 6 chú ý đến dạng mẫu: và nhận thấy rằng trật tự của hai số hạng trong phép cộng là khơng quan trọng. Từ đĩ, HS đề xuất giả thuyết . Như vậy là HS đã tổng quát hĩa quy luật tốn mà các em phát hiện từ các dạng mẫu quan sát được. Khơng chỉ cĩ số học, tìm kiếm quy luật tốn trong các dạng mẫu cũng là hoạt động thường xuyên diễn ra trong các lĩnh vực khác như đại số, hình học mà kết quả của nĩ là cơng thức, các định lý (Mason, 1996, [50]). Đặc biệt, quá trình tìm kiếm quy luật tốn liên quan đến sự vận hành của hai loại suy luận cĩ lí là suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp. Hội đồng giáo viên tốn quốc gia của Mỹ NCTM (2000, [57]) xác định: suy luận - chứng minh là một trong số mười tiêu chuẩn cho tốn học nhà trường. NCTM cho rằng khả năng suy luận là bản chất của việc hiểu tốn và đĩ nên là mục tiêu đầu tiên của giáo dục tốn: “Bằng việc phát triển các ý tưởng, khám phá các hiện tượng, xác minh các kết quả và sử dụng suy luận tốn học trong tất cả các lĩnh vực, ở tất cả các lớp học, HS cĩ thể nhìn thấy và tin tưởng rằng tốn học là cĩ ý nghĩa”. NCTM (2000, [57]) cũng khẳng định: “Khả năng suy luận phát triển khi HS được cổ vũ để đưa ra các dự đốn, được cho thời gian tìm kiếm các bằng chứng nhằm ủng hộ hay bác bỏ chúng, được mong chờ việc giải thích các ý tưởng Nếu khả năng suy luận khơng được phát triển cho HS thì tốn học chỉ là một tập hợp các cơng thức, thuật tốn, quy tắc và các ví dụ mang tính biểu diễn mà khơng hiểu tại sao chúng cĩ ý nghĩa”. Bên cạnh đĩ, suy luận và biểu diễn cũng là hai trong số tám năng lực được chọn để đánh giá trong Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA, một chương trình do Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD khởi xướng và chỉ đạo, nhằm tìm kiếm các chỉ số đánh giá tính hiệu quả, chất lượng của hệ thống giáo dục của mỗi nước tham gia, qua đĩ rút ra các bài học về chính sách đối với giáo dục phổ thơng. Biểu diễn trực quan (BDTQ), một dạng của biểu diễn tốn, khơng chỉ đĩng vai trị minh họa cho các kết quả bằng biểu diễn kí hiệu mà cịn được thừa nhận là cơng cụ hiệu quả cho việc học tốn (Arcavi, 2003, [13]). Trong bối cảnh chung đĩ, chúng tơi mong muốn được thực hiện một đề tài nghiên cứu nhằm phát triển khả năng suy luận quy nạp và ngoại suy để tìm kiếm các quy luật tốn của HS với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan. 1.2. Nhu cầu nghiên cứu và phát biểu vấn đề nghiên cứu Tốn học được coi như là mơn khoa học chứng minh. Tuy nhiên đĩ mới chỉ là một khía cạnh của nĩ. Bạn cần dự đốn một định lý tốn học trước khi chứng minh nĩ. Bạn phải phỏng đốn về ý tưởng của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết. Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát được và suy ra những điều tương tự. Kết quả cơng việc sáng tạo của nhà tốn học là suy luận diễn dịch, nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận cĩ lí, nhờ dự đốn (Polya, 1954, [66]). Do đĩ, nếu việc dạy tốn phản ánh ở mức độ nào đĩ việc hình thành tốn học như thế nào thì trong việc giảng dạy đĩ phải dành chỗ cho dự đốn, cho suy luận cĩ lí. Suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy, với những ý nghĩa của nĩ trong việc giúp HS khám phá tri thức tốn thơng qua việc phát hiện ra quy luật trong các dạng mẫu là một nội dung cần được quan tâm phát triển nhiều hơn trong giáo dục tốn. Mặt khác, bước sang những năm đầu của thế kỷ 21, xu hướng thực hành áp dụng tốn học vào hầu hết các vấn đề mà HS gặp phải trong cuộc sống đời thường được nhiều nhà giáo dục quan tâm nghiên cứu một cách tồn cầu hĩa. Người ta nhận thấy rằng, trong những tình huống thơng thường, con người vận dụng tốn học theo hai cách khác nhau: sử dụng các cơng thức hay quy trình đã biết để giải các bài tốn mẫu mực, hay đối mặt với các vấn đề khơng quen thuộc và phức tạp hơn thơng qua các phương án tốn học tiêu biểu như đưa ra giả thuyết mới bằng phép ngoại suy; tổng quát hĩa quy luật bằng phép quy nạp; suy luận bằng tương tự hĩa; đặc biệt hĩa... Rất hiếm khi con người sử dụng suy luận diễn dịch bởi những tiêu chuẩn chặt chẽ nghiêm ngặt mà nĩ địi hỏi. Một lần nữa, suy luận ngoại suy và suy nạp trở thành một cơng cụ hiệu quả để HS sử dụng khi đối mặt với các vấn đề thực tế. Đối với giáo dục tốn ở nước ta, đối tượng mà chúng tơi quan tâm trong nghiên cứu này là những HS mười lăm tuổi, lứa tuổi vừa hồn thành chương trình phổ cập giáo dục chính thức và cĩ quyền lựa chọn giữa việc tiếp tục theo đuổi chương trình trung học phổ thơng (THPT) hay trở thành một cơng dân độc lập với một nghề nghiệp cho tương lai ngay từ lúc này. Chúng tơi cho rằng đây là giai đoạn chuyển tiếp cĩ ý nghĩa quan trọng khi mà những năng lực tốn học đã được HS tích lũy sẽ cĩ ảnh hưởng lớn đến thành cơng của các em trong những năm học tiếp theo và cuộc sống nghề nghiệp sau này. Nếu tiếp tục chương trình THPT, tính chất và mức độ học tập được yêu cầu đối với HS ở giai đoạn này sẽ phức tạp và cao hơn hẳn so với tuổi thiếu niên, địi hỏi HS phải biết cách vận dụng tri thức một cách sáng tạo. Nhà trường lúc này cĩ ý nghĩa đặc biệt quan trọng vì nội dung học tập khơng chỉ nhằm trang bị và hồn chỉnh tri thức mà cịn cĩ tác dụng hình thành thế giới quan và nhân sinh quan cho các em. Hoạt động tư duy của HS lứa tuổi mười lăm cũng phát triển mạnh. Năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hĩa phát triển cao giúp cho các em cĩ thể lĩnh hội mọi khái niệm phức tạp và trừu tượng trong tốn học. HS thích tìm hiểu những quy luật và nguyên tắc chung của các hiện tượng hàng ngày và của những tri thức phải tiếp thu... Một số câu hỏi mà chúng tơi đặt ra dành cho đối tượng HS này là: “Làm thế nào để các em tiếp cận được với một tri thức tốn mới cĩ tính quy luật?”; “Khi bắt gặp một vấn đề tốn học cĩ liên quan đến mối quan hệ giữa các đối tượng thì quá trình thu thập thơng tin và suy luận để phát hiện ra các quy luật tốn diễn ra trong đầu các em như thế nào?”; “Liệu các em cĩ mang trong mình tư tưởng khám phá quy luật tốn trong các dạng mẫu quan sát được để hỗ trợ giải quyết các vấn đề thực tế?” Mặt khác, HS mười lăm tuổi cũng là đối tượng của chương trình đánh giá HS quốc tế PISA, một chương trình đánh giá giáo dục được tổ chức định kì 3 năm một lần với quy mơ gần 70 quốc gia trên thế giới tham dự, trong đĩ cĩ Việt Nam. Một trong bốn lĩnh vực được PISA chọn để đánh giá là hiểu biết tốn, liên quan đến ba khía cạnh: Nội dung tốn học, quá trình tốn học và bối cảnh trong đĩ tốn học được sử dụng. Trong đĩ, nội dung tốn học được xác định chủ yếu theo bốn “ý tưởng bao quát”: đại lượng, khơng gian và hình, thay đổi và các mối quan hệ, tính khơng chắc chắn. Chương trình đánh giá HS quốc tế PISA nhận thấy rằng: các quy luật về đại lượng, các quy luật về khơng gian và hình, các quy luật về những thay đổi và các mối quan hệ tạo nên các khái niệm trung tâm cho các mơ tả về tốn học và tạo nên “trái tim” của bất kỳ một chương trình tốn nào ở trung học, cao đẳng hay đại học. PISA cịn cho thấy các quy luật tốn cĩ thể được sử dụng để giải quyết rất nhiều vấn đề thực tế: “Các cấu trúc sống đang thay đổi khi chúng phát triển, chu trình các mùa, thủy triều lên và xuống, các chu trình thất nghiệp, thay đổi thời tiết và các chỉ số chứng khốn, một trong số các quá trình thay đổi này cĩ thể được mơ tả hay được mơ hình hĩa bởi những hàm số bậc nhất, hàm số mũ hay hàm số tuần hồn, cĩ thể là rời rạc hay liên tục” (OECD, 2003, [60, tr. 37]). Với ý thức về tầm quan trọng của quy luật tốn đối với HS ở lứa tuổi mười lăm này, PISA kiểm tra các em về khả năng mơ tả những thay đổi trong thế giới dưới dạng cĩ thể nhận thức được để nhận ra sự xuất hiện của các quy luật, đồng thời biết vận dụng các kiến thức và kĩ thuật sẵn cĩ nhằm đem lại lợi ích lớn nhất cho cuộc sống (OECD, 2003, [60]). Cĩ thể thấy, năng lực phát hiện, mơ tả và sử dụng các quy luật tốn để giải quyết vấn đề trong tốn học và thực tế cũng là một trong những nội dung được PISA quan tâm đối với HS mười lăm tuổi. Trong xu hướng đĩ, với mong muốn thu hút sự quan tâm của giáo dục tốn Việt Nam vào những đĩng gĩp tích cực của suy luận ngoại suy và quy nạp trong việc giúp HS mười lăm tuổi phát triển khả năng tìm kiếm các quy luật tốn, chúng tơi chọn: “Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật tốn” làm đề tài nghiên cứu của luận án. 1.3. Phạm vi nghiên cứu Luận án quan tâm đến việc sử dụng suy luận quy nạp và ngoại suy của HS mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm các quy luật tốn với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan. HS mười lăm tuổi theo quy định của PISA là các HS trong độ tuổi từ mười lăm năm ba tháng đến mười sáu năm hai tháng. Trong luận án này, để thuận lợi cho việc thiết kế và phân tích các kết quả thực nghiệm, đối tượng HS mười lăm tuổi sẽ mang ý nghĩa tương đương với các HS đang bắt đầu theo học chương trình lớp 10 ở Việt Nam. Với đặc thù của chương trình tốn ở nước ta hiện nay, chúng tơi chọn sử dụng một số nội dung tốn thuộc hai lĩnh vực Đại số và Hình học mà HS đã được học ở cấp trung học cơ sở cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khai thác. Cụ thể, các quy luật tốn mà chúng tơi muốn tập trung phân tích trong lĩnh vực Đại số là các quy luật cĩ liên quan đến khái niệm “dãy số”. Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kĩ năng mơn tốn THPT của Bộ giáo dục và đào tạo (2006, [6]) cho thấy: chủ đề Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân đã xuất hiện ngầm ẩn trong chương trình tốn ở các lớp từ lớp 2 đến lớp 8, cuối cùng chính thức xuất hiện trong chương trình Đại số và Giải tích 11. Cho đến thời điểm HS được mười lăm tuổi, các em đã được học về các khái niệm: “biểu thức đại số”, “hàm số bậc nhất”, “hàm số bậc hai”, tức là các em cĩ đủ các tri thức cần thiết để khám phá các dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Việc HS chưa chính thức học các khái niệm về cấp số cộng, cấp số nhân sẽ là một yếu tố thuận lợi giúp chúng tơi đánh giá khách quan hơn những ảnh hưởng của BDTQ đến quá trình suy luận để khám phá quy luật dãy số của các em. Hơn thế, đây là một trong những nội dung khá thú vị khi phân tích sự xuất hiện đồng thời của cả hai loại suy luận ngoại suy và quy nạp trong quá trình khám phá và tổng quát hĩa quy luật của HS. Bên cạnh đĩ, chúng tơi cũng quan tâm đến năng lực khám phá các quy luật tốn của HS trong lĩnh vực Hình học. Với đối tượng HS mười lăm tuổi, chúng tơi chọn các kiến thức hình học phẳng liên quan đến các chủ đề quan hệ song song, quan hệ vuơng gĩc, đa giác và đường trịn mà HS đã được học trong chương trình Hình học ở các lớp 8, 9 cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khảo sát. Mặt khác, chúng tơi cũng muốn xem xét các dạng BDTQ được tạo ra trong mơi trường học tập cĩ sử dụng máy tính và các phần mềm hình học động. Các BDTQ động này khác với BDTQ trong mơi trường giấy bút ở khả năng chuyển động và biến đổi. Liệu sự khác biệt đĩ cĩ đem lại điều gì thú vị trong cách suy luận của HS để khám phá các quy luật tốn? Để tạo cơ hội cho HS khám phá các quy luật tốn trong lĩnh vực Hình học với sự hỗ trợ của các BDTQ động, chúng tơi chọn các bài tốn hình học kết thúc mở làm đối tượng để khai thác và phân tích trong thực nghiệm của luận án này. 1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết về suy luận ngoại suy và quy nạp, vai trị và vị trí của hai loại suy luận này trong quá trình khám phá các quy luật tốn. Xây dựng quy trình lý thuyết để khám phá quy luật dãy số bằng suy luận ngoại suy và quy nạp. Khảo sát các phương án ngoại suy mà HS sử dụng để khám phá quy luật dãy số. Xây dựng thang mức đánh giá các mức độ ngoại suy mà HS thể hiện. Phân tích những ảnh hưởng của các BDTQ đến quá trình suy luận của HS trong khám phá quy luật dãy số. Phân tích những thể hiện của suy luận ngoại suy và quy nạp qua quá trình HS tiến hành các thao tác lên BDTQ động để khám phá các bài tốn hình học kết thúc mở. Đề xuất một số cách thiết kế các bài tốn kết thúc mở nhằm thúc đẩy việc phát triển năng lực suy luận ngoại suy và quy nạp cho HS ở trường phổ thơng. 1.5. Câu hỏi nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu đã được đề cập ở trên, đề tài này sẽ gắn liền với bốn câu hỏi nghiên cứu sau: Câu hỏi nghiên cứu 1: Những loại suy luận nào được sử dụng trong quá trình khám phá quy luật dãy số và chúng cĩ mối quan hệ với nhau như thế nào? Câu hỏi nghiên cứu 2: Các biểu diễn trực quan mơ tả dãy số cĩ ảnh hưởng như thế nào đến quá trình suy luận của HS để đưa ra một quy tắc tổng quát? Câu hỏi nghiên cứu 3: Sử dụng biểu diễn trực quan động như thế nào để hỗ trợ quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy khi khám phá quy luật trong các bài tốn hình học kết thúc mở? Câu hỏi nghiên cứu 4: Làm thế nào để phát triển khả năng khám phá quy luật tốn của HS thơng qua suy luận quy nạp và ngoại suy? 1.6. Các thuật ngữ Suy luận: Sử dụng các quy tắc, các bằng chứng và những kiến thức đã cĩ để suy ra các kết luận mới, xây dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận khác (English, L. D., 2004, [33]). Suy luận diễn dịch: Suy luận dựa trên các quy tắc logic tốn nhằm đưa ra một kết luận (chắc chắn đúng) từ một tập hợp các tiên đề đúng cho trước. Suy luận quy nạp: Suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết mang tính tổng quát (khơng chắc chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết cho một số trường hợp cụ thể. Suy luận ngoại suy: Suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết cĩ lí (nhưng khơng chắc chắn đúng) để giải thích cho một kết quả ngạc nhiên quan sát được. Biểu diễn tốn: Cĩ nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn tốn. Nhìn chung các nhà nghiên cứu giáo dục tốn phân biệt giữa biểu diễn trong và ngồi, trong đĩ biểu diễn ngồi là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngơn ngữ, ký hiệu và biểu diễn trong là các mơ hình nhận thức mà một người cĩ được trong trí ĩc họ. Trực quan hĩa: Quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ (hay hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng) ở trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các cơng cụ khoa học cơng nghệ. Trực quan hĩa nhằm mục đích mơ tả và giao tiếp thơng tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết để đi đến việc hiểu tốn (Arcavi, 2003, [13]). Biểu diễn trực quan: Cơng cụ để trực quan hố nhằm hiểu được các đối tượng tốn học trừu tượng. Các biểu diễn trực quan thường được sử dụng là các hình vẽ, hình ảnh, sơ đồ, đồ thị, biểu bảng... Biểu diễn trực quan động: Các biểu diễn trực quan được xây dựng trên màn hình máy tính với sự hỗ trợ của các phần mềm tốn học động, cho phép HS thực hiện các thao tác (kéo rê, ẩn/hiện, tạo vết, tịnh tiến, quay, đo đạc, tính tốn, sắp xếp dữ liệu, thay đổi giá trị các tham số) lên các đối tượng được biểu diễn. Dạng mẫu tốn: Mơ hình hình học hoặc dãy (số hay đại số) mà ta cĩ thể dự đốn được quy luật do một vài tính chất của nĩ được lặp lại. Ví dụ cho dạng mẫu về các con số: Dãy các số lẻ: 1, 3, 5, 7... Ví dụ cho dạng mẫu về các hình hình học: Tổng các gĩc trong của một tam giác bất kì: Ví dụ cho dạng mẫu về các kí hiệu tốn học: Phép nhân của lũy thừa cơ số 2: . Quy luật tốn học: Mối quan hệ tốn học giữa các đối tượng tốn học (các số, các hình, các kí hiệu tốn học, các phép biến hình, các hàm, các tập hợp...) cĩ thể được phát hiện trong các dạng mẫu tốn. Các mối quan hệ này cĩ thể được mơ tả thơng qua các quy tắc, các cơng thức, các tính chất, các định lý... (Dưrfler, 2008, [30]). Trở lại với ví dụ về dạng mẫu tốn ở trên: một quy luật tốn được phát hiện trong dạng mẫu về dãy các số lẻ là: số hạng ở vị trí thứ n trong dãy số trên sẽ cĩ giá trị bằng ; một quy luật tốn được phát hiện trong dạng mẫu về tổng các gĩc trong của tam giác là: tổng các gĩc trong của một tam giác luơn bằng 180 độ; một quy luật tốn được phát hiện trong dạng mẫu về phép nhân lũy thừa cơ số 2 là: . Quy luật dãy số: Quy luật tốn học cho trường hợp cụ thể là dãy số, chỉ mối quan hệ giữa các số hạng với nhau và với vị trí của nĩ trong một dãy số. Mối quan hệ này cĩ thể được mơ tả bằng biểu thức đại số giúp xác định giá trị một số hạng bất kì khi biết vị trí của nĩ trong dãy số. Trong luận án này, chúng tơi tập trung vào các dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc nhất (cĩ quy tắc tổng quát là , n là vị trí của số hạng trong dãy số) và dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc hai (cĩ quy tắc tổng quát là , n là vị trí của số hạng trong dãy số). Tìm kiếm quy luật dãy số: Theo Stacey (1989, [80]), cĩ hai loại nhiệm vụ liên quan đến tìm kiếm quy luật dãy số: Tổng quát hĩa gần: yêu cầu HS tìm kiếm một số hạng khơng hẳn phải liền kề ngay sau các số hạng đã cho nhưng vị trí của nĩ trong dãy số đủ gần để HS cĩ thể thực hiện việc tìm kiếm từng bước tuần tự và cĩ được câu trả lời. Tổng quát hĩa xa: yêu cầu HS tìm kiếm một số hạng ở vị trí xa hơn nhiều so với các số hạng đã được cho sẵn khiến cho việc tìm kiếm từng bước tuần tự trở nên khơng cịn khả thi. Phương án ngoại suy trong khám phá quy luật dãy số: Cách suy luận ngoại suy nhằm đưa ra giả thuyết để giải thích việc các số hạng cho sẵn của dãy số xuất hiện theo một quy luật xác định. Bài tốn kết thúc mở: Bài tốn cĩ nhiều câu trả lời đúng và nhiều phương án giải khác nhau để đi đến các câu trả lời này (Becker & Shimada, 1997, [16]). Bài tốn hình học kết thúc mở: Là bài tốn kết thúc mở trong hình học, cĩ thể được nhận ra bởi một vài đặc điểm sau (Mogetta và nnk., 1999, tr. 91-92, [52]): Phát biểu bài tốn thường chỉ là những mơ tả rất ngắn gọn về các bước dựng hình theo trình tự và khơng đề nghị bất cứ một phương pháp giải cụ thể nào. Khác với dạng câu hỏi đĩng truyền thống như “Chứng minh rằng”, các bài tốn hình học kết thúc mở thường yêu cầu HS tự đề xuất giả thuyết. Các câu hỏi của bài tốn thường được diễn đạt dưới dạng: “Em tìm thấy mối quan hệ nào giữa”, “Trong điều kiện nào thì?”, “Hình cĩ thể trở thành những hình dạng nào?” Quy luật hình học: Quy luật tốn học cho các đối tượng hình học, chỉ mối quan hệ tốn học khơng đổi giữa các đối tượng hình học như điểm, đường thẳng, đường trịn... Các quy luật này thường được mơ tả qua các tính chất, các định lý, các cơng thức... trong hình học. Ví dụ: Sau đây là một số quy luật hình học (liên quan đến độ dài các cạnh a, b, c và số đo các gĩc ) trong một tam giác ABC bất kì: . . . Tổng các gĩc trong của một tam giác bất kì luơn bằng 1800. Trong hai cạnh của một tam giác, cạnh đối diện với gĩc lớn hơn cĩ độ dài lớn hơn, gĩc đối diện với cạnh lớn hơn cĩ số đo lớn hơn. 1.7. Cấu trúc luận án Ngồi phần Mục lục, Danh mục các chữ viết tắt, Danh mục các thuật ngữ tiếng Anh, Danh sách các hình ảnh, Danh sách các bảng biểu, Tài liệu tham khảo và Phụ lục, nội dung chính của luận án được trình bày trong năm chương: Chương 1. Mở đầu. Chương 2. Các kết quả nghiên cứu liên quan. Chương 3. Thiết kế nghiên cứu. Chương 4. Biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy. Chương 5. Phát triển khả năng khám phá quy luật tốn của học sinh bằng suy luận quy nạp và ngoại suy. Chương 1 mở đầu bằng việc giới thiệu tổng quan xu hướng phát triển chung của giáo dục tốn gắn liền với các khía cạnh mà chúng tơi quan tâm như quy luật tốn, khám phá quy luật tốn, suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp, biểu diễn tốn, đồng thời cho thấy đề tài nghiên cứu liên quan đến các khía cạnh này là một chủ đề hấp dẫn để khai thác và cĩ ý nghĩa thực tiễn trong bối cảnh giáo dục tốn ở Việt Nam hiện nay. Tuy nhiên, để triển khai luận án trước hết cần cĩ một cái nhìn tổng quan về các kết quả đã cĩ từ các nghiên cứu liên quan. Cụ thể, trong Chương 2, chúng tơi tiến hành khảo cứu tài liệu để xây dựng khung lý thuyết chính dành riêng cho nghiên cứu này: lý thuyết về suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy, các quan điểm về biểu diễn tốn, biểu diễn trực quan và biểu diễn trực quan động. Chúng tơi cũng tìm hiểu các nghiên cứu trong và ngồi nước liên quan đến chủ đề khám phá quy luật tốn trong phạm vi quan tâm của luận án: khám phá quy luật dãy số và khám phá quy luật trong các bài tốn hình học kết thúc mở. Sau khi tổng hợp, phân tích các kết quả cĩ được của các nghiên cứu này, chúng tơi chỉ ra những “khe hở” về mặt lý thuyết chưa được làm rõ, đồng thời đề xuất các vấn đề liên quan đến phạm vi nghiên cứu của