Luận án Phương pháp lặp giải bài toán biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn

CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: 1. GS.TS. Đặng Quang Á 2. PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn HÀ NỘI – 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi với sự hướng dẫn khoa học của GS.TS. Đặng Quang Á và PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn. Những kết quả trình bày trong luận án là mới, trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác, các kết quả thực nghiệm đã được kiểm tra bằng các chương trình do chính tôi thiết kế và kiểm thử trên môi trường Matlab, số liệu là hoàn toàn trung thực. Các kết quả được công bố chung đã được cán bộ hướng dẫn và đồng tác giả cho phép sử dụng trong luận án. Nghiên cứu sinh Ngô Thị Kim Quy i LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các Thầy hướng dẫn, GS. TS. Đặng Quang Á và PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn. Em vô cùng biết ơn sự giúp đỡ tận tình, quý báu mà các Thầy đã dành cho em trong suốt quá trình thực hiện luận án. Các Thầy đã luôn quan tâm, chỉ dẫn và dìu dắt em. Chính nhờ sự động viên của các Thầy cũng như sự nghiêm khắc trong khoa học, các Thầy đã giúp em cố gắng hơn, vượt qua được những khó khăn, vất vả để hoàn thành luận án. Em xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp quý báu các Thầy Cô và các cán bộ nghiên cứu đã giúp em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận án. Trong thời gian qua, Viện Công nghệ thông tin, Học viện Khoa học và Công nghệ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường xuyên có những lời động viên, nhắc nhở giúp em thực hiện tốt công việc nghiên cứu của mình. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh, Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học cơ bản, lãnh đạo Bộ môn Toán cùng toàn thể giáo viên trong Bộ môn, các bạn bè đồng nghiệp, gia đình và người thân đã luôn động viên khuyến khích, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn! ii Danh sách hình vẽ 2.1 Công bội thực tế r(k) (trái) và một số nghiệm xấp xỉ (phải) trong Ví dụ 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Công bội thực tế r(k) (trái) và một số nghiệm xấp xỉ (phải) trong Ví dụ 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3 Đồ thị của ek trong Ví dụ 2.4 với N = 100 . . . . . . . . . . . 54 2.4 Đồ thị của ek trong Ví dụ 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.5 . . . . . . . . . . . . 56 2.6 Đồ thị của ek trong Ví dụ 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.7 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.6 . . . . . . . . . . . . 58 2.8 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.8. . . . . . . . . . . . . 73 3.1 Đồ thị của ek trong Ví dụ 3.1 với N = 100. . . . . . . . . . . . 92 3.2 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.2. . . . . . . . . . . . . 94 3.3 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.3. . . . . . . . . . . . . 95 3.4 Đồ thị của ek trong Ví dụ 3.4 với N = 100. . . . . . . . . . . . 114 3.5 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.5. . . . . . . . . . . . . 115 3.6 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.6. . . . . . . . . . . . . 117 iii Danh sách bảng 2.1 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 2.4 . . . . . . . . . 54 2.2 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 2.7. . . . . . . . . . 71 3.1 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.4. . . . . . . . . . 113 iv Mục lục Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1. Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.1. Định lý điểm bất động Banach và phương pháp lặp . . . . . 13 1.1.2. Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.3. Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2. Phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối với phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Hàm Green đối với một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4. Phương pháp số giải phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 2. Phương pháp lặp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1. Bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.1. Trường hợp các điều kiện biên dạng gối-tựa đơn giản . . . . 45 2.2.2. Trường hợp các điều kiện biên dạng ngàm-tự do . . . . . . . . 58 Chương 3. Phương pháp lặp giải bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.1. Bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 v 3.2. Bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 vi MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của luận án Nhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác thông qua mô hình hóa toán học dẫn đến việc giải các bài toán biên đối với phương trình vi phân cùng với các điều kiện biên khác nhau. Có thể chia phương trình vi phân cấp bốn thành hai dạng: phương trình vi phân cấp bốn không đầy đủ và phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ. Phương trình vi phân cấp bốn mà trong đó hàm vế phải chứa ẩn hàm và chứa đầy đủ các đạo hàm các cấp của nó (từ cấp một đến cấp ba) được gọi là phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ. Ngược lại, phương trình được gọi là phương trình vi phân cấp bốn không đầy đủ. Bài toán biên đối với phương trình vi phân đã thu hút được sự quan tâm của các nhà khoa học nhự Alve, Amster, Bai, Li, Ma, Feng, Minhós,.... Một số nhà toán học và cơ học Việt Nam, như Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Văn Đạo, Nguyễn Đông Anh, Lê Xuân Cận, Nguyễn Hữu Công, Lê Lương Tài, ... cũng nghiên cứu các phương pháp giải bài toán biên cho phương trình vi phân. Chẳng hạn, các kết quả liên quan đến phương trình vi phân thường phi tuyến cũng đã được tác giả Đặng Quang Á và cộng sự công bố trong [14], [15], [16],... Tác giả Phạm Kỳ Anh cũng đã đề xuất phương pháp lặp Seidel-Newton giải bài toán biên hai điểm x(n) + f(t, x, x′, ..., x(n)) = 0; x(i)(0) = x(i)(1); i = 0, ...n− 1, (0.0.1) 1 cũng như bài toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân thường, (xem [5]- [7]). Hướng nghiên cứu về nghiệm tuần hoàn và bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến đã được một số tác giả Liên Xô cũ xét đến trong cuốn sách [45] của tác giả Samoilenko. Trong số các phương trình vi phân thì phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn được quan tâm rất nhiều trong thời gian gần đây vì nó là mô hình toán học của nhiều bài toán trong cơ học. Dưới đây chúng tôi điểm qua một số bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn. Đầu tiên, xét bài toán về dầm trên nền đàn hồi được mô tả bởi phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn dạng u(4)(x) = f(x, u(x), u′′(x)) (0.0.2) hoặc u(4)(x) = f(x, u(x), u′(x)) (0.0.3) trong đó u là độ võng của dầm, 0 ≤ x ≤ L. Các điều kiện biên tại hai đầu của dầm được cho phụ thuộc vào ràng buộc của bài toán. Đã có một số kết quả nghiên cứu về định tính của các bài toán biên đối với các phương trình vi phân trên như sự tồn tại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm. Đáng chú ý phải kể đến các bài báo của Alves và cộng sự [2], Amster và cộng sự [3], Bai và cộng sự [8], Li ([25]-[27]), D. Ma và X. Yang [35], R. Ma và cộng sự [31], T. F. Ma ([32]-[34]),..., ở đó phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới, phương pháp biến phân, các định lý điểm bất động được sử dụng. Trong các bài báo này, điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải f(x, u, v) hoặc về bậc tăng trưởng của nó tại vô cùng là không thể thiếu được. Để cụ thể hơn, ta xét bài toán mô tả độ võng của dầm trên nền đàn 2 hồi với hai đầu mút được gối-tựa đơn giản u(4)(x) = f(x, u(x), u′′(x)), 0 < x < 1, u(0) = u(1) = u′′(0) = u′′(1) = 0, (0.0.4) trong đó f : [0, 1] × R2 → R là hàm liên tục. Bài toán trên đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả vì nó có ý nghĩa quan trọng trong cơ học. Chẳng hạn, năm 1986, Aftabizadeh [1] đã thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán này với giả thiết về sự giới nội của hàm f(x, u, v) trong toàn miền [0, 1]×R2. Tính duy nhất của nghiệm được chứng minh nếu thêm các giả thiết liên quan đến đạo hàm riêng của f theo u và v. Năm 1997, bằng phương pháp đơn điệu, khi biết trước nghiệm dưới và nghiệm trên, Ma và cộng sự [31] đã xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài toán. Ở đó, các tác giả thu nhận được kết quả với giả thiết hàm f(x, u, v) đơn điệu tăng theo biến u và đơn điệu giảm theo biến v trong dải được xác định bởi nghiệm dưới và nghiệm trên. Sau đó, vào năm 2004, khi nghiên cứu bài toán (0.0.4), Bai và cộng sự [8] độc lập với Ma cũng xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài toán bằng cách xét phương trình tương đương u(4)(x)− au′′(x) + bu(x) = f(x, u(x), u′′(x))− au′′(x) + bu(x), (0.0.5) trong đó a, b là các hằng số dương được chọn phù hợp. Giả thiết f thỏa mãn một phía điều kiện Lipshitz theo u và v trong miền được định nghĩa phức tạp bởi các nghiệm dưới, nghiệm trên và các tham số a, b. Ý tưởng này cũng được sử dụng trong bài báo gần đây của Li [27]. Ngoài kết quả về sự tồn tại, Li còn thành công khi nghiên cứu tính duy nhất nghiệm của bài toán. Cần lưu ý rằng, trong phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luôn luôn cần thiết nhưng việc tìm chúng nói chung không dễ dàng. 3 Trong các bài báo đã nhắc đến ở trên, phương trình vi phân cấp bốn không chứa đạo hàm cấp ba. Khoảng hơn chục năm trở lại đây, phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ, cụ thể là phương trình u(4)(x) = f(x, u(x), u′(x), u′′(x), u′′′(x)) (0.0.6) thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả (xem [10], [12], [18], [20], [28], [29], [37], [43],...). Các kết quả chính trong các bài báo trên là nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm. Các công cụ được sử dụng là lý thuyết bậc Leray–Schauder [43], định lý điểm bất động Schauder trên cơ sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm trên [9], [18], [20], [37] hoặc giải tích Fourier [28]. Năm 2009, Minhós [37] nghiên cứu bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ có dạng u(4)(x) = f(x, u, u′, u′′, u′′′), 0 < x < 1, (0.0.7) với điều kiện biên u(0) = u′(1) = u′′(0) = u′′′(1) = 0, (0.0.8) trong đó f : [0, 1] × R4 → R là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện tăng trưởng Nagumo. Áp dụng phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm dưới và nghiệm trên, tác giả không những chỉ ra được kết quả tồn tại nghiệm mà còn đưa ra một số tính chất của nghiệm cũng như đạo hàm cấp một, cấp hai của nghiệm. Sự phụ thuộc vào đạo hàm cấp ba bị hạn chế bởi điều kiện tăng trưởng Nagumo. Trong bài báo gần đây, Pei và Chang [43] sử dụng lý thuyết Leray- Schauder chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ với giả thiết hàm f(x, u, y, v, z) thỏa mãn điều kiện Nagumo và không giảm theo u và không tăng theo v. 4 Đã có một số công trình, chẳng hạn, [19], [40], [41], trong đó các tác giả giải gần đúng một số bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ nhưng chưa thu được đánh giá sai số tổng hợp của nghiệm số thực sự nhận được. Năm 2013, Li và Liang [28] xét bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ u(4)(x) = f(x, u(x), u′(x), u′′(x), u′′′(x)), 0 < x < 1, u(0) = u(1) = u′′(0) = u′′(1) = 0, (0.0.9) trong đó f : [0, 1]×R4 → R là liên tục. Đây là bài toán mô tả độ võng của dầm trên nền đàn hồi với hai đầu được gối-tựa đơn giản. Dựa trên phương pháp giải tích Fourier và định lý điểm bất động Leray-Schauder, tác giả đã thiết lập được sự tồn tại nghiệm của bài toán nhưng dưới hạn chế về điều kiện tăng trưởng của hàm f(x, u, y, v, z) theo mỗi biến tại vô cùng. Năm 2016, Li [29] xét bài toán giá trị biên cấp bốn đầy đủ u(4)(x) = f(x, u(x), u′(x), u′′(x), u′′′(x)), 0 < x < 1, u(0) = u′(0) = u′′(1) = u′′′(1) = 0. (0.0.10) Bài toán là mô hình của dầm côngxôn (cantilever beam) (cố định ở bên trái và tự do ở bên phải), trong đó f : [0, 1]×R4 → R là hàm liên tục. Một số điều kiện của hàm f được đặt ra đảm bảo sự tồn tại nghiệm dương của bài toán. Điều kiện đưa ra là hàm f(x, u, y, v, z) tăng trưởng trên tuyến tính (superlinear) hoặc dưới tuyến tính (sublinear) theo các biến u, y, v, z. Trong trường hợp tăng trưởng trên tuyến tính, điều kiện Nagumo hạn chế điều kiện tăng trưởng của f theo y và z. Kết quả này được chứng minh bằng việc sử dụng lý thuyết của chỉ số điểm bất động trong nón rất phức tạp. Tuy nhiên, trong tất cả các bài báo nêu trên, các tác giả cần đến một giả thiết rất quan trọng là hàm f : [0, 1] × R4 → R thỏa mãn điều kiện 5 Nagumo và một số điều kiện khác về tính đơn điệu và tăng trưởng tại vô cùng. Các bài toán về hệ phương trình vi phân cấp bốn được nghiên cứu chưa nhiều, chẳng hạn trong [4], [21], [22], [30], [50], trong đó các tác giả xét phương trình chỉ chứa các đạo hàm cấp chẵn. Bằng việc sử dụng định lý chỉ số điểm bất động trên nón, các tác giả đã thu được sự tồn tại nghiệm dương. Tuy nhiên, các kết quả đạt được là có tính lý thuyết thuần túy vì không có ví dụ nào minh họa sự tồn tại nghiệm. Năm 2012, trong [22] với các điều kiện rất phức tạp, tác giả đã thiết lập sự tồn tại nghiệm dương của hệ hai phương trình vi phân u(4)(x) = f(x, u(x), v(x), u′′(x), v′′(x)), 0 < x < 1,v(4)(x) = h(x, u(x), v(x), u′′(x), v′′(x)), 0 < x < 1, với các điều kiện biên u(0) = u(1) = u′′(0) = u′′(1) = 0,v(0) = v(1) = v′′(0) = v′′(1) = 0, trong đó f, h : [0, 1]× R+ × R+ × R− × R− → R+ là các hàm liên tục và u′′, v′′ trong f, h là các thành phần mô men uốn tương ứng với các hiệu ứng uốn. Đầu năm 2017, Minhós và Coxe [38], [39] là các tác giả đầu tiên xét hệ hai phương trình cấp bốn đầy đủ u(4)(x) = f(x, u(x), u′(x), u′′(x), u′′′(x), v(x), v′(x), v′′(x), v′′′(x)),v(4)(x) = h(x, u(x), u′(x), u′′(x), u′′′(x), v(x), v′(x), v′′(x), v′′′(x)), (0.0.11) với các điều kiện biên u(0) = u′(0) = u′′(0) = u′′(1) = 0,v(0) = v′(0) = v′′(0) = v′′(1) = 0. (0.0.12) 6 Tác giả đã đưa ra các điều kiện đủ cho tính giải được của hệ bằng việc sử dụng phương pháp nghiệm dưới, nghiệm trên và Định lý điểm bất động Schauder. Chứng minh kết quả này rất cồng kềnh và phức tạp, trong đó đòi hỏi điều kiện Nagumo đối với các hàm f và h. Mặc dù đã có các thành tựu quan trọng đạt được trong việc nghiên cứu định tính và tìm lời giải của các bài toán biên phi tuyến, song sự phát triển của các lĩnh vực ứng dụng như cơ học, vật lý, sinh học,. . . luôn đặt ra các bài toán mới mà phương trình cũng như các điều kiện biên phức tạp hơn. Các bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và thực tiễn. Hơn nữa, trong các bài báo kể trên, các điều kiện đưa ra phức tạp và khó kiểm tra, trong đó hạn chế về điều kiện Nagumo và điều kiện tăng trưởng tại vô cùng của hàm vế phải. Với phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luôn luôn cần thiết nhưng việc tìm chúng nói chung không dễ dàng. Mặt khác, một số bài báo chưa có ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết. Chính vì thế, việc tiếp tục nghiên cứu cả về mặt định tính và định lượng các bài toán mới cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn với các điều kiện biên khác nhau là rất có ý nghĩa khoa học và thực tiễn. Đó là lí do vì sao chúng tôi chọn đề tài: "Phương pháp lặp giải bài toán biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn". 2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của luận án Mục tiêu của luận án là phát triển phương pháp lặp kết hợp với các phương pháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số một số bài toán biên hai điểm đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn nảy sinh trong lý thuyết uốn của dầm, trong đó không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo,... 7 của hàm vế phải. 3. Phương pháp và nội dung nghiên cứu Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải, cùng với các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất đối với nghiệm của một số bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ. Cũng trên cơ sở phương trình toán tử, chúng tôi xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp. Một số ví dụ được đưa ra, trong đó biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng, để minh họa tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và thực hiện tính toán trên máy tính điện tử để kiểm tra sự hội tụ của các phương pháp. 4. Kết quả đạt được của luận án Luận án đề xuất phương pháp nghiên cứu định tính và phương pháp lặp giải bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bài toán về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải. Các kết quả đạt được là: • Thiết lập được sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất đối với nghiệm của các bài toán dưới các điều kiện dễ kiểm tra. • Đề xuất phương pháp lặp giải các bài toán này và chứng minh sự hội tụ của phương pháp với tốc độ cấp số nhân. • Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả 8 lý thuyết, trong đó có các ví dụ mà sự tồn tại hoặc tính duy nhất nghiệm của chúng không được bảo đảm bởi các tác giả khác do không thỏa mãn các điều kiện trong các định lý của họ. • Các thực nghiệm tính toán minh họa tính hiệu quả của phương pháp lặp. Luận án được viết trên cơ sở các bài báo [A1]-[A6] trong danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án. 5. Cấu trúc của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án gồm 3 chương: Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm một số định lý điểm bất động; phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối với phương trình vi phân; hàm Green đối với một số bài toán và phương pháp số giải phương trình vi phân. Các kiến thức cơ bản trong Chương 1 đóng vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho các kết quả sẽ được trình bày trong Chương 2 và Chương 3. Trong Chương 2, bằng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải, chứ không phải đối với ẩn hàm, chúng tôi đã thiết lập sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất của nghiệm đối với một số bài toán cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ. Cũng trên cơ sở phương trình toán tử, chúng tôi xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp. Một số ví dụ, trong đó biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng, đã minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp. Tiếp tục phát triển các kỹ thuật của Chương 2, trong Chương 3, đối 9 với hệ hai phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ, chúng tôi cũng thu được các kết quả về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và sự hội tụ của phương pháp lặp. Các kết quả này làm phong phú thêm và khẳng định tính hiệu quả của cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải. Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thực nghiệm tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 7.0 trên máy tính PC với CPU Intel Core i3, 4GB RAM. 10 Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và thảo luận tại: 1. Hội nghị toàn quốc lần thứ IV về Ứng dụng Toán học, Hà Nội, 23- 25/12/2015. 2. Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, 21- 23/4/2016. 3. Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 12-13/11/2016. 4. International Conference on Advances in Information and Communi- cation Technology, Thai Nguyen, Vietnam 12-13, Dec 2016. 5. Seminar khoa học của Phòng các Phương pháp Toán học trong Công nghệ thông tin, Viện Công nghệ thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. 11 Chương 1 Kiến thức bổ trợ Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương tiếp theo được tham khảo từ các tài liệu [24], [31], [36], [46], [48], [49]. 1.1. Một số định lý điểm bất động Cho ánh xạ T : A → A, trong đó A là không gian Banach. Mỗi nghiệm x của phương trình x = Tx được gọi là một điểm bất động của ánh xạ T . Ba định lý điểm bất động sau đây là các định lý nền tảng cơ bản được sử dụng phổ biến trong các bài toán ứng dụng. 1. Định lý điểm bất động Banach cho các toán tử co với hệ số co k. 2. Định lý điểm bất động Brouwer cho các toán tử liên tục trong không gian hữu hạn chiều. 3. Định lý điểm bất động Schauder cho các toán tử hoàn toàn liên tục trên một tập con lồi, khác rỗng và compact trong không gian Banach (vô hạn chiều). Đây là một tổng quát hóa của định lý điểm bất động Brouwer. Ngoài ra, một số định lý điểm bất động quan trọng khác được sử dụng nhiều trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân phi tuyến, chẳng hạn như định lý Leray-Schauder cho các toán tử compact 12 trên một tập con lồi, khác rỗng, bị chặn của không gian Banach. Cùng với các định lý điểm bất động, lý thuyết bậc Brouwer (Brouwer degree) và lý thuyết chỉ số điểm bất động (fixed point index) cũng là những công cụ quan trọng, được ứng dụng nhiều trong nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ liên tục cũng như sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân phi tuyến. 