luận án cĩ thể được kế thừa và phát triển từ các nghiên cứu đã cĩ theo những khía cạnh sâu rộng hơn. Từ đĩ, chúng tơi quay trở lại Chương 1 để xác định mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, xây dựng các câu hỏi nghiên cứu. Dựa trên các kết quả nghiên cứu về mặt lí luận, chúng tơi trình bày câu trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu 1 ngay trong Chương 2 nhằm làm cơ sở lý thuyết trực tiếp nhất cho việc phân tích các kết quả thực nghiệm sau này. Kết thúc Chương 1 và Chương 2, một thiết kế nghiên cứu thực nghiệm được định hình trong giai đoạn tiếp theo để cĩ dữ liệu nhằm trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu 2 và Câu hỏi nghiên cứu 3 của luận án. Các đối tượng HS, GV và trường phổ thơng tham gia thực nghiệm, các tiêu chuẩn để xây dựng.... Dựa trên các cơ sở lý thuyết chung về quy nạp và ngoại suy đã trình bày ở các Mục 2.1.1. và 2.1.2, chúng tơi đưa ra một số yếu tố giúp người đọc cĩ một cái nhìn tổng quan về sự giống nhau, khác nhau và mối quan hệ giữa ba loại suy luận cơ bản trong tốn học: suy luận diễn dịch, quy nạp và ngoại suy. 2.1.3.1. Xét về điều kiện để xảy ra và kết quả của ba loại suy luận Nếu ta cĩ một Quy tắc“Nếu P thì Q”, một Sự kiện P và một Hệ quả Q thì: Cho trước thơng tin về mối quan hệ giữa P và Q, quy nạp suy ra Quy tắc: “Nếu P thì Q”. Cho trước thơng tin về P và Quy tắc: “Nếu P thì Q”, diễn dịch suy ra Hệ quả Q. Cho trước Quy tắc: “Nếu P thì Q” và Hệ quả Q, ngoại suy suy ra Giả thuyết: “cĩ thể là P”. Chú ý rằng với ngoại suy, cĩ thể xảy ra một trong các trường hợp sau: Trường hợp 1: Ngồi quy tắc “Nếu P thì Q”, nếu trong tri thức cĩ sẵn của người học cĩ thêm một số quy tắc: “Nếu K thì Q”, “Nếu H thì Q” thì ngoại suy cĩ nhiệm vụ chọn ra một giả thuyết cĩ lí nhất trong các giả thuyết “cĩ thể là P”, “cĩ thể là H”, “cĩ thể là K”. Ngoại suy trong trường hợp này được xếp vào loại ngoại suy chọn lựa. Ví dụ 2.1. Đây là ví dụ được Reid (2003, [73]) sử dụng để minh họa cho suy luận ngoại suy xảy ra trong lớp học tốn. Trong ví dụ này một GV ở Pháp đang hướng dẫn một lớp học ở cấp độ 4 (HS tuổi từ 13 đến 14) chứng minh định lý Pythagore. Các em đã kết luận được ABCD là hình thoi vì chúng cĩ 4 cạnh bằng nhau. Sau đây là đoạn trao đổi giữa GV và HS: GV: ABCD là hình thoi, chúng ta đã cĩ đủ yếu tố để kết luận, khơng cần thêm điều gì nữa. Nhưng đĩ khơng phải là những gì thầy yêu cầu các em chứng minh. Thầy muốn các em chứng mình rằng nĩ là HS: Hình vuơng. GV: đúng rồi, hình vuơng. Vậy thì với điều kiện nào nữa thì ABCD là hình vuơng. Điều kiện nào thì hình thoi ABCD là hình vuơng? Nhiều HS: Nếu nĩ cĩ 1 gĩc vuơng. GV: Nếu nĩ cĩ? Nhiều HS: 1 gĩc vuơng. GV: 1 gĩc vuơng, vậy là đủ. Ở đây ta cĩ một sơ đồ ngoại suy sau: Kết luận: ABCD là hình thoi, ABCD là hình vuơng. Quy tắc: Nếu hình thoi cĩ một gĩc vuơng thì nĩ là hình vuơng. Trường hợp: ABCD cĩ một gĩc vuơng. Cĩ một số điều thú vị trong tình huống này mà chúng tơi muốn nĩi rõ hơn. Thứ nhất là sự hiện diện của hai Kết luận: một kết luận đã cĩ sẵn từ giả thiết của bài tốn và một kết luận được đề xuất dựa trên quan sát hình vẽ và yêu cầu của GV. Đây là một phần của “hợp đồng didactic” rằng kết luận mà GV muốn HS chứng minh là đúng. Thứ hai là cĩ nhiều Quy tắc khác nhau mà HS cĩ thể chọn lựa, chẳng hạn “nếu hình thoi cĩ hai đường chéo bằng nhau thì đĩ là hình vuơng”, hoặc “nếu hình thoi cĩ hai gĩc kề bằng nhau thì đĩ là hình vuơng”. Sử dụng một trong các Quy tắc này cĩ thể sẽ hữu ích hoặc khơng hữu ích cho việc chứng minh của HS. Nĩi cách khác, HS cần chọn một giả thuyết “tốt nhất” dựa trên các yếu tố đã cĩ sẵn của bài tốn. Theo Eco, phép ngoại suy mà HS sử dụng trong trường hợp này là ngoại suy chọn lựa. Trường hợp 2: Nếu Quy tắc “Nếu P thì Q” cĩ chiều ngược lại “Nếu Q thì P” thì giả thuyết ngoại suy khơng chỉ là một giả thuyết cĩ lí, mà nĩ cịn là giả thuyết đúng và duy nhất: “Chắc chắn là P”. Ngoại suy trong trường hợp này là ngoại suy trực tiếp theo cách phân loại của Eco (1983, [32]). Trường hợp 3: Nếu Quy tắc “Nếu P thì Q” chưa tồn tại trong tri thức người học, thì việc suy ra đồng thời Quy tắc “Nếu P thì Q” và Giả thuyết: “cĩ thể là P” là kết quả của ngoại suy sáng tạo. Ví dụ 2.2 (Meyer, 2008, [51]). Tình huống này xảy ra trong một lớp học tốn ở Đức (HS ở độ tuổi từ 12 đến 13 tuổi, đang học lớp 7). Trong bài học trước đĩ, HS đã biết đến các mối quan hệ tỉ lệ. GV vẽ một đồ thị của hàm số bậc nhất và yêu cầu HS điền một giá trị phù hợp vào dấu chấm hỏi:. HS đầu tiên quan tâm đến đường phân giác của hai trục tọa độ (đường thẳng nét đứt), được mơ tả dưới dạng (Hình 2.2). Dưới đây là đoạn hội thoại giữa GV và HS: GV: Tại sao đường thẳng nét đứt này là đồ thị của hàm số, Oliver? Oliver: Cĩ lẽ bởi vì nĩ là 45 độ. GV: Đúng là gĩc giữa trục hồnh và đường thẳng nét đứt này là 45 độ (GV chỉ vào gĩc). Stefan? Stefan: Cĩ phải giá trị cần tìm là nhỏ hơn 2? Bởi vì nếu gấp đơi gĩc lên thành 90 độ thì đĩ chính là trục tung. Vì thế nĩ phải nhỏ hơn 2, khoảng 1.9. Hình 2.2. Minh họa suy luận của HS Quy tắc mà HS sử dụng trong tình huống này là: Nếu gĩc giữa đồ thị hàm số và trục hồnh tăng lên gấp đơi thì hệ số gĩc của đồ thị hàm số cũng tăng lên gấp đơi. Quy tắc trên được kết hợp với kết quả quan sát được: “Gĩc giữa đồ thị hàm số và trục hồnh gần gấp đơi gĩc giữa đồ thị hàm số và trục hồnh”, HS đưa ra giả thuyết: “Hệ số gĩc của đồ thị hàm số xấp xỉ ”. Ví dụ này cho thấy HS đã thiết lập quy tắc mới trong quá trình khám phá mặc dù quy tắc này khơng đúng. Nếu tiếp cận ba loại suy luận dựa trên mơ tả của Peirce (Peirce, [65, 2.623]) về mối quan hệ giữa Quy tắc, Trường hợp và Kết luận và kết hợp với mơ hình về ngoại suy của Meyer (2008, [51]) đã được đề cập ở Chương 2, chúng tơi đưa ra ba mơ hình cho suy luận diễn dịch, quy nạp và ngoại suy như trong Bảng 2.2 để thấy rõ sự khác biệt của ba loại suy luận này. Bảng 2.2. Mơ hình so sánh ba loại suy luận Diễn dịch Quy nạp Ngoại suy Quy tắc: Trường hợp: Kết luận: Trường hợp: Kết luận: Quy tắc: Kết luận: Quy tắc: Trường hợp: 2.1.3.2. Xét về mục đích tiến hành mỗi loại suy luận Suy luận diễn dịch sử dụng các quy tắc logic tốn và các tiên đề đã biết để khẳng định sự đúng đắn của một kết quả và thường sử dụng trong quá trình chứng minh tốn học. Suy luận quy nạp giúp tổng quát hĩa một kết quả từ các trường hợp riêng tương tự nhau, nhằm mở rộng phạm vi áp dụng của một tính chất/một tri thức tốn cho một nhĩm đối tượng lớn hơn. Quy nạp thường được sử dụng trong khám phá các kết quả mang tính tổng quát. Quy nạp cũng được dùng để hỗ trợ cho phương án giải quyết vấn đề: giải quyết một bài tốn đơn giản hơn bằng cách hạn chế lại số trường hợp cần xem xét và sau đĩ dùng suy luận quy nạp để tổng quát hĩa kết quả cho bài tốn chính. Suy luận ngoại suy nhằm đưa ra một giả thuyết cĩ thể chấp nhận được để lý giải cho một hiện tượng hoặc quan sát gây ngạc nhiên trong quá trình khám phá các tri thức tốn. Ngoại suy cũng được dùng để định hướng cho quá trình chứng minh bằng cách suy luận ngược từ điều cần chứng minh (các Kết luận) đến giả thiết mà bài tốn cho sẵn (các Trường hợp). 2.1.3.3. Xét về khía cạnh khám phá tốn và tính chắc chắn của kết quả Tính chắc chắn của những kết luận được tạo ra bởi các loại suy luận này giảm dần từ diễn dịch đến quy nạp và cuối cùng là ngoại suy. Bản chất “tạo ra chân lí” của diễn dịch luơn luơn tạo ra một kết luận cĩ cơ sở vững chắc vì những tiên đề đúng luơn luơn đưa đến những kết luận đúng. Kết luận được suy ra khơng phải là sự tổng quát hĩa vì thế khơng cần cĩ sự xác minh thực nghiệm. Trái lại, ngoại suy và quy nạp tạo ra các kết luận dựa trên thực nghiệm và cĩ thể là sai (Josephson J. & Josephson S., 1994, [39, tr. 12-13]). Tuy nhiên, xét về khía cạnh khám phá tri thức mới, những tri thức cĩ được từ suy luận diễn dịch cĩ thể xem như những hệ quả logic được suy ra từ những tiên đề đúng đã biết trước, do đĩ chúng khơng thể mở rộng vốn tri thức sẵn cĩ của con người. Với quy nạp, tri thức mới thu được dưới dạng tổng quát hĩa, là mở rộng phạm vi của những tri thức đã biết theo các xu hướng cĩ thể đốn trước được. Với ngoại suy, khi những tri thức cĩ sẵn khơng giải thích được cho quan sát, tri thức mới được hình thành. Vì thế, ngoại suy giúp cung cấp các ý tưởng mới và mở rộng tri thức của chúng ta (Peirce, [65, 2.777 & 5.171]). 2.2. Biểu diễn tốn Các biểu diễn tốn là các mơ hình nhận thức mà người dạy cĩ thể tận dụng một cách cĩ hiệu quả để thúc đẩy việc hiểu các khái niệm tốn cho tất cả HS. 2.2.1. Phân loại biểu diễn tốn Bruner, nhà tâm lý học nhận thức người Mỹ, đã tập trung vào nghiên cứu nhận thức tốn học của trẻ em cũng như tư duy cĩ tính biểu diễn và chỉ ra rằng cĩ thể chia biểu diễn thành ba phạm trù từ thấp đến cao như sau (Tadao Nakahara, 2007, [81]): Thực tế: gồm các biểu diễn thực tế và các biểu diễn thao tác được. Biểu tượng: các BDTQ sử dụng các hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng... Ký hiệu: gồm cĩ biểu diễn ngơn ngữ và biểu diễn ký hiệu. Hai mươi ba 23 Thực tế Thao tác được Biểu tượng Ngơn ngữ Ký hiệu Hình 2.3. Các giai đoạn phát triển cĩ tính trình tự của biểu diễn Hình 2.3 mơ tả các giai đoạn phát triển của biểu diễn theo trình tự từ biểu diễn thực tế đến biểu diễn ký hiệu. Điều đĩ thể hiện một chuyển dịch giữa các biểu diễn từ cụ thể đến trừu tượng hơn. Trong ba phạm trù biểu diễn ở trên, BDTQ đĩng vai trị trung gian nối kết biểu diễn thực tế với biểu diễn ký hiệu. Trong luận án này, chúng tơi chú trọng đến BDTQ, đặc biệt là các BDTQ với sự hỗ trợ của các phần mềm hình học động trên máy tính nhằm giúp HS khám phá các quy luật tốn. 2.2.2. Biểu diễn trực quan 2.2.2.1. Trực quan hĩa Cĩ khá nhiều định nghĩa và quan điểm khác nhau về trực quan hĩa. Để phù hợp với nội dung của luận án này, chúng tơi dùng định nghĩa được tổng hợp bởi Arcavi (2003, [13], tr. 217): Trực quan hĩa là quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ (hay hình ảnh, sơ đồ) trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các cơng cụ khoa học cơng nghệ. Trực quan hĩa nhằm mục đích mơ tả và giao tiếp thơng tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đĩ để đi đến việc hiểu. Sau đây là một ví dụ về trực quan hĩa: Tìm tổng vơ hạn của cấp số nhân: HS dùng biểu diễn đại số để tính , sau đĩ lấy giới hạn: Nhưng BDTQ ở Hình 2.4 cho ta một chứng minh đẹp được trích từ bài báo mang tên “chứng minh khơng từ ngữ” của Mabry (xem Trần Vui, 2009, [9]). Giả sử diện tích tam giác đều lớn bằng 1. Từ tam giác đều lớn, ta đục tam giác đều ở giữa, tiếp tục đục tam giác đều ở trên... Dãy tam giác đều bị đục cĩ tổng diện tích là: Ta thấy cĩ ba dãy tam giác đều vơ hạn giống nhau và ba dãy này lấp đầy tam giác đều lớn nên: . Hình 2.4. BDTQ tổng vơ hạn Trực quan hĩa trong giáo dục tốn trở thành một lĩnh vực nghiên cứu thực sự vào năm 1991 (Presmeg, 2006, [69]). Vai trị của BDTQ từ việc chỉ đơn thuần minh họa cho những kết quả bằng biểu diễn kí hiệu, giờ trở thành một cơng cụ hiệu quả cho việc học tốn bởi chúng: mang lại ý nghĩa cho các khái niệm tốn học và các mối quan hệ tốn học. cung cấp các tiếp cận đơn giản, ngắn gọn và đầy nội lực cho các kết quả tốn học, gĩp phần tạo ra sự kết nối giữa các lĩnh vực khác nhau của tốn học như số học, đại số và hình học. gợi ý hướng giải quyết vấn đề. cung cấp thêm cho HS những cơng cụ và phương tiện, kĩ thuật khác nhau khi nhìn nhận một tình huống tốn học. giảm bớt độ phức tạp khi đối mặt với vơ số thơng tin. Tuy nhiên, những hạn chế và khĩ khăn khi sử dụng các BDTQ, thậm chí là sự miễn cưỡng sử dụng chúng cũng đã được thảo luận rộng rãi trong nghiên cứu của Arcavi (2003, [13]). 