1.1.1. Định lý điểm bất động Banach và phương pháp lặp Xét phương trình phi tuyến x = Tx. (1.1.1) Trước tiên ta nhắc lại khái niệm toán tử co. Định nghĩa 1.1. (xem [49]) Toán tử T : M ⊆ X → X trên không gian metric (X, d) được gọi là co với hệ số k nếu và chỉ nếu d(Tx, Ty) ≤ kd(x, y) (1.1.2) với mọi x, y ∈M và k cố định 0 ≤ k < 1. Định lý 1.1. (xem [49]) (Định lý điểm bất động Banach (1922)). Giả sử rằng (i) T : M ⊆ X →M là một ánh xạ từ M vào chính nó; (ii) M là tập đóng, khác rỗng trong không gian metric đầy đủ (X, d); (iii) T là một ánh xạ co với hệ số co k. Khi đó ta có các kết luận sau đây: a) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: Phương trình (1.1.1) có duy nhất nghiệm x tức là T có duy nhất một điểm bất động trên M . b) Sự hội tụ của phương pháp lặp: với mọi xấp xỉ ban đầu x0 tùy ý trong M , dãy xấp xỉ liên tiếp (xn) hội tụ tới nghiệm x. 13 c) Đánh giá sai số: Với mọi n = 0, 1, 2, ... ta có các đánh giá sai số tiên nghiệm d(xn, x) ≤ k n 1− kd(x0, x1), (1.1.3) và đánh giá hậu nghiệm d(xn+1, x) ≤ k 1− kd(xn, xn+1). (1.1.4) d) Tốc độ hội tụ: Với mọi n = 0, 1, 2, ... ta có d(xn+1, x) ≤ kd(xn, x). (1.1.5) Định lý điểm bất động Banach có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết toán học và ứng dụng, đặc biệt trong giải gần đúng các phương trình phi tuyến. Cụ thể, từ định lý này có thể giải quyết được các vấn đề sau: (A) Sự tồn tại nghiệm; (B) Sự duy nhất nghiệm; (C) Sự ổn định của nghiệm dưới nhiễu nhỏ của phương trình; (D) Sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ; (E) Đánh giá sai số tiên nghiệm; (F) Đánh giá sai số hậu nghiệm; (G) Đánh giá tốc độ hội tụ; (H) Sự ổn định của phương pháp xấp xỉ. Định lý điểm bất động Banach có ứng dụng quan trọng trong giải phương trình phi tuyến và trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân thường (Định lý Picard–Lindelo¨f). Ngoài ra, ứng dụng của định lý trong giải phương trình đại số tuyến tính, giải phương trình tích phân tuyến tính, phương trình toán tử tuyến tính có thể tìm thấy chi tiết trong [49]. 14 1.1.2. Định lý điểm bất động Brouwer Khác với Định lý điểm bất động Banach, Định lý điểm bất động Brouwer không chỉ ra tính duy nhất của điểm bất động cũng như phương pháp lặp xấp xỉ liên tiếp. Tuy nhiên các giả thiết của Định lý Brouwer được nới lỏng hơn so với Định lý điểm bất động Banach. Định lý 1.2. (xem [49]) (Định lý điểm bất động Brouwer (1912)). Giả sử M là tập con khác rỗng, lồi, compact của RN , trong đó N ≥ 1 và f : M →M là ánh xạ liên tục. Khi đó f có một điểm bất động. Một hạn chế của Định lý Brouwer là chỉ áp dụng được cho các ánh xạ liên tục trên không gian hữu hạn chiều. Tuy nhiên khi xét sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân ta phải xét trên các không gian hàm, đây là không gian Banach vô hạn chiều, vì thế không thể áp dụng Định lý điểm bất động Brouwer. Đối với các toán tử trên không gian vô hạn chiều thì Định lý điểm bất động Schauder - một phiên bản mở rộng của Định lý điểm bất động Brouwer đặc biệt hiệu quả và được sử dụng phổ biến. Định lý này sẽ được trình bày trong phần 1.1.3. 1.1.3. Định lý điểm bất động Schauder Trong phần này, chúng tôi trình bày một tổng quát hóa của Định lý điểm bất động Brouwer cho các toán tử compact trong không gian Banach vô hạn chiều. Đó là Định lý điểm bất động Schauder. Toán tử compact được định nghĩa như sau. Định nghĩa 1.2. (xem [49]) Cho X và Y là các không gian Banach và T : D(T ) ⊆ X → Y là một toán tử. T được gọi là toán tử compact nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn (i) T liên tục; 15 (ii) T ánh xạ mọi tập bị chặn vào tập compact tương đối. Các toán tử compact đóng vai trò quan trọng trong giải tích hàm phi tuyến. Thực tế có nhiều kết quả cho các toán tử liên tục trên RN được chuyển sang các không gian Banach khi thay thế tính liên tục bằng tính compact. Ví dụ 1.1. Giả sử rằng ta có hàm liên tục K : [a, b]× [a, b]× [−R,R]→ K, trong đó −∞ < a < b < +∞, 0 < R <∞ và K = R,C. Ký hiệu M = {x ∈ C([a, b],K) : ‖x‖ ≤ R}, trong đó ‖x‖ = maxa≤s≤b |x(s)| và C([a, b],K) là không gian các ánh xạ liên tục x : [a, b]→ K. Xét các toán tử tích phân (Tx)(t) = b∫ a K(t, s, x(s))ds, (Sx)(t) = t∫ a K(t, s, x(s))ds, ∀t ∈ [a, b]. Khi đó S, T ánh xạ M vào C([a, b],K) là toán tử compact. Định lý 1.3. (xem [23, Mục 31]) Xét trong không gian C[a, b], toán tử y = Ax xác định bởi công thức y(t) = ∫ b a K(t, s)x(s)ds. (1.1.6) Công thức (1.1.6) xác định một toán tử compact trong không gian C[a, b] nếu hàm K(t, s) giới nội trong hình vuông a ≤ t ≤ b, a ≤ s ≤ b và tất cả các điểm gián đoạn của hàm K(s, t) nằm trên hữu hạn các đường cong s = ϕk(t), k = 1, 2...., n, 16 trong đó ϕk(t) là các hàm liên tục. Định lý 1.4. (xem [49]) (Định lý điểm bất động Schauder (1930)). Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach X, và giả sử T : M −→M là toán tử compact. Khi đó T có điểm bất động. Một phiên bản khác của Định lý điểm bất động Schauder được phát biểu như dưới đây. Hệ quả 1.1. (xem [49]) (Phiên bản khác của Định lý điểm bất động Schauder). Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, compact của không gian Banach X, và giả sử T : M −→M là toán tử liên tục. Khi đó T có điểm bất động. Định lý Schauder có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải tích hàm và giải tích số như trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân với tham số bé, sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tích phân và hệ phương trình vi phân,.... 1.2. Phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối với phương trình vi phân Một trong các phương pháp khá phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại, duy nhất) của nghiệm và xây dựng nghiệm gần đúng của phương trình vi phân là phương pháp đơn điệu. Phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm trên và nghiệm dưới đối với bài toán biên phi tuyến đã thu hút sự chú ý của các nhà nghiên cứu trong những năm gần đây. Phương pháp này phổ biến vì nó không chỉ đưa ra cách chứng minh các định lý tồn tại mà còn dẫn đến các kết quả so sánh khác nhau, đó là kỹ thuật hiệu quả để nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm, có thể xem thêm trong [24]. 17 Ý tưởng chung của phương pháp này là xuất phát từ hai hàm α và β, α ≤ β, tương ứng được gọi là nghiệm dưới (lower solution) và nghiệm trên (upper solution) của bài toán, người ta xây dựng nhờ quá trình lặp hai dãy hàm αk và βk hội tụ đơn điệu từ hai phía tới các hàm u và u thỏa mãn điều kiện α ≤ α1 ≤ α2 ≤ ... ≤ αk ≤ ... ≤ u ≤ u ≤ ... ≤ βk ≤ ... ≤ β2 ≤ β1 ≤ β. Trong trường hợp u = u bài toán có nghiệm duy nhất trong dải 〈α, β〉, nếu khác, bài toán có nghiệm cực trị dưới và nghiệm cực trị trên. Công cụ cơ bản để nghiên cứu tính đơn điệu của các dãy hàm và sự hội tụ của chúng là nguyên lý cực đại thích hợp cho từng loại bài toán. Ở đây, cần phải nói rằng nguyên lý cực đại đối với các phương trình tuyến tính đơn giản với các điều kiện biên cơ bản đã có trong cuốn sách chuyên khảo [44], song đối với các bài toán phức tạp hơn cần có nguyên lý cực đại phù hợp. Phương pháp lặp đơn điệu sử dụng nghiệm dưới và nghiệm trên đã được nghiên cứu từ năm 1890 bởi Picard. Sau đó, nhiều bài báo nghiên cứu phát triển phương pháp này cho các bài toán biên phi tuyến đối với p...p của Li rất khó giải. Lý do của điều này là vì không thể phân tích toán tử L4u = u (4) − 2u′′ + 3u thành tích của các toán tử vi phân cấp hai với các hệ số thực vì thực tế phương trình D4 − 2D2 + 3 = 0 không có các nghiệm thực. Ví dụ 2.2. (xem [8]). Xét bài toán u(4)(x) = −5u′′ − (u+ 1)2 + sin2 pix+ 1,u(0) = u(1) = u′′(0) = u′′(1) = 0. Trong ví dụ này f(x, u, v) = −5v − (u+ 1)2 + sin2 pix+ 1. Tương tự như Ví dụ 2.1 ta thấy các điều kiện của Định lý 2.1 thỏa mãn vớiM = 3.5, L1 = 2.11, L2 = 5 và q ≈ 0.6580. Do đó, bài toán có nghiệm duy nhất và phương pháp lặp hội tụ. Thực nghiệm số chỉ ra sau k = 45 lần lặp thì quá trình lặp dừng với e45 = 5.8981e− 017 và công bội thực tế là qact ≈ 0.4858 thay vì đánh giá lý thuyết q ≈ 0.6580 như trên. Công bội r(k) và một số nghiệm xấp xỉ được mô tả trong Hình 2.2. Từ hình vẽ này ta thấy tốc độ giảm của công bội rk hầu như không đổi. 43 Hình 2.2: Công bội thực tế r(k) (trái) và một số nghiệm xấp xỉ (phải) trong Ví dụ 2.2 Chú ý rằng trong [8] Bai chỉ có thể thiết lập sự tồn tại nhưng không đảm bảo tính duy nhất của nghiệm. Như Li trong [27], Bai cũng sử dụng nghiệm dưới α = 0 và nghiệm trên β = sinpix. Dãy xấp xỉ αn, βn trong [8] được tạo ta bởi việc giải phương trình dạng u(4) + 5u′′ + 4u = g(x) tại mỗi bước lặp. Như trong Ví dụ 2.1 của Li, phương trình này thật khó để giải vì toán tử vi phân này không thể phân tích thành tích của hai toán tử vi phân cấp hai. Ví dụ 2.3. (xem [31]). Xét bài toán u(4) = um − 1 pi10 (u′′)5 + sin pix, m ≥ 1, u(0) = u(1) = u′′(0) = u′′(1) = 0. Trong ví dụ này, f(x, u, v) = um− 1 pi10 v5 + sinpix. Với mọi m ≥ 1 ta có thể chọn M = 1.1. Trong D+M , ta có 0 ≤ f(x, u, v) ≤M và ta có thể chọn L1 = 1, L2 = 0.1. Do đó, q ≈ 0.0156. Theo Định lý 2.2 bài toán có nghiệm dương duy nhất. Phương pháp lặp hội tụ rất nhanh được khẳng định qua kết quả thực nghiệm số. Thật vậy, sai số ||uk − uk−1|| ≤ 10−16 đạt được sau k = 8 phép lặp với m = 1; k = 4 với m = 2; k = 3 với m = 3; k = 2 với m = 4. 44 Cần chú ý rằng trong [31], ở ví dụ này các tác giả chỉ thu được bài toán tồn tại ít nhất một nghiệm chứ không chỉ ra được sự duy nhất nghiệm. Dưới đây, chúng tôi tiếp tục phát triển kỹ thuật trong bài báo [A2] để nghiên cứu phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ. 2.2. Bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ Trong phần này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ với hai loại điều kiện biên khác nhau. 2.2.1. Trường hợp các điều kiện biên dạng gối-tựa đơn giản Xét bài toán u(4)(x) = f(x, u(x), u′(x), u′′(x), u′′′(x)), 0 < x < 1,u(0) = u(1) = u′′(0) = u′′(1) = 0, (2.2.1) trong đó f : [0, 1]× R4 → R là liên tục. Bài toán này mô tả độ võng của dầm trên nền đàn hồi với hai đầu được gối-tựa đơn giản. Với bài toán này, bằng phương pháp giải tích Fourier và định lý điểm bất động Leray–Schauder, năm 2013, Li và Liang [28] đã thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán dưới hạn chế về điều kiện tăng trưởng của hàm f(x, u, y, v, z) theo mỗi biến tại vô cùng. Định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán trong bài báo [28] như sau. Định lý 2.5. [28, Định lý 1]. Giả sử f ∈ C([0, 1]× R4,R) và thỏa mãn điều kiện tăng trưởng |f(x, t0, t1, t2, t3)| ≤ c0|t0|+ c1|t1|+ c2|t2|+ c3|t3|+M, (2.2.2) 45 với mọi x ∈ [0, 1] và (t0, t1, t2, t3) ∈ R4, trong đó c0, c1, c2, c3 ≥ 0, M > 0 là các hằng số và c0, c1, c2, c3 thỏa mãn đánh giá c0 pi4 + c1 pi3 + c2 pi2 + c3 pi < 1. (2.2.3) Khi đó bài toán (2.2.1) có ít nhất một nghiệm. Trong bài báo [A3], chúng tôi cũng xét bài toán (2.2.1). Phát triển kỹ thuật trong bài báo [A2] với bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ và không đòi hỏi điều kiện bị chặn hoặc tăng trưởng tuyến tính của hàm vế phải tại vô cùng như trong [28]. Các kết quả về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm và sự hội tụ của phương pháp lặp cũng được chỉ ra. Để nghiên cứu bài toán (2.2.1), với ϕ ∈ C[0, 1], ta xét phương trình toán tử ϕ = Aϕ, (2.2.4) trong đó A là toán tử được xác định như sau (Aϕ)(x) = f(x, uϕ(x), yϕ(x), vϕ(x), zϕ(x)). (2.2.5) Ở đây vϕ(x), uϕ(x) được xác định từ các bài toán v′′ϕ(x) = ϕ(x), 0 < x < 1,vϕ(0) = vϕ(1) = 0, (2.2.6) u′′ϕ(x) = vϕ(x), 