2.2.2.2. Biểu diễn trực quan mơ tả quy luật dãy số Sau đây là một số ví dụ cho thấy các BDTQ giúp HS tiếp cận với khái niệm quy luật của Dãy số từ các dạng mẫu trực quan. Ví dụ 2.3. Dãy số theo quy luật hàm số bậc nhất: Trên một tờ giấy kẻ ơ vuơng, vẽ các hình đĩng kín với các đường biên tựa trên các đường thẳng ơ kẻ của tờ giấy. Các gĩc vuơng bên trong và bên ngồi được đánh dấu như Hình 2.5. Hình 2.5. Quy tắc Với các hình dạng khác nhau đã được vẽ, số gĩc vuơng bên trong và gĩc vuơng bên ngồi cĩ mối liên hệ với nhau như sau: Số gĩc vuơng bên trong 5 6 7 n Số gĩc vuơng bên ngồi 1 2 3 Ví dụ 2.4. Dãy số theo quy luật hàm số tuyến tính: Với mỗi hình vuơng cĩ kích thước khác nhau, chúng ta vẽ một hình chữ thập bất kì nội tiếp bên trong hình vuơng đĩ (Hình 2.6). Chiều dài cạnh hình vuơng với chu vi của hình chữ thập nội tiếp cĩ mối liên hệ với nhau như sau: Hình 2.6. Quy tắc Chiều dài cạnh gĩc vuơng 1 2 3 n Chu vi hình chữ thập 4 8 12 4n Ví dụ 2.5. Dãy số theo quy luật hàm số bậc nhất: Mỗi viên gạch hình chữ nhật được ghép bởi hai viên gạch hình vuơng (Hình 2.7). Số viên gạch và số hình vuơng được tạo thành cĩ mối liên hệ với nhau như sau: Hình 2.7. Quy tắc Số viên gạch 1 2 3 n Số hình vuơng tạo thành 2 5 8 Ví dụ 2.5. Dãy số theo quy luật hàm số bậc hai: Vẽ các hình vuơng với các kích cỡ khác nhau và các đường xoắn bên trong như Hình 2.8. Độ dài đường xoắn và độ rộng của hình vuơng cĩ mối liên hệ với nhau như sau: Hình 2.8. Quy tắc Độ rộng hình vuơng 1 2 3 4 n Độ dài đường xoắn 3 8 15 24 n(n+2) Ví dụ 2.6. Dãy số theo quy luật hàm số bậc hai: Chia đường trịn bởi các đường thẳng sao cho khơng cĩ hai đường thẳng nào song song và khơng cĩ ba đường thẳng nào đồng quy (Hình 2.9). Mối quan hệ giữa số miền tối đa thu được khi chia đường trịn bởi n đường thẳng được ghi lại như sau: Hình 2.9. Quy tắc Số đường thẳng 0 1 2 3 4 5 6 n Số miền tối đa 1 2 4 7 11 16 22 Những ví dụ trên cho thấy phần lớn các dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai đều cĩ thể được mơ tả bằng cách nào đĩ thơng qua các BDTQ. Thậm chí một số dãy số cịn cĩ tên gọi gắn liền với BDTQ mơ tả chúng, chẳng hạn như dãy tam giác, dãy tứ giác, dãy ngũ giác (Hình 2.10). Số hạng thứ 1 2 3 4 Dãy tam giác Dãy tứ giác Dãy ngũ giác Hình 2.10. Biểu diễn trực quan của dãy tam giác, dãy tứ giác, dãy ngũ giác 2.2.2.3. Biểu diễn trực quan động Trước khi đề cập đến khái niệm BDTQ động, chúng ta hãy so sánh những đặc trưng của một tiếp cận trực quan đối chiếu với một tiếp cận đại số (Trần Vui, 2009, [9]). Một tiếp cận đại số trong quá trình tư duy tốn học được đặc trưng bởi: Thích các lời giải đại số trong khi cũng cĩ thể cĩ các lời giải đồ họa; Khĩ khăn trong việc thiết lập các lý giải đồ họa cho các lời giải đại số; Nhu cầu luyện tập đại số, khi một lời giải đồ họa được yêu cầu; Khả năng để thành lập các dự đốn và phản bác, hay phát hiện ra các giải thích dựa vào cơng thức và phương trình đã cho. Trong trường hợp này, máy tính khơng được dùng nhiều, và những tính tốn lẽ ra nên để máy tính làm đều được thực hiện trên giấy với bút hay chỉ là tính nhẩm. Người ta cần phải nhớ các quy tắc để trả lời các vấn đề tốn học khác nhau. Một tiếp cận trực quan trong quá trình tư duy tốn học được đặc trưng bởi: Sử dụng thơng tin đồ họa để giải quyết các bài tốn mặc dù chúng cũng cĩ thể được tiếp cận một cách đại số; Khĩ khăn trong việc thiết lập các lý giải đại số cho các lời giải đồ họa; Khơng cĩ nhu cầu luyện tập đại số, khi các lời giải đồ họa được địi hỏi; Khả năng trong việc thành lập các dự đốn và phản bác, hay đưa ra các giải thích bằng cách sử dụng thơng tin đồ họa. Trong trường hợp này, máy tính được sử dụng để kiểm chứng các dự đốn, để tính tốn. Như vậy máy tính là một cơng cụ hỗ trợ hiệu quả cho những tiếp cận mang tính trực quan. Khái niệm BDTQ động trên máy tính cĩ thể hiểu là BDTQ trong đĩ cho phép sử dụng các thao tác tác động lên các đối tượng trong biểu diễn. BDTQ động thường được xây dựng thơng qua các phần mềm hình học động. Phần mềm hình học động là các chương trình phần mềm máy tính được tạo ra để dựng các hình hình học. The Geometer Sketchpad (GSP), Cabri là hai trong số các phần mềm hình học động được sử dụng khá phổ biến trong giáo dục tốn ở phổ thơng hiện nay. Khía cạnh mang tính đột phá của những phần mềm này so với mơi trường giấy bút truyền thống là tính “động”, nghĩa là các đối tượng trên BDTQ động cĩ thể di chuyển nhưng vẫn bảo đảm giữ nguyên tính chất và các mối quan hệ hình học được thiết lập ban đầu. Những thao tác lên BDTQ động trên máy tính khác cũng sẽ khác với những thao tác lên các BDTQ trong mơi trường giấy bút do chúng cĩ thêm những hỗ trợ từ phần mềm hình học động mang lại. 2.3. Khám phá quy luật dãy số 2.3.1. Nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số Khám phá quy luật và tổng quát hĩa là hai chủ đề quan trọng được nhấn mạnh bởi rất nhiều nhà tốn học và giáo dục tốn (Amit & Neria, 2007, [12]; Becker & Rivera, 2005, [17]; Radford, 2006, [70]; Stacey, 1989, [80]). Các nhiệm vụ khám phá và tổng quát hĩa quy luật dãy số cĩ thể được thể hiện trong bối cảnh Số học (Ví dụ 2.7) hay sử dụng các BDTQ để mơ tả (Ví dụ 2.8) như sau: Ví dụ 2.7. Năm số hạng đầu tiên của một dãy số được cho bởi: 1, 4, 7, 10, 13 Viết tiếp số hạng thứ 6, thứ 10 và thứ 100 của dãy số. Em cĩ thể viết một quy tắc để tìm kiếm số hạng thứ n của dãy số này nếu giá trị n được cho sẵn? Giải thích cách em tìm ra câu trả lời. Ví dụ 2.8. Các tấm bìa hình vuơng được xếp theo quy luật hình chữ T như sau: Cỡ 1 Cỡ 2 Cỡ 3 Cỡ 4 Viết một cơng thức tìm số tấm bìa hình vuơng trong hình chữ T cỡ n. Sử dụng cơng thức ở câu a), tìm số tấm bìa hình vuơng cần sử dụng cho hình chữ T cỡ 200. Trong Ví dụ 2.7, việc tìm kiếm số hạng thứ 6 địi hỏi HS phải xem xét 5 số hạng được cho trước đĩ và suy ra một quy luật giữa 5 số hạng này, chẳng hạn: mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền kề trước cộng thêm 3 đơn vị. Từ đĩ HS tìm ra số hạng thứ 6 là . Việc tìm kiếm số hạng thứ 10 và 100 theo nghiên cứu của Stacey (1989, [80]) được gọi là các nhiệm vụ tổng quát hĩa gần và tổng quát hĩa xa. Nhiệm vụ tổng quát hĩa gần yêu cầu HS tìm kiếm một số hạng khơng hẳn phải liền kề ngay sau các số hạng đã cho nhưng vị trí của nĩ trong dãy quy luật đủ gần để HS cĩ thể thực hiện từng bước đếm tuần tự và cĩ được câu trả lời. Nhiệm vụ tổng quát hĩa xa yêu cầu HS tìm kiếm một số hạng ở vị trí xa hơn nhiều so với các số hạng đã được cho sẵn khiến cho việc đếm từng bước tuần tự trở nên khơng cịn khả thi. Tuy nhiên, với Ví dụ 2.8, HS khơng cần phải tiến hành bất kỳ tổng quát hĩa xa nào để đạt được câu trả lời cho câu hỏi b) và c) mà số tấm bìa ở một vị trí bất kỳ cĩ thể được suy ra ngay từ câu trả lời ở câu hỏi a). Một hạn chế của các nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số trong bối cảnh Số học là các quy luật cĩ thể phát triển theo rất nhiều cách khác nhau vì những số hạng được cho sẵn trong dãy số khơng bao hàm bất cứ mơ tả chính xác nào cho sự phát triển của quy luật đĩ. Theo Whitton (1971, [84]), một HS cĩ thể viết bất kì số nào khi được yêu cầu tìm số hạng tiếp theo của dãy quy luật này. Chẳng hạn, với dãy số 1, 4, 7, 10, 13, quy tắc mơ tả quy luật dãy số này là . Tuy nhiên, chỉ với 5 số hạng được cho sẵn trong dãy số trên, quy tắc sau cũng được chấp nhận: với giá trị k bất kì. Do đĩ, k cĩ thể được tính tốn sao cho bất kì số nào cũng cĩ thể là số hạng tiếp theo của dãy số này. Chẳng hạn, số 14 sẽ được chọn là số hạng thứ 6 của dãy số khi (thay vào biểu thức: để suy ra giá trị của k). Do đĩ, dãy số sẽ được mở rộng như sau: 1, 4, 7, 10, 13, 14, Whitton khơng sai khi suy ra quy tắc cho số hạng tổng quát của dãy quy luật theo cách này, tuy nhiên nĩ quá phức tạp để HS cĩ thể suy nghĩ đến. Để đơn giản hĩa, việc hình thành quy tắc thường được thực hiện bằng cách cho HS giả định ngầm rằng sự phát triển quy luật phải theo một cách thức cĩ thể tiên đốn được từ số hạng này đến số hạng tiếp sau đĩ, chẳng hạn như sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp trong một dãy số theo quy luật hàm số bậc nhất là hằng số cịn trong dãy số theo quy luật hàm số bậc hai thì sự khác biệt này tạo thành một cấp số cộng. Trái ngược với nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số trong bối cảnh Số học, các nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số được mơ tả bằng BDTQ dường như khơng gặp phải trở ngại này do cấu trúc rõ ràng của các BDTQ dùng để mơ tả dãy số. Trong hơn hai thập kỉ qua, rất nhiều nhà nghiên cứu duy trì quan điểm rằng những nhiệm vụ khám phá và tổng quát hĩa quy luật dãy số là một cơng cụ hiệu quả để thúc đẩy tư duy đại số cho HS (NCTM, 2000, [57], Amit & Neria, 2007, [12]; Rivera & Becker, 2005, [75]; Radford, 2008, [71]; Stacey, 1989, [80]) bởi chúng cĩ thể được sử dụng để: giới thiệu khái niệm về biến số (Mason, 1996, [50]; Warren & Cooper, 2008, [83]); khởi đầu cho việc tạo ra ý nghĩa của các biểu thức đại số (Lee, 1996, [44]; Mason, 1996, [50]). phát triển hai khía cạnh chính của tư duy đại số: (i) Nhấn mạnh các mối quan hệ giữa các đại lượng, chẳng hạn đầu vào x (biến số) và đầu ra (hàm số) (Radford, 2008, [71]) và (ii) ý tưởng về việc sử dụng một quy tắc rõ ràng để biểu diễn cho các giá trị của hàm số (Kaput, 2008, [40]); phát triển khái niệm về các biểu thức đại số tương đương (Warren & Cooper, 2008, [83]). 2.3.2. Các mức độ nhận thức trong khám phá quy luật dãy số García-Cruz & Martinĩn (1998, [37]) khảo sát quá trình khám phá các dãy số theo quy luật hàm số bậc nhất của 53 HS trong độ tuổi từ 15 đến 16 tuổi. Kết quả cho thấy cĩ bốn giai đoạn chính khi tiến hành tổng quát hĩa, tùy theo từng cấp độ phát triển của sự nhận thức tốn: Cấp độ 1: HS nhận ra nét đặc trưng lặp lại và đệ quy của dãy số theo quy luật hàm số bậc nhất và sử dụng nĩ để tính tốn một số giá trị tiếp theo của dãy. Chẳng hạn, với d là hằng số sai khác giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy số, HS sử dụng cơng thức dựa theo đặc trưng lặp lại, hay cơng thức dựa theo đặc trưng đệ quy của quy luật để tính số hạng thứ 10 của dãy. Mặc dù những tính tốn này chưa phải là tổng quát hĩa, nhưng việc nhận ra sự quy luật về giá trị sai khác giữa hai phần tử liên tiếp của dãy số là bước khởi đầu hết sức quan trọng. Cấp độ 2: HS cĩ thể thiết lập một mối quan hệ bất biến từ các hình vẽ và cĩ thể áp dụng các quy tắc tính tốn. Cấp độ này được đặc trưng bởi khả năng của HS trong việc diễn tả bằng lời một quy tắc. Cấp độ 3: Tìm kiếm một mối quan hệ hàm số - HS cĩ thể nhìn thấy cấu trúc tổng thể của quy luật, cĩ thể đạt đến lời giải cho một “tổng quát hĩa xa” và cĩ thể biểu diễn quy tắc tổng quát theo một số cách “khơng chính quy”. Cấp độ 4: HS khơng chỉ hiểu được mối quan hệ cĩ tính hàm số của quy luật mà cịn biểu diễn được quy tắc tổng quát dưới dạng biểu thức đại số. Ơng cũng phân loại các phương án khám phá quy luật dựa trên bản chất của chúng: số học, hình học, và sự kết hợp cả hai loại này. Tùy thuộc vào việc các hình vẽ đĩng vai trị chính hay việc thao tác với các dữ liệu số làm nền tảng để khám phá ra quy luật mà phương án sẽ được xếp vào phạm trù hình học hay số học. Phương án kết hợp thường được thực hiện dưới dạng: sử dụng các dữ liệu số để đề xuất giả thuyết và sử dụng hình vẽ để xác minh giả thuyết. Radford (2008, [71]) khảo sát cách HS khám phá các quy tắc tổng quát của dãy số trong nhiều năm và đưa ra sự phân biệt giữa tổng quát hĩa số học và tổng quát hĩa đại số. Một tổng quát hĩa số học xảy ra khi HS tham gia vào quá trình đếm dựa trên kinh nghiệm để nhận ra một đặc điểm chung nào đĩ và tổng quát hĩa điều này cho các số hạng cịn lại. Điều này thường xảy ra khi HS sử dụng các phương án đệ quy dựa trên việc nhận ra quy luật về giá trị sai khác giữa các số hạng liên tiếp. Mặc dù việc nhận ra mối quan hệ đệ qui giữa các số hạng liên tiếp cĩ thể giúp HS mở rộng quy luật, tuy nhiên nĩ khơng giúp HS chỉ ra ngay lập tức một số hạng bất kỳ khi biết trước vị trí của nĩ trong dãy quy luật. Trái lại, một tổng quát hĩa đại số dựa trên “khả năng nắm bắt một tính chất chung được chú ý giữa các trường hợp ; mở rộng hay triển khai tính chất chung này cho các số hạng tiếp theo , và cĩ thể sử dụng tính chất chung này để đưa ra một biểu thức tính trực tiếp một số hạng bất kì của dãy” (Radford, 2008, [71, tr. 84]). Bằng việc tham gia vào quá trình nhận ra cấu trúc quy luật, tổng quát hĩa đại số vì thế được xem là phức tạp hơn nhiều so với tổng quát hĩa số học (Radford, 2008, [71, tr. 85]). Amit & Neria (2007, [12]) nghiên cứu về các phương án mà HS năng khiếu sử dụng để khám phá các quy luật và chỉ ra hai đặc trưng của quá trình khám phá này: Tính linh hoạt trí ĩc: thể hiện ở sự luân phiên thường xuyên giữa các dạng biểu diễn khác nhau, hay sự chuyển đổi linh hoạt từ một phương án giải này sang phương án giải khác. Sự phản ánh đa dạng: với ba loại phản ánh Phản ánh những tương đồng trong cấu trúc của quy luật: thể hiện qua việc HS quan sát quy luật, hiểu được những thuộc tính quan trọng chứa đựng trong quy luật. Phản ánh phương án tổng quát hĩa: HS rút ra được một phương án để tổng quát hĩa, thể hiện trình độ nhận thức và năng lực tư duy bậc cao. Phản ánh qua sự xác minh quy luật: HS tiến hành tổng quát hĩa, sau đĩ kiểm tra và so sánh nĩ với những kết quả đạt được theo một cách khác. 2.3.3. Các phương án khám phá quy luật dãy số Stacey (1989, [80]) tập trung nghiên cứu về khả năng tổng quát hĩa các dãy số theo quy luật hàm số bậc nhất của HS cĩ độ tuổi từ 9 đến 13 và nhận thấy cĩ một số mâu thuẫn trong các phương án được sử dụng bởi HS khi tiến hành tổng quát hĩa gần và tổng quát hĩa xa. Stacey kết luận rằng các hình vẽ đĩng vai trị quan trọng trong các tiếp cận của HS mặc dù bà đã khơng phát triển nghiên cứu này xa hơn. Ba phương án tổng quát hĩa chính xuất hiện trong nghiên cứu của bà là: Phương án đệ quy: tìm kiếm một phần tử trong dãy dựa vào phần tử đứng trước nĩ; Phát triển một biểu thức tốn học từ hình vẽ; Tìm kiếm mối quan hệ hàm số. Orton, A. và Orton, J. (1999, [61]) tập trung nghiên cứu của mình vào các dãy số theo quy luật hàm số bậc nhất và quy luật hàm số bậc hai với HS cĩ độ tuổi từ 10 đến 13. Kết quả cho thấy HS cĩ xu hướng sử dụng phương án đệ quy: tìm giá trị sai khác giữa hai phần tử liên tiếp cho các quy luật bậc nhất và mở rộng phương án này cho các quy luật bậc hai bằng cách tìm kiếm giá trị sai khác cấp hai (sai khác của sai khác cấp 1), nhưng phương án này gặp thất bại trong một số trường hợp, chẳng hạn quy luật dãy Fibonacci. Các tác giả cũng chỉ ra rằng phương án đệ quy cĩ thể hữu ích trong việc giải quyết các nhiệm vụ tổng quát hĩa gần nhưng nĩ khơng giúp HS hiểu được cấu trúc quy luật. Becker và Rivera (2005, [17]) tiến hành một nghiên cứu kéo dài 5 năm về khả năng tổng quát hĩa quy luật dãy số của các nhĩm HS lớp 8 và lớp 9 ở Mỹ. Trong khi hơn 70% HS ở các khối thể hiện sự thành cơng khá nhất quán trong việc tính tốn các số hạng cụ thể của dãy số, các em lại gặp khĩ khăn đặc biệt khi thiết lập quy tắc tổng quát của dãy số. Một nghiên cứu khác của nhĩm tác giả này được tiến hành vào với 22 HS lớp 9 với một số câu hỏi liên quan đến quy luật dãy số. Nghiên cứu được thực hiện bằng cách phỏng vấn HS trong 20-30 phút với yêu cầu HS nĩi to suy nghĩ thì kết quả cĩ 13 HS thậm chí khơng thể đưa ra tổng quát hĩa cho bất kì một quy luật hàm số bậc nhất nào và chỉ cĩ 5 HS thành cơng trong tất cả các nhiệm vụ. Sau đây, chúng tơi tổng kết lại các phương án giúp tìm kiếm quy tắc hàm số xuất hiện trong các nghiên cứu liên quan. Trước hết, Rivera & Becker (2008, [77, tr. 70]) phân loại các phương án tìm kiếm quy tắc hàm số mà HS sử dụng thành hai phạm trù chính sau đây: Số học: Chỉ dựa trên các dấu hiệu được nhận ra từ việc thu thập, tổ chức số liệu của các trường hợp cho sẵn. Hình học: Chỉ dựa hồn tồn vào việc khám phá trực tiếp cấu trúc của các BDTQ mơ tả quy luật dãy số. Các phương án thuộc phạm trù Số học chủ yếu là năm dạng sau: So sánh: so sánh các số hạng trong dãy số cần tìm với các số hạng tương ứng của một dãy số khác đã biết quy tắc hàm số. Cộng dồn: nhận ra quy luật về giá trị sai khác giữa hai số hạng liên tiếp của dãy số và thực hiện việc cộng dồn các giá trị sai khác này vào số hạng đầu tiên để tìm ra quy tắc mơ tả mỗi số hạng của dãy số (kể từ số hạng thứ 2 trở đi). Chẳng hạn, dãy số theo quy luật hàm số bậc nhất cĩ các giá trị sai khác giữa hai số hạng liên tiếp là hằng số d, số hạng đầu tiên của dãy số là nên số hạng thứ n được tính bởi quy tắc:. Giải phương trình: nhận ra giá trị sai khác giữa hai số hạng liên tiếp nhau trong dãy quy luật và giải phương trình để tìm ra các tham số trong cơng thức tổng quát. Nĩi cách khác, phương pháp này giúp so sánh giá trị đầu vào n và giá trị đầu rađể tìm kiếm mối quan hệ dưới dạng hàm số. Ba phương án (1), (2), (3) được báo cáo lại trong nghiên cứu của Bezuszka và Kenney (2008, [20]). Ngồi ra, chúng tơi cũng tìm thấy hai phương án khác, đĩ là: Đốn và Thử (Moss & Beatty, 2006, [53]; Raffold, 2006, [70]; Becker & Rivera, 2007, [19]): HS tiến hành thử chọn các biểu thức đại số khác nhau thơng qua kinh nghiệm cá nhân và thao tác các phép tốn cho đến khi tìm được một biểu thức thỏa mãn tất cả các số hạng được cho sẵn. Phương án Đốn và Thử thường dẫn đến việc HS chỉ nỗ lực tìm kiếm một quy tắc khớp với các số liệu cho sẵn hơn là hiểu được các tham số trong quy tắc biểu diễn cho cái gì trong mối quan hệ với quy luật (Becker & Rivera, 2005, [17]; Lannin, 2005, [42]). So sánh đơn vị với tổng thể (Lannin, 2005, [42]; Stacey, 1989, [80]): Phương án này giúp xác định giá trị của một số hạng bằng cách lấy bội số của một số hạng trước đĩ (đối với quy luật dãy cấp số nhân), hoặc lấy tổng hai số hạng trước đĩ (đối với quy luật dãy Fibonacci). Các phương án ngoại suy thuộc phạm trù Hình học chủ yếu là bốn dạng sau: Ghép hình rời: phân chia mỗi BDTQ mơ tả quy luật dãy số thành các phần rời nhau theo cùng một cách thức cố định. Quy tắc hàm số được thiết lập bằng cách cộng các phần này lại với nhau (Rivera & Becker, 2008, [77]). Ghép hình chồng: nhìn nhận mỗi BDTQ mơ tả quy luật dãy số như một sự ghép chồng lên nhau của một số thành phần theo cùng một cách thức cố định. Quy tắc hàm số được thiết lập bằng cách cộng các thành phần này lại rồi trừ đi những phần hình bị chồng lên nhau (Rivera & Becker, 2008, [77]). Sắp xếp hình: di chuyển, sắp xếp lại một số thành phần của BDTQ mơ tả quy luật dãy số để đưa về một hình dạng mới mà HS cảm thấy quen thuộc và dễ nhận thấy cấu trúc quy luật hơn (Chua & Hoyles, 2010, [26]). Làm trịn hình: xem xét mỗi BDTQ mơ tả quy luật dãy số như một phần của hình mới lớn hơn nhưng cĩ cấu trúc đơn giản và quen thuộc hơn đối với người học. Quy tắc hàm số được thiết lập bằng cách lấy hình lớn trừ đi các phần được bổ sung (Chua & Hoyles, 2010, [26]). 