0 < x < 1,uϕ(0) = uϕ(1) = 0. (2.2.7) và yϕ(x) = u ′ ϕ(x), zϕ(x) = v ′ ϕ(x). Mệnh đề 2.2. (Mối liên hệ giữa nghiệm của bài toán (2.2.1) với nghiệm của phương trình toán tử (2.2.4)). Nếu ϕ(x) là nghiệm của (2.2.4), trong đó A được xác định bởi (2.2.5)-(2.2.7) thì uϕ(x) là nghiệm của bài toán (2.2.1) và ngược lại. 46 Chứng minh. Nếu ϕ(x) là nghiệm của (2.2.4)-(2.2.7) thì ϕ(x) = f(x, uϕ(x), yϕ(x), vϕ(x), zϕ(x)). Từ (2.2.6)-(2.2.7) suy ra u(4)ϕ = ϕ(x) = f(x, uϕ(x), yϕ(x), vϕ(x), zϕ(x)). Ta có uϕ thỏa mãn các điều kiện biên nên uϕ(x) là nghiệm của (2.2.1). Ngược lại, nếu u(x) là nghiệm của (2.2.1) thì đặt ϕ = f(x, u, u′, u′′, u′′′), v = u′′. (2.2.8) Khi đó bài toán (2.2.1) được đưa về hai bài toán cấp hai (2.2.6)-(2.2.7). Do đó, với ϕ ta có phương trình (2.2.4), trong đó A là toán tử phi tuyến xác định bởi (2.2.5). Vì vậy, nếu u(x) là nghiệm của (2.2.1) thì ϕ là nghiệm của (2.2.4), trong đó A được xác định bởi (2.2.5)-(2.2.7). Ký hiệu DM = { (x, u, y, v, z) | 0 ≤ x ≤ 1, |u| ≤ M 64 , |y| ≤ M 16 , |v| ≤ M 8 , |z| ≤ M 2 } , (2.2.9) trong đó M > 0 và B[O,M ] là hình cầu đóng tâm O với bán kính M trong không gian các hàm liên tục C[0, 1] với chuẩn ‖ϕ‖ = max 0≤x≤1 |ϕ(x)|. Bổ đề 2.3. Giả sử rằng tồn tại các số M, c0, c1, c2, c3 ≥ 0 sao cho |f(x, u, y, v, z)| ≤M, (2.2.10) và |f(x, u2, y2, v2, z2, )− f(x, u1, y1, v1, z1)| ≤ c0|u2 − u1|+ c1|y2 − y1|+ c2|v2 − v1|+ c3|z2 − z1| (2.2.11) 47 với mọi (x, u, y, v, z), (x, ui, yi, vi, zi) ∈ DM (i = 1, 2). Khi đó, toán tử A xác định bởi (2.2.5), trong đó vϕ, uϕ là các nghiệm của các bài toán (2.2.6)-(2.2.7) ánh xạ từ hình cầu đóng B[O,M ] vào chính nó. Hơn nữa, nếu q := c0 64 + c1 16 + c2 8 + c3 2 < 1 (2.2.12) thì A là toán tử co trong B[O,M ]. Chứng minh. Lấy hàm ϕ bất kỳ thuộc B[O,M ]. Nghiệm của các bài toán (2.2.6) và (2.2.7) có thể biểu diễn dạng v(x) = − ∫ 1 0 G(x, t)ϕ(t)dt, u(x) = − ∫ 1 0 G(x, t)v(t)dt trong đó G(x, t) là hàm Green của toán tử vi phân −u′′ với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất G(x, t) =  x(1− t), 0 ≤ x ≤ t ≤ 1,t(1− x), 0 ≤ t ≤ x ≤ 1. Vì 1∫ 0 |G(x, t)|dt ≤ 1 8 , x ∈ [0, 1] (2.2.13) 1∫ 0 |G′x(x, t)|dt ≤ 1 2 , x ∈ [0, 1] (2.2.14) ta có ‖v‖ ≤ 1 8 ‖ϕ‖ ≤ 1 8 M. (2.2.15) Do đó, với nghiệm của bài toán (2.2.7) ta có đánh giá ‖u‖ ≤ 1 8 ‖v‖ ≤ 1 64 M. (2.2.16) 48 Vì thế ‖z‖ = ‖v′‖ ≤ 1 2 ‖ϕ‖ ≤ 1 2 M, ‖y‖ = ‖u′‖ ≤ 1 2 ‖v‖ ≤ 1 16 M. (2.2.17) Do vậy, theo (2.2.5) và điều kiện (2.2.10), ta có Aϕ ∈ B[0,M ], tức là toán tử ánh xạ B[0,M ] vào chính nó. Lấy ϕ1, ϕ2 ∈ B[O,M ] và v1, v2;u1, u2 là nghiệm của các bài toán (2.2.6), (2.2.7), tức là, với i = 1, 2, ta có v′′i = ϕi, 0 < x < 1,vi(0) = vi(1) = 0, (2.2.18) u′′i = vi, 0 < x < 1,ui(0) = ui(1) = 0. (2.2.19) Sử dụng biểu diễn của các nghiệm vi and ui thông qua hàm Green và các đánh giá (2.2.13) và (2.2.14) ta được ‖v2 − v1‖ ≤ 1 8 ‖ϕ2 − ϕ1‖, ‖u2 − u1‖ ≤ 1 64 ‖ϕ2 − ϕ1‖, ‖z2 − z1‖ ≤ 1 2 ‖ϕ2 − ϕ1‖, ‖y2 − y1‖ ≤ 1 2 ‖v2 − v1‖ ≤ 1 16 ‖ϕ2 − ϕ1‖. (2.2.20) Từ (2.2.5) và (2.2.11) ta có |Aϕ2 − Aϕ1| = |f(x, u2, y2, v2, z2)− f(x, u1, y1, v1, z1)| ≤ c0|u2 − u1|+ c1|y2 − y1|+ c2|v2 − v1|+ c3|z2 − z1|. Sử dụng đánh giá (2.2.20) ta thu được ‖Aϕ2 − Aϕ1‖ ≤ ( c0 64 + c1 16 + c2 8 + c3 2 ) ‖ϕ2 − ϕ1‖. Do đó, A là toán tử co trong B[O,M ] nếu điều kiện (2.2.12) được thỏa mãn. 49 Định lý 2.6. (Tính duy nhất nghiệm). Với các giả thiết như trong Bổ đề 2.3, bài toán (2.2.1) có nghiệm duy nhất u và có các đánh giá ‖u‖ ≤ M 64 , ‖u′‖ ≤ M 16 , ‖u′′‖ ≤ M 8 , ‖u′′′‖ ≤ M 2 . (2.2.21) Chứng minh. Ta có nghiệm của bài toán (2.2.1) là hàm u(x) thu được từ các bài toán (2.2.6)-(2.2.7), trong đó ϕ là điểm bất động duy nhất của A. Các đánh giá trong (2.2.21) thực chất là các đánh giá (2.2.15)- (2.2.17). Ta xét trường hợp đặc biệt của Định lý 2.6. Ký hiệu D+M = { (x, u, y, v, z)| 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ u ≤ M 64 ; |y| ≤ M 16 ; −M 8 ≤ v ≤ 0; |z| ≤ M 2 } , (2.2.22) và SM = {ϕ ∈ C[0, 1] | 0 ≤ ϕ(x) ≤M} . Định lý 2.7. (Tính dương của nghiệm). Giả sử rằng trong D+M hàm f thỏa mãn 0 ≤ f(x, u, y, v, z) ≤M, (2.2.23) và thỏa mãn điều kiện Lipschitz (2.2.11). Khi đó, toán tử A xác định bởi (2.2.5), trong đó vϕ, uϕ là các nghiệm của các bài toán (2.2.6), (2.2.7) ánh xạ từ dải SM vào chính nó. Hơn nữa, nếu (2.2.12) được thỏa mãn thì A là toán tử co trong SM . Do đó, bài toán (2.2.1) có nghiệm không âm duy nhất. Chứng minh. Chứng minh định lý tương tự như Bổ đề 2.3 và Định lý 2.6, trong đó thay vì hình cầu ta xét dải SM . Ta xây dựng phương pháp lặp và đánh giá sai số của nghiệm. Xét quá trình lặp sau: 50 1. Cho ϕ0(x) = f(x, 0, 0, 0, 0). (2.2.24) 2. Biết ϕk (k = 0, 1, ...) giải liên tiếp các bài toán v′′k = ϕk(x), 0 < x < 1,vk(0) = vk(1) = 0, (2.2.25) u′′k = vk(x), 0 < x < 1,uk(0) = uk(1) = 0. (2.2.26) 3. Cập nhật ϕk+1 = f(x, uk, u ′ k, vk, v ′ k). (2.2.27) Đặt pk = qk 1− q‖ϕ1 − ϕ0‖. Ta thu được các kết quả sau. Định lý 2.8. Với các giả thiết như trong Bổ đề 2.3 phương pháp lặp trên hội tụ với tốc độ cấp số nhân và thỏa mãn các đánh giá ‖uk − u‖ ≤ pk 64 , ‖u′k − u′‖ ≤ pk 16 , ‖u′′k − u′′‖ ≤ pk 8 , ‖u′′′k − u′′′‖ ≤ pk 2 , (2.2.28) trong đó u là nghiệm chính xác của bài toán (2.2.1). Chứng minh. Phương pháp lặp trên chính là phương pháp xấp xỉ liên tiếp tìm điểm bất động của toán tử A với xấp xỉ ban đầu (2.2.24) thuộc B[O,M ]. Do đó, nó hội tụ với tốc độ cấp số nhân và có đánh giá ‖ϕk − ϕ‖ ≤ q k 1− q‖ϕ1 − ϕ0‖. (2.2.29) Kết hợp đánh giá này với đánh giá (2.2.20) ta thu được (2.2.28). Do đó, định lý được chứng minh. 51 Nhận xét 2.1. Tuy cùng điều kiện biên nhưng với bài toán biên đối với phương trình vi phân cấp bốn không đầy đủ (2.1.1) thì dãy nghiệm có tính chất đơn điệu nhưng trong bài toán biên đối với phương trình vi phân tuyến tính đầy đủ (2.2.1) thì dãy nghiệm không có tính chất này vì phụ thuộc vào tính chất của hàm Green và các đạo hàm của nó tương ứng với các bài toán. Để giải số theo phương pháp lặp, ta sử dụng lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn đối với các bài toán cấp hai Dirichlet trên các lưới đều ωh = {xi = ih, i = 0, 1, ..., N ; h = 1/N}. Cụ thể là đối với bài toán cấp hai tiêu biểu  v′′ = ϕ(x), 0 < x < 1,v(0) = v(1) = 0, ta sử dụng lược đồ sai phân vi−1 − 2vi + vi+1 h2 = ϕi−1 + 10ϕi + ϕi+1 12 , 1 ≤ i ≤ N − 1, v0 = vN = 0. Với các hàm lưới trên ωh sử dụng chuẩn ‖u‖ωh = max 0≤i≤N |u(xi)|, nhưng để ngắn gọn sau này bỏ qua phần chỉ số ωh. Quá trình lặp được thực hiện cho đến khi ek = ‖uk − uk−1‖ ≤ 10−16. Trong bảng kết quả tính toán N là số điểm lưới, error = ‖uk − ud‖, error1 = ‖u′k − u′d‖, error2 = ‖u′′k − u′′d‖, error3 = ‖u′′′k − u′′′d ‖, trong đó ud là nghiệm chính xác của bài toán. Sau đây, ta xét một số ví dụ minh họa cho tính ứng dụng của các kết quả lý thuyết thu được. Trước tiên, xét ví dụ cho trường hợp biết trước nghiệm chính xác. 52 Ví dụ 2.4. Xét bài toán giá trị biên u(4)(x) =− u ′′′(x) 3 + cos ( −sin pix pi2 − u′′(x) ) − u′(x)− u2(x) + sin pix + cospix pi3 + sin2 pix pi8 − cospix 3pi − 1, 0 < x < 1, u(0) = u(1) = u′′(0) = u′′(1) = 0. Nghiệm chính xác của bài toán là u(x) = sin(pix) pi4 . Trong ví dụ này f(x, u, y, v, z) =− z 3 + cos ( −sin pix pi2 − v ) − y − u2 + sin pix + cos pix pi3 + sin2 pix pi8 − cos pix 3pi − 1. Ta thấy hàm f(x, u, y, v, z) không thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tại vô cùng trong [28, Định lý 1], nên định lý này không đảm bảo sự tồn tại của nghiệm của bài toán. Sử dụng các kết quả lý thuyết thu được theo cách tiếp cận của chúng tôi trong phần trên chỉ ra bài toán có nghiệm duy nhất và phương pháp lặp hội tụ. Trước tiên, chọn M sao cho |f(x, u, y, v, z)| ≤ M . Số M có thể xác định từ bất phương trình |f(x, u, y, v, z)| ≤ M 6 + 1 + M 16 + ( M 64 )2 + 1 + 1 pi3 + 1 pi8 + 1 3pi + 1 ≤M. Ta thấy M = 5 là lựa chọn phù hợp. Khi đó trong miền D5, vì f ′u = −2u, f ′y = −1, f ′v = sin ( −sin pix pi2 − v ) , f ′z = − 1 3 , |f ′u| ≤ 2 ( 5 64 ) = 5 32 , |f ′y| = 1, |f ′v| ≤ 1, |f ′z| = 1 3 nên ta có thể lấy c0 = 5 32 , c1 = c2 = 1, c3 = 1 3 . Khi đó q = c0 64 + c1 16 + c2 8 + c3 2 ≈ 0.3566 < 1. Tất cả các điều kiện của 53 0 2 4 6 8 10 12 10−20 10−18 10−16 10−14 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 k−axis e(k )−a xis Hình 2.3: Đồ thị của ek trong Ví dụ 2.4 với N = 100 Định lý 2.6 đều thỏa mãn. Do đó, bài toán có nghiệm duy nhất và phương pháp lặp hội tụ. Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 2.4 được cho trong Bảng 2.1 và Hình 2.3. Bảng 2.1: Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 2.4 N k error error1 error2 error3 30 11 1.0339e-8 7.3102e-7 5.2161e-8 7.3898e-6 50 11 1.3400e-9 9.5834e-8 6.7722e-9 9.7008e-7 100 11 8.3781e-11 6.0186e-9 4.2351e-10 6.0994e-8 1000 11 3.0210e-15 6.1669e-13 2.3273e-14 6.1727e-12 Từ Bảng 2.1 ta thấy sự hội tụ của phương pháp lặp không phụ thuộc vào cỡ lưới. Từ Hình 2.3 ta thấy sai số giữa 2 nghiệm xấp xỉ ở hai bước lặp liên tiếp giảm rất nhanh theo tốc độ cấp số nhân. Trong ví dụ tiếp theo, nghiệm chính xác của bài toán (2.2.1) chưa biết. 54 Ví dụ 2.5. Xét bài toán giá trị biên u(4)(x) = −u ′′′(x) 12 − u2(x) (u′′(x))2 − (u′′(x))3 + u ′(x) 2 + sin pix+ 2, 0 < x < 1, u(0) = u(1) = u′′(0) = u′′(1) = 0. Trong ví dụ này f(x, u, y, v, z) = − z 12 − u2v2 − v3 + y 2 + sin pix+ 2. Như Ví dụ 2.4 ta thấy hàm f(x, u, y, v, z) không thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tại vô cùng trong [28, Định lý 1] nên định lý này không đảm bảo sự tồn tại nghiệm của bài toán. Tương tự như Ví dụ 2.4 ta có thể chọn M = 4 và do đó, ta thấy trong dải S4 = {ϕ ∈ C[0, 1] | 0 ≤ ϕ(x) ≤ 4}, tất cả các điều kiện của Định lý 2.7 được thỏa mãn với 0 ≤ f ≤ 4 và c0 = 0.03, c1 = 0.5, c2 = 0.75, c3 = 0.083, q ≈ 0.167 < 1. Do đó, bài toán có nghiệm duy nhất không âm và phương pháp lặp hội tụ. Thực nghiệm số với N = 100 chỉ ra với điều kiện dừng (2.1.27), quá trình lặp thực hiện k = 8 bước và e8 = 6.5919e− 17. Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 2.5 được cho trong Hình 2.4 và đồ thị của nghiệm xấp xỉ được mô tả trong Hình 2.5. Từ Hình 2.4 ta thấy sai số giữa 2 nghiệm xấp xỉ ở hai bước lặp liên tiếp giảm rất nhanh theo tốc độ cấp số nhân. Ví dụ 2.6. Xét bài toán giá trị biên u(4)(x) = d1eu + d2eu ′ + d3e u′′ + d4e u′′′, u(0) = u(1) = u′′(0) = u′′(1) = 0. trong đó d1, d2, d3, d4 ∈ R. 55 1 2 3 4 5 6 7 8 10−18 10−16 10−14 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 k−axis e(k )−a xis Hình 2.4: Đồ thị của ek trong Ví dụ 2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 x−axis u− ax is Hình 2.5: Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.5 56 0 2 4 6 8 10 12 14 10−18 10−16 10−14 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 k−axis e(k )−a xis Hình 2.6: Đồ thị của ek trong Ví dụ 2.6 . Trong ví dụ này f(x, u, y, v, z) = d1e u + d2e y + d3e v + d4e z. Lấy ví dụ d1 = 1, d2 = 1, d3 = 1, d4 = 0. Ta có thể chọn M = 4. Khi đó c0 = 1.0645, c1 = 1.2840, c2 = 1.6487, c3 = 0. Do đó q ≈ 0.303. Vì vậy, bài toán có nghiệm duy nhất và phương pháp lặp hội tụ. Thực nghiệm số với N = 100 chỉ ra với điều kiện dừng (2.1.27), quá trình lặp thực hiện k = 13 bước và e13 = 6.9389e− 18. Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 2.6 được cho bởi Hình 2.6 và đồ thị nghiệm xấp xỉ được minh họa trong Hình 2.7. Hơn nữa, nghiệm này là không âm. Thật vậy, xét trong miền D+4 = { (x, u, v, r, s)| 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ u ≤ 4 64 ; |y| ≤ 4 16 ; −4 8 ≤ v ≤ 0; |z| ≤ 4 2 } , và trong dải S4 S4 = {ϕ ∈ C[0, 1] | 0 ≤ ϕ(x) ≤ 4} . 57 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 x−axis u− ax is Hình 2.7: Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.6 Khi đó, trong D+4 ta có 0 ≤ f(x, u.y, v, z) ≤ 4 và tất cả các điều kiện của Định lý 2.7 được thỏa mãn. Do đó, bài toán có nghiệm duy nhất không âm. 2.2.2. Trường hợp các điều kiện biên dạng ngàm-tự do Xét bài toán u(4)(x) = f(x, u(x), u′(x), u′′(x), u′′′(x)), 0 < x < 1, u(0) = u′(0) = u′′(1) = u′′′(1) = 0, (2.2.30) trong đó f : [0, 1]×R4 → R là liên tục. Đây là mô hình dầm côngxôn (cố định ở bên trái và tự do ở bên phải). Năm 2016, trong [29], Li đã khẳng định được sự tồn tại nghiệm dương của bài toán trên với một số điều kiện được đặt ra đối với hàm f . Điều kiện đưa ra là hàm f(x, u, y, v, z) tăng trưởng trên tuyến tính hoặc dưới tuyến tính theo các biến u, y, v, z. Trong trường hợp tăng trưởng trên tuyến tính, điều kiện Nagumo hạn chế điều kiện tăng trưởng của f theo y và z. Kết 58 quả này được chứng minh bằng việc sử dụng lý thuyết của chỉ số điểm bất động trong nón rất phức tạp. Kết quả chính trong bài báo [29] của Li như sau. Giả sử f : [0, 1] × R3+ × R− → R+ là hàm liên tục. Ta xét trường hợp f(x, t0, t1, t2, t3) tăng trưởng trên tuyến tính theo t0, t1, t2, t3. Trong trường hợp này, giả thiết f(x, t0, t1, t2, t3) thỏa mãn điều kiện Nagumo theo t2 và t3: (F0) Với M > 0 bất kỳ, có hàm liên tục dương HM(ρ) trên R+ thỏa mãn +∞∫ 0 ρdρ HM(ρ) + 1 = +∞, (2.2.31) sao cho f(x, t0, t1, t2, t3) ≤ HM(max{|t2|, |t3|}) (2.2.32) với mọi (x, t0, t1, t2, t3) ∈ [0, 1]× [0,M ]2 × R+ × R−. Định lý 2.9. [29, Định lý 3.1] Giả sử f : [0, 1]× R3+ × R− → R+ là hàm liên tục. Nếu f thỏa mãn giả thiết (F0) và các điều kiện sau (F1) Tồn tại các hằng số dương a0, a1, a2, a3 thỏa mãn a0+a1+a2+a3 < 1 và δ > 0 sao cho f(x, t0, t1, t2, t3) ≤ a0t0 + a1t1 + a2t2 + a3|t3| với mọi (x, t0, t1, t2, t3) ∈ [0, 1]× [0, δ]3 × [−δ, 0]; (F2) Tồn tại các hằng số dương b0, b1 thỏa mãn b0 + b1 > λ1 và C0 > 0 sao cho f(x, t0, t1, t2, t3) ≥ b0t0 + b1t1 − C0 với mọi (x, t0, t1, t2, t3) ∈ [0, 1]× R3+ × R−. Khi đó bài toán (2.2.30) có ít nhất một nghiệm dương. 59 Định lý 2.10. [29, Định lý 3.2] Giả sử f : [0, 1]×R3+×R− → R+ là hàm liên tục. Nếu f thỏa mãn các điều kiện sau (F3) Tồn tại các hằng số dương b0, b1 thỏa mãn b0 + b1 > λ1 và δ > 0 sao cho f(x, t0, t1, t2, t3) ≥ b0t0 + b1t1 với mọi (x, t0, t1, t2, t3) ∈ [0, 1]× [0, δ]3 × [−δ, 0]; (F4) Tồn tại các hằng số dương a0, a1, a2, a3 thỏa mãn a0+a1+a2+a3 < 1 và C0 > 0 sao cho f(x, t0, t1, t2, t3) ≤ a0t0 + a1t1 + a2t2 + a3|t3|+ C0 với mọi (x, t0, t1, t2, t3) ∈ [0, 1]× R3+ × R−. Khi đó bài toán (2.2.30) có ít nhất một nghiệm dương. Trong bài báo [A1], xét bài toán (2.2.30), chúng tôi thiết lập được sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của bài toán và sự hội tụ của phương pháp lặp. Bằng phương pháp đưa bài toán về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải và xét trong miền bị chặn thích hợp, chúng tôi đã không cần đến các điều kiện tăng trưởng trong đó có điều kiện Nagumo. Các ví dụ không thỏa mãn điều kiện trong bài báo của Li (2016) nhưng theo lý thuyết chúng tôi đưa ra khẳng định được sự duy nhất nghiệm của bài toán. Hơn nữa, các điều kiện của định lý đơn giản hơn và dễ kiểm tra. Để nghiên cứu bài toán (2.2.30), với ϕ ∈ C[0, 1], ta xét phương trình toán tử ϕ = Aϕ, (2.2.33) trong đó A là toán tử được xác định như sau (Aϕ)(x) = f(x, uϕ(x), yϕ(x), vϕ(x), zϕ(x)), (2.2.34) với yϕ(x) = u ′ ϕ(x), zϕ(x) = v ′ ϕ(x). (2.2.35) 60 Ở đây vϕ(x), uϕ(x) được xác định từ các bài toán v′′ϕ(x) = ϕ(x), 0 < x < 1,vϕ(1) = v′ϕ(1) = 0, (2.2.36) u′′ϕ(x) = vϕ(x), 0 < x < 1,uϕ(0) = u′ϕ(0) = 0, (2.2.37) Mệnh đề 2.3. (Mối liên hệ giữa nghiệm của bài toán (2.2.30) với nghiệm của phương trình toán tử (2.2.33)). Nếu ϕ(x) là nghiệm của (2.2.33), trong đó A được xác định bởi (2.2.46)-(2.2.37) thì uϕ(x) là nghiệm của bài toán (2.2.30) và ngược lại. Chứng minh. Nếu ϕ(x) là nghiệm của (2.2.33)-(2.2.37) thì ϕ(x) = f(x, uϕ(x), yϕ(x), vϕ(x), zϕ(x)). Từ (2.2.36)-(2.2.37) suy ra u(4)ϕ = ϕ(x) = f(x, uϕ(x), yϕ(x), vϕ(x), zϕ(x)). Ta có uϕ thỏa mãn các điều kiện biên nên uϕ(x) là nghiệm của (2.2.30). Ngược lại, nếu u(x) là nghiệm của (2.2.30) thì đặt ϕ(x) = f(x, u(x), u′(x), u′′(x), u′′′(x)), v = u′′. (2.2.38) Khi đó bài toán (2.2.30) được đưa về hai bài toán cấp hai (2.2.36)-(2.2.37). Do đó, với ϕ ta có phương trình (2.2.33) trong đó A là toán tử phi tuyến xác định bởi (2.2.46). Do đó nếu u(x) là nghiệm của (2.2.30) thì ϕ là nghiệm của (2.2.33) trong đó A được xác định bởi (2.2.46)-(2.2.37). Với M > 0 ký hiệu DM = { (x, u, y, v, z) | 0 ≤ x ≤ 1, |u| ≤ M 8 , |y| ≤ M 6 , |v| ≤ M 2 , |z| ≤M } , (2.2.39) 61 và B[O,M ] là ký hiệu hình cầu đóng tâm O với bán kính M trong không gian các hàm liên tục C[0, 1] với chuẩn ‖ϕ‖ = max 0≤x≤1 |ϕ(x)|. Ta có bổ đề sau Bổ đề 2.4. Giả sử tồn tại các số M, c0, c1, c2, c3 ≥ 0 sao cho |f(x, u, y, v, z)| ≤M, (2.2.40) |f(x, u2, y2, v2, z2, )− f(x, u1, y1, v1, z1)| ≤ c0|u2 − u1|+ c1|y2 − y1|+ c2|v2 − v1|+ c3|z2 − z1| (2.2.41) với mỗi (x, u, y, v, z), (x, ui, yi, vi, zi) ∈ DM (i = 1, 2). Khi đó, toán tử A định nghĩa bởi (2.2.46), trong đó vϕ, uϕ là nghiệm của các bài toán (2.2.36)-(2.2.37), là ánh xạ từ B[O,M ] vào chính nó. Hơn nữa, nếu q := c0 8 + c1 6 + c2 2 + c3 < 1 (2.2.42) thì A là toán tử co trong B[O,M ]. Chứng minh. Lấy hàm ϕ bất kỳ thuộc B[O,M ]. Với phép đặt (2.2.38), khi đó bài toán (2.2.30) trở thành u(4)(x) = ϕ(x), 0 < x < 1,u(0) = u′(0) = u′′(1) = u′′′(1) = 0. (2.2.43) Bài toán này có nghiệm duy nhất biểu diễn dạng u(x) = ∫ 1 0 G(x, t)ϕ(t)dt, (2.2.44) trong đó theo Ví dụ 1.5, Chương 1, hàm G(x, t) có dạng G(x, t) =  − t 3 6 + t2x 2 , 0 ≤ t ≤ x ≤ 1 − x 3 6 + x2t 2 , 0 ≤ x ≤ t ≤ 1. 62 Từ (2.2.44) ta có u′(x) = ∫ 1 0 G1(x, t)ϕ(t)dt, (2.2.45) trong đó G1(x, t) =  t2 2 , 0 ≤ t ≤ x ≤ 1 − x 2 2 + xt, 0 ≤ x ≤ t ≤ 1. Ta có các hàm G(x, t) và G1(x, t) không âm và max 0≤x≤1 ∫ 1 0 G(x, t)dt = 1 8 , max 0≤x≤1 ∫ 1 0 G1(x, t)dt = 1 6 , (2.2.46) Từ (2.2.44)-(2.2.46) ta có ‖u‖ ≤ 1 8 ‖ϕ‖, ‖u′‖ ≤ 1 6 ‖ϕ‖. (2.2.47) Để đánh giá ‖u′′‖ and ‖u′′′‖ ta chú ý nghiệm của bài toán (2.2.36) có thể biểu diễn dạng v(x) = ∫ 1 0 G2(x, t)ϕ(t)dt, (2.2.48) trong đó G2(x, t) là hàm Green G2(x, t) =  0, 0 ≤ t ≤ x ≤ 1,t− x, 0 ≤ x ≤ t ≤ 1. Ta có G2(x, t) ≥ 0 và max 0≤x≤1 ∫ 1 0 G2(x, t)dt = 1 2 . (2.2.49) Do đó, theo (2.2.48)ta có ‖u′′‖ = ‖v‖ ≤ 1 2 ‖ϕ‖. (2.2.50) Ta viết lại (2.2.48) dạng v(x) = ∫ 1 x (−x+ t)ϕ(t)dt. (2.2.51) 63 từ đây ta có v′(x) = − ∫ 1 x ϕ(t)dt, (2.2.52) và do đó ‖u′′′‖ = ‖v′‖ ≤ ‖ϕ‖. (2.2.53) Theo (2.2.35), (2.2.47), (2.2.50), (2.2.53) và ‖ϕ‖ ≤M ta có ‖u‖ ≤ M 8 , ‖y‖ ≤ M 6 , ‖v‖ ≤ 1 2 , ‖z‖ ≤M. (2.2.54) Do đó, (x, u, y, v, z) ∈ DM với x ∈ [0, 1]. Theo (2.2.46) và điều kiện (2.2.40), ta có Aϕ ∈ B[0,M ], tức là A là toán tử từ B[0,M ] vào chính nó. Giả sử ϕ1, ϕ2 ∈ B[O,M ] và u1, u2 là các nghiệm của bài toán (2.2.43) tương ứng với ϕ1, ϕ2. Ta ký hiệu yi = u ′ i, vi = u ′′ i , zi = v ′ i, (i = 1, 2). Khi đó, ta có (x, ui, yi, vi, zi) ∈ DM (i = 1, 2) với x ∈ [0, 1]. Từ đánh giá (2.2.54) ta có ‖u2 − u1‖ ≤ 1 8 ‖ϕ2 − ϕ1‖, ‖y2 − y1‖ ≤ 1 6 ‖ϕ2 − ϕ1‖, ‖v2 − v1‖ ≤ 1 2 ‖ϕ2 − ϕ1‖, ‖z2 − z1‖ ≤ ‖ϕ2 − ϕ1‖. (2.2.55) Từ (2.2.46) và (2.2.41) ta có |Aϕ2 − Aϕ1| = |f(x, u2, y2, v2, z2)− f(x, u1, y1, v1, z1)| ≤ c0|u2 − u1|+ c1|y2 − y1|+ c2|v2 − v1|+ c3|z2 − z1|. Với đánh giá (2.2.55) ta được ‖Aϕ2 − Aϕ1‖ ≤ (c0 8 + c1 6 + c2 2 + c3 ) ‖ϕ2 − ϕ1‖. Do đó, A là toán tử co trong B[O,M ] nếu điều kiện (2.2.42) được thỏa mãn. Bổ đề được chứng minh. Định lý 2.11. Với các giả thiết của Bồ đề 2.4, bài toán (2.2.30) có nghiệm duy nhất u và thỏa mãn đánh giá ‖u‖ ≤ M 8 , ‖u′‖ ≤ M 6 , ‖u′′‖ ≤ M 2 , ‖u′′′‖ ≤M. (2.2.56) 64 Chứng minh. Ta có nghiệm của bài toán (2.2.30) là hàm u(x) thu được từ các bài toán (2.2.36),(2.2.37), trong đó ϕ là điểm bất động duy nhất của A. Đánh giá (2.2.56) thực chất là đánh giá (2.2.54). Ta xét trường hợp đặc biệt của Định lý 2.11. Ký hiệu D+M = { (x, u, y, v, z)| 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ u ≤ M 8 ; 0 ≤ y ≤ M 6 ; 0 ≤ v ≤ M 2 ;−M ≤ z ≤ 0 } , (2.2.57) và SM = {ϕ ∈ C[0, 1] | 0 ≤ ϕ(x) ≤M} . Định lý 2.12. (Tính dương của nghiệm). Giả sử rằng trong D+M hàm f thỏa mãn 0 ≤ f(x, u, y, v, z) ≤M, (2.2.58) và thỏa mãn điều kiện Lipschitz (2.2.41). Khi đó, bài toán (2.2.30) có nghiệm không âm duy nhất. Chứng minh. Chứng minh định lý này tương tự như Định lý 2.11 sử dụng kết quả trong Bổ đề 2.4, trong đó thay DM và B[O,M ] bởi D+M and SM . Ta xây dựng phương pháp lặp và đánh giá sai số của nghiệm. Xét quá trình lặp sau: 1. Cho ϕ0(x) = f(x, 0, 0, 0, 0). (2.2.59) 2. Biết ϕk (k = 0, 1, ...) giải liên tiếp hai bài toán v′′k = ϕk(x), 0 < x < 1,vk(1) = v′k(1) = 0, (2.2.60) 65  u′′k = vk(x), 0 < x < 1,uk(0) = u′k(0) = 0. (2.2.61) 3. Cập nhật ϕk+1 = f(x, uk, u ′ k, vk, v ′ k). (2.2.62) Đặt pk = qk 1− q‖ϕ1 − ϕ0‖. Ta thu được các kết quả sau Định lý 2.13. Với các giả thiết của Bổ đề 2.4, phương pháp lặp trên hội tụ với tốc độ cấp số nhân và thỏa mãn các đánh giá ‖uk − u‖ ≤ pk 8 , ‖u′k − u′‖ ≤ pk 6 , ‖u′′k − u′′‖ ≤ pk 2 , ‖u′′′k − u′′′‖ ≤ pk, (2.2.63) trong đó u là nghiệm chính xác của bài toán (2.2.30). Chứng minh. Phương pháp lặp trên chính là phương pháp xấp xỉ liên tiếp tìm điểm bất động của toán tử A với xấp xỉ ban đầu (2.2.59) thuộc B[O,M ]. Do đó, nó hội tụ với tốc độ cấp số nhân và có đánh giá ‖ϕk − ϕ‖ ≤ q k 1− q‖ϕ1 − ϕ0‖. (2.2.64) Kết hợp đánh giá này với đánh giá (2.2.55) ta thu được (2.2.63). Do đó, định lý được chứng minh. Tính chất đơn điệu của quá trình lặp (2.2.59)-(2.2.62) cũng được chỉ ra. Bổ đề 2.5. (Tính chất đơn điệu). Giả sử tất cả các điều kiện của Bổ đề 2.4 được thỏa mãn. Hơn nữa, giả sử rằng hàm f(x, u, y, v, z) tăng theo u, y, v và giảm theo z với (x, u, y, v, z) ∈ DM . Khi đó, nếu ϕ(1)0 , ϕ(2)0 ∈ B[O,M ] là các xấp xỉ ban đầu và ϕ (1) 0 (x) ≤ ϕ(2)0 (x) với x ∈ [0, 1] thì các dãy u(1)k , u(2)k tạo ra bởi quá trình lặp thỏa mãn tính chất u (1) k (x) ≤ u(2)k (x), k = 0, 1, ...; x ∈ [0, 1]. 