2.3.4. Suy luận trong khám phá quy luật dãy số Trước khi làm rõ các loại suy luận được sử dụng trong quá trình khám phá các quy luật dãy số, chúng ta hãy xem xét ví dụ sau: Cĩ tối đa bao nhiêu miền phẳng được tạo thành khi chia mặt phẳng bởi n đường thẳng khơng song song và khơng cĩ ba đường thẳng nào đồng quy? (Hình 2.11) Số đường thẳng 1 2 3 Minh họa Số miền phẳng 2 4 7 Hình 2.11. Minh họa bài tốn chia mặt phẳng bởi n đường thẳng Đây là một trong số các nhiệm vụ được Canadas & Castro (2007, [23...“Assessing a modeling process of a linear pattern task”, Paper presented at the 13th conference of the International Community of Teachers of Mathematical Modeling and Applications, USA. Arcavi, A. (2003), “The role of visual representations in the learning of mathematics”, Educational Studies in Mathematics, Vol. 52, pp. 215-241. Arzarello, F., Micheletti, C., Olivero, F., Robutti, O. (1998), “Dragging in Cabri and modalities of transition from conjectures to proofs in geometry”, In A. Olivier & K. Newstead (Eds.), Proceedings of the Twentieth-second Annual Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 2, pp. 32-39, Stellenbosch, South Africa. Askew, M. & Wiliam, D. (1995), Recent Research in Mathematics Education , pp. 5-16, Education (London: OFSTED). Becker, J. P, & Shimada, S. (1997), The Open-Ended Approach: A new Proposal for Teaching Mathematics, National Council of Teachers of Mathematics, USA. Becker, J. R., & Rivera, F. D. (2005), “Generalisation strategies of beginning high school algebra students”, In H. L. Chick & J. L. Vincent (Eds.), Proceedings of the 29th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 4, pp. 121-128, Melbourne. Baccaglini-Frank, A., & Mariotti, M.A. (2009), “Conjecturing and Proving in Dynamic Geometry: the Elaboration of some Research Hypotheses”, In Proceedings of CERME 6, Lyon, France. Becker, J. R. & Rivera, F. D. (2007). “Abduction in pattern generalization”, Proceedings of the 31st conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, In W. Jeong-Ho, L. Hee-Chan, P. Kyo-Sik, & J. Dong-Yeop (Eds.), Vol. 4, pp. 97-104, Seoul, Korea: Korea Society of Educational Studies in Mathematics. Bezuszka, S. J., & Kenney, M. J. (2008), “The three R's: Recursive thinking, recursion, and recursive formulas”, In C. E. Greenes & R. Rubenstein (Eds.), Algebra and Algebraic Thinking in School Mathematics (Seventieth Yearbook), pp. 81-97, Reston, VA: NCTM. Bodner G. M. (1986), “Constructivism: a Theory of Knowledge”, Journal of Chemical Education, 63(10), pp. 873-878, USA. Borwein J. & Bailey D. (2004), Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century, A K Peters, Natick, Massachusetts, USA. Cađadas, M.C. & Castro, E. (2007), “A proposal of categorisation for anlysing inductive reasoning”, PNA, Vol. 1(2), pp. 67-78. Cađadas, M.C. & Castro, E. (2009), “Using a model to describe students’ inductive reasoning in problem solving”. Electronic Journal of Research in Educational Psychology, ISSN 1696-2095, Vol. 1(17), pp. 261-278. Chan, C. M. E. (2005), Engaging Students in Open-Ended Mathematics Problem Tasks: A Sharing on Teachers’ Production and Classroom Experience, Nanyang Technological University, Singapore. Chua, B. L., & Hoyles, C. (2010), “Generalisation and perceptual agility: How did teachers fare in a quadratic generalising problem?” Research in Mathematics Education, 12(1), pp. 71-72. Christu, C. & Papageorgiu, E. (2007), “A framework of mathematical inductive reasoning”, Learning and Instruction, 17, pp. 55-66. Cifarelli, V. (1999), “Abductive Inference: Connection Between Problem Posing and Solving”, Proceedings of PME – XXIII, Haifa, Vol 2, pp. 217-224. Danh Nam Nguyen (2012), Understanding the development of the proving process within a dynamic geometry environment, Luận án tiến sĩ giáo dục học, đại học Würzburg, Đức. Devlin, K. J. (1994), Mathematics, the science of patterns: The search for order in life, mind, and the universe, New York: Scientific American Library. Dreyfus, T. (1991), “Advanced Mathematical Thinking Processes”, Advanced mathematical thinking, Kluwer academic publishers, The Netherlands. Eco, U. (1893), “Horns, hooves, insteps: Some hypotheses on three types of abduction”, In U. Eco & T. Sebeok (Eds.), The sign of three: Dupin, Holmes, Peirce, pp. 198-220, Bloomington: Indiana University Press. English, L. D. (2004), Mathematical and analogical reasoning of young learners, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. Erkki P. (2006), Role of abductive reasoning in digital interaction, Doctoral Dissertation, Abo Akademi University, Finland. Feeney, A. & Heit, E. (2007), Inductive Reasoning: Experimental, Developmental, and Computational Approaches, ISBN-13 978-0-521-67244-3, Cambridge University Press, New York. Foong, P.Y. (2002), “The role of problems to enhance pedagogical practice”, The Mathematics Educator, 6(2), pp. 15-31. García-Cruz, J.A. & Martinĩn, A. (1998). “Levels of generalization in linear patterns”, Proceedings of the 22nd PME, Vol. 2, pp. 329-336, University of Stellenbosch, South Africa: PME. Hoffmann, M. (1999), “Problems with Peirce's Concept of Abduction”,  Foundations of Science 4(3), pp. 271-305. Josephson J. & Josephson S. (Eds.) (1996). Abductive inference: computation, philosophy, technology, Cambridge University Press, UK. Kaput, J. (2008), “What is algebra? What is algebraic reasoning?” In J. J. Kaput, D. W. Carraher & M. L. Blanton (Eds.), Algebra in the early grades, pp. 5-17, New York: Lawrence Erlbaum Associates. Küchemann, D. (2010), “Using patterns generically to see structure”, Pedagogies: An International Journal, 5(3), pp. 233-250. Lannin, J. K. (2005), “Generalising and justification: The challenge of introducing algebraic reasoning through patterning activities”, Mathematics Thinking and Learning, 7(3), pp. 231-258. Lakatos I. (1977), Proofs and refutations, the logic of mathematical discovery, Edited by John Worrall and Elie Zahar, Cambridge University Press, USA. Lee, L. (1996), “An initiation into algebraic culture through generalising activities”, In N. Bednarz, C. Kieran & L. Lee (Eds.), Approaches to algebra: Perspectives for research and teaching, pp. 87-106, Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Lodico, M. G., Spaulding, D. T., & Voegtle, K. H. (2010), Methods in Educational Research: From Theory to Practice, San Francisco, CA: John Wiley & Sons, Inc. Magnani, L. (2001), Abduction, Reason and Science, Processes of Discovery and Explanation, Kluwer Academic/Plenum Publishers, New York. Magnani L. et al (2002), “The Extra-Theoritical dimension of discovery. Extracting knowledge by abduction”, Proceedings of the 5th International Conference on Discovery Science, pp. 441-448, Springer-Verlag, London, UK. Magnani, L. (2005), “An abductive theory of scientific reasoning”, Semiotica, 153(1-4), pp. 261-286. Mariotti M. A., Mogetta, C., & Maracci, M. (2000), “Linking conjecture, justification and analytical proof in a dynamic geometry environment”, Proceeding of NCTM Pre-session 2000, Chicago: NCTM. Mason, J. (1996), “Abduction at the heart of mathematical being”, In E. Gray (Ed.), Thinking about mathematics & music of the spheres: Papers presented for the inaugural lecture of Professor David Tall, pp. 34-40, Coventry: Mathematics Education Research Centre. Meyer, M. (2008), “Abduction - a tool for analyzing students’ ideas”, Paper presented at the Proceedings of the 32nd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Educational, Morelia, Mexico. Mogetta, C, Olivero, F. & Jones, K. (1999), “Providing the Motivation to Prove in a Dynamic Geometry Environment”, In Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, St Martin's University College, Lancaster, pp. 91-96. Moss, J., & Beatty, R. (2006), “Knowledge building in mathematics: Supporting collaborative learning in pattern problems”, Computer-supported Collaborative Learning, 1, pp. 441-465. National Council of Teachers of Mathematics (1989), Curriculum and evaluation standards for school mathematics, Reston, VA: The Council. NRC (National Research Council) (1989), Everybody counts: A report to the nation on the future of mathematics education, Washington, DC: National Academy Press. National Council of Teachers of Mathematics (1999), Developing Mathematical Reasoning in Grades K-12 (Yearbook), Hardcover by Lee Stiff (Editor), Frances R. Curcio (Editor). National Council of Teachers of Mathematics (2000), Principles and Standards in Mathematics, NCTM, USA. Nelsen R. (1993), Proof without Words, Exercise in Visual Thinking, The Mathematical Association of America, USA. Nohda, N. (2000), “Teaching by open-approach method in Japanese mathematics classroom”, in Proceeding of the 24th Annual Conference of International Group for the Psychology of Mathematics Education. OECD (2003), The PISA 2003 Assessment Framework – Mathematics, Reading, Science and Problem Solving Knowledge and Skills, Organisation for Economic Co-operation and Development, Paris, France. Orton, A. & Orton, J. (1999), “Pattern and the approach to algebra”, Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics, Cassell, London, pp. 104-120. Patokorpi, E. (2006), Role of Abductive Reasoning in Digital Interaction, Doctoral Dissertation, Abo Akademi University, Finland. Pedemonte, B, & Reid, D. (2010), “The role of abduction in proving processes”, Educational Studies in Mathematics, 76(3), pp. 281-303. Pehkonen, E. (1997), Use of open-ended problems in mathematics classroom: Research Report 176, University of Helsinki, Finland. Peirce, C. S. (1994), The collected papers of Charles Sanders Peirce, Vols. 1-6 ed. Charles Hartshorne & Paul Weiss, Vols. 7-8 ed. Arthur W. Bruks, Havard University Press, Massachusetts Hall, Cambridge, MA, USA. Polya G. (1954), Mathematics and plausible reasoning, Vol 1: Induction and analogy in Mathematics, Princeton University Press, USA. Polya G. (1957), How to Solve It – A new Aspect of Mathematical Method, Standford University, USA. Polya G. (1968), Mathematics and plausible reasoning, Vol 2: Patterns of Plausible inference, Princeton