66 Chứng minh. Nghiệm của bài toán (2.2.36) biểu diễn dưới dạng v(x) = ∫ 1 0 G2(x, t)ϕ(t)dt, G(x, t) ≥ 0 (2.2.65) và z(x) = v′(x) = − ∫ 1 x ϕ(t)dt. (2.2.66) Tương tự, nghiệm của bài toán (2.2.37) biểu diễn dạng u(x) = ∫ 1 0 G∗2(x, t)v(t)dt, (2.2.67) trong đó G∗2(x, t) = G2(t, x) =  x− t, 0 ≤ t ≤ x ≤ 1,0, 0 ≤ x ≤ t ≤ 1, và y(x) = u′(x) = ∫ x 0 v(t)dt. (2.2.68) Ta biểu diễn nghiệm v (i) k , u (i) k của các bài toán (2.2.59)-(2.2.62) bởi (2.2.65), (2.2.67). Khi đó, ta có v (1) 0 (x)− v(2)0 (x) = ∫ 1 0 G2(x, t)[ϕ (1) 0 (t)− ϕ(2)0 (t)]dt. Vì G2(x, t) ≥ 0, ϕ(1)0 ≤ ϕ(2)0 ta có v(1)0 (x) − v(2)0 (x) ≤ 0, tức là v(1)0 (x) ≤ v (2) 0 (x). Tương tự, ta có u (1) 0 (x) ≤ u(2)0 (x). Hơn nữa, sử dụng tính chất của các tích phân (2.2.66), (2.2.68) ta được z (1) 0 (x) ≥ z(2)0 (x), y(1)0 (x) ≤ y(2)0 (x). Do đó, với giả thiết hàm f(x, u, y, v, z) tăng theo u, y, v và giảm theo z ta có ϕ (1) 1 (x) = f(x, u (1) 0 , y (1) 0 , v (1) 0 , z (1) 0 ) ≤ f(x, u(2)0 , y(1)0 , v(1)0 , z(1)0 ) ≤ f(x, u(2)0 , y(2)0 , v(1)0 , z(1)0 ) ≤ f(x, u(2)0 , y(2)0 , v(2)0 , z(1)0 ) ≤ f(x, u(2)0 , y(2)0 , v(2)0 , z(2)0 ) = ϕ(2)1 (x). 67 Vì thế, từ ϕ (1) 0 (x) ≤ ϕ(2)0 (x) ta được u(1)0 (x) ≤ u(2)0 (x) và ϕ(1)1 (x) ≤ ϕ(2)1 (x). Lý luận tương tự như trên, ta có u (1) 1 (x) ≤ u(2)1 (x). Tổng quát, ta thu được u (1) k (x) ≤ u(2)k (x). Từ Bổ đề 2.5 ta có định lý sau Định lý 2.14. Ký hiệu ϕmin = min (x,u,y,v,z)∈DM f(x, u, y, v, z), ϕmax = max (x,u,y,v,z)∈DM f(x, u, y, v, z). Với các giả thiết của Bổ đề 2.5, nếu bắt đầu từ ϕ0 = ϕmin ta thu được dãy uk(x) tăng, ngược lại, nếu bắt đầu từ ϕ0 = ϕmax ta thu được dãy ûk(x) giảm, cả hai dãy này hội tụ tới nghiệm chính xác u(x) của bài toán và uk(x) ≤ u(x) ≤ ûk(x). Chứng minh. Nếu bắt đầu quá trình lặp (2.2.59)-(2.2.62) từ ϕ0 = ϕmin thì theo Bổ đề 2.4 ta thu được u0(x), y0(x), v0(x), z0(x), sao cho (x, u0(x), y0(x), v0(x), z0(x)) ∈ DM . Do đó, ϕ1(x) = f(x, u0(x), y0(x), v0(x), z0(x)) ≥ ϕ0, x ∈ [0, 1]. Tiếp tục quá trình lặp ta thu được dãy lặp uk(x), k = 0, 1, ...Đặt ϕ (1) 0 (x) = ϕ0, ϕ (2) 0 (x) = ϕ1(x). Khi đó ϕ (1) 0 (x) ≤ ϕ(2)0 (x). Ký hiệu dãy lặp tạo ra bởi quá trình lặp từ ϕ (1) 0 và ϕ (2) 0 tương ứng là u (1) k (x) và u (2) k (x). Theo Bổ đề 2.5 ta có u (1) k (x) ≤ u(2)k (x). Ta có u(1)k (x) = uk(x), u(2)k (x) = uk+1(x), trong đó uk(x) là dãy lặp tạo ra bởi quá trình lặp với xấp xỉ ban đầu ϕ0 = ϕmin, từ quan hệ trên ta thu được uk(x) ≤ uk+1(x), (k = 0, 1, ...), tức là dãy uk là dãy tăng. 68 Nếu ϕmin ≥ 0 thì theo nguyên lý cực đại [44] ta có u0(x) ≥ 0 nên uk(x) ≥ 0 với mọi k ≥ 1 và do đó u(x) = lim k→∞ uk(x) ≥ 0, tức là, nghiệm của bài toán là không âm. Trường hợp nếu ϕ0 = ϕmax và ϕmax ≤ 0 chứng minh tương tự. Do đó, định lý được chứng minh. Định lý 2.15. (Nghiệm dưới và nghiệm trên). Giả sử ϕmin ≤ 0, ϕmax ≥ 0. Khi đó, hàm α(x) = u(x) thu được từ các bài toán v′′(x) = ϕmin, 0 < x < 1,v(1) = v′(1) = 0, u′′(x) = v(x), 0 < x < 1,u(0) = u′(0) = 0 là nghiệm dưới của bài toán (2.2.30) và hàm β(x) = u(x) thu được từ các bài toán  v′′(x) = ϕmax, 0 < x < 1,v(1) = v′(1) = 0, u′′(x) = v(x), 0 < x < 1,u(0) = u′(0) = 0 là nghiệm trên của bài toán (2.2.30), trong đó nghiệm dưới và nghiệm trên được hiểu như trong [37]. Chứng minh. Ta có α(4)(x) = u(4)(x) = ϕmin ≤ f(x, α(x), α′(x), α′′(x), α′′′(x)), α(0) = 0, α′(0) = 0, α′′(1) = α′′′(1) = 0. Do đó, α(x) là nghiệm dưới của bài toán (2.2.30). Tương tự, β(4)(x) = u(4)(x) = ϕmax ≥ f(x, β(x), β′(x)), β′′(x)), β′′′(x)), 69 β(0) = 0, β′(0) = 0, β′′(1) = β′′(1) = 0. Do đó, β(x) là nghiệm trên của bài toán (2.2.30). Theo phương pháp lặp (2.2.59)-(2.2.62), giải số bài toán biên (2.2.30) được đưa về bài toán tìm nghiệm của dãy bài to...có nghiệm thỏa mãn đánh giá |u(x)| ≤ M 24 , |u′(x)| ≤ M 12 , |u′′(x)| ≤ M 8 , |u′′′(x)| ≤ M 2 , |v(x)| ≤ M 24 , |v′(x)| ≤ M 12 , |v′′(x)| ≤ M 8 , |v′′′(x)| ≤ M 2 , (3.2.19) với mọi 0 ≤ x ≤ 1. Chứng minh. Vì bài toán ban đầu (3.2.1)-(3.2.2) được đưa về phương trình toán tử (3.2.6), nên định lý sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra phương trình toán tử này có nghiệm. Để chứng minh điều đó, trước tiên ta chỉ ra toán tử T xác định bởi (3.2.7) ánh xạ B[0,M ] vào chính nó. Thật vậy, giả sử w là phần tử trong B[O,M ]. Nghiệm của bài toán (3.2.1)-(3.2.2) có thể biểu diễn dạng u(x) = ∫ 1 0 G(x, t)ϕ(t)dt, v(x) = ∫ 1 0 G(x, t)ψ(t)dt, (3.2.20) trong đó ϕ(x), ψ(x) xác định bởi (3.2.13). Theo Ví dụ 1.3, Chương 1 hàm Green G(x, t) có dạng G(x, t) =  −t 3 6 + t2x 2 − tx 2 2 + tx3 6 , 0 ≤ t ≤ x ≤ 1, tx3 6 − x 3 6 , 0 ≤ x ≤ t ≤ 1. và cặp hàm số (u(x), v(x)) ∈ E với E = C4[0, 1]× C4[0, 1]. Từ (3.2.20) ta có  u′(x) = ∫ 1 0 G1(x, t)ϕ(t)dt, v′(x) = ∫ 1 0 G1(x, t)ψ(t)dt, (3.2.21) trong đó G1(x, t) =  t2 2 − tx+ tx 2 2 , 0 ≤ t ≤ x ≤ 1 tx2 2 − x 2 2 , 0 ≤ x ≤ t ≤ 1. 102 Ta có max 0≤x≤1 ∫ 1 0 |G(x, t)|dt = 1 24 , max 0≤x≤1 ∫ 1 0 |G1(x, t)|dt = 1 12 . (3.2.22) Do đó, từ (3.2.20)-(3.2.22) ta được ‖u‖ ≤ 1 24 ‖ϕ‖, ‖u′‖ ≤ 1 12 ‖ϕ‖, ‖v‖ ≤ 1 24 ‖ψ‖, ‖v′‖ ≤ 1 12 ‖ψ‖. (3.2.23) Để đánh giá ‖u′′‖ và ‖u′′′‖ ta thấy nghiệm của các bài toán (3.2.8), (3.2.10) có thể biểu diễn dạng u2(x) = ∫ 1 0 G2(x, t)ϕ(t)dt, v2(x) = ∫ 1 0 G2(x, t)ψ(t)dt, (3.2.24) trong đó G2(x, t) là hàm Green G2(x, t) =  −t+ tx, 0 ≤ t ≤ x ≤ 1,tx− x, 0 ≤ x ≤ t ≤ 1. Ta có max 0≤x≤1 ∫ 1 0 |G2(x, t)|dt = 1 8 . (3.2.25) Do đó, theo (3.2.24) ta có ‖u′′‖ = ‖u2‖ ≤ 1 8 ‖ϕ‖, ‖v′′‖ = ‖v2‖ ≤ 1 8 ‖ψ‖. (3.2.26) Viết lại (3.2.24) dưới dạng u2(x) = ∫ x 0 (−t+ tx)ϕ(t)dt+ ∫ 1 x (tx− x)ϕ(t)dt, v2(x) = ∫ x 0 (−t+ tx)ψ(t)ds+ ∫ 1 x (tx− x)ψ(t)dt. (3.2.27) Từ đây ta có u3(x) = u′2(x) = ∫ x 0 tϕ(t)dt+ ∫ 1 x (t− 1)ϕ(t)dt = ∫ 1 0 G3(x, t)ϕ(t)dt, v3(x) = v ′ 2(x) = ∫ x 0 tψ(t)dt+ ∫ 1 x (t− 1)ψ(t)dt = ∫ 1 0 G3(x, t)ψ(t)dt, (3.2.28) 103 trong đó G3(x, t) là các hàm liên tục trong hình vuông [0, 1] 2 ngoại trừ đường thẳng t = x G3(x, t) =  t, 0 ≤ t < x ≤ 1,t− 1, 0 ≤ x < t ≤ 1. Do vậy, ‖u′′′‖ = ‖u3‖ ≤ M 2 ‖ϕ‖, ‖v′′′‖ = ‖v3‖ ≤ M 2 ‖ψ‖. (3.2.29) Theo (3.2.23), (3.2.26), (3.2.29) và ‖w‖ = max{‖ϕ‖, ‖ψ‖} ≤M ta có ‖u‖ ≤ M 24 , ‖u1‖ ≤ M 12 , ‖u2‖ ≤ M 8 , ‖u3‖ ≤ M 2 , ‖v‖ ≤ M 24 , ‖v1‖ ≤ M 12 , ‖v2‖ ≤ M 8 , ‖v3‖ ≤ M 2 . (3.2.30) Do đó, (x, U, V ) ∈ DM với x ∈ [0, 1]. Từ định nghĩa của T bởi (3.2.7), (3.2.17) và điều kiện (3.2.18), ta có Tw ∈ B[0,M ], tức là toán tử T ánh xạ B[0,M ] và chính nó. Tiếp theo, ta chứng minh toán tử T là compact trong F . Theo (3.2.20), (3.2.21), (3.2.24) và (3.2.28) ta có uϕ(x) = ∫ 1 0 G(x, t)ϕ(t)dt, vψ(x) = ∫ 1 0 G(x, t)ψ(t)dt, (3.2.31)  u′ϕ(x) = ∫ 1 0 G1(x, t)ϕ(t)dt, v′ψ(x) = ∫ 1 0 G1(x, t)ψ(t)dt, (3.2.32)  u′′ϕ(x) = ∫ 1 0 G2(x, t)ϕ(t)dt, v′′ψ(x) = ∫ 1 0 G2(x, t)ψ(t)dt. (3.2.33)  u′′′ϕ (x) = ∫ 1 0 G3(x, t)ϕ(t)dt, v′′′ψ (x) = ∫ 1 0 G3(x, t)ψ(t)dt. (3.2.34) 104 Từ Định lý 1.3, Chương 1 ta suy ra các toán tử tích phân trong (3.2.31)- (3.2.34) là các toán tử compact. Vì thế, do tính liên tục của các hàm f(x, U, V ), h(x, U, V ) nên ta có toán tử T xác định bởi (3.2.7) là toán tử co trong không gian F . Do đó, T là toán tử compact từ hình cầu đóng B[0,M ]) vào chính nó. Theo Định lý điểm bất động Schauder (Định lý 1.4, Chương 1) phương trình toán tử (3.2.6) có nghiệm. Định lý được chứng minh. Trước khi đưa ra định lý về dấu của nghiệm, ta ký hiệu D++M = { (x, u, u1, u2, u3, v, v1, v2, v3)} | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ u ≤ M 24 , 0 ≤ u1 ≤ M 12 , 0 ≤ u2 ≤ M 8 , |u3| ≤ M 2 , 0 ≤ v ≤ M 24 , 0 ≤ v1 ≤ M 12 , 0 ≤ v2 ≤ M 8 , |v3| ≤ M 2 } , và S−−M = {w ∈ F | −M ≤ ϕ(x) ≤ 0, −M ≤ ψ(x) ≤ 0} . Tương tự, ký hiệu D−−M , S ++ M , D +− M , S −+ M , D −+ M , S +− M như sau: D−−M = { (x, u, u1, u2, u3, v, v1, v2, v3)| 0 ≤ x ≤ 1, − M 24 ≤ u ≤ 0,−M 12 ≤ u1 ≤ 0, −M 8 ≤ u2 ≤ 0, |u3| ≤ M 2 , − M 24 ≤ v ≤ 0,−M 12 ≤ v1 ≤ 0, −M 8 ≤ v2 ≤ 0, |v3| ≤ M 2 } , và S++M = {w ∈ F | 0 ≤ ϕ(x) ≤M, 0 ≤ ψ(x) ≤M} ; D+−M = { (x, u, u1, u2, u3, v, v1, v2, v3)| 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ u ≤ M 24 , 0 ≤ u1 ≤ M 12 , 0 ≤ u2 ≤ M 8 , |u3| ≤ M 2 , − M 24 ≤ v ≤ 0,−M 12 ≤ v1 ≤ 0, −M 8 ≤ v2 ≤ 0, |v3| ≤ M 2 } , 105 và S−+M = {w ∈ F | −M ≤ ϕ(x) ≤ 0, 0 ≤ ψ(x) ≤M} ; D−+M = { (x, u, u1, u2, u3, v, v1, v2, v3), 0 ≤ x ≤ 1, − M 24 ≤ u ≤ 0, −M 12 ≤ u1 ≤ 0, −M 8 ≤ u2 ≤ 0, |u3| ≤ M 2 , 0 ≤ v ≤ M 24 , 0 ≤ v1 ≤ M 12 , 0 ≤ v2 ≤ M 8 , |v3| ≤ M 2 } , và S+−M = {w ∈ F | 0 ≤ ϕ(x) ≤M, −M ≤ ψ(x) ≤ 0} . Ta xét một số trường hợp đặc biệt của Định lý 3.9. Định lý 3.10. (Tính dương hoặc âm của nghiệm.) (i) Giả sử rằng trong D++M các hàm f, h liên tục và −M ≤ f(x, U, V ) ≤ 0, −M ≤ h(x, U, V ) ≤ 0. (3.2.35) Khi đó, bài toán (3.2.1)-(3.2.2) có nghiệm (u(x), v(x)) với tính chất u(x) ≥ 0, u′(x) ≥ 0, u′′(x) ≥ 0, v(x) ≥ 0, v′(x) ≥ 0, v′′(x) ≥ 0. (ii) Giả sử rằng trong D−−M các hàm f, h liên tục và 0 ≤ f(x, U, V ) ≤M, 0 ≤ h(x, U, V ) ≤M. (3.2.36) Khi đó, bài toán (3.2.1)-(3.2.2) có nghiệm (u(x), v(x))với tính chất u(x) ≤ 0, u′(x) ≤ 0, u′′(x) ≤ 0, v(x) ≤ 0, v′(x) ≤ 0, v′′(x) ≤ 0. (iii) Giả sử rằng trong D+−M các hàm f, h liên tục và −M ≤ f(x, U, V ) ≤ 0, 0 ≤ h(x, U, V ) ≤M. (3.2.37) Khi đó, bài toán (3.2.1)-(3.2.2) có nghiệm (u(x), v(x))với tính chất u(x) ≥ 0, u′(x) ≥ 0, u′′(x) ≥ 0, v(x) ≤ 0, v′(x) ≤ 0, v′′(x) ≤ 0. (iv) Giả sử rằng trong D−+M các hàm f, h liên tục và 0 ≤ f(x, U, V ) ≤M, −M ≤ h(x, U, V ) ≤ 0. (3.2.38) 106 Khi đó, bài toán (3.2.1)-(3.2.2) có nghiệm (u(x), v(x))với tính chất u(x) ≤ 0, u′(x) ≤ 0, u′′(x) ≤ 0, v(x) ≥ 0, v′(x) ≥ 0, v′′(x) ≥ 0. Chứng minh. Sự tồn tại nghiệm (u(x), v(x)) của bài toán trong trường hợp (i) được chứng minh tương tự như trong Định lý 3.9, trong đó thay DM và B[0,M ] bởi D++M và S−−M . Dấu của u(x), v(x) và các đạo hàm của nó thu được từ các biểu diễn (3.2.20), (3.2.21), (3.2.24) với chú ý dấu của ϕ(x), ψ(x) và G(x, t), G1(x, t), G2(x, t)là các hàm không dương. Chứng minh các trường hợp (ii), (iii) và (iv) tương tự như (i), trong đó thay cặp (D++M , S−−M ) tương ứng bởi các cặp (D−−M , S++M ), (D+−M , S−+M ) và (D−+M , S−+M ). Định lý được chứng minh. Ký hiệu ui1 = (u i)′, ui2 = (u i)′′, ui3 = (u i)′′′; vi1 = (v i)′, vi2 = (v i)′′, vi3 = (v i)′′′; U i = (ui, ui1, u i 2, u i 3), V i = (vi, vi1, v i 2, v i 3); ϕi = f(x, U i, V i), ψi = h(x, U i, V i), i = 1, 2. Định lý 3.11. (Tính duy nhất của nghiệm). Giả sử rằng tồn tại các số ci, di ≥ 0 (i = 0, ..., 7) sao cho |f(x, U2, V 2)− f(x, U 1, V 1)| ≤ c0|u2 − u1|+ c1|u21 − u11|+ c2|u22 − u12|+ c3|u23 − u13| + c4|v2 − v1|+ c5|v21 − v11|+ c6|v22 − v12|+ c7|v23 − v13|, (3.2.39) |h(x, U2, V 2)− h(x, U1, V 1)| ≤ d0|u2 − u1|+ d1|u21 − u11|+ d2|u22 − u12|+ d3|u23 − u13| + d4|v2 − v1|+ d5|v21 − v11|+ d6|v22 − v12|+ d7|v23 − v13|, (3.2.40) với (x, U, V ), (x, U j, V j) ∈ [0, 1]× R8 (j = 1, 2), và q := max{q1, q2} < 1 (3.2.41) 107 với q1 := c0 + c4 24 + c1 + c5 12 + c2 + c6 8 + c3 + c7 2 , q2 := d0 + d4 24 + d1 + d5 12 + d2 + d6 8 + d3 + d7 2 . (3.2.42) Khi đó nghiệm của bài toán (3.2.1)-(3.2.2) là duy nhất nếu nó tồn tại. Chứng minh. Giả sử bài toán có hai nghiệm (u1(x), v1(x)) và (u2(x), v2(x)). Vì đánh giá (3.2.30) ta có ‖u2 − u1‖ ≤ 1 24 ‖ϕ2 − ϕ1‖, ‖u21 − u11‖ ≤ 1 12 ‖ϕ2 − ϕ1‖, ‖u22 − u12‖ ≤ 1 8 ‖ϕ2 − ϕ1‖, ‖u23 − u13‖ ≤ 1 2 ‖ϕ2 − ϕ1‖ ‖v2 − v1‖ ≤ 1 24 ‖ψ2 − ψ1‖, ‖v21 − v11‖ ≤ 1 12 ‖ψ2 − ψ1‖, ‖v22 − v12‖ ≤ 1 8 ‖ψ2 − ψ1‖, ‖v23 − v13‖ ≤ 1 2 ‖ψ2 − ψ1‖. (3.2.43) Từ (3.2.39), (3.2.40) và (3.2.43) ta có ‖w2 − w1‖ = max {‖f(x, U2, V 2)− f(x, U 1, V 1)‖, ‖h(x, U2, V 2)− h(x, U1, V 1)‖} ≤ max {q1 max{‖ϕ2 − ϕ1‖, ‖ψ2 − ψ1‖}, q2 max{‖ϕ2 − ϕ1‖, ‖ψ2 − ψ1‖}} ≤ q‖w2 − w1‖ (3.2.44) với q1 = c0 + c4 24 + c1 + c5 12 + c2 + c6 8 + c3 + c7 2 , q2 = d0 + d4 24 + d1 + d5 12 + d2 + d6 8 + d3 + d7 2 , q = max{q1, q2}. Vì q < 1 bất phương trình (3.2.44) chỉ xảy ra khi w2 = w1. Điều này suy ra u2 = u1 và v2 = v1. Do đó, định lý được chứng minh. Kết hợp các Định lý 3.9 và Định lý 3.11 ta thu được kết quả sau. 108 Định lý 3.12. (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Giả sử tồn tại các số M, ci, di ≥ 0 (i = 0, .., 7) sao cho các điều kiện (3.2.18), (3.2.39), (3.2.40) của Định lý 3.9 và Định lý 3.11 thỏa mãn với mọi (x, U, V ), (x, U j, V j) ∈ DM (j = 1, 2), và q, q1, q2 định nghĩa trong (3.2.41)-(3.2.42). Khi đó, bài toán (3.2.1)-(3.2.2) có nghiệm duy nhất (u(x), v(x)) và thỏa mãn các đánh giá như trong (3.2.19). Chứng minh. Với các giả thiết (3.2.18), như chứng minh trong Định lý 3.9 ta có toán tử T xác định bởi (3.2.7) là ánh xạ từ hình cầu đóng B[0,M ] vào chính nó. Với điều kiện Lipschitz (3.2.39), (3.2.40), theo chứng minh Định lý 3.11 chỉ ra T là ánh xạ co từ hình cầu đóng B[0,M ] vào chính nó. Theo nguyên lý ánh xạ co, toán tử T có một điểm bất động duy nhất trong B[0,M ], tương ứng đó chính là nghiệm (u(x), v(x)) của bài toán (3.2.1)-(3.2.2). Các đánh giá của u(x), v(x), u′′(x) và v′′(x) thu được như trong Định lý 3.9. Do đó, định lý được chứng minh. Chú ý rằng Định lý 3.11 điều kiện Lipschitz đòi hỏi phải thỏa mãn trong [0, 1]×R8, trong khi Định lý 3.12, do điều kiện (3.2.18) nên nó chỉ đòi hỏi trong DM . Xét quá trình lặp sau: 1. Cho w0 = (ϕ0(x), ψ0(x)) ∈ B[0,M ]. (3.2.45) 2. Biết wk = (ϕk, ψk) (k = 0, 1, ...) giải liên tiếp các bài toán u′′2k = ϕk(x), 0 < x < 1,u2k(0) = u2k(1) = 0, (3.2.46) u′′k = u2k(x), 0 < x < 1,uk(0) = u′k(0) = 0, (3.2.47) 109  v′′2k = ψk(x), 0 < x < 1,v2k(0) = v2k(1) = 0, (3.2.48) v′′k = v2k(x), 0 < x < 1,vk(0) = v′k(0) = 0. (3.2.49) 3. Cập nhật  ϕk+1 = f(x, Uk, Vk),ψk+1 = h(x, Uk, Vk). (3.2.50) Đặt pk = qk 1− q‖w1 − w0‖F . Ta thu được các kết luận sau Định lý 3.13. Với các giả thiết của Định lý 3.12 phương pháp lặp trên hội tụ với tốc độ cấp số nhân và thỏa mãn các đánh giá ‖sk − s‖F ≤ pk 24 , ‖s′k − s′‖F ≤ pk 12 , ‖s′′k − s′′‖F ≤ pk 8 , ‖s′′′k − s′′′‖F ≤ pk 2 , (3.2.51) trong đó s = (u, v) là nghiệm chính xác của bài toán (3.2.1)-(3.2.2), sk = (uk, vk) là nghiệm xấp xỉ của bài toán (3.2.1)-(3.2.2) ở bước thứ k. Chứng minh. Phương pháp lặp trên chính là phương pháp xấp xỉ liên tiếp tìm điểm bất động của toán tử T với xấp xỉ ban đầu (3.2.45) thuộc B[O,M ]. Do đó, nó hội tụ với tốc độ cấp số nhân và có đánh giá ‖wk − w‖F ≤ q k 1− q‖w1 − w0‖F . (3.2.52) Kết hợp với các đánh giá (3.2.43) ta thu được (3.2.51) và định lý được chứng minh. Để giải số theo phương pháp lặp, ta sử dụng lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn cho bài toán (3.2.46)-(3.2.49) trên lưới đều ωh = {xi = 110 ih, i = 0, 1, ..., N ; h = 1/N}. Phép lặp thực hiện cho đến khi ek = ‖sk − sk−1‖ ≤ 10−16. (3.2.53) Trong bảng kết quả tính toán N là số điểm lưới, errork = ‖sk−sd‖, trong đó sd = (ud, vd) là nghiệm chính xác của bài toán (3.2.1)-(3.2.2). Dưới đây là một số ví dụ mà không thỏa mãn Định lý [38, Định lý 6] nên theo bài báo này không đảo bảm được sự tồn tại nghiệm của bài toán, nhưng sử dụng lý thuyết chúng tôi đưa ra có thể thiết lập được sự tồn tại và duy nhất nghiệm và phương pháp lặp hội tụ. Ví dụ 3.4. Xét bài toán giá trị biên u(4)(x) = cos ( −sinpix pi2 − u′′(x) ) − ( u′′′(x) 3 )3 − v2(x)− v ′(x) 5 + sin pix 5pi5 + x2 5pi4 − x 5pi4 + ( −cos pix pi6 + x3 3pi4 − x 2 2pi4 + 1 pi6 )2 + sin pix− (cos pix 3pi )3 − 1, 0 < x < 1 v(4)(x) = −u2 − u′ + cos ( cospix pi4 + 2x pi4 − 1 pi4 − v′′ ) − v ′′′(x) 3 + ( sin pix pi4 − x pi3 )2 + 1 3 ( −sin pix pi3 + 2 pi4 ) − cos pix pi2 + cos pix pi3 − 1 pi3 − 1, 0 < x < 1 u(0) = u′(0) = u′′(0) = u′′(1) = 0, v(0) = v′(0) = v′′(0) = v′′(1) = 0. Nghiệm chính xác của bài toán là u(x) = sin(pix) pi4 − x pi3 , v(x) = −cos(pix) pi6 + x3 3pi4 − x 2 2pi4 + 1 pi6 . 111 Trong ví dụ này f(x, U, V ) = cos ( −sin pix pi2 − u2 ) − (u3 3 )3 − v2 − v1 5 + sin pix 5pi5 + x2 5pi4 − x 5pi4 + ( −cos pix pi6 + x3 3pi4 − x 2 2pi4 + 1 pi6 )2 + sin pix− (cos pix 3pi )3 − 1, h(x, U, V ) =− u2 − u1 + cos ( cos pix pi4 + 2x pi4 − 1 pi4 − v2 ) − v3 3 + ( sin pix pi4 − x pi3 )2 + 1 3 ( −sin pix pi3 + 2 pi4 ) − cos pix pi2 + cos pix pi3 − 1 pi3 − 1. Ta thấy hàm f(x, u, u1, u2, u3, v, v1, v2, v3) không thỏa mãn điều kiện Nagumo với biến u3, do đó [38, Định lý 6] không đảm bảo sự tồn tại nghiệm của bài toán. Dưới đây, sử dụng các kết quả lý thuyết chúng tôi đưa ra ở trên chỉ ra bài toán có nghiệm duy nhất và phương pháp lặp hội tụ. Trước tiên, chọn M sao cho max{|f |, |h|} ≤M . Ta có |f | ≤ 1 + ( M 6 )3 + ( M 24 )2 + M 60 + 1 5pi5 + 1 5pi4 + 1 5pi4 + ( 1 pi6 + 1 3pi4 + 1 2pi4 + 1 pi6 )2 + 1 + 1 27pi3 + 1 ≈ ( M 6 )3 + ( M 24 )2 + M 60 + 3.006, |h| ≤ ( M 24 )2 + M 12 + 1 + M 6 + ( 1 pi4 + 1 pi3 )2 + 1 3 ( 1 pi3 + 2 pi4 ) + 1 + 1 + 1 pi3 + 1 ≈ ( M 24 )2 + M 4 + 2.1852 112 Bảng 3.1: Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.4. N k errork 30 12 3.7122e− 08 50 12 4.8556e− 09 100 12 3.0467e− 10 500 12 4.9041e− 13 900 12 3.8684e− 14 Số M có thể xác định từ bất phương trình max{|f |, |h|} ≤M Rõ ràng, M = 4 là lựa chọn phù hợp. Khi đó trong miền D4, vì f ′u = 0, f ′ u1 = 0, f ′u2 = sin ( −sinpix pi2 − u2 ) , f ′u3 = − (u3 3 )2 , f ′v = −2v, f ′v1 = − 1 5 , f ′v2 = 0, f ′ v3 = 0, h′u = −2u, h′u1 = −1, h′u2 = 0, h′u3 = 0, h′v = 0, h ′ v1 = 0, h′v2 = sin ( cos pix pi4 + 2x pi4 − 1 pi4 − v2 ) , h′v3 = − 1 3 . Do đó, ta có thể lấy c0 = c1 = 0, c2 = 1, c3 = 4 9 , c4 = 1 3 , c5 = 1 5 , c6 = c7 = 0, d0 = 1 3 , d1 = 1, d2 = d3 = d4 = d5 = 0, d6 = 1, d7 = 1 3 . Do đó q = max { ( c0 + c4 24 + c1 + c5 12 + c2 + c6 8 + c3 + c7 2 ), ( d0 + d4 24 + d1 + d5 12 + d2 + d6 8 + d3 + d7 2 ) } ≈ 0.389 < 1. Tất cả các điều kiện của Định lý 3.12 được thỏa mãn. Do đó, bài toán có nghiệm duy nhất và phương pháp lặp hội tụ. Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.4 được cho trong Bảng 3.1 và Hình 3.4. Từ bảng 3.1 ta thấy sự hội tụ của phương pháp lặp không phụ thuộc vào cỡ lưới. Từ Hình 3.4 ta thấy sai số giữa 2 nghiệm xấp xỉ ở hai bước 113 0 2 4 6 8 10 12 10−18 10−16 10−14 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 count−axis e (co un t)− ax is Hình 3.4: Đồ thị của ek trong Ví dụ 3.4 với N = 100. lặp liên tiếp giảm rất nhanh theo tốc độ cấp số nhân. Trong các ví dụ tiếp theo, nghiệm chính xác của bài toán (3.2.1)-(3.2.2) chưa biết. Ví dụ 3.5. Xét bài toán u(4)(x) = −u ′′′ 24 − uu′′ − e −v 2 − e −v′ 3 , 0 < x < 1 v(4)(x) = −e−u − uv′ + (v ′′′)3 12 , 0 < x < 1 u(0) = u′(0) = u′′(0) = u′′(1) = 0, v(0) = v′(0) = v′′(0) = v′′(1) = 0. Trong ví dụ này f(x, U, V ) = −u3 24 − uu2 − e −v 2 − e −v1 3 , h(x, U, V ) = −e−u − uv1 + (v3) 3 12 . Như Ví dụ 3.4, ở đây hàm h không thỏa mãn điều kiện điều kiện Nagumo 114 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 u v t−axis su lu tio n− ax is Hình 3.5: Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.5. với biến v3, do đó, [38, Định lý 6] không đảm bảo sự tồn tại nghiệm của bài toán. Tương tự như Ví dụ 3.4 ta có thể chọn M = 2, và khi đó các hệ số Lipschitz trong Định lý 3.12 là c0 = 1 4 , c1 = 0, c2 = 1 2 , c3 = 1 24 , c4 ≈ 0.5435, c5 ≈ 0.3938, c6 = c7 = 0, d0 ≈ 1.2536, d1 = d2 = d3 = d4 = 0, d5 = 1 12 , d6 = 0, d7 = 1 4 . Do đó, q ≈ 0.1842 < 1. Tất cả các điều kiện của Định lý 3.12 được thỏa mãn. Vì vậy, bài toán có nghiệm duy nhất (u, v) và phương pháp lặp hội tụ. Thực nghiệm số với N = 100 chỉ ra với điều điều kiện dừng (3.2.53) quá trình lặp sau k = 8 bước và e8 = 4.1633e − 17. Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.5 được minh họa trong Hình 3.5. 115 Hơn nữa, nghiệm này thỏa mãn u ≥ 0, v ≥ 0. Thật vậy, xét trong miền D++2 = { (x, u, u1, u2, u3, v, v1, v2, v3)| 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ u ≤ 1 12 ; 0 ≤ u1 ≤ 1 6 , 0 ≤ u2 ≤ 1 4 , |u3| ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 12 , 0 ≤ v1 ≤ 1 6 , 0 ≤ v2 ≤ 1 4 , |v3| ≤ 1 } , và trong dải S−−2 S−−2 = { w ∈ (C[0, 1])2 | − 2 ≤ ϕ(x) ≤ 0, −2 ≤ ψ(x) ≤ 0} . Khi đó, trong D++2 ta có −2 ≤ f(x, U, V ) ≤ 0, −2 ≤ h(x, U, V ) ≤ 0 và tất cả các điều kiện của Định lý 3.10 (i) được thỏa mãn. Do đó, bài toán có nghiệm duy nhất (u ≥ 0, v ≥ 0). Ví dụ 3.6. Xét bài toán u(4)(x) = −uv − e−u/2 − |v′′′|1/2, 0 < x < 1 v(4)(x) = −u′3v′ − v′′ − ( u′′′ 12 )3 − 1, 0 < x < 1 u(0) = u′(0) = u′′(0) = u′′(1) = 0, v(0) = v′(0) = v′′(0) = v′′(1) = 0. Trong ví dụ này f(x, U, V ) = −uv − e−u/2 − |v3|1/2, h(x, U, V ) = −u31v1 − v2 − (u3 12 )3 − 1. Như Ví dụ 3.5, ở đây hàm h không thỏa mãn điều kiện điều kiện Nagumo với biến u3, do đó, [38, Định lý 6] không đảm bảo sự tồn tại nghiệm của bài toán. 116 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 u v t−axis su lu tio n− ax is Hình 3.6: Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.6. Tương tự như Ví dụ 3.4 ta có thể chọn M = 3 sao cho max{|f |, |h|} ≤ M . Trong ví dụ này, hàm f không thỏa mãn điều kiện Lipshitz, nhưng trong D3 tất cả các điều kiện của Định lý 3.9 được thỏa mãn. Do đó, bài toán có nghiệm. Thực nghiệm số với N = 100 chỉ ra với điều kiện dừng (3.2.53) quá trình lặp thực hiện k = 16 bước và e16 = 6.2450e− 17. Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.6 được minh họa trong Hình 3.6. Hơn nữa, nghiệm này thỏa mãn u ≥ 0, v ≥ 0. Thật vậy, xét trong miền D++3 = { (x, u, u1, u2, u3, v, v1, v2, v3)| 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ u ≤ 1 8 ; 0 ≤ u1 ≤ 1 4 , 0 ≤ u2 ≤ 3 8 , |u3| ≤ 3 2 , 0 ≤ v ≤ 1 8 , 0 ≤ v1 ≤ 1 4 , 0 ≤ v2 ≤ 3 8 , |v3| ≤ 3 2 } , và trong dải S−−3 S−−3 = { w ∈ (C[0, 1])2 | − 3 ≤ ϕ(x) ≤ 0, −3 ≤ ψ(x) ≤ 0} . 117 Trong miền D++3 , ta có −3 ≤ f(x, U, V ) ≤ 0, −3 ≤ h(x, U, V ) ≤ 0 và các điều kiện của Định lý 3.10 (i) được thỏa mãn. Do đó, bài toán có nghiệm (u ≥ 0, v ≥ 0). KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 Trong chương 3, tiếp tục phát triển các kỹ thuật của chương 2, chúng tôi nghiên cứu định tính và phương pháp lặp giải hai bài toán biên đối với hệ hai phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ. Các kết quả đạt được là: - Chứng minh được sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất về dấu đối với nghiệm của các bài toán dưới các điều kiện dễ kiểm tra. - Đề xuất phương pháp lặp giải các hệ phương trình và chứng minh sự hội tụ của phương pháp với tốc độ cấp số nhân. - Xây dựng một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý thuyết, bao gồm các ví dụ mà sự tồn tại hoặc tính duy nhất nghiệm của chúng không được bảo đảm bởi các tác giả khác do không thỏa mãn các điều kiện trong các định lý của họ. - Thực hiện các thực nghiệm tính toán minh họa sự hội tụ của phương pháp lặp. 118 KẾT LUẬN CHUNG Luận án đề xuất phương pháp nghiên cứu định tính và phương pháp lặp giải bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bài toán về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải. Các kết quả chính của luận án bao gồm: 1. Thiết lập được sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất đối với nghiệm cùng phương pháp lặp giải một số bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ. 