University Press, USA. Presmeg N. (2006), “Research on Visualization in Learning and Teaching Mathematics”, in Handbook of research on the psychology of mathematics education, Past present and future, Sense Publishers, pp. 205-235. Radford, L. (2006), “Algebraic thinking and the generalization of patterns: A semiotic perspective”, Proceedings of the 28th annual meeting of the North American (In: S. Alatorre, J. L. Cortina, M. Sáiz, & A. Méndez (Eds.)), Vol. 1, pp. 2-21, Mérida, México: Universidad Pedagĩgica Nacional. Radford, L (2008), “Iconicity and Contraction: A Semiotic Investigation of Forms of Algebraic Generalizations of Patterns in Different Context”, ZDM: International Journal in Mathematics Education, 40(1), pp. 83-96. Reid, D. (2002), Conjectures and refutations in grade 5 mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 33(1), pp. 5-29. Reid, D. (2003), “Forms and uses of abduction”, Proceedings of the 3rd conference of the European Society in Mathematics Education (In Mariotti, M. (ed.)), Bellaria, Italy. Resnik, M. (1999), Mathematics as a Science of Patterns, Oxford: Oxford University Press. Rivera, F. D., & Becker, J. R. (2005), “Figural and numerical modes of generalizing in algebra”, Mathematical Teaching in the Middle School, 11(4), pp.198 - 203. Rivera, F. D., & Becker, J. R. (2007), “Abduction-induction (generalisation) processes of elementary majors on figural patterns in algebra”, Journal of Mathematical Behaviour, 26(2), pp. 140-155. Rivera, F. D., & Becker, J. R. (2008), “Middle school children's cognitive perceptions of constructive and deconstructive generalisations involving linear figural patterns”, ZDM: International Journal in Mathematics Education, 40, pp. 65 - 82. Salmon, W. C. (1990), Four Decades of Scientific Explanation, University of Minnesota Press, Minneapolis. Smith, M. S., Hillen, A. F., & Catania, C. L. (2007), “Using pattern tasks to develop mathematical understanding and set classroom norms”, Mathematics Teaching in the Middle School, 13(1), pp. 38-44. Stacey, K. (1989), “Finding and using patterns in linear generalizing problems”, Educational Studies in Mathematics, Vol. 20, pp. 147-164. Tadao Nakahara (2007), “Development of Mathematical Thinking through Representation: Utilizing Representational Systems”, Progress report of the APEC project "Collaborative studies on Innovations for teaching and Learning Mathematics in Different Cultures (II) - Lesson Study focusing on Mathematical Communication, Specialist Session, University of Tsukuba, Japan. Vogel, R. & Ludwigsburg (2005), “Patterns - a fundamential idea of mathematical thinking and learning”, ZDM: The International Journal on Mathematics Education, Vol. 37 (5), pp. 445-449. Warren, E., & Cooper, T. (2008), “Generalising the pattern rule for visual growth patterns: Actions that support 8 year olds' thinking”, Educational Studies in Mathematics, 67(2), pp.171-185. Whitton, E. M. (1971), “A general formula for the nth term of a sequence”, The Two year College Mathematics Journal, 2(2), pp. 96-98. PHỤ LỤC 1A. TẬP CÂU HỎI SỐ 1 Phần dành cho nhà nghiên cứu (Học sinh khơng điền vào nội dung này) Mã HS Hướng ngoại suy Mã QTHS Mức độ ngoại suy Ghi chú Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 ----------------------------------------------------------------------- Thơng tin về học sinh tham gia khảo sát Họ và tên: Lớp: Trường: Phần hướng dẫn dành cho học sinh tham gia khảo sát Tập câu hỏi này gồm ba (03) trang giấy in. Mỗi học sinh hãy cố gắng trả lời hết ba (03) câu hỏi trong tập câu hỏi này. Mỗi học sinh cĩ 30 phút để hồn thành tập câu hỏi này. Học sinh được quyền sử dụng máy tính bỏ túi. Kết quả của tập câu hỏi này cũng như danh tính của người tham gia sẽ được giữ bí mật. Nội dung tập câu hỏi CÂU HỎI 1. HÌNH CHỮ Z Nam sử dụng những tấm bìa hình vuơng giống hệt nhau để thiết kế dạng mẫu chữ Z trang trí cho buổi tiệc sinh nhật với các kích cỡ khác nhau. Dưới đây là minh họa dạng mẫu chữ Z mà Nam đã thiết kế với ba kích cỡ tương ứng. Cỡ 1 Cỡ 2 Cỡ 3 Khi kích cỡ dạng mẫu chữ Z tăng lên, sẽ cần chuẩn bị nhiều tấm bìa hình vuơng hơn. Em hãy đề xuất một quy tắc giúp Nam tìm số tấm bìa hình vuơng cần chuẩn bị cho dạng mẫu chữ Z với cỡ bằng giá trị n bất kì. Mơ tả rõ ràng làm thế nào em tìm ra được quy tắc đĩ. Em cĩ thể dùng hình vẽ, lập bảng số liệu hay diễn đạt bằng lời. CÂU HỎI 2. HÌNH CHỮ S Bình sử dụng những tấm bìa hình vuơng giống hệt nhau để thiết kế dạng mẫu chữ S trang trí cho hội trại với các kích cỡ khác nhau. Dưới đây là minh họa dạng mẫu chữ S mà Bình đã thiết kế với ba kích cỡ tương ứng. Cỡ 1 Cỡ 2 Cỡ 3 Khi kích cỡ dạng mẫu chữ S tăng lên, sẽ cần chuẩn bị nhiều tấm bìa hình vuơng hơn. Em hãy đề xuất một quy tắc giúp Bình tìm số tấm bìa hình vuơng cần chuẩn bị cho dạng mẫu chữ S với cỡ bằng giá trị n bất kì. Mơ tả rõ ràng làm thế nào em tìm ra được quy tắc đĩ. Em cĩ thể dùng hình vẽ, lập bảng số liệu hay diễn đạt bằng lời. CÂU HỎI 3. HÌNH THÁP Tân sử dụng những tấm bìa hình vuơng giống hệt nhau để thiết kế hình tháp với các kích cỡ khác nhau. Dưới đây là minh họa dạng mẫu tháp mà Tân đã thiết kế với ba kích cỡ tương ứng. Cỡ 1 Cỡ 2 Cỡ 3 Khi kích cỡ dạng mẫu tháp tăng lên, sẽ cần chuẩn bị nhiều tấm bìa hình vuơng hơn. Em hãy đề xuất một quy tắc giúp Tân tìm số tấm bìa hình vuơng cần chuẩn bị cho dạng mẫu tháp với cỡ bằng giá trị n bất kì. Mơ tả rõ ràng làm thế nào em tìm ra được quy tắc đĩ. Em cĩ thể dùng hình vẽ hay diễn đạt bằng lời. Cám ơn sự tham gia của các em! PHỤ LỤC 1B. TẬP CÂU HỎI SỐ 2 Phần dành cho nhà nghiên cứu (Học sinh khơng điền vào nội dung này) Mã HS Hướng ngoại suy Mã QTHS Mức độ ngoại suy Ghi chú Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 ----------------------------------------------------------------------- Thơng tin về học sinh tham gia khảo sát Họ và tên: Lớp: Trường: Phần hướng dẫn dành cho học sinh tham gia khảo sát Tập câu hỏi này gồm ba (03) trang giấy in. Mỗi học sinh hãy cố gắng trả lời hết ba (03) câu hỏi trong tập câu hỏi này. Mỗi học sinh cĩ 30 phút để hồn thành tập câu hỏi này. Học sinh được quyền sử dụng máy tính bỏ túi. Kết quả của tập câu hỏi này cũng như danh tính của người tham gia sẽ được giữ bí mật. Nội dung tập câu hỏi CÂU HỎI 1. XẾP BÀN TIỆC Trong mỗi dịp sinh hoạt tập thể ở trường, các bàn học hình vuơng giống nhau được xếp sát lại với nhau tạo thành dãy bàn hình chữ U, dành khơng gian trống ở giữa để tổ chức các hoạt động. Hình sau là sơ đồ cĩ quy luật cho số bàn tùy theo độ rộng (r) của phần khơng gian ở giữa. r =1 r = 2 r = 3 Em hãy đề xuất một quy tắc tính số bàn cần sử dụng để sắp được dãy bàn hình chữ U với độ rộng r = n bất kì. Mơ tả rõ ràng làm thế nào em tìm ra được quy tắc đĩ. Em cĩ thể dùng hình vẽ, bảng biểu, sơ đồ hay diễn đạt bằng lời. CÂU HỎI 2. GHẾ CƠNG VIÊN Bình sử dụng những tấm bìa hình vuơng giống hệt nhau để thiết kế mẫu ghế đá dài thường đặt ở cơng viên. Dưới đây là minh họa mẫu ghế đá mà Bình đã thiết kế với ba kích cỡ tương ứng. Cỡ 1 Cỡ 2 Cỡ 3 Khi kích cỡ ghế tăng lên, sẽ cần chuẩn bị nhiều tấm bìa hình vuơng hơn. Em hãy đề xuất một quy tắc giúp Bình tìm số tấm bìa hình vuơng cần chuẩn bị tùy theo kích cỡ tương ứng của ghế. Mơ tả rõ ràng làm thế nào em tìm ra được quy tắc đĩ. Em cĩ thể dùng hình vẽ, bảng biểu, sơ đồ hay diễn đạt bằng lời. CÂU HỎI 3. MŨ HALLOWEEN Minh muốn trang trí cho chiếc mũ Halloween của mình bằng các tấm bìa hình vuơng giống nhau ghép thành hình đầu chú dế. Dưới đây là minh họa mẫu thiết kế cho chiếc mũ Halloween với ba kích cỡ tương ứng. Cỡ 1 Cỡ 2 Cỡ 3 Khi kích thước mũ tăng lên, sẽ cĩ nhiều tấm bìa hình vuơng hơn cần sử dụng. Em hãy đề xuất một quy tắc giúp Minh tìm số tấm bìa hình vuơng cần chuẩn bị cho mẫu thiết kế trên chiếc mũ Halloween với kích cỡ n bất kì. Mơ tả rõ ràng làm thế nào em tìm ra được quy tắc đĩ. Em cĩ thể dùng hình vẽ, bảng biểu, sơ đồ hay diễn đạt bằng lời. Cám ơn sự tham gia của các em! PHỤ LỤC 2A. THỰC NGHIỆM BÀI TỐN HÌNH HỌC KTM SỐ 1 Bài tốn 1. Cho tứ giác ABCD. Về phía ngồi của tứ giác, dựng các hình vuơng nhận AB, BC, CD, DA tương ứng làm cạnh của nĩ. Gọi M, N, P, Q lần lượt là tâm của các hình vuơng này. Trong trường hợp tổng quát, cĩ nhận xét gì về tứ giác MNPQ? Sau đây là nội dung các cuộc hội thoại giữa GV với hai cặp HS ở hai nhĩm trong quá trình khám phá Bài tốn 1. Cặp HS nhĩm 1 Cặp HS nhĩm 2 [HS dựng hình bài tốn] 6:15 GV1: MNPQ cĩ gì đặc biệt? 6:19 HS2: Đồng dạng với ABCD. 6:21 HS1: Đồng dạng á? 6:23 GV1: Kiểm tra xem thử cĩ đúng khơng? Em thử kéo điểm A xem thử cĩ đúng là nĩ đồng dạng khơng? 7:12 HS2: Sai rồi 7:46 GV1: Vậy thì giờ thử kéo rê về các trường hợp đặc biệt xem thử cĩ dễ nhận ra hơn khơng? 7:59 HS1: Thử ABCD là hình thang cân đi. [HS2 thực hiện Kéo rê về các trường hợp đặc biệt để đưa tứ giác ABCD về các hình dạng khác nhau: Hình thang, hình chữ nhật, hình bình hành (Hình 4.36).] 8:05 HS1: Mi đo gĩc cho khỏe? 9:15 HS1: ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình thoi 9:56 HS1: ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình vuơng. 9:40 GV: Cĩ phải là hình vuơng khơng?... Hay là hình chữ nhật 9:42 HS1: Thử kéo rê dài ra coi 9:45: HS2: Vuơng 9:58 HS2: Khơng hình vuơnghình bình hành. 10:03 GV: Muốn biết vuơng hay khơng thì đo thử là biết 10:06 HS2: đo độ dài 10:09 HS1: Đo thêm gĩc nữa tề. 10:10 HS2: Gĩc bằng 90 rồi [Sau một thời gian xem xét hết tất cả các yếu tố liên quan đến cạnh, gĩc của tứ giác MNPQ và hai HS vẫn chưa nhận ra được tính chất gì đặc biệt, GV đưa ra gợi ý] 15:32 GV1: Như vậy là các cạnh, các gĩc của tứ giác MNPQ là thay đổi rồi, đúng khơng? Vậy cịn điều gì khác nữa? 15:41 HS2: Giao điểm hai đường chéo. 15:42 HS1: Thử xem. [HS2 xác định giao điểm hai đường chéo và thực hiện Kéo rê ngẫu nhiên.] 17:05 GV1: Các em thấy cĩ gì đặc biệt khơng? 17:10 HS2: À hai đường chéo vuơng gĩc với nhau. 17:13 HS1: Thấy cĩ vuơng đâu? 17:16 GV1: Thử kiểm chứng xem. 17:26 HS2: 90 (độ). [HS2 thực hiện việc đo gĩc giữa hai đường chéo và đọc kết quả để trả lời cho câu hỏi của HS1.] 17:42 GV1: Xem thử cịn gì khơng thay đổi nữa khơng? 