2. Đối với hệ phương trình, thiết lập được sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất về dấu của nghiệm, xây dựng phương pháp lặp giải một số bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ. 3. Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví dụ mà sự tồn tại hoặc tính duy nhất nghiệm của chúng không được bảo đảm bởi lý thuyết của các tác giả khác. 4. Thực hiện các thực nghiệm tính toán minh họa sự hội tụ của phương pháp lặp. 119 Hướng phát triển 1. Nghiên cứu giải bài toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân cấp cao hơn với các điều kiện biên khác. 2. Nghiên cứu giải bài toán biên phi tuyến đối với phương trình đạo hàm riêng cấp bốn và cấp cao hơn với một số loại điều kiện biên. 3. Nghiên cứu giải bài toán biên phi tuyến đối với hệ phương trình vi phân cấp bốn và cấp cao hơn với các điều kiện biên phức tạp hơn. 120 Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án [A1] Q.A. Dang, T.K.Q. Ngo (2017), Existence results and iterative method for solving the cantilever beam equation with fully nonlinear term, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 36, pp. 56-68 (ISI). [A2] Q.A. Dang, Q.L. Dang, T.K.Q. Ngo (2017), A novel efficient method for fourth order nonlinear boundary value problems, Numerical Algo- rithms, 76(2), 427-439 (ISI). [A3] Q.A. Dang, T.K.Q. Ngo (2018), New fixed point approach for a fully nonlinear fourth order boundary value problem, Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, v. 36(4), pp. 209-223. (SCOPUS). [A4] Q.A. Dang, T.K.Q. Ngo (2016), Numerical solution of a fully fourth order nonlinear problem, Advances in Information and Communica- tion Technology, Proceedings of the International Conference, Springer, Volume 538, pp. 413-430. [A5] T.K.Q. Ngo, Q.A. Dang (2017), Existence results and iterative method for solving systems of bending elastic beam equations, Journal of Math- ematical Applications, Vol. 15, (accepted). [A6] Q.A. Dang, T.K.Q. Ngo (2017), Existence results and iterative method for solving systems of coupled beams equations with fully nonlinear terms, submitted to Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 121 Tài liệu tham khảo [1] A.R. Aftabizadeh (1986), "Existence and uniqueness theorems for fourth-order boundary value problems", J. Math. Anal. Appl., 116, pp. 415–426. [2] E. Alves, T.F. Ma, M.L. Pelicer (2009), "Monotone positive solutions for a fourth order equation with nonlinear boundary conditions", Non- linear Anal., 71, pp. 3834–3841. [3] P. Amster, P. P. Cardenas Alzate (2008), "A shooting method for a nonlinear beam equation", Nonlinear Anal., 68, pp. 2072–2078. [4] Y. An, (2002), "Nonlinear perturbations of a coupled system of steady state suspension bridge equations", Nonlinear Anal., 51, pp. 1285–1292. [5] P.K. Anh, V.H. Tich (1983), "An iterative method for general periodic BVPs.", Ukrain. Math. J., 35 (3), pp. 348-352. [6] P.K. Anh (1987), "An approximate method for multipoint BVPs at resonance", Ukrain. Math. J., 39 (5), pp.619-624. [7] P.K. Anh (1991), "An iterative method for nonlinear BVPs at reso- nance", Ukrain. Math. J., 43 (5), pp. 663-674. 122 [8] Z. Bai, W. Ge, Y. Wang (2004), "The method of lower and upper solutions for some fourth-order equations", Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Volume 5, Issue 1, Article 13. [9] Z. Bai (2007), "The upper and lower solution method for some fourth- order boundary value problems", Nonlinear Anal., 67, pp. 1704-1709. [10] A. Cabada, J. Fialho, F. Minhós (2013), "Extremal solutions to fourth order discontinuous functional boundary value problems", Math. Nachr., 286, pp. 1744–1751. [11] A. Cabada, S. Tersian (2013), "Multiplicity of solutions of a two point boundary value problem for a fourth-order equation", Appl. Math. Comput., 219, pp. 5261–5267. [12] A. Cabada, F. Minhós (2008), "Fully nonlinear fourth order equations with functional boundary conditions", J. Math. Anal. Appl., 340/1, pp. 239–251. [13] Q.A. Dang, (2006) "Iterative method for solving the Neumann bound- ary value problem for biharmonic type equation, J. Comput. Appl. Math., 196, pp. 634–643. [14] Q.A. Dang and T.L. Vu (2010), "Iterative method for solving a non- linear fourth order boundary value problem", Computers and Mathe- matics with Applications, 60, pp. 112-121. [15] Q.A Dang, T.L. Vu, Q.L Dang (2010), "Iterative method for solving a fourth order differential equation with nonlinear boundary condition", Applied Mathematics Sciences, Vol.4, , No. 70, pp. 3467-3481. 123 [16] Q.A. Dang (2007), "Iterative method for solving a nonlinear boundary value problem", Appl. Math. Comput., 190, pp. 675-1682. [17] Q.A. Dang, H.H. Truong (2016), "Computational method for a fourth order nonlinear elliptic boundary value problem", 3rd Na- tional Foundation for Science and Technology Development Confer- ence on Information and Computer Science (NICS), pp. 62-67, DOI: 10.1109/NICS.2016.7725669. [18] J. Ehme, P.W. Eloe, J. Henderson (2002), "Upper and lower solution methods for fully nonlinear boundary value problems", J. Differential Equations, 180, pp. 51–64. [19] V.S. Ertu¨rk, S. Momani (2007), "Comparing numerical methods for solving fourth-order boundary value problems", Appl. Math. Comput. 188, pp. 1963–1968. [20] H. Feng, D. Ji, W. Ge (2009), "Existence and uniqueness of solutions for a fourth-order boundary value problem", Nonlinear Anal., 70, pp. 3561–3566. [21] G. Infante, F. Minhós, P. Pietramala (2012), "Non-negative solutions of systems of ODEs with coupled boundary conditions", Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 17, pp. 4952–4960. [22] P. Kang, Z. Wei (2012), "Existence of positive solutions for systems of bending elastic beam equations", Electron. J. Differential Equations, 19, pp. 1-9. [23] A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin (1957), Elements of the theory of func- tions and functional Analysis, Volume1: Metric and Normed Spaces, Graylock press Rochester. 124 [24] G.S. Ladde, V. Lakshmikantham, A.S. Vatsala, (1985), Monotone Iterative Techniques for Nonlinear Differential Equations, Pitman, Boston. [25] Y. Li (2003), "Existence and multiplicity of positive solutions for fourth-order boundary value problems", Acta Math. Appl. Sin., 26, pp. 109–116. (in Chinese). [26] Y. Li (2007), "On the existence of positive solutions for the bending elastic beam equations", Appl. Math. Comput., 189. 821–827. [27] Y. Li (2010), "A monotone iterative technique for solving the bending elastic beam equations", Appl. Math. Comput., 217, pp. 2200-2208. [28] Y. Li, Q. Liang (2013), "Existence results for a fully fourth-order boundary value problem", J. Funct. Spaces Appl., Article ID 641617, 5 pages. [29] Y. Li (2016), "Existence of positive solutions for the cantilever beam equations with fully nonlinear terms", Nonlinear Anal. Real World Appl., 27, pp. 221–237. [30] H. Lu¨, H. Yu, Y. Liu (2005), "Positive solutions for singular boundary value problems of a coupled system of differential equations", J. Math. Anal. Appl. 302, pp. 14–29. [31] R. Ma, J. Zhang, S. Fu (1997), "The method of lower and upper solu- tions for fourth-order two-point boundary value problems", J. Math. Anal. Appl., 215, pp. 415–422. 125 [32] T.F. Ma (2003), "Existence results and numerical solutions for a beam equation with nonlinear boundary conditions", Appl. Numer. Math., 47, pp. 189–196. [33] T. F. Ma (2005), "Remarks on an elliptic equation of Kirchhoff type", Nonlinear Anal. 63(5–7) (2005), pp. 1967–1977. [34] T. F. Ma (2005), "Positive solutions for a Kirchhoff type beam equa- tion", Appl. Math. Lett., 18, pp. 479-482. [35] D. Ma, X. Yang (2009), "Upper and lower solution method for fourth- order four-point boundary value problems", J. Comput. Appl. Math., 223, pp. 543-551. [36] Y.A. Melnikov, M.Y. Melnikov (2012), Green’s Functions Construc- tion and Applications, De Gruyter. [37] F. Minhós, T. Gyulov, A.I. Santos (2009), "Lower and upper solutions for a fully nonlinear beam equation", Nonlinear Anal., 71, pp. 281–292. [38] F. Minhós, I. Coxe (2017), "Systems of coupled clamped beams equa- tions with full nonlinear term: Existence and location results", Non- linear Anal. Real World Appl., 35, pp. 45-60. [39] F. Minhós, I. Coxe (2018), Corrigendum to "System of coupled clamped beam equations: Existence and localization results" [Nonlin- ear Anal.: RWA 35 (2017) 45–60], Nonlinear Anal. Real World Appl., 39, pp. 568-570. [40] R.K. Mohanty (2000), "A fourth-order finite difference method for the general one-dimensional nonlinear biharmonic problems of first kind", J. Comput. Appl. Math., 114, pp. 275-290. 126 [41] M.A. Noor, S.T. Mohyud-Din (2007), "An efficient method for fourth- order boundary value problems", Comput. Math. Appl. 54, pp. 1101- 1111. [42] C. V. Pao (2001), Numerical methods for fourth order nonlinear ellip- tic boundary value problems, Numer Methods Partial Differ. Equ. 17, pp. 347–368. [43] M. Pei, S.K. Chang (2011), "Existence of solutions for a fully non- linear fourth-order two-point boundary value problem", J Appl Math Comput. 37, pp. 287-295. [44] M.H. Protter and Weinberger (1968), Maximum principles in diffe- fential equations, Prentice- Hall. [45] M. Ronto, A. M. Samoilenko (2000), Numerical Analytic methods in the theory of boundary value problem, World Sci. Publ, Singapore. [46] A. Samarskii and E. Nicolaev (1989), Numerical methods for grid equa- tions, vol. 1: Direct Methods, Birkhauser, Basel. [47] A. Samarskii and E. Nicolaev (1989), Numerical methods for grid equa- tions, vol. 2: Iterative Methods, Birkhauser, Basel. [48] O.A. Teterina (2013), The Green’s Function Method for Solutions of Fourth Order Nonlinear Boundary Value Problem, A Thesis Pre- sented for the Master of Science Degree The University of Tennessee, Knoxville. [49] E. Zeidler (1986), Nonlinear functional analysis and its applications, I: Fixed-Point Theorems, Springer. 127 [50] F. Zhu, L. Liu, Y. Wu (2010) "Positive solutions for systems of a non- linear fourth-order singular semipositone boundary value problems", Appl. Math. Comput., 216, pp. 448-457. 128