18:24 HS2: Tứ giác thì cịn cái gì nữa hè? [HS2 đang trao đổi với HS1 xem các tính chất gì cĩ thể được coi là đặc biệt đối với một tứ giác.] 18:29 HS2: À, để coi tứ giác cĩ nội tiếp đường trịn khơng? 18:32 HS1: Ừ, vẽ đường trịn... 18:35 HS2: vẽ gĩc ni và gĩc ni, cộng lại cĩ được 90 độ khơng? [HS2 đang chỉ đến hai gĩc đối diện của tức giác MNPQ, với ý rằng nếu tổng hai gĩc này bằng 180 độ thì tứ giác MNPQ là tứ giác nội tiếp đường trịn.] 19:12 HS2: Bằng khơng? 19:16 HS2: Bằng đĩ.À 19:21 HS1: Khơng được, khơng bằng. [tại thời điểm HS2 tính số đo hai gĩc NPQ và QMN, cĩ vẻ như tổng hai gĩc này bằng 180 độ, nhưng sau khi thực hiện Kéo rê ngẫu nhiên để đưa MNPQ về các hình dạng khác, cả HS1 và HS2 đã nhận ra điều này khơng đúng.] 21:55 HS1: I, A, C thẳng hàng. 22:00 HS2: Giao điểm hai đường chéo của ABCD và MNPQ trùng nhau. . 23:41 HS2: Giao điểm hai đường chéo MNPQ luơn nằm trong tứ giác ABCD. 23:53 GV1: Các cạnh, các gĩc của MNPQ đã thay đổi rồi, giờ ta quan tâm đến hai đường chéo. Gĩc giữa hai đường chéo là khơng đổi rồi, giờ cĩ điều gì khơng thay đổi nữa khơng? [GV1 gợi ý] . 26:16 GV1: Mình cịn đại lượng chi của đường chéo chưa quan tâm? 26:18 HS2: Độ dài. HS2 thực hiện phép đo độ dài hai đường chéo MP và NQ. 26:51 HS1 và HS2 (đồng thanh): Bằng nhau. [HS dựng hình bài tốn] 4:57 GV2: Xem thử tứ giác MNPQ cĩ gì đặc biệt? 5:12 GV2: Ở đây tứ giác ABCD là bất kì đúng khơng, nên mình cĩ thể thử kéo rê một đỉnh nào đĩ của tứ giác xem cĩ điều gì đặc biệt xảy ra khơng? [HS kéo rê ngẫu nhiên điểm A] 5:39 GV2: Em nhận ra được điều gì thì cứ nĩi ra. 6:11 HS3: Hình chữ nhật.[HS3 kéo rê về các trường hợp đặc biệt để đưa ABCD về hình chữ nhật] 6:13 HS4: Nếu ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình vuơng. [HS tơ màu miền trong của tứ giác MNPQ và tiếp tục kéo rê ngẫu nhiên điểm A] 7:38 HS3: Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình vuơng. 7:42 GV2: Như vậy là khi mình kéo rê điểm A sao cho tứ giác ABCD thành những trường hợp đặc biệt, ở đây em kéo thành hình bình hành đúng khơng, thì em nhận xét MNPQ là hình vuơng. Vậy thì tại sao em lại biết được MNPQ là hình vuơng? [HS đĩ gĩc QMN và thấy bằng 90 độ]. HS tiếp tục đo gĩc QPN 8:23 GV2: Em đang định làm gì vậy? 8:26 HS3: Dạ thử xem tứ giác MNPQ cĩ nội tiếp hay khơng? 9:16 GV: Cĩ phải nội tiếp khơng? Khơng, đúng khơng? Em thử kéo lại thử?... Khơng nội tiếp đúng khơng? 9:23 HS3: Dạ Như vậy mình thấy là hình dạng tứ giác MNPQ cũng bất kì đúng khơng? Khi mình kéo rê ABCD một cách ngẫu nhiên thì MNPQ cũng bất kì ngẫu nhiên. Giờ thử kéo rê ABCD về các trường hợp đặc biệt xem thử? Khi ABCD là hình thang thì sao? [HS kéo rê về các TH đặc biệt để ABCD là hình thang nhưng chưa nhận ra được điều gì đặc biệt] 10:40 HS3: Thì tứ giác MNPQ.Hey, hai đoạn ni bằng nhau khơng? Hình như khơng phải khơng? 11:05 GV2: thử kéo rê về các trường hợp khác xem? 10:55 HS4: Hình bình hành, hình thoi, vuơng 11:07 HS3: Khi hồi chừ mình kéo rê để ABCD thành những trường hợp đặc biệt thì MNPQ đều là hình vuơng, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật thử hình thang cân thử 11:34 GV2: Nhưng đây câu hỏi của mình là trong trường hợp tổng quát tứ giác MNPQ cĩ gì đặc biệt? Dự đốn tứ giác MNPQ cĩ tính chất gì đặc biệt khơng? Lúc nãy em cĩ dự đốn tứ giác MNPQ là nội tiếp nhưng khơng phải đúng khơng? [HS tiếp tục kéo rê về các trường hợp đặc biệt] 13:34 GV2: Như vậy khi kéo rê ABCD về các trường hợp đặc biệt thì MNPQ cĩ thể trở thành hình vuơng, đúng khơng? Vậy thì xem thử hình vuơng cĩ tính chất gì đặc biệt?... Mình nêu những tính chất đặc biệt của hình vuơng và sau đĩ mình thử kiểm tra tính chất đĩ cĩ cịn đúng khi ABCD là hình của tứ giác trong trường hợp tổng quát hay khơng? [GV2 gợi ý.] . [HS tiếp tục kéo rê ngẫu nhiên.] 14:22 HS4, HS3 (đồng thanh): Hai đường chéo vuơng gĩc với nhau à? 14:25 GV2: Thử xem [HS3 đo gĩc giữa MP và NQ, và thực hiện kéo rê ngẫu nhiên để kiểm chứng.] . 15:03: HS4: À [HS4 đã nhận thấy giả thuyết mà các em đưa ra là đúng khi số đo gĩc giữa MP và NQ luơn bằng 90 độ khi tứ giác MNPQ ở vơ số hình dạng khác nhau.] 15:06 HS3: Trong trường hợp tổng quát thì tứ giác MNPQ cĩ hai đường chéo vuơng gĩc với nhau. .[2 HS tiếp tục khám phá xem cịn giả thuyết nào khác về tứ giác MNPQ] 22:40 HS3: AC, BD giao nhau tại I? [HS3 đưa ra giả thuyết giao điểm của hai đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD trùng với giao điểm I của hai đường chéo MP, NQ của tứ giác MNPQ khi quan sát một trường hợp cụ thể trên màn hình GSP trong lúc đang thực hiện Kéo rê ngẫu nhiên (Hình 4.37).] HS kiểm chứng giả thuyết bằng cách dựng giao điểm của AC, BD rồi thực hiện Kéo rê ngẫu nhiên và lập tức bác bỏ giả thuyết này. 26:41 HS3: Khoan.để đo độ dài đoạn MP và QN. 27:23 [HS3 và HS4 đều cười khi thấy số đo độ dài hai đoạn thẳng MP và NQ bằng nhau] 27:25 GV2: Vậy là sao? [GV2 hỏi lí do hai HS đều cười] [HS3 tiếp tục Kéo rê ngẫu nhiên để kiểm chứng giả thuyết mà các em đang dự đốn trước khi đưa ra câu trả lời cho GV2.] 27:39 HS3: Dạ, trong trường hợp tổng quát thì hai đường chéo của tứ giác MNPQ vuơng gĩc và bằng nhau. PHỤ LỤC 2B. THỰC NGHIỆM BÀI TỐN HÌNH HỌC KTM SỐ 2 Bài tốn 2. Cho 3 điểm A, M, K tùy ý. B là điểm đối xứng với A qua M, C là điểm đối xứng với A qua K. D là điểm đối xứng với B qua K. Kéo rê điểm M và đưa ra dự đốn về các hình dạng cĩ thể của tứ giác ABCD. Trong điều kiện nào thì ABCD là một hình chữ nhật? Sau đây là nội dung các cuộc hội thoại giữa GV và hai cặp HS ở hai nhĩm trong quá trình khám phá Bài tốn 2. Cặp HS nhĩm 1 Cặp HS nhĩm 2 [HS dựng hình bài tốn]. 03:37 GV: Tứ giác ABCD là hình gì? 03:40 HS2: Dạ là hình bình hành (HS2 đưa ra dự đốn ngay từ khi nhìn thấy hình vẽ đầu tiên). 03:48 GV1: Hãy xem thử những vị trí khác của điểm M cĩ luơn đảm bảo tứ giác vẫn là hình bình hành khơng? 03:53 HS2: Dạ cĩ [HS2 vừa thực hiện kéo rê ngẫu nhiên vừa trả lời]. 03:56 GV: Luơn luơn là hình bình hành à? 03:59 HS1: Cĩ thể trùnghình bình hành suy biến. 04:09 Em đưa về trường hợp suy biến xem? 04:11 HS1: Cĩ thể là hình chữ nhật nữa. Cĩ các hình dạng nào khác nữa khơng? Cĩ hình vuơng nơi tề? 04:30 HS2: tứ giác ABCD cĩ thể trở thành một đoạn thẳng. 4:45 GV1: Xem thử trong trường hợp nào thì ABCD là một hình chữ nhật? 4:51 HS2: Đo gĩc ni (HS đo gĩc ADB). 5:28 HS1: Chừ đo gĩc ADC đi. HS2 thực hiện kéo rê duy trì để ABCD là hình chữ nhật. 5:53 HS1: Trung điểm à? 5:55 HS1: Nhầm nhầm nhầm 5:55 HS2: M là hình chiếu của K lên AB. 6:10 GV1: Nghĩa là mối quan hệ như thế nào? 6:11 HS1(và HS2): M nằm trên đường trung trực của AB À khơng Khơng phảiNhầm. 6:22 HS1: K nằm trên đường trung trực của AB, phải khơng? 6:37 GV: Thử kiểm chứng xem? Kết hợp tạo vết đi? HS tiến hành tạo vết cho điểm M và Kéo rê duy trì điểm M để ABCD là hình chữ nhật. 7:39 HS1: Trên đường thẳng 7:48 HS1: Khơng phải là đường thẳng nữa 7:56 HS2: Cĩ vẻ là đường cong 8:24 HS1: Trên đường trịn...Đường trịn chi hè? 8:39 HS1: Đường trịn đi qua K. 9:49 HS2: Khơng phải đường trịn đi qua K rồi. [HS tiếp tục Kéo rê duy trì] 10:57 HS2: Đường trịn đường kính AK. 11:04 HS1: Khi nãy đi qua K cĩ được đâu? 11:06 HS2: Thì khi K trùng M, ABCD thành đường thẳng làm sao mà được. [HS2 tiến hành dựng đường trịn đường kính AK và thực hiện Kéo rê liên kết điểm M vào đường trịn này để kiểm chứng và thuyết phục HS1 về giả thuyết mình đưa ra.] 12:17 HS2: 90 độ. Chính xác! [HS2 đang nĩi đến gĩc ADC bằng 90 độ khi điểm M di chuyển trên đường trịn đường kính AK.] 12:29 HS1: ỪHay nhỉ. [HS dựng hình bài tốn]. 4:29 GV: Giờ em cĩ dự đốn gì về hình dạng của tứ giác ABCD? 4:32 HS4: Kéo M xem thử. 4:39 HS3 và HS4: Hình bình hành 4:52 HS3: Khi kéo rê điểm M thì tứ giác ABCD là hình bình hành. 5:19 HS4: Kéo thêm hình vuơng đi. 5:21 HS3: Đo gĩc này. 5:24 GV2: Tại sao em lại đo gĩc đĩ? 5:26 HS3: Dạ vì hồi chặp để đưa ra dự đốn về tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì gĩc ABC phải bằng 90 độ, tương tự gĩc BCD, BAD cũng bằng 90 độ. 5:56 GV: ở đây ABCD là hình bình hành đúng khơng, như vậy chỉ cần đo gĩc ABC, những gĩc cịn lại chắc chắn làđúng khơng? 6:10 HS3: Dạ 6:21 HS3: Mình kéo rê duy trì để cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật. 6:41 HS3: 90 chưa? 7:15 GV2: Em đang kéo rê điểm M và cố gắng duy trì sao cho gĩc ABC bằng 90 độ đúng khơng? 7:19 HS3: Dạ 7:43 GV: Cĩ vẻ hơi khĩ đúng khơng? 7:58 GV: Thử cố gắng đi, cố gắng duy trì sao cho gĩc đĩ bằng 90 độ xem thử. . 9:07 GV: Thử kéo lên đi, nối tiếp đoạn ở trên. Đoạn đĩ em đã duy trì rồi đúng khơng. [GV hướng dẫn HS kéo rê duy trì]. 09:50 HS3: A hình như một cung trịn đây này. 09:52 HS4: Ừ(cười) 09:55 GV2: Hình như một cung trịn à? Em hãy cố gắng kéo rê duy trì tiếp đi. 10:02 HS4: Đường trịn chơ? 10:22 HS3: Qua điểm A khơng? [HS3 đang nghĩ đến vết tạo thành là một cung trịn qua điểm A và hỏi HS4]. Lúc này HS3 kéo rê duy trì với tốc độ nhanh hơn nhằm xem thử vết cĩ đi qua điểm A khơng nên số đo gĩc ABC khơng cịn được duy trì xấp xỉ 90 độ nữa. 10:27 GV2: Gĩc ABC lớn rồi kìa, em cố gắng kéo rê duy trì đi. [GV2 nhắc nhở HS3 cố gắng kéo rê duy trì để gĩc ABC bằng 90 độ]. 11:02 HS3: Qua điểm A khơng? [HS3 đang tiếp tục thăm dị ý kiến của HS4 về giả thuyết mình đưa ra sau khi đường tạo ra bởi vết đã dài hơn, HS4 vẫn đang theo dõi màn hình và khơng đưa ra ý kiến gì.] 11:07 GV2: Em đã dự đốn được chưa? 11:08 HS3: Dạ rồi. Hình như đây là đường trịn đường kính AK. 11:04 GV2: Đường trịn đường kính AK à, cũng cĩ thể? Em thử kéo điểm M xuống phía dưới xem. Đĩ chỉ mới là một cung trịn thơi mà. 12:40 HS4: Đường trịn đây [HS4 phát biểu điều này khi HS3 đã thực hiện việc kéo rê duy trì và tạo vết được gần 2/3 đường trịn]. 12:41 HS3: Đúng rồi. 12:59 HS4: Vẽ đường trịn đi. [Sau khi kéo rê duy trì và tạo vết khoảng 2/3 đường trịn, HS4 đề nghị HS3 vẽ đường trịn đường kính AK để việc kéo rê duy trì được dễ dàng và nhanh chĩng hơn bằng cách kéo rê điểm M di chuyển dọc theo đường trịn này]. 13:10 HS3: Chắc chắn là đường trịn đường kính AK (Hình 4.38c). Mình thử kéo rê liên kết xem nào. [HS3 thực hiện việc liên kết điểm M vào đường trịn đường kính AK và di chuyển điểm M để xác nhận giả thuyết.] 14:05 HS3: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi M di chuyển trên đường trịn đường kính AK.